8. Describa geométricamente el conjunto de todos los complejos del
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8. Describa geométricamente el conjunto de todos los complejos del
8. Describa geométricamente el conjunto de todos los complejos del plano (puntos), que satisfacen las relaciones siguientes. a) e) z−i = 1 z −1 + z +1 = 6 c) Re z = 3 b) 1 ≤ z − i f) d) Re z > 3 z + z = Im z . Solución: 2i a) El lugar geométrico está formado por los complejos z que están a distancia 1 de i. ste es la circunferencia con centro i y radio 1 i b) Aquí el lugar geométrico es el conjunto de los complejos z que están en la circunferencia anterior ( z − i = 1 ) y los que están fuera de ella c) ( z − i > 1 ). Re z = x = 3 define la recta paralela al eje imaginario y a distancia 3 de él 3 d) Re z = x > 3 define el semiplano a la derecha de la recta anterior; la recta no es parte del lugar geométrico 3 3i e) tenemos que z pertenece al lugar geométrico si la suma de sus distancias a los complejos 1 y -1 es igual a 6. Esto es una elipse, con focos a = 3, c= 2, y b= 5 F1 = (-1 , 0) F1 F2 -1 1 F2 , f) esto equivale a 2x = y, cuya representación geométrica es la recta de la figura. 3 = (1, 0) 2i 1 9. Sea p ( z ) = a 0 z n + a1 z n − 1 + ....... + a n un polinomio con coeficientes reales. Demostrar que si w ∈ C es un cero de p(z) , entonces w es un cero de p(z). Dar un ejemplo para mostrar que esto no es válido si los coeficientes son complejos. Solución: * p ( w) = 0 ⇒ p ( w) = 0 = a 0 w n + a1 w n −1 + .... + a n = a 0 w n + a1 w n − 1 + .. .. + a n = a 0 w n + a1 w n −1 + .... + a n = a 0 w n + a1 w n − 1 + . . . . + a n = p (w) , pues a 0 , a1 , . . . . , a ∈ R k y una aplicación del Teor. 2 (5), prueba que w k = w . (Teor. 2, (4)) (Teor. 2, (5)) Como p ( w) = 0 , w también es un cero de p. ** w = 1 − i es un cero de p ( z ) = iz − i −1, pero w = 1 + i no lo es. 10. Suponga que a ∈ C , a < 1. Demuestre que ⎧ < 1 , si z < 1 ⎪ ⎨ = 1 , si z = 1 ⎪ ⎩ > 1 , si z > 1 z − a 1 − az Solución: z−a 2 − 1− az 2 = z = z = z 2 + a 2 2 + a 2 + a 2 = ( z = ( z 2 − z a − za − (1 + a z 2 2 −1− a z −a − 1− az ( 1− az )2 z ( z 2 2 − 1) 2 2 > 0 , de modo que ⎧ < 0 , si z < 1 ⎪ ⎨ = 0 , si z = 1 ⎪ ⎩ > 0 , si z > 1 2 Dividiendo miembro a miembro por z −a 2 2 − 1) (1 − a ) Siendo a < 1 , tenemos que 1 − a 2 − az − a z) − 1 − a z , (a z = a z ) − 1) − a 2 2 2 1 − a z , en cada caso obtenemos ⎧ < 0 , si z < 1 ⎪ − 1 ⎨ = 0 , si z = 1 ⎪ ⎩ > 0 , si z > 1 De aquí se sigue la relación por demostrar: Nota: 1 − az 2 = 0 si ⇒ z = a −1 = a z = a −1 −1 > 1; luego, en el último caso hay que excluir esta posibilidad. 11. Demostrar que la ecuación de cualquier circunferencia puede escribirse en la forma 2 y b ∈ C. a z + bz + b z + c = 0 , donde a , c ∈ R Solución: r Según sabemos, la ecuación de la circunferencia con centro en w y radio r > 0 , es de la forma z w Ax 2 + Ay 2 + Bx + Cy + D = 0 siendo z = x + yi. Esta se puede escribir como sigue: A ( x 2 + y 2 ) + B Re z + C Im z + D = 0 A z A z A z 2 1 1 + B ( z + z ) + C (z − z ) + D = 0 2 2i 2 + ( B C B C − ) z + ( + )z + D = 0 2 2i 2 2i 2 +( B C B C + i) z + ( − i)z + D = 0 2 2 2 2 b: = Poniendo a : = A , B C + i, 2 2 (Teor. 2 , (3) ) c : = D, la ecuación de la circunferencia queda escrita: 2 a z + bz + b z + c = 0 con a ., c ∈ R b ∈ C. y 12. Demostrar que ∀ z ∈ C : x + y 2 ≤ z ≤ siendo z = x + yi Solución: z = x2 + y2 ≤ x 2 + y 2 + 2 xy (pues 2 xy ∴z ≤ ( x + y )2 = x Por otra parte, de ( x + ≥ 0) + y . y )2 ≥ 0 obtenemos x + y , 2x y ≤ x2 + y2 . Sumando x 2 + y 2 a cada miembro 2 x y + x2 + y2 ≤ 2 ( x2 + y2 ); esto es ( x + luego: y )2 ≤ 2 z x + y ≤ 2 ; 2 z