Teoria de Bifurcaciones

Teoría de Bifurcaciones
Luis Aguirre Castillo
En el sentido más general, por bifurcación en una familia de sistemas dinámicos se entiende un cambio cualitativo en el retrato fase cuando un parámetro
alcanza o sobrepasa a un cierto valor crítico. Más especí…camente, llamamos
bifurcación de un punto de equilibrio (o conjunto invariante) el caso donde este
cambio consiste en la aparición de nuevos puntos de equilibrio (o conjuntos invariantes) que al alejarse el parámetro del valor crítico, se alejan del punto o
conjunto en cuestión (en un lenguaje intuitivo, se dice que el punto o conjunto se
“escinde" bajo el cambio de parámetro). El estudio de este fenómeno despertó
interés a partir de un artículo famoso de E.Hopf publicado en 1942, donde se
relaciona la aparición de soluciones periódicas con ciertos cambios en el comportamiento de la parte lineal del sistema bajo un cambio de un parámetro.
Las investigaciones posteriores a Hopf usualmente siguieron y siguen tomando
como base un cambio en el espectro de la parte lineal del sistema. Este último
es típicamente acompañado de un cambio (“ganancia" o “pérdida") de estabilidad. Esta circunstancia dio origen a la pregunta, en qué medida un cambio
de estabilidad da lugar a una bifurcación, independiente de que este se re‡eje
o no en un cambio cualitativo en el espectro de la parte lineal. El primer paso
en esta dirección fue dado en 1976 en un artículo de Marchetti y et. al., en
el cual se probó que una bifurcación (en el sentido señalado) siempre ocurre
cuando hay transición de estabilidad asintótica a la inestabilidad completa (o
“repulsor"). En investigaciones posteriores la conclusión principal de todas estas
investigaciones es que la aparición de bifurcación no depende de las propiedades
de las partes lineales de los sistemas, pudiendo ocurrir aquellos aun cuando estas no cambian. La verdadera raíz de muy amplias clases de bifurcación hay
que buscarla en ciertos principios de persistencia dinámica.
En el curso–taller partiendo del enfoque clásico se hará …nalmente, una exposición de una teoría reciente (Seibert y et. al.), con algunos ejemplos en
espacios de dimensión in…nita.
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