ÍÒ Ú Ö× Æ ÓÒ Ð Ä Å Ø ÒÞ Ì ÓÖ Æ Ñ ÖÓ×

Universidad Naional de La Matanza
Lieniatura en Matemátia Apliada
Teoría de Números
Profesores:
Roberto Oviedo
Martín Ramos
Teorı́a de números elemental - 2012
♣
1
1.
1.
Divisibilidad.
a) (†) El producto de dos números naturales m y n aumenta en 132 si cada uno de ellos
aumenta en 6. Determine todos los posibles valores de m y n, sabiendo además que n es
múltiplo de m.
b) Aumentando en 7 los dos factores de un producto se aumenta el producto en 364. Encuentre ambos factores sabiendo que su diferencia es 5.
2. Determine los números enteros n que satisfacen la relación planteada:
a) n|n + 1.
b) n − 1|n.
c) (†) n − 2|n + 2.
d ) (†) 3n − 11|3n − 1.
e) n − 3|n2 + 1.
f ) (†) n + 1|n2 + 3.
g) n − 1|n2 + 5.
h) n − 2|n3 − 2.
3. Halle el mayor n ∈ N tal que n + 5|n3 + 5.
4. Demuestre que los únicos divisores comunes que tienen 3n+2 y 5n+3 son +1 y −1, cualquiera
sea el entero n.
5. Analice si las siguientes ecuaciones tiene alguna solución entera.
Sugerencia: por lema de Gauss o por un análisis de la paridad.
a) (†) x5 + 11x3 + 9 = 0
b) x7 + x5 + x3 + x + 1 = 0
1
El alumno estudioso no deberı́a dejar de practicar aquellos ejercicios marcados con una daga (†).
1
Teorı́a de números elemental - 2012
6. Pruebe que los siguientes números son naturales:
√ √
√
√2 − 2 6
a) √3+
3− 2
p
p
√
√
b)
7+4 3+ 7−4 3
q
q
√
√
3
3
10 3
c)
2 + 9 + 2 − 109 3
p
p
√
√
3
3
d)
2+ 5+ 2− 5
7. (†) Resuelva en N:
a) 3 n4 = 5 n−1
5 .
b) (18 − 2n) n6 = n n−2
4 .
√
√
8. (†) Sea un = (3 + 5)n + (3 − 5)n .
a) Pruebe que (∀n ∈ N)un ∈ Z.
b) Pruebe que (∀n ∈ N)un+1 = 6un − 4un−1 .
c) Pruebe que (∀n ∈ N)2n |un .
d ) Pruebe que el menor √
entero mayor que (3 +
Sugerencia: 0 < (3 − 5)n < 1
√
5)n es divisible por 2n .
9. Demuestre que las siguientes proposiciones son válidas (∀n ∈ N).
a) (†) 3|4n − 1.
b) 7|32n+1 + 2n+2 .
c) 11|32n+2 + 26n+1 .
d ) (n!)2 |(2n)!. Además
(2n)!
(n!)2
es un número par.
e) 24|n(n2 − 1)(3n + 2).
10. Pruebe que (∀n ∈ N) el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!.
11. Decimos que un punto del plano tiene coordenadas enteras si (x, y) ∈ Z2 . Dados cinco puntos distintos del plano con cooordenadas enteras, trazamos los segmentos que estos puntos
determinan. Demuestre que al menos uno de los puntos medios de estos segmentos tiene
coordenadas enteras.
2
Teorı́a de números elemental - 2012
2.
División entera.
1. (†) Indique para cuáles valores de n los siguientes enteros son pares.
a) 5n2 + 3
b) (n − 1)n
c) n(n + 1)
d ) (n − 1)(n + 1)
e) (n2 − 1)(n2 + 1)
f ) (n2 − 2)(n2 + 2)
g) (n2 − 1)(n2 − 2)
h) n3 + n
i ) n3 + n2 + n + 1
j ) (−1)n · 5 + (−1)n+1 · 7
k ) (n + 1)(5n + 3)
l ) (3n + 1)(7n + 4)
2. Demuestre:
a) La suma de dos números impares consecutivos es múltiplo de 4.
b) La suma de tres números impares consecutivos es divisible por 3 pero no por 6.
c) El producto de dos números pares consecutivos es divisible por 8.
3. Pruebe que para cualquier valor de n ∈ N se cumple que
a) 2|n ⇒ 4|n2 + 2n + 4.
b) 3 - n2 + 1.
c) 2|n ⇒ 48|n3 + 20n.
4. Pruebe las siguientes proposiciones.
a) Todo primo impar tiene una de las formas 4m + 1 o 4m + 3, con m ∈ Z.
b) Todo primo que no sea ±2, ±3 es de la forma 6m + 1 o 6m − 1, con m ∈ Z.
c) Todo primo de la forma 3k + 1 es de la forma 6m + 1, con k, m ∈ Z.
d ) (†) Todo primo mayor que 5 es de la forma 30m+n, con m ∈ N0 y n ∈ {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.
5. El resto de la división de un número por 4 es 3, y el resto de la división del mismo número
por 9 es 5. Encontrar el resto de la división del mismo número por 36.
(Se verá otra resolución de este ejercicio en el capı́tulo Sistemas de ecuaciones lineales
de congruencia.)
3
Teorı́a de números elemental - 2012
6. Calcule el cociente y el resto de la división entera de b por a.
a) b = 7, a = 3.
b) b = −7, a = 3.
c) b = 7, a = −3.
d ) b = −7, a = −3.
e) b = 3, a = 7.
f ) b = −3, a = 7.
g) b = 3, a = −7.
h) b = −3, a = −7.
7. (†) Calcule el cociente y el resto de la división entera de b por a.
a) b = n2 − 1, a = n, para n ∈ N.
b) b = n2 , a = n + 1, para n ∈ N.
8. Sea n un número impar tal que su resto en la división por 10 no es 3, ni 5 ni 7. Halle el resto
de dividir n2 por 40.
9. (†) ¿Para cuáles números n ∈ N la fracción
3n+4
5
es un número entero?.
10. Tenemos una lista de once números enteros consecutivos. Al dividir cada uno de ellos por 9
se obtienen tres cocientes diferentes. ¿Cuáles son los restos de dividir por 9 cada uno de los
números de la lista?
11. Dos números enteros m y n (m < n) difieren en 110. El resto de dividir m por 9 es mayor que
el resto de dividir n por 9, y ninguno de los dos es múltiplo de 9. ¿Cuáles son esos restos?
12. Halle n sabiendo que el cociente de dividir n por 29 es 5 y que el resto de dividir n + 10 por
29 es 3.
13. Sea a un número entero de la forma 60k − 27. Determine el cociente y el resto de dividir a
por 3, 4, 5, 10 y 15.
14. (†) En cada uno de los siguientes casos, determine el mayor número natural n que satisface
la condición requerida.
a) El cociente de dividir n por 15 es el doble de su resto.
b) El resto de dividir n por 18 es el doble de su cociente.
15. Sea un entero b tal que el resto de su división por 7 sea 4. Halle:
a) El resto de dividir 2b − 11 por 7.
b) El resto de dividir 2b2 − 5 por 14.
4
Teorı́a de números elemental - 2012
16. Sean a ∈ N, b ∈ Z. Conociendo el cociente y el resto de b dividido a, halle el cociente y el
resto de a − b dividido a.
17. (†) Dados los enteros a, b, c, d, pruebe que
12 | (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d)(c − d)
5
Teorı́a de números elemental - 2012
3.
Operaciones con restos.
1. El resto de la división del número entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la división por 11
de los siguientes números.
a) a + 74
b) −a
c) 51 − a
d ) 97a
e) a22
f ) a + 3a2
g) a3 + a2 + a + 1
h) 10a21 − 103a20 + 2a19 − 72a18
i ) 7(a + 1)17
j ) 7(a − 1)17
Este ejercicio vuelve a aparecer en el capı́tulo Congruencias.
2. (†) Pruebe que un número no puede ser simultáneamente múltiplo de 12 aumentado en 5 y
múltiplo de 15 aumentado en 4.
3. Dados m ∈ Z, m 6= 0, halle los restos posibles de m2 y m3 en la división por 3, 4, 5, 7, 8 y 11.
4. Sean a y b enteros, b 6= 0. Si a − b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 7,
halle a y b.
P
5. Halle, para cada n ∈ N, el resto de la división de nk=1 (−1)k k!, por 36.
6. Pruebe que:
a) (†) La suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es un múltiplo de 3.
b) (†) La diferencia de cuadrados de dos números no divisibles por 3 es un múltiplo de 3.
6
Teorı́a de números elemental - 2012
4.
Máximo común divisor.
1. Halle el MCD de a y b y expréselo como CLE de ambos números.
a) (†) a = 2001, b = 368.
b) a = 84, b = 45.
2. (†) El MCD de 84 y un cierto número natural n es 14. ¿Cuál puede ser el resto de dividir n
por 84?
3. Calcule los siguientes máximos comunes divisores.
a) (120 : 84).
b) (1159 : 665).
c) (n2 + 1 : n + 1) donde n es un número natural impar.
d ) (†)(10n − 1 : 495)
4. Demuestre las siguientes proposiciones, para n ∈ N.
(
2 si 2 - n
2
a) (n + 1 : n − 1) =
1 si 2 | n
b) (n2 − n : 2(n + 1)) ∈ {2, 4}.
5. Pruebe (∀n ∈ N):
a) (†) (2n + 3n : 2n+1 + 3n+1 ) = 1
b) (2n + 5n : 2n − 5n ) = 1
c) (9n − 5n+1 : 9n+1 + 5n ) ∈ {2, 46}
d ) (2n + 5n+1 : 2n+1 + 5n ) ∈ {3, 9}
e) (3n + 5n+1 : 3n+1 + 5n ) ∈ {2, 14}
6. Demuestre que
(
1
(a : b) = 1 ⇒ (a − b : a + b) =
2
7
si a y b tienen diferente paridad
si a y b son ambos impares
Teorı́a de números elemental - 2012
5.
Coprimalidad.
1. Demuestre que si a1 b1 − a2 b2 = ±1 entonces no se puede realizar ninguna cancelación en la
fracción
a1 + a2
b1 + b 2
2. Demuestre que la fracción
15n + 4
10n + 3
es irreducible, cualquiera sea el número natural n.
3. Sean a, b, c, d ∈ N, tales que a ⊥ b, c ⊥ d y b 6= d. Pruebe que
a c
+ 6∈ Z
b d
4. Sean a y b enteros positivos coprimos. Calcule los posibles valores de los siguientes MCD.
a) (†) (3a − b : 2a + b).
b) (2a − 5b : 4a + 3b).
5. (†) Pruebe que no existe ningún polinomio f (t) con coeficientes enteros tal que f (1) = 2 y
f (3) = 5.
6. Sea f (t) un polinomio con coeficientes enteros tal que 3 - f (0), f (1), f (2). Pruebe que (∀t0 ∈
Z)f (t0 ) 6= 0.
8
Teorı́a de números elemental - 2012
6.
Mı́nimo común múltiplo.
1. Halle todos los números naturales a y b tales que (a : b) = 225 y [a : b] = 4725.
Este ejercicio vuelve a aparecer en el capı́tulo Descomposición primaria.
2. Encuentre los números naturales que satisfacen cada una de las siguientes igualdades.
a) (†) [n : 84] = 30(a : 84)
b) [n : 42] = 30(a : 84)
9
Teorı́a de números elemental - 2012
7.
Ecuación diofántica lineal.
1. Resuelva la ecuación diofántica
5x + 22y = 18
2. Resuelva en Z2 .
2
7
5
x+ y =
5
4
3
3. ¿Cuántos números naturales menores que 10000 son múltiplos de 7 y tienen a 26 como sus
últimas dos cifras?
4. Analice para cuáles valores de n ∈ N las siguientes ecuaciones tienen solución en Z2 .
a) 15x − 4y = n
b) 15x + 5y = n
c) (†) 12x − 5y = 3n
d ) 12x + 15y = 3n
e) 12x + 15y = 20n
f ) (†) 12x + ny = 1
g) 5x + 3ny = 3
h) 5n2 x + 3ny = 1
i ) 5n2 x + 3ny = 2n
j ) 5(n2 + 1)x + 3ny = 2
5. Analice cuál es el mayor valor de n ∈ N para el cual la ecuación 9x + 14y = n tiene solucion
única en N2 .
6. Escriba el número 215441 como suma de dos enteros, uno de ellos divisible por 1183 y el otro
divisible por 1089. Analice, si hay solución, su unicidad.
7. ¿Cuántos números enteros entre 1 y 1000 inclusive pueden descomponerse en suma de un
múltiplo positivo de 7 más un múltiplo positivo de 4?
8. Escriba, si existe, el coeficiente del término x11 en el desarrollo de
6 17
3
5x + 2
x
9. Escriba, si existe, el coeficiente del término x11 en el desarrollo de
6 17
2 14
3
4
5x + 2
· 11x + 5
x
x
10
Teorı́a de números elemental - 2012
8.
Primos.
1. Pruebe que 2, 3, 5 son números primos.
2. Pruebe que si n > 1, ninguno de los siguientes números son primos.
a) n4 + n2 + 1
Sugerencia: (a2 + a + 1)(a2 − a + 1) = a4 + a2 + 1. Intente llegar a esta factorización
resolviendo la ecuación bicuadrada z 4 + z 2 + 1 = 0 en C.
b) (†) n3 + 1
c) n4 + 4.
3. Halle todos los primos p de modo que 2p − 1 y 2p + 1 también sean primos.
4. (†) Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p| ap .
5. (†) Sea el polinomio de coeficientes enteros x2 + ax + p, con p ∈ P. ¿Cuáles son los posibles
valores de a para que las raı́ces del polinomio sean enteras?
6. Se quiere construir una tabla que contenga todos los primos menores que 106 , utilizando el
algoritmo de la criba de Eratóstenes. ¿Con cuántos primos hay que probar la divisibilidad?
7. Halle todos los primos que tengan las siguientes formas, para n ∈ N:
a) n3 − 1
b) n2 − 4
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Teorı́a de números elemental - 2012
9.
Congruencias.
1. El resto de la división del número entero a por 11 es 7. Calcule el resto de la división por 11
de los siguientes números.
a) a + 74
b) −a
c) 51 − a
d ) 97a
e) a22
f ) a + 3a2
g) a3 + a2 + a + 1
h) 10a21 − 103a20 + 2a19 − 72a18
i ) 7(a + 1)17
j ) 7(a − 1)17
Este ejercicio se ha resuelto en el capı́tulo Operaciones con restos.
2. Teniendo en cuenta que 24 + 54 = 27 · 5 + 1 = 641, demuestre que 232 ≡ −1
(mód 641).
3. Pruebe, para a, b, c ∈ Z:
a) 2 - a ⇒ 8|a2 − 1
b) 2 - a ⇒ 16|a4 − 1
c) (†) 5|a2 + b2 + 1 ⇒ 5|a ∨ 5|b
d ) a2 + b2 6≡ 3, 6, 7
e)
a2
+ b2
(mód 8)
+ c2
6≡ 7 (mód 8). O también 8 - a2 + b2 + c2 + 1. O también que ningún entero
de la forma 8k + 7 es la suma de los cuadrados de tres enteros.
4. Pruebe que 3|2n − 1 ⇔ 2|n.
5.
a) Si a ≡ 39
b) Si a ≡ −62
c) Si a ≡ 39
(mód 15), calcule el resto de la división de a por 3, 5, y 15.
(mód 12), calcule el resto de la división de a por 2, 3, 4, 6 y 12.
(mód 15), calcule el resto de la división de a3 + a2 + a + 1 por 15.
6. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre
que si para d enteros consecutivos x1 , x2 , · · · , xd se tiene que sus valores a través de f son
todos divisibles por d, i.e. d|f (xi ) con i = 1, 2, · · · , d entonces (∀x ∈ Z)d|f (x).
7. Demuestre que no hay ningún cuadrado cuya expresión decimal termine en 79.
8. Encuentre todos los m naturales tales que 2050 ≡ 2295
12
(mód m).
Teorı́a de números elemental - 2012
9. Sea ∆ = b2 − 4ac el discriminante de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Demuestre que ∆ ≡ 0 o 1 (mód 4).
10. Demuestre que si (x : 6) = 1 entonces x2 ≡ 1
(mód 24).
11. Demuestre que si p es un primo mayor que 2, entonces
1 + 2 + 3 + · · · + (p − 1) ≡ 0
(mód p)
¿Es válida la expresión para algún p compuesto?
12. Considere la sucesión de Fibonacci


F1 = 1
F n = F2 = 1


Fn = Fn−1 + Fn−2
si n > 2
a) ¿Qué términos de la sucesión de Fibonacci son múltiplos de 7? ¿Y de 14?
b) Determine el último dı́gito de F100 .
13.
a) Demuestre que, dados 5 números naturales, siempre existen 3 de ellos cuya suma es
divisible por 3. ¿Qué ocurre si son 4 los números naturales?
b) Demuestre que, dados 17 números naturales, siempre existen 5 de ellos cuya suma es
divisible por 5.
c) Demuestre que, dados 2001 números naturales, siempre existe un subconjunto de ellos
cuya suma es divisible por 2001.
14. (†) Pruebe que para ningún n ∈ N el número 3n + 2 · 17n es un cuadrado perfecto.
15. (†) Demuestre que si p es un primo positivo y si a y b son enteros, entonces
(a + b)p ≡ ap + bp
(mód p)
llamada por Fraleigh la exponenciación estudiantil.
Este ejercicio vuelve a aparecer en el capı́tulo Teoremas de la aritmética modular .
Sugerencia: Recuerde el siguiente ejercicio, que aparece repetido en los
capı́tulos Primos y
Coprimalidad : “Pruebe que si p es primo y 0 < a < p, entonces p| ap ”.
16. Halle todos los primos p tales que p + 4 es primo y p + 8 es primo.
Este ejercicio ya apareció en el capı́tulo División entera con otra resolución.
13
Teorı́a de números elemental - 2012
10.
Ecuación lineal en congruencia.
1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales de congruencia
a) 2x ≡ −21
(mód 8).
b) 2x ≡ −12
(mód 7).
c) 3x ≡ 15
(mód 4).
d ) 10x ≡ 15
(mód 35).
e) 25x ≡ 15
(mód 29).
f ) 36x ≡ 18
(mód 102).
2. Analice la existencia y cantidad de soluciones en Zm de la ecuación ax ≡ b
resuélvala.
a) 5x ≡ 7
(mód 11)
b) 5x ≡ 5
(mód 11)
c) (†) 5x ≡ 5
d ) 4x ≡ 6
(mód 10)
(mód 10)
e) (†) 9x ≡ 6
(mód 10)
f ) 9x ≡ 6
(mód 5)
g) 5x ≡ 6
(mód 10)
h) 8x ≡ 6
(mód 10)
3. Resuelva en Zm la ecuación ax ≡ b
(mód m).
a) 472 · 533 · 592 · x ≡ 475 · 53 · 595
b) 472 · 533 · 592 · x ≡ 475 · 533 · 595
c) 472 · 532 · 592 · x ≡ 472 · 53 · 59
(mód 473 · 532 )
(mód 473 · 532 )
(mód 473 · 53)
4. Resuelva los siguientes sistemas de dos incógnitas en Zm × Zm .
a) En Z7 × Z7 .
b) En Z10 × Z10 .
c) En Z10 × Z10 .
(
x + 3y ≡ 2 (mód 7)
2x + y ≡ 3 (mód 7)
(
x + 2y ≡ 3
3x + y ≡ 2
(mód 10)
(mód 10)
(
x + 2y ≡ 3 (mód 10)
3x + y ≡ 2 (mód 10)
14
(mód m), y
Teorı́a de números elemental - 2012
d ) En Z19 × Z19 .
(
3x + 7y ≡ 5
17x + 18y ≡ 13
15
(mód 19)
(mód 19)
Teorı́a de números elemental - 2012
11.
Sistemas de ecuaciones lineales en congruencia.
1. (†) Resolver en Zm , donde m =


(mód 2)
3x ≡ 1
a) (†) x ≡ 3
(mód 5)


2x ≡ 3
(mód 7)


(mód 6)
x ≡ 4
b)
3x ≡ 1
(mód 5)


x≡3
(mód 8)
(
x≡4
(mód 6)
c)
x≡2
(mód 8)
Q
i mi
2. (†) El resto de la división de un número por 4 es 3, y el resto de la división del mismo número
por 9 es 5. Encontrar el resto de la división del mismo número por 36.
Este ejercicio ya se ha resuelto en el capı́tulo Division entera.
3. Calcule el resto de dividir por a el número b.
a) (†) b = 125314 , a = 21
b) b = 240314 , a = 99
Se volverá a resolver este ejercicio en el capı́tulo Teoremas de la aritmética modular.
4. Este problema está mencionado por Oystein Ore, quien lo ha recogido de la obra de
Brahmagupta (matemático indio, quien vivó entre +598 y 670) intitulada Brahma-SphutaSiddhanta (El sistema revisado de Brahma).
Una anciana va en carro al mercado y en el viaje un caballo golpea su canasta, quebrando
todos los huevos que llevaba consigo. El conductor del carro ofrece pagarle los daños y le
pregunta cuántos huevos llevaba en la canasta. La anciana no recuerda la cantidad exacta,
pero sı́ recuerda que cuando los estaba guardando de a dos, sobraba uno. Lo mismo ocurrió
cuando ella los tomaba de a tres, de a cuatro, de a cinco y de a seis por vez, siempre sobraba
uno. Pero cuando los separó de a siete no sobró ninguno. ¿Cuál es la mı́nima cantidad de
huevos que pudo haber llevado en su canasta?
5.
a) Halle cuatro enteros consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7, 9, 11 y 13.
b) Halle cuatro números impares consecutivos que sean divisibles, respectivamente, por 7,
9, 11 y 13.
6. Un mago adivina el dı́a y el mes del cumpleaños de una persona con sólo conocer el resultado
de calcular 12d + 31m (donde d es el dı́a y m el número de mes). Una persona del público le
dice que el resultado del cálculo anterior es el número 435. ¿Qué dı́a cumple años?
16
Teorı́a de números elemental - 2012
12.
Teoremas de la aritmética modular.
1. Analice si existe el inverso multiplicativo de a en el anillo (Zm , +, ·).
a) a = 2, m = 5
b) a = 3, m = 4
c) (†) a = 2, m = 4
d ) a = 12, m = 17
e) a = 55, m = 101
f ) a = 55, m = 102
g) (†) a = 51, m = 102
h) a = 71, m = 25 34 57
i ) (†) a = 73 , m = 25 34 57
j ) a = 37 73 , m = 25 34 57
2. Calcule los valores que se indican.
a) ϕ(77)
b) ϕ(18000)
c) ϕ(10!)
d ) (†) ϕ(340200)
3. Halle el resto de 15! en la división por 17.
4. (†) Halle el resto de 2 · 26! en la división por 29.
5. Calcule el resto de dividir por a el número b.
a) (†) b = 125314 , a = 21
b) b = 240314 , a = 99
Este ejercicio fue resuelto en el capı́tulo Sistemas de ecuaciones lineales en congruencias.
6. Calcule el resto de b en la división por a. Resuélvalo utilizando si es posible el Pequeño teorema
de Fermat y el Teorema de Fermat-Euler (ambos).
a) b = 710 , a = 11.
b) b = 712 , a = 11.
c) b = 371210 , a = 11.
d ) b = 371213 , a = 11.
e) (†) b = 314164 , a = 165.
f ) b = 99999999 , a = 7.
g) b = 171167 , a = 11.
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Teorı́a de números elemental - 2012
5. ¿Cuáles son las 3 últimas cifras del desarrollo decimal de 19971998 ?
6.
a) Pruebe que (∀n ∈ N)25n ≡ 1
(mód 31)
b) Halle el resto de la división de 251833 por 31.
c) Sea k ∈ N. Sabiendo que 2k ≡ 39
(mód 31), halle el resto de la división de k por 5.
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