EVALUACIÓN DEL MÉTODO DE MURPHY PARA LA

EVALUACIÓN DEL MÉTODO DE MURPHY PARA LA

EVALUACIÓN DEL MÉTODO DE MURPHY PARA
LA INTERPRETACIÓN
DE SEÑALES EN LA CARTA T 2 MULTIVARIADA
Hector Fabian Lopez Casas 1
[email protected]
1 Estudiante de Matematicas Con Enfasis en Estadistica, Universidad del Tolima
24 de enero de 2010
H. L OPEZ (UT)
CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO
24 DE ENERO DE 2010
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R ESUMEN
Existen situaciones en las cuales es necesario controlar dos o más características
de un producto o proceso de calidad, es frecuente encontrar decisiones de control
basadas en procesos de control de calidad multivariado, ya que la calidad generalmente es medida por el control simultáneo de varias variables aleatorias posiblemente correlacionadas. En este trabajo se presenta un método para detectar las
causas asignables de señal de fuera de control en cartas de control de calidad multivariadas , mediante algún método adecuado de selección de variables. Se propone
una prueba para seleccionar variables fuera de control y una interpretación de los
valores de la estadística. Además se realiza un ejemplo en el programa R, donde se
muestran los resultados y graficas obtenidas.
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C ONTENIDO
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I NTRODUCCIÓN
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I NTRODUCCIÓN
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O BJETIVOS
Objetivo General
Objetivos Específicos
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I NTRODUCCIÓN
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O BJETIVOS
Objetivo General
Objetivos Específicos
3
M ARCO T EÓRICO
Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
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I NTRODUCCIÓN
2
O BJETIVOS
Objetivo General
Objetivos Específicos
3
M ARCO T EÓRICO
Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
4
M ETODOLOGÍA
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I NTRODUCCIÓN
2
O BJETIVOS
Objetivo General
Objetivos Específicos
3
M ARCO T EÓRICO
Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
4
M ETODOLOGÍA
5
R ESULTADOS
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O BJETIVOS
Objetivo General
Objetivos Específicos
3
M ARCO T EÓRICO
Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
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M ETODOLOGÍA
5
R ESULTADOS
6
C ONCLUSIONES
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Objetivos Específicos
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Carta T 2 de Hotelling
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Algoritmo de Murphy
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R EFERENCIAS
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Objetivos Específicos
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Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
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M ETODOLOGÍA
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C ONCLUSIONES
7
R EFERENCIAS
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La eficiencia de las cartas de control frente a la detección de cambios en un proceso
o la interpretación de las causas que generan una señal fuera de control han sido
el principal objetivo de los investigadores quienes han desarrollado las diferentes
cartas de control con técnicas univariadas, algunos de los más conocidos son la
carta de control de Shewart, la carta de control de Sumas Acumuladas (CUSUM) y
la carta de control de promedios móviles ponderados exponenciales (EWMA). En
muchas situaciones en las cuales es necesario controlar dos o más características
de un proceso de calidad, donde también es frecuente encontrar correlación entre una o varias características, se hace necesario encontrar técnicas multivariadas
para determinar cuales son las características que influyen en el proceso cuando
se determina una señal en una carta de control multivariada como la carta T 2 de
Hotelling. En este trabajo se presenta el método de Murphy [9, 1987], el cual es un
subcaso de la descomposición de Mason, Young y Tracy [6, 1995], [5, 1997] para
detectar causas asignables de señal de fuera de control en cartas de control de calidad multivariadas y evaluar su eficiencia en la detección de señales fuera de control
mediante simulación estadística.
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Evaluar la efectividad de la descomposición de Murphy para la interpretación de
señales fuera de control en la carta T 2 de Hotelling.
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1
Valorar las descomposiciones de Murphy para la interpretación de señales
fuera de control.
2
Analizar la interpretación de señales fuera de control para pequeños y
grandes cambios en el vector de medias.
3
Experimentar que cambios ocasionan diferentes grados de correlación entre
las variables en la interpretación de señales fuera de control.
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D EFINICIÓN
Asumamos que X ∼ Np (µ, Σ) y consideremos m muestras aleatorias de tamaño n,
donde µ es el vector de medias y Σ la matriz de covarianzas. Se define el
estadístico T 2 dado por:
T 2 = n(X i − µ)t Σ−1 (X i − µ)
donde X i =
1
n
Pn
j=1 (Xij )
0
(1)
para i = 1, . . . , m el cual representa el vector de medias del
i-ésimo subgrupo, y donde el estimador sigue una distribución χ2p si conocemos
los parámetros.
Cuando se consideran n = 1 el estadístico toma la siguiente forma
T 2 = (Xi − µ)t Σ−1 (Xi − µ).
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La construcción de la carta de Hotelling se basa en el estadístico T 2 , que en su versión poblacional se puede definir de la siguiente manera; sea Xi un vector aleatorio
de una poblacion normal p-variada con vector de medias µ y matriz de covarianzas
Σ, el estadístico T 2 de Hotelling, se expresa como:
T 2 = (Xi − µ)t Σ−1 (Xi − µ).
(3)
Cuando µ y Σ son conocidos, se puede demostrar [2, 2002] que T 2 se distribuye
como una χ2 con p grados de libertad.
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Procedimiento propuesto por Murphy [9, 1987], que puede ser tomado como subcaso de la descomposición de Mason, Young y Tracy [6, 1995], y del campo del analisis discriminate, el cual usa el valor global del T 2 y le compara a un valor T∗2 basado
en un subconjunto de variables.
El diagnostico de esta metodología inicia cuando se detecta una señal fuera de
control de la carta T 2 . Murphy [9, 1987] particiona el vector de medias muestrales
∗(1)
∗(2)
∗(1)
X en dos subvectores X
yX
,donde X
es el subconjunto p1 de las
(p = p1 + p2 ), las cuales se sospecha que causaron la señal.
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Entonces la distancia cuadrada Tp2 completa,
´
´
³ ∗´ ³
³
∗ t −1
∗
Σ
µ0 − X
Tp2 = T 2 X = µ0 − X
(4)
y con Tp21 la distancia reducida correspondiente al subconjunto p1 ,
³ ∗(1) ´ ³
³
´
´
∗(1) t −1
∗(1)
T∗2 = Tp21 = X
= µ0 (1) − X
Σ11 µ0 (1) − X
(5)
y es la distancia reducida correspondiente al subconjunto de las p variables, donde
se sospecha que hay una señal fuera de control. Finalmente, la siguiente distancia
es calculada,
D = Tp2 − Tp21 ,
(6)
donde D ∼ χ2p1 .
N OTA
Se recomienda que en pruebas de Dp−i ∼ χ2p−i se use un nivel de significancia en el
intervalo 0.1 ≤ α ≤ 0.2.
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PASO 1: Llevar a cabo una prueba T 2 con un nivel de significancia α. Si la
condición se encuentra fuera de control entonces se continua con
el paso 2
PASO 2: Calcular los p individual T12 (Xi ) equivalente a mirar las p cartas
individuales y calcular la p diferencias Dp−1 (i) = [Tp2 − T12 (Xi )]. Elija
el mı́n{Dp−1 (i)} = Dp−1 (r) y probar esta mínima diferencia. Si
Dp−1 (r) es no significante entonces la única variable que requiere
atención es la r-ésima. Si Dp−1 (r) es significante continue con el
paso 3.
PASO 3: Calcular las p − 1 diferencias Si Dp−2 (r, j) = [Tp2 − T22 (Xr , Xj )] Ti2 , 1 ≤ r
,j ≤ p y r 6= j. Selecciona el mı́n{Dp−2 (r, j)} = Dp−2 (r, s) y pruebe la
mínima diferencia. Si Dp−2 (r, s) no es significante entonces r-ésimo
y s-ésimo son las únicas que requieren atención. Si Dp−2 (r, s) es
significante entonces continue con el paso 4.
PASO 4: Similar al paso 3.
PASO .: Similar al paso 3 y 4.
PASO P : Si la última Dp−(p−1) es significante, entonces, todas las p variables
requieren atención.
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Se propone generar observaciones individuales de un proceso multivariado normal
estándar con máximo tres variables. Se toma una muestra de n = 100 bajo control,
después de esto se harán cambios ya sea a las componentes del vector de medias, o
a la matriz de covarianzas de la siguiente manera:
1
Se cambia una o dos o las tres componentes del vector de medias,
aumentando esta con valores 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 5.
2
Se realizaran cambios a la matriz de covarianzas para obtener correlaciones
entre las variables X1 y X2 del proceso con los siguientes valores
ρ 12 = 0.1, 0.5, 0.8. Con esto se espera observar sus efectos.
Luego de encontrar el proceso fuera de control en un tiempo t se aplica la
descomposición de Murphy en este tiempo. Se interpretaran las causas que
determinan la señal fuera de control. Esto se realizara 5000 veces para evaluar la
efectividad de esta descomposición, en términos de probabilidades lo que
facilitara la interpretación de la misma.
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Objetivos Específicos
3
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Estadístico T 2
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Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
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TABLA : Probabilidades de detección efectivas de las variables según corrimientos
en el vector de medias y correlación entre la 1 y 2 variable
ρ 12
0
0.1
µ
0
0.5
1
1.5
2
3
5
0
0.5
1
1.5
2
3
5
H. L OPEZ (UT)
X1
0.25
0.35
0.50
0.63
0.72
0.82
0.82
0.25
0.35
0.51
0.62
0.74
0.81
0.82
X2
0.26
0.35
0.51
0.65
0.72
0.82
0.81
0.24
0.34
0.51
0.64
0.72
0.82
0.83
X3
0.24
0.34
0.51
0.64
0.72
0.81
0.83
0.26
0.35
0.51
0.65
0.72
0.82
0.82
(X1 , X2 )
0.07
0.08
0.15
0.22
0.34
0.61
0.80
0.07
0.10
0.17
0.25
0.38
0.63
0.80
(X1 , X3 )
0.07
0.09
0.14
0.23
0.35
0.62
0.80
0.07
0.09
0.15
0.22
0.35
0.61
0.80
(X2 , X3 )
0.07
0.08
0.15
0.23
0.35
0.60
0.81
0.07
0.09
0.15
0.24
0.35
0.62
0.79
CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO
(X1 , X2 , X3 )
0.04
0.04
0.08
0.17
0.33
0.72
0.99
0.04
0.05
0.09
0.17
0.32
0.71
0.99
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24 / 35
ρ 12
0.5
0.8
µ
0
0.5
1
1.5
2
3
5
0
0.5
1
1.5
2
3
5
H. L OPEZ (UT)
X1
0.21
0.30
0.49
0.63
0.72
0.82
0.82
0.18
0.27
0.47
0.62
0.72
0.84
0.83
X2
0.22
0.32
0.50
0.64
0.74
0.82
0.83
0.17
0.27
0.47
0.63
0.73
0.82
0.83
X3
0.22
0.30
0.47
0.62
0.72
0.81
0.83
0.18
0.27
0.44
0.58
0.70
0.80
0.82
(X1 , X2 )
0.15
0.21
0.28
0.37
0.47
0.67
0.80
0.27
0.32
0.41
0.51
0.57
0.73
0.81
(X1 , X3 )
0.06
0.08
0.15
0.24
0.34
0.63
0.80
0.05
0.07
0.14
0.23
0.35
0.63
0.79
(X2 , X3 )
0.06
0.08
0.15
0.23
0.35
0.63
0.79
0.05
0.08
0.14
0.21
0.34
0.63
0.81
CONTROL DE CALIDAD MULTIVARIADO
(X1 , X2 , X3 )
0.06
0.07
0.13
0.22
0.37
0.73
0.99
0.09
0.11
0.18
0.28
0.42
0.76
0.99
24 DE ENERO DE 2010
25 / 35
1.0
1.0
µ=5
0.8
0.8
µ=5
0.6
0.4
0.4
0.6
Probabilidades
µ=3
µ=2
µ = 1.5
µ=2
0.2
0.2
µ = 1.5
µ=1
µµ==0.5
0
(X1,X2,X3)
Variables
(X2,X3)
(X1,X3)
(X1,X2)
X3
X2
X1
(X2,X3)
(X1,X2,X3)
Variables
(X1,X3)
(X1,X2)
X3
X2
µ=1
µµ==0.5
0
X1
Probabilidades
µ=3
F IGURA : ρ 12 = 0 y ρ 12 = 0.1
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26 / 35
1.0
1.0
µ=5
0.8
0.8
µ=5
µ=3
0.6
Probabilidades
µ=2
0.4
0.6
0.4
µ=2
0.2
µ = 1.5
µ = 1.5
0.2
µ=1
µ=1
µ = 0.5
µ=0
(X1,X2,X3)
Variables
(X2,X3)
(X1,X3)
(X1,X2)
X3
X2
X1
(X2,X3)
(X1,X2,X3)
Variables
(X1,X3)
(X1,X2)
X3
X2
µµ==0.5
0
X1
Probabilidades
µ=3
F IGURA : ρ 12 = 0.5 y ρ 12 = 0.8
H. L OPEZ (UT)
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Objetivo General
Objetivos Específicos
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Estadístico T 2
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Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
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M ETODOLOGÍA
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R ESULTADOS
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7
R EFERENCIAS
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28 / 35
1
Como se observo la descomposición Murphy es una buena alternativa,
para la detección de las causas de una señal fuera de control en un
proceso multivariado.
2
La efectividad de detección de la variable que ocasiono la señal fuera
de control es mayor cuando se ha realizado un cambio grande en el
vector de medias. Al realizar cambios muy pequeños la probabilidad
de detección disminuye considerablemente.
3
Para correlaciones altas entre las variables (X1 , X2 ), la probabilidad de
detección aumenta considerablemente.
4
La detención efectiva en las variables de manera independiente no
son suceptibles a diferentes grados de correlación.
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29 / 35
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Objetivo General
Objetivos Específicos
3
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Estadístico T 2
Carta T 2 de Hotelling
Descomposicion de Murphy
Algoritmo de Murphy
4
M ETODOLOGÍA
5
R ESULTADOS
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C ONCLUSIONES
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R EFERENCIAS
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R EFERENCIAS I
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Muchas gracias...
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