Las transformaciones de Lorentz - COM

Las transformaciones de Lorentz (I)
F. J. Fraile Peláez
1.
¿Qué vamos a aprender hoy?
Hoy vamos a ver que dos o tres argumentos muy sencillos, casi de simple “sentido común”, son suficientes para demostrar que el espacio y el tiempo medidos por
observadores inerciales distintos están relacionados necesariamente por una transformación de Lorentz (TL).
Nota 1: Los observadores inerciales son los que se desplazan a una velocidad constante
relativa entre ellos.
Nota 2: La transformación de Galileo (“ =  − ”) es un caso particular de la TL cuando
la velocidad de la luz es infinita –como veremos.
2.
Desarrollo-1
Sólo usaremos las siguientes suposiciones:
El espacio es homogéneo (e isótropo). La homogeneidad quiere decir que las propiedades del entramado espacial son las mismas “en todas partes”. Ninguna coordenada del
espacio puede tener ninguna peculiaridad especial; no hay puntos ni intervalos espaciales
privilegiados. La isotropía quiere decir que el desplazamiento de un observador respecto a
otro tiene unas propiedades que, en todo caso, dependerán de la magnitud de la velocidad,
pero no de su dirección; todas las direcciones son “iguales”.
El tiempo es homogéneo. Idem. Las leyes físicas en 1957 eran las mismas que ahora.
La velocidad de la luz es la misma, c, en todos los sistemas inerciales. Esto quiere
decir que si el maquinista de una locomotora observa que la luz de su foco se propaga a
velocidad  por delante de él, un observador en tierra, para el que el tren pasa a una
velocidad , también observará, extrañamente, que la luz se propaga a una velocidad  (y
no  + ) –ver figura 1.
Bien, las transformaciones entre dos sistemas O y O serán de la forma1
 → ( r)
r → r( r)
(1)
(2)
Por supuesto, las relaciones (1)—(2) tienen que ser invertibles, pues ha de ser posible también
obtener  y r a partir de  y r. (Porque si no, habría una asimetría entre ( r) y ( r) lo que
no sería aceptable).
1
El tiempo no cambia –es “universal”– en el modelo de Galileo (y Newton), pero sí en el modelo de Lorentz
(y Einstein).
1
Figura 1: El maquinista (sistema de referencia rojo ̄ ̄ ̄), que va a una velocidad  respecto
al suelo, observa que la luz emitida por su foco se propaga hacia adelante a velocidad  Sorprendentemente, un observador en tierra (sistema de referencia azul , , ), por ejemplo, un
guardaagujas, también ve la misma luz propagarse hacia adelante a una velocidad  respecto
a él, y no a velocidad  +  que es lo que probablemente esperaría si se ha imaginado que los
fotones son como pelotas de ping-pong que se lanzan desde la lámpara del foco. Otra opción es
que el guardaagujas hubiera imaginado que la luz es una vibración de un medio elástico en el que
está inmerso la Tierra –algo similar a la atmósfera–, y que las ondas se propagan en el mismo
siempre a velocidad  que es lo que él percibe... Pero, entonces, el maquinista debería haber
observado esa luz propagándose hacia adelante a velocidad  −  y no es así, pues también la ve
viajar a velocidad  El hecho “inexplicable” es que todo el mundo mide siempre la misma
velocidad de la luz  sea cual sea su velocidad relativa respecto al faro de la locomotora. Si hay
varias locomotoras corriendo en paralelo a distintas velocidades, todos las haces luminosos generados desde cualesquiera focos (incluyendo el de la linterna del guardaagujas parado en tierra)
serán percibidas por todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento,
“moviéndose” a velocidad 
Si el espacio es homogéneo, la forma de las transformaciones (1)—(2) no puede depender de la
posición; tiene que ser la misma para cualquier coordenada, pues en caso contrario habría zonas
del espacio diferenciadas, “distintas” de otras. Tampoco puede depender del tiempo si éste es
homogéneo. Es más, (1)—(2) han de ser transformaciones lineales. ¿Por qué? Nuevamente por la
homogeneidad y la isotropía: Un sistema (O) que se mueve a una velocidad v respecto a otro
(O) se puede considerar también como el sistema (O) moviéndose con una velocidad −v ≡ w
respecto al sistema (O). Ambos puntos de vista son totalmente equivalentes, y por tanto la ley
de transformación tiene que ser la misma. Las transformaciones de uno a otro tienen que tener
la misma forma matemática, y esto sólo ocurre con una transformación lineal. La inversa de
una transformación lineal es otra transformación √
lineal de la misma forma; esto no sucede con
transformaciones no lineales (la inversa de (·)2 es ·, la de ln es exp etc.)
Tenemos, entonces,
2
 =  + 
 =  + 
(3)
(4)
Las relaciones (3)—(4) son lineales, como postulamos, y los coeficientes    y  son realmente constantes, es decir, no dependen de  ni de  tal como demandamos para preservar la
homogeneidad del espacio. Obsérvese que en (3)—(4) aparecen algunas simplificaciones adicionales. Primero, hemos decidido que la dirección del desplazamiento (de un sistema inercial respecto
al otro) sea la del eje  Esto no resta generalidad ninguna a los resultados que obtengamos, porque, siendo todas las direcciones del espacio isótropo equivalentes, las ecuaciones para cualquier
otra dirección arbitraria se obtendrían de (3)—(4) sin más que aplicar la rotación geométrica
correspondiente.
Segundo, siendo el desplazamiento en la dirección  las transformaciones sólo pueden involucrar a  y (posiblemente) al tiempo; no a  ni a , porque no pasa “nada” distinguible
en ningún punto del plano  respecto a otro. (No puede ser, por ejemplo, (4) de la forma
 =  +  + 3  + 4  porque entonces un intervalo de longitud ∆ en el eje  de O se
transformaría, en el otro sistema inercial, en una longitud cuyo valor ∆ dependería de en qué
coordenadas   está situado ∆, lo que no tiene sentido por la homogeneidad general del espacio).
Tercero, en realidad hay que complementar (3)—(4) con otras dos ecuaciones más:
=
 = 
(5)
(6)
Es decir, los intervalos espaciales transversales a la dirección del desplazamiento permanecen
invariantes. Obsérvese que si hubiera una relación de la forma, por ejemplo,  = 1  (1 6= 1), la
transformación inversa,  = (1 )−1  tendría otro coeficiente, lo que es inaceptable por la isotropía
del espacio, pues la variación de la dirección de la velocidad en la dirección  (de  a − en este
caso) no puede causar diferencia ninguna en la transformación de intervalos en la dirección 
Menos aceptables son aún transformaciones del tipo  = (· · · ) + 2  pues las inversas darían
lugar, para la coordenada  a relaciones del tipo  = 0  + 0  + 3  lo que hemos dicho que no
es posible por la homogeneidad del espacio.
Cuarto, no hemos incluido ningún término independiente en (3)—(4), que son así transformaciones homogéneas. Esto es irrelevante, porque añadir un término independiente equivale a
fijar un origen de coordenadas arbitrario. Sin pérdida de generalidad, (3)—(4) asumen que los
orígenes espaciales de ambos sistemas coinciden en  =  = 0
3.
Desarrollo-2
Como los coeficientes    y  de la transformación (3)—(4) no pueden depender de la
posición ni del tiempo, sólo pueden depender, a priori, de la magnitud de la velocidad relativa,
 entre O y O:  = ()  = ()  = (),  = ()
Si consideramos un punto fijo en O por ejemplo el origen, su coordenada espacial es 0 = 0;
mientras que, desde el sistema O, el origen de O se mueve a velocidad . Es decir, 0 = .
Sustituyendo esto en (4),
0 =  + 
de donde
3
(7)
 = −
(8)
con lo cual reducimos las constantes desconocidas a tres:
 =  + 
 = ( − )
(9)
(10)
Ahora bien, la transformación inversa (de O a O) supone pasar de un sistema “en reposo”
(respecto a él mismo, claro) a otro que se mueve con velocidad relativa − en la dirección  La
transformación inversa correspondiente a (10) será
 = ( + )
(11)
El coeficiente () tiene que ser el mismo, pues en caso contrario la “intensidad” de la transformación variaría según el sentido del movimiento relativo, lo cual es incompatible con la isotropía
del espacio.
Hacemos ahora uso de que la velocidad de la luz ha de ser  para cualquier observador. Por
tanto, para un rayo de luz emitido en la dirección positiva de  en el instante  = 0 de O se
tiene que el alcance del rayo,  viene dado por  =  Pero desde O la luz ha de tener la misma
velocidad, luego  = . Aplicando esto a los dos casos (10) y (11), tendrá que cumplirse:
 = ( − )
 = ( + )
En forma matricial, (12) y (13) quedan
∙
¸∙ ¸


( − )
= 0

−( + )

(12)
(13)
(14)
Para evitar la solución trivial, el determinante ha de ser 0, de donde se obtiene
1
 = () = p
1 −  2 2
(15)
(tomando la raíz positiva).
Vemos además que los valores de  y  de la ecuación (9) quedan ya perfectamente determinados. En efecto, eliminando  entre (10) y (11), se tiene  = (( − ) + ) de donde,
despejando obtenemos la forma de (10):  = ( − 2 ) En efecto, sustituyendo (10) en (11),
se tiene  = (( − ) + ) de donde  = ( − 2 ) que es la fdorma de (10). Reuniendo
los resultados,
³
 ´
1
− 2
 = p

1 −  2 2
1
 = p
( − )
1 −  2 2
que son las transformaciones de Lorentz.
4
(16)
(17)
4.
Comentarios
1. Para una velocidad de la luz infinita,  = ∞ las relaciones (16)—(17) se reducen a las
“normales” de Galileo, utilizadas en mecánica newtoniana:
=
 =  − 
(18)
(19)
2. El mismo resultado (aproximado) se obtiene si la velocidad relativa entre observadores es
muy pequeña frente a la de la luz (  ).
3. Como las ondas electromagnéticas se propagan precisamente a la velocidad de la luz, no es
de extrañar que las ecuaciones de Maxwell no sean consistentes –ni de forma aproximada–
con las transformaciones de Galileo (18)—(19); pero sí con las de Lorentz (16)—(17).
4. Hay otras formas de presentar las transformaciones de Lorentz en la literatura, pero ésta es
la más didáctica y razonable, créanme. (Y, de teoría de grupos, por ahora ni mencionarlo).
5. Las ecuaciones de la transformación inversa de pueden obtener despejando  y  de (16)—
(17), o, más fácilmente, reemplazando  → − (e intercambiando  ←→  y  ←→ 
claro):
µ
¶
1

 = p
+ 2

1 −  2 2
1
 = p
( + )
1 −  2 2
c MMVIII
°
F. J. Fraile Peláez, Universidad de Vigo.
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