fase final (12-v-2012)

10ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2011-12
OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA
2º curso E.S.O.
FASE FINAL (12-V-2012)
1.- ¿CUÁNTOS SIETES?
¿Qué proporción de números de tres cifras
contienen al menos una vez el dígito 7?
SOLUCIÓN:
En total hay 900 números de tres cifras.
Los números que tiene algún 7 se pueden contar
separándolos en tres grupos, como se ve en la tabla adjunta:
a) Empiezan por 7
b)Tienen el 7 en
las decenas y no
están en a)
c) Tienen el 7 en
las unidades y no
están ni en a) ni en
b)
TOTAL DE
NÚMEROS
CENTENAS
(Nº de dígitos)
1
DECENAS
(Nº de dígitos)
10
UNIDADES
(Nº de dígitos)
10
TOTAL
(números)
100
8
1
10
80
8
9
1
72
252
Proporción 252/900 = 7/25
O bien de los 900 números de tres cifras bastaría quitar los que no tienen ningún 7.
Estos son:
En las centenas hay 8 posibilidades diferentes, en las decenas 9 y en las unidades 9.
Luego, en total: 8 x 9 x 9 = 648
900 – 648 = 252
2.- CONSTRUYENDO HEXÁGONOS
Siguiendo el patrón de las tres primeras figuras,
a) ¿Cuántos triángulos pequeños aparecerán en la cuarta figura? ¿Y en la novena?
Explica el método que utilizas para contar
b) ¿Puedes generalizar y decir cuántos triángulos pequeños habrá en la figura que ocupe
el lugar n? Justifícalo
SOLUCIÓN:
a)
Lado del
1
hexágono
Nº de
6
triángulos
2
3
4
5
6
24
54
96
150
216
b) 6 n2 . Observa que una forma de contar puede ser:
N=2
n= 3
3.- EL TERRENO
Los terrenos de dos agricultores están
limitados por la línea ABCD, según la figura
adjunta. (AB=30m., BC=24m. y CD=10m.)
Acuerdan diseñar un nuevo límite según un
segmento AE, con la condición de que se
conserven las áreas iniciales. ¿A qué distancia del
punto D deberá colocarse el punto E?
7
8
9
486
SOLUCIÓN:
El área del triángulo AFE debe ser igual a la del
rectángulo BCDF:
Area BCDF = 240
Area AFE: 40 x FE /2 = 240
FE = 12
Luego DE = 12m.
F
E
D
10
B
C
A
4.- LA DIANA
Una cuadrilla de 10 amigos lanzan, al azar, 24 dardos cada uno sobre una diana
de tipo hexagonal regular que tiene 40 centímetros de lado.
Si ningún dardo se ha clavado fuera de la diana hexagonal grande ¿cuántos dardos
crees tú que caerán dentro de la zona interior, correspondiente al pequeño hexágono
regular?
Nota: Se sabe que el segmento AB es igual a 20 centímetros.
SOLUCIÓN:
Como AB = 20 el lado del hexágono interior también será 20. Los hexágonos
son semejantes con razón de semejanza ½, por tanto la razón de las áreas será 1/4
La probabilidad de que un dardo caiga en la zona interior es ¼.
Como se lanzaron 240 dados, el resultado más probable sería 60.