Filtros Digitales II

Filtros Digitales II
Lic. Matías Romero Costas
•
Respuesta en frecuencia: las características de un filtro pueden determinarse
a partir de su respuesta en frecuencia, constituida por la respuesta en amplitud
y la respuesta en fase. La respuesta en amplitud varía con la frecuencia y es la
relación entre la amplitud de la salida del filtro y su entrada (habitualmente
probada con una sinusoide o un impulso). La respuesta en fase, que también
varía en función de la frecuencia, es la cantidad y el modo en que cambia la
fase a consecuencia del filtro.
Gráfico 1. Respuesta en amplitud (a) y respuesta en fase (b) del filtro y(n)=x(n)+x(n-1)
•
Tipos de filtro: es común identificar a los filtros por su respuesta en amplitud.
En el gráfico 2 podemos observar, sobre el eje horizontal en un filtro pasabajos, cómo son afectadas las diferentes regiones del espectro a partir de una
determinada curva de amplitud. La banda de paso (passband) es la región del
espectro que no es alterada por el filtro, es decir que la señal pasa desde la
entrada a la salida con ganancia igual a 1. Para el caso de un filtro pasa-bajos la
banda de paso va desde una frecuencia de 0 Hz hasta el límite superior del
filtro, su frecuencia de corte. La ganancia en la banda de paso no es totalmente
plana, esa ondulación o fluctuación se denomina ripple. La región en donde las
frecuencias son atenuadas se denomina banda de rechazo (stopband) y para el
caso del filtro pasa-bajos se encuentran a la derecha. La zona intermedia o
banda de transición es la pendiente1 (slope) de la curva.
1
La pendiente de atenuación es determinada por el orden del filtro. Cuando mayor
es el orden del filtro la curva es más empinada.
-1-
Gráfico 2. Características de un filtro pasa bajos
Gráfico 3. Características de un filtro pasa banda
Los filtros normalmente se expresan para una frecuencia en particular, como en el
caso de un filtro pasa-bandas del gráfico 4, cuya parte central está dada por la
frecuencia de corte o frecuencia central del filtro f0 (cut frequency o center
frequency). La porción de frecuencias que abarca la curva dependerá de la
pendiente de la misma (slope). Esta pendiente se mide en dB por octava, lo que
significa que una pendiente de 12dB por octava será más abierta que una de 6dB.
El ancho de banda (Bandwith) es la porción donde el filtro responde más
efectivamente y está limitada por los puntos que están a -3 dB a los lados del
punto máximo de la curva, que coincidirá con la frecuencia de corte; tanto el ancho
de banda como la pendiente de la curva (que están directamente relacionadas),
determinan el factor de calidad del filtro o “Q”. Un valor de Q mayor implica un
ancho de banda más estrecho. En el gráfico vemos 3 diferentes valores de calidad
(Q).
Q = f0/BW
-3dB
-3dB
Gráfico 4. Ancho de banda y frecuencia central o de corte
-2-
Gráfico 5. Calidad de un filtro (Q)
Pasa-Altos (High pass): todas las frecuencias por encima de la frecuencia de
corte pasan sin alterarse y las que están por debajo son atenuadas con una
determinada pendiente de acuerdo a las características del filtro.
Pasa-Bajos (Low pass): pasan, sin ser alteradas, todas las bandas inferiores a
la de corte, y las que están por encima son atenuadas. Las características de su
respuesta en frecuencia aparecen en el gráfico 2.
Pasa-Banda (Band pass): permite el paso de frecuencias comprendidas dentro
de un rango del espectro determinado por el acho de banda y frecuencia
central. Un ejemplo son los ecualizadores gráficos. Las características de su
respuesta en frecuencia aparecen en los gráficos 3 y 4
Filtros de Ranura o elimina-banda (Notch o reject): atenúan las frecuencias
comprendidas en un ancho de banda muy pequeño, por lo que se deduce que la
pendiente del mismo es muy pronunciada.
Filtros Peine (Comb): este filtro toma su nombre por el diseño de su respuesta
en frecuencia. Los picos de amplitud de la respuesta en frecuencia están
ubicados a una distancia igual a la “frecuencia natural del filtro” que es al
inversa del tiempo de delay f0 = 1/t . La profundidad del mínimo y la altura del
máximo dependen de la elección de g, en donde valores más cercanos a 1
significa mayor diferencia entre los extremos. Esto genera que el sonido que
entra hace resonar al filtro a su frecuencia natural (f0), adicionando otro sonido
con esa fundamental al original.
Gráfico 6. Respuesta en frecuencia de un filtro comb.
-3-
Filtros Pasa todo (Allpass): es un filtro diseñado con una respuesta en
amplitud constante igual a 1, es decir sin ningún cambio en la amplitud de los
componentes de frecuencia de la señal, pero si con un cambio en su fase. Es
tipo de filtros se utiliza en el diseño de reverberadores.
Gráfico 7. Diagrama de flujo de un filtro allpass
•
Ecualizadores: Un ecualizador está compuesto por varios filtros pasa-banda.
Existen 3 tipos básicos de ecualizadores:
Gráficos: encontramos una determinada cantidad de bandas (de 6 a 31), en la
que se divide el espectro audible (20-20.000Hz). Cada banda posee una
frecuencia central, un ancho de banda y una pendiente, fijos. Para evitar baches
o porciones del espectro no modificables, todas las bandas se superponen. El
único parámetro controlable es el nivel de ganancia de cada banda de
frecuencia.
Paramétricos: Permiten la control sobre el nivel de ganancia, la frecuencia de
corte y el ancho de banda (o Q el según la implementación del filtro).
Semiparamétricos: permiten modificar, generalmente, nivel y frecuencia
central, pero no el ancho de banda.
Es posible utilizar los filtros básicos (pasa-bajos, pasa-altos, pasa-banda, y
rechaza-banda) para crear diseños de respuesta en amplitud más complejos a
partir de combinar las respuestas simples a la manera de bloques para construir un
filtro con el contorno deseado. Las combinaciones posibles son:
•
Filtros en paralelo: la conexión de filtros en paralelo implica que se sumen las
respuestas en frecuencia de todos los elementos simples. La señal original
alimenta a cada uno de los filtros individuales, la salida de cada uno de estos
bloques se suman para conformar la salida final del sistema.
Filtro I
Filtro II
Gráfico 8. Banco de filtros en paralelo, y su respuesta en frecuencia
-4-
•
Filtros en serie: existe otra forma de combinar filtros llamada conexión en
serie o en cascada, como muestra la figura N, donde los bloques se conectan
como eslabones de una cadena. La salida del primer filtro alimenta la entrada
del siguiente hasta el último bloque, cuya salida es la salida de todo el filtro. La
respuesta en amplitud se calcula multiplicando todas las respuestas
individuales. El orden de un filtro construido a partir de elementos conectados
en cascada es igual a la suma de los ordenes de todos los elementos
individuales, en consecuencia, el filtro completo tendrá una pendiente más
empinada.
Filtro I
Filtro II
Gráfico 9. Banco de filtros en serie o cascada, y su respuesta en frecuencia
•
Polos y Ceros: estos términos tienen su origen en el análisis matemático de la
respuesta del filtro. Un polo ubica un pico en la respuesta en amplitud y un cero
causa un valle. Cuando un polo o cero es tomado solo, su ubicación puede ser
descrita por la frecuencia central (f0) y el ancho de banda del pico o valle que es
creado en la respuesta en amplitud. La altura de un pico o la profundidad del
valle es principalmente dependiente del ancho de banda (Dodge y Jerse, 1997).
Bibliografía
•
•
•
•
•
Julios O. Smith III, Introduction to digital filters. CCRMA. California. 2002.
Introduction to digital filters. www.dsptutor.freeuk.com/digfilt.pdf
F. Richard Moore, Elements of computer music. PTR Prentice Hall Inc. Ney
Jersey. 1990.
Charles Dodge y Thomas A. Jerse, Computer Music. Library of Congress. USA.
1997.
Miller Puckette, Theory and Techniques of Electronic Music. University of
California, San Diego. 2005.
-5-