EJEMPLO I 8.1.2

S E C C IÓ N
Introducción a las ecuaciones diferenciales
8.1
5 89
Solución
Integrando, se obtiene
l ) A= f (*2+ 3*)d*
y = ¡
1 3 3
= r r 4- - x
3
2
2
2 + C
✓
Esta es la sólucion general puesto que todas las soluciones se pueden expresar en dicha
forma. Para la solución particular, sustituya x = 1 y y = 2 en la solución general:
2 = ~ (1)3 + ~ (1)2 + C
3
2“
6
1 3
1
Por tanto, la solución particular requerida es 3?= —x 3 H— x 2 H— .
3
2
6
EJEMPLO I 8 .1 .2
El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye durante 10 años a una tasa
que depende de la antigüedad de la máquina. Cuando la máquina tiene x años de
fabricada, la razón a la que su valor está cambiando es 2 2 0 (x — 1 0 ) dólares por año.
Exprese el valor de la máquina como función de su edad y de su valor inicial. Si la
máquina valía originalmente $ 1 2 0 0 0 , ¿cuánto valdrá a los 1 0 años?
Solución
Denote por
V (x)
dV
el valor de la máquina cuando tenga x años de edad. La derivada —
dx
es igual a la razón 2 2 0 (x — 1 0 ) a la que el valor de la máquina está cambiando.
Por tanto, para modelar este problema, se puede usar la ecuación diferencial
— =
dx
2 2 0 (x -
10)
=
220x -
2200
Para hallar V, resuelva esta ecuación diferencial integrando:
V (x )
= J (2 2 0x
2200) dx
-
= 1 lO.v2
- 2200.x + C
Nótese que C es igual a K(0), el valor inicial de la máquina. Un símbolo más descriptivo
para esta constante es V0. Con el uso de esta notación, se puede escribir la solución
general como
V (x) =
Si Vq =
1 2 0 0 0 , entonces
110x2 - 2 200x + Vo
la solución particular correspondiente es
V (x) =
110x2 - 2200x + 12000
Por tanto, cuando la máquina tenga x = 10 años de antigüedad, su valor es
V ( \0 )
= 110(10)2 - 2 200(10) + 12000 = $1000
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590
CAPÍ TULOS
i Ecuaciones diferenciales
!
8-4
R{x)
ii
V(x)
ií
2 200-
12 000-
\
\
1 0 00-
S
10
b) Tasa de depreciación
R(x) = -220(jc- 10)
10
d)
Valor de la máquina
V(x) = 1IOjc2 - 2 200a- + 12 000
F IG U R A 8 .1
WT
El valor de la máquina y su tasa de depreciación.
El negativo de la razón de cambio del valor de reventa de la máquina
R
dV
= — - = -220(;t - 10)
dx
se denomina tasa de depreciación. En la figura 8.1 se muestran las gráficas del valor de
reventa V de la máquina y de la tasa de depreciación R.
E JE M P LO I 8 .1 .3
Se espera que un pozo petrolero que acaba de abrirse produzca 300 barriles de petróleo
crudo por mes, y se espera que a ese ritmo se agote en 3 años. Se estima que dentro de t
meses, el precio del petróleo crudo sea p (t) = 28 + 0.3Ví dólares por barril. Si el
petróleo se vende tan pronto como es extraído del pozo, ¿cuál será el ingreso total
generado por el pozo durante su operación?
Solución
Sea R (t) el ingreso generado durante los primeros t meses después de abrirse el pozo, de
modo que R ( 0) = 0. Para construir la ecuación diferencial, use la relación de la razón
razón de cambio del ingreso con _ / dólares por V barriles
respecto al tiempo (dólares/mes)
\ barril /\por mes
Se deduce que se puede modelar este problema usando la ecuación diferencial
-r
dt
=
n iló n de cam bín
de ingreso
(28 + 0.3VÍ) (300)
dólares
p o r barril
barriles
por mes
y se deduce que
dR
— = p(í)(300) = 300(28 + 0.3Vi)
= 8400 + 90/1/2
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