Notas de Clase 9

Elementos básicos de Teoría de Probabilidad
1
2
3
4
Eventos aleatorios
Probabilidad
Análisis combinatorio.
Probabilidad condicional.
Definición
Teorema de multiplicación de Probabilidades.
Independencia de eventos aleatorios.
Fórmula de Probabilidad Total.
Fórmula de Bayes.
Problemas⇐=
5 Variables aleatorias discretas.
6 Variables aleatorias continuas.
a
r
t
s
e
d
M
e
u
1
o
C
tr e
a
í
s
En el capítulo hemos visto:
Definición. Sea F un campo de eventos y P una medida de probabilidad definida
sobre F. Sea además B ∈ F un evento de probabilidad positiva P(B) > 0. Entonces se
define
P(A ∩ B)
,
P(A | B) =
P(B)
como la Probabilidad Condicional de A dado B ó bajo la hipótesis B.
Corolario. Si con la ocurrencia del evento B ∈ F con P(B) > 0 siempre ocurre el
evento A ∈ F (i.e. B ⊂ A), entonces
tr e
e
d
P(A | B) = 1.
a
í
s
o
C
Corolario. Si A, B ∈ F son eventos ajenos ( A∩B = ∅) y se cumple que P(B) > 0,
entonces
a
r
t
s
P(A | B) = 0.
Además concluimos que para dos eventos A, B ∈ F cualquiera de las tres situaciones
P(A | B) < P(A), P(A | B) > P(A) y P(A | B) = P(A) son posibles. Del mismo
observamos que tal como indica la intuición tanto P(A | B) = P(B | A) como P(A |
B) 6= P(B | A) son posibles.
M
e
u
2
Teorema. (Teorema de multiplicación de Probabilidades).
Supongamos que los eventos A1 , A2 , . . . , An cumplen que P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) > 0.
Entonces se cumple que
a
í
s
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 ∩ A2 ) · · · P(An | A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ).
tr e
Definición. Dos eventos A, B ∈ F se dicen independientes si se cumple que
o
C
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
e
d
Corolario.
Si A y B son eventos independientes entonces los siguientes eventos también serán
independientes
(i) Ac y B.
(ii) A y B c .
(iii) Ac y B c .
a
r
t
s
M
e
u
3
Definición. Los eventos A1 , A2 , . . . , An se nombran completamente independientes si para todo natural k ≤ n y cualesquiera índices distintos i1 , . . . , ik ∈
{1, 2, . . . , n} se cumple que
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · · · P(Aik ).
tr e
a
í
s
Los elementos de una sucesión A1 , A2 , . . . , An , . . . de eventos se llaman completamente independientes si para cualquier n ∈ N los elementos A1 , A2 , . . . , An son
completamente independientes.
Teorema. (Borel-Cantelli)
Sea (Ω, F, P) un Espacio de Probabilidad y {An }n∈N una sucesión de eventos An ∈ F
. Designemos por A∞ al evento que ocurre al ocurrir una cantidad infinita de eventos
de la sucesión (An )n∈N . Entonces se cumple que:
∞
X
a
r
t
s
i=1
e
d
o
C
P(Ai ) < ∞ =⇒ P(A∞) = 0
, o sea con probabilidad 1 ocurren un número finito de eventos de la sucesión (An )n∈N .
¾
A1 , A2 , . . . , AP
,
.
.
.
independientes
a
pares
n
=⇒ P(A∞ ) = 1.
∞
)
=
∞
P(A
i
i=1
M
e
u
4
FÓRMULA DE PROBABILIDAD TOTAL.
Teorema. (Fórmula de Probabilidad Total)
a
í
s
Sea {A1 , A2 , . . . , An } un sistema completo (i.e P(Ai ) > 0 ∀i, Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j,
n
S
Ω=
Ai ), entonces se cumple para todo evento B ∈ F
tr e
i=1
P(B) =
n
X
i=1
o
C
P(B | Ai )P(Ai ).
LA FÓRMULA DE BAYES.
Teorema. (Fórmula de Bayes).
a
r
t
s
e
d
Sea {A1 , A2 , . . . , An } un sistema completo (i.e ∀i P(Ai ) > 0, Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j
n
S
Ai ) y supongamos que B ∈ F cumple que P(B) > 0. Entonces se cumple que
Ω=
e
u
i=1
M
P(B | Ak )P(Ak )
.
P(Ak | B) = Pn
i=1 P(B | Ai )P(Ai )
5
tr e
o
C
Continuamos
a
r
t
s
e
d
M
e
u
6
a
í
s
PROBLEMAS
tr e
a
í
s
• Si consideramos que en un lanzamiento de 10 dados, por lo menos uno
fue un uno, ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos o más unos?
a
r
t
s
e
d
M
e
u
7
o
C
PROBLEMAS
tr e
a
í
s
• Si consideramos que en un lanzamiento de 10 dados, por lo menos uno
fue un uno, ¿Cuál es la probabilidad de que resulten dos o más unos?
o
C
Definamos los siguientes eventos:
A...“Dos o más de los diez dados lanzados resultaron ser unos”.
B...“Por lo menos uno de los diez dados lanzados resulto ser un uno”.
Entonces tendremos que
i
h 10
5
10·59
10·59
10 · 59
1 − P(Ac ) 1 − 610 + 610
P(A ∩ B) P(A)
610
=
=1−
=
=
P(A | B) =
10
10 = 1 −
610 − 51
P(B)
P(B) 1 − P(B c )
1 − 5610
1 − 5610
a
r
t
s
e
d
M
e
u
8
• Se lanza un dado todas las veces que sea necesario hasta que aparezca
un uno. Si suponemos que el uno no aparece en el primer lanzamiento,
a
í
s
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios más de tres lanzamientos?
tr e
(b) Supongamos ahora además que el número n de tiradas es par. ¿Cuál
es la probabilidad de que n = 2?
a
r
t
s
e
d
M
e
u
9
o
C
• Se lanza un dado todas las veces que sea necesario hasta que aparezca
un uno. Si suponemos que el uno no aparece en el primer lanzamiento,
a
í
s
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean necesarios más de tres lanzamientos?
tr e
(b) Supongamos ahora además que el número n de tiradas es par. ¿Cuál
es la probabilidad de que n = 2?
(a) Consideremos los siguientes eventos:
e
d
o
C
A...“Ninguno de los tres primeros lanzamientos resultó ser un uno”.
B...“El primer lanzamiento no fue un uno”.
a
r
t
s
Entonces tendremos
P(A ∩ B) P(A)
=
=
P(A | B) =
P(B)
P(B)
M
e
u
10
53
63
5
6
52
= 2.
6
(b) Consideremos ahora los siguientes eventos:
A...“El primer uno apareció en el segundo lanzamiento”.
B...“El primer uno apareció en un lanzamiento par”.
Calculemos entonces
5
P(A) = 2
6
y
tr e
a
í
s
o
C
5
53 55
52n−1
P(B) = 2 + 4 + 6 + · · · + 2n + · · ·
6
6
6
6
∞
∞
2n−1
2n−2
X5
5 X5
=
=
·
2n
2
6
6
62n−2
n=1
n=1
∞
∞
5 X 52(n−1) k=n−1 5 X 52k
= 2·
=
·
6 n=1 62(n−1)
62
62k
k=0
∞ µ ¶2k
5 X 5
= 2·
,
6
6
a
r
t
s
e
u
pero para una serie geométrica
M
e
d
k=0
∞
P
k=0
q k con |q| < 1 se cumple que
11
∞
P
k=0
qk =
1
1−q .
Entonces obtenemos que
µ ¶2 µ ¶4 µ ¶6
∞ µ ¶2k
X
1
5
5
5
5
=1+
+
+
+ ··· =
¡ 5 ¢2 .
6
6
6
6
1
−
k=0
6
Para calcular finalmente que
P(A ∩ B) P(A)
P(A | B) =
=
=
P(B)
P(B)
¥
a
r
t
s
5
62
k=0
e
d
e
u
M
·
5
62
∞ ¡
P
12
¢
5 2k
6
=
tr e
1
o
C
1
2
1−( 56 )
a
í
s
µ ¶2
5
=1−
.
6
• La urna #1 contiene 2 esferas blancas y una negra y la urna #2 una
esfera blanca. Se extrae una esfera de la urna #1 y se deposita en la
#2. Luego se selecciona aleatoriamente una bola de la urna #2. ¿Qué
probabilidad hay de que la esfera seleccionada sea blanca?
tr e
a
r
t
s
e
d
M
e
u
13
o
C
a
í
s
• La urna #1 contiene 2 esferas blancas y una negra y la urna #2 una
esfera blanca. Se extrae una esfera de la urna #1 y se deposita en la
#2. Luego se selecciona aleatoriamente una bola de la urna #2. ¿Qué
probabilidad hay de que la esfera seleccionada sea blanca?
tr e
Consideremos los siguientes eventos:
a
í
s
B=“La esfera extraida de la urna #1 es blanca” P(B) = 23 .
o
C
N=“La esfera extraida de la urna #1 es negra” P(N) = 13 .
e
d
A=“La esfera extraida de la urna #2 es blanca”.
Observemos entonces que los eventos {B, N} forman un sistema completo y por la
fórmula de probabilidad total tendremos entonces:
a
r
t
s
P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | N)P(N) = 1 ·
e
u
¥
M
14
2 1 1 2 1 5
+ · = + = .
3 2 3 3 6 6
• En una fábrica de televisores, las máquinas A, B y C producen respectivamente, el 25%, el 35% y el 40% del total. En la producción de cada
máquina el 5%, el 4% y el 2% son televisores defectuosos. Se toma
al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso. ¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por la la
máquina A, B y C?
tr e
a
r
t
s
e
d
M
e
u
15
o
C
a
í
s
• En una fábrica de televisores, las máquinas A, B y C producen respectivamente, el 25%, el 35% y el 40% del total. En la producción de cada
máquina el 5%, el 4% y el 2% son televisores defectuosos. Se toma
al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso. ¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por la la
máquina A, B y C?
tr e
o
C
a
í
s
Observemos los siguientes eventos y sus correspondientes Probabilidades:
A...“Pieza producida por la maquinaría A” con P(A) = 0.25.
e
d
B...“Pieza producida por la maquinaría B” con P(B) = 0.35.
C...“Pieza producida por la maquinaría C” con P(C) = 0.40.
a
r
t
s
D...“Pieza producida con defecto”.
M
e
u
P(D | A) = 0.05.
P(D | B) = 0.04.
P(D | C) = 0.02.
16
Entonces por la Fórmula de Probabilidad Total tendremos (Observe que los eventos
A, B y C forman un sistema completo)
a
í
s
P(D) = P(D | A)P(A) + P(D | B)P(B) + P(D | C)P(C)
= 0.05 · 0.25 + 0.04 · 0.35 + 0.02 · 0.4
= 0.0345.
tr e
Entonces tendremos que
o
C
P(D | A)P(A) 0.05 · 0.25 125
=
=
P(A | D) =
0.0345
345
P(D)
P(D | B)P(B) 0.04 · 0.35 140
=
=
P(B | D) =
0.0345
345
P(D)
80
P(D | C)P(C) 0.02 · 0.4
=
.
=
P(C | D) =
0.0345
345
P(D)
a
r
t
s
¥
e
d
M
e
u
17
• La urna I contiene dos esferas blancas y dos esferas negras, la urna II
contiene dos esferas blancas y una negra y la urna III contiene 1 esfera
blanca y 3 esferas negras.
a
í
s
(a) Se selecciona una esfera de cada urna. ¿Qué probabilidad hay de
seleccionar todas las esferas blancas?
(b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extrae una esfera de ella.
¿Qué probabilidad hay que la esfera extraida sea blanca?
(c) Proceda como en (b.2) ¿Si se conoce que la esfera extraida es blanca
que probabilidad hay que haya sido escogida la urna I?
tr e
a
r
t
s
e
d
M
e
u
18
o
C
• La urna I contiene dos esferas blancas y dos esferas negras, la urna II
contiene dos esferas blancas y una negra y la urna III contiene 1 esfera
blanca y 3 esferas negras.
a
í
s
(a) Se selecciona una esfera de cada urna. ¿Qué probabilidad hay de
seleccionar todas las esferas blancas?
(b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extrae una esfera de ella.
¿Qué probabilidad hay que la esfera extraida sea blanca?
(c) Proceda como en (b.2) ¿Si se conoce que la esfera extraida es blanca
que probabilidad hay que haya sido escogida la urna I?
tr e
e
d
o
C
(a) Solución #1:
Consideremos lo eventos Bi =“La esfera extraida de la i-ésima urna es blanca” para
i = 1, 2, 3 y observemos entonces que P(B1 | B2 ) = P(B1 ), P(B1 | B3 ) = P(B1 ) y
P(B2 | B3 ) = P(B2 ) con lo cual nuestros eventos son independientes a pares ( de hecho
son completamente independientes ) entonces la probabilidad que buscamos será igual
a:
a
r
t
s
e
u
P(B1 ∩ B2 ∩ B3 ) = P(B1 )P(B2 | B1 )P(B3 | B1 ∩ B2 ) = P(B1 ) · P(B2 ) · P(B3 ) =
M
19
1 2 1
1
· · =
2 3 4 12
(a) Solución #2:
El número de salidas de este experimento es de 4 · 3 · 4 = 48 ( Como habíamos visto
tomar un elemeto del conjunto S1 con dim(S1 ) = s1 , del conjunto S2 con dim(S2 ) =
n
Q
s2 , . . . ,del conjunto Sn con dim(Sn ) = sn se puede realizar
si = s1 · s2 · s3 · . . . · sn
i=1
tr e
a
í
s
de formas distintas. ). Favorables habrá 2 · 2 · 1 por ende la probabilidad buscada será
4
1
= 12
.
de 48
o
C
(b) Consideremos los eventos :
B =“La esfera extraida es blanca”.
Ai =“La urna seleccionada es la urna i”.
y observemos que {A1 , A2 , A3 } conforman un sitema completo de eventos ( o sea
Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 , P(Ai ) > 0 y Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j ), entonces por la Fórmula de
a
r
t
s
e
d
M
e
u
20
Probabilidad Total tendremos
P(B) =
3
X
i=1
P(B | Ai )P(Ai )
a
í
s
= P(B | A1 )P(A1 ) + P(B | A2 )P(A2 ) + P(B | A3 )P(A3 )
1 1 2 1 1 1
=
· + · + ·
2 ·3 3 3 ¸ 4 3
1 1 2 1
+ +
=
3 2 3 4
1 6+8+3
·
=
3
12
17
=
.
36
tr e
a
r
t
s
e
d
o
C
(c) Con los mismos eventos del inciso (b) tendremos por la Fórmula de Bayes que
P(B | A1 )P(A1 )
P(A1 | B) =
=
P(B)
e
u
¥
M
21
1
2
·
17
36
1
3
=
6
.
17