Solución: 2 - Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras

Solución: 2 - Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras

Universidad de Puerto Rico, Rı́o Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
San Juan, Puerto Rico
MATE 3040: Teorı́a de Números
Solución Asignación 5.
1. Utilice el método de Fermat para factorizar
(a) 2279;
Solución: 2279 = 53 · 43.
(b) 10541;
Solución: 10541 = 127 · 83.
(c) 340663;
Solución: 340663 = 691 · 493.
(d) 211 − 1.
Solución: 211 − 1 = 89 · 23.
2. Si gcd(a, 35) = 1, entonces demuestre que a12 ≡ 1 mod 35.
Demostración: Note que 35 = 5 · 7. Por lo tanto, si gcd(a, 35) = 1, entonces
gcd(a, 5) = gcd(a, 7) = 1. Por el Pequeño Teorema de Fermat tenemos que
a4 ≡ 1 mod 5 y a6 ≡ 1 mod 7. Por lo tanto, como 12 es un múltiplo común
de 4 y 6, entonces a12 ≡ 1 mod 5 y a12 ≡ 1 mod 7. En arroz y habichuelas,
5|a12 −1 y 7|a12 −1. Como gcd(5, 7) = 1, entonces 35 = 5·7|a12 −1. Concluimos
que si gcd(a, 35) = 1, entonces a12 ≡ 1 mod 35.
3. Demuestre que para todo a ∈ Z se tiene que a21 ≡ a mod 15 y a9 ≡ a mod 30.
Demostración: Note que 15 = 3 · 5. Ahora, si gcd(a, 15) = 1, entonces
gcd(a, 3) = gcd)a, 5) = 1. Por el Pequeño Teorema de Fermat tenemos que
a2 ≡ 1 mod 3 y a4 ≡ 1 mod 5. Por lo tanto, a20 ≡ 1 mod 3 y a20 ≡ 1 mod 5.
Como gcd(3, 5) = 1, entonces a20 ≡ 1 mod 15, lo cual implica que cuando
gcd(a, 15) = 1, entonces a21 ≡ a mod 15. Ahora, suponga que gcd(a, 15) = 3, 5
ó 15. Si gcd(a, 15) = 15, entonces a ≡ 0 mod 15 y es claro que a21 ≡ a
mod 15. Suponga que gcd(a, 15) = 3. Entonces, gcd(a, 5) = 1. Pero entonces,
a ≡ 0 mod 3 y por lo tanto a21 ≡ a mod 3 y a21 ≡ a mod 5, pues a y 5 son
co-primos. Por lo tanto, en este caso también tenemos que a21 ≡ a mod 15. El
caso gcd(a, 15) = 5 se obtiene de manera similar al argumento anterior (intercambie los roles de 3 y 5). Concluimos que a21 ≡ a mod 15 para todo a ∈ Z.
La congruencia a9 ≡ a mod 30 se obtiene de manera similar (hágalo).
1
4. Si 7 no divide a a, entonces demuestre que a3 + 1 o a3 − 1 es divisible por 7.
Demostración: Suponga que a no es divisible por 7. Entonces, por el Pequeño
Teorema de Fermat, tenemos que a6 ≡ 1 mod 7. O sea, a6 − 1 ≡ 0 mod 7, lo
que implica que
7 | a6 − 1 = (a3 − 1)(a3 + 1).
Como 7 es primo y como 7 | (a3 − 1)(a3 + 1), entonces 7|(a3 − 1) o 7|(a3 + 1).
Muerto el Pollo.
5. Demuestre los siguientes enunciados:
(a) 1p−1 + 2p−1 + 3p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 mod p.
Demostración: Como
gcd(1, p) = gcd(2, p) = · · · = gcd(p − 1, p) = 1,
entonces el Pequeño Teorema de Fermat nos dice que
ip−1 ≡ 1
mod p para i = 1, 2, · · · , p − 1.
Entonces,
1p−1 + 2p−1 + 3p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ |1 + 1 +{z· · · + 1}
mod p
p−1- veces
≡ p − 1 mod p
≡ −1 mod p.
Muerto el Pollo.
p
p
p
p
(b) 1 + 2 + 3 + · · · + (p − 1) ≡ 0 mod p para p primo impar.
Demostración: Note que el Pequeño Teorema de Fermat nos dice que
ap ≡ a para todo a ∈ Z.
Entonces,
1p + 2p + 3p + · · · + (p − 1)p ≡ 1 + 2 + 3 + · · · + (p − 1)
(p − 1)p
≡
mod p
2
≡ 0 mod p,
pues (p − 1)/2 es entero.
mod p
6. Si p and q son primos distintos, entonces demuestre
pq−1 + q p−1 ≡ 1
2
mod pq.
Demostración: Como gcd(p, q) = 1, entonces
pq−1 + q p−1 ≡ q p−1 ≡ 1
mod p
pq−1 + q p−1 ≡ pq−1 ≡ 1
mod q.
y
Concluimos que
pq−1 + q p−1 ≡ 1
mod pq.
Muerto el Pollo.
7. Si p es primo, entonces demuestre que
p | ap + (p − 1)!a
Demostración: Por el Teorema de Wilson tenemos que (p − 1)! ≡ −1 mod p,
por lo tanto,
ap + (p − 1)!a ≡ ap − a mod p.
Pero ap ≡ a mod p (Pequeño Teorema de Fermat). Concluimos que
ap + (p − 1)!a ≡ ap − a ≡ 0
mod p.
Muerto el Pollo.
8. Demuestre que
12 · 32 · 52 · · · (p − 2)2 ≡ (−1)(p+1)/2
mod p
para todo primo impar p.
Demostración: Note que como k ≡ −(p − k) mod p, entonces
2 · 4 · 6 · · · (p − 1) ≡ [−(p − 2)][−(p − 4)] · · · [−5] · [−3] · [−1]
≡ (−1)(p−1)/2 1 · 3 · 5 · · · (p − 2) mod p.
mod p
Entonces, utilizando esto último y el Teorema de Wilson, obtenemos que
1 · 2 · 3 · · · (p − 1)
(1 · 3 · 5 · · · (p − 2))(2 · 4 · 6 · · · (p − 1)
(1 · 3 · 5 · · · (p − 2))((−1)(p−1)/2 1 · 3 · 5 · · · (p − 2))
(12 · 32 · 52 · · · (p − 2)2 )(−1)(p−1)/2
12 · 32 · 52 · · · (p − 2)2
Muerto el Pollo.
≡
≡
≡
≡
≡
−1 mod p
−1 mod p
−1 mod p
−1 mod p
(−1)(p+1)/2 mod p.
3