Módulo Matemáticas I ESAP

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Módulo Matemáticas I ESAP
MATEMÁTICAS I
PROGRAMA ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
Director
HONORIO MIGUEL HENRIQUEZ PINEDO
Subdirector académico
CARLOS ROBERTO CUBIDES OLARTE
Decano de pregrado
JAIME ANTONIO QUICENO GUERRERO
Coordinador Nacional de A.P.T
JOSE PLACIDO SILVA RUIZ
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ
Bogotá D.C., Noviembre de 2008
TABLA DE CONTENIDO
DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS
INTRODUCCIÓN
CAPITULO 1. ECUACIONES
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable
1.2 Aplicaciones
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable
1.5 Aplicaciones
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables
1.7 Sistemas de ecuaciones lineales
1.8 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Ejercicios de repaso de la unidad
CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS
2.1 Definición de función
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares
2.3 Funciones especiales
Ejercicios de repaso de la unidad
CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
3.1 Funciones exponenciales
3.2 Funciones logarítmicas
3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
3.4 Aplicaciones
Ejercicios de repaso de la unidad
CAPITULO 4. LÍMITES Y CONTINUIDAD
4.1 Noción de límite
4.2 Álgebra de límites
4.3 Límites infinitos
4.4 Límites al infinito
4.5 Continuidad
4.6 Aplicaciones
Ejercicios de repaso de la unidad
CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN
5.1 La derivada
5.2 Reglas de diferenciación
5.3 Aplicaciones
Ejercicios de repaso de la unidad
DE LOS NUCLEOS TEMÁTICOS Y PROBLEMÁTICOS
El plan de estudios del Programa de Administración Pública Territorial, modalidad
a distancia, se encuentra estructurado en siete núcleos temáticos. Éstos, a su vez,
se constituyen en los contenidos nucleares del plan de formación que, en la
exposición didáctica del conocimiento, se acompañan de contenidos
complementarios específicos.
Cada uno de los siete núcleos temáticos que componen el programa tiene una
valoración relativa en número de créditos y, en consecuencia, varía también en el
número de asignaturas que lo conjugan. El primer momento en cualquier proceso
de formación ha de establecer las particularidades del programa, de ahí que sea
necesario dar a conocer los núcleos temáticos con su respectiva valoración en
número de créditos: Problemática pública, once (11) créditos; Problemática del
estado y del poder, 23 créditos; Organizaciones públicas, 24 créditos; Espacio–
tiempo y territorio, 22 créditos; Gestión del desarrollo, 16 créditos; Economía de lo
público, 18 créditos; y Formación general, 21 créditos.
De igual manera, se debe reconocer que el plan de estudios se cimienta en el
principio de la problematización. En otras palabras, la formación en Administración
Pública Territorial parte del hecho de que la disciplina se encuentra en constante
cambio teórico y práctico; lo cual genera, a su vez, problemas multifacéticos que
implican la formación de profesionales con capacidad de comprender, explicar y
resolver los distintos textos y contextos que conforman la administración pública.
EL TRABAJO DEL TUTOR
El tutor tendrá libertad de cátedra en cuanto a su posición teórica o ideológica
frente a los contenidos del módulo, pero el desarrollo de los contenidos de los
módulos son de obligatorio cumplimiento por parte de los tutores. Los Tutores
podrán complementar los módulos con lecturas adicionales, pero lo obligatorio
para el estudiante frente a la evaluación del aprendizaje son los contenidos de los
módulos; es decir, la evaluación del aprendizaje deberá contemplar únicamente
los contenidos de los módulos. Así mismo, la evaluación del Tutor deberá
diseñarse para dar cuenta del cubrimiento de los contenidos del módulo.
El Tutor debe diseñar, planear y programar con suficiente anticipación las
actividades de aprendizaje y los contenidos a desarrollar en cada sesión de tutoría
(incluyendo la primera), y diseñar las actividades para todas las sesiones (una
sesión es de cuatro horas tutoriales). También debe diseñar las estrategias de
evaluación del trabajo estudiante que le permita hacer seguimiento del proceso de
autoaprendizaje del estudiante. Los módulos (asignaturas) de APT son de dos
créditos (16 horas de tutoría grupal presencial por crédito para un total de 32
horas), tres créditos (48 horas de tutoría grupal presencial) y de 4 créditos (64
horas de tutoría grupal presencial, distribuidas así:
MÓDULO DE MATEMÁTICAS I (3 créditos)
No.
Créditos
Horas por
crédito
2
3
4
16
16
16
Total
horas
Tutoría
Grupal
32
48
64
No. de
sesiones
Horas por
sesión
8
12
16
4
4
4
No. mínimo
de
encuentros
tutoriales*
2
3
4
No. max.
sesiones
por
encuentro
8
12
16
* El número de encuentros se programara de acuerdo con las distancias y costos de transporte de la Sede Territorial al
CETAP, por ejemplo para los casos de los CETAP de Leticia, San Andrés, Mitú, Puerto Inírida y Puerto Carreño, se
podrán programar un mínimo de dos encuentros para un módulo de 2 Créditos (16 horas por encuentro), tres encuentros
para un módulo de 3 créditos y cuatro encuentros para un módulo de 4 créditos.
Encuentro: número de veces que se desplaza un Tutor a un CETAP para desarrollar un módulo.
Sesión: número de horas por cada actividad tutorial, por ejemplo: 8-12 a.m., 2-6 p.m., 6-10 p.m.
M
ATEMÁTICAS I
CONTENIDO SINTÉTICO
Este módulo brinda a los estudiantes las bases
matemáticas necesarias en cuanto a ecuaciones,
funciones, límites y derivadas, que contribuyen tanto a
nivel teórico como práctico a su desarrollo en materias
específicas de Administración y economía.
OBJETIVOS GENERALES
Comprender, interpretar y solucionar problemas
específicos en administración pública.
Definir los objetos que se estudian con ayuda de
las nociones introducidas precedentemente y así,
organizar la adquisición de nuevos conocimiento
Utilizar ejemplos y problemas cuya solución exija
poner en acción los conocimientos de cada tema.
Buscar la correcta representación
conocimientos y tomar conciencia
resultados.
de
de
los
los
Encontrar buenas preguntas y hallar posibles
soluciones.
Actuar, formular, probar, construir modelos,
lenguajes, conceptos y teorías que pueda
intercambiar con otros.
Adaptar los conocimientos a situaciones
específicas, planteando modelos para resolverlos,
pues las posibilidades se crean en un contexto y
los
en unas relaciones con el medio. Así,
conocimientos aparecen como solución óptima.
Valorar la importancia que tienen los procesos
constructivos y de interacción social en la
enseñanza y en el aprendizaje de las
matemáticas,
utilizándolos
en
situaciones
problemáticas que pueden provenir de la vida
cotidiana, generando preguntas y situaciones
interesantes.
Reconocer que existe un núcleo de conocimientos
matemáticos básicos que debe dominar todo
ciudadano.
Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías
como herramientas computacionales para resolver
problemas y tomar decisiones.
Reflexionar sobre
pensamiento
con
conscientemente.
el
el
propio proceso de
fin
de
mejorarlo
Adquirir confianza en sí mismo.
Divertirse con su propia actividad mental, creando
estrategias informales y de sentido común.
Tener en cuenta en el desarrollo del programa la
historia, la génesis y la práctica de las
matemáticas, como aspectos internos del ser y del
conocer.
Desarrollar las competencias lógico matemáticas
del futuro administrador público territorial, base
fundamental para la toma de decisiones, la
comunicación y planificación.
Adquirir herramientas de análisis que permitan
apoyar la comprensión de algunas de las
temáticas estudiadas en la carrera.
Estudiar algunas aplicaciones de la matemática en
la administración y la economía, especialmente las
que se refieren a la maximización de los
beneficios, la eficiencia de los procesos, lo mismo
que a la minimización
de los costos.
INTRODUCCIÓN
Este documento forma parte del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior
de Administración pública ESAP, con el fin de desarrollar el programa de Administración
Púbica Territorial.
El modelo pedagógico aplicado para la enseñanza de matemática en este caso, recurre a
prácticas didácticas tradicionales y a métodos activos contando con la utilización de las
nuevas tecnologías.
Clase participativa: En el desarrollo de las sesiones los alumnos construyen los
conceptos a través de la guía del tutor.
Talleres de aplicación: Se adelantan trabajos de aplicación con información
pertinente al campo de la administración pública.
Tutorías de asistencia grupal, con énfasis en el desarrollo de la habilidad del
manejo de un software.
Investigación formativa: Durante el semestre se desarrollarán investigaciones
sobre temas propuestos en el plan o por los estudiantes, inscritos en el dominio de
la administración pública.
El enfoque metodológico aplicado en la enseñanza de la matemática genera una relación
entre el tutor y el estudiante que se caracteriza por la iniciativa, experimentación, práctica
y construcción del conocimiento de acuerdo con el ritmo y con los descubrimientos
progresivos que va logrando el dicente; el tutor es un orientador y un asesor para las
inquietudes y logros.
Atendiendo a que nuestro quehacer diario debe dirigirse hacia las metas anteriores, serán
tenidos en cuenta todos los aspectos que constituyen el ser integral del alumno, por lo
cual tomamos como referencia las preguntas:
1. ¿Qué queremos que el estudiante aprenda?
2. ¿Cómo puede lograrse ese aprendizaje?
3. ¿Cómo sabemos cuándo hay aprendizaje?
4. ¿Qué tiempo se necesita?
Así, la metodología, apuntará a desarrollar las siguientes ideas:
o
o
o
o
o
o
o
Formación en la solución de problemas como competencia básica no solo en
matemáticas. Así, se experimenta la potencia y utilidad de las matemáticas en el
mundo que nos rodea.
La capacidad para resolver problemas, que es la conducta más inteligente del
hombre y la preocupación central de las matemáticas.
El manejo de códigos matemáticos como elemento esencial para comprender el
nivel abstracto inmerso en varias situaciones de la vida real.
El desarrollo del pensamiento espacial y geométrico, que permite la ubicación de
nuestro ser y nuestro entorno.
Búsqueda del desarrollo del pensamiento lógico en los estudiantes.
Manejo de material (representación espacio-temporal), representación gráfica
(puramente espacial, no hay tiempo) y manejo de símbolos: formas y tamaños,
proposiciones, ambiente de las figuras, palabras que aportan y dan información
adicional al dibujo, todo lo cual evidencie una construcción de conocimiento.
Las matemáticas como verdades de razón (competencias básicas: interpretativa,
argumentativa y propositiva).
La dinámica de las sesiones presenciales consistirá en una explicación sobre el tema o
temas a tratar, con suficientes ejemplos ilustrativos, ejercicios y problemas de aplicación a
la administración y economía, a lo cual seguirá la realización de un taller en grupos. La
investigación en matemáticas en los ámbitos numérico, lógico y geométrico es de especial
importancia, ya que con ella el estudiante muestra su capacidad de análisis, interpretación
y argumentación del tema y podrá solucionar problemas que requieran inferencias lógicas
como estrategia didáctica fundamental.
Se realizarán tutorías en las cuales se observará el desarrollo y la aplicación de algunos
conceptos, reforzando el proceso operativo con el uso de programas como el
MATHEMATICA y / o DERIVE.
En todo momento se aceptará la contribución que el alumno pueda hacer para el
desarrollo de la clase, tanto en el ámbito de plan de estudios como metodológico.
El contenido básico del módulo abarca los elementos principales del cálculo infinitesimal o
diferencial, sin embargo no se centra en el desarrollo de los conceptos meramente
matemáticos, sino en las aplicaciones a las áreas pertenecientes al campo de la
administración pública; por ello, se presentan las ideas y definiciones básicas sin ahondar
en demostraciones, centrándose principalmente en los ejemplos de aplicación.
La estructura de cada capítulo del módulo contiene los objetivos específicos, que
debemos recordar nos servirán como referente del aprendizaje obtenido. Las lecciones
están conformadas por un título, un desarrollo de los temas, algunos ejemplos,
explicaciones, gráficos, notas y definiciones como apoyo. En cada capítulo se enuncian
ejercicios y preguntas que sirven como estrategia de aprendizaje permitiendo reflexionar o
clarificar aspectos básicos del tema que se estudia. Al final del capítulo se presenta una
autoevaluación presentada como ejercicios de repaso del capítulo que le permite al
estudiante asegurar que ha asimilado los contenidos y que está en capacidad de
presentar sus evaluaciones.
Contenido sintético de este módulo
Contenido sintético de los capítulos 1, 2 y 3
CAPITULO 1. ECUACIONES
Objetivos Generales:
1. Solucionar ecuaciones cuadráticas y lineales.
2. Plantear la ecuación correspondiente en problemas de aplicación
Objetivos específicos:
Resolver ecuaciones con métodos algebraicos
Resolver problemas dando solución en forma de conjunto y/o
intervalo.
Subtemas:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable
Aplicaciones
Ecuaciones lineales en dos variables
Ecuaciones cuadráticas en una variable
Aplicaciones
Ecuaciones cuadráticas en dos variables
Sistemas de ecuaciones
Aplicaciones
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras clave:
Igualdad
Despeje de una variable
Plano cartesiano
Coordenada
Factorización
Operaciones con reales
Repaso sobre los Números Reales (R)
Los conjuntos vistos en matemáticas anteriores sugieren que los números
naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (Q) se relacionan de la siguiente
manera:
N
Z
Q
Lo cual significa que todo número natural es también entero y todo número entero
es también racional y por lo tanto todo número natural es racional.
Si al conjunto de los números racionales (Q) se le une el conjunto de los números
irracionales (I) disyuntos entre sí, se genera un conjunto conocido como el
conjunto de los números reales, nominado con la letra R.
Recordemos que:
N: Números Naturales: {0, 1, 2, 3, ...}
Z: Números Enteros {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q: Números Racionales {..., , -3/2, , -2/6, -1/3, , , 0, , 1/4, 2/9, , ...}
R: Números Reales = Q U I
C: Números Complejos, compuestos por una parte real y una imaginaria, cuya
notación incluye la letra i.
ECUACIONES
Poco se conoce de la vida personal del matemático griego Diofante, que vivió en
Alejandría, Egipto, en el siglo III de la era cristiana. Sin embargo, su trabajo
influyó sobre los matemáticos europeos del siglo XVII. La leyenda asegura que
sobre la tumba de este matemático ilustre se escribió el siguiente epitafio:
Diofante pasó una sexta parte de su vida en la niñez, una doceava parte en la
juventud y una séptima parte soltero. Cinco años después de su matrimonio nació
un niño que murió cuatro años antes de que su padre cumpliera la mitad de su
edad (final).
Si x representa la edad de Diofante al morir, entonces la información anterior
puede representarse con la ecuación
En este módulo obtendremos técnicas que nos permitirán resolver ésta y muchas
ecuaciones más que podremos aplicar a problemas prácticos.
1.1 Ecuaciones, identidades y ecuaciones lineales en una variable
Conceptos básicos: Operaciones con reales, factorizaciones y operaciones con
fracciones algebraicas.
Una ecuación es una proposición en la cual aparece la igualdad entre dos
expresiones algebraicas. Por ejemplo:
;
En ella se relacionan partes literales (letras o variables) y partes numéricas.
•
Recuerda que:
25
ta: La división entre
-25
Solucionar, resolver o hallar la (s) raíz (ces) de una ecuación consiste en
determinar el o los valores de la incógnita o variable, que al ser reemplazados en
la ecuación dada la verifiquen, es decir, que conduzcan a una proposición
verdadera (la expresión a la izquierda del signo igual sea equivalente a la de la
derecha). Se dice que un número satisface la ecuación si es una solución.
Ejemplo 1.
Los números -5 y 5 son soluciones o raíces de la ecuación:
ya que
. (Recordemos que
).
Ejemplo 2.
en la ecuación
verdadera.
Ejemplo
3.
tiene como raíz a
ya que si reemplazamos
3 (-2) – 1 = 2(-2)-3 obtenemos -7 = -7 que es una proposición
Los
valores
que
puede
tomar
la
variable
en
son todos aquellos reales diferentes de 1 ya que con este
último, el denominador nos daría cero y la división no se podría efectuar. Lo
expresaremos así: S = R\
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
3x+2 = 0
;
3x = -2
;
x=
Para obtener ecuaciones equivalentes o identidades podemos realizar las
siguientes operaciones:
•
•
Sumar o restar la misma expresión (que represente un número real) a
ambos lados de la ecuación.
Multiplicar o dividir cada lado de la ecuación por la misma expresión (que
represente un número real diferente de cero).
Ejemplo 4.
3x+2=0
3x + 2 - 2 = 0 - 2
3x=-2
(3x) =
(-2)
x=
Por lo tanto la solución es única y se representa en un conjunto: S =
.
Para probar el valor hallado, se reemplazamos en la ecuación original y vemos
que genera una proposición verdadera, así:
3x+2=0
3
+2=0
-2 + 2 = 0
0=0
Ecuaciones Lineales
Son una clase especial de ecuaciones polinómicas, es decir de la forma
an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + an-4 xn-4 + …+ a1 x1 + a0 x0 , con ai
R y n un
entero no negativo.
Aquellas que tienen la forma
son lineales.
a1 x1 + a2 x0 = 0; con a1, a2
R; a1 ≠ 0 y n = 1
Ejemplo 5.
Efectuamos las operaciones indicadas, antes enunciadas, teniendo en cuenta el
orden presentado por los paréntesis:
o
Por tanto, el conjunto solución es: S =
Ejemplo 6.
Al multiplicar por ( x- 5 ) a cada lado de la ecuación, se obtiene una ecuación
lineal:
Pero, al multiplicar por una expresión que contiene una variable, debemos
verificar que x = 5 sea efectivamente una solución:
Y como no es posible dividir entre cero, llamamos a x = 5 una solución extraña y
por lo tanto la ecuación no tiene solución, es decir, S =
o S =Ø.
Ejemplo 7.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador
que en este caso es
(diferencia de cuadrados), ya que la factorización es
Al probar en la ecuación original se nota que dos de los denominadores se
vuelven cero, por lo tanto es una solución extraña. S = .
Ejemplo 8.
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador
, ya que la factorización es
(Factor
que en este caso es
común)
Sustituyendo
por 3 en la ecuación original, hallamos que este valor satisface
.
la ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es S =
1.2 Aplicaciones de ecuaciones lineales
Áreas. El área de una figura plana se puede cambiar a una forma más
conveniente despejando o solucionando para una de las variables en términos de
las variables restantes, encontrando ecuaciones equivalentes.
Ejemplo 9. El área de un triángulo de base
fórmula
Para despejar
y altura
se halla mediante la
.
, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2, así:
h
b
Ahora, multiplicamos por :
Ejemplo 10. Así mismo, el área de un trapecio con bases
está dada por
b
Al despejar
tenemos:
h
B
O, al expresar con común denominador:
y
y altura
En álgebra es útil traducir las palabras en las que viene enunciado un problema
en una ecuación algebraica apropiada. Debemos leer el problema atentamente,
identificar la cantidad desconocida, si es posible hacer un diagrama, asignar una
variable a la cantidad desconocida, representar cualquier otra cantidad en
términos de la variable escogida, escribir una ecuación que exprese con precisión
la relación descrita en el problema, solucionar la ecuación y verificar que la
respuesta concuerde con las condiciones planteadas.
Ejemplo 11. En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años.
¿Cuántos años tiene?
Asignamos x = edad actual de Bryan
x + 5 será entonces la edad en cinco años
x – 7 la edad que tenía hace 7 años
3 ( x – 7 ) tres veces la edad que tenía hace 7 años
La ecuación que expresa la relación del problema será:
x+5 =3(x–7)
despejando x para hallar la solución:
•
Recuerda que: al
tener un número
negativo
multiplicando en un
lado
de
la
ecuación,
lo
pasamos
con el
mismo signo, para
despejar
la
variable.
x + 5 = 3 x - 21
x – 3x = - 21 - 5
-2 x = - 26
x=
x = 13 años
Puesto que 13 + 5 = 3 (13 - 7), la edad actual de Bryan es 13 años.
Muchos problemas de inversión utilizan la fórmula de interés simple:
I=Crt
Donde I es la cantidad de interés ganada sobre un capital C invertida a una tasa
de interés simple r de porcentaje por t años.
Ejemplo 12. La señora Beecham invirtió parte de US$10.000 en un certificado de
ahorros a 7% de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%.
Si recibió un total de US$900 de interés por el primer año, ¿Cuánto invirtió en el
título?
Notemos con la letra x la cantidad de dinero invertida en el título, entonces
10.000 – x será el dinero puesto para el certificado de ahorros.
Podemos organizar la información dada en un cuadro así:
Capital C
Tasa
de Tiempo Interés ganado
interés r
t
I=Crt
Certificado de
ahorros
10.000 -x
0,07
1
(10.000-x)(0,07)(1)=
700- 0,07 x
Título
x
0,12
1
x (0,12) (1) = 0,12 x
Como el total de interés recibido es de US$ 900 se tiene:
700- 0,07 x + 0,12 x = 900
de donde,
- 0,07 x + 0,12 x = 900 – 700
0,05 x = 200
x = 4.000
Por lo tanto se invirtieron US$ 4.000 en el título.
Razón de cambio. Si un objeto se mueve a una velocidad constante v, entonces
la distancia d que recorre en t unidades de tiempo está dada por
d=vt, o , t=d/v , o , v=d/t
Ejemplo 13. Un hombre recorrió 289 Km. en auto y luego montó en bicicleta 50
Km. más. Si el tiempo total del viaje fue de 12 horas y la velocidad en la bicicleta
fue ¼ de la velocidad en el auto, encuentre cada velocidad.
En auto
En bicicleta
Distancia
289
Velocidad
50
Como el tiempo total fue de 12 horas, tenemos:
Tiempo
(velocidad del auto)
¼
= ¼ (40,75) = 10,1875 Km / h ( velocidad de la bicicleta)
Problemas de mezclas. Se dan principalmente en química, farmacología,
manufactura. Al resolver este tipo de problemas nos centramos en la cantidad
que tiene un elemento en cada una de las diferentes combinaciones. Es útil, igual
que en los casos anteriores organizar la información en forma de matriz (filas y
columnas).
Ejemplo 14. Halle cuántos litros de alcohol puro pueden añadirse a 15 lt. de
solución que contiene 20% de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30%
de alcohol.
Si x son los litros de alcohol añadidos, entonces,
15 + x representa la cantidad en litros en la nueva solución.
Solución
original
Alcohol
puro
Mezcla
resultante
Litros de solución
Concentración de alcohol
Litros de alcohol
15
0,20
0,20 (15)
x
1,00
1,00 x
15 + x
0,30
0,30 ( 15 + x)
Si la cantidad de alcohol en la solución original más la cantidad de alcohol puro
añadida balancean la cantidad de alcohol en la mezcla resultante, se tiene:
0,20 (15) + 1,00 x = 0,30 ( 15 + x)
3 + x = 4,5 + 0,3 x
0,7 x = 1,5
x=
Por lo tanto la cantidad de alcohol añadida es
lt.
Recordemos que podemos probar la respuesta reemplazando en a ecuación
original el valor encontrado.
Problemas de trabajo. Si un individuo puede hacer un trabajo en T unidades de
tiempo, se concluye que en x unidades de tiempo, x/T del trabajo se completa.
Por ejemplo, si una persona hace un trabajo en 7 horas, entonces en 3 horas
podrá hacer 3/7 de trabajo.
Ejemplo 15. Trabajando sola una bomba A puede llenar un tanque en 2 horas y
una bomba B lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué tan rápido las bombas pueden
llenar el tanque trabajando juntas?
el número de horas que se gastan las dos bombas en llenar el tanque,
Siendo
entonces,
será la fracción de trabajo de la bomba A en x horas
la fracción de trabajo culminado en x horas por la bomba B.
Así,
Bomba A
Bomba B
Ambas bombas
Tiempo para completar
todo el trabajo
2
3
Fracción del trabajo
completado en x horas
1
La suma de lo que aporta cada bomba en fracción de trabajo en x horas debe ser
la unidad, que en este caso representa el trabajo completo, por lo tanto:
=
Trabajando ambas bombas se demoran
llenar el tanque.
horas
horas (1 horas 12 minutos) para
1.3 Ecuaciones lineales en dos variables.
•
Recuerda que: el
hecho de que los
exponentes de las
dos variables (x, y)
sean uno, hace que
la ecuación sea
lineal.
El descubrimiento del sistema de coordenadas cartesianas representó un avance
muy importante en matemáticas. Gracias a él, René Descartes, filósofo y
matemático francés, logró transformar los problemas geométricos, que exigían
largos y tediosos razonamientos en problemas algebraicos que se podían
resolver más fácilmente. Esta relación entre la geometría y el álgebra dio como
resultado la geometría analítica, que en un principio resolvió los siguientes
planteamientos:
-
Dada una ecuación, hallar la gráfica correspondiente
Dada una figura geométrica, encontrar la respectiva ecuación.
Cualquier ecuación que se pueda escribir como
variables, se llama ecuación lineal en dos variables.
, con
R;
y
Una solución de una ecuación de este tipo es un par ordenado de números
reales, que satisfacen la expresión, es decir que la ecuación es cierta cuando las
y .
coordenadas obtenidas se sustituyen por
Ejemplo 16. ¿Cuál de los pares ordenados (2,-3) y (-2,-2) es una solución de la
ecuación lineal y = 4x -11?
Al sustituir el valor de la abscisa por x y el valor de la ordenada por y para el
punto (2,-3), obtenemos:
y = 4x -11
-3 = 4 ( 2 ) – 11
-3 = 8 – 11
-3 = -3
Como la expresión obtenida es verdadera, concluimos que la pareja ordenada
(2,-3) sí es solución a la ecuación.
Efectuando el mismo procedimiento con ( -2,-2) tenemos:
y = 4x -11
-2 = 4 ( -2 ) – 11
-2 = -8 – 11
-3 = -19
Proposición falsa, por lo cual la pareja ordenada escogida no es solución.
Una ecuación lineal tiene un número infinito de soluciones. Para encontrar todas
las soluciones, sustituimos x por un valor real y resolvemos para y (o despejamos
y).
Ejemplo 17.
Formemos una tabla de datos con algunas soluciones y
representemos en el plano cartesiano, para la ecuación y = 2 x – 4:
Valor para x
-4
-2
0
2
4
6
8
Valor para y
2 (-4) – 4 = -12
2 (-2) – 4 = -8
2 (0) – 4 = -4
2 (2) – 4 = 0
2 (4) – 4 = 4
2 (6) – 4 = 8
2 (8) – 4 = 12
Par ordenado (x , y)
(-4,-12)
(-2,-8)
(0,-4)
(2,0)
(4,4)
(6,8)
(8,12)
Cuando se representan gráficamente los pares ordenados los puntos caen en
una línea recta. Así, hemos representado gráficamente la solución de la ecuación
lineal ya que la recta representa todas las soluciones de la ecuación.
Ejemplo 18. Teniendo en cuenta uno de los teoremas de la Geometría
Euclidiana, en el cual enuncia que para trazar una recta es suficiente tener dos
puntos, ahora realizamos la gráfica con las coordenadas al origen, es decir las
parejas ordenadas en las cuales la gráfica corta a los ejes coordenados, para la
ecuación: x + 3y = 6
x
y
0
2
6
0
Si tomamos x = 0 y reemplazamos en la ecuación, obtenemos que y = 2. Con
esto tenemos el corte de la recta con el eje y o la ordenada al origen, (0, 2)
Si tomamos y = 0, al reemplazar en la ecuación, obtenemos que x = 6. Con esto
tenemos el corte de la recta con el eje x o la abscisa al origen, (6,0)
1.4 Ecuaciones cuadráticas en una variable.
Son ecuaciones polinómicas de la forma a x2 + bx + c = 0 ; con a, b, c
a ≠ 0.
R y
Para resolver o hallar los valores de la variable en una ecuación cuadrática
contamos con tres métodos: factorización, raíz o la fórmula cuadrática.
Método de factorización. Este método se basa en la propiedad de la
multiplicación por cero: si a y b representan números reales y a.b = 0 entonces,
a = 0, o, b = 0.
Ejemplo 19. Resuelva
Factorizando el polinomio tenemos:
Sacando factor común en el primer paréntesis y cancelando con el 2 del
denominador:
Así,
de donde
Por lo tanto el conjunto solución es: S =
Al igual que con las ecuaciones anteriores, podemos probar nuestras respuestas
sustituyendo los valores encontrados en la ecuación original.
Ejemplo 20. Resuelva
Escribiendo nuestra ecuación de la forma
•
Recuerda
que:
para resolver una
ecuación
cuadrática
por
factorización es
necesario igualar
a cero para poder
aplicar
la
propiedad.
:
Sacando factor común 3 :
Y pasando el 3 a dividir:
Factorizando:
Así,
de donde
Luego el conjunto colusión es: S =
Método de la raíz cuadrada. Utilizado cuando la ecuación cuadrática tiene la
forma
.
Aquí, sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos:
Ejemplo 21. Resuelva
Luego el conjunto solución es: S =
Podemos probar nuestras respuestas sustituyendo los valores encontrados en la
ecuación original.
Ejemplo 22. Resuelva
Sacando raíz cuadrada en ambos lados obtenemos:
Despejando
:
Y por lo tanto el conjunto solución es: S =
La fórmula cuadrática. El más potente de los métodos de solución, que se basa
en la fórmula cuadrática,
continuación:
,
cuya deducción presentamos a
Partimos de nuestra forma original:
Dividiendo los dos términos de la igualdad entre a se tiene:
Agrupando los términos que tienen
y haciendo completación de cuadrados, es
decir sumando a ambos lados de la ecuación el término necesario
formar, al lado izquierdo, un trinomio al cuadrado perfecto:
Y factorizando el trinomio,
para
Sacando raíz cuadrada en ambos lados:
Sacando denominador común:
Extrayendo la raíz del denominador:
Despejando
•
:
Recuerda que:
la
fórmula
cuadrática solo
utiliza
los
coeficientes de
la
ecuación
cuadrática.
,o,
La naturaleza de las raíces está dada por el radicando, llamado discriminante,
así:
Si
Si
Si
la ecuación tiene dos raíces reales iguales
la ecuación tiene dos raíces reales distintas
la ecuación tiene dos raíces complejas
Ejemplo 23. Resuelva
Identificando
=3,
= -7 ,y,
= 2, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas:
Luego el conjunto solución es: S =
Ejemplo 24. Resuelva
Identificando
=9,
= 30 ,y,
= 25, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas iguales:
Tenemos una solución doble: S =
Ejemplo 25. Resuelva
Organizando la ecuación:
Identificando
= -2 ,
=3
,y,
= -3/2, se tiene:
Con lo que obtenemos dos respuestas pertenecientes al conjunto numérico de
los complejos:
Así, la solución viene dada por: S =
1.5 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas
Ejemplo 26. El área de un rectángulo es 138 m2. , si la longitud es 5m. más que
tres veces el ancho, halle las dimensiones del rectángulo.
Designamos
como el ancho, por lo que el largo será 3
3
+ 5.
+5
Como se tiene el valor del área tenemos:
Aplicando la propiedad distributiva,
Y resolviendo por la fórmula cuadrática se encuentra que
1
= -23/3 y
2
= 6.
Como el ancho de un rectángulo no puede ser negativo, descartamos la primera
respuesta y tomamos el ancho igual a 6, de donde, reemplazando en 3 + 5
obtenemos que el largo es de 3(6) + 5 = 23 m.
El Teorema de Pitágoras es uno de los más utilizados y muchas de sus
aplicaciones incluyen ecuaciones cuadráticas.
•
Recuerda que: El
Teorema
de
Pitágoras
dice
que
en
un
triángulo
rectángulo
el
cuadrado de la
longitud de la
hipotenusa
es
igual a la suma
de los cuadrados
de los catetos.
hipotenusa
Ejemplo 27. En un parque dos aceras forman un ángulo recto con el patio P, el
puesto de refrigerio R y el estacionamiento E, como muestra la figura. La
longitud total de las aceras es de 700 m. Al caminar a través del pasto
directamente del estacionamiento al patio, los niños pueden acortar la distancia
en 200 m. ¿Cuáles son las longitudes de las aceras?
Designamos
700 –
= longitud de la acera del punto P al R.
= longitud de la acera de R a E
P
500
R
E
700 -
Puesto que la distancia de P a E es 200 m. menor que la longitud total de las dos
aceras, se tiene,
700 – 200 = 500 distancia de P a E
Así, obtenemos la siguiente relación por el Teorema de Pitágoras:
Reescribiendo la ecuación y solucionando por factorización:
De donde,
o
Al reemplazar por
= 400, la longitud de la acera desde el patio hasta el puesto
de refrigerio R es de 400 m. y la longitud de la acera desde el punto R hasta el
estacionamiento es 700 – 400 = 300.
Si hacemos los mismo con
= 300 obtenemos los valores invertidos, con lo cual
hay dos posibles soluciones al problema (300,400) o (400,300).
Ejemplo 28. Un comisionista de vinos gastó US$800 en algunas botellas de vino
añejo Cabernet Sauvignon de California. Si cada botella hubiera costado US$4
más, el comisionista habría obtenido 10 botellas menos por el dinero que dio.
¿Cuántas botellas se compraron?
Si designamos
= número de botellas compradas, entonces
costo por botella.
Así, al precio más alto,
representa el
– 10 es el número de botellas compradas, y
, sería el costo por botella.
Se establece la relación:
(Costo por botella) ( número de botellas) = 800
De donde aplicando la propiedad distributiva, y resolviendo la ecuación
,
obtenemos que el número de botellas de vino compradas es 50.
1.6 Ecuaciones cuadráticas en dos variables.
Al igual que con las ecuaciones lineales en dos variables, la solución de este tipo
de ecuaciones es una gráfica, que en este caso se denomina parábola.
Una ecuación cuadrática, es aquella de la forma
donde ,
y c son constantes.
, con
,
En general, la gráfica de la parábola depende de las siguientes características de
la ecuación:
Gráfica
Ecuación
,
La variable que está al cuadrado es .
> 0 , la parábola abre hacia
Si
arriba, por ejemplo:
,
La variable que está al cuadrado es .
Si
< 0 , la parábola abre hacia
abajo, por ejemplo:
,
La variable que está al cuadrado es
.
Si > 0 , la parábola abre hacia la
derecha, por ejemplo:
,
La variable que está al cuadrado es
.
Si
< 0 , la parábola abre hacia la
izquierda, por ejemplo:
Para hallar los puntos pertenecientes a una parábola, que abre hacia arriba o
hacia abajo, comenzaremos con el vértice o la punta de la parábola, que se
y luego tabularemos dos valores a la izquierda y
encuentra en
dos a la derecha de esta coordenada, con el fin de ver la simetría de la curva.
Ejemplo 29. Hallar la solución de la ecuación
Para hallar el vértice:
tenemos:
Abscisa del vértice:
= -8 ;
= 2
=
=2
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Valor para
2
1
0
3
4
Valor para
Par ordenado
(2,3)
(1,-1)
(0,5)
(3,-1)
(4,5)
Ejemplo 30. Hallar la solución de la ecuación
Organizando la ecuación:
Para hallar el vértice:
tenemos:
Abscisa del vértice:
=
= 12 ;
= -2
=3
Y luego encontramos el valor de la ordenada correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Relacionaremos ahora con ecuaciones cuadráticas en una sola variable, ya que
si resolvemos la ecuación:
Obtendremos los cortes de la parábola con el eje
Factorizando:
Y aplicando nuestra propiedad:
:
,o,
De donde
,o,
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (6,0)
Valor para
Par ordenado
Valor para
3
(3,18)
(2,16)
(1,10)
(0,0)
(4,16)
(5,10)
(6,0)
2
1
0
4
5
6
Ejemplo 31. Hallar la solución de la ecuación
Utilizando la propiedad distributiva:
Para hallar el vértice, debemos tener en cuenta que la variable que está al
cuadrado es y, por lo cual con la fórmula
ordenada del vértice, así:
= -8 ;
obtendremos no la abscisa sino la
= 2
Ordenada del vértice:
=
=2
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Así, el vértice está en (-8,2)
Para hallar los intersectos con el eje
, hacemos
= 0:
, con lo cual el único corte está en (0,0).
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje
, haciendo
Factorizando:
Y aplicando nuestra propiedad:
,o,
De donde
,o,
Por lo tanto las intersecciones están en (0,0) y (0,4)
Valor para
2
3
4
1
0
-1
Valor para
Par ordenado
(-8,2)
(-6,3)
(0,4)
(-6,1)
(0,0)
(10,-1)
= 0:
Ejemplo 32. Hallar la solución de la ecuación
Ordenando la ecuación:
Obtenemos la ordenada del vértice,
= -5 ;
= -1
Ordenada del vértice:
=
= -5/2
Y luego encontramos el valor de la abscisa correspondiente, sustituyendo en la
ecuación:
Así, el vértice está en
Para hallar los intersectos con el eje
, hacemos
= 0:
, con lo cual el único corte está en (2,0).
Ahora, obtendremos los cortes de la parábola con el eje
, haciendo
Resolviendo por la fórmula cuadrática u otro método se obtiene:
Por lo tanto los puntos hallados son:
y
, o
= 0:
y
Valor para
Par ordenado
-5/2
(33/4,-5/2)
0
(2,0)
(0,
)
(0,
)
-1
(6,-1)
-3
(8,-3)
1.7 Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales.
Muchos problemas se pueden resolver adecuadamente planteando un sistema
con dos ecuaciones y dos incógnitas. Por ejemplo, si una tabla de 12 pies se
corta en dos partes, de tal manera que una de ellas mida 4 pies más de largo que
la otra, ¿Cuál será la longitud de cada parte?
Si asignamos
= la longitud de la parte mayor
= la longitud de la parte menor
entonces:
Resolver este sistema significa encontrar todos los pares ordenados de números
reales que satisfagan ambas ecuaciones al mismo tiempo. En general nos
interesa resolver sistemas del siguiente tipo:
donde
,
,
,
,
,
son constantes reales.
Dos rectas en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, en un plano, se
deben relacionar de una de estas tres maneras:
1) Se intersecan en un solo punto, es decir tienen una única solución,
situación ilustrada en el siguiente gráfico:
2) No se intersecan en ningún punto, es decir son paralelas y la solución es
vacía, cuya posible representación es:
3) Todos los puntos son comunes, es decir las rectas coinciden. El sistema
tiene infinitas soluciones., como se puede observar en la gráfica siguiente:
Aunque la gráfica brinda una información útil, puede resultar difícil obtener
soluciones racionales y/o decimales, por lo cual veremos tres métodos de
solución que nos darán las aproximaciones deseadas. Estos implican la
sustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente más simple,
para ello se aplican las transformaciones apropiadas y se continúa el proceso
hasta obtener un sistema cuya solución sea obvia.
Solución por sustitución.
Ejemplo 1. Para resolver nuestro problema inicial,
Primero despejamos de una de las dos ecuaciones una de las dos incógnitas:
Luego reemplazamos en la ecuación que no hemos utilizado la expresión
encontrada para :
Al quedar una sola ecuación lineal con una incógnita, podemos resolver
despejando :
Con el valor hallado,
convenientemente en:
sustituimos
en
cualquiera
de
las
ecuaciones,
Por lo tanto el punto de corte y la solución del sistema es el punto (8,4)
Procedemos ahora a elaborar la gráfica de ambas ecuaciones en el mismo
sistema de coordenadas, ya que el punto que tienen en común debe ser la
solución, ya que satisface ambas ecuaciones:
Solución por igualación.
Ejemplo 2. Resuelva el sistema
Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones:
=
=
1 – 2x
Por la propiedad transitiva, tenemos que la primera expresión debe ser igual a la
tercera, atendiendo a que el valor de
que buscamos debe ser el mismo para
las dos ecuaciones.
Así nos queda una sola ecuación en la que podemos despejar
=
Sustituyendo para hallar el valor de
tenemos:
Por lo tanto la solución es el conjunto unitario: S = (2,-3)
:
Solución por eliminación.
Ejemplo 3. Resuelva el sistema
Escogemos una variable para ser eliminada mediante suma de ecuaciones.
Recordemos que se necesita que los coeficientes sean opuestos para que nos de
cero la suma. Así, si elegimos , debemos convertir cada uno de los coeficientes
de esta variable que intervienen en el mínimo común múltiplo de los dos, en este
caso m.c.m. (3,5) =15, por lo cual debemos multiplicar la ecuación primera por (5)
y la segunda por (3) así:
•
Recuerda que: Al
multiplicar
una
ecuación por un
número debemos
multiplicar todos
los términos de la
ecuación.
Obteniendo:
Sumando las dos ecuaciones término a término :
de donde
Y reemplazando en cualquiera para hallar
:
Por lo tanto la solución es S = (-2,3)
Ejemplo 4. Resuelva el sistema
Por igualación tenemos:
Lo cual constituye una proposición verdadera. Pero como no nos generó valor
para la variable, concluimos que son la misma recta, es decir que el sistema tiene
un número infinito de soluciones. Cuando una ecuación es múltiplo de otra, se
dice que el sistema es dependiente.
Ejemplo 5. Resuelva el sistema
Por eliminación, multiplicando la primera ecuación por (-2) para convertir el
coeficiente de en el m.c.m. (3,6) = 6.
Y sumando las ecuaciones.
Por lo cual, al ser una proposición falsa, debe ser falsa nuestra suposición de que
y para
que satisfacen simultáneamente las dos
hay valores para
ecuaciones. Si verificamos la pendiente de cada recta encontraremos que son
iguales (pero las ordenadas al origen son diferentes); por tanto, las rectas son
paralelas y el sistema no tiene solución. Los sistemas de este tipo se llaman
incompatibles.
1.8 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 6. Una máquina de cambiar monedas cambia los billetes de un dólar en
monedas de 25 y de 5 centavos de dólar. Si usted recibe 12 monedas, después
de introducir un billete de 1 dólar, ¿cuántas monedas de cada tipo recibe?
Sean
= número de monedas de 25 centavos
= número de monedas de 5 centavos
Resolviendo el sistema, obtenemos que
= 2 ,y,
= 10
Ejemplo 7. Un joyero tiene dos barras de aleación de oro: una es de 12 quilates y
la otra de 18 (el oro de 24 quilates es oro puro; el de 12 quilates corresponde a
de pureza: el de 18, a
de pureza y así sucesivamente). ¿Cuántos gramos
de cada aleación se deben mezclar para obtener 10 gr. de oro de 14 quilates?
Sean
= número de gramos utilizados de oro de 12 quilates.
= número de gramos utilizados de oro de 18 quilates.
Resolviendo el sistema tenemos que se necesitan x =
oro de 12 y 18 quilates respectivamente.
, y,
=
gramos de
Resumen:
Cuando resolvemos una ecuación podemos aplicar ciertas reglas para obtener
ecuaciones equivalentes, esto es, ecuaciones que tienen exactamente las
mismas soluciones que la ecuación dada originalmente. Estas reglas incluyen la
suma (o resta) del mismo polinomio a ambos miembros, así como la
multiplicación o división) de ambos miembros por (entre) la misma constante,
excepto por (entre) cero.
es de primer grado y tiene la forma
Una ecuación lineal en
donde
0. Toda ecuación lineal tiene exactamente una raíz. Para resolverla le
aplicamos ciertas operaciones matemáticas hasta obtener una ecuación
equivalente en la que la incógnita queda aislada en un lado de la ecuación.
Una ecuación cuadrática en
es de segundo grado y tiene la
, donde
. Tiene dos raíces reales y diferentes,
forma
exactamente una raíz real o no tiene raíces reales. Una ecuación de este tipo
puede ser resuelta ya sea factorizando o por medio de la fórmula cuadrática
.
Cuando se resuelve una ecuación fraccionaria o radical, con frecuencia se
aplican operaciones que no garantizan que la ecuación resultante sea
equivalente a la original. Estas operaciones incluyen la multiplicación de ambos
miembros por una expresión que contenga a la variable, y elevar ambos
miembros a la misma potencia; todas las soluciones obtenidas al final de dichos
procedimientos deben verificarse en la ecuación dada. De esta manera se
pueden encontrar las llamadas soluciones extrañas.
Un problema expresado en palabras se debe plantear transformando los
enunciados en una ecuación. Esto es modelación matemática. Es importante que
primero lea el problema más de una vez de modo que entienda con claridad qué
se le pide encontrar. Después debe seleccionar una letra para representar la
cantidad desconocida que quiere determinar. Utilice las relaciones y hechos
dados en el problema y forme una ecuación que implique a dicha letra. Por último
resuelva la ecuación y mire si su solución responde a lo preguntado. Algunas
veces la solución de la ecuación no es la respuesta al problema, pero puede ser
útil para obtenerla. Algunas relaciones básicas que son utilizadas en problemas
de administración son:
Costo total = costo variable + costo fijo
Ingreso total = (precio por unidad)(número de unidades vendidas)
Utilidad = ingreso total – costo total
GLOSARIO
Ecuación: expresión algebraica que contiene dos miembros uno a cada lado de
un signo igual.
Variable: letra del alfabeto, usualmente x o y que representa cualquier valor o
uno específico, dependiendo si hace parte de la solución de una ecuación.
Raíz de una ecuación: o solución, es el valor (o valores ) que la variable puede
tomar para que el miembro izquierdo de la ecuación sea igual al derecho.
Conjunto solución: es la expresión en simbología de conjunto de la solución o
soluciones de una ecuación.
Ecuación equivalente: es aquella que con base en operaciones algebraicas o
entre reales, produce una expresión que tiene las mismas soluciones que la
ecuación original.
Solución extraña: es aquella que, siendo solución de una ecuación, al probarla
es decir al reemplazarla en la ecuación no genera una proposición verdadera.
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO
1. Se planea invertir un total de $2’400.000. Parte se pondrá en un certificado de
ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversiones
que produce 12% de interés simple. ¿Cuánto se debe invertir en cada uno para
obtener una ganancia de 10% sobre el dinero, después de un año?
Rta. 1’600.000 , $800.000
2. Una pareja tiene US$ 40.000. Si invierte US$ 16.000 al 12% y US$ 14.000 al
8% ¿a qué porcentaje debe invertir el resto para tener un ingreso de US$ 4.000
proveniente de sus inversiones? Rta. 9,6%
3. El señor Monson tiene tres inversiones de las que recibe un ingreso anual de
US$ 2.780. Una inversión de US$ 7.000 está a una tasa de interés anual del 8%.
Otra inversión de US$ 10.000 está a una tasa anual de 9%. ¿Cuál es la tasa de
interés anual que recibe sobre la tercera inversión de US$ 12.000? Rta. 11%
4. La señora Sanz invirtió parte de US$ 10.000 en un certificado de ahorros al 7%
de interés simple. El resto lo invirtió en un título que producía 12%. Si recibió un
total de US$ 900 de interés por el año, ¿cuánto dinero invirtió en el título? Rta.
US$ 4.000
5. Los Wilson tienen invertidos US$ 30.000 al 12% y otra suma invertida al 8,5%.
Si el ingreso anual sobre la cantidad total invertida es equivalente a un porcentaje
de 10% sobre el total, ¿cuánto han invertido al 8,5%? Rta. US$ 40.000
6. Kolman tiene 4 monedas más de 10 centavos (dimes) que de 5 centavos
(nickels). Si el valor total de esas monedas es de US$ 2,35, encuentre cuántas
monedas de cada denominación tiene. Rta. 13 nickels y 17 dimes.
7. Una malla de alambre será colocada alrededor de un terreno rectangular de
modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del terreno sea el doble del
ancho. ¿Cuántos pies de malla serán utilizados? Rta. 120 pies
8. La compañía Geometric Products fabrica un producto con un costo variable de
$2,20 por unidad. Si los costos fijos son de $95.000 y cada unidad se vende a $3,
¿cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad
de 50.000? Rta. 181.250
9. Una persona desea invertir US$ 20.000 en dos empresas, de modo que el
ingreso total por año sea de US$ 1.440. Una empresa paga al 6% anual, la otra
tiene mayor riesgo y paga a un 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada una?
Rta. US$ 4.000 y US$ 16.000
10. El costo de un producto al menudeo es de $ 3,40. Si desea obtener una
ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el
producto? Rta. $ 4,25
11. Suponga que los clientes comprarán q unidades de un producto cuando el
precio sea de (80-q) /4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas
a fin de que el ingreso por ventas sea de 400 dólares? Rta. 40 unidades
12. El ingreso mensual R de cierta compañía está dado por R = 800 p – 7 p2,
donde p es el precio en dólares del producto que fabrica. ¿A qué precio el ingreso
será de US$ 10.000 si el precio debe ser mayor de US$ 50? Rta. US$ 100.
13. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un
fabricante suministra 2p – 8 unidades al mercado y que los consumidores
demandan 300 – 2p unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la
demanda, se dice que el mercado está en equilibrio. Determine ese valor de p.
Rta. 77
14. Una compañía fraccionadora compra una parcela en $7.200. Después de
vender todo excepto 20 acres con una ganancia de $30 por acre sobre su costo
original; el costo total de la parcela se recuperó. ¿Cuántos acres fueron
vendidos? Rta. 60
15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad
de A es $2 más que el de B. Los costos de producción de A y B son
respectivamente $1.500 y $1.000 y se hacen 25 unidades más de A que de B.
¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican? Rta. 150 de A y 125 de B o
125 de A y 100 de B.
16. Una compañía fabrica un dulce en forma de arandela. A causa del incremento
en los costos, la compañía cortará el volumen del dulce en un 20%. Para hacerlo
conservarán el mismo grosor y radio exterior, pero harán mayor el radio interno.
El grosor y radio interno actuales son de 2 mm. y el radio exterior de 7 mm.
Determine el radio interno del dulce con el nuevo estilo. (Sugerencia: El volumen
V de un disco sólido es de
π r2 h, donde r es el radio y h el grosor). Rta. ± 13
17. Una fábrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de máquinas
herramienta donde se fabrican las partes de los muebles y una división de
ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto
terminado. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división y
que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga que se producen sólo dos artículos:
sillas y mesas. Una silla requiere 384 horas de maquinado y 480 horas de
17
17
ensamble y terminado. Una mesa requiere 240 horas de maquinado y 640 horas
17
17
de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de
estos productos y que el fabricante quiere mantener ocupados a todos sus
empleados, ¿cuántas sillas y cuántas mesas al día puede producir esta fábrica?
18. La alacena de ingredientes mágicos de una bruja contiene 10 onzas de
tréboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de raíz de mandrágora en polvo. La
alacena se resurte automáticamente siempre que ella use justo todo lo que tiene.
Una porción de amor requiere 3 1 onzas de tréboles y 2 2 onzas de mandrágora.
13
13
Una receta de una conocida cura para el resfriado común requiere 5 5 onzas de
13
tréboles y 10 10 onzas de mandrágora. ¿Qué cantidad de la poción de amor y del
13
remedio para el resfriado debe hacer la bruja para usar toda la reserva de su
alacena?
19. Un granjero da de comer a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento.
Una unidad estándar del alimento A proporciona a un novillo 10% del
requerimiento diario de proteína y 15 % del de carbohidratos. Una unidad
estándar del B proporciona 12% del requerimiento diario de proteína y 8 % del de
carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100% de los
requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿cuántas unidades
de cada tipo de alimento debe dar a un novillo al día?
20. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda para un producto, si p representa
el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por unidad de tiempo,
encuentre el punto de equilibrio para:
a) Oferta: p =
1
q+2 ;
100
Demanda: p =
−7
q + 12
100
b) Oferta: 3q − 2 p + 250 = 0 ;
c) Oferta: p = (q + 10)
2
;
Demanda: 65q + p − 573,5 = 0
Demanda: p = 388 − 16q − q 2
Demanda: p = 20 − q
d) Oferta: p = q + 10 ;
21. Las ecuaciones de Ingreso total en dólares y costo total en dólares para un
fabricante
son
y = 100 −
1000
; y = q + 40 , respectivamente. En ellas q
q + 10
representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades
vendidas, encuentre la cantidad de equilibrio. Bosqueje un diagrama.
BIBLIOGRAFIA
Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 .
Ed. Mc. Graw- Hill. Bogotá, 1.996.
Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una
variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.
Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas
Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida.
Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002
WEB- GRAFIA
www. Matematicastyt.cl/calculo-diferencial/
es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/
www.emagister.com/calculo-diferencial
matematicas.uniandesx.edu.co/
para
CAPITULO 2. FUNCIONES Y GRÁFICAS
Objetivos Generales:
1. Realizar la gráfica de una función a partir de sus elementos para describirla
y explicar su comportamiento
2. Analizar las propiedades numéricas, geométricas y analíticas de la funciones
3. Analizar y explicar distintas representaciones de una función
4 .Identificar y analizar diferentes tipos de funciones como: lineal, cuadrática,
racional y polinómica.
5. Resolver situaciones a partir de los diferentes tipos de funciones estudiados.
6. Solucionar sistemas de ecuaciones (funciones) y aplicarlos a problemas de la
vida cotidiana
Objetivos específicos:
Utilizar distintas herramientas matemáticas (sistemas numéricos,
geometría, aproximación) para trazar la gráfica de una función o para
hallar elementos relevantes de la misma.
Expresar verbal o simbólicamente características de funciones y de
expresiones matemáticas.
Comprender y resolver problemas referentes a funciones
Subtemas:
2.1 Definición
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares
2.3 Funciones especiales
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras Clave:
Operaciones con reales
Ecuación
Polinomio
Propiedades de exponentes
Propiedades de radicales
Muchas relaciones usuales involucran a dos variables de modo tal que el valor de
una ellas depende del valor de la otra. Así, las ventas de un producto dependen
de su precio. La distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad.
Consideremos la relación entre el área de un círculo y su radio. Puede ser
expresada por la ecuación
, donde el valor de
depende del
elegido. Hablamos de
como variable dependiente y de
como variable
independiente.
2.1 Definición de función
Una relación es un proceso que indica una correspondencia entre un primer
conjunto de elementos denominado dominio y un segundo conjunto denominado
rango, tal que a cada elemento del primero le corresponde uno o más elementos
del segundo.
Una relación se puede expresar como una regla que puede estar dada por una
ecuación o un sistema de ecuaciones.
Dominio y rango
En una relación, al conjunto de todos los valores posibles del primer
componente ( ), se le llama dominio y al conjunto de todos los valores del
segundo componente ( ), que resulta del uso de los valores en el dominio, se
le llama rango.
Una función es una relación tal que a cada elemento del dominio le
corresponde uno y sólo un elemento del rango. Toda función es una relación
pero existen relaciones que no son funciones.
•
Recuerda que:
el costo de
producir un bien
o
servicio
depende de los
costos
fijos
(servicios,
gastos
de
personal,
arrendamientos
, etc.), y de los
costos variables
(que dependen
exclusivamente
del nivel de
producción
o
unidades
producidas,
como materia
primas).
Además,
los
costos totales
son iguales a
los fijos más los
variables.
En el conjunto de pares ordenados: {(1 , 3), (2 , 6), (5 , 9), (-2 , - 4)}
El dominio corresponde a los primeros componentes {1 , 2 , 5 , -2}
El rango corresponde a los segundos componentes {3 , 6 , 9 , -4}
2.2 Gráficas en coordenadas rectangulares
Ejemplo 1. Supongamos que la relación entre
y , en la que
representa las
unidades de servicio producidas y
representa el costo total de producción, con
unos costos fijos de $ 2, está dada por la siguiente ecuación:
Si damos a
un valor de 1, entonces
= 3(1) + 2 = 5
Si damos a
un valor de 4, entonces
= 3(4) + 2 = 14
Si damos a
un valor de -3, entonces
= 3(-3) + 2= -7.
Sin embargo ¿tiene sentido el valor -3 dentro del ejemplo?
son: (1 , 5),
Así, algunos pares ordenados que definen la relación entre y
(4, 14) y (-3, -7). Como se puede observar, los pares ordenados son de la forma
En la función
, a
se le denomina variable independiente, ya que no
depende de ninguna otra, y, a
la variable dependiente porque su valor
depende del valor elegido para .
Para realizar la gráfica de una función, podemos elaborar una tabla en donde se
muestren algunos valores de las respectivas variables. Asignamos valores del
dominio a la variable independiente y encontramos el correspondiente valor para
la variable dependiente. A continuación ubicamos en el plano cartesiano las
parejas de la forma
igual que con las ecuaciones ya vistas, y según el
dominio de la función, dichos puntos se podrán unir mediante un trazo continuo.
x
y
1
5
4
14
-3
-7
Ejemplo 2. En la ecuación
, el único valor que no puede asignarle a
es 2 porque en ese caso el denominador sería igual a cero y recuerde que la
división entre cero no está definida. Teniendo en cuenta esto, el dominio de la
función será el conjunto de todos los números reales excepto el 2.
Dominio = {
:
R;
≠ 2} o R
Ahora bien como
nunca es igual a cero porque para que una fracción sea igual
a cero es necesario que el numerador sea igual a cero y en este caso el
numerador siempre es 1, el rango son todos los números reales excepto el 0.
Rango = {
:
R;
≠ 0}
La gráfica de esta función corresponde a:
Gráficamente se puede decir que una relación es una función si una recta vertical
trazada en el sistema de coordenadas no interseca a la gráfica en más de un
punto.
Como la recta azul, en nuestra gráfica, corta a la curva en un solo punto, decimos
que la relación es función.
Ejemplo 3. En la relación
, debido a que sólo es posible extraer la
raíz cuadrada de números reales no negativos, tenemos que
- 9 debe ser
mayor o igual a cero así que:
- 9 ≥ 0, transponiendo el 9 tenemos:
x≥9
Por lo tanto,
Dominio = {
:
≥ 9}
Esta ecuación podría ser escrita como
. Elevando al cuadrado ambos
lados y según lo visto anteriormente, su gráfica es una parábola abierta hacia la
derecha, por lo cual a cada valor de
le corresponde más de un valor en
,
razón por la que no es una función.
Pero atendiendo a que una raíz cuadrada tiene doble signo, para que pueda ser
tratada como función, solo tomaremos uno de los dos signos, en este caso el
positivo, es decir la raíz principal.
Rango = {
:
≥ 0}
Usualmente una función se define mediante una letra o grupo de letras como f, g,
h, F, G, H, sen, cos, ln,... entre otros. Si
es la variable independiente y
es la
se puede designar
variable dependiente, entonces el número que pertenece a
como ƒ( ), g( ), h( ), f( ), G( ), dependiendo de cómo se identifique la
función.
La notación ƒ(x) se lee "ƒ de x". En algunos casos se utiliza la notación f: A → B
que significa que A es el dominio de la función y B es el conjunto en donde están
contenidos los elementos del rango.
Ejemplo 4. Sea la función:
=3
+ 5 se puede escribir como ƒ( ) = 3
+ 5.
Esta notación es muy útil cuando deseamos conocer el valor de una función en
un punto específico, así si se desea conocer el valor de
cuando
= -2,
tenemos que:
ƒ(-2) = 3 (-2) + 5
=-6+5
=-1
El valor de
(-2) es -1. Así obtenemos el par ordenado (-2, -1).
Existen funciones en donde se utilizan variables diferentes de
ejemplo
, que sería una función en .
Ejemplo 5. Si
, calcular f (-4) ; f (-5/2)
)
+7
)+7
35,75
Ejemplo 6. Si
, calcular
(3 + t ).
y
. Como por
Ejemplo 7. Si
: R→ R, tal que
=ƒ( ) = 5, obtenemos una recta, ya que es
una ecuación lineal con pendiente cero.
Ejemplo 8. Para
=
,
x
y
-2
Podemos utilizar el símbolo
haremos la tabla de datos y la gráfica.
1
-1
0
-3/2
-3
3
-4
3/2
en lugar de las palabras “No existe”.
en donde el denominador se vuelve cero, es decir aquel que
Al valor de
sacamos del dominio, se le llama Asíntota vertical y es aquella recta imaginaria,
paralela al eje , en donde la gráfica no existe y que divide la curva en dos. En
este caso, la asíntota es
= -2. Como se puede observar, las dos ramas de la
hipérbola se acercan a esta recta pero nunca la cruzan.
2.3 Funciones especiales.
Función lineal. Es aquella cuya gráfica es una recta, y con ecuación de la forma
y=ƒ(x) = m x + b, en donde m representa el grado de inclinación o pendiente de la
recta y b representa el punto de corte con el eje vertical, conceptos ya estudiados
en las ecuaciones lineales en dos variables.
•
Recuerda que:
para hallar la
pendiente de una
recta
teniendo
dos
puntos
utilizamos
la
fórmula
Ejemplo 9. Si
,
para los puntos
y
ƒ(x) =
= 3x - 4;
g(x) =
= -2x - 4;
h(x) =
= 2/3 x - 4;
p(x) =
= -3/5 x – 4
(
Se espera que todas corten al eje
•
en el valor - 4.
Señale sobre la figura la ecuación que corresponde a cada recta.
•
Escriba la ecuación de tres rectas que corten al eje
en el valor 3 y haga
las gráficas en un mismo plano, para observar que el punto de
intersección es efectivamente (0,3).
Ejemplo 10. Las rectas ƒ(x) = y = 3x - 3; g(x) = y = 3x - 1; h(x) = y =3 x + 2;
p(x) = y =3 x + 4 ; son todas paralelas y tienen la pendiente positiva 3.
Funciones Lineales de Costo.
A las empresas industriales y comerciales del Estado les interesan los costos
porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos de dinero suelen destinarse al
pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler, calefacción, servicios
públicos y otros gastos. Según se señaló con anterioridad, los contadores,
economistas y administradores públicos definen el costo total en términos de dos
componentes: costo total variable y costo total fijo. Ambos componentes deben
sumarse para determinar el costo total.
Ejemplo 11. Si para un puesto de salud local se pretende comprar una
ambulancia, y se ha estimado que el costo del carro totalmente equipado es de
US$18.000 y el costo promedio de operación es de US$0.40 dólares. La función
de costo de compra y operación del carro de ambulancia es un ejemplo de
función lineal de costo. La función de costo: p = C(q) = 0.40q + 18.000 tiene
costos variables que cambian con el número de millas recorridas (q) y costos fijos
de US$18.000.
Los costos totales variables cambian con el nivel de producción y se calculan
como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción. En un
ambiente de producción, el costo variable por unidad suele estar constituido por
los costos de materias primas y mano de obra. En el ejemplo de la ambulancia, el
costo variable por milla se compone de los costos de operación por milla, como
gasolina, aceite, gastos de mantenimiento y depreciación.
Ejemplo 12. Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la
función que expresa el costo total anual C(q) en función de la cantidad de
unidades producidas q. En contabilidad indican que los gastos fijos cada año son
de 50.000 dólares. También han estimado que las materias primas por cada
unidad producida ascienden a $5,50 y que los gastos de mano de obra son de
$1,50 en el departamento de montaje, $0,75 en el cuarto de acabado y $1,25 en
el departamento de empaque y embarque.
Costo Total
C(q)=
Costo total variable
De
materias
primas (5,50)
De mano de obra
- Dpto. de montaje (5,50)
-Sala de acabado (0,75)
Costo total fijo
Costo total fijo
(50.000)
-Dpto. de embarque (1,25)
C(q) = 5,50 q + (1,50 q + 0,75 q + 1,25 q) + 50.000
C(q) = 9 q + 50.000
En la ecuación anterior, el 9 representa el costo variable combinado (US$9.00)
por unidad producida.
Si graficamos en un plano cartesiano, tomando a q como
tenemos:
y a C(q) como
Depreciación Lineal.
Cuando las entidades compran equipo, vehículos, edificios y otros tipos de
"bienes de capital", en contabilidad se le asigna el costo del bien a lo largo del
periodo de uso. En el caso de un camión que cueste US$10.000 dólares y que
tenga una vida útil de 5 años, se le asignará US$2.000 anuales por el costo de
poseer el camión. El costo asignado a un periodo determinado de tiempo se
llama depreciación. Por ejemplo, el valor del camión aparecerá en los estados
contables como US$10.000 en el momento de su compra,
US$10.000 - US$2.000 = US$8.000,
un año después de su adquisición y así sucesivamente.
La depreciación puede considerarse así mismo como el monto que ha disminuido
el valor en libros de un activo.
Ejemplo 13. Uno de los métodos más sencillos para calcular la depreciación es el
de la línea recta, en el cual es constante la tasa de depreciación y corresponde a
la pendiente de dicha recta. Si V es el valor en libros de un activo y t indica el
tiempo medido a partir de la fecha de compra para el camión antes mencionado,
V = f(t) = costo de compra – depreciación
V = 10.000 - 2.000 t .
Depreciación lineal con valor de salvamento.
Muchos activos tienen un valor de reventa o de salvamento, aún después de
haber cumplido con el propósito para el cual fueron adquiridos inicialmente. En
tales casos el costo asignado durante la vida del activo es la diferencia entre el
costo de compra y el de reventa. El costo asignado en cada periodo es el que se
obtiene al dividirlo entre la vida útil.
Ejemplo 14. Suponga que el camión del caso anterior tiene una vida útil de 5
años y que transcurrido ese lapso, puede venderse en US$1.000. El costo total
que puede asignarse a lo largo de la vida del bien es de US$10.000 - US$1.000 =
US$9.000. Si el camión debe depreciarse con este método, la depreciación anual
será de
La función que expresa el valor en libros V en función del tiempo es
V =ƒ(t) = 10.000-1.800 t
Oferta y Demanda Lineal.
En la práctica, algunas ecuaciones de oferta y demanda son aproximadamente
lineales en un intervalo particular, otras son no lineales. Aún en estos últimos
casos, las ecuaciones lineales proporcionan representaciones razonablemente
precisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado.
Para el análisis económico sólo es pertinente la parte de la gráfica que aparece
en el primer cuadrante, porque la oferta, precio y cantidad son, en general cero o
positivas.
Por tal razón, se ha dejado sólo punteada la curva en los demás cuadrantes.
Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado,
sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio
satisfactorio. Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para
que se lleven los bienes del mercado. Una capacidad de demanda negativa,
implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado
hasta que se ofrezcan cantidades a precio satisfactorio.
La curva de demanda lineal, en el caso más común, tiene pendiente negativa, es
decir, a medida que el precio aumenta, la cantidad demandada decrece y
viceversa.
En algunos casos la pendiente de una curva de demanda puede ser cero ( precio
constante sin considerar la demanda). En otros casos la pendiente puede no
estar definida (demanda constante sin importar el precio).
En el caso más común, la pendiente de la curva de oferta es positiva, es decir,
que al aumentar el precio aumenta el abastecimiento y decrece al disminuir el
precio. En ciertos casos la pendiente de una curva de oferta puede ser cero lo
que indica un precio constante e independiente de la oferta. En otros casos la
pendiente de la curva de oferta puede no estar definida (oferta constante e
independiente del precio).
Ejemplo 15. Demanda con pendiente negativa. En una empresa de telefonía
TPBC (Telefonía Pública Básica Conmutada) se determinó que cuando el precio
del impulso (impulso: tres minutos o fracción de comunicación efectiva continua)
era de $80, el consumo promedio diario por suscriptor era de 10 impulsos y se
consumían 20 cuando el precio era de $60. ¿Cuál es la ecuación de demanda?
p − 80 = −2q + 20
o, en términos de
y
, siendo
= q y
=p:
Ejemplo 16. Demanda con pendiente cero. Por ser la leche un artículo de primera
necesidad y cuyo consumo produce un impacto en la calidad de vida de los
grupos de población con menores recursos, el alcalde ordena a los productores
que el precio de la leche durante un año será de $1.200 el litro, sin importar la
cantidad demandada. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
p = 1200
Ejemplo 17. Demanda con pendiente no definida. Por considerarse necesarios
para la seguridad nacional, se compran anualmente 50 grandes generadores, sin
importar el precio. ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
q = 50
Ejemplo 18. Oferta dependiente del precio. Cuando el precio es US$ 50, hay
disponibles 50 cámaras de un tipo dado para el mercado, cuando el precio es
US$ 75 hay disponibles 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?
=
Ejemplo 19. Oferta lineal constante. De acuerdo con el contrato entre la
compañía A y la de teléfonos, la compañía A pagará US$ 500 al mes por las
llamadas de larga distancia sin límite de tiempo. ¿Cuál es la ecuación de la
oferta?
y = 500
Equilibrio del Mercado.
Se dice que existe equilibrio en el mercado en el punto (precio) en el que la
cantidad de un artículo demandado es igual a la cantidad en oferta. Así pues, si
se usan las mismas unidades para precio p y la cantidad, en ambas ecuaciones
(de oferta y demanda), la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio
corresponden a las coordenadas del punto de intersección de tales curvas.
Algebraicamente la cantidad y el precio se hallan resolviendo simultáneamente
las ecuaciones de oferta y demanda.
Para que los puntos de equilibrio tengan sentido deben ser positivos o cero, es
decir que las curvas de oferta y demanda se han de intersecar en el primer
cuadrante. En otros casos el punto de equilibrio no tiene sentido para fines
económicos.
Ejemplo 20. Equilibrio del mercado – modelo lineal. Hallar el punto de equilibrio
para las siguientes ecuaciones de oferta y demanda:
Oferta
; Demanda
.
Resolviendo las ecuaciones simultáneamente por igualación:
Donde, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones se obtiene que le punto
de equilibrio está en:
S=
Función cuadrática. Es aquella cuya gráfica es una parábola, y con ecuación de
la forma y=ƒ(x) = a x2 + b x + c, en donde a, b, c son constantes reales,
conceptos ya estudiados en las ecuaciones del mismo nombre.
Función Cuadrática de Ingreso.
La función del ingreso en economía nos muestra el comportamiento de las
cantidades recibidas por vender en el mercado un producto, las cuales dependen
de la cantidad demandada en el mercado. Esta función es fácilmente modelable
con una función cuadrática. A menudo la demanda del producto de una empresa
puede describirse en función del precio que se le fija.
Ejemplo 21. Ingreso por ventas. Supóngase que la empresa ha descubierto que
la cantidad de demanda de uno de sus productos depende del precio. La función
que describe esta relación es:
f ( p) = q = 1.500 − 50 p
donde q es la cantidad demandada en miles de unidades y p indica el precio en
dólares.
El ingreso total
logrado con la venta de q unidades se formula como el
producto de p y q, es decir,
= p q. Puesto que q se expresa en función de p, el
ingreso total se formulará en función del precio, así:
Y(q) =
: estamos diciendo que
es una función que depende de q. Así,
reemplazando q = 1.500 − 50.p, tenemos:
= p.q = p (1.500 − 50.p)
q = 1.500 p − 50 p2
Ésta ecuación corresponde a una función cuadrática. La función del ingreso total
está representada en la gráfica anterior. Observe que el dominio restringido de la
función consta de los valores no negativos de p.
•
¿tiene esto sentido?
El ingreso total esperado al cobrar determinado precio se calculará sustituyendo
el valor de p en la función del ingreso total. Por ejemplo, el ingreso total
correspondiente al precio de $10 es: Y(10) = 1.500(10) − 50(10)2 = 15.000 −
5.000 = 10.000
•
Dadas las intersecciones con el eje
en la gráfica, ¿qué valor de p
produce el valor máximo de
? ¿Cuál es el máximo ingreso total
esperado? ¿Qué cantidad se demanda a ese precio? ¿Qué sucederá si
p > 30?
Curvas de Oferta y Demanda.
Las porciones de gráfica que quedan en el primer cuadrante, de distintos tipos de
parábolas, frecuentemente son adecuadas para representar funciones de oferta y
demanda. La porción del primer cuadrante de una hipérbola equilátera con
frecuencia se usa para representar una función de demanda. Estas ecuaciones
se obtienen a partir de graficar observaciones recolectadas por medio de
encuestas o de resultados de operaciones efectivas. Si se verifica que el
comportamiento de la función se asemeja a una parábola, entonces se crea un
sistema de ecuaciones simultáneas a partir del cual se genera la respectiva
ecuación. Este procedimiento se estudiará en el próximo curso de matemática.
Por ahora concentrémonos en las ecuaciones de oferta y demanda ya obtenidas.
Ejemplo 22. Función cuadrática de oferta. La función que determina la oferta de
un producto es: q = 0,5 p2 − 200 y pretendemos determinar la cantidad ofrecida
cuando el precio del mercado para el artículo es de $50.
q = 0,5p2 − 200= 0,5(2.500) − 200=1050 unidades en miles.
•
¿Cuál es el dominio restringido de la función de oferta? En la gráfica,
interprete el significado de las intersecciones con los ejes, recuerde que
los valores para la variable p están en el eje
y los de la variable q
aparecen en el eje .
Ejemplo 23. Función cuadrática de la demanda. En relación con el ejemplo
anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de
determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores
preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y
con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios
precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la
conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma
óptima por una función cuadrática.
También encontraron que la representación cuadrática, sólo era válida entre los
precios $5 y $45. Al sustituir los puntos graficados en la ecuación general de la
función y resolver simultáneamente se obtiene la función de demanda:
q = p2 − 100 p + 2500 donde p es el precio de venta en dólares y q denota la
demanda expresada en miles de unidades.
La cantidad demandada a cualquier precio se calculará al sustituir el precio en la
función de demanda. Por ejemplo, a un precio de $30, la cantidad demandada
será:
q (30) = (30)2 − 100(30) + 2500 = 900 − 3.000 + 2.500 = 400 unidades (en miles).
Equilibrio de Mercado.
El precio y la cantidad de equilibrio en el mercado se pueden hallar
geométricamente como las coordenadas del punto de intersección de las curvas
de oferta y demanda en cualquier forma adecuada, por lo que se puede
determinar una solución aproximada geométricamente.
Por otra parte, en unos casos sólo se requiere la solución de ecuaciones de
segundo grado. Esto sucede por ejemplo, si una de las ecuaciones es lineal y la
otra es parabólica o hiperbólica, o bien si ambas ecuaciones son cuadráticas
respecto a la misma variable.
Ejemplo 24. Equilibrio entre oferta y demanda. El equilibrio del mercado puede
estimarse para las funciones de oferta y demanda de los ejemplos anteriores, con
sólo determinar el precio de mercado que iguale la cantidad ofrecida y la cantidad
demandada. Esta condición se expresa con la ecuación:
0.5
2
− 200 =
− 100
2
+ 2500
ecuación que puede arreglarse de modo que:
0.5 2 − 100 + 2700 = 0
Ahora emplearemos la fórmula cuadrática para determinar las raíces de la
ecuación:
Los dos valores que satisfacen la ecuación cuadrática obtenida son 1= $32.18 y
2 = $167.82. La segunda raíz se encuentra fuera del dominio relevante (dominio
restringido) de la función de demanda y por lo tanto, carece de significado.
Al sustituir
= 32.18 en las funciones de oferta y demanda, se produce la
cantidad de equilibrio del mercado.
q = 0.5
2
− 200 = 0.5 (32.18)2 − 200 = 317.77
En conclusión, se alcanza el equilibrio del mercado cuando el precio del mercado
es igual a $32.18 y la cantidad ofrecida y demandada es aprox. de 317.77
unidades.
Revisemos esto en la gráfica.
Ejemplo 25. Demanda lineal y oferta no lineal. Hallar el precio y la cantidad de
equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes, donde p
representa el precio y q la cantidad.
2q + p − 10 = 0 ;
p2 − 8q − 4 = 0
Resolviendo el sistema por sustitución,
q = (− p + 10) / 2, de la primera ecuación y 8q = p2 − 4 de la segunda.
Así, 8 (− p + 10) / 2 = p2 – 4,
-4 p + 40 = p 2 – 4,
p 2 + 4 p − 44 = 0
Al resolver esta ecuación tenemos dos valores para p: p1 = 4.9 y p2 = 8.9, y
reemplazar en la ecuación adecuada, obtenemos que las soluciones
aproximadas son (2.5, 4.9) y (9.5,-8.9) y el punto de equilibrio es (2.5, 4.9),
aproximadamente, teniendo en cuenta que el otro punto de la solución carece de
sentido en términos económicos.
Ejemplo 26. Demanda hiperbólica y oferta lineal. Hallar la cantidad y el precio de
equilibrio del mercado para las ecuaciones de oferta y demanda siguientes (en
donde q representa la cantidad y p el precio)
(q − 12)(p + 6)= 169
q−p+6=0
Sustituyendo, p = q + 6 , en la primera ecuación
(q − 12)((q + 6)+ 6)= 169
entonces, (q − 12)(q + 12)= 169 ,de donde, q = ±17.69 aprox.
Entonces deducimos que p = 23.69 en un caso y p = -11.69 en el otro.
La solución es entonces (17.69, 23.69).
Ejemplo 27. Curva de transformación parabólica. Una empresa de economía
mixta de acerías, produce cantidades
y
de dos clases diferentes de acero
utilizando el mismo proceso de producción. La curva de transformación de
.
producto para la materia prima utilizada está dada por
(a)¿Cuáles son las mayores cantidades de
y
que se pueden producir? (b)
¿Qué cantidades
y
se deben producir para que la producción de
sea 4
veces la de ?
es tan grande como se pueda si
= 0, por lo que la mayor cantidad de
(a)
es 20. Ahora,
es tan grande como se pueda si
= 0, por lo que la mayor
cantidad es
luego
= 2.9 aprox.;
= - 6.9 aprox. son los valores que solucionan la
ecuación. Concluimos que la mayor cantidad de
es 2.9.
(b) Sustituyendo
en
Como no puede haber cantidades de producto negativo, entonces tenemos que
el valor válido para
es 2. Luego las cantidades producidas son
= 8, = 2.
Resumen:
Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada número de
entrada x exactamente un número de salida f (x). Por lo común, una función está
especificada por una ecuación que indica lo que debe hacerse a una entrada x
para obtener f(x). Para conseguir un valor particular de la función, f(a),
reemplazamos cada en la ecuación por a.
El dominio de una función lo constituyen todos los números de entrada, y el rango
todos los números de salida. A menos que se diga lo contrario, el dominio de f
consiste en todos los números reales x para los cuales f (x) también es un real.
Algunos tipos especiales de funciones son: funciones constantes, polinómicas y
racionales. Una función que está definida por más de una expresión es llamada
función definida por partes.
En economía las funciones de oferta y demanda establecen una correspondencia
entre el precio p de un producto y el número de unidades q del producto que los
productores (o consumidores) ofrecerán (o comprarán a este precio).
Dos funciones f y g pueden ser combinadas para formar una suma, resta,
producto, cociente o composición.
Un sistema de coordenadas rectangulares nos permite representar
geométricamente ecuaciones con dos variables, así como funciones. La gráfica
en el plano cartesiano consiste en todos los puntos (x,y) que corresponden a las
soluciones de la ecuación.
Trazamos un número suficiente de puntos y los unimos (cuando sea apropiado)
de manera que la forma básica de la gráfica sea visible. Los puntos en donde la
gráfica interseca a los ejes, se encuentran haciendo x = 0 para hallar el corte con
el eje , y ,
= 0 para hallar el corte con el eje .
La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y = f(x) y consiste en todos
los puntos donde x está en el dominio de f. Los ceros de f son los valores de x
para los cuales f (x) = 0. A partir de la gráfica de una función, es fácil determinar
el dominio y el rango.
El hecho de que una gráfica represente una función puede ser determinado
usando la prueba de la recta vertical, que consiste en trazar una recta paralela al
eje y y esta no puede cortar la gráfica de una función en más de un punto.
La orientación de una recta no vertical está caracterizada por su pendiente:
Donde (x,y) y (x1 , y1) son dos puntos diferentes sobre la recta. La pendiente de
una vertical no está definida y la de una horizontal es cero. Rectas que ascienden
de izquierda a derecha tienen pendiente positiva y las que descienden pendiente
negativa. Dos recta son paralelas si tienen la misma pendiente o son verticales.
Dios rectas son perpendiculares si se cumple que la multiplicación de sus
pendientes es igual a -1. Una recta horizontal y una vertical son perpendiculares
entre sí (forman ángulos de 90º). La función lineal y = mx + b , tiene como gráfica
una líneas recta. La cuadrática o de la forma ax2+bx+c = y es una parábola que
tiene un punto llamado vértice de donde se desprenden dos ramas simétricas.
Depende del valor del coeficiente de la variable que esté al cuadrado, as
parábolas abren hacia arriba o hacia abajo (para que sean funciones).
Un sistema de ecuaciones lineales o no lineales puede ser resuelto por
eliminación, sustitución o igualación. La solución de un sistema formado por
ecuaciones de oferta y demanda para un producto, da como resultado el número
de equilibrio que indica el precio al que los clientes comprarán la misma cantidad
de un producto que los productores desean vender a ese precio. También el
punto de equilibrio es aquel en donde la ganancia total es igual al costo total.
GLOSARIO
Oferta: Es la cantidad ofrecida de un bien. Es la cantidad que los productores
están dispuestos a vender en un periodo dado a un precio en particular.
Demanda: Cantidad de productos que existen en el mercado y que los
consumidores están dispuestos a comprar en un momento dado.
Costo: Es todo egreso en que incurre el productor para elaborar y colocar en el
mercado su producto.
Ingreso: Es lo que recibe el productor como compensación por entregar en el
mercado un producto.
Economía: Es la ciencia que se dedica a la producción, distribución y consumo
para el bienestar de la sociedad humana. Toda economía debe responder: Qué
es lo que va a producir, como producir, dónde, cuánto, para quién y cuánto
producir. Existen dos variables que marcan la pauta de la economía: La
disponibilidad de materias primas y el mercado.
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO
1. Ecuación de la demanda. Suponga que los clientes demandarán 40 unidades
de un producto cuando el precio es de $12 por unidad, y 25 unidades cuando el
precio es de $18 por cada una. Encontrar la ecuación de la demanda, suponiendo
que es lineal, y el precio por unidad cuando 30 unidades son requeridas.
2. Ecuación de la Oferta. Suponga que un fabricante de zapatos coloca en el
mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $35 (dólares por par) y 35
pares cuando cuestan $30. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que el
precio p y la cantidad q están relacionados linealmente.
3. Ecuación de costo. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un
producto es de $40 y el de 20 unidades es $70. Si el costo c está relacionado
linealmente con el producto q, determine una ecuación lineal que relacione c con
q. Encuentre el costo de producir 35 unidades.
4. Depreciación. Suponga que el valor de una pieza de maquinaria disminuye
cada año en un 10% de su valor original. Si el valor original es $8.000, encuentre
una ecuación que exprese el valor v de la maquinaria después de t años de la
compra, donde 0<t<10. Bosqueje la ecuación, seleccione t como el eje horizontal
y v como el vertical. ¿Cuál es la pendiente de la recta resultante? Este método de
considerar el valor del equipo es llamado depreciación lineal.
5. Escala de calificaciones. Por razones de comparación, un profesor quiere
cambiar la escala de calificaciones de un conjunto de exámenes escritos, de
modo que la calificación máxima siga siendo 100 pero la media (promedio) sea
80 en lugar de 56.
(a) Determine una ecuación lineal que haga esto. [Sugerencia: Quiere que 56 se
convierta en 80 y 100 permanezca como 100. Considere que los puntos (56 , 80)
y (100 , 100) y, de manera más general, (x,y), donde x es la calificación anterior y
y la nueva. Encuentre la pendiente y utilice la forma punto-pendiente. Exprese y
en términos de x.]
(b) Si 60 en la nueva escala es la calificación más baja para acreditar, ¿Cuál fue
la calificación más baja para acreditar en la escala anterior?
6. Punto de equilibrio. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto
son 3q- 200p+1.800=0, y 3q+100p-180=0, respectivamente, donde p representa
el precio por unidad en dólares y q el número de unidades por periodo.
(a) Algebraicamente encuentre el precio de equilibrio y dedúzcalo gráficamente.
(b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un impuesto de 27 centavos
por unidad al proveedor.
7. Punto de equilibrio. Un fabricante vende todo lo que produce. Su ingreso total
está dado por Y(q)=7q, y el costo total es C(q)= 6q+ 800, donde q representa el
número de unidades producidas y vendidas.
(a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama
de equilibrio.
(b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio si el costo total es
incrementado en 5%.
8. Negocios. Un fabricante vende un producto a $8,35 por unidad, vendiendo todo
lo producido. El costo fijo es de $2.116 y el costo variable es de $7,20 por unidad.
¿A qué nivel de producción existirán utilidades de $4.600? ¿A qué nivel de
producción existirá perdida de$1.150? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto
de equilibrio?
9. Oferta y demanda. El punto de equilibrio del mercado para un producto ocurre
cuando 13.500 unidades son producidas a un precio de $4,50 por unidad. El
productor no proveerá unidades a $1 y el consumidor no demandará unidades a
$20. Encuentre las ecuaciones de oferta y demanda si ambas son lineales.
10. Costo variable. Un fabricante alcanzará el punto de equilibrio en un volumen
de ventas de $200.000. Los costos fijos son de $40.000 y cada unidad se vende
a $5. Determine el costo variable por unidad.
11. Política de descuento. Un museo de historia natural local cobra por la entrada
de grupos de acuerdo con la siguiente política. A los grupos menores de 50
personas se les cobra una tarifa de U$1,50 por persona, mientras que a los
grupos de 50 personas o más se les cobra una tarifa reducida de U$1 por
persona.
(a) Exprese la suma que ha de cobrar a un grupo por su entrada al museo como
una función del tamaño del grupo.
(b) Represente gráficamente esta función.
(c) ¿Para cuales valores de la variable independiente tiene esta función una
interpretación práctica?
(d) ¿Cuánto dinero ahorrará un grupo de 49 personas en los costos de entrada si
se puede conseguir un miembro adicional?
12. Análisis gráfico. Investigue los valores de la tasa representativa del mercado
del dólar durante un mes, haga el gráfico correspondiente y elabore un análisis
de la tendencia del dólar durante dicho periodo. Para ello una buena fuente es la
revista del Banco de la República, lo mismo que las estadísticas del DANE. Si no
logra acceso a las revistas y boletines estadísticos, puede consultar los diarios o
las páginas web:
www.banrep.gov.co;www.dane.gov.co;
www.bolsadebogota.com.co.
13. Oferta y demanda. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan curvas
de demanda, cuáles representan curvas de oferta, y cuáles no representan
ninguna de ellas?
(a) q - 2 p = 0,
(b) 3 q + 4 y - 10 = 0,
(c) p - 4 = 0,
(d) q - 3 = 0,
(e) 2 q - 3 p + 1= 0,
(ƒ) 2 q + 5 p + 4 = 0,
(g) 3 q + 4 p - 12 = 0,
(h) 5 q - p - 10 = 0,
(i) 2 p + 3 q +2 = 0,
(j) q - 3 p = 0.
14. Oferta lineal. La curva de oferta de un artículo es q =1.1p – 0.1.
(a) Hallar la cantidad demandada para precios de 4, 16, 25.
(b) Hallar el precio si la cantidad demandada es de 9, 7, 2.
(c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo?
(d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis?
(e) Graficar la curva.
15. Oferta lineal. La ecuación de oferta de un artículo es q = a p-b, en donde a y b
son constantes positivas, p representa el precio y q la cantidad en oferta.
(a) Hallar el precio si la cantidad en oferta es (i) 5a-b, (ii) a+2b.
(b) Hallar la cantidad en oferta si el precio es (i) 3b/a, (ii) 5b/a.
(c) ¿Cuál es el menor precio al que se ofrecería este artículo?
16. Ingreso - Costo lineales. Un manufacturero vende sus artículos a $5 por
unidad.
(a)¿Cuál es el ingreso total por ventas de 5.000 unidades del producto? ¿Cuál es
la ecuación para esta función de ingresos? Graficar la función.
(b) Los costos fijos son constantes con valor de $3.000 sin importar el número de
unidades producidas.
(c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En
esta compañía se estima que los costos variables son de un 40% del ingreso
total. ¿Cuál es el costo total cuando se venden 5.000 unidades del producto?
Graficar superpuesta sobre la de (a).
(d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indicar dicho punto en la gráfica y resolver
para la correspondiente cantidad vendida. Indicar en la gráfica la cantidad con
que el fabricante cubre sus costos fijos.
17. Equilibrio del mercado. Identificar cuál de las siguientes ecuaciones
representa una curva de oferta y cuál una curva de demanda; determinar el punto
de equilibrio y graficar las curvas (i) q+p=5, (ii) 2q-p=5,5.
18. Costo Lineal. La gerencia de una empresa comercial de producción de
herramientas agrícolas del municipio X (empresa creada con el objetivo principal
de generar empleo), tiene costos fijos (a salida cero) de $300 diarios y costos
totales de $4.300 diarios cuando hay una salida de 100 pares de patines por día.
Suponga que el costo C está linealmente relacionado con la salida.
(a) Determine la pendiente de la recta que une los puntos asociados con las
salidas de cero y 100; es decir, la recta que pasa por (0,300) y (100, 4.300).
(b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona la salida con el costo. Escriba
la respuesta final en la forma C= m q+b.
(c) Construya la gráfica de la ecuación del costo tomado de la parte B para
0<q<200.
BIBLIOGRAFIA
Swokowski, Earl W. / Cole, Jeffery A. Álgebra y Trigonometría.
International Thomson Editores.1.998.
Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica.
Ed. Harla, S.A. 1.982.
Swokowski Earl W. Cálculo con Geometría Analítica.
Ed. Grupo Editorial Iberoamérica.1.989.
Kleiman, Ariel. Conjuntos: Aplicaciones Matemáticas a la
Administración. Editorial Limusa, México,1994
Fregoso, Arturo. Los elementos del lenguaje de la matemática: Lógica
y Teoría de Conjuntos.
Editorial Trillas, México ,1977
Rubio Segovia. Lógica y teoria de conjuntos.
Editorial Alhambra, Madrid, 1974.
WEB- GRAFIA
matematicasunal.edu.co/
www.universia.net.co/publicaciones-por-tema-2008
www.guiamath.net/ejercicios-resultados
es.goecities.com/físicas/formularios/matematicas/calculo/
www1.universia.net/
CAPITULO 3. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Objetivos Específicos:
1. Analizar las funciones exponenciales y sus aplicaciones en finanzas,
economía y otras áreas.
2. Estudiar las funciones logarítmicas, sus propiedades y aplicaciones
3. Desarrollar técnicas para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales
4. Resolver problemas relacionados con el cálculo de logaritmos.
Subtemas:
3.1 Funciones exponenciales
3.2 Funciones logarítmicas
3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
3.4 Aplicaciones
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras Clave:
Elementos de una potencia
Logaritmo
Propiedades de los exponentes
Propiedades de los logaritmos
Transposición de términos
Introducción:
Algunas bacterias como la Lactobacillus acidophilus, que se encuentran en la
boca y en los intestinos, se reproducen muy rápidamente. En circunstancias
adecuadas, el número de bacterias en ciertos cultivos se duplica en un tiempo tan
corto como una hora (o menos). En esta parte analizaremos algunas funciones
que se pueden usar para modelar este crecimiento tan rápido.
Función no lineal es aquella, cuya representación gráfica en el intervalo
correspondiente al dominio restringido, no es una recta. En este capítulo,
solamente presentaremos más detalladamente las funciones exponencial y
logarítmica. El capítulo no se centrará en el estudio de las características de
estas funciones, sino en las aplicaciones que tienen que ver con los campos
pertenecientes al ámbito de la administración pública como son la administración,
la economía, la política, entre otras.
3.1 Funciones exponenciales
Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma y =ƒ(x) = ax, con
a>0 y a
, donde la base de la potencia "a" es una constante (un número) y el
exponente la variable x. Se usan predominantemente en biología para determinar
la propagación de bacterias; en psicología para estudiar el incremento en el
aprendizaje; en administración para estudiar los incrementos en el personal; en
matemática financiera para el estudio de las capitalizaciones y amortizaciones; en
sociología y demografía para estudiar el crecimiento de la población, entre otros
campos. El dominio de esta función es el conjunto de los números reales y su
rango el conjunto de los reales positivos.
Debemos determinar dos formas generales para este tipo de función, siempre
recordando que como todo número elevado a la cero es igual a uno, las gráficas
de las funciones exponenciales siempre pasarán por el punto (0,1).
Clases:
(a) Cuando la base es mayor que uno ( a >1)
Ejemplo 1. Graficar la función F(x) = 3x. La gráfica es creciente de izquierda a
derecha, es decir si aumenta el valor de x aumenta también el de y.
x
y
•
-2
1/9
-1
1/3
0
1
1
3
2
9
Recuerda que:
=
.
Además,
(b) Cuando la base es mayor que cero y menor que uno ( 0 < a < 1)
Ejemplo 2. Graficar la función G(x) =
=
La gráfica es decreciente de
izquierda a derecha, es decir si aumenta el valor de x disminuye el de y.
x
y
-2
9
-1
3
0
1
1
1/3
2
1/9
3.2 Funciones logarítmicas
La inversa de la función exponencial ƒ(x) = ax, a > 0, a≠ 1, se denomina función
logarítmica, se simboliza: loga x, se lee “logaritmo en base a de x”. Si a> 0, a≠ 1,
entonces, loga x = y si, y solamente si, a y = x. Es decir cada expresión
logarítmica tiene su correspondiente exponencial. Por lo tanto, todas las gráficas
pasan por el punto (1,0) ya que
y el eje
es asíntota vertical para la
función, ya que el logaritmo de cero y de valores negativos no existe.
•
Recuerda
que:
el
logaritmo de
un
número
es
el
exponente al
que
debo
elevar
la
base
para
obtener
la
cantidad
logarítmica.
Ej:
Porque
Ejemplo 1. Graficar la función f ( ) =
=
(logaritmo decimal de ,
porque la base es 10). La gráfica es creciente de izquierda a derecha, es decir si
aumenta también el de .
aumenta el valor de
x
y
1/2
-0,3
1
0
2
0,3
3
0,48
4
0,6
Los valores su pueden hallar con una
calculadora con la tecla “log” y están
aproximados.
=
(logaritmo natural de
Ejemplo 2. Graficar la función f ( ) =
base es el número de Euler, e, cuya aproximación es de 2.7182).
1/2
-0,69
1
0
2
0,69
3
1,1
. La
4
1,39
Los valores se pueden hallar con
una calculadora con la tecla “ln” y
están aproximados.
Los dos ejemplos anteriores presentan las dos funciones logarítmicas principales,
cuyos valores obtenemos con la calculadora. Pero para realizar una tabla de
datos de un logaritmo en una base diferente a estas dos debemos hacer uso de
la fórmula del cambio de base:
Por ejemplo, para hallar
procedemos así:
Ejemplo 3. Graficar la función f ( ) =
1/3
-1
1/2
-0,63
1 1,3
0 0,24
. (logaritmo en base 3 de
).
2
0,63
Ejemplo 4. Graficar la función f ( ) =
.
-2
-1
0
0
0,69
0,5
0,92
2
1,39
3.3 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Como su nombre lo indica, una ecuación logarítmica o exponencial es aquella
que posee expresiones logarítmicas o exponenciales respectivamente. Para
hallar la solución, es decir el valor o valores de la variable, es necesario aplicar
propiedades de logaritmos y/o exponenciales según el caso.
Propiedades
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Ejemplo 1. Resolver:
Ejemplo 2. Resolver:
=
- 10 = 0
Así,
= -5 ,o,
= 2, al reemplazar en la ecuación original por
log (-2), que como lo vimos en la sección anterior no existe.
= -5 genera
3.4 Aplicaciones
Interés Compuesto.
Una de las principales aplicaciones de la funciones exponenciales es el interés
compuesto, en el cual el interés generado por una cantidad de dinero invertida
(Capital inicial) es reinvertida de manera que también genere interés. Así el
interés es compuesto porque se suma a la cantidad invertida y entonces hay
"interés sobre interés".
Ejemplo 1. Suponga que $100 son invertidos a una tasa del 5% compuesto
anualmente. Al final del primer año, el valor del monto acumulado es el capital
inicial ($100) más el interés sobre ese valor (100 x 0.05), así:
100 + 100 (0.05) = 105
Esta es la cantidad sobre la cual el interés es generado para el segundo año. Al
final del segundo año, el valor del monto acumulado es el monto acumulado al
final del primer año ($105) más el interés sobre esa cantidad (105 x 0.05), así:
105 + 105 (0.05) = 110.25
Cada año el monto acumulado se incrementa en 5%. Los $110.25 representan el
capital original más todo el interés acumulado; esta cantidad es llamada también
monto compuesto. La diferencia entre el monto acumulado y el capital inicial es el
interés compuesto. El interés compuesto aquí es 110.25 - 100 = $ 10.25.
Generalizando mediante una ecuación tenemos:
Donde,
es el monto acumulado,
el capital,
la tasa de interés efectiva,
el número de periodos de capitalización (por año) y
el tiempo en años. Esta
ecuación puede ser aplicada tanto a las inversiones como a los préstamos y
ahorros.
Ejemplo 2. Suponga que $1000 son invertidos durante 10 años al 6% compuesto
anualmente, a) Encontrar el monto compuesto. b) Encontrar el interés
compuesto.
a) Tenemos que
= 1.000,
= 0.06,
= 1,
= 10
b) Encontrar el interés compuesto.
Interés compuesto = Monto compuesto - Monto inicial =
1790.85 - 1000 = $ 790.85
Crecimiento Poblacional.
La ecuación de interés compuesto puede ser aplicada no sólo al crecimiento del
dinero sino también a otros tipos de crecimiento, tal como el de la población. Por
ejemplo suponga que la población P de una ciudad de 10.000 habitantes crece a
razón del 2% por año. Entonces P es una función del tiempo t, donde t está en
años, así:
M (t) = P (1 + r) t = 10.000 (1 + 0,02) t = 10.000 (1,02) t
Ejemplo 3. La población de una ciudad de 10.000 habitantes crece a razón del
2% anual. Calcular la población dentro de cincuenta años.
M (t) = 10.000 (1 + 0,02) 50 = 10.000 (1,02) 50 = 26.916 habitantes aprox.
y =10.000 (1 + 0,02) x
Se debe tener en cuenta que en la gráfica, la parte negativa no se tiene en
cuenta ya que no tiene sentido el tiempo negativo (eje x).
Curvas de Gompertz (Funciones de crecimiento).
Las curvas de Gompertz, así denominadas por su inventor, se representan según
la ecuación:
en donde
es el número de individuos en la población en el tiempo , R
(0< <1) es la rata de crecimiento,
es la proporción del crecimiento inicial y
es el crecimiento al vencimiento (es decir la asíntota superior). Observe que
cuando =0,
, lo cual corresponde a
0 de la función de crecimiento
biológico, es decir la población inicial.
Las curvas de Gompertz se han utilizado a gran escala por los psicólogos para
describir diferentes aspectos del crecimiento humano y su desarrollo.
Los teóricos de la organización han encontrado las curvas de Gompertz
apropiadas para describir el crecimiento de muchos tipos de organizaciones.
También son apropiadas para muchas otras funciones en la administración y la
economía, por ejemplo, las funciones ingreso total y producción.
Gráfica Curva de Gompertz para el crecimiento de la organzación
Ejemplo 4. Crecimiento de la organización. A partir de las ventas esperadas y los
datos para compañías semejantes, el director de personal de una empresa
industrial del Estado predice que el número de empleados se puede escribir
mediante la siguiente ecuación:
en donde N es el número de empleados después de t años. Suponiendo que esto
es correcto, ¿cuántos empleados tendrá la empresa después de tres años?
¿Cuántos empleados tenía la empresa inicialmente. ¿Cuántos empleará cuando
alcance su máximo desarrollo?
La compañía emplea (200)(0,04)=8 personas inicialmente y 200 en su máximo
desarrollo. Después de tres años emplea:
Es decir, aproximadamente 134 personas.
Resumen:
Una función exponencial tiene la forma y = ax . La gráfica tiene una de dos formas
dependiendo del valor de la base a. Tiene como aplicación la fórmula de monto
acumulado (usada para el interés compuesto): S = C (1+r/n)nt , donde S es el
monto acumulado, t el tiempo en años, r la tasa de interés anual y n los periodos
anuales de capitalización.
Una base utilizada con frecuencia en la función exponencial es el numero e
2.71828. Esta base aparece en análisis económicos y en muchas situaciones que
involucran crecimiento o decaimiento, tales como estudios poblacionales y
decaimiento radiactivo. Los elementos radiactivos siguen la ley del decaimiento
exponencial N = N0
, donde N es la cantidad presente en el tiempo, N0 la
la constante de decaimiento. El tiempo necesario para que la
cantidad inicial y
cantidad de elemento decaiga es llamado vida media.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y viceversa. La
función logarítmica de base a es notada
, si y solo si
. La
gráfica también tiene una de dos formas dependiendo del valor de la base a.
Los logaritmos de base e son llamados Neperianos o naturales y denotados
como
; aquellos de base 10 se llaman decimales o comunes y se denotan
.
como
La vida media de un elemento radiactivo puede ser dada en términos de un
logaritmo natural y de una constante de decaimiento:
.
Se necesitan las propiedades de logaritmos y exponenciales para la solución de
ecuaciones que contengan este tipo de expresiones.
GLOSARIO
Variable dependiente: Es aquella que puede tomar valores sin depender de otra
variable.
Variable independiente: Es aquella que toma valores dependiendo de otra
variable.
Dominio: Valores que puede tomar la variable independiente en una función.
Rango: Imágenes de la función, es decir los valores de la variable dependiente
que resultan de reemplazar en la ecuación los valores del dominio.
Ceros de una función: Son aquellas coordenadas en las cuales el valor de y es
cero, es decir son los cortes de la gráfica con el eje x.
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO
1.Use un software para graficar las ecuaciones e indique el dominio de las
siguientes funciones:
a) y = 2 x
b) log 2 x = y
d) y = 50 – 40 L - 0,30x
2. La población proyectada P de una ciudad está dada por
P = 125.000 (1.12) t / 20
donde t es el número de años a partir de 1995.¿Cuál es la población estimada
para el año 2015?
3. Suponga que $1.000 son colocados en la cuenta de ahorros que gana interés
a una tasa del 5% compuesto semestralmente. (a) ¿cuál es el valor de la cuenta
al final de 4 años? (b) Si la cuenta hubiera generado intereses a una tasa del 5%
compuesto anualmente, ¿Cuál sería su valor después de 4 años?
4. Un certificado de $6.000 de depósito es comprado en $6.000 y es conservado
durante 7 años. Si el certificado gana un 8% compuesto cada trimestre, ¿cuál es
su valor al cabo de 7 años?
5. La población de una ciudad de 5.000 habitantes, crece a razón del 3% anual.
(a) Determine la ecuación de población P después de t años a partir de ahora.
(b) Determine la población dentro de tres años.
6. Las ciudades A y B actualmente tienen poblaciones de 70.000 y 60.000
habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la B crece
a razón de 5% anual. Determine la diferencia entre las poblaciones al final de 5
años.
7. Población. A causa de una baja económica la población de cierta área urbana
disminuye a razón del 1% anual. En el inicio la población era de 100.000
habitantes. ¿Cuál es la población después de 3 años?
8. Fuerza de trabajo. En un esfuerzo para disminuir costos, una compañía
reducirá su fuerza de trabajo a razón del 2% mensual durante 12 meses. Si
actualmente emplea a 500 trabajadores, ¿cuántos trabajadores tendrá dentro de
12 meses?
9. Punto de equilibrio. Hallar el precio y la cantidad de equilibrio para las
ecuaciones de oferta y demanda siguientes: q2 + 5q − p + 1 = 0 , 2q2 + p − 9 = 0 ,
mostrarlo además gráficamente.
10. De las siguientes ecuaciones diga cual representa la oferta y cuál a la
demanda. Luego obtenga la gráfica y calcule la cantidad y el precio de equilibrio:
p2 + p + q − 20 = 0; 2 p2 − q − 3p − 4 = 0 .
11. Curvas de Gompertz. Según un estudio realizado por el Instituto de Fomento
Industrial IFI, el número de empresas dedicadas a una industria particular se
describe mediante la ecuación:
donde t es el número de años desde que se inició la industria. ¿Cuántas
empresas existían en la industria después de 5 años? ¿Cuántas empresas
existían inicialmente en la industria? ¿Cuántas empresas existirán cuando la
industria alcance su máximo desarrollo?
12. Curvas de Gompertz. Los ingresos totales cada mes (en dólares) para
determinada compañía pueden describirse mediante la ecuación:
en la que p es la cantidad gastada en promoción y propaganda. (a) ¿Cuál sería el
ingreso total cuando no se gaste nada en promoción y propaganda? (b) ¿Cuáles
serían los ingresos máximos que se podrían lograr? (c) ¿Cuál sería el ingreso
total si se gastan $20 en promoción y propaganda? Obtenga la gráfica y
represente en ella los puntos.
13. Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
14. Encuentre la falacia:
15. Cierta máquina se deprecia de tal forma que su valor después de t años viene
dado por V (t ) = 1400000.e −0, 03t . ¿Cuál es el valor de dicha maquina después
de…
a) un mes?
b) 6 meses? c) 2 años?
d) 10 años?
16. Si $2.000 se invierten a un interés compuesto anual del 6% encuentre el
monto acumulado:
a) después de 4 años
b) después de 12 años
c) de 1 año si la capitalización es trimestral
d) de 4 años si la capitalización ocurre cada6 meses
1
17. Grafique las funciones. a)  
3
−4 x
b) y = 2 2 x
18. Calcular
a) log 2 3
19. Resolver:
b) log 7 4
a) 5 + 3.4 x −1 = 12
c) log 2 0,125
b) 2
2
− x
3
=
d) log 5 125
4
5
20. El costo de un producto está dado por C = (2q ln q) + 20. Evalúe el costo
cuando q = 6
21. La ecuación de oferta de un fabricante es p = log10 + q , en donde q es el

2
número de unidades. ¿A qué precio ofrecería el fabricante 1.980 unidades?
22. ¿Qué tiempo se requiere para que $600 se conviertan en $900 a una tasa
anual de 8% compuesto trimestralmente?
23. ¿Cuántos años deben transcurrir para que el dinero se duplique a la tasa
efectiva
r = 0,06?
24. En un cultivo de bacterias su número aumenta a razón del 4% por hora ∞∞ .
Al inicio estaban presentes 500 bacterias. (a) determine una ecuación que dé el
número de bacterias N después de t horas. (b)
Cuántas bacterias están
presentes después de 1 hora? (c)
¿Después de 3 horas? Aproxime su
respuesta al entero más cercano.
25. La población de una ciudad de 8.000 habitantes crece a razón del 2% anual.
(a) Determine una ecuación que dé la población P después de t años a partir de
ahora. (b) Encuentre la población dentro de 2 años. Dé la respuesta a (b)
aproximada al entero más cercano.
BIBLIOGRAFIA
Hoffman, Laurence y Bradley. Cálculo para Administración, economía y
ciencias sociales. Ed. Mc Graw-Hill, México, ed. Séptima. 2.001
Zill, Dennis G. / Dewar, Jacqueline M. Algebra y Trigonometría.
Ed. Mc. Graw - Hill.Santafé de Bogotá. 1.992.
Stewart, James. Cálculo.
Ed. Educativa. International Thomson Editores.
Zill, Dennis G. Cálculo con Geometría analítica.
Grupo Editorial Iberoamérica. México, D.F.
Varberg, Dale E. / Varberg, Thomas D. Álgebra and trigonometry.
Prentice Hall, Inc., New Jersey. 1.996.
WEB- GRAFIA
directorio –paginas web.abcenlaces.com/
www.mat.uson.mx/
www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/docencia/
www.matematicasbachiller.com/videos/
www.casadellibro.com/ libro: “Matemáticas para la economía y la empresa”
Contenido sintético del capítulo 4
CAPITULO 4. LIMITES
Objetivos Generales:
1. Analizar gráficamente el concepto de límite y aplicar técnicas algebraicas para
hallarlo
2. Determinar las asíntotas verticales y horizontales de un función utilizando
limites
3. Determinar la continuidad de una función
4. Proponer diferentes estrategias en la solución de problemas que involucran
límites de funciones.
Objetivos específicos:
Establecer relaciones entre casos reales y límites
Aplicar técnicas de factorización en el cálculo de límites
Deducir y calcular con ayuda de una gráfica el límite de una
función
Verificar y justificar la continuidad de una función en un intervalo
cerrado
Determinar las condiciones necesarias para establecer un
resultado relacionado con límites de funciones
Resolver diferentes problemas mediante el uso de límites
Subtemas:
4.1 Concepto de límite
4.2 Álgebra de límites
4.3 Límites infinitos
4.4 Límites al infinito
4.5 Continuidad
4.6 Aplicaciones
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras Clave:
Aproximación
Evaluación de funciones
Factorización
División de polinomios
Propiedades de exponentes
La noción de límite es fundamental en el cálculo. En la vida cotidiana hablamos
de velocidad límite, el límite de nuestra propia resistencia, los límites de la
tecnología moderna o de estirar un muelle al límite. Todas esas frases sugieren
que el límite es una especie de cota que a veces puede no ser alcanzable y otras
no solo alcanzable sino superable.
El concepto de límite se puede ilustrar con algunos casos sencillos. El tamaño de
las pupilas de los ojos aumenta o disminuye de acuerdo con el nivel de luz: si la
luminosidad del ambiente es baja, las pupilas se dilatan para permitir una mayor
entrad de luz; en cambio, si la luminosidad es alta, las pupilas se contraen para
permitir una menor entrada de luz.
Sin embargo, el tamaño de las pupilas tiene unos límites máximo y mínimo. Si se
desea hallar una función que modele matemáticamente la relación entre la
cantidad de luz y el tamaño de las pupilas se deben tener en cuenta todos esos
factores. Es decir, se buscaría una función con las siguientes características:
1. A medida que la cantidad de luz (x) crece, el tamaño de la pupila (y)
decrece hasta un valor mínimo, p.
2. A medida que la cantidad de luz (x) decrece, el tamaño de la pupila (y)
crece hasta un valor máximo, P.
El límite puede usarse para describir funciones con propiedades específicas
como las mencionadas antes. En el caso de las pupilas, expresamos el límite del
tamaño de la pupila igual a P a medida que la cantidad de luz decrece hacia cero
y el límite del tamaño de la pupila igual a p a medida que la cantidad de luz crece
hacia el infinito.
La noción de límite resulta ser algo sutil, fácil de pensar intuitivamente, pero algo
exigente de precisar. Para abordar este capítulo es indispensable dominar el
tema de las funciones estudiado en el capítulo anterior y, además, los casos de
factorización y productos notables estudiados en su bachillerato.
4.1 Concepto de límite
Un aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite
de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mientras
que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es en este
caso asíntota horizontal de la trayectoria del avión.
Dada una función ƒ, la pregunta que hacemos es: Si los valores de
se
aproximan hacia un número , ¿a qué número se aproximan los valores de
ƒ( )?, lo cual notamos como
que se lee: " límite de
de
cuando
tiende a
igual a ” . En este caso se
considera que la tendencia es tanto por la izquierda como por la derecha, es decir
que los valores de se acercan a por ambos lados de la función.
La notación
que se lee: " límite de
de
cuando
tiende a
por la izquierda igual a ”
significa que
se acerca mucho al valor , tomando valores menores que , y
los valores correspondientes en el eje
es decir los de
se acercan a .
La notación
que se lee: " límite de
de
cuando
tiende a
por la derecha igual a ”
significa que
se acerca mucho al valor , tomando valores mayores que , y
es decir los de
se acercan a .
los valores correspondientes en el eje
.
,
Ejemplo 1. Supongamos que dibujamos la gráfica de la función
y queremos hallar
Para todos los valores distintos de 1, es posible hacer una tabla de datos con dos
tipos de valores, unos que se aproximen a 1 por la izquierda y otros que se
aproximen a 1 por la derecha.
0,75
2,313
0,9
2,710
Por la izquierda
0,99
2,970
0,999
2,997
tiende a 3
1
1,001
3,003
1,01
3,030
Por la derecha
1,1
3,310
1,25
3,813
tiende a 3
Al representar la función debemos tener en cuenta que posee un hueco en el
punto (1,3) ya que para
= 1 el denominador se vuelve cero y la función no
existe. A pesar de este hecho, podemos acercarnos a 1 por ambos lados, tal
como se muestra en la tabla y escribir:
Ejemplo 2. Observe la gráfica siguiente y a partir de ella determine los siguientes
límites:
por la derecha y por la
Observamos que si nos acercamos a 2 en el eje
izquierda, los valores de
tienden a 3 (se acercan a 3). Y si nos aceramos a
cero los valores de y tienden a cero, entonces tenemos:
Ejemplo 3. Observe la gráfica y a partir de ella halle los siguientes límites:
Si observamos, los valores de
en
= 0 y en
= 2 son respectivamente 2 y 0,
por lo cual concluimos que estos son los valores de los límites respectivos. Pero
cuando
3 debemos ignorar el hacho de que
(3) = 2, ya que al “acercarnos”
a 3 por los dos lados lo hacemos por la recta, lo cual nos indica que el valor al
que tiende en es -1. Así,
Límites laterales.
Algunas veces, como en los ejemplos estudiados, encontramos funciones que no
o lo están pero generando una ruptura en la
están definidas en un punto
continuidad de la gráfica, pero es claro el valor de
al que tienden. Sin embargo,
en algunas funciones no se ve la misma tendencia ya que si nos acercamos por
la derecha obtenemos un valor diferente a si nos acercamos por la izquierda.
Ejemplo 4. Consideremos la función T que asocia a cada período de tiempo de
duración de una llamada telefónica su importe; si suponemos que cada 3 minutos
o fracción importa 50 pesos, la gráfica de T es la de la figura. ¿Cómo se
comporta T en el punto = 3?
Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayores que 3, los valores de la
función son 100; pero si nos aproximamos a 3 con valores menores que 3, los
valores de la función son 50. Esta situación se puede resumir diciendo que el
límite de T por la derecha en el punto 3 es 100 y que el límite de T por la
izquierda en el punto 3 es 50.
Simbólicamente:
Ejemplo 5. Consideremos la función:
¿Cómo se comporta ƒ en el punto x = 1?
Si nos aproximamos a 1 tomando valores mayores que 1, los valores de la
función se aproximan a 2; pero si nos aproximamos a 1 con valores menores que
1, los valores de la función se aproximan a 0.
Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de ƒ por la derecha en el
punto 1 es 2 y que el límite de ƒ por la izquierda en el punto 1 es 0.
Simbólicamente:
Teorema. A partir de los ejemplos y las definiciones que se han visto hasta
ahora, podemos verificar que el
existe si y solo si existen los límites laterales y son iguales.
Hemos encontrado límites utilizando la gráfica o la aproximación en la tabla de
datos, pero sería muy dispendioso tener que realizar estos procedimientos para
hallar nuestras respuestas, por lo cual, en la próxima parte haremos uso de
técnicas algebraicas que nos permitirán acortar el proceso.
4.2 Álgebra de límites
Límites evaluables. Las propiedades anteriores nos permiten enunciar la
siguiente regla: Para calcular el límite de una función en un punto
= , se
sustituye la variable independiente
por
y se realizan las operaciones
indicadas. Se reducirá así a calcular un valor numérico, pero puede ocurrir que al
realizar este cálculo se llegue a alguna indeterminación, este tipo de límites se
tratarán más adelante.
Por ahora, para halar límites evaluables, solo reemplazamos el valor al que
tiende en la función.
Ejemplo 6.
Ejemplo 7.
Ejemplo 8.
Ejemplo 9.
Ejemplo 10.
Límites por factorización. Son aquellos que no se pueden manejar como los
anteriores, ya que al reemplazar producen indeterminaciones: denominadores
iguales a cero. Para desarrollarlos, es necesario que factoricemos tanto
denominador como numerador, de ser posible, con la idea de cancelar factores y
quitar la indeterminación para convertir el límite en evaluable y hallar nuestra
respuesta.
Ejemplo 11.
Ejemplo 12.
Ejemplo 13.
Ejemplo 14.
Ejemplo 15.
Ejemplo 16.
Observemos que en todos los casos la factorización y cancelación permiten que
el límite exista.
•
Recuerda
que:
para racionalizar
multiplicamos
tanto
el
numerador como
el denominador
por el conjugado
de la expresión
que tenga la raíz,
para obtener la
quitar la indeterminación del denominador.
Ejemplo 17.
,
,
Racionalizando
aplicando diferencia de cuadrados
, cancelando la raíz y elevando al cuadrado
,
sumando términos semejantes
,
cancelando
,
evaluando
Ejemplo 18.
Desarrollando la resta de fracciones
,
haciendo producto de extremos y medios
,
,
Racionalizando
desarrollando como diferencia de cuadrados
, desarrollando las operaciones del numerador
sumando términos semejantes
,
,
cancelando s
=
Ejemplo 19.
lim+
x →1
2x + 1 − 3 2x + 1 + 3
( 2 x + 1) − 3
2( x − 1)
.
= lim+
= lim+
x −1
2 x + 1 + 3 x →1 ( x − 1)( 2 x + 1 + 3 ) x →1 ( x − 1)( 2 x + 1 + 3 )
lim
x →1+
2
2x + 1 + 3
= lim+
x →1
2
3+ 3
=
2
2 3
4.3 Límites infinitos
Observemos la gráfica siguiente:
Como la idea de hallar un límite es encontrar el valor de y al que tiende la función
cuando x se acerca a un valor, podemos intuitivamente contestar que:
Cuando el valor de
es muy próximo y mayor que 0 entonces la función se hace
infinitamente grande. Cuando el valor de
es muy cercano a 0 y a la vez menor
que cero, entonces la función se hace muy negativa, acercándose a menos
infinito.
Analicemos la función
g ( x) =
1
x
cuando
tiende a cero; es decir
. Para ello elaboramos una tabla de datos:
g (x)
-0,5
-2
-0,25 -0,10 -0,05 -0,01
-4
-10
-20
-100
0
0,01
100
0,05
20
0,10
10
0,25
4
Observamos que el comportamiento es el mismo que el descrito en el párrafo
anterior.
Ahora, con base en la gráfica de g (x ) , que aparece a continuación, tenemos:
g (x )
Definición: Si
donde ,
y
entonces:
Con esta definición, podemos hallar la respuesta de un límite infinito sin
necesidad de hacer la gráfica.
Ejemplo 20. Hallar
Siempre debemos hallar los límites laterales, ya que puede ocurrir que tengan la
misma tendencia o tendencia contraria. Para determinar los signos del numerador
y del denominador, reemplazamos por un valor muy cercano a 0 por los dos
y la tendencia de s( ):
lados, para determinar
Así en
se dice que la función ƒ tiene en la recta x=
a una asíntota vertical ya que la
gráfica de la función ƒ se aproxima tanto como se quiera a la recta x =
a
cuando x se aproxima a a.
Es decir cuando ocurren casos combinados en los límites siguientes:
Ramas convergentes
Ramas divergentes
Ejemplo 21. Hallar
Ejemplo 22. Hallar
Ejemplo 23. Hallar
1
Ejemplo 24. Encontrar lim−
x →2 3
lim
x→2− 3
x2 − 4
1
1
+
→
→ → −∞
3
−
x2 − 4
(1,999) 2 − 4


Ejemplo 25. Determinar lim+  x −
x→0
1 

x3 
 x4 −1
1 
(0,001) 4 − 1
−

lim+  x − 3  = lim+  3  →
→ → −∞
3
x→0 
+
x  x→0  x 
(0,001)
Ejemplo 26. Hallar lim−
x → −2
2x 2 + x + 1
x+2
lim−
x →−2
2x 2 + x + 1
2(−2,001) 2 + (−2,001) + 1
+
→
→ → −∞
x+2
− 2,001 + 2
−
4.4 Límites al infinito
=
=
0
En la gráfica anterior se puede apreciar que cuando
función decrece acercándose a cero:
se hace muy grande, la
y, cuando x se hace muy negativo la función crece acercándose a cero.
Así, para cualquier función,
intuitivamente significa que los valores de ƒ se aproximan a la recta horizontal
. Es decir que esta recta es la asíntota horizontal de
.
Teorema: Si
entonces
es un número racional positivo y
es cualquier número real,
Afirmación que es indispensable para determinar esta clase de límites.
Tendremos en cuenta tres posibles casos de las funciones racionales:
•
Cuando el grado del numerador es menor al grado del denominador. En
este caso, dividimos cada término por la mayor potencia de la variable
que aparezca en la función.
Ejemplo 27. Hallar
Ejemplo 28. Encontrar
, dividiendo entre
cada término
, dividiendo entre
cada término
=
=
=
=
Como podemos inducir de los ejemplos anteriores, la respuesta a este tipo de
límite al infinito siempre será cero.
•
Cuando el grado del numerador es igual al grado del denominador.
Realizaremos el mismo procedimiento anterior, pero a diferencia de ese,
la respuesta de estos límites es una constante diferente de cero.
3x 2
x →∞ x 2 + 2
Ejemplo 29. Hallar lim
dividiendo entre
cada término, se tiene:
3x 2
x2
lim 3
3x 2
3
x →∞
=
=
=
lim
lim
x →∞ x 2 + 2
x →∞ x 2
x
→
∞
2
2
2
1
+
lim
1
+
lim
+
2
x →∞
x →∞ x 2
x
x2 x2
lim
Y aplicando nuestro teorema a
2
x→∞ x 2
lim
Tenemos
Ejemplo 30. Encontrar
3
= 3 (Asíntota horizontal, recta azul)
1+ 0
Ejemplo 31. Determinar
Ejemplo 32. Hallar
•
•
•
Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales,
correspondientes a cada uno de los límites +∞ y −∞.
La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o
varios puntos. No obstante, en la mayoría de las funciones elementales la
gráfica permanece por encima o por debajo de la asíntota considerada a
partir de un punto.
El conocimiento de la situación de la gráfica con relación a las asíntotas
es esencial para la representación de funciones. En el caso de la asíntota
horizontal y=L es conveniente estudiar si la función se aproxima a la
asíntota por encima o por debajo.
Cuando el grado del numerador es mayor al grado del denominador. Estos
límites, que son tanto infinitos como al infinito, no pueden tener el mismo
procedimiento que los anteriores, ya que al dividir por la mayor potencia, que está
en el numerador, y aplicando el teorema, el denominador va a ser cero, lo cual es
una indeterminación. Por eso aplicaremos el desarrollo de los límites infinitos.
Ejemplo 33. Hallar
Lo cual significa que si
aumenta infinitamente,
tiende hacia infinito.
Ejemplo 34.
Lo cual significa que si
tiende hacia menos infinito, los valores de
también lo
hacen en el mismo sentido, podemos verificar esto en la gráfica anterior.
Ejemplo 35. Determinar
Tomemos primero el límite hacia menos infinito:
Ahora, el límite hacia infinito:
Ejemplo 36. Encontrar
En la gráfica podemos observar que de realizar el límite hacia menos infinito ,
tendería hacia menos infinito también. (Si notamos, tiene una asíntota vertical en
=0).
•
•
•
•
Una función tiene como máximo dos asíntotas oblicuas.
La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua en uno o varios
puntos.
Para la representación de funciones es conveniente estudiar si la función
se aproxima a la asíntota por encima o por debajo.
Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas, el grado del
numerador debe ser una unidad superior al grado de denominador.
4.5 Límites y continuidad
Si te dicen que una máquina ha estado en operación continua durante las últimas
60 horas, la mayor parte de la gente entiende que la máquina ha estado en
operación todo ese tiempo sin interrupción alguna. Los matemáticos quieren decir
en gran parte lo mismo cuando hablan de funciones continuas. Se dice que una
gráfica es continua en un intervalo cuando puede trazarse si interrupción, es decir
sin levantar el lápiz del papel.
Hay funciones de la vida real, cada una de la cuales es una función de la variable
independiente tiempo: la altura de un objeto que cae, la velocidad de un objeto, la
cantidad de dinero en una cuenta bancaria, la frecuencia cardiaca de una
persona y la cantidad de cierta sustancia química presente en un tubo de ensayo.
¿Cuáles de estas son funciones continuas? ¿Qué significado tienen las
discontinuidades en la vida real?
No siempre está bien definido si un proceso es continuo o no. Cuando uno mira
televisión o cine, la acción parece continua. Esta es una ilusión óptica, ya que
tanto el cine como la televisión consisten en instantáneas individuales que pasan
a muchos cuadros por segundo. Dado que la persona parpadea varias veces por
minuto, ¿es nuestra percepción del mundo realmente continua?
La gráfica siguiente representa el crecimiento de una persona en función del
aparece la estatura en cm. y en el eje
los años
tiempo. En el eje
transcurridos. Midiendo su estatura cada año, se obtiene una gráfica con
pequeños saltos entre un punto y el siguiente. Si la gráfica se realiza midiendo la
estatura cada cinco años, el incremento entre cada punto y el siguiente ( ) será
mayor, como lo es también el incremento del tiempo ( ). Finalmente, si se
considera el crecimiento en cada instante, la gráfica que mide las alturas no sufre
ningún salto brusco. Se dice en este caso que la función es continua.
Continuidad de una función en un punto. Si analizamos las funciones cuyas
gráficas están dibujadas enseguida, aunque son semejantes, de inmediato se
observa que en =0 presentan un comportamiento muy distinto. Mientras que la
gráfica a) puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, no ocurre así en b), c) y
d), al llegar a =0 la gráfica se interrumpe.
Veamos el motivo de estas interrupciones:
En b) se verifica que ƒ(0 ) = 2 y
.
En c) no existe ƒ (0).
En d) ocurre que
Una función ƒ es continua en
=
a) Existe
Dom (ƒ).
. Es decir,
si se verifican las tres condiciones siguientes:
b) Existe
c)
Ejemplo 37. Miremos la continuidad de la función g (x) en x = 1.
Verifiquemos las tres condiciones:
a) Existe
b) Existe
c)
. Es decir,
Dom (g).
Como lo ilustra la gráfica, la función
es continua en
= 1.
Continuidad en un intervalo. Una función ƒ es continua en un intervalo abierto
cuando lo es en cada punto de dicho intervalo.
] cuando lo es en todos
Una función ƒ es continua en un intervalo cerrado [
los puntos de
y además es continua por la derecha en
y por la izquierda
en .
• ƒ (x)=
es continua en cualquier intervalo abierto o cerrado de R.
• ƒ (x)=
no es continua en [-1,1] ya que no está definida en
=0.
Algunos casos importantes de funciones continuas:
A. Toda función constante ƒ(x)=c es continua en cualquier punto.
B. La función identidad ƒ(x)=x es continua en todo R.
C. La función lineal ƒ(x)= ax + b es continua en todo punto. (La suma y el
producto de funciones continuas es otra función continua).
D. Las funciones ƒ(x) = x², ƒ(x)=x3,…, ƒ(x)=xn son continuas en cualquier punto.
(El producto de funciones continuas es otra función continua).
E. Toda función polinómica ƒ(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+an xn es continua en
cualquier punto.
F. Todas las funciones racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
son continuas en todos los puntos donde están definidas.
Ejemplo 38.
•
los
es continua en todo R excepto en
= -1 y
= 1, puntos en
cuales no está definida.
•
•
, es continua en R \
es continua en todo R.
, ya que en
= 1 no está definida.
•
es continua en (0,
).
Discontinuidades de una función. Si una función ƒ es discontinua en
= ,
su gráfica presenta en el punto
una "ruptura". Trataremos de ilustrar los casos
más
sencillos de discontinuidades según dicha "ruptura".
Discontinuidad de primera especie
Discontinuidad con salto finito
Discontinuidad con salto infinito
Ejemplo 39. La función ƒ (x) = 2 si x ≠ 1, no es continua en x =1 ya que no existe
. La función ƒ presenta en x = 1 una
ƒ (1), sin embargo existe
discontinuidad evitable. El valor que deberíamos dar a ƒ en x=1 para que fuera
continua seria 2: ƒ (1)=2.
Ejemplo 40.
, no es continua en = 2, ya que no podemos
asignar este valor a esta variable porque el denominador se convierte en cero:
( (2) no existe).
Presenta discontinuidad evitable, es decir si factorizamos el numerador y
cancelamos tendríamos:
Y este límite nos permite redefinir la función para que sea continua:
La gráfica por lo tanto nos quedaría de la siguiente forma:
Función continua
, no es continua en x = 1. Aunque existe ƒ (1)=3
Ejemplo 41.
y
especie).
, sin embargo
.
(Discontinuidad de primera
Ejemplo 42.
,
Ejemplo 43.
, no es continua en x=1. Aunque existe ƒ(1)=3,
sin embargo no existe
no es continua en
ya que
. En este caso la función
con salto finito.
Ejemplo 44. La función
No existe ƒ(1), y
= 0.
, mientras que
presenta en x=1 una discontinuidad
, es discontinua en
En este caso la función ƒ presenta una asíntota vertical en
observar en la gráfica:
= 1 con salto infinito.
= 1, como se puede
4.6 Aplicaciones
Un gran número de funciones en administración y economía son funciones de
tipo discreto (con discontinuidades finitas). Por ejemplo las funciones de precio y
de costo; o de oferta y demanda, son frecuentemente discretas debido a la
naturaleza de los bienes que ellas involucran y/o tienen discontinuidades debido
a que costos y precios unitarios disminuyen (o aumentan) bruscamente para
cantidades específicas.
Debe notarse que hay funciones que siendo de hecho discretas, se pueden
representar frecuentemente como continuas por conveniencia; esto se aplica, por
ejemplo, a las funciones de oferta y demanda de bienes vendidos por unidades
tales como refrigeradores, huevos, bombillas eléctricas, sillas, máquinas
cortadoras de césped, automóviles, etc.
Representar como continua una función que es discreta por naturaleza, hace
posible el uso de un gran número de herramientas de análisis que de otra forma
no sería posible aplicar.
Sin embargo al interpretar los resultados de tales análisis, debe tenerse presente
la naturaleza discreta básica por ejemplo, no es apropiado referirse al precio de
1,632 refrigeradores o al salario de 29,2 trabajadores.
Ejemplo 45. Un mayorista en abarrotes vende latas de tamaño numero 2 de cierto
vegetal en lotes de cajas de acuerdo con la siguiente lista de precios:
• $2,50 por caja en la compra de 20 cajas o menos
• $2,00 por caja en la compra de más de 20 cajas pero igual o menos que 50
• $1,75 por caja para órdenes que incluyen más de 50 pero igual o menos que
100 cajas
• $1,50 por caja para ordenes de más de 100 cajas
Si
es el precio total y
es la cantidad de cajas, la función de precio se puede
representar algebraicamente como sigue:
y geométricamente:
Ejemplo 46. Una compañía vende papelería comercial impresa en cajas de 200
hojas a un precio de $2,25 por caja. Si
es el precio total y
es el número de
cajas, la función de precio se puede representar algebraicamente mediante
ecuación:
para
= 1, 2, 3,.....
Esta función es discreta, ya que está definida solamente para valores enteros de
.
Ejemplo 47. Si el porte en el servicio de correo de primera clase en los Estados
Unidos es de 8 centavos por onza o fracción de onza, y si y representa el porte
requerido y x el peso de la carta (en onzas), la función de costo se puede
representar mediante la ecuación: y = 0.08 ([x]+1), en la cual [x] denota el mayor
entero contenido en x. La gráfica de esta función presenta discontinuidades
finitas en todos los valores enteros de x.
Resumen:
La noción de límite es el fundamento del cálculo. Decir que
, significa
que los valores de
pueden acercarse muchísimo a
cuando seleccionamos
lo suficientemente cercana a . Hay diferentes tipos de límites, los primeros
en la expresión para
son los evaluables, que permiten reemplazar el valor de
hallar el límite, sin causar indeterminación.
Si no es el caso tendremos entonces límites algebraicos, por factorización o
racionalización, en los cuales estos procedimientos eliminan la indeterminación
para que el límite se convierta en evaluable.
Para que un límite exista deben existir también sus límites laterales, a saber:
;
El símbolo
.
, que no representa un número, es utilizado para describir límites.
La proposición
, significa que cuando
crece sin cota, los valores
de
se aproximan al número . Una proposición similar se aplica cuando
, esto significa que
disminuye sin cota.
En general, si
> 0, entonces
Si
aumenta o disminuye sin cota cuando
, entonces escribimos
tiende a infinito o menos infinito
En particular, el límite de un polinomio cuando
es el mismo que el límite del término con la potencia más grande de . Esto
significa que para un polinomio no constante, el límite cuando
, es
o
- .
es continua en a si:
Una función
a)
está definida en
b)
c)
existe
=
Geométricamente esto significa que la gráfica de
no presenta corte cuando
= . Si una función no es continua en
y está definida en un intervalo abierto
que contenga a , excepto posiblemente en
misma, entonces se dice que la
función es discontinua en . Las funciones polinomiales son continuas en todas
partes, y las funciones racionales son discontinuas solo en los puntos donde el
denominador es cero.
GLOSARIO
Interés compuesto continuamente. Es aquel en el cual el interés percibido
después de un periodo d tiempo pactado se suma al capital inicial para hacer
parte del nuevo capital a tener en cuenta para un nuevo periodo de capitalización.
Continuidad. Matemáticamente hablando es aquella función que para ser
trazada no necesita levantarse el lápiz. Tiene que cumplir tres condiciones
analíticas.
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO
1. Calcule el límite aplicando las operaciones básicas:
(
4
3
a) lim x − 6 x − 17 x + 2
x →0
)
j) lim
x →4
2− x
3 − 2x + 1
2
b) lim
x →3
x − 2x
x +1
x 3 + x 2 − 5x + 3
x → −2
x 3 − 3x + 2
c) lim
d) lim
x →0
6x − 2
x − 12 x − 1
 4 x 3 + 8x 

k) lim
x→2
 4+ x 
1/ 3
25 x 2 − 4
x → −2 / 5 5 x 2 − 3 x − 2
l) lim
3
e) lim ( x + 1)( x + 2)
m) lim
x →0
x +1 −1
x
x→4
2x − 3
f) lim
x →1 3 x − 1
g) lim
x →1
2
x + 12
2
h) lim
x →3
x +1
x2 −1
3+ x − 3
x→0
x
x+2− 2
o) lim
x →0
x
n) lim
p) lim
x→0
q) lim
i) lim
x →5
x+4 −3
x−5
x →0
x +1 − 2
x−3
1− x
5 − x2 − 2
2. Mediante los métodos de factorización, simplifique cada expresión y calcule el
límite:
x2 −1
x → −1 x 2 − x − 2
a) lim
2x 2 + 5x − 3
x → −3
x+3
k) lim
x 2 − 25
x → −5 x + 5
b) lim
x 2 − 5x + 4
x−4
c) lim
x →4
3x 4 + 2 x 2
x →0 x 3 − 4 x 2
d) lim
e) lim
x →4
x 2 − 2x − 8
x−4
( x − 4) 2 − 16
x →0
x
f) lim
x2 − x − 2
x → −1
x +1
g) lim
h) lim
x → −3
i) lim
x →3
j) lim
x →2
l) lim
x →0
x3 − x
x
x 4 − 16
x → 2 10 x − 20
m) lim
x 2 − 2x + 3
x → −1 x 2 + 3 x + 2
n) lim
4x 2 − 1
x →1 / 2 6 x − 3
o) lim
2 x 2 + 5 x − 12
x →3 / 2
4x 2 − 9
x 3 + 8 x 2 + 15 x
q) lim 3
x → −3 x + 7 x 2 + 12 x
p) lim
8x3 − 1
x →1 / 2 2 x 2 + x − 1
2
r) lim
2
s) lim
x − x − 12
x+3
2 x + x − 21
x2 − 9
x 2 + 3 x − 10
x3 + x − 6
2 + x3 + 8
x →2 / 3 9 x 2 − 4
x 3 + 8 x 2 + 15 x
t) lim 3
x → −3 x + 7 x 2 + 12 x
3. Dada la función
. a) Demuestre que es continua en [0,1]. b)
Halle una cota inferior y otra superior en [0,1]. c) Halle su máximo y su mínimo en
[0,1].
4. El límite de una función se calcula en el punto x=a, ¿es necesario que este
punto pertenezca al dominio de definición? ¿Por qué?
5. Si una función toma siempre valores positivos y otra toma solo valores
negativos, ¿pueden tener el mismo límite en un punto? Si es así diga cuál es el
límite.
6. Una función tiene límite en un punto y en cualquier entorno suyo la función
toma valores positivos y negativos, ¿cuánto vale en este caso el límite?
7. Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 y que tome sólo valores mayores
que 1. Si es posible, dibuje la gráfica para aclarar la respuesta.
8. Escriba una función cuyo límite en x=0 es 1 y que todos los valores que tome
sean menores que 1. Dibuje la gráfica de la función para aclarar la respuesta.
9. Una función definida en toda la recta real es estrictamente creciente. ¿Puede
deducirse de esto que su límite en +∞ es +∞? Si la respuesta es negativa, de un
ejemplo que lo aclare.
10. ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Razona la
respuesta gráficamente.
11. ¿Qué condición tienen que cumplir los grados del numerador y denominador
de una función racional para que tenga asíntotas horizontales? Ponga un ejemplo
particular.
12. Sean ƒ(x)=x2-1, g(x)=x-1. Verifique que
13. Estudie la continuidad de
14.
¿Para
expresión
qué
valores
de
x
tiene
sentido
la
¿Es continua la función g?
15. Para calcular el límite de una función ƒ en un punto x=a no es necesario que
el punto pertenezca al Dom (ƒ). ¿Es necesario, sin embargo, que x=a pertenezca
al Dom (ƒ) para que la función ƒ sea continua en dicho punto? Razona la
respuesta.
16. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
17. Calcule el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en los
puntos que se indican:
a)
en x=1
b)
en x= 0
c)
en x = 0
18. Calcule el valor de a y el valor que hay que asignar a ƒ(1) para que la función
sea continua en x=1.
19.
Calcule
el
valor
de
a
y
b
para
que
la
función
sea continua en todos sus puntos.
RESPUESTAS:
3. a) Continua en R
{-1}. b) 3, 2 por ejemplo. c) ½, 0
13. No es continua en x=0.
14. Está definida y es continua en el intervalo [-4,4].
16. a. En x=2. Discontinuidad con salto infinito
b. En x=-3 y x=2 ± 3. Discontinuidad con salto infinito
c. En x=1 y x=5. Discontinuidad con salto infinito
d. En x=±2 y x=±3. Discontinuidad con salto infinito
e. En x=±2 y x=-3. Discontinuidad con salto infinito.
17. a. a=1, b. a = cualquier número real, c. Nunca será continua para a
R.
18. a =-3. f (1)=6.
19. Para x=0, se debe tener b=-1. Para x=1, se debe tener a + b = 2, luego a=3.
BIBLIOGRAFIA
Larson, R.E., Hostetler, R.P, Edwards B.H. Cálculo. Vol. 1 y 2 .
Ed. Mc. Graw- Hill Bogotá, 1.996.
Bartle R.G. y Sherbert, D.R. Introducción al análisis matemático de una
variable. Editorial Limusa. Bogotá, 1.995.
Haeussler, Ernest F. Jr.; Paul, Richard S. Matemáticas
Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida.
Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México. 2.002
WEB- GRAFIA
https//www.librosuned.com/libro-analisis-matematico-para-la-economia-1
www.librosaulamagna.com/libro/MATEMATICAS-EMPRESARIALES
directory.excite.es/world/español/ciencia-y-tecnologia/matematicas
www.dykinson.com/book--AMPLIACION-DE-MATEMATICAS-TEST-DEAUTOEVALUACION-EJERCICIOS
para
Contenido sintético del capítulo 5
CAPITULO 5. DIFERENCIACIÓN
Objetivos Generales:
1. Comprender el concepto de derivada
2. Aplicar las reglas de derivación en algunos problemas de optimización
3. Relacionar propiedades algebraicas de las funciones por medio del
comportamiento de su derivada
4. Determinar características locales de una función por medio de la información
obtenida de su derivada
5. Analizar ordenada y detalladamente situaciones modeladas por funciones
diferenciables.
Objetivos específicos:
Calcular la derivada de cualquier función utilizando el concepto de límite
Reconstruir la gráfica de una función a partir del conocimiento de la
gráfica de su derivada
Realizar deducciones del comportamiento de la derivada de una función
Obtener la derivada de una composición de funciones expresando
conclusiones que son consecuencia de las propiedades analíticas de las
funciones originales, regla de la cadena
Resolver problemas de variación instantánea con ayuda del proceso de
límite
Resolver problemas elementales de aproximación marginal con ayuda de
reglas de derivación
Plantear un modelo matemático para resolver situaciones problema,
transformando información dada en variables, constantes y relaciones
Subtemas:
5.1 La derivada
5.2 Reglas de derivación
5.3 Aplicaciones
Ejercicios de repaso del capítulo
Palabras Clave:
Recta secante
Recta tangente
Operaciones con polinomios
Propiedades de las potencias
Costos
Ingresos
Utilidad
Introducción.
El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los
matemáticos europeos en el siglo XVII:
1.
2.
3.
4.
El problema de la tangente
El problema de la velocidad y la aceleración
El problema de máximos y mínimos
El problema del área
Cada uno involucra la noción de límite y servirá para introducir el cálculo. Por su
naturaleza geométrica, escogemos para empezar el de la tangente. Soluciones
parciales a dicho problema fueron dadas por Pierre de Fermat, René Descartes,
Chistian Huygens e Isaac Barrow. Sin embargo, la primera solución general
parece haberla encontrado Newton y Gottfried Leibniz. El trabajo del primero fue
motivado por su interés en la óptica y en la refracción del a luz.
Situaciones cotidianas como por ejemplo el lanzamiento del martillo, que ha sido
un evento olímpico desde 1.900, tienen que ver con la derivación. El martillo
lanzado consiste en una bola de 7,5 Kg. al final de una cadena de 90 cm. con una
manija. Los atletas logran rapidez completando tres rotaciones completas; luego
sueltan el aparato completo. El record mundial es aproximadamente 90 m.
Suponga que las tres rotaciones preliminares describen una única circunferencia
y no se tiene en cuenta el peso de la cadena ni de la manija (que en realidad
pesan cerca de 1 libra). Muchas personas esperan erróneamente que la bola
describa una curva hacia la izquierda cuando se suelta, pero la primera ley de
Newton, nos dice que la trayectoria es recta. Resulta entonces que el martillo
sigue una trayectoria a lo largo de la recta tangente a la circunferencia en el
punto P (punto en que se suelta).
Se puede determinar la trayectoria seguida por el martillo, ya que las rectas
tangentes a las circunferencias son relativamente fáciles de hallar. Al extender el
concepto de recta tangente a curvas más generales, se puede proporcionar
información importante sobre las variables que intervienen.
Encontrar la pendiente de la recta tangente tiene muchas aplicaciones. Una de
esas opciones es el cálculo de la velocidad. Por ejemplo, calcular la rapidez
máxima de un velocista requiere de un procedimiento de análisis en el cual se
puede recurrir a la fórmula distancia = rapidez x tiempo, sin embargo, esta
fórmula solo da una rapidez promedio en cualquier lapso. Pero ¿es esta la
rapidez máxima del corredor? Al pensarlo un poco, es fácil convencerse de que
no lo es. Los velocistas no pueden correr desde el comienzo de la carrera; así
que ellos usan las primeras zancadas para desarrollar la rapidez.
Si se promediara en intervalos más cortos de tiempo y distancia, se podría tener
una aproximación mayor de la rapidez máxima. En efecto, cuanto más pequeño
sea el intervalo que se use, más preciso tiende a ser el cálculo.
Las aplicaciones adicionales de la pendiente de una recta tangente son
demasiados numerosas para nombraras todas. Entre otras, están la razón de una
reacción química, el índice de inflación en economía, y la razón del incremento
del aprendizaje en psicología. En resumen, las razones de cambio en casi
cualquier disciplina se pueden considerar como pendientes de recta tangentes.
5.1 La Derivada
Cinco conceptos básicos en cálculo proveen la base para el análisis de
problemas de optimización económica: límites, reglas de derivación, derivadas
parciales, derivadas múltiples y reglas de máximos y mínimos.
La derivada nos indica la forma como cambia una función en relación con otra.
Matemáticamente se calcula como un límite especial, pero para no hacer
extensos los procedimientos, se establecen unas reglas nemotécnicas que se
conocen como reglas de derivación.
A muchos de los análisis económicos conciernen las medidas de cambios. La
aplicación de cálculo a las relaciones económicas permite una medida precisa de
los ritmos de cambios en las variables económicas.
La derivada como límite.
En la figura, la magnitud del cambio en la función y= ƒ(x) depende del cambio de
x entre x1 y x1 +
= x2.
•
Recuerda
que:
una
recta
secante a una
curva es aquella
que la corta en
dos puntos y una
recta tangente es
la que la toca en
un solo punto.
Cuando x va de x1 a x2, causa que ƒ(x) cambie en la magnitud de ƒ(x1) a ƒ(x2) ó
de ƒ(x1) a ƒ(x1 +
. En economía se está interesado en que
sea un punto.
Esto significa que queremos que
tienda a cero, para que los valores de x se
acerquen a x1. Si trazamos una recta secante por los puntos (x1, f (x1)) , (x2,f (x2)),
nuestro interés está en su pendiente ( ), que es el cambio en el rango de la
función con respecto a la magnitud del cambio en el dominio de la función:
Si se presume que el cambio en el dominio es muy pequeño o aproximado a
cero , el cociente anterior se podría modificar así
en donde
•
Recuerda que:
se
pueden
encontrar otras
notaciones para
la
primera
derivada
pero
utilizaremos solo
f ’ (x), dy/dx o y’
atendiendo
a
que el tema de
derivadas
es
introductorio en
este nivel.
es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
que surge cuando
se aproxima por la curva a
,
lo cual implica que
tienda a cero.
A todo el límite se le conoce como la primera derivada de la función
por
, notada
.
Una derivada es el límite del cociente
, y por lo tanto debe ser una medida
del ritmo de cambio, o, dicho más específicamente, un ritmo de cambio
instantáneo.
Para efectos de facilidad en la escritura del límite, le asignaremos a
y como en particular
es cualquier
entonces:
Ejemplo 1. Sea
, para hallar
la letra
, debemos hallar
Cuando se evalúa una función en un número, lo que hacemos es cambiar x por el
número, así, tenemos:
(1) = 4 (1) – (1)2
(-1) = 4 (-1) – (-1)2
(2) = 4 (2) – (2)2 …
(
y utilizando nuestra definición:
)=4(
)–(
)2
Que es la primera derivada de la función dada y puede interpretarse como la
pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de la misma, que tiene
abscisa
y ordenada
Ejemplo 2. Dada la función
curva en el punto (-1,-1)
, hallar la ecuación de la recta tangente a la
Que sería la pendiente de la recta en cualquier punto, pero como en particular la
necesitamos en x = -1, atendiendo al punto de tangencia dado, tenemos:
Así, al conocer ya el valor de la pendiente y teniendo el punto (-1,-1), podemos
utilizar la ecuación punto- pendiente de la recta, vista anteriormente:
Ecuación de la recta tangente, ilustrada en la figura:
5.2 Reglas de derivación
El procedimiento para derivar consiste en determinar primero en qué casos la
función total que va a ser derivada es una suma o una diferencia de funciones; un
producto o un cociente de funciones; una función logarítmica, exponencial, una
potencia de una función; una función compuesta o alguna combinación de estas.
Luego utilizando las reglas apropiada para la función total, obviamos el
procedimiento anterior de hallar la derivada por medio de límites, que si bien
tienen un manejo algebraico interesante, no nos ofrecen facilidad, en casos en
los cuales la función sea complicada.
Regla para la función constante. Si y = c, con c
•
Recuerda que: se
puede comprobar
cada uno de los
resultados de las
reglas
de
derivación
usando el límite
que vimos en la
definición.
R, entonces
y’ =
La gráfica de la función constante es una paralela al eje
que corta al eje
en
(0, c). La tangente a esa recta en cualquiera de sus puntos tiene pendiente cero
si aplicamos la interpretación geométrica de la primera derivada. Este resultado
es obvio si se piensa en que la tangente a la gráfica en cualquiera de sus puntos
es la misma recta de pendiente cero.
Ejemplo 3. Si y = 5 entonces y’ = 0
Regla de la potencia. Para la función
,con n
R, entonces
Ejemplo 4. Decimos que la derivada de la función idéntica
entonces
y como
(
que
Ejemplo 5. Si
, entonces
Ejemplo 6. F(x) =
, entonces F’(x) = 7 x6
F(x) = 7 x
, de donde
6
F(x) =
=
es 1 ya que :
tenemos
Regla del múltiplo constante. Para
Ejemplo 7. Si
, con
, entonces
R, entonces
, de donde
Ejemplo 8. Si
, entonces
Ejemplo 9. Si
, entonces
Regla de Suma – Diferencia. La derivada de la suma o de la diferencia de dos o
más funciones es la suma o la diferencia de sus derivadas individuales:
Si
Ejemplo 10.
decir
, entonces
3 entonces
, es
3
Ejemplo 11.
entonces
, es decir
Regla de producto. La derivada del producto de dos funciones es igual al
producto de la primera función por la derivada de la segunda función, más el
producto de la derivada de la primera función por la segunda función, ó viceversa:
Si
Ejemplo 12.
•
Recuerda que:
podríamos
efectuar
las
multiplicaciones
primero y luego
derivar o aplicar
la
regla
del
producto.
, entonces
, entonces
Regla del cociente. La derivada del cociente de dos funciones, g(x)/h(x) es el
producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del
numerador por la derivada del denominador, todo esto dividido por el cuadrado
del denominador:
Si
Ejemplo 13. Derivar
, entonces
Observe que el uso de paréntesis es fundamental para los ejercicios que tienen
que ver con las reglas del producto y del cociente, ya que ayudan a determinar en
donde hay propiedades distributivas y específicamente, para la regla del
producto, nos hace tener cuidado con los signos del numerador, ya que como es
una resta y por lo tanto no es conmutativa, debemos cambiar los signos de los
términos que aparezcan después del signo menos.
Ejemplo 14. Hallar la derivada de
Realizando la operación del numerador:
Derivando:
.
No todo cociente requiere ser derivado mediante la regla anterior. Puede
aplicarse en algunos la regla del múltiplo constante:
Ejemplo 15.
Función original
Reescritura
Derivada
Simplificación
Nos queda por discutir la potente regla de la cadena, que concierne a las
funciones compuestas y añade una sorprendente versatilidad a las reglas ya
discutidas.
,y,
, la derivada de
con respecto a ,
Regla de la cadena. Si
es igual a la derivada de
con respecto a , por la derivada de con relación a
, llamada también derivada interna:
Si
, entonces
Al aplicar la regla de la cadena es útil ver la función
(
como constituida por dos partes: una exterior y otra interior.
Función exterior
Así,
Descomposición de una función compuesta:
compuesta
Función interior o interna
)
Ejemplo 16. Hallar
para
.
Ejemplo 17. Hallar
para
.
Ejemplo 18. Hallar y’ para
.
Ejemplo 19. Hallar y’ para
Haciendo uso de la regla del múltiplo constante y derivando por la cadena
la expresión
.
Y expresando con exponentes positivos:
Ejemplo 20. Hallar
para
Ejemplo 21. Hallar
para
Ejemplo 22. Hallar
para
Regla de Función Logaritmo natural. Si
entonces
Ejemplo 23. Hallar
para
, donde
Ejemplo 24. Hallar
para
Ejemplo 25. Hallar
para
Ejemplo 26. Hallar
para
Aplicando primero propiedades de logaritmos, vistas en el capítulo 3:
Derivando:
Ejemplo 27. Hallar
para
Regla de Función Exponencial. Si
, donde
), entonces
Ejemplo 28. Hallar
para
Ejemplo 29. Hallar
para
Ejemplo 30. Hallar
para
5.3 Aplicaciones
Aproximación marginal. Este método que goza de gran aceptación entre los
economistas, examina los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma
está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se
ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad
más.
Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades, es
preciso que se cumplan las siguientes condiciones:
•
•
Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y
de costo total.
Las funciones de ingreso y costo habrán de formularse en términos del
nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas.
Ingreso marginal. Uno de los dos conceptos más importantes del análisis
marginal es el del ingreso marginal. El ingreso marginal es el ingreso adicional
que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Si cada
unidad de un producto se vende al mismo precio, el ingreso marginal será
siempre igual al precio.
Ejemplo 31. La función lineal de ingreso R = 10q, representa una situación donde
cada unidad se vende a $10. El ingreso marginal logrado con la venta de una
unidad más es de $10 en cualquier nivel de producción q.
La función de demanda se expresa así:
q = 100.000 - 200 p
A partir de esta función de demanda se formula la función no lineal:
R= f (q) = 500q − 0.005q2
El ingreso marginal en este ejemplo no es constante. Esto se muestra al calcular
el ingreso total para distintos niveles de producción. La tabla siguiente contiene
estos cálculos para algunos valores de q. La tercera columna representa el
ingreso marginal asociado al paso de un nivel de producción a otro.
Nivel de Costo total
Costo marginal f(q)
Costo marginal
q
C=ƒ(q) - ƒ(q-1)
100
$49.950.00
101
$50.448,995
$498,995
102
$50.947,98
$498,985
103
$51.446,955
$498.975
Nótese que, si bien las diferencias son ligeras, los valores del ingreso marginal
están cambiando en cada nivel de producción. Para una función del ingreso total
R(q), la derivada R'(q) representa la tasa instantánea de cambio en el ingreso
total con un cambio del número de unidades vendidas. R también representa una
expresión general de la pendiente de la gráfica de la función del ingreso total. En
el análisis marginal, la derivada se emplea para representar el ingreso marginal,
es decir, MR = R'(q)
La derivada, ofrece una aproximación a los cambios reales que se dan en el valor
de una función. Por consiguiente, R puede emplearse para aproximar el ingreso
marginal obtenido con la venta de la siguiente unidad. Si se calcula el ingreso
marginal R' para la función del ingreso cuya ecuación es R = 500q - 0,005 q2, se
obtiene
R'(q) = 500 - 0.010 q
Para aproximar el ingreso marginal logrado con la venta de la centésima primera
unidad se evalúa R cuando q = 100, o sea
R'(q) = (100) = 500 - 0.010 (100)
= 500 - 1 = 499
Y ésta es una aproximación muy cercana al valor real ($ 498.995) del ingreso
marginal que aparece en la tabla.
Costo marginal. El otro concepto central del análisis marginal lo constituye el
costo marginal. El costo marginal es el costo adicional en que se incurre al
producir y vender una unidad más de un producto o servicio. Las funciones
lineales del costo suponen que el costo variable por unidad sea constante; en
ellas el costo marginal es el mismo en cualquier nivel de producción.
Ejemplo 32. Si la función de costo para un producto es
C = f (q) =150.000 +100q + 0.003q2
puede mostrarse que los costos marginales realmente fluctúan en distintos
niveles de producción si se calculan los valores de esos costos para algunos
valores de q. Este cálculo se da en la tabla siguiente:
Nivel de producción q
Costo total f(q)
Costo marginal
C=ƒ(q) - ƒ(q-1)
100
$160.030,00
101
$160.030,603
$100.603
102
$160.231,212
$100.609
103
$160.331,827
$100.615
En una función de costo o costo total C, la derivada C'(q) representa la tasa
instantánea de cambio del costo total suponiendo que haya un cambio en el
número de unidades producidas. C'(q) representa además una expresión general
para la pendiente de la gráfica de la función del costo total. En el análisis
marginal, la derivada se usa para representar el costo marginal, esto es
MC = C'(q)
Como en el caso de R', C' puede emplearse para aproximar el costo marginal
asociado a la producción de la siguiente unidad. La derivada de la función de
costo es
C' (q) = 100 + 0.006 q
Para aproximar el costo marginal debido a la producción de la centésima primera
unidad, se evalúa C en q = 100, o sea
C' (100) = 100 + 0.006 (100)
= $ 100.60
Si se compara este valor con el verdadero ($100.603) en la tabla, se advierten
que ambos están muy cercanos entre sí.
Resumen:
La recta tangente a una curva en el punto P es la posición límite de las rectas
secantes PQ cuando Q se acerca a P a lo largo de la curva. La pendiente de la
tangente en P se llama pendiente de la curva en P.
Si
la derivada de
en
es la función definida por el límite:
Geométricamente la derivada nos da la pendiente de la curva en cualquier punto
. Una ecuación de la tangente en un punto particular se obtiene
evaluando el valor de la abscisa del punto en
que al ser la misma
pendiente de la recta tangente nos proporciona el valor de
en :
Que es la ecuación punto-pendiente de una recta. Cualquier función que es
diferenciable en un punto debe ser continua en ese punto.
Las reglas d derivación son las siguientes:
R, entonces
Regla para la función constante. Si y = c, con
y’ =
Regla de la potencia. Si
, con
R, entonces
Regla del múltiplo constante. Si
, con
Regla de Suma – Diferencia. Si
Regla de producto. Si
Regla del cociente. Si
Regla de la cadena. Si
R, entonces
, entonces
, entonces
, entonces
, entonces
Regla de Función Logaritmo natural. Si
, donde
entonces
Regla de Función Exponencial. Si
, donde
, entonces
La derivada de una función puede también interpretarse como la razón de cambio
(instantánea) de con respecto a :
En economía, el término marginal se usa para describir derivadas de tipos
específicos de funciones. Si
es una función de costo total de
unidades de un producto, entonces la razón de cambio
marginal.
se llama costo
Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad
adicional de producción.
Así mismo,
se llama ingreso marginal y se interpreta como el ingreso
aproximado obtenido al vender una unidad adicional del producto.
GLOSARIO
Ingreso marginal: Es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad
más de un producto o servicio.
Costo Marginal: Es el gasto adicional en que se incurre por producir y poner en
el mercado una unidad adicional de un producto o servicio.
Utilidad Marginal: Es la utilidad adicional que se recibe por producir y poner en
el mercado una unidad adicional de un producto o servicio.
EJERCICIOS
DE REPASO
DEL
CAPÍTULO
1. Hallar la derivada utilizando la definición (con límite):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2. Hallar la derivada de la siguientes funciones:
a)k ( x) =10 x 2 + 9 x − 4
b) F ( x) = (2 x 2 − 4 x + 1)(6 x − 5)
c) H (r ) = r 2 (3r 4 − 7 r + 2)
1
d ) F (t ) = t 2 + 2
t
1 1
1
e) F ( x ) = 1 + + 2 + 3
x x
x
2
3x − 5 x + 8
f ) F ( x) =
7
1 2
u − 6u + 2
2
g ) F (u ) =
2
4u 3 +
3
1
h)G ( x) = 3
3x + 6 x 2 − 1
i) H (s) = 3 ( s 3 − s 2 )
j ) L( s ) =
x 2 + 2x + 1
x 2 − 2x + 1
3. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y y = x 2 − 4 x + 3 en el
punto (4,3)
4. Demostrar que la pendiente de la tangente a la curva y = x3, es positiva en
cualquiera de sus puntos diferentes de cero (x ≠ 0). Verifique sobre una gráfica.
5. La normal en P1 (1,3) a la curva y = 4x - x2, corta la curva en un segundo punto
P2. Halle las coordenadas de P2.
6. En la curva y = x3 + x, hallar los puntos en los cuales la tangente es paralela a
la recta AB, siendo A (5,7) , B (4,3).
7. Halle la ecuación de la normal a la gráfica y = 5x + x2 que tenga pendiente 1.
8. Dada y = 3x2 – 4x, halle la ecuación de la tangente en el punto de abscisa
x = 2.
9. Si s = 18 t + 16 t2 (pies y segundos) halle la posición, velocidad y aceleración
de la partícula cuando t = 4s segundos.
10. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x2 +3 que es
paralela a la recta 8 x – y + 3 = 0
11. Encontrar la ecuación de las rectas normales a la curva y = x3 – 3x que son
paralelas a la recta 2 x + 18 y - 9 = 0
12. Encontrar la ecuación de cada recta que pasa por l punto (3,-2) y es tangente
a la curva y = x2 – 7
13. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica y =
abscisa x = 3
4 x − 3 en el punto de
14. Dada la función y = x 1 + x 2 , ¿existe algún valor de x para el cual la primera
derivada sea cero?
15. Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son C(q) = 50.000 +
20q + 0.0001q2 , y R(q) = 60q − 0.004 q2
a) Por medio de la aproximación marginal determine el nivel de producción
que maximice las utilidades.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
16. Halle la derivada utilizando la regla de la cadena:
a) y =(3 − 5 x)10
b) y = (2 x 5 − 16 x 3 + 19) 7
c) y =
(4 x
4
+ 17
)
3
(6 − 2 x + x )
6 2
2
 3t − 5 
d)y = 

 t+4 
x( x + 1)( x + 2)
e) y =
(3x − 13)2
f )y = 3 x + 5
g ) y = x(a 2 − x 2 ) −1 / 2
h) y =
(14 x
3
− 3x + 8
)
3
i ) y = (2 x − 1) 2 ( x + 3) 3
j) y = 1 − 1 + x
17. Aproximación marginal. Una empresa vende cada unidad de un producto en
$75. El costo total de producir q (mil) unidades se describe mediante la función
C(x) =1.200 − 20q2 + q3 , donde C (q) se mide en miles de dólares.
a) Utilice la aproximación marginal para determinar el nivel de producción
que maximice las utilidades.
b) ¿Cuál es el ingreso total en este nivel de producción? ¿el costo total? ¿las
utilidades totales?
18. La función de utilidad de una firma es U(q) = −10q2 + 36.000q − 45.000
a) con la aproximación marginal, determine el nivel de producción que
maximice las utilidades
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
19. Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son C(q) =1.000 +
30q + 0.005q2 ; R(q) = 2.000q − 0.004q2
a) Mediante la aproximación marginal determine el nivel de producción que
maximice las utilidades.
b) ¿Cuál es utilidad máxima?
20. Las funciones de costo e ingresos totales de un producto son R(q) =100q −
0.01q2 , y, C(q) = 25.000 + 40 q + 0.005q2
a) Con la aproximación marginal determine el nivel de producción que
maximice las utilidades.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
ALGUNAS RESPUESTAS
2.
a) 20 x + 9
b) 36 x2 – 68 x + 26
c) 18 r5 – 21 r2 + 4r
d) 2t -
e)
f)
2
t3
1
2
3
− 3− 4
2
x
x
x
6x − 5
7
−
2
− 2u 4 + 48u 3 − 24u 2 + u − 4
3
g)
2
 3 2
 4u + 
3

2
− 9 x − 12 x
h)
i)
j)
(3x
3
)
+ 6 x 2 − 11
3 (3 s 2 − 2 s )
− 4( x + 1)
(x − 1)3
3.
y = 4x – 13
4.
y’ = 3x2
5.
P2 = ( 7/2 , 7/4)
6.
P1 (1,2) P2 (-1,-2)
2
7.
y=x–3
8.
y = 8x – 12
9.
s= 328 pies , v = 146 pies/seg , a = 32 pies / seg2
10. y = 8x-5
11. 9y + x – 20 = 0
9y + x + 20 = 0
12. y = 10 x – 32
y = 2x – 8
13. 2 x – 3 y + 3 = 0
14. No existe
16.
a) y ' = −50(3 − 5 x) 9
b) y ' = 7(2 x 5 − 16 x 3 + 19) 6 (10 x 4 − 48 x 2 )
− 2(4 x 4 + 17) 2 (102 x 5 + 40 x 4 −144 x 3 − 34)
(6 − 2 x + x 6 ) 3
34(3t − 5)
d ) y' =
(t + 4) 3
c) y ' =
e) y ' =
f ) y' =
3x 3 − 39 x 2 − 84 x − 26
(3x − 13)3
1
2
33 ( x + 5)
g ) y ' = a 2 ( a 2 − x 2 ) −3 / 2
3
h) y ' = (42 x 2 − 3) 14 x 3 − 3 x + 8
2
i ) y ' = (2 x − 1)( x + 3) 2 (10 x + 9)
−1
j) y' =
4 1+ x 1− 1+ x
BIBLIOGRAFIA
Draper Jean E., Klingman Jane S., Matemáticas para la Administración
y la Economía. Editorial Harla. México, 1976.
Barnet A. Raymond. Matemáticas para Administración y Ciencias
Sociales. 2ª Edición. Nueva Editorial Interamericana S.A., México, 1983.
Budnick Frank S., Matemáticas Aplicadas para la Administración
Economía y Ciencias Sociales. 3ª Edición. Editorial Mc Graw Hill.
México, 1990.
Emery E. David. Principios de Economía: Microeconomía. Traducido
por Harcourt Brace Jovanovich. Bogotá, 1989.
WEB- GRAFIA
www.netkeynes.com/
www.ematematicas.net/
DORA ALMÁRIZ RUEDA VELÁZQUEZ
Profesora – ESAP-
[email protected]

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