annexes - thèse - Université Toulouse III

Transcripción

UNIVERSITÉ TOULOUSE III – PAUL SABATIER
Laboratoire DiDiST : Didactique des Disciplines Scientifiques et Technologiques–CREFI–T
(Equipe d’accueil pluri-établissement n°799)
Ecole Doctorale CLESCO
ANNEXES
à la thèse en vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE
Délivré par l’Université Toulouse III – Paul Sabatier
en Didactique des Disciplines Scientifiques et Technologiques
Spécialité : DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
présentée et soutenue
par
Andrea-María ARAYA-CHACÓN
le 31 Janvier 2008
La gestion de la mémoire didactique par le professeur dans l’enseignement
secondaire des mathématiques :
Etude du micro-cadre institutionnel en France et au Costa Rica
Directeur de Thèse : André ANTIBI ; Codirecteur de Thèse : Yves MATHERON
Membres du jury :
M. Alain MERCIER, Professeur, Institut National de Recherche Pédagogique, Président
Mme Chantal AMADE-ESCOT, Professeur, Université Paul Sabatier
M. André ANTIBI, Professeur, Université Paul Sabatier
Mme Marianna BOSCH, Maître de Conférences, Universitat Ramon Llull
M. Yves CHEVALLARD, Professeur, IUFM de l’Université de Provence
M. Yves MATHERON, Maître de Conférences, IUFM de Midi-Pyrénées
Documents Annexes Table des matières PREMIERE PARTIE : SUR L’ETUDE DE TERRAIN EN FRANCE 369 ANNEXE I : SEANCES EN CP EN FRANCE 371 I. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE CP D’UNE ECOLE A MARSEILLE
I.1 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE B.C 1311
I.2 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE L.D 1321
I.3 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE P. 1312
371
371
384
390
ANNEXE II : SEANCES DE QUATRIEME EN FRANCE 399 E
II. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE 4 A TOULOUSE
II.1 SEANCES A LA CHARGE DU PROFESSEUR CB (4E A)
II.1.1 SEANCE CB-230520054A : RESOLUTION D’EQUATIONS
II.1.2 SEANCE CB-240520054A : RESOLUTION D’EQUATIONS (2)
II.1.3 SÉANCE CB-010620054A : ORTHOCENTRE
II.1.4 SEANCE CB-020620054A : CENTRE DE GRAVITE
399
399
399
402
407
410
II.2 SEANCES A LA CHARGE DU PROFESSEUR NF (4E E)
II.2.1 SEANCE NF-010420054E : PROPORTIONNALITE (1)
II.2.4 SEANCE NF-190520054E : INEGALITES ET ARRONDIS
II.2.5 SEANCE NF-200520054E : COSINUS
416
416
420
427
432
436
443 ANNEXE III : ENTRETIENS – PROFESSEURS 4E III. TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AUX PROFESSEURS DE 4
III.1 GUIDES DES ENTRETIENS
III.2 TRANSCRIPTION DE L’ENTRETIEN AVEC CB
III.3 TRANSCRIPTION DE L’ENTRETIEN AVEC NF
E
443
443
445
455
DEUXIEME PARTIE : SUR L’ETUDE DE TERRAIN AU COSTA RICA 467 ANNEXE IV : QUESTIONNAIRE ‐ ELEVES 469 IV. QUESTIONNAIRE ADRESSE AUX ELEVES
469
ANNEXE V : JOURNAL DES ELEVES 471 V. JOURNAL D’ETUDE EN MATHÉMATIQUES
471
Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
365
ANNEXE VI : SEANCES DE DIXIEME AU COSTA RICA 473 VI. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE DIXIEME
VI.1 SEANCES DE DIXIEME A LA CHARGE DE SAM
VI.1.1 SB-21022006SB : FACTEUR COMMUN
VI.1.2 SB-2202200610L : FACTEUR COMMUN ET REGROUPEMENT
VI.1.3 SB-0103200610L : IDENTITES REMARQUABLES (1)
VI.1.5 SB-2103200610L : INSPECTION (1)
VI.1.8 SB-2803200610L : INSPECTION (4) – DIVISION SYNTHETIQUE (1)
VI.1.9 SB-0504200610L : DIVISION SYNTHETIQUE (2)
473
473
474
477
481
486
488
492
494
496
504
505
VI.2 SEANCES DE LA 10E M A CHARGE DE SAM
VI.2.1 SB-2202200610M : FACTEUR COMMUN - REGROUPEMENT
VI.2.2 SB-2402200610M : REGROUPEMENT
VI.2.3 SB-0303200610M : IDENTITES REMARQUABLES
VI.2.4 SB-1703200610M : INSPECTION (1)
VI.2.6 SB-2403200610M : INSPECTION (3) – DIVISION SYNTHETIQUE (1)
VI.2.7 SB-2803200610M : DIVISION SYNTHETIQUE (2)
508
509
516
517
522
527
529
534
535
VI.3 SEANCES DE LA 10E G A CHARGE DE RON
VI.3.1 RB-2402200610G : FACTORISATION - FACTEUR COMMUN
VI.3.2 RB-2702200610G : REGROUPEMENT
VI.3.3 RB-0103200610G : IDENTITES REMARQUABLES (1)
VI.3.6 RB-2003200610G : INSPECTION (1)
VI.3.7 RB-2203200610G : INSPECTION (2) – FORMULE GÉNÉRALE (1)
VI.3.8 RB-2403200610G : FORMULE GÉNÉRALE (2)
VI.3.9 RB-0704200610G : DIVISION SYNTHETIQUE (1)
538
538
545
548
554
556
558
563
568
570
573
575
VI.4 SEANCES DE LA 10E H A CHARGE DE RON
VI.4.1 RB-2402200610H : FACTORISATION
VI.4.2 RB-2702200610H : FACTEUR COMMUN - REGROUPEMENT
VI.4.3 RB-2802200610H : IDENTITES REMARQUABLES (1)
VI.4.6 RB-2003200610H : INSPECTION (1)
VI.4.7 RB-2103200610H : INSPECTION (2) – DIVISION SYNTHETIQUE (1)
VI.4.8 RB-2403200610H : DIVISION SYNTHETIQUE (2)
VI.4.9 RB-2703200610H : DIVISION SYNTHETIQUE (3)
578
578
583
589
595
598
601
606
611
614
366
ANNEXE VII : ENTRETIENS COLLECTIFS ‐ ELEVES VII.1 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E L
VII.1.1 SÉANCE ET-2703200710L : FACTORISATION
621 621
621
VII.2 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E M
VII.2.1 SEANCE ET-2402200610M : FACTORISATION
VII.2.2 SEANCE ET-3103200610M : DIVION SYNTHETIQUE ET FACTORISATION
624
624
628
VII.3 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E G
VII.3.1 SÉANCE ET-0604200610G : FACTORISATION
VII.3.2 SEANCE ET-2004200610G : FORMULE GENERAL – DIVISION SYNTHETIQUE
633
633
640
VII.4 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E H
VII.4.1 SÉANCE ET-3003200610H : FACTORISATION
VII.4.2 SEANCE ET-3004200610H : DIVISION SYNTHETIQUE
645
645
652
ANNEXE VIII : ENTRETIENS – PROFESSEURS 10E VIII.1 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC SAM
VIII.1.1 ENTRETIEN INITIAL : ET-13022006SB
VIII.1.2 DEUXIEME ENTRETEIN : ET-15032006SB
657 657
657
662
VIII.2 TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AVEC RON
VIII.2.1 ENTRETIEN INITIAL : ET-13022006RB
VIII.2.2 DEUXIEME ENTRETEIN : ET-30032006RB
665
665
670
ANNEXE IX : ENTRETIENS INDIVIDUELS ‐ ELEVES 675 E
IX.1 ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10 L
IX.1.1 ENTRETIEN AVEC « LS » : ET-0405200610L
IX.1.2 ENTRETIEN AVEC « LY » : ET-0405200610LY
IX.1.3 ENTRETIEN AVEC « LJ » : ET-0405200610LJ
IX.1.4 ENTRETIEN AVEC « LE » : ET-0405200610LE
675
675
677
678
679
IX.2 ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E M
IX.2.1 ENTRETIEN AVEC « MS » : ET-1605200610MS
IX.2.2 ENTRETIEN AVEC « MF » : ET-1605200610MF
IX.2.3 ENTRETIEN AVEC « ML » : ET-0505200610ML
IX.2.4 ENTRETIEN AVEC « MK » : ET-0305200610MK
682
682
684
688
691
IX.3 ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E G
IX.3.1 ENTRETIEN AVEC « GJ » : ET-2405200610GJ
IX.3.2 ENTRETIEN AVEC « GM » : ET-0305200610GM
IX.3.3 ENTRETIEN AVEC « GB » : ET-0305200610GB
692
692
694
696
IX.4 ENTRETIENS AVEC LES ELEVES DE LA 10E H
IX.4.1 ENTRETIEN AVEC « HM » : ET-2405200610HM
698
698
367
IX.4.2 ENTRETIEN AVEC « HR » : ET-0405200610HR
IX.4.3 ENTRETIEN AVEC « HA » : ET-0405200610HA
700
702
IX.2 TABLEAUX DE SYNTHESES
IX.2.1 ELEVES DE SAM
IX.2.2 ELEVES DE RON
703
703
704
ANNEXE X : QUESTIONNAIRE ‐ PROFESSEURS 707 X. QUESTIONNAIRE ADRESSE AUX PROFESSEURS
707
368
Annexes pour la Première Partie SUR L’ETUDE DE TERRAIN EN FRANCE Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
369
ANNEXE 1 : SEANCES DE CP
Annexe I SEANCES DE CP EN FRANCE Nous présentons dans cette annexe les transcriptions de CP sur lesquelles nous avons mené les premières analyses et qui ont été fournies par
Gérard Sensevy. Comme nous l’avons indiqué en 3.2.1 il s’agit des transcriptions de séances de classes de mathématiques d’une école de
Marseille qui ont été faites dans le cadre d’un projet lancé par le Programme Incitatif de Recherche en Education et Formation (PIREF). Elles
correspondent à une partie du matériel empirique (2003-2004) de cette recherche concernant la caractérisation des pratiques enseignantes en
CP.
I. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE CP D’UNE ECOLE A MARSEILLE
Nous présentons les transcriptions (novembre 2003) en gardant la mise en forme des chercheurs du PIREF. Les données de la première
colonne indiquent le numéro du tour de parole, celles de la deuxième correspondent aux acteurs et dans la troisième colonne on trouve les
interventions transcrites.
I.1 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE B.C 1311
1.
[M= B.C 1311]
2.
3.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
4.
5.
6.
7.
8.
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= personne
extérieure à la
classe]
[M= B.C 1311]
9.
10.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
11.
12.
13.
14.
15.
16.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
17.
18.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
19.
20.
21.
22.
23.
24.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
Alors + heu + on va faire un petite peu de dictée + de dictée de nombre + ça fait longtemps qu’on en a pas fait + Ass la
trousse elle est dans le casier ++ heu Hil ta trousse est dans ton casier tu n’as pas à dessiner sur l’ardoise de <… ?> +
<.. ?> ta trousse est dans ton casier ++ ah encore le même problème que l’autre fois + attend j’arrive + allez + mais ta
trousse dans ton casier Sar ++ bon + alors c’est parti + on commence facile + heu : : dix-sept + dix-sept ++ y’en a qui
dorme là + Sar ! qu’est-ce que tu fais ? d’accord Oui allez + heu + ah non NON : : Med + 17 + vient me le montrer sur
la bande numérique dix-sept
Moi je sais
Y’a pas de zéro +++ dix-sept + heu on continue + quatorze (p.5s) <… ?> + bon tu as fait exprès + à voir tes yeux qui
pétillent comme ça + ton sourire jusque là c’est fait exprès + alors quatorze ++ tout le monde l’a trouvé + on efface + ah
+ attention écoutez bien + vingt : :huit
Ouh ! brouhaha
Je sais pas comment ça fait <… ?>
Ben réfléchis + vingt-huit
Bonjour +++ Merci bonne journée
Allez vient vite t’asseoir ma grande + heu : : ben c’est bon tu m’as déjà montré + allez attendez j’ai pas vu tout le
monde + Sar je t’ai pas vu + oui + Agi ? t’as pas fini pour écrire vingt : :huit ? bon donne moi ton feutre <.. ?> ou t’as
besoin <.. ?> + allez viens +++ attention attention écoutez bien + écoutez bien + trente-quatre + trente : : trente quatre
(00 :00) [MT= debout devant le tableau, face aux élèves]
Ouais + on le sait trente-quatre
Trente-quatre + trente trente :-quatre [MT = frappe dans ses mains pour annoncer aux élèves qu’ils doivent lever leur
ardoise] +++ ah non c’est vingt-quatre ça que tu m’as écrit mademoiselle + alors heu + je pourrais avoir le silence s’il te
plait + posez vos ardoises et écoutez + posez vos ardoises + po : :sez vos ardoises ++ dans trente on entend quoi au
début
Trois : :
Donc on entend comme trois donc dans trente quatre + c’est ?
<… ?>
Voilà + tente quatre + tout à fait
<.. .. ?>
On efface + on efface tout on efface tout ! ++ et on écrit ++ vingt-six ++ chu : :t + bon <.. ?> [MT = tape dans ses
mains pour annoncer aux élèves qu’ils doivent lever leur ardoise]++ eh eh eh petite qu’est-ce que tu nous as écrit +lis
nous ce que tu as écrit + lis ton nombre + je suis sûre que tu vas trouver + tu as écrit
Vingt-six
Vingt-six ? ! ça commence par quoi ? ça commence par un ? [MT = s’approche de l’élève pour mieux lire ce qu’elle a
écrit sur son ardoise]
Deux
C’est un deux là ? + c’est quoi que tu as fait là ? c’est hein
<.. ?>
Alors qu’est-ce que tu avais écrit + tu avais écrit ?
<… ?>
Trente + heu + je crois Nas + ans + en plus tu as fait le six à l’envers + alors tu t’amuses à décorer mais tu as fait le six à
l’envers + à la place de t’amuser + tu ferais bien de regarder les chiffre là haut [MT = pointe du doigt une bande
numérique placée au dessus du tableau] + (00 :02) tu effaces + on fait pas des plus + bon alors + hop + tout le monde
croise les bras ++ on croise les bras ! + Lam qu’est-ce que je viens de demander ? [MT = tandis que Lam reste debout à
effacer son ardoise]++ heu tu fais pas ce que je demande Lam tu fais toujours pas ce que j’ai demandé! [MT = tandis
que Lam continue d’effacer son ardoise, debout, sans même adresser un regard à l’enseignante] + Lam j’ai demandé de
s’asseoir et de croiser les bras + dis + oh ! [MT = s’approche de l’élève] + t’arrêtes d’être têtue comme ça + bon + j’ai
arrêté + j’te met un feu rouge hein [MT = se dirige vers une affiche où sont écrits tout les noms des élèves et y écrit
371
25.
26.
27.
28.
29.
30.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
Coupure vidéo
31. [M= B.C 1311]
32.
33.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
34.
35.
36.
37.
38.
39.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
40.
41.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
49.
50.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
51.
52.
53.
54.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
55.
56.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
57.
58.
[M= Elève]
[M= Elève]
372
quelque chose] /+ je vous ai demandé de vous arrêtez parce que vous participez tous en même temps et on se s’entend
pas + on ne comprend pas ce que vous dites + vous n’aidez pas + en disant les choses aux enfants + aux autres enfants
vous ne les aidez pas c’est pas comme ça qu’ils vont apprendre hein + en leur disant tu as écrit 36 + faut qu’elle le
trouve elle-même par exemple + <… ?> + donc ça va être l’heure de la récréation donc on en fait encore deux et ça va
être l’heure de la récréation ++ /on repart + attention + trente-deux + trente + deux ++ bon ça suffit + ça suffit pour ce
matin + [MT = frappe dans ses mains pour annoncer aux enfants qu’ils doivent lever leur ardoise] <.. ?> j’aimerai bien
voir ton trente-deux + très bien vous avez tous trouvé + non trente + trente-deux + et le dernier + le dernier pour les très
fort mais vous êtres très forts c’est impeccable + quarante-cinq !
Brouhaha
Quarante-cinq
Brouhaha
Ça y’est [MT = lève son ardoise] J’ai pas tapé !
<… ?>
[MT = tape dans ses main pour annoncer aux élèves qu’ils doivent lever leur ardoise] (00 :04)Très heu non + trentecinq tu m’as écrit + très fort + très fort + ouais ouais oui + là je vois pas Lye je vois pas + ah non c’est cinquante quatre
que tu m’as écrit ma grande et toi cinquante cinq + quarante on entend comme quatre hein + QUArante + quarante +
hein allez vous rentrez + <… ?> + on sort son goûter et croise les bras en silence [MT = se dirige vers le fond de la
classe tandis que les élèves s’exécutent] (discussion avec les observateurs) (00 :05) (00 :06) (00 :07) (00 :08) (00 :09)
(00 :10) (00 :11) (00 :12) (00 :13) (00 :14)
[MT = debout devant le tableau, face aux élèves] Alors heu on attaque les mathématiques + on attaque les
mathématiques + on s’assoie + je vais distribuer + à chacun + heu non par groupe de deux pardon + une feuille avec +
comment on pourrait appeler ça ? [MT = déplie la feuille, la montre aux élèves et pointe du doigt sa partie supérieure]
(00 :15)
<.. ?>
Ouais les animaux mais c’est ce qu’il y a de dans + je veux pas savoir les animaux je veux savoir comment on pourrait
appeler ça ?
Des cases !
Des cases + des cases + c’est à l’intérieur
<… ?>
Des chemins moi je vois pas de chemins là hein
Une ferme
Une ferme ? je ne vous demande pas les animaux + j’aurais pu mettre autre chose + j’aurais pu mettre des croix des
points + j’ai mis des animaux parce que ça vous faisait plaisir + mais ça là ? personne ? ben alors on pourrait dire peutêtre aujourd’hui pour commencer
<.. ?>
Une grille + on va dire que se sont des grilles + d’accord ? y’a un autre mot que vous devez connaître + c’est quelle
forme ça ? [MT = pointe du doigt une autre partie de la feuille qu’elle présente aux élèves]
Un carreau
Un carreau c’est un petit carré + tout ça ensemble ça fait la forme de quoi ?
Une fenêtre !
D’un rectangle
D’un rectangle oui et puis
<… ?>
D’un quadrillage oui d’accord + d’accord + tout à fat (00 :16)+ d’accord on pourrait dire que c’est un quadrillage +
alors je distribue une feuille pour deux enfants + je vais vous demander dans un premier temps de regarder la grille qui
est en haut et celle qui est juste au-dessous + de bien les regarder
<.. ?>
Celle-là et celle-là [MT = montre les deux grilles dont elle parle aux enfants] + d’accord + pour l’instant on les regarde
bien +/[MT = distribue les feuilles aux binômes] tiens Ced tu vas à côté de Sab + oui oui + <… ?> tu arrêtes de râler
(p.5s) <… ?> oh ben tu travailleras tout seul voilà alors
Brouhaha (p.25s)
alors + ça y est c’est bien regardé ?
Oui : :
Alors [MT = reprend sa position initiale, debout devant le tableau, face aux élèves] ++[MT = efface le tableau et
enlève les affiches qui la gênent] (00 :17) je vais vous demander maintenant + chut + de + avec une paire de ciseaux +
de découper tous les animaux + sur tous les carrés sur celle-là de grille hein [MT = désigne du doigt la grille dont elle
parle ] + regardez bien + de celle d’en bas + c’est tout + on découpe + vous découpez les animaux sur les lignes + si
vous écoutez pas la suite vous allez pas savoir ce qu’il faut faire + je n’ai jamais demandé de sortir le affaires + vous re
rentrer tout et vous écoutez ++ on va + vous allez donc découper les animaux et vous allez essayer de recoller les bons
animaux au bon endroit pour que cette grille (00 :18)+ ce quadrillage ce soit le même que celui-là + et pareil en dessous
[MT = montre du doigt les endroits dont elle parle, sur l’affiche qu’elle tient devant les élèves])+ pour faire celui-là il
faut que ce soit le même que celui-là + vous allez coller les animaux là + il faut que ce soit pareil ++ voilà + alors
maintenant vous pouvez prendre les ciseaux et la colle [MT = se retourne vers le tableau et continue de déplacer les
étiquettes gênantes]
Brouhaha (p.9s) maîtresse maîtresse <… ?>
Et ben il va découper et il va te donner après la moitié c’est pas dramatique Med + on peut pas être à deux à découper
sur la feuille hein ? [MT = inscrit un grand rectangle au tableau qu’elle quadrille de 3 lignes et 4 colonnes] (p.20s)
[MT = débute un déplacement entre les élèves pour vérifier leur travail] (00 :19 :30)
Qu’est-ce qu’il faut faire ?
Faut remettre heu
59.
[M= B.C 1311]
60.
61.
[M= Ced]
[M= B.C 1311]
62.
63.
[M= Ced]
[M= B.C 1311]
64.
65.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
66.
67.
68.
69.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
70.
71.
72.
73.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
81.
82.
83.
84.
85.
86.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[MT= B.C 1311]
[MT= B.C 1311]
[MT= B.C 1311]
[MT= B.C 1311]
111.
112. [MT= B.C 1311]
113.
Vous découpez la grille en deux comme ça vous avez chacun une partie + tu la découpes là en deux tu vois + et après
y’en à un e+ non attendez + par exemple elle elle découpe là + là + hop elle te donne ce côté là et elle elle prend celui-là
[MT = s’approche du binôme à qui elle parle et leur montre comment ils peuvent s’organiser] + vous découpez chacun
une ligne + coupe le en deux + voilà et vous en donnez la moitié au copain ça ira plus vite + (00 :20) moi je crois que
t’aurais mieux fait de découper toute la ligne tu vois Ced [MT = s’approche de la table de Ced]
<… ?>
Oui mais avant de coller attendez peut-être mettez-vous d’accord + non ? c’est pas chacun qui colle + on discute et on
se met d’accord + allez hop on va donner la moitié
A Sab
A Sab + voilà et à Ced / [MT = poursuit son déplacement]+ mais ! + vous n’avez pas écouté ! + ah vous n’avez pas
écouté + j’ai demandé de découper celle d’en bas des grilles + pas celle d’en haut + et on colle les animaux là + et oui
mon grand
Brouhaha (p.5s)
[MT = se déplace à nouveau vers une autre binôme] Et là aussi c’est pareil + aie aie aie <… ?> (00 :21) [MT = fait
quelque chose sur la feuille des élèves]
<… ?> (p. 7s)
Bon + maintenant on essaye de refaire hein
Mais c’est lui <.. ?>
[MT = reprend sa position initiale, debout devant le tableau, face aux élèves] Regardez ! vous pouvez + regardez-moi
+ si vous voulez vous pouvez découper celle qui tombe là hein + et là + garder que la partie d’en haut ++ voilà
<… ?>
Ça vous + gênera moins
<… ?> (p.7s)
On doit coller les animaux là + au MEME endroit pour faire les MEME grilles ++ (00 :22) chut ++ et ben maintenant il
faut refaire les deux grilles + faut coller là <… ?>
<… ?> là tu dois les coller : :
Voilà [MT = s’approche de la table de l’un des binômes]
J’ai découpé
Non c’est bon on a fini de découper + maintenant <… ?>
Non mais moi <… ?>
Brouhaha
[MT = tout en se déplaçant entre les binômes] Et là vous collez au bon endroit ais mettez-vous d’accord hein + mettezvous d’accord hein
<… ?>
Allez dépêche-toi +(00 :23) dis Sar tu joues encore au vers de terre
(rire)
Faut que tu les mettes pour que ça fasse pareil
J’ai fais comme ça + elle avait mis quelque chose là + après/
[MT = s’arrête auprès d’un binôme] Il faut que ça et ça ce soit pareil + <… ?> + /tu vas travailler <.. ?> +/[MT = tout
en marchant, elle observe le travail des élèves et leur donne des indications] Dis-moi pourquoi y’a les <… ?> de sortie
là + vous les avez collés ?
<.. ?>
Brouhaha
Non + tu n’as pas écouté ++ qu’est-ce qu’il fallait faire ? Explique-moi
<… ?>
(00 :24) Je sais pas si faut coller là mais qu’est-ce qu’il faut faire ? quelle était la consigne ?
<… ?>
Découper oui + coller aussi + mais il faut savoir quoi découper et où coller + <.. ?> tu crois pas ?
Oui
Bon alors qu’est-ce que j’ai dit ? ++ <… ?> + dis moi c’que t’as compris <… ?> attend + alors +++alors ++<… ?> +
mais tu le sais dis le + dis-lui+++ tu as dis que toi tu avais compris tu le sais en plus on + allez + <.. ?> + il faut coller-là
<…> ? c’est là qu’on colle pour que l’autre soit pareil
Brouhaha
<… ?>
<… ?> j’ai dit on colle toutes les vaches ?
Brouhaha
Moi
Abo heu <… ?> ouais mais sans ta feuille + essaie de leur expliquer sans montrer ta feuille
<.. ?>
Ah + il faut refaire
<… ?>
La même grille ou le même tableau
<.. ?>
A côté + il faut se débrouiller pour que le tableau ou la grille de la soit la même que celle d’à côté
Brouhaha
Bon + ben si on a fini on range tout y’a plus que la feuille + si on a fin i on peut jeter les animaux qui sont en trop et on
garde la feuille sur sa table le reste est tout rangé + on range les colles et les ciseaux
Brouhaha
Chut
C’est comme ça maîtresse
373
114.
Brouhaha
115.
J’aime pas les trucs là
116. [MT= B.C 1311] Et ben tu regardes pas
117.
<… ?>
118.
Brouhaha (p.6s)
Zoom sur un binôme au travail
Différentes étiquettes représentant des animaux, que les élèves ont découpé, sont disposées en haut de la table
Cochon
Cheval
Cochon
Cheval
(collé par les (collé par les
élèves)
élèves)
Ecureuil
Vache
Ecureuil
(collé par les
élèves)
Vache
(collé par
les
élèves)
Ecureuil
Cochon
(collé par
les
élèves)
Cochon
Lapin
Vache
Ecureuil
(collé par
les
élèves)
Lapin
(collé par
les
élèves)
119. [M= Elève]
Vache
(collé par
les
élèves)
Bon alors Lam je t’entends trop (00 :27) + chut (p.5s) <… ?> et le/ +++ <… ?> y’en a très peu qui se sont arrêtés hein +
Sar qu’est-ce que tu voulais nous dire ? ++ bon + alors on est tous comme il faut on est tous assis sur ses fesses on est
calme + on regarde là + heu : : ah y’en a qui n’ont pas fini encore + <… ?> + vous avez parlé + vous occuper des autres
et donc évidemment on a pas le temps de faire son travail [MT = debout devant le tableau, face aux élèves] (00 :28)
Changement de séquence, chronologie naturelle de la séance rompue
120. [M= Elève]
<… ?>
121. [M= B.C 1311]
Et ben faites le ensemble + explique lui + montre lui comment faire + alors j’ai une question pour ceux \ tu restes assis
+ vas ranger tes affaires et dépêches toi + vite vite vite + ça y est + Myr est en service + allez dépêchez-vous + Jer tu as
fini ? (p.6s) bon + alors + j’aimerais + Sab je t’ai rien demandé + voilà merci + on est entrain de travailler on est pas en
train de regarder les copains de discuter avec les copains ++alors + est-ce qu’il y en a qui ont eu des difficultés ?
122. [M= Elève]
C’est quoi ?
123. [M= B.C 1311]
Qui ont eu des problèmes + qui ne sont pas bien arrivé à le faire + ou qui n’étaient pas d’accord entre eux ?
124. [M= Elève]
<… ?>
125. [M= B.C 1311]
Med qu’est-ce qu’il t’est arrivé
126. [M= Med]
On était d’accord
127. [M= B.C 1311]
Vous étiez d’accord [MT = s’approche d’un élève et lui enlève fermement le feutre qu’il tient dans la main] ++
128. [M= Med]
Oui on <… ?>
129. [M= B.C 1311]
[MT = reprend sa place initiale] Jen + alors + est-ce que vous avez eu des problèmes
130. [M= Elève]
Est-ce qu’on a fait tout juste ?
131. [M= B.C 1311]
Ah je sais pas si vous avez fait tout juste + on va regarder tout ça ensemble + hein on va regarder vos productions tous
ensemble + mais avant de savoir si c’était juste quand même je voulais savoir si y’en avait qui avaient eu des difficultés
+ qui étaient pas d’accord entre eux à des moments peut-être ++ Nas tu étais pas d’accord avec Lye ? c’est ça + ben
venez avec votre grille + vous allez nous expliquer pourquoi vous étiez pas d’accord + allez venez Nas et Lye [MT =
tandis que les deux élèves viennent au tableau avec leur grille d’exercice] ++ allez vite + alors on affiche votre grille
[MT = prend la grille et la maintient sur le tableau avec des aimants magnétiques] + alors d’abord + avant toute chose
+ est-ce que ++ il faut qu’ils voient là + il faut que tous tes copains voient + voilà ++ non mais dit la grande + ça va pas
ben là + As (00 :30) mais dis tu es dans une classe là +++ alors est-ce que déjà est-ce qu’elle sont identiques est-ce
qu’elles sont pareilles?
132. [M= Elève]
Non
133. [M= Elèves]
Oui : : :
134. [M= B.C 1311]
Oui elles ont l’air pareil + alors explique-nous où est ton problème + où est ce que vous avez eu du mal à vous mettre
d’accord ? (p.5s) [MT = observe les deux élèves qui restent immobiles et muettes] Qu’est-ce que Lye voulait faire et
qu’est-ce que toi tu voulais faire ? +++ tu m’as dit on a eu des problèmes toutes les deux + c’est pas vrai ? alors qu’estce que c’est ces problèmes + explique-moi ces problèmes
135. [M= Elève]
Heu +++
374
136. [M= B.C 1311]
137. [M= Elève]
138. [M= B.C 1311]
139. [M= Elève]
140. [M= B.C 1311]
141.
142.
143.
144.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
155. [M= Elève]
156. [M= B.C 1311]
157. [M= Elève]
158. [M= B.C 1311]
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
167. [M= Elève]
168. [M= B.C 1311]
169.
170.
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
Toi tu as pas trouvé qu’il y avait de problème + c’est ça
<… ?>
(00 :31) Ouais + y’a pas un moment où vous vous êtes disputer sur la place d’un animal + ou non + oui ou non ? tu sais
plus + alors Nas ? + y’avait un problème ou pas ?
<.. ?>
Non ben alors + bon + tu réfléchis + si tu le re/ si tu le trouves tu lèves le doigt + bon est-ce qu’il y en a d’autres qui ont
eu des problèmes entre eux ?
Non
Non ? + oui ou non ?
Oui
Oui + alors viens nous expliquer ++ quel était + qu’est-ce que vous avez eu comme problème + explique-nous [MT =
tandis que l’élève vient au tableau avec sa grille]
<… ?>
Alors un j’ai pas du tout compris et deux euh (00 :32) est-ce que c’est des mots là ?
<… ?>
Pourquoi tu parles des mots ?
<… ?>
Ah c’est pas des mots hein ? c’est des animaux + c’est –ce ça que tu disais ? A :NI :MAUX + tu peux répéter
Animaux
Voilà d’accord + explique nous plus précisément + qu’est-ce que voulait faire Ced et que tu ne voulais pas faire ?
<… ?>
Ah vous vous êtes disputés + c’est moi qui colle le cochon + ah non c’est moi qui colle le cochon ? c’est ça ? d’accord
+ oui mais + quand vous travaillez à deux y’en un qui colle le cochon et l’autre qui colle le lapin et hein + on se partage
le travail + l’important c’est de se mettre d’accord pour que le travail soit juste + hein voilà + alors + est-ce que + ils
sont bien arrivés à le refaire ?
Oui : :
Bon + alors je vais vite prendre les productions [MT = commence à ramasser l’ensemble des productions de la classe]
(00 :33)+ y’a eu d’autre problème, non + et après on va regarder si y’en a qui se sont trompés ou pas + et après vous
allez nous expliquer comment vous avez fait pour réussir + puisque apparemment personne ne s’est trompé + vous allez
nous expliquer en fait + alors on va regarder + allez je les ramasse toutes + heu je vais finir par me mettre vraiment en
colère là + parce que ça fait un moment que je demande de ranger + <… ?> tu fermes ta trousse ça fait deux fois ! + têtu
+ allez + elle est fermée cette trousse + je l’ai vois toujours ouverte moi ! tu mets les ciseaux dans la trousse et tu ferme
la trousse ++ voilà impeccable ! + est-ce que + ils se sont trompés là ? [MT montre aux élèves la grille du premier
binôme]
Oui
Au départ un peu et puis après + elles sont bien + identiques ++ celle-là ? [MT = pose la première grille et passe à la
suivante]
Non
Est-ce que c’est bien les mêmes les deux ?
Oui
C’est deux ? (00 :34)
Oui
C’est deux est-ce qu’elles sont identiques ? [MT = passe à la grille suivante]
Oui
Eh regardez bien parce que y’en a peut-être qui se sont trompés hein ++ avant de dire oui regardez bien + ces deux estce qu’elles sont bien identiques ?
<.. ?>
Alors on répète + Sab tu étais debout derrière + on se met debout derrière parce qu’on y voit plus + voilà / [MT =
passe à la grille suivante++ alors celles là étaient identiques + là et là elles sont identiques ?
Brouhaha
Celle-là et celle-là ?
Oui
Oui ++ celle-là et celle-là ?[MT = passe à la grille suivante]
Non
Oui : :
Qui est-ce qui a dit non ? ++ Nas elles sont pas pareilles ?
Si
Et ben alors dis pas non + toutes les deux ?
Oui : :
D’accord ++ celles-là est-ce qu’elles sont identiques [MT = passe à la grille suivante]
oui
là haut
Oui
Non
Oui ?
Non
Ah + non + alors viens nous montrer pourquoi non
<… ?>
Viens viens
<… ?>
Parce qu’elle il a pas coupé en bas + oui mais c’est pas grave + il en avait pas besoin + il s’est dit ça sert à rien que j’le
375
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
200.
201.
202.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
203. [M= Elève]
204. [M= B.C 1311]
205.
206.
207.
208.
209.
210.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
211.
212.
213.
214.
215.
216.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M=Ali]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
217. [M= Elève]
218. [M= B.C 1311]
219. [M= Elève]
220. [M= B.C 1311]
221. [M= Elève]
222. [M= B.C 1311]
223.
224.
225.
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
235.
236.
237.
238.
239.
240.
241.
242.
243.
244.
245.
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
246. [M= Elève]
376
découpe + hein + si non est-ce qu’elles sont bien pareilles ces deux là ?
Oui (rire)
Alors ++ en haut [MT = passe à al grille suivante]
Oui
En bas
Oui
Et la dernière + en haut ? [MT = passe à la grille suivante]
Oui
En bas
Oui
Alors vous êtes tous exceptionnels + parce qu’à deux vous êtes tous arrivés à faire le travail (00 :36)
Moi j’étais à un moi !
Et toi c’est encore mieux parce que t’es tout seul à faire le travail ++ bon = alors j’aimerais qu’on passe à autre chose +
j’aimerais savoir comment vous avez fait pour pas se tromper + comment
Parce qu’on a bien regardez le modèle et\
Eh tu lèves le doigt [MT = lève elle même le doigt] + et tu attends que je t’interroge + heu Lam <.. ?> alors <.. ?> Tu
as bien regardé le modèle et tu as fait + mais comment tu as fait justement ? + tu veux te lever pour montrer aux copains
[MT = tandis que l’élève se lève et vient montrer un exemple au tableau] + alors lève-toi ++ ben prend la grille d’en
haut si tu veux nous expliquer comment vous avez fait (00 :37)
On a regardé là + là et on a regardé le modèle et on a fait tout pareil
T’as bien regardé et t’as fait que regarder ?
On a regardez + et après après <.. ?>
Quelqu’un a d’autres choses à nous expliquer comment ils sont fait? heu Dou
<… ?>
Ah tu as compté les carrés + ah viens nous montrer comment tu as fait par exemple [MT = tandis que Dou arrive au
tableau]
<… ?>
Ouais d’accord + oui + <… ?> + Ali + comment tu as fait toi ?
<… ?>
<… ?>
<… ?>
(00 :38) Tu as regardé les animaux et tu as pris les mêmes animaux et pas d’autres + d’accord / heu Jer tu avais quelque
chose à dire tout à l’heure c’est bon + Dou a dit ce que tu voulais dire c’est ça ? d’accord + bon + et ben on va faire
autre chose + alors + on a commencé un travail sur + comment tu as dit Sar + sur ?
<.. ?>
Tu nous as dit que c’était des ? ++ quadrillages + d’accord donc on est entrain de travailler sur les quadrillages+ tout à
fait+ et j’aimerais savoir heu + qu’est-ce que c’est qu’un quadrillage exactement + est-ce qu’il y a quelqu’un qui
pourrait me dire et ben un quadrillage c’est ça
<… ?>
Alors attendez + je prends ma craie + [MT = écrit “ un quadrillage ” au tableau] j’écris “ un quadrillage et je vous
interroge <… ?> + je vous écoute + on lève le doigt et je vous interroge ++ alors Jen [MT = tandis que la majorité des
élèves lève le doigt]
<… ?>
C’est comme un grillage + “ un quadrillage c’est comme un grillage ” [MT = écrit cette phrase à la suite de ce qu’elle
vient d’écrire] + est-ce que tout le monde sait
<… ?>
Attend + est-ce que tout le monde sait ce qu’est q’un grillage
Non : :
Oui oui
Dou ! Dou ! ne sait pas est-ce que vous pouvez lui expliquer
Moi aussi je sais pas
Brouhaha
Eh on lève le doigt ceux qui savent pour expliquer ce qu’est un grillage
C’est <… ?>
<… ?> ah + alors Jen ?
<… ?>
Le quadrillage + heu + un grillage c’est ce qu’on met + à un endroit pour que les choses ne passent pas + on peut en
mettre au bord des balcons pour pas qu’on tombe + on peut en mettre
Brouhaha
<… ?> elle a des barreaux (00 :40)
Voilà + y’a soit de barreaux soit des fois contre les barreaux des fois on met du grillage
<… ?>
Y’en a qui ont dit c’est des petits carreaux
<…. ?>
Voilà + on regardera je crois qu’y en a dans la cours + mais je suis pas sûre on regardera cette après midi + d’accord
Brouhaha
Y’en a dans la cour des maternelles ?
Brouhaha
Ben on regardera cet après midi + à une heure et demi + d’accord + alors maintenant + y’en à aussi sur les cages des
animaux pour pas qu’ils sortent
Ouais
247. [M= B.C 1311]
248. [M= Elèves]
249. [M= Elève]
250. [M= B.C 1311]
251. [M= Elèves]
252. [M= B.C 1311]
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
263. [M= Elève]
264. [M= B.C 1311]
265. [M= Elève]
266. [M= B.C 1311]
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
275. [M= Elève]
276. [M= Elève]
277. [M= B.C 1311]
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
293.
294.
295.
296.
297.
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
298. [M= Elève]
299. [M= B.C 1311]
[M= Elève]
Pour pas <… ?> /+ alors on est sur les quadrillages + est-ce que quelqu’un peut me dire autre chose sur les
quadrillages ?
Brouhaha
C’est comme un calendrier !
Le calendrier + quand tu parles du calendrier + c’est quoi dont tu parles + la forme du calendrier c’est quelle forme [MT
= montre le calendrier affiché au tableau] (00 :41)
Brouhaha
Tu as raison + on on pourrait dire que c’est quadrillage + mais c’est un quadrillage un peu particulier + comment ça
s’appelle ? un ?
brouhaha
un ta ?
Un tableau
Un tableau hein + c’est la forme du tableau
<… ?>
Ah pas celui de calendrier tu pensais
<… ?>
Pas celui de la classe
<… ?>
d’accord + bon donc c’est un peu comme un tableau on pourrait dire bon on va faire autre chose maintenant + ah tu as
autre chose à dire ?
<… ?>
C’est comme un grillage + c’est comme un tableau + “ c’est des carrés + accrochés ” + accrochés [MT = écrit cette
phrase au tableau] + et ben justement on va se servir de ce que tu viens de nous dire
<… ?> (00 :42)
Ça c’est le grillage d’accord + mais là on est sur le quadrillage + / Sar je crois que tu voulais dire autre chose ? c’est
bon ? ++ c’est bon on a dit /+ alors moi je voudrais maintenant + je vais commencer une phrase et j’aimerais ben que
vous m’expliquiez la suite + alors + “ pour + tracer + un quadrillage + donc pour fabriquer un quadrillage ”[MT = écrit
cette phrase au tableau] + alors je vous écoute la suite ++ un quadrillage
Brouhaha
Pas tous ensemble
<.. ?>
Alors d’après Lam il faut une règle + “ il faut ”+ [MT = écrit au tableau]
Une règle
“ Une règle ” [MT = écrit au tableau]
<… ?>
Bon + on va faire ++ on va faire ça + c’est qu’je vais + en même temps + je vais le faire à côté + sur le tableau à côté +
tout ce que vous me dites [MT = se rend gauche du tableau et prend une grande règle]+ alors voilà j’ai ma règle
(00 :43) + non on va faire encore mieux + tiens + Sar + tu viens ici ? ++[MT = tandis que Sar arrive au tableau] tu vas
faire ce que te dises les copains + donc ils t’ont dit faut une règle + prends-toi un e craie + voilà alors on continue +
pour tracer un quadrillage il faut une règle + on l’a + alors tu vas faire ce que te dises les copains + alors il faut faire
une grande barre droite + alors tu vas te mettre là + après on regardera
Une grande barre droite
<… ?>
“ Il faut faire + une + grande + barre + droite ”[MT = écrit au tableau] on verra après si on garde le mot barre ou pas +
est-ce / tu l’as faite ? <… ?> je la vois pas moi + tu l’as tracé
<.. ?>
Avec la craie + ben alors <… ?> [MT = tandis que Sar tente de tracer une “ grande barre droite ”] (00 :44)
<.. ?>
Ouais mais c’est dur avec la grande règle
<… ?>
Attententend on va le garder + allez je t’aide
<.. ?>
Voilà + impeccable + alors en suite
<… ?>
Alors + on fait une autre barre à côté
Couchée !
Couchée + alors il faut faire une grande barre droite + “ il faut faire ”
Oh la la [MT = tandis que Sar laisse tomber la règle]
“ Une autre grande barre couchée ” [MT = écrit au tableau]
Brouhaha [MT = tandis que Sar s’apprête à tracer une droite horizontale perpendiculaire à la droite verticale et
venant la croiser]
Ah attend ! il a dit couchée + il fait ce que vous dites hein ! (00 :45)
Brouhaha
Non + les copains y ont dit couchée + tu as raison + fais là/
Brouhaha
Si vous vous êtes trompés c’est que vous vous êtes trompés + en + parlant + mais lui il fait ce que vous êtes entrain de
dire
Brouhaha
Oh ! on lève le doigt si on a quelque chose à dire (p.5s) [MT = vient à la rescousse de Sar qui a du mal à tracer la
droite tout en appuyant sur la règle]
Alors
377
300. [M= Elève]
301. [M= B.C 1311]
302. [M= Elève]
[M= B.C 1311]
303. [M= Elève]
304. [M= B.C 1311]
305. [M= Elève]
306. [M= B.C 1311]
307. [M= Elève]
308. [M= B.C 1311]
309.
310.
311.
312.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
313. [M= Elève]
314. [M= B.C 1311]
315.
316.
317.
318.
319.
320.
321.
322.
323.
324.
[M= Elèves]
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
325.
326.
327.
328.
329.
330.
331.
332.
333.
334.
335.
336.
337.
338.
339.
340.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Jen]
[M= B.C 1311]
[M= Jen]
[M= B.C 1311]
[M= B.C 1311]
[M= Jen]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
341.
342.
343.
344.
345.
346.
347.
348.
349.
350.
351.
352.
353.
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
354. [M= Elève]
355. [M= B.C 1311]
356. [M= Elèves]
357. [M= Elèves]
358. [M= Elève]
378
<… ?>
Est-ce / alors + oh ben s’il a fait une grande barre couchée
Mais il a pas fait droit <… ?>
Oh eh soyez un peu sympa avec lui + c’est bon ce qu’il a fait
brouhaha
Allez on lève le doigt + y’en a qui on autre chose à nous dire ? + alors Jen ?
<… ?>
Tu fais d’autres traits +/ ah traits ! ce coup si + “ on fait d’autres traits + droits ” [MT = écrit au tableau] (00 :46)
Je fais des <… ?> de grandes lignes
Et bien vas-y + vas-y + allez + d’autres + traits + droits [MT = tandis que Sar peine à maintenir la règle tout en traçant
le trait] + heu + est-ce quelqu’un + tiens viens voir + tu viens l’aider à tenir la règle là en haut + lui y tient en bas lui +
et toi en haut pour pas qu’elle bouge + (chuchote) super [MT = tandis que les deux élèves s’entraident]
Il arrive pas à faire plus haute que ça !
Eh ça suffit + allez continue + ça suffit
Brouhaha
Alors +++ moi je pense qu’ils se débrouillent bien + ils ont exactement dit + c’est Lam et Jen nous ont décrit + la
manière de tracer le quadrillage + est-ce + on va voir à la fin mais d’après vous + est-ce qu’on va avoir un quadrillage ?
Oui
Oui + si on fait d’autres traits droits + heu + alors heu Ced ? ! (00 :47 :30)+ est-ce que +si j’écrivais un texte + pour
faire + pour l’afficher + comment tracer un quadrillage + est-ce qu’on va écrire il faut faire une grande barre droite
NON : :
Non : :
Oui
Alors + oui ?
Non
Non + dans un livre on trouverait pas barre + qu’est-ce qu’on pourrait trouver comme autre mot ?
Droit ! <.. ?>
Droit oui + ou alors des ?
<.. ?> (00 :48)
Quand vous me dites de barres je suis d’accord + mais est-ce que + on a un autre mot + on a parlé d’un trait + tout à fait
+ est-ce qu’on connaît d’autres mots ? alors je vais écrire barres + traits + [MT = écrit les deux mots au tableau] est-ce
que vous connaissez d’autres mots pour dire la même chose
<.. ?>
Non + pour dire ce que j’ai fait là hein [MT = trace une ligne droite au tableau]
Fer
Fer ? est-ce que le fer + c’est quoi le fer ?
C’est quelque chose qui est dur !
Ouais + c’est un métal hein + est-ce que tu crois Jen
<.. ?>
Est-ce que tu crois que le métal c’est toujours droit ?
Non
Non hein + c’est pas toujours une barre hein + moi je crois qu’il y a d’autres mots (00 :49)
<… ?>
Tout à l’heure tu m’as dit quoi le mot ? Sar comment on pourrait appeler ce que tu traces ?
<.. ?>
Des traits des barres et y’a pas d’autres mots + vous en connaissez pas un autre ?
<… ?>
Quand quand on est + quand on regarde le + le sol + c’est quoi + le sol = regardez bien le sol + ça vous fait penser à
quoi ?
Brouhaha
Du carrelage
Ouais c’est aussi un quadrillage + et puis ça alors + je marche sur quoi là ? [MT = marche sur le carrelage de la classe]
Sur des traits !
Ouais des traits + ou quel est l’autre mot ?
<… ?>
Oh non je marche pas sur /
<.. ?>
Ouais tout droit + alors ça s’appelle/
<.. ?>
Ça s’appelle comment ? ça s’appelle UNE
Ligne
Une LIGNE + et oui tout à fait +allez assaillez-vous + on aurait pu mettre UNE + LIGNE aussi comme mot + /alors + il
en manque encore [MT = tandis qu’elle regarde où en est Sar et qu’elle s’aperçoit qu’il n’a tracé que des lignes
verticales] + et oui il manque <… ?> + alors on s’assoie + on continue <.. ?> + (00 :50) alors on va continuer avec ça
++ on va continuer avec ça + qu’est-ce qu’ils sont entrain de tracer là ?
Des + des trucs couchés
Des LIGNES + couchées + mais alors est-ce que d’après vous + /chut oh oh ++ est-ce que dans un livre vous allez voir
des lignes couchées ?
Oui : :
Non :
Non
359. [M= B.C 1311]
360.
361. [M= B.C 1311]
362. [M= Elève]
363. [M= B.C 1311]
364.
365.
366.
367.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
368.
369.
370.
371.
372.
373.
374.
375.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Sar]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
376. [M= Elève]
377. [M= B.C 1311]
378.
379.
380.
381.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
382.
383.
384.
385.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
386. [M= Elève]
387. [M= B.C 1311]
388. [M= Elève]
389. [M= B.C 1311]
390.
391.
392.
393.
394.
395.
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
[M= Elèves]
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= B.C 1311]
[Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
Non + il va y avoir un autre mot que couché + couché on a compris + couché c’est comme ça
Penchées ! + penchées !
C’est pas grave allez continuez + oh + penché on sait pas comment c’est penché hein + ça peut être penché comme ça +
penché
<… ?>
Ça a beaucoup plus de + est-ce que y’a quelqu’un qui connaît le mot ? non ? quand c’est justement ce que vous voulez
dire hein + dans ce sens ? (00 :51)
Couché
Ouais mais c’est pas couché
<… ?>
Non + et ouais mais cette ligne elle est + y’a + Sar ? tu connais pas + la ligne que tu traces comme ça + comment on dit
+ comment elle est ?
<… ?>
Ben oui comme ça + alors si on met comme ça + c’est bon aussi
Bah debout ? !
Debout + c’est pas debout non
Brouhaha
Eh c’est pas droit mon plus
<.. ?>
Bon + alors je vais vous le dire + chut + quand c’est + quand c’est comme ça + ce que vous appelez couché + on dit que
c’est horizontal [MT = tandis qu’elle dessine une ligne horizontale puis qu’elle inscrit “ horizontale ” sous la ligne]
Ah : :
Horizontal + et peut-être que je peux vous aider + quand vous dites debout [MT= l’enseignante montre le trait vertical
dessiné au tableau]+ comment on fait + heu Ass + quand on fait debout + allez c’est bon c’est bon on sort ça suffit on
en a assez [MT= l’enseignante se dirige vers les enfants au tableau et leur fait signe de retourner à leur place]+ on a
compris + vous avez fait un beau quadrillage + ce que vous appeliez couché on dit que c’est horizontal [MT=
l’enseignante montre la ligne horizontale puis la ligne verticale]+ et ce que Abo appelait debout + est-ce que quelqu’un
connaît le mot (00 :52)
Horizontal
Horizontal c’est dans ce sens + dans ce sens c’est ? [MT= l’enseignante mets sa main à la verticale]
Vertical !
Vertical + tout à fait+ super + c’est vertical [MT= l’enseignante écrit vertical à côté de la ligne verticale dessinée au
tableau]+ bon on pourrait dire + pour tracer un quadrillage il faut+ une règle + il faut + tracer
Vertical + des traits vertical
Des traits ou des ? [MT= l’enseignante efface une partie de ce qui est écrit au tableau]
Des lignes verticales
Des lignes verticales [MT= l’enseignante écrit “ des lignes verticales ” au tableau]+ des lignes verticales + et puis il
faut aussi tracer des lignes ++ des lignes comment ? [MT= l’enseignante efface une partie de ce qui était écrit au
tableau]
Horizontales
Horizontales [MT= l’enseignante écrit “ des lignes horizontales ” au tableau]+ tout à fait + alors je suis d’accord avec
vous ++ maintenant + on va regarder le quadrillage ce + (00 :53) que nous ont fabriqué Abo + et Sar + [MT=
l’enseignante efface la ligne du bas de ce qui était écrit au tableau] on va regarder ce quadrillage + et j’aimerais que
l’on me dise + qu’est-ce que l’on voit + heu
<.. ?>
Non vous allez me dire plutôt + comment + vous allez me dire comment ça s’appelle ça ? [MT= l’enseignante montre
une patrie du quadrillage dessiné par les élèves]
Brouhaha
Des carrés ++ des carreaux ou des ?
Cases
Des cases + j’ai entendu + je sais pas qui c’est qui l’a dit <… ?>
<… ?>
C’est bien <.. ?> + ça s’appelle une case [MT= l’enseignante colorie une case du quadrillage dessiné par les élèves et
écrit le mot “ case ” à côté] + tout à fait + chut + alors ça c’est une case + ici + en bas regardez ++ quand je trace tout
ça ++ ça s’appelle une ? [MT= l’enseignante colorie une ligne sur le quadrillage dessiné par les élèves]
Ligne
Une ligne + tout à fait ++ et ça [MT= l’enseignante colorie une colonne du quadrillage]
Des traits droits (00 :54)
Tout droit
<… ?>
Eh c’est pas des traits hein
Vertical !
C’est des + oui c’est une ligne verticale+ mais ça s’appelle pas une ligne + ça s’appelle une ? oh c’est pareil dans les
tableaux
<.. ?>
Dans les tableaux je vous dis regardez la ? [MT= l’enseignante montre la colonne du doigt]
<.. ?>
Par exemple dans les tableaux + dans le calendrier [MT= l’enseignante montre le calendrier ]
Le tableau
Je vous dis + ça c’est la + de jeudi
Une ligne ! une ligne !
379
411.
412.
413.
414.
415.
416.
417.
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
418. [M= Elèves]
419. [M= B.C 1311]
420. [Elève]
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
429.
430.
431.
432.
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[Elèves]
[Elève]
[Professeur]
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
433. [M= Elève]
434. [M= Elève]
435. [M= B.C 1311]
436.
437.
438.
439.
440.
441.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
442.
443.
444.
445.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
446.
447.
448.
449.
450.
451.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
[M= Elèves]
[M= B.C 1311]
452. [Elève]
453. [M= B.C 1311]
454. [M= Elève]
455. [M= B.C 1311]
380
C’est pas la ligne
Une météo !
Non pas la météo + c’est la co(lonne) ?
<… ?>
Colorie !
Colonne !
La colonne oui + tout à fait + c’est la colonne [MT= l’enseignante écrit le mot “ colonne à côté de la colonne coloriée]
+ ça c’est la colonne + ah ben + dites moi on a appris plein de mots ce matin ++ le mot colonne + le mot ligne + le mot
case + le mot vertical + le mot horizontal [MT= l’enseignante montre les différents mots au fur et à mesure qu’elle les
nomme]+ ça en fait beaucoup hein + cette après midi on fera une affiche (00 :55)
brouhaha
(l’enseignasse chuchote) <… ?> bon maintenant à chacun + à chacun je vais vous distribuer + une règle + et vous allez
+ on va retravailler sur les positions +dans les quadrillages ++ alors + heu + les distributeurs + Ced tu retournes à ta
place s’il te plait [MT= les distributeur se déplacent vers l’enseignante pour prendre les feuilles ] + alors la
photocopies elle est présentée + bon elle est pas super super + mais : :+ on va faire hein + allez + vous écrivez votre
prénom en haut de suite + Lye <… ?> ton prénom + <… ?>
On écrit là ?
Comme tu as envie (p.5s) chut (00 :56)
Au stylo vert ?
brouhaha
Non + vert + vert c’est pour corriger + tu corriges pas + tu écris ton prénom
brouhaha
<.. ?>
Non parce que de toute façon on va faire le travaille avec autre chose
brouhaha
<… ?>
Pour l’instant on écrit son prénom
<… ?> avec le stylo
Oui si tu veux je t’ai dit comme tu veux tu écris ton prénom + c’est pas compliqué ++ alors + quand on a écrit son
prénom + on va regarder l’exercice un + je vous lis moi + chut je vous lis moi la consigne + parce que + chut + on y
voit pas très bien + [MT= l’enseignante lit les consignes à haute voix sur la photocopies d’un élève] retrouve les cartes
+ de la grille + modèle + (00 :57) et part une flèche [MT= l’un des élèves distributeur redonne les feuilles restantes à
l’enseignante qui les prend et lit le reste des consignes sur les feuilles qu’elle a dans les mains puis les tourne vers les
élèves et monter les grilles avec le doigt]+ classe les dans la bonne case + on regarde les grilles + c’est comme tout à
l’heure + mais cette fois-ci est-ce qu’on découpe et on colle ?
Non : :
On met des flèches [MT= l’enseignante vient donner une photocopie à une élève qui n’en avait pas eu]
Non + on va mettre des flèches + alors le problème + c’est que la photocopie comme elle est pas super vous allez
prendre un feutre
Oh wa : :
Vous allez prendre un feutre rouge
Ouais : :
Et vous allez /
<.. ?>
Chut + et vous allez faire + en + marquer les flèches <… ?> [MT= l’enseignante montre quelque chose sur la
photocopie]+ vous replacez les cartes comme tout à l’heure + là là et là + on fait des flèches pour refaire le quadrillage
+ le même quadrillage [MT= l’enseignante va chercher d’autres feuilles sur une table]
Maîtresse !
Oui ma grande
<.. ?>
Et ben tu te lève t’en prends un +++ heu on fait l’exercice un + l’exercice un c’est en haut + hein + d’accord ? [MT=
l’enseignante prend la feuille d’un élève et montre le haut de la feuille]
On le fait ? ! (00 :58)
Oui (p.5s) [MT= l’enseignante se déplace dans le fond de la classe]
brouhaha
(chuchote) <.. ?>
Brouhaha (p.30s)
+ on refait + on regarde sa feuille [MT= l’enseignante se dirige vers un élèves et lui montre quelque chose sur sa
feuille+ et on + on trace + tout à l’heure on découpait et on collait + ce coup ci on découpe plus mais on trace une flèche
[MT= l’enseignante se déplace dans les rangs]+ on met une flèche pour montrer où vont les animaux ++ d’accord ?
(p.5s)
<… ?> (l’élève interpelle l’enseignante)
(l’enseignante chuchote avec un élève) [MT= l’enseignante s’agenouille en face de la table de l’élève qui l’a appelé]
<.. ?> (00 :59) alors + je reprends <.. ?> + tu dois mettre les flèches pour montrer où vont les animaux + comme tout à
l’heure + d’accord ? allez
Maîtresse y’a le modèle ici [MT= une élève montre une de ses feuilles à l’enseignante]
Oui y’a le modèle [MT= l’enseignante vient près de la petite fille qui l’a interpellé]+ c’est ça + on fait comme le
modèle + on doit mettre au même endroit que le modèle + alors + en bas + dites-moi + en bas là + on voit pas ce que
c’est + c’est une petite souris [MT= l’enseignante se déplace vers le tableau puis prend la feuille d’un élève pour un
dessin]
456.
457.
458.
459.
460.
461.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
462. [M= Elève]
463. [M= B.C 1311]
464. [M= Elève]
465. [M= B.C 1311]
466.
467.
468.
469.
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
470.
471.
472.
473.
474.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
475.
476.
477.
478.
479.
480.
481.
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
482.
483.
484.
485.
486.
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
[M= Elève]
[M= Elève]
[M= B.C 1311]
Moi j’la vois moi
Y’a le poisson + le mouton + la souris + le lapin et le papillon ++
Moi j’le vois
Y’a pas de modèle :!
brouhaha
[MT= l’enseignante se déplace dans les rangs] c’est bon ++ c’est une souris (p.7s) c’est pas là que j’ai dit de faire
[MT= l’enseignante vient voir un élève et lui pose la main sur la tête et lui montre quelque chose sur sa feuille]+ le un
+ le un c’est là haut +hein Ced + alors refais là haut ++ [MT= l’enseignante se déplace pour aller voir d’autre élèves]
(p. 10s)
Maîtresse ! <… ?> (01 :00 :00)
oui + là c’est le même que celui-là + mais attention on a tourné la feuille hein <… ?>+ alors + Jer me dit +maîtresse
[MT= l’enseignante se déplace vers le tableau et prend la feuille de l’élève qui est au premier rang pour la montrer à la
classe]+ mais pour en bas là + on a pas le modèle + et il a raison + on a pas de modèle + mais en fait c’est ce modèle là
+ comme si on tournait la feuille
<… ?>
Comme si on tournait la feuille [MT= l’enseignante tourne la feuille qu’elle présente à la classe]+ d’accord + non on
fait pas sen bas + on fait un deux ou trois ++ l’exercice deux on a pas commencé encore ++ regarde bien le chat + il est
là le chat + il est dans la bonne case ? ++ c’est pareil + là et là (p.10s) [MT= l’enseignante se déplace vers d’autres
élèves]
Maîtresse <… ?> (01 :01 :00)
brouhaha
J’ai fini
[MT= l’enseignante s’approche d’un élève] tu va pas te lasser surprendre par ça quand même [MT= l’enseignante se
déplace vers un autre élève] (l’enseignante chuchote avec l’élève) [MT= l’enseignante va voir un autre élève et
chuchote avec lui] [MT= l’enseignante se déplace pour voir un autre élève] <.. ?>
Non
Oui allez corrige
Je suis trompé
Je ME suis trompé + comment tu t’es trompé ? c’est le poisson c’est ça ? comment tu t’es trompé ?
[MT= un élève se lève de sa place ] et qu’est-ce que tu fais debout ? [MT= l’enseignante regarde l’élève puis s’occupe
d’un autre élève]On fait en bas ?
Et ben prend un feutre + prend un feutre vert + allez refais en face
<… ?>
Et oui + c’est comme t’as trouvé + tout à fait + <. ?>
<.. ?>
On en mis en plus + c’est des petits pièges + <.. ?> quand même <.. ?> c’est pas grave
<.. ?>
<.. ?> non tu t’es pas trompé + c’est bon +++ (01 :02 :00) [MT= l’enseignante se dirige vers le tableau pour y dessiner]
alors + je vais faire un tableau + derrière <… ?> cette après midi + heu : je vais me mettre là je ferme cinq minutes
[MT= l’enseignante pousse une des parties du tableau noir derrière lequel se trouve un tableau blanc et écrit sur le
tableau blanc] + l’exercice deux ++
<… ?>
ben tu écoutes tu regardes
<… ?>
<… ?> t’as trouvé <… ?>
Chut : :+++pour l’instant tu regardes + tu regardes au tableau [MT= l’enseignante continue de dessiner ce qu’il y à sur
les feuille sur le tableau blanc] (p.7s) quand vous en êtes à l’exercice deux (01 :03 :00)+ vous posez + vous croisez les
bras + pour que je vois + que vous en êtes à l’exercice deux + pour savoir combien de personnes en sont à l’exercice
deux
Etat du tableau blanc
487. [M= Elève]
488. [MT= B.C 1311]
489.
490.
491.
492.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
493. [M= Elève]
494. [MT= B.C 1311]
495. [M= Elève]
496. [MT= B.C 1311]
<.. ?>
Oui + oui oui + on le fait celui-là + fait attention Med [MT= l’enseignante se penche sur la table de Med]+ c’est comme
si on tournait la feuille + regarde + la poule qui était là en bas elle devient là en bas + d’accord ?
<… ?>
Voilà + c’est la même + hein + c’est cette grille qu’il faut refaire
<… ?>
Chut : : [MT= l’enseignante se déplace vers une élève qui s’est lévé](p.5s) + tu poses + tu croises tes bras comme ça
dès que tu as fini + non le deux on attend ++ <… ?> on l’a mis déjà là + t’as vu ?
Comment on fait pour <… ?> [MT= l’enseignante se retourne vers un élève et lui montre quelque chose] (01 :04 :00)
Et bien celui-là c’est pas la peine il y est déjà + on l’a déjà mis celui-là + il est qu’une fois dans la grille hein ? voilà +
regarde + maintenant essaies de faire l’escargot + l’escargot il est ?
Petit
Oui + puis il est où par rapport à l’oiseau ? ++ voilà + t’as vu + alors si l’oiseau il est là + on va le mettre où l’escargot
+ d’accord + alors mets une flèche pour montrer que l’escargot y va là ++ voilà + allez continue ++ bon alors l’exercice
deux + ce coup ci + ce coup ci il va pas falloir mettre des flèches + m ais qu’est-ce qu’il va falloir faire ?
381
497. [M= Elève]
498. [MT= B.C 1311]
499. [M= Elève]
500.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
[Elèves]
[Elève]
[MT= B.C 1311]
[Elève]
[MT= B.C 1311]
[Elèves]
[MT= B.C 1311]
508. [M= Elève]
509. [MT= B.C 1311]
510. [Elève]
511. [MT= B.C 1311]
512.
513.
514.
515.
516.
517.
518.
519.
520.
521.
522.
523.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
524. [M= Elèves]
525. [MT= B.C 1311]
526. [M= Elève]
527. [MT= B.C 1311]
528.
529.
530.
531.
[M= Elève]
[Elèves]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
532. [M= Elève]
533. [MT= B.C 1311]
534. [M= Elève]
535. [MT= B.C 1311]
536.
537.
538.
539.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
540.
541.
542.
543.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[Elève]
[MT= B.C 1311]
382
<… ?>
il va falloir ?
Dessiner <… ?>
Tout à fait + y’a écrit + reproduit le modèle + dessine comme le modèle + attention + qu’est-ce qu’on voit ? regardez
bien [MT= l’enseignante montre la première grille dessinée au tableau blanc]
Des ronds
Des ronds
Et les triangles ils sont comment ?
<… ?>
Y’en a un qu’a le pointu en haut et l’autre qui à le ?
Pointu en bas
Voilà + on va dire ça + ils sont pas dans le même sens les sommets des triangles + vous avez vu + ils ont tourné + alors
+ regardez bien + là + celle-là de grille [MT= l’enseignante montre la deuxième grille du tableau blanc]+ ça va
être là? [MT= l’enseignante montre la première grille du tableau blanc] (01 :05 :00)
On peut le faire ?
Ah non + et attention dessous [MT= l’enseignante montre la grille en position verticale en bas du tableau blanc]+
qu’est-ce qu’il s’est passé ?
Des ronds
Ouais + mais la grille qu’est-ce qu’elle a fait ? [MT= l’enseignante montre simultanément la première grille et celle du
bas]
<… ?>
<… ?> mais qu’est-ce qui c’est passé ?
<.. ?>
Est-ce que la grille c’est la même ?
Non : : :
Non ?
Oui oui
Oui c’est la même + mais/
C’est à l’envers
C’est la même mais qu’est-ce qui s’est passé ?
<… ?>
On l’a un petit peu ?tourné + elle était comme ça [MT= l’enseignante montre la première grille et fait le signe de
rotation de 180° sur le côté+ on l’a prise et on l’a tournée + faites attention pour faire les triangles dans le bon sens
hein ? + allez
brouhaha
On + on complète les grilles ++ on complète les grilles + les deux grilles qui sont là + elles doivent être pareilles [MT=
l’enseignante prend la feuille d’un élève pour montrer à la classe les grilles dont elle parle]+ elles doivent être
identiques à celles-là + ces deux grilles elles doivent être identiques à celles-là
<… ?>
(01 :06 :00) Tu peux garder ton feutre pour dessiner le cercle et le triangle + ça pose pas de problème ++ et après vous
faites <… ?>
<… ?>
Brouhaha (l’enseignante discute avec l’équipe d’observateurs)
Je me suis trompé maîtresse
(01 :07 :00) [MT= l’enseignante retourne voir les élèves]<… ?> + attention regarde [MT= l’enseignante s’approche
d’un élève et lui montre quelque chose sur sa feuille]+ qu’est-ce qui c’est passé + est-ce que <.. ?> est exactement au
même endroit ?
Non
Non qu’est-ce qui s’est passé + elle a ? + tournée + c’est celle-là + qu’on a ? + tournée [MT= l’enseignante fait le signe
de faire tourner la figure]+ d’accord ? + tiens tu vois +hein + alors fait bien attention [MT= l’enseignante se déplace
vers un autre élève (chuchote) <… ?> [MT= l’élève qui est devant celui dont s’occupe l’enseignante se retourne et lui
tend sa feuille] [MT= l’enseignante prend la feuille qui lui est tendue, la repose sur la table de l’élève et vient se placer
à côté de l’élève pour la regarder avec lui] <… ?> [MT= l’enseignante se retourne vers la petite fille placée derrière et
lui montre sa feuille]+ Nas tu as fini ?
<… ?>
[MT= l’enseignante se tourne alors vers le petit garçon à côté de la petite fille]Ah toi tu as finis + bon alors tu ranges
<… ?> + tu poses ta feuille à corriger [MT= l’élève se lève pour porter sa feuille sur le bureau de l’enseignante]+ fait
attention au fils hein par terre + on fait tous attention aux fils
<… ?>
[MT= l’enseignante se déplace vers un groupe d’élèves qui lèvent la main] J’arrive heu Sab (01 :08 :00)
<… ?> je sais pas
Ah ben regarde + là + le rond il est là au milieu + si je tourne ma feuille + hop + <… ?> + d’accord ? + c’est comme si
on tournait ça feuille ++ donc tu refais pareil [MT= l’enseignante continue de faire le tour des tables pour voir les
élèves]
<… ?> là
Oui + là aussi + trouve dans quel sens on a tourné la feuille
Là j’me suis trompé là
[MT= l’enseignante s’arrête près de l’élève qui s’est trompé et qui l’avais appelé lorsque l’enseignante discutait avec
les observateurs]Ah oui tu t’es trompé + et dis-moi + moi je veux que ce soit pareil là le dessin + est-ce que ça ça va
être pareil + comme tu as commencé + mais non là il les faut pas hein + regarde + hein je veux qu’on fasse ce qu’est-ce
là + d’accord ?
544. [M= Elève]
545. [MT= B.C 1311]
546. [M= Elève]
547. [MT= B.C 1311]
548.
549.
550.
551.
552.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
553.
554.
555.
556.
557.
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
558. [M= Elève]
559. [MT= B.C 1311]
560.
561.
562.
563.
564.
565.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
566. [M= Elève]
567. [MT= B.C 1311]
568.
569.
570.
571.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
572. [M= Elève]
573. [MT= B.C 1311]
574.
575.
576. [MT= B.C 1311]
577. [M= Elève]
578. [MT= B.C 1311]
579. [M= Elève]
580. [MT= B.C 1311]
581.
582.
583.
584.
585.
586.
587.
588.
589.
590.
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
[M= Elèves]
[MT= B.C 1311]
[M= Elèves]
[MT= B.C 1311]
[M= Elève]
[MT= B.C 1311]
591. [M= Elèves]
592. [MT= B.C 1311]
J’ai fini
Tu as fini + et ben tu poses à corriger et tu vas t’asseoir [MT= l’enseignante regarde sa montre]+ tu prends ton
coloriage + vous prenez + vous allez pas à la bibliothèque + y’a la caméra devant + vous prenez vos coloriages + allez
[MT= quelques élèves se lèvent pour poser leur feuille sur le bureau de l’enseignante ] [MT= une élève se lève en
levant la main][MT= l’enseignante va la voir s’agenouille à côté d’elle] (01 :09 :00)
<… ?>
<… ?> il faut dessiner là pour que soit pareil que là + pour que ce soit identique + d’accord ? + tu es capable de le
faire + là + bon alors vas-y + déjà là faut que ce soit pareil + et celle-là faut que soit pareil + et celle-là faut que soit
pareil que celle-là + d’accord ?
Et celle-là
Tu me rappelles pour ça + d’accord + fais déjà ces deux + hein
Ceux-là
Celle-là ça doit être la même que celle-là + celle-là c’est la même que celle-là + d’accord + allez vas-y
J’ai trompé moi hein ? [MT= l’élève placé devant celui dont s’occupait l’enseignante se lève pour lui montrer sa
feuille]
Ouais + tu t’es trompé + je ME SUIS trompé + je ?
JE + ME + SUIS + trompé
Bien
Maîtresse <.. ?> [MT= une élève vient voir l’enseignante lui parle puis retourne à sa place]
[MT= l’enseignante fait signe à l’élève qui s’était levée de retourner à sa place et va voir un autre élève] Tu prends ton
coloriage + quand on a fini on prend son coloriage hein ++ <.. ?> + [MT= l’enseignante s’assoie à côté d’un élève]
alors + tu as pas compris + ben déjà c’est celle-là + celle-là ça doit être la même que celle-là
Elle ?
Elle + c’est la même que celle-là + et elle aussi + celle-là on l’a tournée + d’accord ? (p.7s) <… ?> [MT=
l’enseignante se lève pour aller voir d’autres élèves] (01 :10 :00)
J’ai fini
alors + là maintenant regarde + tu as vu où il est <.. ?>
Oui
<… ?> il est où e cercle ? il est au même endroit + tu as + c’est la même grille que ça qui faut refaire
J’ai trop faim
Tu peux le faire comme ça si tu veux + en m’imaginant que je tourne la feuille où alors tu tournes la feuille + et là c’est
pareil + d’accord + allez + tu as trop faim + et bien c’est l’heure ça tombe bien + Med tu prends ton cahier jaune + il est
sur mon bureau + je te donne le travail de cet après-midi
<… ?>
Alors + heu + cet après midi + bonne question (p.10s) + heu + tu prends ton cahier vert pour l’écriture + attends + <.. ?>
et tu viens me voir [MT= l’enseignante va à son bureau et Med la rejoint] (01 :11 :00)
brouhaha
Alors là tu peux pas
Il faut quoi comme couleur
oh bien dis + tu as la feuille de couleur là + allons + maintenant en début d’année je veux ben + maintenant <.. ?> ++
[MT= l’enseignante va voir une élève qui s’est levé et discute avec un autre élève ] c’est ça le coloriage ?
<… ?>
Oh : : : Lam j’en ai assez [MT= l’enseignante prend un papier sur la table de Lam et la met sur la table de l’élève de
derrière] + prends ton coloriage dépêche toi ! + attention aux couleurs hein [MT= l’enseignante se déplace pour aller
voir d’autres élèves] (01 :12 :00)
(Coupure vidéo Zoom sur le coloriage d’un élève Coupure vidéo Zoom sur des coloriages d’élèves ) Fin de
l’enregistrement vidéo
<… ?>
Et le reste je ne peux <… ?> +d’accord
Quoi
Le reste je ne peux pas <… ?> je te donnerais après +++ il est là + alors Med tu fais ça + et tu dis à maman de <.. ?> +
<quatre syllabes>
<… ?>
Comme d’habitude (rire) + voilà + allez + dans le cartable (p.5s) attention aux couleurs ma grande + tu t’es trompée en
mettant tes couleurs + rose jaune je suis d’accord + rouge + et ça c’est quoi ?
Gris
Bé oui gris + c’est gris ça ?
<… ?>
Ah + alors +++ prends ton crayon <… ?> + fais attention + compte bien toi hein
Brouhaha
Les couleurs ça n’a rien <.. ?> hein on a pas le temps (p.15s) + c’est l’heure d’aller manger à la cantine
Brouhaha
<… ?> tu vas le poser + vous rangez tout
<… ?> et c’est déjà l’heure
Si tu t’étais dépêché au lieu de trifouiller dans tes affaires + t’aurais eu le temps + allez <. .. ?> + on range + et on
s’assoie + heu Lam + tu mets tes lunettes dans ta boîte parce qu’elles vont tomber on va encore marcher dessus + allez +
Jer tu ranges ? (p.6s) allez + tu le poses + passe par là et tu poses ton cahier ici ++ alors + ouh : : y’a trop de bruit là
oh : : ça me fait mal aux oreilles + chu : :t
Brouhaha
On est assis + on a rangé ses affaires et on est en silence <… ?> + chu : : :t + chu : :t + c’est bien Abo ++ on arrête +++
alors
383
I.2 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE L.D 1321
1.
[M= Professeur]
2.
3.
[M=Elève]
[M= Professeur]
4.
5.
6.
7.
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Am]
[M= Professeur]
8.
9.
[M=Elève]
[M= Professeur]
10.
[M= X]
11.
[M= Professeur]
12.
13.
[M=Elève]
[M= Professeur]
14.
15.
16.
17.
18.
[M=Elève]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M= Elèves]
[M= Professeur]
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M=Elève]
[M= Professeur]
26.
27.
[M= Elèves]
[M= Professeur]
28.
29.
[M= Ela]
[M= Professeur]
30.
31.
[M=Elève]
[M= Professeur]
32.
33.
34.
35.
36.
37.
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M= Professeur]
384
(01 :39 :00) Allez + alors + avant de passer à la page 58 + ça y est ++ on va sortir son ardoise pour faire quelques
calculs quelques révisions + on passe donc au maths là hein ? [MT= les élèves sortent leur ardoise] (p. 13s)
<… ?>
Oui + CHUT ! (p.7s) j’ai demandé de sortir l’ardoise + allez on y va + je vais vous donner des opérations(p. 5s)
chut + je vais dicter des nombres ++++ ah bein y’en a plus parce qu’y’a toute l’eau qu’est tombée dessus
<… ?> d’ardoise
T’as pas de feutre d’ardoise ?
<.. ?> à Reb (01 :40 :00)
Oui + merci (p.5s) allez on y va [MT= l’enseignante va chercher un rouleau d’essuie-tout et l’emmène à une élève
qui en prend un morceau pour essuyer son ardoise]+ 35
35
on ne répète pas + comme d’habitude on écrit et quand je dis on lève + on lève + CHUT +++ Ili ! + tu es encore
pire que d’habitude aujourd’hui + je répète pas + on lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise] ++ [MT=
l’enseignante tends le rouleau d’essuie tout à un autre élève] [MT= l’élève déroule l’essuie tout mais n’arrive pas
à prendre un morceau] râté + mais tire : : ! ++ [MT= l’enseignante va remettre le rouleau d’essuie tout et regarde
les ardoise au passage] [MT= une élève la suit en tendant la main] raté + je vois rien +++
(interruption d’une personne extérieur à la classe) <… ?> [MT= l’enseignante va voir la personne qui vient de
rentrer dans la classe] (01 :41 :00)
Allez on lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise]+ bon là c’est bon + non ton trois est à l’envers encore une fois
Mou + alors 35 + ton 5 est à l’envers Sam + je vous avais dis de faire un petit point au début du 5 pour revenir avec
le stylo + c’est bon [MT= les élèves baissent leur ardoise]+ alors 35 + Nah qu’est-ce que tu as mis ? [MT= Nah
lève à nouveau son ardoise] [MT= une élève vient lui apporter son ardoise] [MT= l’enseignante lui montre sa
place du doigt] vas à ta place
3 <.. ?>
A ta place ! + 3 et 5 + très bien + on continue ++ CHUT ![MT= l’enseignante reste debout au milieu de la classe et
fixe Tat et Djo ] (p.10s) Tat et Djo ça se voit pas que je vous attend ? + (01 :42 :00) ça se voit pas ? +++ ça y est ?
Oui
Oui
Alors taisez vous ++ 48
(léger brouhaha)
Ili encore une fois tu le dis je t’envoie dans la classe à côté [MT= l’enseignante se déplace dans la classe] +++ j’ai
pas dit de lever encore +++ t’as pas d’ardoise Ela ? [MT= l’enseignante s’arrête à côté d’Ela ++ et bein tant pis
pour toi + elle est à la maison je suppose encore une fois + oui alors la prochaine fois c’est punition + elle a rien à
faire à la maison l’ardoise ++ compris ? + on lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise] [MT= l’enseignante
s’assoie sur une table libre et regarde les ardoises]
<… ?>
J’t’ai rien demandé +++ c’est bon (01 :43 :00) + donc 48 ?
4 et 8
4 et 8 parce que dans 40 on entend ?
Le 4
Le 4
Le 4 + le début de 4 + très bien on continue (p.5s) 62 + oui on passe au 60 maintenant + 62 + chu : :t (p. 5s) Ela +
essaie de prendre une feuille de papier là bas = et tu les écrit sur une feuille de papier + là pas [MT= l’enseignante
montre à Ela un endroit dans le fond de la classe ] [MT= Ela va vers le fond de la classe mais s’arrête à côté d’un
élève et ramasse quelque chose part terre ]+ là où y’a la matériel + en dessous y’a des feuilles ++ on lève ++ c’est
bon + de toute façon je dis que à ceux qui se sont trompé vous le savez hein + les autres c’est que c’est bon +++ ton
deux est encore à l’envers Ama + (01 :44 :00) Ela ! [MT= Ela arrête de discuter avec l’élève et va chercher des
feuilles] ++ c’est bon + on baisse ++ donc 62 : ?
6 et 2
6 et 2 + très bien + c’est bon + chut + on passe au calcul maintenant + on passe aux calculs +++ 4 plus 4 égal
+[MT= les élèves écrivent sur leur ardoise] vous écrivez l’opération en entier et le résultat + 4 plus 4 égal + chut
+[MT= l’enseignante regarde là où est parti Ela] Ela ! les feuilles sous le matériel !
Là ?
Oui [MT= l’enseignante regarde un autre élève] ++ toi non plus ? +++ y’en a un au fond de la classe tu le sais
++[MT= l’enseignante regarde Ili] ILI ! TU ARRETES ! D’ACCORD + (01 :45 :00) TOUT EST PRETEXTE A
FAIRE L’IDIOT ! ça me saoul à force
Maîtresse ?
On lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise] + met toi là [MT= l’enseignante montre une chaise à Ili] [MT= Ili
vient s’asseoir à la place que lui a désigné l’enseignante ]+ au moins tu l’embêtera plus (p.7s) alors ça à l’air d’être
bon pour tout le monde + Ili qu’est-ce que tu as oublié entre le 4 et le 8 ? [MT= l’enseignante désigne l’ardoise du
doigt l’ardoise d’un élève]
<… ?> !
Non
Le égal
Le égal + le égal + 4 plus 4 égal ?
8:::
8 + c’est très bien on continue ++ on continue [MT= Ela retourne à sa place] + 7 plus 3 [MT= les élèves écrivent
sur leur ardoise]++ 7 plus 3 [MT= l’enseignante se dirige dans le fond de la classe] (p.10s) (01 :46 :00) (p. 8s) on
38.
[M=Ela]
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M=Elève]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M= Professeur]
54.
55.
[M=Zia]
[M= Professeur]
56.
[M= Bou]
57.
[M= Professeur]
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
[M=Bou]
[M= Professeur]
[M=Mou]
[M= Professeur]
[M=Mou]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
78.
79.
80.
81.
82.
83.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise] ++ vous baissez quand j’ai dit que c’était bon hein[MT= l’enseignante va
de table en table ] + raté + c’est bon tu baisses + tu baisses + non + pfff + c’est bon + tu as oublié le égal + Ama +
tu baisses + tu baisses + chut + montre toi + Gwé + Sam aussi ++ d’accord + alors ceux que j’ai pas encore vu là
Moi tu m’as pas vu [MT= Ela montre sa feuille à l’enseignante] [MT= la voisine d’Ela montre alors elle aussi son
ardoise puis la baisse]
Ça fait 0 + 7 plus 3 ?
Ça fait 10
Ça fait ?
<.. ?>
10
<.. ?>
Alors on a 7 doigts et on en ajoute 3 (01 :47 :00)
3
faites le + et j’en 7 [MT= l’enseignante montre sept doigts] [MT= quelque élèves montrent sept doigts]
10
Et j’en ajoute 3
10
Ça fait ?
10
Très bien + on continue + on va faire un petit peu plus compliqué + 8 plus 4 ++ Nah <.. ?> 8 plus 4 +++ ça ne
m’amuse pas hein ! +++ bein si ! + si il y arrive quand même avec les doigt + chacun fait comme il veut +
[MT= Nah compte sur ses doigts] le tout c’est de tomber sur le bon résultat + allez 8 plus 4 ? (p. 7s) chut Tat tais
toi s’il te plait (01 :48 :00) +++ [MT= un élève montre son ardoise à l’enseignante] baisse et tourne ! (p. 7s) [MT=
un élève lève son ardoise]je ne vois rien + je vois juste que ton 4 est à l’envers (p. 5s) on lève [MT= les élèves
lèvent leur ardoise] [MT= l’enseignante regarde les ardoises un e par une de loin] +++ c’est bon c’est bon c’est
bon + c’est bon + pfff <… ?> je vais TE SORTIR + FRANCHEMENT J’EN AI MARRE + C’EST LE DERNIER
AVERTISSEME NT AVANT QUE SORTE ! ++ OK ? OH OH ! (p.7s) non ++ non <… ?> + oui Bou + oui Gwé
+ montre Ama ++ oui sauf que le 2 est à l’envers (01 :49 :00) ++ non ++ c’est bon + alors 8 plus 4 comment vous
avez fait pour le calculer + expliquez aux autre comment vous avez fait pour la calculer + y’a peut-être plusieurs
façons [MT= quelque élèves lèvent la main] ++ alors Zya qu’est-ce que tu as fait toi ?
<… ?> j’ai fait un paquet de huit et un paquet de quatre
Oui + tu as compter les points que tu as fait ? ++ c’est ça ? tu as tout compté + d’accord ? qui a fait autrement ?
Bou ?
Moi j’avais fait huit [MT= Bou montre cinq doigt à la main gauche et trois à la main droite] + et après j’ai rajouté
quatre [MT= Bou lève les deux autres doigts de la droite et en lève deux à la main gauche] + et j’ai remarqué que
ça fait douze + [MT= Bou montre à nouveau cinq doigts de la main gauche puis cinq doigts de la main droite et
enfin deux doigts à de la main gauche] ça et ça ça faisait douze
Ah donc tu es passée par le paquet de 10 toi en fait + tu t’es mis sur 8 + tu as ajouté 2 ++ ça t’as fait 10 + et t’e n à
mis encore 2 ça t’as fait 12 + c’est comme ça que tu as fait ? oui ?
oui
qui a fait autrement ? (01 :50 :00) chut + comment tu as fait toi Mou ?
<… ?>
Oui
<… ?>
Personne n’a sur compté ? personne ne s’est mis sur 8 ?/
<… ?>
Comment tu as fait toi ? [MT= l’enseignante regarde Ela]
[MT= Ela se met à genoux sur sa chaise] + je me suis mis sur un + et après après je les ai rajouté<… ?>
Sur 11 ?
<… ?>
CHUT ! oh vous l’écoutez c’est pas pour moi hein qu’il explique ! + Gwé !
J’suis arrivé sur 11 +
Oui
Après après j’ai rajouté une + une + une + une unité
Unité ouais
Après ça m’a fait 12
Mais pourquoi tu t’es mis sur 11 ?
<… ?>
Parce que qu’on partait de 8 ?++ donc ce qu’on peut faire aussi c’est se mettre sur 8 et faire 4 bonds (01 :51 :00)+
je vous avait expliqué comme au jeu de l’oie + hein + on est sur la case 8 et on fait plus 4 + donc + 8++ [MT=
l’enseignante lève un doigt à chaque chiffre] 9 + 10 + 11 + 12 + on a avancé de 4 [MT= l’enseignante montre les
quatre doigts levés avec son autre main]+ cases + ou on a levé 4 doigts + donc on atterri sur 12 + Très bien + on
continue + on passe au moins attention + 9 moins 2 + allez on se dépêche un peu comme ça après on passe au
fichier + 9 moins 2
<… ?> (léger brouaha)
Cchut ! + Tat tu arrêtes de parler un petit peu
<… ?>
Eh bein essaie quand même + 9 moins 2 [MT= les élèves écrivent sur leur ardoise]
<… ?>
[MT= l’enseignante regarde Am] Montre + si c’est des bêtises je veux pas voir hein ++ on lève [MT= les élèves
lèvent leur ardoise] + raté + oui je veux voir écrit 9 moins 2 (01 :52 :00)++ Gwé lève le bien droit + Bou c’est bon
385
84.
85.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Mou]
[M= Professeur]
[M=Mouj]
[M= Professeur]
[M= Mouj
[M= Professeur]
96.
97.
98.
[M= Nah]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
99.
100.
101.
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
102.
103.
[M=Elève]
[M= Professeur]
104.
105.
[M=Elève]
[M= Professeur]
106.
107.
108.
109.
110.
111.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Bou]
[M= Professeur]
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
[M= Bou]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Ela]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M= Professeur]
128.
129.
[M= Elève]
[M= Professeur]
386
+ Gwé c’est bon ++ [MT= l’enseignante regarde un élève et lui montre la porte] allez vas faire un tour dans le
couloir + tu le sais hein + allez ouste ++ tu cherches tu trouves ++ tu reviendras quand tu seras calmé [MT= l’élève
sort]+ c’est bon + [MT= l’enseignante regarde un élève] alors tu m’as écrit 9 plus 2 égal 9 + déjà j’ai demandé 9 +
moins 2
Moins 2
Donc déjà le signe est pas le même + comment tu veux avoir 9 moins 2 qui est encore égal à 9 ? tu as 9 bonbons +
tu en enlèves 2 et tu crois qu’il y a toujours 9 à l’arrivée ?
Non : :
On tu en as obligatoirement + moins + puisque qu’on t’en enlève
Comme ça
C’est bon + alors comment est-ce qu’on a fait pour calculer ? pour trouver ça ? Ayo ?
Je sais + on fait 9
Ayo ! pas Mouj !
<… ?> 9
Oui
Après faut lui en enlever 2 (01 :53 :00) + après ça devient 7
Voilà + on lève 9 doigts + faites le + 9 doigts [MT= quelques élèves lèvent neuf doigts et en baisse deux]+ et on en
+ baisse : + 2
2
+ et on tombe sur ? + 7
7
Allez + dernier calcul + 6 moins 6 [MT= les élèves écrivent sur leur ardoise]
<… ?>
On va voir ++ chu : :t ! 6 moins 6 + [MT= l’enseignante regarde Sar] tu confonds les signes + tu m’as mis PLUS 6
+ moi je veux MOINS 6 + c’est le trait le moins Sar
<… ?>
Ah c’est la tête aujourd’hui + et bein repose toi +++ allez + essaies de faire tes calculs Nah heu Reb + 6 moins 6 +
on lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise]+ là Aid c’est bon tu baisses (01 :54 :00) + toi tu as fait 6 PLUS 6 ++
tu as barré Bou ?
<… ?>
Voilà + c’est pas du jeu si non + non tu as fait 6 plus 6 et en plus tu t’es trompé + oui c’est bon + c’est bon + c’est
bon + alors vous avez trouvé combien 6 moins 6
Zéro !
Zéro + pourquoi ?
Six [MT= Ela montre six doigts]+ moins six [MT= Ela baisse six doigts]
Y’en a plus + très bien + Bou pourquoi tu l’as barré
Parce que j’ai reconnu que y’en à six + alors <… ?> donc ça fait zéro <.. ?>
Donc ça fait zéro et tu as barré + mais en fait tu dois écrire le zéro + c’est pas impossible + quand on barre c’est
qu’on peux pas le faire + si j’te dis + j’te donne 5 bonbons + d’accord et je te demande de m’en donner + 9 + estce que là tu peux le faire ?
Non
Pourquoi
Parce que/
J’t’en donne cinq et j’en veux neuf
Parce que y’en a beaucoup (01 :55 :00)
Parce qu’y’en a beaucoup c’est à dire ?
Ça veut dire que le 9 y peut pas aller avec 5
Oui ça veut dire que j’ai 5 bonbons et je t’en demande 9 + c’est à dire que je t’en donne plus que c’que j’t’ai donné
+ donc c’est pas possible + alors là tu barres + j’suis d’accord + OK ? très bien + [MT= l’enseignante montre une
feuille à la classe] allez vous regardez ici vous écrivez à quoi ça correspond ++ et on le dit pas [MT= quelques
élèves lèvent le doigt]+ va ouvrir la porte à Ela s’il te plait + tu dis Ili de se mettre devant + de pas fermer [MT=
Ela va chercher Ili puis retourne s’asseoir ] (p.6s) voilà merci ++ on écrit + on écrit + et on lève [MT= Tat lève son
ardoise](p.5s) c’est bon ++ je te demande pas de recopier ce que j’ai écrit Mou + je t’ai demandé + de l’écrire en
chiffre + (01 :56 :00) moi je l’ai écrit en lettres
<.. ?>
Chut + allez on lève [MT= les élèves lèvent leur ardoise]+ c’est bon + ça a l’air d’être bon pour tout le monde +
<.. ?>
[MT= l’enseignante regarde Ela]Et bein oui mais là tu m’as écrit pareil + ça me dit pas ce que c’est
cinq
ah bein oui bein faut l’écrire en chiffres ++ allez c’est bon + donc c’était le chiffre : ?
5
5 heu : :< .. ?> Sam + ma grande + tu l’as encore écrit à l’envers le 5 + fait le petit point au départ j’t’ai dit et
après tu remet le feutre sur le petit point + comme ça tu pars du bon endroit + voilà + allez on continue [MT=
l’enseignante montre une autre feuille à la classe]+ chut les enfants on regarde ici + c’est le dernier +++ j’ai
demandé qu’on l’écrive
On l’écrit ou on le dessine ?
On l’écrit + en chiffres ++(01 :57 :00) tu peux l’écrire en lettres ou en chiffres c’est pas pour autant qu’on le
dessine + on l’écrit quand même + mais en chiffres ++[MT= un élève montre son ardoise à l’enseignante] à
l’envers +[MT= l’enseignante se lève et fait le tour de la classe] ++ à l’envers [MT= l’élève repose son ardoise et
l’efface] [MT= d’autres élèves lèvent leur ardoise] (p.7s) tu peux l’écrire autrement qu’avec des pointillés + à
130.
131.
[M= Elèves]
[M= Professeur]
132.
133.
[M= Elèves]
[M= Professeur]
134.
135.
136.
137.
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
[M=Nah]
[M= Professeur]
150.
151.
[M=Elève]
[M= Professeur]
152.
153.
[M=Elève]
[M= Professeur]
154.
155.
[M=Elève]
[M= Professeur]
156.
157.
[M=Elève]
[M= Professeur]
158.
159.
160.
161.
162.
163.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
[M=Sar]
[M= Professeur]
[M=Elève]
[M= Professeur]
[M=Sar]
[M= Professeur]
[M=Sar]
[M= Professeur]
[M=Elèves]
[M=Elève]
[M=Sar]
[M= Professeur]
170.
171.
[M= Elève]
[M= Professeur]
172.
173.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
l’envers encore une fois + le 4 ++ donc ça c’était le chiffre : ?
4::
4 + très bien + allez maintenant vous allez vous allez effacer l’ardoise vous écoutez + vous la gardez sur le bureau
+[MT= l’enseignante va chercher Ili devant le pas de la porte] tu rentres [MT= Ili revient s’asseoir à sa place]
attention+ (p. 7s) allez on y va +++ alors + est-ce que vous vous souvenez (01 :58 :00) du travail qu’on à fait +
avec les écureuil Grosse faim et Petite faim ?
Oui : :
Alors on va lever la main pour l’expliquer ++ CHUT chut chut + on lève sa main pour expliquer + qu’est-ce que ça
vous rappelle Grosse faim et Petite faim ? [MT= quelques élève lèvent le doigt]
<… ?>
Chut chut chut (p.7s) Nah ?
Ça me rappelle que/
Vous écoutez + vous n’avez plus rien dans les mains l’ardoise reste sur le bureau je l’ai dit + et on ne trifouille rien
du tout
<… ?>
Rien + Ela ! stop !
<… ?> grosse faim
Oui
<.. ?> il a + neuf noisettes (01 : 59 :00)++ après combien il en reste à Petite faim
Alors d’abord on a notre petit copain écureuil qu’on a souvent dans les pages de : de <.. ?> + qu’est-ce qu’il fait ?
Il a des noisettes
Voilà il a des noisettes + et vu qu’il est gentil qu’est-ce qu’il décide de faire ?
De donner 9 + 9 noisettes à Grosse faim
Oui
Et : : combien il en restera à Petite faim
Donc vous vous souvenez vous avez l’écureuil qui distribue ses noisettes + il en donne à Grosse faim et vil en
donne à ? Petite faim + et on vous demande à chaque fois combien il en reste + pour Grosse faim ou Petite faim +
alors on va faire un essaie + vous l’écrivez + l’écureuil il a + 8 noisettes + allez + il a 8 noisettes + et il en donne +
2 (02 :00 :00) à Petite faim [MT= les élèves écrivent sur leur ardoise]
<… ?>
Chut + l’écureuil a 8 noisettes + il en donne 2 + à petite faim + vous écrivez dans un nuage + combien il en reste
pour Grosse faim (discussion avec les chercheurs) [MT= l’enseignante se déplace entre les tables] il a 8 noisettes
+ et il en donne 2 à Petite faim + combien est-ce qu’il en reste pour + Grosse faim ? vous écrivez le résulta dans un
nuage [MT= un élève montre son ardoise]+ je comprends rien là + je répète + il en à 8 + il en donne + 2 + à Petite
faim + combien est-ce qu’il en reste pour Grosse faim ?
<.. ?>
Vous levez votre ardoise [MT= les élèves lèvent leur ardoise] [MT= l’enseignante va de table en table pour voir
les ardoises]++ c’est bon tu baisses (02 :01 :00) + je ne sais pas le résultat ?(changement de face de la bande
audio) + tu l’as pas écrit + Ayo+ c’est bon tu baisses + Nah c’est bon + toi
<.. ?>
Je comprends rien [MT= l’enseignante apporte le boîtier du micro cravate] (s’adresse à l’intervenant) + on l’avait
déjà fait l’autre face hein ? [MT= l’enseignante se retourne vers la classe et se déplace entre les tables ] allez on
lève (p. 5s) oui + non Sam + non Med + oui + non Aid + bon allez quelqu’un vient le faire au tableau
Moi moi !
Chut ! + allez Sar [MT= Sar va au tableau]+ vas-y + donc l’écureuil à huit noisette/ les autres vous regardez
comment elle fait (02 :02 :00)/ après +++ allez vas-y + huit noisettes + et il en donne deux + à petite faim +++
combien est-ce qu’il en reste pour grosse faim
6
Comment ?
6
Comment tu as fait ? C’est pas toi que j’interroge tu veux ressorti ?
<… ?>
Vous l’écoutez un peu
<.. ?>
Vous l’entendez là ?
Non : :
oui
<.. ?>
Parce que là je comprends pas + donc l’écureuil a 8 noisettes + tu en donnes 2 à petite faim + fais le [MT= Sar
dessine au tableau] (02 :03 :00) ++ comment <.. ?> + allez quelqu’un vient l’aider [MT= quelques élèves lèvent la
main]+ aller Ayo [MT= Ay vient au tableau et dessine] ++ alors regarde ++ alors + il en à 8 [MT= l’enseignante
vient au tableau] + elles sont là + et tu en prends 2 + moi j’en vois pas 8 + [MT= l’enseignante compte les noisettes
dessinées au tableau par Ayo] 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+ [MT= Ay efface les noisettes] + chut + OH MOUJ ! (p.
8s) [MT= Ayo redessine les noisettes ] + oui refais les plus grosses + comme ça on les voit bien (p.7s) (02 :04 :00)
(p.8s) ça fait 8 et il en donne 2 + à petite faim (p. 4s) voilà et ensuite comment tu fais pour trouver le résultat pour
Grosse faim comment vous faites? [MT= l’enseignante va au tableau à côté de Ayo]
6:::
Vous comptez les noisettes + qui restent + et là + on en a + 6 + très bien ++ maintenant qu’on a fait Grosse faim et
Petite faim + est-ce que vous vous souvenez de Dédé ?
Oui : :
Y devait faire la même chose avec ses deux copains + distribuer ++ les points + les petites billes qu’il avait + est-
387
174.
175.
[M=Elèves]
[M= Professeur]
176.
177.
[M= Elève]
[M= Professeur]
178.
179.
180.
181.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
182.
183.
184.
185.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
186.
187.
188.
189.
190.
191.
192.
193.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Zia]
[M= Professeur]
[M= Bou]
[M= Professeur]
[M= Bou]
[M= Professeur]
194.
195.
[M= Elève]
[M= Professeur]
196.
197.
[M= Zia]
[M= Professeur]
198.
199.
[M= Elèves]
[M= Professeur]
200.
201.
202.
203.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Med]
[M= Professeur]
204.
205.
[M= Elèves]
[M= Professeur]
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elèves]
[M= Elève]
[M= Professeur]
388
ce qu’il faisait les noisettes comme l’écureuil lui ?
non
Comment y faisait Dédé ? + faites le comme Dédé ça + Bou + comme Dédé + comment y fait Dédé + faites le ++
la même chose + il a + 8 points + ou 8 billes + il en donne 2 + à un copain (02 :05 :00) + combien il en reste pour
son autre copain ? + mais faites des dés comme Dédé + faites les billes comme Dédé
Il en a huit !
Il en a huit oui + <… ?> + mais comme Dédé + comment est-ce qu’il les fait Dédé ? / oui vas-y [MT= une élève
sort de la classe] / comment est-ce qu’il les fait ses points Dédé + ça fait longtemps qu’on l’a pas fait
<.. ?>
Il a un point Dédé ?
<… ?>
Ama je peux savoir ce que tu es en train de faire ? [MT= le professeur se déplace de table en table]+++ allez
comme Dédé + ha y’en a qui s’en rappelle quand même ++ 8 points + comme Dédé + et il en donne deux
<.. ?. > (02 :06 :00)
Voilà + et il en donne encore deux
Deux on écrit + on met deux points ?
Tu sais très bien ce qui faut faire(p. 13s) très bien [MT= l’enseignante se déplace de table en table] + y’en a pour
qui + c’est bon + toi tu fais n’importe quoi + ça t’amuse bein continue + c’est pas mon problème + toi je sais pas ce
que tu es en train de faire mais sûrement pas ce qui faut non plus + toi Sam ça a l’air d’être bon + donc n’oublie pas
qu’il y a 8 + petits points et pas 7 [MT= un élève tend son ardoise à l’enseignante ] + c’est bon + et là c’est bon +
allez ++ [MT= Nah lève son ardoise pour la montrer à l’enseignante qui tourne le dos] + Tat + vas les représenter
comme Dédé ces points (p. 10s) (02 :07:00) [MT= Tat va au tableau et dessine les points] + regardez ce qu’elle
fait (p.7s) chut + (p.5s)+++ très bien + alors regardez comment elle a représenté ses points + qu’es-ce qu’on
remarque par rapport à l’écureuil ? qu’est-ce qu’on remarque ?
<.. ?>
Lève ta main + oui Zia ?
<.. ?>
Et surtout qu’est-ce qu’elle a fait avec ses petites billes ? + Bou ?
Elle en + a fait 8
oui
et après + elle en a barré 2 + et après elle a écrit sur un nuage que ça fait 6
Dans un nuage + mais moi ce que je voudrais savoir c’est comment elle a représenté ses points ? + est-ce qu’elle
les a fait comme les noisettes de l’écureuil ?
<… ?>
(hausse fortement le ton) ASSIS ! ET TOI AUSSI (02 :08 :00) (p.7s) alors + la différence entre les noisettes de
l’écureuil et les points de Dédé [MT= Zia lève la main]on l’a fait cinquante fois + c’est vrai que ça fait un petit
moment mais quand même + Zia ?
<… ?> un paquet de 5 et après un paquet de 3
Merci + elle a représenté ça pour Dédé + comme sur des dés + vous vous rappelez les dés pour jouer ? on a joué
avec + vous avez vu comment était fait le 5?
Oui
Bon bein alors + on a vu que c’était beaucoup plus facile de faire des calculs sans se tromper quand on faisait des
beaux paquets + bien nets / (hausse le ton) les filles ! vous vous arrêtez avec vos ardoises ! + avant que je
m’énerve vraiment ! / alors aujourd’hui le travail qu’on va faire sur le fichier + je vous l’ai pas donné exprès + ça
va être + exactement le même chose qu’on a fait avec Petite faim et Grosse faim jusqu'à maintenant + sauf + qu’on
ne va plus s’intéressez à ce l’écureuil donne à Petite faim + mais ce qui donne à Grosse faim d’abord (02 :09 :00) +
c’est à dire + si par exemple l’écureuil a 8 noisettes + [MT= l’enseignante regarde en direction de Zia] Zia ! ++ et
qu’il en donne 6 à Grosse faim + combien il va en rester pour Petite faim ? + il en a 8+ vous essayez de faire dans
votre tête + et il en donne 6 à grosse faim + comment / combien est-ce qu’il va en rester pour Petite faim ? vous
avez vu que j’ai fait l’inverse + d’habitude on donne d’abord à Petite faim et là on va donner d’abord à Grosse faim
<… ?> à Grosse faim
Chut chut chut + Grosse faim à toujours le plus grand nombre de noisette + on le sait (p. 7s) Med
2
Très bien + 2 + d’accord ? donc il avait 8 noisettes + il en a donné 6 pour Grosse faim + Grosse faim c’est celui qui
est un peu gros (02 :10 :00)+ c’est celui qui mange le plus + vous vous rappelez ? donc y va en rester combien pour
petite faim ?
2
2 + d’accord ? d’habitude on donnait l’inverse + on donnait d’abord à petite faim + et après à Grosse faim +
aujourd’hui on va pas apprendre grand chose en mathématiques sauf qu’on va travailler en enlevant d’abord
beaucoup de noisettes + d’accord ? on fait quelque chose d’un tout petit peu différent + alors heu Zya + Med + Tat
+ Nah + Gwe + <.. ?> prenez les fichiers [MT= les élèves appelés se lèvent et vont chercher les fichiers]+ j’t’ai
rien demandé + page 58 + 5 + 8 +++ vas-y + Chu : :t + [MT= l’enseignante se dirige vers le groupe de tables de
Tat] Tat dépêche toi s’il te plait
Brouhaha
<… ?>
Et bein c’est pas grave + vous vous arrangez +++ voilà + allez-y (p. 7s)
<… ?>
Et bein tu enlèves (02 :11 :00)
brouhaha
<… ?>
Allez page 58 ! 5+8 + chut + oui + allez <.. ?> parce que Gwé elle dormait (p. 5s) on regarde la page 58 c’est la
214.
215.
[M= Elève]
[M= Professeur]
216.
217.
218.
219.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
220.
221.
[M= Nah]
[M= Professeur]
222.
223.
224.
225.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Jao]
[M= Professeur]
226.
227.
[M= Mouj]
[M= Professeur]
228.
229.
[M= Mouj]
[M= Professeur]
230.
231.
[M= Elève]
[M= Professeur]
232.
233.
234.
235.
236.
237.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elèves]
[M= Professeur]
238.
239.
[M= Elève]
[M= Professeur]
240.
241.
[M= Elève]
[M= Professeur]
242.
243.
[M= Elève]
[M= Professeur]
244.
245.
[M= Elève]
page du train bleu + on ne le fait pas le train bleu parce qu’on a déjà fait le calcul sur l’ardoise (p.10s) allez [MT=
l’enseignante se déplace de table en table]
Moi j’suis pas là ! (p.5s)
58 Ili + [MT= une élève se déplace dans la classe] OU TU VAS ENCORE [MT= l’élève vient voir
l’enseignante]+ il est où ton fichier de maths + page 58 (02 :12 :00)
<… ?>
Vas le chercher ! [MT= l’élève va cherche son fichier de maths]
<… ?>
Chut allez on y va + alors page 5 et 8 + pour vous aider je vous dit que c’est une page avec un train bleu [MT=
l’enseignante se déplace de table en table]+ si vous n’ êtes pas à la page du train bleu c’est que vous vous êtes
trompé + allez on regarde + allez on y va [MT= l’enseignante s’arrête au milieu de la classe]+++ donc on retrouve
notre petit copain l’écureuil et ses noisettes (p. 15s) ça y est ? et ses noisettes il va les distribuer comme d’habitude
+ seulement il va commencer par faire sa distribution par Grosse faim (02 :13 :00) à la place de Petite faim et on
verra ce qui reste + à la fin pour Petite faim + alors combien est-ce que l’écureuil a de noisettes ? a distribuer +
chutchutchut [MT= quelques élèves lèvent la main] (p. 7s) Nah ?
Il a 8 noisette
Raté ! [MT= de nombreux élèves lèvent la main] CHUT (p.7s) [MT= l’enseignante se dirige vers l’élève qui
c’était déplacé précédemment pour aller chercher son fichier, tourne les pages de son fichier et lui pointe du doigt
une page] Là !
Y’en à 10
[MT= l’enseignante revient se placer au milieu de la classe] ++ Jao combien est-ce qu’il a de noisettes ?
10
Il en a 10 + et on vous dit + il en donne 8 + à Grosse faim ++ et le reste à Petite faim + on vous demande d’écrire
dans le nuage bleu (02 :14 :00) combien il reste de noisettes pour Petite faim +[MT= l’enseignante se déplace dans
le fond de la classe] je répète il a 10 noisettes en tout et il en donne 8 à Grosse faim + faites comme d’habitudes le
paquet qui part vers Grosse faim + et on vous demande d’écrire dans le nuage combien il en reste pour Petite faim
<… ?>
[MT= l’enseignante s’arrête à côté de Mouj] Tu le fais (p. 7s) tu le fais + [MT= l’enseignante montre su doigt
quelque chose sur le fichier de Mouj] tu as 10 noisettes + tu en prends 8 que tu donnes à grosse faim + 8 noisettes
<… ?>
Non + tu dis des bêtises + fais le + il en a 10 il en donne 8 à Grosse faim [MT= l’enseignante montre le fichier de
Mouj] [MT= Mou écrit sur son fichier] + tu en prends 8 + (02 :15 :00) tu les donnes à Grosse faim + 8 noisettes
Mou + 8 + il en prend 8 il les donnes à Grosse faim + fais le ! tu en prends 8 comme d’habitude ++ là tu en entour
8 pour dire qu’elles vont vers Grosse faim +++CHUUT [MT= l’enseignante se déplace vers les autres tables] + et
vous écrivez dans le nuage ce qu’il reste pour petite faim + donc ce que je vois pour l’instant c’est bon
<… ?>
Vous me saoulez + allez (p. 8s) alors combien il en reste ? pour Petite faim ? +++ montre Gwé ? tu t’es trompé ++
il en a 10 + on lui en enlève 8 pour Grosse faim + combien vous avez trouvez qu’il en restait pour Petite faim ?
[MT= quelques élèves lèvent la main]
2
Tu lèves ta main [MT= l’enseignante désigne Mouj du doigt]
2
Ha + en fin + 2 ! il en reste donc 2 pour ? Petite : : ?
Faim : :
Faim très bien (02 :16 :00) +++ on continue + [MT= l’enseignante fait des aller retour dans la classe]on passe en
dessous + on a + Dédé + chut : : : + ça y est ? qui distribue ses billes à Maxi bille et Mini bille + donc Maxi bille
c’est celui qui est gros vous vous rappelez et Mini bille c’est celui qui est tout mince + il a 9 dés heu 9 billes +
pardon+ Dédé ++ on vous demande d’abord de les dessiner + parce qu’elles ne sont pas dessinées + donc audessus de sa tête vous dessinez les 9 billes + n’oubliez pas que c’est comme Dédé + Dédé il les écrit d’une façon
particulière + et on vous demande d’en donnez 6 à Maxi bille ++ faites le [MT= l’enseignante arrête de faire des
aller retour dans la classe pour s’asseoir à côté du groupe de tables de Gwé Sam etc.] + donc vous dessinez les 9
billes +++ et vous en donnez 6 +++ pour Maxi bille (02 :17 :00)+ vous écrivez dans le nuage combien il en reste
pour Mini bille + chut + faites le
<… ?>
Tu as pas dessiné tes billes comme des dés là hein ++ c’est bon + quand vous avez terminé et que je vous ai dit que
c’était bon vous faites + vous complétez la fiches numérique [MT= l’enseignante se déplace de table en table] +
c’est bon + c’est pas bon +++ [MT= l’enseignante s’arrête à côté de Mouj] 9 + et tu en enlèves 6 + 6 et tu les
donnes à Maxi bille
Maxi bille
Voilà c’est bon là ici + c’est bon ++ [MT= l’enseignante s’arrête à côté d’une élève] voilà et tu en donnes 6 à Maxi
bille + tu as 5 + 6 + Ili qu’est-ce que tu fais ? (02 :18 :00)
<… ?>
Oui vas-y c’est bon + attententententends [MT = l’enseignante s’approche d’un élève]+ on te demande pas
combien il en donne à Maxi bille on te demande combien il en donne à Mini bille + c’est bon + tu peux passer à la
fiche numérique + [MT =l’enseignante s’approche d’un élève ] tu laisses fermé là ++ c’est bon ? non Bou [MT=
l’enseignante montre quelque chose sur le fichier de Bou] il en a 9 des billes + il en donne 6 à Maxi bille +
combien il en donne à Mini bille ? ++ 1 2 3 4 5 tu en as donné toi [MT= Bou efface quelque chose sur son fichier]+
à Maxi bille + tu ne lui en as pas donné 6 ++
<… ?>
Alors ? c’est bon + complète maintenant + alors là vous allez m’écouter +++ (l’enseignante vient rendre le micro
cravate aux intervenant) (coupure bande audio) alors voilà on fera la prochaine page demain + hein + où on
389
246.
247.
248.
249.
[M= Elève]
[M= Professeur]
[M= Elève]
[M= Professeur]
250.
251.
252.
[M= Elève]
[M= Elèves]
[M= Professeur]
commencera vraiment les calculs (02 :19 :00) où on enlève à chaque fois beaucoup + alors cet après-midi écoutez
moi ++ les enfants + vous avez vu le temps qui fait + donc apparemment + il risque de pleuvoir encore + donc on
nous a dit que les enfants qui ne mange pas à la cantine + c’est à dire ce qui rentrent chez eux maintenant +
prennent leur cartable + et restent chez eux cet après midi
Pourquoi ?
Parce qu’il y a trop de pluie
Et les autres ils restent ici
Ceux qui mangent à la cantine restent là + d’accord + donc qui rentre chez lui ? [MT = quelques élèves lèvent la
main]
On va dormir ici maîtresse ?
(rires)
Mais non + qui rentre chez lui là maintenant ?
I.3 SEANCE A LA CHARGE DU MAITRE P. 1312
1.
[M=P 1312]
<… ?> un peu de silence [MT= Tr vient amener son cahier au professeur assis à son bureau] [MT= le professeur lit sur
le cahier de l’enfant et met une main sur les yeux] <.. ?> est une puce [MT= Tr va au tableau] [MT= le professeur écrit
sur le cahier de Tr puis le regarde] une puce [MT= Tr montre les mots “ une ” puis “ puce ” avec une règle] UNE + puce
+ est-ce que les deux mots sont attachés?
Etat du tableau noir
Jeudi 4 décembre
C’est facile
Le<.. ?>
C’est
Il est
de la salade
une puce
il est sale
2.
[M= Tr]
3.
[M=P 1312]
non
Non bon alors pourquoi est-ce que tu les as attaché ? prend ton stylo et viens travailler ici [MT= Tr posent la règle et
retourne au bureau du professeur] regarde au tableau ++ chaque lettre hein + regarde [MT= le professeur montre le
tableau avec son doigt] (00 :01 :00) [MT= Tr se tient debout à côté du bureau et , alternativement, écrit sur son cahier
puis regarde au tableau] regarde[MT= le professeur regarde ce qu’écrit l’élève] [MT= le professeur montre le tableau
avec son doigt] (p 10s) en attendant + Ly + tu vas au tableau nous montrer 18 [MT= les élèves vont montrer le nombre qui
leur a été demandé sur une bande numérotée en dessous le tableau] + bien + Mi 16 ++ très bien + Sa 14 ++ bien + Xé12
++ bien Is 10 + Ra 19 + oui + Na 17 (00 :02 :00)+ Sar 15 + + <prénom>16 + je vois rien tu es devant + recommence 16
[MT= l’élève montre de nouveau le chiffre 16] + Ab 13+ remontre moi 13 s’il te plait [MT= l’élève montre de nouveau le
chiffre 13] oui très bien ++ <Sé> 10 + allez Sé fai tun effort [MT= Sé montre le chiffre 2ou 20]
Etat de la bande numérotée sous le tableau noir
0
1
2
3
4
5
Chiffres de
10 19
20 à 29
30 à 39
40 à 49
50 à 59
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
[M=P 1312]
[M= Elèves]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
20.
21.
22.
23.
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
390
6
60 à 69
7
70 à 79
8
80 à 89
9
90 à 99
Non
(rires)
Montre moi 1 (00 :03 :00)
1 [MT= Sé montre le chiffre 1 sur la bande numérique et regarde le professeur ]
Montre moi 2
3
4
4 [MT= Sée montre le chiffre 4 sur la bande numérique et regarde le professeur ]
Montre moi 5
Bien <… ?>
6+ 7+ 8 [MT= Sé montre les chiffres 6,7,8 sur la bande numérique et regarde le professeur ]
Tu vois quand tu fais un effort !
9 [MT= Sé montre le chiffre 9 sur la bande numérique, regarde le professeur et retourne au début de la bande pour
chercher le chiffre d’après] 10 [MT= Sé montre le chiffre 10 sur la bande numérique et regarde le professeur ]
Et bein voilà + allez encore
11 [MT= l’élève montre le chiffre 11]
oui
13 +14+15+16+17+18+19
24.
[M=P 1312]
Ça me suffit + c’est bien c’est bien c’est bien + [MT= le professeur se tourne vers la caméra] vous devriez venir plus
souvent hein + c’est merveilleux + allez 10 + ah ouais maintenant 10 + et ouais je t’ai demandé de montrer 10 + montre
moi 10 ++ NON ! [MT= Sé montre un autre chiffre que 10 à côté de 10 sur la bande numérotée] (00 :04 :00) Réfléchis !
tu me l’as montré 10 en comptant 1+2+3+4+5/ [MT= Sé montre un autre chiffre près de 10]et NON ! [MT= Sé regarde
la bande numérotée] ++ allez recommence + recommence + mais tu ne dis rein + tu dis dans ta tête [MT= le professeur
vient à côté de Sé au tableau, lui prend le bras et lui fait désigner un par un les chiffre de la bande numérotée] +++ [MT=
le professeur et Sé arrive à 10] qu’est-ce que je t’ai demandé ?
10
Et bein alors ? <… ?> tu vois que tu sais + et maintenant montre moi 12 : [MT= Sé montre un autre chiffre que 12] pf : : :
[MT= le professeur fait de grand geste] recommence tout seul [MT= le professeur montre le début de la bande
numérotée] du compte et quand tu arrives 12 tu t’arrêtes [MT= Sé commence à compter tout bas] les autres préparé votre
ardoise [MT= les élèves prennent leur ardoise dans leur casier] [MT= Sé au tableau regarde le professeur] tout seul tout
seul ! (00 :05 :00) et quand tu arrives à 12 tu t’arrêtes (p 10 s) c’est 10 ça ! je voulais : : ?
[MT= Sé au tableau s’arrête devant le chiffre 10] (tout bas) 10
Je t’ai pas demandé 10 cette fois + j’ai demandé ?
9
NON 12 ! allez recommence [MT= Sé au tableau recommence à compter sur depuis le début de la bande numérotée]
[MT= le professeur retourne à son bureau]
[MT=
Sé recommence à compter en reprenant du début et en montrant les chiffres avec son doigt]
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17 [MT= Sé se retourne vers le professeur]+18+19
Te te te [MT= Sé se retourne vers le professeur] tu es passé sur l’étiquette 12 + où est-ce qu’elle est l’étiquette 12
(00 :06 :00) +++ [MT= regarde Sé qui est au tableau et lui fait oui de la tête puis se tourne vers l’élève qui travail sur
son bureau et tapote sur son cahier] alors toi ! ça avance ! [MT= le professeur se dirige vers Sé qui est au tableau] allez +
va préparer ton ardoise <… ?> [MT= Sé retourne a sa place et cherche son ardoise dans son casier] +++[ MT= le
professeur lit le cahier de Tr et écrit des annotations ]une puce de la salade le lycée il est sale <.. ?> c’est bon ! allez
ardoise toi aussi ! [MT= Tr retourne a sa place] [MT= le professeur se déplace vers la bande numérotée] pour l’instant
je vous les laisse mais après je vais les cacher hein ! [MT= le professeur se tourne vers la classe] 11 : ! +++ levez [MT=
presque tous les élèves lèvent leur ardoise] oh faut allez vite là !<… ?> effacez : ! (00 :07 :00) [MT= les élèves posent
rapidement leur ardoise sur leur table et effacent ] 15 : : !+++ [MT= les élèves lèvent leur en “ décalé ”] 13 : : !
+++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table, effacent, écrivent le nouveau chiffre demandé et la
lèvent “ en décalé ”] 17 ! +++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table, effacent , écrivent le
nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] 19 ! +++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur
table, effacent , écrivent le nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] 18<.. ?> +++[MT= les élèves posent
rapidement leur ardoise sur leur table, effacent , écrivent le nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] +++
(00 :08 :00) 10 ! +++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table, effacent, écrivent le nouveau chiffre
demandé et la lèvent “ en décalé ”] 12 ! +++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table, effacent,
écrivent le nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] [MT= le professeur prend l’ardoise de l’élève qui a levé
son ardoise en premier, la tourne vers l’élève et lui montre le 2 du 12] Si tout à l’heure tu me fais un 2 qui ressemble à ça
ne compte pas sur un bon point hein + 16 !+++ [MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table, effacent,
écrivent le nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] 14+++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur
leur table, effacent, écrivent le nouveau chiffre demandé et la lèvent “ en décalé ”] effacez (00 :09 :00)+ rangez les
ardoises +++[MT= les élèves posent rapidement leur ardoise sur leur table et la range dans leur casier] [MT= le
professeur va à son bureau puis va écrire au tableau] +++ <.. ?> dans la marge + et dictée de nombre alors attention à
nombre [MT= le professeur écrit au tableau “ dictée de nombre ” en écrivant “ nombre lettre par lettre] + y’a un “ ne ”
un “ o ” ensuite y’a un “ me ” ensuite y’a un “ be ” <… ?>avec la boucle+ et ensuite y’a un “ re ” avec la sienne + allez-y
continuez + dictée de nombres (00 :10 :00) +++ [MT= les élèves écrivent sur leur cahier] (p 10s) [MT= le professeur
cache la bande numérotée]
25.
26.
[M= Sé]
[M=P 1312]
27.
28.
29.
30.
[M= Sé]
[M=P 1312]
[M= Sé]
[M=P 1312]
31.
[M= Sé]
32.
[M=P 1312]
33.
34.
35.
36.
[M= Elève]
[M=P 1312]
[M= Elève]
[M=P 1312]
Monsieur <… ?>
Oui [MT= l’élève va voir le professeur avec son cahier]
<… ?>
tu continues + oui+ dictée de nombre c’est assez long [MT= le professeur prend le cahier de l’élève et le montre au reste
de la classe ]<.. ?> vous pouvez continuer sur trois ligne hein + vous dépassez le trait rouge de la marge (p 10s ) [MT= le
professeur continue de cacher le reste de la bande numérotée] (00 :11 :00) (p 1 min) (00 :12 :00) [MT= le professeur est
à son bureau et écrit] (p 30s) [MT= le professeur va voir un élève à sa table, regarde son cahier et écrit dessus puis
regarde celui de l’élève à côté et écrit dessus et ainsi de suite pour tous les élèves de la classe] (00 :13 :00) <… ?>
dépêche toi Na [MT= le professeur s’adresse à Tr] dépêche toi + regarde <… ?> voilà (00 :14 :00) regarde le tableau
[MT= Tr lève la tête] + pour chaque lettre tu lèves la tête [MT= Tr lève la tête] (p 20s) ça y est Na tu es prête ? [MT= le
professeur efface une partie du tableau]
37.
38.
[M= Na]
[M=P 1312]
39.
40.
41.
42.
43.
44.
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
Non : [MT= le professeur va voir Na]
<l’air exaspéré> Pf : : ! [MT= le professeur écrit sur le cahier de Na puis regarde le cahier de Tr] (p 10s) (00 :15 :00)
<… ?> et après qu’est-ce qu’il y a ?
<… ?>
Eh NON ! [MT= l’élève regarde le tableau] (p 5s)
<… ?>
Ah ! quand même ! +++ et après
“e”
Voilà [MT= le professeur écrit sur le cahier de Tr] ça y’est ++ Na <.. ?> allez on commence + 18 [MT= les élèves
écrivent sur leur cahier] ++ un tirait ++ 10 + un tirait ++19 (00 :16 :00)[MT= le professeur est à son bureau et écrit]+ un
tirait ++11 : ++ un tirait ++ 17 +++ un tirait ++ 12 +++un tirait ++ 16 : ++ un tirait +++ 13 :+++ un tirait (00 :17 :00)++
391
14 ++ +<.. ?>un tirait +++ 15 ++ [MT= le professeur pose son crayon et va au tableau pour écrire] je vous prépare la
suite du travail + qui est plus grand que qui (p 15s) (00 :18 :00) (p 25s) [MT= un élève lève le doigt] [MT= le professeur
retourne à son bureau] je vais vérifier vos cahier / écoutez bien + faites un peu un peu attention on a jamais fait ça + je
vais vous mettre un point + vous écrirez mathématiques [MT= le professeur va écrire “ mathématiques ” au tableau] +
attention cette lettre là on ne connaît pas encore + ça c’est comme le “ a ” et y’a une barre qui descend + là un “ u ” “ e ”
et un “ s ” (00 :19 :00) + je vous mettrais un point pour écrire mathématiques et je vous mettrais [MT= le professeur
montre les chiffres de la première colonne] les cinq points pour faire la première série + allez Ly [MT= Ly amène son
cahier sur le bureau du professeur] [MT= le professeur vérifie la dictée de nombres sur le cahier de Ly] <… ?> [MT= le
professeur met un tampon sur le cahier de Ly donne un bon point et fait des points pour marquer les endroits où elle doit
écrire la suite de son travail] ici + 1+2+3+4 et hop au travail [MT= Ly retourne à sa place] + [MT= une élève donne son
cahier au professeur] quand t’as tout fini + je regarde ton cahier <… ?> [MT= le professeur vérifie la dictée de nombres
sur le cahier de l’élève, met un tampon et donne un bon point] [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= une seconde
élève amène son cahier] <… ?> [MT= le professeur vérifie le cahier, met un tampon et donne un bon point] parfait +
mathématiques +1+2+3+4 et 5 + au travail [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= une seconde élève amène son
cahier] [MT= le professeur vérifie la dictée de nombres sur le cahier de l’élève , met un tampon et donne un bon point]
<… ?> [MT= l’élève retourne à sa place] (00 :20 :00) je t’ai vu Sé je t’ai vu [MT= un élève amène son cahier] <.. ?>
[MT= le professeur vérifie la dictée de nombres sur le cahier de l’élève] très bien ++ Sé tiens toi correctement s’il te plait
+ Sé !+ sois sage ! [MT= l’élève retourne à sa place] + [MT= une élève amène son cahier] <.. ?> [MT= le professeur
vérifie le cahier, met un tampon] mathématiques ici <… ?> au travail [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= Ab
apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Ab, le tamponne et donne un bon point] [MT=
Ab retourne à sa place] [MT= Ra amène son cahier] <.. ?> c’est encore Ja qui bavarde [MT= le professeur vérifie le
cahier, met un tampon et donne un bon point] (00 :21 :00) au travail + ah ! + [MT= Na amène son cahier] je te donne une
dernière chance pour écrire “ nombre ” sans faire de faute + si non le bon point de la dictée je te le donne pas [MT= le
professeur montre un bon point et le remet dans sa trousse ]+ va à ta place et écrit nombre correctement [MT= Na
retourne à sa place] + Na ! Na ! regarde le tableau [MT= le professeur désigne le tableau du doigt] + [MT= Sa vient
amener son cahier]12 ! dommage dommage + pas de bon point ++ allez + mathématiques [MT= Sa retourne à sa
place](00 :22 :00) [MT= un autre élève vient donner son cahier] [MT= le professeur vérifie le cahier, met un tampon et
donne un bon point] très bien [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= Ja vient donner son cahier] [MT= le professeur
vérifie le cahier, met un tampon et donne un bon point] + [MT= Ab vient donner son cahier] <… ?> [MT= le professeur
vérifie le cahier, met un tampon et donne un bon point] <… ?> [MT= Ab retourne à sa place] (00 :23 :00) [MT= Tr
vient donner son cahier] [MT= le professeur vérifie le cahier, met un tampon et donne un bon point] bien <… ?> tu t’en
sors bien + allez mathématiques et tu fais la première série + [MT= Sé vient donner son cahier] [MT= le professeur
vérifie le cahier, met un tampon et ne donne pas de bon point] ah 12 tu as trouvé + y’en a même un en plus alors +allez tu
écris mathématiques et tu fais la première série + allez Sé + courage [MT= Na revient avec son cahier] NON ! [MT= le
professeur vérifie le cahier de Na] non maintenant c’est moi qui vais te prendre des bon points hein ! si tu fais encore faut
[MT= le professeur fait signe à Na de retourner à sa place] [MT= un autre élève vient apporter son cahier au professeur]
[MT= le professeur vérifie le cahier, met un tampon et donne un bon point] (00 :24 :00) va me le montrer ce mot Na + va
me le montrer [MT= Na va au tableau et montre le mot “ nombres ”]
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
63.
64.
[M= Ra]
[M= P 13
21]
392
[MT= Na va au tableau et montre le mot “ nombres ”] ici
Est-ce que tu vois toutes les lettres ?
oui
Alors tu peux me les lire toutes les lettres s’il te plait
<… ?>
“ e ”Après
<… ?>
Oui après
<… ?>
très bien après
<… ?>
oui après
<… ?>
hon hon bien
<… ?>
oui
<… ?>
très bien et alors ?[MT= Ly vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] parfait +
deuxième série ? [MT= Ly retourne à sa place] [MT= une élève vient apporter son cahier au professeur] (00 :25 :00)
[MT= le professeur vérifie son cahier ] très bien [MT= l’élève retourne à sa place] + deuxième [MT= l’élève retourne à
sa place] (p 5s) [MT= Is vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] parfait +
deuxième [MT= Is retourne à sa place] [MT= le professeur cherche quelque chose, prend un cahier derrière lui, écrit
dans le cahier] [MT= une élève vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] très bien
+ deuxième + ici et de l’autre côté [MT= le professeur montre les parties du cahier où l’élève doit travailler puis reprend
le cahier sur lequel il écrivait précédemment] [MT= l’élève retourne à sa place] (00 :26 :00) ?[MT= une élève vient
apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] très bien + deuxième série + tu la commences
ici et tu continue derrière [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= Ra vient apporter son cahier au professeur] [MT= le
professeur vérifie son cahier ] oh : ! oh :++ tout faut + tu as tout mis à l’envers ++ dis moi 10 il est plus grand ou plus
petit que 9 ?
<Tout bas >
[MT= le professeur fait signe qu’il tend l’oreille] je t’écoute
65.
66.
67.
68.
[M= Ra]
[M=P 1312]
[M= Ra]
[M=P 1312]
<Tout bas >
Je t’écoute
<tout bas>
C’était juste + et tu l’as barré (00 :27 :00) + et tu as écrit 10 est plus petit que 9 < … ?> + et 7 ? + il est plus grand que 11
ou il est plus petit que 11 ? (p 7s) va me montrer le signe qu’il fallait mettre là [MT= Ra va montrer les symboles “ < ”
“ > ” sous le tableau]+ et ouais + tu me dis juste que 7 est plus petit que 11 et tu me montre / ah voilà [MT= Ra montre
les signes “ < ” et “ > ” collés sous le tableau] tu me dis juste + tu me dis que 7 c’est plus petit que 11 et tu me mets le
signe \ [MT= Ra désigne le signe “ < ” ] ah ! bein tu va refaire ton exercice[MT= Ra retourne à sa place] [ [MT= Ly
vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier et met un tampon ] très bien + les deux
séries sont justes + parfait + [MT= Ly retourne à sa place] patiente un petit peu que les autres aient terminé [MT= Ab
vient apporter son cahier au professeur] Xé ! [MT= le professeur vérifie son cahier ] [MT= Ab retourne à sa place] très
bien + deuxième + [MT= Sar apporte son cahier au professeur] <… ?> 5 et 13 + t’as oublié 5 et 13 + fait le là + va me
montrer 5 et 13 [MT= le professeur montre le tableau du doigt] (00 :28 :00)<… ?> allez pour cette après midi + on fera la
frise + si tu reveins et que c’est encore faut tu as une deuxième/ voilà [MT= Sa va au tableau et montre l’addition
“ 5+13 = ”] tu fais celui-là + tu l’as oublié + va vérifier mathématiques [MT= Na retourne a sa place]
[MT= un élève vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] très bien deuxième série
[MT= l’élève retourne à sa place] [MT= Ja vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son
cahier ] 12 est plus grand que 8 c’est juste + je retrouve ici 12 est <… ?>
69.
70.
[M= Ja]
[M=P 1312]
71.
72.
[M= Ja]
[M=P 1312]
73.
74.
75.
76.
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
77.
78.
[M= Tr]
[M=P 1312]
79.
80.
[M= Tr]
[M=P 1312]
81.
82.
[M= Tr]
[M=P 1312]
83.
84.
85.
86.
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
Bein j’me suis trompé [MT= le professeur montre le tableau]
Eh ! bein j’vois bien que tu t’es trompé + le premier c’est pas 12 <.. ?> (00 :29 :00) + le premier c’est 10 et 9 + allez tu le
fais ici + [MT= Sé vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] ah la la la la + ah
celui-là il est juste [MT= Sé retourne à sa place] [MT= Is vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur
vérifie son cahier met un tampon] parfait + très bien <… ?> [MT= Is retourne à sa place] [MT= une élève vient apporter
son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier et met un tampon ] très bien + juste[MT= l’élève retourne
à sa place] [MT= Ra vient apporter son cahier au professeur] + alors [MT= le professeur vérifie son cahier ] ah cette fois
j’suis d’accord + deuxième [MT= Ra retourne à sa place] [MT= Sa vient apporter son cahier au professeur] (00 :30 :00)
[MT= le professeur vérifie son cahier ] deuxième [MT= Sa retourne à sa place] + dis moi Ja + tu crois que c’est l’heure
de la pâte à modeler ? [MT= Ab vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] Ja je te
parle ! tu crois que c’est l’heure de la pâte à modeler ?
non
Alors ne la touche pas s’il te plait [MT= un élève vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son
cahier ] [MT= Tr apporte son cahier au professeur]
<… ?>
pardon
<.. ?> [MT= Tr montre son cahier puis montre le tableau]
Qu’est-ce que t’as oublié ? qu’est-ce que tu as oublié ? [MT= le professeur regarde la page d’avant] tu as oublié d’écrire
mathématiques + et ça oui + alors vas-y ! [MT= Tr retourne à sa place] [MT= Ja vient apporter son cahier au professeur]
[MT= le professeur vérifie son cahier ] allez ! deuxième [MT= l’élève retourne à sa place] (00 :31 :00) [MT= un élève
vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier et met un tampon ] parfait [MT= l’élève
retourne à sa place] [MT= une élève vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier et re
garde l’élève et tourne la page] le premier est ici [MT= le professeur montre la première page ] et puis le deuxième [MT=
Ie professeur tourne la page ] troisième quatrième cinquième + <.. ?> c’est juste <… ?> un deux trois + y manque <.. ?>
t’as fait le premier + et le dernier + les trois qui manquent <… ?> tu cherches les trois qui manquent / [MT= l’élève
retourne à sa place] <… ?> tu vas t’envoler si ça continue + [MT= un élève vient apporter son cahier au professeur]
[MT= le professeur vérifie son cahier et le tamponne ] très bien [MT= l’élève retourne à sa place] (00 :32 :00) + qui
attendons nous encore + Xé ! Na + qui est encore en train d’écrire nombre [MT= Sé vient apporter son cahier au
professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] <range>[MT= Sé retourne à sa place] [MT= Ra vient apporter son
cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] alors 14 + est-ce 14 est plus grand que 9 ou 14 est plus petit
que 9 + tu me dis juste/ vas montrer le signe qu’il faut mettre [MT= Ra retourne montrer à nouveau les signes] + tu sais
que 14 c’est plus grand que 9 ! et tu me mets encore tous le signes à l’envers ! [MT= un élève vient apporter son cahier au
professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] + 14 est PLUS GRAND que 9 [MT= Ra montre le signe “ > ” sous le
tableau]++ mais oui ! allez ! [MT= Ra retourne à sa place] + très bien + range : (00 :33 :00)+ nous attendons heu Xé
<.. ?> ah Na là! on va voir [MT= Na se met dans le rang des élèves pour montrer son cahier au professeur] [MT= Tr
vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier ] est-ce que 10 est plus grand ou est-ce que
10 est plus petit que 9 ?
10 est plus petit que 9
Ah + on va voir ça[MT= le professeur prend des cubes empilés en une colonnes de 9 et une colonne de 10 <quelqu’un
frappe à la porte> fait signe à des élèves de venir] voilà 10 ++1+2+3+4+5+6+7+8+9+10[MT= le professeur pose les
colonnes devant Tr et compte les cubes] et voilà 9 [MT= deux élèves plus âgés se présentent devant le bureau avec des
feuilles]+ alors je t’écoute
<… ?>
Je veux+ je veux pas savoir + c’est ici / tu dois me parler de 10 [MT= le professeur pointe le doigt en direction du
tableau]
10 est plus petit que 9
Montre moi 10 <.. ?> [MT= Tr montre la colonne de 10 cubes] et montre moi 9 [MT= Tr montre la colonne de 9 cubes]
+ et alors qu’est-ce que tu vois ?
<… ?>
Qu’est-ce que tu vois ?
(00 :34 :00)<.. ?> [MT= Tr montre la colonne des 10]
Parle moi de 10
393
87.
88.
[M= Tr]
[M=P 1312]
89.
90.
[M= Tr]
[M=P 1312]
< … ?>
Ah : 10 est plus grand que 9 ! ah ouais on le vois bien [MT= le professeur rapproche les deux colonnes de cubes ] + va
me montrer le signe qu’il faut mettre [MT= Tr va montrer sur les signes affichés sous le tableau] [MT= le professeur
prend la feuille que les deux élèves plus âgés était venu lui apporter et la lit] [MT= l’élève qui est allé montrer les signes
désigne le signe “ < ” puis le signe “ > ” et reste le doigt posé sur le dessin] [MT= les deux élèves plus âgés sortent de la
classe] éh OUI ! ++ [MT= Tr revient prendre son cahier] y’en a deux de juste + les trois que j’ai barrés tu les vérifies
[MT= Tr retourne à sa place] + [MT= Ja vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier,
met un tampon et regarde Na qui lui apporte son cahier ] [MT= Ja retourne à sa place] ah ! elle arrive ++ [MT= le
professeur regarde le cahier de Na] où il est ? (00 :35 :00) ah ! il est pas à ça place + pas de chance + ici + pour une fois
que c’est juste+ il est pas à sa place + alors tu recommences [MT= Na retourne à sa place] + [MT= Sa vient apporter son
cahier au professeur] très bien [MT= le professeur vérifie son cahier, met un tampon] [MT= Sa retourne à sa place] +
[MT= une élève vient apporter son cahier au professeur] très bien [MT= le professeur vérifie son cahier, met un tampon]
[MT= l’élève retourne à sa place] + [MT= Ra vient apporter son cahier au professeur] ++ <… ?> te mettre zéro [MT= le
professeur vérifie son cahier, met un tampon et prend une feuille blanche, fait des point dessus et la met dans le cahier de
l’élève] [MT= Ra retourne à sa place] + (00 :36 :00) alors Tr et Na [MT= Tr vient apporter son cahier au professeur]
[MT= le professeur écrit sur une feuille sur son bureau] [MT= Na fait de nouveau la queue pour montrer son cahier au
professeur] [MT= le professeur prend le cahier Tr qui attendait]
<… ?>
<… ?> [MT= le professeur vérifie son cahier] allez + tu traces un trait de là jusque là et tu me fais la deuxième série <.. ?>
[MT= l’élève retourne à sa place] + [MT= le professeur regarde Na qui lui apporte son cahier] alors + bein voilà + bein
ça c’est encore faut [MT= le professeur souligne un mot et pousse le cahier vers l’élève, va écrire au tableau] [MT= Na
retourne à sa place] (00 :37 :00) je vous ai mis un point dans la marge + pour écrire calcul + alors vous écrivez calcul le
voilà [MT= le professeur trace un double trait] et deux séries d’additions (p 30s)
[MT= Ja lève le doigt puis le baisse ] (p 25s) (00 :38 :00) (p 46 s) voilà [MT= le professeur retourne à son bureau]
[MT= Na se lève pour lui montrer son cahier] alors Nat ! +++ NON (00 :39 :00)+ allez ! [MT= Na retourne à sa place
sans son cahier] Nat qui est-ce qui va travailler ? c’est toi ou moi ? [MT= Na revient au bureau du professeur]
Etat du tableau noir
Jeudi 4 décembre
Calcul
10
9
14
9
<… ?>
<… ?>
Dictée
7
11
13
8
9+4 =
<… ?>
Mathématiques
12
8
12
7
8+6 =
10+5 =
5
13
6
11
9+8 =
13+3 =
6
5
10
9+9 =
18+1 =
Copie
Dictée de nombres
91.
92.
[M= Na]
[M=P 1312]
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
[MT= Ly]
[M= P1321]
[M=P 1312]
[M= Ly]
[M= P1321]
[M= Ly]
[M=P 1312]
[M= Ly]
[M=P 1312]
102.
103.
[M= Mi]
[M=P 1312]
104.
105.
[M= Ab]
[M=P 1312]
394
<… ?>
C’est toi + ok + alors tu me laisses ton cahier sur mon bureau [MT= Na reprend son cahier et retourne à sa place] +++ tu
as fini la première série Ly ?
Oui
Oui + alors apporte moi ton cahier [MT= Ly se lève et rebouche son crayon] <.. ?>
<… ?>
J’ai terminé [MT= Ly se rassoie]
T’as terminé ? bein apporte moi ton cahier
Mais j’ai déjà : rendu [MT= Ly se lève ]
Pour le calcul ?<semble surpris>
(p 5s) non [MT= Ly amène son cahier au professeur]
Alors pourquoi tu parles avec Mi si tu n’as pas fini ton travail +++ je t’ai mis un point pour écrire calcul et un point pour
écrire la première série d’addition + et mademoiselle blague ! + avec l’autre pipelette ! + Mi ! (00 :40 :00)+ Mi ! je te
parle + + tu as fait le calcul Mi ?
Non j’suis en train de le faire
Ah + et ouais + + je viens de gronder la copine + alors vite vite vite on se met au travail ++ [MT= le professeur va voir
Na] Na fait un effort + fait un petit effort + [MT= le professeur met la main devant les yeux d’une élève] on ne regarde
pas sur le voisin ! [MT= le professeur continue de marcher dans les rangs en regardant les cahier] tu as écrit calcul Ab ?
Non
Alors écrit le !/ on ne dessine plus les jetons Ra + c’est fini ça + c’est les bébés qui font ça ++ et oui + le premier dans la
tête le deuxième sur les mains +++ (00 :41 :00) [MT= le professeur va voir un élève à l’autre bout de la classe] <… ?> tu
commences la première série d’additions ! + bein heureusement que je me suis levé hein [MT= Ja et Sé attendent avec
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
[M=P 1312]
[M= Na]
122.
123.
[M= Elève]
[M=P 1312]
124.
125.
126.
127.
[M+ Elève]
[M=P 1312]
[M= Ab]
[M=P 1312]
128.
129.
[M= Na]
[M=P 1312]
130.
131.
[M= Ja]
[M=P 1312]
132.
133.
[M= Ja]
[M=P 1312]
leur cahier devant le bureau du professeur] [MT= le professeur retourne s’assoire à son bureau, prend le cahier de Ja et
le vérifie] <.. ?> 14 + 17 et 18 d’accord + c’est parfait + deuxième série+ [MT= Ja retourne à sa place] voilà + y’en a qui
écoute et qui travail tout de suite + et qui ne traîne pas [MT= Ja retourne à sa place] + il a déjà fini Ja [MT= Sé apporte
son cahier au professeur] [MT= le professeur regarde le cahier de Sé, lui montre quelque chose dan son cahier]<… ?> Sé
[MT= Sé retourne à sa place] (p 10s) (00 :42 :00)[MT= le professeur prend un cahier sur son bureau et va vers un autre
tableau près du tableau noir principal] (p 15s) [MT= Tr et Na viennent apporter leur cahier au bureau du professeur]
[MT= le professeur retourne à son bureau et regarde le Tr et le vérifie] <.. ?> calcul ici <.. ?> additions <… ?> au travail
+ [MT= Na montre son cahier au professeur] [MT= le professeur regarde le cahier] <… ?> toutes les lettres du mot
<… ?> [MT= Na se dirige vers le tableau] non non + reste là + pas besoin d’y aller+ tu le vois bien d’ici + alors + lis moi
toutes les lettres
<.. ?>
Est-ce que tu vois un <.. ?>
Oui
Oui + montre la moi [MT= Na montre le lettre sur son cahier] en suite + qu’est-ce qu’y a
< … ?>
et après
<… ?>
Et après (00 :43 :00)
< … ?>
<.. ?> est-ce qu’il y est ?
< … ?>
Et après est-ce qu’il y est ?
< … ?>
Oui + c’est fini ?
< … ?>
Non c’est pas fini ++ ah : :[MT= le professeur écrit sur le cahier de Na] tu écris ici [MT= Na retourne à sa place] [MT=
un élève vient apporter son cahier au professeur] [MT= le professeur le vérifie] juste une toute petite erreur [MT= l’élève
retourne à sa place] +[MT= Ly amène son cahier au professeur] [MT= le professeur le vérifie] deuxième [MT= Ly
retourne à sa place] + [MT= Ab apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur regarde le cahier d'Ab et le tourne
pour lui montrer quelque chose] [MT= Ab regarde le tableau] non non non je demande pas au tableau + je te demande ce
que tu as mis toi là? (00 :44 :00)
<… ?>
Y manque <… ?> +++ j’ai mis un “ a ” + qu’est-ce que j’ai mis encore ? qu’est-ce que j’ai écrit [MT= le professeur
pousse le cahier de l élève dans le coin de son bureau et prend le cahier de l’élève qui est derrière pour le vérifier] [MT=
l’élève dont le cahier est posé sur le coin du bureau reste à côté et regarde le tableau] [MT= l’élève dont-il vient de
vérifier le cahier retourne à sa place] [MT= Is apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie son cahier]
c’est bien + deuxième [MT= Is retourne a sa place] [MT= un élève apporte son cahier au professeur ] [MT= le
professeur vérifie le cahier] quand on a plus de place qu’est-ce qu’on fait ?
<… ?>
On <.. ?> fallait me demander une feuille + donc c’est deux là tu les fais pas là\
<… ?>
Alors tu vas écrire la lettre que j’ai écrit moi + s’il te plait [MT= le professeur écrit sur le cahier de l’élève] voilà [MT=
l’élève retourne à sa place] [MT= le professeur prend une feuille blanche et la met dans le cahier de l’élève et fait des
points aux endroits où l’élève doit écrire] allez + c’est deux là là (00 :45 :00)+ [MT= l’élève retourne à sa place] [MT=
une élève apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève] très bien + deuxième [MT=
l’élève retourne à sa place] + [MT= Sé apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur le vérifie] c’st bon++ stop
+ stop [MT= Sé retourne à sa place] [MT= Ra apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de
Ra ] très bien + tu te débrouilles pour faire rentrer heu <.. ?> + voilà ! ici et l’autre de l’autre côté [MT= Ra retourne à sa
place] + [MT= une élève apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève] très bien +
allez deuxième série [MT= l’élève retourne à sa place]+ [MT= Ja apporte son cahier au professeur ] [MT= le professeur
regarde le cahier de Ja , le tourne vers l’élève et lui montre quelque chose] [MT= Ja retourne à sa place] + [MT= un
élève apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève] cette fois c’est juste + deuxième
(00 :46 :00)[MT= un élève apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève] c’est juste +
deuxième + [MT= Na apporte son cahier au professeur] <l’air exaspéré> [MT= le professeur tourne le cahier vers Na et
lui montre quelque chose] <… ?>
<… ?>
Non c’est pas ça [MT= le professeur écrit sur le cahier de Na ] [MT= Na retourne à sa place] [MT= Ab apporte son
cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier d’Ab] [MT= Ab retourne à sa place]<… ?> [MT= Ja apporte
son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Ja et lui montre quelque chose dans son cahier] c’est
quoi ça ?
Un 8
Ah bon ?[MT= le professeur fait non de la tête] fait moi un 8 + un 8 qui ressemble à un 8 s’il te plait [MT= Ja retourne à
sa place] (00 :47 :00) [MT= un élève apporte son cahier au professeur ] Voilà ! [MT= le professeur vérifie le cahier de
l’élève] allez deuxième série + [MT= Tr apporte son cahier au professeur] ah ! c’est bien ! tu as au moins recopier ce
qu’il y avait d’écrit au tableau + maintenant il faut calculer combien ça fait 8 plus [MT= Tr retourne à sa place] [MT= Ly
apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Ly et met un tampon] tu attends +[MT= Ly
retourne à sa place] pour la nouvelle frise [MT= Ja apporte son cahier au professeur] on la fera cet après midi parce
que/[MT= le professeur vérifie le cahier de Ja] non ! oui mais c’est pas 8 [MT= le professeur montre le tableau]
J’écris 18 ?
Et bein oui je t’ai barré 18 tu m’écris 18 ! tu vérifie 18 [MT= Ja retourne à sa place] (00 :48 :00) + [MT= Na apporte son
cahier au professeur ] [MT= le professeur regarde le cahier de Na] tu vas m’écrire “ NOMbre ” tu vas m’écrire “ be ”
395
134.
135.
136.
137.
138.
139.
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164.
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169.
170.
396
“ re ” correctement [MT= Na retourne a sa place] [MT= Ab apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur
vérifie et tamponne le cahier de l’élève] tu attends <.. ?> pour la frise [MT= Ab retourne à sa place [MT= Ja apporte son
cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie et tamponne le cahier de Ja] [MT= Ja retourne à sa place] [MT= une
élève apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie, tamponne le cahier de l’élève et place une feuille
blanche à la fin] c’est bien (00 :49 :00) [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= Sar apporte son cahier au professeur]
Mi ! tais toi s’il te plait ! [MT= le professeur vérifie le cahier de sar] <.. ?> [MT= le professeur tourne le cahier vers Sar]
[MT= Sar regarde son cahier]
[M= Sar]
<…>
[M=P 1312] Voilà + [MT= le professeur prend la main de l’élève dont deux doigts sont levés] je prends celui-là et je met celui-là
dedans [MT= le professeur baisse un des deux doigts et montre la tête de Sar] je prends celui-là et je le mets là dedans
[MT= le professeur baisse l’autre doigt et montre la tête de Sar]
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Et bein voilà ! [MT= Sar retourne à sa place sans s sa feuille] quand tu es à mon bureau [MT= un élève lui apporte son
cahier] [MT= le professeur regarde le cahier de l’élève et lui montre] ah :! Regarde ! tu as craché sur ta feuille ! mais tu
es dégoûtant <prénom> (00 :50 :00) [MT= Sar revient au bureau du professeur et écrit sur sa feuille] faut que tu
m’expliques quelque chose Sar + le calcul est toujours juste quand tu es à côté de moi et quand tu es toute seule à ton
bureau tu me fais toujours faut/ allez allez allez dépêche –toi ! faudrait peut-être que tu apprennes à le faire juste mais à
TA PLACE + qu’est-ce qu’il y a d’écrit ?
[M= Sar]
<… ?>
[M= P1321] Alors comment est-ce que tu vas faire ?
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Très bien
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Pourquoi <… ?> ++ montre moi l’addition que tu vas faire + montre la moi + c’est laquelle que tu es en train de faire ?
c’est celle-là + qu’est-ce qu’y’a écrit ? y’a pas écrit : le 6 ?
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Ah : bon + alors + comment tu vas faire ?
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Oui
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Ah : : 4 ! allez + tu en as combien dans ta tête ?
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] <.. ?> celui-là
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Alors y’en a pu 9 + y’en a ? (00 :51 :00) [MT= le professeur vérifie et tamponne le cahier de l’élève qui avait craché sur
sa feuille] <oui> [MT= l’élève retourne à sa place]
[M= Sar]
<.. ?>
[M=P 1312] oui
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] <… ?> tu dois trouver 13 + alors tu écris 13 [MT= Sar écrit sur son cahier ] [MT= Is apporte son cahier au professeur]
[MT= le professeur vérifie le cahier de Is et le tamponne] [MT= Is retourne à sa place]<s’adresse à Sar> allez je t’écoute
[MT= Ra apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Ra] <s’adresse à Sar> allez +
comment vas tu faire ?
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Oui [MT= le professeur fait oui de la tête] y’en a 8 + fait rentrer cui-là [MT= le professeur pose une main sur la tête de
Sar] fait rentrer cui-là [MT= le professeur pose une main sur la tête de Sar]
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Voilà [MT= Sar écrit sur son cahier] (00 :52 :00) [MT= le professeur vérifie le cahier et tamponne de Ra] [MT= Ra
retourne à sa place] ++ Xé tu n’as toujours pas terminé ?
[M= Xé]
Si
[M=P 1312] Ah + j’t’ai mis le point pour la frise ? ah bon d’accord [MT= un élève apporte son cahier au professeur] je vois toujours
ton cahier sur le bureau + allez pose ton stylo [MT= le professeur fait signe à Sar de poser son stylo] tu as besoin de tous
tes doigts + alors comment vas-tu faire
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Très bien
[M= Sar]
<… ?>
[M=P 1312] Très bien + fait voir + fait voir [MT= Sar se relève un peu pour laisser voir son cahier] oui oui <.. ?> tout ça <.. ?> tu fais
rentrer tout ça la dedans [MT= le professeur montre la tête de Sar] avec 9 qu’y à déjà + allez y’en a 9 + fais en rentrer
encore un [MT= le professeur pose sa main sur la tête de Sar
[M= Sar]
<… ?> [MT= Sa écrit sur son cahier]
[M=P 1312] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève qui attend et le tamponne] [MT= l’élève retourne à sa place] [MT= une
élève apporte son cahier au professeur] (00 :53 :00) [MT= le professeur vérifie le cahier de Sar ]voilà ! allez + deuxième
+ et cette fois + et cette fois tu fais tout juste à ta place Sar + et pas tout juste ici [MT= le professeur vérifie le cahier de
l’élève qui lui avait apporté et le tamponne ] très bien [MT= l’élève retourne à sa place ] [MT= Na apporte son cahier au
professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Na et lui montre un endroit de son cahier puis montre le tableau]
<.. ?> mathématiques <… ?> parce que si non [MT= Na va au tableau] voilà <… ?> une série + qui est plus grand et qui
est plus petit + allez ! + au travail [MT= Na retourne à sa place]+ tu te rends compte Na ? + que tout le monde à fini +
tout le monde+ ou presque tout le monde a le point de la frise sauf toi [MT= un élève apporte son cahier au professeur ]
(00 :54 :00) [MT= le professeur vérifie le cahier et le pousse vers l’élève] allez + vas vite me corriger celui-là [MT=
l’élève retourne à sa place]
[M= Elève] Monsieur ? j’peux aller aux toilettes
171.
[M=P 1312]
172.
173.
[M= Tr]
[M=P 1312]
174.
175.
[M= Tr]
[M=P 1312]
176.
177.
[M= Tr]
[M=P 1312]
178.
179.
[M= Tr]
[M=P 1312]
180.
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187.
188.
189.
190.
191.
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M= Tr]
[M=P 1312]
[M=Tr]
[M=P 1312]
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
[M=Tr]
[M=P 1312]
[M=Tr]
[M=P 1312]
[M=Tr]
[M=P 1312]
[M=Tr]
[M=P 1312]
Evidemment ! viens ici Tr [MT= Tr apporte son cahier au professeur] [MT= le professeur vérifie le cahier de Tr] qu’estce qu’y a écrit ? (p 5s) alors là + si tu n’arrives même pas à me lire ce qui est écrit je peux plus rien pour toi hein Tr !
<.. ?>
32 + où est-ce qui/ montre moi voir où y’a 32 ? fais voir ! ça / ça c’est 32 ça [MT= le professeur montre quelque chose
sur le cahier de Tr avec son crayon]
C’est 8
Ah c’est 8 et tu me dis 32 ! qu’est-ce qu’y a d’écrit Tr ! [MT= le professeur montre un endroit du cahier de Tr avec son
crayon ] (p 7s)
<… ?> (00 :55 :00) [MT= le professeur prend le cahier de Tr et tourne les pages en arrière]
Ah la la la la la la + celui-là tu l’as fait juste + alors tu vas m’expliquer pourquoi celui-là tu l’as fait juste + tu vas
m’expliquer ce qu’y a écrit là ! [MT= le professeur tourne le cahier vers Tr] (p 7s)
20
Là ! y’a écrit 20 là ! [MT= le professeur montre un endroit de son cahier à Tr] oh la la + ça y’est il a eu la grippe + y s’est
absenté deux jours et ça lui à ratatiné le cerveau (p 5s) [MT= le professeur pousse Tr sur le côté du bureau et fait signe à
un élève qui attend pour donner son cahier de le poser ] [MT= le professeur vérifie le cahier de l’élève et le tamponne]
[MT= l’élève retourne à sa place] [MT= le professeur montre un endroit sur le cahier de Tr] qu’est-ce qu’y a décrit
là Tr!
5
5 ! et et ça ! [MT= le professeur montre un autre endroit dans le cahier de Tr] (p 5s) <s’adresse à la classe> (00 :56 :00)
qui n’a pas encore le point de la frise ? Na ? ah Sa encore?\
<.. ?>
Plus ah PLUS ! et ça !? [MT= le professeur montre un endroit sur le cahier de Tr]
<.. ?>
Et ça !? [MT= le professeur montre un autre endroit sur le cahier de Tr]
<.. ?>
Et ça !? [MT= le professeur montre un autre endroit sur le cahier de Tr]
<.. ?>
Ah : : : : ! lis moi tout ça s’il te plait [MT= le professeur regarde un autre élève, lui fait oui de la tête et signe de venir]
<… ?>
Ah : : ! et comment est-ce que tu as fait pour trouver le résultat ? + comment est-ce que tu as fait ? [MT= le professeur suit
avec son crayon une ligne du cahier de Tr]
<… ?>
Ah ! mais quel jetons + tu as d’abord dessiné combien de jetons ?
<.. ?>
Après t’en as dessiné ?
<… ?>
Et après t’en à dessiné ?
<… ?>
Ah : : : ! ! tiens tiens tiens tiens tiens + ALORS ! qu’est-ce que tu ATTENDS ? ALLEZ allez allez allez [MT= le
professeur fait signe à Tr d’aller à sa place] [MT= Tr va à sa place] ++ [MT= le professeur regarde sa montre] il est
l’heure d’aller déjeuner + allez vous mettre en rang dans le couloir
397
ANNEXE II : SEANCES DE QUATRIEME EN FRANCE
Annexe II SEANCES DE QUATRIEME EN FRANCE Nous ajoutons dans cette annexe les transcriptions des séances observées en quatrième en France. Comme nous l’avons indiqué en 3.2.1, les
observations ont débuté la dernière semaine de mars 2005 avec la 4e E, et début mai avec la 4e A.
II. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE 4E A TOULOUSE
Nous présentons les transcriptions en gardant la mise en forme utilisée lors des extraits dans la thèse : les notations de la première colonne
indiquent le numéro du tour de parole, celles de la deuxième correspondent aux acteurs et dans la troisième colonne on trouve les
interventions transcrites.
II.1 SEANCES A LA CHARGE DU PROFESSEUR CB (4E A)
Les quatre transcriptions présentées dans cette annexe sont identifiées par le code de la référence utilisée dans les extraits montrés dans la
thèse.
II.1.1 SEANCE CB-230520054A : RESOLUTION D’EQUATIONS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
PROF=CB
(01min23) Donc, les équations ///// Ichan // tu te tais s’il te plaît //// merci //////// qu’est-ce que je viens de dire ///// (P
frappe la table avec le feutre) //// (P frappe la table avec le feutre) ////// numéro quarante un // et quarante deux Odan ////
Odan
E=(O)dan
Oui.
PROF=CB
Merci /// tu commences // page soixante dix-sept //// alors, je fais le premier / après, j’envoierai des personnes au tableau /
mais, pour le premier, /// x plus six égale moins deux //////
O
Hein … x plus six égale moins deux / hein … donc j’essaie de supprimer le six /
PROF=CB
Oui.
O
Donc, j’ajoute un moins six / x plus six moins six / (P l’écrit au tableau)
PROF=CB
Égale
O
Égale moins deux / moins six (P l’écrit au tableau. Les moins deux en bleu, le reste en noir) //
PROF=CB
// oui Odan / qui donne
O
*(P et O parlent au début en même temps. On n’entend pas O) reste moins huit
PROF=CB
Alors, quelle est la solution de cette équation ?/
E
Moins huit
O
Hein … ////
PROF=CB
Quelle est la… (O coupe P)
O
Moins huit.
PROF=CB
Moins huit //// voilà / je sais que / alors // Rosana / qu’est-ce qu’on cherche / quel est la…
E=(R)osana
On cherche x
PROF=CB
On cherche x // ça c’est … / c’est-à-dire
R
On fait … ben / on cherche tel que … hein … les membres soient égaux /
PROF=CB
Les membres oui /
R
Les deux nombres de chaque côté de… (P coupe à R)
PROF=CB
On cherche / en fait j’ai pas compris / excuse-moi
R
En fait / on veut que … x soit un nombre que… / qui soit égal des côtés /
PROF=CB
Voilà / donc / la recherche c’est bien / la recherche d’un // problème c’est de trouver / un membre / donc, qu’il faut
énoncer le nombre qui a trouvé * (P descend la voix, on n’entend pas) / donc, moins huit, c’est la solution de ce problème
(P l’écrit au tableau) /
////// (un élève appelle P à sa table. P va et répond à la question. Il avait « fait une ligne de plus pour pas grande chose »)
/// regarde ce que tu fais / tu mets le deux ici (P signale la deuxième ligne du premier nombre) / pour avoir le huit après /
tu vois ce que je veux dire / donc, c’est pas faux / sauf que t’as pas mis la phrase solution /// donc la phrase solution est
indispensable hein // Valentin / b /
E=(V)aletin
x moins six égale moins deux / (P l’écrit au tableau)
PROF=CB
Oui
V
Moi, j’ajoute plus six de chaque côté // ça fait x égale … égale quatre (P l’écrit au tableau) ///
PROF=CB
Donc // x égale quatre
V
Oui / est la solution de cette équation /// quatre est la solution (P l’écrit au tableau) ////////
PROF=CB
Valentine
E=(Va)lentine c égale à six x / c’est égal à moins deux /// (P l’écrit au tableau)
PROF=CB
c / c’est pas égal hein …/ c / la question c c’est / trouver le nombre x tel que six x est égal à moins deux // Donc // (P
frappe sa table avec le feutre) // Amed
E=(A)med
Pardon / excuse-moi
PROF=CB
///// qu’est-ce que t’as marqué //
Va
x c’est égal à moins deux sur six.
PROF=CB
Oui, c’est ça / (P l’écrit au tableau) on peut le mettre directement là / divise par / on divise par six / chaque membre
R
Mais madame, on peut / hein … mettre directement le résultat
399
38
39
40
PROF=CB
R
PROF=CB
41
42
43
44
45
46
E1
PROF=CB
E1
PROF=CB
Va
PROF=CB
47
48
49
50
51
52
53
54
E=(C)amille
PROF=CB
E=(S)carlette
PROF=CB
S
PROF=CB
S
PROF=CB
55
56
57
58
S
PROF=CB
S
PROF=CB
60
61
62
63
64
65
66
67
S
PROF=CB
S
PROF=CB
S
PROF=CB
S
PROF=CB
Là / oui
Et dans les autres /
Mais, dès que c’est facile, oui / tu aurais pu le faire directement / parce que c’est tellement facile / que personne / * c’est
le programme de cinquième / ces équations-là, c’est le programme de cinquième /// alors // moins deux sur six // (P
frappe sa table avec le feutre) on simplifie / (P appelle l’attention à deux élèves) ///// x égal moins // deux sixièmes //
Valentine // deux sixièmes /
Un tiers
Tu t’appelles Valentine ?
Non.
* (pas) remarqué
Mais, ben … un tiers.
Un tiers // et c’est la seule façon … toute autre solution est incorrecte / toute autre écriture que moins un tiers est
incorrecte // on vous demande pas une valeur approchée ///// pour changer // Camille // la solution /
Hein … la solution de cette équation c’est / moins un tiers (P l’écrit au tableau) //////
Moins un tiers / Scarlette (07min40) /////
Alors / d égal / x sur six / égale moins deux
Non / d n’est pas égal / c’est la question d
Ben … hein … x sur six égale moins deux
Oui
Donc (p. 22s) …
Qu’est-ce qu’il faut faire / qu’est-ce qu’il faut / quel est l’intérêt / qu’est-ce qu’elle a dit tout à l’heure / hein / Rosana /
qu’est-ce qu’il faut trouver /est-ce qu’on cherche / qu’est-ce que c’est moins un tiers …
x soit égal des deux côtés
Le membre x tel que / si je remplace x ici / je trouverai moins deux / hein /
oumm jou (un son au sens d’affirmation)
Donc // on peut se débarrasser du six / qu’est-ce qu’il faut faire / x divisé par six / pour ne plus avoir le six /// on peut le
faire directement… ou // comment … /// qu’est-ce qui va te faire disparaître la division par six / je divise par six / pour
neutraliser une division par six / qu’est-ce que tu peux faire /// diviser par six / qu’est-ce qu’on peut faire pour revenir /
qu’on divise par six // qu’est-ce qu’il faut faire pour revenir en arrière // chut // je sais bien que vous savez / c’est pas
vous qui m’intéresse dans ce cas-là // c’est Scarlette / qu’est-ce qu’on peut faire pour (S coupe P)
Une multiplication !
Une multiplication par quoi /
Par six /
Voilà / (une fois) qu’on multiplie d’un côté /
On multiplie de l’autre.
Multiplie de l’autre / ce qui te donne directement /
Moins douze
x égal moins douze / on peut le faire / on pourrait le faire aussi en disant / que x divisé par six égale moins deux / donc
moins deux multiplié par six égale x / c’est la définition même de la division / il y a plusieurs façons de ** (P écrit la
réponse au tableau) //////
P.77 41 et 42
x + 6 = –2
x + 6 – 6 = –2 – 6
6x = –2
x = −2
6
x = –8
x = −1
3
–8 est la solution de cette équation
la solution de cette équation est −1
3
x – 6 = –2
6 × x = –2 × 6
6
x – 6 + 6 = –2 + 6
4 est la solution de cette équation
68
R
69
70
PROF=CB
R
71
72
73
PROF=CB
R
PROF=CB
74
75
76
77
78
79
A
PROF=CB
A
PROF=CB
E
PROF=CB
400
x = –12
La solution de cette équation est –12
/// Rosana /////
Alors, donc hein … (10min00) petit a c’est / trois x plus quatre égale cinq ///// hein / ben / il faut faire moins quatre pour
chaque côté /
Il faut pas faire (P dit « faire » plus fort) moins quatre / il faut ajouter moins quatre / (P l’écrit au tableau) ////
Égale à cinq moins quatre (P l’écrit au tableau) /// ça fait trois x égale un / et après hein … hein … on divise trois x par
trois /////// (P l’écrit au tableau) ///// et un sur trois ////
Donc
Hein … x égal / un sur trois /// (P l’écrit au tableau)
Cette dernière division / on peut le faire directement / c’est …quand vous avez trois x égale un / vous pouvez directement
mettre x égale un tiers / bien sûr / tout monde sais que si trois x est égal à un / x c’est un tiers / là / l’avantage de ça / c’est
qu’on se trompe pas / en sachant si c’est le dénominateur ou le numérateur (un élève appelle à P à sa table. On n’entend
pas. 11min38) alors // Amed /// trois x moins quatre égale cinq
D’accord / bon / hein … trois x moins quatre égale cinq / c’est trois x égale cinq / plus quatre
Qu’est-ce que tu as fait
Bon on a / on a ajouté… plus quatre
A chaque /
A chaque membre
Tu te tais s’il te plaît // mais qu’est-ce c’est cette habitude de prendre toujours la parole à la place d’un autre //////
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
A
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
92
93
94
E=(Cl)oé
PROF=CB
Cl
95
96
97
98
99
100
101
102
103
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
E=(I)chan
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
116 I
117 PROF=CB
118 I
119 PROF=CB
120 I
121 PROF=CB
122
123
124
125
126
127
128
129
130
I
PROF=CB
E
I
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
131 PROF=CB
A chaque côté
A chaque côté / à chaque membre / de l’équation / (P écrit le plus quatre au tableau)
D’accord
Donc / trois x égale neuf comme tu me l’avais dit / alors / ensuite…
Je / je … x égale neuf sur trois (P l’écrit au tableau)
Voilà, on peut le faire directement / c’est tout à fait / c’est tout à fait correct /
Après, je l’ai fait trois / trois (P commence à parler)
x égale
x égale / neuf sur trois
C’est-à-dire…
Trois sur un
Ou seulement trois //// (P l’écrit au tableau) //
// la voisine //////// allez Cloé //
Ah moi /
Oui la voisine ... c’est
Alors c / c’est / x sur trois plus quatre // égale cinq (P l’écrit au tableau) // bon, on ajoute / on ajoute moins quatre à
chaque membre (P l’écrit au tableau)
Très bien
x sur trois égale cinq moins quatre / (P l’écrit au tableau)
Oui
Égale un // (P l’écrit au tableau) ///
Voilà ///
3x + 4 = 5
x +4 = 5
Hein … x égale une fois trois ///
3x + 4 – 4 = 5 – 4
3
3x = 1
C’est-à-dire
x + 4 –4 = 5 –4
3x = 1
Égal trois (13min26)
3
3
3
Trois / on peut le faire directement / par trois de chaque
3× x = 1×3
La solution … est 1
3
côté de chaque membre / et trois est la solution de cette
3
x = 3
/ équation /// (P l’écrit au tableau) //
/// Ichan
//// d /// hein /// trois sur quatre x / égale cinq //
3x – 4 = 5
Trois sur quatre x / j’ai pas entendu /
3x – 4 + 4 = 5 + 4
Egale cinq
3x = 9
Trois quart de x / plus simplement
x = 9
/// hein (changement du cassette)
3
Qu’est-ce qu’a fait / hein / je crois, c’était Valentine /
x = 3
3 est la solution …
Elle a divisé…
T’avais / j’ai / hein … lis cette équation.
Six x / égale moins deux /// x égale moins deux sur six /
Qu’est-ce que tu as fait pour passer de là à là (P signale la première ligne après la deuxième)
Hein … ///// on a … //// le six il a hein ….
Non le six, il a rien fait tout seul / c’est toi qui a fait ////////////// (P frappe une table avec le feutre) //// j’ai pas entendu ////
tu as dit quelque chose //// mais j’ai …
On a … on a divisé par six /
Oui … ouf …divisé par six /// tout simplement pour, hein … pour avoir le six ici / six multiplié par x / je l’ai fait dire /
très souvent / quand on multiplie x // par six / on obtient six x / quand on a six x / pour obtenir x // qu’est-ce qu’on fait
On divise.
On divise par six, on obtient x / on est d’accord // là / j’ai trois quart de x / égale cinq / qu’est-ce que je fais pour trouver
x ? /// chut //
On divise par trois quart
On divise par trois quart / mais diviser par trois /// c’est la même chose //////// on peut diviser / tu peux mettre ça hein / ça
revient au même problème // tu vas mettre cinq divisé par trois quart / voilà / mais diviser par trois quart / c’est la même
chose que /
Multiplier par l’opposé
3x + 4 = 5
x +4 = 5
Non pas l’opposé
3x + 4 – 4 = 5 – 4
3
L’inverse
3x = 1
x + 4 –4 = 5 –4
Multiplier par … de l’autre côté alors /
3x = 1
3
Multiplier par quoi / dit-moi le nombre / par quatre
3
3
3× x = 1×3
Des deux côtés
3
3
Sur trois // c’est-à-dire multiplier par l’inverse
x = 3
Exactement.
Pas l’opposé comme tu m’as dit // ça fait vingt / sur trois
// la solution de cette équation / est vingt sur trois
3x – 4 = 5
3x = 5
(P l’écrit au tableau)
3x – 4 + 4 = 5 + 4
4
// alors / voilà // disons /// divise par / quand vous avez
3x = 9
4 × 3x = 5 × 4
trois quart de x / égal cinq //// vous divisez cinq par / trois
x = 9
3 4
3
quart / on doit diviser par trois quart de chaque côté /
3
diviser par trois quart / c’est la même chose que multiplier
x = 3
par quatre / sur trois / (P répond à une question. On
3 est la solution …
n’entend pas) // alors, vous faite le numéro quarante six /
petit a ///// de la même page // numéro quarante six petit a / page soixante dix-sept //// travaille (4min06)
(13min39) je vous conseille / regardez ce que j’ai fait au tableau // une minute // vous travaillez à votre rythme mais…
401
132 PROF=CB
133 E
134 E=(N)assara
135 PROF=CB
vous écoutez / (P frappe plus fort cette fois, sur sa table avec le feutre) / Élias /// merci /// au début des équations / vous
allez être (tout au début) / des équations plus compliquées / regardez ce que j’ai fait au tableau / c’est-à-dire qu’au tableau
/ Cloé // Rosana // au tableau j’exige / qu’on mette en couleur // les deux nombres / que j’ajoute à chaque membre / qui
vont être égaux / bien sûr / même chose / quand je l’ai fait ici / je l’ai fait en bleu mais, peu importe // quand j’ai ajouté
moins quatre de chaque côté je l’ai fait en couleur / quand j’ai divisé par trois / je l’ai fait en couleur / bien faire voir / ça
peut être littéral Neil / d’ajouter deux x d’un côté est soustraire deux x de l’autre / faire des choses comme ça / parce que /
ça peut arriver à tout le monde / t’avais ajouté moins deux x ici et puis, deux x là (14min42) //////// (les élèves continuent
en travaillant)
(27min01) on commence premièrement / on réduit / chacun des membres / en n’oubliant pas Neil / ce qu’on a fait / dans
la leçon précédente / parenthèse précédée du signe moins / pour les enlever on sait faire / parenthèse précédée du facteur
cinq / on sait faire aussi / on développe //// Lorraine tu vas le faire ///// (au
tableau
4x – (x + 3) = 5(x – 1)
figure ci-contre)
4x – x – 3 = 5x – 5
C’est pas fini bien sûr // mais / c’est fini à la mesure / (P frappe sa table avec
le feutre)
3x – 3 = 5x – 5
vous posez vos stylos s’il vous plaît //// (P frappe sa table avec le feutre) chut
////
vous
posez le stylo tout le monde / (P frappe sa table avec le feutre) vous posez le
stylo tout
le monde / Valentin… / merci / donc / je vais faire ça au tableau / et si je me arrêtée Lorraine, là / c’est pas pour rien /
c’est parce qu’on est arrivé à un état où / ça doit poser / beaucoup moins de problème / c’est-à-dire que l’état où on était
dans les équations précédentes /// donc, la résolution propre de l’équation commence / Jusqu’à présent, qu’est-ce qu’on a
fait simplement ? /// Nassahara. // Qu’est-ce qu’on a fait dans ces deux premières lignes ?
Développe
Ben ... on a réduit /
Donc / dans certaines équations / pas dans toutes / la première chose à faire / sera de réduire / chacun des membres / et
une fois qu’on aura réduit chacun des membres / c’est qu’on fera / c’est ce qu’on a l’habitude / c’est-à-dire / sa résolution
/ transposition / je regroupe les x d’un côté, les nombres de l’autre / etc. (29min15) /
II.1.2 SEANCE CB-240520054A : RESOLUTION D’EQUATIONS (2)
1
2
PROF=CB
R
3
PROF=CB
4
5
R
PROF=CB
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
R
PROF=CB
R
PROF=CB
E
PROF=CB
R
PROF=CB
R
PROF=CB
16
17
18
19
20
21
22
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
23
PROF=CB
24
25
26
27
28
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
402
(00min02) Qu’est-ce qu’on a fait hier ? /
Ben … on a continué avec les équations / on a fait avec, hein … un inconnu de chaque côté / mais, le même inconnu ah
/
Alors / le même inconnu, j’espère bien / équations à deux inconnus, c’est pas pour la classe de quatrième / alors … //
donc // (P applaudit deux fois) donc / vous aviez à faire // le quarante sept petit a / et le quarante six petit c petit d / de la
page ///// alors / petit c // Élias / Élias // le cours a commencé // merci /////////// alors / chut // l’équation que vous aviez à
résoudre ///// Rosana au tableau /
Je prends mon cahier
Non / non, prend ton cahier / on t’indiquera s’il y a des calculs à faire / on t’indiquera / tu nous donnes / ce que tu as
retenu de la méthode / tu as les couleurs et tout / pour hein… nous faire voir / un peu à tes camarades /
D’abord, on doit / je ne sais pas comment dire
Isoler.
On doit isoler les * / hein … On prend le quel ?
C’est toi qui est au tableau
Oui, mais ça m’est égal /
Je te conseille de le mettre au second membre / tu verras pourquoi tout à l’heure.
Je garde celui-là
**
Oui, mais…
Alors, vas-y / tu répètes tout et tu enlèves quatre virgule trois // quatre virgule trois x / plus douze (P lit ce qui écrit R)
///// moins
Moins … hein …
4,3x + 12 = 5,7x + 33
Je peux avoir le silence
4,3x + 12 – 4,3x = 5,7x – 4,3x + 33
Quatre virgule trois x
12 = 1,4x + 33
Voilà ////// (R écrit au tableau)
12 – 33 = 1,4x + 33 – 33
–21 = 1,4x
Donc, hein … on va essayer d’enlever le / le trente trois /
On va plus qu’essayer
Oui, on va l’enlever /////////// (un élève pose une question à R. On n’entend pas) / et hein … après, on va faire hein …
comment
Arrête / arrête / on va faire une pose ////////
/// Donc // disons que là / elle a isolé / comme hier / elle a mis les x d’un côté / et les termes sans x / de l’autre / disons
que / la plus grosse partie du travail est fait / c’est là / et à ce moment-là seul / Rosana, qu’est-ce que tu vas faire ? /
Ben, que là / on essaie de garder x tout seul /
Comment on fait pour garder le x tout seul ? /
Ben / on divise.
C’est là qu’on fait la division / voilà / je t’écoute //// alors, vas-y / tu divise par…
Un virgule quatre de chaque côté (R demande à un élève de faire le calcule en la calculatrice. Ils disent moins quinze)
4,3x + 12
4,3x + 12 – 4,3x
12
12 – 33
–21
–21
1,4
Annexes
=
=
=
=
=
=
5,7x + 33
5,7x – 4,3x + 33
x = –15
1,4x + 33
La solution de cette
1,4x + 33 – 33
équation est –15
1,4x
1,4x
1,4 thèse : ARAYA-CHACÓN
à la
29
PROF=CB
30
31
32
33
34
35
36
37
E
PROF=CB
E=(O)dan
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
O
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
50
51
O
PROF=CB
52
53
54
55
56
E=(C)loé
PROF=CB
C
O
PROF=CB
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
E
E=(Ca)mille
PROF=CB
Ca
PROF=CB
Ca
PROF=CB
Ca
PROF=CB
Ca
PROF=CB
Ca
PROF=CB
70
71
72
73
Ca
PROF=CB
Ca
PROF=CB
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
A
PROF=CB
A
PROF=CB
E
PROF=CB
E=(I)chan
PROF=CB
I
PROF=CB
Voilà / la solution de cette équation … ////////////////// le / le principe est toujours le même / tu voulais dire quelque chose
Daïkerïn.
Mais si / il voulait participer, mais … (P dit quelque chose mais on n’entend pas)
Bon … donc / le principe / tu le rappelles s’il te plaît Odan /
Hein … le principe
Le principe de résolution / tu te tiens correctement
Hein, ben c’est de trouver x / c’est de trouver de x /
x, qu’est-ce que c’est ?
Mais, ben / c’est la solution de cette équation /
La solution de l’équation / et en quoi ça consiste la solution / si je te demande de vérifier / de vérifier que tu as trouver
la bonne solution /
Ben … (P appelle l’attention à un élève)
Alors, qu’est-ce que tu ferais Odan ?
Ah, ben, je remplace x par ce nombre ici /
C’est-à-dire / tu remplace x par /
La solution
C’est-à-dire par quoi /
Hein … (P appelle l’attention à toute la classe)
(O7min19) bon, comment tu ferais par exemple /
Je remplace x par (au même temps que P, O s’arrête)
Alors, je t’écoute / comment tu ferais…
Hein ben / je ferais quatre virgule trois multiplié par moins quinze / plus douze /
Plus douze ** donc, on va le calculer // à la machine à calculer bien sûr / pour aller plus vite / tu le fais à la machine à
calculer / d’autre part /
//// ah …. // cinq virgule sept / x // non multiplié par / ou fois moins quinze // plus trente trois
Trente trois / vous me le faite certainement à la machine à calculer / c’est des choses qu’il faut / faire // quand on est en
interrogation écrite / pour // se tester / tester le résultat qu’on a fait ///////
(08min10) Hein, le premier ça fait moins cinquante deux virgule cinq
4,3 × (–15) + 12 = –52,5
Moins /
5,7 × (–15) + 33 =
Cinquante deux virgule cinq
Mmm jou (un son au sens d’affirmation)… moins j’ai trouvé / moins neuf virgule un
On va quand même / tout le monde // tout le monde contrôler en même temps / * le jour où vous êtes seuls / vous êtes
déjà obligés de le faire / bien sûr, le second membre / va donner moins cinquante deux virgule cinq /// ceci / si vous ne
trouvez pas autre chose / vous recommencez tout le calcul / là, d’abord, on va se * un peu en la démonstration déjà /
puis, si vraiment pas la même chose / et s’ils sont différents / alors, vous reprenez / l’équation // parce que c’est sur
l’équation que vous vous êtes trompés //// de questions à poser de la première équation /
Non (une élève le doigt)
C’est juste l’endroit où ** que je n’ai pas compris /
Alors / Camille // tu parles un peu plus fort parce que j’ai pas compris
Ben / quand on va diviser / j’ai pas compris /
Quand on est là…
Oui.
Ça /
Oui !
Bon / qu’est-ce que c’est le premier membre / lis-le.
Ben / un virgule quatre x /
Que ça veut dire un virgule quatre x /
Hein … fois un virgule quatre /////// (P l’écrit au tableau)
(09min41) c’est-à-dire / que lorsque tu fais le calcul /// tu prends le nombre x / tu le multiplies (P appelle l’attention
d’un élève. 09min59) / tu le multiplies par un virgule quatre / ça donne un virgule quatre x /// et ce un virgule quatre x /
il est égal à moins vingt et un / comment fais-tu / pour trouver x /// tu as moins vingt et un / c’est moins vingt et un c’est
un virgule quatre multiplié par x / comment fais-tu pour remonter cette opération / (P fait un schème au tableau)
Ben…
C’est-à-dire / tu multiplies le nombre par un virgule quatre / pour retrouver le nombre si je suis obligée //////////
On divise
Bon / c’est moins vingt et un / divisé par un virgule quatre // c’est pour ça /// c’est pour ça que /// on peut ne pas l’écrire
/ t’as pas besoin de l’écrire / vous pouvez / vous pouvez écrire directement / x égal moins vingt et un / sur moins un
virgule quatre / ça je l’ai fait écrire moi / pour bien faire voir parce que le nombre (est divisible) / sinon … tu peux le
faire directement / (10min56) quand tu as trois x / égal cinq / que vaut x / Amed /
Il faut que je le calcule
x fois virgule quatre X
Non // tu donnes … la division
Hein … cinq divisé par trois /// cinq divisé par trois
1,4x = −21
Cinq divisé par trois //
1,4
Sur trois
1,4 × x = −21
Cinq sur trois /// Ichan
1,4x = -2
Ah !
De plus, que vaut x /
Hein … x égale / dix sur moins deux
Dix sur moins deux / moins dix sur deux / cinq / moins cinq /// bon / donc on va directement /// (on n’entend pas. Un
élève sort de la classe. 12min08) donc / deuxième équation / que je vous avais donné //// deuxième équation /////// alors,
X
403
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
C
PROF=CB
C
PROF=CB
C
PROF=CB
celle-là ////////////// donc / cette équation /// qu’a-t-elle de particulier / par rapport aux autres /// est-ce qu’on vous a posé
le problème // Cloé qu’est-ce que tu as trouvé //
Moi, j’ai pas trouvé / ben, j’ai commencé mais après, je n’ai pu plus /
Alors, ce que tu as / tu as commencé / dit-moi, qu’est-ce que tu as commencé // allez, vas-y //
Ben, j’ai mis déjà / x sur six d’un côté // de l’autre côté / moins x sur six
x+4 = x+5
D’accord, attends / je le fais /
2
6
Égale cinq //
x+4–x = 5
/ vous voyez ce que j’ai écrit /
6
c’est-à-dire que j’ai écrit tout de suite / j’ai écrit en rouge que le moins x sur six / qu’est-ce que j’ai fait mentalement
//// pourquoi je … qu’est-ce que j’ai fait mentalement Valentine //
E=(Va)lentine Ben … vous êtes, hein…
PROF=CB
On peut commencer à l’inverse / si vous êtes assez à l’aise /
Va
Vous enlevez tout de suite … hein, transférez
PROF=CB
Oui / j’ai transféré / comme tu dis
Va
Oui, sans ben / sans marquer l’étape
PROF=CB
Oui, sans marquer / tout simplement tout ce qui faisait * / j’ai pas marqué / ça /// (P écrit au tableau après le cinq) //
parce que je sais très bien / que ça va faire //
x+4 = x+5
Es
Zéro !
3
6
PROF=CB
Zéro //
x+4–x = 5+x –x
6
98
99
100
101
102
103
104
C
PROF=CB
E
PROF=CB
Es
PROF=CB
Ca
105
PROF=CB
106
107
108
109
Va
PROF=CB
Va
PROF=CB
110
111
112
113
114
115
A
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
116
E=(M)athilde
117
118
PROF=CB
I
119
120
PROF=CB
E
404
6
6
ça vous pouvez commencer à faire vous / si vous sentez assez à l’aise / (un élève pose une question. On ne l’entend pas)
// ensuite / qu’est-ce que tu as fait Cloé (14min24)
Ben … après, j’ai mis / ben / vingt-quatre de l’autre côté /
Aussi / on peut le faire.
Directement ?
On peut le faire directement //// plus quatre moins quatre, ça fait zéro // on arrive à // cinq moins //
Quatre
x+4 = x+5
Quatre
3
6
Et après … (P écrit le résultat de la soustraction) voilà
x+4–x = 5
6
x–x = 5–4
2 6
x–x = 1
2 6
Alors, en fait / je pense / que c’est pas du tout la résolution de
l’équation / ce qui vous pose problème (14min47) /
Ben … c’est quoi
C’est ajouter deux fractions /
Ah oui / justement /
Parce que / x sur b / x sur deux / moins x sur six /// alors * Cloé / vient le faire au tableau / allez (Un élève pose une
question. On n’entend pas. P parle avec C au tableau. 15min36) trois x //
3x – x = 1
moins x // ça va faire //// deux ////// (P regarde ce qui fait C. 15min54) // tu
2 6
peux / tu peux multiplier par deux / deux sur six / ça fait un sur trois / donc, tu
2x = 1
6
écris un sur trois ////// (P parle avec C au tableau. 16min23) alors / où est-ce
x = 1
que vous vous êtes arrêtés / qu’est-ce qui vous fait arrêter // c’est-à-dire / avoir
3
à réduire // avoir à réduire des x / avec le dénominateur // donc, ce n’est pas / ce
x = 1×3
n’est pas la résolution / ce qui vous a posé problème // c’est d’avoir à ajouter //
x = 3
des x // x égale trois /
3 est la solution de cette équation
on vérifie (des élèves proche du microphone parlent. On n’entend pas la
vérification. (17min15) une / question à poser
Madame / on peut faire / une, hein … un produit en croix
Quel produit en croix / où ça /// chut ///
Au niveau de trois x sur six moins
Ah oui / (Des élèves parlent. On n’entend pas la suite)
Moi / je n’arrive pas à comprendre //////// (P dit quelque chose très bas)
(18min03) On va donc travailler // parce que je vous sens pas très attentifs, prenez vos livres, page cent soixante dixhuit /// page soixante dix-huit ///////// page soixante dix-huit et soixante dix-neuf (P frappe la table avec un feutre) ////
Rosanna ///// le titre // de tous les exercices / de cinquante quatre / jusqu’au soixante-douze /// le titre c’est / mettre en
équation // c’est-à-dire, qu’on commence avec celui-là // à aborder // disons le côté intéressant / de l’algèbre / c’est-àdire qu’on va appliquer toute la théorie / parce qu’on a fait / depuis un moment / toute une théorie / c’est-à-dire on a
accroché / de la technique / une technique // pour résoudre des équations / mais, ces équations n’étaient pas associées à
des problèmes / un des intérêts de l’algèbre / c’est associer de … de l’algèbre / à des problèmes / alors, vous avez ce
genre de problèmes / on peut regarder ce genre de problèmes / le soixante quatre par exemple / tu peux lire le soixante
quatre /// Mathilde
(19min38) (en lisant le problème) dans ma tirelire, j’ai dix-neuf pièces de cinq francs et dix francs uniquement / je
pense avoir une somme totale de cent cinquante cinq francs / combien ai-je de pièces de dix francs / de pièces de cinq
francs /
Voilà / ce genre de problèmes // ou, alors, le soixante neuf / Ichan /
Un père de quarante deux ans a une fille de douze ans / dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le triple de l’âge
de sa fille ?
Ou, alors, le soixante et onze / de plus en plus amusant //
Un troupeau est composé de chameaux et de dromadaires / on compte cent quatre-vingt têtes et trois cents quatre bosses
121
PROF=CB
122
Pi
123
124
125
126
127
128
129
130
131
PROF=CB
Pi
PROF=CB
Pi
PROF=CB
Pi
PROF=CB
Pi
PROF=CB
132
133
134
E=(El)ias
PROF=CB
El
135
PROF=CB
136
137
A
PROF=CB
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
Es
PROF=CB
A
149
150
151
N
PROF=CB
N
A
R
R
E
PROF=CB
/ sachant qu’un dromadaire possède une bosse et un chameaux deux / combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce /
Ou, alors, des problèmes de plus en plus mathématiques / pour ceux-là, on n’a pas besoin de l’algèbre pour les faire /
comme cinquante quatre / je pense à deux nombres entiers consécutifs // je les additionne et je trouve cent quatre-vingt
trois / quels sont ces deux nombres // c’est-à-dire, qu’on va avoir / qu’on va avoir de (P frappe la table avec son feutre)
on va avoir des problèmes / et * être / ces problèmes-là / on va les résoudre / grâce à des équations / alors, quelque fois /
il se peut qu’ils se ressolvent simplement / mais le problème ici / un des intérêts de ce chapitre / c’est de le mettre en
équation / donc / je vais vous demander / même si vous avez la solution / de le mettre en / équation (21min01) /// on va
commencer par le … /// le soixante neuf // allez / (P répond à une question sur le page) / il faut lire le texte /
attentivement / tu le lis Pierre /////
Un père de quarante deux ans / a une fille de douze ans (P l’arrête. Il attend trois secondes et Pi recommence à lire) Un
père de quarante deux ans / a une fille de douze ans / dans combien d’années l’âge du père sera-t-il le triple de l’âge de
sa fille (On n’entend pas ce qu’il dit Pi)
Pour mettre en équation / qu’est-ce qu’on cherche là ?
Ben là … à quel âge le … x c’est l’âge de … le père aura le … triple
Voilà / x c’est quoi pour toi / dans ce cas-là /
x … c’est hein / douze fois trois //////
Alors, quand on met en équation / ce qu’on appelle le mettre en équation //////
Ah oui / x c’est égal à quarante deux divisé par trois //
Mais, c’est pas un inconnu alors /
Mais si, on connaît son nombre parce que x / on cherche / l’âge
Ah non / quarante deux divisé par trois / ça va te donner / ça va te donner douze / (quarante deux) divisé par trois / alors
/ pour relier le texte, là (23min03) / jusqu’on comprenne /// si vous ne… / alors on va en faire peut-être un autre plus
facile / si vous avez du mal //// on va commencer par le cinquante quatre // allez, on commence par le cinquante quatre /
moins difficile /// allez / là, il est facile //// alors // on commence par le cinquante quatre // Élias /// le cinquante neuf / le
soixante neuf, on le verra tout à l’heure / allez // plus fa / plus facile / on t’écoute
//// Moi
Oui.
Je pense à deux nombres entiers consécutifs / je les additionne et je trouve cent quatre-vingt trois / quels sont ces deux
nombres ?
Alors / l’intérêt, c’est pas de trouver la solution / Ichan l’a trouvé / ou Amed, je ne sais pas // qu’est-ce que tu as trouvé,
Amed ?
Quatre-vingt-onze et quatre-vingt-douze /
Quatre-vingt-onze et quatre-vingt-douze / donc, la solution on l’a / l’intérêt, c’est de trouver comment / algébriquement
on va la trouver / c’est-à-dire / de mettre en équation le problème / là, il est facile le problème / de le mettre en équation
/ parce que le texte, il est mathématique / qu’est-ce qu’on va choisir comme inconnu //
x
Non // ça c’est la lettre / c’est pas le choix /
Les deux nombres consécutifs.
Alors, les deux nombres / lequel ?
Le premier.
Alors, le premier // tout monde l’écrit // alors / soit x / le premier nombre ////
Et x plus un le deuxième.
J’ai entendu déjà //// l’autre … comment s’appelle l’autre ?
x plus un (P l’écrit au tableau)
Plus un.
x plus un parce que c’est le consécutif ///// x plus un le / le second /////// (P frappe la table avec un feutre) /// Nasara // tu
relis le texte / et c’est ce texte / cette traduction / ce texte / qu’il faut que tu traduises par une égalité / donc, on t’écoute /
Je pense à deux nombres entiers consécutifs / je les additionne et je trouve cent quatre-vingt trois /
Alors, tu me donnes une égalité ?
n° 54 p. 78
x / plus x plus un / est égal à cent quatre-vingt-trois /// (P l’écrit au tableau)
Soit x le premier entier ;
x + 1 le second
x + x + 1 = 183
152
PROF=CB
153
154
155
R
Es
PROF=CB
156
Es
157
PROF=CB
Voilà / donc / c’était // là c’était facile / parce que le texte est mathématique // plus le texte est / est proche des
mathématiques / disons que là, du père, des dromadaires / c’est un peu plus difficile parce que c’est non-mathématique /
deux entiers consécutifs / on les trouve plus rapidement à calculer // donc / on trouve / ça y est / l’équation, on l’a
trouvée // maintenant, on doit la résoudre /
(25min51) On peut / on enlève le plus un / on additionne moins un /// (P l’écrit au tableau) et après on divise par /
Deux.
Deux / (P l’écrit au tableau) //// et on trouve bien le x / égale quatre-vingt-onze //// que nous ont donné Amed et Ichan
//// donc, après le suivant / quatre-vingt /
2x +1 – 1 = 183 – 1
Douze (P l’écrit au tableau. 26min40. Pi pose une question.
2x = 182
On ne l’entend pas)
x = 182
2
Oui / moi, je n’ai jamais dit qu’on // qu’on pouvait pas trouvé la solution-là par un
x = 91
autre moyen que l’algèbre / voilà /// je ne dit pas ça / il y a beaucoup de problèmes /
tu verras / qu’on peut les trouver / par d’autres choses que l’algèbre / j’ai pris un
91, 92 sont les entiers cherchés
problème très facile / vos camarades ont trouvé aussi d’autres façons /// / on a fait un
exemple plus facile / pour pouvoir réaborder, là maintenant / le numéro / soixante dix-neuf / qui est un peu moins
évident /// hein … là, c’est simplement pour vous montrer / comment faire pour mettre en équation le problème / c’était
très simple / c’est tellement simple / qu’on n’a pas besoin de l’algèbre / tandis que l’autre / vous allez voir / allez …
maintenant vous passez au soixante neuf //// le père /// alors // premier moment / la même équation / c’est-à-dire on
405
158
159
160
161
Va
PROF=CB
Es
PROF=CB
162
Es
PROF=CB
163
164
E
PROF=CB
choisi l’inconnu / on traduit le texte // on choisi l’inconnu / on choisi le texte / c’est ça //// (28min08) choix de l’inconnu
//// et traduction du texte par une égalité (P l’écrit au tableau) /// et deuxième moment / après, on résoud ///// (28min25.
Les élèves travaillent. P se promenade dans la classe en regardant le travaille des élèves et en leur faisant des
commentaires) on résoud l’équation /// (31min37) oui, très bien Cloé (C était passée au tableau pour commencer la
première étape) // le nombre / d’années nécessaires ////// et là, il faut faire très attention au texte /// quel âge il a le père /
Quarante deux ans.
Quarante deux ans //// Sa fille ?
Douze ans.
Douze ans /// et le texte / dans combien d’années /// le père /// âge du père / maintenant //// quarante deux /// dans x
années / plus x // vous mettez l’âge de la fille ////// chut /// âge de la fille ///// âge de la fille
Et ben douze plus x
Ben, bien sûr dans x ans ** / c’ést-à-dire / si le père / a x années de plus / la fille / aura aussi x années de plus / (les
élèves parlent. On n’entend plus) /// maintenant, traduit le texte //////// maintenant, quelle est la phrase qui va donner
l’égalité (33min12) //// (les élèves continuent en travaillant. 33min45, P applaudit deux fois. Les élèves continuent en
travaillant. 36min20) /// donc // l’âge du père /// est
Egale à douze plus x
Douze plus x / ça fait l’âge de la fille ///// (P écrit l’équation au tableau)
- choix de l’inconnu
1 Mettre en équation
- traduction du texte par inég alité
Soit x le nombre d’années nécessaires
âge du père 42 + x
Dans s années
âge de la fille 12 + x
42 + x = 3(12 + x)
165
166
E=(G)rafic
PROF=CB
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
G
PROF=CB
A
PROF=CB
A
PROF=CB
Cl
A
PROF=CB
E=(S)carlette
PROF=CB
S
PROF=CB
S
PROF=CB
Es
PROF=CB
et là, on développe ///// (38min12. P attendait le silence depuis trente seconds) c’est que sera difficile / dans / dans ce
style d’exercices / c’est ça / après la résolution d’une équation / ** c’est la technique / c’est la technique et, à partir de
là, … / c’est de la résolution facile qu’on a fait avant / donc, il s’agit / effectivement de développer // le second moment
// je t’écoute / Grafic
Oui, c’est / trente six plus trois x (P l’écrit au tableau)
Trente six plus trois x / oui // ensuite / Lionel / on transpose par exemple x / quarante deux /// égal // j’enlève le x ////
donc, tu réduis ////
Quarante deux égale // trente six / plus deux x /// (P l’écrit au tableau)
2Résoudre l’équation
Plus deux x //// ensuite // Amed
42 + x = 36 + 3x
42 + x – x = 36 + 3x – x
**
42 = 36 + 2x
Non // le deux x est bien où il est.
Donc … j’ai passé trente six.
J’ai passé / c’est pas un bon vocabulaire / on l’a jamais vu là /
On transpose.
On transpose /// on fait moins / moins trente six, oui voilà ///
Trente six moins trente six, ça fait zéro //// (P l’écrit au tableau) /// ce qui donne / Scarlette
Six / six égale deux x /// six / six égale deux six
Donc, … x égale trois //// ce qui // ce qui donne que l’âge dans trois ans / l’âge du père // le père (P l’écrit au tableau)
Quarante cinq ans.
Aura …
Quarante cinq ans.
Quarante cinq ans / sa fille ///
quinze ans /
Quinze ans /// et on vérifie bien / quinze fois trois /// ça fait bien quarante cinq / donc, ça répond bien au / problème
(41min13. P écrit au tableau. 41min57) //
2Résoudre l’équation
42 + x = 36 + 3x
42 + x – x = 36 + 3x – x
42 = 36 + 2x
42 – 36 = 36 + 2x – 36
6 = 2x
3 = x
Dans 3 ans, le père aura 45 ans
sa fille 15 ans
(15 × 3 = 49)
/// donc on va repasser un peu la technique // c’est-à-dire / je vous demande l’équation suivante // deux (P l’écrit au
tableau) /
2 (3x – 5) = 5x – 1
facteur / de trois x moins cinq / égale cinq x moins un // au travail //// (Les élèves travaillent. P se promène dans la
classe en regardant le travail des élèves et en leur faisant des commentaires. 45min30. P dit et écrit la réponse au
tableau et indique un autre exercice à faire.)
(48min28 la sonnerie. 48min51) Pour demain ////// (P frappe la table avec un
2 (3x – 5) = 5x – 1
feutre) sortez vos cahier de texte //// vous me le laissez en sortant /////// vous le
x = 9
laissez // en sortant / le travail pour aujourd’hui // ce que vous devez à faire pour
aujourd’hui //////// donc / pour demain //vous finissez /// donc /// les deux exercices
5 (x – 1) – (2x – 1) = 3 – x
qu’on a fait là /// ce sont le numéro //// (p. +70ss) /// alors / numéro quarante sept /
406
le petit c et le petit d / page // soixante dix-sept / numéro quarante sept // petit c / c’est celui-là // et petit b / (52min13.
Coupe de l’enregistrement)
II.1.3 SEANCE CB-010620054A : ORTHOCENTRE
La séance commence avec la révision d’un exercice d’arrondissements qu’on n’a pas transcrit.
1
PROF=CB
2
3
4
5
6
7
E=(C)loé
PROF=CB
E=(O)dan
PROF=CB
O
PROF=CB
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=CB
Es
PROF=CB
Es
PROF=CB
14
E=(R)osana
15
PROF=CB
16
17
R
PROF=CB
18
19
20
21
22
23
E
PROF=CB
E1
E2
PROF=CB
E
(00’28) Nous allons aujourd’hui finir donc / les exercices sur la troncature, les arrondis etc. / parce qu’on ne l’avait pas
fait en classe / on l’avait fait simplement à la maison / et, ensuite / nous allons parler de / géométrie / de droites
remarquables dans un triangle. (00’48 - 07’50) Vous prenez //// le chapitre /// page ///deux cents vingt sept //// (les
élèves cherchent la page et P parle sur une fiche qu’elle va leur rendre. 08’44) Au début de l’année / on avait vu les
médiatrices / donc on va pas le reprendre // comment s’appelle / Cloé /// le point d’intersection des médiatrices d’un
triangle ? ///
Le …/// le point concours /
Le point de concours des médiatrices / comment il s’appelle (P. 12ss) / comment il s’appelle / Odan /
Hein … le point de concours !
Des médiatrices d’un triangle
Des médiatrices // ben / le point d’intersection /
Oui / mais comment il s’appelle le point d’intersection / le point de concours / le point d’intersection plutôt / le point
d’intersection de toutes les médiatrices / les points de concours / elles sont concourantes //// des médiatrices /////
personne le sait /
Non …
(un élève dit : le centre du cercle…) Oui / c’est le centre du cercle …
Circonscrit … ah … (les élèves parlent)
Et dans le triangle rectangle il est …
Au milieu de l’hypoténuse
Au milieu de l’hypoténuse // donc centre du cercle / centre du cercle, ça veut dire / qui est à égale distance des trois
sommets // parce que le point d’intersection des médiatrices / est le point du cercle / circonscrit. / Circonscrit ça veut
dire / qui passe par les trois sommets. / Nous allons voir pour aujourd’hui / les hauteurs / et peut être les médianes /
c’est pas sûr. / Alors, la hauteur / vous avez fait un travail dessus. //// Vous vous êtes aperçus de quoi ? / (p. 12ss) Je
vous écoute. / Quand vous avez fait ce travail sur les hauteurs ? ///////// Oh ! //// Quand vous avez fait ce travail que je
vous rendre / sur les hauteurs // est-ce que vous avez remarqué quelque chose ? //// (certains élèves discutent sur la
question. P distribue la fiche. 12’22) Chaque fois / donc je vous le rend parce que * les yeux ///chaque fois // quand je
vous ai donné / quand je vous ai donné l’exercice là //// (P distribue la fiche. 12’54) / regardez un peu ce que vous avez
fait / et dites-moi qu’est-ce qu’on va faire pour les hauteurs, / aussi bien pour les médianes ? ///// (P distribue la fiche.
13’40) S’il vous plaît, // oh ! / (P distribue la fiche. 14’24) Reprenons les hauteurs / rappelle-moi / ce que c’est une
hauteur / Rosana /
Ben … une hauteur c’est une droite / qui est perpendiculaire au côte d’un triangle et qui passe par le sommet opposé à
ce côté /
D’accord /// je vous avais fait reconnaître / parmi les droites les hauteurs //// et puis après / je vous avais fait la partie /
c’est toujours le même plan / dans la partie de droite / de la feuille / je vous avais fait construire / les hauteurs de
triangles /// et si vous aviez / fait / les dessins /// plus ou moins correct / qu’est-ce que vous avez * / quelle est la
conjecture qu’on peut faire / pour les hauteurs /
(15’15) Ben … ben / elles sont concourantes ! /
Elles sont concourantes // c’est une conjecture / on l’avait jamais démontré / on ne l’avait jamais démontré / on l’a
démontré pour les médiatrices / en passant par la définition de la médiatrice // l’ensemble de tous les points qui sont / à
égale distance d’un segment / et on va le démontrer pour les hauteurs / allez // activité trois / page // deux cents vingt
sept (15’43. les élèves travaillent sur l’activité. P se promenade par la classe en regardant ce qu’ils font et en
discutant avec eux. 22’56) / non mais, c’est pas possible ça // vous avez du travail / (22’08 – 23’36) Ichan / quand vous
avez ça // (P écrit au tableau) fait attention à / il y a écrit que A est l’image de F
L’image de F
Donc, ça veut dire que F //// A /// alors / F a pour image A ///// F a pour image A // F donne A / dans la translation
Qui transforme…
B en C /
A est l’image de F
B // en C // ça veut dire / démontrer ça / ça veut dire qu’il y en a
F a pour image A
Qu’il y en a un
407
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
PROF=CB
Para / llélo / gramme // vous allez démontrer par un seul / parce que par les autres sont les mêmes / parce que le *, il y a
un seul parallélogramme à démontrer / parce que les autres sont la même chose (24’32. les élèves travaillent sur
l’activité. P se promène dans la classe en regardant ce qu’ils font et en discutant avec eux. 28’38. P frappe sa table
avec un feutre) Chut ! / S’il vous plaît, // on corrige en deux minutes ! / (28’43 – 30’33) / S’il vous plaît ! /// (P frappe
plusieurs fois sa table avec un feutre) Posez vos stylos /// le temps de votre recherche est terminé /// c’est votre
problème si vous l’avez passé à bavarder /// (P frappe plusieurs fois sa table avec un feutre) / Le temps est terminé. ///
Silence complet. /// Merci. (au tableau il y a un dessin. Voir figure ci-contre)
/// Donc, // vous allez (affiner) les yeux // donc j’ai marqué bon / on peut les appeler comme on a le droit parce que j’ai
appelé la droite F A / vous l’appelez la droite F E / parce que
F
E
les point F A et E sont (inco*) / j’ai pris F A et B C ////// j’ai
pris F A et B C / et j’ai pris A C et F B pour le besoin du
parallélogramme du premier parallélogramme / d’après les
données //// ces deux premières données /////
ces deux premières données // Valentine / regarde-les / soit sur
la figure du livre / soit sur la figure que tu as faite / qu’est-ce
quelles permettent d’affirmer /// d’après quelle propriété //// ne
D
le récrit pas
E=(Va)lentine C’est un parallélogramme.
PROF=CB
Alors, le quel c’est un parallélogramme /
Va
Hein … F A C B /
PROF=CB
FACB / Quelle est la propriété / Seifilïn / qui permet d’affirmer que F A C B est un / parallélogramme /
E=(Sé)ifilïn
Si un quadrilatère *
PROF=CB
Continue…
Sé
À deux côtés parallèles / les opposés parallèles sont de même longueur /
PROF=CB
Je n’ai jamais démontré qui sont de même longueur /
E
Parallèle
PROF=CB
Alors (E dit une définition, on ne l’entend pas) C’est pas la bonne / c’est pas deux côtés opposés / Odan
O
Si les deux côtés opposés sont parallèles … /////////
E=(M)atilde
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles
PROF=CB
Alors, tu le dis plus fort et un peu moins vite / pour que tes camarades /
M
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles / alors c’est un parallélogramme
PROF=CB
Alors c’est un parallélogramme // le cas disait / si les côtés d’un quadrilatère sont parallèles deux à deux // elle a dit
opposé / donc, c’est parfait aussi / sont parallèles deux à deux c’est un … parallélogramme / et cette propriété-là / on
ne va pas le refaire chaque fois / va me permettre aussi d’affirmer / donnez-moi un autre parallélogramme Pierre / sur la
figure / parce qu’on va pas les faire tous hein …
E=(P)ierre
AECB
PROF=CB
A E C B oui / je l’écrit (P l’écrit au tableau) // A E C B // Qui m’en donne un autre ? /////
O
ACDB
PROF=CB
A C D B (P l’écrit au tableau) /
E
F
D
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
E=(N)eil
PROF=CB
N
PROF=CB
N
PROF=CB
N
N
PROF=CB
N
PROF=CB
N
E
N
PROF=CB
E
PROF=CB
61
E=(S)carlette
408
c’est tout / une fois /qu’on a les parallélogrammes / les translations vont arriver plus facilement //// les translations vont
arriver plus facilement / alors qu’est-ce qu’on demande comme translation / Neil /
Hein …
Quelle est la translation qu’on (N commence à parler)
De F à A
Non / quelle est la translation qu’on … qu’on prend
Ben /de B en C
(Au même temps) qu’on utilise
B en C // B en C // translation de B en C // alors A // F
Donc F
F a pour image A. / Est-ce que c’est vrai ? /
Oui.
Pourquoi ?
Parce qu’ils sont dans le parallélogramme
FABC
Merci.
FA
CB
B C / celui-là / F A C B est un parallélogramme / donc / dans la translation qui amène B en C / F a pour image / A // tu
continues s’il te plaît Scarlette /
/// Alors …
62
63
64
PROF=CB
S
PROF=CB
Quelle est la seconde image / et pourquoi /
Alors / … E l’image de A … ben …
E l’image de A / oui /////// (au tableau)
E
F
D
65
66
S
PROF=CB
67
68
R
PROF=CB
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
PROF=CB
R
PROF=CB
C
PROF=CB
81
82
E
PROF=CB
83
84
E
PROF=CB
85
86
E
PROF=CB
87
88
89
90
P
PROF=CB
Es
PROF=CB
91
92
93
94
95
E
PROF=CB
CB et Es
E
PROF=CB
/// Pourquoi ? /////// Quel est le parallélogramme qui marche là ? /
Ben … A E / B C
Celui-là / A E C B // A E C B est un parallélogramme, donc / on l’a pas démontré mais c’est toujours le même / on va
pas / on va pas refaire / on va pas redire chaque fois // alors / (36’14) regardez ce qui nous arrive / on sait / que dans la
même translation / on a vu ça dans la leçon sur les translations / F a pour image A / A a pour image E // qu’est-ce que
ça veut dire // dans la même translation /
Ben A est le milieu de F E
Très bien /// F a pour image A / A a pour image E / dans la translation qui amène B en
C / donc A // est le milieu // de // F E (P l’écrit au tableau) /// point // alors / allez-y /
pour le dessin / de la question deux // dans le triangle A B C // dans le triangle A B C
E
F
//// tracer la hauteur issue de A / on a vu //// la hauteur issue de A // appelez d cette
droite //// appelez d cette droite // vous devez faire la construction * (37’38) que moi /
moi je le fais à main levée // faites un dessin à main levée oui / ce que vous allez faire
vous // (38’54. les élèves tracent la hauteur. P la fait au tableau. 39’00)
Alors / cette droite d // vous posez vos stylos (P frappe sa table avec un feutre) /// j’ai
tracé / je rappelle / c’est un peu / délicat // j’ai tracé les parallèles / j’ai fait le grand
D
triangle / le triangle initial, il est là / c’est celui-là (P le remarque en rouge)
J’ai tracé dans ce triangle initial / le triangle A B C / j’ai tracé la hauteur issue de A / je
l’ai appelé d /// j’ai /// là, il y a un angle droit / c’est la définition d’une hauteur (P le marque sur la figure)
Là encore, un angle droit / et pourquoi /
Ben … sur F E
Oui / pourquoi /
Parce que comme … F E est parallèle à B C / si une droite est perpendiculaire à ben … je ne sais pas comment dire
Si deux droites sont parallèles
Si deux droites sont parallèles / et ben …
Toute
Toute (autre élève finit la phrase) oui voilà, c’est ça
Alors / c’est ça, mais j’ai pas entendu moi /
Je ne plus le dire … ben …
Alors vas-y / c’est qui / Qui veut le dire ?
Si deux droites sont parallèles / toute perpendiculaire à une / est perpendiculaire à l’autre
Voilà / si deux droites sont / parallèles / elles sont parallèles par définition / par données / toute perpendiculaire à une /
est perpendiculaire à l’autre /// donc là / j’ai un angle droit / on vient de le prouvé / même si on l’a pas écrit ////// que
représente / la droite d / pour le triangle / le grand triangle / pour le petit triangle / c’est la hauteur /// pour le petit
triangle c’est la hauteur / que / réfléchissez avant de parler / que représente la droite d / pour le grand triangle / F / E / D
/// ne dites pas de bêtises / réfléchissez bien avant de parler ////////////// (un élève dit : c’est la médiatrice) c’est la
médiatrice de quoi /
De F E
Alors / cette droite d / je / je l’écris / c’est la hauteur / issue de A / dans A B C (P écrit au tableau) //// et c’est / une
médiatrice /////// de //
FED
De //// la médiatrice de F E // la médiatrice de F E // une médiatrice du triangle F E D / je dirais que c’est terminé //
parce que ce travail qu’on a fait pour la hauteur issue de A / on pourrait faire le même / pour la hauteur issue de C
Et de B
Et de B // on trouverait que la hauteur issue de C / c’est la médiatrice de // Pierre / on trouverait que la hauteur issue de
C / c’est la médiatrice de
De E D
De E D // on trouverait que la hauteur issue de B /
E
F
c’est la médiatrice de F D
c’est la médiatrice de F D // or / je peux la tracer en pointillé /
(P la trace en pointillé)
voilà la hauteur issue de C / c’est la médiatrice de /// D E ///// et qu’est-ce
qu’on sait des médiatrices d’un triangle /// ou qu’est-ce que tu devrais
savoir /
Elles sont concourantes.
Elles sont
D
Concourantes ///
Et le point, c’est le centre du cercle circonscrit.
C’est le centre du cercle circonscrit /// donc ces trois droites / qui sont les trois hauteurs / du triangle / du petit triangle /
409
96
97
Es
PROF=CB
98
99
100
E
CB et Es
PROF=CB
101
102
O
PROF=CB
103
104
R
PROF=CB
105
106
E
PROF=CB
107
108
E
PROF=CB
109
110
111
112
R
PROF=CB
R
PROF=CB
sont les trois médiatrices du grand /// donc, elles sont obligatoirement / con…
…courantes
Donc, je viens de démontrer que les hauteurs du petit triangle / sont concourantes / les hauteurs d’un triangle / sont
concourantes / et ce point de concours a un nom spécial / vous ne le savez / mais / il faut / il faut le savoir // c’est /
l’orthocentre /
L’ortho quoi
L’orthocentre
Ortho // qui veut dire droit / donc c’est pour rappeler le mot hauteur / pour rappeler qu’à quelque part, il y a de l’angle
droit / c’est le point de concours des hauteurs / cahier de leçon ///// cahier de leçon (43’56 – 44’16) cahier de leçon ////
chapitre treize ///// chapitre treize ////// droites remarquables ///// d’un triangle //// premièrement // les hauteurs /////////
théorème /// théorème /////// les trois hauteurs /// d’un triangle //// les trois hauteurs d’un triangle ///// sont //
concourantes /////// les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes ///////////// (46’13) leur point /// de concours //// est
appelé ////// orthocentre /// (au tableau figure ci-contre)
Chapitre 13 : Droites remarquables dans un triangle
ortho /// avec t h / o // c’est un préfix grec qui veut dire
droit // orthogonal / orthopédie / tout c’est / orthographe /
I. Les hauteurs
… //// (les élèves disent eux des mots avec « ortho ») ///
Théorème : les trois hauteurs d’un triangle
orthogonal ça veut dire droit ///// l’orthographe //
sont concourantes : leur point de concours
est appelé orthocentre du triangle.
l’orthophoniste /// tous les / ça veut dire droit / le bon si
vous voulez / orthographe c’est la bonne graphie ////////
orthocentre //// orthocentre // (47’22. la sonnerie sonne) alors /// pour demain ///
Pour lundi
Pour demain (les élèves se demandent entre eux si demain ils ont maths) // vous me ferez // un triangle /// sur le cahier
de leçon ///
Il faut qu’il soit particulier ? //// (P ferme la porte)
Vous me ferez un triangle /// quelconque /// (on n’entend
Chapitre 13 : Droites remarquables dans un triangle
pas) vous faites un triangle /// donc / vous me faites un
triangle // avec trois angles aigus // (P fait le dessin au
I. Les hauteurs
tableau) / un triangle /// avec /// un angle droit // et un
Théorème : les trois hauteurs d’un triangle
triangle avec un angle obtus ///// (P fait les autres dessins
sont concourantes : leur point de concours
des triangles au tableau) et vous me tracerez / l’orthocentre
est appelé orthocentre du triangle.
/ de ces trois triangles ///
Sur le cahier d’exercices.
Sur le cahier de leçon / un triangle // je me répète / un triangle avec trois angles aigus / quelconque / un triangle
rectangle quelconque / avec un angle droit ///
Comment s’appelle l’angle droit
Comme tu veux / je ne sais … E F … / et un triangle avec un angle obtus // chaque fois / consigne // vous me trouvez
l’orthocentre / d’accord /// pour demain aussi //// (P distribue une feuille)
Qu’est-ce qu’on fait ?
La fiche.
Quelle fiche ? /
C’est ce que je vous donne / (les élèves prennent la fiche et sortent. Coupe de l’enregistrement 49’50)
II.1.4 SEANCE CB-020620054A : CENTRE DE GRAVITE
1
2
3
PROF=CB
E=(Na)sahar
PROF=CB
4
5
6
7
8
9
10
11
E=(Cl)oé
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
12
13
14
15
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
410
Hier / qu’est-ce qu’on a fait hier, Nasahara /
On a fait les hauteurs / on a trouvé que les hauteurs sont concourantes en l’orthocentre.
(00’00) L’orthocentre, / je vous avais donné / trois petits dessins à compléter //////// (on n’entend pas les commentaires de P)
donc / les trois hauteurs / plus après (00’33) voilà // les exercices sur les bissectrices //// Alors, (P applaudit deux fois) //////
donc, /// qu’est-ce que vous avez remarqué ? // Cloé, ///// sur le premier triangle, / qu’est-ce que tu remarques /// sur le second
triangle / sur le troisième triangle // en observant ces trois dessins / c’est simplement de l’observation //// Chut ! /// S’il vous
plaît, /// tu as / trois orthocentres.
Oui /
Alors /
Sur le premier dessin / il n’y a rien en particulier ///
Rien de particulier sur le premier dessin. / Après ?
Ben / sur le deuxième / ça se trace … / au milieu de l’angle droit.
Donc, qu’est-ce que c’est orthocentre dans un triangle rectangle /
Ben / c’est l’angle droit.
Ce le sommet qui correspond / c’est pas l’angle droit hein / l’orthocentre c’est un point / donc, c’est le sommet / qui
correspond à l’angle droit / qui est le sommet de l’angle droit / et dans le troisième //// je peux avoir le silence là / et
l’attention de tout le monde / et le troisième orthocentre /
Ben, / le troisième, il est à l’extérieur du triangle.
Donc, / on revient au premier /
Dans le premier, il est à l’intérieur /
Voilà / si les trois angles sont aigus /// si les trois angles d’un triangle sont aigus / donc, l’orthocentre est à l’intérieur du
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
triangle / si /// il y a un angle droit // fini la phrase Camille //
C’est sur … l’orthocentre est sur l’angle droit
L’orthocentre est /
Sur l’angle droit
Sur l’angle droit / plutôt / c’est le /
Le sommet
Le sommet de l’angle /// droit (des élèves disent “droit” au même temps que P) // c’est le sommet de l’angle droit // et si le /
l’angle est obtus /// Valentin /// qu’est-ce qu’il se passe si l’angle est obtus ? / (P fait un commentaire à autre élève)
E=(V)alentin Le point orthogonal est à l’extérieur /
PROF=CB
L’orthocentre, / qu’est-ce qu’il fait l’orthocentre ? /
Es
Il est à l’extérieur.
PROF=CB
Il est à l’extérieur du triangle /// à l’extérieur du //// triangle /// grand deux //// grand deux /// les médianes // les médianes /
donc, vous les avez déjà tracées les médianes (03’07. Les élèves cherchent la fiche où ils ont tracé les médianes. 03’35) //
alors /// dans le cas // où vous ne vous souvenez pas // Mathilde, tu rappelles / tu nous rappelle.
E
Qu’est-ce que c’est une médiane
PROF=CB
Ce qui est une médiane / (un élève essaie de répondre, P le tait) /// alors Mathilde / (04’03. P va à la classe du côté pour les
règles. 04’20) je t’écoute / médiane /
E=(M)athilde C’est la droite qui passe par le milieu de …
PROF=CB
Oui le milieu d’un / le milieu d’un…
M
…d’un côté.
PROF=CB
Oui.
M
Qui passe par le sommet d’un côté opposé.
PROF=CB
Très bien / par le sommet //// sommet opposé // pas du côté opposé // le sommet opposé à ce / côté /// donc, tu commence par
dire / c’est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé ou par le milieu du côté et sommet / et le sommet
opposé à ce côté // alors // cahier d’exercices /// cahier d’exercices // nous allons démontrer // deviner qu’est-ce qu’on va
démontrer / qu’est-ce qu’on va démontrer /
Es
Qu’elles sont concourantes ? /
PROF=CB
Qu’elles sont concourantes ! ///// alors l’activité /// elle est // à la page /// deux cents vingt-sept // activité quatre ////////// deux
cents vingt-sept //// tu lis le texte s’il te plaît / Rosana //// Rosana ///
E=(R)osana Oui.
PROF=CB
Le texte /////////////
R
Encore un concours // tracer un triangle, puis ses trois médianes / émettre une conjecture.
PROF=CB
Bon, ça on l’a déjà fait / (05’51) // on l’a fait avec la fiche / on va pas le faire / conjecture / c’est que les trois médianes sont
concourantes / on l’a fait dans toute la fiche /// continue
R
Le but de cette partie est de prouver que la conjecture précédente est vraie. // Pour cela / soit le triangle A B C ci-contre tel
que / J est le milieu de A C / K est le milieu de A B / G est le point d’intersection de B J et de C K
PROF=CB
Stop // allons-y pour tracer / déjà / le triangle // et ses deux premières
médianes (06’23. les élèves font le dessin. P le fait au tableau aussi)
alors J est le milieu de A C // et K // celui de A B /// J celui de A C (p. 10ss) qu’est qu’on pourrait en déduire tout de suite, là,
Neil, / en regardant cette figure ?
E=(N)eil
K milieu de B A et J milieu de … A … C
PROF=CB
Oui / qu’est-ce qu’on pourrait en déduire / d’après un théorème qu’on a vu depuis longtemps /
E
Ah oui
PROF=CB
Chut!
PROF=CB
K est le milieu de A B // J est le milieu de A C /
Ben que ... A K égal, hein … A K sur A B / est égal à A J sur A C
E2
PROF=CB
Ah bon / tu as des parallèles pour l’instant / toi //
E2
Non mais …
Ah oui … oui / je comprends qu’est-ce que tu veux dire oui / un demie // et à part ça ///
E2
E3
K J parallèle à B C
PROF=CB
Oui // tu te rappelles du théorème
Ben …si une droite passe par le milieu de deux côtés d’un triangle / alors elle est parallèle au troisième coté /
E3
PROF=CB
Voilà / je ne t’ai pas laisser parler / c’était juste ce que tu disais / j’avais pas compris (on comprend pas la suite) // donc, K
dans les données // K est le milieu de A B /// et J est le milieu de
Es
A C (P l’écrit au tableau)
PROF=CB
A C /// bon / A K / est / pardon / C K /// est B J // se coupent en G // (P l’écrit au tableau) //
voilà les données // pour le moment ///// continuons / Lionel /// cette …
continuons le texte /
E=(L)ionel
Il s’agit de prouver que A G est la troisième médiane du triangle A B C /
PROF=CB
Stop!
L
Autrement dit…
PROF=CB
Stop //// il s’agit de prouver // en prenant la lecture / il s’agit de prouver
/ que / cette droite-là // que je ne passe pas pour le moment / est la
troisième médiane / c’est-à-dire / continues
L
Autrement dit / que A G passe par le milieu de I
PROF=CB
Par le milieu I / pas par le milieu de I
L
Par le milieu I.
PROF=CB
Oui.
L
De B C
PROF=CB
De B C. /// Continue.
L
Réaliser la figure / puis placer le point D / symétrique de A par rapport au point G //
E=(C)amille
PROF=CB
C
PROF=CB
C
PROF=CB
411
68
PROF=CB
69
70
71
72
73
74
75
E1
E=(O)dan
PROF=CB
E1
PROF=CB
E1
PROF=CB
76
77
E1
PROF=CB
78
79
E=(A)med
PROF=CB
80
81
E
PROF=CB
82
83
84
85
86
87
88
89
Es
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
O
PROF=CB
90
91
92
93
E=(El)ias
PROF=CB
El
PROF=CB
94
95
96
97
98
99
100
101
102
El
PROF=CB
A
PROF=CB
El
PROF=CB
El
PROF=CB
El
Alors // le point D // symétrique de A // par rapport au / point / G /// allez-y (10’49) le point D /// symétrique // de A /// par
rapport // à G // (P l’écrit au tableau. 11’06 Les élèves le tracent)
Odan, / t’as un compas ? //
Ouais.
Ton matériel ?
J’ai / j’ai l’habitude de faire de l’algèbre /
Ah oui ! / Hier, on a fait de l’algèbre.
Non.
Tu as la mémoire très courte quand même. / (11’36) //// De toute façon, tu peux le faire. /// Donc, c’est pas un dessin d’une
très grande précision, / c’est un dessin sur lequel on travaille / sans problème. Tu peux le faire / avec la règle graduée /
comme on va le faire au tableau /
Oui.
Alors / c’est bon Amed, / tu y arrives ? /// Traduction, Amed / de D symétrique de A par rapport à B. / C’était bien ce que tu
as fait ? /// Donc, qu’est-ce que c’est G ? //
G c’est le milieu de A D.
G c’est le milieu de A D. / Très bien. //// (A était au tableau en traçant AD. Il finit et prend sa place) ///// je te remercie / et le
but / je vous rappelle / c’est de démontrer que ce point-là /
Est le milieu de B C
Oui, / est le milieu de B C /// c’est de démontrer
que ce point, ici, / là (P le signale au tableau) est
le milieu de B C / comme ça on aura démontré
que les trois médianes / ou les trois droites qui se
coupent en ce point / sont des médianes / celle-là
on est sûr / celle-là on est sûr / celle-là on n’est
pas sûr //// la troisième / celle que je mets en
pointillés / pour le moment, je ne suis pas sûre
que c’est une … médiane (des élèves le disent
aussi au même temps) // je l’ai mise en pointillés
exprès / elle passe par G / cette droite passe par G
/ mais pour le moment, je ne suis pas du tout sûre que ce point-là / c’est le milieu de B C / là, j’en sais rien ///// Bon / je vais
quand même à quelque part / la démonstration / (13’05) // Odan // tout le monde a construit le point D / ça y est ?///
Non
Continue //
Je lis /
Oui // on en est à la construction du point D /// tu l’as construit le point D /// Odan
B // recopier et compléter // considérons le triangle A / B // A B D //
Oui continue.
Par hypothèse / (P commence à parler en la coupant)
Ah oui ///// K est le ///// de A / B // G est le milieu de A D // c’est ce que je viens de faire dire à // Amed // etc. /// allez-y ///
essayez de le compléter / vous avez deux trois minutes pour le compléter // au travail /// vous le recopiez / vous recopiez la
démonstration // recopier, hein / moi, je vais le recopier aussi au tableau pour que quelqu’un puisse // venir le compléter /////
pendent que vous le compléter / moi, je le recopie aussi au tableau / (14’09. les élèves le complètent et P le recopie au
tableau. 15’50) / moi // pour ceux qui vont passer au tableau / je vais leur demander / certaines choses en plus / (15’57. P
écrit en rouge la « chose en plus ». 16’52) / le raisonnement analogue de la deuxième question / on le fera oralement ////
qu’est-ce que c’est un raisonnement analogue // que ça veut dire analogue // que ça veut dire analogue // parce que le petit a /
le petit b (un élève dit quelque chose, P n’entend pas et lui
Considérons le ………….. ABD
demande. Il réponse « rien ») et le petit c / c’est grâce à un
Par hypothèse, K est le ……………. de [AB],
raisonnement analogue / démontrer que B G est parallèle à D
G est le milieu de [AD] (car ………………….
C // ben, on le verra quand on arrive //// bon / réfléchissez à
……………………………………………….)
ce que voudrait dire analogue /// quelqu’un veut passer au
Par conséquence, (……) // (……) (rappelle de la →
tableau /// ah non, / tu viens de passer (P le dit à A. En
Or C∈(KG) donc (GC) // (……)
propriété
s’adressant à Elias) allez //// (au tableau)
utilisée)
Je prends le rouge /
Oh, comme tu veux //// alors (17’44)
Considérons le triangle (El écrit « triangle ») A B D / par hypothèse / K est le milieu (El écrit « milieu »)
Il n’y a pas deux L en milieu /// il y en a un seul L // (El en efface une) / voilà /// voilà // K est le milieu de A B / souligne, là,
l’hypothèse / souligne, là, les données / non // dans la donnée /// voilà (El le souligne) // voilà / * bien / c’est bien une donnée
/ par hypothèse (18’15) //
G est le milieu de A D / car …
Ça / c’est Amed qui l’a dit tout à l’heure /// pourquoi / regarde la figure / parce que parce que /
Le point D / est le symétrique de A par rapport à G
Par définition de symétrique / D // regarde le D // c’est le symétrique de quel point ? /
A.
Considérons le triangle ABD
Par rapport à…
Par hypothèse, K est le milieu de [AB],
G.
G est le milieu de [AD] (car D est la ….
G // tu marques / car D…
Symétrie de A par raport G ………….. )
Car (El l’écrit au tableau.
Par conséquence, (……) // (……) (rappelle de la →
P appelle l’attention d’ un élève. 19’09)
Or C∈(KG) donc (GC) // (……)
propriété
utilisée)
412
103
PROF=CB
104
105
106
107
108
109
El
PROF=CB
El
PROF=CB
El
PROF=CB
110
111
El
PROF=CB
112
113
N
PROF=CB
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115
116
117
N
Es
N
PROF=CB
118
119
N
PROF=CB
120
121
122
123
N
PROF=CB
N
PROF=CB
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138
139
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142
143
144
145
Na
PROF=CB
Na
PROF=CB
N
PROF=CB
Na
PROF=CB
N
PROF=CB
Es
N
Es
PROF=CB
N
PROF=CB
Es
PROF=CB
N
PROF=CB
N
PROF=CB
146
147
N
PROF=CB
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154
155
Na
PROF=CB
N
PROF=CB
N
PROF=CB
E=(Pi)erre
PROF=CB
156
Ma
157
PROF=CB
voilà // par rapport // deux p à rapport // deux p à rapport / et D / car D // il faut pas l’écrit comme ça le D / une fois que / fais
attention / parce qu’une fois que …voilà / voilà / c’est D majuscule imprimante / D … est le symétrique / c’est un point // le
// enlève-la / le // symétrique /// le point symétrique // est le symétrique de A par rapport à G / c’est bien / par conséquence /
Il n’y avait pas quelque chose ici ?
Oui / moi, je le / je l’ai fait exprès de l’enlever moi // quelles sont les deux droites qui sont parallèles / regarde ton dessin.
Et ben …
Et quelle est la propriété (P demande un élève de replier ses jambes)
G C et B D
G C … non mais … dans le triangle, c’est pas G C / pour le moment / oui ça sera G C et B D ici / mais, dans le triangle /
regarde dans le triangle
C’est K G.
Voilà // K G et B D /c’est bien // K G et B D // alors rappelle-moi le théorème / un autre plutôt / puisque tu * travaillé / Neil //
le théorème qui me permet / de dire que K G et B D sont parallèles /
(20’36) Ben … dans le … hein … le parallélogramme ?
T’entends parler de parallélogramme pour le moment ? ///// je suis dans un triangle / A B D /// j’ai rappelé que K était le / j’ai
rappelé que K était le milieu de A B // on a rappelé que G / était le milieu de A D / et … Elias / a conclut que K G est
parallèle à B D / je te demande quel théorème a-t-il utilisé ? (21’16)
Je ne comprends pas le point R
Il n’y a pas de R
Le point R
Je ne t’ai pas demandé de faire / de faire une remarque sur l’écriture / je t’ai demandé pourquoi la droite K G / est-elle
parallèle ? //
Quelle droite ?
K G est-elle parallèle à la droite B D ? // Quel est le théorème qui me permet / de dire cela //// parce que si tu étais en train de
bavarder avec Valentin / ça veut dire que t’as fini / l’activité ///////
/// Ah, d’accord, oui // c’est le théorème de Thalès // parce que / K G // on a le petit triangle A K G
Non / c’est pas le théorème de Thalès
Ah bon …
Je suis désolée, / c’est pas le théorème de Thalès / le théorème de Thalès // vu en quatrième / ne permet jamais de dire que
deux droites sont parallèles //// on n’a jamais fait la réciproque du théorème de Thalès / en classe de troisième / hein en classe
de quatrième / c’est réservé au classe de troisième //// Nasahara
Dans un triangle / si une droite est parallèle à un côté et aussi elle est parallèle à (on n’entend pas la suite) //////
Qu’est-ce que / qu’est-ce qu’on en déduit //// par conséquent // on a un parallélisme / alors ///
Alors / dans un triangle // si une droite passe par le milieu de deux côtés // alors elle est parallèle au troisième côté
Voilà (22’56) tu répètes Neil
J’ai pas entendu //
Oh non … elle a parlé assez fort ///// alors, tu y répètes Nasahara
Dans un triangle // si une / droite passe par le milieu de deux côtés // alors elle est parallèle / au troisième côté /
Tu répètes Neil /
Dans un triangle / si une droite est parallèle à un côté…
Non /
Non, passe par le milieu
Passe par le milieu d’un côté / alors, elle est parallèle au second côté.
Au troisième.
Tu le fais exprès là /// et regarde / regarde ce qu’on a démontré /// relis ta démonstration /
Hein … considérons le triangle A B D / par hypothèse / K est le centre de A B
Non // il n’y a pas écrit le centre.
K milieu de …………
Le milieu.
Donc ( ) // ( )
C’est pas trop grave / mais, il n’y a pas écrit le centre /
G milieu de …………
Le milieu de A B / G est le milieu de A D / car D est (P le coupe)
Non ça / oublie-le // K est le milieu de A B // G est le milieu de A D / qu’est-ce qu’on en a déduit /
Ben que K G / est parallèle à B D (au tableau P a écrit)
Donne-moi donc / le théorème utilisé // (p. 18 ss) // s’il te plaît Neil / tu vas pas t’en sortir hein … il faut que tu me le donnes
/
Mais oui … (P dit quelque chose, on n’entend pas) / alors // dans un triangle … ///////
C’est tout ce qu’on a fait en classe / il n’est pas si difficile que ça //////////////// Nasahara / tu veux bien le répéter s’il te plaît /
parce que …
Dans un triangle // si une / droite passe par le milieu de deux côtés // alors elle est parallèle / au troisième côté /
La conclusion / c’est le parallélisme / et il faut passer par le milieu de deux côtés /// alors … je t’écoute /
Dans un triangle // si une droite // passe par le milieu // de deux côtés //
De deux côtés oui
De deux côtés // alors, elle est parallèle au troisième côté.
Elle est parallèle / elle est parallèle au troisième côté // oui
Madame est-ce qu’on peut dire / si les deux droites sont perpendiculaires à une même…
Où est-ce que tu vois que sont perpendiculaire /// où as-tu dans l’hypothèse / dans la donnée // où as-tu que cette droite est
perpendiculaire / (25’54. Pi et P discutent, on n’entend pas) qui a rappelé ce qui était une médiane au début de l’heure / (Ma
enlève le doigt) voilà Mathilde / rappelle-lui / qu’est-ce que c’est une médiane.
C’est une droite qui passe / par le milieu d’un … côté (Ma dit « côté » au même temps que P) /et qui passe par le sommet
opposé de…
Sommet opposé à ce // côté (Ma dit « côté » au même temps que P) en aucun cas / c‘est bien ce / c’est bien ce que je te dis
quand j’ai regardé / ta feuille / tu es en train de confondre / hauteurs et médianes / une médiane en aucun cas / enfin, en aucun
413
158
159
160
161
E
PROF=CB
Es
PROF=CB
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167
168
169
170
171
172
Es
PROF=CB
E
PROF=CB
E=(I)chan
PROF=CB
I
N
PROF=CB
N
PROF=CB
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177
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179
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182
183
184
N
PROF=CB
N
PROF=CB
N
PROF=CB
N
PROF=CB
N
Es
N
PROF=CB
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186
187
188
Ma
PROF=CB
Ma
PROF=CB
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190
191
R
O
PROF=CB
192
193
E
PROF=CB
194
195
196
197
198
E3
E4
PROF=CB
Es
PROF=CB
199
200
Va
PROF=CB
201
202
A
PROF=CB
414
cas / si / il y a un cas très particulier / quand c’est à la fois une hauteur / on le verra plus tard / (un élève dit quelque chose) ///
triangle, oui.
Isocèles…
Isocèles / oui /// une des hauteurs d’un triangle isocèles est aussi médiane parce que c’est son axe de …
Symétrie.
Symétrie // Bon / là, il y a en général / en général / il n’y a pas d’angle droit / d’accord //// par contre /// par contre, donc, // la
droite // K G / parallèle à la droite B C / et comme les points K G C sont alignés / on peut l’appeler / G C / parallèle à /
Hein, ben ….
à B D // trace suivant / tu fais /// petit c /
Grâce à un raisonnement analogue / démontrer que B G est parallèle à D C /
Alors / qu’est-ce que ça veut dire / un raisonnement analogue //// que ça veut dire un raisonnement analogue //
Mobile
Mobile // un raisonnement mobile / (A rit, proche de I) je vois pas pourquoi tu ris /
Un clapé * / quand on met analogue c’est pour tourner (28’13) //// logique
Un raisonnement … dans la même …
Le même … dit moi (N la coupe)
Du même sorte
La même sorte / oui // le même type de raisonnement // un raisonnement du même genre / si vous voulez / l’analogie c’est *
// bon / alors / dans quel triangle // alors / on le fait oralement /// (P appelle l’attention d’un élève) alors / Neil / je t’écoute /
dans quel triangle tu te places /// (N essaie de parler, P continue) on peut démontrer / cette fois-ci / …
Donc, on est dans le triangle A D C
A/
ADC
A D C oui / A D C …
Et donc, on a J le milieu de A C /
Oui
Et G, milieu de A D
Très bien / donc
Si // dans un triangle // une droite passe par le milieu de deux segments //
côtés
Des des des deux côtés / alors, elle est parallèle au troisième côté /
Donc G J / est parallèle à B C / et comme c’est aligné / B G est parallèle à B C /// alors // on continue / Mathilde //// on
continue ///
Déduire de b et de c que // B G C D / est un / parallélogramme
Stop // alors / pourquoi / B G C D // est il // un // pa / ra / llé / lo / gramme ///
Parce que / B G parallèle à D C / et B D parallèle à G C /
Alors, on écrit / G C ///// G C // est B D sont parallèles … /// et B G // parallèle à D C // on sait ça /// (P parle avec on élève) /
or // si un quadrilatère /// Rosana /// finit la phrase /
Si un quadrilatère / à ses côtés parallèles deux à deux / alors, c’est une parallélogramme /
Ses côtés opposés /
Ou alors ses côtés opposés / on peut dire ses côtés parallèles deux à deux / ou ses côtés opposés parallèles /// bon / pour faire
plaisir à Odan / on va mettre côtés opposés /// alors / c’est un parallélogramme // c’est la définition même de
parallélogramme ///// c’est un parallélogramme (31’58) /// donc / ici // B G C D est un parallélogramme ///
Donc, nos ennuis sont finis / bon, nos ennuis / la difficulté // donc, qu’est-ce qu’on voulait démontrer / cette droite en
pointillée-là ? /
*
C’est-à-dire / alors, qu’est-ce qu’on est en train / alors / je vais appeler I / je vais appeler I ce point //// qu’est-ce qu’il faut
démontrer pour I // que ce milieu de B C / il faut démontrer que c’est le milieu de B C /// est-ce qu’on vient de (un élève
commence à parler)
C’est l’intersection d’un parallélogramme
C’est un parallélogramme
Voilà / on sait que dans un parallélogramme / leurs diagonales se coupent en leur /
Milieu
Milieu /// si j’appelle I / l’intersection de G D et / de / B C (« B C » le disent aussi des élèves) /// voilà / comme il termine /
alors / on va terminer // dans un parallélogramme / dans un parallélogramme / Valentine / qu’est-ce qu’il se passe /// qu’estce qui nous intéresse / surtout ça // beaucoup de choses se passent dans un parallélogramme / mais, qu’est-ce que c’est ce qui
nous intéresse ? /
Ben … dans un parallélogramme / leurs diagonales se coupent / en leur milieu /
Les diagonales se coupent // en leur / milieu /// donc, si j’ai appelé I le milieu de // si j’ai appelé I / le point d’intersection des
diagonales / donc I // est le milieu / de // B C // et de A D / bien sûr //// (P écrit au tableau)
Mais non madame / pas le milieu de A D / c’est le milieu de
De G D // j’ai dit A D ?
203
204
A
PROF=CB
205
206
207
208
209
210
211
212
I
PROF=CB
I
PROF=CB
I
PROF=CB
E
PROF=CB
213
214
E
PROF=CB
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Na
PROF=CB
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231
232
E
PROF=CB
E
PROF=CB
Es
PROF=CB
E
PROF=CB
Es
PROF=CB
Es
PROF=CB
Cl
PROF=CB
Cl
PROF=CB
233
234
235
236
Pi
PROF=CB
E
PROF=CB
237
238
E
PROF=CB
239
240
E
PROF=CB
Oui !
(34’08) Excuse-moi // de G D // c’est-à-dire qu’Élias / * s’occupait de choses / qui ne le pas intéressaient ///// de B C et de G
D //// comme disait Euclides // il y a quelque siècles / c q f d /// c’est qu’il fallait / démontrer
Qui
C q f d // c’est ce qu’il fallait démontrer / puisque / puisque / Euclides / ne vous dit rien ?/
Ah, c’est pas/ c’est pas…
C’est un mathématicien … // grec /
Qui est vécu à Athènes /
Pas vraiment à Athènes /// plutôt à Alexandrie / au troisième siècle avant Jésus //
Avant ou après.
Avant // troisième siècle avant Jésus //// donc, (35’10) // alors / ça y est / c’est fait // on a démontré // que la droite / presque *
que G I / G D c’est la même chose que A D / pour être vraiment très précise mathématiquement / il faut vraiment dire que G
D / parce que j’ai dit / G D / c’est la même chose que A D / c’est-à-dire que… c’est la troisième médiane /
Alléluia.
Alléluia / comme dit Élias /// on a // démontré // chut ! / ça y est / un peu d’attention /// on a démontré / que cette droite en
pointillée-là /// passait //// par le milieu I // de B C // donc // je peut pas faire la même … le même symbole (P efface et fait
autre symbole) / par hypothèse /// tu peux te taire s’il te plaît / pour que je fasse la conclusion //// (P appelle l’attention d’ un
élève) donc / on avait / K milieu de A B (36’19) /// on avait J milieu de … A C / donc // B J et C K étaient déjà deux
médianes / je viens de démontrer que / A G / et bien la troisième médiane / parce qu’elle passait par I milieu de / B C /// donc
/ on vient de démontrer que les trois médianes d’un triangle / sont concourantes ///
Le point G s’appelle comment *
Le point G s’appelle le centre de / gravité / c’est un .. c’est un point / qui aura une certaine importance / on verra plus tard /
en physique / parce que c’est un point d’équilibre des solides / c’est un point d’équilibre // il y a une position // il y a une
position / particulière sur chaque médiane / regardez bien au tableau / qu’est-ce que c’était / (37’17) on oublie un peu / tout le
reste de la figure / (P efface une partie de la figure) je voulais simplement /
La première figure
Qu’est-ce que c’est G //
G
Par rapport à A et D
Le milieu
C’est le milieu / donc A G et G D / ont la même longueur /
Oui
Je l’écrit / (P l’écrit au tableau) // qu’est-ce que c’est un (P appelle l’attention à un élève) // qu’est-ce que c’est I //
Le milieu de G D
Le milieu de //
GD
G D ////// (P l’écrit au tableau) ////
Non madame c’est G D
J’oublie (38’40)
Madame / (P n’entend pas) /////
Je l’ai mise en pointillée / j’oublie le point D //// (on n’entend pas ce qui dit P, sauf « c’est vrai que j’ai fait une erreur ») //
(39’35) j’oublie le point D ///// ce qui me situe / le point G / sur la médiane / A I / situe le point G / sur la médiane A I / en
oubliant bien sûr … je l’entends / essaie de réfléchir /////// I est le milieu de G D / donc / GI égal I D / donc G I égal G D sur
deux / G D égal A G /// donc, il faut oublier un peu le point D, hein ! ////
On peut dire que A G, c’est le deux tiers de A I /
Très bien / A G c’est le deux tiers de A I / ou G I
Un quart
Un tiers / un quart … / un tiers / puisque G D / on oublie le point D / le point D c’est quelque chose qu’on a construit pour /
démontrer / donc, à la place de G D / qu’est-ce que je mets là ? /
Ah oui! /
A G // à la place de G D / je mets A G //// donc G I // c’est la moitié
de // A G / donc, ça veut dire que j’ai partagé le segment / A I en
trois / et que pour A G / j’ai pris deux graduations / mais, à partir de
A / ou de graduations à partir du milieu / c’est une façon de
construire le centre de gravité / quand je n’ai qu’une seule médiane /
donc, on partage la médiane en trois / à deux graduations à partir du
point A / ou une graduation à partir du point I / vous prenez le
cahier de leçon ///// (état du tableau : figure ci-contre)
Alors /// théorème (41’44. les élèves prennent le cahier. P
commence à dicter 42’11) Les trois médianes / les trois médianes //
d’un triangle / les trois médianes / les trois médianes / d’un triangle // sont concourantes // les trois médianes d’un triangle
sont concourantes /// deux points // les trois médianes / d’un triangle / il y a écrit concourantes au tableau hein // deux points /
leur point de concours // leur point de concours / leur point de concours / j’écris les mots difficiles au tableau / leur point de
concours // est appelé // centre de gravité // est appelé // centre du gravité // du triangle // point //////// point / alors / vous vous
ferez le dessin (P montre la figure d’une page du livre. 43’38) le dessin // pour lundi // ( un élève pose une question) non, un
seul // de toute façon / le centre de gravité d’un triangle / est toujours à l’inté…
L’intérieur / (il y a du bruit)
Et vous marquerez / oh … et vous marquerez à côté / chut // vous marquerez à côté (la sonnerie sonne. 44’13) sont pas les
remarques / la position des points // figure page // deux cents vingt neuf / figure page // deux cents vingt neuf /// (état du
tableau)
415
cahier du texte / pour lundi (44’17. P dit le devoir pour lundi :
n°16 p. 233, et la séance finit)
II Les médianes
Théorème
Concourantes
concours
Centre de gravité
figure p. 229
II.2 SEANCES A LA CHARGE DU PROFESSEUR NF (4E E)
Comme pour le paragraphe précédent, les cinq transcriptions que nous allons présenter dans ce qui suit sont identifiées par le code de la
référence utilisée dans les extraits montrés dans la thèse.
1
2
3
4
5
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
6
7
8
9
E
PROF=NF
E=(F)rançois
PROF=NF
10
11
F
PROF=NF
12
13
E
PROF=NF
14
15
E=(M)ichael
PROF=NF
16
17
M
PROF=NF
18
19
E
PROF=NF
20
21
E
PROF=NF
22
23
E=(J)on
PROF=NF
24
25
E
PROF=NF
26
27
J
PROF=NF
28
29
J
PROF=NF
416
Est-ce que quelqu’un peut me rappeler les différentes étapes qu’on doit suivre pour résoudre une équation ? // Étape un
Choix de l’inconnu.
Choix de l’inconnu, oui (P écrit au tableau). Étape deux ?
Mise en l’équation du problème.
Alors, étape deux, mise en équation (P écrit au tableau). Étape trois ? (En regardant François, mais c’est l’élève d’à côté
qui répond)
Etape 1 : Choix de l’inconnue
Résolution de l’équation.
Etape 2 : Mise en équation
François ?
…
Etape 3 : Résolution de l’équation
La résolution (P écrit au tableau).
Et enfin, François la dernière étape ?
Hein, hein … conclusion.
Etape 4 : Conclusion
La conclusion, oui (P écrit au tableau)
Bien / je suis dans la conclusion // Vous aviez donc le numéro cinquante six pour commencer. Alors, le cinquante huit ont
est arrivé jusqu’à l’équation. On va le reprendre quand même /// C’était soixante, donc, on est arrivé jusqu’à l’équation
///// et après, on prend le cinquante six (des élèves indiquent que c’était le cinquante quatre au lieu du cinquante six. P
confirme dans son cahier) Cinquante quatre, on l’a fait / cinquante six / alors, on y va pour le soixante, vous aviez un
problème de géométrie // comment ce présente x par rapport au problème / Michael
… (l’élève répond mais on n’entend pas)
Comment présenter x pour le problème? (Un autre élève essaie de répondre mais P le taît) Chut / Michael /// C’était quoi
x pour le problème ? /// On l’avait écrit ///
Le périmètre.
Pas périmètre / regarde la figure / la longueur du rectangle // c’est quoi aussi pour le triangle /// c’est quoi x pour le
triangle ?
La longueur du côté.
La longueur du côté biensûr, bien // Deuxième étape / mise en équation / on l’avait trouvée cette équation aussi / (P
s’adresse à un élève) tu vas me la donner et à quoi elle correspondrait
Deux x plus deux fois sept égale trois x.
Alors pour trouver l’équation on avait dit que le périmètre du rectangle / était égal au périmètre du triangle / ça c’est
l’énoncé si vous voulez // le périmètre du rectangle en fonction de x / comment il s’exprime / Julien, on avait dit quoi /
Deux x.
Deux x ou deux fois la largeur plus // deux fois sept / deux fois la
Etape 1 : Choix de l’inconnu
longueur // et le périmètre du triangle / tu avais dit / trois x / x plus x
Soit x la longueur du rectangle
plus x / que l’on écrit trois x / voilà l’équation (P finit d’écrire au
Etape 2 : Mise en équation
tableau) /
Périm du rectangle = Périm du triangle
Qui vient résoudre cette équation dans l’espace ici /// (certains élèves
2x + 2×7 = 3x
lèvent le doigt) Jon (l’élève va au tableau. P se déplace au fond de la
classe) /// donc, pour trouver * équation peut-être de faire les choses
sans calcul / plutôt que d’écrire deux fois sept déjà / tu pourrais pas
Etape 4 : Conclusion
faire ça /
Ah … oui!
On va écrire quatorze (J écrit l’équation au tableau) ** multiplication / deux x plus quatorze égale trois x / voilà notre
équation / alors, le terme qui n’est pas à sa place c’est quatorze *** un à l’autre / donc, on élève quatorze à chaque
membre (P reprend à l’oral ce qu’est en train d’écrire J) / au lieu de trois x / il y a trois x moins quatorze / ensuite, il y a
un autre terme qui n’est pas à sa place / c’est le terme (J signale avec son doigt « 2x ») / un autre / deux x, il est à sa place /
Trois x.
Donc, il va enlever trois x à chaque membre (J fait le dit au tableau. P s’approche au tableau) ////// il n’a pas enlevé le *
///
Ah!
Alors, plus souvent / premièrement / ce que va donner moins x //// moins x égale quatorze / alors, si moins x égale moins
quatorze / que vaut x (en face le tableau avec J le regardant) //// si l’opposé de x est moins quatorze / que vaut x ?
Quatorze !
Quatorze (J écrit la solution) //// merci (J reprend sa place) /
et voilà, pour la troisième étape /// On va terminer avec la quatrième étape / qu’est-ce qu’il y a Charlotte (l’élève explique
à P qu’elle cherchait son agenda, parce que quelqu’un l’avait pris) / alors // le jeux, ça suffit, ah /// par conclusion / avant
30
31
32
33
34
35
F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
36
37
38
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49
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56
57
E=(M)axime
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
F
PROF=NF
E
PROF=NF
58
59
60
61
E
PROF=NF
E
PROF=NF
62
63
64
65
66
67
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
68
69
70
71
72
73
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
74
75
76
77
78
79
80
81
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83
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
84
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86
87
88
89
E
PROF=NF
E
PROF=NF
F
PROF=NF
de conclure, on va vérifier que ça marche bien / donc qu’il a trouvé que x / ça valait quatorze /// que vaut le périmètre du
triangle équilatéral // si x vaut quatorze / François / si x vaut quatorze, que vaut le périmètre du triangle équilatéral /
Quatorze fois trois.
Et alors / ça fait combien quatorze fois ?
2x + 14 = 3x
Hein … hein … quarante … quarante huit /
2x + 14 – 14 = 3x – 14
Quatorze fois trois //// (P écrit au tableau : 14×3) //
2x = 3x – 14
2x – 3x = 3x – 3x – 14
Quarante deux.
-x = -14
Quarante deux / tu reprends ce nombre-là / le périmètre du
x = 14
tri / du rectangle maintenant
Maxime / le périmètre du rectangle / si x égale quatorze / qu’est-ce que le périmètre du rectangle ///
Vingt huit / non
Comment tu fais pour trouver vingt huit /
Hein comment le …
La longueur, on a trouvé quatorze (autre élève dit quarante deux)
Ah oui … hein!
Qu’est-ce que tu fais comme calcul / pour trouver le périmètre ///// le périmètre du rectangle ?
Eh, oui je sais / ben …
La longueur du contour du rectangle // alors, comment tu la fais // c’est quoi la dimension du rectangle ** de celui-là
Quatorze et sept
Quatorze et sept / voilà / en fait, tu dois les reprendre pour faire le périmètre /
Trente sept
Comment t’as fait ?
Ben … eh ... deux fois …
Alors, deux fois la longueur / deux fois sept / tu retiens // deux fois la longueur.
Vingt huit
Quatorze plus vingt huit
Quarante deux.
Quarante deux / qu’est-ce que tu avais trouvé François pour le périmètre du triangle.
Quarante deux.
Quarante deux / donc, qu’est-ce qu’on a bien pour le périmètre du triangle et le périmètre du rectangle
Sont égaux.
Ça marche / donc, est-ce que quelqu’un peut faire une phrase pour répondre à la question / c’est Maxime qui va le faire /
pour quelle valeur de x le triangle et le rectangle ont le même périmètre //
Quatorze.
Une phrase correcte // tu relis la question // sur le livre (E prend le livre et lit la question)
Trouver la valeur de x de façon que le périmètre du triangle équilatéral soit le même que celui du rectangle
Alors / tu réponds à la question // **** / c’est marqué au tableau / c’est pas des maths ahh / c’est du français ce que je
demande /// pour quelle valeur de x le périmètre du rectangle est égal à **
Quatorze
Une phrase / pas quatorze seulement / une phrase ///
**
C’est le périmètre.
Non.
Bien alors / pour quelle valeur de x le rectangle et le triangle ont le même périmètre // **** // alors Maxime / tu dois
répondre par une phrase / tu as la réponse / tu dois juste faire une phrase /// quel est le problème /// on va y arriver / ah
non, moi //// c’est quoi le nombre ?
Quatorze.
Quatorze / maintenant tu mets ce nombre quatorze dans la phrase réponse /
Hein …
Alors, je commence la phrase / pour que /////
Soit…
Oui / qu’est-ce qu’il faut /// (quelqu’un frappe la porte et parle avec P) bon, alors / Maxime tu as réfléchi maintenant //
pour que / le /
Hein … le triangle soit le même que le rectangle.
Celui du rectangle / oui /// qu’est-ce qu’il faut /////
**
C’est le même / on te demande une réponse sur quelle valeur / sur qui on te demande
Quatorze
Quatorze qui / qui est ce quatorze ?
X
Il faut que quoi alors // pour que…
**
On a dit que le périmètre c’était combien / déjà c’est pas quatorze le périmètre // quand x vaut quatorze / le périmètre vaut
quoi François (en s’adressant à François) // quand vaut le périmètre quand x vaut quatorze /
Ben… //
Allez allez allez //
Ben, quatorze multiplié par trois //
Mais, tu l’as fait tout à l’heure.
Quarante deux.
Quarante deux / Maxime le périmètre est quarante deux / bien, quand on te demande la valeur de x pour que le périmètre
du triangle soit égal à celui du rectangle / il faut que … //
417
90
91
E
PROF=NF
Il faut que x soit égal à quatorze.
il faut que x soit égal à quatorze / oui // c’est tout /// une phrase / en français // donc, voilà le problème soixante /
REVISON D’AUTRE EXERCICE (non transcrit)
92
93
94
PROF=NF
E
PROF=NF
On va passer au chapitre suivant.
C’est quoi ?
C’est la proportionnalité / on va revenir sur quelques choses ** pour commencer à faire l’exercice / et on va aller un
petit peu plus loin // alors, autant que vous terminiez d’écrire la correction / je vous distribue la petite fiche sur laquelle
on va commencer à travailler / et vous commencez à faire l’exercice un / et l’exercice deux / vous avez des tableaux / à
vous de reconnaître si ce sont bien des tableaux de proportionnalité ou pas (P distribue les feuilles) pas des valeurs
compliquées / c’est juste pour se rappeler un peu.
APPAREIL SUR LE TABLE DE DEUX ELEVES (A et B) (travail sur la fiche)
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98
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117
118
119
120
A
A et B
Alors, c’est quoi ?
Proportionnalité (les deux au même temps)
***
B
Alors / comment on va faire / hein ?
A
Il faut multiplier par le même chiffre qui …
B
Non / mais ça, regarde / alors, ça va ?
A
Mais si, regarde / deux fois quatre huit / trois fois quatre douze / et cinq fois quatre vingt
B
Mais si, je te (A le coupe )
A
N’oublie pas la (P dit le prénom d’A pour qu’il baisse la voix) n’oublie pas ** le premier tableau **
B
Non.
A
On peut / c’est quand on multiplie un chiffre par…
B
** Ah, c’est bon, j’ai compris / ça y est (les deux parlent quelques secondes en même temps, on ne comprend pas)
A
Hein … le chiffre … le coefficient de proportionnalité c’est quatre //
B
Ouais ! / Et ben / alors là, c’est quatre / on va l’écrire, là / regarde / oui, on va / (des feuilles qui sont passées) alors //
exercice un / ben proportionnalité / c’est le premier tableau c’est quatre / le premier / et bon la proportion / ** la
proportion c’est quand / quand par exemple / quatre fois
PROF=NF Qu’est-ce que vous multipliez par quatre ?
A
Ben le chiffre qui est / ben … (B le coupe et il commence à parler)
B
Les chiffres qui sont là / deux / trois (A le coupe et il commence à parler)
On peut multiplier / tous les chiffres sont en bas / ça donne ..
PROF=NF Par quoi on le multiplie ?
A
Et ben (en même temps B répond « par quatre »)
B
Par le chiffre qu’on trouve
A
Par quatre.
B
Ben .. Si l’on multiplie ça par quatre, ça fait ça.
PROF=NF Donc, si l’on multiplie le nombre /
A
En bas (P ne s’entend plus)
B
En bas / si, en haut !
FINAL DU TRAVAIL PERSONNEL
121
PROF=NF
122
123
124
125
126
127
128
129
F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
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132
134
F
PROF=NF
F
PROF=NF
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137
138
E
PROF=NF
E
PROF=NF
418
On va regarder ensemble la proportionnalité pour se rappeler un peu de quoi il s’agit / chut / le premier exercice / vous
avez un tableau /// Jon, s’il te plaît, maintenant ///// s’il vous plaît / bien / vous avez des tableaux / vous allez bien / est-ce
que ces tableaux sont des tableaux de proportionnalité / alors, est-ce que quelqu’un peut expliquer / comment on
reconnaît qu’un tableau, si c’est un tableau de proportionnalité // François ?
Par exemple ** / multiplie / eh / par le même nombre **
Alors, on a pas le résultat / je pars d’où / je pars d’où dans ton tableau /
On a que / hein / on a que / deux fois quatre ça fait huit (F essaie de continuer en parlant, mais P commence à parler) /
Donc, je pars du nombre de la deuxième ligne ici / vous vous retournez tous les deux / alors
Deux fois quatre ça fait huit / eh /
On va le trouver ici //
trois fois quatre ça va faire douze (au même temps P dit « d’accord »)
Donc, tu es parti du nombre de la deuxième ligne / et tu as remarqué qu’en multipliant par quatre / tu as trouvé le nombre
de la première
**
Et est-ce que ça te donne une table de proportionnalité /
Mais oui !
Est-ce que ton tableau (F dit « ahh ») est une table de proportionnalité / oui Guardi, s’il te plaît //// donc, ton tableau est
de proportionnalité / on peut le vérifier / en vérifiant que / on peut passer des nombres de la deuxième ligne à ceux de la
première ligne en multipliant par quatre // bien / de ce qu’on vient de dire sur le premier tableau-là / est-ce que le
deuxième tableau / est un tableau de proportionnalité / Adrian // (en voix bas, des élèves disent leur réponse) le deuxième
// oui ou non Adrian /// chut / comment tu le sais /
**
Alors, tu pars de la deuxième / quinze divisé par trois / ça fait…
Cinq /
** / après /
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190
E
PROF=NF
E
PROF=NF
Pareil.
Qu’est-ce que ça veut dire pareil /
**
Si tu divises douze par trois ** quatre / et après // alors (on n’entend pas la conversation entre E et P) / pas un tableau de
proportionnalité / ** de la deuxième ligne à la valeur de la première ligne en divisant / alors, je vais / vous donner la
définition un peu plus exacte / (venait ici) / on va dire que un tableau de proportionnalité si on peut passer des nombres
de la premier ligne à ceux de la deuxième ligne en multipliant par la même valeur / alors / pour le premier tableau /vous
avez passé des nombres de la deuxième ligne à la première / maintenant, je vous demande / de passer de la première / à
la deuxième par une multiplication /// par combien je dois multiplier les valeurs de la première / puis / obtenir les valeurs
de la deuxième ligne par une multiplication / Cindy /
E
**
PROF=NF
Huit divisé par quatre / ça fait deux // par combien il faut multiplier les valeurs de la première ligne (changement du
côté de la cassette) /// diviser par quatre / ça revient à multiplier par combien // diviser par un nombre ça revient à /
Es
A son opposé (plusieurs élèves répondent en même temps)
PROF=NF
** (des élèves rient) Diviser par un nombre / ça revient à…
E
A multiplier // par zéro virgule vingt cinq / (il y a du bruit)
PROF=NF
Et zéro virgule vingt cinq / c’est quoi par rapport à quatre (des élèves parlent) attend /// diviser par quatre / ça revient à
multiplier par /
E
Un quart.
PROF=NF
Un quart / et un quart par rapport à quatre…
E
Son opposé.
PROF=NF
Non //
E
À son inverse ?
PROF=NF
Ah /// donc, quel nombre de la première ligne, on passe comment à la deuxième ligne / en multipliant par / un quart /
zéro virgule vingt-cinq / si tu veux // pour le deuxième tableau / ça marche pour les premières deux colonnes / par
combien il faut multiplier cinq / pour avoir quinze // par combien il faut multiplier quatre pour avoir douze / Jon
J
Un tiers.
PROF=NF
Non.
J
Par trois.
PROF=NF
Par trois / c’est par trois / trois fois cinq quinze / trois fois quatre douze / mais / normalement / huit fois trois ça fait pas
dix-huit / donc, ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité / d’accord / bien // alors, maintenant / vous savez
qu’est-ce que c’est un tableau de proportionnalité on va compléter un tableau de proportionnalité /// exercice deux //
donc, vous avez une situation plus concrète / il me manque savoir à quoi ça correspond ici au tableau // vous saviez par
exemple / chut / qu’est-ce que vous savez d’ailleurs du deuxième tableau / Jonathan /// qu’est-ce que vous donne pour le
deuxième tableau // pour le deuxième exercice / pardon /
E
Il y a des bonbons.
PROF=NF
Il y a des bonbons /
E
Et le prix.
PROF=NF
Et le prix / et qu’est-ce que tu as comme information / au-dessus…
Es
Huit bonbons égal trois (des élèves au même temps)
PROF=NF
Huit bonbons coûtent trois euros / et on te demande / (on n’entend pas si l’élève dit quelque chose) alors, c’est-à-dire /
première chose // première case que tu vas compléter / c’est quoi /
E
C’est le prix en euros.
PROF=NF
Le prix en euros de quoi ?
E
Hein … De six bonbons.
PROF=NF
De six bonbons / alors, comment faire /// pour trouver le prix en euros de six bonbons / sachez / sachant que huit
bonbons / coûtent trois euros / Sophien, on t’écoute /
E=(S)ophien Ben … hein …
PROF=NF
C’est un tableau de proportionnalité / ici, tu ne dois pas vérifier que c’est un tableau de proportionnel / proportionnalité /
on te le dis // alors // comment on le complète /
S
Ben … alors on fait … hein // trois
PROF=NF
Tu sais que huit bonbons coûtent trois euros / alors / on te demande / en utilisant la proportionnalité (S commence à
parler)
S
Ah oui … alors **
PROF=NF
Comment tu sais ?
S
Ben … huit par deux **
PROF=NF
Oui / donc, six bonbons / c’est trois / deux fois moins cher que huit bonbons.
S
Non.
PROF=NF
** a proportionnalité // tout monde réfléchit / c’est Sophien qui est interrogé ** les autres aussi réfléchissent /
S
Ah … ben … deux virgule cinq.
PROF=NF
Pourquoi deux virgule cinq ?
S
Parce que / parce qu’on ** le prix…
PROF=NF
On va où ?
S
De huit à six.
PROF=NF
De huit bonbons à six bonbons on ** bonbons oui
S
** ça fait deux virgule cinq.
PROF=NF
** / comment tu l’as trouvé ce deux virgule cinq ?
S
Hein / ben … (on n’entend pas le dialogue entre P et S)
PROF=NF
D’accord / ça voudrait dire que tu es sûr qu’un bonbon coûte deux virgule cinq.
S
Non mais … ah oui / ah bon !
PROF=NF
Comment tu as trouvé qu’un bonbon coûte deux virgule cinq ?
419
191
192
193
194
195
196
197
198
S
PROF=NF
S
PROF=NF
S
PROF=NF
S
PROF=NF
199
200
E
PROF=NF
201
202
E
PROF=NF
Hein …
Moi / je comprends pas pourquoi tu as enlevé virgule cinq / pourquoi **
** à trois euros **
Et si ça fait zéro vingt cinq / ça va marcher /
Non.
Non /// ça marche pas / **
Ah … ben si!
Cindy, qu’est-ce qu’il faut calculer // le prix d’un bonbon / comment on fait pour calculer le prix d’un bonbon / Cécile,
comment on va faire pour (un élève commence à parler)
Ah / mais c’est pareil.
** C’est pas à lui alors // si vous trouvez le prix d’un bonbon / vous allez trouver le prix par le (il faut multiplier) de la
première ligne / pour avoir ceux de la deuxième / donc, pour la prochaine fois / vous devez compléter le reste du tableau
(les élèves commencent à parler –la sonnerie a sonné) / et vous compléter les tableaux suivants.
Pour quand /
Lundi // pour lundi / on sera le quatre avril.
1
2
3
4
5
6
7
PROF=NF
E
PROF=NF
E=(EL)a
PROF=NF
EL
PROF=NF
8
9
10
11
12
13
14
15
16
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23
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26
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31
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35
36
37
38
420
(00 min) Alors, ceux qui n’ont pas rendu leur devoir vendredi / vous me la rapporter s’il vous plaît.
Madame, vous avez pas de **
Ela /
**
Je vais la corriger comment / alors ?
**
Je la veux dans mon casier (P ramène les devoirs et les met dans l’armoire) / Bien, alors / je vous rends les exercices que
j’avais relevé la dernière fois / (P distribue des feuilles) / et vous reprenez ce que vous avez à faire pour aujourd’hui /
c’est-à-dire, compléter les tableaux / de la fiche photocopiée que je vous avais distribuée // Ela cette feuille-là / j’imagine
** rendre à la maison.
EL
**
PROF=NF
Alors, je ne sais pas si tu as pris des solutions pour ce dernier semestre / mais en tout cas, c’est mal parti // bien / alors,
vous reprenez la fiche sur la proportionnalité / ** si pareil / alors / on va se rappeler un petit peu ce qu’on avait vu /
l’exercice un / si on reprend le premier tableau / Il fallait dire si ça correspond ou non à un tableau de proportionnalité /
qu’est-ce qu’on avait répondu / Jon ?
E=(J)on
Oui.
PROF=NF
C’était un tableau de proportionnalité / est-ce que tu peux expliquer pourquoi c’est un tableau de proportionnalité.
J
Hein …parce que pour passer de huit à deux il fallait hein / diviser par quatre /
PROF=NF
Voilà / pour passer (J continue en parlant)
J
Ou soit multiplier deux par quatre.
PROF=NF
Très bien /De douze à trois / il faillait aussi diviser par quatre / ou multiplier par un quart / et de vingt à cinq il fallait aussi
multiplier par quatre ou diviser par un quart / c’est-à-dire, qu’on passait des nombres de la première ligne à ceux de la
deuxième ligne / en multipliant par un quart / un quart s’appelle le coefficient de proportionnalité // le tableau deux / était
aussi un tableau de proportionnalité / François ?
E=(F)rançois Mais non.
PROF=NF
Non, pourquoi ?
F
Parce que / parce qu’on multiplie le nombre (il y a du bruit dans l’enregistrement, on n’entend pas)
PROF=NF
Alors, par exemple ici /
F
Par exemple, si on veut faire par exemple / quinze pour aller à cinq / on fait (P commence à parler au même temps)
PROF=NF
Alors, c’est plutôt de cinq pour aller à quinze / de la première ligne à la deuxième /
F
On fait cinq // on fait quinze divisé par trois.
PROF=NF
Si je passe de la première à la deuxième ligne /
F
Ah / attend / on fait cinq multiplié par trois / ça fait quinze / on fait quatre multiplié par trois…
PROF=NF
Ça fait douze / mais, par contre…
F
Huit ça va pas.
PROF=NF
Huit fois trois, ça fait pas dix-huit / d’accord / l’exercice deux / on en était-là / il fallait compléter le tableau / alors /// On
a dans une première / ligne le nombre de bonbons / dans une deuxième ligne le prix / et on vous disait que huit bonbons
coûtaient trois euros et on vous demandait quel était le prix de / six bonbons / comment faire / Maximien / comment
faire ?
E=(M)axime Ecoutez / j’ai pas fait.
PROF=NF
Tu as écouté / c’était à faire pour aujourd’hui / mais, tu réfléchis tout suite //// ça de regarder sur le voisin, ça vous servira
à rien / tu essaies de le comprendre /
M
Moi / je ne sais pas.
PROF=NF
On te demande le prix de six bonbons / comment tu peux faire / sachant que c’est un tableau de proportionnalité ////////
alors, Jonathan, est-ce que tu peux l’aider /
E=(Jo)nathan Hein …
PROF=NF
Arrête de discuter.
Jo
Oui je…
PROF=NF
Alors /
Jo
Hein … zéro virgule vingt-cinq.
PROF=NF
Alors, d’où ça vient / ce zéro virgule vingt-cinq
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46
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
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J
PROF=NF
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M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
M
PROF=NF
J
PROF=NF
J
PROF=NF
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J
PROF=NF
E
PROF=NF
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E
PROF=NF
E=(C)indy
PROF=NF
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E
PROF=NF
C
PROF=NF
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E=(Mi)chael
PROF=NF
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Mi
PROF=NF
Es
E=(K)évin
PROF=NF
E
PROF=NF
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Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
J
PROF=NF
J
PROF=NF
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91
E
PROF=NF
En fait / trois euros / hein … / le premier calcul / j’ai divisé trois euros par huit
Diviser trois euros par huit / ça te permet de trouver quoi ça ?
Le prix d’un bonbon.
Le prix d’un bonbon / Et ça fait combien / trois divisé par huit
Zéro virgule vingt-cinq.
Non.
Deux virgule vingt-cinq.
Trois divisé par huit / combien (On n’entend pas ce qui est dit par Jo) / trois divisé par huit / (On n’entend pas ce qui est
dit par Jo) non / Jon (qui avait le doigt levé)
Zéro virgule trois cents soixante-quinze.
Si vous divisez par trois par huit / vous trouvez zéro virgule trois cents soixante-quinze / et après comment tu fais /
Maximien / on a trouvé le prix d’un bonbon / pour trouver le prix de six …
Il faut multiplier.
Alors / qu’est-ce que tu fais comme calcul ?
Ah … zéro virgule trois cents soixante-quinze / fois six.
Oui / alors / tu as compris comment on va trouver le prix de quatorze / bonbons.
Pareil / pareil.
C’est-à-dire…
Zéro virgule trois cents soixante-quinze fois quatorze.
Oui / alors, on trouve combien ici /// on trouve combien // Jon
Cinq virgule vingt-cinq.
Pardon!
Cinq virgule vingt-cinq
Cinq virgule vingt-cinq / est-ce que quelqu’un a une autre idée pour trouver le prix de ces quatorze bonbons ///// oui ////
alors, réfléchissez / comment / autre mode / autre mode pour trouver le prix de quatorze bonbons / comment ///// C’est
quoi, là, pourquoi est-ce que tu me regardes là, comme ça / c’est pas là où il faut regarder / c’est ici /// Jon !
On fait quatorze divisé par deux.
Hein … // personne a une idée /
De quoi ?
Pour trouver le prix de quatorze bonbons / autrement que par / que en passant par le prix d’un bonbon / d’après ce qui est
écrit ici /
Ah oui … madame (un peu plus de bruit)
Cindy.
C’est huit bonbons plus six bonbons c (P commence à parler au même temps)
Et oui / quatorze bonbons, c’est huit bonbons plus six bonbons / alors, ça sera le prix de huit plus le prix de six // c’est une
autre façon d’y arriver / bien / que représente le zéro virgule trois cents soixante-quinze pour ce tableau /
Un bonbon.
C’est le prix d’un bonbon oui / et c’est autre chose aussi pour ce tableau /
Le coeffi / cient de proportionnalité.
Cindy / c’est le coefficient de proportionnalité / c’est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première ligne
pour trouver ceux de la deuxième / alors, il faut * ça / pas difficile de compléter / à terminer ce tableau / pour / trente deux
bonbons / quel va être le prix / Michael /
Trente deux fois / zéro virgule trois cents soixante-quinze /
Oui / et on va trouver // douze // est-ce qu’on peut faire autrement ici / par rapport aux valeurs précédentes qu’on a trouvé
/
Eh oui …
Oui … / Kévin /// est-ce que trente deux on peut le trouver par les valeurs d’avant-là ?
Oui / non (Plusieurs élèves)
Hein, non!
Non /// trente deux c’est combien de fois huit.
Quatre.
Quatre fois / alors, ça sera / le prix / ça sera aussi quatre fois plus cher que celui de huit bonbons / puisqu’il y a
proportionnalité // alors, ensuite, on vous demande / combien de bonbons il faut acheter pour / neuf virgule soixantequinze // euros / comment on fait / Michael
On divise par zéro virgule trois cents soixante-quinze.
Voilà on remonte / on va diviser par le prix / d’un bonbon / et on trouve…
Vingt six.
Vingt six et enfin / combien / achetons-nous de bonbons pour onze / euros vingt-cinq ?
Trente.
Comment tu fais / Jon.
Hein … onze virgule vingt-cinq divisé par zéro trois cents soixante-quinze.
onze virgule vingt-cinq divisé par zéro trois cents soixante-quinze / bien / donc / une façon de compléter un tableau de
proportionnalité c’est de trouver le coefficient de proportionnalité / qui correspond ici au prix d’un bonbon / en divisant la
valeur de la deuxième ligne / par la valeur de la première // alors, on va voir une deuxième méthode qui est aussi rapide //
et qu’on va réutiliser plus tard dans un deuxième chapitre / Jonathan, s’il te plaît /// alors, je vais reprendre cette valeur là /
d’accord / je vais essayer de retrouver cette valeur-là / d’après ce qu’on appelle le produit en croix / est-ce que vous avez
entendu parler / en physique / par exemple?
De quoi ?
Du produit en croix / on en n’a pas parlé en physique (il y a du bruit) / alors / regarder ici / chut / ces quatre valeurs / je
vais retrouver onze virgule vingt-cinq / donc, on doit imaginer que je ne le connais pas / d’accord / il faut bien * être dans
une situation de proportionnalité / trouver une valeur comme ça / quand on connaît les autres trois valeurs / ça s’appelle /
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E=(S)ophian
PROF=NF
S
PROF=NF
S
PROF=NF
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M
PROF=NF
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E=(El)a
PROF=NF
El
PROF=NF
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Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
E
Es
E
PROF=NF
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E
PROF=NF
E
PROF=NF
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E
PROF=NF
E
PROF=NF
J
PROF=NF
J
PROF=NF
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E=(A)drian
PROF=NF
A
PROF=NF
C
PROF=NF
F
PROF=NF
El
PROF=NF
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141
Es
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
422
le quatrième proportionnelle / alors, je vais tracer une croix / ici // et on va regarder comment on a fait pour trouver cette
valeur-là / comment vous aviez fait tout à l’heure pour trouver cette valeur-là ///
Ah ben … ah ben, là !
Sophian, comment on avait fait pour trouver cette valeur-là.
Ah … on a … on a multiplié par …
Six on l’avait…
Multipliée
Multipliée / par zéro trois cents soixante-quinze / d’accord / mais ce zéro trois cents soixante-quinze / comment on l’avait
trouvé / Maximien ?
Trois divisé par huit.
Donc / au lieu d’écrire zéro virgule trois cents soixante-quinze / je vais écrire trois divisé par huit /// alors / qu’est-ce
qu’on a fait / on a commencé par diviser par huit et après on a multiplié par six / ici, vous avez une multiplication et une
division / il n’y a pas priorité opératoire / donc, ça veut dire que les parenthèses / je peux les mettre où je veux et je choisi
de faire le contraire / ça veut dire / de commencer par le produit / si vous regardez par rapport à ce que j’ai écrit ici / on a
trouvé cette valeur-là / on fait six fois trois / divisé par huit / donc pour trouver la quatrième proportionnelle avec le
produit en croix // on va mul... / on va faire une croix / comme ça / on va multiplier les deux valeurs / qui sont reliées une
à l’autre par / le trait de la croix / et on va diviser par le troisième / et ça marche pour tous / ça / et on trouve deux virgule
vingt-cinq / par exemple / si j’avais à trouver / cinq virgule vingt-cinq / avec le produit en croix / qu’est-ce que j’aurais
fait / comme calcul /
Quatorze fois…
Ela.
Quatorze fois trois divisé par huit.
Quatorze fois trois divisé par huit / mais, on peut aussi le faire avec celui qui était juste avant / c’est-à-dire / quatorze fois
deux virgule vingt-cinq / divisé par six / et on trouve directement le résultat / comment on fait pour trouver ce vingt-six,
là // Michael ?
Vingt-six fois trois divisé par (P commence à parler)…
Non, on cherche vingt-six / on le sait pas.
Hein (on n’entend pas ce qui est dit par lui)
Pardon / j’ai pas entendu ce que tu as dit.
Neuf virgule soixante-quinze
On ne sait pas qu’est-ce qu’il y a (P s’adresse à d’autres élèves) / neuf virgule soixante-quinze
Hein … divisé par huit.
Non, fois huit (plusieurs élèves)
Non / non / fois huit (P dit au même temps « fois huit »)
Divisé par trois / et on trouvera ce qui était ici / vingt-six / ou alors / on peut le faire avec ce qui était juste avant / neuf
virgule soixante-quinze fois trente divisé par douze / d’accord / de ça, on va s’en servir dans un prochaine chapitre / ça
permet d’aller plus vite pour / pour trouver…
Madame.
Pour trouver la valeur.
Et on pourra faire neuf / neuf virgule soixante-quinze multiplié par trois.
Bien sûr / il faut que vous ayez trois valeurs / et vous cherchez la quatrième / on cherche la quatrième proportionnalité /
on fait une croix / on multiplie des valeurs qui sont reliées par le trait / et on divise par la troisième / voilà / alors /
maintenant, on va passer à la suite / donc, vous aviez / à compléter trois tableaux / on va regarder ensuite qu’est-ce qu’il
se passe / quand on est dans une situation de proportionnalité / alors / je vais effacer ce qui est au tableau / je vais hein …
/ (il y a du bruit) / est-ce que quelqu’un que me dit à quoi correspondait le premier tableau / de l’exercice trois.
//// Périmètre d’un carré.
Périmètre d’un carré / quand on connais le côté de ce carré-là /
Oui //
Vous voyez à peu près, là / oui / alors, qui peut me dire / quand le côté vaut deux / que vaut le périmètre // Jon
Huit.
Huit / comment tu as fait /
Hein … quatre fois deux.
Quatre fois deux / la longueur du côté // Quand le côté vaut trois / Adrian / quand le côté vaut trois / on trouve quoi / pour
le périmètre /
Douze.
Comment tu as fait ?
Trois fois quatre.
Trois fois quatre / quand le côté vaut quatre // Cindy ?
Seize.
Seize / quand le côté vaut cinq / François ?
Vingt.
Cinq fois par quatre / Ela / quand le côté vaut six /
Hein … vingt-quatre ?
D’accord / donc, ce qu’on devrait trouver pour le premier tableau / alors on va répondre / tout de suite / à cette question-là
/ est-ce que c’est un tableau de proportionnalité /
Oui / non (plusieurs élèves)
Madame / madame / on s’est trompé / c’est pas quatorze / c’est douze.
Douze / oui /// est-ce que c’est un tableau de proportionnalité /
Oui.
Oui / quel est le coefficient de proportionnalité /
Fois quatre.
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PROF=NF
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E
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F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
E
F
PROF=NF
F
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E=(L)eticia
PROF=NF
J
PROF=NF
Es
L
PROF=NF
Ex
PROF=NF
Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
J
PROF=NF
J
Es
PROF=NF
J
Es
J
PROF=NF
Es
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El
PROF=NF
E=(T)hibaut
PROF=NF
T
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Es
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mu
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
201
202
Es
PROF=NF
Quatre / c’est pas fois quatre / c’est quatre / est-ce que vous pouvez me dire / comment on trouve / le périmètre quand on
connaît le côté // le côté, j’appelle x / ici // comment vous trouvez le périmètre /
Le périmètre ben…
En fonction de x / François…
On fait x plus x fois deux.
Comme ça, tu as trouvé le huit, le douze, le seize et le vingt.
Ah non, on fait / x plus / x / et après, on multiplie par deux et on prend (on n’entend pas la fin)
Comment tu fais pour trouver le périmètre du carré quand tu as la longueur de son côté ?
En multipliant par quatre.
Donc, le côté vaut x / que vaut le périmètre ?
Ben … quatre fois plus.
Quatre fois x.
Quatre fois x.
Quatre fois x / ça s’écrit comment / plus simplement / quatre fois x
Ben … quatre x (F et P au même temps)
Voilà / le périmètre c’est quatre fois la longueur du côté / quatre fois x // alors / maintenant on va passer à l’aire / c’est
quoi la formule de l’aire d’un carré / Leticia / comment on trouve l’aire d’un carré ?
Côté fois côté.
Côté fois côté.
Ou côté au carré / c’est pareil.
Ou côté au carré / quand le côté vaut deux / ça fait combien / Leticia ?
Quatre.
Quatre.
Quatre / quand le côté vaut trois.
Neuf.
Trois fois trois neuf / quand le côté vaut quatre.
Seize.
Seize / quand le côté vaut cinq / l’aire vaut…
Vingt-cinq.
Vingt-cinq / et quand le côté vaut six / l’aire vaut /
Trente-six
Trente-six / je vais l’écrire (P écrit au tableau qu’elle a fait antérieurement les valeurs dites par les élèves) / voilà /
C’est pas un tableau de proportionnalité !
Est-ce que c’est un tableau de proportionnalité ?
Pas du tout.
Non.
Non / pourquoi ?
Ben … parce que / hein …
C’est pas le même … (de bruit)
On multiplie pas par le même…
Valeur / de deux pour passer par quatre / on multiplie par…
Deux (P et des élèves)
Alors, que de trois pour passer à neuf / par trois //ce n’est pas la peine d’aller plus loin / on multiplie pas par la même
valeur pour passer de la première ligne à la deuxième // est-ce que ça vous dérange ça / de parler en même temps que moi,
là (la voix de P monte) Quand en plus on se permet de ne pas faire tout à fait le travail pour aujourd’hui / tu (a chien) de
dire que c’est quand même pas difficile / quand on vous demande de répondre à une question / tu réponds pas / alors, tu
arrêtes de parler / ça vous dérange pas / alors, on continue / dernier tableau à remplir / est-ce quelqu’un peut lire / la façon
où il faut remplir le tableau / Ela /
Ben … un chauffeur de taxi fait payer deux euros par kilomètre et / une prise en charge de six euros /
Alors / si on parcours deux kilomètres / avec ce tableau-ci combien doit-on payer / Thibaut ?
Hein … dix euros /
Dix euros / est-ce que tu peux expliquer comment tu les as trouvés / ces dix euros ?
Ben … là / hein / un kilomètre est égal à deux / ça fait quatre / plus une charge de six euros / ça fait dix /
Voilà / quelque soit le nombre de kilomètres parcourus, on doit déjà payer six euros // donc / six euros ça fait pour tout /
et après, deux fois deux euros / qui fait quatre euros / six plus quatre / ça fait dix / combien devra-t-on payer / pour trois
kilomètres /
Douze.
Michael / tu peux expliquer comment tu as trouvé le douze /
Hein, il faut / ben … le supplément quatre / plus six.
Voilà / le supplément six euros et / quatre /
Plus six.
Quatre et six / ça fait dix chez moi // alors six / il y a six euros ici et d’où vient l’autre six /
Hein … (plusieurs élèves discutent la réponse)
D’où vient l’autre six /// Michael ?
La charge /
La charge d’accord / six euros / mais les autres / viennent d’où /
Trois fois deux.
Trois fois deux / deux euros par trois kilomètres / deux euros par kilomètre ça fait six / bien les douze je l’écrirais après /
bien, pour quatre kilomètres parcouru / on va payer combien alors /
Quatorze euros.
Quatorze euros / pour cinq kilomètre parcourus / Sophian /
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Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
F
PROF=NF
Seize.
Seize / et pour six ?
Dix-huit.
Dix-huit / je l’ai écrit (P commence à écrire tous les réponses)
Madame / madame / j’suis pas sûr d’avoir compris / comment on fait pour trouver / le * truc, là /
Alors / est-ce que quelqu’un peut expliquer comment on fait pour trouver par exemple / le prix de cinq kilomètres /
Charlotte /
E=(C)harlotte On fait deux fois cinq / parce que / deux par kilomètre, ça fait dix euros / donc deux fois cinq.
PROF=NF
Deux euros par kilomètre / et il y a cinq kilomètre.
C
Et après, comme il y a une charge de six euros / ça fait seize euros.
PROF=NF
D’accord / est-ce que c’est un tableau de proportionnalité /
E
Ouais /
Es
Non.
Es
Mais non.
PROF=NF
Deux fois combien il y a dix ?
Es
Trois cinq.
PROF=NF
Est-ce que trois fois cinq…
Es
Non.
PROF=NF
/ Même pas la peine d’aller plus loin / en multipliant toujours la même valeur pour passer de la première ligne à la
deuxième ligne // d’accord / bien on va passer / à la suite / aux représentations graphiques / alors / on va représenter les
trois tableaux dans les trois repères qui sont ici / on va / d’abord on va rappeler un peu le vocabulaire / ce que j’ai
représenté ici / ce sont des repères // un repère / ce sont deux droites graduées / de même origine / est-ce que vous pouvez
me rappeler comment s’appelle la droite horizontal // horizontal ici (P signale tout au loin la droite horizontal qu’elle a
dessiné au tableau) / comment s’appelle la droite horizontal / Adrian ?
Es
Les ordonnées.
PROF=NF
Non / c’est les abscisses /// (P écrit au tableau le nom; au niveau de la droite qu’elle avait signalé)
Es
Voilà ce que je voulais dire / les abscisses.
PROF=NF
Et / verticalement ils s’appellent…
Es
Les ordonnées.
PROF=NF
Ordonnées / l’abscisse ordonnée / d’accord // la même origine des droites graduées / qu’il s’appelle aussi l’origine du
repère / on vous a / marqué les / les unités sur l’axe droite abscisse et sur l’axe ordonnée et on va placer les points / alors /
je vous dis comment on fait la démarche et ensuite, vous allez, tous seuls / on écoute // sur le premier tableau / on va
représenter la première situation / c’est-à-dire // le périmètre / d’accord / en abscisse / vous allez marquer les valeurs de x
/ et en ordonnée / qu’est-ce que c’était les valeurs / repré (F commence à parler)
F
«y»/«y»
PROF=NF
« y » ça correspond à quoi « y » /
F
Ben … aux ordo…
E
Au périmètre.
PROF=NF
Au périmètre / quelle était / quelles étaient les premières valeurs que vous aviez / dans le premier tableau / Jon
J
Deux fois *
PROF=NF
Non / quelle valeur de x et quelle valeur de y correspondantes ?
F
Madame / madame…
J
Le côté c’était deux / le périmètre huit.
PROF=NF
Voilà / lorsque x, il valait deux / y / le périmètre, il valait / huit (des élèves disent huit en même temps que P) / le un est ici
et le deux est là (P signale sur le repère au tableau) / on est d’accord / en ordonnée / deux, quatre, six, huit / le huit, il est
là (P signale sur les ordonnées chaque nombre) / d’accord / donc / où x vaut deux // quand x vaut deux / vous avez le
périmètre // qui vaut huit / vous avez un point / ici / d’accord (P finit de tracer les pointillés correspondants aux
coordonnées pour trouver le point, où elle dessine une croix) / ensuite / quand x valait / quelle était l’autre valeur suivante
de x /
Es
Trois.
PROF=NF
Trois (P signale le nombre sur l’axe ) / que valait le périmètre ?
Es
Douze.
PROF=NF
Douze / donc / huit dix douze (P signale sur les ordonnées chaque nombre) / vous aviez la deuxième croix ici / d’accord
// alors vous complétez votre premier graphique / le deuxième graphique vous le faite pour le deuxième tableau / et le
troisième graphique pour le troisième tableau / allez-y, vous placez vos points /// les tableaux, vous les avez recopiés / et
vous placez vos points /// (23min 40) /// (les élèves tracent les points. Pendant, P se déplace dans la classe en regardant
le travail des élèves) /// (25min 11) /// je vous rappelle qu’en mathématique, on fait pas de gros points / on fait des
croix /// (26min 15) /// ne reliez pas vos points / c’est pas écrit / on vous demande de placer les points / et faites les deux
autres tableaux /// (30min 10) /// Ela, tu viens de faire celui-là (P indique le premier graphique) /// il suffit d’aller au
tableau et de placer / ben le deuxième graphique / vous allez placer la valeur neuf / la valeur neuf, elle est entre le huit et
le dix / (un élève demande à P quelque chose) avec sept aussi, oui / d’accord / alors ,qui n’a pas fini encore, là / on se
dépêche //// (31min 30) /// ensuite, il faut réfléchir à la deuxième question / c’est-à-dire / comment ensemble / être / les
points / qui représentent une situation de proportionnalité (les élèves disent leurs réponses) chut / pour l’instant, on
réfléchit ////// et alors / d’abord, dans quel cas / il y avait de la proportionnalité / (plusieurs élèves parlent en même temps)
on élève le doigt / s’il vous plaît // Kévin / dans quel cas, il y avait de proportionnalité ?
K
Dans le premier tableau.
PROF=NF
Dans le premier tableau / donc, dans le premier graphique / d’accord // les points du premier graphique / ici, ils sont
comment les uns par rapport les autres /
Es
Alignés (plusieurs élèves répondent)
PROF=NF
Alignés / qu’est-ce que ça veut dire alignés /
Es
Ils sont sur la même ligne.
246
247
248
249
Es
PROF=NF
E
PROF=NF
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255
256
257
258
259
260
261
C
PROF=NF
Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
C
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
262
263
C
PROF=NF
264
265
266
267
268
K
PROF=NF
Es
K
PROF=NF
269
270
J
PROF=NF
271
PROF=NF
272
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274
275
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278
279
C
PROF=NF
C
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
Ils sont sur la même droite.
Sur la même…
Sur la même droite.
Sur la même droite / et non pas sur la même ligne // si je prends la règle / et je la positionne / on voit bien il y a / qu’il
existe bien une droite qui passe par ces points-là / dans le deuxième graphique / est-ce que les points sont alignés / non /
on peut pas trouver / avec ma règle / une droite qui passe par tous les points / ça marche pas / dans le troisième graphique
/ est-ce que les points sont alignées / Charlotte ?
Oui.
Oui / je peut trouver / la droite / qui passe par / ces points-là / est-ce que le fait de dire qu’il sont alignés…
Non / non / non !
/ suffit de dire pour // une situation de proportionnalité…
Non.
Charlotte /
Non.
Chut / est-ce qu’ici on avait une situation de proportionnalité /////
Non (un élève pose une question / on n’entend pas)
Un morceau c’est-à-dire (on n’entend pas) / est-ce que c’est une situation de proportionnalité là ?
Non.
Là / le troisième tableau ///// les valeurs, on les avait / dans le premier cas / deux dix / trois douze / on avait dit que c’était
pas une situation de proportionnalité /// dans le premier cas / où il y a de proportionnalité / est-ce que les points sont
alignés là / Charlotte /
Oui.
Oui / ben / ça suffit pas de dire que les points sont alignés ///// et, ce, pour tout le monde // donc / dire que les points sont
alignés / ça ne suffit pas / alors / qu’est-ce qu’il y a en plus ici / qu’il n’y a pas là /// donc, ici, les points sont bien alignés /
je mets la règle /// qu’est-ce qu’il y a en plus ici / les points sont alignés et là-bas aussi / mais pourtant il y a qu’ici / qu’il
y a de la proportionnalité /qu’est-ce qu’il passe en plus ici //
C’est que / c’est que / au tableau / au tableau / le début de la droite / il commence à / il commence à zéro.
Voilà / comment ça s’appelle / ce zéro pour le repère /
L’origine.
L’origine du repère.
L’origine / non seulement les points, ils sont alignés / mais, ils sont alignés avec l’origine du repère / si je veux tracer la
droite / qui passe par ce point / je peux //// (P trace la droite au tableau) et la droite elle passe par l’origine / là-bas, je
peux aussi tracer la droite / (P trace la droite au tableau) mais, cette droite / elle ne passe pas par l’origine du repère /
d’accord / et ici / est-ce que je peux tracer une droite ?
Non.
Non / ici c’est une
Chap 9. Proportionnalité
courbe qui n’a
même
pas
/
A. Définition et représentation graphique
constituée de petits
Définition :
Un tableau représente une situation de proportionnalité lorsqu’on obtient les valeurs de la 2eme ligne à
segments / bien /
partir des valeurs de la première ligne en les multipliant toujours par le même nombre, non nul, appelé
alors / ce qui va
coefficient de proportionnalité.
être à retenir de
tout ça / c’est que
Exemple :
vous
pouvez
repérer
une
x
4
6
8
situation
de
y
2
3
4
proportionnalité
graphiquement
/
quand vous voyez des points / qui sont alignés / avec l’origine du repère / d’accord // et alors, on va le marquer dans
quelle courbe / définition d’une situation de proportionnalité et représentation graphique / donc vous prenez votre cahier
de cours / c’est un nouveau chapitre / /// (36min 06) ///// cahier de cours // c’est un nouveau chapitre ///// donc chapitre
neuf /// proportionnalité //// en rouge // première partie / grand a / définition et représentation graphique ///// définition et
représentation graphique soulignées /// et on commence par la définition // Sophian, tu fermes ta fenêtre // (P demande
quelque chose à S. Il répond mais on n’entend pas) non /// donc vous écrivez / un tableau représente une situation de
proportionnalité //////// lorsqu’on obtient ///////// les valeurs de la deuxième ligne /////// à partir ///// des valeurs de la
première ligne ////// en les multipliant par le nombre qu’on appelle coefficient de proportionnalité /////////// / alors ce
nombre / qui est le coefficient de proportionnalité / est non nul (P écrit tout au tableau) ///// on va donner un exemple / de
tableaux de proportionnalité /////////////// alors comme je l’avais fait pour les tableaux de la fiche que je vous avez
distribuée / les valeurs de la premier ligne je vais les appeler x / les valeurs de la deuxième ligne, je vais les appeler y
/////// voilà le tableau que je vous propose (41min 03) //////
Cynthia / est-ce que ce tableau que j’ai représenté / est un tableau de proportionnalité /// est-ce que je peux passer des
valeurs de la première ligne à ceux de la deuxième ligne ?
Oui.
En multipliant par combien /
Par deux ?
Alors / si je passe de la première à la deuxième ligne non / car quatre fois deux / ça fait pas deux ///
Diviser par deux.
Diviser par deux / mais là, je veux une multiplication // voilà, c’est quoi / Ela
Hein … par un demi.
Oui / quatre multiplié par un demi / ça fait deux // six multiplié par un demi / ça fait trois // huit fois un demi // quatre / un
demi c’est aussi zéro virgule cinq /// donc je passe des valeurs de la première ligne à celles de la deuxième ligne en
425
280
281
282
283
284
285
286
C
PROF=NF
C
PROF=NF
Es
C
PROF=NF
287
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289
290
291
292
293
294
295
296
F
PROF=NF
F
PROF=NF
A
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
297
298
299
300
301
302
303
304
305
E
S
PROF=NF
S
PROF=NF
C
PROF=NF
C
PROF=NF
306
307
308
309
310
311
312
313
C
PROF=NF
C
PROF=NF
C
PROF=NF
C
PROF=NF
multipliant toujours par le même nombre / dans ce cas, un demi / zéro cinq / soit un demi ou zéro cinq // c’est ce qu’on
appelle un coefficient de proportionnalité //Je vais l’écrire ici /// ce tableau est un tableau de proportionnalité ///////
Cynthia / le coefficient de proportionnalité c’est //
Un demi.
Un demi // le coefficient /// proportionnalité ///// c’est un demi /////// comment on fait pour le trouver / Leticia / Charlotte ?
Ben … parce que c’est l’opposé de deux.
C’est pas l’opposé de deux / l’opposé de deux c’est moins deux /
L’inverse.
L’inverse.
Donc, diviser par deux / ça revient à multiplier par un demi, oui / maintenant, de façon générale / comment on fait pour
trouver un coefficient de proportionnalité / comment on en fait pour le bonbon par exemple /// François ?
On avait fait /
François, c’est pas pour compléter le tableau / c’est pour trouver le coefficient /
On avait fait … hein … on avait fait diviser par … hein … diviser par trois.
Oui alors / on avait fait / trois divisé par huit / ça revient à faire quoi ici / oui // Adrian ?
y divisé par x
Voilà / on avait divisé la valeur de y par la valeur de x / on peut faire aussi avec la deuxième / colonne / ça serait
Trois divisé par six.
Trois divisé par six / pour la deuxième colonne.
Quatre divisé par huit.
Quatre divisé par huit / alors, j’ai marqué le divisé souvent en forme de fraction / c’est-à-dire qu’on lieu d’écrire deux
divisé par quatre / je vais écrire deux sur quatre /// quelle est la fraction associé à la deuxième colonne // Sophian ?
Sophian ?
Trois sur six.
Trois sur six.
Quatre sur huit.
Et quatre sur huit // qu’est-ce que je peux dire de ces trois / fractions / ces trois quotients // Cindy ?
Hein /// quelles sont égales à…
Quelles sont égales / et elles sont égales à
A un demi
A un demi //// donc, pour vérifier si vous avez un tableau de proportionnalité / il vous suffit de diviser les valeurs d’en bas
par les valeurs d’en haut / dans chaque * et bien vérifier qu’elle est la même valeur /// alors, on a une relation qui nous
permet de trouver les valeurs de y quand on a les valeurs de x // comment faire pour trouver la valeur de y / quand vous
avez x / il suffit de faire quoi quand vous avez la première ligne pour aller à la deuxième ligne // Cindy ?
x fois.
x fois / si vous avez une valeur de x ici / pour trouver la valeur de y correspondante…
x fois un demi.
x fois un demi / alors, ça s’écrit /
Un demi.
Un demi de…
x.
x / on a la relation /// y / c’est-à-dire, la valeur d’en bas / c’est un demi / multiplie par la valeur d’en haut du tableau / y
égale un demi de x /// alors, on
va représenter ce tableau / et on
Le tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité c’est 1 .
va voir que les points sont aussi
2
alignés avec l’origine du repère
2 = 3 = 4 = 1
////
4
314
PROF=NF
315
316
E
PROF=NF
6
8
2
(49min 55) donc, vous écrivez la propriété en rouge // en rouge, propriété ////// propriété / vous écrivez que / une situation
de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère //// une situation de
proportionnalité ///// (P commence à écrire au tableau) est représentée graphiquement //// par des points alignées / avec
l’origine du repère ///
Par des points alignés /
Par des points alignés avec l’origine du repère // et vous encadrez (P finit d’écrire)
Propriété :
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés avec l’origine du
repère.
317
PROF=NF
318
319
320
321
E
PROF=NF
E
PROF=NF
322
323
E
PROF=NF
426
Donc, en un coup d’œil, on peut juger si la situation / est ou non une situation de proportionnalité / on va faire un repère
et on va placer ces points-là /// qu’est-ce que je vais mettre en abscisse / les valeurs de quoi / sur mon repère / les valeurs
que je vais mettre en l’abscisse / je vais les trouver où dans mon tableau /
En bas.
Les valeurs en abscisse / c’est horizontalement // c’est les valeurs de x // les valeurs / en ordonnée
Les y.
Ça sera les valeurs de y / donc, j’ai besoin d’aller jusqu’à x horizontalement / et j’ai besoin d’aller jusqu’à quatre /
verticalement / donc, je vais prendre un carreau, égale une unité / pour faire ça ///// je vais le représenter ici (P signale un
espace sur le tableau) // pour garder le tableau / le tableau / tracer deux axes / alors, je vais choisir que des valeurs
positives / j’aurais pu prendre des valeurs négatives / mais, donc / plus au moins me contenter de faire / un repère /
contenant des valeurs positives / (P dessine le repère sur le tableau) vous graduez tous / tous les carreaux.
On doit tout graduer /
Non / on a dit, on doit aller jusqu’à combien pour / les valeurs de x
324
325
E
PROF=NF
326
327
E
PROF=NF
Huit.
Huit en abscisse / donc, vous avez besoin d’aller que de zéro / à huit // et en ordonnée // de zéro à quatre / on va placer les
points / on va vérifier qu’ils sont alignés avec l’origine /// (la sonnerie sonne, 49min 25) / on termine // pour x valant
quatre / y vaut /
Deux.
Donc, x c’est ici / y ici / quand x vaut quatre / y vaut deux / vous avez un premier point ici (P signale sur son repère)
quand x vaut six / y vaut trois / x trois /// (P fait les pointillés) // vous avez un
Y
deuxième point ici / et quand x vaut huit / y vaut quatre /// (P fait les pointillés)
3
vous avez un troisième point ici // alors si vos graphiques sont bien faits / vos
points doivent être alignés avec votre l’origine du repère / vous allez tracer cette
2
droite / en couleur / la droite qui passe par les trois points / et par l’origine du
1
repère /// d’accord / la droite elle ne s’arrête pas à l’origine / elle continue //////
voilà (P finit le dessin) ///
2
328
PROF=NF
4
6
X
Travail à faire pour mercredi / (il y a du bruit) exercice un / page cent six / alors, dans cet exercice un / page cent six, on
vous demande de faire un graphique sur un papier milimètraire / si vous n’avez pas / c’est pas grave / vous graduez votre
feuille / (beaucoup plus de bruit. 52min, P distribue le travail, les élèves partent)
1
PROF=NF
2
3
E=(Ci)ndy
PROF=NF
4
E=(El)a
5
PROF=NF
6
7
8
9
10
11
12
13
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
14
15
El
PROF=NF
16
17
E
PROF=NF
18
19
20
21
E
PROF=NF
E
PROF=NF
22
23
24
25
26
28
29
30
31
32
E=(Mi)chael
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
33
34
35
36
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Donc, on passe à la proportionnalité / est-ce que vous pourriez me rappeler / comment / sont positionnés les points /
lorsqu’on / ** une situation de proportionnalité / qu’est-ce qu’il se passe au niveau de points // (trois élèves lèvent le
doigt) // Cindy ?
Ils doivent tous être alignés avec le zéro.
Voilà, ils doivent tous être alignés / avec / l’origine du repère / alors exercice un // qui voudrait lire (des élèves lèvent leur
doigt) / Léa / on t’écoute.
(l’élève lit) Les dragées / le tableau ci-dessous donne le prix de dragées / en fonction de leur nombre / nombre de dragées /
prix en franc / le prix est-il proportionnel au nombre de dragées /
Alors / on prend question par question / qu’est-ce que vous savez ** / est-ce que le prix / est proportionnel ou non /// alors
**
Oui.
Oui, pourquoi ?
Oui parce que… on a pas **
Oui.
**
D’accord / ** temps.
** et je peux calculer trente-huit **
D’accord, il vérifie c’est bien / les valeurs qui sont marquées au tableau, comment tu peux faire / par exemple, calculer le
trente-huit / calculer / quand tu sais qu’il y a proportionnalité.
Parce que hein … / ** je fais trente huit divisé / eh non / trente-huit fois dix-sept / divisé / divisé par vingt.
Et là, tu dois trouver le prix de trente-huit draguées / quand tu fais cette opération / est-ce que tu tombes bien sur trentedeux virgule trente /
Oui.
Donc, il y a proportionnalité sur les deux premières colonnes / il faut vérifier qu’il y a bien proportionnalité avec la
troisième / comment tu fais //
Je fais soixante-dix fois trente-deux virgule / trente divisé par trente-huit.
Et tu vérifies que tu trouves /
Cinquante-neuf virgule cinquante.
Qui était la valeur de ** à gauche / la dernière case du tableau / donc, là tu vérifies par le produit en croix qu’il y a de la
proportionnalité sur ce tableau / on procède à un autre mode aussi / il reste quelqu’un qui peut nous proposer une autre
solution / pour vérifier qu’il a bien un tableau de proportionnalité // pour le vérifier, il faut faire le calcul, hein / ne te
contente pas de dire oui ou non il y a proportionnalité / par exemple, là, il va falloir faire le calcul, là / Michael comment
tu le fais /
Eh ///
C’est quoi c’est zéro virgule quatre-vingt-cinq ?
**
Ah oui / T’as divisé vingt par dix-sept / tu es sûr.
Plutôt, dix-sept par vingt.
dix-sept par vingt /
Après, j’ai fait zéro virgule quatre-vingt.
ça fait quoi //
Hein / le prix d’une dragée.
Vous * le prix d’une dragée / ça veut dire qu’ici / le prix d’une dragée / c’est un nombre décimal / * / une dragée sur les
deux premières valeurs de la première colonne / mais ensuite /
**
Oui
**
Et tu as réussi à faire **
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38
39
40
41
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44
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70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
E
PROF=NF
Oui / *
D’accord / et ça te permet de dire que / la deuxième colonne est proportionnelle à la première / * c’est-à-dire…
**
/ chut /// quatre-vingt-cinq fois soixante-dix / c’est quoi / ce nombre quatre-vingt-cinq /// pour le tableau / regarde.
C’est la valeur d’une dragée.
C’est la valeur d’une dragée / oui // mais, pour le tableau // c’est un tableau de proportionnalité / donc / c’est quoi //
François ?
E=(F)rançois C’est la valeur qui multiplie **
PROF=NF
Qui multiplie quoi /
F
**
PROF=NF
Alors, qui multiplie quoi ?
F
** ce qu’on cherche.
PROF=NF
Oui / mais on cherche quoi /
F
Hein … ////
PROF=NF
Pour le tableau / * pour le tableau * autre mode zéro quatre-vingt-cinq // ** pour un tableau de proportionnalité / ça
s’appelle le /
E
Coefficient de proportionnalité.
PROF=NF
Coefficient de proportionnalité / c’est la valeur pour laquelle on multiplie les valeurs de la première ligne / pour avoir
celles de la deuxième / ici, c’est le nombre par lequel on multiplie / le nombre de dragée pour avoir le prix / je vais le
marquer ici comme ça (P écrit au tableau) c’est le coefficient de proportionnalité / le coefficient de proportionnalité, on le
trouve en divisant / par exemple, dix-sept sur vingt / on peut le trouver autrefois aussi / on a qu’à le retrouver dans la
deuxième colonne / (personne répond) ce coefficient c’est le quatrième ** dix-sept divisé par vingt / qu’est-ce qu’on peut
faire pour le retrouver / en faisant…
E
dix-sept divisé par zéro virgule quatre-vingt-cinq
PROF=NF
dix-sept divisé par…
E
Zéro virgule quatre-vingt-cinq.
PROF=NF
Non je veux trouver le nombre //
E
Lequel ?
PROF=NF
Le zéro quatre-vingt-cinq, on l’a trouvé / c’est le prix d’une dragée / en faisant / le prix / de / vingt dragée divisé par vingt
dragée // ** je veux trouver ce coefficient de proportionnalité / autre mode qu’avec la première colonne // Charlotte ?
E=C(harlotte) En divisant par …
PROF=NF
Qui par quoi ?
C
Hein … dix-sept divisé par vingt /
PROF=NF
Ça y est / dix-sept divisé par vingt / ** / Cindy ?
Ci
Trente deux virgule trente divisé par (P commence à parler)
PROF=NF
Ça y est / trente deux virgule trente divisé par /
Ci
Trente huit.
PROF=NF
Et on doit trouver…
Ci
Zéro virgule quatre-vingt-cinq.
PROF=NF
Qu’est-ce qu’on peut faire aussi / hein // * … Jonathan / Jonathan /// je peux aussi faire / trente deux virgule trente / divisé
par trente huit / ça fait pareil / qu’est-ce qu’on peut faire /
E=(Jo)nathan Cinquante neuf virgule cinquante divisé par soixante-dix.
PROF=NF
Cinquante neuf virgule cinquante divisé par soixante-dix / qu’est-ce que je peux dire / de ces trois quotients-là / dix-sept
divisé par vingt / trente-deux virgule trente / sur trente huit / cinquante-neuf virgule cinquante / sur soixante-dix /
Charlotte ?
C
Ils sont égaux /
PROF=NF
Ils sont égaux à combien /
C – Es
A zéro virgule / quatre-vingt-cinq (P écrit au tableau)
PROF=NF
Alors / voilà / si vous deviez justifier que c’est un tableau de
proportionnalité ** / vous pourriez justifier / comme il y a ** vous
20
38
70
ndr
pouvez justifier en sachant qu’une fois le coefficient de
Prix
17
32,30
59,50
× 0,85
proportionnalité / comme l’a fait Michael / qui a vérifié * en passant de
la première ligne à la deuxième en multipliant/ ou vous pouvez dire ça /
d’accord / quand on vous demande s’il y a ou non un tableau de
17 = 0,85
proportionnalité, il faut justifier / vous pouvez par exemple / justifier en
20
écrivant que le quotient qui se fait / de la deuxième ligne / sur la
première ligne / ils sont tous égaux // Le tableau est un tableau de
17 = 32 ,30 = 59 ,50 = 0,85
20
38
70
proportionnalité car (P écrit au tableau) alors, qu’est-ce qu’on dit donc,
là / si (P écrit le quotient dix-sept sur vingt et après trois points) // Ela,
tu lis la question suivante s’il te plaît /
E=(El)a
Représenter graphiquement ces données en prenant les unités ci-contre /
PROF=NF
Donc, vous aviez un petit graphique là / au tableau, je vais l’écrire // ** / rappelle-moi l’axe horizontal (en faisant
référence au repère au tableau) /
/ commet s’appelle / Ela
El
Je crois c’était ascise…
PROF=NF
Abscisse.
El
Abscisse / pardon.
PROF=NF
Comment on écrit ça / a / b / s / c / i / double s / e // et l’autre axe vertical /
E
Ordonnée.
PROF=NF
Ordonnée / d’accord / l’intersection des droites graduées s’appelle / l’origine du repère / c’est l’origine des droites
graduées // dans l’axe de l’abscisse / un centimètre représente quoi /
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20
30
40
50
60
70
83
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88
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90
91
92
E
PROF=NF
E
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
F
PROF=NF
93
94
95
96
97
98
99
100
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
101 Mi
102 PROF=NF
103 Mi
104 PROF=NF
105
106
107
108
109
110
111
112
113
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115
116
117
118
119
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E=(K)evin
PROF=NF
K
PROF=NF
E
K
PROF=NF
120 El
121 PROF=NF
122
123
124
125
126
127
E*
PROF=NF
E*
PROF=NF
E
PROF=NF
128
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130
131
132
133
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
Hein … le nombre de dragées.
Alors / l’axe des abscisses qui représente le nombre de dragées / mais, je demande / un centimètre /
Hein … /
Un centimètre représente / combien / Michael /
Dix.
Combien ?
Dix dragées.
Dix dragées / *** / ensuite en ordonnée / est-ce que / qu’est-ce que représentent / d’abord / les ordonnées /
Le / le … le prix (Changement de côté de la cassette)
Alors, qui vient placer les points /// Michael (Michael va au tableau) /alors au tableau, j’ai pas donné un ** comme dans
vos cahiers (P a fait au tableau un repère où Michael va placer les points) /// alors, premier point /// (P parle avec un
élève, après continue en interrogant Mi) alors / qu’est-ce que tu lis sur ce tableau /
Ordonnée et prix ?
D’accord / c’est quoi qu’on doit mettre sur le tableau
Hein … //
Les valeurs que tu as dans le tableau / alors **
Ici (P signale le nombre 20 sur les abscisses)
ici en abscisse / d’une dragée / qu’est-ce que tu lis encore /
**
En ordonnée / c’est, par exemple, j’ai pris dix centimètres / pour / dix francs (P prend la règle et la met sur l’axe de
l’abscisse) / ** // (P s’éloigne de l’enregistreur, on n’entend pas) donc, le premier point a pour abscisse vingt / pour
ordonnée dix-sept / on dit que ** // (Mi place le premier point au tableau) / voilà / deuxième point /
Hein … trente-huit /
** le nombre de dragée / aussi le prix / dix centimètres pour ** (Mi prend la règle et la place sur l’axe des abscisses. Mi
fait une marque sur le point qui représente le trent- huit) / et donc, le trente-deux virgule , tu le lis ici / (P met son doigt à
côté de l’axe des ordonnées) ////// qu’est ce qui doit passer par ces trois points-là /
Ils doivent être alignés
Ils doivent être alignés / donc, on va pouvoir répondre à la question suivante / comment on vous demande / comment vous
êtes sûr que cette / que c’est une situation de proportionnalité / qu’est-ce qu’on peut répondre / les points /
Les points ... les points sont alignés
Parce que…
Hein …
Comment on vérifie rapidement si c’est une situation de proportionnalité /
Hein parce que … le nombre de **
Comme tout à l’heure / qu’est-ce qui est aligné / c’est quoi qui est aligné là / là, représenté /
Hein / les tables
Oui les tables / ça s’appelle comment ça /// elles représentent quoi / * / les points sont // sont quoi les points / Kevin /
Alignés.
C’est tout /
Hein … avec le point-là / hein.
Comment s’appelle…
L’origine.
L’origine.
L’origine du repère / donc on vérifie rapidement // (l’élève qui était au tableau pose une longue règle sur le tableau, en
vérifiant si les points sont alignés) // qu’il s’agit d’une situation de proportionnalité ///// car les points sont alignés avec
l’origine du repère ///// (les élèves font le même avec une règle et les points qu’ils ont dessiné sur leurs cahiers) //////// (P
vérifie le travail d’un élève) donc, rapidement vérifie si c’est un tableau de proportionnalité / parce que les points sont
alignés avec l’origine du repère / ** / merci (P le dit en s’adressant à l’élève au tableau, E va s’asseoir) / Donc, il nous
reste la question trois / Ela, tu reprends la question trois /
Déterminer par le calcul et contrôler graphiquement / a / le prix de quarante-quatre dragées / b / le nombre de dragées pour
quatre-vingt-cinq francs /
Donc, on vous demande / deux choses / le prix de quarante-quatre dragées d’abord / alors, on vous demande / en lisant
dans le graphique / et par le calcul / alors, si on commence par le calcul / comment on peut trouver le prix quarante-quatre
dragées ////// pour trouver le prix de quarante-quatre dragées par un calcul /
**
Quoi ?
**
Par la table alors / par exemple, on multiplie / le prix de dragées par le ** vous trouvez combien /
Trente-sept virgule cinq.
Trente-sept virgule cinq / donc, quarante-quatre dragées coûtent //// trente-sept virgule cinq euros plus ** / alors,
maintenant je vous dis / retrouvez ce résultat sur le graphique / alors, est-ce que quelqu’un / il nous montre comment lire
graphiquement ce résultat // le fait que quarante-quatre dragées / donc coûtent trente-sept virgule cinq euros / (un élève
commence à parler) va / va nous montrer au tableau (E est en face du tableau) alors, on cherche le prix de quarante-quatre
dragées /
**
D’abord / comment s’appelle l’axe /
X
Il s’appelle pas l’axe de x.
L’axe des abscisses.
Abscisse / alors, tu peux le trouver exactement / * / exactement quarante-quatre sur l’axe des abscisses / (chaque unité sur
l’axe des abscisses au tableau était séparée par dix centimètres, E fait entre la marque correspondant à 40 et 50 le point
429
134
135
136
137
138
139
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
140 E
PROF=NF
141
142
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144
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159
160
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
El
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
161 El
162 PROF=NF
163
164
165
166
El
PROF=NF
El
PROF=NF
167 Es
168 PROF=NF
169 E
170 PROF=NF
171 Es
172 PROF=NF
173
174
175
176
177
178
179
180
Es
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
430
qu’indiquent les unités en dizaine) ///////////// dix centimètres ////// quarante quatre dragées / tu vas le marquer /// (E le
marque) et écris quarante- quatre (E écrit le nombre) voilà, le nombre de dragées / maintenant le prix / comment tu sais le
prix de quarante-quatre dragées / tu vas regarder si tu veux /
Hein ?
Tu vas regarder sur /
Hein / les coordonnées
Mais si je ne te donne pas la réponse là / et je te demande de trouver graphiquement le prix **
**
** la droite sur quarante-quatre / on va chercher la ** de la droite / la droite sur quarante-quatre / et on va regarder ** /
alors, qu’est-ce qu’il ** // si on vous demande de trouver graphiquement quelque chose / il faut qu’apparaisse sur le
graphique le pointillé / sinon ** //// alors, sur le quarante-quatre dragées / on va tracer la droite / on trace les points de
quarante-quatre / et le prix ** / en regardant / ** / et normalement, qu’est-ce qu’on va trouver /
Trente-sept virgule cinq.
On va mettre en place / trente sept virgule-cinq / ** (E trace les pointillés sur le tableau) //// et tu vas marquer /// tu
marques / trente-sept virgule cinq sur l’axe des ordonnées /// donc, on retrouve normalement / (E fini et va s’asseoir) si
t’as bien fait / normalement, on va trouver trente-sept virgule cinq ** //// alors, ensuite on vous demande / de trouver /
combien de dragées on va pouvoir acheter pour quatre-vingt-cinq francs // alors comment faire pour pouvoir savoir
combien de dragées on peut acheter pour quatre-vingt-cinq francs /// Ela ?
**
Alors / si je vous demande d’abord avec le calcul et après, on verra avec le graphique /
Donc …
Alors le calcul.
Donc …
Le quatre-vingt-cinq francs / on cherche le nombre de dragées /
Et donc, on, hein / le produit en croix…
Par exemple, le produit en croix / oui / ça va donner quoi /
**
On prend d’abord le calcul / on va faire d’abord le calcul /
**
Est-ce qu’il n’y a pas un calcul plus rapide ici / François ?
Quatre-vingt-cinq multiplié par zéro virgule quatre-vingt-cinq
Multiplié par /
Ah non / divisé / divisé / divisé…
Divisé par / zéro virgule quatre-vingt-cinq / et vous trouvez combien /
Cent.
Ça veut dire que vous pourriez acheter combien de dragées pour quatre-vingt-cinq francs /
Cent.
Cent dragées / maintenant / vous trouvez ce calcul à l’aide du graphique donc / est-ce que quelqu’un peut venir au tableau
/
Moi / moi.
Ela / tu veux continuer / expliquer à tout monde / comment retrouver le cent pour quatre-vingt-cinq francs / (quelqu’un
frappe la porte / P s’occupe. 15ss) / alors, tu pars, donc / de quatre-vingt-cinq francs // où tu vas retrouver le quatre-vingtcinq francs /
Hein / normalement hein (signale sur l’axe horizontal) /
Ici, alors / tu vérifies correctement (El prend la règle et marque la moitié entre les marque 80 et 90) voilà / où tu vas.
**
Ah non non non / tu sais pas / ** //// donc, tu vas chercher le point à droite / comme on la fait tout à l’heure / * ordonnée *
quatre-vingt-cinq / donc, tu prolonges la droite ** / tu prolonges la droite ///// l’intersection //// ** ///////// et donc, tu as
retrouvé l’abscisse de ce point / normalement, tu as trouvé / ** ** ** / dans le premier point ordonné / quatre-vingt-cinq /
donc, voilà où se trouve /// (40ss) est-ce qu’il y a des questions par rapport à cet exercice /
Non.
Donc, n’oubliez pas / si on vous demande d’éclairer quelque chose graphiquement / il faut partir de pointillés / pour dire
comment vous avez vu graphiquement ça / (E pose une question. On n’entend pas) / on va passer à la suite / on va avoir
d’autres situations de proportionnalité ////////// alors, un exemple de proportionnalité qu’on va voir / ça va être la // vitesse
// Gari (P appelle l’attention) ///// la vitesse /
La…
Ça va être une situation de proportionnalité / entre une distance et un temps / on va commencer par * un temps / le temps /
on a l’habitude de le donner en heures //
Et en minutes.
Et minutes / donc, on va faire des calculs pour la vitesse / on doit être obligé de passer par des valeurs décimales d’abord /
par exemple / on va avoir un exemple simple / pour commencer / si je vous dis / que vous ne pouvez pas quitter le collège
avant // un virgule cinq heure /// on n’a pas l’habitude de parler comme ça /
Non / non
Par contre, il va falloir / utiliser cette valeur-là / d’accord / qu’est-ce que ça veut dire / une virgule cinq heure /
**
Alors, pardon, lentement.
1,5h : 1h 50 min
**
1,7h : 1h 70 min
Tu dis / onze heures moins dix / comment tu sais /
2,1h : 2h 10 min
** (P discute avec l’élève mais on n’entend pas la discussion)
Pourquoi ça fait onze heures moins dix // un virgule cinq heure / c’est pas une heure cinquante ** / ** //// un virgule sept
heure / (plusieurs élèves parlent au même temps. On n’entend pas. P pose des exemples et écrit au tableau les réponses
181
182
183
184
E
PROF=NF
E
PROF=NF
185 E
186 PROF=NF
187 E*
188 E
189 PROF=NF
190 Es
191 PROF=NF
192 Es
193 PROF=NF
194 E
195 PROF=NF
196
197
198
199
E
PROF=NF
K
PROF=NF
200
201
202
203
K
PROF=NF
K
PROF=NF
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
E
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
F
PROF=NF
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217
218
219
220
221
222
223
J
PROF=NF
J
PROF=NF
J
PROF=NF
J
PROF=NF
224
225
226
227
228
229
230
F
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
E
des élèves)
si je vous dis zéro virgule cinq heure / peut-être /
Ça fait la moitié.
Ah / quel…
Le premier.
Trente minutes / zéro virgule cinq, c’est la moitié de un / alors / un virgule cinq ça fait une heure et demie / alors /
comment ça marche / pourquoi ça fonctionne comme ça /
**
Zéro cinq, c’est la moitié de un / donc, zéro cinq heure c’est la moitié d’une heure / trente minutes / alors, le problème
c’est que / quand vous comptez / vous avez l’habitude de comptez / chaque fois que vous arrivez à dix / vous pensez à
l’unité supérieur / or dans une minutes / plutôt dans une heure / on va commencer pour ça / il y a combien de minutes dans
une heure /
Douze.
Soixante.
Soixante / il n’y a pas douze / il n’y a pas cent / il y a soixante / alors, chaque fois que vous dépassez la barre de soixante /
vous allez à l’unité supérieur /// dans une minute / il y a combien de secondes /
Soixante aussi.
Alors, quand on compte comme ça / de soixante en soixante / ça s’appelle un système / sexagésimal / alors que vous /
vous avez l’habitude de comptez dans un système / décimal / ** dix / ** alors qu’avec les heures / les minutes et les
seconds / * dépasser soixante / *on passe à l’unité supérieur // bien / alors tout ça pour vous dire / d’une fois / faite bien
attention quand vous utilisez des valeurs décimal / un virgule cinq heure / c’est ne pas une heure et cinquante minutes /
c’est une heure et la moitié d’une heure / soit une heure et trente //
Trente.
Trente minutes // alors, maintenant / un virgule sept / deux virgule un / comment on fait ///// tout simplement /// chut /// en
utilisant la proportionnalité / parce que // il y aura proportionnalité entre les heures et les minutes / est-ce que vous pouvez
me trouver une correspondance entre les heures et les minutes /
Une heure / soixante minutes.
Une heure / ça fait soixante minutes /// on va vérifier que / zéro virgule cinq heure / ça doit faire // trente minutes / si
j’applique ce tableau de proportionnalité // pourquoi ça marche /
**
Quoi suffit comme calcul pour la retrouver / la valeur en minutes (plusieurs élèves parlent en même temps) /////
**
Par exemple, on peut dire un à zéro cinq / on divise par deux / donc, soixante minutes, on le divise par deux / donc ça / ça
va marcher que pour le zéro cinq / qu’est-ce qui va marcher pour le **
En le multipliant par soixante.
Qu’on multiplie par le soixante.
Les heures ?
Les heures / on passe des heures aux minutes // tout simplement / en multipliant par soixante / alors maintenant / est-ce
que quelqu’un peut me dire / un virgule sept heures / combien, ça fait en / en minutes //// chut //// on lève le doigt s’il vous
plaît //// en heure, minutes ///////
**
Jonathan / comment tu as trouvé celà// Jonathan ...
Hein !
Déjà une heure / je suis-là ///// alors qu’est-ce qu’il y a à transformer / en minutes / en fait ?
Sept.
Pas sept.
Zéro virgule sept.
Zéro virgule sept / comment on fait pour le transformer en minutes /
**
** comment on peut le faire rapidement / zéro virgule sept par soixante /// François ?
**
Voilà / si on multiplie par dix / ça fait ** // quarante deux //
h
1
0,5 0,7 x60
est-ce que vous pouvez me dire / deux virgule un / combien ça fait / en minutes / Jon
min 60 30 42
Ça fait // hein / deux heures.
Déjà deux heures est pleine / deux
Deux heures et six minutes
Combien de minutes
Six
Comment tu as les trouvé ces six minutes
Zéro virgule un par soixante minutes /
Voilà / d’accord / donc, on passe des valeurs décimales de l’heure aux minutes en multipliant par soixante /// si je vous
demande au contraire maintenant //// si je vous donne / deux heures quarante- cinq minutes / et je vous demande en
système /// non, on va prendre autre chose /// deux heures vingt // deux heures vingt / je vous demande donc / dans le
décimal ** // deux heures vingt / dans le décimale /// François ?
On doit d’abord diviser par soixante.
Qu’est-ce qu’on divise par soixante ?
Deux heures vingt.
Deux heures vingt / deux heures vingt c’est pas // qu’est-ce qu’on divise par soixante /
Les minutes.
Les minutes / combien il y a de minutes /
Vingt.
431
231
232
233
234
235
236
237
238
239
PROF=NF
F
PROF=NF
F
PROF=NF
E
PROF=NF
E
PROF=NF
240
241
242
243
Es
PROF=NF
E
PROF=NF
244
245
246
247
E
PROF=NF
E
PROF=NF
248 E
249 PROF=NF
250
251
252
253
254
K
E
PROF=NF
E
PROF=NF
Vingt.
Et après, on trouve le reste…
Alors, on va dans les heures entières maintenant / il y en a combien
Deux heures.
Deux heures entières //// et en minutes, alors
**
Oui / comment on fait
**
On divise par // (on n’entend plus la conversation) / alors on peut écrire que c’est environ deux virgule trois / deux virgule
excuse-moi / trente-trois // ça c’est une valeur approchée / est-ce que je peux pas trouver une valeur un peu mieux / est-ce
que je peux l’écrire sur la forme décimale /// de façon exacte // est-ce que ça s’arrête après la virgule /
Non.
Non / il faut que je trouve une autre façon de l’écrire autrement qu’en décimale / comment je pourrait l’écrire
Fractionnaire.
Oui / de forme fractionnaire / qu’est-ce que je vais écrire //// combien vous avez trouvé que ça ** une valeur décimale /
approchée /
**
Oui, ça fait combien / environ
**
Une heure virgule trente-trois / ça ne vous rappelle pas quelque chose / non /// quelle est la fraction qui donne zéro virgule
trente-trois /
Un tiers.
Un tiers / évaluez un tiers dans une heure / ** / le * entière si vous le divisez en trois partie / une partie égale / une partie
revient un tiers // donc deux heures vingt minutes / on peut pas l’écrire sur une forme décimale exacte / la seule façon de
l’écrire c’est / deux heures et un tiers / d’une autre / si je vous demande /// hein // quarante cinq minutes / de le donner sur
la forme décimale / alors / quarante cinq minutes
Hein … un quart.
Trois quarts.
Quinze minutes c’est un quart d’heure / ces trois quarts d’heure sur la forme décimale /
**
Quarante cinq minutes par soixante / et on retrouve ** bien alors // ** exercice six, page cent sept / dans cinq minutes, il y
a le temps de le faire ////////// on vous demande la forme dont d’habitude on parle d’heure / en heure minutes secondes /////
en heure minutes secondes on vous demande / comme vous avez l’habitude de parler d’heures (les élèves travaillent en
une minute, la sonnerie sonne. P laisse comme devoir pour jeudi 7, l’exercice 6 p.107, 7 P.107 et l’activité 2 de la P.100)
II.2.4 SEANCE NF-190520054E : INEGALITES ET ARRONDIS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
432
PROF=NF
(00min00) Alors, on rappelle rapidement ce qu’on a vu la dernière fois / hier / est-ce que vous pouvez me dire si le fait
qu’on ajoute un nombre aux deux nombres de l’inégalité / est-ce que ça change le sens de l’inégalité / Charlotte /
E=Ch
Non /
PROF=NF
Non /
Ch
Sauf, quand on multiplie /// par un nombre négatif /
PROF=NF
Je parle *
Ch
Quand on ajoute ou quand on soustrait, ça ne change pas le sens de // le sens de l’inégalité /
PROF=NF
Et alors / quand on multiplie ?
Ch
Quand on multiplie / ça ne change pas non plus / sauf quand on multiplie par un nombre négatif.
PROF=NF
Alors / quand on multiplie par un positif ça change pas / quand on multiplie par un nombre négatif / ça change // on
avait deux exercices / le quinze et le S douze / vous le prenez s’il vous plaît / quinze / page quatre-vingt-dix / et S douze
// page quatre-vingt-quatorze ///// (les élèves ouvrent leurs cahiers et leurs manuels) //// alors // qui veut bien lire le
numéro quinze /// page quatre-vingt-dix / Cécile, tu vas le lire / on attend que tout le monde soit (p. 35s) bien // Cécile
on t’écoute /
E=(C)écile
Sachant que a est plus petit que douze / que peut-on déduire pour /// a plus cinq /
a < 12
PROF=NF
Donc / tu me dictes * (P écrit au tableau)
a+5
C
Quatre a // a moins vingt // moins trois a //
4a
PROF=NF
Voilà /// vous avez une inégalité au départ / vous devez en déduire des inégalités avec ce
a – 20
–3a
qu’on vous propose / que pouvez vous dire a plus cinq // Jon
E=J(on)
* est plus petit que (on n’entend pas) //
PROF=NF
Non /// si a est plus petit que douze / qu’est-ce que on peut dire de a plus cinq //// Cécile /
C
a plus cinq /// hein … / puis dix-sept / de l’autre côté /
PROF=NF
Si on a ajouté cinq à a / on va ajouter aussi cinq à douze / et est-ce que l’inégalité change de sens quand on ajoute
quelque chose /
C
Non.
PROF=NF
Non, donc tu dis…
C
a plus cinq est plus petit que dix-sept (P écrit au tableau) /
PROF=NF
Voilà ce qu’on vous demande // de a à a plus cinq on a ajouté cinq / donc on va ajouter cinq aussi de l’autre côté / dans
l’autre membre de l’inégalité / douze plus cinq / ça fait dix-sept / le fait d’ajouter un nombre ne change pas le sens de
l’inégalité // si a / pour revenir au début / est plus petit que douze / qu’est-ce qu’on peut dire de quatre a // Jonathan ///
E=(Jo)nathan Hein … donc ... quatre a /// est plus petit que ...
PROF=NF
Que…
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Jo
Es
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
39
40
C
PROF=NF
41
42
43
44
E=(K)evin
PROF=NF
K
PROF=NF
45
46
47
J
PROF=NF
J
Douze.
Non (d’autres élèves parlent)
//// si tu as changé a / quatre fois a / tu reprends
Douze fois quatre.
Douze /
Douze plus quatre.
Quatre a / quatre plus a ///
Douze fois quatre.
Douze fois quatre / ça fait combien /
Quarante-huit.
Est-ce que l’inégalité change de sens /
Non.
Non (P écrit au tableau) parce que tu as multiplié par un nombre qui est ////// ah …. / Tu as multiplié par quoi /
Quatre.
Quatre / on a vu que / on a * tout à l’heure * / quand on multiplie / parfois ça change / parfois ça ne change pas /
pourquoi ici / ça ne change pas le sens //// Charlotte // ça ne change pas parce que le nombre il est //
Parce que / hein … parce qu’il est positive, ben …
Positive / Quatre c’est positive / quand on multiplie par un nombre négatif / on va le voir ici (P signale le dernier cas)
ça va changer le sens /// alors / a moins vingt maintenant / qu’est-ce qu’on peut dire de a moins vingt / si a est plus petit
que douze // Kevin
C’est que ... a moins vingt ... est plus petit que … douze moins vingt …
Oui / est douze moins vingt / ça fait
Ça fait … moins huit.
Moins huit / si on enlève vingt à a / on va enlever vingt à douze / et on ne change pas le sens de l’inégalité / parce
qu’enlever quelque chose … ça change pas le sens (P écrit au tableau) / le dernier / a est plus petit que douze / qu’est-ce
qu’on va pouvoir dire Jon / de moins trois a, Cécile tu te retournes / tu te retournes / Jon
a < 12
Est plus grand…
a + 5 < 17
Que quoi ?
4a < 48
Hein … moins trente-six (P écrit au tableau)
a – 20 < –8
–3a > –36
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
PROF=NF
Voilà / on va multiplier / douze par moins trois / ça fait moins trente-six / maintenant / comme on multiplie par moins
trois / qui est négatif / il faut pas oublier / de changer le sens de l’inégalité / tout simple / (on n’écoute pas l’intervention
de l’élève. On l’assume) Non / ça ne change jamais / sauf quand on multiplie par un négatif //// alors on passe à s douze
/ c’était pareil //// Maxime / tu lis s’il te plaît / S douze / page quatre-vingt-quatorze /
E=(M)axime Sachant que n est plus grand que dix /
PROF=NF
Strictement ?
M
Strictement plus grand que dix.
PROF=NF
Supérieur ou égal ?
M
Supérieur //
PROF=NF
Strictement supérieur ou supérieur égal /
n > 10
M
Hein … strictement supérieur à dix / que peut-on déduire pour n plus huit /
n+8
PROF=NF
Alors / dicte-moi la liste / on va faire pareil /
n–5
M
n moins quinze / trois n / moins n / (P écrit la liste au tableau)
3n
–n
PROF=NF
Si n est strictement supérieur à dix / qu’est-ce qu’on peut dire de n plus huit ? Adrian ?
E=(A)drian
Hein … bein / n plus huit / on fait dix plus huit aussi /
PROF=NF
Oui / ça fera.
A
Ça sera dix-huit / hein … il sera strictement supérieur /
PROF=NF
Parce qu’on ne change pas le sens quand on ajoute un nombre (P écrit au tableau) // si n est strictement supérieur à dix /
qu’est-ce qu’on pourra dire de n moins quinze /// Michael
E=(Mi)chael Moins cinq.
PROF=NF
Alors / ça va être moins cinq de l’autre côté / dix moins quinze, ça fait moins cinq /est-ce qu’on change le sens de
l’inégalité /
E
Non.
PROF=NF
Alors / dit-moi ce que je dois écrire ici /
Mi
n moins quinze / plus grand que n / que moins cinq /
PROF=NF
On ne change pas quand on enlève / aux membres de l’inégalité (P écrit au tableau) // si n est strictement supérieur à
dix / qu’est-ce qu’on peut dire de trois n / Cécile tu te tiens correctement s’il te plaît /// François / qu’est-ce qu’on pourra
dire de trois n /
n > 10
E=(F)rançois Hein … hein … il sera …
PROF=NF
Alors, qu’est-ce qu’on va mettre comme valeur déjà des deux côté /
n + 8 > 18
n – 5 > –5
F
Trente.
3n > 30
PROF=NF
Trente / trois fois n / on va multiplie par trois / le deuxième nombre.
–n < –10
F
Et après ça sera supérieur à trente.
PROF=NF
Parce que multiplier par un nombre positif ne change pas le sens de l’inégalité // et le dernier / moins n / qu’est-ce qu’on
pourra dire de moins n si n est strictement supérieur à dix / Cécile /
C
Ça fait moins dix.
PROF=NF
Tu as fait quoi ?
C
J’ai / j’ai / multiplié par moins un.
PROF=NF
Voilà / moins n c’est n multiplié par moins un / donc, si on multiplie moins un par dix / ça fait moins dix / est-ce que
l’inégalité change de sens /
433
79
80
E
PROF=NF
81
82
Es
PROF=NF
83
E=(L)ore
84
PROF=NF
85
86
87
88
Es
PROF=NF
K
PROF=NF
89
90
Es
PROF=NF
91
92
93
94
95
Ch
E
PROF=NF
Ch
PROF=NF
96
97
98
A
Es
PROF=NF
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
Es
PROF=NF
Ch
PROF=NF
Ch
PROF=NF
Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
Es
PROF=NF
111
112
113
114
115
116
117
118
K
PROF=NF
K
PROF=NF
K
PROF=NF
K
PROF=NF
119
120
K
PROF=NF
121
122
Mi
PROF=NF
123
124
Jo
PROF=NF
434
Oui.
Oui parce qu’on a multiplié par un nombre // négatif // voilà // (P écrit au tableau, 08min24,
un élève dit quelque chose, on n’entend pas) / multiplier par moins un / je peux effacer le
premier (P efface la partie correspondant au premier) ///
Oui.
(08min52) alors, on va s’intéresser aux valeurs exactes et aux valeurs approchées / je vais vous donner un nombre // et
vous allez à la calculatrice / me donner / c’est que marche pour la calculatrice / quand je vais effectuer la division de
neuf par sept /// un me le donne (des élèves le font sur la calculatrice) et dit tout ce qui est écrit sur votre écran / vous
me donnez chiffre après chiffre dans la partie décimale //// alors, Lore / je t’écoute /
Alors, c’était / un virgule deux / huit / cinq / sept // un / quatre // deux / huit // six (P écrit au tableau) 9 ≈ 1,285714286
7
Alors / est-ce que je peux écrire, moi / que neuf-septième / est égal à / tout qui est écrit ici / (P signale le nombre
1,285714286) // je peux écrire neuf-septième égale // (P signale le nombre 1,285714286) /
Non non.
Non / Kevin.
Et non / c’est parce que c’est un écran / il doit rester *
À priori, il y a une grande chance / pour que derrière / effectivement, la calculatrice ne donne pas / parce qu’elle a un
écran qui fini / et derrière, ça continue encore indéfiniment / donc, on n’écrit pas égal / on écrit environ égal / c’est pas
parce que vos calculatrices * (quelqu’un tousse, on n’entend pas) calculer les chiffres / qu’il faut les écrire tous / sinon /
quelle est la valeur exacte de ces / parmi ces valeurs / quelle est la valeur exacte /
Neuf-septième.
Neuf-septième / si on vous demande un résultat sur la forme exacte / il faut donner la forme fractionnée / alors,
maintenant / on peut vous demander des valeurs approchées / il existe deux types de valeurs approchées /// lesquelles /
Charlotte ?
Ben … un // et / un virgule deux.
Non.
Alors / on dit quoi là // des / des arrondis / on peut vous demander.
Troncatures.
Et les troncatures / on va revoir un peu qu’est-ce que c’est tout ça / (p7ss, P écrit au tableau) / alors, ça ne suffit pas de
parler d’arrondis ou de troncatures / il faut en dire quoi / il faut préciser quoi // Adrian.
Ah … ben … le dixième !
Le dixième ou le centième.
Voilà / il faut préciser le rang / le dixième / le centième / le millième ou à l’unité / etc./ alors, on va peut-être rappeler un
peu la position des chiffres dans un nombre pour commencer /// le chiffre ici / qui est juste avant la virgule / comment il
s’appelle (des élèves l’interrompent en disant « l’unité ») ce chiffre.
L’unité.
Le chiffre de / Charlotte ?
Unité.
D’unité // le chiffre derrière la virgule (des élèves le disent au même temps) Charlotte /
Dixième.
Dixième / après ?
Centième.
(P signale le chiffre suivant)
Millième
(P signale le chiffre suivant)
Dix millièmes.
Dix millièmes / etc. / en général * / jusqu’au millième, ça suffit / (11min41) alors, maintenant, est-ce que quelqu’un
pourrait rappeler / qu’est-ce que c’est la troncature d’un nombre / qu’est-ce que ça veut dire quand on dit la troncature
d’un nombre / Kevin /
Ben … c’est … c’est par exemple … on avait … un / un / un virgule … vingt-huit.
On va prendre ce nombre-là (P signale le nombre 1,285714286)
Si on nous demande … une troncature au dixième … ça va nous donner … un virgule deux …
Voilà / qu’est-ce que tu fais pour savoir que c’est un virgule deux la troncature au dixième /
Hein … c’est parce que … on / on sait que deux … c’est en dixième…
Donc, c’est le chiffre des dixièmes / d’accord /
Et on … et on … et on peut pas l’environ …
Et on s’arrête là / troncature, ça veut dire qu’on coupe le nombre au lieu indiqué / et on se moque de ce qui suit / si on
vous demande la troncature au dixième / comme lui l’a proposé / on va jusqu’au nombre / jusqu’au chiffre pardon du
dixième / on coupe / ici (P signale l’espace entre le chiffre au dixième et au centième en faisant un segment vertical
dans l’air avec le doigt) donc imaginez que le nombre soit écrit sur une bande / et on coupe le papier / ici et on jète la
partie qui est / à droite / on ne prend que la partie à gauche / l’arron / pardon, la troncature au dixième / Kevin c’est ici
pour le nombre au tableau.
C’est … c’est un virgule deux.
Un virgule deux (P écrit au tableau) / pour voir si vous avez compris / qui me donne la troncature à l’unité / de cette
valeur approchée ici / troncature à l’unité / Michael /
Un.
Un / (P écrit au tableau) / on va jusqu’aux chiffres des unités / on coupe / et on jette la partie à droite / donc, la
troncature au centième ///// Jonathan / troncature au centième (13min 10) ////
Hein … /// un virgule /// vingt-huit.
Un virgule vingt-huit // (P écrit au tableau) /la troncature au
millième, on en restera là / Lore /
125
L
arrondi
Un virgule deux cents quatre-vingt-quinze (P écrit au tableau)
A l’unité
Au dixième
Au centième
Au millième
126
PROF=NF
127
Ch
128
129
130
PROF=NF
J
PROF=NF
131
132
133
134
C
PROF=NF
C
PROF=NF
135
136
C
PROF=NF
137
138
139
140
A
PROF=NF
A
PROF=NF
141
142
143
144
L
PROF=NF
L
PROF=NF
145
146
Ch
PROF=NF
147
148
149
150
E=(Le)ticia
PROF=NF
M
PROF=NF
151
152
Le
PROF=NF
153
154
M
PROF=NF
155
156
157
158
159
160
161
E=(S)ophian
PROF=NF
S
PROF=NF
S
PROF=NF
C
162
163
PROF=NF
C
troncature
1
1,2
1,28
1,285
La troncature // pas difficile /// qu’est-ce que vous faite avec vos calculatrices (P appelle l’attention à deux élèves) donc,
alors tu te tais s’il te plaît / tu la poses / on n’en a plus besoin /// troncature pas difficile / on coupe le nombre / et on
garde ce / qui est à gauche / le problème c’est quand on viendra plutôt dans les arrondis / alors est-ce que quelqu’un peut
me dire qu’est-ce que c’est par exemple / l’arrondi à l’unité / et après, dire comment il l’a trouvé / Charlotte ?
Ben … l’arrondi à l’unité c’est un / et je le trouve parce qu’on fait le chiffre c’est un / il est inférieur à cinq / donc, c’est
un / s’il était supérieur ou égal à cinq on aurait un … un …
Deux.
Environ deux.
D’accord / l’arrondi / il faut aller un peu plus loin / dans sa réflexion / il faut aller voir le chiffre qui suit la troncature / si
le chiffre qui suit / comme tu dis / est inférieur à cinq / on garde la troncature / par contre / si le chiffre qui suit / est
supérieur ou égal à cinq / il faut ajouter un / au dernier chiffre écrit / alors, donnez-moi / l’arrondi / au dixième ///
l’arrondi au dixième // Cécile.
On garde deux chiffres.
Arrondis au dixième.
Ah /////
L’arrondi* est une valeur qui est proche de ça / un virgule quelque chose // le dixième c’est deux / il faut / on va rester à
un chiffre après la virgule.
Un virgule trois /
Un virgule trois / pourquoi / un virgule trois et pas un virgule deux / (des élèves essaient de répondre en même temps)
parce le chiffre qui suit // le / dixième / est un huit qui est plus grand que cinq et il faut ajouter un au dernier chiffre écrit
/ l’arrondi au centième / Adrian /
Un virgule neuf.
Un /
Un virgule deux / vingt-neuf.
Un virgule vingt-neuf /// puisque le chiffre qui suit c’est cinq / on a dit cinq ou plus grand que cinq / on ajoute un au
dernier chiffre de la troncature / et on l’arrondi au millième /// Lore ?
arrondi
troncature
Un virgule deux cents quatre-vingt-six.
Un virgule deux
A l’unité
1
1
Cents quatre-vingt-six.
Au dixième
1,3
1,2
Quatre-vingt-six / parce qu’après, il y a un sept (P écrit au tableau)
Au centième
1,29
1,28
/// ça va (15min40)
Au millième
1,286
1,285
Bien alors / c’est cet exercice / qu’on va revenir là-dessus / sur les encadrements /// activité cinq / page quatre-vingt-cinq
/// alors / on va donner le nombre //////// (les élèves cherchent la page)
Madame c’est un nouveau chapitre /
Non / non / c’est dans la continuité / comme exemple / on va avoir des encadrements aussi /// (p. 10ss) /// alors //// ça y
est / vous avez lu tous // on est à la bonne page // (p. 35ss) // alors, pour ceux qui n’ont pas la calculatrice / quelqu’un
peut me donner la valeur / qui s’affiche sur l’écran / quand vous devez calculer / q /
Madame / Gari peut se mettre à côté de moi / moi, je n’ai pas de livre ///
Oui // alors Maxime / tu me donnes ce qui s’affiche sur ta calculatrice /
Huit virgule / deux / six / un cinq / un cinq / un cinq / deux /
Voilà c’est qu’écrit votre calculatrice / pour la valeur approchée de q / alors / débrouillez vous pour compléter ce qui a à
compléter / (17min49, P se promenène par la classe en regardant le travail des élèves. Parfois, P discute avec eux,
20min41) / alors / pour ceux qui ont une calculatrice / est-ce quelqu’un peut me donner / même chose / pour racine
carrée de trente-trois / ce qu’affiche vos calculatrices /// Leticia ?
Cinq virgule sept / quatre, quatre / cinq / six / deux six / quatre, sept.
Si on vous demande la valeur exacte / on l’a déjà dite / il faut donner racine carrée de trente-trois / pas autre chose /
(21min09, P se promenène par la classe en regardant le travail des élèves et en répondant à leurs questions, 23min00,
en aumentant le ton de la voix) je ne veux pas voir de signe égal /
Madame / quand on fini le petit a / il y a le petit b aussi ?
Il y a le petit b / bien sûr / j’ai pas demandé le petit a en particulier / toute l’activité cinq (23min18, P se promenène
dans la classe en regardant le travail des élèves et en répondant à leurs questions. L’observateur parle avec P,
28min00) bon, on corrige ////// chut // s’il vous plaît / alors / vous avez un nombre q / dont on a trouvé une valeur
approchée grâce à la calculatrice * / on vous a demandé des arrondis et des troncatures de différents rangs / et de
compléter la première phrase / la première colonne, on va dire // Sophian /
huit / est la troncature de / un / huit est la troncature à l’unité /
Oui.
Huit virgule deux / est la troncature au dixième / et // huit virgule vingt-six / est la troncature au centième /
Oui.
Et … huit virgule deux cents soixante et un / est la troncature au millième.
D’accord / on y va pour les arrondis // Cécile ?
Huit est l’arrondi de q à l’unité / huit virgule trois est la troncature / est l’arrondi de q au dixième / huit virgule … //
vingt-sept / vingt-six / est l’arrondi de q au centième.
Vingt-six ou vingt-sept alors /
Vingt-six (avant de finir, P commence à parler)
435
164
165
166
167
PROF=NF
C
PROF=NF
Ch
168
169
PROF=NF
Ch
170
PROF=NF
171
172
M
PROF=NF
173
174
175
176
177
178
179
180
181
E=(St)ephan
PROF=NF
S
PROF=NF
Jo
PROF=NF
Jo
PROF=NF
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
Le
PROF=NF
E=(C)indy
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
192
193
194
195
E=(El)a
PROF=NF
El
PROF=NF
Huit virgule vingt-six.
Et huit virgule deux, soixante-deux est l’arrondi de q au millième.
D’accord /// deuxième * (29min16) qu’est-ce qui est demandé / Charlotte ?
Le tableau ci-contre montre des encadrements successifs du nombre q / de plus, on a souligné les différents arrondis /
faire le même type de tableau pour le nombre r / hein / égale / hein / la racine carrée de trente-trois /
Voilà / alors / c’est quoi un encadrement / encadrer un nombre, qu’est-ce que ça veut dire / Charlotte /
C’est qu’il est entouré /de nombres plus petits que lui / / ben qui est encadré entre un nombre plus grand que lui et un
petit.
Voilà / c’est ça /// alors le nombre r / on a donné / une valeur approchée / ici, grâce à la calculatrice / maintenant, on va
donner des encadrements de ce nombre r / encadrement à l’unité / Maxime /
Cinq /// et six.
R est compris entre cinq et six / ou alors / cinq est inférieur à r qui est inférieur à six / on verra après pour souligner les
arrondis / ensuite // Stephan ?
Cinq (P l’interrompe)
Cinq virgule sept est inférieur à r / et r est inférieur à cinq virgule huit /
Oui / l’encadrement au / centième // Sophian /
Cinq virgule soixante-quatorze est inférieur à r / et r est inférieur à cinq virgule soixante-quinze.
Oui / et enfin // Jonathan.
Hein !
Encadrement au millième.
Cinq virgule sept cent quarante-quatre / hien … // et cinq virgule sept cent quarante-cinq.
D’accord / maintenant il faillait souligner / si on a bien lu l’énoncé / souligner l’arrondi / alors / l’arrondi à l’unité / cinq
ou six / Leticia ///// l’arrondi à l’unité / cinq ou six /
Hein… six.
Six / l’arrondi au dixième, cinq virgule sept ou cinq virgule huit / Cindy (31min17)
Cinq virgule sept.
Cinq virgule sept // l’arrondi au centième / cinq virgule soixante-quatorze ou cinq virgule soixante-quinze / Michael /
Hein ... soixante-quinze /
Cinq / virgule…
Ah / Non non / soixante-quinze / soixante-quatre
Soixante-quatre.
Quatorze.
Quatorze // après le quatre, il y en a un autre quatre / ça va être plus petit que cinq / on change pas / garde la troncature /
et enfin / l’arrondi au millième // quel est-il / l’arrondi au millième / Ela ?
Moi / je l’ai pas fait / hein …
Bon / tu réfléchis.
Hein … cinq virgule sept cent / quarante … cinq /
Cinq virgule sept cent quarante-cinq / parce que derrière le quatre, il y a un cinq / cinq pour
Vend 20 Mai
arrondi / il faut ajouter un au dernier chiffre / d’accord / vous fermez vos cahiers de texte s’il
Math. Ex19 p.91
vous plaît /// pour // demain / vendredi /// (P écrit au tableau) exercice dix-neuf / page quatre+ calculatrice
vingt-onze /// plus / demain, on commencera un nouveau chapitre dans lequel la calculatrice est
indispensable / (34min54, les élèves commencent un contrôle jusqu’à la fin de la séance)
II.2.5 SEANCE NF-200520054E : COSINUS
La séance commence avec une correction d’exercices qui avaient été donnée la séance d’avant. Sur la transcription, il n’y a
pas cette partie.
1
PROF=NF
2
3
Es
PROF=NF
4
5
6
7
Es
PROF=NF
E=(S)ophian
PROF=NF
8
9
Es
PROF=NF
436
(08min23) Alors, quand vous avez fini / vous allez fermer vos livres et vos cahiers / vous n’avez besoin de rien / que
d’écouter / et voir ce qui est au tableau / même ceux qui ont le bras cassé / peuvent quand
même écouter // et se réveiller / (p. 8ss. En regardant l’élève qui a le bras cassé ; ses bras et sa
tête sur le sac qui est sur la table) le sac par terre / c’est pas // un coussin pour dormir dessus
//// j’ai pas dit de le ranger / j’ai dit de le fermer pour que / histoire que ça ne dérange pas /
qu’on soit pas attiré par autres choses / que ce qu’on va faire / (p. 44ss, les élèves ferment leurs
livres et cahiers, P fait des remarques sur ce sujet à certains. Il y a un triangle dessiné au
tableau 09min41) bien / alors, on va revenir sur un chapitre de géométrie / qui va s’intituler /
on va voir le cosinus d’un angle / ce chapitre fait partie d’une branche des mathématiques qui
s’appelle / la trigonométrie ////
Oh ... la ...
Alors, la trigonométrie / ça vient de deux mots / trigo, qui veut dire triangle / et métrie / mesure // qu’est-ce qu’on peut
mesurer dans ce triangle /
Les côtés.
Levez le doigt s’il vous plaît / Sophian.
Soient les côtés ou les angles.
Les côtés et les angles / alors, on va s’intéresser à un triangle en particulier qu’on a déjà tous rencontré / qui est le
triangle //
Rectangle.
Dans ce triangle rectangle / on connaît déjà / une relation // sur la longueur des côtés / quelle est / la propriété ou le
10
11
12
13
14
15
16
17
E=(Ch)arlotte
PROF=NF
Ch
PROF=NF
Ch
PROF=NF
E
PROF=NF
18
19
Ch
PROF=NF
20
Ch
21
PROF=NF
22
23
24
25
26
27
28
29
Es
PROF=NF
E=(El)a
PROF=NF
E=(M)axime
PROF=NF
M
PROF=NF
30
31
32
33
34
35
E=(A1)drian
PROF=NF
A1
PROF=NF
A1
PROF=NF
théorème / qui nous donne une relation sur la longueur des côtés / Charlotte /
Ben / les deux côtés opposés à … ah… l’hypoténuse / est égal aux deux autres côtés /
Vous êtes d’accord /
à le * des deux autres côtés /
Vous êtes d’accord //
Hein ...
Elle a dit / l’hypoténuse (un élève commence à parler)
La somme des carrés…
Carré de l’hypoténuse (en même temps Ch parle: la somme au carré dans)… // qui est égale à la somme des carrés des
deux autres côtés / comment il s’appelle ce théorème.
Ben / le théorème de Pythagore (autres élèves disent Pyhtagore en même temps)
Théorème de Pythagore /// d’accord / donc, on connaît une relation sur les longueurs des côtés // mais, uniquement sur
cette longueur des côtés (10min54) vous connaissez aussi une relation entre les trois angles / d’un triangle / qu’est-ce
qu’il se passe au niveau des trois angles d’un triangle //// Charlotte /
Ben ... si c’est un triangle rectangle / il y en un qui fait forcement quatre-vingt-dix dégrées / et le tout fait cent quatrevingt dégrées /
Et la somme des trois angles vaudra quatre-vingt-dix dégrées / alors / ce qu’on va voir maintenant /// Adrian, si ça
t’intéresse pas / c’est une chose // mais s’il te plaît / ne parle pas en même temps que moi //// ce qu’on va voir
maintenant / c’est une relation qui va permettre de faire le lien entre les deux // entre les longueurs des côtés / et les
mesures des angles / on pourra passer de l’un à l’autre / parce que pour l’instant, soit on reste sur la longueur des côtés
avec Pythagore / soit sur les mesures des angles avec la somme des angles d’un triangle // alors, j’ai tracé au tableau /
un triangle rectangle A B C / avec rectangle en A / on va commencer par définir un peu le vocabulaire (11min43) / on
va nommer les côtés / alors, Charlotte a parlé de l’hypoténuse / tout à l’heure / parmi / pour ce triangle-là / quel va être
le côté qui représente l’hypoténuse //
CB / BC / BC
BC / comment tu le reconnaîs //
Ben / parce que c’est le côté opposé à (autres élèves disent la réponse. P interromp à El)
Maxime / Maxime / Maxime (qui avait le doigt élevé)
/// C’est le plus grand côté / c’est le côté opposé à l’angle /
À l’angle qui est…
Ben … (en même temps, un autre élève répond : à l’angle droit)
Droit (P écrit au tableau) // alors maintenant, les deux autres côtés / ce sont les deux côtés de l’angle droit // pour les
différencier l’un par rapport à l’autre / je vais me positionner par rapport à un angle / alors, je vais me positionner par
rapport à l’angle B /// je vais dire // que le côté // AC / c’est le côté opposé à l’angle (P souligne le côté en question en
bleu) ça paraît naturel / d’accord / ça c’est le côté opposé (P écrit au tableau) à l’angle B / quel est le côté opposé à
l’angle C // Adrian ///// quel est le côté opposé à l’angle C // le côté // opposé // à l’angle C /
/// … Le côté /
Le côté…
////// B.
B c’est un point.
AB.
AB // et le troisième côté / qui est de l’autre côté de l’angle droit / on va dire que c’est
le côté // adjacent à l’angle B (P souligne le côté en question en vert) //////
ça / j’ai nommé les trois côtés / il y en un qui est l’hypoténuse / un autre // qui est le
Hypoténuse
côté opposé à l’angle B / et le troisième, c’est le côté adjacent à l’angle B /// bien //
Côté opposé
alors /// j’ai représenté un autre triangle ici / sur une feuille de papier (13min36, P
à B
montre le triangle à la classe) / d’accord / qui est rectangle / et j’ai fait en sorte qu’il
ait la même mesure d’angle / pour l’angle B / d’accord // j’ai choisi soixante / j’ai
60°
choisi soixante /// donc, l’autre sommet / l’autre angle aigu / il va mesurer…
Côté adjacente
à B
36
37
E
PROF=NF
38
39
40
41
42
43
E
PROF=NF
Es
PROF=NF
Ch
PROF=NF
44
45
46
Es
PROF=NF
Ch
47
PROF=NF
48
49
Es
PROF=NF
Trente-deux.
Il va mesurer trente-deux /// donc / j’ai un triangle rectangle ici / dont un de ses angles mesure soixante / celui du
tableau mesure soixante (P signale avec un doigt –d’une des mains qui soutient le papier- l’angle marqué soixante) /
donc, si je le mets / le triangle que j’ai tracé / dans le triangle que j’ai tracé au tableau // finalement // il y a un / qui va
s’emboîter dans le deuxième (P fait coïncider les deux angles soixante, sur le tableau) ///
C’est le même.
Alors, ce n’est pas le même triangle / c’est quoi qui est pareil /
L’angle.
Les angles / l’angle B / l’angle du sommet B.
Mais la mesure est la même /
Et de façon générale, tous les angles / alors / moi, ce qui m’intéresse ici / par rapport à l’angle B /// la mesure de l’angle
est la même, est-ce que la mesure des côtés est la même.
Non.
Non // clairement / les côtés n’ont pas la même mesure /
Mais / en fait / dans la relation qu’on a vu … hein … ah non / c’était pour le … / non / la rela / dans le théorème de
Thalès / il y a une relation de …
Alors (14min42) // vous devez voir effectivement quelque chose là / ça vous fait penser à quelque chose / cette figure /
deux triangles à moitié…
Ah oui / ah oui / (en même temps : c’est vrai, théorème de Thalès) // Théorème de Thalès là /
Théorème de Thalès / alors, comme je ne peux pas / comme je ne peux pas le tenir ce triangle / je vais le tracer /// ici //
437
50
51
El
PROF=NF
52
53
E=(My)riam
PROF=NF
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
E
PROF=NF
E=(J)on
PROF=NF
E
PROF=NF
A
PROF=NF
E
PROF=NF
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
El
PROF=NF
El
PROF=NF
S
PROF=NF
S
PROF=NF
S
Ch
PROF=NF
Ch
PROF=NF
77
78
79
80
El
PROF=NF
El
PROF=NF
81
82
83
84
85
A
PROF=NF
E=(T)hibaut
Es
PROF=NF
86
87
T
PROF=NF
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
T
PROF=NF
T
PROF=NF
T
PROF=NF
E
T
PROF=NF
T
PROF=NF
T
PROF=NF
Es
PROF=NF
103
104
E=(Mi)chael
PROF=NF
438
(P positionne les deux triangles en coïncidant l’angle B et trace le côté opposé à cet angle, au tableau) ///// je vais lui
donner autre nom / je vais appeler ce point M (P l’écrit au tableau)
Et l’autre N.
Mieux E F (P efface M et écrit les autres) / d’accord /// dans ce triangle // B / E / F //// s’il te plaît, Gari / dans le triangle
BEF / est-ce que vous pouvez me donner le nom de l’hypoténuse de ce triangle BEF / (des élèves répondent en même
temps) lève le doigt / Myriam
EB.
EB / qui est en rouge aussi / quel est le côté // adjacent à cet angle B dans ce
triangle /
FB.
FB / qui est en vert / quel est le côté opposé à l’angle B dans ce triangle / Jon ?
EF.
EF / je trace en bleu pour le côté opposé / alors, on a dit / effectivement, cette figure nous fait penser /
À un triangle.
Adrian.
Au théorème de Thalès.
Au théorème de Thalès / alors on va l’appliquer ////
On l’écrit sur le cahier.
Non non non / on va le faire ensemble //// je ne demande pas grande chose / sinon de se taire pour certains /// et de ne
pas faire de brouilles / avec quoi ce soit //// théorème de Thalès / est-ce que quelqu’un peut me donner les hypothèses /
je ne vais pas les écrire / vous allez simplement me les donner à l’orale // Ela
Alors / dans un triangle …
Dans lequel ? Ici /
Dans le / dans le triangle A / B / C / E appartient à BC / F appartient à AB /// FE est parallèle à AC
Vous êtes sûr de ça /
Non, on ne le sait pas ça.
Sophian.
On ne le sait pas / parce que c’est pas écrit là.
Alors / qu’est-ce qu’il faut dire là ?
En fait / en fait / … que le côté opposé …
Non.
Non // Charlotte.
Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième / elle sont // parallèles /
Oui / c’est qu’on / on a bien les deux angles droits / dans le triangle rectangle / donc, on a bien les droites parallèles /
Ela, tu prends tes affaires et tu viens devant.
D’accord madame!
///// (El commence à ranger) // non, tu prends ta trousse pour l’instant / on verra après /// dépêche-toi / s’il te plaît /
Je me dépêche /////
Bien / donc, on a cité toutes les hypothèses (17min19) / qu’est-ce qu’on dit une fois qu’on a donné toutes les
hypothèses et justifié le parallélisme /// Adrian ?
D’après le théorème de Thalès / on a (P l’interromp)
On a / alors qui me donne / les trois relations / qu’on a ici / Thibaut ?
E milieu de ...
Non / non …
On a donné les hypothèses / on est pas dans le théorème du milieu / on est juste dans le théorème de la droite / de /
Thalès /// on a dit / on sait que / c’est Ela qui l’a dit / on a dit / d’après le théorème de Thalès / c’est Adrian qui l’a dit /
on a //maintenant / qu’est-ce qu’on a /
(p. 6ss) hein …
C’est par rapport aux longueurs du petit triangle / sur les longueurs du grand triangle /// chut (aux autres élèves qui
veulent répondre) ////
(p. 7ss) ah oui / EB
Petit triangle.
Hypoténuse
EB égale
Pas EB égale / c’est EB sur quelque chose…
Côté opposé
EB sur / hein …
à B
C’est quoi le côté sur le grand triangle correspondant /
60°
CB.
/// hein … ben BC (P écrit le quotient au tableau)
Côté adjacente
BC ///// égale
à B
/// égale … // BF / sur … B / A
On les écrit de la même couleur que les côtés (P écrit le quotient au tableau)
EB = BF = EF
//// égale … EF sur AC //// (P écrit le quotient au tableau)
AC
BC
BA
Vous êtes d’accord /
Oui.
D’accord / alors / quand on a cette relation-là / en général, on remplace par les valeurs et après on utilise le produit en
croix / ici, je n’ai pas de valeurs / mais je vais quand même utiliser le produit en croix sur deux / des quotients /// je vais
garder / les deux premiers / là (P encadre les deux premiers) /// je garde ces deux / que donne le produit en croix à partir
de ces deux / que donne l’égalité du produit en croix à partir de ces deux / quand on multiplie (des élèves répondent en
même temps) / alors / quelqu’un lève le doigt s’il vous plaît // Michael.
EB fois BA.
EB fois BA / alors, je les écris de la même couleur // EB (P l’écrit en rouge) multiplié // par BA (P l’écrit en vert) //
105
106
107
108
109
110
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140
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142
143
144
145
146
147
148
149
égale //
Hein / BF fois BC...
BF / (P l’écrit en vert)
EB × BA = BF × BC
Fois BC…
Multiplié par BC (P l’écrit en rouge) ///
d’accord ///// alors // je vais vous donner une autre relation / au tableau /
S
Madame /
PROF=NF
Oui.
S
Mais, par exemple / si hein… BC était / hein / ben / hein / par exemple, c’était quatre tiers / EB /
PROF=NF
Oui.
S
EB / EA.
PROF=NF
On le connaissait.
S
BF ben voilà /
PROF=NF
Trois et … sept.
S
Normalement ça ferait BC fois BF / hein … hein … sur hein …(P le coupe)
PROF=NF
Sur BA / mais, si tu veux trouver EB / qui est ici / il suffit de prendre cela et de diviser par celui-là / on * bien
exactement le même / d’accord / alors, je vais vous donner une autre relation / je vais vous donner ///// BF // sur EB // (P
l’écrit au tableau à couleur) et de l’autre côté, je vais vous donner // BA /// sur BC // (P l’écrit au tableau à couleur)
vous allez appliquer le produit en croix //// avec celui que je vous donne // qu’est-ce que vous obtenez / si vous
appliquez le produit en croix là-dessus /// Jonathan // qu’est-ce que (des bruits dans l’enregistrement) je t’écoute pas /
pardon ?
BF = BA
E=(Jo)nathan EB fois BA.
PROF=NF
EB / fois / BA / bien ce qu’on a là.
BC
EB
Jo
BF fois BC (avant d’avoir dit « C » P commence à parler)
PROF=NF
Égale / BF fois BC / ce qu’on a là / donc, finalement, de cette relation / on retourne sur le même produit en croix ///
alors / au départ, on a un triangle / on en a déduit d’après le théorème de Thalès / que cette relation est vraie / d’après le
produit en croix / on a déduit que cette relation est vrai / et on peut déduire aussi / que cette relation-là est vraie / alors
on va regarder cette relation / ce qu’elle nous donne // cette relation elle m’intéresse / parce que / Myriam qu’est-ce
qu’il passe // elle m’intéresse parce que BF et EB (P écrit au tableau) / BF et EB, ils appartiennent tous les deux au
petit triangle // et que / BA et BC / (P écrit au tableau) BA et BC, ils appartiennent tous les deux au grand triangle /
(22min02) alors, maintenant, on va revenir / avec les nombres-là // BF / c’est quel côté par rapport à l’angle B / dans
mon grand triangle / dans mon petit triangle // (des élèves disent la réponse) Kevin ?
K
Adjacent
PROF=NF
C’est le côté en vert, adjacent à l’angle B ///// (P l’écrit au tableau) ///EB / c’est quoi Sophian /
S
EB //// EB c’est, hein … EB c’est …
PROF=NF
C’est quoi EB /
Côté adj à B = BF = BA
S
C’est l’hypoténuse (en même temps P dit : « dans le petit triangle »)
PROF=NF
C’est l’hypoténuse (P l’écrit au tableau) ///// de l’autre côté /
BC
Hyp
EB
S
Alors, B A c’est le (P le coupe)
PROF=NF
Alors, on va prendre quelqu’un d’autres // Nancy /// BA et BC sont des côtés du grand triangle / BA / dans le grand
triangle / par rapport à l’angle B / c’est quel côté / BA
E=(N)ancy
C’est le côté adjacent /
PROF=NF
Côté adjacent // à l’angle B (P l’écrit au tableau) /// et BC ////
N
Hein /// ben ////
PROF=NF
C’est … // BC
Côté adj à B = BF = BA = Côté adj à B
N
L’hypoténuse.
BC
Hyp
EB
Hyp
PROF=NF
L’hypoténuse /// (P l’écrit au tableau)
alors de ce qu’on a / au départ, on avait deux triangles / le grand et le petit / vous avez pas les mêmes longueurs des
côtés / et pourtant / on remarque que, quand on fait / la longueur du côté adjacent à l’angle / divisée par la longueur de
l’hypoténuse / ça, dans le petit triangle / on trouve la même chose / que si on fait / la longueur du côté adjacent à l’angle
sur l’hypoténuse dans le grand / quelqu’un va venir vérifier en mesurant que c’est bien ça / qui vient mesurer / BF //
dans le grand triangle, Cécile (C va au tableau) / dans le petit / pardon (C mesure sur le triangle au papier qui est sur la
table de P)
E=(C)écile
Ça fait dix-sept (P l’écrit au tableau)
PROF=NF
EB / mesure EB (C mesure sur le triangle au papier qui est sur la table de P)
C
Trente-quatre / (P l’écrit au tableau)
PROF=NF
Quelqu’un // tu vas le faire parce que tu es là / tu va mesurer BA maintenant là-bas / BA / (C mesure sur le tableau)
quelqu’un calcule dix-sept sur trente-quatre / pour savoir qu’est-ce que ça donne /
C
Trente-neuf.
PROF=NF
Bon / écris quarante (P parle à C à voix basse. On n’entend pas le reste) //// et puis /
Es
Zéro virgule cinq / zéro virgule cinq (P écrit au tableau le résultat du quotient)
PROF=NF
BC ///// chut ///
C
Quatre-vingt (P n’entend pas et C répète) quatre-vingt ////
40 = 0,5
0,5 = 17
PROF=NF
Merci // (C reprend sa place) et quarante sur quatre-vingt / ça fait /
80
34
aussi / Lore.
E=(L)ore
Zéro virgule cinq (P l’écrit au tableau)
PROF=NF
Zéro virgule cinq / donc, on vient de vérifier /// par / en mesurant / ce qu’on vient de démontrer / ça marche bien sur la
figure // alors, ce nombre / qui est le même / qu’on se place / dans le petit triangle ou dans le grand triangle / ne va
dépendre que de la / ce qui est la même chose dans le petit et dans le grand triangle / or qu’est-ce qui est la même chose
dans le petit et dans le grand triangle ?
E
C’est l’angle.
Mi
PROF=NF
Mi
PROF=NF
439
150
PROF=NF
151
152
Es
PROF=NF
153
154
L
PROF=NF
155
156
A
PROF=NF
157
158
A
PROF=NF
159
160
E
PROF=NF
161
E
440
Qu’est qui / c’est l’angle / donc, cette valeur-là / ne va dépendre que de l’angle / zéro cinq / ça va correspondre à l’angle
/ de soixante dégrées / c’est pas la mesure / la mesure c’est soixante dégrées / alors vous allez prendre vos calculatrices
là / je vous avais demandé de l’apportée /// vous allez prendre vos calculatrices // sur vos calculatrices / vous allez
trouvez une touche (26min10. Des élèves disent : cos, cos, cos) où il y a marqué au-dessus cos ///// qui veut dire /
cosinus / et vous allez taper // cosinus / cos / zéro virgule cinq / et vous allez me dire / qu’est-ce que vous allez obtenir
(il y a du brouit dans la clase) /// alors / quelqu’un qui a trouvé la réponse me dit / quand vous tapez cos / zéro virgule
cinq (On n’entend pas. Plusieurs élèves disent ce qu’eux ont trouvé) pardon / chut / s’il vous plaît //// (27min08. P élève
la voix) il faut que je fasse passer tout le monde là-bas (P se dirige vers des élèves au fond) vous arrêtez de vous amuser
avec n’importe quoi //// oh non, la personne en question (on n’entend pas) //// ** //// alors / vous allez pas tapez / pardon
cos / vous allez tapez selon vos calculatrices // shift ou second / la petite touche qui se trouve en général en haut / à
gauche / * second /ou shift / selon vos calculatrices / second cos zéro virgule cinq /// et vous allez me dire qu’est-ce que
vous trouvez //// alors on va écrire dans l’autre sens / ça sera peut-être plus simple / vous allez taper le contraire / vous
allez taper cos / soixante // vous allez taper cos soixante / ça sera plus simple ///// vous allez taper cos soixante //// et
vous obtenez //
Zéro virgule cinq.
C’est-à-dire le nombre / quand on avait trouvé ici /// (des élèves posent des questions par rapport à leurs calculatrices.
28min48) bien / allez vous posez la calculatrice /// chut ///// s’il vous plaît // donc, ce nombre zéro cinq / c’est pas la
mesure de l’angle / c’est un nombre qu’on appelle / le cosinus de l’angle / et qui nous permettra de venir à la mesure de
l’angle / en utilisant la calculatrice / d’accord // ce / ce nombre / on le trouve // dans le triangle rectangle / en faisant //
la longueur du côté adjacent à l’angle / divisée par la longueur de l’hypoténuse / on trouve dans ce cas-là un nombre /
qui s’appelle le cosinus / de l’angle // d’accord / le cosinus de l’angle / c’est un nombre / qui n’est pas la mesure de
l’angle / qui se trouve dans les triangles rectangles en faisant / le côté adjacent / divisé par l’hypoténuse // d’accord // on
va marquer cette formule dans le cahier de cours / ce qui est à retenir / (Les élèves prennent leur cahier. 29min50) /
alors vous prenez vos cahier de cours / un nouveau chapitre / chapitre douze / (p. 10ss) le chapitre douze, il ne sera pas
très long non plus / (p. 8ss) alors / cosinus dans angle aigu / cosinus / C O S I N U S /// et on ne va pas s’intéresser
qu’aux angles aigus / on ne va pas parler que dans des triangles rectangles / angles aigus /// première partie // (P répond
à une question. On n’entend pas. p 8ss) / première partie vocabulaire /// donc, le vocabulaire / c’est sur les trois / * qui
sont là / l’hypoténuse / côté adjacent à un angle / côté opposé à un angle / (P trace un triangle sur le tableau. p. 14ss) /
vous tracez un triangle rectangle /// on va l’appeler A B C / rectangle en A /////// (des élèves posent des questions sur ce
qu’il faut écrire) //// dans un triangle / rectangle // il y a deux angles aigus / ici, je les ai appelés A / C et B / je vais me
positionner par rapport à l’angle C / l’hypoténuse / dans ce triangle / c’est quel côté Lore /
Hein … CB.
CB / BC est l’hypoténuse (En même temps, P l’écrit au tableau) / ** / par rapport à l’angle B / Adrian // quel est le côté
opposé à l’angle B /
CA.
CA // (P l’écrit au tableau) /// l’autre côté, comment on l’appelle / c’est-à-dire ici (P signale avec le doigt le côté qui
reste) AB /// Adrian /
Chap 12. Cosinus d’un angle aigu
Côté adjacent.
Côté adjacent /// (P l’écrit au tableau) // Donc, voilà
A Vocabulaire
le vocabulaire / il faudra * l’hypoténuse / ça vous
savez / côté adjacent à l’angle / côté opposé à
•
[BC] est l’hypoténuse
l’angle / (un élève pose une question. On n’entend
pas) il faut quand même prendre la règle / pour faire
∧
•
[CA] est le côté opposé à l’angle B
un triangle / (autre question, on ne l’entend pas)
non je ne vais pas prendre de valeurs particulières ///
∧
partie grand B // cosinus d’un angle aigu /
•
[AB] est le côté adjacent à l’angle B
Grand B
Cosinus / d’un angle aigu (P l’écrit au tableau) ///// pour pouvoir parler / pour pouvoir calculer plutôt un cosinus / il
faudra se placer dans un triangle rectangle / (autre question, on ne l’entend pas) on pourra pas le calculer en faisant /
côté adjacent sur l’hypoténuse /
D’accord.
162
PROF=NF
(P écrit en même temps au tableau) Dans un triangle rectangle / le cosinus d’un angle aigu /////////// le cosinus d’un
angle /// ai / gu // est donné par le quotient /// de quoi /// on vient à la ligne pour le donner /// il faut faire la longueur //
du côté adjacent à l’angle /// sur // la longueur de l’hypoténuse //// c’est ce rapport de la longueur qu’il faut retenir /
longueur du côté adjacent / divisée / par / la longueur de l’hypoténuse (35min52. Les élèves copient et certains posent
des questions. 37min01)
B Cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est donné par le quotient:
Longueur du côté adjacent à l’angle
Longueur de l’hypoténuse
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
E
PROF=NF
Ch
PROF=NF
Es
PROF=NF
Ch
PROF=NF
Ch
PROF=NF
173
174
F
PROF=NF
175
176
177
178
179
180
My
PROF=NF
My
PROF=NF
My
PROF=NF
donc, on va faire la figure correspondante / il faut prendre un triangle rectangle ///// (P trace le triangle au tableau) je
vais l’appeler A B C rectangle en A /////////
/// (un élève demande s’il peut faire le triangle de la même taille que celui qui est dessiné au
tableau. 37min55) je vais me positionner par rapport / à l’angle B // (un élève pose une
question. On n’entend pas) // le cosinus de l’angle B / on va le noter comme c’était marqué
sur la calculatrice / c’est-à-dire, on va simplement écrire cos / C O S / et ça se lit / cosinus //
le cosinus de l’angle B va se noter donc, cos / B / avec un chapeau sur le dessus du cosinus
de l’angle B ///// donc ça / ça se lit / cosinus / de l’angle B / (P l’écrit au tableau) //
// alors / pour // pour trouver ce cosinus / on a besoin de connaître la longueur
∧
∧
du côté adjacent à l’angle B et la longueur de l’hypoténuse / quelle est
cos B se lit cosinus de l’angle B
l’hypoténuse / dans ce triangle-là /
CB.
Charlotte?
Hein … CB.
Quel est le côté adjacent à l’angle B
AB / AB // AB.
AB / donc, on écrira / que le cosinus de l’angle B / est égal / alors // le côté adjacent, ça sera / Charlotte tu as dit /
AB (P l’écrit au tableau)
AB / sur l’hypoténuse / c’est-à-dire…
CB (P l’écrit au tableau)
Voilà // dans ce triangle-là / on a ça (39min25. Les élèvent écrivent. 39min37) / AB et BC ce sont les longueurs des
côtés / si on a / une information sur l’angle / donc, on a une relation / entre les mesures d’angles et les mesures des côtés
/ donc, ça nous permettra / soit de calculer des mesures de côtés / soit de calculer des mesures d’angles /
Madame, je ne comprends pas la phrase / cos B se lit cosinus de l’angle B // ah oui / c’est (P le coupe)
Ça, c’est l’expression / si tu veux / ça se lit // comme ça (P écrit des guillemets) dans ce triangle / on peut calculer le
cosinus de quel angle, ici /// de C / de l’autre angle aigu // alors, est-ce quelqu’un peut me donner la relation qui permet
de calculer / le rapport des longueurs / qui permet de calculer le cosinus de l’angle C /// Myriam /// on va appliquer la
même formule / (un élève parle en même temps : madame, madame, CB, CB) la longueur du côté adjacent à l’angle C /
c’est quoi le côté adjacent à l’angle C ici //
AC.
∧
AC (P l’écrit au tableau) / sur la longueur de l’hypoténuse /
cos B = AB
BA / AB / ah non …
BC
∧
L’hypoténuse.
∧
∧
cos C = AC
Cos B se lit cosinus de l’angle B
BC.
BC
BC (P l’écrit au tableau)
// voilà / d’accord //// alors, on marquera les remarques la prochaine fois / je vous donne l’exercice / à faire pour lundi //
et vous avez à retenir cette formule-là / cosinus d’un angle / est la longueur du côté adjacent sur la longueur de
l’hypoténuse /// pour lundi / vous faites la feuille d’exercices que je vous donne / (P distribue la feuille. Il y a du bruit.
Quelques minutes après, la classe finit. 43min05)
441
ANNEXE III : ENTRETIENS PROFESSEURS 4E
Annexe III ENTRETIENS PROFESSEURS 4E Dans cette annexe nous présentons les guides des entretiens avec les professeurs de 4e : « CB » et « NF ». Dans les deux paragraphes qui
suivent, les transcriptions de ces entretiens sont ajoutées.
III. TRANSCRIPTIONS DES ENTRETIENS AUX PROFESSEURS DE 4E
III.1 GUIDES DES ENTRETIENS
Pour l’entretien avec CB
1.
Parfois, tu commences la séance en demandant aux élèves ce qu’ils ont fait la dernière fois. Pourquoi ? Quel ton objectif ? Il y a d’autres
séances où tu commences en disant aux élèves ce qu’ils vont faire dans cette séance. Pourquoi ? Comment tu décides quand commencer
avec un rappel du jour d’avant ou en disant ce qu’on va faire ?
2.
Pourquoi dans le cahier de cours, on n’écrit que, si on peut le dire comment ça, que la théorie ? Pourquoi les élèves font le travail
d’exercices séparé de la théorie ? Et pourquoi on utilise différentes couleurs ? Par exemple, le titre en rouge, les parties en bleu, …
•
c’est quoi la fonction de l’utilisation des couleurs quand vous résolvez des équations au tableau ? Est-ce que tu as vu dans les
copies des élèves quelqu’un qui le fait comme ça ?
3.
Pendant les échanges qu’on fait comme professeur avec les élèves dans la classe, on peut reconnaître différents types de passages que
j’ai appelé de « récapitulation » (B : 23, D : 81), « répétition » (D : 78-81, 158-161) et « reformulation ». PAR EXEMPLE…
Pour ton travail comme professeur, pour la gestion enseignante, quelle est l’intention de ces récapitulations ? C’est-à-dire, pourquoi on les
fait ? Quelle est la finalité ?
•
•
•
pour les reformulations, il y plusieurs types : un, par exemple, quand tu poses une question et l’élève ne répond pas, tu
reformules la question (D : 111-113). Comment tu choisis quoi dire la deuxième fois ?
on peut avoir aussi reformuler la réponse donnée par un élève. En quelque sorte, en la structurant différemment, en la
complétant mais sans énoncer clairement la partie qui complète la réponse.(A : 55-56)
mais, j’ai repéré plutôt dans tes cours que tu fais presque toujours des reformulations explicites, en indiquant ce que tu attends
de l’élève. (A :68-69)
Pourquoi tu crois qu’il y a des professeurs qui reformulent avec la deuxième forme plutôt que la troisième ?
4.
Plus tôt, pendant les séances de géométrie, quand on utilise des figures comme, par exemple, pour l’étude des droites remarquables, tu
poses une question et en même temps tu demandes à l’élève de regarder la figure. Par exemple, (D : 41, 216) Qu’est-ce que les élèves
doivent reconnaître dans la figure qui peuvent les aider à répondre aux questions ?
5.
Parfois, tu demandes aux élèves de se rappeler de quelque chose que d’autres élèves avaient déjà dit. Dans ce cas-là, tu ajoutes à la
question, « c’est ** qui l’a dit. » (D : 95, A : 54, 109) Qu’est-ce que ça change de poser non seulement la question mais aussi, de lui dire
qui l’avait dite ? Quelle est la fonction de ce rappel ?
6.
Quelle est la fonction de demander aux élèves comment ils ont trouvé un résultat ?
7.
En certaines occasions, tu fais des commentaires qui évoquent des passages du passé des élèves. Par exemple (C : 66), «On a vu ça dans
la leçon sur les translations. » ou (A : 40) « Ces équations-là, c’est le programme de cinquième. » ou (D : 123) « On n’a jamais fait la
réciproque du théorème de Thalès en classe de quatrième. ». Quel est ton intention ou ton objectif en faisant ces évocations ?
8.
Pendant la séance de « mettre en équation » un problème, tu dis qu’un problème c’est plus facile de le mettre en équation quand le texte
est mathématique. Pourquoi tu crois ça ? Pourquoi c’est plus difficile au contraire ? (B : 137, 152)
9.
Quand vous alliez commencer l’étude des droites remarquables dans un triangle, au début de la séance, tu as posé des questions aux
élèves en leur demandant des choses qu’ils avaient faites avant. Par exemple : (C : 1) « Au début de l’année, on avait vu les
médiatrices. » ou (C : 7) « Comment s’appelle le point d’intersection de toutes les médiatrices ? » ou (C : 13) « Rappelle-moi, qu’est-ce
que c’est une hauteur ? ». Alors, qu’est-ce que tu cherches en posant ces questions avant l’étude de l’orthocentre ou de la démonstration
de son existence ?
10. Dans cette démonstration, tu dis à un moment qu’ « une fois, qu’on a les parallélogrammes, les translations vont arriver plus
facilement ». Pourquoi tu crois ça pour les élèves ?
11. Pourquoi tu rappelles le but de la démonstration quand tu es en train de guider le travail avec les élèves ? (D : 79. « le but c’est de
démontrer que »…)
443
12. Au début de la séance de l’étude du centre de gravité, tu as posé la question à savoir qu’est-ce que les élèves avaient remarqué quand ils
ont construit l’orthocentre pour les trois triangles. C’est Cloé qui répond. Pour le premier triangle, elle dit « rien en particulier », pour le
deuxième, qu’il se trouvait sur le sommet de l’angle droit et, pour le troisième, qu’il était à l’extérieur. Et après, tu reviens au premier
triangle et maintenant, elle a pu remarquer qu’il était à l’intérieur. Pourquoi tu n’avais pas dit quelque chose pour le premier triangle au
début ? C’est-à-dire, tu avais pensé continuer avec les autres et après revenir au premier ?
13. Pendant la même séance, en regardant cette figure (D : 56), tu poses comme question : « Qu’est-ce qu’on pourrait en déduire tout de
suite ? » et une élève dit : (D : 46-47) « Avec quoi tu as fait le rapport ? ». Qui t’a amené à lui demander sur le parallélisme ?
14. Toujours dans cette séance, pendant la démonstration de ce jour-là, les élèves devaient se rappeler du théorème qui (D : 111) « permet
de dire que KG et BD sont parallèles ». C’est Nasahar qui finalement le dit. Tu demandes tout de suite à Neil le même théorème et lui, il
ne le dit pas. Alors, Nasahar, elle le répète deux fois et après, Neil, il le répète aussi. Pourquoi tu voulais faire répéter le théorème par
Neil ? (D : 125-152)
• Comment tu fais pour que les élèves se rappellent de quelques choses ?
Un concept, une technique, une formule, …
• Comment les élèves peuvent se rappeler quand tu n’es pas avec eux ?
• Tu crois que les techniques que tu utilises dans la classe pour structurer la mémoire des élèves (pour qu’ils se rappellent de
quelques choses) sont transférées ou apprises par les élèves ?
• Est-ce que tu fais quelques choses de différent, au niveau de gérer le rappel, quand c’est une séance d’algèbre, par exemple,
la résolution d’équations, que quand c’est une de géométrie, par exemple, les droites remarquables dans un triangle ou le
théorème de Thalès ?
Pour l’entretien avec NF
1.
Parfois, tu commences la séance en demandant aux élèves quelques choses spécifiques qu’ils ont faites la dernière fois. Pourquoi ?
Qu’est-ce que tu attends des élèves à ce moment-là, au début ?
2.
Pour l’étude de la proportionnalité, avant de distribuer la petite fiche, tu expliques aux élèves la finalité de ce travail : juste pour se
rappeler un peu. De quoi les élèves devaient se rappeler à ce moment-là ? Est-ce que tu as choisi les valeurs des tableaux au hasard ?
3.
Avant de représenter graphiquement les tableaux de la fiche, tu as rappelé « un peu le vocabulaire ». Pourquoi tu as décidé de rappeler
ce vocabulaire (repère, ordonnés, abscisses, origine) et à ce moment-là ?
4.
Pour montrer que les points étaient alignés, pour la première et la troisième représentations graphiques, tu as pris la règle et tu l’as
positionnée sur le tableau. Pourquoi la règle et non un autre objet ? Quel est le rapport entre une règle et une droite ?
5.
Pendant les échanges qu’on fait comme professeur avec les élèves dans la classe, on peut reconnaître différents types de passages que
j’ai appelé de « récapitulation », « répétition » et « reformulation ». PAR EXEMPLE…
Pour ton travail comme professeur, pour la gestion enseignante, quelle est l’intention de ces récapitulations ? C’est-à-dire, pourquoi on
les fait ? Quelle est la finalité ?
6.
Pourquoi dans le cahier de cours, on n’écrit que « ce qui est à retenir » ? (Pourquoi les élèves font le travail d’exercices séparé de la
théorie ?)
7.
Quand on écrit dans ce cahier, on utilise différentes couleurs. Par exemple, le titre en rouge, les sections (ou sous-titres) en vert, les
propriétés en rouge. Pourquoi ? Qu’est-ce que tu cherches en le faisant comme ça ? Ce sont les mêmes raisons pour utiliser les trois
couleurs pour l’étude du cosinus ?
8.
(Le commentaire de Charlotte) Après, on s’aperçoit que « ce qui fait penser à cette figure », c’est le théorème de Thalès. Qu’est-ce que
les élèves doivent reconnaître dans la figure pour penser à ce théorème ? Si Charlotte n’avait pas fait ce commentaire, comment tu
aurais fait le rapport avec le théorème de Thalès ?
9.
Toute de suite dans cette séance, tu as demandé les hypothèses du théorème et « c’est qu’on dit une fois qu’on a donné toutes les
hypothèses ». Après, tu as demandé les relations, la conclusion de Thalès, mais l’élève qui répond se trompe. Alors, tu fais une
récapitulation mais cette fois, en rappelant les prénoms des élèves qui avaient répondu avant. Qu’est-ce que change de se rappeler non
seulement de l’action mais aussi de la personne ? C’est-à-dire, quelle est la fonction de rappeler aussi qui a répondu aux questions ?
10. Quelle est la fonction de demander aux élèves comment ils ont trouvé un résultat ?
11. A la fin de la troisième séance de proportionnalité, vous avez étudié comment trouver graphiquement une valeur d’un tableau de
proportionnalité et tu as remarqué le fait de laisser les pointillés. Pourquoi ? Qu’est-ce qu’ils représentent ?
12. Après, on va parler du coefficient de proportionnalité et tu vas demander de le trouver dans certains exercices. Par exemple, pour les
exercices des bonbons et des dragées. Pourquoi tu penses que la première réponse des élèves c’est par rapport à la situation ? Dans ces
exemples, comment on pourrait reformuler la question pour avoir comme réponse « coefficient de proportionnalité » ?
444
13. Dans la deuxième séance sur la proportionnalité, tu expliques aux élèves une « deuxième méthode » pour compléter un tableau de
proportionnalité qui s’appelle produit en croix. Tu demandes aux élèves s’ils en avaient entendu parler. Ils répondent non. Pourquoi tu
as posé cette question ? Qu’est-ce qu’il aurait changé s’ils avaient dit oui ?
14. Tout de suite dans la séance, tu expliques que pour trouver la quatrième proportionnelle avec le produit en croix, on va faire une croix
comme ça, et tu l’as faite sur le tableau. Quelle est ton intention en utilisant la croix là ? Est-ce que le signe va aider en quelque sorte
aux élèves ?
15. Dans la première séance de proportionnalité, tu donnes une « définition un peu plus exacte » d’un tableau de proportionnalité. Tu
guides les élèves pour arriver à qu’un quart et l’inverse de quatre. Pourquoi tu voulais établir cette relation-là ?
• Comment tu fais pour que les élèves se rappellent de quelque chose ? Un concept, une technique, une formule…
• Comment les élèves peuvent se rappeler quand tu n’es pas avec eux ?
• Tu crois que les techniques que tu utilises dans la classe pour structurer la mémoire des élèves (pour qu’ils se rappellent de quelques
choses) sont transférées ou apprises pour les élèves ?
• Est-ce que tu fais quelques choses de différent, au niveau de gérer le rappel, quand c’est une séance d’algèbre, par exemple, la
résolution d’équations, que quand c’est une de géométrie, par exemple, le théorème de Thalès ?
III.2 TRANSCRIPTION DE L’ENTRETIEN AVEC CB
Lundi 06 juin 2005/Mardi 07 juin 2005, 15h/8h30
Dans la transcription, « C » correspond à la chercheuse et « CB » au professeur du 4A.
1
C:
2
3
4
5
6
CB :
C:
CB :
C:
CB :
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CB :
QUESTION 1
(00’30) Parfois, quand tu commences les séances, tu le fais en demandant aux élèves : « Qu’est-ce qu’ils ont fait la séance
d’avant »
Oui !
Par exemple, « qu’est-ce qu’on a fait hier », pour les équations
Oui.
Oui.
Oui, oui, souvent. Ça m’arrive souvent.
Alors, pourquoi ?
C’est pour d’abord remettre la mémoire à tout le monde, on est arrivé à l’étape précédente. Voir un peu s’ils ont assimilé ce qu’on
a fait, ce qu’ils ont assimilé. Hein ? … C’est sur tout, effectivement, pour répartir sur une chose d’acquis, sur une notion que…
pour voir qu’est-ce qu’ils ont retenu de la leçon précédente quoi ! Peut être, ça m’arrive quelques fois de le faire à la fin de la
séquence, d’une séquence. Ça n’aura peut être arrivé quand vous y étiez. Mais, ça peut, peut être arrivé à la fin de la séance. C’està-dire, à la fin de la séquence, j’ai demandé : « Qu’est-ce qu’on a appris de ces séances ? » « Qu’est-ce qu’on a appris ? »
« Qu’est-ce que le dernier cours vous a amené, quoi ? » Voilà, c’est simplement pour …
Et, quand tu le fais à la fin, c’est dans quel but ?
Pareil. C’est-à-dire, de leur faire voir, qu’est-ce qu’ils ont appris aujourd’hui. Qu’est-ce que, est-ce qu’ils ont appris quelque chose
de nouveau… disons que, sur le moment, c’est pour leur faire voir qu’on a fait quelque chose et, la fois suivante, c’est pour voir
s’ils ont un peu retenu… S’ils ont un peu regardé avant de faire l’exercice… s’ils ont retenu ce qu’on avait fait, quoi ! C’est tout à
fait dans la même optique. C’est-à-dire que, lorsque je le fais à la fin, c’est pour bien montrer qu’ils ont appris quelque chose.
Qu’on a fait quelque chose pendant cette heure-là. Ça, c’est surtout quand il y a des exercices, quand ils ont fait beaucoup
d’exercices, pour leur faire voir que, quand même, on a travaillé sur une notion. Ou, alors, le lendemain, c’est pour leur rappeler
effectivement ou on était.
D’accord. Parfois, tu commences par contre en leur disant : « Qu’est-ce qu’on va faire pendant la séance. » Alors, tu ne fais pas le
rappel de la séance d’avant. Mais, tu dis qu’est-ce qu’on va faire.
Non, ça dépend, ça dépend
Oui
Et, ça dépend de quoi ? Comment tu décides
qu’est-ce que…
Ben, ça dépend, parce que quelque fois, la dernière, la séance d’avant, on a fait simplement, on a fait simplement des exercices.
Donc, on n’a pas fait quelque chose de nouveau. Je dis souvent qu’est-ce qu’on va faire quand c’est nouveau. C’est-à-dire, quand
on commence un nouveau chapitre, ça dépend, j’ai pas de… ça dépend un peu de l’ambiance de la classe, quoi ! Si… de ce que je
vais leur faire faire. Effectivement, je ne dis pas : « Qu’est-ce qu’on va faire ? » Même dans le cours, je vais les laisser faire la
découverte au fur à la mesure. Ça dépend… Je vois …
Et il vont le découvrir comment ?
Voilà,
par les exercices. Par les exercices que… Je les amène. Je les amène à faire la découverte par
eux-mêmes. Pour un, pour la dernière leçon, c’était une leçon quand même qu’on avait préparé, qu’on avait préparé auparavant en
un devoir, un devoir à la maison des droites remarquables. Alors, il n’y pas tellement de découverte. C’était simplement la
démonstration. On démontrait que les bissectrices étaient concourantes. On démontrait que les médianes étaient concourantes.
Mais, ils avaient déjà la conjecture. Ils l’avaient déjà faite à la maison, parce qu’ils avaient déjà fait plein de triangles avec des
droites et ils avaient déjà vu que c’était …
Avec le… Avec la feuille.
Oui.
Voilà ! Je les avais données pour les trois (C montre la feuille). Voilà ! Là,
par exemple, là, je les avais données pour les trois, pour les trois droites. On n’a pas eu besoin de faire un travail de découverte en
classe quoi ! On manquait de temps, donc, quelque fois… Quelque fois, le travail de conjecture, je le fais donner à la maison.
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Donc, en classe, déjà une grande partie du travail, disons, de recherche, est fait. Il me reste plus qu’à… qu’à institutionnaliser…
institutionnaliser les choses quoi ! Ça dépend un peu… en géométrie, c’est long la géométrie. Donc, je suis obligée de donner un
peu de travail à la maison.
C:
C’est long dans quel sens ?
CB : Si on voulait vraiment les faire chercher, il faut leur laisser du temps. Et, je ne sais pas si tu as vu, mais, ils n’ont pas tous le même
rythme. Donc, ça dure, ça dure. Un exercice peut durer une heure en géométrie et comme j’ai un temps qui est limité, à un
moment donné, il faut bien trancher… faire faire quelque chose à la maison. Donc, le travail qu’ils peuvent faire seul à la maison,
je leur fais faire. Tracer les figures et tout ça, ils le font à la maison.
QUESTION 2
C:
(05’37) D’accord, tu as un seul cahier et on l’utilise des deux côtés
CB :
Oui.
Deux côtés.
C:
Pourquoi est-ce qu’on écrit sur le cahier de leçons ? Je pense
qu’il s’appelle comme ça. Si on peut l’appeler comme ça, la théorie ?
CB :
Oui.
C:
On écrit que la théorie dans le cahier de leçon ?
CB :
Oui, oui. Je leur fais faire ça parce que… fin … je pense que le cours pour eux, ils sont très jeunes, je pense
que le cours, … mais ça c’est personnel, c’est vraiment qu’il n’y ait que l’essentiel. C’est qu’il faut qu’ils retiennent
essentiellement. Je pense que, par exemple, je les aurais fait mettre la démonstration de la médiane, pour certains, en quatrième A
je l’ai fait, mais, tout simplement parce que c’est au programme. La démonstration est au programme. Mais, il y a beaucoup de
démonstrations qui ne sont pas au programme qu’on voit en classe, mais qui ne sont pas du tout au programme, qui ne sont pas
exigées en quatrième. Et, je crois que si on met toutes les choses dans le cahier de leçons, ils n’auront pas la leçon. Ils ne la
regardent que si vraiment c’est un résumé. Je fais vraiment un résumé. Sur le cahier de leçon, vraiment, c’est un résumé pour
moi ! Le cours c’est un résumé, c’est-à-dire, il n’y a pas des démonstrations, il y a simplement que les définitions et les propriétés
et les figures qu’ils voient tout de suite, qu’ils doivent apprendre. Voilà, je ne vais pas mettre autre chose sur le cahier de leçons.
C:
Et comment tu décides quoi mettre dedans … bon, les définitions, les propriétés
CB :
Les définitions, les propriétés oui.
C:
Les exemples ?
CB : Les exemples, certains exemples. En algèbre, certains exemples. En géométrie, le théorème et l’exemple, en fait, et la figure
associée. C’est-à-dire, le fait… la phrase en français et, puis, ce qu’ils doivent reconnaître sur le dessin ou la situation, la
configuration. Ce qu’on appelle la configuration qu’ils doivent reconnaître est le cours. Voilà ce que pour moi c’est la géométrie.
En algèbre, il doit y avoir des exemples. Je donne des exemples.
C:
D’accord, on utilise aussi différentes couleurs. Par exemple, le titre en rouge, les parties en vert,
CB :
Non …
pour moi … l’élève fait ce qu’il veut. Je
leur dis, là, de faire ressortir le résultat. Il y des élèves qui pour la définition mettent en vert… ça c’est personnel.
C:
C’est à eux.
CB : Oui, ils sont en quatrième, c’est à eux de le gérer.
C:
D’accord. Par exemple, ici, il y a différentes séances (C montre les transcriptions sur la résolution d’équations) où les élèves et
toi ont utilisé des couleurs.
CB :
Ah oui !
Oui.
Ça, oui, par contre…
C:
Et quel est le but d’utiliser différentes couleurs ?
CB : Parce qu’en fait, du point de vue pédagogique, disons que je suis très attentive au départ pour leur faire comprendre ce qu’est la
transposition. Parce qu’on voit des élèves, j’ai une certaine habitude dans les classes de troisième et de quatrième. On voit des
élèves, quand ils arrivent dans cet état-là (CB signale dans la transcription B : 23) il font moins un virgule quatre divisé par quatre
et pas par un virgule quatre, donc, je leur faire bien voir que, quand on transpose, on ajoute ça quand on fait une addition. On
ajoute l’opposé, quand on est là, il y a une petite multiplication. Donc, c’est pour faire bien voir quel nombre on ajoute ou on
soustrait, c’est tout. Les couleurs là, sont des couleurs simplement pour faire voir par quel nombre en fin le nombre qu’on ajoute
ou qu’on retranche à chaque nombre quoi. Bien faire ressortir l’opération qu’on fait pour passer de cette ligne à celle-là.
C:
Et tu utilises aussi les couleurs dans un autre sujet ?
CB : (8ss) Hein! …
C:
Tu sais pas ?
CB : Si en géométrie j’utilise quelques couleurs. Hein… une année j’ai utilisé un code de couleurs pour hypothèses, conclusions et
propriétés. On mettait les hypothèses en vert, la conclusion en rouge, … ça m’est arrivé. Je ne le fais plus parce que c’est trop
long. Ça demande à l’élève trop de manipulations de couleurs.
C:
Mais le résultat c’était … c’était bien.
CB :
Le résultat c’était pas mal. Bon …
C:
Ça pas changé (CB rit)
CB : J’ai fait autre chose cette année. Je l’ai fait par colonnes. Quand j’ai commencé la démonstration, je l’ai fait par colonnes :
colonnes des hypothèses, colonnes de propriétés, colonnes de conclusions. On n’avait pas le droit de passer d’une colonne à
l’autre, sans passer par (CB rit) par chaque colonne quoi.
C:
Oui.
CB : C’était par colonne. Je ne sais pas s’il y a quelque chose de meilleur…
C:
Dans les copies ou dans les contrôles sur les équations, est-ce que tu as trouver quelqu’un qui a utilisé les couleurs ?
CB : Hein … oui, oui. Il me semble, oui, oui, oui.
C:
Oui… et c’est un élève de quel… quel type d’élève ?
CB : Bons élèves.
C:
Bons élèves ?
CB : Oui.
CB :
… Bons élèves, voilà. Mais je pense que la leçon c’est relativement bien passée, même si les élèves, même s’ils ont fait des
erreurs, ils ont quand même compris le … ils ont quand même compris le sens. C’est-à-dire, qu’est-ce qu’il fallait faire. Même
s’ils ont fait des erreurs après. C’est-à-dire, des erreurs d’algèbre, des erreurs de calcul sur le coefficient, bon moins un moins
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moins, moins un x moins un x, ça fait zéro x au lieu de dire moins deux x. Là, on peut pas éviter les élèves qui ont trop de
difficultés, mais le… la méthode ils l’avaient assimilée. C’est-à-dire, le fait qu’on transpose, ça a été assimilé ça. Et par contre,
arrivé là, (CB signale dans la transcription B : 23) certains se posent encore des questions. Donc, je pense que même en insistant
fortement, il y a même ceux qui font des erreurs. J’avais en quatrième A, deux ou trois qui faisaient encore des erreurs à… quand
ils sont arrivés à un virgule quatre égal à moins vingt et un.
Oui, en fait, c’est aussi l’exemple quand Cloé, elle a passé au tableau pour résoudre l’équation avec les fractions
Oui, oui …
La difficulté c’est pas tout à fait résoudre l’équation.
Oui
oui. C’est la fraction elle même.
Oui, la fraction elle même.
Le calcul. On est … bon c’est pas
un secret, le calcul algébrique c’est un entraînement et, actuellement, on n’a pas trop de temps pour entraîner les élèves. À une
certaine époque, on avait eu une heure de plus en mathématique et ça se sent l’heure de moins. L’heure, dans l’horaire des élèves,
ça se sent. Ils ont une heure de moins en mathématique les élèves. On peut faire moins d’entraînement, moins d’entraînement. Ça
se sente du point de vue… surtout en géométrie, ça va à peu près, mais, en algèbre, les élèves ont quand même un peu plus de
difficultés il me semble qu’il y a quelques années. Parce que, plus simplement, on a moins le temps de les entraîner …
Pourquoi, tu crois que les élèves ont besoin de plus de temps en algèbre qu’en géométrie ?
Non, non, on n’a pas besoin de plus de temps en algèbre qu’en géométrie. Disons que moi, je privilégie un peu de géométrie. Mais
j’ai toujours, j’ai quand même le même nombre d’heures. Il a bien fallu qu’en algèbre je raccourcisse un peu mes heures
d’entraînement. Ils n’ont pas plus besoin des heures d’entraînement en algèbre qu’en géométrie oui ? Quand même le petit
exercice du style deux x plus trois x, deux x carré plus trois x carré, ce type de choses-là, on en a fait beaucoup plus avant, donc
les élèves étaient beaucoup plus attentifs… enfin, avaient beaucoup moins de difficultés dans ce genre d’exercices. Maintenant,
les élèves, ils réfléchissent plus fortement quand ils ont deux x carré plus x carré…. Ça …
Oui, et ils utilisent la calculatrice
pour dix moins huit ou quelque chose comme ça (C rit)
Oui
oui
oui, oui
QUESTION 3
(13’13) D’accord. Pendant les échanges qu’on fait comme prof avec les élèves, j’ai trouvé trois catégories ou trois types
d’échanges. Ils sont les récapitulations, les répétitions et les reformulations.
Oui
oui
oui, oui. La re-formulation, oui.
Oum jou. (un son d’affirmation) Par exemple les répétitions, c’est … c’est ici (C montre sur la transcription). C’est quand un
élève dit quelque chose et tu dis exactement la même chose.
Ah oui, ça m’est arrivé !
Il dit zéro, tu dis zéro. Comme ça. Quatre-vingt-onze et tu dis exactement la même chose.
Oum jou
oui, oui
Alors, pourquoi ce type de répétition ?
J’ai pas, j’ai pas (CB cherche dans la transcription où C a lu)
En fait, il y en a dans toutes les leçons, c’est pas…
Oum jou
Juste … Il dit quel est là, moins huit, tu dis moins huit, on cherche x, on cherche x.
Si ça c’est pas un tic … (CB rit)
Ça, c’est simplement un tic. Bon, d’après moi…
c’est possible, je ne m’en suis pas aperçue (CB rit).
Mais, en fait, c’est pas toi. Je le fais aussi. Presque dans tous les cours que j’ai vu …
Oui,
Oui, oui.
Ah oui ? Alors, attendez, il faut que je regarde… dans
quel… je ne me suis pas posée la question, parce qu’on s’entend pas de toute façon (CB rit)… alors … voyons la conversation.
(CB lis de la transcription)
Ce sont en … orange.
Oui, oui (10ss)
Je peux te donner une copie si tu veux.
Non non non non … Ah, là, c’est sûrement parce qu’il ne l’a pas dit. Je sais pourquoi, c’est une habitude parce que, bon, en
général, les élèves ils parlent pour (CB se signale avec ses deux mains)
Pour toi…
Pour moi et c’est moi, bon, c’est une habitude, comprendre, je suppose, je ne sais pas comment, hein … bon, il ne parle pas assez
fort, les autres ne l’écoutent pas, parce que… disons que c’est un défaut de l’enseignement. En fait, c’est pas la faute du prof, c’est
pas la faute des élèves. Les autres élèves n’écoutent pas, donc, quand moi je le dis, là, les autres élèves … ben … c’est un peu leur
rôle… leur rôle en fait. C’est pas obligatoirement le rôle du professeur. C’est nous qui ne prononçons pas, on devrait peut être pas
le faire. C’est-à-dire que, les gamins… je suis obligée moi d’institutionnaliser, moi, la réponse du gamin, parce que les autres
n’ont pas écouté. Je pense que c’est ça, hein ? Parce que si c’est, c’est un élève qui dit toujours hein.
Oui.
Et, c’est moi qui suis … en fait, c’est ça sûrement.
C’est
…
Voilà
Oui, tu …
voilà.
Il dit la réponse et tu la répètes.
Je pense que oui, je pense que c’est ça. C’est-àdire que, quelque fois, il faudrait se remettre dans la veine de la séquence. Je pense que, il m’a dit quelque chose, j’ai interrogé
sûrement, hein ? Il m’a donné une réponse, les autres non pas complètement écoutés, donc moi, j’ai senti le besoin, ça arrive assez
souvent, de redire ce que l’élève à dit, parce que les autres ne l’ont pas écouté, ne l’ont pas … ou alors, on l’a dit … comme ça …
rien qu’à moi, ou alors, les autres n’ont pas écouté quoi ! Je pense que c’est une raison, parce qu’autrement, je vois pas pourquoi
je répèterais… oum jou, c’est sûrement ça.
Il y a aussi d’autres échanges qui sont les récapitulations. Par exemple ça, ça, en rose (dans les transcriptions, les récapitulations
sont remarquées en rose) alors, c’est par exemple quand quelqu’un a fait un exercice et, à la fin, tu fais la récapitulation de tout le
travail.
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Oui.
Ou, comme ce que tu as dit, à la fin de la séance, tu fais une récapitulation.
Je pense que c’est absolument utile.
Pourquoi ?
D’abord pour… ben … pour que ceux qui n’ont pas, qui n’ont pas suivi, aient une seconde chance de suivre, parce qu’il y a quand
même, bon, j’ai des élèves qui sont en graves difficultés. Hein … (8 ss) La récapitulation, c’est quand même une façon de … de
leur permettre de voir sur le cahier … parce que souvent, c’est un travail oral ce qu’on a fait, d’avoir une trace écrite sur le cahier
pour ceux qui veulent refaire l’exercice. Pour ceux qui veulent s’entraîner à ce type d’exercice, parce que quand je donne après,
quand je contrôle, parce qu’il faut bien contrôler à un moment donné, j’essaie de donner des exercices qui ont été plus ou moins
traités en classe. En le … j’essaie de … en le … bon, en le changeant un petit peu l’énoncé, mais, j’essais de privilégier quand
même ceux qui ont été travaillés en classe et à la maison. Donc, … s’ils veulent avoir une trace écrite, il faut que je récapitule
quand même, parce que… le fait que … ça se dit oralement, ou par (bruit) ou au tableau, ça ne suffit pas, ou, du moins, pour les
élèves ça ne suffit pas. Ça ne suffit pas parce qu’ils ne peuvent pas structurer, ils ne peuvent pas prendre des notes. C’est pas des
élèves qui sont encore au niveau de prendre des notes. Ils sont pas capables, certains sont capables, pas tous, de prendre au fur et à
mesure des notes. Donc, il faut, quelque part, à la fin de l’exercice, utiliser une démonstration du tableau, à peu près, disons,
structurée. C’est la récapitulation, la récapitulation c’est pour structurer. En général, en géométrie, c’est pour structurer une
réponse quoi.
Pourquoi ils ne sont pas capables encore de prendre des notes ?
Je pense qu’ils sont très jeunes encore.
Qu’est-ce qu’ils leur manquent ?
Un peu … la maturité nécessaire à… pour suivre un travail et en même temps… comprendre. C’est difficile de prendre des notes.
Il faut être capables de continuer à travailler, en tenant compte de ce qui est au tableau. C’est, je pense que c’est pas un exercice
facile. En mathématiques, c’est peut-être un rôle plus facile, mais, c’est pas facile quand même. Parce qu’en mathématique, il y a
des moments où on peut récupérer, récupérer parce qu’il y a des moments de recherche, mais, c’est au détriment de la recherche.
C’est de prendre… c’est au détriment (on peut pas) de la recherche. Moi, je ne sais pas, je ne sais pas vous, mais, j’ai des
souvenirs de prises de notes, que je ne comprenais pas ce que j’ai pris comme notes. C’est-à-dire, j’ai des cours de faculté, par
exemple, où j’ai de grand point d’interrogation en * de marge. Honnêtement, ben, j’avais de grands points d’interrogation. C’està-dire, qu’au moment où je prenais des notes, je ne comprenais pas ce que j’écrivais. Et, ça, pour un gamin de collège, pour
quelqu’un de la fac, c’est pas un problème, parce qu’on va y revenir, on va travailler dessus. Mais, pour un gamin de collège, c’est
pas … il peut pas, le gamin. Je pense qu’ils sont pas assez matures pour comprendre et, en même temps, prendre des notes. En fin,
c’est personnel ça.
Est-ce qu’à l’université tu utilisais aussi, bon, tu utilisais, parce que, parfois, je vais au cours de l’université pour voir, des
couleurs et il y a des étudiants qui utilisent les couleurs, en définition ça, hein …
Non,
non,
non quand j’étais, non, non, parce que c’est
trop, trop long.
Et quand tu étais au collège ? C’était pas obligatoire ?
Non, non … (CB commence à rire)
Hum … ça a changé alors … (CB rit plus forte) … c’est bon comme ça … bon. D’accord. (14ss) Il y a aussi d’autres, ou les
troisièmes échanges, ce sont les reformulations.
Oui, oui.
Il y a plusieurs types de reformulations. Par exemple, ici, une très typique, c’est quand tu poses une question, ici… c’est la leçon
du jeudi. Tu poses une question, que me permet dire que les deux droites sont parallèles ? Alors, Neil, il dit, ben … hein … ben …
(CB rit) il répond pas. Alors, tu reprends la question, mais en la reformulant. Alors, tu dis plus de choses là-bas. Alors pourquoi ?
Pourquoi ce type de re-formulations et comment on décide…
Attend (CB lis sur la transcription) c’est celle du … (p.10ss)
La figure est là, si tu veux.
Oui parce que je sais plus où est-ce que je …
Là !
Ah oui c’est celle du barycentre. C’est celle du barycentre, oui, du centre du gravité, d’accord (p. 17ss). Ah oui ! (p. 5ss) Mais
là… alors, j’essaie de me remettre sur la veine, de me souvenir…. J’ai reformulé, oui. J’ai plus que reformulé là (p. 8ss). Oui,
parce qu’il y a … en fait, il a confondu la conclusion là, parce qu’on nous demander de démontrer que c’était un parallélogramme.
Oui
Donc il a… …. Oui, je suis là. Il faut faire attention après parce que là je ne me souviens plus. C’est-à-dire que … il y a … oui
parce que j’ai dit pas de parallélogramme par le moment, parce qu’on ne l’avait pas démontré tout simplement. Et… donc, j’ai
reformulé… c’est moi qui parlais là ?
Oui.
Oui c’est vrai … en fait, c’est moi qui fait la solution, qui donne la solution. Parce que, j’ai donné le théorème du milieu quoi.
Oui mais … même comme ça, il n’a pas compris (C et CB rient)
Oui, oui, oui.
En fait, ça c’était… mais, il y en a aussi une autre.
Oui, montre moi un autre exemple parce que là … (CB rit) j’ai vraiment … en fait c’est … oui là, il y a un deuxième exemple …
parce que, c’est un bleu aussi (CB signale sur la transcription une partie remarquée en bleu)
Oui. Attendez … symétrie de A par B… oui, ça c’est Amed qui le dit, par définition...
C’est moi qui a ça !
Oui, c’est Amed et après c’est toi.
Oui.
Oui parce qu’en fait, bon, là, c’est compréhensible. Puisque pour un gamin mettre dans sa tête
symétrique c’est une chose évidente. C’est-à-dire, pour dire que A est le milieu de... Dès qu’il (lit) dire la symétrique, c’est code
seul le dessin. Il a une bonne attitude, il code le milieu, donc, pour eux, symétrique et milieu c’est équivalent. D’ailleurs, c’est vrai
(CB rit), il ne trouve pas le besoin de le dire, donc, c’est souvent moi qui le dit : par définition de hein … c’est le symétrique,
donc,… il y a milieu, c’est tout. Je pense que là c’est… par contre, là, il devait, ils ont dû (pas *) un peu… (CB lit la transcription)
donc, j’ai dû les aider là, oui. Reformuler d’autre *. La reformulation c’est pour essayer de les aider (24’48). De les aider, de leur
faire, quand ils n’arrivent pas, de leur faire quand même essayer de les mettre sur le rail, sur les voies de la découverte.
122 C :
Et comment on sait quelles sont les choses qu’il faut ajouter chaque fois quand on reformule ?
123 CB : Ça dépend un peu de … bon, là, c’était visiblement une confusion, hypothèse, conclusion. Parce que s’il m’a parlé de
parallélogramme, c’est parce qu’il voyait bien l’endroit où il voulait aller, parce que c’était pas écrit, c’était pas dit. C’est-à-dire
que, la démonstration, j’avais rien donné comme question. J’avais pas donné de question pour cet exercice-là. C’est-à-dire, qu’on
faisait l’exercice au fur et à la mesure et le … en découvrait les choses au fur et à la mesure. Donc là, il a découvert le
parallélogramme, mais il ne l’avait pas … il ne l’avait pas justifié. Donc, il savait bien, c’était bien, d’ailleurs, qu’il découvre le
parallélogramme. C’était le but. Mais, il n’avait pas démontré que c’était un parallélogramme. Donc, c’est moi qui est aiguillé vers
le fait qu’il fallait démontrer avant qu’on avait un parallélogramme. Donc, ça a été une nécessité là. C’était pas dans la liste des
hypothèses. Donc, on est bien obligé à ce moment-là de dire, bon … il faut… avant de parler de parallélogramme, il faut peut être
le démontrer. C’était, ça dépend un peu de… parce que bon, là, c’était un peu parce que c’est une habitude, il faut reformuler
parce qu’ils ne le font jamais. C’est pas une habitude pour eux. C’était évident. Donc, ils ne l’écrivent pas, ça, c’est… (CB rit) et,
là, c’était parce que, tout simplement, parce qu’ils avaient vu l’endroit où on voulait y aller, mais il était, il ne l’avait pas démontré
quoi.
124 C :
D’accord. Et, pour les démonstrations, tu fais, tout le temps du moins, les oblige à énoncer les propriétés ou les théorèmes ?
125 CB :
Ah oui … ça toujours, oui. D’ailleurs, c’est pour ça que … bon, on sait bien que là depuis un petit moment on ne l’écrit plus,
puisque c’est … moi j’insiste parce que c’est une manière. Là, aussi, bon, on est tout au début, c’est une manière de leur faire
retenir les propriétés et les théorèmes. Et voir pourquoi, aussi, on les fait étudier tout simplement parce qu’on les utilise. C’est un
outil, donc… il faut les apprendre quoi.
126 C :
Alors, … ça, c’est par exemple, toi même qui fait la reformulation de la question.
127 CB :
Oumjou (un son d’affirmation) oui
oui, oui
128 C :
Et, ici, c’est plutôt un type d’exemple …
c’est la reformulation d’une réponse que donne l’élève. Ici, c’est Scarlette, qui dit, bon, nous sommes dans la séance de résolution
d’équations et la question était : « C’est quel but ». Alors elle dit : x soit égaux des deux côtés.
129 CB :
Oui.
130 C :
C’est la réponse qu’elle donne, tu la reprends, mais, tu la reformules, en la complétant ou en la
structurant.
131 CB : Oui, en la structurant oui… oui parce que … je veux … Bon, c’est mon rôle de la laisser parler. Je trouve. Mais, c’est aussi… il
faut la laisser s’exprimer. C’est mon opinion, hein, parce qu’autrement, si on le, si on oblige… si on les oblige à parler de manière
très rigoureuse, ils n’y arriveront jamais les élèves. La rigueur pour eux c’est trop difficile, surtout pour des choses comme ça.
Donc, moi je les laisse parler. Ils s’expriment dans leur langage et, après, c’est à moi de restructurer quand même. Bon, ça, c’est
pas tout à fait comme ça qu’il faut le dire. Tu … je vois ce que tu veux dire, mais …. du point de vue mathématique, c’est pas très
bon ce que tu as dit. mais, donc, l’idée est bonne. C’est ça ce que je voulais faire dire là. Mais, c’est à moi de la reformuler parce
que tu as mal exprimé ton idée. Je trouve quand même que quelque part, il faut laisser s’exprimer les gamins, même si du point du
vue mathématique, c’est pas toujours très correcte. Même s’ils disent : « Au milieu d’une droite » ou quelque chose comme ça.
C’est à moi après de reformuler pour que ça soit bien dit quand même. Tu vois ce que je veux dire ?
132 C :
Oui, oui. Et, comment ils peuvent apprendre à mieux structurer ce qu’ils veulent dire ?
133 CB : Alors, hein … il y a des petits exercices. On fait des petits exercices, j’ai pas de petits cette année, mais, en sixième, on fait des
exercices de programme, de construction. Alors, on se charge de programmes de construction pour savoir si on sait le faire, si
c’est assez clair pour … il y a des petits exercices comme ça, pour voir si c’est assez clair, d’expressions écrites, mais, … je pense
que c’est un long apprentissage. Mais, il faut pas les empêcher de parler les gamins. Non du point de vu mathématique, c’est
entièrement faux ce que tu as dit. Autrement, ils parlent plus du tout. Une petite comme Scarlette ne parle plus de tout… Déjà
qu’elle parle pas beaucoup, si je lui dit que c’est entièrement ce qu’elle dit… Alors, elle avait l’idée. Je pense qu’elle avait l’idée,
il fallait la mettre … c’est la même valeur pour x d’un côté que pour l’autre.
134 C :
En fait, avec toi, je pense que c’est le seul exemple que j’ai trouvé avec ces types de reformulations. Je le vois plutôt implicite.
C’est-à-dire, dans ce cas-là, on dit pas à l’élève ce qu’il faut changer, mais, usuellement, tu fais des reformulations en leur disant :
« Non, c’est plutôt ça ». Alors, en leur disant explicitement qu’est-ce qu’il faut changer, quelle est la manière mathématique de
faire ce problème.
135 CB : Oui, usuellement, je le fais explicitement, parce que quand même, là, c’est peut être une erreur de ma part, parce qu’en général,
j’explique quand même. Oui, ça, c’est peut-être, c’est un peu implicite, oui.
136 C :
Par contre, cette année, mais, aussi l’année précédente et dans certaines observations que j’ai faites au Costa Rica, la plupart des
professeurs ne le font pas de manière explicite. Sinon, l’élève dit quelque chose et, moi, je le reformule….
137 CB :
Ah oui, mais moi, moi, je l’explicite en général.
138 C :
Pourquoi tu crois que la plupart le fait de manière différente ? Et, pourquoi
tu le fais comme ça ?
139 CB : Moi, je le fais comme ça parce que c’est quand même une manière de corriger. Donc,… explicitement. Si c’est trop implicite,
l’élève a du mal quand même, parce qu’il faut bien écouter, à ce moment-là… En étant implicite, il faut quand même que l’élève
soit très attentif à ce que va dire le professeur. Sinon, il se corrigera jamais … (CB rit) Étant explicite … je ne sais pas si c’est
meilleur hein ? Je ne sais pas, mais, on fait voir quand même l’endroit où, mathématiquement, il y a une petite incorrection.
140 C :
Et, pourquoi tu crois que les autres le font de manière implicite ?
141 CB : Je ne sais pas … implicitement … pourquoi on le fait de manière implicite ? De temps en temps, parce que je le fais aussi, de
temps en temps…
142 C :
Oui, oui…
143 CB : Hum … je n’ai pas de réponse à ce moment-là. Peut être que … de manière implicite … (p. 12ss) J’sais pas. Vraiment, là, je ne
vois pourquoi je … (15ss) Non, maintenant je vois pas … c’est (CB rit). Désolée … (CB rit). J’ai pas la réponse à celle-là.
144
145
146
147
QUESTION 4
C:
(33’49) Plutôt, pendant les séances de géométrie, on utilise des figures…
CB :
La figure … le rôle de la figure
C:
Voilà … c’est ça la question !
CB : J’ai eu des élèves, il y a deux ans, aveugles … une élève non-voyante. C’était terrible en géométrie, terrible. C’était…
449
148 C :
Pourquoi c’était … tu t’es sentie comment ?
149 CB : D’abord… passer du temps … Il aurait fallu qu’elle fasse la figure … bien avant pour qu’elle puisse travailler. Avoir la figure déjà
faite, parce que c’était trop long. Il y en a tout un, en braille, il y en a tout un, c’est beaucoup plus long que nous quoi ! Pour nous,
prendre une règle, pour elle, il faut une règle. En fait, il faut un crayon qui fasse le braille … C’était terrible ! Bon, combien de
fois on dit : « Appuyez vous sur la figure pour… », parce que vous voyez que …
150 C :
Regarde la figure …
151 CB :
Oui, regarde la figure. C’était important, en géométrie (CB rit). Donc, …
152 C :
Non, en fait, la question c’était ça : « Il y a ici, par exemple, en regardant cette figure, qu’est-ce qu’on pourrait en déduire de cette
figure-là ! » (C lit de la transcription) Et, c’est quoi ton but ? Qu’est-ce que les élèves doivent …
153 CB : C’est la conjecture. La conjecture, c’est-à-dire, qu’est-ce que … où on va être amené. La figure c’est ça en fait. C’est la
visualisation pour moi, c’est la visualisation des hypothèses du but du problème et c’est la configuration. Moi, à chaque fois que
j’ai mis la propriété, j’ai mis la figure à côté pour, justement, que la configuration ce voit plus mieux. Donc, là, qu’est-ce qu’on va
essayer, … en regardant la figure, qu’est-ce qu’on va essayer de démontrer quoi ! Quel va être notre but dans la séance.
154 C :
Qu’est-ce que tu entends comme configuration ?
155 CB : Configuration c’est… quand on a une … par exemple, un parallélogramme, tout ce qu’on peut en tirer. La configuration du
parallélogramme, qu’est-ce qu’on va, qu’est-ce qu’on va en tirer comme propriétés, les diagonales se coupent en leur milieu, etc.
C’est-à-dire, avoir la vision qu’on a un parallélogramme, de parallélisme, de diagonales qui se coupent en leur milieu.
156 C :
Même si les diagonales, par exemple, même si les diagonales ne sont pas tracées ?
157 CB : (p. 5ss) oui (CB rit) Théoriquement, oui.
158 C :
D’accord. Alors… les configurations, c’est le but.
QUESTION 5
(36’38) Parfois, tu demandes aux élèves de se rappeler de quelque chose, mais, aussi, tu leur dis, par exemple ici, (autre
professeur vient parler à CB. Coupe de la première partie, 36’46. Deuxième partie, 00’08) Oui, en fait, tu demandes de se
rappeler de quelque chose mais, aussi, tu as dit les choses desquelles il faut se rappeler. Par exemple, ici, tu demandes : « Qu’estce qu’il faut faire ou quel est l’intérêt ? » Mais, tu dis aussi ce quel a dit tout à l’heure Rosana. Alors, on pose la question. Ça,
c’est Amed qui l’a dit tout à l’heure, alors tu demandes quelque chose et tu dis. Mais, au début c’était Mathilde qui l’a dit ou
c’était Cloé qui l’a dit. Alors, pourquoi ? C’est quoi le rôle de se rappeler aussi de la personne qui l’a dit pour les élèves ?
160 CB : Oh, c’est une … … c’est pour faire participer un peu, pour que … quoi dire… ça c’est entièrement un jeu de… enfin, à mon avis,
c’est un peu un jeu de rôle, pour faire voir que tout le monde participe un peu. Pour attirer l’attention de l’élève qui l’a dit. Aussi,
pour leur faire voir que leur participation a été, disons que ça a pas de… que leur participation a été active, ça pas tellement
d’intérêt mathématique. Disons que c’est pour la vie de la classe, comme ça (CB rit). Je pense, hein ! C’est pour moi. C’est
simplement pour la vie de la classe, pour faire voir que, pour dire qu’Amed a participé, qu’il a bien participé. Pour dire que
Mathilde il a … c’est un peu pour re-motiver les élèves. Pour leur faire voir que j’ai bien retenu moi-même qu’ils ont bien
participé. Je pense aussi, je pense c’est un peu ça. Et, après, pour régulier sur les élèves sur ce qui a été dit peut être aussi.
161 C :
Et, tu crois que, en plus, ça peut aider au rappel ?
162 CB : J’en suis pas sûre de ça…. Ça, j’en suis pas… c’est possible pour certains, qu’ils se souviennent aussi, peut être. Pour certains qui
se sont souvenus de la prise de parole de leurs camarades. J’en suis pas certaine de ça. Par contre, pour le jeu de la classe, je pense
que c’est important de le faire voir. Pour moi, c’est surtout pour ça, hein !
159 C :
QUESTION 6
(02’38) Quelle est la fonction de demander aux élèves, quand ils ont trouvé un résultat, comment ils l’ont trouvé ? Alors, de
justifier le résultat ? Par exemple, quand on demande, je ne sais pas, un exemple de proportionnalité, où tu demandes quelle est la
quatrième proportionnelle et il a fait le produit en croix : « Comment tu l’as trouvé ? Ou, comment tu es arrivé à la valeur de x ? »
164 CB : Alors, là, le… c’est le problème de … c’est une reformulation aussi, toujours, hein ! C’est-à-dire que… c’est le problème de
l’apprentissage de la méthode. C’est quelque part l’élève qui l’a trouvé, il sait le faire. Disons que c’est pour faire voir, à ceux qui
ne l’ont pas trouvé, comment elle se trouve, c’est tout, hein ! Comment votre, leurs camarades l’ont trouvé, et comment il faut
faire pour le trouver. Disons que c’est une répétition d’une méthode. C’est tout, hein. Je pense que, quand on demande comment il
l’a trouvé, hein … en général, si on trouve des résultats sur un type d’exercices comme Thalès, qu’il y a tellement de méthodes
pour trouver les résultats que, bon… Au moins, ils s’en sont appropriées une et le faire voir à tout le monde, comment on arrive au
résultat. C’est tout. C’est pour ça que je demande à chaque fois : « Comment es-tu arrivé à ton résultat ? » « Dit à tes camarades
comment tu es arrivé aux résultats. »
165 C :
C’est juste pour les camarades ou pour toi aussi ?
166 CB :
C’est pour moi aussi. Pour moi aussi, pour voir si ça méthode est correcte. Parce qu’il peut arriver, d’un
point de vue, qu’ils arrivent un peu aux résultats de manière, disons, chanceuse. Ça arrive pour les équations. J’ai deux élèves,
j’étais… pour les derniers contrôles, qui m’ont fait deux ou trois erreurs consécutives qui sont arrivés à retomber (CB rit) sur la
bonne solution. Ils ont fait dans l’équation deux erreurs. Je ne sais plus si c’était en troisième ou en quatrième (CB rit).
167 C :
Est-ce qu’il t’arrive aussi que, pendant les justifications, il y a un autre élève qui pose des questions ? Ça arrive souvent dans tes
classes ?
168 CB : Oui. Oui, oui, oui … ça arrive. C’est rare quand même.
163 C :
QUESTION 7
D’accord. (04’59) En certaines occasions, tu fais des commentaires qui évoquent des passages du passé de l’élève. Par exemple,
on l’a vu dans la classe sur les translations. Ça, on l’a vu dans les classes sur les translations, ces équations-là, c’est le problème de
cinquième….
170 CB :
Oui, oui.
171 C :
On avait déjà fait la réciproque du théorème de Thalès, quelque
chose comme ça. C’est quoi ton intention ou ton objectif quand tu fais ce type de rappel ?
172 CB : Alors … bon. Pour, hein … il y en a deux, là. Il y le fait que la réciproque c’est pas fait, ils ne peuvent pas l’utiliser de toute
manière parce que c’est pas fait, donc, (CB rit) théoriquement, ils n’ont pas à la reconnaître, donc, ça, c’était évident. Et, dans le…
je pense que, quelque part, il faut de temps en temps, il faut le faire, c’est-à-dire, des choses qui ont été déjà faites pour, justement,
169 C :
450
voir si ça a été retenu plus ou moins. Les translations, ça fait un petit moment qu’on les a faites. Donc, j’ai revu pendant cet
exercice-là, de toute manière, les translations. Je n’aurais peut-être pas dit, quand même quelque part, que ça avait été fait. Donc,
dans leur devoir, pour certains le chapitre de translations.
173 C :
Juste le fait de dire : « On a déjà fait ça. » « C’est quoi le … juste cette phrase ? » Après, bien sûr, que tu expliques un peu les
translations. Mais, juste cette phrase-là.
174 CB : Pour leur montrer, pour leur dire, pour leur assurer que c’était déjà fait. Alors, ils l’ont déjà, ils peuvent l’utiliser à quelque part.
C’était déjà fait donc, c’était une … des équations par exemple. Des équations, c’est des équations qui peuvent résoudre, déjà
même sans passer dans une technique lourde, trois x égal deux, égal deux sur trois, c’est fait en classe de cinquième et ils peuvent
l’utiliser tout de suite, voilà. C’est dans le but de leur faire réutiliser des choses qu’ils ont déjà vues. Voilà !
175 C :
D’accord.
176 CB : Et, de leur faire voir qu’ils l’ont déjà vu ! Il n’y a pas * c’est des choses qu’ils font… qu’ils devaient faire facilement.
177 C :
178 CB :
179 C :
180 CB :
181 C :
182 CB :
183 C :
184 CB :
185 C :
186 CB :
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
QUESITON 8
(07’14) D’accord. Pendant les séances de mettre en équation, tu as dit que c’était plus facile de le mettre en équation quand le
texte, il est mathématique.
Pourquoi ?
Ah oui ! Je suis persuadée…
Ah, je suis persuadée ! Plus le texte il est éloigné des
mathématiques, plus il est difficile de le mettre en équation.
Et, pourquoi tu crois ça pour les élèves ? Ou pour nous mêmes ?
Ah oui, oui, oui. Mais, les élèves, ils s’en doutent aussi un peu, hein ! Parce que … là, … je pense que … si on leur dit, j’ai choisi
un nombre x, j’ajoute deux, je multiplie par trois, ils vont tout de suite avoir … je trouve treize… Tout de suite, ils trouvent
l’équation. Si je l’habille de manière à y mettre un pourcentage derrière, une… des ventes ou des choses comme ça, alors, de
dromadaires ou de… * ça va déjà être, pour eux, beaucoup plus, hein … au point de vue culturel, parfois, c’est plus difficile, on
s’imagine pas de mettre … Ça peut bloquer les élèves. Je me suis aperçue du point de vue de l’enseignement.
Mais, c’est où la difficulté ?
La difficulté de traduire le texte. Quel qu’il soit, parce qu’il faut quand même traduire d’un langage français à une équation. Alors,
quand on dit j’ai choisi un nombre x, je lui ajoute deux, je multiplie le résultat par cinq, c’est quand même successif. C’est-à-dire
que, mathématiquement, on suit mot-à-mot le texte. Mot-à-mot. Et, il ne parle que des maths, parce que j’ai choisi un nombre, je
lui ajoute deux, je multiplie par trois, bon, je dis n’importe quoi, là. Et, par contre, quand on a un texte du style… (CB cherche
dans le livre qui s’utilise en quatrième) … Là, actuellement l’âge de Laurent est le double de celui de Laure. Dans cinq ans ils
auront à eux deux quarante ans. Déjà… Quel âge a Laurent ? Quel est l’âge de Laure ? (CB lit l’exercice 70, page 79 du livre) Là,
aussi, c’est déjà quand même ça, à part des nombres. Ils vont avoir … une situation de la vie courante ou l’équation n’est pas
évidente. D’abord, ils ne savent pas quelle est la phrase qui va donner l’équation. Je me suis aperçue. Ils font, par exemple, ils font
vieillir Laure et ne font pas vieillir Laurent et, ça,… c’est beaucoup plus difficile de traduire, ça (CB signale avec le doigt
l’exercice qu’elle vient de lire), que ça (CB signale avec le doigt l’exercice 54 de la page 78).
Mais ça, par exemple, c’est aussi mathématique. Mais, c’est pas très linéaire en tout cas, l’énoncé. Ici par exemple, retrouvez la
valeur de x de façon que le périmètre du triangle...
Ouais,
je l’ai pas fait celui-là.
Mais, oui, d’accord. Mais, par exemple, là aussi c’est difficile comme l’autre ? Même si c’est, à l’intérieur des maths ?
Je pense que c’est moins difficile que ça, par exemple (CB signale avec le doigt le premier exercice, ce qu’elle a lu). C’est parce
que c’est très mathos ça aussi. Mais, l’équation est difficile. La traduction est difficile. C’est la traduction qui est difficile. Dans
ma tirelire j’ai dix-neuf pièces de cinq francs et de dix francs (en lisant l’exercice 64 de la page 78). Bon, mais ça, c’est plutôt *,
ça c’est plutôt la deuxième inconnue. Je pense avoir une somme totale de cent cinquante cinq. Combien ai-je de pièces de dix
francs et de pièces de cinq francs ? Ils ont d’énormes difficultés à mettre … à écrire l’équation. Parce que c’est difficile à traduire
le texte… je parle pas de celui-là et, ça, j’imagine ! J’imagine. J’imagine là… parce que là… que le texte est long, la traduction est
difficile quoi ! C’est ça, c’est un exercice de français. Je ne sais plus, c’est … Où est-ce que j’en avais un… Oui, il leurs avait posé
beaucoup de problèmes (CB pages les feuilles du livre) je l’avais… il n’était pas sur ce livre-là (CB arrête de passer les feuilles) il
y en avait une phrase, il y avait moins deux plus deux et ils ont fait une erreur sur la traduction en français. Du passage du français
au langage mathématique. C’est le bon, … c’est le plus intéressant, mais, c’est le plus difficile pour eux.
QUESTION 9
C:
(12’13) D’accord. Alors, dans cette séance-là, c’est la séance de l’orthocentre.
CB : L’orthocentre … ouf … quel souvenir ! (CB et C rient).
C:
C’était quoi … mercredi ? Alors, au début, tu as, bon, tu as fait quelques commentaires pour se souvenir…
CB :
Oui, là. Sur les médiatrices ? Je
me souviens … (CB rit)
C:
Au début de l’année, on avait vu la médiatrice, par exemple là.
CB :
Oui, parce que c’était…
C:
Le treize ici … c’était …
CB : Oui oui. C’est parce que j’avais besoin après, tout simplement… (CB rit)
C:
C’était ça, la question. C’était…
CB :
Mais oui ! (CB rit) c’était, en disant,… disons que je fais un rappel au départ, de toute façon parce qu’en
quelque part, on faisait les droites remarquables dans un triangle et je voulais pas revenir au dessus, puisque je l’avais fait au début
de l’année. Mais, dans l’optique aussi, j’avais deux raisons de le faire. D’abord pour leur faire voir qu’on le ferait pas, parce qu’on
l’avait fait au début de l’année d’aller voir dans leurs cahier et, aussi, parce que j’en aurais besoin après. Bon, là … (CB rit). C’est
pour ça bon. (CB rit) Il y avait deux raisons.
C:
D’accord,… tout à fait valable.
CB : (CB rit) tout à fait valable ! (CB rit)
QUESTION 11
199 C :
(13’23) et dans ... je crois que c’était ici … dans la démonstration de…
200 CB :
C’est très difficile !
451
201 C :
Oui, oui, oui. Dans la démonstration de
l’orthocentre, parfois tu dis, … tu rappelles ou … tu demandes aux élèves de se rappeler du but de la démonstration.
202 CB :
Oui ! Ah, oui, oui, oui. Parce que là, elle est trop longue.
203 C :
Et pourquoi ? Pourquoi on doit se rappeler du but ?
204 CB : Parce que je … (CB rit) j’aime bien savoir … (CB rit) j’aime bien savoir où je vais. D’un petit côté,… j’aime bien savoir où je
vais ! Et, j’aime bien que les élèves sachent la même… parce que … c’est une démonstration très longue, qu’ils ne perdent pas de
vue, quelque part, ce qu’on veut faire à la fin. Bon, … parce qu’il est très difficile de … parce que … honnêtement, dans d’autres
classes, je n’ai pas … je ne l’ai pas fait faire aux élèves, je l’ai fait. Je l’ai fait moi-même, quoi ! Enfin, je les ai posées les
questions, je les ai guidés moi-même quoi ! Là, je me suis aperçue avec la quatrième A que c’est vraiment très très difficile de les
laisser un peu travailler tout seul quoi.
205 C :
Déjà avec la quatrième A qui est plus …
206 CB : Non … ils ont à peu près … la quatrième D, j’ai de bons élèves aussi, j’ai de bons élèves. Mais, bon ... (CB rit). Elle est difficile,
elle est difficile. Elle est très difficile. Elle est difficile. Moi, je pense qu’elle est très difficile.
207
208
209
210
211
212
213
214
215
C:
CB :
C:
CB :
C:
CB :
C:
CB :
C:
216 CB :
217
218
219
220
C:
CB :
C:
CB :
221 C :
222 CB :
QUESTION 10
(11’45) Et, aussi, c’était… je crois que c’était ici, j’ai pas écrit la ligne.
Onze (CB rit).
Voilà!
Ah, c’est sur l’autre ! ...
Tu dis, … une fois qu’on a le parallélogramme, les translations vont arriver plus facilement.
J’ai dit ça ! … Ah bon ! C’est possible, oui. … (CB rit)
Bon, c’était le parallélogramme là et, après, on devait faire la même chose ici …
Oui, oui, oui … ça hein…
Alors, la question c’est, pour la démonstration, qu’est-ce que les élèves doivent voir dans le parallélogramme pour que les
translations viennent plus facilement ?
Et, bon, parce que, de toute façon, quand on est… la translation qui est de quatrième, elle n’est vue que par le parallélogramme.
On n’a pas les vecteurs, on n’a pas les petits vecteurs en quatrième … donc, il faut passer par le parallélogramme pour démontrer
que … F à pour image A, que … dans la translation qu’amène B en C. Donc, on n’a pas d’autres outils.
D’accord. Alors c’était un rapport direct ou quelque chose comme ça ?
Voilà ! Je me suis mal exprimer là, sûrement.
Non, non, non …
Si … c’est … il n’y a pas d’autres outils. On est obligé pour démontrer que F à pour image A dans la translations qui transforme B
en C, puisque c’est ça ce qu’il faut faire, là. Il faut absolument passer par le parallélogramme F A C B
D’accord, et, après, oui. Et après…
Et, après donc A est le milieu de F E. … c’est toujours … c’est toujours cette fameuse démonstration (CB rit).
QUESTION 12
223 C :
(16’35) Oui… aussi, il y a eu un passage, ici… qui m’a plu beaucoup.
224 CB : Qui est très intéressant du point de vue…
225 C :
Oui, oui, oui … je l’ai trouvé … En fait ton rôle, comme là-bas… ici, c’était Cloé. Voilà ! Le devoir c’était de faire trois triangles,
voilà… et de faire l’orthocentre.
226 CB : Ah oui ! Oui, oui…
227 C :
Pour le triangle rectangle et pour …
228 CB :
Ah oui, oui, oui…
229 C :
Et, tu lui demande : « qu’est-ce que tu as remarqué ? » Alors elle dit, alors pour le premier, rien…
230 CB :
(CB rit) Ah oui, oui ! Je me souviens !
231 C :
« Rien, rien en particulier, il y a rien ! » (C imite l’élève)
232 CB :
Ah c’était génial ! (CB et C rient) on remarque rien,… ah bon, je m’ai dit : « Ah bon !
Qu’est-ce que j’ai dit là ? »
233 C :
Alors, tu dis : « Bon rien de particulier sur le premier, après ! »
234 CB : Après, oui, … ah bon ! (CB continue en riant) Tout amusant, oui, oui. Je me souviens très bien !
235 C :
Et, après, elle dit : « D’ailleurs, pour le rectangle, le sommet et … »
236 CB :
Ah oui ! Elle a bien remarqué quelque chose quand même !
237 C :
Oui, (CB dit quelque chose en riant, on n’entend pas)… voilà ! Et, pour le triangle trois, après, il se trouve à l’extérieur.
238 CB : Oui, oui.
239 C :
Et, après, tu es revenue sur le premier ! Elle a dit : « Ah bon, il y avait quelque chose, quand même ! » (CB rit). Alors, le passage,
là … en fait, la question c’est, si tu savais, si tu avais anticipé un peu que … qu’il y avait rien pour le premier.
240 CB :
Qu’ils avaient répondu … Oui, oui, oui. Je
pense que c’est bien… quand on, quand j’avais demandé ces trois dessins… C’est dommage parce qu’en quatrième D, j’ai pas pu
le faire, parce que … là c’était bien parce que je me suis arrêtée juste où… à la définition. Je n’ai pas eu le temps de le faire dans
le cours. Donc, c’était bien. En fait, je ne l’avais pas fait exprès, mais, c’était bien. Donc, je leur ai demandé de le faire à la maison
et, après, de faire,… après le lendemain, pour commencer le cours, c’était pour commencer, hein ? Oui, oui, je pense, j’allais leur
dire. Bon, vous avez fait vos dessins, j’ai même pas vérifié s’ils l’ont faits. Bon vous avez fait vos dessins, donc, qu’est-ce que
vous avez remarqué de particulier. J’ai pensé bien qu’ils vont me dire rien hein ! J’ai anticipé… J’avais plus ou moins anticipé le
premier, mais le deu... J’ai pensé moi, qu’ils allaient me dire simplement, bon, pour l’angle droit, c’est l’orthocentre. Ou, bon, de
me dire… j’ai anticipé que quelques-uns me disent qu’il n’y a pas d’orthocentre pour l’angle. Par exemple, pour le triangle
rectangle. J’ai pensé à cette question-là. Mais … j’avais anticipé. D’ailleurs, il y en a quelques-uns qui l’avaient fait dans la fiche,
qui m’avaient dit que, pour les angles obtus, il n’y avait pas de hauteur. Qu’on pouvait tracer qu’une hauteur, voilà ! C’est genre,
… c’est pour ça que j’avais donné cet exercice là, pour avoir ce genre de questions.
241 C :
D’accord et pourquoi ?…
242 CB :
Elle a répondu, en fait, elle, parce qu’elle a dit que l’orthocentre de l’angle aigu était à l’extérieur...
452
243 C :
Oui, oui … Et, pourquoi tu n’as rien dit, ici, au début. Quand elle dit : « Rien en particulier. »
244 CB : Ah oui, parce que je voulais… je l’ai fait exprès là, pour que quelques-uns puissent... j’allais laisser la parole quoi ! C’est-à-dire
que, je voulais pas, obligatoirement, leur faire dire qu’il y en avait un qui était à l’intérieur, l’autre qui était sur … sur un sommet,
le dernier qui était à l’extérieur. Je voulais qu’ils le découvrent eux mêmes. Donc, je ne voulais pas que ça soit moi qui porte, qui
amène la réponse. C’est pour ça que j’ai rien dit. Bon, rien en particulier, passez au second, passez au troisième, oui.
245 C :
Et, par exemple, là, si tu avais dit quelque chose, en fait, c’est-à-dire, si tu avais fait une reformulation, mais sans leur disant…
246 CB :
Sans leur dire … oui, oui, oui, de temps en temps. De temps en temps, je trouve, oui, qu’un type de reformulation, mais, je
préfère quelque fois, si ce sont des choses faciles. Ça, c’est pas très difficile quand même à trouver. J’aime bien qu’ils trouvent
pour eux-même. C’est-à-dire, que ça soit la classe qui reformule. Pas moi, qui reformule, que ça soit la classe qui fasse une
reformulation par une reformulation. C’est bien quand, je trouve, quand c’est la classe qui trouve.
247 C :
Comme ce cas-là, c’était la classe…
248 CB : Voilà !
249
250
251
252
253
254
255
C:
CB :
C:
CB :
C:
CB :
C:
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257
258
259
260
261
262
CB :
C:
CB :
C:
CB :
C:
CB :
263 C :
264 CB :
265 C :
266 CB :
267 C :
268 CB :
269 C :
270 CB :
271 C :
272
273
274
275
276
277
CB :
C:
CB :
C:
CB :
C:
278 CB :
279 C :
280
281
282
283
CB :
C:
CB :
C:
QUESTION 13
(21’34) Nous sommes là (C montre une partie d’une transcription)…
Alors … on est là ! (CB lit)
Oui… tu dis, qu’est-ce qu’on pourrait en déduire, tout de suite Neil, en regardant cette figure-là ?
Oui.
Et, Lorraine, elle dit, A K divisé par A B est égal à A J, divisé par A G.
Ah oui … oui, oui, je me souv…
Et, tu as fait un rapport avec le parallélisme. Alors, tu le poses la question : « Et bon, tu as des parallèles pour l’instant toi ? » Elle
dit, non mais,… et, après, tu dis, ah oui, oui, oui, je comprends, c’était un demi.
Oui, oui, c’était un demi. Parce qu’on fait... qu’est-ce qu’il y a eu à démontrer. Je me souviens plus
La question c’est, qu’est-ce que tu, qu’est-ce que tu as…
…remarqué. Je me suis excusée d’ailleurs, après, parce que
Oui.
Parce qu’en fait,… c’est pas faux ce qu’elle disait, que c’était un demi. Et, moi, j’ai cru qu’elle avait parti sur le parallélisme.
Et, pourquoi tu, tu …
Parce qu’en fait, quelque part, … hein, elle a dit … (CB prend la transcription et lit) Je sais, je sais que … parce que
moi, j’avais compris, qu’elle avait déduit que AK sur AB égal AJ sur AG, parce que c’était parallèle et elle ne l’avait pas
démontré. Oui, je sais, il faut que j’aille (CB dit à C qu’elle doit partir) en classe (ss) donc quand on fait AK sur AB égal AJ sur
AC, théoriquement, parce qu’on n’a pas le théorème de Thalès, enfin … elle n’avait pas démontré que KJ… pour faire que AK sur
AB égal AJ sur AC, il fallait, il aurait fallu qu’elle démontre que KJ était parallèle à BC d’abord.
Oui.
Et, c’était pas, je pense que,… alors qu’on peut … j’ai cru qu’elle avait passé par KJ parallèle à BC, donc, AK sur AB égal AJ sur
AC.
Et, pourquoi, tu as cru qu’elle avait passé par-là ?
C’est moi… c’est une erreur que j’avais faite dans ma tête. Sûrement, elle est passée par le milieu … je pense, hein… Là, j’aurais
dû un peu fouiller ce qu’elle voulait dire. J’ai pas … j’était trop … trop directive là ! J’ai pas, j’ai pas… je ne me suis pas assez
intéressée à ce qu’elle voulait dire. C’est-à-dire, comment elle l’avait trouvé : AK sur AB égal à AJ sur AC. Parce que… était-elle
passée par le milieu … parce que ça fait un demi ? Donc, AK sur AB égal bien à AJ sur AC. Ou, bien, a-t-elle tracé la parallèle
dans ça tête ? Ce qui est vrai aussi. J’ai pas assez poussé, je ne sais pas savoir ce qu’elle veut dire. Et c’est pour ça que je me suis
excusée, parce que j’ai pensé que… c’était faux, et c’était pas obligatoirement ce qu’elle a dit, son raisonnement, quoi !
Mais en fait, le moment quand elle a dit le rapport, même si tu ne savais pas qu’est-ce qu’elle avait fait, tu a cru que c’était la
parallèle, qu’est-ce que tu as reconnu dans la réponse pour dire le commentaire du parallélisme ?
Parce qu’en fait j’ai reconnu Thalès. Pour elle, c’est Thalès qui marchait. Pour moi, c’était Thalès qui marchait, alors peut être que
pour elle c’était pas tout à fait ça. C’est pour ça, qu’à ce moment-là, j’ai pas assez fouillé, là.
Et comment tu as reconnu Thalès ?
Bon … parce qu’en général, on venait de le faire. Et pour une élève AK sur AB égal à AJ sur AC, c’est Thalès, à ce niveau-là. Je
pense… je pense que c’est quand même dans sa tête. Elle n’a pas passé par le rapport un demi. Il faut quand même passer par le
rapport un demi et … c’est pas si évident que ça. Là, j’ai pas assez fouillé pour savoir si la situation… d’enseignement, je ne sais
pas,… je ne sais pas vraiment. (coupe de la deuxième partie, 25’57).
QUESTION 14
(troisième partie, 00’07) D’accord, en fait, la dernière question particulière, pour les transcriptions, c’est pour la séance du
centre… de gravité.
Centre de gravité, oui, d’accord.
C’est déjà connu ça. C’est la partie où tu as demandé la justification du parallélisme, tu te souviens ?
Oui, oui.
D’accord. Et, en fait, c’est Nasahar qui a dit la réponse et, après, c’était … voilà le théorème qui me permet de dire que KG…
KG et BD sont parallèles.
Voilà ! Alors, tu as demandé plusieurs fois et c’est Nasahar qui dit la réponse. Hein !… Tout de suite, tu as demandé à Neil, tu
répète Neil, et ben,… hein,… ben…
(CB rit après l’imitation de C) Il avait pas écouté. Ah oui !
Oui. Et, en fait, Nasahar, elle fait la répétition de la réponse. Tu répètes Neil ? Si une droite est parallèle à un côté,… non, c’est
pas parallèle… la troisième fois, Nasahar répète (CB et C rient) et, finalement, Neil arrive.
Oui…
À faire la répétition.
Oui, oui.
En fait, la question c’est, pourquoi c’était si important la répétition de Neil ? Alors, pourquoi tu lui a
demandé ?
453
284 CB : Voilà… la première fois, c’était simplement une façon de le raccrocher, parce qu’il était en train de bavarder. De lui faire voir un
peu, qu’il n’était … qu’il ne suivait pas ses camarades. La deuxième fois, … bon, il a répété. La deuxième fois, il a… Neil est un
bon élève. C’est un bon élève, il n’était pas attentif et il a confondu la réciproque, le théorème et sa réciproque, parce qu’il part de
la réciproque, si une droite est parallèle à un côté. Donc, j’ai voulu de faire … de le faire absolument revenir au problème. C’est-àdire,… il dit le bon théorème. La première fois, c’était simplement pour le raccrocher à ce qu’on était en train de faire, parce qu’il
était parti. Je l’ai vu bavarder. La deuxième fois, c’est pour corriger son erreur tout simplement.
285 C :
D’accord.
286 CB : J’aurait pu aussi bien attendre un petit moment pour qu’il la corrige lui-même : « Ah non, c’est pas ça, c’est pas ce théorème-là1 »
287 C :
Et la troisième fois ? C’est parce que…
288 CB : Bon, la troisième fois c’est pour arriver à le faire dire, (CB rit) c’est la répétition pour arriver à le faire dire.
289 C :
D’accord. Est-ce que tu crois que si on répète les choses plusieurs fois on apprend ? On arrive à mémoriser ?
290 CB : Ça dépend de personne, ça. Moi, je sais que je pourrais le répéter et ça ne suffirait pas, hein. Il fallait que je l’écrive… Ça dépend,
il y a des personnes qui en répétant arrivent à retenir, d’autres pour lesquelles il faut l’écrire, d’autres pour lesquelles il faut
l’utiliser avant de comprendre vraiment le théorème. Moi, je sais qu’il fallait par exemple. Moi, il faut, pour que je retienne bien
les choses, que je les écrive, je les écrive moi-même. Il y a des visuels, il y a des auditifs. Il faut faire un peu des deux dans un
cours, pour que… il faut que certains élèves l’écoutent, parce qu’ils apprennent en écoutant et, d’autres, ils apprennent en voyant.
Donc, c’est pour ça que le tableau aussi… on a parlé hier de récapitulations, c’est important pour certains élèves, parce que c’est
comme ça qu’ils mémorisent. C’est comme ça qu’ils mémorisent, en voyant les choses écrites. D’autres en écoutant, quelques-uns
en voyant les choses écrites. Donc, c’est important qu’il ait la trace écrite. Et, ça, c’est, il faut faire un peu des deux, parce qu’il y
a des élèves qui sont de… qui ont besoin qu’on leur dise les choses et les autres ont besoin qu’ils les voient. Ça, c’est … je pense
que c’est un peu… quand on a une bonne mémoire, c’est qu’on a un peu des deux. Qu’on arrive à retenir ce qu’on attend et ce
qu’on voit.
291 C :
Et tu crois qu’on utilise aussi autres sens ?
292 CB : Je ne sais … je ne sais pas trop (CB rit). Je ne sais pas trop, là, je ne sais pas trop. Sûrement ! En mathématiques, je ne sais pas,
mais, pour le reste, pour la mémoire des autres, sûrement, oui. On a une mémoire olfactive, on a une mémoire du touché (CB rit).
En fait, en mathématiques, j’en suis pas sûre.
293 C :
294 CB :
295 C :
296 CB :
297 C :
298 CB :
299 C :
300 CB :
301 C :
454
QUESTIONS GÉNÉRALES
♠ (04’40) Donc, en général, comment tu fais pour que les élèves se rappellent de quelque chose ? Une technique, un concept, une
propriété, …
Justement, je viens de le dire, je reprends un peu. Justement, j’essaie de leur faire répéter, de leur faire
écrire le plus souvent possible. Dans les devoirs qu’ils me font, ils sont obligés d’écrire les théorèmes, les… je pense qu’il faut
leur faire utiliser assez souvent. Donc, moi je leur fais… je leur fais répéter souvent. Je leur fais énoncer la propriété, qu’il soit par
écrit ou par oral.
D’accord. Ça sera plutôt comment on peut stocker l’information, mais, après pour récupérer l’information, pour l’évoquer.
Pour récupérer l’information … bon… c’est pas évident ça, hein ! Les… il faut… il faut qu’ils soient en situation de reconnaître…
de reconnaître la situation. De reconnaître la situation, donc, … je pense qu’ils la voient assez souvent. Des notions qu’on voit pas
souvent, ils n’arrivent pas, c’est normal, hein, ils n’arrivent pas à les reconnaître. Il faut qu’ils reconnaissent une situation et, si on
ne leur fait pas reconnaître assez souvent, c’est … ils oublient… ils oublient la… ils oublient la notion la… le théorème, il ne
savent plus. Ils ne savent plus le faire revenir de leur mémoire. Au début, c’était… non, c’était pour les hauteurs, il y avait un bon
exemple pour les médiatrices. Il y a un moment qu’on n’avait pas utilisé le centre du cercle circonscrit. Donc, ça a été très très
difficile de là … et ça a été vraiment de bons élèves qui se sont souvenus, les autres… après, bon, quand ils le … quand on la …
quand on… quand leurs camarades leur disent, ils reconnaissent que, à un moment donné, ils l’ont appris. Ben,… c’est difficile de
leur faire, de leur faire, disons, remémorer quelque chose qu’on a fait depuis longtemps, si on ne l’a pas utilisé dans d’autres
situations, quoi. Aussi, il faut utiliser des théorèmes, des propriétés dans des situations au fur et à mesure de l’année, sinon, ils ne
se souviennent pas.
En général, tu dis à partir d’une situation quelles sont les choses ou les éléments essentiels de la situation pour aider à se souvenir,
à se rappeler.
Ça dépend un peu de … ça dépend un peu de la situation elle-même. En géométrie, il faut que … il faut que, à quelque part, le
texte soit assez clair pour qu’ils puissent construire la figure. Mettre… bien classer les données… enfin, les hypothèses quoi, bien
classer les hypothèses !
Ça veut dire quoi, assez clair ?
Hein … qu’il soit … qu’il soit pas trop compliqué quoi ! C’est-à-dire, pour certains élèves, je crois, parce qu’il y a des élèves
qu’ils seront, qui seront se débrouiller avec n’importe quel texte. Mais, disons pour que ce ne soit pas ambigu. Je me suis aperçue,
moi, pendant tout mon enseignement, que s’il y avait plus de deux… deux consignes dans une phrase, c’était difficile pour un
élève. Le style de phrase la … la perpendiculaire à la droite BC, passant par A, coupe la droite AB en E, par exemple, c’est très
difficile pour l’élève. Pour un élève de cinquième, quatrième, c’est très difficile. Ils savent plus … le fait qu’elle est
perpendiculaire, le fait qu’elle passe par un point, que coupe une autre droite. C’est terrible ! (CB rit) L’autre jour, il y avait deux
perpendiculaires qui se coupaient en deux points, je ne sais plus si c’était de cinquième ou de quatrième, ça a été terrible ! Les
élèves… non, c’était de cinquième. C’était un losange, le texte était très simple. Il faisait trois lignes. Le texte, il n’était pas long.
Il n’est * pas les élèves et les élèves ne le comprennent pas. C’était un losange. Soit un losange A B C D. Tracer la perpendiculaire
en C à la droite par une diagonale et, la perpendiculaire en D, par l’autre diagonale. Elles se coupent en E. Quelle est la nature de
O E C F, c’était un rectangle… mais, les élèves n’arrivent pas à faire la figure. Il avait dans la phrase, il y en avait… trois
consignes : tracer une perpendiculaire, tracer une seconde perpendiculaire et le fait qu’elles se coupaient. Disons que j’avais, que
j’ai eu des élèves … c’était un devoir à la maison, j’ai eu sept ou huit élèves qui sont venus me voir en me disant que la figure était
impossible. Ils n’arrivent pas à la faire. Preuve que, quelque fois, le texte lui-même est un obstacle à la réalisation. Ils ne peuvent
pas. Ils ne voient pas la situation. Donc, ils peuvent pas la résoudre déjà, donc, premièrement. Et puis, après, il faut quand même
qu’à quelque part, pour les élèves de cinquième, quatrième, troisième… que ça ne soit pas, quand même, extrêmement compliqué.
Il faut les guider. Ils peuvent pas seuls, la plupart ne peuvent pas faire un exercice extrêmement compliqué en raisonnement
géométrique.
Oui
302 CB : Parce que …
303 C :
Et après pour l’algèbre. Bon, c’est autre chose pour la géométrie que pour l’algèbre ?
304 CB : Non. Pour l’algèbre on est… les problèmes qu’on avait étaient assez simples, je trouve. Plus compliquée la géométrie, parce que
c’était une géométrie qu’on appelle pure, surtout en quatrième. C’est l’application de théorèmes… application de théorèmes, à part
Pythagore et Thalès, c’est peu métrique quoi ! Il y a peu de mesures, donc, c’est plus difficile. En algèbre, bon, la difficulté se
posera sur les nombres relatifs. C’est toujours, il y a toujours des difficultés avec les nombres relatifs. Et c’est pas prévu (CB rit)
pour s’améliorer ! Je viens de le faire avec les cinquièmes, là. Là, aussi, c’est une question d’entraînement et, après, maintenant, il
y a des machines à calculer. Donc, on les entraîne petit à petit de perdre pied avec le calcul. Tous prennent la machine à calculer,
ils voient plus l’intérêt de calculer par eux-mêmes. Je vois beaucoup d’élèves, par exemple, six multiplie par cinq à la machine à
calculer. Il ne retiennent plus les tables de multiplication. Alors, la question c’est, parce que je ne me souviens plus.
305 C :
En fait la question c’est : « Comment tu fais pour que les élèves se rappellent de quelque chose ? »
306 CB : Comment j’essaie de faire ! (CB rit)
307 C :
Oui, mais quand même tu arrives…
308 CB : J’arrive… (CB rit) ouf ! … J’ai dit, je leur fais souvent, pendant l’année, on fait des exercices où on revient sur les, sur les acquis
dès le début de l’année. Je, je rappelle… Oui, je pense que c’est à quelque part pour moi. J’utilise très souvent les connaissances
qui sont antérieures. Que ça soit même de la classe ou de la classe d’avant. Par exemple, au début de …. Hier, tu m’as demandé,
par exemple, pourquoi je disais que vous aviez fait ça l’an dernier etc. C’est un peu ça, dans cette optique-là. C’est pour leur faire
pour leur faire redire ce qu’ils avaient vu l’an dernier, qu’est-ce qu’ils avaient retenu. J’essaie de solliciter leurs mémoires.
309 C :
♣ (13’12) D’accord. Et comment tu crois que les élèves peuvent se rappeler eux-mêmes quand tu n’es pas avec eux ?
310 CB : (5ss) (CB rit)… Hein ... de ... la même façon quoi … c’est-à-dire que … ils ont … ils ont des exemples. En général, ils ont une
mémoire, quand même, à leur âge, très performante. Il faut qu’ils, il faut qu’ils absolument reconnaissent des situations qu’on a
déjà abordées quoi. Des situations qui ont déjà été traitées. Je … et, après, repartir, bien sûr, une fois qu’ils ont reconnu une
situation, repartir de la leçon qui a été faite quoi ! Mais, tout seul, c’est plus difficile bien sûr. C’est… ils sont pas guidés, hein ! …
Je ne sais pas. Je ne peux pas répondre à cette question. Comment ils le font seuls, … s’ils ont un cahier de leçon, ils ont un
livre,… bon, … il faut qu’ils reconnaissent les situations, c’est sûr. En général, quand je leur donne du travail à la maison qui
demande des connaissances antérieures, je leur donne longtemps en avance, puisque, pour qu’ils puissent d’eux-mêmes, parce
qu’il y en a qui ne peuvent se faire aider. Il y en a quand même se faire aider à la maison, pour qu’ils puissent, s’ils ne
reconnaissent pas la situation, venir me voir. Pour que je leur dise : « Ça, tu l’as déjà vu, rappelle-toi, va voir un peu en avance »
Je leur donne pas la solution je me dis ils l’ont déjà vue, il faut qu’ils cherchent. Voilà !
311 C :
♥ (15’08) D’accord. Est-ce que tu crois que les techniques que tu utilises dans la classe pour structurer la mémoire, hein … il y a
des élèves, ben,… la mémoire des élèves, sont transférées ou apprises aussi pour eux ?
312 CB : Ah oui, si je leur apprends des techniques de mémoire, de mémorisation ?
313 C :
Non.
314 CB : Non.
315 C :
Les techniques que tu utilises, même si tu ne t’aperçois pas, si les élèves les apprennent ou les… d’un certain…
316 CB : Je, je, je pense de toute façon qu’ils les ont devant leurs yeux. Je fais, soit une mémoire auditive, soit une mémoire visuelle. …
Ouf… Je pense qu’ils s’approprient un peu, quand même. Donc, d’approprier certaines techniques, lorsque … quand je leur dis…
je leur dis … quand, vous pouvez retenir, dès le début de l’année, je leur dis tout le temps. Vous pouvez retenir soit en écoutant,
c’est-à-dire vous prenez, si vous détestez écrire, vous prenez un magnétophone et vous récitez votre théorème et, après, vous le
comparez avec ce qui a écrit sur le cahier ou avec ce que vous écrivez sur le cahier de brouillon. Car, je leur donne des méthodes
pour apprendre, des méthodes pour apprendre la leçon. J’espère que … que ça les aide. Je pense qu’ils s’approprient certaines
techniques. Oui, j’espère. Pour les faire avancer, oui j’espère (CB rit) qu’ils s’approprient certains techniques que je leur donne.
317 C :
♦ (16’44) Est-ce que tu utilises des techniques différentes pour la géométrie ou pour les problèmes qui sont plutôt de nature
géométrique à ceux qui sont de nature algébrique ? Par exemple, les droites remarquables, la résolution des équations.
318 CB : Au point de vue de la mémorisation, je ne sais pas si c’est vraiment différent. Je crois pas, parce que … Bon je suis une, quelqu’un
qui apprend en visualisant, donc, il me faut du papier, il me faut un crayon. Du crayon et du papier pour apprendre. Je sais bien
qu’il n’y en a pas, qui font pas comme ça, mais, bon,… je dois privilégier à quelque part, inconscientement, je dois privilégier
cette méthode à moi. Parce que c’est moi, je l’utilise moi-même. Ça marche bien. Donc, c’est naturel que je … que je la privilégie.
Enfin, je leur fais quand même réciter oralement. Bon,… je pense que j’ai pas … à part en géométrie, à faire apprendre en même
temps l’énoncé et la figure, et la figure qui va avec l’énoncé. Je n’ai pas de techniques privilégiées en algèbre ou en géométrie. Du
point de vue de la mémorisation !
319 C :
Oui.
320 CB : Non, je pense pas …
321 C :
Et de l’autre point de vue ?
322 CB : Hein… du point de vue de … disons, l’acquisition de connaissances, non, non plus. Je demande beaucoup de savoir-faire aux
élèves, beaucoup d’exercices, que ça soit en algèbre ou en géométrie. Je privilégie ce côté-là. Disons que, en géométrie, on fait un
peu moins parce que… c’est plus long à… le discours est plus long. C’est tout, hein ! … Je fais peut être plus des exercices
d’entraînement en algèbre, mais ça, c’est parce que j’ai plus de …
323 C :
De temps.
324 CB : De temps… hein … dans l’heure quoi !
325 C :
D’accord. Très bien !
326 CB : C’est fini ?
327 C :
Oui, c’est fini ! (18’47)
III.3 TRANSCRIPTION DE L’ENTRETIEN AVEC NF
1
C:
QUESTION 1
(00’11) Parfois, tu commences les séances avec un rappel général de ce que les élèves ont fait le jour d’avant. Par exemple, ici,
455
2
3
NF :
C:
4
NF :
5
C:
6
NF :
7
8
9
10
C:
NF :
C:
NF :
11
12
13
14
15
16
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
17
C:
18
19
20
21
22
23
24
NF :
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
25
26
27
28
C:
NF :
C:
NF :
29
30
31
32
C:
NF :
C:
NF :
33
34
35
36
C:
NF :
C:
NF :
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
47
C:
456
pendant la première séance de proportionnalité, tu dis : « Est-ce que quelqu’un peut me rappeler des différentes étapes ? ». C’était
pour résoudre l’équation. Ou, sinon, ici : « On va se rappeler un petit peu ce qu’on a vu. » Et comme ça, on peut le trouver en
différentes séances.
Oui, c’est vrai que j’essaie de le faire, régulièrement, quoi ! Quelque soit le niveau.
Oui oui. Je crois qu’on l’a trouvé dans presque toutes les séances. Alors, la question c’est, pourquoi ? Qu’est-ce que tu attends des
élèves à ce moment-là. Au début. Pourquoi tu fais ce rappel ?
En fait, je le fais parce qu’ils viennent d’un autre cours, ils viennent de la récréation, alors, il faut bien leur montrer que, bien,
maintenant, on est en maths. Pour rappeler ce qu’on a vu, pour les remettre dans le bain, quoi ! Parce que dans la démarre, c’est pas
du tout évident de ce rappeler ce qu’on a vu. C’est juste pour réactiver ce qui a été vu avant et les remettre en peu plus dans le bain.
C’est uniquement pour ça.
D’accord. Par exemple, si on était dans la même séance et on change de sujet, d’algèbre en géométrie, c’est toujours en
mathématiques, tu aurais fait le rappel aussi ?
Par exemple, si je commence un nouveau chapitre, après avoir fini le précédent, et que c’est au milieu d’une leçon, au milieu du
cours, oui, ça je ne le fais pas trop, quoi ! C’est vraiment parce qu’on commence le cours et qu’avant il y a eu autre chose. Un peu
pour ça, surtout.
C’est pour faire le coup de la récréation.
Voilà, le coup de la récréation ou du cours d’avant, de français ou d’anglais.
D’accord.
Sinon, après, en général, de toute façon, le cours commence par des activités. Donc, je ne leur dis pas non plus de quoi je vais
parler. Là, je les laisse découvrir dans l’activité. Ça, je fais pas particulièrement le rappel si je commence un cours au milieu d’une
heure du cours. C’est vraiment au début d’une heure quoi ! Après, on ne rappelle pas nécessairement.
Oui, en fait, ça c’est l’exemple, par exemple de ça.
Oui
Ici, on avait commencé avec la résolution des équations et après c’était la petite fiche.
Et après, c’était la proportionnalité ?
Oui, la petite fiche de proportionnalité.
Ah oui ! D’accord, oui.
QUESTION 2
(02’37) Et au début de ça, tu avais dit : « Voilà, vous commencez à faire l’exercice… » et tu justifies, en fait, ton intention de faire
la petite fiche : « C’est juste pour se rappeler un peu. ». C’est ça que tu dis.
Oui, c’est pas le rappel par l’oral. En général, ce sont des rappels qui sont faits à partir d’exercices, quoi !
D’accord. De quoi les élèves doivent se rappeler à ce moment-là ? Qu’est-ce que tu attendais…
Pour la proportionnalité ?
Oui !
Ou pour les exercices de proportionnalité ?
Pour la fiche, en général.
En fait, j’attendais de savoir de quoi ils se souvenaient. Alors, ça dépendait, le coefficient de proportionnalité je l’attendais pas,
égalité de rapport, voilà quoi ! Quel était le vocabulaire qui tournait autour des situations de proportionnalité ? Quelles étaient les
représentations qu’ils avaient d’une situation de proportionnalité ?
D’accord. Est-ce que tu as choisi les nombres-là au hasard ?
Oui, non !
Non ?
J’ai pris des valeurs qui marchent bien en fait. Qui peuvent trouver sans utiliser, sans nécessairement passer par le coefficient de
proportionnalité. Ou, sans utiliser le produit en croix non plus, qui est efficace mais, par fois, ça ne marche pas aussi rapidement
sans quoi. Parce que le produit en croix, après, c’est une technique et ils l’utilisent sans même savoir si c’est une situation
proportionnelle ou quoi. Alors que, bon, quand je ne sais pas, j’ai pris … oui, c’est plus le coefficient de proportionnalité qui était à
mettre en évidence. Oui, non en fait, c’était oui des valeurs simples quoi ! Il n’y a pas de coefficients de proportionnalité, ni de
décimaux, ni de fractionnaires.
En fait, le coefficient c’était, c’était décimal. C’était une fraction.
Oui.
Pourquoi tu ne l’as pas fait ?
Non, je, oui, je n’y ai pas pensé. Je pense qu’il puisse être huit et trois quoi, par exemple. Et à ce moment-là, ils
ont pensé vraiment une fraction qu’en… sur une forme décimal. Et là, c’était une chose plus simple quoi.
D’accord, et ici, pourquoi… parce qu’au début de la séance, les élèves disent, disent…
Diviser par quatre…
Diviser par quatre, au lieu de multiplier par… tu avais anticipé ça. Que c’était la division, ce qu’ils…
…qu’ils allaient donner, oui. Et après, il
faut revenir sur la multiplication.
C’était tout à fait intentionnel.
Oui.
D’accord. Bon, ils ont fait ça.
Ça, ça, c’était donné. Je crois que je les avais donnés à la maison, c’est ça, non ?
Oui, vous savez, les élèves ont fini, ici... Je crois.
Oui.
Et après ?
Fini le tableau et…
Oui oui. Mais, je crois que jusqu’ici…
Oui, je crois que j’ai pas donné la représentation parce que je voulais
revoir un peu le vocabulaire, là, aussi. Sur l’ordonné, comment placer un point, parce que je n’était pas sûre.
Et pourquoi tu …
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NF :
Pourquoi tout donner ?
QUESTION 3
C:
(06’06) Non, pourquoi tu voulais revoir le vocabulaire ? Alors, pourquoi à ce moment-là ?
NF : Pourquoi…
C:
Alors, ici, tu as dit, donc, avant de continuer, on va revenir un peu sur le vocabulaire (C cherche sur les feuilles). Voilà, « d’abord,
on va se rappeler un peu le vocabulaire ».
NF :
Oui, le vocabulaire utilisé …
C:
Alors, la question c’est, pourquoi à ce moment-là et pourquoi le vocabulaire que tu as fait ? Alors, les ordonnés, les abscisses, le
repère et l’origine…
NF : Parce qu’effectivement, à partir de ce moment-là, on n’en parle pas dans le cours en quatrième. Il n’y a pas de représentations
graphiques de quoi que se soit. Donc, là, il y avait un repère, il y avait deux axes perperdiculaires. Donc, j’ai pensé qu’on pouvait en
parler à ce moment-là quoi. Parce qu’en troisième, après, quand interviennent les fonctions affinnes et les fonctions linéaires avec la
proportionnalité, parce qu’on parle de fonctions linéaires à partir de la proportionnalité. Donc, en représentant graphiquement une
situation de proportionnalité, on voit que ces points sont alignés. On introduit la fonction linéaire et là, on parle vraiment de
coordonnées, etc. Donc, c’est pour ça que j’ai voulu leur en parler à ce moment-là quoi.
QUESTION 4
C:
(07’37) Maintenant que tu dis, « des points alignés »…
NF :
Oui…
C:
Tu utilises, bon, les élèves le font aussi, la règle, pour vérifier…
NF :
Pour vérifier qu’ils sont alignés, oui oui, c’est vrai que je pourrais… le faire,
je ne sais pas si ça se fait dans le livre… et oui, c’est pas possible avec le théorème de Thalès. Le théorème de Thalès, on l’a vu
après (NF rit), pour vérifier que les points sont alignés. Donc, on vérifie. Donc, on justifie quoi !
C:
Oui oui, on vérifie avec la règle. Moi, je l’ai trouvée bien. Mais, en fait, c’est quoi le rapport, la question, c’est pourquoi la règle ?
Pourquoi pas un autre objet ? C’est quoi le rapport entre la règle et une droite ?
NF : (pause 8ss) … C’est… Je ne sais pas. C’est l’outil pour tracer la droite (NF rit, C aussi). Non et … quel est le rapport entre…
C:
Oui oui … pourquoi la règle et non une autre chose ? Je ne sais pas, un fil …
NF : Je ne me suis pas posée cette question, c’est naturel. Une droite, ça se trace avec une règle. Donc, on vérifie qu’elles sont alignées
avec ça, je ne sais pas. Je, jamais … Oui.
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NF :
QUESTION 5
(08’57) Oui… ça va. Alors, pendant les échanges, on pourrait dire comme ça, qu’on fait comme prof avec les élèves, je crois…
Bon, j’ai essayé de partager un peu en passages ou types de passages…
Oui…
Alors, je les ai nommés comme : récapitulation, répétition et reformulation. Par exemple, la récapitulation, pendant la séance du
cosinus, moi, je dis que ça, c’est un exemple de récapitulation. Ici, on a fini une partie et on dit…
Ça, c’était du début du chapitre ?
Oui, c’est la première séance.
D’accord, la première séance.
Tu as fait le triangle en couleur et tu dis : « J’ai nommé les trois côtés / il y en un que c’est l’hypoténuse / un autre // qui est le côté
opposé à l’angle B / et le troisième que c’est le côté opposé » … Moi, je trouve ça, une espèce de récapitulation. Ici, aussi, (C
cherche la feuille) voilà. Donc, on a appliqué le théorème de Thalès et à un moment donné tu dis : « Alors / au départ, on a un
triangle / on en a déduit d’après le théorème de Thalès / que cette relation est vrai / d’après le produit en croix / on a déduit que cette
relation est vraie. », et ici, tu dis les différentes relations. Que ça, c’est vrai, que ça, c’est vrai (C signale sur la feuille).
Ah oui, donc, d’accord ! Ah oui, c’était pour
démontrer le théorème de Thalès ! Oui, d’accord !
Alors, ici, une autre récapitulation. Tu le dis à la fin, ils ont écrit au cahier et après, tu dis : « Voilà // dans ce triangle-là / on a ça,
AB et BC, ce sont les longueurs des côtés / si on a une information sur l’angle / donc, on a une relation entre mesures d’angles. »,
etc. C’est une espèce de récapitulation.
D’accord. Oui, parce qu’en plus de cette activité, c’est moi, qui l’ait faite au tableau. Ils ont participé mais, bon, sans plus, alors.
Voilà, c’était pour aller plus vite quoi ! Parce que l’objectif aurait été qu’ils réfléchissent tous seuls sur l’activité. Elle était dans le
livre d’ailleurs ! Un plus ou un moins cette activité-là, moi, j’ai choisi de la faire au tableau pour aller plus vite. Donc,
nécessairement, il faut, à la fin, faire le tri de tout ce qui a été vu et j’ai pensé en faire un bilan quoi. Parce qu’il suit pas
nécessairement quoi !
Alors, en fait, c’était ça la question que j’allais te poser. Pour ton travail comme professeur, pour ta gestion enseignante, quel était
ou quel est l’intention de ce type de récapitulation ? C’est-à-dire, pourquoi on le fait ?
Oui, parce qu’effectivement, tout ce qu’on a fait là, on a parlé du théorème de Thalès. Quand l’objectif c’était de parler du cosinus
d’un angle, de la relation entre le cosinus et les longueurs des côtés d’un triangle. Donc, en fait, ils savent pas du tout, en général,
quand on arrive à la fin. Surtout eux, quand on arrive à la fin, surtout eux, qu’est-ce qu’il y a à retenir de tout ça. On est quand
même obligé de dire, voilà, où on est arrivé. Voilà qu’est-ce qu’il y a à retenir, le reste, c’était la démonstration. C’était pour
clarifier qu’est-ce qu’il y a à retenir de tout ce qu’on vient de faire. Parce que sinon, ils demanderaient : « Est-ce qu’il faut refaire
tout ça à chaque fois ? »… Donc quoi !
D’accord. Et tout à l’heure, tu as dit que c’était aussi un facteur de temps.
Oui.
Si on auvait, beaucoup du temps, est-ce que tu…
Donc, j’aurais donné l’activité, plus ou moins comme elle est dans le livre, plus ou moins,
c’est la même chose. Après, je les aurais laissés réfléchir plus ou moins un quart d’heure de plus et après, on aurait fait le point en
commun. Donc, de là, on a réfléchi ensemble. C’est moi qui a donné les questions et on a avancé ensemble.
Mais, tu aurais fait aussi…
J’aurai fait cette activité-là. J’aurai fait exactement la même chose quoi ! Je les aurai laissés réfléchir avant. Laissés rédiger en fait,
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parce que là, c’est moi qui a tout écrit. Alors là, on a écrit, on a utilisé le théorème de Thalès, on a… C’est vrai que ça aurait été
mieux ! (NF rit)
L’autre passage que j’ai trouvé et qu’on fait tous les profs, c’est le passage de répétition.
Oui.
C’est, par exemple, quand un élève répond à une question et le prof le dit exactement pareil.
Ah oui.
On le dit : « le côté, le côté », « AB, AB »
Oui ! (NF rit)
Ou … « le théorème de Thalès, le théorème de Thalès »
C’est vrai que je le fais souvent…
Oui.
Bon, ça, c’est l’idée.
Oui oui, d’accord.
Alors, c’est la même question. Pourquoi on fait ça. C’est quoi la finalité ?
Souvent, c’est pour que tout monde entende. Parce qu’il ne le font pas toujours très fort, mais voilà ! C’est tout. Mais à la fin, c’est
vrai que pour moi ça devient presqu’un réflèxe. (NF rit) Je ne m’ai pas rendu compte. Quand je corrige (NF rit)… Je fais quelques
calculs mentals en sixième, au début de chaque heure. Pareil à la fin, ils font le calcul mental et je leur demande la réponse. C’est
vrai que je répète tout le temps. Si quelqu’un dit : « Ça fait quatre virgule cinq. » Je dis quatre virgule cinq pour que tout monde
entende et pour corriger. Et je me rends compte que c’est presque un réflèxe quoi ! Des fois, je me dis qu’il faut que je m’arrête
quoi ! (NF rit) Je crois qu’ils entendent quand même.
Et tu les fais aussi d’ailleurs les mathématiques ?
Hum…
À part les mathématiques, d’ailleurs, les mathématiques, je ne sais pas si tu le fais aussi ?
Hum, je ne sait pas. Là, je ne m’en suis pas aperçu en cours (NF rit).
D’accord. Et donc, le troisième passage, je l’ai divisé ou partagé en deux cas.
Oui.
Ce sont les passages de reformulation (C cherche la feuille). Le première cas, c’est quand l’élève répond à une question et que tu
reprends la réponse, mais en la reformulant. Par exemple, ici Sophian, je ne sais pas si on l’écrit comme ça, « soit les côtés ou les
angles ». Alors, la question c’était : « Qu’est-ce qu’on peut mesurer dans un triangle ? » Alors, tu reprends la réponse et tu dis : « les
côtés et les angles »
Ah oui ?
Et tout à fait pareil. Ici, Charlotte, elle dit que, bon, les angles intérieurs…
D’accord.
…ça fait cent quatre vingt dégrées. Alors, tu reprends la réponse
et tu dis : « Et la somme des trois angles vaudra cent quatre vingt dégrées. »
Oui.
Alors, ça, c’est un cas de reformulation ? Alors, c’est toujours la même question, c’est quoi la finalité ? Pourquoi on fait ça ?
Et … là, peut être moins. Mais là, c’était parce que la propriété, ils en ont souvent entendu parlé en cinquième et on ne voit pas
beaucoup de propriétés. C’est pour essayer de reformuler la propriété plutôt, quand ils ont entendu avant. Pour qu’ils, peut-être, la
savent davantage. Suivi, les élèves apprennent les choses de façon différente. Donc, si on a transformé, là, de façons différentes, il
aura peut-être une des deux. Ça accrochera plus quoi !
D’accord. Par exemple, là, je pense que…
Là, c’est pas tout à fait pareil, oui.
Non, je pense que, oui effectivement, tu l’as changée, parce que c’était pas « ou », c’était « et »…
Oui.
Et ici, c’est la même chose ?
Oui. Là, c’était pareil.
Donc, je ne sais pas s’il y a une autre intention d’utilisation de vocabulaire ou de structure pour dire les choses.
De structure, oui.
Oui, c’est vrai que les phrases, ils ont l’idée mais, ils ont du mal à la formuler clairement. Quand ils récitent, même en leur disant :
« Apprend par cœur les propriétés. », ils ont du mal à les reformuler, même si, parfois, ils ont les idées. Donc, sinon, c’est vrai que
c’est nécessaire mettre de l’ordre un peu dans … dans leurs têtes quoi !
Et pourquoi tu crois qu’ils ont du mal à formuler des phrases ?
(pause 5ss) C’est vrai que le vocabulaire, c’est quelque chose qui, qui pose problème, de façon générale, mais, ça, c’est oui. Ça se
voit plus qu’en maths quoi ! Ça se voit aussi en français. C’est un problème d’expression orale ou même écrite, en fait.
Et tu as une hypothèse de pourquoi ça arrive ?
De pourquoi … (pause 10ss) Je ne sais pas, peut être parce que le par cœur … parce qu’effectivement, quand on demande à certain
d’apprendre les phrases par cœur, … ils ne placent pas toujours les choses au bon endroit pour voir que chaque mot, dans certaines
propriétés, a une place spécifique. Et s’ils la placent pas à la bonne place… Dans le théorème de Pythagore, si on met somme, carré,
pas au bon endroit, ça veut plus rien dire au niveau de la phrase. Donc, ils ont peut-être pas le … Je ne sais pas … Ils voient pas
l’importance des mots quoi ! Le poids qu’ils peuvent avoir dans la phrase … Je ne sais pas ! (NF rit)
Et comment, comme prof de math, comment en particulier, tu pourrais aider aux élèves pour s’exprimer mieux ? Pour formuler des
phrases plus complètes ?
Je pense qu’en sixième, où il y a beaucoup de phrases à faire… En fait, c’est un travail de français quoi, lire la phrase et de
reprendre les termes qui sont dans la phrase pour répondre à la question. C’est plus la phrase interrogative que la phrase affirmative
correspondante. Après, en quatrième pour… il y a mes exercices résolus oui ? (NF rit) Où il y a toutes les étapes-là, de la rédaction
que je demande, il suffit de suivre cette rédaction-là pour arriver à avoir des phrases correctes quoi. Là aussi, ça les oblige. Il y a des
avantages et des inconvénients aux exercices résolus. On leur donne l’exercice type mais, en quelque part, ça les enferme dans un
carcan où la rédaction est préétablie quoi ! Et donc, ça pose aussi… oui, j’ai l’impression qu’ils ont du mal à savoir qu’est-ce qui est
important, qu’est-ce qu’il ne l’est pas dans une phrase. Quels sont les mots qui sont importants et il y en a d’autres qui ne sont pas
importants mais, lorsqu’on écrit, on a besoin de ces mots-là pour écrire la phrase. C’est tout. Ils ont du mal à voir qu’est-ce qui est
important dans une phrase. Sinon, on pourrait essayer de les aider à structurer la phrase, je ne sais pas trop.
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D’ailleurs, l’exercice résolu que tu dis, si tu reviens dans tes cours, tes classes, tu peux penser à certains gestes que tu fais pour
structurer une phrase en particulier ?
C’est-à-dire ?
C’est-à-dire, par exemple, là, si on dit… je lisais d’une transcription d’un groupe de travail, un élève disait la ligne couchée pour la
ligne…
… horizontal…
… horizontal et le maître, il fait comme ça, ce geste-là et tout de suite, l’élève disait : « Ah, horizontal,
c’est pas couchée, c’est horizontal ! » parce qu’il connaissait le mot.
Le geste… oui, le geste associé au mot.
Oui. Alors, est-ce que tu crois, je ne sais pas, quelque mot en particulier ou un exemple ?
Hum je… non, je … les gestes comme ça,
beaucoup. Je maîtrise pas toujours. Je fais peut-être le même mais, je ne me rends pas compte. Je n’ai pas pensé effectivement,
qu’un geste… on pouvait associer un geste à un mot ou un mot à un geste quoi ! Un mot, bon, des expressions à des dessins, oui,
mais à un geste… comment ? Je le voyais plus au niveau de la représentation tracée quoi !
D’accord. Moi, je me souviens que c’était, oui oui, pour le vocabulaire de repères, abscisses et ordonnées. Je crois qu’il y avait un
moment, je crois que c’était Jon qui était au tableau, il associait ordonnée à vertical. Alors, il trouvait pas du tout la réponse, j’ai
oublié la question mais, de ce que je me souviens, ce que tu as fait comme ça (C descend une main de haut en bas) et il a dit tout de
suite : « Ordonnée. ».
Tu t’aperçois pas mais, ce geste…
Oui, de suivre la ligne, en fait, verticale. Ah oui oui, non, je n’ai pas, pas fait attention.
Et le deuxième cas de ces reformulations, comme je l’appelle, c’est quand c’est toi-même qui fait la re-formulation ?
Hum, je le dis deux fois mais de façon différente, non ?
Oui, voilà. Par exemple, ici, c’est « Comment se présente x par rapport au problème. ». Une autre fois, « Comment se présente x
pour le problème. » et « C’est quoi x pour le problème ? On l’avait écrit ! ». Et ici, quand il s’est trompé, l’élève, Michael, il s’est
trompé. Il dit périmètre alors, il y a une autre reformulation, « regarde la figure, la longueur du rectangle, c’est quoi aussi pour le
triangle ? C’est quoi x pour le triangle ? ». Alors, ce type de reformulation, ce n’est pas du même genre que les autres…
Oui.
Et il y a beaucoup de ça. Ben, il y a beaucoup des autres aussi. Alors, pourquoi ce type de reformulations ? C’est quoi ton
intention pour l’élève ?
Oui, c’est parce que c’est une façon différente de dire les choses. Montrer qu’on peut dire les choses de façon différente. Et puis, en
attendant la réponse aussi. Comme il tarde à venir, oui, peut être en reformulant d’une autre façon, il verra mieux de quoi il s’agit.
Est-ce que le, par exemple, là, le simple fait de parler de x, le dérange beaucoup quoi.
D’accord. Dans ce cas-là, est-ce que, alors, pourquoi par exemple, est-ce que tu as fait ce type de reformulations et pas une autre ?
Tu te souviens pas du problème ?
Et… s’il y avait un triangle et un rectangle et il fallait…
… pour avoir le même périmètre ?
Oui oui oui. Oui, parce que dans ce cas-là, ils avaient un côté commun, là, le triangle et le rectangle. La longueur x, elle était
commune à la fois au triangle et au rectangle…
Qu’est-ce qui t’as motivé, si on peut le dire comme ça, de changer de cette formulation-là à celle-là ?
C’est vrai qu’au départ je parle que de x et après… je leur demande, oui (C cherche l’exercice dans le livre et le montre à NF). Pour
les guider un petit peu par rapport au périmètre du rectangle. Parce que sur la figure, le triangle, à quelque part on peut penser qu’il
n’y a pas de mesures prédéfinies. Parce qu’effectivement, ils ne voient pas toujours le lien entre… Lui, ce qu’il a marqué là, c’est ce
qui correspond au côté du triangle en fait.
Quand tu dis là, regarde la figure, qu’est-ce qu’il y a dans la figure qu’il faut regarder ? C’est-à-dire quand je regarde la figure, de
quoi est-ce que je dois me rappeler tout suite ? de quoi ?
De découper. De codage ? Se rappeler que … qu’on parle de
longueur des côtés… oui …
Alors. Tu m’as dit qu’on fait ces reformulations pour dire les choses de différentes manières, mais effectivement, quand tu me dis
qu’on parle de la longueur des côtés, on s’aperçoit que la reformulation c’est pas au hasard qu’on la fait.
Oui.
Ici, on peut dire que c’est un peu plus général et après, on essaie de spécifier pour l’exercice-là. Est-ce que tu crois qu’il y a un autre
critère ou indice pour savoir faire ce type de reformulations comme ça ?
Un autre type de critère pour…
Oui, par exemple, là et là, un autre, en général, c’est vous avez une inégalité, on dit pas quelle est l’inégalité ici, vous devez déduire
des inégalités avec ce « qu’on propose »
D’accord, passer du cas général au cas particulier quoi !
Par exemple, ça c’est un critère général. Les élèves se trompent dans la réponse. Alors, on essaie de spécifier un peu. Ce type de
reformulations comme ça, en général…
Un cas particulier ?
Oui oui, déjà, le seul geste de dire d’autres modes, c’est quoi aussi
l’intention, si tu trouves aussi une autre intention ?
Le cas général pour essayer de rappeler le cours, enfin, ce qui pourrait être dans le cours, être utile pour la résolution du problème et
ensuite, le cas particulier pour essayer d’appliquer dans un cas particulier. Pour essayer de rappeler, oui, l’exemple qu’on a donné en
cours qui est du type de qu’est-ce qu’il faut faire là, par exemple, une inégalité. On a fait quasiment la même chose juste avant en
classe. On avait fait des exemples qui étaient du même style quoi. (pause 10ss) Je ne sais pas … (NF rit)
QUESTION 6
(30’35) C’est bon. Tu as dit tout à l’heure pour les récapitulations que c’était un peu aussi pour faire le, pour savoir qu’est-ce qu’il
faut retenir. Effectivement, avant d’écrire sur le cahier du cours, tu dis tout le temps, on va écrire ce qu’il faut retenir. Alors la
question c’est, pourquoi on écrit que ce qu’il faut retenir ?
158 NF : (pause 4ss) Pour avoir l’essentiel pour le cours. C’est vraiment le minimum, l’essentiel à connaître. Ça doit pas mettre autres choses
157 C :
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quoi. Les démonstrations, les … Ça doit être fait dans les activités, dans les exercices mais ça ne doit pas intervenir dans le cours.
Même si, c’est vrai, on nous demande que les élèves apprennent les démonstrations mais que certains savent refaire certaines
démonstrations en fait. Moi, je (refais / préfère) ce qui est vraiment dans le cours, le minimum quoi !
Et comment tu décides c’est quoi le minimum ? Ou l’essentiel ?
Le minimum, quand je mets des exercices résolus, c’est que, c’est vrai, moi, je n’étais pas, pas autant autonome l’an dernier. Par
exemple, en quatrième, mais cette année, je veux vraiment qu’ils aient à quelque part une référence, parce que… je me dis au moins,
je ne sais pas quoi, qu’ils aient quelques choses pour s’appuyer dessus, parce que certains sont complètement perdus. Donc, il y en a
certains qui ont quand même le schéma. Le minimum c’est … les propriétés quoi et ce qui les accompagne. C’est-à-dire, les figures,
l’exemple, ce genre de choses quoi. Propriétés, définitions, … il faut vraiment que le cours soit synthétique, le minimum.
Oui, il faut que le cours soit synthétique. La synthèse de ce cours-là, on peut dire qu’on fait une classification entre tous les chemins
que les élèves ont parcourus pour arriver à une propriété et à un théorème. Il y a aussi des erreurs qu’il ne faut pas oublier. Par
exemple, pour ne pas les re-commettre ce type de choses. Et à la fin, la synthèse, parfois, il me semble que je jette ces chemins-là.
Ah oui, d’accord, oui, c’est vrai que pour les bons élèves,
c’est… c’est un peu dommage quoi. Maintenant, pour les autres qui ont beaucoup plus de difficultés, c’est pas la peine de les
embrouiller avec … la démonstration. Elle a été faite, on les a aidés pour faire cette démonstration parce que, en général, les
démonstrations demandent, je ne sais pas, les théorèmes des droites et des milieux, ou celui du cosinus quoi, ce sont des
démonstrations qui ne sont pas du tout évidentes. Donc, on peut pas trouver tout de suite le résultat final. Donc, il y a toujours des
étapes qui permettent de les guider et… c’est un exercice parmi tant d’autres quoi. Pour les bons élèves, ils pourront peut être retenir
quelque chose, mais pour les autres, c’est vrai qu’ils ne retiennent pas grand choses.
Et comment tu décides ce qu’il faut retenir ?
Ce qui est dans le programme (NF rit). Tout ce qui peut se mettre dans le terme de propriétés, de définitions. Et après, il y a toujours
des remarques à écrire, mais en gros, c’est la propriété en elle-même quoi !
Sinon, tu reprends toujours le programme avant de faire le planning du cours ?
En quatrième moins, parce que ça fait plusieurs ans que je le fais. Alors, je ne vais pas, chaque fois que je refais ma leçon, je ne vais
pas revenir effectivement sur le programme. Plutôt, plus au moins l’idée, je sais ce qu’il y a à faire, donc, je ne relis pas le
programme à chaque fois que je commence une leçon, en quatrième c’est … trois quatre ans, donc.
Et dans un autre niveau ?
Hein … en troisième plus quoi, en troisième plus.
Et comment tu utilises le programme ? Comment ça t’aide ?
En fait je le lis, essentiellement. Après, je le lis pour savoir qu’est-ce qu’il faut faire. Et après les exercices qui sont plus, on va dire,
conseillés, mais pas … les exercices conseillés à faire mais… pas indispensables quoi. Après, ça dépend du temps de la classe, où
on en est. Oui, l’essentiel, c’est les propriétés.
Et est-ce que tu utilises le livre aussi pour décider un peu ce qu’il faut retenir ?
Oui.
Par rapport au cours… Parfois, je regarde,
effectivement, la façon dont c’est formulée dans le livre. Par exemple, pour les droites et le milieu, ce genre de choses. Alors, soit
pour avoir la même formulation, soit pour avoir une formulation différente, en leur disant qu’effectivement, il y a différentes façons
de dire les choses.
D’accord. Quand on écrit sur le cahier de cours… les élèves utilisent deux cahiers, n’est-ce pas ?
Oui, c’est la première fois que j’utilise … l’an dernier … c’est ce que j’ai fait en sixième d’ailleurs. Tout sur le même cahier, d’un
côté le cours, de l’autre côté les exercices. Et après, en quatrième et troisième, j’ai décidé de faire, comme certains collègues
d’ailleurs, un cours sur un cahier pour qu’il soit bien rangé, qu’il n’y ait pas de problème pour qu’ils puissent écrire dans tous les
sens et puis, les exercices sur des feuilles, pour qu’ils puissent avoir à la fois le cours et l’exercice. Quand tu as le cahier dans les
deux sens, tu peux pas faire ça. Et puis, pour leur permettre de ne pas avoir à apporter à chaque fois tout le paquet de feuilles quoi.
Ça suffit les feuilles du chapitre en cours ! Et puis, voilà.
QUESTION 7
(37’39) D’accord. Il y a, je pense, on trouve aussi ça à l’université, quand on écrit sur le cahier de cours, on utilise des couleurs.
Alors le rouge pour les titres, le vert pour les sections, le rouge pour les propriétés… Quelle est la fonction des couleurs ?
Déjà, j’étais habituée comme ça. C’est vrai que je pense que c’est un peu influencé quoi. Le fait que… quand j’étais à l’école, on
nous disait que telle ou telle couleur et … voilà. Moi, je pense que ça permet de se retrouver aussi un peu quand on reprend son
cahier quoi. De voir, je utilise pas beaucoup de couleurs. J’utilise le rouge pour le titre de chapitre, le vert pour le titre des parties et
le rouge ensuite, quand j’ai des propriétés ou des définitions. Donc, je pense que ça va permettre d’attirer l’œil un petit peu plus sur
la... « -« Qu’est-ce que c’est, ce qu’on a, est-ce que c’est une définition, est-ce que c’est une propriété, est-ce que c’est une
remarque, est-ce que c’est un exemple ? »… ce genre de chose quoi !
D’accord. Et pourquoi c’est important de faire la différence ? De reconnaître si c’est une définition ou un exemple ?
Parce que, par exemple, si c’est une propriété, j’exige qu’elle soit connue par cœur, par exemple. Un exemple, c’est juste-là, pour
montrer qu’est-ce que signifie la propriété. La propriété devra être connue. Un exemple, c’est pas pareil. Donc, et puis, ça, c’est
surtout en sixième. J’accentue là-dessus. C’est vrai que je le fais parce que ça dévient naturel. Mais en sixième, je relève le cahier,
je regarde que se soient des choses écrites correctement.
Est-ce que tu sais si on le fait aussi dans autres classes ? En français ou en histoire ou c’est qu’en maths ?
Je ne sais pas. En français, je sais que … c’est un peu plus compliqué parce qu’ils ont des classeurs parce que, tout dépend du temps
qu’ils abordent, donc… Après, je ne sais vraiment pas. En histoire, peut-être qu’ils le font, je ne sais pas. Mais moi, je me souviens
en SVT, quand j’étais au collège, c’était, enfin, c’était la matière qui nous a surtout, qui m’a surtout marquée par rapport à ça.
SVT c’est quoi ?
Biologie. La bio. Où il fallait absolument utiliser les couleurs et si on n’utilisait pas les couleurs, c’est la (pêche) qui était (désiré)
(39’51).
Et on les utilisait comment les couleurs ?
Pareil. Rouge et vert pour les titres et les parties. C’est vrai que j’ai repris… Bon, il n’y a pas trente-six couleurs non plus au
tableau, donc, on peut pas faire… Le noir c’était pour les remarques et les exemples. D’ailleurs, ils doivent les faire. Enfin, en
sixième, je sais que chaque fois que je dis « remarque », ils me demandent s’il faut l’écrire en bleu. C’était qu’à quelque part, ils
doivent l’écrire tout le temps en bleu dans la discipline. Ça doit être aussi en couleur selon la discipline. Parce que chaque fois que
je dis « remarque », ils posent la question. Donc … (NF rit) c’est une tradition …
185 C :
Et c’était juste en biologie ?
186 NF : En biologie, ça m’a marqué, après … Bon, en histoire, on devait l’utiliser aussi hein … mais en biologie, ça m’a vraiment marqué,
parce qu’on avait des heures de colle si on ne faisait pas les choses correctement (NF e C rient).
187 C :
Pour les séances du cosinus, aussi, tu as utilisé les trois couleurs.
188 NF :
Oui.
189 C :
Le côté adjacent en vert, l’opposé en bleu et l’hypoténuse et tu as
écrit les relations… Voilà, en couleurs aussi. Alors pourquoi ? Ce sont les mêmes raisons ?
190 NF : Là c’est, c’est plus… par rapport à ceux qui sont un peu plus visuels, essayer de … de mettre un peu d’ordre dans tout ça quoi. Pour
avoir que les relations, faire le lien entre la figure et les relations, pour que ce soit peut-être un peu plus clair. Je ne sais pas, c’est
plus facile à mémoriser que ce qui était en vert au départ, c’était le côté adjacent, par exemple. Et que, donc, dans la formule, c’était
aussi le côté adjacent. Parce que c’était là où je voulais en venir. En fait, c’était le … que le point appellé A B, E, D, c’était pas ce
qui est important. L’important, c’est de savoir que c’était le côté adjacent et que c’était l’hypoténuse qui intervenaient dans la
formule. Donc, en mettant des couleurs, on peut peut-être plus faire le lien.
QUESTION 8
191 C :
(42’09) Ici, Charlotte, elle a essayé de faire un commentaire.
192 NF :
Ah, et je ne lui ai pas laissé le temps !
193 C :
Non non non non… En fait, c’est elle. C’était pas
toi.
194 NF : Non mais, tu fais me faire critiquer…
195 C :
Non non non mais, en fait, je disais essayer mais c’est pas par rapport à toi, c’était par rapport à elle, parce que, en fait, dans
l’enregistrement, elle fait : « Hein … Hein … Ben … » Tu lui as laissé tout le temps mais elle n’arrivait pas à formuler la question
ou le commentaire. Elle a dit : « Mais, en fait … dans la relation qu’on a vu … hein … ben … c’était pour … le … hein … ben ….
dans le théorème de Thalès. ». Mais, elle n’arrive pas à…
196 NF :
À formuler.
197 C :
Alors, elle était en train de regarder ça (C montre un dessin)
198 NF : Oui.
199 C :
La figure au tableau et, bon, elle dit ça et tu reprends le commentaire mais tu dis : « Alors, vous devez voir, effectivement, quelque
chose là »
200 NF : Ah oui, quand je, oui, je vois où on en est.
201 C :
« ça vous fait penser, à quelque choser ce figure ». Alors la figure c’était ça (C remontre la figure).
202 NF : Umju (son d’affirmation) d’accord.
203 C :
La question que je voulais te poser c’est, qu’est-ce que les élèves doivent reconnaître dans la figure ?
204 NF :
La situation du théorème de
Thalès. Bon, c’est ce que j’attendais en fait. Que les deux triangles de la situation… ben … on pourrait utiliser le théorème de
Thalès, dans ce triangle-là. Mais c’est vrai que, je comptais poser cette question, mais Charlotte, à quelque part, elle a parlé du
théorème de Thalès et justement, j’ai posé la question. Donc, j’ai pensé qu’elle allais formuler, effectivement, correctement mais…
elle ne m’a pas laissé le temps de poser la question. Elle l’a vu avant de poser la question. Ce qui est très bien quoi.
205 C :
Oui, et pourquoi tu crois qu’elle a pu anticiper un peu la question ? Qu’est-ce qu’elle a vu là ?
206 NF : Les droites… oui, les deux triangle emboîtés, comme je les avais appelés….
207 C :
Et pourquoi pas le théorème… du milieu ?
208 NF : Peut-être parce que j’ai moins insisté sur le parallélisme que sur le théorème du milieu. Parce que… on a plus vu ça comme une
droite qui passe par le milieu, qui coupe un triangle avec une parallèle à l’intérieur. Le parallélisme dans le théorème de la droite et
du milieu, c’est plus une conséquence du premier énoncé qu’on a vu. Alors que dans le théorème de Thalès, c’est… c’est une
hypothèse.
209 C :
D’accord. Toi, tu connais un peu mieux Charlotte. Pourquoi tu crois qu’elle a pu anticiper la question et pas les autres ?
210 NF : Hein… peut-être parce qu’elle était un peu plus active que les autres (NF rit). Parce que c’est vrai que c’état moi qui a tout fait là.
Ceux qui ne suivait pas ou qui étaient un peu perdus, qui ne voulait rien à faire. C’était un vendredi, ils ne peuvent pas anticiper (NF
rit). Sinon, je pense qu’il y en aurait d’autres qui auraient pu quand même. Et puis, peut-être aussi parce que… ce sont toujours les
mêmes qui participent. Donc, c’est une des rares qui prend la parole pour exprimer ce qu’elle a envie d’exprimer. Alors que certains
autres, il y a ceux qui attendent qu’on pose la question, qui… qui n’interviennent qu’effectivement quand on leur pose les questions,
parce qu’ils sont habitués à répondre que quand on leur pose la question. Et puis, il y a ceux qui ça ne les intéressent pas du tout.
C’est vrai que c’est une de rare qui, spontanément, prend la parole tout en la prenant correctement quoi. Pour dire des choses plus
ou moins censées, quoi, en rapport avec ce qu’on est en train de faire quoi ! C’est pas quelle heure il est et (NF et C rient) … et tout
ça.
211 C :
Ou je me sens pas bien (NF et C rient)
212 NF : Voilà (NF et C rient)
QUESTION 9
(46’23) D’accord. Donc, elle a fait le commentaire et bon, tu as profité effectivement pour remarquer le théorème de Thalès. Ici,
Ela, tu as demandé pour les hypothèses du théorème du Thalès et après Adrian, tu as dit : « Qu’est-ce qu’on fait après avoir dit les
hypothèses ». Alors Adrian, il dit : « D’après le théorème de Thalès, on a », et là un peu la structure d’une démonstration de ce qu’il
faut faire. Et après, tu demandes à Thibaut, quelles sont les relations, la conclusion de Thalès. Mais bon, il s’est trompé et il dit : « E
milieu de… »
215 NF :
Oui, lui, il parle du théorème de
Thalès, de la droite du milieu…
216 C :
Oui, voilà. Alors tu dis, « non, non, non ». Et tu fais, voilà, la récapitulation en disant : « On a donné les hypothèses / on est pas
dans le théorème du milieu / on est juste dans le théorème de la droite / de / Thalès /// on a dit / on sait que / c’est Ela qui l’a dit / on
a dit / d’après le théorème de Thalès / c’est Adrian qui l’a dit / on a //maintenant / qu’est-ce qu’on a… », pour la conclusion. Mais,
dans cette récapitulation là, il y a une chose particulière, c’est la mention ou …
214 C :
461
217 NF :
218 C :
Oui, qui a dit …
Voilà, le personnage. Alors, pas seulement le fait ou l’action, mais aussi le
personnage
219 NF :
220 C :
Qui l’a énoncé oui.
Voilà ! Qu’est-ce que … qu’est-ce ça change de rappeler aussi la personne qui a
dit les choses ?
221 NF : Je m’ai dit que peut-être le son d’avoir… peut leur rappeler qui l’a dit. C’est vrai que c’était marqué au tableau mais, le fait que ce
soit les camarades qui parlent, permet de mieux retenir souvent… retenir mieux ce que dit leurs camarades que … je ne sais pas, je
pense qu’ils retiennent plus ce qu’a dit un camarade que ce qu’a dit le professeur, parce que le professeur il parle beaucoup et c’est
difficile de retenir tout ce qu’il dit. Quand c’est un élève qui parle, ça change de ton, ça change … etc. Donc, le fait de leur dire qui
c’est l’élève qui l’a dit, ça, c’est peut-être un … qu’ils (mémorisent) ce qu’il a dit. De se souvenir de ce qu’il a dit davantage que…
c’est juste pour se rappeler… pour l’aider à se rappeler ce qui a été dit. Même si c’était vrai que c’était marqué au tableau en plus.
222 C :
D’accord. Parfois, je ne sais pas, il me semble, dans la classe, il y a, toutes les institutions en général et en particulier les scolaires, il
y a un espèce de contrat, le contrat didactique et il me semble plutôt qu’un élève se rappelle de ce que le prof dit.
223 NF :
Plus que ce que l’élève dit.
224 C :
Plus que ce que disent leur camarades.
225 NF : C’est vrai que.
226 C :
Parfois,
227 NF : Oui oui… mais…
228 C :
Ça dépend aussi de la leçon, c’est pas toujours comme ça.
229 NF : Mais, il se souviendra peut-être de qui a parlé, plus que de ce qu’il a été dit. Il se rappellera que l’élève a parlé et pas nécessairement
de ce que l’élève lui, il a dit.
230 C :
Mais ça pourrait aider non ?
231 NF : Je pense oui.
232 C :
233 NF :
234
235
236
237
C:
NF :
C:
NF :
238 C :
239 NF :
QUESTION 10
(50’02) D’accord. Bon, on le trouve dans tes classes mais on le fait, presque tous les profs ont fait ça. C’est quand on demande aux
élèves (NF fait un commentaire sur le bruit de la salle des professeurs, parce que l’heure de la recréation vient juste de
commencer). Parfois, on demande aux élèves d’expliquer ce qu’ils disent. Par exemple ici, Jon, tu poses la question : « Quand le
côté vaut deux, que vaut le périmètre, Jon ? » Jon dit oui, « Alors, comment tu l’as fait ? ». Ou la même chose ici, c’était le
problème de kilomètres, un taxi et ça. Deux kilomètres parcourus… Alors, c’était Thibaut qui dit « Dix euros. ». Alors, tu lui
demandes : « Est-ce que tu peux expliquer ». Aussi pour Michael : « Est-ce que tu peux expliquer comment tu as trouvé la réponse,
la solution ? ». Alors pourquoi on fait ça ? Pourquoi est-ce qu’on demande aux élèves … ?
En fait, c’est pour essayer d’anticiper par rapport à l’expression numérique qu’on pourrait essayer de formuler, parce que souvent
c’est par rapport à ça. C’est écrire quelque chose en fonction d’une autre. Donc, … je ne pas si c’était … dans les équations, je ne
sais plus.
Non, c’est proportionnalité.
Proportionnalité…
Oui. J’ai pas compris tout à fait là…
Par exemple, en troisième, ce qui se passe, soit qu’ils ont la proportionnalité ou autre chose, même en quatrième… s’il ont à
déterminer, par exemple, ici, ils ont à déterminer le périmètre de la figure, c’était en fonction de x … donc, à quelque part, ils ont
fait un calcul en fonction de … la valeur qui est indéterminée qui s’appelle x. Ici, ils ont à faire un calcul à partir d’une valeur qui
est déterminée, que trois, que quatre. Donc … c’est que … parce que ce que je vois, enfin… qu’ils voient bien le calcul qu’il y a à
faire à partir de la valeur qu’ils ont pour arriver au résultat. Qu’ils voient bien les opérations qu’il y a à faire derrière.
Et … c’est pour toi, pour que tu puisses voir ça ?
Non non. C’est plus pour les autres. Quand il n’y a que du numérique, pour voir que cette valeur ne tombe pas du ciel. C’est pas dix
euros parce que … pour qu’ils comprennent bien d’où vient ce dix euros quoi. Pour voir aussi s’ils ont bien compris l’énoncé et que
ce n’est pas le « dix euros » qui a été soufflé pour le voisin.
QUESTION 11
240 C :
(53’01) Alors, à la fin de la troisième séance de proportionnalité, c’est ici (C cherche dans la transcription), quand on a fait ça.
241 NF :
Oum jou (son d’affirmation)
242 C :
Pour le représenter graphiquement, tu dis que … il faut, si on vous demande de trouver graphiquement quelque
chose, il faut qu’apparaisse sur le graphique les pointillés. Alors, quel est le rôle des pointillés ? Pourquoi il faut les retrouver làbas ?
243 NF : Pourquoi… parce que ça permet de savoir qu’ils ont compris. Mais c’est à quelque part pour montrer le cheminement de leurs
calculs, de leurs pensés, de leurs raisonnements quoi ! C’est le cheminement qu’ils ont fait avec leurs yeux.
244 C :
Et comment les pointillés peuvent faire ça ? Peuvent montrer ça ?
245 NF : Parce que… (p 10ss) qu’est-ce que tu demandes …
246 C :
En fait, c’est les pointillés là. Par exemple si …
247 NF :
Oui … c’était pour placer les points ?
248 C :
Oui.
249 NF : Ah d’accord. Ce que j’ai pensé, c’est pas par rapport à ça. C’est parce que c’est pareil avec les fonctions affinnes en troisième et
souvent, on demande de lire quelques choses. Ici, on pourrait leur demander, je ne sais pas, ça va jusqu’à six, quel est… quel est le
périmètre du carré lorsque … lorsque le côté vaut cinq virgule cinq, par exemple. Déterminer graphiquement quelle est la longueur
de… le périmètre du carré lorsque le côté vaut cinq virgule cinq. À ce moment-là, je leur demande effectivement de mettre des
pointillés.
250 C :
Oui.
251 NF : Parce que… pour comprendre comment ils ont trouvé cette valeur-là. Parce que… il y a une lecture graphique, c’est pareil, il n’y a
pas une justification autre que ceux des pointillés. On va pas faire de phrases, une phrase assez longue quoi. Je lis sur l’abscisse le
point qui part de l’ordonnée… Déjà, le vocabulaire, ils ont du mal à l’utiliser. Donc, les pointillés, ça permet de savoir qu’est-ce
462
qu’ils ont fait quoi. C’est beaucoup demander en troisième quoi, de lire sur un graphique certaines valeurs, quoi. On connaît une
valeur de l’abscisse ou une valeur de l’ordonnée, il faut trouver l’ordonnée ou l’abscisse correspondante… sur la courbe.
252 C :
253 NF :
254 C :
255
256
257
258
259
260
NF :
C:
NF :
C:
NF :
C:
261 NF :
262 C :
263 NF :
264
265
266
267
C:
NF :
C:
NF :
268 C :
269 NF :
270 C :
271 NF :
272
273
274
275
C:
NF :
C:
NF :
276
277
278
279
C:
NF :
C:
NF :
280 C :
281 NF :
282 C :
283 NF :
QUESTION 12
(55’57) Là (C montre la transcription), il y avait deux exemples, deux exercices, ceux des bonbons et après ceux des dragués,
dragées, c’est ça ?
Les dragées, ah oui oui !
Et dans les deux exercices, ici, quand tu demandes : « Le quatre-vingt-cinq fois soixante-dix, c’est quoi, ce nombre le quatre-vingtcinq sur le tableau ? Regarde ». Tu poses la même question ici pour les bonbons …
Oui c’est le prix d’une dragée.
Le prix d’une dragée, voilà.
Et c’était le coefficient de proportionnalité.
Oui. Alors, il me semble, je ne sais pas pourquoi, que tu attendais plutôt la réponse : « C’est le coefficient de proportionnalité. »
Oui.
Et toujours, les élèves répondent à la première réponse qui était la valeur d’une dragée ou c’est la valeur d’un bonbon. Alors,
pourquoi tu crois qu’ils font le rapport plutôt avec les prix ou
D’une dragée ?
Oui ou la quantité de bonbons au lieu du
coefficient de proportionnalité ? (57’14)
En fait, je ne sais pas trop, parce que dès qu’il y a un tableau et qu’il y a une valeur, c’est vrai que ce qui sort souvent, c’est le
coefficient de proportionnalité. Là, par exemple, Mathieu qui est en train de faire son exercice sur la proportionnalité, tout à l’heure
en soutien, quand je lui demande : « Comment tu as complété ton tableau ? », il va tout de suite me dire, le coefficient de
proportionnalité. Il va pas parler de… d’un objet concrèt quoi. Il va parler vraiment du coefficient de proportionnalité.
Alors, tu crois que c’est plutôt une question de temps ?
Parce qu’on n’a pas passé beaucoup de temps ?
Oui.
Oui ben… tous les chapitres, ça va aller très vite quoi, donc … l’idéal serait de faire beaucoup plus d’exercices de ce qui a été fait
quoi. Bon… (NF rit)
QUESTION 13
(58’11) Oui, c’est ça le plus difficile. D’accord. Dans la deuxième séance de proportionnalité, encore, on va voir une autre méthode,
qui est le produit en croix. Mais avant de dire qu’est-ce que c’est le produit en croix, tu demandes si…
Quelqu’un connaît sur ?
Oui ou si quelqu’un a entendu parler de ça. Par exemple, en physique.
Ouais… parce qu’en physique, quand ils font des changements d’unités, surtout, non ? Il y en a plusieurs où ils utilisent la
proportionnalité. Quand ils, bon, la vitesse, elle fait partie du programme de sciences physiques. Quand ils font ce qu’on appelle les
grandeurs en produit ou les grandeurs en quotient… la concentration d’un produit dans une solution. Ils utilisent beaucoup la
proportionnalité, ils utilisent beaucoup le produit en croix. En fait, je sais que les collèges font beaucoup comme ça. Alors, c’est
pour ça que je leur ai demandé si en physique, ils en n’avaient pas entendu parler.
Qu’est-ce que tu voulais avec ce rapport ? Par exemple, si quelqu’un t’avais dit : oui oui oui, on l’a entendu en physique.
Je n’avais pas donné d’exemples là ? J’étais pas dans un exercice en particulier ? Si. Non, je ne sais plus.
Non non non. En fait, on a va tout à fait, après, dire qu’est-ce que c’est un produit en croix.
Parce que s’ils m’avaient dit oui, j’aurais dit… je ne sais pas, par exemple, dans ce tableau-là, de calculer cette valeur à l’aide du
produit en croix.
Mais en fait, ça… oui, ça on l’a déjà fait…
C’était déjà fait. Parce que là, il y a apparemment des exercices.
Oui oui, avant il y en avait.
Donc oui, s’ils m’avaient dit oui, j’aurais … fait attention quoi, avec des exemples qui avaient été faits. Comment retrouver une
valeur qu’on avait déjà trouvée pour vérifier que ça marche bien (coupe de la première partie de l’enregistrement : 01h00’26).
(00’13) Tu me disais ici…
Ah pardon, ben… oui je disais que… je n’aurais pas pris un exemple de physique, j’aurais simplement dit, sur
le tableau qu’on a déjà complété, comment on peut retrouver cette valeur. En fait, comment on va retrouver cette valeur à partir du
tableau. Vérifier qu’on trouve bien la même chose. Juste pour indiquer la méthode mais pas à partir d’un exemple… de physique
quoi.
Mais alors, c’était le but ?
C’était juste… pour leur dire que … peut-être en physique, ils avaient entendu parler du produit en croix et que à c’est moment-là
… en fait, c’est une méthode en soi.
QUESTION 14
(00’53) Bon, après, tu as expliqué qu’est-ce que c’est un produit en croix et en l’expliquant, tu as fait ici une croix,
Oui.
Tu as dit : « On va faire une croix, comme ça, on va multiplier … les… » …
Oui alors, ça je… (NF rit)
Ah ?
Oui oui...
Non non, tu disais.
Oui oui … non, j’allais dire que là, j’ai des difficultés à expliquer quelle valeur on multiplie avec quelle autre. Et forcement, de
façon évidente, avec le chemin, ça va un petit peu mieux, mais …
292 C :
C’était ça ma question. La…
c’est quoi l’utilité ou la fonction de la croix, pour toi.
293 NF :
La croix, oui, elle sert à ça.
294 NF : Bon, on appelle ça produit en croix. Alors, déjà on l’a fait apparaître cette croix-là. C’est pas une croix qui ne veut rien dire. C’est
284
285
286
287
288
289
290
291
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
C:
NF :
463
une croix parce qu’on l’a faite… peut aussi, s’ils les voient en physique, je sais qu’ils le font comme ça, ça leur rappellera peut-être :
« Ah oui, on l’a fait en physique, cette croix-là ! » Et ensuite, pour expliquer, pour essayer d’expliquer un peu plus clairement
quelles sont les valeurs que l’on multiplie entre elles. Voilà…
295 C :
296 NF :
297 C :
298
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300
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303
NF :
C:
NF :
C:
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C:
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320
QUESTION 15
(02’14) et bon … j’ai presque fini ! Je reviens à la séance, à la première séance de proportionnalité. Ici, nous sommes là. (C signales
sur la transcription) Les élèves disent, on divise par quatre, mais on veut plus utiliser la division, parce qu’on avait déjà donné,
qu’est-ce que c’est un tableau de proportionnalité, alors, on a besoin de dire que… qu’on multiplie.
Qu’on multiplie.
Alors … je crois que c’est Jon, ou je ne sais pas qui, qui dit, hein … en fait, c’est toi qui dit : « diviser par quatre, ça revient à
multiplier par, combien ? » Déjà, tu as essayé de le faire cheminer… mais l’élève dit l’opposé. Alors, c’était pas ça ? Alors une
autre fois, diviser par un nombre, ça reviens à quoi ? à multiplier par zéro virgule vingt-cinq, mais alors, c’était, il me semble, je ne
sais pas, c’était pas ça la réponse tout à fait que tu attendais.
Oui, moi, ce que j’attendais, par rapport à ma question, ça revient à multiplier par son inverse.
Voilà…
J’attendais inverse, oui.
Bon, finalement, on est arrivé à l’inverse. Alors la question c’est, pourquoi tu …
Pourquoi j’ai parlé ?
… tu cherchais le mot inverse, le
vocabulaire ?
Parce qu’il m’avait dit l’opposé, donc, il fallait retrouver le bon vocabulaire quoi ! Cette fois, c’est une histoire de vocabulaire.
Mais tu dis, ici… ici je pense que tu cherchais le mot inverse…
Oui oui, oui oui… parce que c’est, d’ailleurs, je crois que c’est pour ça
qu’ils m’ont dit opposé. Je crois que ce n’est pas la première fois qu’ils voient ça. Ils ont tellement entendu la phrase, multiplier
c’est … additionner. Additionner ça revient à ajouter l’opposé. Cette phrase-là, c’est cela qu’ils ont vu en cinquième et ils la
rabâchent, ils la rabâchent, ils la rabâchent… En quatrième, c’est vrai qu’on voit la division et on dit, diviser, ça revient à multiplier
par l’inverse. Donc, quand ils entendent, ça revient à… ça sort tout seul quoi ! Donc, c’est pour ça que j’essaie de formuler cette
phrase-là comme ils l’ont déjà entendue… pour que ça, pour que la suite arrive et malheuresement, c’est pas la bonne suite qui
arrive.
Oui… ça revient.
Ouais, mais c’est en fait pour… pareil, pour reformuler la phrase comme ils l’ont entendue, comme ils l’ont apprise.
QUESTIONS GENERALES
C : ♠ (05’02) D’accord, il y a quatre questions un peu plus générales…
NF :
Oui oui…
C : Comment tu fais pour que les élèves se rappellent de quelques choses ? Un concept, une formule, une propriété … ? Pour gérer la
mémoire des élèves ? Comment on fait ?
NF : Oui, ben, il y a d’abord dans la partie cours ou on essaie, comme je le disais tout à l’heure, de mettre en couleur, d’encadrer, de faire
ressortir dans la partie cours, pour ceux qui se rappellent que … qu’ils visualisent un peu le cours, ben … la mémoire un peu visuelle
quoi ! De voir qu’il y a cette propriété-là… Ensuite, il y a les rappels réguliers au début du cours. Même si l’idéal ça serait de passer à
chaque quatre minutes, chaque fois et il y en a quatre, cinq, six qui répètent, parce que comme ils ont … même en les avertissent
d’une interrogation, ils n’apprennent pas. Donc, la solution c’est de l’apprendre en cours et pour l’apprendre en cours, une façon, c’est
de formuler et de la reformuler à chaque fois. Et après, il y a l’utilisation dans les exercices en la reécrivant aussi à chaque fois. Ça,
j’essaie à chaque exercice de réécrire la propriété, j’essaie de…, même s’il ont trois exercices à faire. Par exemple, le théorème de
Thalès, trois exercices à faire du même type et même à partir de la même figure, je leur demande qu’ils me le refassent, par exemple,
pour les hypothèses ou la rédaction. Parce que ce qu’ils font, ils se contentent d’écrire le minimum et ils n’aiment pas écrire deux ou
trois fois la même chose quoi. Donc, une façon de leur permettre de se rappeler, c’est qu’à chaque exercice, même s’ils l’ont déjà dit
dans l’exercice d’avant, c’est un autre exercice, donc, il faudra l’écrire. Il y a le cours en le récitant et puis, en l’écrivant. J’essaie…
s’il y avait plus de temps, ça serait peut-être un peu mieux, mais … que le …qu’ils apprennent le maximum en classe quoi, qu’on leur
rappelle en classe ! Ben … en général, je l’écris, j’essaie de l’écrire aussi au tableau, qu’il reste au tableau pendant toute l’heure du
cours, pour qu’ils l’aient toujours sous les yeux quoi.
C : Par exemple, ce sont, il me semble, des techniques pour stocker l’information mais après, pour les rappeler ?
NF :
Oum jou
Ah, pour leur rappeler… il y
a comme là des phrases, des phrases un peu typiques hein … soustraire c’est, ajouter l’opposé, multiplier… etc. Essaie de retrouver
des trucs qu’ils font quoi.
C : Comme par exemple…
NF : Pour rappeler des propriétés ? ou alors, à partir de … ouf… à partir de la figure aussi, souvent c’est ça qui se passe là. En géométrie, il
y a une phrase de propriétés et après, il faut absolument, ce que j’essaie de leur dire, c’est la figure qui va avec la propriété. Essayer
qu’on voit la figure, la propriété soit associée derrière quoi. Les .. ouf… comment en faire plus, je ne sais pas quoi. Là, Charlotte là,
elle a tout de suite vu qu’effectivement, dans la démonstration du cosinus, c’était le théorème de Thalès qu’il fallait utiliser. Ça, c’est
l’idéal quoi, que la figure, qu’elle fasse et c’est le théorème de Thalès qui arrive derrière. Maintenant, comment formuler le théorème,
là, c’est autre chose quoi. Déjà, il y a l’idée du théorème de Thalès, après, la rédaction… comment … le rappeler… alors, moi, enfin,
je ne sais pas.
C : ♥ (09’06) A ton avis, comment les élèves peuvent se rappeler de ça, quand ils sont tous seuls ? Parce qu’il me semble, on vient à ton
cours de soutiens, on les aide, on dit des choses et boum … voilà !
NF :
Ouais.
Ça arrive ouais….
C:
Mais quand ils sont tout seuls ? Quelles
sont les pistes ou les clés pour qu’ils puissent se rappeler des choses ?
NF : (p.8ss) C’est pas évident oui. C’est… déjà, moi, je leur dis, on est dans quel chapitre (NF rit) Donc… on peut aller déjà les chercher…
hein … trop loin quoi ! C’est de voir déjà si la propriété qu’on avait vue, enfin, c’est surtout pour la géométrie, la propriété qu’on a
464
321
322
C:
NF :
323
C:
324
325
326
NF :
C:
NF :
327
C:
328
NF :
329
C:
330
NF :
331
332
C:
NF :
333
334
C:
NF :
vue peut s’appliquer à ça. Et après .. ouf … c’est … moi, je trouve que … ou alors, il faudra faire des fiches ou après … voilà, un
triangle rectangle, qu’est-ce qu’on peut utiliser. Ça serait bien, ça aussi. Je sais qu’il y en qui font ça, un classeur qu’au fur et à la
mesure, on ajoute dans ce classeur, je ne sais pas … (pause de l’enregistrement –prof vient parler à NF. Coupe de la deuxième
partie de l’enregistrement : 10’30) Je ne sais plus où on était là ?
La question c’était, comment les élèves peuvent se rappeler, quand on …
Ah oui, quand ils sont tous seuls chez eux. Hein … oui, ce que j’étais
en train de dire, c’était par rapport aux fiches là. Oui, ça serait bien de faire ça, mais … c’est aussi toute une organisation en fait. Il
faut le penser bien en avance. Puis, il faut qu’il soit organisé et tout. Non, c’est vrai que c’est bien de montrer comment on calcule une
longueur, comment … et puis, ajouter au fur et à a mesure c’est … les outils qu’on rencontre quoi ! Ça, ça va permettre qu’est-ce que
je cherche, je vais chercher dans la partie de… et sinon, c’est vrai que quand ils sont tous seuls chez eux, c’est vrai que c’est pas
évident. Dans le livre, il y a des parties, il y a des parties méthodes. Comment faire ça.
♦ (01’12) D’accord. Même si tu ne t’aperçois pas, tu utilises des techniques ou des gestes pour rappeler des choses, bien sûr. Par
exemple ça, c’en était une, quand tu as dit « ça revient à », comme tu as dit, c’est une phrase… déjà typique,
Type.
Oui. Est-ce que tu crois que les élèves apprènnent ces types de techniques pour gérer leur mémoire ?
… qu’ils ont appris ça avant. Alors qu’ils apprennent à… je ne pense pas qu’ils en ont conscience. Ils le font involontairement à
quelque part. Je ne crois pas non. Ils apprennent parce qu’on leur répète parce que, à chaque fois que ça a été utilisé, on leur dit :
« Bon, enfin … ça est rentré quoi ! »
Et on pourrait améliorer, je ne sais pas, en quelque sorte, la gestion de la mémoire ? Dans une classe ? Ou c’est toujours, je ne sais
pas, quelque chose… inconscient…
Non, je pense qu’on pourrait l’améliorer une fois que … en la * par cœur, déjà. Parce que c’est plus, enfin, ça va après… ou revenir à
l’autre du jour, mais ça n’allait plus ça, tellement. Les récitations, ce genre de trucs c’est plus, c’est plus à la (moindre) quoi. Donc,
c’est vrai que la mémoire ça … ça s’entretient, sinon. Peut-être on apprend aussi à … à connaître sa propre mémoire. Il y a des élèves
qui sont plus visuels, d’autres qui sont plus auditifs. Il y en a qui apprennent mieux, ben, qui voient le cours et d’autres qui entendent
… et ça, je me suis aperçue qu’ils en ont conscience un petit peu. Alors, je sais qu’il existais de … une sorte de petit texte par rapport
à ça et je sais que certains collègues, ils l’avaient fait en sixième. Parce qu’en sixième, il y a une heure, qui s’appelle une heure
d’accompagnement, et là, pour accompagner les élèves à se rentre en sixième, parce que bon, parce que c’est quand même un petit
passage entre CM2 et sixième et bon, au début de l’année, on leur explique un petit peu l’organisation du collège, l’organisation du
cahier de texte, l’organisation du cartable, ce genre de choses et puis, aussi, on leur apprend un peu à, comment travailler. Dans les
différentes disciplines, on n’apprend pas de la même façon. On n’apprend pas en histoire-geo, comme on apprend en biologie, en svt,
… à comme on apprend en maths. C’est pas du tout pareil et donc, il y en a certains qui font ce genre de petits textes aussi. Parce que
ce sont des petits textes pour leur montrer qu’il y a certains qui … enfin, mémorisent plus facilement, quand ils avaient une feuille de
cours bien présentée, parce qu’ils avaient une mémoire visuelle, donc, il fallait qu’ils s’appuient un peu là-dessus. Donc, que les
autres mémorisent plus oralement, donc, il faut les faire réciter à l’oral, de s’entendre, se genre de choses. Mais sinon … hein … c’est
comme là. Je les laisse se débrouiller quoi. Je leur dis voilà, éventuellement, il y a un théo, débrouillez-vous pour les apprendre quoi.
Après, il le font .. je leur dis : « La figure, penser à la figure, essayer de comprendre ce qu’on vous dit, essayer de trouver la
propriété. » mais je donne pas, j’en dis pas plus quoi.
♣ (04’59) Est-ce que tu crois qu’il y une différence, selon la nature du savoir ? Par exemple, le type de gestion de la mémoire qu’on
fait si, par exemple, pour la résolution de problèmes, en utilisant une équation d’un côté, et de l’autre côté, en géométrie pour le
théorème de Thalès ?
… hum, enfin… personnellement je pense que… en séance d’exercices, ce qu’on mémorise le plus facilement c’est la répétition.
Alors ça … si, est-ce que c’est la même chose là, quand on fait la géométrie que quand on fait de l’algèbre… il faut essayer oui, de
retrouver le schéma qu’ils ont déjà élaboré dans les exercices. Dans les deux cas, là, c’est valable dans les deux cas quoi ! Retrouver
le schéma qu’ils ont déjà fait dans les exercices soit du point de vue de l’algèbre, soit du point de vue de la géométrie. En géométrie
les … les situations, je ne sais pas, elles sont peut-être plus claires.
Plus claires ? Ça veut dire ?…
Non, c’est-à-dire … là… c’est par rapport à moi que je dis ça, en fait. Hein… peut être que personnellement je
vois plus facilement qu’est-ce qu’il faudra utiliser en géométrie qu’en algèbre… pour moi une figure est plus parlante que … (NF rit)
que des valeurs. Donc, c’était pour ça que j’ai dit ça, en fait. … oui … en géométrie, c’est peut-être plus la figure, en algèbre, c’est
peut-être plus les mots que … qui vont nous guider vers le raisonnement à suivre. Tant qu’en géométrie aussi, puisqu’on peut dire
qu’on fait une longueur et cette même longueur, enfin… c’est …
D’accord.
Je ne sais pas (NF rit. 07’22)
465
Annexes pour la Deuxième Partie SUR L’ETUDE DE TERRAIN AU COSTA RICA Annexes à la thèse : ARAYA-CHACÓN
467
ANNEXE IV : QUESTIONNAIRE ELEVES : INITIAL
Annexe IV QUESTIONNAIRE : ELEVES A partir de cette annexe nous présentons certains des outils de recueil de données utilisés ou les documents analysés lors de l’étude menée au
Costa Rica au début de l’année 2006, en classes de dixième.
L’annexe IV est composée par le questionnaire que nous avons demandé de remplir aux élèves participant à notre recherche, à propos de leur
parcours scolaire : l’école où ils sont allés, s’ils étaient redoublants et pourquoi, leur perception d’eux-mêmes dans la classe de
mathématiques. Ce type de données a été pris en compte lors des interprétations de ses interventions au cours des entretiens et en classe.
IV. QUESTIONNAIRE ADRESSE AUX ELEVES
INFORMACION PERSONAL:
Estudiante décimo año / Colegio San Luis Gonzaga
La información que usted ofrezca en este cuestionario será de ayuda para el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas en décimo año,
como parte de una investigación que llevo a cabo como estudiante de doctorado en Didáctica de las Matemáticas en la Universidad Paul
Sabatier, Toulouse III. Los datos brindados son confidenciales y su anonimato será cuidado. Le ruego responda con buena disposición y
sinceridad. Le agradezco de antemano su colaboración.
Andrea Ma. Araya Chacón
Doctorante, Université Paul Sabatier, Francia
[email protected], Tel. 2290781 (Coronado)
A. Datos personales
(1) Nombre:_________________________________________________________ (2) Sección: Décimo_________________
(3) Fecha de nacimiento: ___/___/___ (4) Lugar de residencia: __________________________________________________
(5) Número de teléfono: ____________ (6) Dirección electrónica: _______________________________________________
B. Carrera estudiantil
(7) Año en que ingresó a Primaria _____________.
(8) Nombre de la(s) Escuela(s) en donde estudió: _____________________________________________________________
(9) Año en que ingresó a Secundaria: _____________.
(10) Nombre del colegio donde inició la Secundaria: __________________________________________________________
Si siempre ha estado en este colegio y no ha perdido ningún año, pase a la SECCIÓN C.
(11.1) ¿Ha cambiado de colegio? ( ) Si ( ) No Si su respuesta es NO, pase a la pregunta 12.1
(11.2) ¿Cuántas veces cambió de colegio? ( ) Una vez ( ) Dos veces
(11.3) ¿En cuáles otros colegios ha estado? __________________________________________________________________
(11.4) ¿Por qué motivos cambió de institución educativa? ______________________________________________________
(12.1) ¿Ha perdido algún año lectivo ? ( ) Si, cuál(es) ___________ ( ) No Si su respuesta es NO, pase a la SECCION C
(12.2) ¿Cuál(es) materia(s) tuvo que presentar y cuál(es) perdió ? ________________________________________________
(12.3) ¿Por qué cree que no obtuvo la nota mínima en esa(s) materia(s) para aprobar el año?___________________________
C. Desempeño matemático
(13) ¿Asiste usted a clases particulares de matemáticas? ( ) Si ( ) No
(14) De manera general, si usted tuviera que describirse como estudiante en las clases de matemáticas de este año, ¿cuáles de las siguientes
opciones marcaría? SELECCIONE SU RESPUESTA SEGÚN LA ESCALA:
5: se identifica mucho con la opción … (continuando en forma decreciente) … 1. la opción no lo describe a usted
Adjetivo
5
4
Escala
3
2
1
Feliz
Atento(a)
Crítico(a)
Inteligente
Trabajador(a)
Entretenido(a)
Participativo(a)
Buena memoria
Entusiasmado(a)
Buen comportamiento
(15) Para usted, ¿qué son las matemáticas ? y, ¿por qué cree que es obligatorio su estudio en Secundaria ?
_____________________________________________________________________________________
COMENTARIOS:
469
ANNEXE V : JOURNAL D’ETUDE
Annexe V JOURNAL D’ETUDE L’annexe V est composée des consignes que nous avons indiquées aux élèves concernant le Journal d’Etude en Mathématiques qu’ils
devaient tenir. Ce journal avait comme objectif de suivre au plus près l’avancement des élèves dans l’étude de chaque thème et
d’essayer de repérer des indices sur les objets que pourraient mobiliser les élèves lors de leur étude personnelle. Par exemple, des
données relatives au temps qu’ils investissent lors de l’étude, les questions qu’ils se posent le plus souvent en classe et à la maison, « la
manière de penser » qui est la leur pour réaliser certains exercices du cours qu’eux-mêmes choisissaient.
V. JOURNAL D’ETUDE EN MATHÉMATIQUES
Si ha recibido este cuaderno es porque aceptó cooperar en una investigación que llevo a cabo sobre los métodos de estudio de
estudiantes de décimo año en matemáticas. Como investigadora y responsable del trabajo, le garantizo la confiabilidad de la
información suministrada, comprometiéndome a guardar su anonimato. Le agradezco responder con buena disposición y sinceridad.
Agradeciéndole de antemano su colaboración,
Andrea Ma. Araya Chacón
Doctorante, Université Paul Sabatier, Francia
[email protected], Tel. 2290781 (Coronado)
¡MUCHAS GRACIAS!
Visto bueno de su profesor(a) de matemáticas de décimo año:
(Página 1)
Diario de Estudio en Matemáticas
El objetivo de este diario es documentar ciertos aspectos sobre su estudio individual de las matemáticas.
Las secciones que orientarán lo que escribirá en el diario son tres:
A. Vivencias de la clase
Cada día que usted haya asistido a clases de matemáticas de décimo año en el colegio, le solicito, SIN VER EN SU CUADERNO u otro
material, escribir un resumen de lo que en ella sucedió:
¿Qué tema estudió ese día con el profesor y sus compañeros?
Una descripción de las actividades que se hicieron.
Las preguntas que USTED considera importantes de resaltar, tanto que haya hecho el profesor, alguno de sus compañeros o que
usted mismo se hizo aunque no las comunicara al resto de la clase.
Todo aquello que usted crea importante de retener sobre el contenido estudiado y que el profesor haya dicho.
Errores, dudas o aciertos que usted mismo hizo o tiene y que considere relevantes de resaltar
(Página 2)
NOTAS:
•
NO ES IMPORTANTE que usted sea capaz de reconstruir TODA LA LECCIÓN de matemáticas; sino que me indique
UNICAMENTE lo que usted RECUERDA. Por lo tanto, NO REVICE en ningún momento SU CUADERNO.
•
Escriba con lapicero o si lo hace con lápiz, NO BORRE ni utilice corrector. Deje escrito todo, aunque se haya equivocado, sólo
enciérrelo con una curva y escriba al lado “no”; pero no lo borre.
•
Si desea escribir algo más de lo indicado, lo puede hacer con toda confianza. Al igual que puede contactarme si tiene alguna
duda.
•
Al iniciar, ESCRIBA siempre la FECHA.
B. Contexto de estudio extra-clase
Cada día que estudie matemáticas fuera del la clase de décimo del colegio, le solicito escribir sobre los siguientes aspectos:
Condiciones en las que estudia: en su escritorio en su cuarto, en el comedor de la casa, oyendo música, en completo silencio, con un
amigo, con su madre, padre o heman@, etc.
(Página 3)
Horario de estudio: apenas llega del colegio, por las noches, luego de otras actividades, antes de dormir, en el carro/bus cuando voy
de un lugar a otro, etc.
Duración del estudio: una sola vez por día/semana/mes, en varios momentos al día. Decir el tiempo que invirtió: 30 minutos, 1 hora
y media, etc
Motivo del estudio: cuando me dejan tarea, cuando se acerca el examen, cuando me quedaron dudas de la clase, tengo el hábito de
estudiar todos los días, cuando me dan ganas, cuando me obligan mis padres.
NOTAS:
•
471
ANNEXE V : JOURNAL D’ETUDE
•
duda.
•
Al iniciar, ESCRIBA siempre la FECHA, la HORA y el TEMA que estudia; aunque lo haga en diferentes momentos de un
mismo día.
(Página 4)
C. Estudio matemático
Esta sección la puede escribir al mismo tiempo que estudia o después de hacerlo.
Cada día que estudie matemáticas fuera del la clase de décimo del colegio, y seguido de lo escrito en la sección anterior, le solicito
escribir sobre los siguientes aspectos:
Contenido disciplinar: ¿qué tema estudió?, ¿cuáles dudas tenía antes de estudiar? (dudas de años anteriores, de discusiones con otras
personas, de la clase que no pudo evacuar), ¿logró evacuarlas?, ¿cuáles dudas le quedaron?
Tipo de estudio: ¿qué hace para estudiar? (lee lo escrito en el cuaderno, lee un libro con la misma materia vista en clase, hace los
ejercicios que le costaron, hace todos los ejercicios, repasa cada una de las actividades que se hicieron en la clase, le pide a alguien que
le haga una práctica o que le tome la materia, se limita a lo que le diga su profesor particular, etc.).
Estilo matemático personal: Para algún ejercicio que usted considere importante, piense cómo hizo para llegar a la respuesta. Es
decir, trate de identificar lo que usted reconoció en el ejercicio que lo llevó a pensar algo en especial.
Por ejemplo:
(Página 5)
Simplifique x2+x8x-6.
2x2+x8x-6
= 2x2+x2
=3x2
Vi que era una simplificación donde venían una suma, una multiplicación y tres potencias. Como hay prioridades, tengo que hacer
primero las potencias, pero no las puedo simplificar, así que hago la multiplicación. “Para multiplicar potencias de igual base
conservo la base y sumo exponentes”, entonces hice 8+-6=2. Me quedó la suma de dos términos con el mismo factor literal y solo se
puede sumar cuando tienen igual factor literal, entonces sumo. 2 más 1 me da 3 y conservo el factor literal que era el mismo para los
dos términos.
NOTAS:
•
•
duda.
Al iniciar, ESCRIBA siempre la FECHA, la HORA y el TEMA que estudia; aunque lo haga en diferentes momentos de un mismo
día.
(Página 6)
472
ANNEXE VI : SEANCES DE LA 10E L (SAM)
Annexe VI SEANCES DE DIXIEME AU COSTA RICA VI. TRANSCRIPTIONS DE SEANCES DE DIXIEME
Dans cette annexe nous incluons les transcriptions des séances de dixième observées et relatives aux thèmes de la factorisation des
polynômes. A la droite de chaque tableau, nous indiquons les « codes » du geste que nous repérons dans le corpus.
Rappelons que nous avons exclu neuf types de passages en tant qu’épisodes où l’enseignant, nous semble-t-il, ne gère pas de manière
intentionnelle la mémoire didactique de ses élèves : interrogations de la mémoire pratique des résultats de calculs, identifications lors de
l’application d’une technique, récapitulations, institutionnalisations, répétitions, applications de quelque chose qui vient d’être montrée,
répétitions orales d’une technique, Réponses directes de l’enseignant et questions monologue.
Rappelons aussi la typologie de gestes que nous avons utilisée pour les analyses sur la gestion mémorielle.
Gestes mémoriels
Sont accomplis afin
d’aménager un milieu
pour l’enseignement
(Th) G. Technologique
(Tc) G. Technique
(Re) G. de Replacement
(Ch) G. Chronologique
(Fx) G. de Fixation
(Od) G. Ostensif détonateur
(Pr) G. Preneur d’indices
(Ds) G. Déstabilisateur
Verbalisation de techniques
(ReV)
le discours θ/Θ
Ostensifs de guidage (ReO)
la mise en oeuvre d’une τ
Histoire de la classe (ReH)
les groupes dont on faisait partie
Sens des mots(ReS)
les marqueurs du temps
Analogies(ReA)
fixent des points de référence
évoquent quasi-automatiquement des rapports
non-verbalisent des indices d’une technique
Demandes explicatives (DsD)
ré-interrogent les rapports personnels
Reprises dubitatives(DsR)
Contre-exemples
(DsC)
VI.1 SEANCES DE DIXIEME A LA CHARGE DE SAM
LUNES
20F
27F
SB-2702200610L
NP. Adelantó. Se trabajó
en los ejercicios de la
práctica que habían sido
asignada. Se continuó
hasta el 24. De no
terminar, los estudiantes
tenían que hacerlo en la
casa
06M SB-0603200610L
Ejemplos del 10 al 13 de
factorización por FN.
Agrega suma de cubos.
Práctica de 10 ejercicios.

13M
SB-1303200610L
NP. Los estudiantes inician
una práctica para el
examen dada por P.
MARTES
21F
SB-2102200610L
Inicio de la factorización.
Pregunta qué es factorizar
e inicia con los métodos:
hace cuatro ejemplos de
factor común.
28F
SB-2802200610L
Revisión de ejercicios en la
pizarra. P les solicitaba
realizar algunas de las
factorizaciones trabajadas
en la clase anterior. Queda
pendiente la revisión del
ejercicio 23. Ejercicios 16
y 18, eran opcionales, sin
revisar.
Comprobación
escrita de FN. 07M SB-0703200610L
Sesión de ejercicios. Se
continuó con la práctica
iniciada la clase anterior.
14M SB-1403200610L
NP. Corrección de la
práctica para el examen
hecha la lección anterior.
MIERCOLES
JUEVES
22F
SB-2202200610L
23F
Inicia
el
método
de
agrupación.
Hace
dos
ejemplos y deja diez
NO CLASE
ejercicios que inician en la
clase.
01M
SB-0103200610L
02M
Inicio de la factorización por
FN: primera y segunda
fórmulas, diferencia de
cubos y de cuadrados.
Nueve ejemplos.
NO CLASE
08M
SB-0803200610L
09M
NP. Sesión de revisión de
ejercicios. Los estudiantes
que se ofrecen pasan a la
NO CLASE
pizarra y factorizan la
expresión que les asignó P.
15M SB-1503200610L
16M
EXAMEN DE MATE
SUSPENDIDA clase
NO CLASE
VIERNES
24F
NO CLASE
03M
NO CLASE
10M
NO CLASE
17M
NO CLASE
473
20M
SB-2003200610L
NO REGISTRADA
27M
SB-2703200610L
Revisión de la práctica
anterior. Nueva lista, de la
6 a la 12. Corrección en la
pizarra. Nueva lista, hasta
el ejercicio 18;
03A
SB-0304200610L
SUSPENDIDA
Consejo
10A
17A
FERIADO
24A
SB-2404200610L
Entrega exámenes y revisa
oralmente.
INICIO DE
ECUACIONES
CUADRÁTICAS
21M SB-2103200610L
Entrega de exámenes,
revisión oral. Inicio de
inspección. Seis ejemplos
y lista de doce ejercicios.

28M SB-2803200610L
Revisión de la práctica.
Inician
con
división
sintética. Seis ejemplos.
04A
SB-0404200610L
22M SB-2203200610L
23M
Adelantada. Revisa los
ejercicios que presentaron
mayor dificultad en la
NO CLASE
pizarra. Pregunta sobre
corrección del examen. Lista
de cinco ejercicios.
29M SB-2903200610L
30M
SUSPENDIDA
MEP
05A SB-0504200610L
Continúa los ejemplos de
NO REGISTRADA
división sintética hasta
ajustar nueve. Deja lista de
diez ejercicios.
11A
12A
SEMANA SANTA - FERIADO
18A SB-1804200610L
19A SB-1904200610L
Hace un ejemplo de
división sintética para
factorizar. Habla de ceros NO REGISTRADA
del polinomio. Lista de
ejercicios (la misma de la
vez pasada).
25A
26A
24M
NO CLASE
31M
NO CLASE
06A
NO CLASE
07A
NO CLASE
NO CLASE
13A
14A
20A
21A
NO CLASE
EXAMEN DE MATE
27A
28A
VI.1.1 SB-21022006SB : FACTEUR COMMUN
La transcripción corresponde a los últimos 18 minutos de la clase. Antes se revisó una práctica en la pizarra sobre simplificación de
polinomios a partir de la aplicación de fórmulas notables.
NOTA: En la transcripción, entre paréntesis se indican: en negrita el tiempo transcurrido, en cursiva comentarios del observador, las
pausas señaladas en segundos. Los tres puntos se interpretan como una disminución en la pronunciación al final de la frase, dejando notar
un espacio en que se « espera » una respuesta. « P » indica el profesor y E el estudiante genérico; E=x, donde x∈{A,B, …, Z} para referirse
a un estudiante en particular y E=n, n x∈IN para un estudiante particular de quien desconocemos el nombre.. El símbolo « Es »
corresponde a más de un estudiante, sin asociarse con la mayoría, « / » interrupciones en seco y « * » cada palabra inaudible. En recuadros
se transcribe lo expuesto en la pizarra.
1
PROF=SB
2
3
4
5
E=(A)
PROF=SB
E=A
PROF=SB
6
7
E=A
PROF=SB
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=SB
E=(J)ose
PROF=SB
E=J
PROF=SB
474
(00’15) Lo que vamos a empezar a trabajar ahora es el tema de la factorización. Recuerdan que ustedes
trabajaron factorización ? (P escribe « Factorización » en la pizarra). Qué significará factorizar.
Hacer pequeño.
Hacer pequeño ?
Uno más pequeño.
Yo puedo decir, digamos, que factorizar es lo mismo que simplificar (5s) es lo mismo? Porque nos dicen:
factorizar, simplificar, reducir, serán las mismas instrucciones ?
No, no tiene chiste si hay que hacer la operación igual.
Aja. Buscar como la base de, digamos de la potencia. La base que yo voy a ir a multiplicar por decirlo así.
Bueno, eso sería, tal vez. Nosotros hablamos que en una potencia, la base iba a ser un factor, o sea una
expresión que se iba a multiplicar por sí misma. Multiplicar, verdad ? Cuáles eran los términos de la
multiplicación, por cierto (5s). Eso se lo enseñó la niña hace ratillo. Cuáles eran los términos de la
multiplicación ?
(susurros de estudiantes)
No ! Multiplicando, multiplicador. No, no, no. Nada que ver!
Factor (Risas).
Aja, cómo se llaman.
Factores.
Factores. Y producto, verdad. Factores. Factor uno, factor dos, factor tres, muy bien. Entonces, cuando yo voy a
ReO
ReO-ReS
DsR
DsR
ReV
factorizar, en realidad lo que yo voy hacer es, escribir una expresión en forma de factores. O sea en forma de …
multiplicación. O sea en forma de producto. Cierto o no ? Si… Entonces hay varios métodos de factorización
de los cuales usted ya conoce algunos, como por ejemplo ?
14
15
16
17
E=(Y)anina
PROF=SB
Y
PROF=SB
18
19
20
21
Y
PROF=SB
A
PROF=SB
22
23
24
25
A
PROF=SB
Es
PROF=SB
26
27
E
PROF=SB
28
29
E=M
PROF=SB
30
31
32
33
34
35
36
E=A
E=M
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E
PROF=SB
37
38
Es
PROF=SB
39
40
41
42
43
44
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
45
46
Es
PROF=SB
47
48
49
50
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Factor común.
Factor común.
Agrupación.
Agrupación (5s). Nada más ? Eso lo hicimos el año pasado. Factor común y agrupación, nada más. Si? O se
acuerdan de algo más ? … No. Nada de fórmula notable, nada de diferencia de cuadrados, nada de eso ? (5s) Y
si lo vi no me acuerdo, porque ya los veo con esas caras de …
Por división sintética.
Por división sintética. Mjú (5s) Algo que se llama como inspección ?
Yo sé que había uno con fórmulas notables, pero no me acuerdo muy bien cómo era.
Ajá. Una factorización por fórmula notable, de las que ya conocíamos verdad, la uno, dos y tres. Muy bien,
muy bien. Bueno por ahí estamos. Entonces lo que vamos hacer es, bueno vamos a repasar lo que ya
conocemos todos, que me pareció común para todos: factor común y agrupación. Todo el mundo hizo eso, mjú.
Luego vamos a empezar ya con la inspección, luego hacemos por la división sintética, o sea el teorema del
factor, hacemos por fórmula general, por fórmula notable y ahí vamos. Si? Entonces empecemos. Vamos a
escribir ahí, métodos de factorización (P escribe en la pizarra como subtítulo, 03’52). Yo inicio con el método
de factor común (10s). Entonces el factor va a ser, un término de la multiplicación, verdad, que vamos a poder
representar. Entonces yo voy a tener una suma digamos así (P escribe en la pizarra 2x²-4x3+8x. 15s). Suma.
Recuerden que la resta es sumar opuestos, verdad ? O sea que aunque aparezca una resta ahí, en realidad lo que
está pasando es una suma (4’40). Si ? Entonces yo quiero una suma, en forma de multiplicación para poder
decir la voy a factorizar. O sea la voy a representar en forma de factores.
Busca lo que tiene en común con x.
Ok. Busca lo que tiene en común. Ujú. Quién será ?
(Varias respuesta al mismo tiempo: x y 2, 2x).
Muy bien entonces, evidentemente todos ven que todos tienen x, verdad ? (05’08) Ahí no hay que usar la *, de
diferente grado, pero todas tienen x. Ujú, entonces ya x se repite. Y entre el 2, el –4 y el 8, también hay algo
que se repite…
El dos
Todos tienen mitad. Si o no? Entonces eso es algo como lo que están diciendo verdad… algo común que hay en
toda la expresión, que sería efectivamente…
2x
2x. Ese sería nuestro factor común. Entonces usted dice, bueno yo voy a decir que 2x es lo que se repite,
verdad? (P escribe en la pizarra « 2x » y seguido abre un paréntesis). 2x lo voy a multiplicar por una expresión
de tal forma que a la hora de resolverlo, me dé justamente este trinomio. Si ?
Divide cada uno de los factores…
x menos …
Cuál sería el procedimiento que tengo que hacer ahí?
Divide cada uno de los factores…
Cada uno de los factores ? … más bien cada uno de los términos de la suma, entre el…
2x
Ok. Ese procedimiento es el que yo utilizo para decir, bueno a 2x lo tengo que multiplicar por cuánto para que
me dé 2x².
x
Porque cuando yo quite el paréntesis y haga el producto, me tiene que dar esto mismo. Cierto o no ? Yo no
estoy cambiando nada, yo nada más quiero expresar esta sumita o esta restita en forma de multiplicación, pero
si ya no la quiero tener en multiplicación me tiene que dar lo mismo. Tiene que ser la misma historia. Ok
entonces, Ese procedimiento de decir bueno, 2x multiplicado por cuánto, me va a dar 2x², es lo que nos contaba
el compañero, es lo mismo que hacer qué… Divido, 2x² entre … el factor común que es 2x. Cuánto les da eso ?
x
Muy bien. Menos 4x3 entre 2x…
2x²
Muy bien. Más …
4
Si ? Entonces toda esa suma resta, la convertimos en un producto. Un producto, cuáles son los factores de ese
producto… 2x, y? x-2x² más?,
4
4. Ya hay un factor que es un monomio, que es 2x.Y hay otro factor que es el
FACTORIZACIÓN
Métodos de factorización
… trinomio. Si ? Factor común. Ok.
1. Factor común
(07’36) Hay un tipo de factor común que también conocieron muy bien, y era
Ejemplos:
algo como esto (P escribe en la pizarra: 3(x-1)+4x(x-1), 12s). Esa expresión
1) 2x²-4x3+8x
así como está es una suma, no ? Suma? Entonces también alguien se pueda
2x(x-2x²+4)
confundir y decir, pero ya hay factores ahí, ya lo tengo en forma de factores, o
sea ya está factorizado. Será cierto eso ?
No
Si hay factorcitos, pero toda la expresión qué es ?
Una suma
Todavía está en forma de suma. No tenemos tal expresión por tal expresión para que me dé, justamente esa
suma. Entonces eso es como más facilito porque yo ya veo, ya evidencio cuál es el factor común. Qué es lo que
ReV
ReO
Tc
ReV
475
51
52
53
54
55
56
57
E=A
Es
PROF=SB
PROF=SB
y Es
PROF=SB
E=M
PROF=SB
58
59
60
61
E=M
PROF=SB
Es
PROF=SB
62
63
E=A
PROF=SB
64
65
66
67
68
69
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
70
71
Es
PROF=SB
72
73
Es
PROF=SB
74
75
76
77
E=A
PROF=SB
E=M
PROF=SB
78
79
80
Es
PROF=SB
E=M
476
se repite ahí…
El paréntesis
x-1
El paréntesis verdad, que sería ?
s menos 1
en este caso. Entonces ese sería nuestro… factor común, x menos 1. Muy bien. Por …
3 más x (2s) 3 más 4 x
Entonces ya yo tendría que empezar a hacer la división que hice, igual en el ejemplo anterior. 3 por x menos 1,
dividido por x menos uno ?
3
Cancelo y qué me va a quedar ?
3
3. Más, 4 x por x menos uno, dividido por x menos 1 ? Estos dos se cancelan y qué me va a dar? … 4x. Habrá
algo más en común ahí, para poder determinar otro factor ? (5s) Si o no ? No verdad? Entonces ya yo esa
expresión, esa suma la pude representar en forma de factores. Cuáles son esos factores? Ok, x menos 1 que es
un factor y el otro ?
3 más 4 x
3 más 4 x. Muy bien, 3 más 4 x. Dos factores, x menos 1 y 3 más 4 x
FACTORIZACIÓN
(09’48).
Métodos de factorización
Ok, en algunos otros casos, lo que va suceder es, que aparece (P escribe
1. Factor común
Ejemplos:
en la pizarra, 2x(x-1)+3(1-x)), digamos, 2 x por x menos 1 más, 3 por 1
1) 2x²-4x3+8x
menos x (5s). Si ? (8s). Entonces usted me dice, si se parecen pero como
2x(x-2x²+4)
que algo les falta para que sean iguales, tienen que ser iguales para que
2) 3(x-1)+4x(x-1)
sea común, para que se repita como dirían, como me dijeron en el
(x-1)(3+4x)
anterior. Qué hago ? Yo tengo aquí menos 1, aquí tengo 1 menos x, yo
necesito que sean iguales para poder decir, eso es el factor común, o sea
eso es lo que se repite. Qué tengo que hacer ?
Le saco un menos.
Saco un menos …
Y se …
Qué significa saco un menos ?
Cambia el más por el menos.
Cambiar el más por el menos … (5s) Si yo digo saco un menos, me imagino que le faltó, saco un menos a
factor, verdad ? Si yo saco un menos a factor, en realidad lo que estaría sacando sería como un menos 1,
verdad ? Digamos. Me imagino que me están, que me están hablando de esto, entonces yo digo, menos uno,
verdad ya lo puse como factor común, y ahora empiezo a hacer la división me queda, 1dividido entre menos 1
me queda ? Menos 1. Menos x dividido entre menos 1 me va a dar ? Más x. Cierto o no ? ... Eso es lo que
hacemos cuando usted me dice saco el menos, lo que yo estoy haciendo es sacando un menos 1 a factor, como
para acomodarme. Ahora si, hablar de menos 1 más x, será lo mismo que hablar de x menos 1?
Si
Y entonces que hago con ese menos 1 que tengo ahí como factor? Ese menos 1 estaría multiplicando al 3. Si o
no ? Ujú, entonces 3 por menos 1 cuanto va dar ?
Menos 3
Menos 3. Por eso es que ahora esta expresión se va a convertir en esto (P
escribe en la pizarra 2x(x-1) – 3(x-1)), 2 x por x menos 1, menos, 3 por x 3) 2x(x-1) + 3(1-x)
menos 1. Si ? Claro yo ya sabía que quedaban 3 aquí y de una vez pasan a esto,
-1(-1+x)
-1(x-1)
o sea se brincan esta partecita (P dibuja una flecha debajo del «+»), porque ya
lo estudiaron.
2x(x-1) – 3(x-1)
Ya saben porqué es que decimos, saco un menos y le doy vuelta y lo cambio, es
por esa razón. Saco un menos a factor igual, haciendo la misma factorización
que hicimos aquí. Saco un factor y luego comienzo a hacer las divisiones y
luego los signos se me van a ir cambiando. Ahora si muy bien, quién es el factor común. Todavía no he hecho
nada, quién es el factor común ?
x menos 1
x menos 1... por? Qué nos va a quedar ahora ?
2 x menos 3
Si ? (12’53) Bueno, entonces ahora (5s), digamos que hay este tipo de expresión 3) 2x(x-1) + 3(1-x)
(P escribe en la pizarra: 2x(x-1)²+3(x-1)3+(x-1), 13’20).
-1(-1+x)
Ok, aquí con este ejemplo cuatro, recordamos que lo que yo ando haciendo es
-1(x-1)
una factorización, si ? Si esa operación hubiese estado en la práctica que
2x(x-1) – 3(x-1)
nosotros estábamos resolviendo, qué hacíamos ? … Que la instrucción no era
(x-1)(2x-3)
factorizar, era simplifique al máximo los resultados de las siguientes
operaciones, entonces qué hacían ustedes ? Resolvía esta fórmula (P señala (x4) 2x(x-1)²+3(x-1)3+(x-1)
1)²), resolvía esta fórmula (P señala (x-1)3), multiplicaba y después sumaba. Si o
no ? Y ahora no me tengo que poner a hacer eso, porque yo lo que voy a hacer es… factorizar. Reviso el, quién
es el factor común, pero me encuentro que hay: x menos 1 al cuadrado, x menos 1 a la 3 y x menos 1. Con cuál
me quedo ? (susurros de los estudiantes) Con quién ?
(susurros de estudiantes: x menos 1)
x menos 1 a la 2 ?
A la uno (otros estudiantes también dan una respuesta).
(Tc)
(ReV)
ReS
ReV
81
82
83
84
85
PROF=SB
E=A
PROF=SB
Es
PROF=SB
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
E=A
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
96
97
98
99
100
101
102
103
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
E
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
116
117
118
119
E=A
PROF=SB
E=A
PROF=SB
120 Es
121 PROF=SB
A la 3 ?
El que esté elevado, el que tenga menor grado.
El que tenga menor grado. Por qué el que tenga menor grado ?
(inaudible)
Para que esté contenido en los otros, exacto claro. x menos 2 a la 2, contiene al x menos 1, si o no ? x menos 1 a
la 3, contiene al x menos 1. Si o no ? Es el común, si a mí se me ocurre poner, x menos 1 a la 3… ese x menos
1 a la 3, ese x menos 1 a la 3 estaría contenido en el x menos 1 ? … no todavía me falta, verdad ? Más bien me
falta verdad, más bien me falta. Ok entonces quién es el factor común ?
x menos 1
x menos 1. A la 1 en este caso porque es el menor, por, qué me queda en esa primera parte de la suma ?
2x
2 x nada más?
x menos 1
Por x menos 1. Muy bien. Más,
3 por x (P comienza a hablar al mismo tiempo que algunos Es)
3 por, x menos 1 a la 2. Muy bien. Más ?
1
1, muy bien. Cuando divido iguales, x menos 1, entre x menos 1 me va a dar, la unidad. Si ? Y entonces ahora
yo necesito saber, yo tengo un factor que se llama x menos 1, cómo se llama el otro factor ? (5s) Tengo que
decir todo esto ? (P señala: [2x(x-1)+3(x-1)²+1]). Entonces ahí tengo que simplificar esta expresión, si ? Ahora
cómo hace usted para, simplificar esto ?
Otro factor común
Habrá otro factor común ahí?
Si.
Cuál?
x menos 1
x menos 1?
Ah no, no. No da.
Es que x menos 1 es común para este (P señala 2x(x-1)) y este (P señala 3(x-1)²) nada más; pero me quedaría el
unito ahí como más 1. No verdad? Ahora para poder simplificar eso tengo que trabajar ya los productos que
aparezcan en esa, en esa expresión. Entonces por ejemplo digamos, aca qué tengo que hacer ?
Multiplicar
Ok. Cuánto me va a dar ese resultado? (16’24)
2 x a la dos
Menos...
2x
Muy bien. Más, y ahí qué hago?
4) 2x(x-1)²+3(x-1)3+(x-1)
(x-1)[2x(x-1)+3(x-1)²+1]
Primero la fórmula notable
(x-1)[2x²-2x+3(x²-2x+1)+1]
Ok. Primero la fórmula notable y luego ?
(x-1)[2x²-2x+3x²-6x+3+1]
Lo multiplica.
(x-1)[5x²-8x+4]
Qué fórmula puedo aplicar aquí (16’41).
La segunda.
(P desarrolla la expresión (x-1)²), por el 3 (en otra línea P copia el primer factor y todo el segundo, pero esta
vez haciendo la multiplicación) y simplificamos todo (5s, P copia el primer factor en otra línea). 2 x a la 2 más
3 x a la 2 ?
5 x a la 2 (P escribe el resultado en la pizarra)
(17’10) Menos 2 x menos 6 x ?
Menos 8 x
Menos 8 x. Y aquí sería 3 más 1 que daría… 4 (5s).
Vean que el resultado de lo que hicimos ahí en ese paréntesis cuadrado, es el trabajo que usted acaba de
resolver verdad, con la práctica anterior. Resolver fórmulas, multiplicar, sumar, cambiar signos. Si ? … Alguna
pregunta con respecto a esto ? A ese método (5s). Entonces se trata de buscar una expresión que sea común
para toda la expresión, verdad. Una expresión que sea común para toda. Y este sería efectivamente nuestro
factor…
Común
Común (P observa el reloj). Es que ya se nos agotó el tiempo. Bueno chicos, entonces nos vemos mañana.
Mañana continuamos. Para que hagan un poquito de práctica de factor común (18’18).
DsD
DsR
DsR
VI.1.2 SB-2202200610L : FACTEUR COMMUN ET REGROUPEMENT
1
PROF=SB
2
3
E
PROF=SB
4
5
E
PROF=SB
(00’24) Ok, estábamos con la factorización verdad. Si, deacuerdo ? Busquen ahí, hicimos unos ejemplitos.
Cuántos ?
4
Sólo vimos factor común, verdad ? (los estudiantes sacan el cuaderno y terminan de ordenarse, 01’29).
Bueno entonces, el otro método de factorización que ustedes conocían se llamaba ?
Agrupación.
Por agrupación. Estábamos en factor común verdad ? Muy bien, ahora veamos algunos ejemplos que se
factorizan por agrupación (P escribe en la pizarra a manera de título « Agrupación » y luego:
ReO
ReV
ReO
477
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
478
am+bp+bm+ap). Entonces tenemos éste (02’25). Si ?
No
No? No me acuerdo. Ok, recordemos lo que era entonces la factorización. La factorización era expresar
esa suma, en forma de multiplicación. Verdad lo que habíamos hecho, ponerlo como factores. En el
método que hicimos ayer, hicimos factor común. Entonces buscamos algo que estaba, una expresión que
estaba repetida en todos los términos, que fuera común para todo y entoces ya sacábamos los dos factores.
Ahora, qué nos está pasando ahí?
E=(E)dwin
No hay común.
E=(Y)anina
Si.
PROF=SB
Si hay algunas cosas en común, pero no en todas. Porque entonces qué dice, porque digamos aquí está a y
aquí está a, pero en estas dos no. Verdad ? Derepente aquí tengo a b y aquí tengo a b, pero en las otras no.
O inclusive, puedo ver como p y p, y no lo tengo en todas. Entonces qué hacemos ? (5s) No tengo un
factor común como para decir, bueno saco la a y ya me queda... o saco la m y/
E=(S)tephanie Pero agrupan los que tienen algo en común.
PROF=SB
Pero agrupan los que tienen algo en común. Muy bien. Muy bien. Entonces…
E=S
a m más b m.
PROF=SB
Yo digo bueno, Jose qué habladera. No se puede (5s). Agrupamos los que tienen a con a, o los que tienen
m con m o cómo hago. Porque me dice, agrupo, los agrupo con los que tienen algo en común. Cierto ?
Entonces cómo lo hacemos ? (5s) Cuáles grupos podemos hacer ?
E=S
a m y b m.
PROF=SB
Ok, entonces van a juntar a con a.
Es
Di si.
PROF=SB
Ok puede ser. Está bien, no importa. Hacemos un grupo, vamos a agrupar a esta a m con este a p, porque
los dos tienen a. Ujú. Entonces hacemos el grupito. Lo podemos como meter dentro de un paréntesis para
que lo veamos más claro. Este es mi primer grupo, verdad ? Y ahora el otro grupo?
E=S
bpyap
PROF=SB
Van a ser los que tiene p, verdad ? (P escribe en la pizarra: (am+ap) (bp+bm)) Y qué hago yo entre
grupo y grupo. Qué dejo, nada ? Pongo aquí el por y ya, y agrego esto.
E
Más (P escribe el más entre los grupos)
PROF=SB
Aquí yo no estoy factorizando todavía nada, lo que hice fue agrupar. Digamos éste con éste y lo metí
dentro de un paréntesis verdad, nada más. Y luego tomé verdad, al b p y al b m y lo hice en otro grupito.
Esto fue lo que hicimos, si ? Muy bien entonces ahora, como yo agrupé pensando en que cada uno tenía
algo en común, entonces saquemos qué es lo que tienen en común cada uno, cada grupito. Qué tiene en
común éstos ?
Es
a (la mayoría responde)
PROF=SB
Muy bien, entonces qué me va a quedar.
E=S
a paréntesis m más b.
PROF=SB
a, por …
Es
m más p (P escribe en la pizarra: a(m+p))
PROF=SB
Muy bien. Más, y aquí ?
Es
B
PROF=SB
Saco a b, y me queda ?
E=S
p más m
PROF=SB
p más…
Es
m (P termina la línea que escribía: a(m+p)+b(p+m))
PROF=SB
m. En este momento lo que estoy haciendo nada más fue, los grupos, saqué el factor común de cada grupo,
pero no he factorizado toda la suma. O si ?
Es
No.
PROF=SB
Todavía sigue estando aquí toda la expresión en forma de suma, verdad. Si ? Ok, entonces ahora qué es lo
que sigue para que yo ya pueda dejar toda la suma en forma de factores ?
E
Factor común.
PROF=SB
El factor común, quién será el factor común ?
E=S, Es
m más p.
PROF=SB
Tendré que hacer algún arreglo de signos, porque aquí digamos dice m más p y aquí p más m.
Es
No. Es lo mismo.
PROF=SB
Porque qué ?
E=(C)arlos
Porque la suma es conmutativa.
PROF=SB
Porque la suma es conmutativa yo la puedo dejar así ?
E=C
Bueno es igual m más p que p más m.
PROF=SB
Ok, ok. Será lo mismo sumar, m más p que p más m ?
Es
No. Si.
PROF=SB
Verdad, el problema es la... digamos la resta o…
E=C
La división.
PROF=SB
La división, exactamente. La resta o la división. Muy bien entonces, quién será el factor común.
E
m más p
PROF=SB
m más p o p más m verdad, cualquiera de los dos (P escribe en la pizarra: (m+p)). Ese sería mi factor
común y ahora entonces ? Por, de esta parte de la suma, qué nos quedó ?
AGRUPACIÓN
Es
a
PROF=SB
Más, y de este otro lado me va a quedar ?
1) am+bp+ap+bm
Es
b (P sigue escribiendo la factorización: (m+p)(a+b))
(am+bm)+(bp+ap)
PROF=SB
b. Si ?
m(a+b)+p(b+a)
E
PROF=SB
(a+b)(m+p)
Ch
DsR
DsR
DsR
57
58
Es
PROF=SB
59
60
E=E
PROF=SB
61
62
E=Y
PROF=SB
63
64
65
66
E
PROF=SB
E
PROF=SB
67
68
69
70
71
E=C
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
72
73
74
75
76
77
78
E
PROF=SB
E
E=E1
PROF=SB
E=E1
PROF=SB
79
80
81
82
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
83
84
85
86
Es
PROF=SB
E=Y
PROF=SB
87
88
89
90
91
92
93
94
E
PROF=SB
E
E=Y
PROF=SB
E
E
PROF=SB
Si yo hubiera hecho otros grupos, digamos que yo hubiese agrupado el a m, o sea los m con m y p con p,
digamos. Entonces yo hago todo el mismo trabajo, sacar el común más eso, y lo que le va a pasar aquí al
final es que le va a quedar, a más m por m más p. Verdad ? Tiene algo que ver, eso ?
No
O sea, interfiere en el resultado digamos. De que multiplique primero a más b y luego m más p. No verdad
porque son factores, entonces no nos van digamos, a perjudicar en ese sentido.
Profe pero cuál sería la mejor ?
No hay problema. Osea no hay mejor ni, digamos ni bueno ni malo, mientras tenga los factores está bien.
Lo importante ahí es tener cuidado con los grupos que yo vaya hacer. Si ? Uno puede hacer los grupos. No
sé derepente usted dice, se me va a ocurrir agrupar los dos primeros y los dos últimos di por si. Di si yo
agrupo los dos primeros pero qué va a tener de factor común ahí. Ah ? Verdad nada. Entonces ahí es
donde va a tener un poco de problemas. Ok, veamos otro ejemplo, donde intervenga por lo menos una
resta o algo así. (P escribe en la pizarra: x+yx-x²-y, 09’37). Qué hago ? (5s)
Junto las y y luego las x.
Ella me dice, junto las y y luego las x. (5s) Me va a quedar paréntesis. Ella me dijo junto las y y después
junto las x (10’13). Puedo ? (8s) Qué importa hagamos el grupo (P escribe en la pizarra: (x-x²)+(y²-y)).
Recuerden que habíamos hablado de que puede ser que nosotros, nos encontremos con expresiones en las
que no, las voy a poder factorizar, verdad. Ella nada más me dijo, agrupo las x y agrupo las y porque son
las, las *. Si ? Entonces ya, saco un factor común que efectivamente sería, x y me va a quedar, 1 menos x,
más y aquí saco el y y me va a quedar… y menos 1. Si ? (P escribe en la pizarra: x(1-x)+y(y-1)) Pero…
Ahí queda no ?
Estará factorizado ahí ya.
Profe porqué alla menos 1 (11’08) porqué no más y.
Ok aquí, el factor común evidentemente es y, no? Si porque está y a la 2 y y. Entonces hagamos y. y²
dividido entre y ? … y. Y y dividido entre y ? 1, verdad ? Esto es como si tuvieras, factorice este por factor
común, ya nada más ahí. Si ? Ok. Entonces yo digo, bueno ya, ya factorisé, está bien ahí ? Será lo mismo
1 menos y que y menos 1 ? … no verdad ? Nada que ver verdad, el grupo no me sirvió. O los grupos
perdón, no me sirvieron. A pesar de que usted agrupó x con x, o sea la misma letra y la misma letra, si? …
Si, si ? … Ok, qué otro grupo se puede hacer ? (P borra las dos últimas líneas escritas en la pizarra).
x menos y con y a la 2 menos x a la 2.
2) x+y²-x²-y
x a la 2 menos y a la 2.
(x-x²)+(y²-y)
x a la 2 con y a la 2. Y qué hago yo con eso ?
x(1-x)+y(y-1)
Menos x a la 2, con y a la 2.
Usted me dice que agrupe x menos y. Y después… y a la 2 menos x a la 2 (P escribe en la pizarra: (xy)+(y²-x²)). Así será ?
Si.
Muy bien y ahora usted dice, cuál factor común.
Ah no, no, no.
Menos y y … 1
Ahh ?
1
1 ! Sería verdad, porque ya no puede hacer nada más. Sería lo mismo. Ok, en este momento, así como
está, así como esta, usted dice, así como que algo se parezca; o sea está aquí agrupando x con y y está
agrupando x con y también, o no? Lo que pasa es que en este momento ya, por el método de factor común
ya yo no puedo seguir. Verdad ? Ya digamos, usted no va a decir, si aquí hay común, pues pongámole x y,
para decir algo, no. Aquí no hay nada en común (13’23), Aquí no hay nada en común. Usted dice si, pero,
hacer uso de otro método de factorización para poder factorizar este binomio que está aca (P indica y²-x²),
que se les parece a alguien, no ?… y a la 2 menos x se les parece a alguien ?
Fórmula notable.
A una fórmula notable, muy bien, cuál ?
La tercera.
La tercera, exactamente. Esta fórmula notable ya está como desarrollado. Ya yo lo que tengo que hacer es
como devolverme a ver qué fue lo que multiplicaron para que me diera esto… Quién era ? A quiénes
multiplicaron para que me diera a ésta ?
(varias respuestas al mismo tiempo, inaudible)
A quién ?
y menos x y y más x.
Muy bien. Muy bien, aquí lo que hicimos efectivamente, la fórmula que estaba o el producto perdón, y
menos x y y más x. Si o no ? y menos x y y más x es efectivamente, una diferencia de cuadrados, o sea la
tercera fórmula que me acaban de decir (P ha escrito en la pizarra (x-y)+(y-x)(y+x)). Y aquí tengo, x más
y, perdón, x menos y que ya habíamos sacado como grupo. Si ? (5s) Ahora como que ya se va pareciendo
a algún factor común o no ? …
x
Cuál sería ?
x
x menos y.
Aquí hay un x menos y, pero aquí hay un… y menos x, es lo mismo ?
No
Tal vez…
Tal vez, necesitamos hacerle algo verdad, para ver/
DsR
Od
(DsR)
479
95
96
E
PROF=SB
97
98
E
PROF=SB
99
100
101
102
103
104
E=E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
105
106
107
108
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
109 E=C
110 PROF=SB
111 E=C
112 PROF=SB
113
114
115
116
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
117
118
119
120
E
PROF=SB
E=Y
PROF=SB
Si se multiplica por menos 1.
Sacamos un menos a factor efectivamente, para que podamos trabajar el binomio. Entonces este factor qué
nos va a quedar ? Menos, y aquí…
Más x.
x menos, y. Si le vamos a cambiar el signo a éste, tengo que cambiárselo a éste también verdad. Vea, saco
el menos, entonces me queda menos y más x, o sea, x menos y, por … y ya éste lo dejamos igual. Entonces
ahora si, quién es nuestro factor común ?
x menos, y.
Efectivamente…
Di x menos, y.
x menos…
y (P ha escrito (x-y)-(x-y)(x+y))
Entonces ya ahora si, sacamos el x menos y, por, qué me queda aquí ? x menos y sobre x menos y. Qué es
esto ?
1
2) x+y²-x²-y
1. Menos, x menos y, por y más x dividido entre x menos y ?
(x-y)+(y²-x²)
y más x.
(x-y)+(x-y)(y+x)
y más x.
(x-y)(1-(y+x))
Si ? Entonces vean lo que nos pasó ahí con esa expresión verdad ? (16’22). Fue una suma resta, yo hice un
grupo, agrupando los que tenían semejantes, o sea x con x, y con y; pero diay no logramos nada, no
pudimos hacer nada. Apesar de que eran x x con y y y, porque no quedó ningún factor común. Tuvimos
que hacer, eh… referencia a una de las fórmulas notables que ya hemos trabajado. Que fue la tercera. Que
ya nos la sabemos, verdad. Ya podemos hacer la sorpresita, de las fórmulas notables ? Si ? O no ? Porque
todavía no o más o menos ? Es una sorpresita, para saber si ya sabemos todas las fórmulas notables. Son
solamente ocho, de las cuales ya usted se sabe tres; o sea tenía que repasar, o tiene que aprenderse ya sólo
cinco. Entonces ya esa se supone que la conocemos, ésta. Entonces tuvimos que hacer uso de esa fórmula
notable, para poder hacer factores, de tal forma que me quedara algún factor común. Si ? Entonces en qué
consiste el método de la agrupación ? No solamente consiste en hacer grupos y ya. Yo hago un par de
grupos, unos dos tres grupitos y ya voy sacando ahí, no. Tengo que hacer grupos de tal forma que pueda
factorizar, ya sea por medio de factor común, pensando que tuviese algo en común; pero al final, después
de que yo haga los dos grupos o los tres grupos con el factor común, tiene que resultar otro factor común,
verdad ? Porque si no, no voy a poder, no voy a poder trabajar en eso. Estamos ? Preguntas ? (17’54. Se
discute sobre una abispa que entró al aula. 18’18). Ok, veamos algunos ejemplos de la práctica que
tenemos ahí. Ahí ustedes tienen una fotocopia y una práctica muy interesante que ya hicieron todas las
veinte primeras, las veinte de la página dos (18s). Busquemos la página cinco donde dice tema,
factorización (12s). Ya ahora son sólo veinticinco (P hace alusión a la cantidad de ejercicios propuestos
del tema). Si eran poquitillas. La vez pasada eran veinte, hicimos sólo quince y las otras cinco eran que las
estaban trabajando. Vea que el tema, eh la práctica, solamente va a factorizar por el método de factor
común.
(un estudiante levanta y muestra la página de la práctica a la profesora, señalando con un dedo la
expresión « P(x)Q(x)+P(x)R(x)=P(x)[Q(x)-R(x)]) Qué significa esto ?
A la par, qué dice ? P x, Q de x, más, P de x, Q de x, igual, saco a factor P de x; o sea polinomio en
términos de x. Véalo sólo como, digamos, P Q, P R.
Ahh.
Si ? Entonces, P Q más P R, más P. Perdón, P Q más P R y al otro lado sacás como factor común a P. Eso
es para hacer referencia, para que usted se acuerde que lo que hay que hacer ahí es factor común. Si ?
Entonces por ejemplo, veamos la primera (hace alusión a la expresión: ax²+a²x-ax). Será necesario que yo
use grupos ahí, o sea, agrupación ?
No.
No verdad ?
Factor común.
Factor común (19’40). Muy bien, factor común. Ahora veamos algo, veamos así como, por ejemplo, la
diecisiete (hace alusión a la expresión: x²+3x+xy+3y). Será factor común ahí también ?
No
No verdad ? Tendríamos que hacer en ese caso…
Agrupación.
Agrupación, agrupación. Muy bien, estamos con eso ? Ok, entonces empezamos a trabajar ahí (20’40.
Suena el timbre, 33’49).
P indica el trabajo para el resto de la lección, los ejercicios del uno al diez:
ax²+a²x-ax, 20x3y²-15x²y3, 15 x3 y5 z − 25 x²y3 z 4 +17 y5 z 6 , 1,1(x-y)²+2,2(x-y), 3 2 x5 y3 −6 10 x4 y 7 , 5(a+b)5-7(a+b)4, 2x(3x-2y)+5y(-
4
16
8
2y+3x)-4z(3x-2y), 5x3(2x-5)-3y(5-2x), 2b(b-7)-3b²(7-b)+6b3(b-7), (5x+2y)(2x-y)+(3x-7y)(2x-y).
Además solicita escribir un asterisco al lado de las expresiones x2n+3+5x2n+1-4x2n-1 n∈IN y 11u n − 5 u n + 2 −22+10u n n∈IN.
3
480
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
PROF=SB
(P saluda al grupo. Muestra los quices y comenta que hay notas de todo. P entrega quices y hace comentarios
sobre la necesidad de saberse las fórmulas notables. Entrega la segunda práctica sobre las fórmulas notables.
Un estudiante le indica que no han revisado los ejercicios opcionales de la práctica anterior. 08’47). Entonces
ahora, lo que nos va a pasar es que nos van a dar, digamos, el desarrollo de la fórmula, o sea ya multiplicada, ya
hecha y usted tiene que reconocer si será ese el desarrollo de la primera fórmula, de la segunda, de la tercera, de la
sétima, de la octava, si ? Entonces por ejemplo digamos, algo como esto, yo digo a a la 2, más 2 a b, más b a la 2
(P escribe en la pizarra: a²+2ab+b²=). Ese es un trinomio, verdad, que ya usted conoce, se supone. A qué es
igual eso ?
E=(E)dwin, Primera fórmula notable.
Es
PROF=SB Muy bien, esa era la primera fórmula, cómo… esta suma cómo la escribo igual…
Es
a más b, a la 2 (varios estudiantes responden al mismo tiempo, no todas las respuestas son audibles. P escribe:
(a+b)²).
PROF=SB Entonces, a más b, al cuadrado, es lo mismo que escribir a más b, por a más b. Si o no ?
Es
Si
PROF=SB Si es lo mismo o no ? Entonces si estoy escribiendo esta suma en forma de multiplicación, si ? Con solo ver que
era la fórmula notable, yo efectivamente hice esto, ya la conocen. De igual forma, tenemos esto, a a la 2, menos 2
a b, más b a la 2 (P escribe en la pizarra: a²-2ab+b²=).
E=(C)arlos Entonces esa es la segunda.
PROF=SB Yo puedo factorizar esto por factor común ?
E=E
No
PROF=SB Digamos este trinomio, por factor común.
E=C
Por agrupación.
PROF=SB Lo puedo hacer por agrupación ?
E=E
No
E=C
Di supongo, el a y el a, el b y el b.
E=E
No, no se podría.
PROF=SB Pero aquí tengo sólo uno. Podría ser digamos estos dos y me quedaría a como factor común, pero me queda un b
como perdido. Esto es una fórmula notable o no?
Es
Si.
PROF=SB Cuál ?
Es
La segunda.
PROF=SB Ajá. a menos b al cuadrado, muy bien (P escribe: (a-b)²). Y la tercera que usted conoce, tiene una diferencia de
cuadrados, a qué es igual esta ? A qué era igual ? Porque eso fue ya/ ya lo resolvimos y nos dio eso.
Es
a más b, por a menos b.
PROF=SB Ok, era un producto, a más b, por a menos b (P escribe: a²-b²=). Ya yo estoy poniendo dos factores, verdad, a
más b, por a menos b. Luego conocemos ésta (P escribe: a3+b3=).
E=C
El cubo de la suma.
E=E
Suma de cubos.
PROF=SB Será suma de cubos ?
E=C
No
E=E
Si
PROF=SB Si que si. La habíamos puesto como número, siete. Entonce a qué es igual, esto ?
E=C
A a, el cubo del primero.
E=E
a más b.
PROF=SB Ok, hay un factor que se llama a más b. Muy bien, cómo se llama el otro ?
E=E
a al cuadrado menos/
PROF=SB a al cuadrado (varios estudiantes continuan diciendo el resto del factor, inaudible. E=C: Más 2 veces a b). Muy
bien, no el doble verdad.
E=E
Más b al cuadrado.
PROF=SB Más?
E=E
b al cuadrado (P escribe: (a-b)(a²+ab+b²)).
PROF=SB Entonces, obviamente a usted le van a dar esta suma de cubos, y usted tiene que llegar a estos dos factorcitos.
Cuál es como el principio, qué es lo que tengo que hacer inicialmente. Obviamente buscar quién es a y quién es b.
Y recordárnos de la fórmula verdad. Entonces si teníamos aquí suma, aquí el binomio era con suma y tenía un
signo negativo, verdad el trinomio. Si ? Pero una vez que ya usted determina quién es a y quién es b, ya usted
sabe cómo encontrar el segundo factor, antes no. Y la fórmula de la diferencia, a al cubo, menos b al cubo (P
escribe: a3-b3=), cómo nos quedaba esto ?
E=C
Cubo del primero, menos
E=E
a menos b.
FÓRMULA NOTABLE
E=C
a menos b.
a²+2ab+b²=(a+b)²
PROF=SB Ok, el primer factor sería, a menos b.
a²-2ab+b²=(a-b)²
E=C
Y todo lo demás igual.
PROF=SB Y todo lo demás igual!?
a²-b²=(a+b)(a-b)
E=C
Di supongo.
a3+b3=(a+b)(a²-ab+b²)
E=E
No.
a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)
E=C
a más b.
Od
Od
Od
(ReO)
Od
Od
DsR
Od
Od
Od
DsR
481
48
49
50
51
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
52
53
E=E
PROF=SB
No, en ves de menos el más.
a a la 2, más a b.
Más a b. Más b al cuadrado (P escribe: (a+b)(a²-ab+b²))..
Muy bien, muy bien.
Entonces ahora (13’31), usted me va a decir, bueno si y ?, ya yo ya, esas formulitas me las sé. Es más, me las sé,
que me las ponga así de esta forma y yo las desarrollo o me las ponga así y yo se las pongo así. Ya yo me las sé al
dedillo. Cómo me las van a pedir ahora en este caso. Hagamos ejemplos. Digamos este, factorice completamente
los siguientes polinomios, y me dan ese trinomio, x a la 2, más 4 x, más 4 (P escribe: x²+4x+4). Entonces usted
dice, puedo factorizar esto por factor común? No verdad? Por qué no?
DsD
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
Porque no tienen nada en común.
Todos los términos, no tienen algo en común. Verdad. Porque si, yo veo, digamos hay dos que tienen x y hay dos
que tienen 4, digamos, estos dos tienen algo en común y estos dos tienen algo en común; pero para poder hacer el
método de factor común, necesito que sea para toda la expresión. Queda descartado factor común. Puedo hacer
grupos?
E=E
No.
PROF=SB Porqué no ?
E=E
O sea puedo hacer los grupos, pero después no me va a quedar el factor común que necesito, verdad, entonces. Se
parece a alguna fórmula notable eso ?
Es
Si
E=E
La primera
PROF=SB Con solo ver los signos parece como que la primera, por la cantidad de términos también parece como que la
primera. Ok, entonces cómo la factorizaría ?
E=E
Se le saca raíz a los extremos.
PROF=SB Cuál sería el factor, digamos.
E=(Y)anina x más 2.
PROF=SB x más 2. Todo al…
E=Y
Cuadrado.
PROF=SB Cuadrado. Cómo hicimos para encontrar ese x y ese 2 ?
E=E
Se le sacaron ...
PROF=SB Yo recuerdo que la fórmula decía, bueno tengo que buscar algo que diga, el cuadrado del primer término, más dos
veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo, si o no? Pero ya está resuelto. O sea aquí ya
apareció el cuadrado de algún término y aquí el cuadrado de algún término, como yo me estoy devolviendo,
digamos, qué es lo que tengo que encontrar o cuál es la operación inversa a ese, “el cuadrado del primer término”.
68
69
E=E
PROF=SB
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
E=E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
E=E
E=C
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
87
88
89
90
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
91
92
93
94
95
E=E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
482
La raíz.
Ok, la raíz. Si usted tiene una potencia al cuadrado y lo quiere hacer como al revés, por decir, usted va a pensar,
qué número fue el que elevaron al cuadrado para que me dé el 4. Entonces usted lo que hace es sacar raíz
cuadrada a 4 y darse cuenta que era 2, entonces 2 al cuadrado. Perdón, entonces 2 al cuadrado me esta dando
efectivamente…
4 (P escribe: x²+4x+4=(x+2)²)
Si? Veamos otro ejemplo, x a la 2, menos 6 x más 9 (P escribe: x²-6x+9). Factor común ?
No.
Grupos?
Tampoco.
Menos
Parece fórmula notable?
Si
Será una diferencia de cuadrados, digo ésta.
No. Si
No
No.
Esta no porque aquí solo hay dos términos, y aquí tengo tres.
La segunda fórmula notable.
Es la segunda si. Será cierto que esos extremos son cuadrados ?
Si.
Entonces algo elevado al cuadrado, menos dos veces ese algo por otro algo más... el segundo término al cuadrado
(P va indicando lo dicho en el polinomio). Quienes eran esos algos?
x menos 3 a la 2.
x… menos 3…
A la 2
A la 2 (P escribe: x²-6x+9=(x-3)²).. Se supone que si yo resuelvo esta fórmula, me tiene que dar ese trinomio,
verdad ? Porque aveces, o sea, no siempre me va a pasar esto. Yo digo el cuadrado del primer término,
efectivamente es x al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, 6 x, verdad ? Más, el cuadrado del
segundo término que efectivamente es 9. Si ? Ok, veamos otro ejemplo (P escribe: x²-16). x a la 2, menos 16. Se
parece a la segunda fórmula?
No
La segunda sería ésta (P indica el desarrollo del ejercicio anterior).
x más 4/
Sería esta verdad ? Efectivamente, eso es una diferencia de cuadrados ? 16 es un cuadrado ?
Si
DsD
ReV
(ReH)
(ReV)
96
97
98
PROF=SB
Es
PROF=SB
99
100
101
102
103
104
E=C, E
PROF=SB
E=C, E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
105 E=E
106 PROF=SB
107
108
109
110
111
112
113
114
E=C,E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
132
133
134
135
136
137
E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
E=E
E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
Escribir 16, es lo mismo que escribir ?
4 a la 2.
4 elevado a la 2 (P escribe 4², bajo 16). Ok, entonces yo ya tengo esta forma, entonces yo puedo escribir eso, esa
resta o esa diferencia, en forma de multiplicación. Si, eso si, tomando solamente al a y al b. Sin los cuadrados.
Entonces cómo me quedaría eso ?
x más 4
x, más...
4. Por x menos 4.
Muy bien. Importaría algo si yo comienzo con, x menos 4 y luego pongo, x más 4 ?
No
No verdad, porque estamos en factores. Ok, ejemplo cuatro. x a la 3 más 8 y a la 3 (P escribe: x3+8y3). Eso qué
será ?
Eh, sexta fórmula notable.
Con solo ver que es una suma, verdad, de fijo va a tener que ser suma de cubos, no hay otra. Vea que usted no
tiene ninguna fórmula que, una suma de dos términos y de ahí una fórmula notable, verdad que no. La única que
tiene esa característica o esa forma, es justamente ésta. Si ? Ok, entonces, si es una suma de cubos, tengo que
buscar quién era a y quién era b. O sea qué número elevado a la 3 me va a dar x a la 3, para la primera expresión.
Qué número elevado a la 3 me va a dar 8 y a la 3. Entonces quiénes son ?
8xy
Aquí x verdad. Y aquí ?
x más y.
y nada más ?
2 y.
8 será algún número elevado a la 3 ? O sea, será una expresión al cubo?
x más 2 y.
Ok, este 8 y a la 3, es lo mismo que escribir 2 y todo, a la 3 (P escribe bajo el 8y3, (2y)3). Entonces si yo me
traslado aquí a la forma, de la fórmula notable, quién sería a para nosotros ?
x
x. Muy bien, y quién sería b ?
2 y.
2 y. Verdad, nada más, los dos están elevados al cubo. Ok, entonces cómo me va a quedar la factorización?
x más 2 y.
Ya yo sé que tiene dos factores, porque cumple con esto.
x más 2 y.
Entonces el primero es un binomio que se va a llamar? x más ....
Emjs. 1) x²+4x+4=(x+2)²
2 y.
2) x²-6x+9=(x-3)²
Más, estoy sumando, verdad. Ahora, cuál es el siguiente ?
3) x²−16 =(x+4)(x-4)
N
x a la 2. Más
4²
Más ?
4) x3 +8y 3 =(x+2y)(x²-2xy+4y²)
Menos
N
Sorry ahí.
( 2 y) 3
Menos qué ? 2 x y, o sea, x por 2 y. Más ?
2 y a la 2/ No, 4 y a la 2 (P escribe: (x+2y)(x²-2xy+4y²)).
Ah, ahí está verdad la potencia. Muy bien, muy bien.
Y en el caso de la diferencia de cubos, vamos a poner, 1 menos 27 a a la 3 (P escribe: 1-27a3). Como es una
diferencia de dos términos, entonces usted dice, o es ésta o es ésta, verdad (21’12). Porque es la que tiene la
misma forma. Ahora revicemos, serán cuadrados o serán cubos ? 27 a a la 3 es una potencia que es un cubo, cómo
la puedo escribir como potencia de cubo. 27 sería 3 a la 3, verdad ?
a a la 3
Y a a la 3, muy bien. Entonces cómo me queda la factorización aca.
1 menos…
Entonces tengo que poner, 1
Menos 3 a
Menos, 3 a. El 1 lo puedo escribir como 1 a la 3 verdad, o como 1 a la 2. En este caso me sirve el uno a la 3
porque es un cubo. Ok. 1 menos 3 a, ya tengo el binomio. Ahora?
1.
El cuadrado del primero
El cuadrado del primero que sería?
1
1. Muy bien, más o menos?
Más.
El producto de ellos dos que sería ?
3a
3 a. Más?
9 a a la 2.
El cuadrado de 3 a que sería ?
9 a a la 2.
DsD
Od
DsD
DsR
483
150 PROF=SB
151
152
153
154
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
155 E=C
156 E=E
157 PROF=SB
158
159
160
161
162
E=E
PROF=SB
E=E
Es
E=E
163
164
165
166
167
168
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
169
170
171
172
173
174
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
175
176
177
178
179
180
Es
PROF=SB
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
181 Es
182 PROF=SB
183
184
185
186
187
188
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
189 E=E
190 PROF=SB
191 E=E
192 PROF=SB
193 Es
194 PROF=SB
484
9 a a la … 2. Si ? Claro para hacer eso, yo me tengo que saber la fórmula, porque si no sería demasiado
complicado para ir inventando ahí como para que me cierre. Porque recuerden que yo ya esto, se supone que yo
multiplico esto por este factor y me tiene que dar solo esto. Verdad ? Entonces yo me tengo que saber la fórmula
para digamos, evitarme ese trabajo de empezar a hacer qué expresión por cuál
otra expresión me va a dar esa diferencia, o me va a dar esa segunda. Debe ser
5) 1− 27a 3 =(1-3a)(1+3a)
un trabajo demasiado tedioso, verdad.
N
Ok, ahora veamos este otro ejemplo (P escribe: (x+1)²-y²). Digamos que diga
(8a) 3
esto (se cae un celular, comentarios). Ahora vean el ejemplo seis, será que yo
me tengo que poner a desarrollar esa fórmula, para después restarle y a qué ?
Profe no.
No verdad, estoy factorizando. Entonces qué es lo que tengo que ver. Eso es una diferencia de qué ?
De cuadrados.
De cuadrados. Verdad esto, es una diferencia de cuadrados. Si ? Qué es la diferencia de ese con este, que ya
habíamos hecho así como que tan sencillito
Que hay una fórmula
El primer término
El primer término, verdad. Que ya el primer término no es solamente x a la 2. Si no que quién es el primer
término ?
x más 1 a la 2.
Todo el x más 1, verdad? El primer término es todo x más 1, el segundo término sería?
Menos y a la 2.
Y
y. Entonces, cómo hacemos para factorizar esto? Estamos con diferencia de cuadrados verdad, entonces voy a
usar el paréntesis cuadrado, qué sería ? x más 1, más y. Por… x más 1, menos y. Si, sí o no no ? Supongámonos
que aquí yo no tenía este x más 1 (24’56), yo no tenía esto, teníamos una a. Si hubiera sido así, me está quedando
a a la 2, menos y a la 2, si o no ? (P escribe: a²-y²). Cómo factoriza ese, a a la 2, menos y a la 2 ?
a más y
Esto como lo hace? Con diferencia de cuadrados, verdad? a más y, por…
a menos y
Ah bueno pero para nosotros, en la expresión original no existía ninguna a. Quién es a para nosotros ?
x más 1
x más 1. Todo el x más 1, verdad. Entonces tengo que escribir efectivamente en lugar de esta a, tengo que escribir
a, x más 1, más y. En lugar de esta a, escribimos a, x más 1, menos y. Si ? Y ahí bueno lo que sigue es, quitar
paréntesis redonditos y cómo me va a quedar esto. Ya digamos, con la forma más simplificada, cómo me va a
quedar ? x más 1 más y, por, x más 1 menos y.
Profe, cualquiera de las dos sería correcta.
Eh, ésta o ésta?
Ajá, cualquiera/
Ésta prefiero.
Por qué la otra no?
Porque está sin simplificar. No es que esté mala, si no que está incompleta, digamos.
6) (x+1)²-y
Ahorita lo hacemos para que vea.
= [(x+1)+y][(x+1)-y]
Si se pudiese restar o si se puediese sumar algo, se puede reducir, pero… por
=[x+1+y] [x+1-y]
ejemplo, digamos, digamos que dice, 4 menos y aquí x más 1 al cuadrado (P escribe
otro ejemplo: 4-(x+1)²). Será una diferencia de cuadrados, esa también ?
Si
Quiénes son los términos,
4 y x...
El 4 que lo puedo escribir cómo...
2 a la 2.
2 a la 2. Y el x más 1 a la 2, que ya está escrito como cuadrado, entonces, cómo sería ? 2 más, segundo término,
quién es ?
x más 1
x más 1, por…
2
2
Menos
Menos
x más 1
x más 1. Si ? Igual que como si le hubiéramos puesto a este x más 1 le ponemos una a. Cómo factorizo, 4 menos a
a la 2 ? Diay 2 menos a, por 2 más a. Si o no? Ahora qué seguimos, después de ahí ?
Quitar los paréntesis
Quitar los paréntesis. Redondos verdad ? En este caso porque yo estoy usando paréntesis cuadrados. 2 más, x más
1, no varió nada aquí verdad. Ahora 2 menos, x, menos 1; tengo que cambiar el signo, o no ?
Si
Menos 1 por x, menos una x. Menos por menos, perdón, menos por más, menos. Porque estoy quitando este
paréntesis de aca. Ahora si, se podrán reducir términos de cada paréntesis ? 2 más 1, 3. 3 más…
x
x. Por, 2 menos 1,
DsR
ReA
Pr
Pr
195 Es
196 PROF=SB
197 E=E
198 PROF=SB
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=C,E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=Y
PROF=SB
E=Y
PROF=SB
E=Y
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
245
246
247
248
249
E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
250 E=C
251 PROF=SB
252
253
254
255
256
257
258
259
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C,E
PROF=SB
1
1, menos … x. Entonces ahora si verdad, qué le dicen a usted, quiénes son los factores de la factorización
completa para eso ? Di 2 más x y… 1 menos x. No vamos a decir todo eso, no es que est malo, está incompleto.
Ah ya, ya entendí, gracias.
7) 4-(x+1)²=
Estamos.
[2+(x+1)][2-(x+1)]
3
Y ahora, qué pasaría con algo con cubos (P escribe: (a+1) -8). Digamos que dice, a más 1 al cubo, menos 8. Son
[2+x+1] [2-x-1]
expresiones al cuadrado o expresiones al cubo ?
[3+x][1-x]
Al cubo.
Al cubo. Entonces tengo que usar la fórmula, diferencia de...
Cubos.
Cubos. Cómo sería el primer término ?
a más 1
a más 1…
Menos 2.
Menos…
2
2, muy bien. Por, qué sigue ? a más 1 más 2 será ?
No, a más 1 al cuadrado.
Ah ok. a más 1 todo al...
Cuadrado
Cuadrado.
Más
Más. El producto de ellos dos que sería 2 por…
a más 1
a más 1, muy bien.
Menos.
Menos ?
No más.
Más…
4 (P ha escrito: [(a+1)-2][(a+1)²+2(a+1)+4]). Profe.
Y ahora,
Profe, ese segundo término no se podría hacer?
Ese qué?
Ese segundo término, 2 por/
Todos, lo vamos a hacer.
Ah
Ya aquí puse todos los términos de la fórmula, ahora lo que sigue es trartar de simplificar todo lo que se pueda
dentro de cada paréntesis. Qué sería, entonces. Aquí me quedaría, a más 1, menos 2. Aquí ? Cuánto me va a dar
esto ? a más 1 al cuadrado ? (30’21)
a a la 2 más 1
a a la 2 más 1…
Es la fórmula notable
La fórmula notable, claro. Cómo va ha quedar eso ?
a a la 2 más …
Más 1. si ? Esa es la primera fórmula, nada más la estamos desarrollando. Ahora, más
2 a, más 2.
Más 2. Más…
4
4. Muy bien. Entonces, qué me está quedando en el primer factor ?
a menos 1
a menos 1, verdad. Por ?
a a la 2.
El primer término a la 2.
4a
8) (a+1)3-8=
2 a más 2 a sería?
[(a+1)-2][(a+1)²+2(a+1)+4]
4 a.
[a+1-2][a²+2a+1+2a+2+4]
[a-1][a²+4a+7]
4 a. Aquí tenemos un 1, más 2, más 4.
7
Si ? Claro, obviamente la formulita es importantísima ahí, para poder llegar a esto. Ok. Intenten ustedes esta
solitos a ver ? (P ha escrito: 125+(x+1)3=). 125 más, x más 1 al cubo. 125 será un cubo ?
Si profe es 5 a la 3.
Ah muy bien. Cuánto les dio esa factorización (32’08. P atiende una duda particular. 33’42). Ya ? Cuánto me dio
eso ?
6 más x
Ok. Pero dígame la primera parte, porque todavía hay gente que está como...
6 más x
No lo primero al principio, antes de que diga 6.
5 más,
5 más.
x más 1
Muy bien. Por…
DsR
Pr
DsR
DsR
Pr
Pr
Pr
485
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
E=C,E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
270
271
272
273
274
275
Es
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
25
25
Menos 5
Menos
Menos 5
Menos 5 por x más 1. Más, x más 1 al…
Cuadrado.
Muy bien. Hasta ahí estamos ? Ahora quitemos paréntesis redonditos. Todo, el 5 más x más 1. Por, 25 menos.
5 x menos 5
5 x menos 5, ok, más ? Tiene que usar fórmula notable verdad, otra vez? Entonces qué me está dando en el primer
factor, efectivamente lo que nos dijo. Ok x más 6, 6 más x (intervención de estudiantes, inaudible). Ajá sería, 25
menos 5, más 1… 21 verdad. 25 menos 5 son 20, más 1…
21
9) 125+(x+1)3-8=
Ok. Tenemos, menos 5 x más 2 x?
[5+(x+1)][25-5(x+1)+(x+1)²]
Más 3 x
[5+x+1][25-5x-5+x²+2x+1]
Más... más o menos?
[x+6][21-3x+x²]
Menos
3 x. Luego el x a la 2 que lo dejamos ahí como x a la 2. Si ?
Más adelante, cuando conozcamos algunos otros métodos. Vamos a poder incluir otros ejemplos en donde
tengamos que hacer varias cosas al mismo tiempo. O sea terminamos de hacer una cosa y después ya podemos
hacer otra y ahí vamos. Ok, nos vemos el lunes, verdad ? Para el lunes recuerden la fotocopia que tiene Edwin. La
fotocopia que tiene Edwin, verdad (36’08. 36’14, el timbre suena).
Pr
1
2
3
PROF=SB
Es
PROF=SB
(P toma el cuaderno de una estudiante y lo hojea). Ok estamos con la factorización verdad?
Si
Ya terminamos la práctica (se comenta brevemente sobre la práctica de simplificación de expresiones
algebraicas). Cómo les fue con la tareita ? (02’30).
4 Es
(varios estudiantes hablan al mismo tiempo, inaudible).
5 PROF=SB (03’48) Busquemos la práctica donde hemos estado trabajando. No la de la tarea porque eso ya era de tarea, todo
el mundo la hizo, todo el mundo ya se sabe las fórmulas (varios estudiantes hablan, inaudible. Comentarios
sobre la tarea). Ahora buscamos estas señores y señoritas (P muestra las hojas de la práctica)
6 E
Qué página ?
7 PROF=SB La seis. Nada más necesito que se ubiquen en su cuaderno. Nosotros terminamos de hacer la factorización por
fórmula notable e hicimos unos ejemplos ahí. Eso tiene que estar antes de la tarea que trajeron para hoy. Revisen
cuántos ejemplos hicimos ?
8 E
Nueve
9 PROF=SB Nueve ejemplos. Todos con la fórmula de diferencia, fórmulas notables, todos. Ok, muy bien. Entonces vamos a
agregar ahí unos ejemplitos más para que podamos seguir trabajando con esta práctica. Obviamente no la
habíamos *. Ok, veamos otro ejemplo de factorización (05’04) por la fórmula notable. Nueve verdad me dijeron,
vamos con el diez. Digamos que, tienen esto (P escribe en la pizarra: 3x²-27). Veamos esta señores. Agreguen
ahí, tienen hasta el nueve, verdad, agregan ahí el diez, o lo hacen después de que hicieron la práctica ponene el
diez. Cómo lo puedo factorizar ? Será diferencia de cuadrados? Será más bien diferencia de cubos ? Tendrán
algo en común ? Tiene algo en común esos ?
10 E=(C)arlos El 3
11 PROF=SB El 3. Muy bien, entonces, antes de factorizar voy a sacar el factor común, que efectivamente es 3. 3 por, entonces
me queda, x a la 2 menos… 27 entre 3 ?
12 E=C
9
13 PROF=SB 9. Muy bien. Ahora si, x a la 2 menos 9, cómo lo puedo factorizar ? Qué es esto ? Después de que saqué factor
común, voy hacer la factorización por diferencia de…
14 E=C
Cuadrados
15 PROF=SB De cuadrados. Cuál fórmula notable voy a usar ahí ? La tercera. Ok, entonces cómo me va a quedar eso ?
16 E=(E)dwin 3 por/
17 PROF=SB 3 por
18 E=E
x menos 3
19 PROF=SB Ajá
10) 3x²-27
20 E=E
Por x más 3
3(x²-9)
21 PROF=SB Por x más ?
3(x-3)(x+3)
22 E=C
3
23 PROF=SB Muy bien. Entonces vean que ahora es necesario primero, sacar factor común y ya luego me va a quedar la
factorización por la fórmula notable. Ahora, agregamos otro más. Agregamos... qué pasaría con algo así/
24 E=C
Profe y así queda eso ?
25 PROF=SB Si, esta es la factorización. O qué más le podemos hacer.
26 E=C
No, pregunto por eso.
27 PROF=SB Ok. Digamos que dice (P escribe: m4-1), m a la 4 menos 1. Cómo lo factorizo eso ? (08’00. Llega una persona a
hablar con P. 09’29). Muy bien chicos. Cómo me quedaría esta factorización, entonces ?
28 E=E
m a la 2
486
ReO
29 PROF=SB
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
40
41
42
43
E=E
PROF=SB
E=C, E
PROF=SB
44
45
46
47
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
48
49
50
51
E=E
PROF=SB
E=E,C
PROF=SB
52 E
53 PROF=SB
54 E=C
55 PROF=SB
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
66 E=E
Muy bien, m a la 2, menos 1. Por ? m a la 2 más 1. Eso es una primera factorización, ahora lo revisamos a ver si
alguno de los dos factores se puede volver a factorizar. O ya quedó ahí ? Puedo seguir?
Si
Con cuál?
Con el primero.
Con el que dice, m a la 2 menos 1. Cómo sería la factorización aca.
m menos 1. Por m más 2/ digo más 1.
m más 1. Ok, y qué hago con éste ?
Queda igual
Muy bien. Este no lo puedo factorizar, o si ?
No
m a la 2 más 1 se puede factorizar ? No hay ninguna de las fórmulas que nosotros
11) m4-1
conocemos para poder hacer eso. O sea para poder hacer una suma de cuadrados,
(m²-1) (m²+1)
por decir algo. Si ? Muy bien.
(m-1)(m+1) (m²+1)
Ahora veamos el doce, el ejemplo doce (10’40). Supónganse que dice, bueno
digamos que es, m a la 2, menos, 5, digamos. m a la 2 menos 5 (P ha escrito: m²-5). Qué hacemos con esto ?
Bueno pregunta, qué fue lo que hicieron ustedes para obtener este, x menos 3 y este x más 3 para factorizar esto.
Se le sacaron raíces.
A quiénes le sacaron raíces ?
Al 2.
Al x a la 2 y al, 9, verdad ? Entonces sacaron raíz de x a la 2, este 2 con el índice sele va a cancelar y luego
extrajo la raíz cuadrada de 9 que efectivamente es… 3. Entonces tomamos a este x y a este 3 y los pusimos, uno
restando y el otro, sumando. Muy ahora aquí yo voy hacer el mismo planteo y qué va a pasar, raíz de m a la 2,
cuánto me va a quedar esto ?
m
12) m²-5= (m− 5 )(m+ 5 )
m. Muy bien. Y para éste ? Raíz de 5… Será exacta la raíz de 5 ?
↓ ↓
No
m
² 5
Pero la podemos dejar indicada, entonces. Si ? Entonces, cómo me quedaría
m
la factorización ? (12’07) m … menos …
raíz de 5
Raíz de 5, muy bien. Por ?
m más raíz de 5
m más raíz de 5. Si ?
Entonces, vean los ejemplos que acabamos de agregar. Aveces tenemos primero que sacar, factor común, verdad.
Antes de ponernos a sacar las raíces como hacen ustedes, saco factor común y ya me queda diferencia de
cuadrados. Luego hay otras en las que hago la fórmula y me resulta otra fórmula. Y tengo que volverlo a
factorizar, entonces ya se me va factorizar completamente. Y hay unas en las que no hay factor común, entonces
yo puedo extraer la raíz y la dejo nada más simplificada, entonces ya nada más ubico si es diferencia de
cuadrados o si es diferencia de cubos. Cómo sería para la diferencia o la suma de cubos mejor, de cualquiera, que
no sea exacta, digamos que diga, m a la 3, más, digamos 2. Cómo hago eso ?
Raíz cúbica.
Ahora eso es una suma de cubos, verdad ? Tengo que usar la fórmula notable que es la suma de cubos, que es,
para nosotros es como la siete por ahí verdad. Entonces efectivamente, usted extrajo la raíz cúbica de éste y qué
le fue a quedar ? Raíz cúbica de m a la 3, entonces ? Eso es igual a m. Muy bien, aca?
Se queda indicada
Raíz cúbica de 2. Raíz cúbica de 2 verdad no es exacta, no la puedo factorizar. Digamos que si me hubiera
quedado un 8, uno dice 8 es 2 a la 3, me da 2, verdad. Ahora si, cómo nos vamos a * en la fórmula, cómo sería ?
Me quedo con m, más, porque es una suma, raíz, cúbica de 2. Muy bien. Por…
m al cuadrado.
m al cuadrado.
Menos
13) m3+25= (m −3 2 )(m + 3 2 )
Menos. El producto de ellos dos, que sería... m raíz cúbica de 2, más ?
↓ ↓
Raíz cúbica de 4.
3
2
3 m3
El cuadrado de éste. Cómo sería el cuadrado de éste ?
Raíz cúbica de cuatro.
m
Cómo hago, cómo hacen ustedes para elevar raíz cúbica de 2, a la 2 ?
Eleva el 2…
Eleva el subradical, verdad ? Mjú. O como quieran, expresarlo con exponente fraccionario. Además me da, raíz
cúbica de 2 a la 2. O sea ?
Raíz cúbica de 4.
Pr
ReH
ReA
ReV
487
67 PROF=SB
Raíz cúbica de, 4. Estamos ?
Claro primero hay que fijarse si tengo factor común para poder, simplificar más. O má bien factorizar la
expresión completamente y después de ahí pues busca a ver cuál fórmula es la que me va a funcionar. Si ? Ok.
Entonces en su práctica tienen ahí la página seis, diferencia de cuadrados, diferencia y suma de cubos, creo que
es, verdad ? Entonces, va a empezar a trabajar con eso y vamos a agregar un punto cuatro. Ahí decía punto dos,
punto tres. Dos y tres dice verdad, en la página seis. Punto dos diferencia de cuadrados, punto tres diferencia de
cubos y suma de cubos, mm ? Eso para trabajar con la fórmula tres y luego trabajar con la fórmula siete y ocho.
Si ? Ahora necesito agregar el punto cuatro
6) x²+x+ 1
que es la de trabajar con la fórmula uno y la IV. 1) 9a²+6a+1
4
fórmula dos. Lo agregamos, ya sea en el
2)
a²-4a+4
7)
a²-0,5a+0,0625
cuaderno o ya sea aquí mismo, en la hojita
3) x²-10xz+25z²
8) –2a²b3c+a4b6+c²
(16’01. Mientras que los estudiantes hacen
4) –4a²+12ac-9c²
9) (a+b)²-2c(a+b)+c²
la práctica, P llama para firmar las tareas.
10) –16x²+40xy-25y²
5) z8+2z4+1
44’12).
Al inicio de sesión P entrega los primeros exámenes parciales del primer trimestre. Se dicen las respuestas de las dos primeras secciones
(marque con x, complete) y P pregunta si algún estudiante tiene dudas en la parte de desarrollo. P comenta los errores más frecuentes en
esta última sección.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
488
PROF=SB
(00’05) Ok, quedamos en la práctica que estaban haciendo, verdad en grupos. Eso es lo último que tienen que
tener de factorización (P corrige un error de conteo de puntos en el examen de una estudiante. 02’36). Muy
bien, teníamos este cuadro aquí. Fíjense en el cuadernito para que todos estemos hablando de lo mismo.
Estábamos viendo métodos de factorización. Iniciamos con factor común, luego hicimos factorización y luego
hicimos fórmulas notables. Hasta ahí. Bueno ahí tienen las prácticas, lo último que hicieron fue la práctica que
tienen en la fotocopia. Cierto ? Ok, entonces vamos a seguir factorizando polinomios, igual, solamente que con
otros métodos de factorización. Entonces, factor común es el primero, agrupación y fórmulas notables, seguiría
el método número … cuatro. A ese método, vamos a llamar inspección (P escribe en la pizarra:
« Factorización. 4.Inspección »). Sería número cuatro, verdad. Entonces voy a poner un ejemplo y ustedes me
dicen qué podemos hacer con este polinomio (comentarios de estudiantes sobre otro tema extraclase. P escribe:
x²-x-6). x a la 2, menos x, menos 6. Lo puedo hacer por factor común esto ?
E
No
PROF=SB Por qué no ?
E=(E)dwin Porque no tiene nada en común (inaudible para la profesora)
E=1
Porque no tienen nada (que ver).
PROF=SB Bueno porque no tienen factores en común. Puedo hacer agrupación ahí ?
E=E
Menos !
E=1
No
PROF=SB Por qué no puedo hacer grupos ?
E=(C)arlos No se puede.
PROF=SB Por qué no ?
E
(algunos estudiantes dan su respuesta al mismo tiempo, murmuros inaudibles) Serían dos y ya.
PROF=SB Porque me quedan dos y uno ? Bueno…porque, bueno en realidad porque no nos va a quedar nada en común
verdad. Nada en este caso, por decirlo así. Bien ahora ? Será una fórmula notable esa ?
E=E
No
E=C
Puede ser
PROF=SB Por qué no es fórmula notable ?
E
Porque… el término del centro …
PROF=SB Por el término del centro ?
E=C
(algunos estudiantes dan su respuesta al mismo tiempo, murmuros inaudibles) Porque el término del centro no
es dos veces el primero por el segundo.
PROF=SB Hay varias razones, verdad. Cuál es una de ellas verdad, el término del centro… qué más ? Sólo por eso ?
E=C
Di no sé, porque no se puede sacar nada más a factor.
E=(J)ose
Profe el primer término está elevado elevado a la 2.
PROF=SB Ah ?
E=J
El primer término no está elevado a la 2.
PROF=SB El primer término está elevado a la 2, por eso no es fórmula notable (varias respuestas a la vez, todas negando
la afirmación anterior. Inaudibles). Por eso, lo que yo necesito que me digan es si esto lo puedo hacer por
fórmula notable.
Es
No
PROF=SB No, ahora díganme por qué no.
E=C
Porque el término del centro no es, dos veces el primero por el segundo.
PROF=SB Solo porque el del centro no es el doble del primero por el segundo ?
E=C
Di si, por qué más ?
PROF=SB Es la única razón ?
E=C
Porque el 6 no es cuadrado perfecto.
E=E
El seis no es cuadrado perfecto (podría ser inaudible para la profesora).
PROF=SB Quién tiene que ser cuadrado perfecto ?
DsD
DsD
DsD
DsD
DsR
DsR
DsR
DsD
DsR
DsR
35
36
37
E=E
E=C
PROF=SB
38
39
Es
PROF=SB
40
41
42
43
44
Es
E=E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
45
46
47
48
49
50
51
E
PROF=SB
E=C
E=J
PROF=SB
E=C
PROF=SB
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
E
PROF=SB
E=E, Es
PROF=SB
E=E, Es
PROF=SB
E=J
PROF=SB
R=J
PROF=SB
72
73
74
75
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
76
77
78
79
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
80
81
Es
PROF=SB
Los extremos (podría ser inaudible para la profesora).
6 también
Y además por este signo no ? (E=E: « Y por el signo ») Bueno si lo estás tomando como menos 6. Muy bien,
entonces aca necesito conocer. Bueno entonces aca, necesito conocer el otro método, para poder trabajar, para
poder hacer la factorización. Eso lo voy a poder factorizar por medio del método de inspección. En qué consiste
ese método. Yo voy a buscar dos expresiones que multiplicamos me den x a la 2. Y dos numeritos o
expresiones, que mutiplicadas me vayan a dar menos 6. Cuáles puedo poner aca ?
x por x.
Muy bien. x por x es x a la 2. También pude haber puesto x a la 2 por x que igual va a dar x a la 2, o no ? Ok
ahora aquí, dos expresiones o números que multiplicadas den menos 6.
Menos 2 por 3.
Menos 2 por menos 3.
Ok puede ser menos 2 por 3.
Menos 2 por menos 3 es 6.
Menos 2 por 3, me va a dar menos 6, está bien. Y si lo escriben como, qué me dijeron también ? 2 por menos
3 … 2 por menos 3 también es menos 6. También. Qué más me da 6 ? Qué más puedo poner ahí que me dé
menos 6.
6 por 1
6 por 1 ?
Menos 6
Menos 6 por menos 1 ;
6 por 1 me da 6, no me da menos 6 (P habla al mismo tiempo que C y J). Menos 6 por uno me da menos 6.
Y 6 por menos 1.
Bueno, o 6 por menos 1. Muy bien… o menos 1 por 6; ok, está bien. Todos esos me van a dar menos 6, pero
ahora entonces, cuáles dos es el que me sirve, cuáles dos es el que me conviene. Además de escribir esto, ahora
necesito hacer una multiplicación en cruz (07’20). Digamos este x por este 3 y este x por este menos 2, los sumo
y me tiene que dar el término del centro (murmuros de estudiantes, se interpretan como incertidumbre por lo
que acaba de decir P). Entonces vamos a ver, una x por 3, cuánto me va a dar?
3x
3 x. Más, una x por menos 2 ?
Menos 2 x.
Menos 2 x. Cuánto me está sumando esto ?
x
Una x verdad. 3 x más menos 2 x, eso me va a dar, una x.
Pero es menos x.
Pero me tiene que dar ?
Menos x.
Menos x. Quiere decir que estos dos factores, a pesar de que si me dan menos 6, no me sirven para efectos de
toda la expresión, verdad. Entonces, este ya no me sirvió. Servirá éste mejor?
Si.
3 por, perdón, x por menos 3, sería?
Menos 3
Menos 3 x (08’09), más x por 2 ? 2x. Cuánto me estará dando menos 3 x más 2 x.
Menos x
Menos una x. Efectivamente, el término que necesito ahí en el centro. Estamos ?
Por qué tan difícil profe?
Ah?
Por qué tan difícil?
Nombres! Es facilísimo ! Lo que pasa es que necesita saberse las tablas y necesita saber, digamos como quien
dice, la condición. Además de que uno multiplique y me dé menos 6. Además tengo que multiplicar en cruz y
que me dé esta, verdad. Muy bien entonces, cuáles ya… menos 6 y 1 ya no nos van a servir y éste que ya lo
habíamos tachado. Cómo voy a escribir ahora yo los factores. Los factores ahora los voy a escribir así,
horizontalmente (P hace un gesto con la mano moviéndola horizontalmente sobre el «renglón » al que se
refiere), tal como le quedó a usted sus rengloncitos verdad. Este es un renglón y este es otro renglón. Los
factores para esa, para esa factorización serán, x más 2, por x… más menos 3, que sería x… menos 3. Se supone
que si yo multiplico x más 2 por x más/ x menos 3, eso me tiene que dar cuánto ?
Menos x
x a la 2, menos x menos x. Será cierto eso ?
Si
Lo podemos corroborar para que usted lo... se dé cuenta de que estamos poniendo los factores correctamente.
Sería, x por x cuánto me da ?
x a la 2
x por menos 3 ?
Menos 3 x
Menos 3 x verdad. 2 por x ? Menos 2 x. Y 2 por menos 3 ? Menos. Perdón 2 x aquí. x a la 2, menos 3 x más 2 x,
cuánto me da eso ?
Menos x
Menos una x, y el menos 6, efectivamente este polinomio es este mismo, o no ? Si ? Claro no nos vamos a poner
a multiplicar cada vez que los encontremos. Se supone que si nosotros cumplimos aquí con las reglas, de que
multiplicados me den x a la 2 y de que multiplicados me den este menos 6, y en cruz me dé este del centro, no
hace falta de que nos pongamos a multiplicar para corroborar. Entonces, cuántos factores obtuve de la
ReH
DsR
489
82
83
84
85
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
86
87
88
89
90
91
92
93
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E=J
PROF=SB
E=C
PROF=SB
94
95
E=E
PROF=SB
96
97
98
99
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
100
101
102
103
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
104 Es
105 PROF=SB
106
107
108
109
110
E
E=E
PROF=SB
Es
PROF=SB
111 E=E
112 PROF=SB
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
129 Es
490
factorización completa ?
2
Cuáles son ?
Factorización
4. Inspección
x más 2 y x menos 3.
Ejemplo 1) x² – x – 6 = (x+2)(x-3)
x más 2 y x menos 3. Muy bien, dejemos ese como primer ejemplo.
x
-2
2 -6 6
Veamos un segundo ejemplo, para que Jose quede un poquito más
•
•
x
3 -3 1 -1
convencido, x a la 2, menos x menos 12 (10’48. P ha escrito, x²-x+12)
x²
-6
Necesito buscar productos, o sea una multiplicación que me dé ese
trinomio. Entonces factor común ?
3x+-2x -3x+2x
No, no tiene.
No puedo. Fórmula notable?
x
-x
Menos, inspección.
Ni sacándole un menos, o si ? Puedo sacar el menos y hacer una fórmula notable ? No verdad, por qué no ?
Había que tener un cuadrado
Bueno ok.
(el del centro y después…)
Ok, entonces tengo que hacer inspección. Cómo lo hago ? Dos expresiones que multiplicadas me den x a la 2. Y
dos que me den, menos 2. Entonces eso si, el que yo ponga aca multiplicado por éste, y el que yo ponga aca
multiplicado por éste, cuánto me tiene que dar ?
Menos x
Menos x. O sea menos una x. Entonces cuáles son los que voy a poner ahí ? Cuál es el…. (comentario de un
estudiante, inaudible) Para que me dé x a la 2, quiénes son ?
x por x.
Bueno, ok. Para que me dé menos 12 ?
3 por menos 4 (otros estudiantes dicen su respuesta, inaudible), 3 por menos 4.
3 por menos 4, menos 4 por 3, 6 por menos 2, menos 6 por 2. Todo eso me da 12, o no ? Pero cuál de todos esos
es el que me sirve?
3 por menos 4 (también se escucha como respuesta: « menos 4 por 3 »).
3 por …
Menos 4
Menos 4. 3 por menos 4, menos 12. Está bien, verdad. Ahora multipliquemos, x por menos 4 ? Menos 4 x. x por
3 ?, 3 x. Si ? Ahora, menos 4 x más 3 x, cuánto me está dando esto ?
Menos x
Menos … x. Muy bien, menos x. Efectivamente, el término del centro me está dando menos x. Entonces,
quiénes son los factores ?
x menos 4
x más 3
x más 3… x más 3 por ?
x menos 4.
x menos 4. Si usted dijo, usted pudo haber escrito así también, menos 4 por 3, verdad, no importa. Menos 4 por
3 me va a dar menos 12 y a la hora de hacer el producto en cruz igual me da. Entonces cómo le van a quedar los
factores ? x menos 4, por x… más… 3 (estornudo de estudiante, varios « salud »). Estamos deacuerdo con eso ?
Si.
Ya ahora si más o menos, Jose? Claro hay que saberse las tablitas. Este
2) x² – x – 12 = (x+3)(x-4)
método también, aveces hay algunos textos que lo llaman, métodos del
x
3
tanteo. O bateo si quieren también ponerle. Voy a ir a batear o a tantear para
•
•
x
-4
ver cuál de esos me sirve para que me calce con las condiciones que me están
x²
-12
pidiendo. Ok, veamos otro ejemplito aca (estornudo de estudiante, varios
« salud »).
-4x+3x
(14’01) x a la 2, más 7 x más 6 (x²+7x+6). Entonces dos términos que
-x
multiplicados me den x a la 2 y que sumados me den 6 (5s), pero que
sumados me den 7 (10s). Ok, qué me dicen ? Aquí me tiene que dar x a la 2 y aquí me tiene que dar 6. Y
multiplicado en cruiz, sumados, cuánto tiene que dar ?
7x
7 x. Entonces, qué pongo ?
6y1
Aquí, aquí.
xyx
Ok, x por x, x a la 2.
Profe, usted ahorita había dicho que era lo mismo también x a la 2 por x.
Ajá
Es lo mismo que x a la 2, x a la 2 por x.
No, no por 1.
Ajá
x a la 2 por x le va a dar x a la 3, no ?
Ajá por eso me quedé…
Ok. Ahora si el 6 ?
6 por 1.
Qué me sirve poner en 6 ? para dos factores, o sea dos términos que multiplicados me den 6 ? Será otra vez así
como 3 por 2 ó 2 por 3 ?
No
Pr
Pr
DsD
ReH
130
131
132
133
134
135
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
Es
PROF=SB
136
137
138
139
140
141
142
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E
E=C
PROF=SB
143 E=J
144 PROF=SB
Si porque multiplicados 3 por 2 me dan 6, pero… cuál es el pero ?
Yo opino que sea 1 por 6.
Que sumados no me van a dar 7 y me tiene que dar 7. Entonces cuáles son esos factorcitos ?
1 por 6
6y1
Ok, 1 por 6 ó 6 y 1. No hay problema en este caso, no hubo problema. Ok muy bien, entonces cuáles son los
factores? Bueno probémoslo. Una por x? Una x, y x por 6 ? 6 x. Una x más 6 x me están dando?
7x
7 x, justamente el término que necesito que me dé en el centro.
Estamos volando.
Estamos … entonces cuáles son los factores ?
x más 6 y x más 1
Va ver y en el otro examen, otro 68.
x más 6 por x más 1. No por qué ? En el otro examen le damos vuelta a ese 68. Si, nos sacamos un 86, y en el
otro ya el 100.
Siga soñado profe.
Por qué? (16’25. reacciones por el comentario de E=C).
3) x² + 7x + 6 = (x+6)(x+1)
Ok, 6 x a la 2, más x menos 2. 6 x a la 2, más x menos 2 (P escribe en la
x
6
•
•
pizarra: 6x²+x-2). Vamos a ver (12s). 6 x a la 2, más x menos 2. Vean que en
x
1
los ejemplos anteriores, el x a la 2 era nada más x por x, porque di, x por x, x a
x²
6
la 2, me daba una x a la 2. Ahora tiene que dar, 6 x a la 2.
x+6x=7x
145 E=C
146 PROF=SB
147
148
149
150
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
151 E=C
152 PROF=SB
153 E=C
154 PROF=SB
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
Es
E=C
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
168 E=C
169 PROF=SB
170
171
172
173
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
174
175
176
177
E=1
PROF=SB
E=1
PROF=SB
3 x, menos 3
Entonces otra vez tengo muchas opciones. 6 por una, una por 6, 3 por 2, 2 por 3, verdad ? Cuál será el que me
sirve. Al otro lado me tiene que dar menos 2 y además multiplicados me tienen que dar… uno.
6 por 1
Será 6 por 1.
Tanteemos
Tantiemos… Aquí me tiene que dar 6 x a la 2 y aquí me tiene que dar menos 2. Y al multiplicar así en cruz,
sumados me tiene que dar una x, positiva. Será, 6 x por x ? 6 x por x me da 6 x a la 2, está bien. Pero …
6 por x a la 2?
6 por x a la 2 ! (algunos estudiantes dicen su respuesta) Bueno 2 x, o 2 por 3, cómo me dicen ? Si yo escribo 2
por 3, efectivamente me da 6, pero me tiene que dar 6 x a la 2.
2 x por 3 x.
Ah bueno, 2 x por 3 x. O 3 x por 2 x, verdad, dependiendo de lo que vaya a ser ahí. Ahora si. Del otro lado me
tiene que dar menos 2 (algunos estudiantes dicen su respuesta). Puede ser menos 1 por 2, 2 por menos 1, 1 por
menos 2. Cómo lo acomodo ?
Menos 1 por 2.
Yo opino/
Menos 1 por 2. Vamos a ver. Menos 1 por 2, cuánto me va a dar ?
Menos 2.
Menos 2, ahí no hubo problema, ahora si, hagamos el producto en cruz a ver qué pasó. 2 x por 2 ?
4x
4 x, más, 3 x por menos 1 ?
Menos 3
Menos 3 x. Cuánto me da, cuánto me da esa suma ?
Una x.
Una x. Positiva verdad, que era la que ocupaba. Una x. Muy bien, muy bien, entonces cuáles son los factores ?
2 x menos 1, 3 x más 2 (P los escribe en la pizarra).
2 x menos 1 por ? 3 x … más 2 (20’01).
4) 6x² + x – 2 = (2x-1)(3x+2)
Ok, estamos ? Vamos a ver (P lee en voz alta, para ella, el siguiente
2x
-1
•
•
ejercicio que escribirá. E=C hace un comentario sobre la última
3x
2
factorización). Estos fueron los que yo acomodé, y los leo así,
6x²
-2
horizontalmente, entonces sería 2 x menos 1 y 3 x más 2. Si usted escribió
4x+-3x
aquí primero, 3x por 2x, igual le va a dar 6 aquí, pero tenga cuidado cuando
x
acomodó esto (P mira en unas hojas el ejercicio que escribirá). Menos 8x y
más, 3 y a la 2. Ya ahí aparecen dos variables (P llama la atención a E=C). 5 x a la 2, menos 8 x y más 3 y a la
2. Vamos a ver qué me dicen que haga (21’30. Suena el timbre). Qué pongo ? No saben ? No cuánto/ dos
números que le den 5 x a la 2 ?
x por 5 x.
5 estaba fácil, cuáles son los factores del 5 ? 5 por una o una por 5, verdad. Eso ya, depende de lo que vayamos
a poner del otro lado. Entonces, dos expresiones que multiplicados me den 5 x a la 2, cuáles son ?
5 x por una x.
5 x por una x. O una x por 5 x, será? Igual me va a dar 5 x a la 2 o no?
Si
Ahora, tengo que tener cuidado al otro lado cuando venga a decir 3 y a la 2. Además, cuando multiplico me
tiene que dar menos 8 x y.
Menos 3 y, menos y.
Menos…
3 y, menos y.
Menos 3 y, así ?
Pr
Pr
491
178 E=1
179 PROF=SB
180
181
182
183
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
184
185
186
187
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
188
189
190
191
E
PROF=SB
E
PROF=SB
192 Es
193 PROF=SB
194
195
196
197
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
198 E=E
199 PROF=SB
200
201
202
203
E=E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
204 E
205 PROF=SB
206 E=C
207 PROF=SB
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
E=C
PROF=SB
Es
E=E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Menos y
Y menos una y, verdad, así. Entonces menos por menos me está dando más verdad, tres por una tres. y por y, y a
la 2, está bien. Ahora comprobemos el producto cruzado. 5 x por menos y, cuánto le queda eso ?
Menos 5/
Menos 5 x y. Una x por menos 3 y ? Menos 3 x y. Cuánto cuánto da eso?
Menos 8 x y
Menos 5, menos 3 me quedan menos 8 x y. Efectivamente el término del centro que ocupábamos. Muy bien.
Entonces, cuáles son los factores ahí ?
5 x menos 3 y, y x menos y.
5 x menos … 3 y. Eso sería aquí como, en el primer renglón. Y el segundo factor ?
x menos y.
x menos ? … si estamos deacuerdo ? Ahora sí ? O todavía más o menos ?
5) 5x² -8xy+3y² = (5x-3y)(x-y)
Están concentradísimos todos ya (P comenta lo callados que están los
5x
-3y
•
•
estudiantes).
x
-y
Ok, veamos otro ejemplo por ahí (23’53). A ver qué hacemos. 12 x a la 2
5x²
3y²
menos 36 ... 12 x a la 2, más..., perdón menos, 36 x más 24. 12 x a la 2
-5xy-3xy=-8xy
menos 36 x, más 24. Vamos a tratar que eso nos quede, totalmente
factorizado. O sea que todos los factores que encontremos, ya no se
puedan factorizar más (25’29). Qué hago, cuáles son los factores ?
Hay que sacar factor común.
Hay que sacarlo desde el principio ?
No se …
O no ? Dice Melany que saquemos factor común desde el inicio. O no ? Será mejor trabajar con 12, menos 36 y
24, que trabajar con algunos números menores que esos ? (comentarios de estudiantes). Es mejor verdad ?
Bueno, entonces quién será el factor común ahí? Entre 12, 36 y 24 sería ?
12
12. Ah bueno entonces yo primero, voy a sacar aquí un factor común que se llama 12. Entonces qué me va a
quedar ? Una x a la 2 menos, 36 entre 12 ?
3
3 x más ? 24 entre 12 ?
2
Eso sería una de las factorizaciones, yo lo que hice fue sacar factor común y me quedó, 12 por ? x a la 2, menos
3 x más 2. Muy bien, ahora si, este trinomio que tengo aca, lo voy a factorizar por inspección. Si ? Voy a buscar,
dos expresiones que multiplicadas aquí me den x a la 2, y dos que me den 2. Entonces aquí me dicen x por x, y
aca qué hago ?
Menos 1 por 2 (otros estudiantes intervienen, inaudible)
Multiplicados me tienen que dar eso sí, menos 3, verdad ? Multiplicado y sumado, esto me tiene que dar menos
3 x.
Menos 1 por 2
Menos 1 por 2 ?
Ajá
Entonces yo digo, menos por menos da más, 1 por 2 da 2. Ahora comprobemos el producto cruzado. Una x por
menos 2 ? Menos 2 x. Una x por menos una ?
Menos una/
Menos una x. Menos 2 x, menos x ? (27’31) Menos 3… x. Menos 3 x, entonces estamos bien. Cuáles son
entonces los factores, ya de la factorización completa ?
12 x más 1 x.
Muy bien, el 12 que habíamos sacado de factor común, no lo podíamos dejar botado verdad ? Igual lo ponemos,
es nuestro primer factor. 12 por …
6) 12x² -36x+24
x más 1, eh digo x menos 1.
12(x² -3x + 2) = 12(x-1)(x-2)
Y ahora escribo los factores que obtuve de esta inspección, cuánto sería ?
x
-1
x menos 1
•
•
x
-2
x menos 1 y x menos 2
x²
2
x menos 1
-2x-x
Y x menos 2
Y x menos ?
-3x
2
Cuántos factores obtuvimos, de esa factorización completa ?
3
Muy bien, muy bien. Estamos … volando como dijo Carlitos. Bueno entonces vamos a escribir aquí algunos,
ejercicios en los que usted tendrá que, revisar ahí a ver. Ya, si ? (comentario de un estudiante) Ya está cansado.
Entonces lo que vamos a hacer es factorizar, factorizar completamente los siguientes polinomios (28’44. P no
escribe la instrucción. El resto de la lección, los estudiantes avanzan en la resolución de la práctica.).
Ejercicios
1) x²+11x+30, 2) x²+14x+45, 3) x²+x-2, 4) 2b3-8b²-10b, 5) 2x²+10x+12, 6) x²+5xy+6y², 7) 5c²-25c+30, 8) 18+7y-y², 9) 2x²-x-3
10) 6x²+9x-6, 11) 32-12z+z², 12) 21-4x-x²
492
DsR
Pr
Pr
DsR
Sesión adelantada. Los estudiantes debían traer los ejercicios de la sesión anterior terminados. P pregunta si se tienen dudas de algún
ejercicio y realiza en la pizarra aquellos que los estudiantes le indican.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
PROF=SB (00’01. El polinomio que P factoriza en la pizarra es: 6x²+9x-6) Ya arreglamos el problema de signos. Yo me fijo y veo
que todos tienen factor común, entonces qué hacemos, qué hacemos? Tres por (puede ser que P haya escrito algo en la
pizarra. C hace comentarios) 3 x. Ahora, ya teniendo el factor común entonces aquí con la inspección qué voy hacer?
Ok aquí me tiene que dar 2 x a la 2, y aca me tiene que dar menos 2, entonces?
E
2 x por 1
E=(C)arlos 2 x por x
PROF=SB Por x, ahora me tiene que dar menos 2
E=C
Menos 1
PROF=SB Pero al cruzarlo me tiene que dar 3 positivo
E
Menos 1 por 2
PROF=SB Aquí menos 1, por 2. Ok vamos a ver, 2 por 2. 2 x por 2?
E
4
PROF=SB (01’00) 4 x. Y x por menos 1?
Es
Tres!
PROF=SB Entonces, efectivamente 4 x más menos 1 x serían?
Es
3x
PROF=SB Ok entonces factorización, aquí quién sería el primer factor?
Es
2 x menos 1
PROF=SB 2 x menos 1, muy bien. Por?
Es
x más 2 (P llama la atención a C)
PROF=SB Doce verdad me dijeron que no salió (El polinomio 12 a factorizar es: 21-4x-x². Un estudiante lo dicta). Muy bien
entonces qué hicieron? Qué multiplicamos aca?
E
3 por 7
PROF=SB (02’00) Ah muy bien, 3 por 7, efectivamente eso me va a dar 21. Y aca?
Es
Menos x por x
PROF=SB Así menos x por x? O x por menos x, cómo pongo?
Es –
Menos x por x!
mayoría
PROF=SB Si ya pusimos aquí 3 por 7, aquí vamos a tener que poner menos x por x. Si escribimos aquí primer 7 por 3/
E
Ah ese fue mi error!
PROF=SB Entonces aquí sería?, x por menos x. Porque me tiene que dar menos 4 verdad. Entonces 3 por x? Tres x. 7 por menos x?
Es
Menos 7 x
PROF=SB Menos 7 x. Entonces 3 x menos 7 x efectivamente menos 4 x. Entonces cuáles son los factores? (inaudible). No así, 3
menos x por?
E
7 más x
PROF=SB 7 más x. O escriben menos x más 7 por?/ Perdón menos 7/ menos x más 3, por x más 7, es lo mismo verdad? (03’00).
Eso no va a cambiar. Qué otro no pudieron hacer? (comentarios) Cuál fue el error ahí?
E1
Que puse, que no me fijé que era menos 2, entonces yo creí que era positivo y puse menos x, menos x.
PROF=SB Que no vi que era menos 2?!!
E1
Que no vi que era menos x a la 2
PROF=SB Cómo les fue con la corrección del examen?
E
Bien (otros también contestan. Luego pregunta con la firma cómo les fue)
PROF=SB Ok hagamos la potencia que dicen que no pudimos hacer. Potencia ... (04’00). Menos 2 sobre 4 y? (La operación a
5 6
simplificar es ⎛⎜ − 2m x ⎞⎟
⎜ 4m 3 x − 2 ⎟
⎝
⎠
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
−2
3
. P la copia).
PROF=SB Entonces la recomendación que hicimos fue primero simplifique lo que está dentro del paréntesis. Entonces tratemos de
simplificar esto, sería, menos 1 medio. m a la 2 entre m a la a 3?
E
m a la 2
PROF=SB m a la 2. x a la 6 entre x a la menos 2 eso me daría? 6 menos, menos 2 eso me da 8, no? Todo esto hay que elevarlo a la
menos 2? Tercios. Entonces, si yo quiero quitar este menos primero porque (05’00) la gran mayoría no quiere trabajar
con ese exponente, entonces qué hacemos?
E=(E)dwin Se le da vuelta
PROF=SB Entonces nos está quedando, menos 2 sobre 1 m a la 2, x a la 8 y todo esto ahora si lo vamos a elevar a la? 2 tercios ya
positivo. Ahora este 2 tercios, en qué lo vamos a pasar?
E
Una raíz
E2
Ese menos 2 no se puede quitar?
PROF=SB Ese menos es el del menos un medio que había ahí.
E2
No se puede quitar?
PROF=SB No, no los podemos quitar, porque yo lo único que hice fue darle vuelta ahí (inaudible lo dicho por un estudiante). Ah
muy bien entonces sería, raíz... qué?
E
Cúbica
PROF=SB Cúbica de menos 2 sobre m a la 2, x a la 8 todo, a la? 2 Si. Entonces ya ahora si hagamos esto. Raíz cúbica de, menos 2
a la 2?
4
E
PROF=SB 4. m a la 2 a la 2? m a la 4. Y x a la 8 a la 2?
493
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
E
x a la 16 (06’00)
PROF=SB x a la 16. Ahora tratemos de simplificar algo, osea de sacar cosas de la raíz. Ya 4 no lo vamos a poder factorizar más
que 2 a la 2, osea no sale nada. Pero digamos m a la 4, qué puedo escribir aquí yo?
E
m a la 3 por m a la 1
PROF=SB m a la 3 por m a la 1, si o no? Y en m/ x a la 16 qué hacemos?
E
(inaudible)
PROF=SB x a la 15 por x a la 1! Para qué x a la 15, porque 15 ya... ese 15 es un factor del 3. Y... un múltiplo del 3. Ok, entonces
qué me está quedando? Sale un m, verdad? Pero adónde? En el denominador, entonces sería 1 sobre m. Y sale 15 entre
3? 5, entonces me va a salir un x a la 5. Qué me quedó dentro del radical?
E
Una m y una x
E
4
PROF=SB 4 (07’00), sobre? Una m y una x, ese era nuestro resultado (I, comentarios de E sobre la dificultad del ejercicio,
“facilísimo”. C pregunta algo, inaudible, 08’00).
Entonces mientras que pongo el revisado de la corrección del examen, vamos a hacer los ejercicios. Obviamente igual,
de factorización, pero ahora vamos a factorizar ya revuelto ah! Puede ser que hagamos una... agrupación y ahí haya una
inspección y un factor común, digamos. Perdón y luego tal vez haya, una agrupación, hay fórmula notable, hay
inspección y después factor común. Ya como quien dice todo, un poquito más revuelto. Entonces escribamos ahí, eh...
factorice completamente (10’22 fin de la grabación).
Al terminar la corrección, P copia 5 factorizaciones más para realizar combinando los métodos.
Factorice completamente: 1) 3x4-3x3-60x², 2) 2z6+3z3y-5y², 3) x4-y4, 4) 81x8-1, 5) a²+ab-2b²+2a-2b
Los estudiantes no habían terminado de realizar la práctica asignada como tarea la sesión anterior. Trabajan unos minutos en ello.
Revisión de ejercicios, varios estudiantes van a la pizarra a escribir sus procedimientos, P revisa lo escrito.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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22
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26
494
PROF=SB (01’52) Hei vean qué pasó con la tres que dicen que no la entendimos? Qué es esto? Diferencia de?/ Será inspección
esto, se puede hacer por inspección?
E
(02’00) Nooo...
PROF=SB No verdad, entonces qué es? Qué fórmula notable voy hacer ahí?
E
La tercera
PROF=SB Diferencia de cuadrados. Entonces cuál será la primera. La primera parte? x a la 2 menos y a la 2 por? x a la 2 menos
y a la 2. Si o no? Pero eso sería una. Puedo seguir o no puedo seguir?
E
Si
PROF=SB Puedo seguir! Porque vean que aquí aparece un y a la 2 menos/ Perdón x a la 2 menos y a la 2. Cuál sería esa? Cuál
sería esa factorización?
E1
Toma x menos y
PROF=SB x menos y.
E1
Por x más y
PROF=SB Ok. Y qué hago con la suma? Qué hago ahí lo mismo? Hago lo mismo con ésta? (comentario inaudible de E1). Con
esta quedo aquí ya (...) Muy bien. Ok vamos a ver la primera entonces, dice (03’00) Edwin que le quedó? El 3 x a la
2 lo sacó a factor común. Entonces le quedó 3 x a la 2 por, x más 4 por x menos 5. Ahí sacó factor común y luego?
Inspección. Luego inspección. Ahora en la dos, solamente hay inspección. Está bien. Multiplicados me dan menos 2
z a la 2, menos 5 y a la 2, menos 2 más 5 me quedan 3, está bien. Bueno la tres está ahí ya hallamos los factores: x
menos y por x más y, x a la 2 más y a la 2. Y la cuatro? Quién hace la cuatro? (P) La cuatro es diferencia de
cuadrados * (04’00, le dictan a P el polinomio. Pasa un estudiante a hacerla)
PROF=SB Son cuadrados verdad esos. Diferencia de cuadrados (...., 05’00, ...). Está bien hasta ahí? O faltará algo más?
E
Se puede sacar factor común?
PROF=SB Se puede sacar factor común? A dónde? (el estudiante que preguntó contesta algo, inaudible)
DsR
PROF=SB No recuerde que factor común es algo que se repite en toda la expresión, verdad. Entonces aquí yo tengo 3 x a la 2
menos 1, qué se repite aquí?
Es
Nada
PROF=SB Nada. 3 x a la 2 más 9, qué se repite aca? Eh perdón, más 1, qué se repite aca?
Es
Nada
PROF=SB Y aquí, 9 x a la 4 más 1, qué es esto? Qué hay de común ahí?
E
Nada
PROF=SB Aquí lo que me hace falta es terminar de hacer esa factorización de diferencia de cuadrados, ésta. O no? Cómo me
quedaría esta factorización? (06’00, ...) Cómo me quedaría la factorización de esa diferencia de cuadrados? 3 x a la
2 menos 1. Porque hay que factorizar completamente verdad? (un estudiante contesta, inaudible)
PROF=SB Muy bien. Muy bien, entonces sería, x raíz de 3 menos 1, por x raíz de 3 más?
E
1. Y las demás?
PROF=SB Ya las demás no las podemos factorizar porque efectivamente tenemos sumas de cuadrados verdad, y ya la sumas de
cuadrados no se pueden factorizar. O sea no por lo menos con los métodos que conocemos. Si?
E
Profe, para qué hay que hacer eso?
PROF=SB Di es la factorización completa. Eso es una diferencia de cuadrados, o no? Claro lo que pasa es que cuando yo
extraigo la raíz cuadrada de 3 x a la 2, qué va a pasar con eso? (07’00). Digamos cuando hicimos éste, cuando
27
28
E
PROF=SB
29
30
E
PROF=SB
31
32
E
PROF=SB
33
34
E
PROF=SB
35
36
E
PROF=SB
37
38
E
PROF=SB
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40
41
42
E2
PROF=SB
E2
PROF=SB
43
44
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47
48
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
49
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51
52
E
PROF=SB
E
PROF=SB
53
54
55
56
E
PROF=SB
E
PROF=SB
57
58
E
PROF=SB
59
60
61
62
E
PROF=SB
E
PROF=SB
hicimos éste de aquí a aquí, o digamos lo que hizo el compañero, digamos de aquí a aca, qué fue lo que hizo?
Extrajo raíz cuadrada de esto y raíz cuadrada de esto, si o no? Que fue donde nos quedó, 9 x a la 2 menos 1, y 9 x a
la 2 más 1. Después volvió a sacar raíz y usó diferencia de cuadrados. Entonces le quedó ese y le quedó este.
Entonces de éste yo puedo extraer otra factorización de diferencia de cuadrados. Si o no? Lo que pasa es que cuando
yo extraigo la raíz cuadrada de 3 x a la 2, qué va a pasar? Sale la x, pero?
Raíz de 3
Raíz de 3. Que no va a ser exacta, no vamos a tener el valor ahí. Muy bien. Y la... cinco? La cinco era de agrupación
o algo así? Qué era qué dice? (le dictan a P la cinco: a²+ab-2b²+2a-2b. Verifican, 08’00). Muy bien, entonces? Qué
puedo usar ahí para hacer eso? Por donde puedo empezar para empezar digámosle. Puedo sacar factor factor
común?
No
En toda la expresión no. Si? Puedo usar inspección ahí? Tengo cinco términos, la inspección la puedo usar cuando
tengo cinco términos?
No
Ok (09’00). Fórmula notable? No verdad. Evidentemente, así como está no. Entonces voy a tener que agrupar.
Ahora si, qué agrupo?
Las ases
Las ases... Las a y aquí dejo las b, digamos. Osea agruparíamos a a la 2, más a b más 2 b/ digo más 2 a, perdón.
Más y dejo esas 2 b ahí. Del primer grupo qué va a salir? La a porque por eso fue que lo agrupamos no? Le saco la a
y me queda a más b más 2. Más? Y aquí puedo sacar un menos 2 b y me va a quedar b más 1. Y ahora? Qué hay de
común en esas cosas? (10’00) Osea no hice nada con ese grupo, o si? Yo lo hice, saqué factor común pero de toda la
expresión? Tengo algo en común de toda la expresión? No verdad! Ok entonces esos grupos no me servían. Qué
otros grupos me pueden servir ahí (...) Ahí obviamente se trata de que usted pruebe. La idea era que lo hicieran, que
trataran de hacerlo, verdad (P les llama la atención en general por no haber hecho el trabajo). Entonces vean lo que
vamos hacer ahí, vamos a agrupar los tres primeros, vamos a agrupar a a la 2 menos a b menos b a la 2 (11’00).
Más, y agrupamos los otros dos, menos 2 a, menos 2 b. Ahora si, de los tres primeros qué puedo hacer? Con estos
tres.
Inspección
Inspección claro! Y fórmula notable no es o si? No ni que porque saquemos un menos a factor común, ni porque
acomodemos los términos, no hay fórmula notable. Tengo que hacer inspección. Entonces, qué voy a decir aca? Dos
expresiones que multiplicadas me den a a la 2 y dos que multiplicadas me den menos b a la 2. Pero a la hora de
multiplicar en cruz, qué me tiene que dar? Un a b, verdad positivo. Entonces qué ponemos aca?
a por a
a por a. Muy bien. Y ahora cómo acomodo el 2 b a la 2 para que a la hora de multiplicar en cruz me vaya a dar un a
b?
2 b, menos b (12’00)
2 b por?
Menos b
2 b por menos un b sería, si? Está bien? 2 por menos 1 menos 2. b por b, b cuadrado. Está bien? Y ahora? Un a por
menos b, cuánto me va a dar eso?
Menos a b
Menos a b. Y un a por 2 b?
2ab
2 a b! Entonces esto cuánto es? Menos 1 más 2?
1
1. Un a b, efectivamente esos serían los factores que me sirven (...) Un, a b. Ok entonces, cuál es la factorizació para
esa primera parte? Cuáles son los factores?
a más 2 b/
Mjú, a más 2 b. Por?
a menos b
a menos b. a menos b. Muy bien. Más, y del otro grupo qué podemos hacer? De este grupo. Quién es el factor
común entonces ahí.
2
2! (13’00). Entonces si yo saco un 2 de factor común qué me va quedar?
a menos b
a menos? b. a menos b. Ok entonces yo voy a poner aquí, más 2 veces, a menos b. Ahora si, quién es el factor
común? De toda la expresión. Ya factoricé ese por inspección, el otro por factor comú, ahora qué es toda la
factorización?
a menos b
a menos b, se repite, ese sería el otro factor común, por? Qué me quedó en esta parte de la suma? (inaudible si
alguien responde). a más 2 b, verdad. Esta parte me quedó. Más y del otro lado?
2
Entonces cuántos factores obtuvimos de la factorización completa?
2
2. Cuáles son? (los estudiantes los dicen y P los repite). Estamos? (14’00, comentarios de P. P agrega siete
ejercicios más).
Pr
P escribe otras expresiones algebraicas para factorizar.
Ejercicios 6) x²+2xy+y²-9, 7) x²+4x+y²-16, 8) x²+2xy+y²-a²-2ab-b², 9) x²-y²+4z²-4xz, 10) x3+x²-2x-8, 11) m²-p+m²p-1
12) 8m3+4m²n-2mn²-n3
495
63
64
65
PROF=SB (22’52) Cómo se hace la primera, qué grupitos se hacen?
E
(inaudible)
PROF=SB Ah muy bien, entonces usted ya lo observó, hay una fórmula notable (23’00). Entonces lo que más me combiene a mí
es, voy hacer grupos entre estos tres y éste menos 9, ok. Entonces cuando ustedes van hacer este grupo, usted hizo
este grupo verdad, entonces usted me dijo, aquí hay una fórmula notable, ok efectivamente, cuál fórmula?
E
La primera
PROF=SB La primera, x más y al cuadrado. Ok menos? 9. Ahora qué tenemos ahí? Una diferencia de? Cuadrados. Entonces
cómo se hace esa diferencia de cuadrados? x más y menos? 3; por? x más y menos? 3. Si? (llama la atención a un
estudiante, 24’00. Luego antiende dudas individualmente. 25’00. P pasa lista, 26’00-28’00. P les dice que deben
traerlo terminado para la clase siguiente. ... 29’00-33’00, llega el profesor guía, 35’00-42’30, la observadora le
explica un ejercicio a Pedro, 43’00-47’30. P da mensaje para del profe de educación física. Continúan trabajando.
P ha pasado a la pizarra a algunos estudiantes. 52’00. P llama la atención por la buya. Dice que ahí la número siete
para que la corrijan. La observadora le explica a unos estudiantes. Otros están en la pizarra haciendo los ejercicios.
53’00-57’00. La observadora termina la explicación. Continúa la revisión en la pizarra. 58’00-59’00).
PROF=SB Muy bien Yanina (Yanina pasó hacer la número diez). Qué fue lo que hizo Yanina? Agrupó x a la 3 menos 8
(01h00’00) y agrupó x a la 2 menos 2 x (P continúa revisando lo que está en la pizarra. P habla bajo y no ha
captado la atención de todos, por lo que la buya del resto hace la explicación inaudible. 01h03’25).
PROF=SB Ahí está la 11 chicos, m menos 1, m más 1 y p más 1. Tres factores obtuvo * para de la factorización completa (...,
01h04’00,. Le hacen una pregunta a P, inaudible).
PROF=SB Di porque aquí yo saco un factor común/ bueno él agrupó estos dos y éste y éste. Aquí él sacó un p y aquí dejó el m a
la 2 menos 1. Este es el factor común no? m a la 2 más 1. Aquí le va quedar p más? Y de este lado qué le va a
quedar? 1 verdad, más 1. Ahora si, esto que está aquí es la diferencia de cuadrado, m menos 1 por m más 1. Y el p
más 1 queda a la par de los dos factores (01h05’00. Llama la atención en general por el bajo rendimiento).
PROF=SB Revisemos ahí a ver. Edwin agrupó los dos primeros y los dos últimos (01h06’00) ... Usted sacó factor común m a la
2/ 4 m a la 2, le quedó 2 m más n menos n a la 2. Y luego hizo 2 m más n, ese es el factor común y la diferencia de
cuadrados. Está bien! (comentarios un estudiante. P escribe otros ejercicios)
66
67
68
69
70
71
Al terminar amplia la lista de expresiones a factorizar.
13) am²+bn²-an²-bm², 14) m+2my+my²+2ny+ny²+n, 15) x²-6x+9-y², 16) a9+b9, 17) 16a4m+b²n-16a4n-b²m, 18) 16x²+16x+4-4nx²-4nx-1
VI.1.8 SB-2803200610L : INSPECTION (4) – DIVISION SYNTHETIQUE (1)
La sesión inicia con la revisión de la práctica asignada la clase anterior (ejercicios del 13 al 18). Los estudiantes pasan con forme se
ofrecen para hacer las factorizaciones. P repasa lo que los estudiantes han escrito en la pizarra.
1
PROF=SB
2
3
4
5
E1
PROF=SB
E1
PROF=SB
6
7
8
9
10
11
12
13
E=(C)arlos
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
14
PROF=SB
15
16
17
18
19
20
21
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
496
Bueno ahí la trece estamos bien, la catorce la estamos terminando. La quince… (03’48). Ajá la quince agrupa el 3 y
deja el y a la 2, hacemos diferencia de cuadrados muy bien. En la catorce… ajá agrupó, sacó factor común, luego
hizo otra vez factor común y ya queda como fórmula notable. Muy bien. Este uno más y a la 2 me salió aquí me
imagino que lo hizo por inspección ? Este ? Que es esto mismo, lo podemos poner como 1 más y a la 2. Es lo
mismo verdad, está bien ? Por si acaso dentro de las opciones aparece esta fórmula. Ok la 16 es ésta la vamos hacer.
Esta es una suma de?
Cubos
Cubos. Entonces cómo me va a quedar la suma aca ? Extraigo la raíz y me queda, a a la 3 más ?
b a la 3
b a la 3, por a a la 6, el cuadrado de éste que es a a la 6, el producto de ellos dos que sería a a la 3, b a la 3. Más, el
cuadrado del segundo que sería b a la 6 (05’00). Si ? Esa sería la primera factorización. Ahora reviso y me doy
cuenta que aca tenemos, a a la 3 más b a la 3, qué es eso ?
Fórmula notable
Otra suma de cubos. Entonces cómo me va a quedar la factorización. A más b¸ por ?
a a la 2
Ajá
Menos a b
Más?
b a la 2.
b a la 2, muy bien. Y éste trinomio ? (C dice algo, inaudible). Lo dejamos igual porque no se puede factorizar, por
lo menos con los métodos que conocemos.
Allá Sharon hizo la 17. Grupos, hizo una fórmula notable, hizo factor común. Factor común... pero ahí no le quedó
un b al cuadrado negativo Sharon? (Sharon dice algo inaudible). Verdad aquí donde usted sacó el menos. Usted
tiene aquí un n menos m, sacó un (06’00) menos a factor para que le quedara m menos n ? Qué pasó con éste
menos ? Se lo comió o no lo vio. Verdad ? Aquí sería 16 a a la 4 menos ?
Menos b a la 2
b a la 2. Muy bien ahora sí, 16 a a la 4, menos b a la 2 ?
Suma de cuadrados
Suma?
Eh resta.
Ok diferencia de cuadrados, muy bien. Entonces ...
m menos n/
DsR
22
23
24
25
26
27
28
29
30
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
31
PROF=SB
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
E2
PROF=SB
E2
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
44
45
E=C
PROF=SB
46
47
Es
PROF=SB
48
PROF=SB
49
50
51
52
53
54
Es
PROF=SB
E=(J)ose
PROF=SB
Es
PROF=SB
55
56
57
58
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
59
60
61
62
63
64
65
66
67
E
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
68
PROF=SB
69
70
E=C
PROF=SB
71
72
Es
PROF=SB
m menos n, se queda aquí igual verdad. Por...
4 a a la 2
4 a a la 2?
Menos b
Menos b, por?
4 a a la 2
4 a a la 2, más
b
Me fijo a ver si puedo seguir factorizando. Tengo alguna otra diferencia de cuadrados ahí? Esta otra vez no? Son
una diferencia que ya la vamos hacer, m menos n, por? Cómo me quedaría esa factorización? (con una dinámica
similar, llegan a la factorización completa. Interrupción. Pasan a la dieciocho, comentan sobre su enunciado. P
dice que tienen que corregirle algo al enunciado, 09’00).
Ok entonces, qué hacemos? Vamos a agrupar aquí los tres primeros menos, y agrupamos a estos otros tres, 4 n x a
la 2, más 4 n x, más n. Del primer grupo? Se puede sacar factor común.
Si 4
4, muy bien. Entonces aquí el factor común sería 4, entonces qué me queda?
4 x a la 2 más 4 x
Ajá más?
1
Menos, del segundo grupo qué sacamos en común?
n
Entonces al sacar n me va a quedar 4 x a la 2 más? 4 x más?
1. Factor común
Muy bien, cuál es el factor común ahora?
4 x a la 2 más 4 x más 1
Muy bien. El trinomio que sería 4 x a la 2 más 4 x (10’00) más 1. Por? De este lado me quedó 4, muy bien. Menos?
Del otro lado?
n
n. Ahora reviso ese trinomio, esto lo podré factorizar un poquito más (inaudible lo dicho por C), se puede hacer por
inspección, se puede hacer por? Fórmula notable. Mjú. Es una fórmula notable?
No
Parece. Cuál es? La ventaja es que ya tienen una herramienta más que es la inspección, entonces lo pueden hacer
por inspección. Y les va a dar exactamente igual, lo que pasa es que les va a quedar, 2 n más 1, por 2 n más 1. Es lo
mismo. Si? (comentario de P de su error, 11’00)
Bueno muy bien señores, entonces ahora vamos a factorizar por otro método que se llama el método de división
sintética (comentario inaudible). Pero como no lo saben hacer/ o si ya conocen la división sintética?
No!
Nunca hicieron división sintética? Cuando hicieron división de polinomios?
No!
Si?
No!
Hicieron división de polinomios. Se acuerdan que al inicio, inicio hicieron una práctica donde habían unas
divisiones? Usted conoce la división de polinomios?
Si
Ahora, conocen la división sintética?
No
Entonces vamos a trabajar, vamos a tratar de hacer la división sintética para poder hacer el método de división
sintética. Pongamos ahí, división... (Escribe en la pizarra « División Sintética », 12’00) antes de eso recordemos los
términos de la división, cómo se llaman los términos de la división? Porque ahora vamos hablar de la división y se
va a quedar así como... Cuáles?
Divisor
Dividendo
Divisor, dividendo
Cociente
Cociente y?
Residuo
Residuo. Ok entonces en qué orden va a aparecer esos elementos o esos términos? Dividendo
Divisor
Va a estar para este lado verdad? Luego trazamos la, esta cuestión cómo la conocen? Martillo? Cómo se llama esto?
Eso se los enseñó la maestra!
Divido y aquí aparece divisor. Cociente aquí es el resultado verdad? Ok aquí es cociente y aca el residuo sería lo
que sobra? Si? (13’00) Entonces para que yo pueda comprobar que esa división yo la hice correctamente, qué
teníamos que hacer? Cómo comprobamos que es división está correcta?
Eh... multiplicamos cociente por divisor
Ajá, nada más? Multiplico cociente por divisor! (comentarios de estudiantes). Y le sumo lo que me quedó verdad?
Eso me tiene que dar quién?
Dividendo.
Dividendo. Okay entonces vamos a trabajarlo así, dividento con d mayúscula, entonces vamos a poner. Dividendo
tiene que ser igual a multiplicar cociente por? Divisor. Y hay que sumarle el residuo para que esto efectivamente
cumpla la igualdad. Si? Ok, entonces vamos a dividir polinomios utilizando la división sintética para que ustedes
aprendan.
ReH
ReOReV
ReV
ReV
DsR
ReV
497
73
PROF=SB
74
75
76
77
78
79
80
81
82
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
Es
PROF=SB
83
84
Es
PROF=SB
85
86
E
PROF=SB
87
88
89
90
E
PROF=SB
E
PROF=SB
91
92
93
94
95
96
97
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es,
PROF=SB
98 Es
99 PROF=SB
100 Es
101 PROF=SB
102 Es
103 PROF=SB
104
105
106
107
108
109
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
110 Es
111 PROF=SB
112 E
113 PROF=SB
114 E
498
Y eso porque ahora (14’00), qué es lo que se pretende, vean lo que va a pasar. Si el
División Sintética
residuo es cero, verdad si el residuo es cero yo voy a poner el dividendo en forma de
multiplicación o no? Voy a poner cociente por divisor, más cero, pero para qué voy a
Dividendo Divisor
poner más cero verdad no hace falta. Entonces yo ahora cuando yo voy a factorizar
Cociente
por la división sintética, yo voy a necesitar que el residuo me dé cero. Claro a veces
_________
es muy fácil porque yo nada más hago la división sintética y ya aparece. Es decir si
residuo
no me dio cero entonces ya no se pudo factorizar porque me quedó cociente por
divisor, más residuo. Entonces me va a quedar digamos, x más 2, por x menos tres,
D=c⋅d+r
por 2 ó más 3 ó más menos 5.
Okay, entonces vamos a hacer un ejemplo de división para que usted se dé una idea y conozca los procedimientos
que hay que seguir. Entonces yo voy a poder digamos x a la 2 menos 2 x más x a la 4 menos 3, y esto yo lo voy a
dividir/ (15’00) osea este es el dividendo y el divisor va a ser, x menos 1. Si? Entonces ya conociendo la división de
polinomios, el otro procedimiento que ya conocen, cuál es el primer paso que yo tengo que hacer?
Acomodar
Acomodar. Ordenar en forma?
Descendente
Descendente o descendente. Ok eso que quiere decir, de grado mayor?
A grado menor
A grado menor. Y los grados que hacen falta?
Se ponen cero.
Se pone x y cero
Cero x al grado que me hace falta. Ok perfecto, entonces el primer paso para hacer la división sintética va a ser la
misma historia. Vamos a ordenar en forma decreciente o descendente el dividendo. El dividendo es este verdad?
Si
Y éste es el divisor! Lo que vamos a ir a buscar es el cociente (16’00) y el residuo. Entonces ordenemos en forma
decreciente (ordenan el polinomio, los chicos le dicen). Eso sería ordenado en forma decreciente. Si verdad?
Si
4, 3, 2, 1, 0. Muy bien ahora si. Vamos a trabajar de ese dividendo, vamos a trabajar solamente con coeficiente
numéricos. Quiénes eran los coeficientes numéricos?
Los números
Los numeritos verdad, en ese caso quiénes son? (..) Serán estos numeritos? 4, 3, 2, 1 y 0.
No
Cuáles son? Entonces cuáles numeritos son? (17’00). Todos los coeficientes, todos los coeficientes del dividendo.
Aquí quién es?
1
Comienzo con x a la 4 que tiene?
1
1. Luego sigue?
0
0
1
2
Menos 2. Cuidado aquí es menos 2. Luego?
Menos 3
Menos 3. Muy bien. Ahora esto, este es los coeficientes numéricos del dividendo. Ahora vamos a escoger al
divisor. Entonces el divisor va a ser. El divisor que tenemos nosotros es x menos 1 verdad? Qué valores le tengo
que poner a esta x para que a la hora de restarle uno me dé cero?
1
1 verdad? Entonces ese va a ser el divisor. Voy a dividir por el valor de x que haga que ese divisor se me haga cero.
Entonces si decía x menos 1, entonces voy a tener que dividir por? ... 1. Porque? 1 menos 1 cuánto me da? Cero. Si
hubiera dicho x más 1? (18’00).
Menos
Si hubiera dicho x más 1, entonces por cuánto tengo que dividir?
Menos uno
Por menos 1. Si hubiera dicho x más 2?
Menos 2
Entonces por menos 2, verdad? Estamos? Ok. Entonces nosotros tenemos aquí, x menos 1 era nuestro divisor.
Entonces aquí hay que dividir entre 1. Estamos? Entonces ordenar, tomar solo los coeficientes numéricos,
acomodando como dividendo divisor, y en el divisor por el valor de x que haga cero ese divisor. Vamos a trazar una
línea ahí que para ustedes es más fácil ahí los renglones. Bajamos el primer término, quién es nuestro primer
término?
1
1 (18’50, interrupción de la profesora de biología, comentario de la clase rayada, 22’03). Bueno, entonces
quedamos en que bajamos el primer término verdad? Osea ya acomodamos, tomé los coeficientes numéricos, dividí
por menos 1, por 1 perdón. Ahora, bajo el primer término y multiplico, este 1 por este 1, cuánto me va a dar?
1
Ese 1 lo voy a ubicar debajo de este cero. Osea encima de la recta que yo acabo de pasar. Multiplico 1 por 1 y lo
que me da como resultado lo ubico debajo del número siguiente, en este caso del cero. Ahora voy a sumar o a
restar, dependiendo de los signos que me hayan quedado aquí, en este caso qué tendríamos que hacer?
Sumar
ReV
ReV
ReV
DsR
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
E3
PROF=SB
E3
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
132 Es
133 PROF=SB
134 Es
135 PROF=SB
136
137
138
139
140
141
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
142
143
144
145
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
146 Es
147 PROF=SB
148
149
150
151
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
152 E
153 PROF=SB
154 E=C,
PROF=SB
155 PROF=SB
156 Es
157 PROF=SB
Sumar verdad? Entonces sería cero más 1 cuánto me está dando eso?
1
1. Ahora vuelvo a multiplicar. 1 por 1?
1
Entonces lo voy a ubicar debajo de este uno y ahora qué hacemos?
Sumamos
1 más 1?
Cero (23’00)
Más! Estoy sumando.
Ah dos perdón.
Ok. Ok ahora si, multiplico otra vez. Dos por una?
Dos
Lo ubico debajo del menos 2. Y ahora voy hacer, menos dos más 2?
Cero
Cero. Ahora multiplico, cero por 1?
Cero
Cero y menos 3 más cero me va a dar? Menos 3. Estamos? Bajo el primer término, o sea el primer coeficiente
numérico; lo multiplico por el divisor y lo voy ubicando aquí sobre la barra que yo acabo de pasar verdad (P), y
luego sumo o resto dependiendo de lo que me haya quedado. Ok ahora aca. Este último numerito que encontramos
aca, menos 3, va a ser el residuo. Menos 3 es el residuo, si? Y del residuo hacia la izquierda, todos estos que están
aca. Todo esto que esta aca (24’00), van a ser los coeficiente numéricos del cociente. Coeficientes numéricos
verdad, ojo que aquí no aparecen las letras ni nada. Coeficientes numéricos del cociente. Entonces yo estaba
dividiendo un polinomio de grado cuatro, por un polinomio de grado? Uno. Cómo me va a quedar el resultado? Un
polinomio de qué grado? De un grado mayor, de un grado menor o del mismo grado?
De un grado menor
De un grado menor, verdad. Me va a quedar un polinomio de grado menor. Entonces este 1, sería el coeficiente de
cuál x? Si yo empecé con x a la 4, aquí tengo que empezar con?
x a la 3
x a la 3. Entonces este es el de x a la 3, este el de x a la 2, este el de x y este el de x a la cero. Verdad? Entonces
cómo me va a quedar a mí el cociente? Cociente es igual a qué?
x a la 3 (25’00)
1 x a la 3, más?
x a la 2
1 x a la 2. Más?
2x
2 x. Más cero? Qué lo ponemos (comentarios inaudibles). Bueno si quieren pónganlo ahí, por si acaso. Si aquí nos
hubiera dado otro número, digamos que nos hubiera dado cinco, entonces sería más 5, verdad? (P)
Profe no entendí ahí.
Ok, el último número que yo obtenga va a ser el?
Residuo
Residuo. Ya está establecido. El último que yo encuentre va a ser el residuo. Del residuo para la izquierda, voy a
tener los coeficientes numéricos del cociente. Mjú? Entonces, si yo estoy dividiendo un polinomio de grado cuatro,
por un polinomio de grado uno, voy a obtener un polinomio de grado tres como resultado o no? Si? Entonces este
primer término que aparece aquí va a ser el coeficiente de x a la 3 (26’00). Este va a ser el coeficiente de x a la 2,
este de x a la 1, de x a la cero. Entonces lo acomodo. El x a la 4 lo divido entre x, cuánto me da el x a la cuatro
dividido entre x? Conservo la base y resto, que sería? 4 menos 1 que es 3! Si o no? Mjú? Lo podemos hacer con la
otra división para que usted corrobore resultados. Algo me ibas a preguntar, era esto? Muy bien entonces, tengo
como cociente, un polinomio que se llama x a la 3, más x a la 2, más 2 x. Y como residuo, cuánto me está dando?
Menos 3
Menos 3. Entonces yo tengo que poner esta respuesta, como me quedaría ese... ese dato o ese resultado? Respuesta.
Divisor/ Perdón dividendo, quién es el dividendo para nosotros? (un estudiante comienza a decirlo). Todo esto
verdad? Todo esto es el dividendo (27’00). Pongamole que esto se llama dividendo, con d mayúscula. Entonces
para no escribirlo todo. Dividendo es igual a quién? Cociente? Cuánto nos está dando de cociente? x a la 3, más x a
la 2, más 2 x. Por? Divisor. Quién es el divisor para nosotros aca. El divisor.
x menos 1.
x menos 1. Entonces esto por x menos 1. Más el residuo, y cuánto nos está dando el residuo?
Menos 3
Menos 3. Muy bien entonces lo que yo estoy haciendo es dando esta respuesta así, de esta forma: dividendo igual,
cociente por divisor, más? Residuo. Si? No me quedó factorizada porque nos quedaron, dos factores y una suma; si
el residuo me hubiera dado cero, ya estuviera factorizada. Cierto o no? (28’00). Ok, veamos otro ejemplo, porque
efectivamente hay que trabajarlo bastante bien. Es muy fácil una vez que ya... encuentran cómo trabajarlo bien
(estudiantes copian el ejemplo).
Y ahí queda?
Si ese es el resultado. Si quieren lo pueden hacer con la división corriente para que lo corroboren (comentario
inaudible). Ahí le puede/ con eso le pueden preguntar cociente, si le dicen halle el cociente de la siguiente división
y aparece eso, cuál sería la respuesta?
(x²-2x+x4-3)÷(x-1)
x a la 3, más x a la 2, más 2 x
C=x3+x²+2x+0
R/ D=(x3+x²+2x)(x-1)+ -3
O le preguntan cuál es el residuo?
C ⋅ d + r
Menos 3 (29’00)
Pero si le dicen cuánto le da el x a la 2 menos 2 x más x 4 menos 3
x4+0⋅x3+x²-2x-3
1 0 1 -2 -3 1
1 1 2 0
1 1 2 0 -3
x3 x2
x
499
158
159
160
161
162
163
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
164 E
165 PROF=SB
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
186
187
188
189
190
191
192
193
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
194
195
196
197
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
dividido entre x menos 1.
(comentario inaudible)
Toda la respuesta. Ok ahí está el segundo ejemplo. Cuál era el primer paso?
(ReV)
Acomodarlos
En forma
(ReV)
Decreciente
Ok acomodémoslo a ver cómo nos va a quedar eso. Comienzo con? (una estudiante le va diciendo y P lo acomoda). (ReV)
Ok, ya hice el primer paso, siguiente paso?
Bajo los coeficientes numéricos
Tomo solamente los coeficientes numéricos de este dividendo verdad. Quiénes son? (le van diciendo a P y ella los
escribe, 30’00). Muy bien, esto lo voy a dividir? Entre?
Dos
Será dos o será menos dos?
ReD
Menos dos
Menos dos. Muy bien. Entre menos 2, muy bien. Siguiente paso trazo esta barrita... y?
Bajo el primer término
Bajo el primer término. Cuál es el primer término aquí para nosotros?
3
Lo bajamos y lo ponemos después de la barra. Multiplico, 3 por menos 2?
Menos 6
Menos 6. Ahora qué hago? Sumo verdad? Menos uno y menos seis me quedan?
Menos 7
Menos 7. Por menos 2? 14 Ahora qué hago?
Sumo
Sumo. 16. 16 por menos 2?
Menos...
Menos 32 verdad. Ahora digo (31’00), 2 menos 32 que me va a dar?
Menos 30
Menos 30, muy bien. Quién es el residuo?
Menos 30
Muy bien. Aquí ya tengo un número para definir el... residuo. Muy bien ahora de aquí, ahora a la izquierda tengo
los coeficientes del cociente. Ahora ese cociente, con qué grado va a empezar?
x a la 2
Si aquí teníamos grado tres y lo estoy dividiendo entre grado uno? Voy a empezar con grado?
Dos
Dos. Ok, entonces qué me está quedando aca? 3 x? A la dos. Menos?
7x
7 x. Más?
16
16. Si? Es demasiado sencillo, lo que pasa es que como es la primera vez ... (32’00). Supongamos que este era
nuestro polinomio, pongámosle P de x a este polinomio. Entonces cómo vamos a dar nuestra respuesta? P de x es
igual a. 3 x a la 2, menos 7 x más 16, por? Este es el cociente verdad, por? El divisor, quién es el divisor?
x más 2
2) (2x-x²+3x3+2)÷(x+2)
x más 2. Más el residuo
Menos treinta
P(x)=3x3-x²+2x+2
Ese más menos 30, puede poner de una vez menos 30. Mejor?
Un poquito más claro? Si?
3 -1 2 2 -2
-6 14 -32
3 -7 16 -30
x3 x2
x
C=3x²-7x+16
R/ P(x)=(3x²-7x+16)(x+2)+ -30
198 PROF=SB
199
200
201
202
203
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
204 E
205 PROF=SB
206 E
207 PROF=SB
500
Ok veamos otro ejemplo (pregunta, 33’00. P escribe el siguiente ejemplo: (x+x2-6)÷(x+3). P atiende duda de C,
34’00. P da espacio para que los estudiantes trabajen. C y Edwin consultan a la observadora).
(38’39) Ok, primer paso qué hago?
Ordeno
Ok, cómo me queda esto ordenado? (estudiantes dicen). Muy bien, ahora qué sigue?
Bajo los coeficientes.
Bajo los coeficientes numéricos, quienes son? (estudiantes dicen). Ahora esto hay que dividirlo? (39’00,
estudiantes responden). Muy bien entonces aca? Bajo el uno (P y estudiantes dicen el procedimiento). Bien el
residuo me dio?
Cero
Muy bien. Qué pasaba en una división cuando el residuo me da cero (...) Si yo divido algo entre algo y me da cero ReV
el residuo?
Es exacta
Es? Exacta, es una división exacta o no? Es como que usted divida doce entre cuatro, le da tres y no le sobra nada (ReA)
verdad? Pero si divide digamos doce entre 5? Le dan dos y le sobran dos. Verdad, entonces doce entre tres es
exacto pero doce entre cinco no es exacto. Entonces en este caso (40’00), la división es exacta porque el residuo me
está dando cero. Muy bien ahora, de aquí en adelante voy a tener al cociente. Quién es el cociente para nosotros?
208
209
210
211
212
213
E=C
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
214
215
216
217
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
218 E
219 PROF=SB
220
221
222
223
E=J
PROF=SB
E=J
PROF=SB
224
225
226
227
228
229
E=C
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
230
231
232
233
234
235
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
236 E
237 PROF=SB
238 Es
239 PROF=SB
240
241
242
243
E=(E)dwin
PROF=SB
Es
PROF=SB
244 PROF=SB
245 Es
246 PROF=SB
247
248
249
250
251
252
253
254
255
E=C
PROF=SB
E
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
x menos 2
Tengo grado dos verdad? Lo divido entre grado uno y me va quedar grado?
Uno
Uno. Entonces eso me va a quedar como x, menos...
2
x a la uno, sería. Grado uno no? Entonces cuál sería la respuesta en este caso? Pongámole, otra vez verdad,
pongámosle P de x para este polinomio. O si quiere le pone D, verdad. El polinomio que usted quiera para no tener
que copiarlo. Sin embargo lo podemos escribir, x a la 2, menos x menos 6, igual, cociente, que se llama?
x menos 2
x menos 2. Por divisor que se llama, x más 3. Más cero. Hace falta poner aquí más cero?
No
No verdad. Entonces vea lo que nos pasó (41’00). x a la 2 menos x menos 6, nos dio igual a estos dos factores. Si
verdad? x a la 2 menos x menos 6, es igual a? x a la 2, por x más 3. Ahí yo estoy escribiendo ese polinomio que le
habíamos llamado P de x, como dos factores, x menos 2 y x? Más 3. Porque el residuo fue cero. En los demás, no
nos quedó factorizado por qué? Porque el residuo no nos dio?
Cero
Cero. Entonces, ahora de qué se va a tratar el método para dividir por esa división sintética. Bueno nosotros nos
vamos a tener que encargar de buscar tanto al cociente como al? Divisor. Osea ahora vamos a tener que buscar más,
más. Entonces digamos por ejemplo (42’00), yo voy a decir aquí, voy a poner un polinomio P de x que se llame...
(P escribe y dice x3-2x+8).
Inspección!
Ok buena pregunta, se puede hacer inspección ahí?
Lo dudo
Fíjese a ver. Si porque dice Jose, yo porqué me voy a poner ahí a buscar divisores, yo mejor hago inspección! Se
podrá hacer inspección? Como en el último, en el último caso hubiéramos hecho inspección, verdad (...). Por qué no
se puede hacer inspección ahí? O si se puede? (43’00, ...). Cuándo uso yo inspección?
Cuando no se puede usar otra cosa (otro estudiante dice algo, inaudible)
Cuando no se puede usar fórmula notable ok. Pero qué más?
Cuando es un trinomio
Cuando es un trinomio. Bueno eso es un trinomio, pero entonces qué pasa aquí que no se puede usar inspección?
Por el grado
El problema es el grado tres, exactamente. Para usar la inspección tengo que tener grado dos (pregunta de C).
Bueno digamos que usted trate de hacerlo por inspección, cómo lo haría?
Di x a la 2 por x.
Ok entonces usted pone, x a la 2, por x. Efectivamente eso le da x a la 3, pura vida. Aquí me tiene que dar ocho.
2 por 4
Ok, 2 por 4, 8.
Si pero no da nada, borre
Entonces yo multiplico este por éste y me quedó, 4 x a la 2. Más (44’01), éste por éste me quedó? Dos x. Esto se
puede sumar?
No
El problema es el grado tres, porque por más que usted acomode aquí esto. A la hora de multiplicar no le va a
quedar el 12 x, ese es el problema. Muy bien, entonces. Tengo que ir a buscar un divisor para ese polinomio, de tal
forma que el residuo me quede cero.
Cómo, cómo?
Tengo que buscar un divisor, verdad para poder dividir P de x entre algo, P de x dividido por algo aquí, de tal forma
que el residuo me dé? Cero verdad. Para que me quede como forma de multiplicación (...). entonces yo voy a iniciar
y voy a decir, bueno voy a ordenar mi polinomio. Ordenemos el polinomio, cómo me va a quedar? (45’00) P de x
quién es? x a la 3, sigue x a la 2, pero como no está entonces?
Cero
Cero x a la 2. Mjú. Menos? 2 x más?
8
Mjú. Entonces voy a tomar los coeficientes numéricos. 1, 0, menos 2, 8. Y esto lo voy a dividir por algo, de tal
forma que aquí me dé 8. Perdón, me dé cero. Entonces usted puede decir, diay pero dónde voy a empezar, de dónde
me voy a agarrar para decidir si divido entre 1, entre menos 1, entre 2, entre menos 2, entre 3, entre menos 3, entre
4, entre menos 4, entre 8... Dónde voy a ir a fijarme en eso. O en qué me tengo que fijar para decidir cuál empiezo a
probar.
Entonces voy a revisar de ese polinomio el término independiente. Quién será el término independiente? (46’00).
8
En este caso 8, muy bien. El término independiente, es el que no tiene variable verdad. Mjú. Ok entonces 8, cuáles
son los divisores del 8? (...). Divisores del 8?
2
2 si claro qué más?
8
4
8. 4, qué más?
1
1 por supuesto verdad. Nada más? Y los negativos no? Puedo dividir 8 entre menos 1? Cuánto me da?
Menos 8
Menos 8. Cuando estoy trabajando con los divisores es qué número puede dividir que me dé exacto verdad.
Entonces efectivamente, por uno y por menos uno verdad. Esto lo pongo así, uno y menos uno (P escribe ±1). 2 y
DsR
ReV
ReV
DsD
501
256 E
257 PROF=SB
258 E
259 PROF=SB
260 PROF=SB
261 E
262 PROF=SB
263
264
265
266
E
PROF=SB
E
PROF=SB
267 E=E
268 PROF=SB
269
270
271
272
273
274
E=J
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
275
276
277
278
279
280
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
281
282
283
284
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
285
286
287
288
E=C
PROF=SB
E
PROF=SB
289
290
291
292
293
294
E
PROF=SB
E=E
PROF=SB
E
PROF=SB
502
menos 2 también verdad. Qué más me dijeron?
4
4. Entonces 4 y menos 4 (47’00) Y después? 8 y menos 8. Entonces, todos estos divisores, son los posibles
divisores que voy a poner aca para ver si el residuo me da cero. Aquí hay que empezar a probar.
Ah... (de desilusión)
Servirá con el 1? Porque obviamente el 1 es uno de los más fáciles de probar verdad, es más fácil multiplicar por
uno. Será el menos 8? (empieza a probar con los que le van diciendo al azar los estudiantes, 51’54).
Ok, entonces vea lo que está pasando con eso. Ya los probamos, verdad (52’00), ceros, por lo menos, enteros como
los que estamos trabajando, no los vamos a encontrar. Eso quiere decir que si usted se pone hacer la división así
como la hicimos con cualquiera de aquellas, digamos. Cuando dividimos aquí el polinomio, en el segundo ejemplo,
entre x más 2, cuánto me dio el residuo? Menos 30 verdad, eso quiere decir que la división no fue exacta. Verdad?
Entonces si yo voy a dividir esto entre digamos, si aquí yo pongo x menos 2/ perdón si yo pongo menos 2, aquí el
residuo me está dando 4 verdad. Entonces yo voy a dividir P de x entre x más 2, y el cociente va a ser éste, el
residuo va a ser 4. Si o no? Si? Digamos que es lo que nos va/ lo que nos estuvo pasando en el ejemplo dos y en el
ejemplo uno, que nos sobraba en el residuo. En este caso nos está sobrando en el residuo. Ya probamos con el 1,
con el menos 1, con el 2, con el menos 2, con el 8, con el menos 8 (53’00). Verdad? Entonces quiere decir que en
este, por lo menos en este polinomio P de x no vamos a encontrar un valor para este divisor de tal forma que el
residuo no dé?
Cero
Cero. Este valorcito que ponemos aquí para que nos dé/ entonces? Ok y entonces yo no lo puedo factorizar por lo
menos con el método de división sintética. No lo puedo hacer porque no encontré ningún cero. Cómo haré digamos,
para probar eso si como dice... Carlos, no se puede hacer más rápido? Verdad, no se puede hacer más rápido sin
necesidad de estar haciendo eso? Esta misma prueba que usted está haciendo la podemos ir haciendo probando en
estos, en este polinomio, probando ahí el valor 1, el valor menos 1, 2, el menos 2, ... sustituyendo en esta x. Si esa
prueba me da cero, entonces digo, ese polinomio se puede dividir, el residuo me va a dar cero y voy a poder
encontrar el polinomio.
Cómo?
Lo que quiero es... (54’00)
No entendí profe
Yo tomo estos valorcitos el 1, el menos 1. Esto mismo que yo hice aquí haciendo la división, la puedo hacer, sin
necesidad de hacer la división sustituyendo esos valores aquí, en x, en x, en x. Le sumo 8 verdad y si esto, toda esta
sustitución me da cero, ... Como un valor numérico digamos como una comprobación de ecuación exactamente
(pregunta a P). Si usted va a probar con el 1, prueba con el 1, con x igual 1, si va a probar con el menos 1, prueba
con x igual a menos 1, entonces pone menos 1 (P). Ok entonces ahora hagamos un ejemplo donde ahora si podamos
encontrar un cero, porque si no...!
Profe ahí cómo sería la respuesta?
No en este caso así, si yo lo dejo dividido entre menos 2, sería P de x es igual a qué? El cociente que me está dando,
x a la 2 menos 2 x (55’00) más 2, más el residuo que sería, en este caso 4 porque tenía menos 2. En este caso lo que
yo le voy a preguntar es, si existe algún cero que haga que ese residuo me dé cero digamos. Ok? Veamos otro
ejemplo ahora sí para que no nos quede...
Profe cómo se le llamaba a eso?
Término independiente
Entonces qué fue lo que pasó con esa?
Di que no nos dio el cero. Qué fue lo que pasó con esa?
Entonces nada se hace?
Diay no! Di Carlitos! (P) Busquemos otra entonces para que podamos trabajar eso (comentario de un estudiante). Si
de fijo esa no viene. Vamos a ver (56’00) x a la 3, menos 3 x más 2 (P). Para que tengan que probar menos verdad,
porque ahora los divisores del dos quiénes son?
1, 2
1 y 2 nada más
Positivo y negativos
Ok. Muy bien. Bueno ahí ya, es parece mucho eso. Entonces, puedo hacer inspección ahí?
No (P)
Entonces, divisores de dos, ya me dijeron cuáles son los divisores de dos. Me dijeron que era el uno y el menos uno,
el dos y el menos dos (57’00). Cuál me va a servir para poder formar el divisor?
Eh...
Bueno perdón ordenémoslo para que nos quede ya de una vez listo, qué será.
Cero x menos 3 x más 2
Muy bien. Entonces pongo los coeficientes que serían quiénes? (los estudiantes dicen). Bueno el asunto es ver por
quién divido aquí de tal forma que el residuo me dé cero.
Menos uno
Por menos uno
Cero
No cero no puedo poner, porque los divisores son 1, menos 1, 2 y menos 2 (C sugiere uno y P lo prueba, 58’43).
Muy bien, ya este cero que me está dando aca es el?
Residuo
Residuo. Ok de aquí para aca tengo el cociente. Cómo me queda el cociente entonces?
1 x a la 2
Aquí empecé con grado tres verdad, entonces éste quién va a ser?
x a la 2
x a la 2, más x (59’00) menos 2
DsR
295 E=J
296 PROF=SB
(J pregunta algo) Ese uno tiene un x
Ese uno tiene un x. No ese uno fue, se acuerda cómo pusimos alla los divisores? Digamos el divisor alla era x más
2, dividimos entre menos 2. El otro era x menos 1, dividimos entre 1. El otro era x más tres dividimos entre menos
3. Entonces ahora necesito que me diga justamente quién es el divisor.
297 E=E
x menos 1
298 PROF=SB Muy bien. Si yo estoy dividiendo aquí por uno y esto me dio con uno el cero, quién era el divisor?
299 Es
x menos 1
300 PROF=SB x?
301 Es
menos 1
302 PROF=SB menos 1. Muy bien. Entonces tengo, bueno el dividendo que era el P de x verdad. Tengo el divisor, tengo el
cociente y tengo el residuo. Entonces ahora cómo escribo esto? P de x que es todo esto, o si quieren escriben esto x
a la 3 menos 3 x más 2 (1h00’00) x a la 3 menos 3 x más 2 es P de x, no? Es este? Es igual a quién? Cociente, quién
era el cociente para nosotros?
303 E
x a la 2
304 PROF=SB Entonces cociente que es x a la 2, más x menos 2, por? Cociente por divisor que es? x menos 1 más residuo, pero el
residuo cuánto nos está dando?
305 Es
Cero
306 PROF=SB Entonces no hace falta poner más cero.
307 E=C
Profe por qué era x menos 1?
308 PROF=SB por qué era x menos 1, porque yo estoy dividiendo aquí por uno. Vean el ejemplo dos. Quién era el divisor. No
quién es el divisor aquí?
309 E=C
x más 2
310 PROF=SB x más 2. Por cuánto dividió? (respuesta inaudible). Ok en el otro, quién era el divisor?
311 E=C
x más 3
312 PROF=SB Y dividió?
313 E=C
Menos 3
314 PROF=SB (1h01’00) Entonces lo que estamos haciendo ahora es más bien el proceso como devolviéndonos verdad. Yo estoy
diciendo bueno ahora divida, P de x entre x menos 1, y de repente le pueden preguntar quién es el cociente, quién es
el residuo. O cuáles son los factores. Quién me está preguntando?
315 E=(Y)anina El x a la dos más x menos 2 no se puede factorizar?
316 PROF=SB Muy bien Yanina! Pregunta. Hace Yanina una pregunta aquí muy buena. Que si este cociente se puede factorizar
más (Y-C-P). Ella pregunta, bueno como ya yo lo puse en forma de multiplicación, puedo volver a factorizar esto?
El cociente este que está dando, x a la 2 más x menos 2.
317 E
Inspección
318 PROF=SB Por inspección puede ser (1h02’00), verdad. Entonces vamos a ayudarle a Yanina para decirle que si se puede. x a
la 2 más x menos 2, cómo sería la inspección aca?
319 E=C
x por x
320 PROF=SB Ah ok, x por x. Esto me está dando x a la 2. Y aquí me tiene que dar menos 2, pero a la hora de multiplicar en cruz
me tiene que dar?
321 E
x
322 PROF=SB Una x positiva verdad. Entonces cómo lo ponemos para que me dé menos 2?
323 E
2 por menos 1
324 PROF=SB Qué? 2 por menos 1?! Si entonces yo digo, x por menos 1, menos una x, x por 2, 2 x. Por lo tanto esto me está
dando?
325 E
x
326 PROF=SB Una x. Entonces cuáles son los factores aquí?
327 E
x más 2 y x menos 1
328 PROF=SB Muy bien. Entonces tiene toda la razón Yanina verdad. Podemos seguir factorizando y decir bueno este cociente, yo
lo puedo escribir como (1h03’00), x más 2, por? x menos 1.
329 E
Le ponemos el último?
330 PROF=SB Claro! Porque estos son los factores de quién? Nada más? Del cociente verdad. Del x a la 2 menos x menos 2. Y
qué hago con éste que era el divisor? (comentarios estudiantes). Queda igual exactamente. Y si usted quiere escribe
x menos 1 al? Cuadrado. Como tiene dos iguales. Qué le quedó aquí, x más 2 por, x menos 1, por x menos 1,
entonces puede poner estos dos x menos 1 al? Cuadrado. Estamos ahora si? Vean que aveces es más fácil. Uno
busca ahí el cero y listo, empieza a buscar el divisor y ver si puede seguir factorizando (P busca otro ejemplo y lo
escribe, 1h04’00 - 1h05’00, P ha escrito
x3-7x-6).
331 PROF=SB Bueno Carlos dígamos cuál es el que va a dar cero, usted que es el...
332 E=C
Ah yo! Espérese, el...
333 PROF=SB Bueno primero ordenémoslo falta ahí el x (1h06’00) a la 2.
334 E=C
Lo ordenamos (P)
335 PROF=SB Bueno cuáles son los divisores del 6? Divisores del 6? Bueno obviamente el uno y el menos 1
336 E
2
337 PROF=SB 2. 2 y menos 2
338 E
3
339 PROF=SB El 3 si claro
340 E
6
341 PROF=SB * Cuál? (estudiantes empiecen a decir, 1h07’00). Cómo ordeno este *?
342 Es
x a la 3... más cero x a la 2... menos 7 x... menos 6
343 PROF=SB Ahora si. Uno, cero, menos 7, menos 6. Dice que con uno le dio. Con uno? (P) Entonces, bajo el uno (P hace el
procedimiento. No da y lo cambian la menos 1, 1h08’00). Muy bien. Entonces este residuo nos está dando cero.
Pero lo probé con menos uno y también me dio cero, si? (seguido de un comentario de una alumna). Ok vamos a
ReH
ReH
503
344
345
346
347
348
349
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E
PROF=SB
350
351
352
353
E
PROF=SB
E
PROF=SB
354 E
ver qué es lo que está pasando. De aquí en adelante será nuestro? Cociente. No borren (1h09’00) el menos uno,
para que lo trabajen también con el menos 1. Con menos 2 este es el cociente. Cuál sería el cociente para nosotros
aca? Comienzo con?
x a la 2
Entonces sería 1 x a la 2. Menos?
2 x.
Menos tres. Muy bien, entonces el cociente fue x a la 2 menos 2 x menos 3. El divisor?
x más 2
Ah muy bien, el divisor sería efectivamente x más? 2. Este polinomio, x a la 3, menos 7 x menos 6, lo puedo
escribir como, cociente, que se llama, x a la 2 menos 2 x menos 3, por divisor. Y quién es el divisor aquí?
x más 2
x más?
2
Si? Ahora revisemos es cociente como nos dijo Yanina (1h10’00) que tenemos que hacerlo porque si no nos lo
ponen malo (P hace alusión a la expresión que usó Y). Se podrá volver a factorizar eso? Por cuál método?
Inspección (1h10’14, fin de la grabación. Cinta cortada)
P ha adelantado la lección, por ello la hora de clase es distinta a la acostumbrada. P revisa el cuaderno de dos estudiantes.
1
PROF=SB
2
3
4
5
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
E=C(arlos)
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
(01’10) Listos, estábamos factorizando por división sintética, se acuerdan. Si ? (comentario de estudiante, solicita a ReH
la P puede cambiarse de lugar). Ok, vamos a hacer éste. Yo no sé si ese lo tendrían ya por ahí (intervención de un
estudiante, inaudible). El ejemplo que voy a hacer para que se acuerden porque dicen que ya no se acuerdan (P
escribe: P(x)=x3+4x²+4x+1). Ok, entonces qué hacemos primero, busco los divisores de quién ? (5s) Del término
Tc
independiente, quién es el término independiente ?
El 1
1. Quienes son los divisores del 1.
1 y menos 1 (varios estudiantes al mismo tiempo).
Los divisores del 1 son, 1 y menos 1. Ok entonces probemos a ver… Bueno aquí ya está ordenado, ya está completo,
si no/ si no está ordenado hay que ordenarlo, si falta hay que completarlo. Entonces qué me va a quedar ? 1, 4, 4 y 1,
verdad (algunos estudiantes dicen al mismo tiempo los números). Por quién creen ustedes que sea el (cero).
Menos 1
Por ?
Menos 1
Menos 1. Vamos a ver.
P(x)=x3+4x²+4x+1
No, más 1, más 1, más 1.
D1=1,-1
Hagámosle caso a Carlos.
1 4 4 1 1
Más 1, más 1, más 1.
1 5 9 .
Probamos el 1
1 5 9 10
Profe más 1 (comentarios sobre cuál número probar).
Ay Carlitos! Entonces aquí me queda 1, 4 más 1? 5 por 1 ? Y 9 por 1. Cuánto me está dando el residuo ? (03’18).
No servía. Entonces sería más bien? (P escribe « -1 » en lugar del 1). Ok aquí me va a
dar 3, por menos una, menos 3. Aquí queda 1 por menos 1… y aquí me está dando ?
1 4 4 1 -1
-1 -3 -1 .
1 3 1 0
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C, Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
Es
PROF=SB
30 Es
31 PROF=SB
504
Cero
Ok, recuerden que el residuo/ necesitamos que el residuo sea ?
Cero
Cero, muy bien. Entonces quién es el cociente aquí ?
Di … 1/
Si yo aquí tenía de grado 3, aquí con quién comienzo, Carlos ?
x a la 2
Entonces, 1 x a la 2.
Más 3 x, más 1
Más 3 x, más 1. Ese es el cociente, quién es el divisor?
Ehh … x más 1
Si dividí aquí por menos 1, entonces el divisor es ?
x más 1
x más 1, verdad. Muy bien, entonces quién va hacer la respuesta ? Entonces P de x, que era nuestro polinomio éste, lo
voy a escribir en forma de factores, como qué ? Cociente por… divisor. El cociente es x a la 2 más 3 x más 1; y el
divisor… x más 1, si ? Más residuo, pero cuánto me está dando el residuo?
Cero
Entonces, ahí quedó.
Revisamos esto a ver si se podría como factorizar un poquito más (P se
1 4 4 1 -1
refiere al cociente, al trinomio). Tal vez alguna inspección, una fórmula
-1 -3 -1 .
1 3 1 0
notable, alguna agrupación, u otra forma/ u otra división sintética, tal vez.
Fórmula notable ?
C=x²+3x+1
divisor=x+1
R/ P(x)=(x²+3x+1)(x+1)
32
33
34
35
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
36
37
38
39
40
41
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=J(ose)
PROF=SB
Inspección
Será inspección ?
DsR
Si.
Dos números que multiplicados me den 1, y que sumados me den 3. Difícil verdad. Para que me dé 1 tendría que dar,
1 por 1, 1 y ya a la hora de sumarlo ya no me va a dar 3. Verdad.
Ahí queda.
Ahí quedó. Ya ahora si se acordaron?
No (05’24)
Ay… como están poniendo mucha atención allá !
Eso es de mucha práctica.
Ah si. Si no, ya ni saben hacer la división sintética. Ok, hagamos el ejercicio entonces. Ustedes tenía ahí unas verdad,
una seis. Se las voy a repetir * (05’50. P indica que deben hacerlos todos por división sintética).
Ejercicios : 1) x3-3x²+3x-1, 2) x4+2x²-3, 3) x3-3x-2, 4) x4-3x²+2, 5) x3+2x²+6x-3, 6) x4+4x3-x²-16x-12, 7) x²-x-12, 8) x²-18x+2x3-9
9) 4-3x-4x²+3x3, 10) x4-2x3+1
Durante los 24 minutos restantes, los estudiantes trabajan en la práctica, mientras los estudiantes le consultan individualmente.
P ha iniciado la clase dictando los temas de examen: Operaciones con polinomios, potencias, fórmulas notables, factorización: factor
común, agrupación, fórmula notable, inspección, división sintética.
Luego P escribe en la pizarra P(x)=x3-2x+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
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17
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19
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21
22
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24
25
26
27
28
PROF=SB (00’00) Me dicen bueno, factorice el polinomio P de x. Bueno factorice completamente el siguiente polinomio.
Entonces usted lo ve así y piensa qué podemos hacer: factor común?
E
No
PROF=SB Inspección?
E
Tampoco
PROF=SB Por qué no puedo hacer inspección?
DsD
Es
(inaudible, varias respuestas a la vez)
PROF=SB Por el grado del polinomio, muy bien. Está bien? Eh... puedo hacer una fórmula notable?
E
No
PROF=SB Nada que ver verdad, cuál fórmula es esa! Entonces tengo que hacerlo por... división sintética. Cómo comienzo a
trabajar en eso?
E=(C)arlos Ordenando
PROF=SB Busco los divisores del término independiente, muy bien. Quién es el término independiente (asumimos alguien
contesta). Muy bien, entonces sería divisores del uno. Son poquitillos, cuáles son?
Es
Menos 1 y 1.
PROF=SB Ok, menos 1 y?
Es
1
PROF=SB Muy bien. Entonces?
E=C
Acomodamos eso en orden
PROF=SB Lo empiezo a probar verdad.
E=C
No hay que acomodar eso profe? x tres, cero x dos...
PROF=SB Ok ya para empezar hacer la división, ok. Ok con estos divisores entonces yo voy a ir a probar a ver si son o no son
ceros. Cómo me doy cuenta yo si son ceros? Si el residuo me da cero, es que es un cero verdad, o no? Ok entonces,
empezábamos hacer la división. Como nos dice Carlos hay que acomodar este polinomio, sería, x a la tres, cero x dos 2,
menos 2 x más? 1! Si? Este es P de x, ya digamos que acomodado. Entonces una opción es que usted se ponga a trabajar
de una vez haciendo la división o evaluando ese divisor a ver si le va a dar cero. Si le da cero, efectivamente, es que
cuando yo hago la división de fijo el residuo me va a dar cero. Si? Entonces, qué significa evaluar el polinomio? Qué es
evaluar el polinomio. Yo quiero evaluar el polinomio en menos 1, entonces yo lo que voy hacer es poner P de menos 1.
Qué fue lo que hice, en lugar de x qué estoy poniendo?
Es
Menos 1
PROF=SB Menos 1. Digamos que es una forma más rápida en que podemos hacer la división verdad. Entonces en lugar de las x
que aparecen ahí voy a poner al menos 1. Menos 1 a la 3, más, éste lo podemos obviar, verdad porque obviamente nos
va a dar cero. 2 por menos 1, más 1. Cuánto nos va a dar esto? Menos 1 a la 3 menos 2 por menos 1, más 1 (...). Cuánto?
Calcus? Cero verdad. No puede ser que no lo puedan hacer. Esto es una potencia, esta es una multiplicación y después
me queda una suma y una resta. Ocupamos la calcu para eso!!
Es
Dos
PROF=SB Dos verdad! Eso me está dando dos. Vamos a ver, menos 1 a la 3, cuánto me está dando eso?
Es
Menos 1
PROF=SB Menos 1. Menos 2 por menos 1
Es
Dos
PROF=SB Más dos. Y más 1, cuánto me va a dar eso? Dos verdad. Ok, 2. Como esto nos está dando 2, quiere decir que menos 1/
cuando usted haga la división por menos 1, el residuo le va a dar esto. Esto que está aca es justamente el residuo. Ok.
Para que yo pueda trabajar con ese, con ese posible divisor, el residuo cuánto me tenía que dar?
ReH
E
Cero.
505
29
30
31
32
33
34
35
36
37
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40
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48
49
50
51
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57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
PROF=SB Cero. Cero. Entonces ese ya no me sirvió porque me dio 2. Ahora trabajo con el 1. Ahora si, voy a evaluar el 1. Otra vez
la misma historia, entonces en lugar del x pongo el 1, entonces me va a quedar: 1 a la 3, menos 2 por 1, más 1. Cuánto
me da eso? (...) 1 a la 3 me está dando 1 verdad. Menos 2 por 1 2, 1 menos 2? Menos 1 más 1? (asumimos que alguien
contesta). Muy bien. Igual este cero que acabamos de obtener aca este cero efectivamente es nuestro residuo. Quiere
decir efectivamente que yo puedo dividir esto por uno para poder factorizar. Ok (los estudiantes copian lo que está en la
pizarra, ... 05’43).
PROF=SB Ok entonces, ya sabemos que con el 1 el residuo nos va a dar cero, o sea que con el 1 es con el que voy a ir hacer la
división, si. Ok. Entonces hagamos la división. Cómo nos va a quedar esa... cómo nos va a quedar. x a la 3 uno, x a la 2,
x a la 1 y 1. Y esto entre cuánto lo voy a dividir? Por cuánto lo voy a dividir? Por menos 1 o por 1?
Es
Por 1.
PROF=SB Por 1! Porque ya vi que si lo divido entre menos 1 nos va a dar 2. Entonces aquí voy a dividirlo por 1 y hago todo el
proceso. Bajamos el 1. Multiplico verdad, es lo que estoy haciendo ahí. Muy bien, ojo que aquí nos dio la misma, el
mismo residuo verdad/
E=C
Profe que era lo que se hacía ahí?
E=(J)ose
Se bajaba el *
Carlos
PROF=SB Bajo el primer término verdad, multiplico y lo ubico aca sobre la recta/ sobre la barra que hicimos verdad.
E=C
Multiplico este de abajo por el/
PROF=SB Este uno por uno, uno verdad, y lo pongo aca. Ahora sumo o resto depediendo lo que me quede. Aquí me quedaría
suma, cero más 1, uno y ahora? Multiplico otra vez. Uno por uno, 1, menos 2 más 1, menos 1. Menos 1 por 1, menos 1,
1 menos 1, cero. Ya ahora si? Ahora de aquí para aca tengo el.... cociente verdad. Cómo nos va a quedar el cociente aquí
entonces. Cociente del polinomio P de x, qué sería. Como empezábamos del grado tres aquí empiezo con grado?
Es
Dos
PROF=SB Entonces sería?
E1
x a la 2, más x menos 0
PROF=SB Más x menos 0. Este es el cociente, verdad. Entonces quién es el divisor?
E1
x más 1.
PROF=SB Será x más uno o x menos 1? Cómo era eso?
DsR
Es
x menos 1
PROF=SB Muy bien. Entonces el divisor sería x menos 1. Estoy dividiendo por 1 verdad? Entonces el divisor era x menos 1. Si
hubiéramos dividido entre menos 1 y aquí nos hubiera dado cero, entonces quién sería el divisor? x más?
Es
1
PROF=SB 1. Muy bien. Entonces cómo escribimos a P de x en forma de factores o factorizado. Yo digo, P de x es igual a?
Cociente por divisor, osea? Cociente para nosotros es, x a la 2 más x menos 1 (08’18). Si? Por divisor y el divisor es?
Es
x menos 1
PROF=SB x menos 1. Si?
E=(E)dwin Profe! eso que usted hizo de sustituir ahí la x por el número, eso se puede hacer mental?
PROF=SB Si claro, para más rápido. Si claro, claro. Ustedes lo que estaban haciendo hasta el momento, hasta lo que vimos ahí fue
que, nos poníamos hacer la división, verdad. Y nos poníamos aquí, bueno poníamos el 1, poníamos el menos 2, el
poníamos el cero, si había cero... Ok entonces ahora para efectos de concepto, porque ahí me estan diciendo que no
sabían qué era lo que yo estaba preguntando, este 1, como el residuo nos dio cero, este 1 se llama cero del polinomio. O
sea x igual 1 es un cero del polinomio. Este x igual a menos 1, no es un cero del polinomio. Por qué este no es y este si
es?
E=C
Porque el de abajo si da
PROF=SB Si da cuánto?
E
Si da cero.
PROF=SB Si da cero exactamente, exactamente. Entonces si x, si x igual a uno es un cero del polinomio, entonces x menos uno es
un factor del polinomio, verdad. Y efectivmente, cuáles son los factores del polinomio para nosotros? Obtuvimos dos,
cuáles son?
E=J
x a la 2/
PROF=SB x a la 2 más x menos 1. Y? x menos?
Es
1
PROF=SB Efectivamente x igual a uno es un factor, x igual a 1 es un? Cero. Si? O sea que P de x es divisible por x menos 1.
Porque si es divisible es porque el residuo nos dio cero, osea la división es exacta (10’20). Este es proceso que usted
hace digamos para factorizar esto por, el método de división sintética. Si? Saca los divisores, luego vea a ver cuál es el
que le va a dar cero, busca el cociente y busca el divisor. Bueno ahora si, una vez que tenemos el cociente, lo tenemos
que revisar a ver si podemos seguir factorizando. Puedo? Será fórmula notable, será otra vez división sintética? Será...
alguna inspección. Claro si yo hago esto, ya yo me pongo a trabajar con otros métodos, ya cuando me encuentro con
éste, reviso a ver si el pequeño se puede seguir factorizando, porque recuerden que estamos factorizando
completamente. O sea tiene que quedar totalmente factorizado, todos los factores. Entonces? Se podrá hacer por
inspección eso? Si?
E
Como?
PROF=SB El cociente lo puedo factorizar por inspección? Traten, porque se supone que ustedes ya saben factorizar por inspección
esto. O si es una fórmula notable de una vez. O si es algún polinomio que se puede hacer por agrupación o algo así.
E=C
Si!
PROF=SB Si se puede hacer inspección, cómo me queda? (risas porque el estudiante no contesta). Por inspección no, por qué no? DsD
E=E
Por el menos 1
PROF=SB Por el menos 1
E=C
Di pero me da 1 por menos 1, da menos 1 no?
PROF=SB Ajá y cuando los multiplico en cruz y los sumo?
E=C
Di menos x más x, cero x
506
69
70
71
PROF=SB Ajá, y cuanto tiene quedar? Osea que aquí yo tengo que multiplicar, encontrar perdón, dos números que multiplicados
me den menos uno, y que sumados me den 1. Difícilmente verdad! Di es que cuáles números multiplicados me van a
dar menos 1? 1 por menos 1 verdad. Y si los sumo, me podrá dar uno? No verdad. Estamos de acuerdo ahora si, ya se
acordaron? Es que venían como medio, muy santitos todo se les había olvidado ya. Ya no sabíamos ni qué hacer con la
pobre división sintética. Ok entonces escribamos aca algunos ejercicios para que usted los pueda factorizar. Obviamente
factorizar completamente (13’00). Completamente. Eso quiere decir que usted busca su factorización por división
sintética, busca el cociente, el divisor y después vea a ver si el cociente se puede, a ver si se puede seguir (13’22).
PROF=SB (13’49) Puede ser que uno nada más pregunte cuáles son los ceros del polinomio, entonces usted ahí los prueba a ver
cuáles es y el uno, entonces solo me dio el uno, verdad. O de repente prueba con el cero, el dos, el cinco y el tres,
entonces los ceros del polinomio son el cero, el dos, el cinco y el tres. Solo los que den cero, nada más O sea la pregunta
puede ser hasta ahí, no necesariamente tiene que factorizar siempre (14’10. E=E hace una pregunta, inaudible –asumo
pregunta de forma. P escribe algunos ejercicios en la pizarra).
Comentarios de P, salteados:
- Empezamos buscando divisores y eso.
- Di si las tienen copiadas son las mismas pero ya veo que no hicieron nada. Claro que son las mismas!
Los estudiantes continúan la práctica. Algunos pasan a la pizarra a hacer los ejercicios y revisan. Grabación se corta
antes (25’24).
507
ANNEXE VI : SEANCES DE LA 10E M (SAM)
VI.2 SEANCES DE LA 10E M A CHARGE DE SAM
LUNES
20F
27F
NO CLASE
06M
NO CLASE
13M
NO CLASE
20M
NO CLASE
27M
NO CLASE
031
NO CLASE
10A
17A
NO CLASE
24A
NO CLASE
508
MARTES
MIERCOLES
21F
JUEVES
22F
SB-2202200610M
23F
Inicio de factorización. 5
ejemplos de factor común.
NO CLASE
Inicio de agrupación con un
ejemplo.
01M
SB-0103200610M
02M
28F
SB-2802200610M
NP. Se revisaron los 10
ejercicios de la práctica
SUSPENDIERON
NO CLASE
asignados la clase anterior.
Hicieron ejercicios restantes. De
Miércoles de cenizas
no terminar, quedaron para la
casa hasta el 24.
07M
SB-0703200610M 08M
SB-0803200610M
09M
Revisión de ejercicios. Los
estudiantes que se ofrecen
pasan a la pizarra y factorizan
NO REGISTRADA
la expresión que les asignó P.
NO CLASE
Se revisó hasta el ejercicio 20
de la práctica de diferencia de
cuadrados.
14M
SB-1403200610M 15M
SB-1503200610M
16M
EXAMEN DE MATE
NO REGISTRADA
NO CLASE
21M
SB-2103200610M
NO REGISTRADA
22M
SB-2203200610M
23M
Revisión de la práctica de
inspección.
NO CLASE
28M
SB-2803200610M 29M
SB-2903200610M
30M
Retoma ejemplo enunciado en
la clase anterior. Práctica de 4
EXAMEN DE FÍSICA
NO CLASE
divisiones. Revisan las primeras
tres en la pizarra.
04A
SB-0404200610M 05A
SB-0504200610M
06A
Dos ejemplos de división
NO REGISTRADA
sintética
para
factorizar
NO CLASE
completamente.
11A
12A
13A
18A
SB-1804200610M 19A
SB-1904200610M
20A
NP. Práctica para examen.
NO REGISTRADA
Profesora pasó hablando
NO CLASE
conmigo.
25A
26A
SB-2604200610M
27A
INICIO DE ECUACIONES
NO REGISTRADA
CUADRÁTICAS
VIERNES
24F
SB-2402200610M
Dos ejemplos más de agrupación.
Primeros cinco ejercicios de las
hojas fotocopiadas. Quiz de FN.

03M
SB-0303200610M
Inician factorización por FN.
Doce ejemplos: primera y
segunda FN, diferencia de
cuadrados, suma y diferencia de
cubos. Práctica, página 6, agrega
ejercicios.
10M
SB-1003200610M
NO REGISTRADA
17M
SB-1703200610M
Factorización por inspección.
Cinco ejemplos. Práctica de
quince ejercicios.
24M
SB-2403200610M
Revisión de ejercicios de métodos
combinados de factorización.
Inicio de división sintética. Deja
enunciado el segundo ejemplo.
31M
SB-3103200610M
División sintética para factorizar.
Dos ejemplos. Teorema del
residuo. Diez polinomios para
factorizar.
07A
SB-0704200610M
Práctica de división sintética.
Adelantó un quinto al mismo
tiempo.
14A
21A
EXAMEN DE MATE
28A
VI.2.1 SB-2202200610M : FACTEUR COMMUN - REGROUPEMENT
1
PROF=SB
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
14
15
16
17
18
19
20
Es
E=F
PROF=SB
E=S
PROF=SB
Es
PROF=SB
21
22
23
24
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
25
26
E=S
PROF=SB
27
28
29
30
31
32
33
34
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
35
36
37
38
39
40
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
41
42
E=F
PROF=SB
43
44
45
Es
PROF=SB
Es
(03’48) Bueno muy bien chicos, entonces ahora hacemos, empezamos con la factorización (P escribe
« Factorización » en la pizarra, 8s). Alguien sabe qué significa factorizar ?
(varios estudiantes al mismo tiempo) Sacar semejantes, reducir, hacer más pequeño.
Hacer más pequeña, reducir. Qué más me están diciendo, mucho.
Sacar un producto, sacar como un algo.
Factorizar en lo mismo que reducir entonces. Si ?
Sacar un término.
Sacar un término.
Hacer más pequeño.
Hacer más pequeño. Qué más ? Qué es factorizar ? Reducir ?
Si.
O sea factorizar y simplificar es lo mismo ?
No.
Ustedes están diciendo que factorizar es simplificar y simplificar es reducir. En lo que nosotros estábamos
haciendo, ahí decía, simplifique al máximo el resultado. No estábamos factorizando o si ?
No.
Factorizar es sacar factor común.
Factorizar es como sacar un fac/ (una estudiante habla) Como qué ?
Sacar el factor común de una expresión.
Sacar el factor común de una expresión, algebraica. Eso será factorizar ?
Si.
Ok esa factorización, a qué le suena ese término que aparece aquí ? (P hace una llave horizontal como
subrayando las seis primeras letras de la palabra « Factorización » escrita en la pizarra). Esa parte de esta
palabra.
A factor.
A factor verdad. Factor, los factores quiénes eran, los términos de cual operación?
Multiplicación.
De la multiplicación, de la multiplicación (suena el tiembre, fin de la primera lección). Entonces, cuando yo
voy a factorizar, lo que yo voy hacer es. Digamos que expresar, una suma, una resta, ahí una operación en
términos de multiplicación o en forma de multiplicación. Si o no ?
Si.
Si? Como por ejemplo digamos, yo tengo aca, digamos que el número 12 (P escribe en la pizarra 12). Cómo
puedo escribir a 12, solo que en forma de multiplicación ?
3 por 4, 2 por 4 doce.
Ok puede ser 3 por 4.
2 por 6
Puede ser 2 por 6.
(inaudible)
Qué ?
2 por 2 por 3
Bueno, puede ser también que altere el orden de los factores verdad, no importa. 3 por 4 o 4 por 3. Estoy
hablando del orden de los factores. Qué más me dijeron perdón?
2 por 2 por 3.
2 por 2 por ?
3
3, muy bien. Cualquiera de estas multiplicaciones nos están dando justamente…
12
12. O sea, hablar de 2 por 6 es lo mismo que hablar de 12, o no ? Le hago algún cambio nada más. Es
exactamente lo mismo, lo que pasa es que es representada en una forma diferente. Si ? Entonces tengo aquí 12
y voy a tener 2 por 6, tengo 3 por 4, o 2 por 2 por 3. Cuál será la diferencia entre esas factorizaciones ? (4s)
Cualquiera es factorización, verdad ? (5s) Lo que pasa es que la última, la llamamos factorización, completa (P
escribe en la pizarra « factorizac Completa » al lado de 2⋅2⋅3, 07’38). Por qué será que esa última se llama
factorización completa y las otras dos no, si igual están factorizadas, o sea igual se están multiplicando…
ReO
ReO-ReS
DsR
DsR
DsR
ReH
ReV
ReV
DsD
Ya no puedo factorizar otro término.
Porque ya no puedo factorizar ningún otro término, o sea ya no puede representar como un producto cualquier
otro término? O si?
No, no.
Bueno yo puedo escribir, por ejemplo este 2, lo puedo escribir como 2 por 1. O no?
Si.
509
46
PROF=SB
47
48
49
50
51
52
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
53
54
Es
PROF=SB
55
56
57
E=(J)ose
Angel
E
PROF=SB
58
59
60
61
E=J
PROF=SB
E
PROF=SB
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
72
73
74
75
76
77
78
79
80
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
E=F
PROF=SB
81
82
Es
PROF=SB
510
Y lo estoy representando como un producto. Entonces lo que usted tal vez me quiera decir es que ya no puedo
factorizar de otra forma que no sea por, 1. O sea él mismo por uno. Por qué? Por ejemplo digamos aca, en el 2
por 6, el 6 lo podemos volver a factorizar o no?
Si.
O sea que podemos volver a escribir el 6 como otro producto de factores, que sería ?
2 por 3
2 por 3 ó 3 por 2 verdad (P escribe 2⋅3 debajo del 6).
O sea que se forma un nuevo producto.
Exactamente. Estamos ahora si con el concepto? Bueno muy bien,
FACTOR
entonces ahora en las expresiones algebraicas, nos va a pasar algo
IZACION
parecido. Yo voy a tener aca una expresión algebraica (P encierra
entre paréntesis al 12, dejando más espacio a la izquierda del
( 12)=3⋅4
número al abrir el paréntesis), que derepente puede ser 12, puede
= 2⋅ 6
N
ser una suma de monomios, puede ser una suma o una resta,
2⋅3
aunque recuerden que la resta es lo mismo que sumar verdad,
=2⋅2⋅3 → factorizac Completa
sumo opuestos.
Esa suma o esa resta yo la quiero expresar en forma de multiplicación. Por supuesto que va haber, alguna
expresión en la que yo ya no la pueda expresar en forma de factorización, no se puede. Eso es lo que decimos
no se puede factorizar, o ya no es factorizable, más que ella misma por... 1. Entonces digamos, por ejemplo (P
escribe en la pizarra 2x²-4x+8x3). Digamos que me dan, 2 x a la 2, menos 4 x, más 8 x a la 3. Eso es una
suma, de expresiones/ o sea eso es un trinomio, digámosle, si ? Yo quiero expresar esa suma, en forma de
multiplicación. O sea, algo por algo que me dé, 2 x a la 2, menos 4 x, más 8 x a la 3 (5s). Entonces yo tengo
que hacer, algunas diferencias en algunos de los métodos para poder llegar a ser eso, verdad ? No es así no
más. No es llegar y decir, bueno yo pongo aquí, dejo este así como está y aquí escribo 2 por 2 y aquí escribo,
qué 2 por 4 y ya, lo puse en forma de multiplicación. Es cierto, eso lo puedo hacer así?
No.
No verdad. O alguien me puede decir, di pero aquí 2 y x a la 2 se están multiplicando, 4 por x están
multiplicándose, o no ? Di pero ya hay producto ! Si ya hay producto, pero toda la expresión será un
producto ? Yo quiero que toda la expresión, todas estas suma y resta, o sumas, dejémoslo como sumas, se
escriba en forma de multiplicación, o sea, algo por algo. (10’30) Entonces necesitamos conocer métodos para
que lo tengamos. En ese caso puedo factorizar, tal vez lo puedo hacer, puedo usar tal herramienta para poder
hacer la factorización. Si ? Cuáles son los métodos de factorización que ustedes conocen ?
Agrupación
ReV
Factor común
Agrupación y ?
Factor común.
Factor común. Nada más ? Fórmulas notables?
Fórmulas notables (al mismo tiempo que P).
Si? Se acuerdan que hacían unas factorizacioncitas con la diferencia de cuadrados, o sea con la fórmula tres…
sinceramente no me acuerdo. Con esas carillas que me están haciendo. Lo más así es, factor común y
agrupación. Que es como lo más, más. Ok, en este caso, cuál será el método que pueda utilizar ahí.
Factor común
Factor común. Y qué será el método de factor común.
ReV(ReS)
Sacar ..., sacar el máximo (varios estudiantes hablan al mismo tiempo).
Sacar el máximo común será eso?
DsR
El mínimo... El máximo (algunos estudiantes hablan al mismo tiempo).
Si, si no es gallo es gallina.
El máximo.
Pero el máximo qué?, el máximo común...
Divisor
Divisor. O sea el numerito o la expresión que divida a las tres. Verdad, que las pueda dividir a las tres.
Entonces, entre 2, menos 4 y 8?
2
2. Ok. Y entre x a la 2, x, y x a las 3?
x
x. Entonces, qué hago yo con ese 2 x ?
Dividir, lo saca, lo saca afuera (varios estudiantes hablan al mismo tiempo).
Los saco ? Qué ? Lo saco…
DsR
No, lo saca afuera, divide cada término, abre paréntesis (varios estudiantes hablan al mismo tiempo).
Ese 2 x está dividiendo por cada término.
Muy bien. Entonces, 2 x sería como mi primer factor, como decir el 3, verdad? (hace alusión al ejemplo
numérico dado al inicio. P ha escrito en la pizarra: 2x) Y yo ahora abro un paréntesis para poder encontrar el
otro factor. Eso es lo que me quieren decir ? Se supone que yo ahora multiplico 2 x por algo que voy a poner
yo aquí y me tiene que dar otra vez, el mismo trinomio, verdad ? No lo puedo alterar. Como decir aca, que a
mí se me ocurre poner aquí, bueno yo ya puse 3 por 4, ahora pongamos 2 por 8, igual me va a dar 12. No
verdad. Tengo que poner lo mismo de tal forma que la expresión se mantenga. Entonces ahora, cómo hago
para encontrar, 2 x multiplicado por algo que me dé 2 x a la 2.
ReV
Lo divide.
Qué divido ?
83
84
Es
PROF=SB
85
86
87
88
89
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
90
PROF=SB
91
92
Es
PROF=SB
93
94
95
96
97
98
Es
PROF=SB
Es, P
PROF=SB
Es
PROF=SB
99 Es
100 PROF=SB
101 Es
102 PROF=SB
103
104
105
106
107
108
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
109
110
111
112
E
PROF=SB
E
PROF=SB
113
114
115
116
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
2 x a la 2 entre 2 x.
Ok, divido este primer término entre este factor que acabo de sacar, que acabo de encontrar de... ** me va a
dar esto. Ok, ahora hago lo mismo con el segundo término, qué sería ?
Ejm. 2x²-4x+8x3
2, menos 2.
2x(x-2+4x²)
Menos 2. Más ?
4 x a la 2.
8 x a la 3 dividido entre 2 x. Tengo que dividir 8 entre 2, obviamente me va a dar 4. x a la 3 dividido entre x ?
x a la 2.
Entonces si ahora se me ocurre multiplicar éste, por cada uno de los términos, efectivamente lo que voy a
obtener es el trinomio. Si o no ?
Si.
Si no lo obtengo, es porque algo hice mal. Puso mal el factor, hizo mal la división o puso un signito diferente.
Ok, entonces ahora tengo, esta suma representada en forma de multiplicación. Cuáles son los factores ? Cuáles
son los factores ?
2x
2 x, y ?
x menos 2 (los estudiantes van diciendo x-2+4x², al mismo tiempo que P) más 4 x a la 2.
Ok, entonces esa factorización que hicimos aca, lo hicimos con el método de factorización por ?
Factor común.
Factor común (P escribe « FACTOR COMUN » al lado del primer ejemplo). Muy bien, muy bien. Entonces en
qué consiste el método ? Como el mismo nombre lo dice, tiene que haber algo común entre todos. Si ? No
puede ser que si uno tiene x y otro tiene y, y otro tiene, no importa, ponemos todas las letras, para que todos lo
tengan. No. Tienen que tenerlo todos para poder decir, si mirá es común a todos los términos. Si si tenemos un
coeficiente numérico, entonces vamos a sacar el máximo común divisor, o sea el número que divide a todos
los numéritos que aparezcan aca. Estamos ?
Ujú.
Si ? Se acuerdan de eso ? Hagamos un segundo ejemplo
Ejm.
(14’58, P copia en la pizarra 2x(x-1)+3(x-1), 15’12).
FACTOR
2x²-4x+8x3
Tengo que representar esa sumita en forma de
COMÚN
2x(x-2+4x²)
multiplicación. O sea toda la expresión suma en forma de
multiplicación. De repente usted dice, di ya está ahí eso, 2 x por x menos 1 y 3 por x menos 1 y ya. Ah, ah,
cada término está como factorizado, si; pero la suma toda la suma no está como factorizada, verdad que no.
Hay un signo más que está ahí entre cada expresión. Entonces, evidente, quién será el factor común,
x menos 1
Hasta se lo pongo entre paréntesis y todo así como quien dice, vea, vea soy el factor común. Si ? Entonces el
factor común fue con el que hicimos aca, va a ser efectivamente, x menos 1 (P escribe en otro renglón « x1 »). Ahora si, por, tengo que encontrar el otro factor de tal forma que coincida con esta expresión que tengo al
inicio, la suma (6s). Ven, usted está haciendo esta división, 2 x por x menos 1, dividido por x menos 1 (P
escribe al lado del segundo ejemplo 2x(x−1) ). Si o no ? Estas son potencias de bases iguales, los exponentes
(x −1)
son 1 y 1, verdad (P escribe el exponente 1 a cada binomio x-1), entonces conservo la base y resto, 1 menos 1
y ya me va a dar ?
0
0. Ok, entonces este efectivamente me queda, 2 x (P escribe el primer término del segundo factor), más ?
3
3. Muy bien. Entonces encontré dos factores, cuáles son esos dos factores ?
2) 2x(x-1)+3(x-1)
x menos 1 y 2 x más 3 (varios estudiantes a la vez).
(x-1)(2x+3)
Ok, x menos 1 es un factor y 2 x más 3 es, el otro factor.
Muy bien (5s). Ahora (16’54. P escribe en la pizarra otro ejemplo: x(x-1)²+2x²(x-1)3, 17’24).
Factor común.
Muy bien, yo observo efectivamente que tengo factores comunes ahí, verdad ?
(inaudible)
El paréntesis yo veo que efectivamente es x menos 1 y x menos 1. Solo que uno está elevado a la 2 y el otro
elevado a la 3. Cuál me voy a dejar. Cuál escojo para factor común ?
x a la 2, x menos 1 a la 2 (varios estudiantes a la vez).
x menos 1 al cuadrado, muy bien. Y nada más ? Será ese le factor común ?
Ds(topaze)
No.
Fuera de los paréntesis, también tengo expresiones que se repiten verdad, que son comunes para ellos. Aquí
tengo a x, y aquí está 2 x a la 2. Entonces cuál voy a escoger ?
x
Entonces quién es el factor común ?
x y x menos 1…
x…
x menos 1
Por x menos 1
A la 2 (P escribe x(x-1)²)
A la 2. Todo ** Ahora si, por…
1 más
Muy bien ahora divido éste entre éste y es el mismo verdad, entonces me va a quedar… 1 más ?
2x…
511
128 PROF=SB
129 E=F
130 PROF=SB
131 E=F
132 PROF=SB
133
134
135
136
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
137
138
139
140
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
141
142
143
144
E=J
PROF=SB
E=J
PROF=SB
145 E=J
146 PROF=SB
147
148
149
150
Es
PROF=SB
E=J
PROF=SB
151
152
153
154
E=J
PROF=SB
E
PROF=SB
155 E
156 PROF=SB
157 E
158 PROF=SB
159 E=(C)indy
160 PROF=SB
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
E=C
E=J
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=C
E=J
PROF=SB
E=C
PROF=SB
512
2x
Multiplicado por...
Que multiplica, x menos 1. Voy a dibujar aquí un paréntesis cuadrado para que lo vean (P escribe en la
pizarra: x(x-1)²[1+2x(x-1)], 5s). Si ? (5s). Entonces yo puedo sumar esto así para que me quede como más,
qué sería como simplificado. Qué puedo hacer ahí ?
Multiplicar el 2 x por el x menos 1
Ok reduzco ese producto que está dentro de la raíz. Vamos a tener x por x menos 1 al cuadrado… aquí qué me
va a quedar ?
1 más 2 x a la 2
Primero hago esto (P indica la 2x(x-1) y escribe 2x²-2x). Puedo reducir términos ahí?
(inaudible)
Con lo que está afuera? Qué hago con lo que está afuera ? A bueno, bueno, a ver. Ahora, si yo me pongo a
multiplicar otra vez, esto por esto, y esto por esto, ya otra vez se me empieza a hacer la suma no ? Y yo ando
deseando más bien, tratando de que esto me quede efectivamente en forma de… producto. Cuáles son los
factores que yo tengo ahí ?
x
3) x(x-1)²+2x²(x-1)3
x
x(x-1)²[1+2x(x-1)]
x menos 1 al cuadrado
x(x-1)²[1+2x²-2x]
x menos 1 al cuadrado, y? … 1 más 2 x a la 2 menos… 2 x. Si ? Estamos hasta ahí ?
Ok (20’08, P escribe un cuarto ejemplo: 2x(x-1)+3y(1-x), 20’26). Qué pasaba ahí ?
Se saca el 3 x, 1 menos, por 1 menos x, se saca el menos a factor, para poder sacar el… el factor común.
Saco un menos a factor del 3 y por 1menos x.
** el 3 x, 3 y, por menos 1 más x, entonces ahí queda factor común.
O sea que entonces, ese paréntesis, que es el que me está diciendo que saque el menos debería de quedar,
menos 1 más x.
Ajá.
Verdad, porque yo saco el menos. Saco menos 1 a factor, y entonces yo tendría que dividir, 1 entre menos 1 ?
Queda menos 1. Y menos x entre menos 1, me quedaría más x.Verdad ? Eso es lo que yo capté de lo que usted
me dijo. De aquí, este paréntesis, yo voy a sacar un menos 1, entonces qué me va a quedar ? 1 entre menos 1,
menos 1. Menos x entre menos 1, más x. Y será lo mismo escribir, menos 1 más x, que x menos 1 ? (21’38)
Si.
Ok, entonces qué hago con ese menos 1 que saqué ?
Di se multiplica por el 3 y x menos 1.
Muy bien, entonces qué sería… 2 x por x menos 1 y aquí se multiplica
4)
2x(x −1)+3y(1− x)
según me están diciendo, entonces me va a quedar ? Menos 3 y por ? Esta
−1(−1+ x)
sumita es lo mismo que escribir así. (P escribe 2x(x-1)-3y(x-1)) Si ?
2x(x-1)-3y(x-1)
Y entonces efectivamente, ahora quien va a ser el factor común.
x menos 1
x menos 1. Por, entonces ya, 2 x, menos…
3 y.
Si ? Ok. Ese procedimiento el que hicieron ahí fue el que, el que me dijo por aquí alguien de, sacamos un
menos y le damos vuelta. O no ? … algo me ibas a preguntar perdón.
De dónde sacó eso, lo que está en rosado (E hace alusión a –1(-1+x) que P escribió abajo del factor (1-x) del
segundo término).
Sacamos un menos a factor común. Entre 1 positivo y menos 1, dijimos que el factor común iba a ser menos 1,
verdad ? Entonces como lo que yo tengo que hacer ahora es factorizar éste haciendo la división. 1 entre menos
1 me queda menos 1. Menos 1 entre menos 1, me queda más, x. Para qué hago eso ? Porque yo observo que
aquí usted tiene, x menos 1 y aquí usted tiene 1 menos x. Son iguales.
Casi.
Casi, verdad ?. Es como que les hace falta algo. Es como que los mismos términos solo que con signos
contrarios. Entonces yo aplico esa herramiento o esa técnica, justamente para que queden iguales. Es lo que me
dijeron por aquí de, saque el menos y le doy vuelta. O sea lo que hicieron fue, o lo que la gran mayoría hace,
cambia este signo, vea que aquí decía más y ahora le quedó menos. Por qué me quedó menos ? Porque yo dije
más por menos. Si aquí hubiera tenido un menos, hubiera tenido que decir menos por menos, entonces hubiese
tenido que cambiar a más. Cierto ? Ok. Y ya ahora si, el x menos 1 es igual al x menos 1 que era lo que yo
necesitaba. Lo necesitábamos antes para factorizarlo.
Qué pasa si el menos del factor se saca antes del paréntesis y no antes del 3 y ?
No, no pasa nada, porque como se está multiplicando. O sea si el menos lo sacaras digamos aca, así ? (P
escribe –3y(x-1). El menos antes del 3y).
No
No, después del 3 y.
Por eso aquí?
No que quedara.
Ahí es donde lo estoy sacando.
Entonces por qué cambió el signo del más por menos ?
Di porque más por menos es menos.
Si del más por menos… di porque este menos 1, sale aquí a multiplicar por supuesto, verdad.
Ah si, si, si.
Porque es un factor y acabamos de decir que los factores, son los miembros de la multiplicación. Ahora más
bien, lo que creí que me iban a preguntar es qué pasa más bien si a mí se me ocurre que en lugar de poner x
171 E=J
172 PROF=SB
173 E
174 PROF=SB
175 E=C
176 PROF=SB
menos 1, o sea que x menos 1 no sea factor común, si no que más bien sea el 1 menos x. Entonces yo lo que
quiero ahora es cambiar a éste. Cómo hago para cambiar a éste ?
Igual se saca a factor.
Igual saco el menos a factor y qué me va a quedar, menos x más 1, y menos x
4)
más 1 es lo mismo que escribir, 1 menos x. Entonces ya… tengo la misma
2x(x −1)+3y(1− x)
expresión obviamente pero con signos, van a quedar los signos diferentes.
−1(−1+ x)
Cómo me van a quedar los signos, digamos. Me van a quedar, 1 menos x,
2x(x-1)-3y(x-1)
verdad, porque ya sacamos el factor común el 1 menos x y aca ? Menos 2 x,
(x-1)(2x-3y)
que fue lo que sacamos de este lado, más 3 y.
Y es igual verdad, porque lo que estamos haciendo es sacando un menos. Si ?
Si.
Si, si, si. Ok.
Profe y siempre es necesario darle vuelta. Digamos lo que quedó con rojo siempre hay que darle vuelta para
que me quede como el primer paréntesis.
Si usted quiere, si usted sabe que menos 1 más x es lo mismo que x menos 1, no hace falta. El problema es que
aveces no lo ven, entonces nunca ven el factor común. Entonces mejor, digamos que darle vuelta para tenerlo
idéntico. Ok (25’55, P escribe el quinto ejemplo: 2 x(x−1)2 − 4 (x−1)3 + (x−1) , 26’59). Quién será el factor
3
177
178
179
180
E
PROF=SB
E
PROF=SB
9
6
común aquí ?
1 tercio (suena un celular, P le pide que lo apague, 28’30).
Ok entonces quién era el factor común ?
1 tercio.
1 tercio… por x menos 1. Es lo mismo que me están diciendo de x menos 1… (P escribe (x −1) ) verdad, sobre
3
181 Es
182 PROF=SB
183
184
185
186
E=F, Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
187
188
189
190
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
191
192
193
194
E
PROF=SB
Ex
PROF=SB
195
196
197
198
199
200
201
202
203
E
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=F
204 PROF=SB
205
206
207
208
E=F
PROF=SB
E
PROF=SB
3. Será lo mismo así ?
Si.
Muy bien, entonces esto sería mi factor común, por... Cuando usted hace esa división, qué me va a quedar ? 2
tercios dividido entre 1 tercio…
2x
2x
Menos 1, no nada más (varios estudiantes hablan al mismo tiempo, inaudible).
Muy bien, de dónde salió ese 3. El un tercio me está diciendo ? Ok, quién será el factor común entre, 2 tercios,
menos 4 novenos y 1 sexto.
1 tercio.
Cómo hago eso ?
Saco el máximo que se multiplica con el menos 1.
Si, exactamente. Lo puede trabajar haciéndolo los numeradores. O sea usted ve a ver, entre 2, menos 4 y 1,
quién será el común ?
1
El 1, porque todos se dividen entre 1, verdad. Ahora, entre 3, 9 y 6, el común será ?
3
Entonces en realidad, entre 2 tercios, menos 4 novenos y 1 sexto, el común es 1 tercio, verdad. Un tercio es por
lo que usted va a dividir a todos y le va a dar *. Ok. Qué me queda ? Ya saqué el factor, ahora empiezo a
dividir (30’01). Cómo se divide, 2 x tercios entre 3, entre un tercio perdón ?
2x
2 x. Ajá muy bien.2 x…
Que se multiplica por menos 1.
Que se multiplica por menos 1. Menos…
4 tercios por x a la 2.
Ok, menos 4 tercios, que lo multiplico por…
x menos 1
x menos 1 al...
Cuadrado (P escribe parte del segundo factor: 2x(x −1) − 4 (x −1)² )
[
3
ReV
]
Más un medio. Nada más verdad? Ahora cuáles son los factores. Tengo un factor que se llama, x menos 1
tercios, verdad ? Que fue el primero. Y este otro factor si se lo piden simplificado… qué hay que hacer ?
Pregunta, se podrá volver a factorizar esto ? (5s). Este el que está entre paréntesis cuadrado.
No.
Por qué no ?
Porque no tiene factor común.
Por lo menos por factor común, no vamos a poder, verdad. Por qué? Porque bueno usted dice, este 2 y 4, diay
los dos tienen mitad. Si muy bien, pero el 1 ? Ya no, verdad ? Y digo, x menos 1 y aquí x menos 1 al cuadrado,
y aquí… nada. Ya no hay común. Entonces por lo menos por el método de factor común ya esto no se va a
poder factorizar más. Pero si lo podemos simplificar. Cómo vamos a simplificar este, este...
DsR
DsD
ReV
209 E=J
210 PROF=SB
211 E=J
Hay que hacer la fórmula notable y después multiplicar por cuatro tercios.
O sea hacer el trabajo que estaban haciendo justamente en el ejercicio anterior. Si o no ? Resolver paréntesis,
resolver fórmulas, multiplicar y luego reducir términos semejantes. Entonces cómo me debería de quedar eso ?
(6s) Bueno aquí x menos 1 tercios por, aquí ?
2 x a la 2.
513
212
213
214
215
216
217
218
219
220
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E=F
PROF=SB
2 x a la 2.
Menos 2 x.
Menos 2 x. Menos …
4 tercios de x a la 2
4 tercios, que multiplican, verdad (P va escribiendo en la pizarra: 2x² − 2x − 4 ( ) Y qué fórmula aplico ahí ?
[
3
Porque tengo que aplicar una fórmula, no ? O primero multiplico y después resuelvo la fórmula ?
No.
No, verdad. Primero la fórmula y luego, multiplico por 4 tercios. Entonces cuánto me está quedando ?
x a la 2, menos 2 x, más 1.
5) 2 x(x−1)2 − 4 (x−1)3 + (x−1)
3
9
6
(x −1)
4
2x(x −1) − (x −1) 2 + 1
2
3
3
(x −1)
4
2x² −2x − (x² −2x +1) + 1
2
3
3
(x −1)
8
4
1
4
2x² −2x − x² + x − +
3 3 2
3
3
Más 1 medio. Y aquí (P escribe una nueva línea de procedimiento) x
menos 1 tercios, por 2 x a la 2 menos 2 x, menos y ahora sí multiplico,
cuánto sería ? 4 tercios x a la 2, menos por menos más, 4 tercios por 2 x,
8 tercios; menos 8 tercios más 1 medio. Si ?
Y ahora usted sabe hacer esto (5s). 2 x a la 2, menos 4 tercios x a la 2,
cuánto serán 2 unidades menos tercios?
221
222
223
224
225
226
227
228
E=J
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
]
[
[
[
]
]
]
2 x al cuadrado
Menos 2 tercios ?
No x a la 2 sobre 3… 2 x a la 2 sobre 3.
O sea 1 tercio o 2 tercios.
2 tercios.
Usted tiene que restar a 2 unidades restarle, 4 tercios.
2 tercios x a la 2.
Cómo hago eso ? Homogenizo verdad? Entonces saco el común denominador que sería 3. 3 entre 1 por 2 y 3
entre 3 por 4, verdad ? Yesto nos está dando, 2 tercios (P escribió en la pizarra: 2− 4 = 6− 4 = 2 ). Esto sería
3
229 E
230 PROF=SB
231
232
233
234
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
3
235 E=F
236 PROF=SB
237
238
239
240
241
242
243
244
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
E
PROF=SB
3
3
entonces, 2 tercios x a la 2. Luego tengo que sumar, menos 2 x más 8 tercios x. Ahora otra vez, menos 2
unidades más 8 tercios. Cómo se suma eso ? Me da menos 6 tercios ?
Igual
Igual verdad. Las tengo que homogenizar. Que sería el común… 3 entre 1 por menos 2. Cuánto me da ? 3
entre 1, 3; por menos 2...
Menos 6
Menos 6. Más 8 eso me daría?
2
Positivos verdad? Ok (P escribió en la pizarra: − 2− 8 = −6+8 = 2 ). Más, 2 veces x . Y finalmente, tengo que
3
3
sumar menos 4 tercios, más 1 medio. Menos 4 tercios más 1 medio.
Que da 6.
Igual que lo que estoy haciendo tengo que homogenizar verdad, no va poder uno sumar de otra forma que no
sea esa. Sería 6 entre 3.
2
Por menos 4
8
6 entre 2
3
3 por 1
3
Ok, entonces cuánto me va a dar. Menos 8 más 3… menos 5 sextos.
5) 2 x(x−1)2 − 4 (x−1)3 + (x−1)
Entonces los factores que obtuve fueron, x menos 1 tercios, y 2
6
9
3
tercios x a la 2, menos 2 tercios x, menos 5 sextos, en un solo factor.
(x −1)
4
2x(x −1) − (x −1) 2 + 1
Si ? Preguntas ? Esas sumitas y esas restitas ahí se hacen, con unos
2
3
3
pasos, si no se acuerdan cómo lo hacían pues hay que ir a repasar.
(x −1)
4
2x² −2x − (x² −2x +1) + 1
Recuerden que no vamos a usar la calculadora, eso es sumamente
2
3
3
importante. Tienen que irse acostumbrando a esto. Tienen que irse
(x −1)
2x² −2x − 4 x² + 8 x − 4 + 1
acostumbrando en que, si tengo que sumar, 4 tercios y 1 medio, ya
3 3 2
3
3
x −1 2 x² + 2 x − 5
yo sé cómo se hace. Porque el problema es que, yo ya me los
3 3
3 6
conozco, en la casa trabajan con la calculadora, la calculadora ya les
da toda la fraccioncita hasta simplificada y todo, y llegan a la
práctica o a la clase, ya sea el trabajo de la clase o en el bendito examen y entonces ya no. Verdad, si no tengo
la calcu entonces yo ya tengo problemas. Y que voy hacer yo sin mi santa calcu, no puedo, jamás nunca. Ok
entonces, este es nuestro método de… factor común. Busco un térmio que sea común para todos, hago las
divisiones del caso y luego efectivamente tengo que, simplificar. En el caso en que se pudiese simplificar. Más
adelante, cuando veamos otros términos, otros métodos de factorización, tenemos que revisar a ver si ese otro
polinomio se podrá factorizar, por otros métodos. Como digamos inspección o fórmula general o fórmula
notable. Ok, cuál es el otro método que usted trabajó?
[
[
[
[
]
]
]
]
ReV
245 E
514
Agrupación.
246 PROF=SB
247 E
248 PROF=SB
249 E
250 PROF=SB
251 E=F
252 PROF=SB
253 Es
254 E=J
255 PROF=SB
256 E=J
257 PROF=SB
258 E=F
259 PROF=SB
260 E
261 PROF=SB
262 Es
263 PROF=SB
264 E=F
265 PROF=SB
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=C
PROF=SB
E=C
PROF=SB
276
277
278
279
280
281
282
283
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
284 Es
285 PROF=SB
286 Es
Agrupación, en qué consiste ese método de agrupación.
En hacer grupos (P ríe. Una estudiante habla, inaudible).
Está bonito, está bonito. Ok, entonces el otro método sería, agrupación (8s). Qué era lo que tenía que hacer yo
en agrupación (38’11)… Agrupar, muy bien, qué es agrupar ? (un estudiante pide permiso para ir al baño. P
escribe en la pizarra « AGRUPACIÓN » y la expresión: am+bp+ap+bm, 38’50).
Qué es eso profe ?
Diay un polinomio. a, m más b p, más a i, más b m. Es una suma de expresiones algebraicas (39’18). Es que
ustedes me dijeron que en el método de agrupación yo podía hacer grupos, o sea agrupar.
O sea, los que son semejantes.
Entonces yo, ahora lo que se me ocurre es, ahora yo digo, bueno y ahora, si yo solo sé factor común, podría
hacer eso por factor común ?
No. Si
Si porque se puede agrupar a m más b m.
Muy bien, entonces antes de encontrar ese factor común tengo que agrupar. Ok, yo veo que hay algunos que
como que si, digamos yo puedo decir, di si aquí yo tengo, aquí está a y aquí también está a, pero en los otros
no. Ok, o aquí está m y aquí está m, pero en los otros no. Y acabamos de decir que en el factor común yo tengo
que tener común, para todos o sea no se vale que sea para unos cuantos. Entonces lo que dice el compañero, yo
puedo agrupar, agrupar los que tengan los términos en común o algunos de los términos en común. Entonces
ahora aquí, qué es lo que vamos a agrupar. O cómo va a ser los grupos. Usted me dice, di yo aquí tengo a y
aquí tengo a, pero aquí está m y aquí está m, pero no está a. Aquí está b y aquí está b; p y p. Qué grupos voy a
hacer ?
Puede ser cualquiera.
Puede ser cualquiera, siempre y cuando vaya yo observando mi factor común, verdad. No es que yo voy a
decir, di puede ser cualquiera, entonces agrupo los dos primeros y los dos últimos. Y ya hice cualquiera. Di si
puede agrupar, verdad. Derepente usted agrupa estos dos y estos dos.
O sea que tengan algo en común.
Muy bien. Entonces yo agrupo algo, efectivamente que tenga algo en común, por lo menos uno, verdad.
Porque si agrupamos, a m con b p, qué hay en común aquí ?
Nada.
Nada, entonces no hago nada con ese grupo. Pero si puedo agrupar, digamos, a a m con a p, porque los dos
tienen a. O a a m con b m, porque los dos tienen m. Cómo lo hago, ya eso queda al criterio de cada uno de
ustedes. Qué prefieren hacer ? Qué quieren que hagamos ?
a m y b m.
O sea las m y las p. Ah muy bien, entonces vamos a agrupar, a m, más b m (P escribe: (am+bm)). Ya yo
agrupé, éste con éste, verdad. Ahora voy a hacer el otro grupo. Pero entonces cómo voy a separar yo grupo con
grupo…
Con un más
Si porque si ya los dejo como grupo ya estaría perdiendo efectivamente, esa sumita. Entonces más y hago el
otro grupo, que sería b p, más a p (P completa la expresión anterior escribiendo: (am+bm)+(bp+ap)). Ya
teniendo los grupitos, me fijo otra vez en el factor, común, que va a tener, verdad, cada grupo. En el primer
grupo cuál es e factor común. Qué es lo que tiene repetido…
m
m. Entonces esto me va a quedar, m por…
a más b (P escribe: m(a+b))
Entonces ya, a más b. Y en el segundo grupo ?
p.
p. En el segundo grupo p sería el factor común, entonces me va a quedar, b más...
b más a (P escribe: m(a+b)+p(b+a)).
Entonces ya factorisé, porque ya hice grupos, ya saqué cada factor.
No. Le falta el factor común (otros estudiantes responden al mismo tiempo, inaudible)
Muy bien. En este momento yo no tengo factorizado cada grupo, pero no tengo factorizada la expresión
(42’52). Se acuerdan que dijimos que para factorizar lo que quiero es, toda la suma o toda la resta en forma de
multiplicación, verdad? Y ahí todavía sigue estando la suma, o no ? Aquí todavía está este término más, este
otro término. Si ? Entonces ahora yo observo, que tengo otro factor común, o no ?
a más b.
Será necesario sacar un menos a factor como hicimos alla ?
No (varios comentarios de los estudiantes, inaudibles).
Son iguales verdad, son iguales. Hablar de a más b es igual que hablar de…
b más a.
b más a. Si ? Entonces ponemos como factor común…
a más b.
Sería nuestro factor común. Entonces de la primera parte de la suma, en este ejemplo donde hemos quedado, a
más b es el factor común, qué nos queda ? (43’46).
m más p.
Entonces viene el más, viene la sumita que teníamos desde el inicio. Y seguiría ?
b
ReV
ReO
ReO
DsR
ReV
DsR
DsR
515
287 PROF=SB
288 Es
289 PROF=SB
Si ?
AGRUPACIÓN
Si alguien me hubiera dicho y porqué no hicieron los grupos de a con a y b
con
b ? Bueno igual, hace a con a y b con b… el resultado va a ser el mismo.
Lo
am+bp+ap+bm
(am+bm)+(bp+ap)
que le va a alterar en realidad es el orden. Porque le va aparecer primero el
m
m(a+b)+p(b+a)
más p como factor común y luego, el a más b. Si o no ? Pero eso tiene algo
que
(a+b)(m+p)
ver ? Que digamos que aquí me quedó a más b por m más p, y yo hice
otros
grupos pero me quedó, m más p por a más b. Tiene algo/ influye en algo
en el
resultado? ... Nada verdad, nada. Con los factorcitos no nos van a alterar ese resultado. Estamos deacuerdo?
Si
Si ? Sencillo o más o menos ? Entonces en realidad, el método de agrupación, es como un método de factor
común, o no ? Di porque yo tengo que hacer los grupos pensando en un factor común. Y saqué factor común y
después, otra vez factor común. Si es como, como, como que nos arreglan ahí el trabajo para poder hacer los
factores comunes (los estudiantes empiezan a ordenar sus cosas y la profesora indica que continuarán la clase
siguiente, 45’35).
VI.2.2 SB-2402200610L : REGROUPEMENT
1
PROF=SB
2
3
4
5
6
7
8
(01’00. P escribió en la pizarra, a manera de segundo ejemplo: 3ax+ay+3bx+by) Tenemos ahí la factorización
por agrupación, verdad. Ya hemos hecho ejemplos. * el segundo, verdad? (Es buscan los ejemplos). Tienen uno
que dice a m, más b p, más a p, más b m. Ahora el segundo ejemplo es, traten de hacer los grupos para ver cómo
les queda ésta. Háganlo, ustedes (01’27-02’20). Qué grupos hago, chicos?
E
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
3x
3 a x más 3 b x.
Ok van agrupar, 3 x y 3 x **. Entonces me va a quedar, 3 a x más 3 b x y aquí lo que me queda ?
a y más b y.
Muy bien. Y qué signo escribo entre grupo y grupo?
Más.
Muy bien. En ese momento, lo único que he hecho es grupos, todavía no he factorizado nada, sólo hice los
grupos. Igual, ahí pude dicho, porqué no agruparon digamos a con a y b con b. También se pudo haber hecho,
no? Mientras que no sean *** no importa. Muy bien ahora si, de cada grupo… saco el factor común. Quién será
el factor común ?
Es
3x
PROF=SB
3, x. Muy bien. Entonces…
Es
a+b
PROF=SB
Ok. Más, el segundo grupo ?
Es
y
PROF=SB
Factor común y verdad ? Entonces ?
Es
a+b
PROF=SB
Ahora si, ya factoricé ?
E=(Fe)rnand Si
o
PROF=SB
No. Ahora, yo lo que hice fue factorizar cada grupo, pero yo lo que necesito es factorizar toda la expresión.
Recuerden que lo que necesitamos es, toda la suma o toda la resta en forma de producto y ahí todavía está,
sumando. Si ? Entonces ahora sacamos factor común de la suma, que es ?
Es
a más b
PROF=SB
Muy bien. a más b, sería el factor común. Aquí está y aquí está, es el que se repite. Ok, entonces qué me va a
quedar en el otro factor ?
Es
3 x más y
PROF=SB
De este lado me queda 3 x más y. Entonces, cuántos factores obtuvimos ?
Es
Dos
PROF=SB
Cuáles son?
Es
a más b y 3 x más y.
PROF=SB
Muy bien. a más b es un factor. Y ?
Es
3 x más y
PROF=SB
3 x más y es el otro factor. Muy bien, muy bien. Si hubiésemos hecho la factorización, eh los grupos perdón, de
a con a y b con b… Igual el resultado hubiese sido lo mismo. Obviamente va a aparecer primero éste y luego
éste, pero, eso no tiene nada que ver. Siguiente ejemplo (04’49. P escribe en la pizarra: 3m-2n-2nx4+3mx4.
05’24). Qué grupos hacemos ?
E=Fe
3 m y 3 m x a la 4.
PROF=SB
Ok. Las m con/ 3 m con 3 m.
E=Fe
Si
PROF=SB
Ok, entonces el primer grupo aquí, 3 m más, 3 m x a la 4. Y el otro grupo ?
E=Fe
2 n menos 2 n x.
PROF=SB
2 n o menos 2 n ? Los n son estos, menos 2 n, menos 2 n x a la 4.
E=Fe
Mjú
PROF=SB
Y qué signo escribo aquí ?
E=Fe
Resta
ReH
516
DsR
38
39
40
41
42
43
44
45
46
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F, Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
47
48
49
50
51
52
53
54
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
55
56
Es
PROF=SB
Más ! O sea yo tengo este grupo y luego este otro grupo. Ahora si, del primer grupo ?
3m
ok 3 m, entonces qué queda en el otro factor (varios estudiantes murmuran). 1, más…
x a la 4
x a la 4. Más y ahora ahí qué voy a sacar de factor común ?
Menos 2 n.
Ah ok, voy a sacar el menos 2 n, de una vez, verdad? Menos 2 n y qué me va a quedar aca ?
1 más x a la 4
Menos entre menos me va a dar más, verdad. Y ahora menos entre menos… más, x a la 4. Muy bien. Ahora si,
quién es nuestro factor común ?
1 más x a la 4.
1 más x a la 4, por ?
3 m menos 2 n.
3 m más menos 2 n, que es lo mismo que escribir, menos...
Menos 3 n.
Si usted quiere lo deja como más menos n verdad, no hay problema. Preguntas? (07’17) Sencillo, difícil?
Sencillo.
Sencillo. Entonces vamos a buscarnos la práctica de factorización (07’55). Estamos en la página, número cinco.
Si, página cinco estamos ? Listos, ok. Ahí nada más hay que factorizar por factor común y agrupación. Que es lo
que estamos haciendo verdad, nada más. Entonces vamos a trabajar ahí, son veinticinco. Hay unas muy rapiditas
de hacer. Hay factores comunes muy rápidos de sacar. Hagan un asterisco a la número dieciséis y a la número
veinticinco. Las vamos a dejar como opcionales.
Cuáles ?
Dieciséis y veinticinco. Opcionales. El que quiere la hace y ahí trata, es un poco diferente, sencilla pero/ Y en la
operación veintiuno, tengo que hacer una correcicón. Al final, final dice x s, entonces sería x al cuadrado. Si? En
la veintiuno, el último término debe de decir, x a la 2 (09’10). Porque decía x s, verdad ? x a la 2. Si? Quito la s y
agrego la x a la 2. Bueno, entonces empezamos a trabajar.
Las expresiones a factorizar son: ax²+a²x-ax, 20x3y²-15x²y3, 15 x3 y5 z − 25 x²y3 z 4 +17 y5 z 6 , 1,1(x-y)²+2,2(x-y), 3 2 x5 y3 −6 10 x4 y 7 ,
4
16
8
5(a+b)5-7(a+b)4, 2x(3x-2y)+5y(-2y+3x)-4z(3x-2y), 5x3(2x-5)-3y(5-2x), 2b(b-7)-3b²(7-b)+6b3(b-7), (5x+2y)(2x-y)+(3x-7y)(2x-y).
57
PROF=SB
58
PROF=SB
Chicos, perdonen un segundito. Estamos trabajando factor común y agrupación. Tienen que darse cuenta si hago
agrupación o si hago factor común. Verdad ? En todo no vamos a trabajar sólo agrupación (10’53 – 31’30).
Chicos, tenemos una deuda pendiente, una comprobacioncita de fórmulas notables (33’31). Vean chicos,
necesito probar si las fórmulas notables ya nos la sabemos, estamos en fórmulas notables. Entonces, paremos un
momentito ahí en factorización. Yo voy a escribir en la pizarra, en una hojita, escribe su nombre y sección y
resuelve las formulillas notables, son las fórmulas notables que ustedes se saben, verdad ?. Las ocho que
estudiamos la semana pasada (P escribe en la pizarra las expresion a factorizar para la comprobación).
(x − a2 )(− a2 −x ), (−13+ 4x )(4x −13), (a+b− 12 ) ,
2
Las expresiones a factorizar para la comprobación son: (1+b3)2,
(a3² +b) −(a²+4b)(a −4a²b+16b²)
3
3
(x-2)3,
3
4
. Los estudiantes que terminan la comprobación la entregan y continúan con la práctica (1h11’29.
El timbre suena).
VI.2.3 SB-0303200610M : IDENTITES REMARQUABLES
1
PROF=SB
(01’58) Bueno, cómo les fue con las formulitas, ya ahora si! Ya ahora más fórmulas notables que otra cosa
(varios estudiantes hablan). Bueno muy bien, entonces, vamos a iniciar la factorización por fórmula notable
(P toma un cuaderno de una estudiante y lo revisa). Bueno entonce (03’01-03’40). Fórmulas notables ya
usted las sabe desarrollar (una estudiante llega tarde y la profesora le solicita salir del aula). Ok ahora, qué
vamos a hacer ahora. Vamos a tener la fórmula ya desarrollada y usted la tiene que reconocer. Usted tiene
que saber que ese trinomio, es tal fórmula, que esa suma esta tal fórmula, que esta diferencia es tal fórmula,
ok. Vamos a trabajar estas formulitas. Por ejemplo, si aparece esta (P escribe: a²+2ab+b²), quién es ?
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Primera fórmula
Ok entonces, ese trinomio yo lo puedo escribir como un factor. Si o no ?
a más b, a la 2
a al cuadrado, ok. Muy bien. Igual puedo escribir a más b, por a más b. Es lo mismo o no?
Si.
Ok. Ahora, si vemos esta (P escribe: a²-2ab+b²).
a menos b, a la 2
Entonces todo ese trinomio, esa suma, como quieran verla, lo puedo convertir en un factor, cuál será?
a menos b
a menos…
b a la 2
Muy bien. Ahora si tenemos una diferencia de esta forma (P escribe: a²-b²).
Od
Od
Od
Od
Od
517
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
518
E
PROF=SB
E=S
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=J
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
a menos b, por a más b.
Muy bien. a menos b…
Por a más b
Por a más b. Igual pude escribir primero a más b, por… a más b
a menos b
a menos b. No hay problema verdad. Ok. Ahora si tenemos esta (P escribe, a3+b3).
a más b, tres veces a a la 2.
Seguros.
a más b, entre paréntesis, a al cuadrado más a b más… b al cuadrado.
Ok, no voy a poner esto verdad, digamos, por decir algo (P escribe: (a+b)3, y justo después lo borra).
No
O si, es lo mismo?
No (P llama la atención a algunos estudiantes).
Ok, eso no es a más b al cubo. Si? Ya sabemos que no es esa, entonces no podemos hablar de a al cubo, más
3 a a la 2 b, más 3/ Verdad no los estoy poniendo como factores. Cuáles son los factores para esa
formulita ?
E
a más b
PROF=SB
a más b, muy bien. Por ?
E
a a la 2, más a b.
PROF=SB
a a la 2
FÓRMULA NOTABLE
E
2ab
PROF=SB
2 a b o a b?
a²+2ab+b²=(a+b)²
E
b a la 2
a²-2ab+b²=(a-b)²
PROF=SB
Segurísimos?
a²-b²=(a+b)(a-b)
a3+b3=(a+b)(a²-ab+b²)
Es
Si.
a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)
E=J
No es a al cuadrado más a b?
PROF=SB
Ah ya, hay un error de signo ahí verdad?
E=J
En el segundo
PROF=SB
En el segundo factor verdad (P cambia el signo del segundo término del segundo factor). Entonces sería,
recuerden que tenemos suma de cubos, aquí hay suma, aquí hay una resta y aquí hay suma. Aquí hay un
signo que me va a cambiar obviamente, para a la hora de multiplicar todo, si ? Ya lo habíamos hecho siendo
el producto, verdad ? Ok. Y ahora, a al cubo menos b al cubo (P escribe: a3-b3). Esta era suma de cubos
(algunos estudiantes dicen la factorización), esta es diferencia de cubos. Ok, entonces aquí es…
E=S
a menos b
PROF=SB
a menos b
E=S
a a la 2 más a b más b al cuadrado.
PROF=SB
Si ? Ok vamos a factorizar con esas. Nos van a dar ya estas partes, digamos esto; esto, esto, esto, todo esto.
Ya desarrollado y usted lo que tiene que hacer es escribirlo como esos factores. Si ? Cómo ? Bueno vamos a
ver este ejemplo, digamos este (P escribe: x²+4x+4) x a la 2, más 4 x, más 4.
E=J
La primera, x más 2 elevado a la 4.
PROF=SB
Muy bien. Esto es una fórmula notable, y la puedo escribir como, x más 2 al… cuadrado (P escribe:
x²+4x+4 =(x+2)²). Será cierto que si yo aplico ahí la fórmula notable, obtengo ese, x a la 2, más 4 x más 4?
Será verdadero, verdadero ?
E=S
Si
PROF=SB
Cómo desarrollaría, digamos yo tengo esta parte así (P cubre con la mano el miembro izquierdo de la
identidad), si yo la desarrollo cómo me quedarí ?
Es
x a la 2/
PROF=SB
El cuadrado del primero más… (varios estudiantes dicen su respuesta, inaudible) 2 por x por 2, o sea ?
Es
4x
PROF=SB
Más
Es
4
PROF=SB
Cuadrado del segundo, sería, 4. Ok, muy bien (P escribe: x²-6x+9). Será la primera otra vez ?
E
x más 3.
PROF=SB
Más ?
Es
Menos
PROF=SB
Ok, este sería x menos,
Es
3
PROF=SB
Muy bien. Ahora este (P escribe: -x²-10x-25). Será la segunda ?
E
Si
E=J
La primera.
PROF=SB
Es la primera ?
E=J
Si profe, porque si lo pone entre paréntesis y saca a factor un menos todo cambia de signo.
PROF=SB
Muy bien. Yo observo, así como está yo observo y digo, no se parece a ninguna, porque vea la expresión,
todos son negativos, verdad y cuál de estas tengo con esas condiciones de signos ?
E=(F)ernando Ninguna
PROF=SB
Ninguna. Entonces como todos son negativos, efectivamente yo puedo sacar un factor común, si o no ? Saco
el menos 1 digamos de factor común, o el menos. Si sacamos el menos, qué me va a quedar ?
E=F
x a la 2.
PROF=SB
x a la 2 ya queda positivo. Luego menos entre menos ?
Es
Más
PROF=SB
Más 6 x. Y aquí menos entre menos ?
Od
DsR
Od
Od
Od
DsR
DsR
DsR
DsR
DsR
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
Es
PROF=SB
E=J
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=J
PROF=SB
82
83
E
PROF=SB
84
85
86
87
88
89
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
90
91
92
93
94
95
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
96
97
E=(JD)aniel
PROF=SB
98
99
100
101
E
PROF=SB
E
PROF=SB
Más
Verdad que si. Ve entonces quién es, ahora si.
Ejms.
La primera.
1) x²+4x+4=(x+2)²
2) x²-6x+9=(x-3)²
Ya ahora lo que está dentro del paréntesis quién es ?
3) –x²–10x–25=
La primera.
–(x²+10x+25)
La primera fórmula notable. Cómo me va a quedar entonces esto ?
–(x+5)²
x más 5
x más 5, a la 2. Y este menos, qué hago con ese menos ?
Lo deja fuera del paréntesis.
Ok, lo dejamos aquí afuera.
Esto sería la factorización completa. Si ? (Una estudiante pide permiso para ir al baño). Ok ahora veamos
esto (P escribe: x²-4). x a la 2 menos 4.
x menos 2, x más 2
Ya por la forma, tiene, se parece como a esa o a ésta verdad. Porque son dos términos restándose. Entonces,
cómo hago para saber si es ésta o es ésta ?
Di porque está elevado a la 2.
Ok son cuadrados. Verdad ? Entonces cómo nos quedaría la factorización.
x menos 4
x menos 4 ?
x menos 2 (varios estudiantes hablan al mismo tiempo, inaudible)
Ok, cómo hacemos para encontrar, este x y este 2. Este x y este 2 ? Este x y este 5, este x y este 3 (P se
refiere a las factorizaciones anteriores). Cómo hago para saber/ (los estudiantes opinan, inaudible).
Sacando la raíz cuadrada ? A quiénes ? A todos ?
No a dos factores. El primero y el segundo
Al primero sería en ese caso verdad. Bueno ok, entonces usted, extrae la raíz cuadrada de éste…
x
Verdad la raíz cuadrada de x a la 2. Y ahí extrajo la raíz cuadrada de 4. Eso fue lo que hizo ?
Si.
4) x² - 4 = (x-2)(x+2)
Bueno muy bien.
Od
Od
Od
ReV
DsR
ReV
↓ ↓
x² 4
Y entonces qué sucedería con algo como esto. Digamos que diga, tenemos, m a la 2, menos 5 (P escribe: m5). m a la 2 menos 5, cómo sería esa ?
Sería m más raíz de cinco, por m menos raíz de 5.
Muy bien. Si yo obtengo lo mismo que me acaban de decir aquí, voy a decir, bueno voy a sacar la raíz de
éste y voy a sacar la raíz de éste. De aquí, me va a quedar raíz, de m al cuadrado sería ? m verdad, menos,
raíz de 5 no es exacta verdad ? Entonces igual me va a quedar raíz de 5, entonces ese es nuestro a y nuestro
b de la fórmula notable, que nos quedaría tal y como nos dijo el compañero. m menos raíz de cinco, por…
m más raíz de 5
m más…
raíz de 5.
raíz de 5. Entonces si es exacta, usted lo va a poner ahí ya con el valor que corresponde. Será cierto que si
yo tomo la raíz de 5 y la elevo al cuadrado, me dará 5 ? Porque si no, no me sirve. Yo tengo que decir que
esto es igual que esto y aquí lo que hicimos fue aplicar la fórmula
5) m² - 5 = m− 5 m + 5
notable, verdad. Elevo al cuadrado los que tengan igual signo, menos
elevo al cuadrado los que tengan signos diferentes. Entonces en ese
↓ ↓
caso sería, m al cuadrado menos raíz de 5 al cuadrado, me quedaría
m² 5
así ? Porque si no, no me sirve. Si o no?
m-
(
)(
ReA
)
5
102
103
104
105
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
106 Es
107 PROF=SB
108
109
110
111
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
112 Es
113 PROF=SB
114
115
116
117
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
118 Es
Si
Ok. Muy bien ahora veamos (P escribe: (x+1)²-16), x más 1, todo al cuadrado, menos 16.
x más 1, menos 4
Muy bien, entonces ahora yo tomo el x más 1 como un solo término, o no será que me pongo a resolver la
fórmula, luego resto 16. No verdad ?
No
Yo voy a tomar a este x más 1, como si fuera entonces solo este a. Entonces, efectivamente, nos va quedar,
x más 1, menos 4 verdad ?
6) (x+1)²-16=[(x+1)-4] [(x+1)+4]
Si
=[x+1-4] [x+1+4]
=[x-3] [x+5]
Por, x más 1, más ?
4
4. El primer término para nosotros es efectivamente este x más 1, que es el que aparece aca. Si ? A x más 1
todo al cuadrado le sacamos la raíz y nos quedó x más 1. Mjú. Y a 16 le sacamos la raíz y nos quedó…
4
4. Entonces ahora ya, para que nos quede ya, ahora el factor simplificado, quitemos paréntesis y reducimos
lo que se pueda, en este caso. x más 1 menos 4, x más 1 más 4. Entonces x, cuánto es 1 menos 4
Menos 3
Muy bien. Por…
x más 5
Entonces los factores de esa factorización serán, x menos 3, y x más 5.
Ok, de igual forma podemos escribir (P escribe: 4-(a-1)²). Quién sería el primer término ?
4
DsR
519
119 PROF=SB
120 Es
121 PROF=SB
122 E
123 Es,
PROF=SB
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
E=J
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=S
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=S
PROF=SB
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
149 E
150 PROF=SB
151 E=S
152 PROF=SB
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=S, Es
PROF=SB
E=S, Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
163
164
165
166
167
168
169
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=S
PROF=SB
Es
520
Y el segundo término ?
a menos 1
a menos 1 al cuadrado. Ahora si yo voy a trabajar con ésta, porque sigo viendo que son diferencias de
cuadrados, tengo que escribir el primer término más el segundo, el primer término menos el segundo.
Entonces cómo me quedaría? (algunos estudiante dice su respuesta). Qué sería, 2 menos…
a menos 1
a menos 1. Por 2 más, a menos 1. A a menos 1, no le puedo cambiar el signo, o si? a menos 1, es solo el
término, no lo puedo estar cambiando, ahora si, cuando voy a quitar el paréntesis redondo, qué es lo que nos
va a pasar en el primer factorcito ?
Cambia de signos.
Ok, entonces me queda, 2 menos a, más 1. Por…
2 más a ...
Más a menos 1 sería, verdad ? Se reduce lo que se pueda, qué será ?
3 menos a
2 más 1 ?
3
Ok, entonces me está quedando 3 más a. Y aca ? 2 menos 1 ?
1
7) 4-(a-1)²=
2 menos 1 ?
[2-(a-1)][2+(a-1)]
1 más a
[2-a+1][2+a-1]
Ah… es que yo oí que me decían menos 1.
[3-a][1+a]
Profe pero ahí no es 3 menos a?
Ah perdón. Gracias por la corrección. 3 menos a, tienen toda la razón. Y en el otro está bien, 1 más a ?
Estamos ? Muy difícil.
Ahora, cómo serían los ejemplos de los cubos? Ahora son expresiones, que estaban elevadas a la 3 y nos
dieron tal resultado. Voy a escribir aquí para no tener que volver a copiar aquella práctica. Esta fórmulas
ustedes ya se las saben.Ya están en una fichita, bien echas, con todo el trabajo del mundo. Voy a dejar esta
para no volver a copiarla (P se refiere a la de diferencia de cubos). Si era menos es así, y si era más ? Es
aquí más, aquí menos y aquí más, verdad. Era así ? Ok, entonces, hagamos el ejemplo 8. Digamos que
tenemos 27 más a a la 3 (19’26. P escribe: 27+a3). 27 más a a la 3. Si es suma y tengo dos términos, puede
ser también la primera fórmula ? No verdad, para la primera fórmula qué tenemos ? Tres términos verdad.
En este caso tenemos solo dos, 27 y a a la 3. Y además con suma, entonces cuál fórmula es la que vamos a
poder aplicar ? Suma de…
Cubos
Suma de cubos. Entonces, este 27 lo tengo que escribir como una expresión al cubo, quién es ?
3
3 a la 3, verdad. Entonces cuáles son los factores ? Son dos los que tenemos verdad ?
3 más a
3 más… a ok, por...
3 a la 2, más
Menos
Más, menos ?
8) 27+a3=(3+a)(9-3a+a²)
Menos
3 a, más a a la 2.
Ok. Muy bien, muy bien. Ok, digamos que tenemos x a la 3 menos, 8 y a la 3.
Profe en los otros no contamos con los exponentes, 3; solo con el número ?
Claro, igual como hicimos en este. Usted contó con este exponente 2 ? Si contó para darse cuenta que era al
cuadrado, verdad. Ahora en éste ? Para qué cuento yo con este exponente. Para darme cuenta/
Al sacarle la raíz cúbica entonces queda 3 y ya.
Muy bien. Ya nos dijo qué teníamos que hacer, verdad ella. Para poder … bueno porqué yo puse aquí 3 y
aquí a, si aquí decía 27 y aquí decía a a la 3. Qué fue lo que hicimos para encontrar ese primer término y ese
segundo término ? (algunos alumnos dan su respuesta. Inaudible). Extraímos la raíz cúbica, muy bien.
Entonces cómo serán aca los términos ? (21’41).
x menos 3 y.
x ...
menos 2 y.
Ah, bueno. x menos 2 y. Ok. Por... más o menos.
Más.
Más
2 x y.
2 x y.
9) x3-8y3=(x-2y)(x²+2xy+4y²)
Más 4 y a la 2.
Muy bien. Ahora si, hagamos del estilo de estas, de x a la 3, menos 2, digamos (P escribe: x3-2). x a la 3,
menos 2.
x menos raíz cúbica de 3 (otros estudiantes dicen de 2).
Muy bien, muy bien. x menos raíz cúbica de…
2
Por,
x a la 2
x a la 2
Más…
ReV
ReV
170
171
172
173
174
175
176
177
178
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
179 E=F
180 Es
181 PROF=SB
182
183
184
185
186
187
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
E
PROF=SB
E=J
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=(K)aren
201 PROF=SB
202 Es
203 PROF=SB
204 E
205 PROF=SB
206
207
208
209
210
211
E=1
PROF=SB
E=1
PROF=SB
E=1
PROF=SB
212
213
214
215
216
217
E=2
PROF=SB
E=2
PROF=SB
E=2
PROF=SB
Más, muy bien (inaudible respuesta de estudiantes). x más raíz cúbica de 2.
Más, x más raíz cúbica/
x?
No, raíz cúbica de 2.
Ok raíz cúbica de…
10) x3 −2= x −3 2 x² + x3 2 +3 4
2
De 2 a la 2, que sería ?
4
Muy bien. Ahora sí, vamos hacer el paréntesis aquí, como los ejemplos seis y siete y vamos a poner, x más
1 al cubo, más 8 (P escribe: (x+1)3+8).
x más 1
x más 1 más 2
Muy bien entonces voy a usar paréntesis cuadraditos para poder trabajar con el primer término y el segundo
término. Muy bien. Por… cuadrado del primer término que es… x más 1 al ?
A la 2.
Cuadrado. Menos…
Menos 2 que multiplica a x más 1.
Muy bien. Más ?
4
Muy bien. Eso sería como quien dice, pusimos las partes en la fórmula verdad, nada más. Ahora, tratemos
de simplificar lo que se pueda, dentro de cada paréntesis cuadrado. Qué nos queda aquí ? Aquí no hay
cambio de signos ni nada, aquí x más 1. Por, y aquí ?
x a la 2.
x más 1 a la 2, qué será?
Primera fórmula notable.
Muy bien, cuánto me da como resultado ?
x a la 2, más 2 x más 1.
Muy bien, menos.
2 x, menos 2.
Muy bien. Si ? Ahora si, qué se puede reducir o simplificar. 1 más 2 ? Ok, aquí sería, x a la 2, verdad ?
Se cancelan las dos x.
Dos x menos dos x, cero, verdad.Y aquí nos está quedando, 1, menos 2
Menos 1
11) (x+1)3+8=[(x+1)+2][(x+1)²-2(x+1)+4]
Más 4.
=[x+1+2][x²+2x+1-2x-2+4]
Más 3
=[x+3][x²+3]
(
)(
)
Si ? Claro, fundamental, saberme la fórmula. Y si no me sé la fórmula, di cómo voy hacer par ir viendo
esto ? Muy difícil verdad, di si uno no se sabe la fórmula ya es como ir viendo a ver qué. Alguna pregunta.
No.
Igual podríamos poner un ejemplo ahí con la diferencia de cubos, puedo borrar el primer ejemplo ?
Digamos que el 12, que sea 1 menos, x menos 2, al cubo (P escribe: 1-(x-2)3). Entonces sería diferencia de
cubos. Cuánto me va a dar esto ?
1
Muy bien, menos… x menos 2, por, 1, más, 1 por x menos 2. Escribámoslo mejor, no hace falta, pero, más,
x menos 2 al... al cuadrado. Si? Porque ahora ya, nuestros segundo término es x menos 2. Entonces, qué nos
va a quedar aca ? 1 menos, x más 2. Muy bien aquí, 1 más, x menos 2 más, y esto ? (una estudiante dice su
respuesta, inaudible). Muy bien. 1 más 2 ya me está dando 3. Menos x por, aquí lo podemos ir acomodando.
Una x menos 4 x ? 3 x. Uno menos 2 ? Menos 1 más 4. Si ? Entonces ahí, digamos que lo único diferente de
éste con aquel, es que aquí la fórmula de la diferencia y
12) 1-(x-2)3=[1-(x-2)][1+1(x-2)+(x-2)²]
aquí este menos me va a cambiar estos signitos. Por eso
=[1-x+2][1+x-2+x²-4x+4]
mejor como irlo metiendo entre paréntesis, que usted lo
=[3-x][x²-3x+3]
reconozca, y ahora si, este es el primer término, y aquí 8
era como el 2 a la 3, entonces ahí me quedó como el 2 en un término. Si ?
De igual forma en este caso. Tomo como segundo factor a todo el x menos 2. Mjú? Preguntas y más
preguntas.
Profe, en la once, el menos 2 x, menos 2 más 4 en la segunda, ajá ahí, de donde sacó eso ?
Perdón ?
De dónde sacó eso.
Esto ?
Este, el menos 2 x.
Ok aquí arriba si estás ubicado, verdad ? Cuadrado del primero, más el primero por el segundo, más el
cuadrado del segundo. Ahora aquí, de aquí, es esta fórmula. Verdad, que es el cuadrado del primero, dos
veces el cuadrado del segundo más el cuadrado del segundo. Menos, 2 por x… 2 x. Menos 2, por 1, menos
2. Ya, entonces esto salió del producto entre menos 2 por x más 1. Si ? Y ya el más 4 que ya estaba ahí.
Profe y el menos 4 x de la 2, de dónde salió ?
4 x de la 12 ?
Eh 4 x de la 12
Este ?
Ajá.
De la fórmula. Cómo resolvemos esta fórmula ? Cuadrado del primero, menos, dos veces/ ah ya, me ibas a
poner x a la 2 menos 4. Ah ! Ahí ya yo estoy usando la segunda fórmula notable, cuadrado del primero,
Pr
(Od)
(ReO)
521
menos dos veces el primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. De ahí salió es menos 4 x. Si ?
Qué más preguntas. Bueno, entonces busquemos nuestros ejercicios ahí, en la práctica que tenemos (29’45).
En esa practiquita que es, vamos a trabajar la página, estábamos en la cinco, la página seis (P les indica qué
tiene que realizar de la práctica fotocopiada y que además deben agregar un punto cuatro que está escrito
en la pizarra. Mientras que los estudiantes trabajan en la práctica, P irá revisando la carrera, llamándolos
a su escrito. 32’15-01h13’24. Suena el timbre).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
522
PROF=SB
(03’31) Estamos factorizando; por lo tanto tenemos, hasta el momento tenemos tres métodos. Primero
hicimos...
E=A
Fórmulas notables
Es
Factor común
PROF=SB
Luego hicimos…
Es
Agrupación
PROF=SB
Y luego…
Es
Fórmulas notables
PROF=SB
Muy bien, ahora vamos a hacer otro método, que se llama, efectivamente, inspección (P escribe en la
pizarra: Factorización. Inspección). Es otro de los métodos para factorizar que vamos a estudiar. Entonces
yo (04’01) ** (comentarios sobre los estudiantes que llegan tarde. 04’45). Bueno, vamos a ver, factorice
completamente una expresión y aparece esto (P escribe: x²+5x+6). Se podrá hacer factor común ?
Es
No
PROF=SB
Se puede hacer agrupación ?
FACTORIZACION
E
No
INSPECCION
E
Si
PROF=SB
Bueno si yo agrupo, si yo agrupo qué voy a agrupar ?
Ejm. x²+5x+6
E=(S)tephanie x a la 2 más 5 x.
(x²+5x)+6
PROF=SB
Ok, dice Stephanie que haga esto, x a la 2 más 5 x.
x(x+5)+6
E=S
Queda el 6 por fuera.
PROF=SB
y queda el 6 por fuera. Entonces aquí digo, x por x más 5, más 6 (P escribe en la pizarra).
Y ahora qué hago ? (comentarios inaudibles). Estamos haciendo la factorización y así lo dejamos ya, esa es
la factorización ?
Es
No
PROF=SB
No verdad ? Ok entonces. Ya digimos que no se puede hacer factor común, ya probamos que no se puede
hacer agrupación. Será fórmula notable ésta ?
E
Tampoco
Es
(otras varias respuestas inaudibles)
PROF=SB
A ver si es fórmula… (comentarios de estudiantes). O sea, si yo lo asociaría con alguna fórmula notable,
con cuál ?
E
La primera.
PROF=SB
Con la primera verdad, tiene fórmula, pareciera. Pero me dicen que no es fórmula, por qué no ?
E=(Fe)rnando Porque 6 no es cubo, cuadrado perfecto.
PROF=SB
Bueno porque no cumple con las condiciones de la fórmula. En primer lugar 6, digamos que no es cuadrado
perfecto, está bien. Y además 5 x, qué tenía que ser ese ?
E
El doble.
PROF=SB
El doble producto, del primero por el segundo, verdad. Entonces ok, vamos a usar entonces el método de
inspección. Consiste en lo siguiente, voy a buscar dos expresiones que multiplicadas me den este x a la 2,
dos números o dos expresiones verdad (07’08). Y dos que multiplicadas me den 6.
E=(F)ernado
x por x.
M
PROF=SB
Bueno aquí podemos poner x por x. También podíamos haber puesto x a la 2 por 1 verdad, y me da x a la 2.
Bueno… ya decidieron escribir x por x. Entonces aquí tengo que escribir dos que me den, 6.
Es
3 por 2
PROF=SB
Entonces yo tengo que pensar en todos los factores que tiene 6. 6 por 1, 1 por 6, 3 por 2, 2 por 3. Entonces
ahora si, cuál de esos me va a servir/ en qué me tengo que basar para poder escoger a ese par. Entonces, los
números que yo escribo aca, voy a tener que combinarlos con esos números que puse aca, o expresiones, de
tal forma que a la hora de cruzarlos o multiplicarlos en cruz obtenga como resultado ese 5 x, o sea el del
centro, digamos. Lo multiplico en cruz y lo sumo; entonces digamos si yo escribo aquí, 6 por 1 (comentario
a un estudiante fuera del aula, de un grupo que P va a adelantar), 6 por 1, 6. Verdad, está bien. Ahora, x
por 1, cuánto me va a dar ? x
Es
x
PROF=SB
Una x. Más, x por 6 ?
Es
6 x.
PROF=SB
6 x. Una x más 6 x cuánto me está dando esto?
Es
7x
PROF=SB
7 x. Y cuánto me tiene que dar?
Es
5 x.
DsR
DsD
ReO
ReH
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Entonces no me sirven estos dos factores, cuáles serán los que me van a servir?
3 por 2
1) x² + 5x + 6
Vamos a ver. 3 por 2. 3 por 2, 6, está bien. Ahora si, una x por 2 ?
x
3
•
•
2x
x
2
x²
6
2 x. Una x por 3 ?
3x
x+6x
3 x, ahora si. 2 x más 3 x ?
7x
5x
5 x. Ese es efectivamente el que necesitamos. Estamos ? Bueno ya tenemos los términos acomodados, ahora
cómo voy a escribir yo los dos factores o los tres factores o los cuatro factores… Esto lo vamos a escribir de
la siguiente manera, los vamos a leer así como los renglones, horizontal (P hace un moviento horizontal con
la mano). Verdad ? Entonces aquí me va a quedar un x más 3 y aquí un x más ?
E=F
2
PROF=SB
2. Entonces mis factores van a hacer: x más 3 por… x más …
E
2
PROF=SB
Se supone que si yo multiplico estos dos binomios, la respuesta va a ser ésta. Si no me da eso, lo hice mal.
Verdad. Lo podemos corroborar para que estén seguros de eso. x más 3, por x más 2, son binomios que se
están multiplicando, y si yo los multiplico, cuánto me va a dar esto ? x por x, x a la 2. x por 2…
Es
2x
PROF=SB
2 x. 3 por x?
Es
3 x.
PROF=SB
Y 3 por 2 ?
Es
6
PROF=SB
Ok ahora, x a la 2, 2 x más 3 x ?
Es
5x
PROF=SB
5 x. Más ?
x²+5x+6 = (x+3)(x+2)
x²+2x+3x+6
Es
6
x²+5x+6
PROF=SB
6. Este resultado que obtuvimos aquí será el mismo que éste ?
E
Si
PROF=SB
Muy bien, entonces estoy factores me están sirviendo perfectamente. Claro, no hace falta que usted lo
corrobore. Con que usted cumpla con las condiciones que estamos pidiendo aca para la factorización, es
suficiente, si? Estamos ? Veamos otros ejemplo (10’19). Pongámole a éste, ejemplo uno y a éste ejemplo
dos. Entoces me va a quedar por ejemplo esto: x a la 2, menos x menos 12 (5s). x a la 2, menos x menos 12
(P escribe: x²-x-12) Entonces ? (una persona interrupe la clase, busca a la profesora. 11’26). Bueno ok,
entonces. Qué me dicen, cuáles serán las expresiones ahí ?.
E=Fe
x por x, y 4 por 3
PROF=SB
Cuáles son los factores de… de ese 12 ?
E=A
De quién ?
PROF=SB
De ese menos 12. Porque bueno x a la 2 ya Fernando me está diciendo efectivamente x por x; pero en el
menos 12, qué podemos poner ?
Es
(inaudible comentario de estudiantes)
PROF=SB
6 por 2. Ajá muy bien qué más ?
Es
(varios estudiantes hablan a la vez, inaudibles la respuestas)
PROF=SB
Menos 4 por 3, qué más (12’09).
Es
(varios estudiantes hablan a la vez, inaudibles la respuestas)
PROF=SB
Menos 1 por 12, ó menos 4 por 3 (15s). Entonces, cuáles son los que me sirven ? (Una persona solicita a P
en la puerta. 13’29). Bueno, entonces qué hago, señores ? Vamos a ver. Muy bien, aquí me dijeron x por x,
qué decidieron respecto a menos 12 ?
Es
3 por menos 4 (dice la mayoría, aunque hay otras respuestas)
PROF=SB
Me sirve mejor este.
Es
Si
PROF=SB
Ok, entonces yo digo, 3 por menos 4, menos 12. Vamos a corroborar: x por menos 4, menos 4 x. x por 3, 3
x, entonces yo tengo que sumar menos 4 x más 3 x, que me va a dar ?
Es, PROF=SB Menos una x.
PROF=SB
Efectivamente, el término del centro que andaba buscando también. Muy bien, entonces quiénes son los
factores aquí ?
E
(varias respuestas, inaudibles). x
PROF=SB
x
E
Más 3
PROF=SB
Más 3. Por…
E
x menos 4
PROF=SB
x menos 4.
E=1
Qué pasa si uno los pone al revés, no importa?
PROF=SB
Pasará algo/ lo que me estás preguntando es si interviene en algo ?
E=1
Si, si uno los escribe al revés.
PROF=SB
No importa. Porque yo me imagino que usted escribió primero aquí menos 4 y después 3.
E=1
Ajá
523
92
PROF=SB
93
94
95
96
97
98
E=Fe
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=2
PROF=SB
99
100
101
102
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
Es
PROF=SB
E=A
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=(J)ose
PROF=SB
Es, J
PROF=SB
E=J
PROF=SB
E=J
PROF=SB
Es
PROF=SB
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=A
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=S
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
134
135
136
137
138
139
E=S, Es
PROF=SB
E=S
PROF=SB
E=S
PROF=SB
140
141
142
143
144
145
146
147
E=S
E=Fe
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
E=A
PROF=SB
524
Menos 4 por 3, efectivamente me da menos 12. Y cuando hace le producto así
2) x² - x - 12
cruzado, efectivamente el producto le va a dar menos 1, igual. No hay problema,
x
3
•
•
verdad. Ok. Estamos, hasta ahí? Si ?
x
-4
Ok, siguiente ejemplo. Vamos a poner un ejemplo aca, donde ese primer término ya
x²
-12
no sea… ya no sea uno. Sea algo más… interesante. Como qué puede ser? 6 x a la 2,
-4x+3x
más x menos 2 (P escribe: 6x²+x-2). 6 x a la 2, más x, menos 2. Entonces qué hago ?
-x
(15’43. Algunas respuesta, inaudibles). Ahora aquí tengo que buscar dos expresiones,
que multiplicadas me den, 6 x a la 2. Y dos aquí que me den menos 2. Entonces aquí
dos expresiones que me den 6 x menos 2, tengo bastantes, cuáles pueden ser ?
3 x por 2 x
3 x por 2 x. Ajá, qué más? O al revés, 2 x por 3 x. Ok, qué más ?
6 x por x
6 x por una x. Muy bien.
6 x a la 2 por … por 1.
Bueno también puede ser, 6 x a la 2 por 1 (risas de compañeros cercanos). Es que me dice, 6 x a la 2 por …
por 1. Di está bien. Yo puedo poner eso verdad, no importa. Si usted lo escribe, efectivamente uno dice, 6 x
a la 2 por 1; 6 x a la 2 por 1, efectivamente es 6 x a la 2, el problema que voy a tener es cuando yo
multiplique este por éste por éste y éste por éste, a la hora de/ para que me dé solamente x, verdad. Ese va a
ser el problemilla, nada más. Entonces no me sirve, ese 6 x a la 2 por 1.
2 x por 3
Nos quedamos con 2 x por 3 x.
Si
O… 3 x por 2 x, eso ya... Ahora el asunto va estar alla en escribir el menos 2. Cómo hago para escribir el
menos 2 ?
1 por menos 2.
1 por menos 2.
Menos 2 por 1
O menos 2 por 1
1 por menos 2
O menos 1 por 2 verdad, no sé lo que me están diciendo.
1 por menos 2.
1 aquí ?
Si
Aquí escribo el 1 y aquí escribo el menos 2.
No está al revés.
O es al revés? (17’27)
No está/ es menos 1 por 2.
Bueno yo puse el primero que me dijeron, probémoslo a ver qué pasó.
2 por menos 2, qué me está dando ?
Menos 4 x, muy bien. 3 x por 1 ?
3
3 x. Entonces ahora, menos 4 x más 1 x, me quedan menos 1 x. Y cuándo es lo que me tiene que dar ?
Más
Una x positiva, verdad. Muy bien.
Tiene que ser al revés.
Entonces qué hago ?
Menos 1 por 2
Qué es al revés, poner aquí menos 2 por 1 ?
No menos 1
No
O lo que hago es cambiar el signo.
Cambiar el signo.
Porque me puedo enfrentar a cualquiera de esas situaciones, verdad. Entonces qué cambio ?
El signo.
El signo nada más. Ok, entonces le voy a poner, menos 1 por 2, menos 2, está bien, verdad. Sigue sirviendo
con menos 2. Ahora hagamos la… el cruce. 2 x por 2 ?
4x
4 x. Más, 3 x por menos 1 ?
Menos 3 x
Menos 3 x. Entonces, 4 x más menos 3 x, cuánto me da eso ?
x
Una x. Efectivamente, el resultado que necesitábamos para esa parte. Si ? Bien entonces ahora, cuáles son
nuestros factores ?
2 x más 2
2 x menos 1
2 x más 2, ó 2 x menos 2, ó 2 x menos 1 ?
2 x menos 1
2 x más 2, por 3 x menos 1
Qué ? (murmullos de estudiantes)
Cómo dijo ?
Usted está haciendo así, 2 x más 2, por 3 x menos 1 (P señala en el procedimiento escrito en la pizarra la
148
149
150
151
152
153
154
155
E
PROF=SB
E=Fe
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
flecha que conecta cada término dicho por S). Cómo dijimos que íbamos a leer estos factores ?
Como si fueran recto.
En horizontal verdad, entonces sería efectivamente, 2 x/
2 x menos 1, por 3 x menos 2.
2 x menos 1, por…
3 x menos 2.
3 x más...
2
Si? Entonces ahí, el asunto ahí; efectivamente como el nombre lo dice, es inspeccionar.
3) 6x² + x - 2
Es ir a poner términos a ver cuál nos calza, a ver cuál nos sirve para que *. A la hora de
2x
-1
•
•
hacer el producto de los binomios obtenga ese trinomio como respuesta.
3x
2
Ok, veamos otro ejemplo ahí, pongamos algo que tenga, dos letritas. Vamos a ver, por
6x²
-2
ejemplo… ejemplo número cuatro. Tengo 5 x a la 2, menos 8 x y, más 3 y a la 2 (P
2x+-3x
escribe: 5x²-8xy+3y²).
ReH
x
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
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171
172
173
174
175
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177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Profe, siempre es solo, siempre es solo tres términos ?
Si muy bien, para hacerlo con inspección, si.
Solo tres términos.
Claro aveces, ahora cuando nos combinen los métodos puede ser que tengamos que hacer, agrupación, y
después de la agrupación ahí hay una inspección y entonces hacemos la inspección (20’08). Muy bien.
Entonces ahora, son dos expresiones que multiplicadas den 5 x a la 2. Dos que me den 3 y a la 2. Y a la hora
de cruzarlos efectivamente me tiene que dar menos, 8 x. Cuáles son los factores de 5, que nos podrían servir
ahí ?
E=S
5 x por x
PROF=SB
Muy bien
E=S,F
5 x por x
PROF=SB
O sea 5 por 1 o 1 por 5, sería en ese caso, verdad.
E=F
Si
PROF=SB
O puedo poner ahí un, 3 por 2?
E=F
No
PROF=SB
No porque necesito que me dé 5.
E=J
Menos 5 x menos 1 (otros estudiantes intervienen, inaudible).
PROF=SB
O menos 5 y menos 1 verdad, no sé. Tiene que darme 5 positivo.
E=F
5 x por x.
E=J
Menos 5 x menos 1, verdad, no es… (varios estudiantes intervienen al mismo tiempo, inaudible)
PROF=SB
Si yo escribo, 5 x por menos una x, esto me va a dar, menos 5 x a la 2. Y tiene que dar 5, verdad.
E=J
Pero es que el 5 y el x, tienen que ser negativos los dos, para que dé positivo.
PROF=SB
Bueno si quiere ponemos los dos negativos verdad. Si quiere poner esos negativos. Vamos a ver, si nos sirve
ponerlo ahí o lo ponemos al otro lado, no importa. Aquí multiplicados me tienen que dar 3 y a la 2.
E
3y
PROF=SB
Ahora sí, aquí no hay problema.
E=S
1 por menos 3
PROF=SB
1 por menos 3?
E
No porque el 3 por el .../
PROF=SB
Exactamente, si yo digo, 1 por menos 3… di nada más me está dando menos 3.
E=Fe
Es menos 1 x, menos x.
Es
(comentarios de desaprobación, inaudibles)
E
Es menos 1, menos 3.
PROF=SB
Menos 1 por menos 3, nada más así?
E=J
No pero tiene que estar al revés porque el menos 3 tiene que estar arriba; porque si no va a dar 15 y no va a
dar el resultado (comentarios de algunos estudiantes, inaudibles).
PROF=SB
(22’01) Bueno ya, menos 1 por menos 3 me dio 3, y está bien, nada más; pero me tiene que dar 3 y a la 2
(comentarios de algunos estudiantes, inaudibles). Ok, entonces sería esto, menos una y, por menos 3 y.
E=J
El menos 3 va arriba (otros estudiantes repiten)
PROF=SB
Muy bien, y si yo lo dejo así tengo problemas o no ?
Es
Si
PROF=SB
No tengo problemas con estos, porque esto es lo mismo de aca, porque yo digo, 5 x por x, 5 x a la 2. Menos
una y por menos 3 y, 3 y a la 2, está bien. Pero ahora cuando yo voy a hacer este cruce o este intercambio
aca, qué va a pasar ? 5 x por menos 3 y, me va a quedar ? Menos 15 y, y una x por menos una y me va a
quedar… menos una y. Menos 15, menos 1 ? x y perdón aquí, verdad. Menos 16 x y. Y cuánto se supone
me tiene que dar ?
E
Menos 8
E=A
8
PROF=SB
Menos 8, menos 8. Entonces éste como que no me sirvió. Qué sería el arreglo que hacemos.
E
Le da la vuelta
PROF=SB
Pongo el 3 y aquí, al menos 3 y y al menos 1 aca ? O ?
E=S
Pasa el 1 x, arriba y el 5 para abajo.
PROF=SB
Muy bien. Muy bien. O pasamos el x para aca y el 5 x para aca. Ujú, cualquiera de los dos estaba bien.
Bueno entonce vamos a ver si es cierto que nos sirve. 5 x menos una y sería ?
Es, PROF=SB Menos 5 x y
PROF=SB
x menos 3 y…
Pr
Tc
DsR
DsR
DsD
525
200
201
202
203
204
Es, PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Menos 3 x y. Menos 5 x y, más, menos 3 x y ?
Menos 8 x y.
Menos 8 x y. Que era lo que ocupábamos ahí, muy bien. Entonces ahora sí, quiénes son los factores ?
5 x menos 3 y/ (P interrumpe la respuesta, pero los Es siguen)
4) 5x² - 8xy +3y²=(5x-3)(x-y)
Ah muy bien, 5 x menos 3 y, por… x menos …
•
205 E=Fe
206 PROF=SB
207
208
209
210
211
E=Fe
PROF=SB
E=F
E=F
PROF=SB
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
E=F
PROF=SB
E
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
E=J
PROF=SB
E=J
PROF=SB
223 Es
224 PROF=SB
225
226
227
228
229
230
E=S
PROF=SB
E=S
PROF=SB
Es
PROF=SB
231 E=F
232 PROF=SB
233
234
235
236
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
5x
x
5x²
-3y
-y
3y²
•
Yo lo tengo pero con los menos en el 5 y en la x.
Ok. Probemos ese que nos dice Fernando. El lo que escribió fue,
-5xy-3xy
menos 5 x, menos x, verdad ? Entonces aquí me quedó 5 x a la *, y
-8xy
aca, los pusiste positivos.
Si pero…
Cómo ?
(comentarios de algunos estudiante al mismo tiempo, inaudible). Di pero es lo mismo profe.
(comentarios de algunos estudiante al mismo tiempo, inaudible) 3 y por y.
3 y por y, verdad ? Muy bien, entonces aquí me está dando 3 y a la 2. Menos 5 x por menos y, me está
dando, menos 5 x y. Menos x por 3 y, sería… menos 3 x y. Menos 5 menos 8 me queda/ digamos menos 5
menos 3 me queda menos 8. Muy bien, entonces a usted, le quedaron como factores quiénes ?
Menos 5 x menos 3 y.
Menos 5 x menos 3 y…
Más 3 y.
Ah ok, más 3 y. Por?
Por menos x más y.
Menos x más y. Será lo mismo esto que esto ?
Si (titubeando)
Si es lo mismo
No los veo muy convencidos a todos.
Si es lo mismo.
Cómo puedo hacer para que efectivamente sean lo mismo. Para que se confirme que tienen que ser lo
mismo.
Saca un menos.
Sacamos menos a factor verdad, a cada factor. Ok, entonces cómo sería éste, aquí saco el menos y qué me
va a quedar ?
5 x menos 3
Menos 3 y. Y aca, por… saco el menos o no ? Saco el menos y me queda?
x menos y.
x menos y. Entonces yo ahora digo, menos por menos?
Más.
Ya me quedó más, entonces me quedó efectivamente, 5 x menos 3 y por… x menos y. Que es justamente lo
mismo. O sea esto y esto, estaría correcto. Cualquiera de los dos está bien. Muy bien.
Profe pero entonces aca no podía sacar igual, factor común.
Ah claro! Si yo quisiera corroborar que esto es lo mismo que esto, entonces saquemos el menos aquí. Y si
sacamos un menos aquí, qué me va a quedar ?
Menos 5/
Menos 5 x más, 3 y. Y si sacamos un menos aquí, qué me va a quedar ?
Menos x más y/
Menos x más y, que es esto, lo que tenemos aquí. Ya lo que hicimos fue
5x² - 8xy +3y²=(5x-3)(x-y)
sacarlo aquí para corroborar que este resultado fue el mismo que nos
- 5x
3y
•
•
dio a la gran mayoría, digamos. Lo hubiéramos podido hacer también al
-x
y
revés entonces.
5x²
3y²
Ok, número cinco. Vamos a ver *. Ejemplo número cinco es el que
-5xy-3xy=-8xy
queremos. Número cinco, 12 x a la 2, menos 36 x, más 24 (P escribe en
(-5x+3y)(-x+y)
la pizarra: 12x²-36x+24. 26’55). 12 x a la 2, menos 36 x, más 24
-(5x-3y)•-(x-y)
(algunos comentarios sobre lo que está escrito, inaudibles).
(5x-3y)(x-y)
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
526
E
PROF=SB
Es
PROF=SB
Se saca factor común ahí ? O no ? (8s) Profe, puedo sacar factor común?
Qué buena observación, dice la compañera si podemos sacar factor común (5s). Puedo sacar factor común ?
Si
Claro que puedo; sin embargo si usted quiere, trabaje su inspección así como está, con estos números. Si
usted quiere verdad. Después, cuando le van a quedar los dos factores, los va a tener que revisar y vamos a
ver si podemos sacar otro factor común. Entonces, como usted ya se dio cuenta que tiene, 12, 36 y 24, puede
sacar un factor común, o no ?
Es
Si.
PROF=SB
Quién es el factor común ?
Es
12
PROF=SB
Muy bien entonces ese sería la primera factorización. 12 por, x a la 2 menos ?
Es
3x
PROF=SB
Cuánto? 3 x, más?
Es, PROF=SB 2. Muy bien. Esto sería una factorización. Sacamos factor común, ahora me quedó este trinomio. Este
trinomio lo puedo factorizar por fórmula notable ?
DsR
Th-Tc
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
Es
PROF=SB
Es
Es, PROF=SB
PROF=SB
E=J
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F, Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
E=F, Es
PROF=SB
269 E=F
270 PROF=SB
271
272
273
274
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
No
No verdad, no me quedó fórmula.
Entonces lo puedo hacer por?
Inspección.
Muy bien. Cómo sería entonces ?
Profe no se puede hacer de una vez *
Si claro, lo que pasa es que luego tendrías que sacar factor común de los otros factorcitos.
Eh… x por x
Ajá, y?
Multiplicados me tienen que dar 2, ahí y a la hora de sumarlos, me tienen que dar, menos 3. Entonces a
quienes ponemos ? Entonces, ahí me dice que x por x, verdad. Esto si es x a la 2. Y aquí ?
Me tiene quedar 2 positivo, entonces ponemos menos 1 por…
5) 12x² -36x+24
Menos 2
12(x² -3x + 2)
Menos 2. Será cierto ? x por menos 2?
x
-1
•
•
Menos 2 x.
x
-2
x²
2
Menos 2 x. x por menos 1 ?
-2x-x=-3x
Menos x
12(x-1)(x-2)
Menos una x. Menos 2 x, más menos una x, serían ?
Menos 3 x.
Menos 3 x. Efectivamente el que ocupamos (29’29). Muy bien entonces ahora si. Cómo voy a dar la
respuesta, cuáles serían los factores ahí ?
12 que se multiplica por x menos 1/
Muy bien. El 12 que sacamos de factor común, no lo puedo dejar perdido, porque es parte del producto,
entonces escribimos efectivamente nuestro factor común que es 12… 12 por, y ponemos los factores de la
inspección que acabamos de encontrar. Cuáles son esos factores ?
x menos 1, por x menos 2.
x menos 1… por…
x menos 2.
x menos… 2. Muy bien.
Si ? Si lo hacemos desde le inicio con 12 x a la 2 y con 24, ahí lo hacemos, sale, sale bien; lo que pasa es
que hay que volver a factorizar en los dos factores. La recomendación es, que saquemos primero el factor
común. Claro es más fácil trabajar con 1 y con 2, que con 12 y con 24. Bueno muy bien, entonces yo voy a
poner aquí unos ejercicios, los cuales usted va a tener que… trabajar eso (30’34. P escribe « Ejercicios » en
la pizarra). Bueno ahí la instrucción sería, factorice completamente los siguiente polinomios (P no escribe
la instrucción). Completamente, verdad (P escribe los ejercicios).
Pr
Ejercicios
1) x²+14x+45, 2) x²+x-2, 3) a²+2a-35, 4) 3x²+12x+12, 5) 2x²+10x+12, 6) y3-2y²-3y, 7) 4a²b+12ab-72b, 8) x²+7xy+6y², 9) 6-5x-x²
10) 10+7y+y², 11) m²+5am+6a², 12) 5c²-25c+30, 13) 2x²-x-3, 14) 6x²-6+9x, 15) 24+10z-z²
Los estudiantes continúan factorizando las expresiones escritas la lección anterior en la pizarra. Al cabo de una lección, P inicia la revisión
de los ejercicios, preguntando a los estudiantes quiénes quieren pasar a la pizarra a escribir el proceso de factorización realizado. Se
revisan los quince ejercicios y se asigna otra práctica donde se aplican para factorizar las expresiones varios métodos combinados.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
E=(M)anfred
PROF=SB
E=M
PROF=SB
E=M
PROF=SB
E=M
PROF=SB
E=M
PROF=SB
11 E
12 E=M
13 PROF=SB
14 Es
15 PROF=SB
16 E=M
17 PROF=SB
(00’05) Porque yo lo que hice fue factorizar el 3 y el otro. Y sumé uno entonces me daba 6.
Cómo, cómo usted factorizó qué?
Yo lo hice así digamos, yo factoricé el 3 x a la 2 x, por 3 x.
Ok usted dijo 3 x por x.
No, x por 3 x.
Ok. Usted dijo x por 3 x, ok esto resultó 3 x al cuadrado.
Ajá. Después el 12 lo factoricé como 3 por 4.
Esto lo puso como 3 por 4?
Si
Muy bien entonces 3 por 4, 12. Muy bien. Ahora multiplicados en cruz, cuánto me tiene que dar? (...) Según
esto cuánto me tiene que dar?
12 x
Ay no! Está malo!
Ajá, entonces yo digo. Entonces yo digo, una x por 4, 4 x; 3 x por 3, 9 x, cuánto me da 4 x más 9 x, cuánto
es?
13 x (01’00).
13 x. Y me tiene que dar 12 x. Entonces, a pesar de que 3 por 4 si me dio 12, no me sirvió para la otra parte
verdad.
No pero es que sumé mal.
Ok cuidado con eso. No es solamente poner dos factores que me den en la última, si no que multiplicados
527
en cruz también me sirva (P asigna los ejercicios del 5 al 8 para que los hagan en la pizarra. 02’00. P
contesta a una estudiante una pregunta. ... 03’00. P se pasea por la clase atendiendo dudas individuales).
18 PROF=SB
(03’42) Ok ahí estamos con eso. La ocho ya está lista, revisen la 8.
19 E
Está mala?
20 PROF=SB
No está bien. X más y por x más 6 y. Está bien, la 8 (04’00, P le repite a un estudiante)
21 E
La cinco?
22 PROF=SB
La cinco que hizo el compañero, sacó un 2 a factor común. 2 por x más 2 por x más 3. Ajá. En la 6 también
sacamos un factor común, parece verdad, sacamos un y ahí. Y entonces me está quedando... no hay
problema con esos signos verdad. Me tiene que quedar menos 2 y, verdad. Tengo un problema aquí. Aquí
me tiene que quedar menos 2 y y me está dando 2 y. Entonces qué hago con los signos? Cambiamos
verdad?
23 Es
Si
24 PROF=SB
Aquí me queda menos 3 y más y, menos 2 y. Entonces sería y más 1 por... y menos 3 (inaudible comentario
de P, 05’00). y por y más 1 por y menos 3
25 E=(L)ucía
Profe, ahí no servía la tercera fórmula notable?
26 PROF=SB
La tercera fórmula notable, no. ... Ahora la 7? Quién fue hacer la 7?/ Sacamos un factor común verdad
parece. 4 b, y después me quedó a menos 3 por a más 6. Ajá 6 por 3, 18; y 6 a menos 3 a me quedan 2. O
me tiene que dar 2 o me tiene que dar 3? 3 aquí.
27 E=(A)uxiliadora Está buena?
28 PROF=SB
Es que el problema fue, sacamos un factor común, pero entonces aquí ya no me queda 12. Aquí ya sería, 12
entre 4?
29 Es
3
30 PROF=SB
3. Verdad. Entonces ahora si, 6 a menos 3 a. Ok entonces sería, 4 b, por a menos 3 (06’00), por a más 6.
Muy bien, y la ocho también está bien, ya la habíamos visto (F repite la respuesta de la última y P la
confirma. P reparte, de la 9 a la 12. 07’00-09’00).
31 PROF=SB
(09’17) Nueve... 6 menos 5 x, menos x a la 2. Eso me queda menos 3 x, más 2, ahí me está dando menos 3.
32 E
Por qué menos 3? *
33 PROF=SB
Vean lo que él está haciendo. Vean lo que hace, menos 3 por x, menos 3 x. Menos 2 por menos x, cuanto me
va a dar esto?
34 Es
2x
35 PROF=SB
Más 2 x, verdad? Entonces esto no me está dando menos 5. Entonces no me sirve.
36 E
Era 6 y 1.
37 PROF=SB
Cuáles son? (varios estudiantes proponen) 3 y 2, pongamos 3 y 2.
38 E=(C)atalina
x
39 PROF=SB
x?
40 E=C
Y menos x
41 PROF=SB
Y menos x (10’00). Vamos a ver entonces. Bueno ya dijimos que estos no nos sirven verdad. Vamos a ver
estos ahora. 3 por menos x, menos 3 x. 2 por x?
42 E=A
2x
43 PROF=SB
2 x (P llama la atención a alguien). Menos x.
44 E=(LF) Luis
Es 6 y 1. 6 negativo y 1
Fernando
45 PROF=SB
Ah en lugar de estos dos factores ... (inaudible). 3 y 2?
46 E=A
Si
47 PROF=SB
Y aquí? Tiene que darme menos 6 (inaudible). Usted le puso este menos aca? (inaudible). 3 por x, 3 x, y 2
por menos x, menos 2 x (11’00).
48 E=LF
Profe tiene que ser 6 y 1.
49 PROF=SB
Ok, así 6 y 1?
50 E=LF
Ajá (inaudible)
51 PROF=SB
Ok probemos. 6 por x sería 6 x, más 1 por menos x, menos x. Esto cuánto me está dando?
52 E
5x
53 PROF=SB
5 x. Y cuánto me tiene que dar?
54 E=(FG) Fer
Menos 5
Gordis
55 PROF=SB
Ok entonces ahora, o cambiamos este 6 por aca, o cambiamos el 5 (P). Entonces ahora si, qué nos está
quedando? 6 por menos 1? Menos 6. Una por x, una x. Menos 6 x más una x?
56 E=LF
Menos 5 x
57 PROF=SB
Menos 5 x. Si? Entonces ahora si cuáles son los factores?
58 E=(F)ernando
(12’00) 6 más x
59 PROF=SB
Ajá
60 E=F
Y 1 menos x
61 PROF=SB
Por... vean que nos tiene que dar menos x a la 2, por eso es el... problemilla ahí de los signos. Ok esa era la
nueve... Diez! 2 por 5 y 2 más 5, que va a dar 7 está bien. Y en este otro? Once dónde está? m más 2 a, por
m más 3 a. Está bien verdad? Y la 12? 13? 14? 15? (P reparte 12 y otras. 13’00).
62 PROF=SB
La doce? Saco un 5 a factor común y escribo, c menos 6 por c menos 1?
63 E=A
Qué es eso!
64 E=M
Está mala
65 PROF=SB
Probémosla. Para que le ayudemos a ella a ver el problema (14’00). c a la 2 menos 5 c más 6. Entonces ella
escribe c por c que le va a dar c cuadrado. Y luego escribió menos 6 por menos 1, que me da 6. Verdad? Y
ahora cuando yo lo multiplique en cruz, cuánto me va a dar esto? c por menos 1, menos c; y c por menos 6,
menos 6 c, cuánto va a dar esto?
528
Pr
66 E
67 PROF=SB
68 E
69 PROF=SB
70
71
72
73
E=A
PROF=SB
E
PROF=SB
74 Es
75 E
76 PROF=SB
77 E=M
78 PROF=SB
79 E
80 PROF=SB
Menos 7 c
Menos 7 c! Y cuánto me tiene que dar? Menos 5! Entonces estos factores no me sirven. Cuáles son los que
me sirven? (varios contestan, inaudible). Menos 2 por menos 3? Ah entonces ahora si. Menos 3 c, menos 2
c, esto me va a dar? Menos 5.
Cuáles eran? (15’00)
Entonces, cuáles eran la respuesta aquí? (algunos estudiantes la dicen y P la escribe. Luego P atiende una
duda individualmente, 16’00).
Pro ahí le falta una x!
Ah qué?
En 2 x por 1, es x
2 x por x está bien. Después 2 menos 3 le queda menos 1, muy bien, 2 x menos 3 por x más 1. Por aquí está
la 14. Aquí... (17’00). Y la respuesta fue esta, 3 por 2 x menos 1 por x más 2 (...) Y la quince... (P pregunta
sobre la escritura de un número). 24 más z menos z a la 2. Esto le está dando 24, esto le está dando menos
z.
A la 2
Menos z a la 2
Este por este es éste y éste por éste es éste. Entonces z... qué es eso tan extraño (de nuevo comentarios sobre
la caligrafía). z menos 12, es esto digamos (18’00). Y aquí decía menos 2, menos z!! Entonces lo que usted
hizo fue sacar un menos del factor y dónde está el menos?
Es que no, ahí el 2 tiene que ir positivo y el de arriba tiene que ir negativo
Esta (M repite, asumimos, inaudible). Entonces sería 12 por 2, 24. 12 por z, 12 z. 2 por menos z, menos 2 z.
10 z ahora si, entonces qué sería aquí? 12 menos z, no z menos 12 (P). Por?
2 más z
2 más z ó z más 2, ahí si verdad, no importa (19’00, P. P dice si hay preguntas. P atiende dudas
individuales. 20’00. P les dice que continúen con los ejercicios que iniciaron ayer. 21’00-24’40, la
observadora se ausenta para hablar con los estudiantes participantes. P llama a los estudiantes para revisar
que hayan hecho la corrección del examen. El timbre suena, P no hace cierre de clase).
VI.2.6 SB-2403200610M : INSPECTION (3) – DIVISION SYNTHETIQUE (1)
1
2
E
PROF=SB
3
4
E=FG
PROF=SB
5
6
7
8
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
9
10
11
12
13
14
15
16
E=FG
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=FG
PROF=SB
E=FG
PROF=SB
17
18
Es
PROF=SB
19
20
Es
PROF=SB
21
22
E
PROF=SB
23
24
E=J
PROF=SB
(00’04) Profe! Ahí se puede hacer inspección en las dos primeras?
Esa es la preguntan que tienen desde hace rato, que cuáles son los grupos que hacemos, en esa, en la cuatro
(comentarios inaudibles). Ok agrupo... shh. Agrupo los tres primeros y los dos últimos, ajá (le dictan los
grupos y P los escribe en la pizarra). Entonces, del primer grupo, qué hago en el primer grupo?
Diay inspección
Inpección, si muy bien. Ok entonces cómo me va a quedar esta inspección? Ok hagámoslo, está está bien.
Hagámoslo. Entonces aquí sería a por a que efectivamente me va a dar? (01’00)
a a la 2
a a la 2. Y aquí?
2 b menos b (le dicen a P y ella lo escribe)
Ok. Entonces ahora 1 me queda menos a b, y 1 por 2 b me quedan 2 a b. Efectivamente aquí me queda 1 a b.
Si? Ok entonces, cuáles son los factores para este primer grupo? (le dicen los factores a P, quién los escribe).
Más, y ahora, del segundo grupo?
Factor común
Qué tenemos que hacer?
Factor común
Factor común que es 2. Por?
a menos b
a menos b
Y ahí hay otro factor común (P llama la atención a unos estudiantes)
Ahora (02’00), en este momento yo no he factorizado nada verdad? Claro he factorizado digamos la
inspección. He hecho grupos y cada grupo lo factoricé. Ahora si, quién es la factorización completa? (un
estudiante empieza a hablar, P también) Me fijo que tengo un factor común aquí que se llama, a menos b. Si o
no?
Si
Ok entonces, a menos b, lo voy a sacar como factor común. Ok por? De esta parte de la suma, qué me va a
quedar?
a
Me queda este factor verdad? Porque éste se me canceló con este. Entonces me va a quedar, a más 2 b. Más, y
de este otro lado?
Más 2
2. Si? (...) Puedo hacer algo más con ese a más 2 b más 2? Bueno en el factor/ en ese a menos b ya no puedo
hacer nada más, pero en ese a más 2 b más 2 puedo (03’00) hacer algo? (...). Se puede sacar el factor común
aquí?
De 2 b más 2
De 2 b más 2? Y qué hago con ese factor común? Porque aquí/ bueno él me dice que yo lo que puedo sacar aca
es, bueno dejo a a, verdad, más, y aquí saco un factor común que es 2; entonces me queda b más 1, verdad? Y
qué?
Pr
DsR
529
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
530
E=FG
PROF=SB
E=FG
PROF=SB
Y nada
No puedo factorizar nada verdad?
No
Osea que no hace falta ni siquiera sacar ese factor común. No hace falta verdad sacar el factor común. Cuando
yo busco tratar de factorizar una vez más es para volver, que la factorización me quede completa. Psero si no
logro nada con esa factorización, entonces lo dejamos así. Cuántos factores resultaron de la factorización
completa, ésta.
E
Dos
PROF=SB
Dos. Cuáles son? (los estudiantes los dicen, 04’00, P los repite). Ok. Ahí otra pregunta por ahí que fue la
número once era? (le dicen que no porque no la han hecho. P les da cinco minutos para terminar. 05’15,
Auxiliadora pregunta a la observadora, 06’00-10’00, Catalina pregunta a la observadora. 11’00-14’00,
Alejandra pregunta a la observadora, inaudible casi. 15’00, varios estudiantes preguntan a la observadora.
16’00-20’00. Karen pregunta la 11 a la observadora).
I:
Entonces después de ahí, cuando usted está viendo eso, tiene que venírsele a la mente, todos los métodos de
factorización que ha visto. Por eso los tiene que tener así (gesto con los dedos), todos los métodos. Entonces
usted dice, esto es un binomio, esto es una resta, y los dos están elevados al cubo. Entonces qué método evoca
eso?
E=(K)aren
Eh... la fórmula notable
I:
Cuál?
E=K
La ... la número 8?
I:
Bueno yo no me sé los números (I ríe). La diferencia de cubos (sigue la explicación con K y con otros)
PROF=SB
(22’34) Ok chicos, ahí están la uno y la dos.
E=(C)atalina Y está buena profe? (otros también preguntan. Algunos le dicen sus procedimientos, 23’00, P les contesta. P
corrige en la pizarra, mucha bulla, inaudible, 24’00. Otros estudiantes le preguntan a la observadora. 25’00.
P distribuye los ejercicios a algunos estudiantes que pasan a la pizarra, 26’00-27’04).
PROF=SB
La tres, revisemos la tres. Ahí están, x menos y por x más y, x a la 2 más y a la 2. Está bien (comentarios sobre
distribución de los ejercicios. ..., 28’00).
PROF=SB
Ok la cinco. Veamos la cinco, aquí (29’00) está la respuesta (...). Vean la diferencia que factorizó Fernando ahí
(..., F pregunta si está buena, y P reparte otro ejercicio. 30’22). Bueno vean lo que pasó aquí, ok. Hasta ahí
llegamos, ahora veamos solamente el primer factor que hizo Fernando. Qué fue lo que hizo Fernando en este
primero. En éste.
E=(M)anfred Diay sacar diferencia de cuadrados
PROF=SB
3 a a la 2 menos 1, Fernando volvió a factorizar por diferencia de cuadrados, si o no? Cómo fue que hizo para
encontrar eso?
Es
Sacando raíz
PROF=SB
Ok entonces? Bueno ok, extraiga la raíz de éste, cómo le va a (31’00) quedar?
E=M
a raíz de 3
PROF=SB
Ok, y extraemos la raíz de éste. Entonces aquí que ese, y aquí va quedar así o no?
Es
Si
PROF=SB
Entonces cuál es la diferencia? a raíz de 3 menos 1 por, a raíz de 3 menos 1.
E=(Ka)therine Profe, pero entonces hay que llegarla hasta el final o luego ahí (estudiantes interrumpen el comentario)
E
Profe hay que llegarla hasta ahí!
PROF=SB
Eso es una diferencia de cuadrados o no?
Es
Si
PROF=SB
Porqué no les gusta ese número, ese es un número irracional, se llama raíz de 3. Si yo lo elevo al cuadrado,
igual me va a dar 2. No?
E=Ka
Si
PROF=SB
(estudiantes vuelven a preguntar hasta dónde deben de llegar, en el examen esta vez)
PROF=SB
Pero pregunta, si yo les pido que factoricen (32’00) esto entonces me dicen que no se puede factorizar.
Entonces digo factorice la siguiente expresión y aparece eso, entonces digo no se puede y hasta ahí llegué.
E=M
No porque en ese sentido ya cambia
PROF=SB
(P ríe). Es lo mismo!
E=M
No, no es lo mismo.
PROF=SB
Estoy pidiendo factorización! (otros comentarios, distribución de ejercicios. 33’00)
PROF=SB
Vamos a ver, revisemos esa señores. Hay un error ahí nada más. Cuál será el error? (M dice algo, inaudible,
34’00)
E
Hay un dos demás
PROF=SB
Que hay un dos demás, muy bien. Aquí sería, esto sobra verdad, esto sobra (P hace una x sobre el dos que
sobra). Está bien, está bien (P lee la respuesta final. Distribución de ejercicios, llegan a preguntar a la
observadora 35’00-37’00, ...). La siete está perfecta (...) Vean en la siete los grupos que hizo Lucía (38’00, P
pasa lista. 39’00-40’00).
PROF=SB
Bueno vamos a ver qué fue lo que pasó... Qué fue lo que pasó con la número 8? (inaudible, S habla con
observadora). Ahí tenemos esa factorización, ella lo que hizo fue agrupar los tres primeros y dejar el 16 solito.
Lo mismo que hizo Lucía esta siete. Agrupó estos tres primeros y dejó el menos 8.
E=M
Eso es una fórmula notable
PROF=SB
Los tres primeros, es una (41’00) fórmula notable
E
La primera
PROF=SB
Muy bien entonces me queda, a más 2 b todo ald cuadrado menos 16. Si? Ahí nada más sería quitarle los
paréntesis redondos a esto pero... (estudiantes preguntan si se puede dejar así. Distribución de ejercicio.
Preguntan a la observadora. 42’00-46’00. Preguntan sobre la doce, particularmente, inaudible por bulla.
47’00-51’00).
ReH
68
PROF=SB
69
70
71
72
E=A
PROF=SB
E=M
PROF=SB
73
PROF=SB
74
75
E
PROF=SB
76
77
78
E=F
E=FG
PROF=SB
79
80
81
82
83
84
E=FG
PROF=SB
Es
PROF=SB
E=F
PROF=SB
85
86
E=F
PROF=SB
87
88
89
90
E
PROF=SB
E
PROF=SB
91
92
93
94
95
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Ok vamos a ver la catorce... saco factor común, saco factor común... y después hice diferencia de cuadrados.
Es que lo puso al revés, la diferencia de cuadrados es ésta, ésta que está aca sería estos dos verdad. Eso fue lo
que pasó (52’00)
Profe la quince está buena?
La quince es una fórmula notable, cómo me quedó? a menos un medio al cuadrado, si.
Profe pero eso está bueno?
El lo hizo por inspección si (comentarios de estudiantes). Diay está multiplicando por sí mismo dos veces, a
menos 1 por a menos 1/ a menos 1 medio por a menos 1 medio, a menos 1 medio al cuadrado. Está bien, lo
que pasa es que lo hizo por inspección (coementarios)
Vamos a ver qué hizo Carlos en esa número trece. Ok, Carlos hizo grupos, luego hizo (53’00) inspección,
luego sacó factor común de cada inspección verdad. Eh... qué puso ahí, un menos n (P).
Está buena verdad profe?
Si está bien, 2 n menos 1 al cuadrado, por 4 menos n. Claro intercambia... intercambia paréntesis (comentarios,
54’00-55’00).
Lo que yo estoy preguntando ahora es cuál es la otra forma.
Ah se puede hacer de otra forma...
Qué otra forma se puede usar? Está bien, dejemos los grupos que hizo Carlos. El hizo un grupo que se llama,
16 x a la 2, más 16 x, más 4; menos y después le quedó esto verdad (56’00, ...). Entonces le quedó más y más.
Profe pero por qué ahí un menos?
Es que él la copió mal eso fue, la original era con 4 x n a la 2.
Ahh...!
Muy bien ahora si de este grupo, qué podemos sacar?
4 x a la 2, más 4 x más...
Ok, de ese grupo, entonces me va a quedar... (F le repite). Si? Ahora, quién es el factor común ahora si, de
toda la expresión?
4 x a la 2, más 4 x más 1
El (57’00) trinomio este verdad? Por, y me está quedando 4 menos? ... Si? Y ahora ese, ese factor común qué
es?
Una fórmula notable
Una fórmula notable, cuál fórmula?
La primera
La primera. 2 x? (Diana sigue contestando y P copia). Para que sea la primera fórmula, justamente me tiene
que quedar todo positivo (comentarios, 58’00).
(58’52) Ahora la pregunta que yo voy hacer es, ustedes saben hacer la división sintética?
La qué?
División sintética, saben hacerla ?
No, Si (P se ausenta)
Ya ahora si? Ok (P borra la pizarra, algunos estudiantes le dicen « no ». P escribe « División Sintética » y la
operación: (2x²-3x+x4+2)÷(x+2)). Ok. (comentario de estudiante, inaudible). Es que vamos a factorizar por
división sintética, pero, no sabemos dividir por división sintética, entonces vamos a hacerlo (01h00’30). Ok
listos, ahora si ? Vamos a tratar de dividir, polinomios. Ya nosotros sabemos dividir entre la división corriente
verdad de polinomios, espero, eso lo hicieron como en octavo, por ahí. Si se acuerdan, que ordenábamos en
forma decreciente, hacíamos el martillito, si ? De hecho hicieron una práctica al inicio donde venían algunas
divisiones y ahí practicamos.
Od
ReO
Ch
ReH
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
E
PROF=SB
E=A
PROF=SB
(comentario de alumno, inaudible)
La división
Yo la vi en octavo
Ah bueno mejor todavía, genial. Ahora vamos a hacer división sintética que eso fue lo que no trabajamos. Muy
bien, entonces, vamos a prestar atención al procedimiento … vamos a prestar atención al procedimiento.
Entonces, recuerdan ustedes los términos de la división ? Cuáles eran los términos de la división ?
Es
Divisor, dividendo (varios estudiantes dicen su respuesta al mismo tiempo)
PROF=SB
Divisor, dividendo ?
Es
Sustraendo y residuo
PROF=SB
Cuando yo lo voy a ubicar, digamos en el martillito y eso que aprendió en la escuela/
E=A
Martillo ?
PROF=SB
qué voy a escribir aquí en la izquierda ? El divisor ?
E
Digo, dividendo.
E=A
Cuál martillo ?
PROF=SB
Ok, dividendo.
Es
Divisor
PROF=SB
Aquí hacemos divisor. Esto es el martillo, esto no ? (P señala los segmentos que forman una “L”)
E=A
Qué?
PROF=SB
Es el martillo no? Eso no se lo enseñó la niña?
E=J
No.
PROF=SB
Nada más ponía esto y ya?
Dividendo divisor
Es
Si!
cociente
PROF=SB
Esto se llama martillo.
residuo
Es
Ah!
PROF=SB
Este que escribo aca, sería?
E=(F)ernando Cociente
ReV
Ch
ReV
Ch
ReV
531
V
120 PROF=SB
121 E
122 PROF=SB
Cociente. Y lo que nos sobra sería el?
Residuo
Residuo, si?
Ok, entonces. Según nuestra división, así como está, tengo dos polinomios, cuál de ellos es el divisor ?
123 Es
x más 2
124 PROF=SB
x más 2. Ese es el divisor. El dividendo, sería el que nos dice Karen que es el… grandote. Entonces vamos a
ordenar en forma decreciente, tanto al dividendo como al divisor. Qué era en forma decreciente ?
125 E=J
De mayor a menor (otros estudiantes también lo dicen)
126 PROF=SB
De mayor a menor, entonces, si me hacen falta algunos grados… qué hacemos ?
127 E=F
(Di se agrega x)
128 E=(K)aren
Se agregan ceros
129 E=(S)tephanie di se deja el espacio
130 PROF=SB
Se deja el espacio, o se rellena con ?
131 Es
Ceros
132 PROF=SB
Ok. Entonces, quién comienza aca ?
133 Es
x a la 4
134 PROF=SB
Entonces voy a ordenar. x a la 4.
135 E=S
Espacio
136 PROF=SB
Seguiría, x a la 3 que no está. Sigue ?
137 E=S
2 x a la 2
138 PROF=SB
Ajá
139 E=S
Menos 3 x
140 PROF=SB
Menos 3 x
141 E=S
Más 2
142 PROF=SB
Más 2. Ese es nuestro dividendo, ordenado en forma… decreciente. Estamos deacuerdo ? Ok, ahora, para
trabajar con esa división (P pide silencio) Para trabajar con esa división sintética, voy a trabajar solamente con
coeficiente numéricos de ese … dividendo. Que era coeficiente numéricos ?
143 E=(Jo)sué, Es Los números
144 PROF=SB
Perfecto. Tomemos solamente los coeficiente numéricos que hay aca, quienes son ? Para éste ?
145 Es
1
146 PROF=SB
1
147 Es
0 (P va señalando con el dedo cada uno de los términos)
148 PROF=SB
0
149 Es
2, 3
150 E=F
Menos 3.
151 Es
2
152 PROF=SB
Ok ahora esto, lo vamos a dividir, por...
153 Es
2
154 Es
Menos 2
155 PROF=SB
Por quién?
156 Es
2
157 Es
Menos 2
158 PROF=SB
Por menos 2 ?
159 E=1
(una estudiante sobre sale del resto de los que hablan) el recíproco de 2 va a ser menos 2.
160 PROF=SB
Recíproco de más 2 es un medio.
161 E=1
Bueno no profe … el opuesto (E=J dice también “el opuesto”).
162 PROF=SB
Ok, vamos a dividir por, el valor de esta x, que haga que este divisor se me haga cero. Aquí dice algo más 2,
para que esto me dé cero, qué tiene que ser este algo ?
163 Es
Menos 2
164 PROF=SB
Menos 2. Entonces ya, como se llama, la compañera nos dijo, que lo que tenemos que hacer es coger el
opuesto verdad, no el recíproco, si no el opuesto. El opuesto de 2 sería ? Menos 2. Será cierto que menos 2 más
2 me da cero ?
165 Es
Si
166 PROF=SB
Si ? Si el divisor hubiese sido, x menos 2 ?
167 E=A
Sería más 2.
168 PROF=SB
Por cuánto dividimos aquí ?
169 Es
2
170 PROF=SB
Por 2. Y si hubiera dicho digamos, más 4 ?
171 Es
Menos 4.
172 PROF=SB
Ok, perfecto (01h05’12) Muy bien, entonces ahora cómo seguimos nuestra división. Aquí decía más 2,
entonces yo voy a dividir... vamos a trazar una recta, una barra aquí, una recta horizontal. Bajamos nuestro
primer término, y voy a multiplicar. 1 por menos 2 ?
173 Es
Menos 2
174 PROF=SB
Menos 2. Lo voy a ubicar sobre la recta, sobre la barra esa que hicimos ahora; sumamos o restamos según
como nos haya quedado aca la operación. Cómo va a quedar ésta ?
175 Es
Menos 2
176 PROF=SB
Cero menos 2, cuánto nos va a dar ?
177 Es
Menos 2.
178 PROF=SB
Menos 2. Ahora multiplico otra vez. Menos 2, por menos 2 ?
179 Es
4
532
ReV
ReS
Tc
ReS
DsR
Fx
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Entonces aquí qué hago, sumo o resto ?
Suma
Ok, 2 más 4 ?
División SINTÉTICA
6
(2x²-3x+x4+2)÷(x+2)
6 por menos 2
P(x)=x4+0⋅x3+2⋅x²–3x+2
Menos 12.
1 0
2 –3 2 -2
Menos 12/ eh perdón, menos 3, menos 12 ?
Menos 15.
-2 4 –12 30
Menos 15 por menos 2 ?
1 -2 6 –15 32
Menos 30 (4s).
No 30, 30 (varios comentarios de los estudiantes en la misma línea)
Menos por menos da más y 15 por 2 ?
30
2 más 30 ?
32
Si ? Ok, ahora, ese último número que obtuvimos, ese 32, va ser nuestro…
Residuo
Residuo (P encierra en un cuadrado el residuo y traza una flecha para indicar el nombre que luego escribe
adjunto « residuo »). Y de este residuo para la izquierda, vamos a tener… los coeficientes numéricos del …
cociente. Los coeficientes numéricos verdad. O sea es algo x a la tanto, algo x a la tanto. Ahora, si yo divido un
polinomio de grado cuatro, entre un polinomio de grado uno, cómo me va a quedar el resultado (Alguno
alumnos intervienen, P continúa hablando). Cómo va a ser el grado del resultado.
198 Es
3
199 PROF=SB
x a la 3 verdad ? Grado 3. Entonces ese primer coeficiente numérico que está aquí…
200 E=K
Llevaría el 3 ?
201 PROF=SB
Llevaría el x a la 3, muy bien. Este sería el coeficiente de x a la 3.
202 E=F(ernando) Y ya el x cuartos/
203 PROF=SB
Y éste ?
204 Es
x a la 2
205 PROF=SB
x a la 2. Este ?
206 Es
x
207 PROF=SB
x y éste, x a la cero, verdad que sería el término independiente. Ya x a la cuatro lo dividí.
208 E=F
Entonces digamos que se cancelaron.
209 PROF=SB
Digamos. Entonces, cómo me queda el cociente ?
210 E=A
x a la 3, menos 2 x a la 2 (otros estudiantes comienzan a contestar, P toma la palabra)
211 PROF=SB
Entonces sería, 1 x a la 3, pero ponemos x a la 3.
212 Es
Menos 2 x a la 2.
213 PROF=SB
Menos … 2 x a la … 2
214 Es
Más 6 x
215 PROF=SB
Más 6 x
216 Es
Menos 15
C=x3-2x²+6x-15
217 PROF=SB
Menos 15. Este sería el cociente verdad, y éste es el residuo.
Si ? Ahora, recuerdan ustedes también cómo hacíamos la prueba de esta división.
218 Es
(algunos estudiantes intervienen, inaudible)
219 PROF=SB
No se acuerdan ?
220 E=F
Se sumaba… digo se multiplicaba el cociente por el divisor y se sumaba el residuo.
221 PROF=SB
Muy bien. Para corroborar esto, para corroborar que esto está correcto, yo tengo que decir, el dividendo, tiene
que darme el producto de cociente por divisor y le sumo…
222 Es
El residuo
223 PROF=SB
El residuo. Pongámosle al residuo la r minúscula, está bien, para no... (P escribe: « D=c⋅d+r). Ujú ? Entonces,
el dividendo tiene que darme, cociente por divisor, más ?
224 E=J
Residuo
225 PROF=SB
Residuo. Se supone que si yo multiplico ese cociente por el divisor y le sumo 32 me tiene que dar, 2 x a la 2,
menos 3 x, más x a la 2, más 2. Si ? Entonces cómo voy a dar yo la respuesta, para esa división. Qué era
nuestro dividendo ? (3s) Pongámole que todo esto era ... un polinomio ahí. P de x, pongámole. Para no tener
que escribirlo todo, nada más para eso. Ok entonces, P de x, es igual a: cociente por divisor, quién es el
cociente para nosotros ? x a la 3, menos 2 x a la 2, más 6 x menos 15, verdad. Por el divisor, quién es el divisor.
Quién era el divisor ?
226 P=J
x más 2
227 PROF=SB
x más 2. Ujú ? x más 2 era el divisor. Más, el residuo y cuánto nos dio de residuo ?
228 Es
32
R/ P(x)=(x3-2x²+6x-15)(x+2)+32
229 PROF=SB
Entonces más, 32.
Entonces observen algo, si ese residuo me hubiera dado cero…(01h10’01). Si mi hubiera dado cero verdad, yo
vengo aquí y pongo otros numeritos y yo al final digo, 2 menos 2, cero. Entonces yo tendría que escribir,
cociente por divisor, más cero, no hace falta verdad, poner más cero. Eso quiere decir que yo estoy escribiendo
ese polinomio, en forma de multiplicación, o no ? Cuál multiplicación ? Cociente por… divisor. O sea tengo
dos factores, de eso se trata, pero para que me pase eso, cuánto tiene que ser el residuo ?
230 Es
Cero
231 PROF=SB
Cero. Y si no es cero me va a quedar, dos factores más… algo. Dos factores más algo. Y no me sirve. Yo lo
que necesito es que me quede totalmente factorizado para efectos de factorización. Estamos… si ? Por el
momento, lo que ustedes están aprendiendo es este momento es procedimiento para hacer esa división
ReV
533
232 E=M(anfred)
233 PROF=SB
234 E=M
235 PROF=SB
sintética. Ahora, condiciones para poder hacer eso por división sintética (8s. comentario sobre los pilots).
Profe … es que yo no entendí eso de qué eran los números, todo ese enredo.
Vamos a hacer otro ejemplo. Pongámosle a éste número uno. Manfred usted conoce los coeficientes numéricos
de las expresiones algebraicas ?
Si
Ah bueno, entonces de eso se trata. Vamos a ver (10s. P escribe en la pizarra el otro ejemplo: “(2+x3-2x3)÷(x-1)”). Entonces repasemos el procedimiento a ver qué me dicen. Cuál era el primer paso ? (el timbre
suena. 01h12’02).
1
PROF=SB
(00’05) Ok chichos, sshh, vamos a hacer esas divisiones (LF le pide que haga un ejemplo). Veamos un ejemplo *
(alguien grita: “profe nadie entendió!”. Llama la atención). Necesitamos silencil. Vamos hacer otro ejemplo,
sería ejemplo dos, verdad (le dicen que ya lo tiene copiado, y que ya tenían un ejemplo 2. Le dictan uno nuevo: 2
menos x a la 3, menos 2 x, menos 3). Primer paso, recordemos procedimiento entonces.
2 Es
Ordenar en forma decreciente
3 PROF=SB
Ok, entonces ordeno. Cómo sería?
4 E=(F)ernado x a la 3, más 0 x a la 2, menos 2 x, menos 1. Ahí se puede simplificar, el dos y el menos tres.
5 PROF=SB
Ajá, aquí dice 2 no? Dos menos tres cuánto me da esto?
6 Es
Menos 1
7 PROF=SB
Ya lo ordenamos. Ya ordené el polinomio en forma decreciente y ahora? (02’02) Me quedo con los coeficientes
numéricos o con los factores numéricos, que son en este caso? (le van dictando a P y ésta los escribe). Menos
uno, muy bien. Este lo tengo que dividir.
8 E=F
Menos 1 (...) Ah no más 1
9 PROF=SB
El valor que hay aquí, por el que ese divisor se me haga cero, cuánto es?
10 E
1
11 PROF=SB
Muy bien. Siguiente paso?
12 E=(M)anfred Baja el primero
13 PROF=SB
Bueno trazo la línea ésta y bajo el primer término. Es uno, y ahora.
14 E
Multiplico
15 PROF=SB
Multiplico muy bien. Me queda uno por uno?
16 Es
Uno
17 PROF=SB
Ahora cero más uno?
18 Es
Uno
19 PROF=SB
Uno por uno
20 Es
Uno
21 PROF=SB
Menos dos, más uno?
22 E
Menos dos
23 E
Menos uno!
24 PROF=SB
Ahora, menos uno por uno?
25 E
Menos uno (siguen discutiendo hasta que llegan que queda menos 2).
26 PROF=SB
Menos dos, muy bien. Entonces ese menos dos que encontré de último término quién es?
27 E=M
El residuo!
28 PROF=SB
Sería el residuo. Muy bien. Entonces de aquí para aca tengo los coeficientes del? Cociente. Muy bien, entonces
yo empecé aquí a dividir un polinomio de grado tres, entre un polinomio de grado uno. Por tanto el resultado va a
empezar con grado?
29 Es
Dos
30 PROF=SB
Dos. Muy bien. Entonces aquí voy a decir quién es el cociente. Cociente igual.
31 E
x a la 2
32 PROF=SB
Uno x a la dos, muy bien. Más?
33 E
Una x
34 PROF=SB
Una x, menos?
35 E=M
No entendí eso de porqué x a la 2.
36 PROF=SB
Comenzamos con grado tres, verdad?
37 E=M
Ajá
38 PROF=SB
Si yo divido x a la tres entre x a la uno, me queda x a la?
39 Es
Dos
40 E=M
Ah ya!/
41 PROF=SB
O sea si yo divido un polinomio de grado tres, entre un polinomio de grado uno, voy a obtener un polinomio de
grado? Dos. Entonces comienzo/ voy a empezar siempre con un grado menor. Muy bien entonces ahora cómo
escribo la respuesta? (comentario ajeno, llega Stephanie). Ahora, vamos a ponerle a este polinomio, pongámosle
P de x para no tener que copiarlo todo, el dividendo. Entonces el dividento es igual a qué? (04’52). Cómo
escribíamos eso? Cociente... por? El dividendo es igual a... Cociente por?
42 E=F
Eh... cociente por ....
43 E=F, E,
Divisor
PROF=SB
44 PROF=SB
Más el residuo, entonces cuál sería *. El dividendo para nosotros es todo esto verdad, ya le pusimos P de x para
no copiarlo todo. Quién es el cociente?
534
45
46
47
48
49
50
E=F
PROF=SB
E=F
PROF=SB
Es
PROF=SB
x a la 2 más x menos 1
Ok, x a la 2 más x menos 1. Por el divisor y quién es el divisor?
x menos 1
Más el residuo y el residuo es?
Menos 2
Menos 2. Ahí puedo escribir menos 2 o puedo escribir más menos 2. Nada más necesito que se recuerden de
esa, de esa respuesta que estamos escribiendo aquí. El dividendo es igual a, cociente por, divisor más, residuo. Si
el residuo me da cero, yo ya tengo el dividendo escrito en factores. Estamos? Bueno ok. Entonces ahí ustedes
tienen unas divisiones sintéticas que va a trabajar, ya recordando el procedimiento. Lo que podemos hacer es
continuarlo aquí digamos, como este era el ejemplo dos, pongámosle aquí ejemplo tres, cuatro, cinco y seis. Ya
vieron que se hace muy rápido verdad, ya teniendo la práctica (06’37. P escribe una lista de divisiones por hacer.
Luego P pasa lista –10’ alguien pregunta a I. Los estudiantes trabajan en las divisiones. Pasan algunos
estudiantes a hacer las divisiones en la pizarra. 35’45, fin de la primera parte de la grabación).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
PROF=SB
(00’10) Estamos haciendo divisiones sintéticas verdad. Entonces ahí entramos el... buscamos los coeficientes
numéricos, ordenamos en forma decreciente, buscamos los coeficientes numéricos y ahí no da el residuo. Si el
residuo nos da cero, esa división es exacta verdad, como decimos. O por lo menos podemos decir, si el residuo
es cero, ya yo puedo escribir el dividendo en forma de multiplicación. Todo lo que hicimos, la divisiones que
hicimos fue, nos dieron un dividendo y nos dieron un divisor y con eso empezamos a trabajar. Ahora el asunto
va a ser, yo voy a dar un polinomio, aca P de x digamos, o D, como sea, y usted va tener que encontrar el
divisor y el cociente. En las anteriores nos daban el divisor y buscábamos el cociente, se acuerdan? (01’00).
Era nada más hacer la división.
PROF=SB
Entonces, yo voy a decir algo como esto (P escribe: x3+4x²+4x+1). Si? Entonces yo necesito que este
polinomio lo escribamos en forma de factores. Es decir que hagamos lo que estábamos haciendo en la división,
algún factor por algún otro factor. Esos factores serían el dividento y el divisor, perdón el cociente y el divisor.
Listos? Bueno ahora el asunto es? entonces ahora cómo hago yo para buscar el cociente? Cómo hago yo para
buscar el divisor? Qué tendríamos que hacer? (02’00). Aquí podemos poner al cociente y aquí podemos poner
al divisor. Lo que necesitamos es que el residuo nos dé cero. Si el residuo nos da cero, ya nosotros podemos
escribir eso así como (00’00)/ más cero, o sea más residuo. Pero entonces cómo podemos encontrar ese
cociente y ese divisor, porque nada más me están dando a P de x. Osea ya P de x está ordenado verdad. O
faltará algún término ahí? Está ordenado verdad pura vida, entonces ahora yo digo (grabación distorcionada).
Los coeficientes que serían 1, 4, 4 y 1 verdad. Esto lo tengo que dividir por algo para obtener este cociente,
pero este algo tiene que ser algo que me dé aquí cero.
PROF=SB
Entonces... Por dónde podríamos empezar a pensar cuál numerito podríamos poner ahí (01’00). Porque
digamos usted me dice, bueno si divida, P de x, divida entre x más 2, digamos. Entonces qué es lo que va
hacer, cojo los coeficientes numéricos y lo divide por cuánto?
E=(FG)ernado Dos
Gordis
Es
Menos dos
PROF=SB
Por menos dos verdad? Y ya comienza a ser su trabajo, pero ya le dijeron quién era/ (grabación cortada). Ok
entonces, dos no me sirvió, menos dos no me sirvió, menos cuatro? Con cuál qué me dijeron (le dicen –4 y P
hace el procedimiento, no sirvió. Luego le dicen –1. P hace el procedimiento).
E=(F)ernando Profe pero no hay alguna forma en que uno no pueda averiguar sin probar tanto?
PROF=SB
Eso es lo que necesito que averigüemos, ok (01’00). Esto es el residuo verdad, ya habíamos dicho que eso se
llama residuo y todo esto de aquí para aca es nuestro?
Es
Cociente
PROF=SB
Cociente. Muy bien entonces, cuál es el polinomio cociente? (varios al mismo tiempo, inaudible). Ese sería el
cociente verdad, el que acabo de encontrar. Qué sería el divisor? (mini desacuerdo). Bueno o es x menos 1 o es
x más 1
Es
Más 1 (en coro)
PROF=SB
Muy bien, x más 1. Por qué sé que es x más 1, porque estoy dividiendo por, menos 1. Ok entonces cuál sería la
respuesta aquí, porque a mí me pidieron, escriba P de x en forma de producto, o sea factorice, eso es lo que
están diciendo, qué tengo que hacer? (F) Ok, P de x es igual a (02’00)
Es
x a la 2
PROF=SB
Cociente que es x a la 2 más 3 x más 1, por?
Es
x más 1
PROF=SB
x más 1. Más residuo, pero residuo, quién es?
Es
Cero
PROF=SB
Cero. Por eso yo necesito que el residuo me dé cero. Ok, entonces, será necesario que yo me pusiera ahí a
probar con menos 2, con 2, con 4, con menos 4, con 5, con 3, con... como sería una forma de poder limitar esas
pruebas digamos. Cómo voy a probar yo con cierto número que yo más o menos asegure que el residuo me va
a dar cero. En quién me tendré que fijar?
E=(M)anfred En el primer término
PROF=SB
En el primer término?
E=M
En el último
E
En el coeficiente
DsR
535
23
PROF=SB
24
25
26
27
E
PROF=SB
E
PROF=SB
28
29
30
31
E
PROF=SB
E
PROF=SB
32
PROF=SB
33
PROF=SB
34
35
36
37
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
38
39
Es
PROF=SB
40
PROF=SB
41
PROF=SB
42
43
44
45
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
46
47
E2
PROF=SB
48
E2
536
En el coeficiente? Ojo que el que me define a mí eso es el residuo verdad. Entonces aquí tengo que poner algo
más algo o algo menos algo que me dé cero (03’00). Entonces quien me está definiendo esto es este término o
no? Este es el último, como nos dijo Manfred. Este término, vean que es el último que escribimos aca, no tiene
x, verdad que no. Entonces este número, este número sin x se llama término independiente, término
independiente. Entonces vamos a ir a buscar los divisores de ese término independiente para probar a ver
dónde me va a dar cero, ya que voy limitando más el trabajo. Quiénes eran los divisores del uno?
Todos
Todos los divisores del uno?
Uno y menos uno
Recuerden que divisores son los números por los que puedo dividir y me dé exacto verdad. Entonces uno es
divisible por?
Uno
Y por?
Menos uno
Menos uno. Ok en este caso me quedó facilito donde tengo que ir a buscar divisores del término independiente;
pero como el término independiente aquí es uno. Nada más tuve que haber probado con uno o con, menos uno.
Como ya probé con menos uno, y ya me dio cero (04’00), ya no hace falta que yo vuelva a probar con el otro.
Si? Entonces ahora, lo que estamos haciendo es factorizando un polinomio por el método de división sintética.
Cuál sería el paso, los pasos. Entonces, lo primero que voy hacer es buscar divisores del? Término
independiente. En este caso es uno pero puede ser dos, cinco, 4, 8, 24, 50 000. Di no sabemos verdad. Pruebo a
ver dónde eso, ese cero, ese divisor me va a dar que el residuo me dé, cero. Si el residuo me da cero, perfecto
ya. Del cero hacia aca, esos van a ser los coeficientes numéricos del cociente. Y yo cómo lo voy a factorizar,
bueno si yo ya tengo el residuo cero y tengo el cociente, entonces qué es lo que voy hacer, cuando ya averigué
cociente también averigué divisor. De qué forma voy a factorizar, voy a factorizar de esta forma. Voy a poner
el polinomio de la forma, cociente por, divisor. Obviamente cociente va a ser un polinomio, el divisor va a ser
un polinomio. Y ya lo tengo factorizado. Más adelante, ahora hacemos algún otro ejemplo donde vamos a
factorizar este cociente a ver si le podemos hacer algo más. De repente sale un factor común o sale una
inspección o sale una fórmula notable, etc. Tal vez... Porque si me dicen factorice por el método de división
sintética usted hace una factorización y ya, está pura vida. Pero si aquí se pudiese hacer algo tengo que seguir,
si me pidiesen la factorización completa. Y ya tengo que acordarme de todo lo que yo he aprendido (05’46. F
pregunta algo inaudible).
No porque puede ser uno también. En el divisor va ir algún número que haga que el residuo dé cero. Algún
divisor del término independiente. Ahora hacemos otro ejemplo. Suponte que este hubiese, este número
hubiese sido cuatro. Entonces los divisores del cuatro, cuáles son: el uno y el menos uno, el dos y el menos
dos, el cuatro y el menos cuatro. Entonces de repente aquí me queda cuatro y de repente aquí es dos. Nada
tiene que ver el cuatro con el dos, verdad. No puedo afirmar entonces que el divisor siempre va a ser el opuesto
del término independiente. Estamos? Ok veamos otro ejempo para terminarnos de *
(06’37) Aquí lo que estamos haciendo ya es factorizando verdad (...) Factorización pero por el método de
división sintética (Stephanie hace una pregunta, inaudible). Bueno no siempre el opuesto, eso fue lo que él
preguntó. No siempre pero vamos hacer otro ejemplo para que ustedes queden más *. Voy a poner aquí un P de
x que se llame, x a la 3, menos un P de x, más 16. Ya está ordenadito?
No
Qué le falta?
El x a la dos.
Entonces ordenémoslo mejor para que tengamos... (suena un celular) Falta el x a la dos... Bueno ok entonces,
ya está ordenado. Quién es el término independiente ahí?
16
16. Entonces cuáles son los divisores de 16? (los estudiantes los dicen). Entonces si yo me quedo con la teoría
que me acaban de decir aca, ah aquí solo puede ser el opuesto del término independiente, tendría que poner a
menos 16; para que me dé cero. Yo necesito que el residuo me dé cero. Vamos a ver si nos sirve. Aquí
ponemos uno, cero, menos 12, eh ... 16. Y aquí, bueno supuestamente tengo que poner menos 16, vamos a ver
si nos sirve ese menos 16 ahí. Servirá? Necesito que aquí me dé cero. Si no me da cero, ya * Hagámoslo (P
hace el procedimiento).
No verdad como que estamos... ya el 16 no era. Ya se me cayó la teoría esa que tengo que poner el opuesto del
término independiente, verdad. Prueben. Bueno distribúyanse, alguien que pruebe con el uno, con el menos
uno, con el dos, con el cuatro (10’33. P hace otros comentarios. Le sugieren cuatro y P lo hace. Le dicen
menos cuatro).
Muy bien entonces quién es el cociente aquí? (12’13). Aquí estábamos con x a la tres, entonces aquí empiezo
con?
x a la 2 (los estudiantes le dictan el cociente)
Ese es el cociente, muy bien; y el divisor?
x más 4
Muy bien, x más 4. Entonces cuál sería me respuesta aquí. P de x es igual a: x a la 2 menos 4 x más 4. Es el
cociente verdad. Por el divisor, pero quién es el divisor? x más 4.
Profe pero el primer paréntesis no es una fórmula notable
Muy bien. Entonces yo ya encontré un cociente y un divisor, pura vida. Entonces necesito escribir mi
polinomio cociente por divisor. Más residuo pero el residuo me dio cero, entonces no hace falta poner ahí más
cero, al final sobra. Ahora si, revisamos el primer paréntesis, como nos dice la compañera y qué encontramos?
Que es eso?
La segunda fórmula notable
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es
PROF=SB
Es un trinomio, x a la 2 menos 4 x más 4, que yo puedo seguir factorizando o no?
DsR
Si
Será necesario volver hacer la división sintética?
No
Si yo quiero la haga verdad, porque de fijo me va a quedar, voy a encontrar un cero, voy a poner cociente por
divisor y ahí sigo verdad. Será necesario hacer todo el proceso?
Es
No
PROF=SB
No lo puedo hacer por dos métodos diferentes, cuáles?
Es
Inspección o fórmula notable
PROF=SB
Muy bien. Lo puedo hacer por inspección o lo puedo hacer por?
Es, PROF=SB Fórmula notable
PROF=SB
Cuál será la más adecuada, la más sencilla?
Es
(inaudible la respuesta. Asumo FN)
PROF=SB
Ok entonces mejor veo la fórmula, la distingo, la noto y entonces cuánto me va a dar eso? (los estudiantes le
dicen a P y P escribe). Eso porque lo hice por fórmula notable, si lo hubiera hecho por inspección? Me queda x
menos 2 por x menos 2; pero es lo mismo o no?
DsR
Es
Si
PROF=SB
O sea lo puedo hacer por inspección o por fórmula, no hay problema, siempre me va a quedar igual. Estamos,
entendiendo si? Claro la primera parte ya ahí es cuando ya tienen como que familiarizarse un poquito ahí por el
asunto de los divisores. Ojo entonces si yo estoy factorizando completamente tengo que fijarme en el cociente
para ver si puedo seguir. En el divisor no porque ahí nos va a quedar un binomio de grado uno entonces ahí ya
nada podemos hacer, ahí me va a quedar x más algo o x menos algo, entonces no me va a quedar/ no hace falta
factorizar (Stephanie pregunta, inaudible).
PROF=SB
Puedo usar algo que se llama el teorema del residuo y se trata de lo siguiente, yo voy a probar/ se llama así,
teorema del residuo (escribe en la pizarra). Entonces yo voy a evaluar el polinomio en cada uno de estos
posibles divisores y si esa evaluación me da cero, ya encontré por cuánto tengo que dividir. Qué significa
evaluar? Bueno yo voy hacer como, evaluar es como sacar un valor numérico. Le voy a poner valores a x,
iguales a estos divisores que están aca y hago todo lo que diga exactamente: suma, resta, potencia,
multiplicación o división, todo lo que haya en el polinomio. Entonces digamos por ejemplo, mi primer posible
divisor era digamos menos 1, entonces yo tendría que evaluar el polinomio en menos 1 (...) Evaluar es sustituir
verdad? Entonces en lugar de x a quién voy a poner?
Es
Menos 1 (16’13)
PROF=SB
Entonces aquí qué me va a quedar, en mi polinomio, en éste? (los estudiantes van diciendo). 25. No me dio
cero?
E
No
PROF=SB
Ok. Este resultado que me está dando aquí es justamente el residuo que me va a dar si yo divido a P de x entre
menos 1. Probémoslo con el menos 4, porque se supone que el menos cuatro nos dio cero el residuo verdad.
Entonces yo tendría que evaluar aquí el polinomio en menos cuatro; cómo me quedaría? (los estudiantes lo
hacen y le van diciendo).
PROF=SB
Cero. Exactamente este cero, me va dando el residuo y entonces este menos cuatro que yo tengo aca, x igual a
menos cuatro, es el divisor con el que yo voy a trabajar la división sintética, mjú? Dicho sea de paso este x
igual a menos 4 recibe el nombre de cero del polinomio. O sea si el residuo me da cero, esto es un? Cero del
polinomio. Digamos en este caso, el residuo me dio 27, entonces menos 1 no es un cero del polinomio, ya?
Más adelante nos va a servir porque vamos a hacer ecuaciones, los ceros son las soluciones de la ecuación. Si
estuviera igualado a cero verdad, en ese caso. Si? Entonces el cero del polinomio va a ser digamos que el
divisor con el que yo voy hacer mi división sintética (comentarios de P). Estamos, si? Bueno entonces yo voy
a poner ahí unos ejercicios que vamos a trabajar (19’27). Vamos a factorizar completamente pero por división
sintética, pero completamente verdad. Eso quiere decir que yo encuentro un cociente y lo reviso a ver si puedo
volver a factorizar (19’45, P escribe unos polinomios en la pizarra para factorizar. 25’00, fin de la
grabación).
Ejercicios escritos en la pizarra:
Factorice completamente los siguientes polinomios P(x)=x3-3x²+3x-1, P(x)=x4+2x²-3, P(x)=x3-3x-2, P(x)=x4-3x²+2, P(x)=x3-2x², P(x)=x4x²+4x3-16x-12, P(x)=x²-x-12, P(x)=x²-18x+2x3-9, P(x)=4+3x3-4x²-3x, P(x)=x4-2x3+1
537
ANNEXE VI : SEANCES DE LA 10E G (RON)
VI.3 SEANCES DE LA 10E G A CHARGE DE RON
LUNES
20F
27F
RB-2702200610G
Revisan los cinco ejercicios de la
tarea. Inician agrupación. Siete
ejemplos de este método. Deja
tarea.
MARTES
21F
28F
NO CLASE
06M
RB-0603200610G
07M
Dicta temas de examen. Revisa
ejercicios,
“con
respuesta”. NO CLASE
Algunos los hace en la pizarra.
13M
RB-1303200610G
14M
NP. Se realizó una práctica sobre
factorización de los métodos
EXAMEN DE
vistos hasta el momento.
MATE
NO CLASE
20M
RB-2003200610G
Factorización de trinomios por
inspección. 14 ejemplos. Práctica
asignada para la casa. Reunión de
departamento.
21M
NO CLASE
27M
RB-2703200610G
28M
Práctica. La última hoja de la
primera lista sobre factorización. NO CLASE

03A
RB-0304200610G
04A
NP. Continuación de la práctica
general para el examen.
NO CLASE
MIERCOLES
22F
01M
RB-0103200610G
Revisión
de
ejercicios.
Factorización de expresiones de
dos términos. 14 ejemplos: factor
común, diferencia de cuadrados
cubos, suma de cubos.
08M
RB-0803200610G
Revisión de ejercicios en la pizarra.
JUEVES
23F
02M
NO CLASE
09M
NO CLASE
15M
RB-1503200610G
16M
Los estudiantes copian en sus
cuadernos la corrección de la parte
de desarrollo del examen. Al final NO CLASE
de la sesión P los entrega y
pregunta si hay dudas sobre la
corrección.
22M
RB-2203200610G
23M
Revisión de la tarea. Factorización
de trinomios de grado 2 en una
variable completando cuadrados.
Deduce la fórmula general, da el NO CLASE
discriminante y las soluciones.
Hablan de polinomio irreducible.

29M
RB-2903200610G
30M
Revisión en la pizarra de la práctica
hecha la clase anterior sobre NO CLASE
factorización de polinomios.
05A
RB-0504200610G
06A
Revisión de la práctica en la
pizarra.
NO CLASE
VIERNES
24F
RB-2402200610G
Inicio de factorización. Factor
común. Seis ejemplos. Cinco
ejercicios de tarea.
03M
RB-0303200610G
Práctica de fórmulas notables:
diferencia de cubos y de
cuadrados, suma de cubos.
Revisión. 10M
RB-1003200610G
Factorización de trinomios
cuadrados perfectos. Cuatro
ejemplos.
17M
RB-1703200610G
Nota sobre el valor absoluto.
Práctica de factorización en
cuadrados o cubos de binomios
para extraerlos de la raíz.
24M
RB-2403200610G
Retoma las fórmulas de la clase
anterior. Hacen juntos cinco
ejemplos.
31M
RB-3103200610G
NP. Inició práctica general para
el examen.
07A
RB-0704200610G
Inicio de división sintética.
Retoman el procedimiento largo.
Tres ejemplos.
EXAMEN DE MATE
10A
RB-1004200610G
11A
12A
RB-1204200610G
17A
RB-1704200610G
18A
19A
RB-1904200610G
Revisión del examen. Teorema del
FERIADO
NO CLASE residuo, ceros del polinomio,
teorema del factor, cantidad de
ceros.
24A
RB-2404200610G
25A
26A
RB-2604200610G
Revisión de la práctica. Luego
Revisión de la práctica de división
trabajaron en grupos. Reunión de
sintética en pizarra.
departamento.
INICIO DE ECUACIONES
CUADRÁTICAS
13A
20A
NO
CLASE
27A
14A
RB-1404200610G
21A
RB-2104200610G
Tres ejemplos del uso de la
división sintética para factorizar.

28A
VI.3.1 RB-2402200610G : FACTORISATION - FACTEUR COMMUN
538
1
2
3
4
PROF=RB
E=(K)eiling
PROF=RB
E=(J)onathan
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
E=K
PROF=RB
E=(C)arla
PROF=RB
E=C
PROF=RB
E=C
PROF=RB
E=C
PROF=RB
E=C
PROF=RB
E=C
PROF=RB
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
E=(D)iego
PROF=RB
E=(Jo)se
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
E=C
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
E=J
PROF=RB
E=J
E=C
PROF=RB
E=C
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=C
PROF=RB
E=K
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=(Ka)rla
(P escribe « Factorización » en la pizarra. 01’16) Qué es factorizar ?
Reducir
Sacar factores
Pero diay quedamos en las mismas, qué significa sacar factores ? Pero espérese ya voy, qué significa
reducir ?
Di hacerlo más pequeño.
Y cómo hago más pequeño ?
Simplificando.
Mm ?
Simplificando.
Y cómo? (risas de algunos estudiantes). Por ejemplo si yo digo que factorice 80.
Sacándole el mínimo común múltiplo.
Ah ?
Sacándole el mínimo común múltiplo.
Qué significa la palabra común ? Cuando uno dice común …
Que dos términos tengan los mismos divisores.
Entonces si hay dos números, ahí hay dos números ?
No.
Entonces no puede haber nada común. Cuando uno habla de común, tiene que ser común entre varios
verdad, no nada más de uno. Entonces no es con eso. Qué es factorizar el 80 ? (P escribe “factorice 80“ en
la pizarra, 02’22-02’37). Uh ? Ah no es conmigo. Qué era sacar los factores? Sacar los factores y factorizar
no es lo mismo. Es parecido pero no es lo mismo. Qué es factorizar,. Acuérdense de la niña en quinto o en
sexto, qué les dijo que era factorizar (risas de algunos estudiantes). Ya hace mucho. Qué es factorizar
Diego. Si a usted le dicen, factorice 80 porque si no se muere, qué hace? (5s) Mm ?
Di no sé.
Se muere.
Profe no es hacerlo pequeñito ?
Qué es hacer 80 pequeñito, lo borro y lo escribo más pequeñito ?
No, lo divido hasta que ya no se pueda.
Lo divido hasta que ya no se pueda.
Bueno yo me acuerdo de la escuela que nos ponían hacer eso (risas de la mayoría de los estudiantes).
Hacer qué ?
Que nos ponían a dividir el número y se simplificaba.
Factorice 80 2
Venga aca eso que está pensando.
40 2
20 2
Si, si … (Jo va a la pizarra). Sólo lo divido y lo divido ?
10 2
Diay no sé, haga a ver (03’44).
5 5
Y diay, este 5 (Jo lo contorna con un rectángulo) era eso (risas de los estudiantes).
1
Y por qué ?
Porque hasta aquí es donde se podía reducir. Diay es lo que me acuerdo.
Y el 80 qué se hizo ?
Diay se hizo así (risas de los estudiantes). Ya ya, no, es en serio. Di si profe, porque si yo lo reducí.
Y esto ? (P indica la columna a la derecha de la raya, en el desarrollo del estudiante).
Si y esto también tiene que ver algo. Pero…
No eso se multiplica (en voz más baja que la de Jo).
Pero que ?
No sé profe. No sé, es que yo me acuerdo que eso había que hacerlo.
Pero para qué ?
Para hacerlo chiquitico (risas de los estudiantes).
Diay son factores los de la derecha, es lo mismo multiplicar todo eso y da 80 igual.
Todo lo de la derecha multiplicado da 80, y eso es factorizarlo ?
Diay son factores, no ?
Di si quedaría 2 a la 4 por 5, no ?
Ah ?
Si porque quedaría 2 a la 4 por 5, sería una factorización de 80 (mientra, P escribe en la pizarra: 24⋅5).
Si porque 16 por 5.
Y por qué eso es una factorización de 80 ?
Ay Dios mío, porqué…
Eso da 80.
Ajá.
Y esto es una factorización de 80 ? (05’07).
Ay Dios mío porqué.
Eso da 80 ?
Si, ajá.
Y esto es una factorización de 80 ?
Diay si !
Por qué ? Bueno si es cierto, es una factorización de 80, pero por qué ?
Porque da igual a 80, no ?
ReO-ReS
ReS
ReV
ReV
ReS
Fx
Fx
Ch
ReS
DsR
Tc
DsD
(ReV)
ReO
DsD
DsR
DsD
Fx-DsD
539
62
63
64
65
66
67
68
PROF=RB
Es
E=J
E=(G)abriel
PROF=RB
E=G
PROF=RB
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
81
82
83
E=K
PROF=RB
E=K
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=G
E=K
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
94
95
96
97
98
E=J
E=Jo
E=J
E=Jo
E=J
99 PROF=RB
100 E=K
101 PROF=RB
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
Es
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=Ka
E=J
PROF=RB
E=Ka
PROF=RB
E=Ka
PROF=RB
118 E=G
119 E=J
120 PROF=RB
540
Esto es una factorización de 80 ? (P escribe en la pizarra: 50+30=80)
No
No porque, multiplicados no dan 80.
Porque hay suma.
Y qué ?
Y no es multiplicación, no ?
No sé, yo estoy preguntando, ** pregunta. Esta no. Esta? (P escribe 20⋅4=80, 16⋅5=80, 40⋅2=80). Esta es
factorización de 80? Uh ? (6s)
Profe pero la única factorización no sería esa, la primera. O se pueden otras ?
Diay le estoy preguntando (risas de algunos estudiantes). Usted qué cree ?
4²⋅5=80
Diay yo pienso eso.
24⋅5=80
Qué piensa.
* 50+30=80
Que la única factorización que se podría es esa.
20⋅4=80
Por qué, qué es factorizar, entonces ?
16⋅5=80
Di no sé profe, es como, como…
40⋅2=80
Si estamos deacuerdo que cuando uno habla de factores, está hablando de…
Multiplicación.
Nada más, verdad.
Mmjú
Entonces esto, jamás puede ser una factorización. Y porqué la primera si y la otra no ? Si las dos son
multiplicaciones que dan 80 (14s). O ésta (07’00, P escribe 16⋅5=80, 40⋅2=80). O ésta (P escribe
40⋅2=80). Esas tres de abajo son o no son factorizaciones de 80 ?
Si.
Por qué?
Di porque son factores y al final va a terminar dando 80 igual que el de arriba. Nada más que 2 a la 4 es,
tiene … si, es exponente y ya.
Nada más? (P escribe arriba de 24⋅5=80, 4²⋅5=80)
Di si, es la única diferencia. Porque si usted resuelve ese 2 a la 4, da 16 por 5 y abajo está también.
Ajá.
Entonces... es igual.
Y para qué hacían esto, entonces ? (P señala lo que hizo Jo al inicio).
Para ver los factores es?
Para sacar los exponentes (llaman a la puerta, 08’01).
Para sacar ese 2 a la 4 por 5.
Pero para qué queríamos el 2 y el 5 ?
(varios estudiantes responden) Para hacerlo más chiquitico (08’09, la persona que llamaba a la puerta
conversa con P). Uno para qué en las raíces hacía eso ?
Mm?
Para qué hace eso uno en la raíz ?
Di para/
Di para sacarlo de raíz, no?
No, no, porque esos son factores (inaudible el resto de la conversación. Otros estudiantes comienzan a
alzar la voz al hablar. 08’47)
Factorizar es expresar un número, cómo… una multiplicación.
De factores
Bueno si es un número, pero ya ustedes saben que también se vale factorizar polinomios, verdad ? Entonces
factorizar va a ser expresar como multiplicaciones. Entonces, esas cinco que están ahí, son factorizaciones
de 80. Qué tiene de especial esa, 2 a la 4 por 5.
Los exponentes.
Los exponentes, es una potencia, no ?
Bueno, de hecho todas si las pensamos con exponente 1.
Tienen potencias no ?
Mm ? … la primera también (9s). Qué tiene de especial ?
Porque es la factorización completa, no ?
Y por qué se llama factorización completa ?
Di porque está reducido a… a los exponentes.
Mm ?
Al máximo
O al máximo.
Qué es reducir al máximo o factorizarlo al máximo, diay porque es lo mismo.
Di porque sacó el máximo común divisor.
No le oí nada.
Di sacó el máximo común divisor, no ?
No, de nuevo, no puede haber máximo común divisor porque, común a quién ? No, ahí se factorizó
completamente el 80, porqué sé que esa es la factorización completa de 80?
Porque el 80 se hizo 1.
Si porque quedó hasta 1.
Diay si le saco, si lo divido entre 20 y después entre 4 también queda 1 (13s). Mm ? Qué tiene de especial
esa, por qué se llama factorización completa. Debe haber una razón para que se llame así. Cuando uno
factoriza, la idea es multiplicar dos números de qué tipo ? Porque el 80 también lo puedo obtener
multiplicando, 40 raíz de 2 por raíz de 2. O lo puedo obtener multiplicando 160 por un medio; pero eso no
DsC
DsD
ReS
Fx
DsD
DsR
ReO
ReO
ReV
ReV
DsC
DsD
ReS
DsD
DsC
Fx
121 E=J
122 PROF=RB
123
124
125
126
127
E=Jo
PROF=RB
Es
E=Jo
PROF=RB
128
129
130
131
132
133
134
135
E=G
E=J
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
E=J
E=K
PROF=RB
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
E=JO
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
158
159
160
161
162
163
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
164
165
166
167
168
169
170
171
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
nos interesa, verdad ? Cuando a uno le piden que factorice números, sólo lo va a factorizar con el producto
de números … de qué tipo ?
Enteros.
Enteros. Y positivos verdad, bueno. Sólo nos interesa con el producto de números enteros ? Pero ahí, el 2 y
el 5, qué característica tienen ? Que no tiene el 16, ni el 20, ni el 4, ni el 40.
Son primos
Que son primos
Y !! Uh !!
Uh ! Qué bicho ! Me valió enfermarme (risas, 12’06).
La factorización completa es cuando estamos expresando el número como un producto de números primos,
nada más; porque diay ya los números primos no se pueden factorizar más, verdad. Por eso se llama
completa. En cambio la anterior, por ejemplo el 4 se puede factorizar, el 20 también, el 16 también, el 40
también. Entonces esas otras son factorizaciones, pero no son factorizaciones completas. Entonces cuando
uno habla de factorizar un número, puede ser que existan muchas formas de factorizarlo, pero sólo hay una
que es la factorización completa. Si fuera 13 lo que vamos a factorizar…
Di 13 por 3.
13 por 1
No. Es 13, no ?
Ah?
No es igual, a 13.
No, 13 por 1, no ?
No 13, porque 13 es primo.
Como 13 es primo, no podemos factorizarlo más, verdad ? La única posibilidad de ponerlo como un
producto entero, sería 13 por 1. Y no tiene mucha gracia, verdad. La idea es ponerlo como producto de
números primos. Entonces, si es un número compuesto, siempre se va a poder factorizar como el producto
de números, primos. Y a eso le llamamos una factorización completa. Y si es un número primo, entonces
decimos que ya está factorizado el solo, verdad ?
Entonces, qué pasa con los polinomios (13’36. P escribe en la pizarra: Factorice 6ab²-9a²bc. 13’50). Si
quiero factorizar ese polinomio, cuál puede ser una factorización para ese polinomio. Si me piden una
factorización de un polinomio, lo que debo de buscar es un producto que me dé eso como resultado,
verdad ? Si ? Entonces cuál puede ser una multiplicación, que me dé ese polinomio como resultado ? (13s)
3 a la 2
Mm ?
3 a la 2, no ?
3 a la 2 da esto ?
No suave. Di 3 a por
3 a por...
b al cuadrado, bueno entre paréntesis verdad. b cuadrado menos 3, a b c.
Así? (P escribe 3a(b²-3abc)).
(J asiente con la cabeza)
Falta algo.
3 a b, no ? (P agrega 2 multiplicando al b², quedando 3a(2b²-3abc)).
Esa es una factorización, habrán otras?
Si. 3 a b.
3 a b.
Por, 2 b, menos 3 a... a c.
Una más.
3b
Factorice 6ab²-9a²bc
3 b, por?
= 3a(2b²-3abc)
Por 2 a, menos/
= 3ab(2b-3ac)
2 a. 2 a b.
= 3b(2ab-3a²c)
Menos 3 a a la 2, c.
Podríamos decir como aquí (P señala en la pizarra los ejemplos numéricos), que ahí hay alguna que es
completa y las otras dos no ? (16s)
La segunda, no ?
Por qué?
Di ya no se puede reducir.
Mm ?
No se puede reducir más de ahí.
Qué es reducir ? Aquí, al inicio dijeron que factorizar era hacerlo más pequeño. No es hacerlo más
pequeño, verdad.
O sea, ya no se le pueden sacar más factores, no?
Por qué no?
Porque digamos en la primera se le puede sacar una b y en la tercera una a.
Por qué en la primera podría sacar una b ?
Porque los dos tienen b. O sea, tanto el 2 b a la 2, como el 3 a b c.
Ahí podemos decir que b es un factor de los dos términos, verdad ?
Mjú.
Un divisor de los dos términos. Ahí cabe la palabra común, verdad. b es un factor común a esos dos
términos. Y en el tercero, en la tercer factorización, el factor común a los dos términos que están dentro del
paréntesis es cuál ?
ReV
(ReV)
(DsD)
DsD
DsD
DsD
541
172 Es
173 PROF=RB
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
E=J
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
186
187
188
189
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
190 E=J
191 PROF=RB
192 E=J
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E
E=D
PROF=RB
E=J
PROF=RB
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
542
a
a. En cambio en el del centro, el 2 y el 3 son números primos, verdad, no tienen divisores comunes. Y en
un término está b y en el otro está c, a c. Entonces no hay factores comunes a esos dos términos, verdad ?
Entonces la del centro sería una, factorización completa. Estas dos son factorizaciones pero no son
completas. Cuando, dijeron de simplificar el 80, cuando uno simplifica, está simplificando dos números,
verdad. Estaba pensando, me imagino en una fracción, comenzar a simplicar una fracción. El 80 ahí no lo
simplificamos, porque sigue siendo 80. Está expresado, ni siquiera está escrito de una forma más simple,
porque es más fácil escribir 80 que escribir, 2 a la 4 por 5. No es que está escrito de una forma más simple,
como para decir que estamos simplificando el 80, verdad ? Factorizarlo va entonces ser escribirlo como,
multiplicación. Cuando son números, di esa es la forma de factorizarlo. Ahí podíamos sacar, en lugar de
mitad, podíamos sacar, décima o cuarta u octava, verdad ? Pero la idea de sacar mitad y no octava, es
precisamente tener una factorización completa, verdad. Alla, estamos usando cuál método de
factorización ?
Factor común.
Se acuerdan ?
Si.
Qué era el factor común ?
Buscar el factor común que tengan la cantidad de términos que hayan.
Pero no se vale que para definirme el factor común me diga que es el factor común.
Buscar el término semejante en el polinomio
Cómo ?
Buscar el término semejante entre los polinomios.
Qué significa que sean semejantes en los polinomios ?
Que son el mismo.
Términos semejantes significaba otra cosa. Términos semejantes era lo que uno podía sumar. Qué es el
factor común en un polinomio ?
Di un número por el que va a dividir todos los términos, o simplificar.
Cuando son números /
O variables entonces.
Cómo le dirían a alguien que nunca ha sacado un factor común, qué es ? Todos ya saben factorizar por
factor común. Qué es un factor común? (9s)
Un término por el que se pueden dividir todos los componentes.
Más o menos. Bueno si, ok éste, es un factor común de éste y éste. Este también y este también. Pero igual,
como siempre vamos a buscar una factorización completa, verdad ? Porque ahí como factor común
pudimos haber dejado sólo el 3. Verdad? O sólo la a, o sólo la b, pero el 3 a b es el más grande factor
común que una puede sacar, verdad ? Entonces cómo lo podemos definir el factor común, para que siempre
que hablemos de factor común sea el más grande de todos los que podemos sacar. Por ejemplo, cuando uno
tiene, 48 y 36 (21’36). Cuáles son divisores o factores comunes ? A esos dos números.
6 (P inicia una lista que copiará en la pizarra, precedida por “Factores comunes: 6”. Y así copiará cada
divisor que vayan a decir).
Cuál otro ?
2... 12
Y ? Falta uno.
1
Bueno si el 1, y ?
9
No, 9 por qué da 48 ?
Falta uno.
4
4. Esos son los divisores comunes, verdad. Y al más grande cómo se le llama ?
Máximo común divisor, o común múltiplo.
El mayor de los divisores comunes, es el máximo común divisor, verdad? Entonces si tenemos (P escribe
en la pizarra: 6a²c3
21a5c²
18a²b4a7). Esos tres términos, independientes, cuáles son factores
comunes ?
3
Cuál otro ?
a a la 2.
a a la 2.
c a la 2.
c a la 2.
3 a a la 2, c a la 2.
3 a a la 2, c a la 2. Hay más verdad, puedo combinar ahí. Por ejemplo el 3 a, o solo el a c. Hay más... Si?
Mjú.
Pero cuál es el máximo común divisor ahí ?
3 a a la 2, c a la 2.
ReV
ReS
ReS
(ReS)
ReS
ReV
216 PROF=RB
217
218
219
220
221
222
223
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=K
PROF=RB
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
234 Es
235 PROF=RB
236
237
238
239
240
241
242
243
Es
PROF=RB
E=Jo
E=K
PROF=RB
E
E
E
Entonces, a ese es al que le vamos a llamar el, factor
Factor común:
48 36
común. Si ? Al máximo común divisor (P escribe en
Factores comunes:
la pizarra: « Máximo común divisor de TODOS los
2, 3, 6, 12, 4
Máximo común
términos del polinomio).
divisor de TODOS
↓
los términos del
Máximo común divisor
Si ? Apesar de que insisto, solo 3 es un divisor
polinomio
común o un factor común, cuando hablemos de
6a²c3 21a5c² 18a²b4a7
factor común como método de factorización, vamos
a pensar en el máximo de todos los divisores
Factores comunes:
comunes. Porque esa es la única forma de obtener la
3, a², c², 3a²c² , 3a, ac, ...
N
factorización completa, verdad ? Si en lugar de
MCD
factorizar el máximo común divisor, factorizo
Factor común
cualquier otro divisor común, la factorización que
obtengo no es, completa. Está bien. Bueno, hagamos
algunos ejemplitos (24’57. P escribe en la pizarra: 6m3n5r-12m5n4+9m3n3. 25’50). En ese polinomio,
cuántos términos hay ?
3
3. Cuál sería el factor común ?
3 m a la 3, n a la 3.
Siempre en las letras las que voy a escoger son las, que cumplen con cuáles condiciones ?
Que sea la que tiene el menor exponente
La letra que tiene el menor exponente ?
Yo sé lo que quiere decir pero dígamelo bien porque así, no está completo verdad ? De los números,
sacamos el máximo común divisor como hicimos antes, verdad. Recuerden que si uno quería sacar el
máximo común divisor aquí, lo que hacíamos era factorizarlos simultáneamente, verdad ? Y el producto de
esos divisores comunes, me da el máximo común divisor (P escribe el desarrollo para encontrar el MCD).
Y de las letras cómo hacía, cuáles escogía para máximo común divisor.
Di la de menor grado
Mm ?
La de menor grado.
Pero de cuáles ? Por ejemplo si aquí tengo/
De las semejantes
Ah ?
De las semejantes.
Qué significa semejantes ?
Di que está presente en todos los términos.
Las comunes a todos los términos. Tiene que estar en todos los términos para que sea factor común,
verdad ? Y si está, por ejemplo, ahí las comunes serían m y n, cuál tomo de las m ?
La de menor exponente. m a la 3.
La de menor exponenete verdad, porque tiene que ser divisor de las otras. Entonces, cuál sería el factor
común aquí ?
3 m a la 3, por n a la 3
Y cómo obtengo el otro factor ?
Dividiendo cada término por eso.
Lo divido por cada uno.
Factorice
Lo divido entre el factor común, entonces cuál quedaría aquí?
c 6m3n5r-12m5n4+9m3n3
2 n a la 2
=3m3n3(2n²r-4m²n+3p)
2 n a la 2 r (P va escribiendo en la pizarra : 2n²r -)
4 m a la 2 n más 3 p (P va escribiendo en la pizarra : 2n²r –4m²n+3p)
ReV
ReV
ReS
ReV
(Luego escribe un segundo ejemplo: = 3 x²y5 −15 x5 y3 + 1 x7 y 6 z 3 . 28’50).
2
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
4
8
Qué puedo hacer en este caso ? (P pregunta por la hoja de clase). Qué hacemos ahí ?
Se factorizan todos los denominadores juntos y después todos los numeradores, no ?
Cómo, cómo, cómo ?
Factorizo todos los denominadores y después todos los numeradores.
O sea, sacar el factor común de los denominadores y de los numeradores por aparte ?
Ajá.
Puede ser, pero si yo quiero que en el otro factor no me queden fracciones, qué podría hacer también ?
Eliminación de denominadores.
Mm ?
Con la eliminación de denominadores, no ?
Cómo los vamos a eliminar ? Por qué se quiere deshacer de ellos (risas).
Sacando el máximo.
Ah?
Sacando el máximo?
Cuál máximo?
El máximo de los denominadores.
Qué es el máximo de los denominadores?
Di el máximo común denominador.
El común denominador.
Mjú.
Por qué máximo?
ReS
DsD
543
265 E=M
266 PROF=RB
267 Es
268
269
270
271
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
Bueno … el común
El común denominador es el mínimo común múltiplo. Que no se les enrede con el otro, verdad. Cómo se
sacaba el mínimo común múltiplo ? Era todo lo contrario alla, no ? Alla, solo sacaba los divisores comunes,
cuando ya no habían comunes paraba. En cambio aquí, tenía que factorizarlos todos, verdad. Si ? Entonces
el común denominador cuál sería ?
Comun denomin ador
8 (P escribe la expresión inicial, pero con fracciones equivalentes
min imo comun multiplo
con común denominador).
2 4 8 2
8. Qué queda aquí ?
1 2 4 2
12
1 2 2
Aquí ?
1
30
272 PROF=RB
Tiene que quedar igual (P escribió: =12 x²y5 − 30 x5 y3 + 1 x7 y6 z3 ), y ahora simplifico éstas ? Mm ? No
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=J
PROF=RB
E=J
PROF=RB
verdad, si no me devuelvo. Cuál sería el factor común? El hacerlo así me da ventaja que ya saco el 8 y en el
otro factor lo que me van a quedar son solo enteros, verdad. En los numeradores, podré sacar algo ?
1
Sólo 1 verdad, como ahí hay un 1, no pueden haber más divisores comunes que 1. Y de las letras ?
x a la 2.
x a la 2.
Y y a la 3.
Y y a la 3. Entonces cuál sería el otro factor ?
12 x a la 2.
12
x a la 2.
x a la 2. Menos…
30
30
x a la 3
x a la ?
2
No.
3
d = 3 x²y5 −15 x5 y3 + 1 x7 y6 z3
3. Más…
2
4
8
x a la 5
=12 x²y5 − 30 x5 y3 + 1 x7 y6 z3
8
8
8
x a la 5
1 x²y3(12y²−30x3 + x3 y3 z3 )
=
y a la 3
8
y a la 3.
Está bien ? (P escribe una expresión como ejemplo tercero: 5 6a 3b+ 25 10a²b3 . 33’28). Cuál sería en ese
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
305
306
307
308
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
8
309 Es
310 PROF=RB
311
312
313
314
544
E=K
PROF=RB
E=K, Es
PROF=RB
8
8
otro el factor común ?
5 raíz de 2.
5 raíz de 2…
a a la 2.
a a la 2…
b (P escribe la expresión: 5 2a²b )
Y el otro factor?
Raíz de 3. a a la/ a
e 5 6a3b+25 10a²b3
Mjú…
Más 5, raíz de 5, b a la 2.
=5 2a²b 3a+5 5b2
Mjú
(P escribe una expresión como cuarto ejemplo: 2x(m-n)+3y(m-n). 34’42). En la siguiente, esto, aquí hay
dos términos ya factorizados, verdad ? Si ? Si uno multiplica esto, le van a quedar dos términos. Vamos a
considerar como un solo término éste y como un solo término éste. Este con dos factores y éste con dos
factores. Cuál es el factor común a estos dos ?
m menos n (P escribe en la pizarra el factor dicho)
f 2x(m-n)+3y(m-n)
m menos n. Y entonces el otro factor, cuál sería ?
= (m-n)(2x+3y)
2 x más 3 y.
(P escribe una expresión como quinto ejemplo: a(m-n)²+b(m-n)3. 35’41). Entonces en este otro caso cuál
sería el factor común ?
m menos n al cuadrado (P escribe el factor).
Mjú. De nuevo es el mismo criterio verdad. Tomo el menor exponente del factor repetido, para que sea
divisor de los dos. Y el otro factor, cuál sería?
a
a
Más b, m menos n (P escribe el factor).
Puedo hacer eso, esas operaciones ahí, verdad (P realiza las operaciones
g a(m-n)²+b(m-n)3
indicadas en la línea de procedimiento anterior).
=(m-n)²[a+b(m-n)]
(P escribe una expresión como sexto ejemplo: 2x(a-b)-x²(b-a). 36’54). Cómo se
=(m-n)²[a+bm-bn]
haría esto? (P pasa lista. Envía a alguien a la pizarra para hacer la
(
)
315
316
317
318
E=J
PROF=RB
E=K
PROF=RB
factorización. El timbre suena. 38’16)
Profe era menos, no? 2 x menos x a la 2.
Está malo verdad ?
Si
En realidad no está malo, está incompleto. Lo revisamos la próxima vez, junto con los cinco primeros de la
página cinco (38’34).
VI.3.2 RB-2702200610G : REGROUPEMENT
(00’00) La clase inicia con la corrección de cinco factorizaciones que habían quedado de tarea. El profesor solicita a varios estudiantes
que vayan a la pizarra a escribir el procedimiento que hicieron y entrega al presidente de sección una práctica de simplificación de
expresiones algebraicas para fotocopiar y presentar realizada el lunes próximo.
1
PROF=RB
2
PROF=RB
3
4
E
PROF=RB
5
6
7
8
E=MF
PROF=RB
E=MF
E
9
10
11
PROF=RB
E=B
PROF=RB
12
PROF=RB
13
14
15
16
17
18
E=B
PROF=RB
E=B
PROF=RB
E=B
PROF=RB
19
20
E=B
PROF=RB
21
22
23
E=B
PROF=RB
24
PROF=RB
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
E=(G)abriel
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
E=(Jo)nathan
PROF=RB
(P pregunta si hicieron los ejercicios. 5 de la hoja y uno que había quedado sin hacer. Le dicen que si lo
había terminado. Kevin pasa a la pizarra.Pasa alguien hacer la tres. 05’00. Pasa otro estudiante hacer la
cuatro y el de la 3 se sienta por tener el cuaderno de un compañero, 06’00).
Cuánto es 2 coma 2, entre 1 coma 1? Usted sacó el 1 coma 1 como factor común verdad, está bien! Pero
después cuando divide 2 coma 2 entre 1 coma 1 cuánto da? ... 2! No 2 coma 2 (...)
Profe y si saco x y como factor común… están bien ?
Si solo saca x y? Está incompleta. O sea usted dejó x menos y por 1 coma 1, x menos y por 2 coma 2; le falta
sacar un 1 coma 1 a factor (09’00) ... Ya Liliana vio cómo se hacía? (Beatriz pasa hacer la 3, Hazel la 5,
10’00).
Profe ... La cuatro uno la puede hacer con fracciones?
Si, pero es lo mismo. 11 décimos saca a factor común.
Ajá si.
Profe y uno le puede quitar el paréntesis a la x menos y? x menos y más 2, le puede quedar? (P aciente. P
hace una observación sobre el enunciado de un ejercicio, 11’00. Comentarios)
El común denominador, por qué todos con denominador 4?
(12’00) Primero les saqué el máximo común denominador
Lo que usted quiere es hacerlo con denominador 4? Entonces ese es el mínimo común múltiplo lo que tiene
que sacar. Pero usted no puede cambiarle el denominador a la fracción y dejarle el numerador igual.
Arréglenlas (Francisco pasa hacer la que había quedado, ..., 13’00).
En un paréntesis dice a menos b y en el otro b menos a (...). Ajá... no! Bórrese eso que escribió. Todo, todo.
Qué hace para que queden iguales? (..., 14’00). Pero así nada más no, escríbalo en otro paso (...). Copió
exactamente lo mismo que estaba en el anterior (...).
Así profe?
Pero... y los números?
Los de aquí?
Por qué sacó x a la 3? Si el último no tiene x? (..., 15’00, ...). Para qué le sirve todos con igual denominador?
Bueno es que yo.../ yo primero pensaba que había que sacar a la fracción el factor común, para ya después *
Si claro! Sáquele, si todos son dieciseisavos, puede sacar el dieciséis, y de los numeradores, qué puede sacar
ahí?
Se saca igual no?
El máximo común divisor (..., 16’00, ...). Ahora si va bien pero todavía falta (comentarios). Qué más puede
hacerle a eso? (comentario)
Así es profe?
Si, entonces qué quedaría en el paréntesis? (...).
Este... Francisco, en el segundo factor se puede factorizar más (17’00). Cuál sería el factor común ahí? (...,
Diego pregunta si una está buena. Comentarios del estudiante). Preguntas... (18’00. Comentarios
inaudibles)
(P escribió en la pizarra: «Factorice (5a+2b)(3x-2)+(-3x+2)(a-b) ». 19’04). Cuál sería el factor común en
la siguiente ?
3 x, menos 2
Así como está?
Mjú.
Pero aquí no está 3 x menos 2.
No digamos, ese más no se convierte en menos.
Se convierte…
Si
Saco un menos 1 de aquí (P escribió: « (5a+2b)(3x-2)-(3x-2)(a-b) »). Si ? Y ahora qué, factor común sería ?
3 x menos 2
Por, 5 a más 2 b, menos a menos b (P escribió: « (3x-2)[ (5a+2b)-(a-b)] »). Si, cuánto da esto ? Mm ?
4 a, más 3 b.
4 a (P escribió: « (3x-2)(4a+3b) »).
1) (5a+2b)(3x-2)+(-3x+2)(a-b)
No es 1 más 2, profe?
= (5a+2)(3x-2)-(3x-2)(a-b)
(P escribe el segundo ejemplo: «3xn+2+6x2n+3 si n∈IN») Mm? Si n es un
= (3x-2)[(5a+2b)-(a-b)]
número natural, qué será mayor, n más 2, o 2 n más 3 ?
= (3x-2)(4a+3b)
545
39
40
Es
PROF=RB
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
E=1
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
51
52
Es
PROF=RB
53
54
55
56
57
58
59
60
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
61
62
63
64
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
2 n más 3.
2 n más 3, verdad, son positivos, bueno o cero. Entonces, como este es el exponente menor, cuál sería el
factor común?
x n más 2
Todo este término, verdad. Si? Cuándo divido esto entre esto, cuánto me da?
Uno.
Y éste entre éste?
Dos.
Dos qué? Si yo divido 6 x elevado a la 2 n más 3, entre 3 x a la n más 2, qué hago con los exponentes ?
Los resto.
Entonces, 2 n más 3, menos n, menos 2. Y eso daría ?
n más 1.
Si? Está bien ? Es lo mismo que hacíamos antes,
2) 3xn+2+6x2n+3 si n∈IN
6x2n+3
=2xn+3−n−2 =2xn+1
verdad. Saco la letra repetida con el exponente menor
3xn+ 2
y luego divido.
n+2
n+1
=3x (1+2x )
(P escribe el tercer ejemplo: «am+an+5m+5n».
23’29). Cómo podemos hacer la otra? Hay algún
factor común para toda la expresión ?
No
No verdad. Pero hay dos términos que tienen a y dos términos que tienen 5.O hay dos términos que tiene m
y dos términos que tienen n. Entonces en algunos casos, cuando no hay factor común para todos, si no que
algunos términos si tienen factor común, nos conviene agruparlos. En este caso podría agrupar, por ejemplo,
dos que tienen a, en un grupo; los dos que tienen 5 en el otro grupo. La idea es que cada grupo a va tener
fáctor común. No me serviría agrupar a n con 5 m verdad. No tendría gracias, porque no se puede hacer nada.
Mm? En cambio aquí, cuál sería el factor común en este grupo.
a
Y el otro factor ?
m más n
m más n. Factor común de aquí ?
5
Y el otro factor ?
m más n
La idea de hacer esto es precisamente, llegar a algo así, donde encuentro un factor común para toda la
expresión, verdad? Porque en este momento aún no está factorizado porque hay una suma aquí. Está
factorizado este pedazo y este pedazo pero no todo, verdad. Entonces cuál es el factor común ahora?
m más n
m más n. Y el otro factor sería ?
a más b.
Ok. Cuando hacemos eso, decimos que ese método se llama agrupación (P
3) am+an+5m+5n
escribe agrupación al lado del ejemplo anterior). Es como generalizar el factor
= (am+an)+(5m+5n)
común.
= a(m+n)+5(m+n)
(P escribe el cuarto ejemplo: « 1 x²− xy+3x−6y ». 25’15). Ahí en ese polinomio,
= (m+n)(a+5)
2
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
546
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=(S)tephanie
PROF=RB
E=S
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
Es
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
hay un factor común para los cuatro términos ?
No.
No verdad ? Cómo agruparían ahí ?
Un medio x a la 2
Ajá, con cuál ?
Con 3 x
Ok, puede ser así. Más, el otro grupo que sería ?
Menos x y.
Menos x y…
Menos 6 y.
)
(2
Menos 6 y (P escribe 1 x²+3x +(− xy−6y ) ). Qué le hacemos al primer grupo ? (8s) Aquí hay una fracción y
aquí no hay, verdad. Entonces deberíamos deshacernos de las fracciones aquí, porque si ocupamos que al
final nos quede igual en los dos, si aquí dejo fracción y aquí no, jamás me va a quedar igual, verdad.
Entonces, cuál sería el común denominador aquí?
2
Queda un medio x a la 2 y aquí ?
(2
)
6 x (P escribe 1 x²+ 6 x +(− xy−6y ) ).
2
Cuál sería el factor común en ese primer grupo ?
x
Un medio.
Un medio x.
El otro factor serían ?
x más…
x más ?
6
86
87
88
89
90
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
6. Y aquí ?
Menos y.
Como los dos son negativos, puedo sacar menos y. Y quedaría ?
x más 6.
Más porque saqué un menos uno, verdad; entonces los dos deben quedar positivos (P escribe
x (x+6)− y(x+6) ). Y ahora, cuál sería el factor común ?
2
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
E=(V)ictoria
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=(J)ose
PROF=RB
x más 6.
x más 6. Y el otro factor ?
x medios menos y
4) 1 x² − xy +3x −6y
2
(2 )
x medios… (P escribe (x+6) 1 x− y ). Está bien ?
(2 )
= (1 x² + 6 x )+ (− xy −6y )
2
2
= 1 x² +3x + (− xy −6y )
= x (x + 6)− y(x + 6)
2
(P escribe el quinto ejemplo: « x 2 + x² 6 + y 5 + xy 15 ». 29’36).
=
(x +6) 1 x − y
(30’24). En el primero el exponente es de la x o de la raíz ?
2
Si fuera un 2 lo escribiría ?
No pero, es que esa raya de encima (30’59. Un estudiante va a la pizarra a factorizar la expresión. 32’04).
Si está bien ?
Profe no importa que esté primero uno, un término y luego otro ?
Le quedó primero éste y luego éste ? (J asiente) Cuando es una
multiplicación no importa.
5) x 2 + x² 6 + y 5 + xy 15
(P escribe el quinto ejemplo: «(a+1)(b-3)+(a+1)(b+4)+(x+2)(3b- =
x 2 + x² 6 + y 5 + xy 15
1)+(x+2)(2-b)». 29’36). Aquí cómo hacemos ? Hay preguntas en ésta ?
= x 2 1+ x 3 + y 5 1+ x 3
(
(
)
)(
( ) (
= (x 2 + y 5 )(1+ x 3 )
101
102
103
104
105
106
107
108
E=V
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
109
110
112
113
114
115
E=3
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E=3
PROF=RB
116 Es
117 PROF=RB
118
119
120
121
E
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
122
123
124
125
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
136 Es
137 PROF=RB
)
)
No.
No ? Esta ? Esta es más larga, verdad. Cómo agruparían esto.
Los 3
Ah ?
Los 3
Cómo ?
Se pueden agrupar los tres.
Si pero en este caso no nos conviene. Si fueran seis, puedo hacer tres parejas o dos tríos, qué importa; pero si
son cuatro… Por ahora con los métodos que hemos visto, sólo debería ser dos y dos, porque si no, no le va a
quedar algo aquí, verdad. Cómo agruparían eso ?
Con pares e impares.
Cómo
Con pares y con los impares
Cuáles pares ?
Digamos el 4, el 2.
Ah, vea. Hay cuatro términos, verdad, y cada término tiene dos factores, nada más, cuáles tienen factor
común? El primero tiene un factor común, con cuál?
x a la 2.
Con el segundo, el a más 1. Entonces, agrupo los dos primeros (P escribe: «[(a+1)(b3)+(a+1)(b+4)]+[(x+2)(3b-1)+(x+2)(2-b)] »). Cuál es el factor común entre los otros dos ? Ah ?
x más 2.
x más 2. Entonces aquí saco a más 1, y qué quedaría en el otro factor ?
b menos 3
b menos 3… más … b más 4. Aquí va a quedar, x más 2, por…2 b menos 1, más… Aquí metí las patotas, es
3 b, arréglenlo (P cambia en el segundo factor del tercer término, 2b por 3b). Si ? (P escribe: «(a+1)[(b3)+(b+4)]+(x+2)[(3b-1)+(2-b)] »). Cuánto da lo del primer paréntesis cuadrado ? (35’06). Sería a más 1,
por, cuánto da eso?
b al cuadrado.
No
Ah, si, si. Sería dos veces b más 1.
2 b más 1 verdad ? Si ? Está bien, van siguiendo. Saco el a más 1, entonces queda éste más éste. El b más b,
2 b y menos 3 más 4 es 1. Y aquí cuanto va a dar… x más 2 por…
2b
3 b, menos b.
2 b.
Y menos 1 más 2 ?
1
Más 1 (P escribe: «(a+1)(2b+1)+(x+2) (2b+1) »). Y ya !
No
Qué hacemos ahora ?
Saca factor común 2 b más 1.
Precisamente lo que andábamos buscando al agrupar, era que cuando factorizara cada grupo, me quedara un
factor repetido para poderlo sacar a factor común, verdad ?
Mjú.
Entonces quedaría factor común, 2 b más 1, y en el otro factor qué me queda ?
547
138
139
140
141
142
143
E=Jo, Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
E=Jo
PROF=RB
E=V, Jo
PROF=RB
E=V
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=V
PROF=RB
Es
162
163
164
165
166
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
167
168
169
170
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
a más 1, x más 2.
a más 1, más?
x más 2.
x más 2 (P escribe: « (2b+1)[(a+1)+(x+2)] »). Y cuánto da esto?
a más x más 3 (P escribe: « (2b+1)(a+x+3) »).
Está bien, o muy enredado ? Más o menos. Otra vez. Lo que no pueden hacer es fijarse sólo en estos, que
creo que era lo que estaba haciendo al inicio, si no que los términos se separan por sumas y restas (37’02.
Suena el timbre, fin de la primera lección), verdad, éste es otro, éste es otro, éste es otro y éste es otro.
Entonces me fijo que éste es común a estos dos y que éste es común en estos dos. Entonces agrupo esto y
esto. De aquí saco a más 1, entonces me queda éste
6) (a+1)(b-3)+(a+1)(b+4)+(x+2)(3b-1)+(x+2)(2-b)
y éste. De aquí saco x más 2, y queda éste más éste.
= [(a+1)(b-3)+(a+1)(b+4)]+[(x+2)(2b-1)+(x+2)(2-b)]
Hago esta suma y hago esta suma, verdad ? Ahora
=(a+1)[(b-3)+(b+4)]+(x+2)[(3b-1)+(2-b)]
da lo mismo en los dos. Los saco a factor común y
=(a+1)(2b+1)+(x+2)(2b+1)
queda éste más éste, y hago la suma. Si ?
=(2b+1)[(a+1)+(x+2)]
n+2
n
(P escribe el sétimo ejemplo: « x +x²-yx -y »).
=(2b+1)(a+x+3)
Ese último.
Es n más 2, profe ?
Si señor (38’04. P lee una circular a la clase que le acaban de entregar. 40’27). Cómo agrupamos aquí ?
x n más 2, más x a la 2.
x a la n más 2…
Más x a la 2.
Los dos primeros y los dos últimos (P escribe: « (xn+2+x²)+(-yxn-y) »).
Cuál sería el factor común aquí ?
A dónde en el primero ? x a la 2.
x a la 2. Y qué quedaría en el otro factor ?
x a la n más 1.
x a la n más 1. Aquí qué saco ?
Menos y.
Menos y. Y quedaría ?
x a la n más 1 (P escribe: « x²(xn+1)-y(xn+1) »).
Mjú. Y ya verdad ahora cómo queda entonces…
x a la n más 1.
x a la n más 1.
7) xn+2+x²-yxn-y
x a la 2 menos y (P escribe: «(xn+1)(x²-y) »).
= (xn+2+x²)+(-yxn-y)
= x²(xn+1)-y(xn+1)
n
= (x +1)(x²-y)
Está bien.
Profe otra vez por favor.
Mm ?
Otra vez.
x a la n más 2, cómo lo podría ver ? Como x a la n por x a la 2, verdad. Es lo mismo. Entonces saco x a la 2,
me quedaría x a la n, más 1 verdad. Y aquí saco y, bueno, menos y, aquí quedaría x a la n más 1 de nuevo. Y
ahora el factor común sería todo esto y queda x a la 2 menos 1. Está bien ? Las agrupaciones, algunas con
sólo verlas, a uno se le ocurre cómo agrupar, verdad. Otras tendrán que probar y diay si no les sirve, borrar y
empezar otra vez, 1verdad. Porque si uno agrupa, saca factor común y estos le quedaron diferentes… o lo
factorizó mal, o no servía esa agrupación verdad, entonces habría que buscar otra. La idea es que yo haga
grupos y que siempre me quede un factor repetido, porque si estos son distintos, entonces no podría terminar
de factorizar, verdad.
Pero no se puede hacer como la vez pasada. Que quede (inaudible).
Que quede cómo ?
a menos b y b menos a, no se puede hacer igual si sale así, diferente.
Ah si sale con solo con signos distintos si, pero qué pasa si aquí le hubiera quedado una y y aquí un 1. Si si le
quedaron opuestos, eso lo arregla fácilmente, cambiando el signo ahí; pero si le quedaron completamente
distintos… tiene que borrarlo y agrupar de otra forma. Está bien ? El miércoles revisamos toda la práctica
terminada, así es que aprovechen el tiempo y hagan todo lo que puedan a partir de ahora (43’18-43’33).
Pueden trabajar con una persona más, si quieren (52’25. P solicita corregir la expresión veintiuno, que tiene
un error. 01h17’01, suena el timbre. Los estudiante acomodan la clase y salen).
1
PROF=RB
2
PROF=RB
3
4
E1
PROF=RB
548
(P pregunta si terminaron los ejercicios asignados, borra la pizarra y solicita a las tres primeras personas
ir a la pizarra. Comentarios varios, pasa lista, ...).
Quién hizo la seis? (un estudiante responde) ... cuando dividió 5 a más b a la 5, entre a más b a la 4 da 5 a
más b. Es 5 por (07’00) a más b. Y hágala la multiplicación esa para que no quede (...). Estas tres están
bien (llama a otros a la pizarra, 08’00. Comentarios, 09’00, ...). Ay espérese falta un pasito todavía. Eso
está bien, pero falta un paso. A usted también.
A mí?
Si bueno a usted le faltan dos. No deje eso así, porque eso lo único que dice es que le dio pereza hacer la
suma.
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
Cuál?
Di la del paréntesis cuadrado! (comentario, 10’00).
Así?
Santo Dios!! Cómo va a sumar eso!! Factoríselo!! (comentario) ... Por qué más 2 x? Cuánto es menos 3 x
menos x?
E
Menos 4.
PROF=RB
Ajá y ahora el primer factor tiene factor común.
E2
Cuál?
PROF=RB
Cuál es el primer factor?
E2
Este
PROF=RB
Si ahí hay factor común (comentario de E2, 11’00). El primer factor solicito, no puede sacar factor común
de dos factores distintos (comentarios sobre esa misma, ...). Preguntas? (..., 12’00, pasa a otros a la
pizarra, 14’00, Kate pasa hacer la 14). De dónde salió ese menos 12? (15’00, ..., comentario sobre la
caligrafía). Doce, trece y catorce están bien. (..., 16’00). No hay preguntas, todos las tienen buenas?
E3
Profe a mí me dio menos 11
PROF=RB
A dónde?
E3
En la doce (P-E)
PROF=RB
Porque no le cambió el signo a la x. Era menos todo eso, 5 menos x, vea ver si es eso. Seguro lo dejó menos
5 menos x. Si fue eso? O no? (P va donde la estudiante y revisa, le dice que el problema fue que sumó mal,
17’00-19’00).
PROF=RB
Ah, ah, ah... espérese, qué hizo?
E=(Jo)nathan Yo?
PROF=RB
Si
E=Jo
Saqué un menos aquí no?; para que quedara negativo todo y quedara igual que éste.
PROF=RB
Y el primero?
E=Jo
Mm... tiene razón.
PROF=RB
Pero el último ... bueno, el último tiene un exponente (20’00) par. Si usted le cambia de signos a los de la
base, sigue siendo ahí lo mismo, no tiene que cambiar el signo afuera. Si usted tiene por ejemplo 5 al
cuadrado y usted lo cambia por menos 5, menos 5 al cuadrado sigue dando lo mismo verdad (P).
E=Jo
Entonces?
PROF=RB
Entonces queda así, el primero, le cambió los signos y qué?
E=Jo
Así (Jo le intenta mostrar algo en su cuaderno)
PROF=RB
No! simplemente le cambió los signos y ya!
E=Jo
Di si! Esto no le afecta a los signos de aquí adentro?
PROF=RB
Ahí está ese menos todavía (21’00, comentario de si está buena una).
PROF=RB
Este ... Raúl. El factor común está bueno, pero lo del paréntesis no entiendo? (inaudible respuesta del
estudiante). Si fuera menos 2 si, pero no debería de haber ese menos 2. Por qué? Cómo saca eso que va
dentro del paréntesis, qué es lo que debería de ser? (comentario del estudiante y hace algo en la pizarra,
22’00). El factor común estaba bueno (...) Cómo se saca lo que va ahí
E=(R)aúl
Divido ese entre éste
PROF=RB
Ajá. Y cuánto da esa división? Cómo se hace esa división?
E=R
Resto los exponentes
PROF=RB
Ajá, y cuánto da? Cuando resto los exponentes (comentario sobre ejercicio de Jo, que está bien). Por qué x
a la 2? (ahí sigue comentario de R. MF pregunta sobre su procedimiento de la que hizo Jo, la 15. R le
pregunta si ahora está bien, P aciente, 24’00-25’00, distribuye 18 y 19, comentarios. 26’00-30’00). La
diecinueve está bien, la veinte está bien (31’00, comentario de P a una estudiante sobre un ejercicio,
inaudible, 32’00. Comentario de MF, 33’00, MF va al escritorio de P, 34’00; le “da” a Diego la última,
35’00-37’00, comentario sobre el enunciado de una, 38’00).
PROF=RB
En la veinte, depende cómo agruparan, podría ser que (39’00) les quedara u a la n menos 6, y el otro factor
11 tercios, menos 5 tercios u a la 2. Estaría bien así también (P repite, ..., 40’00, ...). No hay preguntas? (...)
PROF=RB
(P escribe en la pizarra : « Factorización de expresiones de 2 términos ». 43’17). Ustedes el año pasado
habían visto factor común y qué más… cuáles otros métodos ?
E=(J)ose
Profe es que casi no vimos profe, como no entraban en el ministerio entonces casi no entraban.
PROF=RB
Pero si vieron algunos.
E=J
Más o menos.
PROF=RB
Y cuál otro vieron, además de factor común ?
E=J
No me acuerdo.
PROF=RB
Ah? Cómo? No se acuerdan?
E=(Jo)nathan No
PROF=RB
No hace ni cinco meses y ya no se acuerdan. Con fórmulas notables vieron ?
Es
No
PROF=RB
Cuando uno tiene una expresión de dos términos, bueno ya vimos que podría ser, que usemos factor
común, verdad. Pero hay una posibilidad de factorizar, algunas expresiones de dos términos usando las
fórmulas notables. Busquen la hojita de las fórmulas notables, o en el cuaderno (los estudiantes buscan lo
dicho). Hay tres fórmulas notables que daban como resultado un binomio, una expresión de dos términos,
cuáles son ?
E=(K)ate
E=(G)abriel a menos 2, ehh…
PROF=RB
El resultado cuál es ?
E=(M)aría
a a la 2, menos b a la 2.
Fernanda
ReO-Ch
ReH
ReH
549
53
PROF=RB
54
55
56
Es
Es
PROF=RB
57
58
Es
PROF=RB
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
E=(A)ilin
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
E=K
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
71
72
E=Jo
PROF=RB
73
74
E=Jo
PROF=RB
75
E=Jo
Nosotros sabemos que cuando tenemos una expresión como esa, una multiplicación que va a dar eso, cuál
es ?
a más b (P escribe: a²-b²)
a menos b.
Ahora la vamos a usar al revés verdad, tenemos el resultado y ahora vamos a escribir la multiplicación.
Cuál otra ?
a a la 3,menos b a la 3.
Esta ? (P escribe: a3-b3). Para que me diera esta resta de a a la 3, menos b a la 2, qué debería de haber en la
multiplicación?
a menos b.
Ajá (P escribe: a3-b3=(a+b)( )). Cómo formaba el de aquí ? (P se refiere al segundo factor).
a a la 2.
No, no qué era, sino cómo se hacía.
Cuadrado del primero.
El opuesto de la multiplicación de los dos términos.
El opuesto de los dos, más...
Más, el producto de estos dos. Más…
Cuadrado del segundo.
Cuadrado del segundo. Y aquí ?, es parecido, verdad (46’16). Suma, y aquí iría?
Una resta.
Entonces, si la expresión que tenemos es con resta, entonces/ bueno primero, siempre primero vamos a
fijarnos si tiene factor común. Después si es con resta, vamos a fijarnos si es de esta forma o de esta forma,
para usar alguna de las dos fórmulas, y si es con suma, a ver si es de esta forma. Recuerden que cuando
tienen esto, si era con cuadrados pero no suma, este… no lo podemos factorizar verdad (P escribe en la
parte inferior de la pizarra: a²+b²). Si el exponente fuera mayor que dos, podría factorizarse con algún otro
método, pero no con lo que hemos visto hasta hoy. Entonces, siempre nos vamos a fijar, si hay factor
común, primero, y si no en este orden (P señala la lista de factorizaciones que ha escrito). Cómo se llama
esta expresión ?
Resta de cuadrados
Mjú (P escribe al lado de a²-b², “diferencia de cuadrados”). Una diferencia de cuadrados verdad, ésta
sería?
Factorización de expresiones de 2 términos
Diferencia de cubos.
Mjú. (P escribe al lado de a3-b3, “diferencia de cubos”)
* factor común
Y la otra?
* diferencia de cuadrados a²-b²=(a-b)(a+b)
* diferencia de cubos a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)
Suma (P escribe al lado de a3+b3, “suma de cubos”)
ReV
* suma de cubos a3+b3=(a+b)(a²-ab+b²)
a²+b² no se puede factorizar.
76
77
78
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
79
80
81
82
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
83
84
Es
PROF=RB
85
86
87
88
E=G
PROF=RB
E=M
PROF=RB
89
90
91
92
93
94
95
96
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
97
98
99
100
101
550
E=A
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
Para que sea una diferencia de cuadrados, cómo deben ser los exponentes de las letras ?
Pares.
Para que sea una suma de cubos o una diferencia de cubos, los exponentes de las letras, cómo tienen que
ser?
Impares
No.
3 o múltiplos de 3.
Múltiplos de 3. No necesariamente impares, acaso que todos los impares son múltiplos de 3. Muy bien,
vamos a ver (49’49. P escribió: 25m²-49n²). A ese primero, qué sería ?
Diferencia de cuadrados.
Una resta de cuadrados, porque yo lo puedo expresar como, de esta forma, verdad (P escribe: ( )²-( )² ) Qué
iría aquí adentro ?
5 m, 7 n.
5 m, y aquí ?
7 n.
7 n. (P escribe: (5m)²-(7n)²).Está bien ? Entonces es una diferencia de cuadrados. Entonces, en las
diferencias de cuadrados, las factorizo como el producto de dos… conjugados, verdad, en uno va a ir con
suma y el otro con…
Resta.
Resta. Entonces qué queda en este caso (P escribe: (5m)²-(7n)²=( + )( - )).
5 m.
5 m.
7 n.
1) 25m²-49n²
7 n. Y aquí?
= (5m)²-(7n)²
=(5m+7n)(5m-7n)
5 m.
5 m, 7 n.
Eso si lo vieron verdad el año pasado (algunos Es dicen si, otros dicen no. P escribió: 125a3+8b3. 51’06).
La siguiente qué sería?
Suma de cubos.
Suma de cubos (P escribe: ( )3+( )3 ). 125 a a la 3, es el cubo de quién?
De 5 a.
De 5 a. Y 8 b a la 3, es el cubo de…
2 b.
ReV
ReV
(Ch)
102 PROF=RB
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
Es
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
114
115
116
117
118
119
120
E=A
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
121
122
123
124
125
126
127
128
129
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=A
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
141
142
143
144
E
E=M
PROF=RB
E=M
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
2 b (P escribe: (5a)3-(2b)3 ). Ajá. Entonces, cuando es una suma de cubos, va un binomio con suma, y un
trinomio así, verdad (P escribe: (5a)3-(2b)3=( + )( - + )). Mjú. Entonces, qué va en este binomio ?
5 a.
5 a más 2.
Mjú, 5 a (P lo escribe).
Más 2 b (P lo escribe)..
Y aquí va el cuadrado de éste, que sería ?
25 a a la 2.
25 a a la 2. El producto de los dos ?
2) 125a3+8b3
10 a b.
= (5a)3+(2b)3
Y el cuadrado del segundo ?
=(5a+2b)(25m²-10ab+4b²)
4 a a la 2.
3
3
(P escribe: (5a) -(2b) =(5a+2b)(25a² -10ab+4b²).
P escribió: 27c3-125. 52’39). El otro, qué sería?
Diferencia de cuadrados, eh de cubos.
Ajá (P escribe: ( )3-( )3 ). 27 c a la 3 es el cubo de ?
3 c.
3 c. Y 125 es el cubo de?
5
5. Entonces, cuando es una resta de cubos, hay un binomio y un trinomio de esta forma: (P escribe: (3c)3(5)3=( - )( + + )). En el primero, qué va a quedar ?
3 c menos 5.
3 c menos 5. Y en el otro ?
9 c a la 2/
El cuadrado de 3 c …
9 c a la 2.
3) 27c3-125
9 c a la 2. El producto de los dos ?
= (3c)3-(5)3
15 c.
=(3c-5)(9c²+15c+25)
Mas 15 c. Y el cuadrado del segundo.
25 (P escribe: (3c)3-(5)3=(3c-5)(9c²+15c+25).
P escribió: 3ac²-12. 54’10). La otra qué, qué se hace?
Factor común.
Cuál es el factor común ?
3.
3. Entonces cuál sería el otro factor ?
a cuadrado menos 4.
Mjú (P escribe:3(a²-4)). Ahora lo que quedó dentro del segundo factor.
Una diferencia de cuadrados.
Una diferencia de cuadrados (P escribe:3(a²-4)=( - )( + ))., que factorizado sería ?
a menos 2.
a menos 2, por ?
4) 3a²-12
a más 2 (P escribe:3(a²-4)=(a-2)(a+2).
= 3(a²-4)
P escribió: a²-5. 54’10).
= 3(a-2)(a+2)
(un estudiante hace una pregunta, inaudible –para el profesor también.)
Es el factor común entre el 3 y el 12.
Mm ?
No que el está preguntando que de dónde sale ese 3 (P atiende individualmente una duda de un estudiante.
Una alarma suena. 56’23).
La que sigue.
No se le puede hacer nada, no sé. O si, o no.
Usted qué cree ?
Que no.
Por qué ?
Diay no sé. No hay factor común y...
No hay factor común.
Y no hay ningún número elevado a la 2 que dé 5.
Y no hay ningún número elevado a la 2 que dé 5 ? Segurísimo.
Si.
Hay algún número que elevado al cuadrado dé 5 ?
No.
5) a²-5
No ?
= a²−( 5 )2
Si, si. Si profe.
= (a − 5 )(a + 5 )
Cuál ?
Di no sé cuál es (risas), pero debe de haber. Por raíz de 5.
Ah, sí sabe cuál es, entonces. No piensen solo en enteros. El 5 es el cuadrado de raíz de 5 (P escribe:
( )
Pr-Od
DsD
DsR
DsR
2
a²−5=a²− 5 ). Si ? O sea un número uno lo puede escribir como, el cuadrado de su raíz cuadrada. Si ?
( )
2
O si fuera con cubos… cubo el cubo de su raíz cúbica. Si ? (P escribe: a²− 5 ) Y entonces cómo queda
este factorizado ?
551
162 E=G
163 PROF=RB
164 E=G
165 PROF=RB
166
167
168
169
E=Jo
PROF=RB
E=G
PROF=RB
170
171
172
173
174
E=M
E=A
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
175 E=A
176 PROF=RB
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
E=M
PROF=RB
E=A
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
E=A
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E
PROF=RB
192
193
194
195
E
PROF=RB
E
PROF=RB
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
216 Es
217 PROF=RB
552
(
)(
)
a menos raíz de 5, a más raíz de 5 (P escribe: a − 5 a + 5 .
Y el siguiente ejemplo: a3-5).
Cómo sería la otra, entonces ?
a menos 5 raíz de 5
( )
a=( a )
a= a
3
2
3
( )
Mm ? Sería, el cubo de a, menos el cubo, de raíz cúbica de 5 (P escribe: (a )3 − 3 5 ). Cómo factorizo eso ?
3
Pr
(inaudible)
Es una diferencia de cubos, verdad ? a menos raíz cúbica de 5.
a al cuadrado.
El cuadrado de a (algunos estudiantes dicen el término siguiente, inaudible). a menos raíz cúbica de 5.
Más ?
Raíz cúbica de 5.
No, raíz cúbica de 5 al cuadrado.
Y cuál es el cuadrado de la raíz cúbica de 5 ?
5
No. Fuera 5/ (Jo dice algo, P se interrumpe, inaudible). El cuadrado de la raíz cúbica de 5n cuánto es?
(
)(
)
Raíz cúbica de… 25 (P escribe: a −3 5 a² − a3 5 + 3 25 ).
Mjú
6) a3-5
= (a )3 − 3 5 3
= a −3 5 a² −a3 5 +3 25
(
( )
)(
)
(P escribe: m3+7. Les dice a los estudiantes que la intenten ellos. 01h01’35, Diego realiza la operación en
la pizarra).
Les dio eso ? (01h02’18).
Ajá (P escribe: w4-16).
Cómo sería ésta?
w a la 2/
Con qué método ? (varios estudiantes hablan, inaudible). Este es el cuadrado, de w a la 2.
Ajá
Este es el cuadrado de 4 (P escribe: (w²)²-(4)²). Entonces, cómo queda factorizado.
w a la 2 menos 4
w a la 2 más 4 (P escribe: (w²-4)(w²+4))
7) m3+7
Si ?
= (m)3 −(3 7 )3
Ahí hay otra.
Mm?
= (m−3 7 )(m² −m3 7 + 3 49 )
Ahí hay otra, fórmula.
Cuál?
w a la 2 menos 4
Esto es otra vez una diferencia de cuadrados, verdad. Porque lo puedo ver como, w a la 2, menos 2 a la 2.
La suma no verdad, la suma no la podemos factorizar (P escribe: (w²-2²)(w²+4)). Entonces, cómo
factorizamos ésto ?
8) w4-16
w menos 2
= (w²)²-(4)²
Ah ?
= (w²-4)(w²+4)
w menos 2 (P escribe los dos factores).
= (w²-2²)(w²+2²)(w²+4)
Estos dos son solo de éste, verdad; entonces por... cuadrado de
= (w-2)(w+2)(w²+4)
w más 4 (P escribe: (w-2)(w+2)(w²+4).
P escribe el siguiente ejemplo: 8(w²-4)+b3(w²-4)). Qué le podemos hacer a esto ? (01h05’36).
Factor común
Cuál es el factor común?
w a la 2, menos 4.
Mm, lo elevo a la 2 menos 4. Y el otro factor cuál sería.
8 más b a la 3.
Qué más ?
El primero es una diferencia de cuadrados.
El primero es una diferencia de cuadrados que se factoriza cómo ?
w menos 2, por w más 2
Ajá, y el segundo es ?
Una suma de cubos.
Una suma de cubos, que se factoriza cómo?
2 más b
Ajá
4 menos 2 b, menos b a la 2.
Lo ven todos ? Si o no ?
9) 8(w²-4)+b3(w²-4)
Profe, ese 2 b, ese 2, 2 menos b.
= (w²-4)(8+ b3)
Porque este es una suma de cubos. 2 a la 3, más 8 a la 2
=
(w-2)(w+2)(2+b)(4-2b+b²)
Ah.
Más 8, más b.
Siguiente ejemplo: (a+b)²-25) Aquí, qué hacemos ?
Tercera fórmula notables
Es una diferencia de cuadrados. El cuadrado de a m’as b, menos el cuadrado de 5, verdad (P escribe:
Pr
218
219
220
221
222
E=M
PROF=RB
E=M
E
PROF=RB
223
224
225
226
227
228
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
Es
PROF=RB
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
239
240
241
242
243
244
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
245
246
247
248
249
250
251
252
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=M, Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
253
254
255
256
257
258
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=G
PROF=RB
259
260
261
262
263
E=Jo
PROF=RB
E=Jo, Es
PROF=RB
PROF=RB,
Es
264 Es
265 PROF=RB
1(a+b)²-5²). Entonces, cómo factorizamos eso ?
a más b, menos b.
Cómo ?
a más b, menos b.
Menos 5 (P escribe: [(a+b)+5][(a+b)-5]).
Ajá, es una diferencia de cuadrados, lo factorizo con el producto de
10) (a+b)²-25
conjugados, verdad. Sería éste es uno, y éste es el otro término, verdad. a
= (a+b)²-5²
más b, más 5. Y a más b, menos b. (P escribe: (a+b+5)(a+b-5)) Si ? Está
= [(a+b)+5][(a+b)-5]
bien ?
= (a+b+5)(a+b-5)
(Siguiente ejemplo: (3x-2)3+c3. 01h09’18, Gabriel realiza la factorización
en la pizarra).
Sigo verdad profe
11) (3x-2)3+c3
Déjelo así, está bien.
= [(3x-2)+c][(3x-2)²-c(3x-2)+c²]
No le hago nada más.
No, déjelo así no importa (Profesor se asoma por la ventana, conversa con un estudiante). Está bien esa ?
Si.
Esto se podría hacer, y multiplicar, pero no vamos a poder simplificarle nada, a eso, entonces no tiene
mucha gracia (Siguiente ejemplo: 4x-x4). Cómo puedo factorizar el otro ? (01h10’56). Qué método? Mm ?
Tiene factor común ? Ah ? Tiene factor común ?
No.
No. Es diferencia de cuadrados? 4 a la x, lo podríamos ver como el cuadrado de quién ?
De 2 a la, 2 (murmullos de algunos estudiantes dando su respuesta).
De 2 a la x. Y x a la 4, lo puedo ver como el cuadrado de ?
x a la 2.
x a la 2. Entonces, lo puedo ver como una diferencia de cuadrados. Cómo quedaría factorizado ? Mm?
2 x más x a la 2.
2 x no, 2 a la x, menos x a la 2.
Y 2 a la x, más x a la 2.
Solo que esos no son polinomios, verdad. Esto no es un polinomio. Este si, pero
12) 4x-x4
éste no. Saben porqué o no ? (Jo interviene, inaudible) Porque en el polinomio la
= (2x)x-(x²)²
variable no está en el exponente, sino en la base
= (2x –x²)(2x +x²)
(comentarios sobre la celebración del miércoles de cenizas que se hará en el
colegio. Siguiente ejemplo: a3n-b6n). La que sigue… ésta qué sería ?
Diferencia de cubos
Diferencia de cubos. El primero es el cubo de qué ?
a a la n.
De a a la n, este es el cubo de…
b a la n.
b a la 2 n, verdad (P escribe: (an)3-(b2n)3). Porque después estos exponentes hay que multiplicarlos para que
dé éste, verdad. Si ? Entonces, quedaría un producto, aquí qué va a quedar ?
a a la n, menos b a la n.
a a la n, menos b a la 2 n. Y aquí ?
a a la 2 n
a a la 2 n
Más a n, b n.
Ajá.
Más, b, 4 n
Exactamente. Elevar al cuadrado, es multiplicar el exponente por 2, verdad.
Y la última (P escribe: x6-64, 01h14’35). Cómo sería esto ?
13) a3n-b6n
Diferencia de cubos (G también interviene, inaudible)
= (an)3-(b2n)3
Mm?
= (an –b2n)(a2n + anb2n+b4n)
Diferencia de cubos
Diferencia de cubos. Pero también es…
Diferencia de cuadrados. Si ? Cuando nos pase eso, cuando nos pase eso, vamos a escoger en este orden:
primero cuadrados, y luego cubos; porque eso nos va a dar la factorización completa, nos va a dar más
factores que haciéndolo al revés. Entonces, primero lo vamos a hacer como cuadrados. Si lo veo como
cuadrados, este sería el cuadrado de ?
x a la 3.
x a la 3. Y aquí el cuadrado de ?
8
8. Entonces quedaría ?
x a la 3, menos 8, por x a la 3 más 8. Ahora en el primer paréntesis…
Pr
6
14) x -64
Diferencia de cubos
= (x3)2-(8)²
Diferencia de cubos, y en el otro… suma de cubos. Factorísenlo
= (x3 –8)( x3+8)
= (x-2)(x²+2x+4) (x+2) (x²-2x+4)
ustedes (Jo pregunta si así va a poner en el examen. Suena el
timbre). Así verdad.
(P da las indicaciones finales: no hay tarea, pero apenas entran la próxima clase, tienen que trabajar en la
página que sigue. 01h16’38)
553
1
2
3
4
5
6
7
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
E=Jo
PROF=RB
Es
8
PROF=RB
9
10
11
12
13
14
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
E
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
E=3
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
45 PROF=RB
46 Es
554
(P pasa lista. 02’04) Qué son números cuadrados perfectos, recuerdan ? Cuáles son ?
4 no profe ?
Por qué 4 ?
Porque… di yo lo que me acuerdo es algo de la raíz, que se les saca.
Se les saca raíz no/
Enteros que tengan raíz entera. Como cuál otro ?
(Varios estudiantes responden al mismo tiempo: 6, 8, 9. P escribe en la pizarra « 4, 9 ». Los estudiantes siguen
diciendo y P escribe los cuadrados perfectos : « 16, 25, 36, … »)
Etcétera verdad. Todos los números que yo pueda escribir como un entero al cuadrado, si ? Entonces si un
número cuadrado perfecto es un entero que yo pueda escribir como el cuadrado de otro entero, qué será un
polinomio cuadrado perfecto ? (04’20) Qué será un polinomio cuadrado perfecto ? (25s) Si esos son números
cuadrados perfectos, qué creen que sería un polinomio cuadrado perfecto ?
Un polinomio que se pueda expresar al cuadrado
Mm ?
Di un polinomio que se pueda expresar al cuadrado como los otros, con números enteros.
Un polinomio que se pueda/
Con números o variables
No entiendo lo que me quiere decir. Un polinomio que se puede expresar al cuadrado, al cuadrado de qué ?
Todos los números los puedo expresar como el cuadrado de algo, verdad; pero lo importante aquí no es que es
cualquier cosa, si no un entero verdad, el cuadrado de un entero. Entonces para este caso un polinomio se puede
expresar como el cuadrado de qué ?
De números enteros
Mm ?
Que sean números enteros no ? Números enteros.
Qué ? que sean números enteros qué ?
Di lo que esté en el polinomio. Lo que está en el polinomio.
En cuál polinomio ?
Di…
Mm ?
Un polinomio formado por números enteros.
Por qué tiene que/
Cuadrados (varias personas hablan al mismo tiempo, inaudible)
Un polinomio por ejemplo como éste (P escribe: 4x²-20x+25), será un cuadrado perfecto ?
No.
Por qué no ?
Porque hay 20 x.
Mm ?
Por la 20 x.
20 x qué ?
No se puede sacar raíz.
Un polinomio, vamos a decir que es un polinomio cuadrado perfecto, si yo puedo decir que es el cuadrado de
otro polinomio. Mjú ? Ok ! Si yo lo puedo expresar como el cuadrado de otro polinomio. Podré expresar esto
como el cuadrado de otro polinomio?
Si, fórmula notable.
Mm?
Fórmula notable.
Cuál fórmula notable?
La segunda.
Cómo?
2 menos/
2x
2 x, más 5
Así verdad (P ha escrito: 4x²-20x+25=(2x)²-2⋅2x⋅ 5+(5)²=(2x-5)²), ok, todo el mundo lo ve. Porque este es el
cuadrado de 2 x. Esto es el cuadrado de 5, y aquí está 2, por 2 x por 5. Ok ? (07’54). Este será un polinomio
cuadrado perfecto ? (P escribe: a4+2a²b²+b4). El cuadrado de quién? Si es un cuadrado perfecto, tiene que ser el
cuadrado de otro polinomio, si ? Cuál polinomio ?
a a la 2…
más b a la 2 (P escribe: a4+2a²b²+b4=(a²+b²)²).
ReS
DsD
ReA
DsC
ReA
DsD
Tc
DsD
(Od)
47 PROF=RB
Así ? Podría ser, no solo trinomios verdad, podría ser que uno
tenga, qué sé yo… (P escribe: x4+y²+1+2x²y+2x²+2y) El
cuadrado de ese polinomio qué daría ? x a la 4, y a la 2 más 1,
así verdad ? (P escribe: x4+y²+1+2x²y+2x²+2y=(x²+y+1)²)
Como este polinomio es igual a éste, entonces éste también
sería un, cuadrado perfecto. Si ? Pero a nosotros nos va a
interesar solo los… trinomios, que sean cuadrados perfectos.
Como estos dos (P se refiere al primer y segundo ejemplo).
Para diferencia de cuadrados y suma y resta de cubos,
usábamos tres fórmulas notables, verdad; las que
correspondían a esos métodos. Para esto, cuáles fórmulas
notables vamos a usar ?
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
[ReO]
números
cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
perfectos 1², 2², 3², 4², 5², 6², …
polinomio
cuadrado : • 4x²-20x+25=(2x-5)²
perfecto
(2x)²-2⋅2x⋅5+(5)²
ReH
P(x)=[Q(x)]²
• a4+2a²b²+b4=(a²+b²)²
• x4+y²+1+2x²y+2x²+2y=(x²+y+1)²
48
49
50
51
52
53
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
La primera y la segunda.
Esto lo expreso como el cuadrado de …
a más b
a más b. Y éste como el cuadrado de…
a menos b
Ok. Entonces lo que tengo que fijarme, si es un trinomio, hasta ahora no hemos factorizado trinomios, verdad ?
Bueno excepto por factor común. Si tengo un trinomio, fijarme si es de esta forma, los cuadrados de dos
términos y el otro es el doble del producto de los dos términos, con suma o con resta verdad. Si es con suma
entonces aquí con suma, si es con resta entonces aquí con resta. Mjú ? Entonces eso es muy fácil porque eso es
nada más, verificar, darse cuenta cuáles son los cuadrados de cuáles términos y verificar que el otro sea el doble
del producto de ellos dos. Entonces si tengo por ejemplo, este (P escribe: 5+2 5 x+ x² ); cómo puedo factorizar
eso ?
54 E=(G)abriel x más la raíz de 5
55 PROF=RB El 5 lo puedo expresar como el cuadrado de…
56 Es
Raíz de 5
57 PROF=RB De raíz de 5. Y x a la 2 obviamente es el cuadrado de x. Entonces me fijo a ver si este otro término corresponde
al doble del producto de éste de aquí, por éste de aquí. Si verdad, obviamente que si. Entonces sería el cuadrado
de…
a²+2ab+b²=(a+b)²
58 E=G
Raíz de 5
a²-2ab+b²=(a-b)²
59 PROF=RB Raíz de 5
(1) 5+2 5 x+ x²
60 E=G
Más x
2
61 PROF=RB Más x (11’07). Si?
= 5 +2 5 x+(x)²
(P llama la atención a un estudiante que masca chicle. Escribe: x²y4-6xy²+9).
2
= 5+x
Ese será un cuadrado perfecto ? Verifiquemos. Este es el cuadrado de ?
62 Es
x y a la 2
63 PROF=RB Y 9 es el cuadrado de ?
64 Es
3
65 PROF=RB 3. Entonces aquí debería de ser 2, por éste, por éste otro. Si ?
(2) x²y4-6xy²+9
66 Es
Si
= (xy²)-2⋅xy²⋅3+(3)²
= (xy²-3)²
67 PROF=RB Entonces eso es igual al cuadrado de ?
68 E=G
x y a la 2 más tres (otros estudiantes dan su respuesta. P da tiempo para copiar).
( )
( )
Cómo hacemos ese ? (P ha escrito: 15ab+ 1 a² + 225b² ).
4
69
70
71
72
73
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
Es
Lo acomodamos verdad ?
Mm?
Lo acomodamos primero.
Ok, para que tenga la forma de aquello si. Cómo lo acomodo ?
Un cuarto a a la 2 (P escribe: 1 a² +15ab + 225b² ).
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
E=G
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Entonces, éste es el cuadrado de?
Un medio a.
Y este es el cuadrado de?
25 a (risas de estudiante).
Aquí cancelo los 2, y me queda 15 a b. Por lo tanto este es el cuadrado de ?
Un medio a.
Un medio a.
Más 25 b
Profe, necesariamente hay que tomar/
No
25 al cuadrado no da 225
625 (P escribe: 15ab+ 1 a²+225b² = 1 a+15b 2 )
4
4
(2
)
(3) 15ab+ 1 a²+225b²
4
= 1 a² +15ab+ 225b²
4
= 1 2 1
a + 2⋅ a⋅15b+(15b )²
2
2
2
= 1
a+15b
2
( )
( )
Cómo hacemos ésta ? (P ha escrito: − 81 x 4 + 2x²y −16 y² . 25’33). Ya hicieron la otra ?
4
86 Es
87 PROF=RB
81
No, si.
Así como está, tengo un problema de signos, verdad. Los que están al cuadrado, no podrían quedar negativos,
(Pr)
555
88 E=Jo
89 PROF=RB
90
91
92
93
94
E=M
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
pero un problema de signos siempre lo arreglamos…
Sacando un menos.
Fácilmente, verdad (25’54 Suena el timbre). Espérense para terminarlo, por favor. Este primer término lo puedo
expresar como el cuadrado de qué.
De 9, 9 cuartos.
9 cuartos.
Aquí pongo ?
4 x sobre 9
Ajá, entonces aquí tendría que ser 2, por 9 cuartos x a la 2, por 4 novenos y.
El 9 cuartos por 4 novenos, da uno verdad cuando lo multiplico, por eso
(4) − 81 x 4 + 2x²y −16 y²
4
81
queda solo el 2. Entonces sería menos, el cuadrado de… 9 cuarto x a la 2,
= − 81 x 4 −2x²y +16 y²
menos 4 novenos y.
(
(ReH)
)
( )
4
81
2
= ⎡9 2 9 4
⎤
− ⎢ x −2⋅ x²⋅ y + 4 y ⎥
4 9
9 ⎦
⎣2
= 9 4 2
− x− y
2 9
(
95 PROF=RB
( )
)
Está bien, vean que entonces lo que dijeron algunos al inicio, de que fueran enteros cuadrados perfectos los
coeficientes no es cierto, verdad ? Lo que ocupo es que el polinomio tenga esta forma. La próxima seguimos
(27’02).
1
PROF=RB
2
3
4
5
6
7
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=J
PROF=RB
8
9
E=(K)ate
PROF=RB
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
556
(01’10) Busquen la última, o la página seis, la última págica del folletillo que habían sacado al inicio (01’16, P
pasa lista. Revisa el examen firmado, 05’14). Ya encontraron la hoja? El ejercicio seis ya lo hicimos?
No
Háganlo
Se puede en parejas profe, es que no traje la hoja.
Son cuatro solo, cópielos y se pone a hacerlos
De la página 8?
No sé de la última página (05’24. comentario de P a M –11’ P habla con I sobre la distribución de los temas
restantes –13’30 I hace un comentario sobre la práctica, sobre restricciones –15’10 comentario sobre
maestría. 16’30, Diego pasa a la pizara a hacer la primera).
Profe esta es así? Profe! (otros comentarios de estudiantes). Esta es así la segunda.
Para qué lo factoriza? O sea al principio si hay que factorizar claro, porque si no, no puede sacarlo de la raíz,
pero ya después para qué lo factoriza?
Di para sacar esto. O no es necesario.
Pero en la primera no factorizó y si lo pudo sacar.
En ésta?
Si
Entonces queda hasta aquí?
No, no, no, no. Pero en el otro para qué hizo la diferencia de cuadrados. No está malo pero para qué lo hizo?
Di no sé. Entonces qué hago, nada más le quito la raíz y ya.
Casi.
Así no es (K se dirige a su compañera de trabajo, P ya no está. Comentario de P sobre una hoja a fotocopiar)
Les dio eso? (18’11)
Si
Está mal?
No está mal pero/ no si, si está mal, pero...
Se saca la factorización?
Ah?
No se puede factorizar. Digamos factor común...
Para qué quiere factorizarlo?
No lo sé, digamos para que quede más reducido.
Para qué?
Di no lo sé! di si no está mal
Por ahora usted nada más factoriza si en el enunciado se lo piden. Para qué lo va a querer factorizado.
Si pero no tiene nada de malo si lo hace, por eso.
A ver cuánto es esto? (P escribe raíz cúbica de menos tres a la 3)
Tres
Esto (P escribe raíz cúbica de tres a la tres)
Tres
Esto (P escribe raíz cuadrada de tres a la dos)
Tres / Menos tres
Y esto? (P escribe raíz cuadrada de menos tres a la dos)
Tres / menos tres
Esto (P escribe raíz cúbica de a a la tres)
a
DsD
DsC
DsD
DsD
DsD
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
PROF=RB
Es
PROF=RB
Y esto (P escribe raíz cuadrada de a a la dos)
a
Mjú. Si esto es cierto, esto está malo entonces (P se refiere a el caso de raíz cuadrada de menos 3 a la 2 escrito
antes. 19’27). Verdad, porque no sería igual. Cuál de los dos está malo? Mm? (...) Cómo? Podrá dar menos 3.
E=K
No porque tiene exponente par
PROF=RB Cómo?
E=(G)abriel Digamos es que ya viéndolo así, lo que yo pienso verdad, si uno hace digamos esa potencia y lo eleva a la dos
va a dar nueve. Nueve porque tiene un exponente par y haciendo la raíz va a dar tres. Entonces yo creo que si.
PROF=RB Entonces esto no es cierto
E=Jo
Pero es que no pueden haber números negativos en el subradical, no es cierto?
PROF=RB Y acaso que ahí hay un número negativo! (Jo dice algo, inaudible). El cuadrado de menos 3 es nueve, acaso
que es negativo.
E=Jo
Si pero por el momento es negativo
PROF=RB No
Es
(Comentarios varios de los estudiantes)
PROF=RB Si el de arriba es el que está bueno, entonces donde es que está malo? (Comentarios varios de los estudiantes)
E
No también.
PROF=RB No aquí dice que nada más cancelo y me queda la base, entonces aquí tendría nada más que cancelar y debería
de quedar menos tres (comentario volado de un estudiante). No, no, no, no espérese, estoy hablando aquí. Aquí
dice que usted nada más cancela, porque aquí a es cualquier número, si? Que usted cancela y le queda a, y aquí
no está pasando eso (varios al mismo tiempo. P pide que solo hable uno).
E=Jo
Di pero si eleva el tres al cuadrado y luego le saca la raíz al nueve.
PROF=RB Si pero entonces aquí qué pasa (21’24) si es negativo la a. O sea tiene que dar positivo, verdad. La raíz
cuadrada de un número/ primero el número tiene que ser mayor o igual que cero, porqur raíz cuadrada de un
negativo no es un número real, verdad. Y la raíz cuadrada es mayor o igual que cero. Si? No puede darme
negativa la raíz cuadrada. Pero si yo escribo esto, si a es negativo, esto me estaría dando negativo y no se vale.
Entonces esto es cierto solo cuando a es positivo, bueno o cero. Pero entonces qué pasa con los negativos?
(comentario inaudible de G) Mm? Pero entonces qué le hacemos? Porqué aquí dio 3 si era un menos 3 al
inicio.
E
Diay profe si usted resuelve 3 dentro de la potencia le da raiz de nueve y después
PROF=RB Ok pero entonces cómo lo generalizamos para cualquier negativo. De modo que funcione/ porque esto está
funcionando solo para positivos
E=G
Entonces tendría que ser entre paréntesis no, como el de arriba que viene entre paréntesis. No?
E=(I)gnacio Si se encierra entre paréntesis para que quede.... para que quede...
PROF=RB Di pero es lo mismo, si lo que tengo es a, si lo que tengo es una a di da lo mismo encerrarla o no encerrarla
entre paréntesis (comentarios varios inaudibles).
PROF=RB Si pero lo importante aquí es que este número es el mismo que el que está aquí elevado al cuadrado! Este
número es el mismo que está elevado al cuadrado, sea positivo o sea negativo. Qué hacemos para que no me
quede negativo? (... P escribe el valor absoluto) Asi!!
Es
Ahh!
PROF=RB Yo sé que ustedes están acostumbrados a que si dice, por ejemplo, raíz de x a la 2, y a la 6, de una vez ponen x
y a la tres, verdad (P va escribiendo en la pizarra, 23’38). Si no sabemos cómo son x y y eso está malo. Lo
correcto es así, para garantizarme que quede positivo siempre.
E
Profe entonces siempre hay que poner eso?
PROF=RB Qué significan las rallitas? (inaudible, ninguno acierta en todo caso). Valor absoluto. Entonces/ ah? Entonces
lo correcto aquí es... así!
E=J
A mí eso no me lo enseñaron!
E=Jo
En todas había que hacerlo así?
PROF=RB En todas había que hacerlo así. Ah mentiras perdón, aquí no. Porque es impar. En las impares no hay problema
porque en las impares puede/ si es negativa la base, da negativo el resultado; si es positivo da positivo verdad.
Ahí no hay problema; pero con las pares si.
E=M
Cómo en las pares?
PROF=RB Di la raíz cuadrada!! La cúbica no!! Pero la cuadrada si.
E
Entonces queda así profe?
PROF=RB Queda así. No sabemos cómo son x y y, verdad; entonces se queda así. En la otra, cómo queda, raíz cuadrada
de qué? (varios al mismo tiempo, inaudible). Y aquí?
Es
x a la 2 menos 5
PROF=RB Entonces daría valor absoluto de x al cuadrado más 5. Más valor absoluto de x al cuadrado menos 5. Si?
E=(D)iego No
PROF=RB Qué no?
E=D
Por el menos 5
PROF=RB No qué?
E=D
Porque el menos 5 tiene que salir negativo
PROF=RB Como, como, como, cómo?
E=D
El menos 5 no tiene que salir negativo?
PROF=RB No. Raíz cuadrada de algo al cuadrado, es el valor absoluto de ese algo. Entonces raíz cuadrada del cuadrado
de todo esto, da valor absoluto de esto. Mm? Después nos agarramos con el valor absoluto, pero no ahí. Si esto/
qué signo tiene este número?
Es
Di positivo
PROF=RB Por qué? (...) Si comienzo a darle valores a x, cualquier número que yo le asigne a x, cómo va a ser el signo de
x al cuadrado más 5?
Fx
Fx
DsC
(Fx)
ReV
(Th)
557
88
89
90
91
92
93
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E
PROF=RB
94
95
Es
PROF=RB
96
97
Es
PROF=RB
98
99
100
101
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
102
103
104
105
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
106
107
108
109
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
110
111
112
113
114
115
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
E=M
PROF=RB
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
E=Jo
PROF=RB
E=M
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E
PROF=RB
Positivo
Por qué?
Di porque aunque sea positivo si lo eleva al cuadrado le va a dar positivo, no es cierto?
No importa qué sea x, al elevarlo al cuadrado va a dar o positivo o cero, verdad. Y si le sumo cinco?
Siempre va a dar positivo
Va a dar positivo verdad (26’32). Como esto es siempre positivo, quién es el valor absoluto de un número
positivo? Ah? El valor absoluto de un número positivo qué es? Ah?
El número
El mismo número. Entonces puedo quitar es valor absoluto, no hace falta, porque era positivo. Ahora eso que
está aquí? (...) Qué signo tiene?
Negativo!!
Por qué? (I dice que ambos signos, comentario desesperante para P). No todo muchacho!! Todo completo el
signo de la resta! Qué signo tendría? (comentario inaudible de I). Exactamente.
Qué?
Si x a la dos da menor que 5, daría negativo. Pero si x a la dos da mayor que 5... cómo sería?
Positivo!
Positivo. Como para algunos valores da positivo y para otros da negativo, entonces tenemos que dejarle el valor
absoluto ahí indicado (Comentario de Jo inaudible, P le dice que ya va). Cómo sería esto?
Dos x más 3
Dos x más 3. Y aquí?
5 x más 1.
5 x más 1. Entonces queda valor absoluto de 2 x más 3, más valor absoluto de 5 x más 1. En ese ejercicio decía
que x era? Positivo. Si x es positivo, cuando lo multiplique por 2, qué signo va a tener?
Positivo.
Positivo y si le sumo tres?
Positivo
Positivo. Así es que eso es siempre positivo, no importa cuál valor de x le asigne, entonces puedo quitar el
valor absoluto. Lo mismo va a suceder aquí, verdad. Porque un positivo por cinco, sería positivo. Más uno sería
positivo. Y el valor absoluto de un número positivo, es el mismo. Y aquí si puedo sumar, entonces daría?
7 x más 4
Mjú. Aquí cual es la factorización?
x a la 2 menos 11
Y aquí?
2 x menos 1
Ok entonces me queda, valor absoluto de x menos 11, más valor absoluto de 2 x menos 1. Cómo era x en este
caso? (Jo hace una observación de otra cosa, pero sobre el tema). x es negativo. Si x es negativo y le resto 11
(P dice: “espérense un segundo”, el timbre ha sonado). Si a un negativo le resto once, cómo sería el signo?
Negativo
Negativo. Si a un negativo lo multiplico por dos?
Negativo
Negativo y si le resto uno?
Negativo
Qué es el valor absoluto de un número negativo? Mm? El valor absoluto de un número negativo ...
Es positivo
Si es positivo, pero cuál positivo, cualquier positivo que se me ocurra? Cuál? Ah?
El positivo del mismo
El positivo del mismo, cómo se llama eso? El opuesto. Entonces aquí sería el opuesto de x menos 11. Y el
opuesto de dos x menos uno, si? Entonces sería menos x más 11, y esto daría? (P lo hace en la pizarra). Está
bien? Yo sé que nunca les dijeron eso, es lo más probable, pero tienen que tener cuidado. Si ustedes/ bueno si
usaro un libro cuando vieron esto, probablemente en algún lado en el libro decía que las letras iban a ser
números positivos. Si no decía eso está malísimo el libro. Bueno hasta el lunes (31’20)
DsD
ReV
VI.3.6 RB-2003200610G : INSPECTION (1)
Se presentaron algunos problemas técnicos con la grabadora, por lo que los primeros minutos de la clase no están registrados. El
desarrollo en esos minutos fue muy similar a los de la sección 10-H: se escribió el título, « Factorización de trinomios por inspección » y el
profesor había escrito unas expresiones en la pizarra para factorizarlas. La transcripción inicia con el primer ejemplo, donde lo explica con
la multiplicación de polinomios; pero a diferencia del grupo anterior, con esta sección, P escribe los términos del binomio, que le dicen los
estudiantes al contestar, cuáles dos expresiones multiplicadas serían para que den 3x² y similar para que den –2. Para este último caso, los
estudiantes han dicho, 2 y 1.
1
PROF=RB
(00’00)
Factorización de trinomios por inspección
Tc
(1) 3x²-5x-2=(3x+2)(x+1)
Y éste por éste me da el de aquí. Yo necesito saber si con estos, a ver la idea es que estos serían 3 x más 2,
verdad. Y éste sería ? x más 1 (P escribe los términos verticalmente).
558
(1) 3x² -5x - 2= (3x+2)(x+1)
↓
↓
3x
2
x
1
2
3
Es
PROF=RB
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
14
15
Es
PROF=RB
16
17
Es
PROF=RB
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Podrán ser así para obtener este trinomio ? Ocupo que me dé, menos 2 aquí, verdad ? Y además necesito que
cuando multiplique estos dos, y estos dos, la suma de estos productos dé cuánto ?
Menos 5 x.
Pero multiplicar éste por éste y éste por éste, en este caso es multiplicar éste por éste y éste por éste, verdad ?
Si ? Cuánto da 3 x por 1?
3x
Y x por 2 ?
2x
Yo necesito que la suma me dé…
5x
Menos 5 x. Qué debería ser aquí para que esta suma dé menos 5 x
Negativos
Deberían ser…
Negativos
Negativos los dos. Pero para que me dé negativos los dos aquí, deberían ser estos dos negativos. Pero menos 1
por menos 2, puede dar menos 2 ?
No.
No verdad, quiere decir que no puede ser esa forma, verdad. Podemos Probar, cambiánolo aquí. El 2 no tengo
más posibilidades que 2 por 1, verdad ?
Mjú.
Cómo no hay otra posibilidad entonces, cambiémosle el orden a ver. 3 x por 2? (inaudible intervención de
estudiantes) Cuánto ?
6 x.
6 x. Y x por 1 ?
x
x. Para que me dé menos 5 x, qué debo de poner ?
Uno positivo y uno negativo.
Cuál tiene que ir negativo ?
Menos 6.
Para que me dé menos 6, qué hago/ a quién le pongo el menos ?
Al 2.
Al 2. Y ahora, menos 2 por 1, daría menos 2, verdad ? Ok ? Entonces ya
(1) 3x² -5x - 2= (3x+2)(x+1)
encontré una factorización de éste y una factorización de éste que cuando
↓
↓
multiplique y sume semejantes obtenga también el del centro. Entonces la
3x
1
factorización sería, 3 x más 1, y x menos 2. Si ? (49s, 03’25)
x
-2
Cómo descomponemos aquí x a la 2 ? (P se refiere a la segunda expresión:
-6x
x²+11x+30).
x
(3x+1)(x-2)
(=Tc)
(=Tc)
-5x
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Es
PROF=RB
E=(Sergio)
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
x por x
x por x, no hay otra posibilidad, verdad? Y el 30?
5 por 6
Podría ser 5 por 6, podría ser ?
2 por 15
2 por 15. Podría ser ?
10 por 3
10 por 3. 30 por 1, verdad. Podrían ser muchas opciones; pero si yo necesito obtener 11 x, no voy a usar 30
por 1, jamás. Ni 10 por 3. Si no que el que me va a servir cuál es?
E=(Jo)nathan 5 por 6
PROF=RB
5 por 6 ó 6 por 5. Entonces lo verificamos. Este por éste cuánto da ?
E
6x
PROF=RB
6 x. Y éste por éste?
E
5 x.
PROF=RB
5 x. La suma me tiene que dar 11 x. Mjú. Entonces para que me dé 11 x, tienen que ir los dos positivos,
verdad ? Si ? Y está bien porque el producto de los dos positivos me va a dar positivo aquí. Entonces los
factores serían x más 5 y x más… 6. Observen que si aquí lo que hay es un 1, es más fácil porque esto es x por
x nada más. Entonces los número que use aquí, multiplicados deben dar éste, y sumados deben dar éste
verdad, de una vez. Cuando aquí lo que hay es otro número que no es 1, entonces hay que tener más cuidado,
porque ya no va a ser/ ya la suma de estos no va a dar éste, verdad, porque alguno o los dos van a quedar
multiplicados por el otro número. Si ? Estos que les voy a poner número es que estoy usando de la misma
práctica que ustedes van a fotocopiar (05’10-05’48). Cómo hacemos este otro ?
E=Jo
x por x
PROF=RB
x a la 2, x por x. Y menos 12 ?
E=(G)abriel 4 por 3
PROF=RB
4 por 3. Entonces me daría, éste por éste daría 3 x. Este por éste daría 4 x, para que me dé menos x.
Es
El cuatro menos (intervenciones de los otros estudiantes, inaudibles)
PROF=RB
Menos 4. Para que me dé menos 4, debe de estar éste negativo, verdad ? Y menos 4 por 3, menos 12. Si éste
559
48
49
50
51
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
52
53
54
55
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
56
57
58
59
60
61
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
está negativo, alguno de los dos tiene que ser negativo, solo uno verdad. Pero si éste está positivo, podría ser
que los dos sean negativos o que los dos sean positivos, verdad ? Depende lo que a uno le convenga. Cuál
sería la factorización entonces ?
(6) x² - x - 12
x menos 4 y x más 3 (P escribe: (x-4)(x+3)).
↓
↓
(P se refiere a: 2x²+10x+12) Qué hacemos en el otro ? (07’55)
x
3
2 x por x
x
-4
Primero, siempre que vamos a factorizar, primero… factor común.
-4x
Y en este caso los tres números son pares, por lo tanto puedo sacar un 2, mjú ? Sería 2
3x
por ?
-x
x a la 2
(x+3)(x-4)
x a la 2…
Más 5 x más 6.
Ahora si, a ese trinomio que me quedó ahí ? Probamos, 6 cómo lo puedo factorizar, dos factores que además
sumados den 5
(intervención de estudiantes, inaudible)
x por x, y?
3 por 2
3 por 2, signos ?
Positivos
Positivos los dos, verdad. Entonces sería 2 por... x más 3, y x más 2 (09’03). Así ?
(11) 2x² +10x + 12
Esto, esto que yo estoy escribiendo aquí, es nada más como para guiarse. Si usted
2(x²+5x+6)
son solo ver el trinomio ya saben la factorización lo escriben, no hace falta hacer ese
x
2
paso. En algunos casos, será más necesario que en otros.
x
3
3x
2x
6x
=2(x+2)(x+3)
(09’47) Aquí ?
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
E=G
PROF=RB
E=G
E
PROF=RB
E=(M)aría
Fernanda
Es
PROF=RB
E=M
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=(I)gnacio
PROF=RB
77
78
E
PROF=RB
79
80
Es
PROF=RB
81
82
83
84
85
86
E=(K)ate
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
x por x
x por x. Y aquí?
2 por 2.
2 a por/
2a. Cuánto da el producto de estos ?
2ax
(16) x² +4ax +4a²
↓
↓
(otras intervenciones de estudiantes inaudibles)
x
2a
Y 2 a x, verdad. La suma da 4 x. Mjú ? Entonces cuáles son los factores?
x
2a
2 a más/
2ax
(otras intervenciones de estudiantes inaudibles)
2ax
x más 2 a
4ax
x más 2 a
=(x+2a)(x+2a)
Pero como son iguales…
=(x+2a)²
x más 2 a a la 2.
Es un cuadrado perfecto. Si se dan cuenta que es un cuadrado perfecto, pueden poner la respuesta desde el
inicio, también. Vean que entonces, los cuadrados perfectos también se pueden hacer por inspección, verdad ?
Mjú
Es más general este método, resuelve más (10’51. P escribe: “21)
8-9x+x²”. 12’06). Hagan el 21
(comentarios sobre la forma de hablar de un alumno). Ya ? El 8, podría ser 4 por 2 ó 2 por 4, pero con 2 y 4,
no puedo obtener un menos 9, verdad (13’02). Tiene que ser, 8 y 1. Pero qué hago para que dé menos 9.
Menos 8 y menos 1
Los dos negativos. Puedo poner los dos negativos aquí, o los dos negativos aquí, es lo mismo, verdad?
Entonces cuáles serían los factores?
Menos 8 más x.
Menos 8 más x
Menos 1 más x.
Y?
Menos 1 más x.
O si quieren lo pueden escribir así que es lo mismo, verdad? (P escribe: (x(21) 8 - 9x + x²
8)(x-1)). Si? Este por éste daría menos 8 x, y éste por éste daría menos x.
-8
x
-8x
(13’58) Vean que, esto que yo escribo aquí es, éste por éste y éste por éste,
-1
x
-x
-9x
verdad ? (15s) Cómo factorizo aquí ? (P se refiere a la siguiente expresión:
(-8+x)(-1+x)
2x²-x-3. 14’47).
=(x-8)(x-1)
87
88
89
90
91
92
93
560
E=Jo
E=K
PROF=RB
E=Jo,K
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Pr
x por 2 x
2 x por x
2 x por x.
Y menos 3 por 1.
Así? Esto daría 2 x, esto daría menos 3 x, está bien verdad. Entonces los factores son?
2 x menos 3
2 x menos 3
Pr
94
95
E=Jo
PROF=RB
96
97
98
99
100
101
102
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
116
117
118
119
120
121
Es
PROF=RB
E=(J)ose
PROF=RB
E=I
PROF=RB
122
123
124
125
126
127
E=K, Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=K
PROF=RB
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
148
149
150
151
152
153
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
x más 1
x más 1 (Pregunta de E=I, inaudible).
Ya hizo el otro? (P se refiere a: 6a²-13a+6. 15’41-16’26). Ese está más entretenido verdad, porque hay más
posibilidades.
Cuál?
(26) 2x² - x - 3
Diay el que sigue.
2x
-3
2x
Este ?
x
1
3x
Ya alguien lo encontró ? (16’45).
5x
Profe
(2x-3)(x+1)
Dígame
Digamos ahí, que da menos 13 u¸ digamos, en cualquiera de los dos lados puede ir el menos ? Digamos puede
ser menos 2/ Ahí sería 2, 2 u por 3 u, del otro lado 2 por 3.
(29) 6u² -13u + 6
No, 2 por 3 no. Al revés.
2u
-3
Por qué no puede ser al revés.
3u
-2
Si porque si pone 2 y 3, le daría 6 y 6 que no va a dar 13.
-4u
3y2
-9u
Si puede ponerle, los dos menos aquí o los dos menos aquí.
-13u
Profe pero como se haría para que quede negativo, entonces ?
(2u-3)(3u-2)
Ah ?
Para que quede negativo.
Así. Porque esto daría menos 4 u.
A si, es cierto
Y esto daría menos 9 u.
Si yo había hecho los 4 positivo pero daba negativo.
Si porque si pone todo positivo le va a dar positivo (18’08)
Ya hicieron este otro ? (19’27. P se refiere a: x4-13x²+36)
No !
Diay !
Está muy difícil profe!
Ay pobrecito ! (comentarios de E=I, sobre lo dicho por E=J) Venga haga ese.
Ah no profe no lo entiendo
Venga (P insiste para que el estudiante vaya, E=I no va. P atiende consultas individualmente. Otro
estudiante factoriza la expresión en la pizarra). Queda así eso ? (22’12).
No
Por qué no ? Se puede factorizar cada uno, verdad? Cuál es la factorización de x al cuadrado menos 9 ?
x menos 3 (inaudible el resto)
x menos 3 por x más 3. Y del cuadrado de x menos 4 ?
(30) x4 -13x² + 36
(inaudible) (2 menos 2, 2 más 2)
x²
-9
-9x²
Está bien/ aquí el primer paso está bien, verdad; pero se puede
x²
-4
-4x²
6
3
factorizar más (P se refiere a: x -7x -8. Un estudiante ha ido a la
-13x²
pizarra y escrito su procedimiento de factorización).
(x²-9)(x²-4)
(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)
Qué más podemos hacer ahí ? Está bien así verdad ? Pero cada uno
de esos se puede factorizar más. El primero es, qué ?
Resta de cubos
Resta de cubos, y el otro ?
Suma de cubos
Suma de cubos. Cómo quedaría?
x menos 2
x menos 2
x a la 2, más 2 x
más 2 x
Más 4
(31) x6 – 7x3 – 8
Más 4. Y el otro ?
x3
-8
= (x3-8)(x3+1)
3
x más 1
1
= (x-2)(x²+2x+4)(x+1)(x²-x+1)
x
-8x3
x más 1
3
x
x a la 2 menos x
-7x3
x a la 2 ?
Menos x más 1.
Qué le hacemos al otro ? (P se refiere a: a²-5a+6+ba-3b. 25’51).
Agrupar
Mm ?
Agrupar tres términos.
Si son cinco términos, hay que agrupar, verdad. Cómo agrupamos. Así como está? A este le hacemos
inspección, cómo quedaría? Ok, a por a, y?
(inaudible)
3 por 2; pero para obtener menos 5 a.
Negativos
Negativos los dos. Entonces sería, a menos 3, a menos 2. Y el otro ?
Factor común
B a factor común y quedaría el otro?
(DsD)
Od
Pr
561
154
155
156
157
158
159
160
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=2
E=M
PROF=RB
161 E=G
162 E=Jo
163 PROF=RB
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo, Es
PROF=RB
E=Jo, Es
PROF=RB
E=Jo, Es
PROF=RB
174
175
176
177
178
179
180
181
E
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
182 E
183 PROF=RB
184 E=G
185 PROF=RB
186 E=Jo
187 PROF=RB
188
189
190
191
192
193
194
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E
PROF=RB
Es,
PROF=RB
195 PROF=RB
562
a menos 3
(32) a²-5a+6+ba-3b
a menos 3. Cuál es el factor común?
= (a²-5a+6)+( ba-3b)
a menos 3
a
-3
a menos 3. Y el otro factor ?
a
-2
a menos 2 más b (27’47, suena el timbre).
=(a-3)(a-2)+b(a-3)
=(a-3)(a-2+b)
Profe, ahí es raíz quinta de c ? (28’10)
Si.
Cómo podemos hacer aquí ? (P se refiere a: (m²-3m)²-2(m²-3m)-8. 28’48).
Factor común no ?
No **
Si aquí tengo el cuadrado de ese binomio, diay lo podemos considerar igual que antes, como si fuera/ si
hubiéramos tenido u a la 2, lo hubiéramos podido poner como u por u. Si tenemos el cuadrado de esto, puedo
ponerlo como el producto de dos veces él mismo. Si? Y el 8, cómo lo separo, cómo lo factorizo para además
que me dé el menos 2?
4y2
4 y 2. El menos se lo pongo al ?
4
Si ? Entonces los factores cuáles serían ?
m a la 2
m a la 2
Menos 3 m
Menos 3 m
Menos 4
Menos 4. Y m a la 2, menos 3 m… más 2. Mjú ? Ahora a cada uno de esos factores háganle inspección
(29’59-30’53). Cómo quedaría el primero ?
m menos 4 y m menos/
m menos 4. Y ?
(33) (m²-3m)²-2(m²-3m)²-8
m más 1
m²-3m
-4
m²-3m
2
m más 1, les dio? Luego este m por m y este menos 4 por 1. Y el otro ?
(m²-3m-4)(m²-3m+2)
m menos 2
m
-4 m
-2
m
1 m
-1
m menos 2
=(m-4)(m+1)(m-2)(m-1)
Y m menos 1.
m menos 1. Se separa como m por m, y menos 2 por menos 1.
Está bien ? (31’24). Los dos que siguen, no son polinomios, verdad. Uno tiene letras dentro de la raíz y el otro
tiene letras con exponentes negativos. Sin embargo podemos factorizar esas expresiones, aunque no sean
polinomios, de una forma parecida (comentarios sobre lo que está escrito: 5 c +10 c −56 ). Una es raíz quinta
y la otra es raíz décima. Entonces hagámoslas homogéneas, primero. La raíz quinta, esto no se puede
simplificar, pero esto lo puedo pasar a raíz décima, raíz décima de qué ?
c a la 2
De c a la 2. Entonces esto lo puedo expresar como raíz décima de c, por raíz décima de c, verdad ? Y éste
cómo ?
7 por 8
7 por 8. Como es negativo, uno de los dos debe de llevar menos. Para que me dé menos 1, el menos lo debe
de llevar ?
El 8
El 8. Entonces la factorización sería, raíz décima de c, más 7; raíz décima de c,
menos 8. Está bien ? Si o no ? (33’09).
(34) 5 c +10 c −56
Es lo mismo verdad, es la misma idea, solo que le hago esta transformación
10
c² +10 c −56
primero para que me queden con el mismo índice. Y aquí ? Cómo
↓
↓
descompongo x a la menos 10 ? (P hace alusión a la expresión: x-10-7x-5-18).
10
7
c
10
-8
c
( 10 c +7)( 10 c -8)
Uno sobre x a la 10.
Qué ?
Uno sobre x a la 10, no ?
No pero si hacer eso ? (33’47). Dos factores que multiplicados den x a la menos 10.
x menos 5 y x menos 5.
x a la menos 5 y x a la menos 5. Y el menos 18 para que me dé menos 7 ?
Menos 9 y 2
Si lo ven ? Entonces los factores serían x a la menos 5, menos 9. x a la menos 5,
(35) x-10 -7-5 –18
más 2 (34’19).
↓
↓
Está bien ? Vean que para poder usar este método, necesitamos que a la hora que
x-5
-9
estén acomodados, el exponente de éste, sea el doble de éste, verdad. Si ? Porque
2
x-5
los separamos en dos iguales, la suma/ estos son iguales al del centro. La suma de
(x-5-9( x-5+2)
los exponentes da el de aquí, entonces ocupamos que este exponente sea el doble
del de éste; en todas, verdad. Aquí éste es el doble de éste. Si, está bien ? Bueno, ya ustedes sacaron copia, de
la hoja, verdad (34’59). Eran dos hojas. En la primera, la primera parte, es de factor común, eso lo van hacer
ReA
Pr
Pr
Pr
Pr
Pr
para que repasen factor común, la segunda parte, es de inspección, ya yo hice uno, de la uno, la seis, la once,
la veintiuno, la dieciséis, si ? Tienen que fijarse si hay factor común, primero, antes de factorizar. Entonces,
vamos a parar aquí y el miércoles, revisamos esa primer página completa (35’44).
Por causa de una reunión del departamento de matemáticas programada a partir de esa segunda lección, la sesión concluye ahí. La práctica se
asigna como trabajo en casa.
VI.3.7 RB-2203200610G : INSPECTION (2) – FORMULE GÉNÉRALE (1)
Durante la primera parte de la sesión se revisó la tarea oralmente. Se escribió en la pizarra aquella en donde los estudiantes manifestaban
la necesidad de. Profesor borra en su totalidad las pizarras y escribe:
Factorización de trinomios de grado 2 en una variable completando cuadrados
ReO
x²+2x-10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
PROF=RB (02’29) Ese es un trinomio cuadrado perfecto? Ah? Si o no? Mm? (comentario de un estudiante, inaudible) Por
qué no? Para que sea cuadrado perfecto en lugar del menos 10, qué debería de ir ?
E
Menos 4
PROF=RB Mm ?
E
Menos 4
PROF=RB No. Cómo ?
E
Un 1
PROF=RB Más 1. Porque si es cuadrado perfecto, ahí en ese caso tendría que ser la primera fórmula notable, por ese más 2
x. Si ?
E=Jo
Qué dice completando cuadrados en el título ?
PROF=RB Si. Ok, si en lugar del menos 10 diría más 1, sí sería cuadrado perfecto. Ok, no es cuadrado perfecto, se podrá
hacer por inspección ? (8s)
Es
No
PROF=RB Mm ? Con el 10, el 10 lo podría factorizar como 10 por 1, con 10 y un 1 uno vamos a obtener un 2. 5 y 2,
tampoco vamos a obtener un 2, y ya verdad. No hay más formas de factorizar el 10 con el producto de dos
enteros. Entonces si no se puede con enteros, si se puediera factorizar, tiene que ser con otros números que no
sean enteros, verdad. Vamos a hacer algo parecido a aquello que hicimos antes, este… transformando la
expresión para que me quede un cuadrado perfecto menos algo, se acuerdan que ya hicimos unos así; para
después usar diferencia de cuadrados. Solo que, vamos a dejar estos iguales y el que vamos a transformar va a
ser éste. Para que sea cuadrado perfecto, aquí tendría 2, por x, por 1, verdad, para que me vuelva a dar 2 x.
Entonces, para buscar la fórmula aquí tendría que estar… 1. Si ? Entonces si aquí estoy agregando un 1, para
compensar ese 1 que agregué voy a restarle 1, si ? Y el menos 10 que estaba antes, si ? Entonces le sumo 1 aquí
para completar cuadrado perfecto, pero si le sumé 1, le resto 1, para cancelarlo, verdad. Para cancelar este 1 que
agregué y el menos 10 estaba ahí antes, si ? Entonces lo que está en el paréntesis, sería el cuadrado de qué ?
Es
De x más 1
PROF=RB x más 1. Eso sería, menos 11. Ahora el 11 lo puedo expresar como el cuadrado de…
E=Jo
Raíz de 11
PROF=RB De raíz de 11. Y ahora uso diferencia de cuadrados. Cuánto seria ?
E=Jo
x más 1
Factorización de Trinomios de grado 2 en una variable completando cuadrados
PROF=RB x más 1
x²+2x-10
E=Jo
Más raíz de 11
=(x²+2⋅x⋅1+1)-1-10
PROF=RB Más raíz de 11. Y x más 1…
=(x+1)²-11
Es
Menos raíz de 11.
ReH
=(x+1)²-( 11 )²
=(x+1+ 11 )(x+1- 11 )
PROF=RB Y ya, esa es la factorización (8s). Esto se llama completar cuadrados porque ahí estoy completando un cuadrado
perfecto, verdad (06’30). Qué hubiera pasado si en lugar de menos 11, hubiera quedado más 11 ahí ?
E=Jo
No se puede hacer
PROF=RB Cómo, qué dijo ?
E=Jo
Que no se podría hacer
PROF=RB Por qué ?
E=Jo
Diay, no que no se podría hacer como diferencia de cuadrados obviamente, quedaría positivo.
PROF=RB No se podría hacer por ninguna forma verdad, porque la suma de cuadrados no la podemos factorizar. Cómo
podríamos completar ahí ? (07’35. P se refiere a: x²+4x+20). Ahí sería 2 por ? Por x, por...
Es
2
PROF=RB 2. Para completar el cuadrado perfecto, qué debería ir aquí?
E=Jo
2
Es
4
PROF=RB 4. Como sumé 4, resto 4. Mjú? Entonces esto sería el cuadrado de...
E=Jo
x más 2
PROF=RB x más 2. Más?
ReV
DsD
563
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
Es
16
PROF=RB 16. Y en este caso, es una suma de cuadrados, verdad. Cuando nos pase eso, no vamos a poder seguir, no vamos
a poder factorizar, entonces decimos que este polinomio... no se puede factorizar en R. O cuando no se puede
factorizar en R, decimos que es un polinomio irreducible
x²+4x+20
=(x²+2⋅x⋅2+4)-4+20
=(x+1)²+16
x²+4x+20 no se puede factorizar en R
x²+4x+20 es irreducible
(45s) Qué podemos hacer ahí ? (P se refiere a 6x²-36x-24).
Factor común
Cuál es el factor común ? (10’03)
6
Me va a quedar ? (Un estudiante dice los términos. P lo escribe en la pizarra: 6(x²-6x-4))
Este que quedó en el paréntesis, tampoco se puede hacer por inspección, verdad. Porque ni 4 ni 1, ni 2 y 2 van a
generar un 6. Entonces esto lo puedo hacer como … aquí sería 2 por x, por… 3. Mjú. Más ? Qué pongo ahí para
completar el cuadrado ?
E
9
PROF=RB 9. Tiene que ser el cuadrado de éste, verdad. Si sumé 9… resto 9. Lo que está dentro del paréntesis sería el
cuadrado de ?
E=M(aría Profe yo no entiendo de dónde salió ese 9.
Fernanda)
PROF=RB Di porque estoy completando la fórmula. Si usted tiene esto, para que sea fórmula notable qué le falta (5s).
Mm ? Si usted tiene esto, para que sea fórmula notable qué le falta ? (12s). Diay, éste, es el que está aquí al
cuadrado/
E=M
Ah… el 3 a la 2.
PROF=RB Si ? Lo que está en el paréntesis, sería el cuadrado de qué ?
E=Jo
x más 3
PROF=RB De ?
Es
x más 3
PROF=RB De qué ?
E=Jo
x menos 3
PROF=RB Ah con menos. Y el otro daría ?
Es
13
PROF=RB 13. Y ya se puede hacer diferencia de cuadrados, verdad. Termínenla ustedes (43s). El 13 lo expreso como el
cuadrado de?
Es
Raíz de 13
6x²-36x-24
PROF=RB Sería 6, por x menos 3, más raíz de 13, por x menos 3,
= 6(x²-6x-4)
= 6[(x²-2⋅x⋅3+9)-9-4]
menos raíz de 13. El signo que cambia es éste,
= 6[(x-3)²-13]
verdad, el x menos 3 queda igual.
E
PROF=RB
E
PROF=RB
PROF=RB
= 6[(x-3)²-( 13 )²
= 6(x-3+ 13 )(x-3- 13 )
58
59
60
61
62
63
64
65
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
66
67
E
PROF=RB
68
69
70
71
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
(40s) Cómo sería el otro ? (14’14. 8s). Este sería 2 por x por cuánto ? Ese 2 siempre lo vamos a usar, porque en
la fórmula notable está, verdad. Entonces por cuánto multiplico eso para que me dé 5 x.
2 coma 5
Por 2 coma 5, y en fracción? (comentario de un estudiante) Cuánto ?
5 medios
Este 2 se cancelaría con éste y quedaría 5 x, verdad. Si ? Más cuánto ? (suena el timbre, 15’12).
25 cuartos
Ah ?
25 cuartos
25 cuartos, por ser el cuadrado de esto. Entonces menos 25 cuartos, más 3 (110s, 17’14). Esto sería, shh, el
cuadrado de ? x más?
5 medios.
5 medios. Cuánto es menos 25 cuartos más 3? Menos 3 cuartos. Si me da más, no se va poder factorizar, verdad.
Tiene que dar negativo. Entoces sería el cuadrado de x menos 5 medios, menos el cuadrado de ?
Raíz de 13.
Raíz de 13…
Medios
Entre 2. Y ya, cómo quedaría esto ? x más 5 medios… (P escribe
x²+5x+3
⎛ 5 13 ⎞⎛ 5 13 ⎞ ) si ? O podría escribirlo como ... (P escribe
= (x²+2⋅x⋅ 5 + 25 )- 25 -4]
⎜ x+ −
⎟⎜ x + +
⎟
⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠
⎛ 5− 13 ⎞⎛ 5+ 13 ⎞ ) si? Si uno multiplica éste por éste, le va a dar 3, y si
⎜ x+
⎟⎜ x +
⎟
2 ⎠⎝
2 ⎠
⎝
564
lo suma, le va a dar 5.
O sea que si a uno se le ocurriera separar el 3 por esto por esto saldría por
inspección, verdad. Pero no creo que a uno se le ocurra con solo verlo que es
esto por esto lo que ocupaba, verdad. Si ? Y cuando son enteros los factores
de aquí, es muy fácil que uno los verifique y pueda usar inspección. Pero
cuando no son enteros, no le va a servir inspección, entonces tiene que
buscar otra forma (19’07. P hace un comentario a unos estudiantes fuera del
aula) Está claro eso ? Ah? Más o menos? (P escribe otra expresión: 2x² x
2 4
4
= (x+ 5 )²- 13
2
4
2
= (x+ 5 )²- ⎛ 13 ⎞
⎜
⎟
2
⎝ 2 ⎠
= ⎛ 5 13 ⎞⎛ 5 13 ⎞
⎜ x+ −
⎟⎜ x + +
⎟
⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠
= ⎛ 5− 13 ⎞⎛ 5+ 13 ⎞
⎜ x+
⎟⎜ x +
⎟
2 ⎠⎝
2 ⎠
⎝
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
aula). Está claro eso ? Ah? Más o menos? (P escribe otra expresión: 2x²-x-7). Cuando, el coeficiente principal
aquí no es 1, como en este caso, vean que cuando aquí solo hay x a la 2, y el coeficiente es 1, hacer esa
separación es más fácil, verdad, porque aquí solo va a ser x, ni lo voy a ocupar. Entonces cuando haya otro
número, vamos a factorizarlo. Entonces si factorizo eso qué tiene que va a quedar aquí ? Qué tiene que ir aquí
para que al multiplicar por 2 me dé x.
E
Un medio
PROF=RB Un medio x. Para que me dé 7 ? Qué por 2 me va a dar 7 ?
E
7 medios.
PROF=RB 7 medios. Aquí. Ok ? Es nada más para que me quede el x a la 2 solo. Al estar x a la 2 solo, entonces voy a poder
expresar esto como 2, por x, por cuánto ? Ahora 2 por, qué, me va a dar un medio ? (12s) Por cuánto ?
E=G(abrie Un cuarto
l)
PROF=RB Un cuarto. Si ? Porque 2 por un cuarto simplifico esto y me queda un medio. Entonces qué tengo que agregar
aquí para que me quede el cuadrado perfecto ? Ah ? Qué ?
E
Un octavo
PROF=RB No, un dieciséisavo. Entonces lo mismo, menos un dieciséisavo menos… si ? Entonces tendrían, 2 por, el
cuadrado de…
E
x menos un … x menos un cuarto
PROF=RB x menos un cuarto, menos ? (P contesta la pregunta escribiendo la respuesta). Cuánto da esa resta ? (38s).
E=Jo
Menos 57.
PROF=RB 57 dieciséisavos. Entonces sería, el cuadrado de x menos un cuarto, menos el cuadrado de ? (5s) Mm ?
E=Jo
Raíz de 57.
2x²-x-7
PROF=RB Raíz de 57.
= 2(x²- 1 x- 7 )
E=Jo
Sobre 4 (70s). Si? Vean que si aquí quisiera escribirlo como una sola
2 2
fracción, entonces tendría que ser de esa forma, verdad. Este menos
= 2[(x²-2⋅x⋅ 1 + 1 )- 1 - 7 ]
afecta a toda la fracción. Si ?
4 16 16 2
E
Pero se puede dejar como la anterior
= 2[(x- 1 )²- 57 ]
PROF=RB Si (10s). Cómo podemos decir entonces que son los pasos, para hacer eso
4 16
2
E=G
Primero hay que ver si hay factor común.
= 2[(x- 1 )²- ⎛ 57 ⎞ ]
PROF=RB Mjú. Después ?
4 ⎜ 4 ⎟
⎝
⎠
E=A(iling) (inicio del comentario inaudible) Ver si se puede hacer por inspección
=
⎛
⎞
⎛
⎞
PROF=RB Por inspección, ajá (25’37). Si no, supongamos que ni tiene factor
2⎜ x − 1 − 57 ⎟⎜ x − 1 + 57 ⎟
4
4
4
4
⎝
⎠
⎝
⎠
común ni se puede hacer por inspección, entonces qué hacemos ?
E=G
Completar.
= ⎛ 1+ 57 ⎞⎛ 1− 57 ⎞
2⎜ x −
⎟
⎟⎜ x −
PROF=RB Cómo ?
4 ⎠⎝
4 ⎠
⎝
E=A
Haciendo (inaudible).
PROF=RB Cómo ? Lo primero que hacemos es…si hay un coeficiente que no es 1, lo factorizamos. Mjú ? Después, el
término constante lo separamos y armamos el cuadrado perfecto con los otros dos, verdad. Le agregamos lo que
falte para que sea cuadrado perfecto. Siempre esto que va a faltar aquí va a ser positivo, verdad. Si ? Porque es el
cuadrado de *, entonces después le restamos lo mismo que sumamos aquí. Después hacemos la suma de estos
dos, si da positiva, no se puede factorizar; y si da negativa, entonces hacemos diferencia de cuadrados. Si ?
Siempre es lo mismo verdad. Hagamos otro (26’47-27’32. P escribe: -5x²+3x+2). Qué le hacemos, entonces.
E=G
Inspección
PROF=RB Mm ?
Es
Inspección
PROF=RB Hagámoslo igual que esto, saco el … menos 5, quedaría x a la 2, qué más ? Menos
E=Jo
3 quintos
PROF=RB 3 quintos x
E=Jo
Más 2 quintos.
PROF=RB Menos, 2 quintos. Si ? (9s). Entonces quedaría x a la 2. 2 por x por cuánto da esto ? (5s) 2 por qué da 3 quintos?
(5s)
E=Jo, E
6 décimos
PROF=RB Por ?
E=Jo,E
6 décimos
PROF=RB 6 décimos ? Así para cancelar y que me quede el 5. Entonces ahí va un 3, no un 6. Más ?
E=S
6 veintiavos
PROF=RB Ah ?
E=S
6 veintiavos
PROF=RB Es que no le oigo.
E=S
6 veintiavos
PROF=RB El cuadrado, no multiplicar por 2.
E=S
Ah 9 sobre/
PROF=RB 9 sobre?
Es
20
PROF=RB No!
E
Es el cuadrado...
E=Jo
100
PROF=RB 100. Y le resto esto. Entonces quedaría, menos 5 por, el cuadrado de… x menos… 3 décimos, menos… 100
entre 5 ?
E=1
20
PROF=RB 20. Por 2 ?
ReV
ReV
ReV
565
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
40
Entonces menos 9, menos 40 ?
Menos 49
Menos 49 sobre 100. Entonces el cuadrado de x menos 3 décimos, menos el cuadrado de ? 7 décimos (74s).
Cuánto es menos 3 décimos, menos 7 décimos ?
E
Menos 1
PROF=RB Menos 1. Y menos 3 décimos, más 7 décimos ?
E
4 décimos
PROF=RB Mm ? 4 décimos que simplificado dan ?
Es
2 quintos
PROF=RB Ven que uno podría multiplicar, como solo éste tiene fracción, uno podría multiplicar este menos 5, por éste y
me deshago de la fracción, verdad. Puedo decir que esto es x menos 1 por, menos 5 x, menos 2.
E=G
PROF=RB
Si ? (4s). Bueno y si quedó eso, era cierto que se podía hacer por inspección desde el inicio. Si ? Si al final los
coeficientes que ocupábamos eran enteros, era porque se pudo haber hecho por inspección.
Profe, un ejemplo. Si en el examen viene una así y uno la hace directamente por inspección ?/
Si en el examen viene una y usted lo hace como pueda, y lo más
inteligente sería hacerlo por inspección. Es más rápido. Si? Pero lo
-5x²+3x+2
importante es que vean que por ese método, también se pueden hacer los
= -5(x²- 3 x- 2 )
que salen por inspección. O sea que por este método yo puedo resolver la
5 5
= -5[(x²-2⋅x⋅ 3 + 9 )- 9 - 2 ]
factorización de cualquier trinomio de grado dos, que tenga una variable.
10 100 100 5
Porque pueden salir, esos que son por inspección, los que no salen por
=
-5[(x)²3
49 ]
inspección y los que no se pueden factorizar de ninguna manera, cuando
10 100
quedaba con suma, verdad. Entonces de esta forma se puede factorizar
= -5[(x- 3 )²- 7 2 ]
cualquier, o determinar si no se puede factorizar, cualquiera que sea un
10 10
trinomio de grado dos. Entonces vean que los pasos son exactamente los
= −5 x − 3 − 7 x − 3 + 7
mismos, en todos los trinomios. Ok, hay una forma de obtener (34’28) de
10 10 10 10
obtener esto. Este numerito que queda ahí, siempre es el mismo
= −5( x −1) x + 2
5
coeficiente de aquí, verdad. Si ? Hay una forma de obtener estos factores,
= -5(x-1)(5x+2)
si yo consigo este número y este número, obtengo la factorización
completa de este trinomio. Entonces vamos a sacar una fórmula que me
va a servir para factorizar cualquiera de esos. Si, entonces no hay que estar haciendo todo el procedimiento para
cada uno de ellos. Entonces, vamos a pensar en un polinomio, de este/ de este tipo. Si ? En general, ya no voy
hacer con uno en particular ahí, si no que voy a pensar en general cualquier polinomio de este tipo, o sea un
trinomio de grado dos con una variable. Entonces los coeficientes pueden ser los que sean, siempre y cuando
éste no sea cero. Si fuera cero desaparecería el x a la 2, verdad, entonces dejaría de ser un cuadrado. Entonces un
trinomio de grado dos en una variable, bien. Entonces vamos a seguir esos mismos pasos que están ahí, con este
en general, para obtener una fórmula que sirva para todos. Entonces lo primero que hacemos es, sacar éste a
factor, verdad. Como no es cero, podemos dividir entre a. Me quedaría x a la 2, más… qué ? Si saco a qué
quedaría ahí ? Mm ? Cómo ?
Diay x sobre a.
Ajá, más ?
c sobre a
c sobre a. Si ? Ahora hacemos lo otro. Separamos el término constante y completamos. Aquí tendría x a la 2,
más 2, por x, por cuánto ? Para que me dé b sobre a, cuánto tengo que multiplicar ? (intervención inaudible)
Mjú… b sobre 2 a. Si ? Cualquiera de los dos. Más, cuánto para que me quede cuadrado perfecto (37’01) ?
Raíz
Cómo ?
Es la raíz
b a la 2 sobre…
4a
4 a a la 2. Si ? Entonces aquí resto lo mismo, si ? Hice exactamente esto mismo de aquí, verdad. Ahora, esto
sería entonces el cuadrado de… x más…
b sobre 2 a
b sobre 2 a. Y aquí, voy a tener, ocupo que me quede una resta verdad, porque después tengo que hacer una
diferencia de cuadrados. Si ? Está bien. Aquí el común denominador sería, 4 a a la 2, porque a es un divisor de
esto, verdad. Entonces cuando haga la resta divido 4 a a la 2, entre 4 a a la 2, cuánto me va a dar ?
Me da 1
ax²+bx+c
a, b, c ∈IR
1 por b a la 2.
= a x² + b x + c
b a la 2
a a
4 a a la 2, entre a ?
= a x² + 2⋅x⋅ b + b² − b² + c
4a
2a 4a² 4a² a
2
4 a. Por c.
= ⎡
⎤
b
a⎢ x +
− b² − c ⎥
4 a c.
4a² a ⎦
⎣ 2a
4 a c. Si?
2
= ⎡
⎤
a⎢ x + b − b² −4ac ⎥
Entonces sería a por, ahora lo voy a expresar como una resta de
4a² ⎦
⎣ 2a
cuadrados. Esto sería el cuadrado de qué ? Mm ? Aquí qué va a
quedar ?
2
2 a. Y arriba ?
(inaudible respuesta de los estudiantes)
( )
)(
(
( )
136
137
138
139
E=D(iego)
PROF=RB
E
PROF=RB
140
141
142
143
144
145
E=D
PROF=RB
E=D
PROF=RB
Es
PROF=RB
146
147
Es
PROF=RB
148
149
150
151
152
153
154
155
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E
PROF=RB
156
157
158
E=M
PROF=RB
Es
566
(
[(
(
(
)
)(
)
)
)
)
]
159
160
161
PROF=RB No acaso que uno eleva al cuadrado cada uno cuando es una resta ! La raíz de eso. Si ? Usted no puede sacar esa
b y un 2 de la raíz, porque hay una resta, no? Ahora esa raíz tiene sentido solo si lo que está dentro es cómo ?
E=Jo, E
Positivo.
PROF=RB Positivo. Entonces esto nada más, si este número que está ahí es positivo o cero verdad, con cero no habría
problema. Si ese número fuera negativo, entonces ya no puedo sacarle raíz cuadrada en los números reales.
Entonces no se podría factorizar. Y ya hago diferencia de cuadrados, quedaría a por… Esto es lo mismo, esta
diferencia de cuadrados ya la hicieron, es el mismo ejercicio se acuerdan ? Sería x, más b sobre 2 a, más … esto.
Si ? Y x, b sobre 2 a, menos. Mjú ? (comentario de P a un
2
estudiante sobre otra cosa). Ya está factorizado, verdad ? Solo
2
= ⎡
⎛
⎞ ⎤ Si b²-4ac≥0
a⎢ x + b −⎜ b² −4ac ⎟ ⎥
por conveniencia, que después vamos a ver por qué, lo voy a
2a ⎝ 2a ⎠ ⎥
⎣⎢
⎦
escribir de esta forma, si lo hago una sola fracción pero aquí con
= ⎛
⎞⎛
b
²
−
4
ac
b² −4ac ⎞
menos, les tengo que cambiar los signos, verdad. Es lo mismo
b
a⎜ x + +
⎟
⎟⎜ x + b −
2a ⎠⎝ 2a
2a ⎠
(5s). Si?
⎝ 2a
Eso es lo mismo que tengo aquí, verdad. Solo que aquí ya
= ⎛ −b− b² −4ac ⎞⎛ −b+ b² −4ac ⎞
a⎜ x −
⎟⎜ x −
⎟
sabíamos, en este caso, cuánto es a?
2a
2a
⎝
⎠⎝
⎠
(
162
163
164
165
166
167
168
169
170
Es
PROF=RB
E=D
PROF=RB
E
E
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
181
182
E
PROF=RB
183
184
185
186
187
188
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
ReH
)
2
b?
Menos x
b sería ?
x
1
Menos 1, porque b es el coeficiente de aquí. Y c ?
Menos 7
Menos 7. Como aquí yo ya tenía valores para a, b y c, entonces si yo sustituyo a, b y c por esos valores, voy a
obtener esto, verdad. Si ? Esta fórmula al principio parece rara, pero después se van a acostumbrar. Este número
que está aquí es muy importante, porque este número me dice si se puede o no se puede factorizar. Entonces
vamos a ponerle nombre, lo vamos a representar con esa letra, le vamos a llamar el discriminante del trinomio.
Entonces vamos a decir que si el discriminante es negativo, el trinomio es, irreducible. Solo se va a poder
factorizar si el discriminante es positivo o cero (15s). Estas dos expresiones, vean que son números verdad, en el
momento que yo le asigne los valores de a, b y c, eso me va a dar un número. Si ? Entonces vamos a denotar con
x uno, a ese primer número y x 2, a ese segundo número. Si ? (8s). Entonces, o esto lo podemos ver, más
pequeñito así, verdad. Lo que está dentro de la raíz es el discriminante (33s). Ok entonces vamos a decir que en
general, ese trinomio, que era de
Δ=b²-4ac discriminante
donde salimos, verdad (44’58), va a
Si Δ<0 el trinomio es irreducible
ser igual a esto, sería a por, x menos
eso que lo llamamos x 1 verdad, por x
x1 = −b− b² −4ac
x2 = −b+ b² −4ac
menos, ese otro número que le
2a
2a
llamamos, x 2. Mjú ?
b
b
−
−
Δ
−
x1 =
x2 = + Δ
(3’40s) Vamos a hacer ese de otra
2a
2a
vez, pero ahora usando la fórmula
directamente (48’57-49’58). En este
Fórmula general para factorizar trinomios cuadráticos de una variable
ax²+bx+c=a(x-x1) (x-x2)
trinomio, cuánto daría a ? (P se refiere
a: 2x²-x-7)
No se puede reducir
Cómo?
No se puede reducir, no es cierto.
Mm?
2
2. b?
Menos 1
Menos 1. c ?
Menos 7
Menos 7. Lo primero que hago es calcular el discriminante. Sería, menos 1 al cuadrado, menos 4 por 2 por
menos 7, verdad. Mjú. Sería 1 más ?
Menos 56 ?
57. Como da positivo, si se puede factorizar. Si hubiera dado negativo, entonces de una vez decimos que es
irreducible. Esa es la primer ventaja de tener la fórmula, que no hay que empezar a ver cómo completar
cuadrados a ver si me queda con suma o con resta. Con solo calcular este numerito, ya yo voy a saber si se
puede o no se puede factorizar. Ahora cómo lo factorizo. Entonces voy a calcular ahora esos dos números. x 1,
es menos b más raíz del discriminante, entre 2 a. Si b es menos 1, qué sería menos b ?
1
1. Más raíz de ?
57
57. Sobre 2 por a, que sería ?
4
4. Si ? Y x 2 es casi igual, solo que con resta. Entonces sería, 1, menos, raíz de 57, sobre 4. Si ? Y ya, porque
ahora sigue entonces, lo que tengo que hacer es usar esta forma. O sea que ese trinomio va a ser igual a a, que
es… 2, por x menos… x 1. Por x menos, x 2. Y ya está factorizado. Es más rápido hacer eso que lo que hicimos
antes, verdad. Al principio tal vez no, pero una vez que ustedes hagan varios es probable que lo hagan más
567
189
190
191
192
193
194
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
rápido, entonces obtienen una factorización rápida.
Profe cuando x 1 y x 2 da exacto, entonces se hace la resta ?
Cómo cuando da exacto ?
Digamos cuando, si se puede sacar de la raíz el número/
Ah en esos casos, vamos a hacer más, cuando tenemos otra vez ? Mañana ?
El viernes.
El viernes, vamos a hacer más ejemplos. Pero cuando pase eso, son precisamente los que se pueden hacer por
inspección. Más o menos ? Después se les va a aclarar más esto porque tienen que hacer esto. Lo que quería era
que vieran de dónde sale esta fórmula y … este… la próxima vez hacemos ejemplos ya usando la fórmula, no
completando cuadrados, cada vez que uno va a factorizar, verdad. Si ? Lo que pueden hacer para la próxima vez
es que se traigan esos, por lo menos estas tres, cuatro cosas en una ficha, para que la tengan ahí a mano. Cada
vez que la usemos estén revisando la fórmula. El examen recuerden que es de hoy en quince, el otro examen y
entraría hasta esto. O sea que lo nuevo, si quieren lo anotan de una vez, lo nuevo sería, o sea todo lo que entró en
el examen pasado, más, factorización de trinomios nada más, no hemos visto casi nada. O sea inspección,
cuadrados perfectos y completar cuadrados, y fórmula general. Inspección, cuadrados perfectos, completar
cuadrados y fórmula general, bueno fórmula general y completar cuadrados es lo mismo, verdad (54’29. P
comenta el aula donde realizarán el examen. 55’13, el timbre suena).
VI.3.8 RB-2403200610G : FORMULE GÉNÉRALE (2)
Antes de iniciar la sesión, P escribe en la pizarra:
1
PROF=RB
2
3
4
5
6
7
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
ax²+bx+c
Δ=b²-4ac
x1 = −b− b² −4ac
2a
−
+
b
b² −4ac
x2 =
2a
a(x-x1) (x-x2)
Les indica a los estudiantes la fotocopiadora donde
dejó la práctica de factorización para el examen.
(01’45) Vamos a hacer ejercicios de esos, de fórmula general (en la pizarra están escritos algunos
procedimientos de factorización por fórmula general del grupo anterior. P escribe en la pizarra: « Factorice
2x²-5x-1 ». Comentarios sobre el retraso de los estudiantes en llegar al aula, 04’03). A ver, si queremos
factorizar esto, recuerden que a es el coeficiente de x a la 2, b el de x y c el término constante, verdad. No
importa cómo estén acomodados, siempre van a ser esos, no es que a es el primero. Igual si esto estuviera así (P
escribe: -5x-1+2x²), cuánto sería a ?
2
2. b ?
Menos 5
Menos 5. Y c ?
Menos 1
Menos 1.
Entonces calculamos el discriminante. El discriminante en este caso, este número.
Factorice
Sería b al cuadrado que es, el cuadrado de menos 5, menos 4, por a por c, si ? Cuánto
(1) 2x²-5x-1
da esto ? (P hace un comentario a un estudiante que mastica chile). Cuánto da ?
-5x-1+2x²
(invertención de estudiante inaudible) No puede dar menos 25, da 25. 33, Mjú ?
a=2
Recuerden que si da positivo o cero, si se puede factorizar. No se podría solo si el
b=-5
discriminante da… negativo.
c=-1
Ahora calculamos los dos numeritos estos (7s). Entonces, menos b, b es menos 5,
Δ=b²-4ac
entonces menos b quién sería ?
=(-5)²-4⋅2⋅-1
= 25+8
= 33
8
9
10
11
12
13
Es
PROF=RB
E=(K)ate
PROF=RB
Es
PROF=RB
14 E=M(aría
Fernanda)
15 PROF=RB
16 E=G(abriel)
17 PROF=RB
18 E=G
19 PROF=RB
20 E=I(gnacio)
21 PROF=RB
22 E=I
23 PROF=RB
568
5
5. Recuerden que menos b, es el opuesto de b. Raíz de ?
33
33. Sobre 2 por a, como a es 2, entonces 2 por a, sería ?
4
4. Y aquí es lo mismo solo que con resta, en lugar de una
suma. Si ? (06’02).
Quiere decir que la factorización de ese trinomio, es a que es 2, por
x menos …, por x menos esto. Y ya eso es todo.
Hasta ahí llegan todas profe ?
x1 = −b− Δ = 5+ 33
2a
4
x2 = −b+ Δ = 5− 33
2a
4
2x²-5x-1= 2⎛ x − 5+ 33 ⎞⎛ x − 5− 33 ⎞
⎜
⎝
Mjú (7s, comentario de estudiante, inaudible). Qué fue ? Qué dijo, después de qué ?
No, después de hacer todo aquel procedimiento **
Diay de eso se trata, no ? De llegar a una forma más sencilla de hacer las cosas.
Si, pero hubiera empezado por ahí profe !
No podía empezar por el final.
Pero no era más fácil ?
Ah ?
No era más fácil ?
Qué era más fácil ?
4
⎟⎜
⎠⎝
4
⎟
⎠
ReO
24 E=I
25 PROF=RB
26
27
28
29
30
31
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
32 E=J(ose)
33 PROF=RB
34
35
36
37
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
38 E=Jo
39 PROF=RB
40
41
42
43
44
45
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
E=K
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
E=K
E=Jo
E=M
PROF=RB
56
57
58
59
60
61
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Di dar de una vez eso, no ?
Y usted se lo hubiera creído, no importa de dónde sale, usted cree que esa es la fórmula (risas de varios
estudiantes), ah ? (intervención de una estudiante sobre otro tema. P escribe la siguiente expresión:
4x²+100+40x, 90s) Cuánto es a en el siguiente ? (08’56)
4
4. b ?
(2) 4x²+100+4x
40
a=4
40. Y c ?
Δ=b²-4ac=40²-4⋅4⋅100=1600-1600=0
b=40
100
c=100
100.
Calculen el discriminante (P pasa lista. Mientras llama a los estudiantes E=J, interviene).
Profe da cero
x1 = −b− Δ = −40+ 0 = −40 =−5
Y qué pasa con que dé cero ? (P sigue pasando lista, 11’18).
2a
2⋅4
8
Cuánto darían estos números, entonces ? (P escribe el procedimiento).
−
40
−
0
−
b
+
Δ
−
= 40 =−5
x2 =
=
Menos b sería ?
2a
2⋅4
8
Menos 40
4x²+40x+100=4(x+5)(x+5)=4(x+5)²
Menos 40 (7s). Menos 40 octavos, o sea ?
Menos 5
Y aquí sería menos 40 (4s)… si ? Dan igual verdad, porque la diferencia de un número al otro es que en uno se
suma la raíz del discriminante y en el otro se resta, pero si es cero, sumar cero o restar cero tiene que dar lo
mismo. Entonces a factorización sería ?
Menos 5
Sería 4 sobre, eh por, perdón, x menos menos 5, daría más 5, verdad. Si? O... (P escribe en la pizarra:
« 4(x+5)² ») si? Si el discriminante da cero, estos dos números van a dar igual, por lo tanto estos dos factores
son iguales, por lo tanto era un cuadrado perfecto, verdad. Ese se pudo haber factorizado sin usar fórmula
general. Ok, aquí podemos sacar un factor común que sería el cuatro
verdad. Si ? Y esto es, el cuadrado de x, 2 por x por 5, y el cuadrado
4x²+40x+100=4(x²+10x+25)=4(x+5)²
de 5, verdad. Entonces sería ?
x²+2⋅x⋅5+5²
Si se dan cuenta que se puede hacer así, por obviamente lo hacen así
de una vez.
Profe
Diga
Me puede explicar de dónde salió ese menos 1600 ?
De 4 por 4 por 5.
Ajá y el otro menos ? Para que dé cero.
Diay 40 al cuadrado es 1600 y 4 por 4 por 5 es 1600 (13’40. P atiende algunas dudas individualmente. P
escribe la siguiente expresión: x²+x+5).
Profe el discriminante da menos 19
Cuánto da el discriminante ?
Menos 19
(3) x²+x+5
Si me da negativo…
a=1, b=1, c=5
Ahí queda (P escribe el procedimiento)
Δ=b²-4ac=1-4⋅1⋅5=1-30=-19
Qué pasaba si el discriminante me daba negativo ?
No se puede factorizar
Como Δ<0 x²+x+5 es irreducible
No se puede reducir
Y ahí queda ?
Si (P escribe en la pizarra: « 3x²-11x+8 ». 16’00-18’13) Cuánto da el
(4) 3x²-11x+8
discriminante ? (5s) Ah ? Cuánto ? Les dio esto?
Δ=b²-4ac
a=3
(20’34) 8 tercios les da el primero ? Raíz de 25 es 5 verdad, no la van a
b=-11
=121-96
dejar así ! Y el otro cuánto da ?
c=8
= 25
1
Entonces la factorización?
3
3
x menos 8 tercios
x menos 8 tercios. Podemos multiplicar ese 3, por el primer
factor, verdad. Si ?
Δ=b²-4ac
=(-7)²-4⋅-2⋅-1
= 49-8
= 41
ReV
ReV
x1 = −b− Δ =11+ 25 =16 = 8
2a
2⋅3
6 3
x2 = −b+ Δ =11− 25 = 6 =1
2a
2⋅3
6
( 3 )(x−1)
3x²-11x+8= 3 x − 8
=(3x-8)(x-1)
(una estudiante le pregunta a otra su duda, ésta le contesta). Cuando el discriminante tiene
raíz cuadrada exacta, los coeficientes eran enteros, quiere decir que se pudo haber hecho por
inspección. Si ? Me daría menos 3 x y menos 8 x. Obtengo lo mismo, verdad.
Es que con la fórmula se pueden hacer todos, pero si se dan cuenta que se podía con
inspección lo hacen así de una vez. Y si se dan cuenta que es cuadrado perfecto, lo hacen de
una vez (22’15), más rápido (P escribe la expresión: -2x²-7x-1, un estudiante pasa a realizar
la factorización en la pizarra).
(5) -2x²-7x-1
a=-2
b=-7
c=-1
DsR
3x²-11x+8
3x
-8
x
-1
-3x
-8x
-11x
x1 = −b− Δ = −7+ 41
2a
−4
569
62 E=G
63
64 E=G
65
66 E=G
67
68 E=G
69
-b, sería 7 (24’06. E=G borra el menos que antecede al 7, 24’21). Y cómo hacemos para que no nos quede ese
menos ahí? Se ve muy feo (P se refiere al menos del menos 4, del denominador).
Cómo hago profe?
Ah ... Cómo hace para quitar el menos del denominador?
Lo pongo aquí arriba?
Si, pero a todos verdad. Pero ahí no, en otro paso. Mjú (25’19). Menos 2 (P se refiere a la constante a, al
escribir la factorización completa. Comentario de E=G inaudible).
Este es positivo
x1 = −b− Δ = 7+ 41 = 7− 41
2a
4
−4
No déjelo así y póngalo así como está (E=G se refiere al término
constante de uno de los factores. El timbre suena, 25’58). Con resta los dos.
x2 = −b+ Δ = 7+ 41 = −7+ 41
2a
4
−4
Así ? (P asiente con la cabeza)
ReV
ReV
⎞
⎞⎛
⎛
−2⎜ x− −7− 41 ⎟⎜ x− −7+ 41 ⎟
4 ⎠⎝
4
⎠
⎝
En la penúltima página del folleto aquel que sacaron al inicio hay una práctica de eso, para que vayan
comenzando a hacerla. Vamos a trabajar aquí el lunes, pero deberían de ir avanzando ustedes, si no no nos da
tiempo.
En la pizarra está escrito: (2x3-5x²-28x+15)÷(x-3)
ReO
1
Tc
[ReO]
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
570
PROF=RB
Buenos días. Háganse esa división de
la forma que ustedes saben (P da
División Sitética
Divisor de la forma x+a
unos minutos para que la hagan,
x-a, a∈IR
00’01). La idea es que busquemos
(2x3-5x²-28x+15)÷(x-3)
una forma más rápida de hacer esas
2x3-5x²-28x+15 ⏐ x-3
divisiones. Eso si, vamos a trabajar
3
+6x²
2x²+x-25
-2x
solo, con los divisores de la forma x
1x²-28x+15
más algo, o x menos algo; que sea de
-x²+3x
grado uno y que tenga nada más x
-25x+15
más un número o x menos un número.
25x-75
Si el divisor es de grado uno, en este
-60
caso el dividendo es de grado tres,
verdad, el divisor es de grado uno, entonces el cociente es de grado qué ?
E
Dos
PROF=RB
Dos. En realidad uno siempre divide solo entre el primer término del divisor, verdad; en este caso entre x. Y
cuando uno divide solamente entre x, lo único que va a pasar es que a cada una de éstas se le va bajando
uno el grado, verdad. Queda exactamente el mismo número. Cuando dividí éste, aquí tenía un dos y aquí
queda un dos, verdad. Entonces cuando hice ésta, aquí tenía un uno, y aquí hay un uno; entonces cuando
hago esta división, aquí había un menos 25 y aquí un menos 25. Como ahí es x, esos números de ahí, es
solo repetir estos de aquí verdad. O sea que teniendo estos, ya tengo aquellos de alla, ujú. Y cómo obtengo
estos otros, el 6 el 3 y el menos 75. De dónde salieron esos ? Mm ? De dónde salió ese 6 ? (01’51)
E
Del 2 por 3
E=(M)aría
Del 2 por 3 x a la 2 (Jo dice algo, inaudible también para el profe. Profe estornuda y luego pide a M que
Fernanda
repita).
PROF=RB
De 2 pero por 3, no por/ O sea ahí hay un menos 3 verdad, pero aquí me dio 6 !
E=(Jo)nathan Mjú
E=M
Cambió el signo.
PROF=RB
2 por 3 pero cambiándole el signo. El 3…
E=Jo
(inaudible)
PROF=RB
No el 3 de uno por 3. Y el menos 75?
Es
Menos 25 por 3
PROF=RB
Estos números es como si tuviera en lugar de menos 3, hubiera multiplicado por tres a esos números de ahí,
verdad ? Si ? Ok. Y esto se llamaba cómo ?
E=M
Residuo
PROF=RB
Entonces vean que, este número es igual a éste. Después multiplico estos dos, bueno y le cambio el signo,
sumo y ya tengo éste de aquí que es igual a éste. Multiplico estos dos, le cambio el signo, obtengo éste de
aquí y sumo. Obtengo éste que es igual a éste. Multiplico estos dos, le cambio el signo y obtengo éste de
aquí, sumo y obtengo el residuo. Si ? Vean que lo que hice lo hice solo con números, no usé/ Eso que acabo
de decir no usé para nada las letras, si ? Entonces una división sintética es una forma más pequeñita o más
rápida de hacer esa división usando solo los coeficientes (03’37), verdad, solo los números. Los
coeficientes del polinomios ahí cuáles son?
Es
Dos, menos 5, menos 28 (P va repitiendo mientras que los va escribiendo en la pizarra).
PROF=RB
Vean que en lugar de usar menos tres, esas multiplicaciones si las hago por tres voy a obtener los números
que están alla, verdad.
E=M
Si
PROF=RB
Entonces, voy a usar el tres aquí. El dos, se repite en el cociente, verdad, si? Entonces este primero del
cociente lo voy a dejar aquí. Este número lo obtengo multiplicando esto por esto, verdad?
Es
Mjú
PROF=RB
Si? Es el mismo 6 de alla. Y los sumo y daría?
ReV
ReV
ReV
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
32
33
34
35
36
37
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
38
E=M
39
PROF=RB
40
41
42
43
44
45
46
47
E=Jo
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
1
1. Que es el mismo que voy a repetir aquí. Si? Y ahora multiplico otra vez estos dos...
3
Que es el mismo tres que tengo aquí. Sumo y daría?
Menos 25
Menos 25. Es el mismo de alla, pero que también es el mismo de aquí. Y multiplico...
Menos 75
Menos 75, y esto daría? Menos 60, y eso último es?
El residuo
Y entonces, como estoy dividiendo/ esto era un polinomio de grado? Tres. Porque esto era de dos x a la
tres, verdad; entre un polinomio de grado 1, yo sé que el cociente va a ser de grado? Dos. Entonces aquí
sería, 2 x a la 2, más x, más 25. Y aquí sería el ... residuo. Si? Entonces vean que en lugar de hacer todo
esto, basta con hacer esto de aquí. Que es mucho más fácil porque lo único que tengo que hacer es
multiplicar, sumar; multiplicar, sumar; multiplicar, sumar; hasta que se acaben, si? Pero lo único que uso
son los coeficientes. Tengo que tener el cuidado que esté ordenado el polinomio, y que si falta algún
término ahí en el centro, completo con ceros verdad, igual como hacían antes. Y aquí, si yo hubiera tenido x
más 3, entonces aquí lo que hago es? Usar menos tres. Si? Si tengo x menos 5, uso 5. Si tengo x más 8, uso
8. Siempre le cambio el signo a este número. Si? Cópienla. Si a uno le preguntan el cociente y el residuo
por aparte, se da así. Si es el resultado de la división, se expresaba así, verdad? (P escribe 2x²+x-25 – 60/(x3)). Eso último es como en los decimales, cuando uno hace una división de números.
Y qué se hace con las letras profe, nada? (06’47)
Ah?
Y las letras? Nada las letras!
2 -5 -28 15 ⏐
Qué?
6
3 -75 ⏐ 3
Di no sé, no importa?
2
1 -25 -60 residuo
Ah esa es la ventaja, que ni siquiera las ocupo, con solo los
coeficientes lo puedo resolver (07’00, los estudiantes
2x²+x-25
copian lo escrito en la pizarra)
cociente
( 08’36). Hagan esa de las dos formas (P escribió,
3
(3x²-5x+x -8)÷(x-2). P pasa lista mientras, 10’45).
Profe si hay, digamos como alla x a la tres, para hacer esta otra, arriba igual uno tiene que poner un uno?
(Suponenmos que P asiente con la cabeza).
(P pregunta si lo que está escrito es un cinco, suponemos que ya pasó a algún estudiante a la pizarra. Por
comentario de I, si que pasó a alguien “cosiente”)
(13’26) Profe así está bien ésta? Si? (P asiente con la cabeza)
(13’46) Les dio eso?
Profe yo no sé cómo se hace!
Ah?
No sé
Ah?
No sé, no entiendo nada (Ignacio dice que él tampoco entiende).
x3+3x²-5x-8 ⏐ x-2
x²+5x+5
-x3+2x²
5x²-5x
-5x²+10x
5x-8
-5x+10
2
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=(G)abriel
E=M
PROF=RB
Es
PROF=RB
59
60
61
62
E=M
PROF=RB
E=(J)ose
1
1
3
2
5
-5
10
5
-8 ⏐
10⏐ 2
2 residuo
x²+5x+5
cociente
El paso que nos ahorramos es hacer la división. No hacemos este paso porque ya sabemos que los números
que nos van a quedar son los mismos. Entonces los único que hacemos es multiplicar, bueno aquí
multiplicar, y sumar, esto es lo mismo. Entonces multiplico, y sumo; multiplico y sumo. Aquí qué hice,
multipliqué y sumé.
Y el resultado de la multiplicación ahí?
Ah?
Y el resultado? Ahí supuestamente está multiplicando 5 por 2
Diay si aquí está, no lo ve.
Ah bueno, es que hay que ponerlo del otro lado.
Ya?
Profe y el resultado siempre se va a dar así? (14’49, asumo P asiente)
Y hay que poner lo de abajo también profe?
Si! Pero ustedes no hacían eso el año pasado?
No
Si uno hace una división, de... qué sé yo... así (P escribe: 15/7). Si les preguntan cuánto da 15 entre 7 qué
responden? ... Ah? Cuánto es 15 entre 7?
Ah, era... 15 ... sobre 2 o algo así (Otros estudiantes también dicen algo)
2 coma qué?
2 coma 5
Profe no, no vimos eso.
571
63
64
65
E=Jo
E
PROF=RB
66
67
E
PROF=RB
68
69
70
71
72
Es
PROF=RB
E=M
E=G
PROF=RB
73
74
75
76
77
78
79
80
E=G
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
Profe eso está muy difícil profe.
Profe no es 2, 2 más 1 sobre 7?
Bueno normalmente cuando son números, uno lo escribe así, verdad (P escribió: 15/7= 2 + 1/7=2 1/7), un
número mixto. O, sigue sacando decimales, si ocupara. Pero aquí, aquí no vamos a seguir sacando
decimales porque no podemos, verdad. Pero no podemos dejar el residuo botado. Si a usted le preguntan
solo el cociente, es esto. Si le preguntan solo el residuo es esto. Pero cuando a usted le dicen que cuánto es
15 entre 7, no puede decir que 2. Es 2 y un poquillo más, el residuo hay que considerarlo; pues en este
ejemplo también.
Profe esa otra la hacemos que... de las dos o...
Di ya hagámosla solo sintética (16’32, los estudiantes hacen: (2x3-5x²+x+8)÷(x+1). P se pasea por los
corredores atendiendo dudas. 17’26). Vean que esto que está aquí, es esto que está aquí verdad. Son lo
mismo. Este que está aquí, es esto que está aquí. Y esto es esto. Son los mismos pasos (P indica un paso en
la división “corriente” y otro en la sintética). Si voy a dividir entre x más 1, cuál número uso para hacer
esa división?
Menos 1 (los estudiantes siguen trabajando. P envié un estudiante para que lo haga en la pizarra).
(19‘53). Cero entre eso va a dar cero, verdad? En ese caso no hace falta ponerlo. Les dio?
Si!
Profe pero es menos cero?
Di, si es un cero, qué importa ponerle más o menos. Que a usted le regalen o que usted deba cero millones
es lo mismo, verdad.
Diay si!
Profe con la otra forma me da uno.
Qué le da uno?
El residuo
Quién habla?
Yo
Venga haga a ver qué hizo.
Ay profe! (21’05, la estudiante pasa a la pizarra).
2x3-5x²+x+8 ⏐ x+1
2x²-7x+8
-2x3-2x²
-7x²+x
-7x²+7x
8x+8
-8x-8
0
81
82
E=M
PROF=RB
83
84
85
86
E
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
E=M
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E
PROF=RB
2
2
-5
-2
-7
1
7
8
8⏐
-8 ⏐ -1
0 residuo
2x²-7x+8
cociente
Profe... por qué cuando es x más 1 pasa a negativo?
Que recuerde que le cambiaba de signo para, ahorrarme el paso aquí de estar cambiando el signo cada vez
que hacía la multiplicación, le cambio el signo a éste y ya nada más multiplico (P discute con E1). Qué
pasaba, cuando en una división el residuo era cero? (22’59)
Que es exacta
Y qué quiere decir que una división sea exacta?
Que le cociente por el divisor da el dividendo.
Si yo hago esta división, me da exactamente, este polinomio, si. Quiere decir o puedo concluir de ahí que,
si al dividir da exacta, cómo se llamaba, esto era un qué de esto?
Divisor
x más uno es un?
Divisor
Divisor o un?
Factor
Factor. Pero no solo x más 1, si no cuál otro?
x menos 1
Noo!
No, no, no, no sé.
Si uno divide 40 entre 8, como va a dar cero, sabemos que 8 es un divisor de 40, pero cuál otro?
5
5, también es un divisor de 40. Entonces aquí, 2x² menos 7x más 8, también es un divisor de ese polinomio,
verdad. Si?
2x3-5x²+x+8 = 2x²-7x+8
x+1
⇒ x+1 es un divisor o un factor de 2x3-5x²+x+8
2x²-7x+8 es un divisor o un factor de 2x3-5x²+x+8
Hacia lo que vamos es hacia usar la división para encontrar, factores del polinomio. Para encontrar factores
lo que nos interesa son divisiones que den como residuo cero. Ese es el último método de factorización que
vamos a ver cuando regresemos de semana santa. Este... busquen las hojas que sacaron al inicio. El folleto
que sacaron al inicio (24’49). En la primer página, abajo, hay unas divisiones, cuáles de esas divisiones se
pueden hacer de forma sintética?
572
ReV
ReS
ReV
ReV
ReV
ReA
99 E
100 PROF=RB
101 E
102 PROF=RB
103
104
105
106
107
108
109
110
E2
PROF=RB
E2
PROF=RB
E2
PROF=RB
E=M
PROF=RB
La primera
La primera (... P repite lo que van diciendo los estudiantes), la tercera, la cuarta. La uno, la tres, la cuatro y
la?
Nueve
La nueve. Ajá? Si? La uno, la tres, la cuatro y la nueve. Las hacen. Hagánlas como el lunes antes de
regresar, porque si las hacen de una vez después no se acuerdan; para que cuando regresemos se acuerden
cómo era eso. Ustedes tienen hechas esas divisiones de la otra forma verdad, ya las revisamos. Las hacen y
las revisan. Este... la idea de que estamos haciendo esto es porque en el método que sigue ocupamos hacer
muchas divisiones y entonces es mejor hacer ésta que es mucho más rápida que la otra, verdad y con esta
forma encontramos rápidamente el resultado de la división (26’03).
Cuál es profe?
Cuál es qué?
El otro que vamos a ver
El otro método?
Mjú
El teorema del factor
Profe! Uno cómo sabe cuáles son de éstas?
Ah porque dijimos que solo se valían si era x menos un número o x más un número. En las que son de
grado dos o mayor, si tienen un coeficiente aquí, no vamos a ver ese caso. Ok? (26’25)
P ha escrito en la pizarra tres ejercicios del mismo estilo: Si P(x)=2x3+x²-3x-1 a) Calcule P(2) b) El residuo de P(x)÷(x-2)
Si Q(x)=2x3-x-1 a) Calcule Q(1) b) El residuo de P(x)÷(x-1)
Si R(x)=x4+5x-6 a) Calcule R(-2) b) El residuo de R(x)÷(x+2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PROF=RB
En el segundo, dividir entre x menos 2 da lo mismo que evaluar 2 en el polinomio. Y en el tercero, dividir
entre x menos 1 da lo mismo que evaluar 1 en el polinomio. Si en este primer polinomio estuviera
dividiendo entre x más 5 (00’20) daría lo mismo que evaluar qué número en el polinomio.
E1
Diay menos 5
PROF=RB
Menos 5. Si en el segundo polinomio divido entre x menos 4, el residuo sería lo mismo que evaluar cuál
número en el polinomio?
E1
4
PROF=RB
4. Con solo tres casos uno no puede generalizar verdad. O sea no es suficiente que funcione en tres para
decir que siempre pasa. Pero en general es cierto eso, no vamos a probar el teorema pero vamos a
enunciarlo. A eso le vamos a llamar, teorema del residuo (P escribe en la pizarra). Y lo que dice es
precisamente eso, si uno tiene un polinomio y un número real (P va escribiendo) entonces cuando yo divida
el polinomio entre x menos a el residuo va a ser igual a qué? (...) Cuando divido entre x menos 1 el residuo
es igual a P de 1 verdad. Si divido entre x menos 2 el residuo es P de 2/
E=(Jo)nathan P de a
PROF=RB
Si divido entre x más 2 el residuo es P de menos 2. Entonces dividir entre x menos a, el residuo va a ser?
E=Jo
P de a
PROF=RB
P de a. Esto es cierto para cualquier número real, y para cualquier polinomio. O sea que la primera del
examen por ejemplo, la pudieron haber hecho con división, * el residuo les daba el número (Los estudiantes
copian lo escrito en la pizarra).
Teorema del Residuo
10 E=(M)aría
Fernanda
11 E=Jo
12 PROF=RB
13 E=Jo
14 PROF=RB
Ustedes saben qué es un cero de un polinomio? Si P(x) es un polinomio y a un número real
No
entonces el residuo de P(x)÷(x-a) es igual a P(a).
ReS
Es un número que si cambia en el polinomio la variable, da cero.
Mm?
Es un número que digamos, si cambiamos la variable del polinomio por ese número, da cero.
Cuando sustituimos aquí la x por menos 2, dio cero verdad. Entonces decimos que, menos 2 es un cero de
Q(x). Los números que hacen que el polinomio dé cero (04’00). Aquí como P de 2 es 13, entonces 2 no es
un cero de P(x). Y aquí sí verdad. Entonces... (... P escribe en la pizarra lo que acaba de decir) Si al evaluar
un número, el polinomio me da cero, a ese número le llamamos cero del polinomio (P escribe la definición).
Cero de un polinomio
Un número a se dice que es un cero del polinomio P(x) si P(a)=0
15
16
17
18
19
20
21
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
Es
E=Jo
PROF=RB
Qué pasaba cuando uno hace una división y le da cero el residuo? (05’55)
Es exacta
Mm?
Exacta
Qué significa que sea exacta?
Que dé cero el residuo
Que se puede multiplicar el cociente por el divisor y dar el dividendo, no?
Vean esas dos divisiones que están ahí en la otra pizarra. Uno divide 40 entre 5, da 8 y sobra cero. Cuando
ReV
ReS
573
22 E
23 PROF=RB
24 E
25 PROF=RB
26
27
28
29
E
PROF=RB
E=(G)abriel
PROF=RB
30
31
32
33
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
sobra cero uno puede obtener una factorización del número. 40 lo puedo expresar como 5 por 8 verdad.
Mjú? Puedo decir que 5 y 8 son divisores de 40, o que 5 y 8 son factores de 40, verdad. En cambio cuanod
el residuo no es cero como en la otra, yo puedo expresar 43 como 5 por 8 más 3; pero eso no es una
factorización de 43, verdad. Si, por la suma que está ahí. Cada vez que yo hago una división y el residuo es
cero obtengo una factorización del número, o del polinomio que sea, que esté dividiendo (07’05). En el caso
alla, del primero que está alla a la izquierda, cuando dividí entre x más 2 me dio residuo, cero. Quiere decir
que x más 2 es qué de ese polinomio?
Un factor
Un factor. Y cuál sería el otro factor que obtenemos de ahí? Si x más 2 es un factor... como el residuo da
cero yo puedo concluir aquí que x más 2, es factor de R de x, verdad, mjú. O sea que yo puedo expresar R de
x como x más 2, por otro polinomio. Cuál sería el otro polinomio? Mm? De dónde lo saco el otro polinomio
(inaudible si algún estudiante dice algo). Con estos coeficientes verdad. Aquí esto era x a la?
3
3. Menos 2 x a la 2. Este también es un factor, verdad. Si? Entonces este polinomio lo puedo expresar... (P
escribe algo en la pizarra) Si? Cosa que no puedo hacer aquí, porque como el residuo es cero, entonces aquí
tengo que decir que x menos 2, no es factor de P(x). En cambio aquí el residuo es de nuevo cero, quiere decir
que x menos 1, es un factor de?
Q de x
Q de x. Y cuál es el otro factor aquí?
2 x a la 2
2 x a la 2, más 2 x, más 1, es factor de Q de x. Entonces aquí de nuevo yo puedo decir que Q de x es igual a
qué?
x menos 1
x menos 1
Por 2 x a la 2, más 2 x, más 1
Si? Mjú. Entonces voy a obtener un factor cada vez que el residuo dé cero (10’03). Si el residuo es cero es
porque el número éste es un? Cero del polinomio verdad. Entonces cada vez que yo encuentre un cero del
polinomio voy a encontrar un factor. Cada vez que encuentre un factor tengo una... factorización del
polinomio. Si? Lo mismo aquí, si tengo un cero, entonces tengo un factor. Si tengo un factor entonces puedo
encontrar el otro con la división y entonces con estos dos factores encuentro una factorización del
polinomio. Mjú? Entonces vean que esto me genera un nuevo método de... factorizar. Cada vez que yo
quiera factorizar un polinomio, puedo encontrar ceros del polinomio, verdad. Si yo encuentro ceros del
polinomio encuentro factores y por lo tanto puedo hacer una, factorización. Para hacer ese método de
factorización, vamos a estar usando eso que les acabo de decir, se llama el teorema del factor (P escribe en
la pizarra el teorema).
ReV
ReV
Teorema del Factor
El número a es un cero del polinomio P(x) si y solo si x-a es un factor de P(x)
34 PROF=RB
35
36
37
38
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
39
40
41
42
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
43 Es
574
Cada vez que yo tengo un cero, obtengo un factor. Si un número a, es un cero del polinomio, entonces x
menos a es un, factor (11’58. Los estudiantes copian de la pizarra. 13’37).
Si me piden que factorice ese polinomio, por ejemplo (P ha escrito en la pizarra: 3x3-2x²+3x-2). Bueno ese
se puede hacer agrupando, pero no lo vamos hacer por agrupación. Según el teorema ese anterior, encontrar
factores de ese polinomio yo lo puedo reducir a encontrar ceros del polinomio. Mjú. Entonces que tendría
que probar números a ver cuáles son ceros del polinomio, verdad. Entonces lo primero que uno se
preguntaría es, cuáles números podrían ser ceros. Porque puede ser que tenga que probar con el que se me
ocurra verdad. Hay un teorema que ahorita vamos a enunciar que dice que el procedimiento que debemos
hacer es éste: a este número que está aquí/ este un polinomio de grado tres, verdad. Si? Entonces este
número que está con x a la 3, con el de mayor grado, se llama el coeficiente principal del polinomio. Y éste
que no tiene variable, es el término constante (P escribe los nombres en la pizarra). Entonces, vamos a sacar
los divisores de cada uno de esos términos. Cuáles son los divisores del 3?
3y1
Mjú. Positivos y negativos. Y los divisores del 2.
2y1
1 y 2. No hay una forma de encontrar ceros, a ver cómo les digo.... lo que vamos a ver es una forma de
determinar los ceros racionales, nada más. Recuerdan cuáles eran los números racionales? Mm?
Los que se dividen por *
Cuáles eran los números racionales?
No me acuerdo
Mm? (...) Ni idea. Los enteros y las fracciones, la fracciones o entero sobre entero. De esta forma que vamos
a ver ahorita, no podemos darnos cuenta si tuviera ese polinomio ceros irracionales. Solo nos vamos a dar
cuenta si tiene ceros racionales. El teorema dice que los posibles ceros racionales (P va escribiendo en la
pizarra el ejemplo) van a ser todas las fracciones que yo logre construir, donde el numerador esa uno de
estos, de estos saco el numerador, de los divisores del término constante. Y el denominador sería uno de los
otros, obviamente. Un divisor del término constante entre un divisor del coeficiente principal (17’15).
Entonces cuáles fracciones puedo armar aquí. Voy haciendo, 1 sobre 1, va a dar 1 verdad. 1 sobre 3, 2 sobre
1 y 2 sobre 3. Si? Positivos y negativos. El teorema dice si ninguno de esos ocho números no es cero de ese
polinomio, entonces no hay ceros racionales, mjú. Si tiene ceros racionales tiene que ser alguno de esos
ocho números. Ahora el otro teorema qué dice, ese polinomio es de grado cuánto?
Tres
(ReS)
44 PROF=RB
45 E
46 PROF=RB
47
48
49
50
E=G
PROF=RB
E=G
PROF=RB
51 E=(B)eatriz
52 PROF=RB
Tres. Entonces hay un teorema que dice que si es un polinomio de grado tres, tiene como máximo, tres ceros
reales. ‘tons no puedo encontrar cuatro ceros si el polinomio es de grado tres. Si el polinomio es de grado
cinco tiene como máximo, cinco ceros. Este tiene como máximo tres, quiere decir que puede tener tres, o
dos, o uno, o ninguno, verdad. Puede ser que de estos ocho, no sirva ninguno. Puede ser que sirvan hasta
tres. Cómo sé yo, cuál o cuáles de esos sirven?
Probando
Probando verdad. Los pruebo o así, o así (P señala los ejercicios hecho al inicio de la sesión de división
sintética). Entonces probemos (18’43). Prueben ustedes con el uno. Bueno voy a probar yo uno. Lo que
tenemos que hacer es la división con éste, verdad. Voy a probar con el ... con el uno. Hago 3 por 1, menos 2,
daría 1 verdad. Por 1 más 3, por 1, menos 2. Como el residuo aquí dio 2, quiere decir que 1 no es un cero. Y
así vamos probando los otros siete (P hizo el procedimiento en la pizarra. Los estudiantes prueban en su
cuaderno ...). Vayan probando (... ...). Cuánto da con menos 1? (22’05). Les dio eso con menos 1? (P la hizo
en la pizarra) Con dos tercios? Ese si da cero? (...) Y ese, no va a dar cero. El que da cero, bueno hay que
probar los ocho verdad. Aquí 2 tercios es un cero del polinomio verdad. Entonces cuál sería el factor? x
menos 2 tercios. Y cuál es el otro factor.
3 x a la 2
3 x a la 2
Más 3
Más 3. Yo puedo decir aquí, que este polinomio, es x menos 2 tercios, por 3 x a la 2 más 3, verdad? Mjú.
Ustedes pueden probar los otros cuatro y verán que no dan ninguno de los cuatro, ninguno de los otros. Pero
vean que aquí yo ya tengo la factorización de ese polinomio. Qué le puedo hacer a ese segundo factor?
Sacar un tres
Puedo sacar un tres a factor común. Y estoy no se puede factorizar más, verdad. Es una suma de cuadrados.
Entonces ya esa es la factorización completa. Ya no se puede factorizar más porque no puede tener más
ceros (24’50). Bueno cópiense el teorema y seguimos el viernes (25’10).
Teorema: Ceros racionales de un polinomio
Si P(x) es un polinomio de coeficientes enteros y a/b es un número racional. Si
a/b es un cero de P(x) entonces b es un divisor del coeficiente principal y a un
divisor del término constante.
Ejemplos que hará en la pizarra. Está escrito el 17: 6x3+7x²-9x+2
1
2
3
PROF=RB
Es
PROF=RB
(00’09) A ver ese es un polinomio de grado qué?
Tres
Tres. Como es un polinomio de grado tres, va a tener como máximo, tres ceros. O tres, o dos, o uno, o
ninguno. Bueno en realidad debe de tener por lo menos uno, pero máximo es tres. Entonces, cuál es el
coeficiente principal en este polinomio?
4 Es
Seis
5 PROF=RB
Este que está aquí. Y el término constante?
6 Es
Dos
7 PROF=RB
Entonces vamos a sacar los divisores de cada uno de ellos. Cuáles son los divisores de dos?
8 E=(Jo)nathan Dos y uno.
9 PROF=RB
Mjú. Los divisores de 6?
10 E=Jo
Uno, dos, tres y seis.
11 PROF=RB
Uno, dos, tres y seis. Entonces, el último teorema que copiaron, decía que para un polinomio, si los
coeficientes son enteros, uno puede tenerminar todos los posibles ceros racionales. De qué forma? Mm?
Cómo armaba las fracciones? Lean el teorema/
12 E=(B)eatriz Seis en el denominador y dos en el numerador.
13 PROF=RB
Los divisores de dos en el numerador y los divisores de seis en el denominador. Entonces hago uno sobre
uno, uno sobre dos, uno sobre tres, y uno sobre seis. Dos sobre uno, dos sobre dos es uno verdad, dos sobre
seis; dos sobre seis es lo mismo que un tercio verdad. Entonces tengo estos, positivos y negativos verdad.
Entonces en ese polinomio tengo: dos, cuatro, seis, doce posibilidades. De esos/ si tiene ceros racionales,
tiene que ser alguno de esos doce números. Si ninguno de esos doce números sirve es porque no hay ceros
racionales (02’47). Pero de esos doce, no pueden servir todos. Lo máximo que pueden servir son?
14 E=Jo
Tres
15 PROF=RB
Tres. Ahora cómo hago para saber si son o no ceros? (una estudiante sugiere algo). Una opción era ir
sustituyendo en el polinomio para ver si daba cero, verdad. O la otra posibilidad que era equivalente a esa
cuál era?
16 E=M
Dividir
17 PROF=RB
Hacer la división sintética. Entonces 6, 7, menos 9 y 2. Porque recuerden que sustituir el número en el
polinomio, lo que me da era igual a lo que iba a obtener aquí en el residuo, verdad. Mjú? Entonces que fuera
un cero en el polinomio, es lo mismo que me diera un cero aquí en el residuo. Entonces empiezo a probar. Si
pruebo con el uno? Sería 6 por 1 (6). 6 más 7? (13). 13 por 1? (13). 13 menos 9? 4, no va a dar cero, verdad?
Si? Entonces, di lo borramos. Los que no les dan los borran, los que si les dan los dejan ahí verdad, cuando
ReV
ReV
575
18
19
20
21
E=B
PROF=RB
E=M
PROF=RB
22 E
23 PROF=RB
24 E
25 PROF=RB
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
37 E=M
38 PROF=RB
39
40
41
42
E
PROF=RB
E
PROF=RB
43
44
45
46
47
48
E=B
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
49
50
51
52
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
576
uno va a revisar tiene que ver dónde están. Los que no sirven los pueden borrar porque si no, no les cabe (P
sigue probando algunos números: menos 1, 2, menos 2). Cero, éste si sirvió. Entonces, menos 2 es un cero
del polinomio. Si menos 2 es un cero, cuál era un factor del polinomio? Mm?
x menos 2 profe?
No. Devuélvanse al teorema del factor, qué decía (05’29).
x menos 2?
No. Si uno tenía un cero, cómo encontraba el factor? Si yo usé menos dos en la división, cuál era el divisor
de esa división?
x menos 2
No. x más 2. Porque si estuviera dividido entre x menos 2, usaba aquí 2 verdad. Quiere decir que este
polinomio, 6 x a la tres, más 7 x a la 2, menos 9 x más 2, va a ser, x más 2 por? Cuál es el otro factor?
(algunos estudiantes empiezan a decir). 6 x a la 2, menos 5 x, más 1. Ok? Ya tengo/ este era de grado tres, lo
tengo como un producto de dos factores, uno de grado uno y uno de grado dos. Ahora lo que me interesaría
es factorizar éste. Pero como ya es cuadrático, ya nosotros sabemos factorizar cualquier cuadrático, verdad;
por inspección, por diferencia de cuadrados o fórmula general. Entonces ya no ocupamos más esto, ahora
nos vamos a ir con inspecciones. Cómo factorizo esto por inspección? Mm?
Tres y dos.
Sería tres y dos (inaudible), menos y menos verdad, para que me sirva. Entonces sería x más 2 por? 3 x
menos 1 por? 2 x menos 1. Y ya esa es la factorización. Está bien? Entonces el proceso va a ser sacar/
determinar cuál es el coeficiente principal y el término constante y sacarle los divisores. A partir de esos
divisores, sacar la lista de los posibles ceros racionales. Todos los candidatos a ser ceros del polinomio. Y
después, comenzar a probar; hasta que encuentre por lo menos/ hasta que encuentre los suficientes para
llegar aquí a un cuadrático, verdad? En este caso, como era de grado tres, cuando yo divido entre x más algo
o x menos algo, ya el que me queda es de grado? dos. Entonces en realidad ocupaba uno aquí. Ya llego al
cuadrático y ese lo resuelvo con las formas anteriores. Pero si hubiera sido de grado cuatro, por ejemplo;
cuando hago esto; esto hubiera sido de grado uno y este hubiera sido de grado tres. Si? Entonces como este
era de grado tres, ocuparía por lo menos una vez más hacer esto. Una vez más ya llegaría a dos de grado uno
y uno cuadrático. Si? Pero entonces la idea es encontrar tantos ceros, o tantos factores verdad sería lo
mismo, hasta que me quede un factor cuadrático que yo pueda factorizar con alguno de los métodos viejos.
Está bien? (08’39).
(10‘31). Cuál es el término constante ahí? (P se refiere a: 2x4-3x3-4x²-11x-12)
2
2. Y el coeficiente principal?
12
Al revés. El término constante es?
2
Es que no oigo si dicen 2 o 12! (varios estudiantes repiten). El término constante?
12
12. Y el principal?
2
2. Los divisores de 12? (algunos estudiantes responden. P vuelve a preguntar y los escribe en la pizarra).
Los divisores de 2? (P escribe en la pizarra). Si? Entonces cuáles son los posibles ceros racionales? ... En
las fracciones que voy a armar ahorita, el numerador, van hacer los divisores de? Cuál de ellos?
De 12
De 12. Los divisores de éste, sobre los divisores de éste. Cuando haga todos estos sobre 1, me van a volver a
dar los mismos, verdad (12’20). Entonces serían: 1, 2, 3, 4, 6, 12, y ahora todos ellos sobre 2; agrego un
medio, dos entre dos va a ser 1, tres medios, y cuatro medios es dos, seis medios es tres y doce medios es
seis, verdad. Esos son todos. Ahí tengo 16 posibles ceros. De los cuales, pueden servir como máximo?
Cuatro
Cuatro. Y necesitamos por lo menos cuántos para llegar a un factor cuadrático?
Dos
Dos. Porque si es de grado cuatro, con el primer factor lineal que encuentre, encuentro uno de grado uno y
uno de grado? tres. Entonces ocupo otro factor (P escribe los coeficientes). Prueben ustedes a ver con cual y
me dice el que encuentre uno (13’29, P se pasea por el aula atendiendo dudas). Si prueban alguno y no
sirve también avisan (inaudible el resto, 15’00). Ahí está el primero. Si menos 1 es un cero, cuál sería el
factor?
x más 1
Ajá. Sería x más 1, y el otro factor cuál sería?
2 x a la 3
2 x a la 3
Menos 5 x a la 2 (inaudible el resto: M sigue dictando).
Entonces vean lo que les decía ahora. Tengo un factor de grado uno y uno de grado tres. Y a este voy a tener
que hacerle lo mismo otra vez, verdad. Pero lo puedo hacer aquí mismo, porque son estos los coeficientes.
Como sigue siendo 12, entonces siguen funcionando los mismos números verdad ... Alguien había
encontrado otro que no fuera el menos uno? (16’20, le dicen a P que el 3. P hace la división con 3). Si tres
es un cero, cuál sería el factor?
x menos 3
x menos 3. Y el otro factor cuál sería?
2 x a la 2, más x, más 4.
Recuerden que el otro factor lo saco con el cociente verdad (P escribe en la pizarra). Mjú. Ya me quedó este
cuadrático, ya no ocupo hacer esto más veces, porque éste ya lo voy a poder factorizar con alguno de los
Th
ReV
53 E
54 PROF=RB
55 E
56 PROF=RB
57 Es
58 PROF=RB
59 Es
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
E=Jo
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
E=Jo
PROF=RB
72
73
74
75
E
PROF=RB
E
PROF=RB
76
77
78
79
E
PROF=RB
E
PROF=RB
80
81
82
83
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
métodos que vimos antes. Servirá con inspección? (...) Sirve por inspección?! Mm? Con un dos y un cuatro
los dos positivos podrían darme un uno ahí? (...) No verdad. Calculemos el discriminante a ver. Da menos
31. Si el discriminante da negativo qué concluimos?
Que es irreducible
Que ya no se podía factorizar más, por lo tanto queda así (18’31). Si hubiera dado 31, entonces cómo lo
factorizaba?
Por fórmula general.
Por fórmula general, muy bien. Y en ese caso, me aparecerían números irracionales ahí verdad, cuando uso
fórmula general (P pregunta “qué pasó Jose?”). A ver aquí cuál es el coeficiente principal? (19’54, P se
refiere a: y4-15y3+86y²-176y+105).
Uno
Uno. Y el término constante?
105
(P hace comentario a un estudiante, extramatematico). Cuáles son los divisores de 105?
5
Nada más?
1
35 (P los va copiando en la pizarra, 21’23)
Y los divisores de uno?
Uno y menos uno
Del uno nada más verdad? Si aquí es uno, cuáles serían los posibles ceros racionales?
Todos los de arriba.
Por qué?
Porque al dividirlos por el uno queda igual.
Mjú. Todos esos sobre uno me vuelven a dar ellos mismos, verdad? Si lo ven? Estos son los mismos
posibles ceros racionales. O sea que todos son enteros. Cuando pase esto, cuando el coeficiente principal es
uno, se llama un polinomio (“mónico”, P lo escribe pero no lo dice). Y los posibles ceros van a ser todos
enteros. Los ceros racionales van a ser enteros. Más fácil todavía verdad, porque no hay ni siquiera que sacar
fracciones. En realidad, en la práctica la mayoría de, de factorizaciones las podemos resolver con enteros. La
única posibilidad de que no me sirvan con los enteros, es que en este caso, por ejemplo, solo hubieran
servido un medio o tres medios verdad; que no hubiera funcionado ninguno de los enteros. Probemos a ver
cuáles sirven (22’27).
Uno
Ah?
Con uno (P hace la división con 1).
Entonces aquí obtengo y menos uno. Y el otro factor que sería, y a la tres, más 15 y a la dos, más 71 y, más
105. Tengo un cúbico, ocupo otro por lo menos, verdad (...) Cuál otro servirá? (...). Mm? (... ... ...)
Tres
Tres (P hace la división con 3). Entonces el otro factor cuál es?
x menos 3
y menos 3. Y el otro sería y a la 2, menos 12 y, más 35. Y ese último, este... trinomio, sale por inspección, se
puede factorizar por inspección. Cómo quedaría? (...) Mm?
y menos 7
y menos 7 (26’26).
y menos 5
Está bien? El lunes vamos a revisar, de esa/ de ese ejercicio de la 1 a la 16, el 32, el 37 y el 42 (P repite,
27’12).
ReV
ReV
DsR
DsD
577
ANNEXE VI : SEANCES DE LA 10E H (RON)
VI.4 SEANCES DE LA 10E H A CHARGE DE RON
LUNES
MARTES
20F
21F
MIERCOLES
22F
27F
RB-2702200610H
28F
RB-2802200610H 01M
Factor común, retoma. Once Revisión de la práctica en la
ejemplos
del
método. pizarra. Factorización de
Práctica.
expresiones de 2 términos.
NO CLASE
Seis ejemplos.
06M
RB-0603200610H 07M RB-0703200610H 08M
Dicta temas de examen. Se continúa revisando los
Revisión de la práctica y la ejercicios en la pizarra. NO CLASE
tarea, en la pizarra.
13M
RB-1303200610H
NO REGISTRADA
20M
RB-2003200610H
por inspección. 14 ejemplos.
Práctica del 2 al 14 asignada
para la casa.
27M
RB-2703200610G
Teorema sobre la cantidad de
ceros racionales. Cinco
ejemplos. Ejercicios.
03A
RB-0304200610G
NP. Se continuó con la
práctica, realizando algunas
en la pizarra.
10A
RB-1004200610H
17A
RB-1704200610G
FERIADO
14M
RB-1403200610H
EXAMEN DE MATE
15M
NO CLASE
JUEVES
23F
02M
NO CLASE
09M
NO CLASE
16M
NO CLASE
21M RB-2103200610H
22M
Revisión de la práctica.
Inicio de división sintética.
Seis ejemplos, ceros del
NO CLASE
polinomio.
28M RB-2803200610H
29M
23M
EXAMEN DE BIOLOGIA
NO CLASE
NO CLASE
04A RB-0404200610H
NP. Continuación de la
práctica para el examen
05A
06A
NO CLASE
30M
EXAMEN DE
NO CLASE
MATE
NO CLASE
11A RB-1104200610H
12A
13A
18A RB-1804200610H
19A
20A
Reparte los exámenes y los
estudiantes
copian
la
corrección.
VIERNES
24F
RB-2402200610H
Inicio de factorización.
Queda en la introducción
vinculada con el factor
común.
03M RB-0303200610H
Continúa con los ejemplos
hasta hacer doce. Los hacen
los chicos y se revisan en la
pizarra.
10M RB-1003200610H
cuadrados perfectos. Ocho
ejemplos.
17M
RB-1703200610H
Reparte los exámenes y los
estudiantes
copian
la
corrección escrita en la
pizarra.
24M
RB-2403200610H
Retoma el tema. Teorema
del residuo, teorema del
factor.
31M
RB-3103200610H
Práctica métodos
combinados, primeras hojas
de ejercicios.
07A
RB-0704200610G
SUSPENDIDA
14A
RB-1404200610H
21A
INICIO DE SECUENCIA
DIDÁCTICA
VI.4.1 RB-2402200610H : FACTORISATION
1
PROF=RB
2
3
4
5
6
7
E=(I)gnacio
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
578
(P ha escrito en la pizarra, « Factorización ». 10’55) Ustedes vieron eso el año pasado verdad. Se
acuerdan?
No.
No ?
Yo estaba en cuarto.
Uy con más razón entonces, vio un montón más. Mm ? Y no se acuerda tampoco ?
Algunos.
Mm ?
ReO-Ch
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
De algunos si.
Dígame cuáles ?
De las más fáciles si.
De las más fáciles. Cuáles métodos vieron el año pasado ? Mm ? Cómo ? Quién habla ? Mm ? (un
estudiante interviene, inaudible) Quién habla ?
E
Factor común.
PROF=RB
Qué más ? Qué más ? Vieron agrupación ?
Es
Si.
E=I
Diferencia de cuadrados, de cubos, fórmula general.
PROF=RB
Pero en noveno usted se acuerda de cuáles vio ? Bueno. Lo que vamos a hacer es estudiar otra vez, los
que ya vieron en noveno y ver otros métodos más para factorizar polinomios. Qué es factorizar ?
E=(S)tephania Reducir.
PROF=RB
Ah ?
E=S
Reducir
PROF=RB
Reducir cómo ?
E=S
Diay no sé
E=(Se)rgio
Expresar más pequeño
PROF=RB
Mm ? Reducir qué ? Ustedes en la escuela vieron factorizar números y en sétimo (P escribe en la
pizarra: « Factorice 80 »). Si ? Entonces qué es factorizar 80, por ejemplo. Mm ? Qué ? Si le dicen que
factorice 80, qué hacen ? Mm ?
E=Se
Dividirlo.
E=(V)ictoria Descomponerlo, no ?
PROF=RB
Mm ?
E=Se
Divide, no ?
PROF=RB
No sé no me pregunte yo le estoy preguntando, respóndame, no me pregunte a mí.
E=Se
Lo divido.
PROF=RB
Usted cree que dividir/
E y E=V
Descomponerlo
PROF=RB
Ah ?
E=V
Descomponerlo
PROF=RB
Y qué es descomponerlo ?
E=V
Los términos que dan el resultado. O sea buscar los términos que dan 80.
PROF=RB
Cómo los términos que dan 80 ?
E=V
Los números que multiplicados o sumados den 80.
PROF=RB
Los números que multiplicados o sumados den 80. Cómo cuáles ?
E=V
Di 8 por 10 (P lo escribe en la pizarra).
PROF=RB
Qué más ?
E=1
20 más 20 más 20 más 20
PROF=RB
Ah ?
E=1
20 más 20 más 20 más 20 (P lo escribe en la pizarra)
E
20 por 4
E=V
40 por 2 (P lo escribe en la pizarra)
E=1
5 por 17
Factorización
PROF=RB
Casi, 16.
Factorice 80 = 8⋅10
E=1
Ups !
= 20+20+20+20
PROF=RB
Serán factorizaciones de 80 todos esas ?
= 20⋅4
E=V
Di todas dan 80
= 40⋅2
PROF=RB
Um ?
= 5⋅16
E=V
Todas dan 80.
PROF=RB
Todas son operaciones que dan 80; pero todas serán factorizaciones ?
E=V
Ah no sé.
PROF=RB
Qué es factorizar 80 ? (15’15). Si le dicen factorice 80, qué es lo que le están diciendo que hagan ?
E=S
Sacar el máximo común divisor.
PROF=RB
Mm ?
E=S
Sacar el máximo común divisor.
PROF=RB
No porque cuando usted dice común, se está refiriendo a dos o más cosas, verdad. Si ? Si usted dice que
hay un divisor común, es un divisor común a algunos, no a uno solo. Entonces no tiene sentido decir el
común divisor de un número nada más.
E=Se
Expresar 80 de otra manera
PROF=RB
Expresar 80 de otra manera. Cómo ? Con números romanos, por ejemplo (pocas risas).
E=Se
Di 8 por 10 es igual a 80.
PROF=RB
Ajá ?
E=Se
Di es lo mismo.
PROF=RB
Pero cualquier otra manera en la que yo escriba el 80, es una factorización ?
E=Se
No sé.
PROF=RB
Usted qué cree ?
E=Se
Confío en usted (risas). Di supongo. Di cualquier chunche que llegue a 80/
PROF=RB
Cualquier qué (risas)
E=Se
Cualquier expresión que llegue a 80.
PROF=RB
Que llegue a 80 ? O sea supongo que cualquier operación que dé 80.
E=Se
Di supongo.
ReV
Ch
ReS
ReV
Ch
ReS
Tc
ReS
DsR
DsR
DsR
ReV
Fx
DsR
579
73
74
75
76
77
78
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
79
80
81
82
E=Se
PROF=RB
E=S
PROF=RB
83
E=S
84
85
86
87
88
89
90
91
PROF=RB
E=Se
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
E=S
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=2
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E=V
PROF=RB
E=V
PROF=RB
106 E=V
107 PROF=RB
108 E=V
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
PROF=RB
E=3
PROF=RB
E
PROF=RB
E=V
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=S
E
E=V
E=S
123 PROF=RB
124 E=S
125 PROF=RB
126 E=V
127 E=S
580
Cualquier operación que dé 80 es una factorización de 80 ? Mm ?
No.
Por qué no ?
Porque una suma no puede ser una factorización.
Por qué ?
Porque para factorizar hay que ir dividiendo. Y según los resultados a como va dividiendo hay que ir
multiplicando.
Para qué me dejó batear si sabía !
Para factorizar hay que ir dividiendo, entonces qué es factorizar ?
Ir dividiendo 80 hasta que quede nada. Digamos 2 a la 4 por 5.
Y qué se hizo el 80. Cómo que no quedó nada ? Le dio 2 a la 4 por 5 (P agrega a la lista de expresiones
que dan 80, la que acaba de decir S). Eso es una factorización de 80.
Yo creo que si. Di porque se está dividiendo. Es más o menos como cuando uno saca el máximo común
divisor.
Si el procedimiento es más o menos el mismo, pero qué es factorizar.
Diccionario.
No sé profe, no me recuerdo bien.
Pero usted qué cree ? Si alguien le pregunta qué es factorizar qué dice, sin hacer una factorización.
Di hacer la expresión más pequeña.
Usted cree que ahí es más pequeño que escribir solo 80 ?
No
No verdad (risas). Entonces no puede ser hacerlo más pequeño (18’22). Casi todo lo que ha dicho está
bien, es correcto; pero qué es factorizar.
Profe no me acuerdo, precisamente no me acuerdo **
Mm ? Qué es factorizar ?
Di sacar los factores del número. Por algo dice factorizar.
Y qué son los factores del número.
No sé.
Pero no es lo mismo sacar los factores del número, que factorizarlos.
Profe los divisores.
Qué ?
Los factores que ella dice son los divisores.
Si los factores son los divisores. Se llaman igual, pero qué son ?
Lo que puede dividir
Mm ?
Los divisores es por lo que puede dividir ?
Los divisores son por los que se puede dividir… pero uno puede dividir por cualquier número mientras
que no sea cero.
Pero no todos son divisores.
Mm ?
Pero todos son divisores. Todos los números serían divisores. Bueno, de hecho que no, pero todos los
números son divisores, eso es cierto.
No. Qué es un divisor de 80.
Los submúltiplos.
Si pero es lo mismo eso. Qué es un divisor de 80. Cómo sé si un número es divisor de 80 ?
Divido 80 entre eso.
Y qué?
Y si le da un número cerrado, entero.
Y si le da un número entero es divisor de 80.
Si al dividirlo entre él da un número entero, o sea si el residuo es...
Cero
Cero. Ajá. Un número es divisor de 80, si al dividir 80 entre ese número la división es exacta verdad. O
sea da residuo cero. Ok. Entonces encontrar los factores es encontrar todos los números que cumplen
con esa condición. Pero eso no es factorizar. Qué es factorizar? (20’26). Yo no les voy a decir, hasta que
alguien diga aquí nos quedamos. Ella casi que ya lo dijo.
Casi, pero no me acuerdo de lo demás.
Puede repetir para…
Di qué fue lo que dijiste.
Di que es más o menos ir sacando/ Bueno cuando uno lo hacía en la escuela lo ponían a ir dividiendo
hasta (risas), o sea hasta que quedara dividido completamente.
Venga escriba dónde hizo para llegar a 2 a la 4 por 5. No es lo mismo decir qué es algo, que decir cómo
se hace ese algo, verdad ? (21’02).
Es que no precisamente, porque si lo supiera ya lo hubiera dicho.
Me imagino que si (risas)
Si alguno supiera ya lo hubiéramos dicho (se hacen comentarios sobre la nueva directiva de la clase,
mientras que S factoriza 80).
Factorización
Eso es lo que me da 2 a la 4 por 5.
Annexes à la thèse :
= 20+20+20+20
= 20⋅4
= 40⋅2
ARAYA-CHACÓN= 5⋅16
= 24⋅5
80
40
20
10
5
DsR
DsD
DsD
ReS
Fx
DsC
ReS
Fx
ReS
DsC
(ReS)
(ReV)
DsD
Fx
Tc
2
2
2
2
5
=24⋅5
128
129
130
131
132
133
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
134 E=V
135 PROF=RB
136 E=S
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
E=Se
E
PROF=RB
148 E=Se
149 E=S
150 PROF=RB
151
152
153
154
155
156
E=Se
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
E=Se, Es
PROF=RB
157 E
158 PROF=RB
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
E
PROF=RB
E=M
E=V
PROF=RB
E=V
PROF=RB
E=V
E=I
PROF=RB
E=V
E=I
E=S
PROF=RB
E=I
E=Se
E=S
PROF=RB
E=S
178 PROF=RB
179 E=S
180
181
182
183
184
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
E
Pero por qué usted hace eso cuando le dicen que factorice 80 ?
No sé.
Qué es lo que usted ocupa cuando le dicen que factorice 80 ?
Mi intuición lo dice, pero no sé.
Porque la niña dijo que eso había que hacer.
No es que en la escuela yo me acuerdo que se hacía así, porque la factorización del año pasado
sinceramente nunca la logré entender con la profesora Coralia (risas de estudiantes).
Eh… eso mismo
Pero qué es factorizar?
Bueno cuando nosotros factorizábamos nos ponían una expresión y teníamos que sacar lo que tenían en
común todas las expresiones. Y lo poníamos entre/ (P comienza su intervención) paréntesis.
/Pero eso es cómo no es qué.
Bueno hacíamos eso, eso sí me acuerdo, eso si.
Era algo así como tomar la expresión...
Ay profe se va a ir la lección! …
Ah?
Se va a ir la lección! … Y no vamos a poder saber.
No antes de que se vaya, vamos a ver que ya sabemos.
Qué hora es? (risas)
Al menos estamos seguros que eso es factorizar 80 (risas).
Apúntelo porque es pregunta de examen (risas).
Ella dijo que esa 20 más 20 más 20 más 20 no podía ser factorización, y es cierto, esa no es una
factorización, por qué?
Porque sólo es multiplicación.
Porque no puede ser suma.
Porque tienen que ser multiplicaciones, porque cuando uno habla de factores está hablando de,
multiplicaciones, verdad? Entonces esto no puede ser/
Entonces una factorización es qué, cualquier multiplicación que me dé 80?
Casi, pero no cualquiera, porque son, sólo con números enteros verdad, eso si.
Ajá.
Entonces factorizar 80 es buscar dos o más números enteros que multiplicados den…
80
80. O sea que factorizar es expresar cómo, multiplicaciones. Siempre que me pidan factorizar, ya sea un
número o un polinomio, lo que tenemos que hacer es, expresarlo como una multiplicación. Entonces
todas esas otras, sí son factorizaciones de 80. Qué tiene de particular la última ?
Hay potencias
Bueno digamos esta otra, entoces (P agrega a la lista de factorizaciones de 80, « =4²⋅5 ». Un estudiante
hace un comentario, inaudible). Si pero ésta ! (risas). Esta tiene algo en particular. Qué es ?
Sumar un 2.
Mm ?
Que son varias multiplicaciones
Que es la mínima
Por qué la mínima.
Porque ya esa es la… mínima. Sería la última de números enteros.
Pero por qué sabe que esa es la mínima ?
Porque supongo que ya no se pueden sacar más.
Porque en eso lo que hizo fuie el mínimo común multiplo.
Común a quienes si sólo hay uno.
Ok el mínimo del número.
El mínimo común multiplo.
Es que no, no, no, no…
Cuando usted usa la palabra común, tiene que estar refiriéndose a varias cosas/
Entonces el mínimo múltiplo (risas)
Ese es el futuro de Costa Rica
Profesor.
Mjú ?
Di, lo que tiene de diferente ahí es que va dividiendo, digamos el divisor más pequeño hasta el más
grande que se puede tener. Ahí en 80.
No el más grande, el más grande es 80.
Si, pero lo que estoy queriendo decir es que 80, dividiéndolo entre el número más pequeño que se puede
dividir. Se puede dividir entre 1. Bueno, 80 dividido entre 1 es 80 y el que sigue es 80 dividido entre 2,
40.
Ajá.
Y así sucesivamente.
Y por qué no se dividió de una vez entre 4, entre 8, entre 10, entre cualquier otro.
Porque lo que quiere es el más pequeño.
Porque es por el mínimo no ?
DsD
ReV
ReS
Fx
DsD
DsD
DsD
DsC
(DsD)
581
185
186
187
188
189
190
191
192
193
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
E=V
PROF=RB
E=S
PROF=RB
194
195
196
197
E
PROF=RB
E
PROF=RB
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
PROF=RB
E=Se
E=V
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
E=V
PROF=RB
212 E
213 PROF=RB
214 PROF=RB
215 E=S
216 PROF=RB
217
218
219
220
E
PROF=RB
E=V
PROF=RB
221 E=V
222 PROF=RB
223
224
225
226
227
228
E
PROF=RB
E
E=Se
Es
PROF=RB
229
230
231
232
E=I
PROF=RB
E=I
Es
582
Ah ?
Porque es por el mínimo.
Por qué el mínimo ?
Por el mínimo múltiplo.
No, eso no son múltiplos son divisores (risas).
Por el mínimo divisor.
Si es cierto eso, pero cómo se llama ?
No me acuerdo cómo se llama.
En esta factorización, los únicos números que aparecen son el 2 y el 5, verdad ? Bueno, 4 no cuenta
porque es la cantidad de veces que aparece el 2, verdad. En cambio en la primera hay 8 y 10, 20 y 4, así.
El 2 y el 5 qué característica tienen ? Por qué es el mínimo o la más completa factorización ? (17s)
Profe.
Mm ?
Entonces usted está diciendo que esa es la correcta ?
No, todas son factorizaciones. Si yo sólo pido factorizar 80, cualquiera sería la respuesta correcta, pero
ésta es especial, por qué ? Se llama la factorización completa, por qué ? Qué particularidad tiene ?
(27’07).
Mm ?
(27’26) Son los números más pequeños que igual dan 80.
Es el mínimo.
Cómo, cómo ?
Que no se puede simplificar.
Cómo ?
Que ya no puede ser simplificada.
Por qué ?
Porque ya … digamos de ahí ya no se puede simplificar más.
Por qué sabe que ya no se puede simplificar más.
Di porque 5… ya no se puede dividir. Sería solo entre 1.
Cómo se llaman esos números ?
Enteros.
Si es eso, lo que él está diciendo. Entonces 5 ya no se puede simplificar porque se llaman… No se
acuerdan de esa palabra. Mm ? Porque en esa factorización, lo que aparecen son números primos, nada
más. En cambio, en cualquier otra que escojan, hay por lo menos un número, cómo se llaman los que no
son primos ?
Compuestos
En la primera factorización que está, el 8 y el
Factorización
10, también pueden factorizarse más, verdad?
El 20 se puede factorizar, el 4 también, el 40
también, el 16 también. En todas las demás
= 20+20+20+20
80 2
hay por lo menos un factor que se puede
= 20⋅4
40 2
factorizar más. En cambio en ese caso, no es
= 40⋅2
20 2
= 5⋅16
10 2
posible factorizarlo más, porque son sólo
5 5
* = 24⋅5 → factorización
números primos.
= 4²⋅5
completa
=24⋅5
Entonces, un número compuesto puede tener
números
PRIMOS
varias factorizaciones, pero sólo tiene una,
factorización, completa. Mjú ? Y qué pasa con
los polinomios (P escribe en la pizarra: « Factorice 15x²y-20xy² »).
(29’26) Quiero factorizar esto. Qué es factorizar un polinomio ?
Sacar el factor común
Mm... no necesariamente, pero en general, eso es un método de factorización. Pero qué es factorizar un
polinomio ? Qué era factorizar un número ?
Reducirlo.
No.
Era… expresarlo como multiplicación.
Expresarlo como multiplicaciones (al mismo tiempo, E : Y… !, E=V : lo apunté). Entonces qué es
factorizar un polinomio.
Expresarlo con multiplicaciones de polinomios.
Expresarlo con multiplicaciones también. Entonces si yo quiero factorizar ese polinomio, lo que quiero
es una multiplicación que dé eso como resultado. Cuál puede ser ? (5s) Mm ? (11s) Ah ? Cuál puede ser
una multiplicación que dé eso como resultado ? (12s) Cómo ? (5s)
Profe pero es que para eso hay que usar alguno de los métodos.
No sé.
Di si, porque si no/
Yo creo que ahora si hay que sacar un mínimo común múltiplo del 15 y del 20.
Di si.
No me digan cómo lo están haciendo, nada más díganme una multiplicación que dé eso. Cómo lo
obtengan no es problema en este momento, después veremos cómo. Díganmen una.
5 x y por… 3 x, menos 20 y.
5 x y…
Por 3 x, menos 20 y.
Menos 4.
DsD
Fx-ReV
DsD
ReV
DsD
DsD
ReV
ReV
ReO
ReS
ReH
ReA
233 E=I
234 E
235 PROF=RB
236
237
238
239
240
241
242
E=Se
PROF=RB
E=V
E
PROF=RB
E
PROF=RB
243
244
245
246
E=(A)na
PROF=RB
E=A
PROF=RB
247
248
249
250
251
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
252
253
254
255
256
257
PROF=RB
E=4
E
E=4
PROF=RB
E=4
258 PROF=RB
259
260
261
262
263
264
265
266
E=V
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=Se
PROF=RB
267 E=Se
268 PROF=RB
Menos 4 y más bien (P termina de escribir en la pizarra: 5xy(3x-4y)).
y a la 2.
Ok eso es una factorización de ese polinomio porque esto es un producto de dos polinomios que da ese
como resultado, verdad ? Otra factorización de ese mismo polinomio ?
3 x menos 4 y, por 5 x y (risas)
Sería la misma (5s). Otra factorización, cuál puede ser ? (10s) Mm ?
Factorice 15x²y-20xy²
No, no me acuerdo.
= 5xy(3x-4y)
(un estudiante interviene, inaudible)
Cómo ?
3 x menos 4 y a la 2 (22s, 32’58).
Una más por lo menos. Hay varias que podríamos escribir (33’48). Ni idea. A nadie se le ocurre…
Mm ? (19s)
5 x y por 3 x, menos 2 x y por 3 y.
Ah… es que ahí lo que usted está haciendo. 5 x, qué ?
5 x y por 3 x, menos 2 x y por 3 y (P escribe en la pizarra: 5xy⋅3x-2xy⋅3y).
Lo que pasa es que en este caso lo que usted hizo, fue factorizar cada uno de los términos. No el
polinomio completo. Si? Esta es una factorización de este término y ésta es una factorización de éste
término, pero lo que yo quiero factorizar no es cada uno, si no todo el polinomio. Entonces no me sirve
(18s, P borra la expresión 5xy⋅3x-2xy⋅3y que acaba de escribir). Y si tomamos como un factor sólo el 5
x ? Será eso una factorización ? Si o no? (P escribe en la pizarra, abajo de la factorización anterior: =
5x(3xy-4y²))
Si.
Y cuál puede ser otra.
Si sacamos solo el 5.
Mm ?
Sacando solo el 5 (P escribe en la pizarra, abajo de la factorización
anterior: = 5(3x²y-4xy²)).
Y otra.
Solo x y y.
xy
Solo x y.
Qué quedaría en el otro factor ?
Queda 15 x menos 20 y (otros Es dan también una respuesta. P escribe en la pizarra, abajo de la
factorización anterior: = xy(15x-20y)).
Podría ser sólo la x, o solo la y, verdad ? Todas éstas son factorizaciones de este binomio. Cuál es la
factorización completa ?
La primera (4s). La primera.
Factorice 15x²y-20xy²
Por qué la primera ? Si es esa, pero por qué ?
= 5xy(3x-4y)
= 5x(3xy-4y²)
Porque las demás son derivadas de esa.
= 5(3x²y-4xy²)
Mm ?
= xy(15x-20y)
Porque las demás son derivadas de la primera.
Pero imagínese que se le ocurrió (suena el timbre) primero la otra.
Porque son números primos.
No necesariamente porque son números primos. En este caso, aquí los dos, los dos términos tienen una
y que es un divisor común, verdad ? En este caso los dos tiene x y y que son divisores comunes. Y en
este caso los dos tienen quinta, verdad ? Entonces no está factorizado completamente porque hay
divisores comunes a los términos. En cambio aquí, esto no es un número primo, sin embargo no hay
divisores comunes entre los dos, verdad ? Entonces esta es la factorización completa de este polinomio.
Podemos factorizar de varias formas también un polinomio. Podría ser que se pueda factorizar de varias
formas, pero sólo una sería la completa.
Si nos piden una factorización completa tenemos que responder con cualquiera o sólo con la primera ?
Si le piden una factorización, pone cualquiera; si le piden la factorización completa, tiene que poner
ésta. Bueno los métodos los vemos la otra semana (37’47).
DsD
VI.4.2 RB-2702200610H : FACTEUR COMMUN - REGROUPEMENT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PROF=RB
E=(I)gnacio
PROF=RB
E
PROF=RB
E
E=I
PROF=RB
E=(M)aría
(P escribió en la pizarra: “Factor común”. 01’54). Bueno… Se acuerdan cómo era factorizar con ese
método ? (los estudiantes comienzan a llegar. P solicita la hoja de clase que no traen. P escribe en la
pizarra « Calcule el MCD entre 24, 36, 60 ». 04’10). Cómo se calculaba el máximo común divisor entre
estos números ?
Se usaban números que dividieran a todos los términos.
Cuáles son los divisores comunes de 24, 36 y 60 ?
2
Factor común
2
1) Calcule el MCD entre 24, 36, 60.
6
8
Divisores comunes: 1, 2, 3, 6, 4, 12
8 por qué da 36 ?
4
ReO
ReV
583
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
584
Auxiliadora
E=I
PROF=RB
E=M
E=I
PROF=RB
E=(L)uis
Miguel
PROF=RB
E=L
PROF=RB
El 1.
El 1, claro.
El 12
24
24 por qué da 36 ? (5s) Ya verdad ?
El más grande de esos, es el máximo común divisor, verdad? Cuál era el procedimiento que usaban en
la escuela para calcular eso? (P llama la atención a E=(A)na por faltas al uniforme. 06’20). Cómo se
calculaba para no estar sacando de uno en uno todos los divisores y después ver cuál era el mayor, cómo
podría encontrarlo de una vez ? (10s) Mm ? (Otros estudiantes van llegando. 50s).
Diay divido 12.
Mm?
Divido 12.
Por qué divido 12? (P hace un comentario sobre la hoja de clase que le acaban de entregar. P pasa
lista. 09’46). Cómo hacían para calcular el máximo común divisor entre tres números ?
E=M
Se pone como división.
PROF=RB
Cómo, como división?
E=I
Se pone ese número y aca los divisores.
E=M
Ajá
PROF=RB
Para hacer qué?
E=M,I
Para calcular el máximo.
E=I
Y después se multiplican los divisores. Se llegan hasta donde los tres números sean divisibles (P le
extiende la mano con el pilot a I para que ésta calcule el MCD).
Y hasta ahí llega porque los tres no se pueden dividir al máximo **
PROF=RB
Por qué no se puede dividir?
E=I
Porque es que yo me acuerdo que es uno que llega hasta los tres y el otro sigue y sigue; pero es que no
me acuerdo cuál es cuál.
PROF=RB
Cómo se llama eso ?
24 36 60 2
E=I
El máximo.
12 18 30 2
6 9 15 3
PROF=RB
Máximo qué ?
2 3 5
12
E=I
Común múltiplo.
PROF=RB
Cómo se llama el que está calculando ?
E=I
El máximo común múltiplo.
E
Profe
E=I
Mínimo (risas)
PROF=RB
La « d », es de múltiplo ?
E=I
No divisor.
PROF=RB
Ajá.
E=I
Es 2 por 2 por 3.
PROF=RB
Y como tiene que ser divisor común, entonces solo lo saca si todos tienen, verdad ?
E=I
2 por 2, 4; y 4 por 2/ 4 por 3, 12 (E pide permiso para ir a buscar un pupitre).
PROF=RB
Factorizamos simultáneamente los tres o los cuatro, todos los números, verdad ? Sólo vamos a sacar un
factor, si es común a todos, porque andamos buscando el máximo común divisor. Entonces, cuando los
continuamos hasta 1, es porque estamos buscando el mínimo común múltiplo verdad, que es el uno
cuando saca, cuando va a buscar el denominador común para sumar o para restar fracciones, por
ejemplo. Ok, entonces factorizo todo. Ya yo aquí no puedo hacer más porque esos ya no tienen
divisores comunes, verdad ? Y cómo se hacían cuando eran polinomios o monomios ? (8s). Cuáles son
divisores comunes para estos dos? (P escribe: « Calcule el MCD entre 3a²b y 6ab² »)
E=L
El 3.
PROF=RB
Ah ?
E=L
El 3.
PROF=RB
El 3, qué más ?
Es
a y b.
PROF=RB
Mm ?
E=(V)ictoria a y b.
PROF=RB
Así ? Son factores de los dos, verdad. Qué más ? Cuál puede ser otro divisor común ? (6s) Esos son
divisores comunes de un solo término, verdad. Factores comunes de un solo término. Cuál otro puede
ser un factor común a esos dos polinomios? (66s).
E=V
El 1.
PROF=RB
Mm ?
E=V
El 1.
PROF=RB
Pero que no sea ese. Si el 1 también pero... Cuál otro ? Mm ? (16’) Léanse el polinomio que
factorizamos el viernes (16s).
E=I
El a b.
PROF=RB
Mm?
E=I
El a b.
PROF=RB
Cuál otro? ... Mm?
2) Calcule el MCD entre 3a²b y 6ab².
E=(S)tephanie 3 a b.
Divisores comunes: 3, a, b, ab, 3ab.
PROF=RB
Cuál sería el máximo común divisor ahí?
Es
3 a b.
Ch-ReV
ReV
DsD
DsD
ReV
Od
Tc
ReH
62
PROF=RB
63
64
E=M
PROF=RB
65
66
E=S
PROF=RB
67
68
69
70
71
72
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
73
74
75
76
77
E=V
E
PROF=RB
E=M
PROF=RB
78
79
80
81
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
82
83
84
85
86
87
88
89
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=L
E=S
Y a ese máximo común divisor de los polinomios, es al que le vamos a llamar factor común. Todos
éstos, son factores comunes a los dos, verdad. Si ? Pero a partir de ahora cuando digamos factor común
vamos pensar siempre en el, máximo. En el máximo común divisor de los términos (P escribe en abajo
del título: « Máximo común divisor entre todos los términos del polinomio » ). Por qué nos interesa el
máximo común divisor y no los otros ? Mm ?
Porque es el que puede dividir a todos.
Todos pueden dividir a todos. (P ha escrito en la pizarra: « Factorice 6x3y²-9xy²-15x²y² ». 17’36)
Cuando estamos factorizando, por qué queremos el máximo común divisor y no los otros?
Porque es la manera de hacer como más pequeña la expresión. O sea la forma de reducirlo más.
O sea para obtener la factorización completa verdad. Los otros no me darían factorización completa,
sólo el máximo común divisor. Ok, cuál sería el factor común en ese caso, entonces (7s).
3xy
Cómo?
3 x y.
Entre 6, 9 y 15, el máximo común divisor es ... 3 verdad? Y cómo hacía con las letras.
Tienen que estar todas en los tres.
De las que son comunes a todos, de las que se repiten en todos los términos, en este caso la x y la y. Y el
exponente, cuál tomaba ?
El menor
Uno
No en general, cuál es el exponente que uno toma.
El menor.
El menor. Entonces en este caso para la x es uno y para la y también es uno. Entonces este sería el factor
común. Cómo obtengo entonces el otro factor ? (18’57)
Divide el 6 por el 3.
Mm ?
Se divide el 3 x y por el 6 x3 y².
Al revés. Divido cada uno de los términos del polinomio entre el factor común, verdad ? (P escribe
debajo de la expresión anterior: « 3xy »). Cuál sería el primer término ahí en el otro factor ?
2 x 2.
2...
2 x a la 2 (P va escribiendo los términos del segundo factor conforme los enuncian).
En el segundo término.
3y
Factorice
3 y.
1) 6x3y²-9xy²-15x²yz
5, menos 5...
3xy(2x²y-3y-5xz)
x z.
DsD
ReC
ReV
ReV
ReV
(P escribe la expresión: « 3 a²b3 − 9 a3b4 −15 a5b7 »)
4
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
E=I
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E
PROF=RB
110 E=S
111 PROF=RB
112 E=S
8
16
Cómo puedo hacer cuando hay fracciones? (78s)
Sacar el máximo de los denominadores.
Cómo, cómo ?
Sacar el máximo de los denominadores.
Qué es el máximo de los denominadores ?
El máximo común divisor.
El mínimo común múltiplo.
El mínimo común múltiplo.
Para qué ?
Para que queden números enteros.
Para que queden números enteros dónde ?
En cada, en cada término.
Qué hago con los denominadores ?
Igual que cuando se hace digamos, una… una división.
Hacer las fracciones homogéneas.
Ajá, para qué ?
Y después, di sacar las fracciones homogéneas.
Cuál es el mínimo común múltiplo, ahí ?
2
No. En los denominadores, pero están diciendo que las hagamos homogéneas. Entonces entre 4, 8 y 16,
cuál es el mínimo común múltiplo ? (P escribe en una misma línea los tres números, haciendo una raya
vertical para iniciar el procedimiento de cálculo del MCM. Lo calcula).
2 a la 4, 16.
Mjú. Entonces, si las hacemos homogéneas. Aquí qué quedaría ?
2 (P escribe una expresión equivalente a la anterior, conforme le van diciendo los nuevos numeradores:
ReV
ReS
DsD
ReV
DsD
2 a²b3 )
16
113 PROF=RB
114 E=S
Aquí ?
18 (P escribe una expresión equivalente a la anterior, conforme le van diciendo los nuevos
numeradores: (P escribe una expresión equivalente a la anterior, conforme le van diciendo los nuevos
585
numeradores: 2 a²b3 −18 a3b4 )
16
115 PROF=RB
116 E=S,I
16
Aquí ?
15 (P escribe una expresión equivalente a la anterior, conforme le van diciendo los nuevos
numeradores: 2 a²b3 −18 a3b4 −15 a5b7 )
16
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=V
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=(K)atia
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E
E=V
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
E=S
PROF=RB
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
161
162
163
164
165
166
E=I
PROF=RB
E=(R)onald
PROF=RB
E=R
PROF=RB
167 E=K
168 PROF=RB
586
16
16
Y ahora qué ?
Saca el máximo común múltiplo de los tres.
El qué ?
El máximo común divisor.
De cuáles ?
De 2 dieciséisavos, 18 dieciséisavos y 15 dieciséisavos.
Máximo común divisor sólo puede ser de enteros, no puede ser de fracciones.
Entonces saca el máximo de arriba y de abajo.
Ocupo cancelar.
Ah ?
No se puede cancelar ?
No porque con quién voy a cancelar ? Qué ?
Se cancelan.
Pero cómo los voy a cancelar, con quién ?
Eh… se le saca el máximo común divisor al 2, 18 y 15, di por sí el denominador siempre va a ser el
mismo.
Cuál es el máximo común divisor al 2, 18 y 15 ?
3
3, nada más tienen tercera verdad ? Entonces cuál sería el factor común?
3 dieciséisavos.
3 dieciséisavos...
a
ab
ab?
a a la 2, b a la 3.
a a la 2…
b a la 3
b a la 3. Y cuál sería el otro factor ?
Di divide 3 dieciséisavos **
No porque el 16 ya lo saqué como factor común.
4
4… menos
6 b.
a
a b (algunos Es dicen lo siguiente en los términos, casi inaudible).
2) 3 a²b3 − 9 a3b4 −15 a5b7
Puede haber hecho desde el principios sacar el máximo común divisor
4
8
16
de los numerados, y el máximo común divisor de los denominadores,
verdad ? Pero si hago eso, me vuelven a quedar fracciones aquí (P
= 12 a²b3 −18 a3b4 −15 a5b7
indica el segundo término). Pero si las hago homégeas primero, saco el
16
16
16
denominador común, entonces la ventaja es que aquí no me van a
= 3 a²b3(4−6ab−5a3b4 )
quedar fracciones, verdad ? Si ? Está como la morgue ah, parece que
16
están muertos, un lunes a las 7 de la mañana con ese ánimo (P escribe
un tercer ejemplo: « 6 10 x²y5 −9 15 x4 y7 ». 27’21). Cómo hacemos en ese caso ?
Se sacan las raíces.
Cómo ?
Se sacan las raíces.
Cómo se sacan las raíces ?
Saca el 10.
Lo saco de dónde ?
De la raíz.
Y cómo lo voy a sacar ?
Di se saca el mínimo y se divide.
Ah, simplifico. Pero de ese 15 no se puede sacar nada de la raíz, porque 15 es 3 por 5 y 10 es 2 por 5,
nada más. Simplificarla dice usted, a ver si se puede sacar algo ?
Mjú.
Si, pero no se puede.
Sale x cuadrado en la primera.
Mm ?
En la primer raíz, ese x al cuadrado sale.
No, lo que está dentro de la raíz es el 10 nada más y en la otra el 15, lo otro está fuera de la raíz. Llega
hasta ahí y llega hasta ahí (P se acerca a la pizarra e indica en la expresión hasta dónde « llega » cada
raiz). Cuál será el factor común ahí ? (50s)
Podría ser 3 raíz de 5, no ?
Ajá. Puedo sacar el máximo común divisor entre éstos y el máximo común divisor entre éstos. Qué
Fx
ReV
169
170
171
172
173
174
E=K
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
E=V
175
176
177
178
PROF=RB
E=I
E=(A)na
PROF=RB
179
180
181
182
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
183
184
185
186
187
188
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
189
190
191
192
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
193
194
195
196
197
E
PROF=RB
E=V
PROF=RB
Es
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
211
212
213
214
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
215
216
217
218
219
220
221
Es
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=A
más ?
x a la 2, y a la 5.
y a la 5. Por ?
3) 6 10 x²y5−9 15 x4 y7
2 raíz de 2.
Menos…
= 3 5 x²y 5 2 2 −3 3 x²y²
3 raíz de 3.
y a la 2/ eh… x a la 2, y a la 2 (otros estudiantes dan su respuesta).
(P escribe el cuatro ejemplo : « 5a²(4-3b)+9b(4-3b) »)
Ahí qué hacemos ?
Di se multiplican los factores … (5s)
El factor común no es 4 menos 3 b?
Es que si usted multiplica, si usted multiplica más bien está como perdiendo el tiempo, porque vea que
si usted considera esto como un solo factor, eh un solo término perdón, aquí hay dos términos en
realidad; pero si lo considera como uno solo y éste también como uno solo, entonces aquí hay un factor
y aquí otro, éste factor y éste; pero éste, es igual a éste verdad ? Si ? Entonces éste es el factor común.
Si ? Entonces esto es igual a 4 menos 3 b, por… qué queda en el otro factor ?
5 a/
5 a a la 2…
4) 5a²(4-3b)+9b(4-3b)
Más 9 b.
= (4-3b)(5a²+9b)
Ok?
(P escribe el quinto ejemplo : «7x(2x-3y)-5(3y-2x)+y(-3y+2x) »).
(32’22 ) Se saca el menos y se cambian los signos.
Cuál menos?
El del centro.
Por qué?
Para que queden los tres igual.
Mjú. Este es igual a éste, verdad? Si? Pero son opuestos a éste. Si, este no es igual a los otros, si no que
es opuesto, porque aquí lo único que cambia es el orden, pero son exactamente el mismo polinomio,
verdad ? En cambio éste tiene los signos al revés. Entonces qué hago para que éste me quede igual a los
otros ?
Le cambia el signo.
Mm ?
Le cambia el menos adelante de 3 y menos 2 x.
Eso es equivalente de sacar un menos 1 de aquí, verdad ? Divido ésto entre menos uno, entonce aquí me
va a quedar ?
5 (Abajo de la expresión inicial, P escribe: «7x(2x-3y)+5(-3y+2x)+y(-3y+2x) »).
Si ? Mjú ? Entonces ahora sí son iguales los tres. Entonces el factor común sería ?
2 x menos 3 y.
5) 7x(2x-3y)-5(3y-2x)+y(-3y+2x)
2 x menos 3 y. Y el otro factor ?
=7x(2x-3y)+5(-3y+2x)+y(-3y+2x)
7 x más 5 más y.
=(2x-3y)(7x+5+y)
(P escribe el ejemplo seis: «3(x-2)²-x(x-2)». 34’49).
Ahí ? Cuál sería el factor común ?
x menos 2.
Mm ?
x menos 2.
Ajá, porque aquí está x menos 2 al cuadrado y x menos 2 a la 1. Entonces con qué exponente lo tomo ?
El menor, un uno (varios estudiantes dan su respuesta)
Mm ? … un uno. Y qué quedaría en el otro factor ?
3 x más 2
3…
x menos 2
Por x menos 2.
Menos x (P escribió : «(x-2)[ 3(x-2)-x] »)
Y esto se puede hacer verdad, para que no quede así. Quedaría 3 x, menos 6, menos x (P escribió : «(x2)[ 3x-6-x] »). Cuánto da eso ?
2x
2x
Menos 6
Menos 6. Qué pasa con 2 x menos 6 ? (P escribió : «(x-2)(2x-6) »). Eso así como está, está factorizado
completamente ?
No
No, por qué ?
Porque el 2 x menos 6, también se puede factorizar.
Ajá. Cuál sería el factor común aquí ?
2
2 por cuánto?
2 por x menos 3 (P escribió : «(x-2)2(x-3) »).
(
)
DsD
DsD
587
222 PROF=RB
223
224
225
226
227
228
229
230
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
231
232
233
234
235
E=I
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
236
237
238
239
240
241
242
243
E=K
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=(S)ergio
PROF=RB
E=S
PROF=RB
244
245
246
247
248
249
250
251
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
271
272
273
274
E=S
Es
PROF=RB
Es
588
Uno no acostumbra a poner el numerillo ahí, verdad? Si no que lo pone de
6) 3(x-2)²-x(x-2)
primero (P escribió : «2(x-2)(x-3) »). Como es una multiplicación no importa el
= (x-2)[3(x-2)-x]
orden, verdad.
= (x-2)(3x-6-x)
(P escribe el sétimo ejemplo: « (2a+5)(3x-1)+(2a+5)(2x+3) ». 38’10, suena el
= (x-2)(2x-6)
= (x-2)2(x-3)
tiembre, conclusión de la primera lección. 38’49). Cuál es el factor común en
= 2(x-2)(x-3)
este otro caso ?
2 a más b.
Y el otro factor, cuál sería?
3 x menos 1, más 2 x más 3.
3 x menos 1…
más 2 x más 3 (P escribe: « (2a+5)[(3x-1)+(2x+3)] »).
7) (2a+5)(3x-1)+(2a+5)(2x+3)
Si? Y al hacer esa suma, qué queda?
= (2a+5)[(3x-1)+(2x+3)]
5 x.
= (2a+5)(5x+2)
5 x... (P escribe: « (2a+5)(5x+2) »).
(P escribe el octavo ejemplo: « ax+ay+5x+5y ». 40’13). Cuál es el factor común ahí?
x y.
x y está en los cuatro términos?
No
Uno.
El único factor común sería uno, verdad? Pero no tendría gracia poner uno por todo eso. Habrá alguna
forma de factorizarlo... que me quede un producto al final.
a x más a y, por 5 x más 5 y.
Cómo, cómo.
a x más a y, y 5 x más 5 y (P escribe: « (ax+ay)+(5x+5y) ».
Así? (K asiente)
Le saca factor común a cada uno.
Quién habla
(S levanta la mano). Se toma a por x más y, más 5 por x más y. Y queda como factor, x más y.
Pero entonces antes de hacer eso, ahí falta algo, verdad. Porque no es cierto que esto por esto da eso.
Qué tiene que ir aquí… una suma. Entonces lo que vamos a hacer es agruparlos. Los hago en esos dos
grupos. En este grupo si hay factor común y en este también, verdad? Cuál es el factor común aquí ?
a.
Y el otro factor ?
x y.
x más y. Más el factor común aquí ?
5
Y el otro factor ?
x más y (P escribe: « a(x+y)+5(x+y) ».
Ok. Sirve agrupar, siempre y cuando, cuando haga esto, me queden estos factores iguales, si no…
porque si quedaron iguales ya estoy como ahí (P señala el ejemplo anterior). Si ? Si no me hubieran
quedado iguales estos factores, entonces no me sirven, hacer eso. Ese método (P escribe agrupación al
lado del primer ejemplo), se le llama agrupación. Es igual que factor común verdad, solo que uno hace
grupos, para sacar el factor común a cada grupo, y que después le quede un factor común de toda la
expresión. Cuidado con dejarlo aquí, porque aquí está factorizado este grupo y está factorizado este
grupo, pero no está factorizado todo el polinomio, verdad ? Hay una suma aquí en medio. Mjú? Cuál
sería el factor común ahora?
x más y.
x más y, y el otro factor ?
a más b (P escribe: « (x+y)(a+b) ». P escribe el noveno ejemplo : « x²-9x+2xy-18y) ». 43’33).
Ese tiene factor común para todo?
No.
Podemos agruparlo de modo que haya factor común en cada grupo? Cómo los agruparían ? Cómo ?
x a la 2, menos 9 x.
Así como están?
Si (P escribe: « (x²-9x)+(2xy-18y) »).
Ok, veamos a ver si así como están sirven. Cuál sería el factor común en este primer grupo?
x
y el otro factor?
x menos 9
Aquí el factor común?
y
2y
2 y. Y el otro factor?
x menos 9
Si sirve entonces verdad? (P escribe: « x(x-9)+2y(x-9)»). Ahora factor común de todo el polinomio ? De
toda la expresión?
8) ax+ay+5x+5y
x menos 2 y, por x menos 9.
= (ax+ay)+(5x+5y)
x menos 9
= a(x+y)+5(x+y)
x menos 9. El otro factor sería ?
= (x+y)(a+5)
x más 2 y (P escribe: « (x-9)(x+2y)»).
275 PROF=RB
276
277
278
279
280
281
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
E=V
PROF=RB
E=V
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=A
PROF=RB
E=A
PROF=RB
(P escribe el décimo ejemplo: « (x+y)(2x-1)+(x+y)(x+2)+(a+b)(5x+2)+(a+b)(-2x-1) »).
(46’33). Tengo un factor común para toda la expresión ? Mm ? No verdad ? Cada término ahí tendría
dos factores. Cuáles tienen factor común ?
Los dos primeros.
En los dos primeros cuál es el factor común ?
x más y.
x más y. Y en los otros dos ?
a más b.
Entonces puedo agruparlos (P escribe: « [(x+y)(2x-1)+(x+y)(x+2)]+[(a+b)(5x+2)+(a+b)(-2x-1)] »).
Si ? Entonces si aquí el factor común es x más y, cuál sería el otro factor ?
2 x menos 1
2 x menos 1
Más, x más 2.
Mjú. Y en éste, el factor común era ?
a más b.
a más b. Quedaría?
5 x, 2.
5 x más 2.
Menos 2 x, menos 1.
Mjú. (P escribe: «(x+y)[(2x-1)+(x+2)]+(a+b)[(5x+2)+(-2x-1)] »). Así como está, no son iguales lo
que está en los paréntesis cuadrados, verdad ? Habría que hacer las operaciones a ver si quedan igual.
Qué queda en el primer paréntesis cuadrado ?
3 x menos 1.
3 x…
Menos 1.
No. 3 x...
Más 1.
Y en el otro?
3 x, más 1 (P escribe: «(x+y)[(3x+1)]+(a+b)[(3x+1)] »).
Si? Si eran iguales entonces, qué hacemos ahora ?
Saco factor común.
Cuál sería el factor común?
3 x más 1.
3 x más 1. Qué queda en el otro factor?
x más y, más…
Mjú ?
Más a más b (P escribe: «(3x+1)[(x+y)+(a+b)] »)..
Se puede hacer algo ahí en el paréntesis? No verdad, porque todos, no hay ninguno que sean semejantes.
Podemos quitar un paréntesis, por lo menos, verdad? Si ? Está bien ? Si o no ?
10) (x+y)(2x-1)+(x+y)(x+2)+(a+b)(5x+2)+(a+b)(-2x-1)
= [(x+y)(2x-1)+(x+y)(x+2)]+[(a+b)(5x+2)+(a+b)(-2x-1)]
= (x+y)[(2x-1)+(x+2)]+(a+b)[(5x+2)+(-2x-1)]
= (x+y)(3x+1)+(a+b) (3x+1)
= (3x+1)[ (x+y)+(a+b)]
= (3x+1)(x+y+a+b)
(P escribe el décimo primer ejemplo: « 2a²(3b-1)+4a(3b-1) ». 51’43, R va a la pizarra a factorizar la
expresión).
(52’23). Pudieron haber hecho de una vez el factor común: el 2, la a y el 3
11) 2a²(3b-1)+4a(3b-1)
b menos 1, sacarlo de una vez todo. Si lo hacen así tienen que darse cuenta
(3b-1)(2a²+4a)
que aquí no está factorizado/ (un celular suena, P se interrumpe)
(3b-1)2a(a+2)
completamente, entonces que hay que factorizar esto (P hace alusión al
binomio 2a²+4a). Los que vi que lo estaban haciendo, ya lo habían hecho bien. Preguntas ? Página
cinco (Los estudiantes sacan las hojas de práctica. 53’54. P les señala una corrección a hacer en una
expresión de la práctica. Le da al presidente del grupo una práctica a realizar para el lunes siguiente).
Pueden sentarse en parejas si quieren a hacer esa práctica (55’19. Suena el timbre. 01h18’07).
1
2
3
4
5
PROF=RB
(El profesor confirma que debían traer todas las expresiones de la práctica factorizadas. Pregunta si
terminaron la práctica, cuatro estudiantes dicen que no. El presidente de sección pide permiso para
recoger el dinero de la segunda práctica de fórmulas notables, el profesor accede. P pasa lista. De
nuevo pregunta quien no ha terminado y les comunica que irán revisando mientras tanto ..., 05’00. A
Esteban le asignan 1 y 2, Ronald 3, Nacho 4, ..., 06’00-08’20) Ok esas cuatro están bien.
E=(Au)xiliadora Profe, pero ahí no puede ser menos 13 más 3. Es un menos lo que está delante del 3?
PROF=RB
Supongo que no (Au). No verdad eso no es un menos?
E
No
PROF=RB
Bórrelo (09’00, Ana la 4, Auxiliadora 6 y Katia 7, 10’00, comentario sobre cabello de un estudiante,
589
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
E=Au
PROF=RB
E=Au
PROF=RB
E=Au
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
PROF=RB
23
E=Au
24
25
26
PROF=RB
E=Au
PROF=RB
27
28
E=Au
PROF=RB
29
30
E=(Ra)ndall
PROF=RB
31
32
33
34
35
36
37
38
E=Ra
PROF=RB
E=Ra
PROF=RB
E=Ra
PROF=RB
E=Ra
PROF=RB
39
PROF=RB
40
41
42
43
44
45
46
47
E=Ra
PROF=RB
E=Ra
PROF=RB
E=Au
PROF=RB
E=Au
PROF=RB
48
49
E=Au
PROF=RB
50
51
52
E
PROF=RB
PROF=RB
590
...). Haga esa operación para que no quede ahí...
Esta?
Si (11’00).
Entonces cómo sería?
Multiplique nada más
Esto? Multiplico este 5 (P aciente con la cabeza). No hay preguntas hasta ahí?
Si
Cuál?
Profe, pero... bueno ahí un factor es a más b, pero el otro es 5 menos 7.
Por qué 5 menos 7? A más b a la qué? Qué sería el factor común?
(12’00). No el factor común es a más b a la 4
Si
Pero entonces.../
Ok el primer término era 5 por a más b a la 5 verdad.
Ajá
Cuando divide todo eso por a más b a la 4, qué le va a quedar?
Ya
Si? (...) No hay preguntas? (P manda a otra estudiante a la pizarra, 13’00-14’00). Preguntas de la
ocho y la nueve? (15’00).
Profe, ahí en la nueve esa b la que está adelante, no debería/ digamos cuando se multiplica con la otra
b quedaría b a la 2, y ahí no me queda b a la 2. Entonces más bien en el segundo tendría que quedar 2
b más 3 b a la 2, más 6 b a la 3.
Entonces ahora saque el factor común de ese segundo que usted tiene.
Si pero el primero, no tiene que quedar así?
No, es que el factor común completo es b por b menos 7. Si usted solo sacó b menos 7 no importa, le
quedó 2 b más 3 b a la 2 más 6 b más 3. Pero entonces ahora factorice ese segundo factor. Si?
Entonces saca una b de ese segundo, porque la factorización que usted tiene es incompleta todavía,
puede factorizarla más. Está bien?
Está bien (16’00).
Qué más? (Samis 10, no pasa porque no la había hecho. Randall 11, 17’00-19’00). Todavía le puede
factorizar algo más (a uno de los estudiantes en la pizarra, ...). En el primer factor, hay factor común,
cuál es?
2
2 (20’00). Entonces saque un 2 (...). Y porqué ustedes no ponen un igual de un paso al otro. No se
supone que el primero es igual al otro, que es igual al otro. Acostúmbrense (comentario sobre una
resta mal hecha, 21’00). Haga la resta y saque de los paréntesis primero y después suma, a ver (...) ahí
mismo.
Da cero
Qué? (Ra contesta, inaudible). Y menos 10 x menos, menos x?
9x
Casi (...)
Aquí hay que cambiarle el signo verdad, a éste (...) Da... (22’00, ...). Así profe?
Cuánto es menos 10 más 1?
Menos 10/ di menos 9
Ah...! Pero así no porque parece una resta, métalo dentro de los paréntesis y lo pone en el primero (...)
Les dio eso la doce? Si no les da, revísense a ver dónde está el error, si no encuentran el error vengan
para que lo busquemos. Si nada más borran y copian lo otro, no sirve de nada (23’00, comentario de
una Carla sobre un cálculo. P le da la razón).
Primer error, el factor común está bueno, pero ese 2 x menos y, multiplica todo lo demás, verdad, no
solo al segundo paréntesis. Sabe de dónde estoy hablando? (el estudiante niega). El 2 x menos y por
todo lo otro, no, no borre eso, nada más que le ponga un paréntesis (24’00). Bueno... si (el estudiante
corrige su error). Y cuánto es 2 menos 7?
5
No ... 2 menos 7
Menos 5
Menos 5
Profe, ahí en la doce no se supone que es, 2 x menos 1 es el factor común.
Si
Entonces por qué se pone dos veces? (P) Ya luego cuando se empieza hacer está dos veces.
Es que en los primeros dos pasos que él hizo no está factorizando, nada más está resolviendo los
paréntesis cuadrados. El factorizó hasta el tercer paso. Si? En el primer paso lo único que hizo fue
quitar lo del primer paréntesis redondo, le cambió los signos y ya.
Mjú
En el segundo paso nada más sumó menos 7 x (25’00) más menos 3 x. Y en el tercer paso sacó factor
común (...). Ya, ahora si? (respuesta inaudible, María José 14. Preguntan a P, casi inaudible). Cuál
es el menor exponente de las x?
Este
Entonces ese es el factor común, x a la eso. Y después comienza a dividir por esa * (..., 26’00).
En la trece... está bien pero mal escrito, por qué puso ese más ahí en medio de los dos? (27’00). ... Por
qué? (inaudible si hay respuesta). Cuando usted saca el factor común es ese por el otro da lo de arriba
verdad, no más. Si no no sería una factorización. Recuerde que cuando usted está factorizando está
53
54
55
E=A
PROF=RB
E=A
56
PROF=RB
57
PROF=RB
58
PROF=RB
59
60
E=(K)atherine
PROF=RB
61
62
63
64
65
66
E=K
PROF=RB
E=K
PROF=RB
E=(L)esni
PROF=RB
67
68
E=L
PROF=RB
69
70
E=L
PROF=RB
71
72
E=L
PROF=RB
73
74
75
76
77
78
79
80
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
81
82
83
84
PROF=RB
E1
PROF=RB
E1
85
86
87
88
89
90
PROF=RB
E=(S)ergio
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
91
PROF=RB
92
93
94
PROF=RB
E=(F)anny
PROF=RB
95
96
E=F
PROF=RB
buscando una multiplicación y no una suma (..., 28’00, ...).
Profe
Dígame
Por qué... bueno dice 2 tercios x positivo, por qué llega y cuando lo puso entre paréntesis, lo puso
negativo?
No sé, lo copió mal seguro, está bien sumado. Arréglelo (29’00, estudiante pasa a arreglarlo, 30’00,
... Kimberly 17, 31’00-32’00, observación sobre los pasos que copió, fusionó 3 en 2, 33’00).
Recuerden que aquí este número, es menor que estos (34’00) verdad, si? Y los exponentes de aquí, los
sacábamos restando, los exponentes; porque había que dividir esto entre esto. Entonces para dividir
potencias lo que hacíamos era restar exponentes verda cuando las potencias eran iguales, si? Y cuando
dividimos éste entre éste, entonces también restamos exponentes(P está escribiendo en la pizarra). Y
el otro queda, no queda, porque lo que dividí daba uno (35’00, pasa Lesnie a hacer la 18. Au
pregunta si la 15 está buena).
Hay un error, vamos para arreglarlo, este... Katherine. En el primero paso que usted hizo, cuando le
cambió los signos a todo el segundo paréntesis.
Esto queda negativo
Ajá. Entonces es menos 2 abajo. Y entonces ya no sería 3, cuánto sería menos 2 x a la 2, más x a la 2?
(37’00).
x a la 2?
Menos x a la 2!
Y borro éste? (P aciente. Diego la que sigue)
De dónde salió ese 6 a b? (38’00)
La copié mal?
No, no la copié mal, hay un error ahí, deje el cuaderno y vaya (al final resulta que algo había copiado
mal). Ok, cuando agrupó, en medio de los dos grupos puso una resta, en el paso anterior.
Aca?
Ajá. Si usted pone una resta ahí, tiene que tener mucho quidado porque después lo que puso adentro
del paréntesis, hay que cambiarle el signo.
Si entonces todos estos dan menos
No, a ese ya le cambió el signo, entonces sería más. Entonces abajo también sería más (39’00, P).
Entonces deje menos 3 b.
Menos 3 b
Y vea lo que usted hizo en el paso anterior. Usted multiplicó 2 a por 3 b, por qué hizo eso? (P). Qué
es lo que hay que hacer ahí?
Restarlo?
Mm?
Restar?
Restar qué?
Cómo?
Borre eso último. Cómo se factoriza esa última expresión que tiene ahí.
Eso es una... el factor común es eso
Ajá (L pregunta algo). Cómo se forma el otro factor? (40’00, ... devuelven a Diego a la pizarra.
Observación en el primer paso).
Después, en medio hay una suma verdad? Por qué puso menos 12 m y?
Porque le estoy cambiando los signos ... y estaba un menos
Y qué? Usted no ha sacado el menos todavía y puso una suma.
Si por eso, lo saqué de una vez (discusión sobre el procedimiento, 42’00, ... Pasa Jorge, Sergio,
Angie, 43’00, comentario de Sergio porque había copiado mal, 44’00).
Usted tiene ahí un y menos x y un y más x, si estuviera bien no podría sacar factor común
Ah!
Cómo era t por x, qué signo tenía?
Positivo
Y entonces, si usted sacó menos t...?
Ya... Aquí, entonces queda negativo (comentarios, 45’00. Pasan Leyla, Fanny y Catherine, 46’0048’00, ..., P pregunta si alguien hizo la 25 distinta. Un estudiante aciente y lo pasan a la pizarra,
49’00, ...).
Leyla devuélvase un momentito. El resultado está bueno, lo que hay son errores en los pasos, o un
error nada más. Cuando usted agrupa, lo único que está diciendo es estos los sumo por un lado y estos
los sumo por el otro, pero en medio de esos paréntesis debe de ir algo, porque no puede ser una
multiplicación. Ah... (50’00) qué distinto!
En esa hay un error también. Al principio cuál era el signo del 2? Era 2 o 12 ahí?
Aquí? (se entienden, era 12)
Además ese 2 a y era positivo, al inicio verdad. Lo ve arriba, originalmente era más 2 a y, si? Si usted
lo mete en ese paréntesis con un menos antes estaría diciendo que es negativo verdad. Entonces cómo
hace para arreglar esa torta? Vea, cuando usted pone un menos antes del paréntesis (51’00), tiene que
cambiarle a lo que está dentro del paréntesis, tiene que quedar con signo contrario de lo que estaba
antes. El12 y está bien, porque arriba era menos 12 y, si? Y entonces al poner un menos antes en el
paréntesis tiene que quedar positivo. Pero el 2 a y como era positivo y usted lo metió dentro de un
paréntesis con un menos antes, tiene que cambiarle el signo.
Entonces le cambio aca?
Si... Ok ahora vea, en la siguiente entonces era menos, ... y entonces el siguiente paso bórrelo.
591
97
98
E=F
PROF=RB
99 E=F
100 PROF=RB
101 PROF=RB
102 PROF=RB
103
104
105
106
E=(Va)nessa
PROF=RB
E=(Al)lan
PROF=RB
107
108
109
110
E=(S)ergio
PROF=RB
E=S
PROF=RB
111 Es
112 PROF=RB
113 E=(M)aría
Auxiliadora
114 PROF=RB
115 Es
116 PROF=RB
117
118
119
120
121
122
E=Al
PROF=RB
E=Al
PROF=RB
E
PROF=RB
123 PROF=RB
124 E=(L)uis
Miguel
125 PROF=RB
126 E=M
127 PROF=RB
128 E=M
129 Es
130 PROF=RB
131 E=L
132 PROF=RB
133
134
135
136
592
E=L
PROF=RB
E=M
PROF=RB
Todo?
Si no hace falta (...) Ahora, había otro error ahí porque... ya (52’00) está bien no tiene que arreglarle
nada, vea, usted tenía 6 menos a, a como lo tenía antes verdad, 6 menos a, 6 más a y 6 menos a, si?
Mjú
Si usted tiene 6 menos a y 6 más a, esos no son opuestos. Cuando usted saca un menos, es porque le
va a cambiar el signo a todo, entonces si tenía un 6 más a y saca un menos, le quedaría menos 6,
menos a, voy a escribirlo porque no sé si está siguiendo lo que estoy diciendo (P va a la pizarra).
Entonces si usted tiene esto, si usted saca un menos, entoncest tendría que tener menos 6 menos a.
Osea que hacer esto no le sirve para que le quede esto. La única opción que tiene para poder arreglar
esos signos es que sean opuesto; o sea que los signos de todo, estén al revés. Cuando es solo uno,
cuando es solo uno no se puede (53’00).
Preguntas? Están bien esas así. La veinticinco está buena de las dos formas (...). No hay preguntas?
(..., P pregunta si puede borrar la pizarra. Borra una parte, 54’00-55’00, Samis va hablar con P).
(56’03). Ok vamos a ver cuatro métodos para factorizar expresiones de dos términos. Una es factor
común verdad, que la podemos usas/ factor común la podemos usar con tres, con cuatro, con cinco,
con cualquier cantidad de términos, verdad. Hay un método que ustedes vieron el año pasado para
factorizar dos términos, cuál era ? (10s) Ustedes vieron adem’as de factor común, cuáles métodos ?
Fórmulas notables.
Ajá. Cuál fórmula notable me da como resultado dos términos ?
x menos b a la 2, entre paréntesis.
No porque esa/ el resultado más bien, porque esa da tres términos. Da x a la 2, menos 2 b x, más b a la
2.
Diferencia de cuadrados
Ajá. Cómo era la diferencia de cuadrados ?
Primer término elevado a la 2, menos el segundo elevado a la 2.
Diferencia de cuadrados, diferencia, de cuadrados (P escribe un negativo al pronunciar
« diferencia» , a² y b² uno a cada lado del negativo, cuando dice cuadrados). Verdad ? Cuando uno
tenía una resta de cuadrados, cómo factorizaba eso ? Qué producto me va a dar eso como resultado ?
a más b, por... (P escribe la fórmula completa). Con suma, (P escribe en la parte inferior de la
pizarra : « a²+b² no se puede factorizar ») con suma no podemos factorizarlo verdad, solo con resta.
Si ? No hay una multiplicación que me dé eso, la fórmula es solo con resta. Ahora vimos dos fórmulas
notables más, esto ustedes lo vieron el año pasado, verdad ?. Vimos dos fórmulas notables que nos
dan algo parecido a esto, cuáles eran ? (16s) Di busquen las hojitas y busquen las fórmulas notables !
Profe, la que es elevada a la tres.
Ajá. Cuando es elevado a la tres, si tenemos de las dos posibilidades, verdad. Hay con resta y hay con
suma (P escribe a3-b3 y a 3+b3). Cuando uno usa las fórmulas notables para factorizar, es al revés
verdad. Lo que hicimos antes era, teníamos las multiplicación y escribíamos el resultado verdad ?,
ahora vamos en reversa, tenemos el resultado y vamos a escribir la multiplicación. Mjú ? Esto cómo
se llama, una qué ? Si esto se llama una diferencia de cuadrados, cómo se llama esto ?
Una diferencia de cubos.
Ajá, y la otra ? La otra sería una … suma de cubos. Mjú ? Entonces, si uno tenía una resta de cubos,
cómo lo factoriza ? Recuerdan que había un producto especial verdad, para que me diera eso. No era
cualquier producto, cómo tenía que ser esa multiplicación ? De qué estaban conformados los
factores ? Mm ? Cómo era la fórmula para que diera esto ?
a menos b, que multiplica a a menos b, que multiplica a a menos b.
No, eso sería el cubo de la resta, no la resta de los cubos.
Y la otra ? La que decía a menos b que multiplica a a menos b al cuadrado ? Tampoco.
No cuál es la fórmula que daba esto como resultado ?
a menos b, por/
Pero no me lo lea así, descríbamelo. Cómo tiene que ser ese producto? En el primer factor qué
queda ? (Al dice algo, inaudible)
En el primer factor es un binomio, en este caso, que son la resta de a y b. Y cómo se formaba el otro,
se acuerda que estuvimos viendo cuándo era y cuándo no era fórmula ?
El doble del primero/
El doble no.
El cuadrado.
El cuadrado del primero…
Menos 2 por…
ab
Más, el producto de los dos. Y qué quedaba aquí ?
Más 1, b a la 2.
b a la 2. Ajá. Si, se acuerdan ? O sea que la resta de cubos, era el resultado de multiplicar un binomio
por un trinomio, pero no cualquiera, era un binomio, donde/
Profe pero en las hojas viene al revés.
Ah, ya lo habíamos arreglado, desde hace tiempo. Si verdad, ya lo habíamos corregido.
Si.
Y aquí ? Cuando es con suma de cubos ? Entonces aquí qué va ?
ReO
Ch
ReH
ReH
Od
Od
ReH
ReV
ReV
ReA
137 E
138 PROF=RB
139 E
Suma.
Suma de a y b. Y aquí ?
a a la 2, menos a b.
Factorización de expresiones de 2 términos
* factor común
* diferencia de cuadrados a²-b²=(a-b)(a+b)
* diferencia de cubos a3-b3=(a-b)(a²+ab+b²)
* suma de cubos a3+b3=(a+b)(a²-ab+b²)
a²+b² no se puede factorizar.
140 PROF=RB
141
142
143
144
145
146
147
Es
PROF=RB
E
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
148
149
150
151
152
153
154
155
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
PROF=RB
156
157
158
159
160
161
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
162
163
164
165
166
167
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
El cuadrado, aquí va al revés verdad el signo, y el cuadrado. Si se acuerdan que estos eran los
cuadrados de estos dos y aquí era el opuesto del producto de estos dos ? Y lo mismo aquí, que cuando
es con resta el binomio es con resta y que cuando es con suma, el binomio es con suma. Si ? Entonces,
cuando nos aparezcan expresiones con dos términos, primero, siempre vamos a ver si hay factor
común. Mjú ? Luego, vamos a ver si es de esta forma, si es de esta forma o si es de esta forma. Si no
es de ninguna de las tres, solo factor común, y si no aplicamos alguna de esas. Si es de estas dos
formas, porque podría ser, ahorita vamos a ver algún ejemplo, podría ser de estas dos, entonces vamos
a aplicar primero la diferencia de cuadrados siempre. O sea en este orden: factor común, diferencia de
cuadrados y luego cubos. Obviamente no puede ser de estas dos formas, verdad (P señala la
diferencia y suma de cubos). Este es con suma y éste es con resta. Si ? Las únicas que se podrían
repetir son estas dos. Bueno, repártanle las hojas (01h03’48. El presidente reparte la práctica que fue
a fotocopiar. P se ausenta. 01h06’39. P ha escrito 20-5x²). A ver tenemos ese polinomio de dos
términos. Primero nos preguntamos si tiene factor común. Hay factor común ahí ?
Si.
Cuál es ?
4
5
Cuál sería el otro factor ?
4 menos x a la 2.
4 menos, x a la 2. Ahora es una resta, entonces nos preguntamos, será una resta de cuadrados, una
resta de cubos o ninguna de las dos. Puedo expresar eso, el 4 lo puede expresar como 2 a la 2, así
verdad, entonces es una resta de cuadrados. Que se factoriza cómo ? El producto de dos factores, cuál
sería el primer factor ?
2 menos 4.
2 menos ?
x
x. Y el otro ?
2 más x.
1) 20-5x²
Está bien ? si ?
= 5(4-x²)
=5(2-x)(2+x)
Y queda ahí ?
Si. Por qué ya no puedo hacer más, porque esto es de exponente 1.
Entonces no puedo/ ya no se factorizaría más, se queda así.
(P escribe el segundo ejemplo: x3-27). En esa hay factor común?
No
No verdad. Es una resta de cuadrados ?
No
Una resta de cubos ?
Si.
Si porque esto lo puedo expresar como x al cubo, menos 3 al cubo, verdad ? Y entonces, la
factorización de una resta de cubos, es un producto de esta forma, cuál sería el primer factor en este
caso ?
x menos 3
x menos 3. Y el otro factor ?
x a la 2.
2) x3-27
El cuadrado de éste, ajá.
= x3-33
Más... 2 x
= (x-3)(x²+3x+9)
Más, el producto de los dos, más 3 a la 2.
(P escribe el segundo ejemplo: 250+2b3). Tiene factor común?
Si.
Cuál es?
2
Cuál sería el otro factor?
125 más b a la 3
125 más ?
b a la 3
Y ahí hago diferencia de cubos. Suma de cubos, suma de cubos.
Suma de cubos, porque esto es 5 a la 3, más b a la 3. Entonces, cuál sería el otro factor ?
5 más b.
5 más b. Y el otro ?
3) 250+2b3
5 a la 2.
= 2(125+b²)
El cuadrado de 5 que es ?
= 2(5+b)(25-5b+b²)
25
593
182
183
184
185
186
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=(F)abiola
PROF=RB
187
188
189
190
191
192
193
194
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=1
PROF=RB
E=1
PROF=RB
195 Es
196 PROF=RB
197
198
199
200
201
202
E=Al
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
203
204
205
206
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
207 E=L
208 PROF=RB
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
223 Es
224 PROF=RB
Como aquí hay suma, aquí vamos con… resta. Y el producto de los dos, más.
b a la 2
Estamos ? Eso es muy fácil verdad, porque es saberse las fórmulas, nada más.
Por qué en el primero no se puede desarrollar así ?
Aquí ? (F asiente). Porque estos son cubos, en cambio éstos son cuadrados. Si ? Para que sea de esta
forma, el exponente no tiene que ser necesariamente 3, si no un múltiplo de tres, verdad ? Aquí
también, aquí tiene que ser pares verdad, para poder usar diferencia de cuadrados (P escribe el cuarto
ejemplo: x9-x). x a la 9 menos x, qué le hacemos ? (01h12’14)
Factor común.
Factor común que sería ?
x
x por ?
x a la 8 menos 1.
x a la 8 ?
Menos 1.
Menos 1. Mjú. El uno tiene la ventaja que yo le puedo poner el exponente que yo quiera y sigue
siendo 1, verdad ? Si ? Entonces, esto es una resta de qué ?
De cuadrados.
De cuadrados. Y aquí puedo hacerlo con el cuadrado de x a la 4, menos el cuadrado de 1, verdad ? Y
entonces cómo lo factorizo ?
x más 1
x a la 4, menos 1 por x a la 4, más 1, si ? Está bien ?
Se puede seguir.
Ajá, cuál se puede factorizar más ? Este se puede factorizar más ? (P señala x4+1).
No
No verdad, por aquello que pusimos alla. Si? Bueno, no con los métodos que hemos visto hasta ahora.
Aquí? Esto es otra vez diferencia de cuadrados, verdad? Cómo se factorizaría esto? Este lo dejo igual,
verdad.Y este lo dejo igual (P se refiere a x y x4+1). Y x a la 4 menos 1, cómo lo puedo factorizar ?
x a la 2 menos 1
x a la 2 menos 1, por ?
x a la 2 más 1.
Podemos factorizar más. Cuál? Este, de nuevo el que es con resta verdad (P se refiere a x²-1).
Entonces los demás factores, se quedan igual (P copia los factores que quedan igual). Factorizo ese,
cuál es la factorización de ese ?
4) x9-x
x menos 1, por x más 1.
= x(x8-1)
x menos 1 (P completa la factorización). Está bien el cuatro, no
= x[(x4)²-1²]
hay dudas?
= x(x4-1)(x4+1)
(P escribe el quinto ejemplo: x²-5) Hay factor común en esa otra?
= x(x²-1)(x²+1)(x4+1)
(01h15’23) Ah?
No.
No verdad. Será una diferencia de cuadrados? Mm ? Si o no ?
No
Por qué no?
Por el cinco.
Y qué tiene el cinco?
Di que no tiene mitad.
Y qué tiene que ver que no tenga mitad?
Di que... (inaudible)
Qué? La misa de mañana parece que está rezando.
Profe, porque cinco no es par.
Cinco no es qué?
Par
Por qué par? No es par ni mitad lo que quieren decir, no es cuadrado perfecto, por la raíz cuadrada,
supongo que es lo que quieren decir. Pero por qué no tiene raíz cuadrada el cinco ? Cinco no tiene raíz
cuadrada que dé entera, pero si tiene raíz cuadrada. Verdad, raíz de cinco si es un número real. Si ?
Yo el cinco, si lo puedo escribir como, raíz de cinco, al cuadrado. Si ? Cualquier número real lo
podría escribir así. Si? Y entonces, cuál sería aquí la factorización ?
x menos raíz de 5.
x menos, raíz de 5. x más, raíz de cinco. Si ?
5) x²−5
Recuerden que para cualquier número positivo, yo lo puedo expresar, así
( )
siempre (P escribe: « Si a>0 a= a
2
). Si ? Y para cualquier número real,
( )
= (x − 5 )(x + 5 )
= x²− 5
2
ya no importa si es positivo o negativo, lo puedo expresar así (P escribe: « Si
3
a∈IR a= 3 a ). Si ? Si están deacuerdo con eso ? Entonces cómo podría factorizar esto ? (P
( )
225
226
227
228
594
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
escribió: x3-2).
Raíz cúbica de 2 a la 3.
Ajá, lo puedo ver como, x a la 3, menos raíz cúbica de 2 a la 3. Si ? Y entonce sería una resta de…
Cubos.
Cuál sería la factorización ?
Pr
Pr
DsR
Pr
Pr
Pr
DsD
DsR
DsR
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
E=L
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
x menos, x menos 2.
x menos…
Raíz cúbica de 2.
Raíz cúbica de 2. x a la 2… Mm ?
Más x raíz de 2.
Más…
x raíz cúbica de 2.
Ajá porque es el producto entre los dos. Más ?
6) x3 − 2
Raíz cúbica de 2 a la 2.
3
= x3 − 3 2
Y entonces cuánto es el cuadrado de raíz cúbica de 2 ?
(Suena el timbre, fin de la lección. 01h19’18.
= x −3 2 x² + x3 2 + 3 4
P termina de escribir la factorización). Está bien ?
Que un número no tenga raíz exacta en los enteros, no quiere decir que no tenga raíz. Entonces no
importa si la raíz queda un número irracional. Igual lo podríamos factorizar. Bueno, seguimos en la
próxima (01h19’44).
( )
( )(
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
(P ha escrito seis expresiones para factorizar. P pasa lista. 04’ 12) Qué método podemos usar en la
primera? (P se refiere a : 8n3n+y6n)
E=(I)gnacio Diferencia de cubos
PROF=RB Si usted me dice diferencia es porque hay una resta y ahí no hay resta.
E=(S)ergio Di suma de cubos
PROF=RB Suma de cubos (P escribe: ( )3 + ( )3). Ese primero es el cubo de qué término?
E
De 2
PROF=RB Ah ?
E=(M)aría De 2 x n.
Auxiliadora
PROF=RB x a la n (P lo escribe en el primer paréntesis que está elevado al cubo). Y éste es el cubo de ?
E
y 2 n (otros estudiantes dicen su respuesta. P lo escribe en el segundo paréntesis que está elevado al
cubo).
PROF=RB Ok, si es una suma de cubos, cómo se factorizaba ?
E=S
El primer término menos el segundo término.
PROF=RB Era, la suma de los dos términos, verdad. Si ? Y en el otro factor ?
E=I
Por el primer término al cuadrado.
PROF=RB Ajá, cuál sería el cuadrado del primer término ?
E=I
4x2n
PROF=RB Mjú
E=I
Más… Menos
PROF=RB Menos
E=I
La multiplicación del primero por el del segundo
PROF=RB Ajá, el producto de estos dos. Más ?
7) 8x3n+y6n
E=I
Segundo término al cuadrado.
= (2xn)3+(y2n)3
PROF=RB Y en este caso sería ?
= (2xn+y2n)(4x2n-2xny2n+y4n)
E=I
y 4 n.
PROF=RB (La segunda expresión a factorizar es: (a3-3a)(x3-b6)+(3a-25)(x3-b3). Comentarios sobre la directiva de
los padres de familia. 08’36). Shh, qué se hace en la otra ?
E=I
Se agrupan.
PROF=RB Cómo ? … cómo va a agrupar si solo hay dos términos !
E=(F)anny No se pueden trabajar los paréntesis así, por aparte.
PROF=RB Mm ?
E=F
No se puede trabajar primero, o sea ir resolviendo cada paréntesis ?
PROF=RB Cómo resolviendo cada paréntesis ?
E=F
El primero sería una diferencia de cuadrados
Es
No.
E=F
Porque al hacer el polinomio/
E=I
Sería común.
E=M
Factor común
E
a y a.
E=F
No porque se agarra/ ah no si !
E=S
Cómo va ser factor común un solo paréntesis ?
E=I
Y el segundo si es diferencia de cubos
E=M
Profe no se puede agrupar por ejemplo, a a la 2, menos 3 a y a menos 25.
PROF=RB Si pero no es por agruparlos, si no porque hay un factor común que es éste.
Es
Ah.
E=F
Ven yo les dije
PROF=RB Entonces saco un factor común, que quedaría, a al cuadrado, menos 3 a, más, 3 a menos 25 (P escribe en
la pizarra). Entonces esto sería el cubo de x, menos, b a la 6, y cuánto va a dar eso ?
PROF=RB
(Th-Tc)
595
46
47
48
49
50
51
52
53
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
Es
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=1
Es
E=1
E=(A)iling
PROF=RB
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Es
PROF=RB
E
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
E
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E
PROF=RB
E
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
91
92
93
94
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
95
96
97
98
99
100
101
102
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
103 E=F
104
105
106
107
108
596
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
a a la 2 menos 25.
a al cuadrado...
menos 25 (P lo escribe)
Mjú. Esto con qué lo factorizo (P se refiere a: a²-25).
Di, diferencia de cubos.
Y éste ?
Con diferencia de cuadrados.
Mjú. Entonces esto es, x a la 3, menos, el cubo de b a la 2, verdad. Aquí es el cuadrado de a, menos... el
cuadrado de 5. Si ? Entonces, al usar resta de cubos en este caso, qué vamos a obtener ?
x menos b
x menos ?
b
b a la 2. Por ?
x a la 2
x a la 2
8) (a3-3a)(x3-b6)+(3a-25)(x3-b6)
= (x3-b6)[(a²-3a)+(3a-25)]
Más x b a la 2.
= (x3-b5)(a²-25)
Más x b a la 2… b a la 4.
= [(x)3-(b²)3](a²-5²)
Profe.
= (x-b²)(x²+xb²+b4)(a-5)(a+5)
Diga
Y por qué ahí queda x sin exponente y b a la 2 ?
Porque era a la 6, en cambio el x era a la 3. Mjú ? Todo esto es de éste, y ahora en este caso ?
a menos 5
O más 5
Y a más 5.
Profe por qué es que ahí queda x más b ?
Si, los dos términos que están al cubo, restándose. (Comentarios de dos estudiantes sobre planes del día.
86s). La otra qué serían ? (13’30)
Factor común
Diferencia de cubos no, porque acaso esto es un cubo.
Factor común.
Esto no es una diferencia de cubos, este es el cubo de una resta, que es distinto. Cuál es el factor común ?
2 x menos 1
Qué queda en el otro factor?
2 x menos 1 a la 2
9) (2x-1)3-4y²(2x-1)
4 y a la 2
=
(2x-1)[(2x-1)²-4y²]
Y ahora ? Lo que está dentro del paréntesis cuadrados qué es ?
= (2x-1)[(2x-1)²-(2y)²]
Diferencia de cuadrados ?
= (2x-1)[( 2x-1)-2y] [(2x-1)+2y]
Ajá. Entonces, esto ya se sabe qué es, esto es el cuadrado de ?
= (2x-1)(2x-1-2y)(2x-1+2y)
2 x menos 1
Entonces, 2 x menos 1, por ?
x
2 x menos 1…
Menos
2y
Ajá, y en el otro ?
x menos 1, más 2 y.
Ya está factorizado, verdad. Entonces podemos quitar estos paréntesis redondos, nada más como para que
no queden en la operación.
(un estudiante hace una pregunta fuera del tema. P recuerda la fecha del examen, comentarios del
examen. 16’42). Qué método usamos ahí ? (12s) Cuál métodos usamos aquí ?
Podría ser también de cubos, verdad ?
Mjú. si
Si ? Siempre vamos a ser, cuando vienen cuadrados y cubos, siempre vamos a ser primero cuadrados,
porque así obtenemos más factores. Esto sería el cuadrado de qué ?
De x a la 3
De x a la 3 n, y el otro es el cuadrado de ?
8
De 8. Cómo quedaría la factorización, entonces ?
x, a la 3 n, menos 8 (P escribe en la pizarra). x, 3 n, más 8.
Mjú. Ahora la… el primer paréntesis, qué le podemos hacer ?
Diferencia de cubos. El segundo ? … Suma de cubos, porque esto es el cubo de x a la n, verdad ? Menos
el cubos de ? … 2 Y aquí es el cubo de, lo mismo verdad ? (P escribe. 19’01).
Qué es esa cosa que está alla? En el último … que utilizó una … paréntesis cuadrados, después redondos y
hay algo ahí.
Al factorizar una resta de cubos, qué quedaría ?
x, n
x a la n
10) x6n-64
Menos 2
=
(x3n)²-(8)²
Menos2.
3n
3n
= (x -8)( x +8)
= [(xn)3-(2)3] [(xn)3+(2)3]
= (xn-2)(x2n+2xn+4) (xn+2)(x2n-2xn+4)
Pr
Pr
109
110
111
112
E=(A)na
PROF=RB
E=A
PROF=RB
x2n
El cuadrado del primero
Más 2 x n, más 4
más 4. Si ?, y el otro ? (inaudible los comentarios de los estudiantes). x a la n…, más 2.
Si lo hacen con diferencia de cubos, primero tienen tres factores, si lo quieren hacer para que vea que solo
salen tres; en cambio así salieron 4, entonces para… (La expresión siguiente es: 125 x3 − 5 x(x+2)²
8
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
E=S
E=M
PROF=RB
E=M
E=I
PROF=RB
E
E
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=S
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
138 E=I
139 PROF=RB
140
141
142
143
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
144
145
146
147
148
149
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
150
151
152
153
154
155
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
2
21’20) En el once, qué hacemos ?
Factor común
Factor común primero, cuál es ?
5
5 medios x
5 medios x. Y el otro factor ?
x
25
25…
x a la 2
x a la 2…
Entre 4
Si ?
Que una diferencia de cuadrados.
Qué método usamos ahí ?
11) 125 x3 − 5 x(x+2)²
8
2
Mjú. Este es el cuadrado de ?
= 5 x 25 x² −(x+2)²
2 4
5 medios x
= 5 ⎡5 2
⎤
Entonces sería, 5 medios x. Cuál sería el primer factor ?
x x −(x+2)²⎥
2 ⎢⎣ 2
⎦
5 medios x, más x más 2.
= 5 x 7 x + 2 3 x −2
Cómo ?
2 2
2
5 medios x
5 medios x
más x más 2.
Más x más 2 (algunos estudiantes dicen el siguiente término, inaudible. 23’19). Hay semejantes en esos
términos, verdad ? Cuánto es 5 medios x más x?
5 x a la 2
Ay Señor ! Suma, no multiplicación (otras respuestas incorrectas inaudibles). No, no. Una unidad cuántos
medios son ? … 2. Entonces 5 medios más 2 medios. Aquí hay un uno verdad ? Y un 1 es lo mismo que 2
medios, entonces 5 medios más 2 medios ?
7 medios.
Y aquí ?
3 medios x
Mjú.
(La siguiente expresión es: 27 3x 4 −125 3xy15 . 25’46). Hagan la otra
[
(
( )
]
)( )
Pr
expresión ustedes (26’04). Qué hacen primero ? (intervención de E=I,
inaudible). No. Si es cierto, tienen raíz cúbica, pero aquí hay una x.
Factor común
Ajá. Cuál es el factor común ?
Raíz de 3, x (intervención de un estudiante, inaudible. Un estudiante pasa a la pizarra a hacer el ejercicio).
Ahora qué método uso ? (15s) Cuál método va a usar ?
Diferencia de cubos
Entonces la gracia es poner cada uno elevado, como algo elevado a la 3. O sea lo que usted quiere es
buscar esta forma y esta forma; entonces qué iría en el primero ?
3x
Ajá, y en el otro ?
125
No, 125 no. Qué número elevado a la 3 da 125 ?
5
Ajá, entonces (P escribe: (3x-5y)). No, el primer factor cómo es ?
12) 27 3x 4 −125 3xy15
(E=I borra y escribe (3x-5y²) y continua con el segundo factor). De
una vez, cuál es el cuadrado de 3 ? Si, pero cuánto da eso, de una
= 3x(27x3 −125y15 )
vez (29’47. El timbre suena). El producto de los dos de una vez, 3
= 3x (3x )3 −(5y 5 )3
por 5 ? Está bien eso ?
Tienen la hoja aquella que es para el lunes, verdad ? Lunes, es ? Y,
= 3x[(3x −5y )(9+ x² +15xy5 + 25)]
espero que ya la hayan empezado, porque la página 6, también la
revisamos el lunes (P les indica que revisarán sólo las impares de la
página 6. 31’50).
[
]
597
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=(I)gnacio
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
E=(R)andall
PROF=RB
E=R
PROF=RB
E=(S)ergio
PROF=RB
E
PROF=RB
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
E=I
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
598
E=(M)aría
Auxiliadora
PROF=RB
E=M
PROF=RB
(04’09) Qué son números cuadrados perfectos? Qué es un número cuadrado perfecto y cuáles son ?
2… el 2 profe
2 qué ?
2 es un número cuadrado perfecto
No.
4 (P pasa lista)
Qué me estaba diciendo perdón ? (05’21)
4
Por qué 4 es un número cuadrado perfecto ?
Porque digamos, 2 a la 2 es 4.
Al sacarlo de la raíz.
De cuál raíz ?
De la raíz cuadrada.
Por qué 4 es cuadrado perfecto.
Que la raíz sea un número entero
Y por qué la raíz es un número entero ?
Porque es cuadrado perfecto.
Es cuadrado perfecto porque la raíz cuadrada es un número entero. O sea porque se puede escribir como
el cuadrado de otro número, verdad. Cuáles otros son cuadrados perfectos ?
8
9, 6
Porque 9 es el cuadrado de?
3
16 que es el cuadrado de ?
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
4
números
Pero aquí falta uno.
cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
1
perfectos
1², 2², 3², 4², 5², 6², …
1 que es el cuadrado de 1.
25
Etcétera.
O sea, cuadrados perfectos son todos los números enteros que se pueden expresar como el cuadrado de
otro número entero. Entonces qué es un polinomio cuadrado perfecto ?
Di que tiene términos enteros.
ReS
DsD
DsR
DsD
DsD
[ReO]
ReA
ReS
No
Cuadrados perfectos
No. La gracia no es que sean cuadrado perfecto los coeficientes, si no el polinomio, todo el polinomio
completito. Cómo sé si un polinomio es cuadrado perfecto ? (comentario sobre el calor que hace). Qué
es un polinomio cuadrado perfecto ? (P llama la atención a un estudiante. 08’21). Si un número es
cuadrado perfecto si lo puedo expresar como el cuadrado de otro número entero, qué será un polinomio
ReA
cuadrado perfecto ? Ah ?
E=M
Todo el polinomio se puede expresar, a la 2.
PROF=RB
Más o menos; pero no todos se pueden expresar en forma de cuadrados. Esos que se pueden expresar
como otro polinomio al cuadrado, o sea si tengo un polinomio que lo puedo expresar como otro
polinomio al cuadrado, esos son a los que les vamos a llamar cuadrados perfectos. Por ejemplo éste.
Od
Este es el cuadrado de quién ? (09’11. P escribe: x²+6x+25)
E=I
De x… de x más 5
PROF=RB
Eso es lo mismo que x más 5, al cuadrado, verdad ? (09’21. P escribe: x²-6x+25=(x+5)²). Si? Si o no?
Si tengo este otro polinomio (P escribe: x²-6xy+9y²), será cuadrado perfecto ?
PROF=RB
Mm ?
Es
Si, no.
PROF=RB
El cuadrado de qué ?
Es
De x… x menos 3 y.
PROF=RB
Si ? (P escribe: x²-6xy+9y²=(x-3y)²). Ese será un cuadrado perfecto ? (P ha escrito:
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz). Ese es el cuadrado de qué ?
E=(S)tephanie De x más y más z.
PROF=RB
El cuadrado de x más y más z, verdad. Si ? Entonces todos los polinomios que los pueda escribir como
el cuadrado de otro polinomio, a esos los vamos a llamar, cuadrados perfectos. Pero solo nos van a
interesar los trinomios, o sea que éste no. Y si son trinomios cuadrados perfectos, cuáles fórmulas
vamos a usar ? … Para que me dé el cuadrado, si es un trinomio, tiene que ser el cuadrado de un
binomio, verdad. Y si es un binimio, puede ser con suma o puede ser con resta, para que dé el cuadrado
de una suma, tendría que tener esta forma (P escribe: a²+2ab+b²=(a+b)²) y para que dé el cuadrado de
una resta (11’18. interrupción en la grabación, cambio de baterías).
Es
(Durante el cambio de baterías, P escribe en la pizarra)
Polinomios P(x)=[Q(x)]²
(00’00) x y
cuadrados
PROF=RB
x y. Y este es el cuadrado de ?
perfectos
Es
5
x²+10x+25=(x+5)²
PROF=RB
5. Y aquí sería ?/ Para que sea fórmula notable tiene que
x²-6xy+9y²=(x-3y)²
x²+y²+z²+2xy+2xz+2y²=(x+y+z)²
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
1) x²y²+10xy+25
49
50
Es
PROF=RB
51
52
E=I
PROF=RB
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
E=S
PROF=RB
E=S
PROF=RB
E=M
E=S
Es
PROF=RB
E=S,M
E=S
PROF=RB
64
65
E=I
PROF=RB
66
67
68
69
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
70
71
72
73
74
75
76
77
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
ser 2, por esto, por esto, cuánto da este producto.
10 x y
Precisamente lo que dice ahí, verdad. Entonces eso sería el
cuadrado de ?
xy
x y. Si ?
Eso si lo vieron, verdad ? El año pasado (algunos
estudiantes mueven la cabeza firmemente de izquierda a derecha). Umm nunca ven nada, qué
mentirosos que son.
Profesor
Dígame
No, es que nosotros de factorización no vimos nada porque no entraba en el examen del ministerio.
Después del examen del ministerio lo vieron.
No dio tiempo.
1) x²y²+10xy+25
No lo vimos
= (xy)²+2⋅xy⋅5+(5)²
No.
= (xy+5)²
Ah, seguro no venían a clases.
Si íbamos.
No porque la profesora dijo, eso no me interesa (comentarios de algunos estudiantes).
Ch
Bueno no importa (P escribe en la pizarra: − 1 c²−5c−25 ). Ese otro, será cuadrado perfecto?
4
Cuál ? … Si.
(01’47). Por los signos, así como está no podría ser todos negativos, porque así como está no podría ser
ninguna de esas fórmulas, verdad. Pero si todos están negativos, cómo podemos arreglarlo.
Cambiando el signo
Mm ?
Cambio el signo.
(4
podría ser un cuadrado perfecto. Este es el cuadrado de quién ?
Un medio.
25 es el cuadrado de ?
5
Entonces aquí, 2; aquí falta la c, por un medio c, por 5. Cuánto es 2 por un medio ?
1
Entonces si sirve, verdad ? Daría 5 c. O sea que esto es menos, el cuadrado de?
Un medio c.
Un medio c (P hace comentario a un estudiante sobre la « cara de dormido que tiene »).
Será eso un cuadrado perfecto ?
(04’36. P ha escrito: 5+2 5 xy²+ x²y 4 ).
78
79
80
81
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
82
83
84
85
86
87
88
Es
PROF=RB
Es
E=S
PROF=RB
Es
PROF=RB
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
E=(F)abiola
PROF=RB
E=F
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=I
PROF=RB
E=F
PROF=RB
99
E=F
)
Sacando un menos 1, ahí (P escribe en la pizarra: − 1 c²+5c+25 ). Así ? Ahora eso que quedó ahí si
2) − 1 c²−5c−25
4
(
)
= − 1 c² +5c + 25
Si
4
2
Esto no es un cuadrado, porque aquí no hay un exponente par verdad ?
= − ⎡ 1 c + 2⋅ 1 c⋅5+(5)²⎤
Mjú.
⎢⎣ 2
⎥⎦
2
Los cuadrados deben ser los otros dos. 5 lo puedo expresar como el
2
= − 1 c+5
cuadrado de ?
2
Raíz de 5.
Raíz de 5. Y esto como el cuadrado de ?
xy
x y a la 2
Entonces aquí debería de ir, 2, por raíz de 5, por x y a la 2. Si ? Entonces esto es el cuadrado de ?
Raíz de 5.
Raíz de 5.
3) 5+ 2 5 xy² + x²y 4
(P escribe: 3ab−9a²− b² , luego atiende individualmente la duda
2
= 5 + 2⋅ 5⋅xy² +(xy² )2
4
de un estudiante). El otro, cómo sería ?
2
= 5 + xy²
Se acomoda para que ese a b quede en el centro.
Mjú. Por qué quiere que quede ese 3 a b, en el centro ?
Porque es el resultado de… de dos veces el primero por el segundo.
Los cuadrados son los otros dos, entonces si queremos expresarlo de aquella forma ?
Acomodamos los términos.
Y ahora ?
2
4) 3ab−9a²− b² = 3a− b
Sacamos el menos y cambiamos el signo.
4
2
Por qué ?
= −9a² +3ab− b²
3 a, menos b sobre 2 al cuadrado.
4
Pero así como está no puede ser porque no pueden estar negativos los que están
= − 9a² −3ab+ b²
elevados al cuadrado.
4
Entonces se saca el menos fuera del paréntesis.
2
⎡
= − (3a )² −2⋅3a⋅ b + b ⎤
2 2 ⎦⎥
⎣⎢
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
()
DsD
DsD
Th
599
100
101
102
103
104
105
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
E=L
PROF=RB
106
107
108
109
110
E
PROF=RB
E=F
PROF=RB
E=F
111
112
113
114
115
116
117
PROF=RB
E=F
PROF=RB
E=F
PROF=RB
E=F
PROF=RB
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
E=F
PROF=RB
E=F
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=F
PROF=RB
E=F
PROF=RB
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
134
135
136
137
138
139
140
141
142
E=M
PROF=RB
E=F
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=M
E=S
PROF=RB
143 E=S
144 PROF=RB
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
600
E
PROF=RB
E
PROF=RB
E=F
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
PROF=RB
Es
PROF=RB
E=I
Si ? (comentario sobre actitud de un estudiante) 9 a a la 2 es el cuadrado de ?
3
3a
3 a. b a la 2 sobre 4, es el cuadrado de ?
b a la 2
Entonces sería 2, por 3 a, por un medio. Cancelo esto y queda
3 a b, está bien ? Entonces esto es la factorización de… menos,
3a
3 a.
Profe
Dígame
Allí, para no haber hecho eso, a la hora del resultado, no se puede tomar el resultado del de el centro. O
sea el signo del número que viene en el centro. A la hora de acomodarlo le va a quedar, menos 9 a a la
2, más 3 a b menos b a la 2 sobre 4, entonces se toma el más/
Y los menos que están a los lados qué ?
No porque… ya los cambió. Ahí el resultado si usted le cambia eso entonces sería, menos 3 a, más b 2.
No le entiendo lo que me está diciendo. Dígame otra vez.
O sea/
A dónde, al final? Meter el menos al paréntesis ?
* cambiar el signo a todo eso.
No. Al final en la respuesta. No porque tiene un exponente par. No es lo mismo porque/ si usted tiene
aquí algo al cuadrado, qué sé yo... eso (P escribe: -(7)²), le va a dar menos 49 verdad. Usted le cambia
el signo metiéndole el menos ahí, le está cambiando el signo al resultado (P escribe: (-7)²). Entonces si
tiene exponentes pares no puede cambiarles los signos. Si es un impar si, no importa, pero como es
exponente par, no. Si ? (P escribe: x²+2xy+y²-z²). Ese obviamente no es un trinomio, verdad ? Pero
cómo vamos a usar, para factorizar ese, usemos el mismo método que usamos para los anteriores. Si uno
tiene cuatro términos, qué tiene que hacer?
Resolver los primeros tres.
Por qué los primeros tres ?
Porque el que está en el centro es el resultado del doble del primero por el segundo.
Estos tres, hacen uno de esos, verdad ? Si ? Y sería el cuadrado de qué ?
De… x más y
Y eso que me quedó ahora cómo lo factorizo ? Mm ? Con qué método ? Qué método ?
Diferencia de cuadrados. Cómo sería ?
x más y
x más y
x menos y
No, menos z.
5) x²+2xy+y²-z²
x más y
= (x+y)²-z²
= [(x+y)-z] [(x+y)+z]
x más y
Más z.
Si ? Esto no es una factorización verdad ? Porque hay una resta aquí, la resta de estos cuadrados. Esto
más esto es un factor y esto menos esto sería el otro (12’54). (P escribe: a²-6a+9-b²-10bc-25c². 13’19).
Y ese?
Se divide en dos trinomios, se hace uno primero y después el otro.
Ajá (E=M dice algo, inaudible). Cuáles agrupo primero ?
a a la 2, menos 6 a más 9.
Quedaría, menos b a la 2, menos 10 b c, más 25, c a la 2. Esto es un cuadrado perfecto ?
Si
El cuadrado de qué ?
De a más 3.
a menos 9
Bueno voy a ponerlo así, a al cuadrado... más 2 ... así verdad? ... Si? Aquí todos son negativos,
entonces... puedo sacar el menos. Entonces b al cuadrado, y aquí sería el cuadrado de ?
5c
5 c. Entonces aquí queda 2, por b, por 5 c, verdad. También es cuadrado perfecto. Cómo queda
factorizado el primer grupo, entonces?
a a la 2
Cómo ?
a a la 2
a…
Menos 3.
Menos 3. Y este otro ?
b más 5 c (varios estudiantes a destiempo)
b más 5 c. Y ahora ?
6) a²-6a+9-b²-10bc-25c²
Diferencia de cuadrados. Qué quedaría en el primer factor ?
= (a²-6a+9)+(-b²-10bc-25c²)
(inaudible las respuestas)
= (a²-6a+9)-(b²+2⋅b⋅5c+(5c)²)
= (a-3)²-(b+5c)²
No es a más 3. Este es uno y éste es el otro. Y el otro quedaría ?
= [(a-3)+(b+5c)] [(a-3)-(b+5c)]
a
= (a-3+b+5c)(a-3-b-5c)
ReA
DsD
Pr
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
PROF=RB
Es
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
170
171
172
273
174
175
176
177
178
179
180
E=F
Es
PROF=RB
Es
PROF=RB
E
E
PROF=RB
Es
E
PROF=RB
181 E
182 PROF=RB
a menos 3
(inaudible las respuestas)
Profe… por qué ahí en la seis, es así… abajo ? Se pone todo en un solo paréntesis.
Porque se están sumando y si se están sumando esos paréntesis no hacen falta.
Pero no en todas se puede !
Mm
No en todas se puede !
Como?
Por ejemplo, en la anterior?
Ah si se puede ! Si se puede, este paréntesis tampoco importa.
Ah… entonces se puede expresar de la forma que uno quiera.
Si, si. Lo que pasa es que si no hay semejantes… si no hay semejantes no importa, pero si hay
semejantes hay que sumarlos. Cómo hacemos esa otra ? (P ha escrito: m4-18m²+81). Mm ? (17’20).
m a la 4
m a la 2, menos 9
El cuadrado de m a la 2, y el cuadrado de…
9
9. Y aquí queda el doble de m a la 2 por 9 ? Entonces cuál es la factorización ?
m a la 2, más 9
m menos 9
Si? Si se fijan, lo que quedó dentro del paréntesis, qué le podemos hacer?
Sacarle…
Diferencia de cuadrados, verdad ? Porque esto es el cuadrado de m, menos el cuadrado de 3. Entonces
cómo se factoriza esto ?
m menos 3
m menos 3, m más 3; pero todo eso estaba al cuadrado verdad. Está bien?
7) m4-18m²+81
Entonces me queda el cuadrado de m menos 3, por el cuadrado de m más 3.
= (m²)²-2⋅m²⋅9+(9)²
(P hace comentario sobre un estudiante). Y este último ya (18’54. P ha escrito:
= (m²-9)²
x6+2x3+1)… Ah ?
=[(m-3)(m+3)]²
Pr
Pr
=(m-3)²(m+3)²
183
184
185
186
187
E=F
E=M
PROF=RB
Es
PROF=RB
188 E
189 PROF=RB
190 E=V
191 PROF=RB
Se le saca raíz cúbica al 1.
Es el cuadrado de x a la 3, el cuadrado de 1.
Y aquí va el doble, del producto de los dos términos. Entonces cómo factorizamos ?
x a la 3
x a la 3, más 1… Al cuadrado. Pero lo que quedó dentro del paréntesis, qué es ? El cubo de 3, más el
cubo de 1. Cómo se factoriza eso ? Cómo ?
x más 1/
8) x6+2x3+1
x más 1, y el otro ? (un estudiante contesta, inaudible). Ok, elevamos
= (x3)²+2⋅x3⋅1+1²
cada uno, mejor. Si?
= (x3+1)²
=[(x+1)(x²-x+1)]²
Preguntas? (20’50)… ninguna, todo clarísimo ?
=(x+1)²(x²-x+1)²
Más o menos.
Qué menos? … Vean que ahí combinamos, cada vez que veamos un método nuevo vamos a ir metiendo
todos los anteriores para ir combinando, porque solo hacer cuadrados perfectos es muy aburrido, más
bonito es que tengan otro ahí también (21’38. Suena el timbre). No, bueno. Hasta el lunes.
Pr
VI.4.6 RB-2003200610H : INSPECTION (1)
1
2
PROF=RB
E=(L)uis
Miguel
(01’51. P ha escrito varias expresiones para factorizar, en la pizarra) A ver hicimos, factorización de
trinomios pero nada más que fueran cuadrados perfectos, verdad? Ahora vamos a ampliar la clase de
trinomio que podemos factorizar, con este otro método. Aunque este otro método no factorice/ no nos
permite factorizar todos los trinomios, al menos nos va permitir factorizar algunos que no son cuadrados
perfectos y los que son cuadrados perfectos también. Este método es muy sencillo. Inspección es como
batear, verdad ? Mjú? Es buscar, probando, un bateo inteligente verdad no un bateo tonto, encontrar dos
binomios que multiplicados den, ese trinomio que está ahí. Por ejemplo en el primero, yo necesito
encontrar dos binomios que multiplicados den, x a la 2, más 11 x, más 30 verdad ? Recuerden que, si yo
tengo un producto de dos binomios, si aquí me dio x a la 2, ni modo, tenía que haber, bueno como los
coeficientes son enteros, x por x, verdad ? Si ? Ahora aquí debería de haber un número (un estudiante que
P solicitó ir a sacar unas fotocopias regresa). Los números que ponga aquí, multiplicados deben dar
cuánto ?
30
Tc
Factorización de trinomios por inspección
(1) x²+11x+30=(x )(x )
3
4
5
6
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
Ajá, deben producir este 30 que queda aquí, verdad ? Y cómo debo obtener el 11 x ?
Sumandolos
Sumando qué ?
Los números de estos dos.
601
7
PROF=RB
8
9
10
11
12
13
14
15
E
PROF=RB
E=(M)aría
Auxiliadora
PROF=RB
E
PROF=RB
E=(R)andall
PROF=RB
16
17
E=L
PROF=RB
18
19
20
21
E=L
PROF=RB
Es
PROF=RB
22
23
E
PROF=RB
24
25
26
27
E=M
PROF=RB
E=M
PROF=RB
28
29
30
31
32
33
34
35
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=L
PROF=RB
E=M, Es
PROF=RB
Si en este caso porque aquí no hay, aquí hay un 1, nada más. Pero, esta x se tiene que multiplicar por esta
verdad. Y el número que está aquí se tiene que multiplicar por esta x. Y la suma de estos dos resultados
me tiene que dar ? 11 x. Ok ? Entonces, en lugar de ponerlos así, vamos a ponerlos aquí. x a la 2 lo voy a
separa como x por x. Lo voy

annexes - thèse - Université Toulouse III

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