Optimización de la Estrategia de Selección de

Optimización de la Estrategia de Selección de

Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Optimización de la Estrategia de Selección de Piezas de
Video en Redes P2P
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Maestrı́a en Ingenierı́a Matemática
Pablo Romero
Tutores:
Dr. Franco Robledo Amoza
Dr. Pablo Rodrı́guez-Bocca
Universidad de la República Oriental del Uruguay
Publicaciones
16 de noviembre de 2009
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
1 / 27
Contenidos
Pablo Romero
1
Motivación
2
Contribuciones
3
Modelo Matemático
4
Estrategias
5
Problema de Optimización Combinatoria (COP)
6
Algoritmo Principal
7
Resultados y Conclusiones
8
Publicaciones
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
2 / 27
Motivación
Pablo Romero
-
Aplicaciones para sus usuarios
Contenidos
Motivación
Contribuciones
- Gran porción del tráfico de Internet es P2P
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
- Contraste con modelo cliente-servidor (no escalable)
- Protocolos propietarios
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
- Cooperación:
Publicaciones
- Seleccionar Par
- Seleccionar Pieza
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
3 / 27
Contribuciones
Pablo Romero
-
Déficit de previas estrategias
Contenidos
Motivación
Contribuciones
- Nueva Familia de estrategias de selección de piezas
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
- Propiedades
- Algoritmo seguidor de Estrategias ideales
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
- COP y Algoritmo Principal
- Aplicación de nuevas estrategias en GoalBit
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
4 / 27
Proceso de Investigación
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Video Streaming
Contribuciones
Modelo
Matemático
QoE
Estrategias
Continuidad
Latencia
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Interpretacion
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Heuristicas
Publicaciones
Resolucion
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
Modelo
Problema de
Optimizacion
Combinatoria
16 de noviembre de 2009
5 / 27
Modelo (1)
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Un servidor S en la red
M pares idénticos con capacidades de buffer N
El servidor corta el video en piezas (chunks)
En cada ranura de tiempo, el servidor elige un par al azar y envı́a
una pieza
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
P2
P1
1
N
1
N
TS1
Resultados y
Conclusiones
S
Publicaciones
PM
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
P3
TS2
P4
16 de noviembre de 2009
6 / 27
Modelo (2)
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
pi : probabilidad de tener la pieza correcta en la
posición i
si : probabilidad de elegir el ı́ndice i en la consulta
Bajo estado estacionario, pi es idéntico en cada par:
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
1
M
= pi + (1 − pi )pi si ,
p1 =
pi+1
i ∈ {1, . . . , N − 1}
continuidad de reproducción: pN
latencia inicial: E {NB } = p1 + · · · + pN
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
7 / 27
Estrategias de Selección de Piezas
Inicio de Consulta en Rarest First
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
1
N
Inicio de Consulta en Greedy
1
N
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
sRF
= (1 −
i
sG
i = (1 −
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
i−1
2
1 Y
)
pj + (1 − pj )
M j=1
N −1
1 Y
)
pj + (1 − pj )2
M j=i+1
16 de noviembre de 2009
8 / 27
Una nueva Familia de Estrategias
Pablo Romero
Contenidos
Consideremos una permutación arbitraria π de los ı́ndices
{1, . . . , N − 1}:
Motivación
2
1
3
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
1
N
- A cada permutación π le corresponde una estrategia que cumple:
Resultados y
Conclusiones
sπ(i) = (1 −
Publicaciones
i−1
1 Y
)
1 − pπ(j) (1 − pπ(j) )
M j=1
- Disponemos de una estrategia de selección de piezas por cada
permutación
- ¿Qué estrategia es la mejor?
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
9 / 27
Propiedades de la Familia
Pablo Romero
-
Continuidad Imperfecta: pN < 1
Contenidos
Motivación
Contribuciones
- Extendibilidad
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
- Monotonı́a de la función de selección: sπ ↓
- Propiedad de Aproximación de Estrategias
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
10 / 27
Propiedad de Aproximación de Estrategias (PAE)
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Propiedad
Para cada secuencia inyectiva x1 , x2 , . . . , xN −1 , existe un miembro
de la familia de estrategias de permutación s tal que
∀i, j : xi > xj → si > sj .
Prueba. Toda secuencia inyectiva se puede ordenar de forma que
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
xπ(1) > xπ(2) > . . . > xπ(N −1)
(1)
Llamando s a la estrategia correspondiente a la permutación π, por
la Propiedad de Monotonı́a sabemos que:
Publicaciones
sπ(1) > sπ(2) > . . . > sπ(N −1)
(2)
QED
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
11 / 27
Sistema Seguidor de Estrategias Ideales
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
pi
Estrategias
(pi+1-pi)/((1-pi)pi)
sideal
PAE
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
12 / 27
Experiencia con el Sistema Seguidor
Pablo Romero
1
18
Entrada Segmentada
Contenidos
0.8
14
Motivación
0.7
12
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
0.4
Estrategia Ideal
10
8
6
0.3
4
0.2
2
0
0
-2
0
1
5
10
15
20
Indice
25
30
35
40
0
1
Probabilidad de Ocupacion
5
10
15
20
Indice
25
30
35
40
20
Indice
25
30
35
40
Estrategia Factible
0.9
0.8
0.5
Probabilidad de Ocupacion
Publicaciones
0.5
0.1
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
0.6
0.7
Estrategia de seleccion
Contribuciones
Estrategia de seleccion
16
Probablidad de Ocupacion
0.9
0.6
0.5
0.4
0
0.3
-0.5
0.2
0.1
0
-1
0
5
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
10
15
20
Indice
25
30
35
40
0
5
10
15
16 de noviembre de 2009
13 / 27
Subfamilia de Permutaciones
Pablo Romero
Definición
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
La subfamilia de permutaciones son los miembros de la familia de
permutaciones cuya estrategia de selección presenta exactamente un
máximo relativo (pico), que no es absoluto. Para cada par de
naturales (I, J) : I + J < N , hay una permutación de la subfamilia
que se puede expresar de la siguiente manera:
π(i) = N − i, i = 1, . . . , I,
(3)
π(I + j) = j, j = 1, . . . , J
k
N +J −I
+
(−1)k+1 ,
π(I + J + k) =
2
2
(4)
(5)
k = 1, . . . , N − I − J − 1.
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
14 / 27
Medida de Optimalidad
Pablo Romero
El número esperado de pasos en una consulta es:
Contenidos
Motivación
Contribuciones
E(Xπ ) =
N
−1
X
ipπ(i) (1 − pπ(i) )
i=1
=
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
1
1
1− M
=
Algoritmo
Principal
(pπ(j) + (1 − pπ(j) )2 )
j=1
Modelo
Matemático
Estrategias
i−1
Y
N
−1
X
ipπ(i) (1 − pπ(i) )sπ(i)
i=1
N −1
M X
π(i)(pi+1 − pi ).
M − 1 i=1
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Definición
La calidad de la estrategia asociada con una permutación π es el
número esperado de pasos en una consulta: E(Xπ ).
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
15 / 27
Problema de Optimización Combinatoria (COP)
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
max E(Xπ )
π
s.a.
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
p1 =
1
M
1
M
= pi + (1 − pi )pi si
sπ(1) = 1 −
pi+1
sπ(i+1) = sπ(i) (pπ(i) + (1 − pπ(i) )2 )
Publicaciones
S = {1, . . . , N − 1}
π : S → S,
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
π(i) 6= π(j) ∀i 6= j
16 de noviembre de 2009
16 / 27
Algoritmo Principal
Pablo Romero
Contenidos
1 COP ↔ ATSP(VN , VN × VN , de )
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
2 π1 ← ACO(ATSP)
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
3 πout ← Búsqueda Local(π1 )
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
17 / 27
Etapa I
Inicialización basada en hormigas
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Las hormigas visitan ciclos en un N −clique
2- Los enlaces e visitados se inicializan con
D(e) ∝ 1/E(Xπ ).
3- Con varias hormigas se pueden inicializar todos los
enlaces
1-
Estrategias
1
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
2
3
N=6
Auxiliar
Publicaciones
5
4
=(2,4,1,5,3)
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
18 / 27
Etapa II
Optimización por Colonia de Hormigas
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
1- Las feromonas son inicializadas en base a las
subfamilias
2- Se invita a visitar ciclos mas cortos mediante mayores
valores de feromonas
3- Si una hormiga se sitúa en xj , elige xj+1 con
probabilidad:
Algoritmo
Principal
τ (xj , xj+1 )α d(xj , xj+1 )−β
pxj+1 = P
α
−β
Posibles y τ (xj , y) d(xj , y)
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
donde:
τ (xj , xj+1 ) es la cantidad de feromona en el enlace (xj , xj+1 ),
d(xj , xj+1 ) es el costo para ir de xj a xj+1 , y
α y β son los exponentes de prioridad a feromonas y costos.
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
19 / 27
Etapa III
Fase de Búsqueda Local
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Proposición
La mı́nima cantidad de swaps necesarios para transformar π1 en π2 es
una métrica
Proposición
En el espacio métrico de las permutaciones, las bolas de radio 1
definen una estructura de vecindad.
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Búsqueda Local
1- Entrada π
2- π ← M ejorV ecinaDe(π)
3- Hasta que N oHayaM ejoras
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
20 / 27
Complejidad del Algoritmo Principal
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Teorema
Sea N la capacidad de buffer de todos los pares presentes en la red, y
llamemos T (N ) al tiempo computacional necesario para evaluar la
calidad E(Xπ ). Si admitimos que tanto la cantidad de hormigas a
utilizar como el nı́mero máximo de iteraciones ingresados son del
orden de N , entonces el tiempo medio total para correr el Algoritmo
Principal τ , es:
τ = O(N 3 T (N ))
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
21 / 27
Resultados (1)
1
0.8
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Probablidad de Ocupacion
Contenidos
Motivación
Rarest First
Greedy
Mixta
Permutacion
0.9
Pablo Romero
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Indice
Publicaciones
Estrategias
Rarest First
Greedy
Mezcla
Nuevo Algoritmo
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
Continuidad
0.9571
0.9020
0.9953
0.9998
Latencia
21.0011
4.1094
11.1253
7.9821
16 de noviembre de 2009
22 / 27
Performance en GoalBit (1)
Latencia
180
Pablo Romero
Contenidos
Iteracion
Permutacion
Rarest First
Greedy
160
Motivación
Contribuciones
140
Modelo
Matemático
120
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Latencia Inicial
Estrategias
100
80
60
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Par
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
23 / 27
Performance en GoalBit (2)
Cantidad de cortes
6
Pablo Romero
Permutacion
Rarest First
Greedy
Contenidos
Motivación
5
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Cantidad de Interrupciones
Contribuciones
4
3
2
Publicaciones
1
0
0
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
5
10
15
20
25
Par
30
35
40
45
16 de noviembre de 2009
50
24 / 27
Performance en GoalBit (3)
Tiempo de cortes
600
Pablo Romero
Iteracion
Permutacion
Rarest First
Greedy
Contenidos
Motivación
500
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Tiempo medio de interrupciones
Contribuciones
400
300
200
Publicaciones
100
0
0
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
5
10
15
20
25
Par
30
35
40
45
16 de noviembre de 2009
50
25 / 27
Conclusiones
Pablo Romero
Contenidos
-
-
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
-
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
-
La deficiencia de las previas estrategias es evidente.
Se ha propuesto un COP y un Algoritmo, que permite
diseñar estrategias con mejor desempeño que las
clásicas e hı́bridas.
El seguimiento de estrategias ideales no es posible.
La búsqueda de estrategias factibles es exitosa.
El modelo matemático captura la cooperación
apropiadamente.
La polı́tica de selección de pares es otro factor
determinante en el diseño de protocolos de
cooperación.
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
26 / 27
Publicaciones
Pablo Romero
Contenidos
Motivación
Contribuciones
Modelo
Matemático
Estrategias
Problema de
Optimización
Combinatoria
(COP)
Algoritmo
Principal
Resultados y
Conclusiones
Publicaciones
- “Systematic Procedure for Improving Continuity and Latency on
a P2P Streaming Protocol”, IEEE Latin-American Conference
on Communications 2009. Medellı́n, Colombia
- “A COP for Cooperation in a P2P Streaming Protocol”,
International Conference in Ultra Modern Telecommunications,
Saint Petersburg, Russia
- “GoalBit: The First Free and Open Source Peer-to-Peer
Streaming Network”. Latin American Networking Conference,
Pelotas, Brasil
- “Estrategia de Selección de Piezas Optima para GoalBit: un
sistema de streaming P2P basado en BitTorrent”, Matemática
Aplicada Computacional e Industrial (MACI 2009) Rosario,
Argentina
- “Optimum Piece Selection Strategies for the GoalBit Platform”.
Artı́culo a ser enviado para publicación en la revista Computer &
Optimization Research
Pablo Romero (Facultad de Ingenierı́a)
16 de noviembre de 2009
27 / 27