Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad.

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Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad.
LÓGICA, curso 05/06
Práctica 3: Lógica Clásica de Primer Orden. Tableaux. Igualdad.
1. Demuestra:
a) ∀xP (x) |= P (a) ∧ P (b)
b) P (a) ∨ P (b) |= ∃xP (x)
c) ∀x(P (x) ∨ Q(x)) , ¬∃xP (x) |= ∀xQ(x)
d ) ∀x¬R(x) , P (a) , ∀x(P (x) −→ R(x) ∨ Q(x)) |= ∃xQ(x)
e) ∀x∀y(P (x, y) −→ Q(x, y)) , ∀x∃y¬Q(x, y) |= ∀x∃y¬P (x, y)
2. Demuestra (basta que resuelvas uno o dos apartados):
a) |= ∀xP (x) ∨ ∀xQ(x) −→ ∀x(P (x) ∨ Q(x))
b) |= ∃x(P (x) ∧ Q(x)) −→ ∃xP (x) ∧ ∃xQ(x)
c) |= ∀xP (x) ∧ ∀xQ(x) ←→ ∀x(P (x) ∧ Q(x))
d ) |= ∃x(P (x) ∨ Q(x)) ←→ ∃xP (x) ∨ ∃xQ(x)
3. Demuestra las siguientes equivalencias:
a) ∀x ( ∃y L(x, y) −→ ∀y L(y, x) ) ≡ ∀x ∀y ∀z ( L(x, y) −→ L(z, x) )
b) ∀x ¬B(x, x) ≡ ∀x ∀y ( B(x, y) −→ x 6= y )
4. Estudia si son insatisfactibles los siguientes conjuntos de fórmulas:
a) {∀x∀y(S(x) ∧ T (y) → P (x, y)), ∃x(T (x) ∧ ¬P (a, x)), T (a), ¬∃x(T (x) ∧ ¬S(x))}
b) {∀x∀y(P (x) ∨ P (y) → x = y), ¬∀x(x = b ↔ P (x)), P (b)}
5. Demuestra la siguiente equivalencia, que representa dos formas distintas (sintácticamente) de formalizar “existe un único x que satisface P (x)”:
∃x P (x) ∧ ¬∃x ∃y (P (x) ∧ P (y) ∧ ¬ x = y) ≡ ∃x ∀y (x = y ←→ P (y))
6. Formaliza el siguiente razonamiento y preueba su validez:
P1:
Pedro es miope.
P2:
Cuando alguien es miope o su padre o su madre también lo es.
P3:
Todo el mundo ama a su padre y a su madre.
Q:
Algún miope es amado por alguien
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7. Se dice que una relación binaria R es circular cuando:
∀x∀y∀z(R(x, y) ∧ R(y, z) → R(z, x))
Demostrar que si R es reflexiva y circular entonces R es de equivalencia.
8. Demuestra:
a) |= ∀x∃y f (x) = y
b) |= ∀x∀y (x = y −→ f (x) = f (y))
c) |= ∀x∀y (x = y ∧ P (x) −→ P (y))
d ) a = b |= f (a) = f (b)
e) a = f (b) , b = f (c) |= a = f (f (c))
f ) ∀x f (a) = x |= ∀x f (x) = a
g) ∀x∀y x = y |= ∀x f (x) = x
h) ∀x g(f (x)) = x |= ∀x∀y(f (x) = y −→ g(y) = x)
i ) |= P (f (a)) ←→ ∃y(y = f (a) ∧ P (y))
j ) |= ∀x∀y∀z(y = f (x) ∧ z = f (x) −→ y = z)
k ) |= ∀x∃y∀z(f (x) = z ←→ z = y)
l ) ∃x∃y(R(x, y) ∧ ∀z(z = x ∨ z = y)) |= ∀x ∀y(x = y ∨ R(x, y) ∨ R(y, x))
m) ∀x∀y(F (x) ∧ F (y) −→ x = y) , ∀x(F (x) −→ ∃y(G(y, x) ∧ ¬G(x, y))) |=
∀x(F (x) −→ ∃y¬F (y))
9. Demuestra que la igualdad es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y
transitiva).
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