MATEMATICAS INTRODUCTORIAS

Transcripción

Matemática
para Relaciones Internacionales
Cualquier sugerencia por favor a [email protected]
Guatemala, julio 2012
El presente manual ha sido confeccionado para uso exclusivo del Instituto de Estudios
Políticos y Relaciones Internacionales de la Universidad Francisco Marroquín.
Queremos hacer patente a su autor, el ingeniero Olmedo Aísar Vásquez Toledo,
nuestro agradecimiento por el empeño puesto en la elaboración del mismo y su
dedicación como profesor, al potenciar con este trabajo, el nivel de excelencia personal
y de sus alumnos.
En tal sentido queda terminantemente prohibida su reproducción total o parcial por
cualquier medio sin el previo permiso de la dirección de dicho Instituto. Para ello
deberán dirigir sus solicitudes a: [email protected]
Reiteramos nuestro agradecimiento y esperamos que esta contribución tenga un
importante reflejo en la calidad de nuestros alumnos.
Guatemala, julio de 2012
Pedro Trujillo Álvarez
Director
2
Matemática I
Versión 5: Julio 2012
Índice
Tema
Página
I. Operaciones básicas con números
6
a. Suma o adición
b. Resta o sustracción:
c. Multiplicación
d. División
e. Jerarquía de operaciones
EJERCICIOS
II. Números racionales
12
a. Definición de números racionales
b. Tipos de fracciones
c. Simplificación de fracciones
d. Operaciones básicas con fracciones
e. Máximo Común Divisor
EJERCICIOS
III. Regla de Tres
19
a. Regla de tres directa
b. Regla de tres inversa
EJERCICIOS
IV. Exponentes y radicales
22
a. Exponentes enteros
b. Leyes de los exponentes
c. Exponentes fraccionarios
d. Exponentes radicales
g. Notación científica, potencias de 10
EJERCICIOS
V. Expresiones algebraicas
32
a. Definición
b. Elementos de las expresiones algebraicas
3
Tema
Página
c. Polinomios
d. Signos de agrupación
e. Simplificación de términos semejantes
f. Suma y diferencia de expresiones algebraicas
g. Multiplicación de monomios
h. Multiplicación de polinomios por monomios
i. Multiplicación de polinomios por polinomios
j. División
EJERCICIOS
VI. Productos notables
40
a. Cuadrado de una suma: (a+b) ²
b. Cuadrado de una diferencia: (a-b)²
d. Producto de (a+b) (a+c)
e. Cubo de un binomio (a + b)2
EJERCICIOS
VII. Factorización
45
a. Caso # 1 factor común
b. Caso # 2 factor común por agrupación de términos
c. Caso # 3 trinomio cuadrado perfecto
d. Caso # 4 diferencia de cuadrados
f. Caso # 6 trinomio de la forma x² + bx + c
g. Caso # 7 trinomio de la forma ax² +bx + c
h. Caso # 8 cubo perfecto de binomios
i. Caso # 9 suma o diferencia de cubos perfectos
EJERCICIOS
VIII. Sistema de Ecuaciones con una incógnita
54
a. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
b. Funciones lineales y graficas
EJERCICIOS
IX. Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas
58
a. Definiciones
b. Métodos de solución
EJERCICIOS
4
Matemática I
Tema
Página
X. Funciones Lineales y graficas
60
a. Definiciones
b. Aplicaciones
EJERCICIOS
XI. Ecuaciones Cuadráticas
67
a. Definición
b. Solución con formula general
c. Solución por factorización
EJERCICIOS
XII. Funciones y Gráficas
70
a. Definiciones
b. Aplicaciones
EJERCICOS
XIII. Teorema de Pitágoras
71
a. Demostración
b. Aplicación
EJERCICIOS
XIV. Porcentajes
74
a. Definiciones
b. Aplicacion
EJERCICOS
XV. Introducción a las matemáticas financieras
76
a. Interés
b. Interés simple
c. Interés compuesto
d. Anualidades
Respuestas
84
5
Matemática I
I.
Operaciones básicas con números
a. Suma o adición
La adición se puede definir como la acción de reunir varios números en uno. Esta es
la operación básica en matemáticas y se indica con el signo “+”. total
a.1. Propiedades de la suma
a.1.1 Propiedad Asociativa:
La suma de tres o más números naturales puede asociarse con paréntesis sin
alterar el resultado. Suponiendo que a, b, y c son números naturales se obtiene
lo siguiente:
(a + b) + c = a + (b + c)
Ej.:
(2+5) +3 = 10
2+ (5+3) = 10
a.1.2 Propiedad Conmutativa
Si se altera el orden de los sumandos, la suma total no varía. Si suponemos
son números naturales entonces: el resultado de (a + b) es igual que (b + a).
ayb
Ej. :
5+6+1 = 12
6+5+1 = 12
1+6+5 = 12
a.1.3 Propiedad Uniforme
Dadas dos o más igualdades, si se suma miembro a miembro se obtiene otra
igualdad. Si suponemos que m, n, p, q, r y t son números naturales se obtiene:
Ej.:
m= n
+p = q
r = t
m+p+r=n+q+t
a.1.4 Propiedad de cerradura
Toda suma de dos o más números naturales dará como resultado otro número
natural. a + b = c
Ej.:
3+4 = 7
2+1 = 3
8+9 = 17
111+325 = 436
6
Matemática I
a.1.5 Propiedad del elemento neutro
A todo número al que se le suma el cero dará como resultado el mismo número.
Ej.:
11254+0 = 11254
3+0 = 3
0+0 = 0
b. Resta o sustracción:
La resta es la inversa de la suma, y tiene por objeto hallar el exceso o diferencia de
un número respecto de otro, llamado minuendo y el sustraendo. El signo con que se
representa la resta es: “– “.
Es necesario que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo, para que sea
posible la resta entre números naturales. A manera de comprobación, si se suma la
diferencia con el sustraendo, el resultado tiene que dar el minuendo.
Ej:
11
- 5
6
minuendo
sustraendo
diferencia o resta
b.1. Propiedades de la resta
b.1.1 Propiedad uniforme
Restando miembro a miembro dos igualdades, se obtiene otra igualdad.
Ej.:
5=5
7=7
2=2
3=3
3=3
2=2
c. Multiplicación
La multiplicación es una suma abreviada, consiste en sumar un número llamado
multiplicando tantas veces como indica otro número llamado multiplicador, el
resultado de esta operación se llama producto.
Ej.
8
X
4
32
multiplicando
multiplicador
producto
Formas de representar una multiplicación:
1. a x b
2. (a) (b)
3. a * b
4. ab
5. a. b
7
c.1. Propiedades de la multiplicación
c.1.1 Propiedad de la cerradura
El producto de dos o más factores naturales (multiplicando y multiplicador) da como
resultado un nuevo número natural.
Ej.:
4*5 = 20
(3)(8) = 24
9x5 = 45
c.1.2 Propiedad del elemento neutro
Todo número multiplicado por la unidad, dará como resultado el mismo número.
Ej.:
5*1 = 5
30*1 = 30
112*1 = 112
a*1 = a
c.1.3 Propiedad distributiva
Esta propiedad se da solo cuando existe la combinación de multiplicación con suma
o resta. Suponiendo que a, b, y c son números naturales.
a (b+c) = ab + ac, o también,
Ej.: 4(3+2) = 4*3 + 4*2
4*5
= 12 + 8
20 = 20
a (b-c) = ab - ac
c.1.4 Propiedad del cero
Todo número multiplicado por cero da como resultado cero.
Ej.:
1*0 = 0
20x0 = 0
(71) (0) = 0
d. División
La división es la operación inversa de la multiplicación y tiene por objeto hallar el
número de veces que un número está contenido en otro, este número es el cociente
de dos factores llamados dividendo y divisor. El producto del cociente por el divisor
da como resultado el dividendo, esta es la forma de comprobar un resultado. Formas
de representar la división:
18 ÷ 6 = 3
14
=2
7
55 / 5 = 11
5 225
450
25
8
Matemática I
Partes de la división:
45
5
225
20
25
25
0
Divisor
cociente
dividendo
residuo
d.1. Propiedades de la división
d.1.1 Propiedad uniforme: Esta propiedad consta de dos partes:
d.1.1.1. El cociente de dos números tiene un valor único:
Ej.:
20/5 = 4
30/3 = 10
14/7 = 2
36/6 = 6
En el primer ejemplo el número 4 es el valor único ya que 4 es el único número que
multiplicado por 5 da 20; en el segundo 10 es el valor único, ya que es el único número
que multiplicado por 3 da 30; en el caso del tercer ejemplo 2 es el valor único, ya que es
el único número que multiplicado por 7 da 14 y en el último ejemplo 6 es el valor único,
ya que es el único que multiplicado por 6 da 36.
d.1.1.2 Dividiendo miembro a miembro dos igualdades, da como resultado otra
igualdad, ya que dos números iguales representan una igualdad.
Ej.:
4=4
2=2
2=2
10 = 10
5=5
2=2
20 = 20
4=4
5=5
d.1.2 Propiedad distributiva
Para dividir una suma por un número se divide cada uno de los sumandos por el
número dado y luego se suman los cocientes.
(a + b + c) ÷ m = a ÷ m + b ÷ m + c ÷ m
Ej:
(9+3) ÷ 3 = 9÷3 + 3÷3 = 3+1 = 4
(18+15+30) ÷ 3 = 18/3 + 15/3 + 30/3 = 6+5+10 = 21
(15+20+30) ÷ 5 = 15/5 + 20/5 + 30/5 = 3+4+6 = 13
9
Al dividir una resta indicada, se dividen el minuendo y substraendo luego los cocientes
se restan. (a – b) ÷ m = a ÷ m – b ÷ m
(20 - 15) ÷ 5 = 20 ÷ 5 – 15 ÷ 5 = 4 - 3 = 1
(32 – 16 - 8) ÷ 8 = 32/8 – 16/8 – 8/8 = 4 – 2 - 1 = 1
e. Jerarquía de operaciones
Al realizar una operación que contenga una combinación de suma, resta, multiplicación
y división se debe llevar a cabo un orden. Primero se debe realizar la multiplicación o
división, y luego ejecutar la resta o suma.
Ej.:
En caso que una operación contenga paréntesis o cualquier otro signo de agrupación,
primero se deben eliminar dichos signos, luego se procede con el mismo orden
mencionado anteriormente.
En una fracción se simplifican el numerador y el
denominador por separado siguiendo el orden establecido.
Ej.:
a)
5+3*3 = 5+9
= 14
b) 2(16-8)/4+1 = 2*8/4+1 = 16/4+1 = 4+1 = 5
10
Matemática I
Ejercicios de Suma, Resta, Multiplicación y División.
Problemas de suma y resta.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
–36 + 19 =
–16 – (–5) =
-32 – (–14) =
35 – (–46) =
–628 – 314 =
–95 – (–372) =
56 – 45 =
8. –38 – (–57) =
9. 567 + (–643) – 767 =
10. 633 – 455 – 614 =
11. (447 – 323) + (627 –468) =
12. 463 – (841 –159) + (-176 + 831) =
13. (859 –36 4 ) – 746 =
14. 120 – 415 – 531 – 142 =
15. (– 3367 ) – (2847)+ (6289 +(– 3562)) =
16. (– 349) + ( – 476) – (– 248 – 548) =
Problemas de multiplicación y división.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
– 4 * 12 =
(– 8)( – 9) =
(-4) (– 16) =
(– 4) (– 34)( – 12)
(– 2) ( – 12( – 3(2) ) )
(– 3) (9) ( – 6)
7. (– 11) (4) (8 ( – 7))
8. (–160) ÷ 80
9. (–80) ÷ (– 10)
10. 36 ÷ (– 14)
11. (–59) ÷ (– 59)
12. ( 12) * (– 34 )
13. (– 47) ÷ 14
14. (385 )÷ (– 27)
15. (– 273) ÷ ( – 12)
16. (– 590) ÷ (– 15 )
17. (–27) (–123) (–96)
18. (42) (–31) (38)
19. –200 ÷ (–20)
20. – 946 ÷ (-49)
11
II. Números racionales
a. Definición
Los números racionales se pueden interpretar como partes de una unidad. El conjunto
de los números racionales se representa con la letra Q, y comprende los números
enteros positivos, negativos, las fracciones y los decimales periódicos.
Ej.:
1, 7, -3, -5, 4/9, -1/2, 0.98, 1.21, 2.3245
Las fracciones son escritas de la forma m/n, donde m y n son números enteros, siendo
m el numerador y n el denominador. El denominador “n” nunca puede ser 0. Un
denominador cero hará que se tenga una indeterminación.
Toda fracción es una
división indicada.
b. Tipos de fracciones
b.1 Fracciones Propias
Son todas aquellas fracciones en las cuales el numerador es más pequeño que el
denominador.
Ej.:
½, 3/8, 9/25, 34/51
b.2 Fracciones Impropias
Son todas aquellas fracciones en las cuales el numerador es mayor o igual que el
denominador.
Ej.:
5/3, 5/5, 100/99
Cuando una fracción impropia se escribe con enteros y con fracciones se llama número
mixto.
Ej.:
3/2 = 1½
b.3 Fracciones Equivalentes
Son aquellas fracciones que representan la misma parte o sector, es decir tienen el
mismo valor, pero generalmente con números más pequeños. Siempre es conveniente
presentar las fracciones equivalentes en su forma más simple o sea la más simplificada.
Ej.:
8/16= 4/8= 2/4 = ½
b.4 Fracciones Algebraicas
“Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas”.
Ej.: a + b
c
c. Simplificación de fracciones
c.1 Reducción de Fracciones
Simplificar una fracción quiere decir convertirla en una fracción equivalente pero con
números más pequeños. Para simplificar una fracción se divide tanto el numerador
como el denominador por el Máximo Común Divisor.
Ej.:
18/30 = 18÷6 / 30÷6 = 3/5
12
Matemática I
-12/20 = -12÷4 / 20÷4 = -3/5
c.2 Fracciones Irreducibles
Se conocen como fracciones irreducibles aquellas que su numerador y denominador no
tienen factores comunes, por lo tanto no pueden simplificarse.
Ej.:
11/14, 3/5, 286/495
d. Operaciones básicas con fracciones
d.1 Suma de fracciones con el mismo denominador.
Para sumar fracciones que tiene un común denominador, se suman los numeradores y
se copia el denominador. Siempre que sea posible el resultado se simplifica a su
mínima expresión.
Ej.:
3/5 + 4/5 = 7/5
(5/2 + 3/2) + (6/2 + 1/2) = 8/2 + 7/2 = 15/2
((8/25+12/25) – (2/25+17/25)) + ((18/25+11/25) – (13/25+9/25))
= (20/25-19/25) + (29/25 – 22/25)
= 1/25 + 7/25
= 8/25
d.2 Suma de fracciones con diferente denominador.
Se encuentra el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores, a este número también
se le conoce como denominador común. Luego se escriben fracciones equivalentes con
el denominador hallado. Para ello, de divide el denominador común dentro del
denominador original y se multiplica por el numerador original, el resultado es el nuevo
numerador de la expresión. Después se suman los nuevos numeradores calculados y el
resultado se simplifica hasta llegar a su mínima expresión.
Ej.:
½ + ¾ = (1/2) (2) + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4
3/6 + 2/8 + ½
= (3*4) + (2*3) + (2*12) =12 + 6 + 24
24
24
= 42/24 = 7/4
d.3 Resta de fracciones con el mismo denominador
Se restan los numeradores y se copia el denominador. Se simplifica hasta llegar a su
mínima expresión.
Ej.:
7/10 – 4/10 = 3/10
7/4 – 2/4 – ¾ = 2/4 = ½
(1/9 – 8/9 – 3/9) + (6/9 – 4/9 – 1/9) = –10/9+1/9= –9/9 = –1
13
d.4 Resta de fracciones con diferente denominador
Se encuentra el Mínimo Común Múltiplo. Luego se escriben fracciones equivalentes con
el denominador hallado y después se restan los numeradores y se simplifican hasta
llegar a su mínima expresión.
Ej.:
1/9 –2/ 3 = 1/9 – (2/3) (3) = (1– 6) / 9 = – 5/9
5 / 6 – 3 / 4 – 7/12 – 2/3 = (5/6) (2)-(3/4) (3)-7/12-(2/3) (4)=
(10–9–7–8)/12 = –14/12 =–7/6
d.5 Multiplicación de fracciones
Siempre es mejor trabajar con números pequeños que con números grandes, por lo
tanto es recomendable simplificar las fracciones antes de efectuar una multiplicación. Si
no se simplifica, los números crecerán mucho y se le hará más difícil su operación. En
este caso, se simplifican las fracciones y luego se multiplican los numeradores y se
coloca la respuesta en el numerador, luego se multiplican los denominadores y se
coloca la respuesta en el denominador.
Ej.:
3/5 x 7/9 x 8/6 x 2/4 = 1/5 x 7/3 x 2/3 x 2/1 = 28/45
d.6 División de fracciones
Se escribe el recíproco de la segunda fracción, y luego se multiplica de forma usual. Si
es posible se simplifica.
Ej.: a) 3/7 ÷ 5/8 = 3/7 x 8/5 = 24/35
b) (5/8 ÷ 3/7) x (2/6 ÷ 4/2) =
= (5/8 x 7/3) x (2/6 x 2/4) = 35/24x4/24 = 140/576 = 70/288 = 35/144
e. Máximo Común Divisor
Sus iniciales son MCD. El máximo común divisor es el mayor número que divide
exactamente a toda una serie de números, o sea es un número que esta contenido
varias veces en forma exacta dentro de la serie de números, Hay que tener en cuenta
que el MCD siempre será igual o más pequeño que el menor de los números de la
serie.
Ej. 1: 60, 100,120 son divisibles por 2, 4, 5, 10 y 20. El MCD de estos
números es 20, por ser el número mayor que divide exactamente a
la serie de números 60, 100 y 120.
Ej. 2: 18 y 24 son divisibles por 2, 3 y 6; por lo que el mayor número que
los divide a todos o MCD de 18 y 24 es el número 6.
Para hallar el MCD:
a. Por simple inspección. El MCD se puede encontrar por simple inspección. Si se
quiere hallar el MCD de tres números dados, se debe probar si el menor de ellos divide
al resto, si ese es el caso, se considera al menor de ellos como el MCD de los tres. En
caso de que el menor no divida al resto se debe hallar el mayor divisor del menor
número que divida al resto de los números dados, y ese será el MCD
14
Matemática I
Ej.:
Hallar el MCD de 48, 72, y 84.
En este caso 48 el menor de los números dados, sin embargo no puede ser el MCD
debido a que no divide al resto de números exactamente. Tampoco puede ser 24 que
es el MCD de 48, ya que tampoco divide exactamente al resto de números. Por lo que
se recurrió al divisor anterior a 24 que es 12. Dicho número si logra dividir al resto de
números exactamente, por lo que este es el MCD de los tres números dados.
b. Por divisiones sucesivas. Se puede dividir el mayor de los números dados por el
menor. En caso de que la división sea exacta, el menor de ellos se toma como el MCD.
Si la división es inexacta, se divide el divisor entre el primer residuo, luego el residuo
por el segundo, este por el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división
exacta. El último divisor será el MCD
Ej. 1: Hallar el MCD de 150 y 25
Primero se divide 150 entre 25, y como la división es exacta, 25 es el MCD
Ej. 2: Hallar el MCD de 2227 y 2125
Primero se divide 2227 entre 2125 y queda como residuo 102. Como es una división
inexacta, el divisor que es 2125 se divide entre el residuo (102), y como también queda
residuo que es 85, el residuo anterior que era 102 se divide entre el otro residuo que es
85, en esta división también queda residuo que es 17, por lo que ahora se divide 85
entre 17, y queda una división exacta. De allí se tiene que El MCD es 17.
c. Por Descomposición en sus factores primos. Otro método de hallar el MCD es
por descomposición de la serie de números en sus factores primos. Para hallar el
MCD se sacan únicamente los factores comunes a los números dados y luego se
multiplican entre sí.
Ej.:
Hallar el MCD de 16, 24 y 40.
16 – 24 – 40
8 12 20
4 6 10
2
3
2
2
2
MCD = 2 ³ = 8
5
f. Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo, es el menor número que contiene un número exacto de
veces a cada uno de los números dados. La abreviatura del mínimo común múltiplo
MCM
Ej.:
Hallar el MCM de 4 y 6
Múltiplos de 4: 4, 8,12, 16, 20, 24, 28, 32 y 36…
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30 y 36
El menor múltiplo común de 4 y 6 es 12, por lo que 12 es el MCM
15
Para hallar el MCM:
a). MCM por simple inspección. Si se quiere hallar el, se debe ver si el mayor de los
números dados contiene exactamente a los demás, si ese fuera el caso el mayor seria
el MCM de los números dados. En caso de que el mayor no contenga al resto, se debe
buscar el menor múltiplo del mayor que contenga al resto.
Ej.:
En este caso 8 es el MCM ya que 8 contiene a cuatro.
b). Por descomposición de factores primos.
Por hallar el MCM, primero se deben descomponer los números dados en sus factores
primos, luego se deben multiplicar los factores primos comunes y no comunes elevados
a la mayor potencia. El producto de esa multiplicación será el MCM.
Ej.:
12 – 18 2
63 1 1 -
9
9
3
1
2
3
3
Se multiplica 2² * 3² = 36
El MCM de 12 y 18 es 36
16
Matemática I
Ejercicios de Números Racionales
A. Simplificar las siguientes fracciones.
1. 3
6
2. 15
45
3. 4
9
8. 153
51
9. 49
28
10.
15. 48
16.
12
412 17.
106
4. 2
8
210
180
11.
300
18
200
6. 12
48
7. 36
36
12. 1200
4800
13.
14. 63
7
19.
20. 147
237
5.
2048
1024
69
13
6
12
96
12
66
11
21. 490
350
B. Suma y resta de fracciones.
1. 9 + 1
5 5
2.
6. 11 + 21
8
4
11. 6 + 1
7
7
2
3
+ 5
3
3. 1 + 2
2
3
4.
5 + 1
6
5
5. 3 + 1
7 2
7. 9 + 5
11 7
8. 36 + 44
24
33
9. 99 + 51
9
17
10. 63 + 84
21
36
12. 6 + 1
11
2
13. 4 + 5
3
2
14. 5 + 1
8
8
15. 9 + 11
11
5
17
Ejercicios mixtos
1. (-3/5 – 4/3) +
(-2/3)
3/4
(3/2 - 2/3)
(-4 / 3)
+
(-3/5 – 4/3)
(3 / (-5 ))
(-3/2)
3/2 + 1/3
5/2 + 4/3
4. 1/2 – 2/3 –
2/3 – 3/2
5. (-3/2 – 1/2) +
3/2 + 4/3
(-2/3 + 1/3)
1/2 - 2/3
6. (-3/2 – 1/3) + (-2/3+1/2)
¾+ 2/3
(1/2 - 2/3)
7.
¾ + 2/3
2/3 + 1/2
–
2/5 + 7/3
1/3 + 3/2__
8.
1/2 + 1/3
3/2 + 1/3
–
3/2 + 1/3
3/2 + 3/2
3.
– 3/2 + 2/3 +
– 2/5 – 2/3
2.
1/2 + 1/3
3/2 + 4/3
¾ + 2/3 – 2/5 + 7/8
2/3 + 5/7
5/7 + 4/5
5/6 + 4/3 – 3/2 + 1/3
2/3 + 1/2
3/4 + 3/2
18
Matemática I
III. Regla de Tres
Esta operación establece una relación entre tres o más valores conocidos y uno
desconocido. Se usa cuando se puede formar una relación lineal entre los valores
conocidos (proporcionalidad)
Cuando se cuenta con tres valores conocidos y uno desconocido, se tienen dos
posibilidades, que el planteamiento sea directamente proporcional o bien que sea
inversamente proporcional.
Cuando se trata de una regla de tres directa, al incrementarse el antecedente, el
consecuente aumenta proporcionalmente en forma lineal, mientras que en la regla de
tres inversa, al aumentarse el valor del antecedentes, el valor correspondiente al
consecuente disminuirá, también en forma lineal- Normalmente se representa de la
siguiente forma:
A~>B.
C ~> X
Siendo A, B y C valores conocidos y X el valor desconocido, que se quiere averiguar, el
valor de X como el valor correspondiente al literal C, este valor será proporcionalmente
mayor o menor al valor de A, o sea que crecerá o disminuirá en la misma proporción de
este, dependiendo si es regla de tres directa o inversa
Ejemplo ilustrativo.
Cinco litros de agua pura cuestan Q.26.00. Cuanto costaran 15 litros?
En este caso el valor mantendrá una proporción y será menor, puesto que una
cantidad menor de agua, lógicamente costara menos.
Antecedente
Consecuente
5litros ~> Q. 26
15 litros ~> x
Para encontrar el valor de x, se empieza multiplicando los datos en diagonal:
Antecedente
Consecuente
5 litros ~>
15 litros ~>
Q. 26
x
15 x 26 = 390
Luego se divide la cantidad obtenida entre el otro valor conocido:
Antecedente
Consecuente
5 litros ~>
15 litros ~>
Q. 26
x
390 ÷ 5 = 78
Entonces, 15 litros costaran Q.78.00.
19
Ejemplos regla de tres.
Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un galón de gasolina, antes de viajar a
Mazatenango, llené el tanque. Al llegar a mi lugar de destino volví a llenar el tanque. Para
hacerlo tuve que cargar quince galones de gasolina. Sabiendo que la distancia entre la capital y
Mazatenango es de 160 kms, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada galón de
combustible?
Si el auto necesitó 15 galones de gasolina para recorrer 160 kms, y yo quiero
averiguar cuántos kilómetros recorrió con cada galón, debo realizar el siguiente cálculo:
15 galones
________________ 160 km
1 galón
________________ X km
Es Directa. Se multiplica 1 x 160 y el resultado dividirlo entre 15.
Cuando las legiones romanas debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer
el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 kms por día. Hay que tener en cuenta que
casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos
legionarios recorrer una distancia de 1050 kms.?
Si la legión necesita 1 día para recorres 35
kms, para saber cuántos días le tomaría recorrer 1050 kms debo realizar el siguiente cálculo:
35 kms
________________ 1 día
1050 kms
________________ X días
Es Directa, se multiplica 1 x 1050 y se divide el resultado entre 35.
1. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario Q.1,480 por mes. El dueño de la
fábrica le ha comunicado que la empresa debido al incremento del salario mínimo, le
mantendrá el mismo sueldo pero le disminuirá su trabajo 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir
de ahora su sueldo por hora?
Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe Q.1,480 mensuales, para saber cuánto cobrará
por hora al trabajar 4 horas diarias, realizar el siguiente cálculo:
6 horas
________________ Q.1,480
4 horas
________________
Es Inversa, se multiplica 6 x 1, 480 y se divide entre 4
Q. X
20
Matemática I
Problemas de Regla de Tres directa e inversa
Regla de Tres Directa
1. Si 48 libros cuestan Q.4,896.00, cuanto costaran 235 libros?
2. Si un Euro equivale 11.63 Quetzales, ¿A cuánto equivalen 5 euros? ¿Y cuántos euros nos
darán por 1000 Quetzales?
3. Un auto tarda 4 horas en recorrer 360 km. Si mantiene esa velocidad, ¿cuánto recorrerá en
7 horas?
4. Si un avión tarda 2 horas en llegar de Guatemala a Nicaragua que se encuentra a 480
kilómetros de distancia, que distancia recorrerá en 3 horas, a la misma velocidad?
5. El 89% de los estudiantes de la UFM son mujeres, si la población total es de 3,525,
cuántos hombres estudian en la universidad?
6. El Presupuesto general de Guatemala es de 5.9 millardos, el 0.4 % está destinado a la
Relaciones Internacionales, cual es el presupuesto de las Relaciones Internacionales?
7. El café de Colombia es un café suave que representa el 79% de una mezcla, el de
Guatemala es café duro que complementa la mezcla. Si la venta de esta mezcla es de
2,500,000 quintales, cuanto vende Guatemala para esta mezcla de café?
8. La etnia Xinca representa el 0.002% de la población de Guatemala, si la población de
Guatemala es de 11, 986,647, cuantos Xincas hay en Guatemala?
9. Únicamente el 29 % de la tierra de Guatemala puede ser dedicado a la agricultura, si la
extensión es de 109,889, cual es la extensión que puede ser cultivada?
10. Una libra de azúcar cuesta el 39% de lo que cuesta un kilogramo de café. Si el café cuesta
el 250% de lo que cuesta el frijol y este cuesta Q0.26 la onza, Cuanto cuesta la libra de
azúcar?.
Regla de Tres Inversa
1. Un automóvil tarda 4 horas en recorrer 360 kms. Si incrementa su velocidad en 20
KPH, ¿En cuánto tiempo recorrerá la misma distancia?
2. Si un avión tarda 3 horas en llegar de Guatemala a Nicaragua a 480 kilómetros, En
cuánto recorrerá esa distancia otro avión que vuele al doble de velocidad del primero?
3. Si una persona recorre 28 km. en 40 minutos en bicicleta, ¿En cuánto recorrerá la
misma distancia en una motocicleta que es dos veces más rápida que la bicicleta?
4. Si un albañil coloca 1,890 ladrillos en una semana, en cuanto tiempo los colocaran 3
albañiles que trabajen al mismo ritmo?
5. Al repartir la tierra cultivable que es de 295,000 kilómetros cuadrados en forma
proporcional a los 11, 986,647 de Guatemaltecos corresponde una cantidad, que pasa
si solo se reparte la tierra a los varones mayores de edad que son el 18% de esa
población?
21
IV. Exponentes y radicales
a. Exponentes enteros
“Los exponentes indican una multiplicación repetida”. Generalmente se utiliza la
notación exponencial cuando se quiere expresar términos como 11 x 11, entonces se
puede decir 11². Del mismo modo 8 x 8 x 8 x 8 se puede expresar como 84. Otra forma
de expresar este término puede ser ocho a la cuarta potencia. En la notación
exponencial, la base es el factor que debe multiplicar por sí mismo tantas veces como lo
indica el exponente.
Una expresión exponencial consta de dos partes a saber: la base y el exponente.
Exponente
6²
Ej.:
Base
157 = 15x 15x15x15x15x15x15= 170859375
64 = 6x 6x6x6x = 1296
125 = 12 x 12 x 12 x 12 x 12 = 248832
b. Leyes de los exponentes
Regla # 1: Multiplicación. En la multiplicación se copia la base y se suman los
exponentes.
x m x n = x m+n
210 * 222 = 232
Ej.:
Regla # 2: División. En la división se copia la base y se restan los exponentes.
xm / x n = x m-n
Ej.:
210 / 22 = 28
Regla # 3: Potenciación. En la potenciación se copia la base y se eleva al producto
(multiplicación) de los exponentes.
(xm) n = x mn
Ej.: (23) 13 =2 39
Regla # 4: Radicación En la radicación se copia la base y se dividen los
exponentes.
n√x m
= x m/n
Ej:
5√a10
=a10/5 = a2
22
Matemática I
Regla # 5: Potencia de un Producto. Se separan las bases y se coloca el mismo
exponente a cada una de ellas.
(xy) n = x n y n
Ej.:
(2*3) 5 = 25 35
(6*9) 8 = 68 98
Regla # 6: Potencia de una fracción. Se copian las bases en el mismo orden y se
coloca el mismo exponente a cada una de ellas.
(x/y) n = x n / y n
Ej.:
(3/2) 10 = 310 / 210
(5/3) 2 = 52 / 32
Regla # 7: Exponente Cero. Cualquier base elevada a la potencia 0 es igual a 1.
x0 = 1
Ej.:
100 = 1
1000 = 1
Regla # 8: Toda base elevada a una potencia negativa, puede ser invertida
colocando un 1, para convertir el exponente a positivo:
x -n = 1/x n
Ej:
(3/2) -3 = (2/3) 3
(3/4) -5 = (4/3) 5
c. Exponentes fraccionarios
Es posible elevar muchas bases a potencias fraccionarias. “Como se desea que los
exponentes fraccionarios obedezcan las mismas reglas que los coeficientes enteros el
cuadrado de 10 debe ser 10” 1/2.
Ej.: Se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
(101/2) 2 = 10(2/2)= 101= 10
(101/2) 2 = 10
(a2/3) 5 = a(2/3)5 = a10/3
Como (101/2)² y (√10 )² son iguales a 10, definimos que 101/2 es igual a
cuadrada de10.
raíz
d. Exponentes radicales
Una raíz puede expresarse usando exponentes fraccionarios. La forma de pasar una
raíz a un exponente fraccionario es pasar el coeficiente de la raíz como denominador de
la fracción a la que esta elevado.
23
Ej.:
4√a9
5√
= a 9/4
a2 b3/4 = a2/5 b3/20
e. Leyes de los radicales
Radical es toda raíz indicada en una cantidad. Si esa raíz indicada es exacta, tenemos
una cantidad racional, y si no, es irracional.
Así, √16a²
es una cantidad racional y √3 a es una cantidad irracional”.
Caso # 1
“Cuando la cantidad subradical contiene factores cuyo exponente es
divisible por el índice”.
Ej.:
Simplificar √9a³ = √ 3² * a² * a = √3² * √a² * √a = 3a√a
Caso # 2
común”.
“Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor
Ej.: Simplificar 4√4a² = 4√2² *a² = 22/4 * a2/4 = 21/2 * a1/2 = √2a
Caso # 3
“Cuando la cantidad subradical es una fracción y el denominador es
irracional hay que multiplicar ambos términos de la fracción por la cantidad necesaria
para que el denominador tenga raíz exacta”.
Ej.:
Simplificar √2/3 = √2*3 / 3*3 = √6/3² = 1/3 √6
f. Operaciones de radicales
1. Suma y Resta de Radicales:
Se deben simplificar los radicales dados, se reducen los semejantes y luego se
escriben los radicales no semejantes con su propio signo.
Ej.:
Simplificar 2√450 + 9√12 – 7 √48 - 3√98 porque los “+” y “-“
2√450 = 2√2*32*5² = 2 *3 * 5 √2 = 30 √2
9√12 = 9√2²*3 = 18√3
7√48 = 7√2 4*3 = 28√3
3√98 = 3√2*7² = 21√2
24
Matemática I
2. Multiplicación de Radicales
Se deben multiplicar los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre sí,
colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el
resultado”.
Ej.:
Multiplicar 2/3 3√4
* (¾ ) 3√6
2/3 3√4 * ¾ 3√ 6
= 2/3* ¾ 3√24 = ½ 3√23 * 3 =
3√3
3. División de Radicales:
“Se deben dividir los coeficientes entre si y las cantidades subradicales entre sí,
colocando el cociente de esta última operación bajo el signo radical y se simplifica el
resultado”.
Ej.:
Dividir 2 3√81x entre 33√3x²
23√81x7 ÷ 33√3x² = 2/3 3√81x7/3x² = 2/3 3√27x5 = 2/3 3√33 * x3 * x² = 2x√x²
4. Racionalizar el Denominador de una Fracción
“Es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción
equivalente cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador
irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador”.
“Para racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es
monomio se multiplican los dos términos de la fracción por el radical, del mismo
índice que el denominador, que multiplicado por éste dé como producto una
cantidad racional”.
Ej.:
Racionalizar el denominador de 3 / √2x
Multiplicamos ambos términos de la fracción por √2x y tenemos:
3/ √2x =3 √2x /√2x * √2x = 3√2x /√2² *x² = 3 √2x / 2x
g. Notación científica, potencias de 10
La notación científica es un modo de representar a los números en una forma
abreviada, ya sean enteros o reales. Esta notación es utilizada en números demasiado
grandes o demasiado pequeños. Existe también la notación normal, esta consta en el
inverso de la notación científica.
1. Suma y Resta de Números con Notación Científica:
Se debe convertir todos los números en una misma potencia de base diez y luego
sumar los números y copiar la base diez.
Ej.:
(2.5 x 105) + (4 x 106)
= 0.25 x 106 + 4 x 106 = 4.25 x 106
25
2. Multiplicación y División con Notación Científica:
Se deben utilizar las propiedades conmutativa y asociativa, y después se simplifican
las potencias de diez con las propiedades de los exponentes.
Ej.: (3.1x105) (4.5x10-3)
(3.1x105) (4.5x10-3) = (3.1x4.5) (105x10-3)
=13.95x102
=13.95x102 = (1.395x101) x 102
= 1.395x103
26
Matemática I
Ejercicios de Exponentes y Radicales
Raíz Cuadrada
Desarrolle los cuadrados
1.
2.
3.
4.
5.
17²
300²
14²
84²
35²
Encontrar la raíz cuadrada.
1.
2.
3.
4.
5.
25
196
100
225
645
Expresar en Notación Científica
1) 28,000
2) 405,000
3) 0.000000423
4) 0.000401
5) 3,030,000
6) 0.00000000000687
7) 40,300
8) 0.00019
11) 0.00342
12) 9, 000, 000
13) 0.00092
14) 365
15) 0.00000876
16) 930000000
17) .000087
18) 580000
9) 55,000,000,000,000
10) 7, 460, 000
19) 288000000000
20) 0.00000836
Expresar en Notación normal
1) 4.14 x 10¯16
11) 3.54 x 1012
2) 26.78 x 10
12) 1.261 x 107
3) 4.95 x 10¯16
4) 2.27 x 109
5) 7.86 x 10¯12
6) 2.567 x 102
7) 2.83 x 10¯2
8) 8.25 x 109
9) 3.78 x 105
10) 5.01 x 1010
13) 0.95 x 10¯13
14) 2.8 x 1019
15) 7.86 x 10¯2
16) 26.7 x 1012
17) 9.183 x 10¯12
18) 7.25 x 1012
19) 3.78 x 10
20) 9.99 x 1011
27
Encontrar el resultado de:
8.20 x 104 - 3.6 x 103 =
(3.5 x 102) / (5.00 x 103) =
(6.0 x 106)/ (1.5 x 102)
8 X 10-3 / 2 X 10.-2
(8.41 X 103) + (9.71 X 104) =
(5.11 X 102) - (4.2 X 102) =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(8.2 X 102) + (4.0 X 103) =
(6.3 X 10-2) - (2.1 X 10-1) =
123,876.3 =
1,236, 840. =
4.22 =
0.000000000000211 =
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Exponentes
1.
2.
3.
Al simplificar
se obtiene:
9.
Obtenga el valor de 4-1/2
A x3y25
A½
B xy10
B1
C0
C 4/2
D
D No es un número real
Simplifique y exprese el siguiente resultado
10.
sólo con exponentes positivos y1/5y2/5
Encuentre el entero de: 361/2
A y3/4
A 36
B y3/5
B6
C y13
C 12
D 2y4/3
D 24
El resultado de a3-na5+n es:
11.
Al simplificar 16 -3/2resulta:
A a8
A 1/6
B a8-2n
B6
C a15-2n
C 1/64
D a8+2n
D 64
28
Matemática I
4.
5.
Encuentre el entero de: 251/2
Simplifique:
12.
A5
A cd6
B 10
B c5d8
C 15
C
D 25
D (cd2)
Efectuando
Se obtiene:
13
Multiplique y exprese el resultado de:
3m3/4(4m1/4-2m8) sólo con exponentes
positivos
6.
7.
A 2a2b
A 3m124m4
B 12a8b
B m22m2
C -512a18b-45
C 6m-3m
D -256a9b-15
D 12m-6m35/4
Simplifique y exprese el siguiente resultado
14.
sólo con exponentes positivos (a3b9)1/3
Obtenga el valor de: (-8)2/3
A a3b3
A4
B b3a
B -4
C 1/3ab
C 86
D ab3
D -86
La expresión
equivale a:
15.
Encuentre el entero de: (-8)1/3
A 54
A -4
B 5-4
B -2
C 15/42
C2
D 7/52 *
D -6
29
Simplificando
8.
resulta:
Al simplificar (a-1/2+3b-1/2)(2a-1/2-b-1/2)
se obtiene:
16.
A
A 2a-1/4-3b-1/4
B
B 2a-3b
C
C
D
D 2a-1+5a1/2b1/2-3b-1
Resuelva.
1)
b3 x b4 = b7
6)
(1 + i)5 = (1 + i)2
(1 + i)3
2)
x5 = x2
x3
7)
(2a3)4 = 16 a12
8)
x3
y2
3)
32 = 4
8
2
= x6
y4
4)
y15 = y15-10 = y5
y10
9)
(x4)5 = x20
5)
x3 y2 = xy
x2 y
10)
(2xy)3 = 8x3 y3 = 8xy
(x y) 2
x2 y2
30
Matemática I
Radicales
Extraer
radicales:
todos
los
factores
posibles
de
los
siguientes
31
V. Expresiones algebraicas
a. Definición
Una expresión algebraica es una cadena de símbolos matemáticos, entre ellos se pueden
encontrar coeficientes, variables, exponentes y signos.
Signo
coeficiente
-3 x²
Exponente
variable
b. Elementos de las expresiones algebraicas
1. Variables: Son cantidades expresadas con letras, pueden tomar valores dentro de un
subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las ultimas letras del abecedario
(x, y, z) para denotar variables.
2. Constantes: Son cantidades fijas expresadas con letras, casi siempre se utilizan las
primeras letras del abecedario (a, b, c) para denotar constantes.
3. Coeficientes: son los números que aparecen multiplicando a las variables.
4. Exponentes: Son lo superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.
5. Términos: En una expresión algebraica, que consta de uno o varios elementos algebraicos.
No separados entre sí por ningún símbolo. Un término se separa de otro por medio de un
signo positivo o negativo.
c. Polinomios
Es una expresión algebraica y se clasifica en:
- Monomio si tiene un término.
- Binomio si tiene dos términos.
- Trinomio si tiene tres términos.
- Polinomio si tiene más de tres términos.
d. Signos de agrupación
Los signos de agrupación son:
Paréntesis = ( )
Corchete o paréntesis angular =
Llaves =
e. Simplificación de términos semejantes
Los términos son semejantes cuando en los diferentes términos de una expresión algebraica, las
variables son iguales y tienen el mismo exponente, o al no ser potencias, están formadas por un
mismo tipo de variables..
Ej.:
-m -3m – 5m + 8m = -m
8xy + 9z + 15x – 6xy – 3z – 6x = 9x + 2xy + 6z
32
Matemática I
f. Suma y resta de expresiones algebraicas
La suma tiene por objeto unir dos o más sumandos (expresiones algebraicas) en un solo termino
(expresión algebraica), cuando eso es posible.
En aritmética la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más
general, porque puede significar aumento o disminución, algunas sumas algebraicas que
equivalen a una resta en aritmética, esto se produce al sumar una expresión negativa con una
positiva
Sumar una cantidad negativa es lo mismo que restar una cantidad positiva de igual valor
absoluto. En el caso de operar dos términos con signos distintos, el resultado que se obtenga
llevara el signo del mayor.
La suma se indica con sumandos dentro de paréntesis (suele ser así). Luego se colocan todos los
términos de los polinomios, seguidos unos de otros con sus propios signos.
Ej.:
(1/2x-34y), (5/8x+9/6y-4z), (x+y-z) =
1/2x – 34y + 5/8x + 9/6y – 4z + x + y – z =
17/8x – 189/6y – 5z
En la resta se da la suma de dos términos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), con el objeto
de hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b.
Se debe escribir el minuendo con sus propios signos y luego el sustraendo con los signos
cambiados y se reducen los términos semejantes, si es que existen.
Ej.:
De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6
La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis (), precedido del signo -. Así:
4x - 3y + z – (2x + 5z – 6)
Ahora se deja el minuendo con sus propios signos y después se escribe el sustraendo cambiándole
el signo a todos sus términos y se obtiene:
4x – 3y + z – 2x – 5z + 6
= 2x - 3y - 4z + 6
g. Multiplicación de monomios
La regla explica que se deben multiplicar los coeficientes y después de obtener el producto se
escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual
a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá por la ley de
signos.
Ej:
Multiplicar 2a² por 3a3
2a² x 3a3 = 2 x 3a2+3 = 6a5
Multiplicar 3a²b por -4b²x
3a²b * (-4b²x) = -3 * 4 a²b1+2 x = -12 a2b3x
33
h. Multiplicación de polinomios por monomios
La regla explica que se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio,
teniendo en cuenta siempre la regla de los signos, y luego se deben separar los productos
parciales con sus propios signos. Esta es la ley “distributiva” de la multiplicación:
Ej.:
Multiplicar (3x2 - 6x + 7) x (4ax2) =
= 3x2 (4ax2) - 6x (4ax2) + 7 (4ax2) = 12a x4 - 24ax3 + 28 ax2
i. Multiplicación de polinomios por polinomios
Se deben multiplicar todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del
multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ej: Multiplicar (a – 4) por (3 + a)
(a – 4) * (a + 3) = a (a) – 4(a) + 3(a) – 3(4)
= a2 – a – 12
j. División
Dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor
(cociente). Entonces, el cociente multiplicado por el divisor produce el dividendo.
1. División de un polinomio por un monomio
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes
parciales con sus propios signos. Esta es la ley “distributiva” de la división.
Ej.:
Dividir 3a3 – 6a2b + 9 ab2 entre 3a
= 3a3 – 6a2b + 9 ab2 ÷ 3a
= 3a3 / 3a – 6a2b / 3a+ 9 ab2 / 3a
= a2 – 2ab + 3b2
2. División de dos polinomios
Se debe ordenar el dividendo y el divisor con relación a una misma variable. Se divide el primer
término del dividendo entre el primero del divisor y se obtiene el primer término del cociente.
Ese término se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se
le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este
producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de
acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
Se divide, luego, el primer término del resto entre el primer término del divisor y se obtiene el
segundo término del cociente.
El segundo término se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo,
cambiando los signos, y así sucesivamente.
Ej.:
Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2
34
Matemática I
3x2 + 2x – 8
- 3x2 – 6x
-4x – 8
4x + 8
3x - 4
x+2
Esto se debe a que el dividendo y el divisor están ordenados en orden descendente con relación a
“x”. Entonces, se divide el primer término del dividendo 3x2 entre el primero del divisor x y se
obtiene 3x2 / x = 3x. Este es el primer término del cociente.
Luego se multiplicó 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos productos hay que
restarlos del dividendo, se obtuvo: 3x * x = 3x2, para restar -3x2; 3x * 2 = 6x, para restar -6x
Estos productos con sus signos cambiados, se escriben debajo de los términos semejantes con
ellos del dividendo y se hace la reducción; lo cual da -4x y se baja el -8. Luego se dividió -4x
entre x: -4x / x = -4 y este es el segundo término del cociente. Este -4 hay que multiplicarlo por
cada uno de los términos del divisor y restar los productos del dividendo y se obtiene: (-4) * x = 4x, para estar +4x; (-4) * 2 = -8, para restar -8. Por último se escribieron los términos debajo de
sus semejantes y haciendo la reducción nos da cero de residuo.
35
Ejercicios de Expresiones Algebraicas
Suma de monomios
1. –115xy–35xy
3. 5mn – 2mn
4. 9ab -15ab
5. 3mn – 15mn
=
=
=
=
6.
7.
8.
9.
86xy + 32xy
-18pq + 36pq
-328z + 315z
-3/5abc - 2/5abc
=
=
=
=
1. 48x–62b
=
6. 475abc – (–378abc)=
2.
3.
4.
5.
=
=
=
7. –562km – 472km
=
8. - 239q – (–328q)
=
9. –808mn – (–375mn)=
10. 8/9m² – 3/4abc
=
Resta de monomios
-986 a²b²–560a²b²
180xy – (–326xy)
128m² – (–528m²)
–383z–-126z =
Suma de polinomios
( a +2b –c)+ (2 a +3b +c)
(7 a – 4b + 5c) +(7a + 4b – 6c)
(a + b – c)
+
(2 a + 2b -2c) + (3 a –b +3c)
(p + q + r)
+
(-2p-6q+3r) +
(p+5q -8r)
(-7x -4y +6z) +(10x – 20y – 8z) +( -5x +24y +2z)
=
(-2m + 3n -6)
+ (3m -8n + 8)
+
(-5m +n -10)
(27mn² +38mn +n) +(-89mn² -5mn -8n)+(13mn² + 16mn -3n)
(715a²b – 710ab +82b) +(-310a²b + 126ab -129b)+( 16a²b – 13ab -18b)
(-816ay² +302 ay +180)+( 89ay² -15ay -326)+( 12ay² +128ay – 15)
(38qr² - 16r² + 215z) +(312qr² -28r² -327z)+( -15qr² +112r² +215z)
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Resta de polinomios
1. -7x -4y + 6z
2. -2m+3n-6
3. 9x -3y +5z
restar 10x -20y -8z
restar 3m -8n +8
restar -5 +y -9z
=
=
=
4. -14x -8y +16z restar -5x +14y +2z=
5. a³ a²b
restar 7a²b + 9ab²
=
6. y²+6y³ restar 5x² -4x +6
=
7. restar x-y
de 2x + 3y
8. restar 5 a + b
de -7 a + 5b
9. restar x² -5x
10. restar x³ -3xy²
=
=
de -x² +6x
=
de 2x²y + 15xy²
Multiplicación de monomios
1. ab* (-ab
2. 2x² * -3x
=
=
6. (-m²n) (-5mn³) =
7. (4a²) (-5a³x²) =
3. -4a²b * (-ab²)
4. -5x³y * xy²
5. -4m² * (-5mn²p
=
=
=
8. -4m² *( -5mn²p)=
9. ( (3ab²) (-5ab) =
10. (3b²) ( -8b³) =
36
Matemática I
Multiplicación de polinomio por monomio
1.
2.
3.
4.
5.
( x²-4x +3 ) (-2x )
=
(a³-4a²-69 ) (9ab ) =
(a²- 2ab + b² ) ( 3ab ) =
(x³- 3x² +5x -6) (-4x²) =
(8ab²c4+abc² -5abc) ( 2a²b²c) =
6. (6q²r4+8q²r² +3qr) ( -5qr²)
=
7. (3mn6-8m4n4+5mn) (3m²n²) =
8. (9ab4-8a²b²+5ab) ( -7ab²)
=
9. (15x²y²+10xyz² + 3xy) (5x²y³)
10. (7xyz³-2xyz²-8z²) (5x²y²)
=
=
Multiplicación de polinomio por polinomio
1. (3x-2y) (y+2x)
=
6. (x³-3x²+1) (x+3)
=
2. (-4y +5x) (-3x+2y)
3. (8n-9m) (4n+6m)
=
=
7. (x³-2x²+3x-7) ( 2x+3) =
8. (3y³+5-6y) (y²+2)
=
4. ( (a²+b²-2ab) (a-b)
5. (a²+b²+2ab) 8a+b)
=
=
9. (m³-m²+m-2) (am+a) =
10. (x³+2x²-x)(x²-2x+5)
=
División de monomios entre monomios
1.
2.
3.
4.
-a²b entre –ab =
54x²y²z³ entre -6xy²z=
-8a²x³ entre -8a²x³
=1
-xy² entre 2y
=
5. 72x²y²z³ entre -9xy²z³=
6.
7.
8.
9.
54x²z³ entre 6x²z³
32mn4 entre 8m
81pq² entre 9pq
36p4q5 entre 6p²q³
=
=
=
=
10. -24ab5c³ entre 6ac²
=
División polinomios entre polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
x³-4x²+x entre x-2
a² +2ª -3 entre a+3
a²-2ª-3 entre a+3
x²-20x entre x+5
x²+x-20 entre x+5
=
=
=
=
=
6. 6+a²+5a entre a+2
=
7. m² -11m +30 entre m-6
=
8. 6x²-xy-2y² entre 2x+y =
9. 5a²+8ab-21b² entre a+3b
=
10. -6m³-8m²n +20mn² entre -2mn² =
EJERCICIOS VARIOS
Suma y resta de Monomios.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
-2x, 3y
5mn, -m
5a, 7a
-8x, -5x
-11m, 8m
9ab, -15ab
11. 1/3b, 2/3b
12. -1/2xy, -1/2xy
13. -3/5abc, -2/5abc
14. 4x - 6b
15. -5a - 6b
16. -8x – (-3)
37
7. –xy, -9xy
8. mn, -11mn
9. 1/2a, -2/3b
10. 3/5b, 3/4c
17. -9a²- 5b²
18. -7xy – (-5yz)
19. 3a- 4a
20. 11m² - 25m²
Suma y Resta de Polinomios
1. 7a -4b + 5c; -7a +4b -6c
2. 9x -3y +5; -x –y + 4; -5x +4y -9
11. 2x – 3y restar –x + 2y
12. 8a + b restar -3a + 4
3. p + q + r; -2p -6q +3r; p + 5q – 8r
4. (-7x -4y + 6z); (10x -20y -8z)
13. x² - 3x restar -5x + 6
14. a³ - a²b restar 7a²b + 9ab²
5. -2m + 3n -6; 3m – 8n +8; -5m +n -10
6. 5x -7y + 8; -y + 6 -4x; 9 – 3x +8y
7. x² + 4x; -5x + x²
8. –x² + 3x; x³ + 6
9. m²+ n²; -3mn + 4n², -5m² - 5n²
10. a + b restar a – b
15. x – y + z restar x – y + z
16. x + y – z restar –x – y + z
17. x² + y² - 3xy restar –y² + 3x² - 4xy
18. x³ - x² + 6 restar 5x² - 4x + 6
19. y² + 6y³ restar 5x² - 4x + 6
20. Restar m – n + p de -3n + 4m + 5p
Multiplicación de Monomios
1. 2 * (-3)
2. -4 * (-8)
3. -15 * 16
4. ab * (-ab)
5. 2x² * (-3x)
6. -4a²b * (-ab²)
7. -5x³y * xy²
8. -4m² * (-5mn²p)
9. abc * cd
10. 1/2a² * 4/5a³b
11. -3/7m²n * (-7/14a²m³)
12. -7/8abc * 2/7a³
13. (a)(-3a)(a²)
14. (3x²)(-x³y)(-a²x)
15. (-m²n)(-3m²)(-5mn³)
16. (4a²)(-5a³x²)(-ay²)
17. (-aⁿ)(-2ab)(-3a²bx)
18. (2a)(-a²)(-3a³)(4a)
19. (-3b²)(-4a³b)(ab)(-5a²x)
20. (-1/2x²y)(-3/5xy²)(-10/3x³)(-3/4x²y)
38
Matemática I
Multiplicación de Polinomios por Monomios y Polinomios por Polinomios
1. 8x²y – 3y² por 2ax³
11. 3x³ - x² por (-2x)
2. x² - 4x + 3 por (-2x)
12. a³ - 4a² + 6ª por 3ab
3. 1/2a – 2/3 b por 2/5a²
13. 2/3a– 3/4b por (-2/3a³b)
4. 3/5a – 1/6b + 2/5c por (-5/3ac²)
14. 2/5a² + 1/3ab – 2/9b² por 3a²x
5. 1/3x² - 2/5xy – 1/4y² por 3/2y³
15. 3a – 5b + 6c por (-3/10a²x³)
6. 1/2a² -1/3b² +1/4x² -1/5y²por(-5/8a²m)
16. 3ª – 5b + 6c por (-3/10a²x³)
7. –x + 3 por (–x + 5)
17. 6m – 5n por (–n + m)
8. 3x – 2y por y + 2x
18. -7y – 3 por (-11 + 2y)
9. x² + xy + y² por x – y
19. a² + b² - 2ab por a – b
10. x³ - 2x² + 3x – 1 por 2x + 3
20. 3y³ + 5 – 6y por y² + 2
Con siguientes parámetros a =-1, b = 2, c = -1/2, hallar el valor numérico de:
1.
2.
3.
4.
5.
a² - 2ab + b²
=
3a³ - 4a²b + 3ab² - b³ =
-8a² + 12ab -4b²
=
3a³ - 5ab² - 6a²b³
=
7a -4b + 5c
=
6. -7/8abc * 2/7a³
=
7. a³ + 3ab² - 3ax²b – b³ =
8. 6 + a² + 5a
=
9. a² + 2a – 3
=
10. (a – b)² + (b – c)² - (a – c)³ =
39
VI. Productos notables
En múltiples situaciones aparecen ciertos productos que resultan en rutinas que una
vez comprobadas se transforman en operaciones valederas que pueden traducirse y
calcularse a través de fórmulas establecidas. Es conveniente recordar dichos productos
y fórmulas para realizar los cálculos o simplificar expresiones, pues son de utilidad
práctica y evitan operaciones engorrosas y largas. Estos productos se conocen como
productos notables.
a. Cuadrado de una suma: (a + b) ²
Fórmulas del cuadrado de una suma
(a + b) ² = a² + 2ab + b²
(a + b) ² = (a + b) (a + b)
a + b
a + b
a² + ab
+ ab + b²
a² + 2ab + b²
Corrientemente esto se expresa de la siguiente manera: El cuadrado de la suma de
dos terminos ( (a + b) ² ) es igual a: El cuadrado del primer termino (a²), mas el doble
producto del primero por el segundo (+ 2ab), mas el cuadrado del segundo (+ b²)
.
b. Cuadrado de una diferencia: (a-b)²
Formulas del cuadrado de una diferencia:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a – b)² = (a – b) (a – b)
a – b
a – b
a² – ab
– ab + b²
a² –2ab + b²
De igual manera, el cuadrado de la diferencia puede expresarse asi: El cuadrado de la
resta de dos terminos ( (a – b) ² ) es igual a: El cuadrado del primer termino (a²),
menos el doble producto del primero por el segundo (– 2ab), mas el cuadrado del
segundo (+ b²)
c.Producto de una suma por una diferencia: (a+b) (a-b)
Formula:
(a+b) (a-b) = a² - b²
a + b
a – b
a² + ab
– ab – b²
a²
– b²
El producto de la suma por la diferencia de dos terminos iguales (a+b) (a-b), es igual a
la diferencia de los cuadrados de ambos terminos a² - b².
40
Matemática I
d. Producto de dos binomios de la forma (a+b) (a+c)
Formula: (a + b) (a+c) = a² + (b+c) a + bc
a + b
a + c
a² + ab
+ ac + bc
a² + (ab + ac) + bc
Cuando el primer termino es igual y los segundos son diferentes, el producto se
expresa asi: Cuadrado del primero (a²), mas el primero multiplicado por la suma de los
segundos (a (b+c)) , mas el producto de los segundos terminos (+ bc).
e. Cubo de la suma de un binomio: (a + b)³
Fórmulas del cubo de una suma(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ,
tambien puede presentarse de la siguiente forma (a + b)³ = (a² + 2ab + b²) (a + b),
y de esta, (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b)
a + b
a + b
a² + ab
+ ab + b²
a² + 2ab + b²
a
+b
a³ + 2a²b + ab²
+ a²b + 2ab² + b³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
En palabras la suma del cubo de un binomio (a + b)³ , puede expresarse de la manera
siguiente: el cubo del primer termino (a³), mas en triple producto del cuadrado del
primero por el segundo (+ 3a²b), mas el triple producto del primero por el cuadrado
del segundo (+ 3ab²) mas el cubo del segundo (+ b³)
f. Cubo de la diferencia de un binomio: (a – b)³
Fórmulas del cubo de una diferencia: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
(a – b)³ = (a² – 2ab + b²) (a – b)
(a + b)³ = (a – b) (a –b) (a – b)
a – b
a – b
a² – ab
– ab + b²
a² – 2ab + b²
a
–b
a³ – 2a²b + ab²
– a²b + 2ab² – b³
a³ – 3a²b + 3ab² – b³
41
El cubo de la diferencia de un binomio (a – b)³ , puede expresarse de la manera
siguiente: al cubo del primer termino (a³), menos en triple producto del cuadrado del
primero por el segundo (– 3a²b), mas el triple producto del primero por el cuadrado
del segundo (+ 3ab²), menos el cubo del segundo (– b³)
42
Matemática I
Ejercicios de Productos Notables
A. Productos Notables
a.1 Cuadrado de la Suma
1. (x + 5)2
2. (7a + b)2
3. (4ab2 + 6xy3)2
4. (xa+1 + yb-2)2
5. (2x + 5b)2
6. (7a +3 b)2
7. (4b2 + 6y3)2
8. (ax + 5b)2
9. (6a + by)2
10. (4a2 + 6x3)2
a.2 Cuadrado de la Resta
1.
2.
3.
4.
5.
( a – b)2
(7a –3 b)2
(4b2 – 6y3)2
(ax – 5b)2
(6a – by)2
6. (4a2 – 6x3)2
7. (8 –a)2
8. (3x4–5y2)2
9. (xa+1 – 4xa-2)2
10. (z – 4)2
a.3 Producto de una suma por una diferencia: (a+b) (a-b)
1. (x + 5) (x – 5)
2.
3.
4.
5.
( 3a +2b) ( 3a – 2b)
(6a + by) (6a– by)
(7a +3 b) (7a–3 b)
(2x + 5y) (2x – 5y)
6. ( 3ax +2b) ( 3ax – 2b)
7. (4a + 3by) (4a– 3by)
8. (7a +3b) (7a–3 b)
9. ( 3a +2 b) ( 3a – 2b)
10. (6 a2 + b y2) (6 a2– b y2))
a.4 Producto de dos binomios de la forma (a+b) (a+c)
1. (x + 5) (x + 4)
2. ( 3a +2) ( 3a + b)
3. (6a + b) (6a+ y)
6. ( 3ax +2b) ( 3ax + c)
7. (4a + 3by) (4a +2b)
8. (7a +3b) (7a+ 8x)
4. (7a +3 ) (7a + b)
5. (2x + 4b) (2x + 5y)
9. ( 3a +2 b) ( 3a + 6t)
10. (6 a2 + b ) (6 a2 +y2))
43
a.5 Cubo de la suma de un binomio: (a + b)³
1.
2.
3.
4.
5.
(x + 5)³
(3a + 2b)³
(4ab2 + 3xy3)³
(xa+1 + yb-2)³
(2x + 5b)³
6. (2a +3 b)³
7. (4b2 + 2y3)³
8. (ax + 5b)³
9. (3a + by)³
10. (4a2 + 3x3)³
a.6 Cubo de la diferencia de un binomio: (a – b)³
1.
2.
3.
4.
5.
(x – 2)³
(3a – 2b)³
(2ab2 – 3xy3)³
(xa+1 – yb-2)³
(2x –4b)³
6. (2a –3 b)³
7. (4b2 – 2y3)³
8. (ax – 5b)³
9. (3a – by)³
10. (4a2 – 3x3)³
44
Matemática I
VII. Factorización
Factorizar significa descomponer en dos o más factores una expresión algebraica. En
muchos casos esta es la operación inversa de los productos notables. También puede
interpretarse como una división indicada entre el termino seleccionado.
a. Caso # 1 factor común
Característica: Todos los términos poseen uno o varios factores en común.
Pasos a seguir: Se escribe el factor común de los términos. Luego se abre un
paréntesis y se escriben dentro de el, los coeficientes a dividir. Siempre se debe buscar
el número que sea divisible dentro de los demás.
Ej. 1: Descomponer en factores a² + 2a
Como puede observarse, los términos a² y 2a tiene en común la variable a, este es el
factor común. Entonces se escribe el factor común a, como coeficiente de un
paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los coeficientes de dividir a²/a=a y 2a/a=2,
y se obtiene: a (a+2).
Ej. 2: 10 a² - 5a + 15a³ = 5a (2a – 1 + 3a²)
En todo caso siempre es recomendable ordenar la expresión de mayor a menor
exponente, así:
15a³ + 10 a² - 5a = 5a (3a² + 2a – 1)
b. Caso # 2 factor común por agrupación de términos
Característica: Una expresión algebraica se factoriza por este método cuando no en
todos los términos hay factores comunes por eso se recurre a la agrupación.
Ej.:
Factorizar por agrupación: a x + b x + ay + b y
Como puede observarse, los primeros términos tienen en común la variable “x”,
mientras que los últimos dos la variable “y”. En este caso se deben agrupar los primeros
dos términos en un paréntesis y los últimos dos en otro, precedido de un signo +,
porque el tercer término tiene el signo +, los grupos se factorizan separadamente
respecto a su variable común, seguidamente se observa si existe un término común, se
vuelve a factorizar por termino común. De eso se obtiene el resultado final, tenga en
cuenta que este caso, significa una doble factorización:
Se agrupan
Factor común
Otro factor común
(a x + b x) + (a y + b y) =
x(a + b) + y(a+ b) =
(a + b) (x + y).
La agrupación puede hacerse de más de una manera. Ejemplo de otra forma:
(a x + a y) + (b x + b y) = a (x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b)
45
Otro ejemplo:
3m² - 6mn + 4m – 8n = (3m² - 6mn) + (4m – 8n) =
3m (m-2n) + 4(m-2n) = (m-2n)(3m+4)
3m (m-2n) + 4(m-2n) =
c. Caso # 3 trinomio cuadrado perfecto
Características: El primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta. El segundo término es
el doble producto de sus raíces cuadradas.
Regla: Se debe extraer la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan esas
raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del
trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.
Ej. 1.
4x² - 20xy + 25y² =
2
5
(2x-5y) (2x-5y) =
(2x – 5y)²
Ej. 2.
1 - 16ax² + 64a²x4 = (1 - 8ax²)²
d. Caso # 4 diferencia de cuadrados
Características: Es una resta de cuadrados, siempre son dos términos y ambos términos deben
que tener raíz cuadrada exacta.
Regla: Se debe extraer la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo, luego multiplicar la suma
de esas raíces por su diferencia.
Ej. 1j: Factorizar 1 – a²
La raíz cuadrada de 1 es 1, y la raíz cuadrada de a² es “a”, luego se multiplica la suma de
esas raíces por su diferencia. Así se obtiene: (1+a) (1-a)
Ej.2: 16x² - 25y2 = (4x + 5y) (4x – 5y)
La raíz cuadrada de 16x² es 4x, y la raíz cuadrada de 25y2 es 5y, por lo tanto la suma por la
diferencia de ambos términos nos da: (4x + 5y) (4x – 5y)
e. Caso # 5 trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.
Características: Es un trinomio. El segundo término no es exactamente el doble de los productos
de sus raíces.
Ej.:
Factorizar x4 + x²y² + y4
Primero se debe observar si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x², y la
raíz cuadrada de y4 es y², sin embargo el doble del producto de estas raíces debiera ser 2x²y²,
luego, como evidentemente no lo es, entonces podemos afirmar que este trinomio no es
cuadrado perfecto.
46
Matemática I
Para que sea perfecto, hay que lograr que el segundo término sea 2x²y², lo cual se puede
conseguir sumándole x²y², pero, para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad
que se suma. Así se obtiene:
x4 +x²y² + y4
x²y²
- x²y²
x4 + 2x²y² + y4 – x²y² =
(x4+2x²y²+y4) – x²y² =
(x²+y²)² - (xy)²
Aquí se suma y se resta
=
(x²+y²+xy) (x²+y²-xy)
x²y²
(factorizando el trinomio cuadrado perfecto)
(factorizando la diferencia de cuadrados)
f. Caso # 6 trinomio de la forma x² + bx + c
Características: El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra
cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero
con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El
tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y segundo
término y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Ej.:
Factorizar x² + 5x+6
(El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x², o sea x:)
(x ) (x )
En el primer binomio, después de x se pone signo + , porque el segundo término del
trinomio tiene signo positivo, luego, en el segundo binomio, después de x se escribe el
signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que: +
multiplicado por +, da como resultado +.
(x
) (x )
(x + 2) (x + 3)
(Ahora, como en estos binomios se tiene signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea 5 y
cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3, y el resultado es:)
(x + 3) (x +2)
(Por regla en el primer paréntesis se coloca el número mayor)
g. Caso # 7 Trinomio de la forma ax² +bx + c
Característica: Se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior porque el
primer término tiene un coeficiente distinto de 1.
Ej.:
Factorizar 6x² – 7x –3
(Se multiplica el trinomio por el coeficiente de x² que es 6 y dejando indicado el producto de 5
por 7, se obtiene:)
36x²– 6(7) – 6(3)
pero 36x² = (6x)² y 6(7) = 7(6x) luego podemos escribir:
(6x)² – 7(6x) – 18.
Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer
término de cada factor será la raíz cuadrada de (6x)² o 36x², de manera que:
(6x)²: (6x – ) (6x+ )
47
(6x– ) (6x + )
(se busca dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18, son 9 y 2. Se
obtiene:)
(6x – 9) (6x + 2)
(ahora hay que dividir dentro de 6 para no alterar el trinomio, se descompone en 3 x 2)
(6x –9) (6x+2) = 3(2x –3) 2(3x+1) = (como se multiplico por 6 ahora se divide dentro de dos
6
3x2
factores de 6, que sean divisibles con 9 y 2)
= (2x–3) (3x+1)
h. Caso # 8 cubo perfecto de binomios
En este caso se debe cumplir con ciertas condiciones: Tener cuatro términos. Que el primero y el
último término sean cubos perfectos. Que el segundo término sea más o menos el triple del
cuadrado de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Que el
tercer término sea el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica
del último.
Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas
de su primer y último término, y si los términos son alternadamente positivos y negativos la
expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.
Ej.:
Factorizar 1+ 12 a + 48 a² + 64 a³
(Aplicando el procedimiento anterior se ve que esta expresión es el cubo de 1+4 a; luego;)
1 + 12a + 48a² + 64a ³
= (1+4a)³
Cumple con las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el
cubo de (2x + 1), o de otro modo, (2x + 1) es la raíz cúbica de la expresión.
i. Caso # 9 suma o diferencia de cubos perfectos
Características: Es un binomio. Puede ser positivo o negativo. Ambos términos tienen raíz cúbica
exacta. Al realizar una suma o diferencia de cubos perfectos, la respuesta queda de la siguiente
manera:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab+b²)
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab+b²)
Como se factoriza
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la suma de sus raíces cúbicas
(nos da dos términos, a y b), multiplicado por el cuadrado del primer término, menos el
producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: la diferencia de sus raíces
cúbicas (nos da dos términos, a y b), multiplicado por el cuadrado del primer término, mas el
producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.
48
Matemática I
Ej.:
Factorizar 8x³ – 125
La raíz cúbica de 8x³ es 2x
La raíz cúbica de 125 es 5
Según la regla anterior (2) se obtiene:
8x³ – 125 =
(2x – 5) (2x²) + 5(2x) + 5²
(2x – 5) (4x² + 10x + 25)
49
Ejercicios de Factorización
b.1 Caso #1. Factorizar los siguientes expresiones con factor común
1.
5.
2.
6.
7.
3.
4.
8. 3a2x3y + 4a5x2y3 - 6a4x6 - 10ax4
9.
10. 3m6p4q2 - 9m5p2qx + 3m7p3qx + 3m4p2q - 6m5p4qx2y
b.2. Caso # 2. Factorizar las siguientes expresiones por agrupación
1. 2 a x + 2 b x – a y + 5 a – b y + 5 b
2. a m – a n + a x – b n + c n + b m – c m + b x – c x
3. ½ a2 x – 2 a x2 + a x – ½ a b + 2 b x – b
4. 15 a2 – 3 a m – 3/2 a – 5 a x + x m + ½ x
5. 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x2 – 3 m y
6. 7 x + y – x y – 7 – z2 + x z2
7. 10/3 a2 b2 – 8/3 a b2 y – 20 a x +16 x y – 5/3 a2 b3 +4/3 a b3 y +10 a b x – 8 b xy
8. a2y + ab2 - axy - b2x
9. 10am2xz - 15m2xz + 10ax - 15bx - 8am2yz + 12bm2yz - 8ay + 12by
10. 5amx/3 + 20amy - 2bmx/3 - 8bmy - 10anx/9 - 40any/3 + 4bnx/9 + 16bny
b.3. Caso # 3. Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
b.4. Caso # 4. Factorizar las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
b.5. Caso # 5. Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto por
adición y sustracción
50
Matemática I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
b.6. Caso # 6. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma
1.
2.
6.
7.
3.
4.
5.
8.
9.
10.
b.7. Caso # 7. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma
b.8. Caso # 8. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma del cubo perfecto de
binomios
1. x3 – 2x2 + 4x – 8
2. y3 – 3y2 + 9y – 27
3. x3 + 2x2 + 4x + 8
4. 8x3 + 12bx2 + 6b2x + b3
5. 27x3 – 54x2 + 36 bxy2 – y3
6.
8x3 – 12bx2 + 6b2x – b3
7. 27x3 + 54x2 + 36 bxy2 + y3
8. 27a6 – 54a4b+ 36 a2b2 – b3
9. 4a3 – 96a2b+ 48ab2 – 8b3
10. b3 + 48ab2 + 96a2b + 64a3
b.9. Caso # 9. Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de
cubos perfectos
51
C. Ejercicios de Simplificacion:
1) (a + b)² - 4ab
————————
a - b
R:
a - b
2) (a - b)² + 4ab
————————
a + b
R:
a + b
3) 6xy² - 6xz²
——————
3xy - 3xz
R:
2(y + z)
4 ) 5 a ² c + 10 a b c + 5 b ² c
———————————
15 a c + 15 b c
R:
(a + b)
————
3
5) 2m² - 2n²
—————
4m + 4n
R:
m - n
———
2
6) 2p² - 4pq + 2q²
—————————
8p² - 8q²
R:
p - q
—————
4(p + q)
7) uv - 3u + 2v - 6
—————————
u v - 5 v - 3 u + 15
R:
u + 2
———
u - 5
8 ) w z - 4 z - 5 w + 20
——————————
w z - 24 + 6 w - 4 z
R:
z - 5
———
z + 6
9) xw + xz - wy - yz
——————————
wx + wy + zx + yz
R:
x - y
———
x + y
10 ) - b d + a c + b c - a d
——————————
ac + bd - ad - bc
R:
a + b
———
a - b
11 ) k m + 7 m + k n + 7 n
——————————
kn - 4m - 4n + km
R:
k + 7
———
k - 4
52
Matemática I
12 ) 2 p - q r - 2 q + p r
—————————
pr + 6p - qr - 6q
R:
r + 2
———
r + 6
13 ) u w - 4 u + 3 v w - 12 v
———————————
u w - 4 u - 5 v w + 20 v
R:
u + 3v
————
u - 5v
14 ) 6 x z + 14 y + 7 x y + 12 z
————————————
7xy + 6xz - 7y - 6z
R:
x + 2
———
x - 1
15 ) 2 a c - a d + 10 b c - 5 b d
————————————
2 a c + a d + 10 b c + 5 b d
R:
2c - d
————
2c + d
16 ) 3 j m + 21 j n - 2 k m - 14 k n
—————————————
3 j m - 18 j n - 2 k m + 12 k n
R:
m + 7n
————
m - 6n
17 ) 3 p ² - 6 p q + 3 q ²
—————————
pr - p - qr + q
R:
18 ) x z + w x - y z - w y
—————————
4x² - 4y²
R:
3(p - q)
—————
r - 1
w + z
————
4(x + y)
53
VIII. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INGÓGNITA
Las ecuaciones de primer grado con una variable son expresiones algebraicas que después de
simplificadas tienen la forma a x + b = c , o sea una sola variable con exponente uno. Donde a, b
y c son las constantes y x es la variable.
En el álgebra se usan las últimas letras del alfabeto, como x, y, z, para representar incógnitas, o
variables y las primeras como: a, b, c; para representar números o constantes. Las constantes y
variables se combinan usando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para
formar expresiones algebraicas como las siguientes:
 A x + b, donde a y b son constantes y x es la variable.
 x+3
 3/(1-x)
 15x -8
Pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita:
1. Se operan los signos de agrupación según su precedencia
2. Se transponen los términos, tratando de ubicar al lado izquierdo del signo igual todos
aquellos que contienen la incógnita y al lado derecho las constantes.
3. Se efectúa reducción de términos semejantes en cada miembro y se despeja la incógnita
para determinar su valor.
De una manera más elemental la operatividad se puede resumir de la siguiente manera:
Si un elemento está sumando de una lado, pasa al otro lado restando.
Si está restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos pasa al otro dividiendo.
Si los divide pasa multiplicando.
Existen dos tipos de ecuaciones de primer grado: en forma de ecuación, que es cuando la
expresión viene expresada como tal. La segunda es mediante interpretación; es decir, un
problema es dado que por medio de la lógica se debe de interpretar en una ecuación (utilizando
variables y constantes) para solucionar el problema.
A continuación se presentan un ejemplo de cada tipo de operación, detallando las pasos a seguir
para resolver los mismos.
Ejemplo de Ecuación:
54
Matemática I
Para resolverla se aplican los siguientes pasos:

Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común
múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12).
Entonces, se obtiene:
9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x

Se eliminan los paréntesis, con lo que queda:
9x + 48 = 48 - 48x + 16x

Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que
no la tengan en el otro:
9x + 48x - 16x = 48 - 48

Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias:
41x = 0

Se despeja la incógnita:
x=0

Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial.
9(0) + 48 = 48 (1 – (0)) + 16(0)
48 = 48
Ejemplos de pasos para resolver ecuaciones
1.
3x + 5 = 4x – 8
3x- 4x = -8 -5
-x = - 13
x = 13
2.
4/ (x-2) = 4
4 = 4 (x-2)
4 = 4x – 8
12 = 4x
X= 3
3.
2x -5 = 3
2x = 8
X=4
4.
(2x +5) + (3x – 4) = 54
( 2x+ 3x) + (5-4) = 54
5x – 1 = 54
5x = 55
X= 11
5.
24x – 6 = 12x + 18x –
8
24 x – 12x – 18 x= -2
-6x = -2
X = (2/6)
6.
2x – 33 = 5 (x + 33)
2x – 33 = 5x + 165
2x – 5x = 33 + 165
-3x = 198
X = - 66
7.
6(4x + 9) = 5(3 + 9x) +
87
24x + 54 = 15 + 45x + 87
24x - 45x = 15 + 87 - 54
-21 x = 48
x = - 2.29
8.
(5x + 6)/ 45= 12x – 3
5x + 6 = 90x – 135
141 = 85x
X = 1.66
55
Ejemplo de problemas escritos:
Ejemplo 1:

La suma de las edades de A y B es 84 años, y B es 8 años menos que A. Hallar ambas
edades.
Solución:
 Sea x = edad de A.

Como B tiene 8 años menos que A;
X - 8= edad de B.

La suma de ambas edades es 84 años; luego tenemos la ecuación:
x + x - 8 = 84

Resolviendo esta ecuación, tenemos x=46, la cual representa la edad de A.
X = 46 = a

La edad de B será
x - 8 = 46 - 8 = 38 años.

Nota la verificación de los resultados es importante porque permite percatarse si se
satisfacen las condiciones iniciales del problema.
En este caso las condiciones iniciales sería que la suma de las edades de A y B son 84,
como efectivamente es, puesto que: 46+38=84.

Ejemplo 2:

Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro y
$20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?
Solución:
 La variable x se utilizará para resolver el problema.
 Sea x=precio del libro. Como el sombrero costó $5 más que el libro:
x + 5 = precio del sombrero

El sombrero costó $20 menos que el traje; luego, el traje costó $20 más que el sombrero;
x + 5 + 20 = x + 25 = precio del traje.

Como todo costó $87; la suma de los precios del libro, del sombrero y el traje tiene que
ser igual a $87: de aquí tenemos la ecuación,
x + x + 5 + x + 25 = 87
56
Matemática I

Usando el método para encontrar el valor de la variable, tenemos que
x = 19, $19precio del libro.
x + 5 = 19 + 5 = 24, $24 precio del sombrero y
x + 25 = 19 + 25 = 44, $44 precio del traje.
Se comprueba el resultado, substituyendo los valores según las condiciones iniciales;
57
IX. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
a. Definición
Una ecuación lineal con dos incógnitas (o variables) x e y es de la forma
a x + b y = c, en
donde a, b y c son constantes y a, b distintas de 0. Dos ecuaciones de este tipo constituyen un
sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.1
b. Métodos de solución
1. Reducción: cuando sea necesario, se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por
números, de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones
sea el mismo. Si los signos de los términos de igual coeficiente son los mismos, se
suman las ecuaciones; en caso contrario, se restan.2
Ejemplo:
1) 2X – Y = 4
2) X + 2Y = −3
Para eliminar Y, se multiplica la ecuación 1) por 2 y se suma con la ecuación 2), obteniendo
1) 4X – 2Y = 8
2) X + 2Y = −3
Suma:
5X
=5
o sea X = 1.
Sustituyendo X = 1 en la ecuación 1), se obtiene 2(1) – Y = 4, o sea Y = −2.
Por lo tanto, la solución del sistema es X = 1; Y = −2.
2. Sustitución: conste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su
valor por otra.
Ejemplo:
1) 2X – Y = 4
2) X + 2Y = −3
Despejando Y en ecuación 1) se obtiene: Y = 2X – 4. Luego se sustituye este
valor en ecuación 2) y resulta:
X + 2 (2X – 4) = −3
Y al resolverla se obtiene la solución X = 1 y sustituyendo X = 1 en 1) o en 2), se
obtiene Y = −2.
1
2
Spiegel, Murray R. Álgebra Superior. Editorial McGraw-Hill. México, 1970. pp. 100.
Ibid
58
Matemática I
EJERCICIOS
1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a. 2X – 3Y = 7
3X + Y = 5
b. 3X – Y = −6
2X + 3Y = 7
c. 4X + 2Y = 5
5X – 3Y = −2
d. 2X – 5Y = 10
4X + 3Y = 7
e. 2Y – X = 1
2X + Y = 8
f. 2X – 3Y = 9
4X – Y = 8
g. 2X + Y + 1 = 0
3X – 2Y + 5 = 0
h. 5/X – 3/Y = 1
2/X + 1/Y = 7
59
X. FUNCIONES LINEALES Y GRÁFICAS
1. DEFINICIÓN
f es una función lineal si f (X) = a x + b, en donde a y b son números reales y
a ≠ 0.
Se utiliza término “lineal” porque la gráfica de f es una línea recta, como lo veremos
posteriormente.
Sean l una recta no paralela al eje Y, y P1 (X1 , Y1), P2 (X2 , Y2) dos puntos diferentes de l.
La pendiente m de l se define por
m = Y 2 – Y1
X2 – X1
Si l es paralela al eje Y, su pendiente no está definida.
Para obtener la pendiente de una recta, no importa cual de los puntos consideremos como
P1 y a cual como P2, ya que
Y 2 – Y1 = Y1 – Y2
X2 – X1 X1 – X2
Podemos suponer que los puntos están numerados de manera que X1 < X2.
Pendiente positiva
P2 (X2 , Y2)
6
Y2 – Y1
4
P1 (X1 , Y1)
-4
-2
2
0 X2 – X1
0
-2
P3 (X2, Y1)
2
4
6
-4
60
Matemática I
Pendiente negativa
6
4
P1 (X1 , Y1)
2
P2 (X2 , Y2)
0
-4
-2
-2
0
2
4
6
-4
Una recta horizontal es una paralela al eje X. Nótese que una recta es horizontal si y solo si su
pendiente es 0. Una recta vertical es una paralela al eje Y. La pendiente de una recta vertical no
está definida.3
Ejemplos:
1) Trazar las rectas que pasan por los pares de puntos siguientes y encontrar sus
pendientes.
a. A(−1, 4) y B(3, 2)
A(-1, 4)
-4
-2
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
B(3, 2)
2
4
6
m = 2 – 4 = −2 = −1
3 – (−1) 4
2
b. A(2, 5) y B(−2, −1)
3
Swokowski. Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México.
1988. pp. 139-141.
61
B(-2,
-1)
-4
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-2
A(2, 5)
2
4
6
m = 5 – (−1) = 6 = 3
2 – (−2)
4 2
c. A(4, 3) y B(−2, 3)
B(-2, 3)
-6
-4
-2
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
A(4, 3)
2
4
6
m=3–3 = 0 = 0
−2 – 4 −6
d. A(4, −1) y B(4, 4)
-2
-1
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
B(4, 4)
1
2
3
4
5
A(4, -1)
62
Matemática I
m = 4 – (-1) =
4–4
5 = INDEFINIDA
0
La pendiente no está definida puesto que la recta es vertical. Esto se advierte también observando
que si se utiliza la fórmula de m, el denominador es 0.
Determinaremos ahora la ecuación de la recta l con pendiente m que pasa por el punto P1 (X1 ,
Y1) (existe una sola recta que verifique estas dos condiciones). Si P(X, Y) es cualquier punto con
X ≠ X1 (ver figura) entonces P está sobre l si y solo si m es la pendiente de la recta que pasa por
P1 y P, es decir, si y solo si
Y – Y1 = m
X – X1
Podemos escribir está ecuación en la forma
Y – Y1 = m (X – X1)
Nótese que (X1, Y1) es también una solución de la ecuación anterior y por lo tanto, los puntos de l
son precisamente aquellos que corresponden a las soluciones. Esta es la ecuación de la recta
llamada de forma de punto y pendiente.
La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por el punto
Y – Y1 = m (X – X1)
-2
-1
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
P (X1 , Y1) es:
P(X, Y)
P1 (X1 , Y1)
1
2
3
4
La ecuación de la recta Y = mX – mX1 + Y1 que también puede escribirse Y – Y1 = m (X – X1), es
de la forma
Y = mX + b
En donde b = −mX1 + Y1. El número real b es la intercepción
Y (u ordenada al origen)
63
de la recta, lo cual se puede ver haciendo X = 0. La ecuación Y = mX + b es la ecuación de la
recta l donde se especifica su ordenada al origen y su pendiente. Inversamente, una ecuación de la
forma Y = mX + b, puede escribirse nuevamente como Y – b = m(X – 0)
Comparando ésta forma de la ecuación de la recta con la forma anterior, vemos que la gráfica es
una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, b). Esto conduce al siguiente resultado, la
gráfica de la ecuación
Y = mX + b es una recta con pendiente m intercepción Y igual a b.4
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 7) y
B(−3, 2).
Solución:
La pendiente m de la recta es m = 7 – 2 = 5
1– (−3) 4
Podemos sustituir las coordenadas del punto A o el B en la ecuación de punto y pendiente.
Utilizando A(1, 7),
Y – 7 = 5/4(X – 1),
Que es equivalente a
4Y – 28 = 5X – 5, o bien
5X – 4Y + 23 = 0
Hemos visto que toda recta es la gráfica de un ecuación de la forma
aX + bY + c = 0
En donde a, b y c son números reales, siempre que a y b no sean 0 simultáneamente. Una
ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en X y Y. Recíprocamente, demostraremos que la
gráfica de aX + bY + c = 0, en donde a y b no son ambos 0, es siempre una recta. Por una parte,
si b ≠ 0, podemos despejar y para obtener,
Y=
a X
+
c
b
b
Que es la ecuación de una recta con pendiente –a/b y ordenada al origen –c/b. Por otra parte, si b
= 0 pero a ≠ 0, obtenemos X = −c/a, que es la ecuación de una recta vertical cuya intercepción X
es –c/a. Esto conduce al siguiente teorema: la gráfica de la ecuación lineal aX + bY + c = 0 es
una recta y, recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
4
Ibid pp.145
64
Matemática I
Ejemplo:
1) Trazar la gráfica de la ecuación 2X – 5Y = 8
Solución:
De acuerdo con el teorema anterior, la gráfica es una recta y por consiguiente, basta determinar
dos de sus puntos. Determinaremos las intersecciones con los ejes. Haciendo Y = 0 en la
ecuación dada, obtenemos que la intercepción X es 4; reemplazando X por 0, obtenemos
Y = −5/8, que es la intercepción en Y.
2
2X – 5Y = 8
1
0
-3
-2
-1
-1 0
1
2
3
4
(4, 0)
-2
-3
(0, -8/5)
-4
-5
-6
Otro método para resolver este ejemplo consiste en expresar la ecuación dada en la forma Y = mX
+ b. Para eso despejamos primero el término que contiene a Y:
5Y = 2X – 8
Después se dividen ambos lados de esta ecuación entre 5
2X −8
5
5
Que es de la forma Y = mX + b. Por consiguiente, la pendiente es m = 2/5 y la ordenada al
origen, b = −8/5. Ahora es posible trazar la recta que pasa por el punto (0, −8/5) y cuya pendiente
es 2/5.
Y=
65
EJERCICIOS
1) Si los vértices consecutivos de un paralelogramo son A(−1, −3), B(4,2), C(−7, 5),
encuentre el cuarto vértice.
2) En los siguientes ejercicios obtenga las ecuaciones de la recta que satisfaga las
condiciones dadas.
a.
b.
c.
d.
e.
Pasa por A(2, −6), pendiente ½
Pasa por A(−5, −7), B(3, −4)
Pasa por A(8, −2), intercepción Y igual 8.
Pasa por A(10, −6), paralela (a) al eje Y, (b) al eje X
Pasa por A(7, −3), perpendicular a la recta cuya ecuación es 2X – 5Y = 8.
3) En los siguientes ejercicios encuentre la pendiente y la intercepción Y
ordenada al origen) de la recta dada u trace su gráfica.
a. 3X −4Y + 8 = 0
b. X + 2Y = 0
c. Y = 4
d. 5X + 4Y = 20
e. X = 3Y + 7
(u
66
Matemática I
XI. ECUACIONES CUADRÁTICAS
Definición:
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella expresión algebraica que
puede reducirse a la forma ax2 + bx + c = 0, donde “a” siempre será diferente de cero
Observando los coeficientes “b” y “c”, se pueden clasificar en: incompletas si los
coeficientes “b” o “c” se anulan, o completas si ninguno de los coeficientes se anula.
Fórmula cuadrática:
Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. La
solución de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a diferente de
cero está dada por la fórmula cuadrática:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al
ser sustituidos convierten la ecuación en una identidad. La expresión b2 – 4ac se le
conoce como el discriminante y determina el número y el tipo de soluciones que tiene
la ecuación cuadrática. Al hacer un análisis del discriminante se tiene las siguientes
opciones:
Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
Si el discriminante es 0 hay una solución.
Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Además de poderse solucionar aplicando esta fórmula, existen otras formas de
encontrar una solución a las ecuaciones cuadráticas, la más común de estas es el
método de factorización, específicamente aplicando los casos 6 y 7 de factorización.
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego
expresar el lado que no es cero como un producto de factores.
Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Sin embargo, hay
que tener en cuenta que no siempre es posible resolver todas las ecuaciones
cuadráticas utilizando métodos de factorización, porque este método está limitado a
coeficientes enteros.
Ejemplo utilizando la formula Cuadrática, resolver: 2x² + 5x – 3 = 0
67
Para este caso:
a=2
b=5
c = -3
Estos valores se sustituyen en la fórmula:
____________
_________
X = - 5 + - √ 5² - 4(2 (-3)) = - 5 + - √ 25 +24 =
2 ( 2)
X= -5 + 7
4
4
X(1) =
X(2) =
-5+ 7
4
_________
-5 +- √
49
.
4
= 2/4 = 1/2
-5 - 7 = -12/4 = - 3
4
68
Matemática I
Problemas Ecuaciones Cuadráticas
1. x2 + 10 x + 25 = 0
2. 12x2 + 17x - 5 = 0
3. n ² - 2 n - 8 = 0
4. 5x2 - 11x + 2 = 0
5. x2 - 2x - 15 = 0
6. 12 - 4x - x2 = 0
7. n ² + n - 2 = 0
8. x2 - 4x + 3 = 0
9. 36 - 25a2 = 0
10. p ² - 4 p - 45 = 0
2
11. 16y + 24y + 9 = 0
12. 36a2 - 12a + 1 = 0
13. 10s2 + 11s – 6= 0
14. x2 - 8x + 16 = 0
15. 3x2 + 10x + 3= 0
16. 2x2 –7x + 3 = 0
69
XII. FUNCIONES Y GRÁFICAS
Si a cada valor que una variable X pueda tomar le corresponde uno o más valores de otra variable
Y. decimos que Y es función de X y escribimos Y= F(X) (Léase “Y igual a F de X”) para
indicar esta dependencia funcional. Se puede utilizar también letras en lugar de f para indicar
una función.
La variable X, se llama variable independiente, Y es la variable dependiente.
Si a cada valor de X corresponde un solo valor de Y, decimos que Y es función simple de X, si le
corresponde más de uno, se llama función múltiple de X
La dependencia funcional o correspondencia entre variables está indicada por medio de una
ecuación que relaciona las variables, ejemplo: Y = 2X – 3, de donde, asignándole diferentes
valores a X, obtendremos el valor de Y.
Si Y = F(X), para x=3, se acostumbre poner F(3), denotando con ello que el valor de Y, cuando
X=3.
El concepto de función puede extenderse a dos o más variables.
Ejemplos:
Construir una tabla que muestre los valores de Y correspondiente a: X=-2, -1, 0, 1, 2. Par Y=
2X-3
X
-2
-1
0
1
2
3
4
Y
-7
-5
-3
-1
1
3
5
Con los valores X y Y, utilizando un plano coordenado graficamos.
Ejercicios
1. Utilizando la función Y= 2x-3, encontrar los valores de Y:
Cuando X= 3, -2, 1.5
2. Graficar la siguiente función Y= X2 -2X -8
3. Graficar la siguiente función Y= X3 -4 X2 -12X – 6
4. Graficar la siguiente función Y= X3 - 5 X2 -X
5. Graficar la siguientes función Y= 2x
70
Matemática I
XIII. TEOREMA DE PITÁGORAS
a. Demostración
El enunciado de los antiguos griegos al teorema de Pitágoras es el siguiente: El área
del cuadrado construidos sobre la hipotenusa, de un triangulo rectángulo es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.¨(6)
c+ b
c
b
b
c
Si los lados del cuadrado blanco que esta en el centro miden
a unidades, se forman cuatro triángulos rectángulos
congruentes
c
b
b
c
El área del cuadrado chico mas el área de los triángulos es igual al área del cuadrado
grande, es decir:
a² + 2bc = c² + 2cb + b²
a² = c² + b²
Esto es el enunciado moderno del Teorema de Pitágoras, que indica que el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, también puede
expresarse que la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de
los catetos.
El primer enunciado, es la manera básica del teorema, a partir de esta forma se pueden
resolver todas las posibles variantes que se puedan presentar.
-
Hipotenusa: es el lado mas largo del triangulo.
Catetos: son los otros dos lados más cortos.
Nota: el triangulo siempre debe tener un ángulo recto.
b. Aplicación
Ej.:
Encontrar la longitud del cateto b.
71
c=8m
b?
a=3m
Datos:
a = 3,
c=8
b=?
c² = a² + b²
b² = c² - a²
b² = 8² - 3² = 64 – 9 = 55
b = √55 = 7.42m
Encontrar la longitud de la hipotenusa
?
3m
Datos
a=4
b=3
c=?
c² = a² + b²
4m
c²= 4² + 3² = 16 + 9
c² = √ 25 =
c = 5m.
72
Matemática I
Ejercicios del Teorema de Pitágoras
Encontrar lo que se pide:
1).- a = ? si b = 5 c = 8
2).- b = ? si a =3 c = 10
3).- c = ? si a = 10 b = 15
4).- a = ? si b = 7 c = 9
5).- b = ? si a = 6 c = 10
6).- c = ? si a = 13 b = 10
7).- a = ? si b =2 c = 10
8).- b = ? si a = 5 c = 15
9).- c = ? si a = 7 b = 8
10).- a = ? si b = 15 c = 20
73
XIV. PORCENTAJES
1. DEFINICIÓN
Es el valor calculado por cada 100 unidades contenidas en una cantidad dada; es, pues, un cierto
número de centésimas de una cantidad. En el lenguaje corriente las expresiones porcentaje y tanto
por ciento suelen confundirse, pero en realidad son conceptos diferentes; mientras el tanto por
ciento (%) es el número de unidades que se toma por cada ciento, el porcentaje expresa el total de
unidades que se debe tomar de una cantidad considerada como base.
EJERCICIOS
1) Convertir los siguientes porcentajes a decimales:
a. 35 %
b. 2.37 %
c. 12 ½ %
d. 71/100 %
e. ¼ %
2) Convertir los siguientes porcentajes a fracciones (a su forma más simple).
a. 32 %
b. 0.95 %
c. 1 2/3 %
d. 0.003 %
e. ½ %
3) Tomando en cuenta que el IVA está incluido en el precio, si usted compró un artículo por
Q.100.00, ¿cuánto pago de IVA?
4) Un amigo le ofrece un iPOD en Q.1000. Usted pide una rebaja, y él le hace el 13% de
descuento. ¿En cuánto le sale el iPOD?
5) Los aranceles para importar un automóvil son del 20% del valor de vehículo. El IVA se
paga sobre el valor del vehículo más los aranceles de importación. Las placas de
circulación se calculan en un 4.5% del valor total del vehículo. ¿Cuánto deberá pagar por
las placas del vehículo, que usted compro en Q.100,000.00, sin impuestos?
74
Matemática I
6) Si el impuesto sobre ventas es 12%, ¿cuánto impuesto habría que pagar al comprar
artículos que cuestan $378?
7) En Florida USA, el TAX sobre ventas es 5 ½%, ¿cuánto hay que pagar finalmente al
comprar artículos que cuestan $754, ya que el TAX no está incluido en el precio?
8) Si usted es empleado, el 4.9% de su sueldo se destina al seguro social. Si usted gana
$38,000 al año, ¿cuánto pagará cada año de seguro social? Restado el aporte al IGSS,
debe pagar el 5% como impuesto sobre la renta. ¿Cuál es el valor del impuesto sobre la
renta? y finalmente, ¿Cual es su renta neta?
9) Una moneda de cinco centavos contiene 25% de níquel y 75% de cobre. Si pesa 77.16
gramos, ¿cuántos gramos de níquel contiene?
10) Si el impuesto sobre ventas es 3%, ¿cuánto impuesto hay que pagar al comprar mercancía
por $55?
11) Si el impuesto sobre ventas es 4.5%, ¿cuánto impuesto hay que pagar al comprar
mercancía sobre $.654?
12) Si usted es empresario, 11.1% de su planilla de trabajadores van al seguro social. Sí la
planilla es de $766,200 al año, ¿cuánto le tiene que pagar al seguro social anualmente?
13) La moneda de cincuenta centavos de dólar contiene 40% de plata y 60% de cobre. Si pesa
177.72 gramos, ¿cuánta plata contiene?
75
XV. INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
A. INTERESES
Según Ludwing Von Mises la preferencia temporal es una categoría inherente a toda acción
humana. En el interés originario, es decir, en el descuento de bienes futuros por bienes presentes
queda reflejada esa preferencia temporal. Es la razón entre el valor otorgado a los bienes
presentes y el reconocido a los futuros.5
Más comúnmente, el interés se describe como la cantidad que se paga por emplear un capital
ajeno en el presente y devolverlo en un futuro preestablecido. Se da el nombre de capital al
dinero que se presta o se invierte. Los intereses suelen pagarse en proporción al capital y al
período durante el cual se usa el dinero. La tasa de interés específica a que porcentaje se acumula
el interés. Y suele expresarse como un porcentaje del capital por período. Existen básicamente
dos formas de interés: Simple y compuesto.
B. INTERES SIMPLE
Es el interés que se paga exclusivamente sobre la cantidad del capital. Casi siempre se asocia a
préstamos o inversiones corta duración, La fórmula es la siguiente:
Interés simple = capital * tasa de interés por período * número de períodos. O bien,
I=Pin
Donde:
I = interés simple
P = capital o principal
i = tasa de interés por período expresado en decimal
n = número de períodos de préstamo
Es indispensable que los dimensionales de i y n sean compatibles entre sí. En otras palabras, si i
se expresa como porcentaje anual, n habrá de expresarse en número de años.6
Ejemplo 1:
Una organización crediticia ha concedido un préstamo de $5,000.00 por un periodo de 3 años. Se
cobra una tasa de interés simple de 10% por año. El capital y el interés habrán de liquidarse al
5
VON MISES, LUDWING. La acción Humana. Editorial Union. Colombia 2001.
Budnick. Frank S. Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. Editorial McGrawHill. México, 1990. pp. 904-905.
6
76
Matemática I
final del tercer año. Calcule el interés durante el período de 3 años. ¿Qué cantidad se pagará al
final del tercer año?
Solución:
Al aplicar las definiciones de las variables dadas en la ecuación anterior se obtiene:
P = $5000; i = 0.10 por año; n = 3 años. Por tanto,
I = (5000) (0.10) (3)
= 1500
La cantidad que deberá liquidarse es el capital más los intereses acumulados, esto es,
A= P +
I
A = $5000 + $1500 = $6500
Ejemplo 2:
Un individuo obtiene un préstamo de $10,000.00 de una corporación al comprar un bono
emitido por ella. El interés simple se calcula trimestralmente a una tasa de 3% por trimestre,
enviándose por correo un cheque trimestral por concepto de intereses a todos los tenedores de
bonos. Estos últimos vencen al cabo de 5 años, y el último cheque incluye el capital inicial junto
con los intereses acumulados en el último trimestre. Calcule el interés ganado cada trimestre y el
interés total que se ganará durante la vida de 5 años de los bonos.
Solución:
En este problema, P = $10,000; i = 0.03 por trimestre; y el período del préstamo es 5 años. Puesto
que el período correspondiente a i es un trimestre, hay que considerar 5 años como 20 trimestres.
Y como queremos determinar la magnitud del interés ganado en un trimestre, haremos n = 1. Por
tanto, el interés trimestral será:
I = (10,000) (0.03) (1) = 300
Para calcular el interés total en un período de 5 años, se multiplica el interés trimestral de $300
por un número de trimestres, si un año tiene 4 trimestres, en cinco años, son 20 trimestres o
periodos, por lo tanto se obtiene
Total interés = $300 * 20 = $6000
Otras forma de calcular, es aplicando la fórmula del interés al número de periodos:
I = (10,000) (0.03) (20) = 6000
C. INTERES COMPUESTO
Es un procedimiento común en el cual se reinvierte el interés y se calcula el interés ganado junto
77
al capital inicial, a esto se le llama capitalización de los intereses. En el interés compuesto, El
interés generado en un período se suma al capital, con el propósito de calcular el nuevo interés
para el siguiente período. La cantidad de los intereses obtenida con este procedimiento recibe el
nombre de interés compuesto7. La fórmula es la siguiente:
A = P 1+r nt
n
Donde
A = interés compuesto
P = capital o Principal
r = interés expresado como decimal
t = tiempo
n = número de capitalizaciones
Ejemplo 1
Si $1000 se invierten al 12% anual y se capitalizan intereses mensualmente, ¿cuál es el monto
acumulado después de: ¿dos meses?, ¿un año?
Al aplicar las definiciones de las variables dadas en la ecuación anterior se obtiene:
P = 1000; r = 012; t = 1 año; n = 1, 2, 12 meses
2 meses: A = 1000 1 + 0.12
12
1/6 * 12
= 1000 (1.02)
= $1,020
1 año: A = 1000 1 + 0.12
12
1 * 12
= 1000 (1.126)
= $1,126.82
7
Ibíd. pp. 905
78
Matemática I
EJERCICIOS
1) Determinar el interés simple y el monto que produce la inversión de un capital de $750
durante dos meses al 7%.
2) Un empleado solicitó un préstamo de $150 a liquidar en dos meses y pagó $9 por
concepto de interés. ¿Cuál fue la tasa de interés anual?
3) Si una persona presta $3000 al 3%, ¿cuánto tiempo necesitará para obtener $75 de
interés?
4) ¿Cuánto tiempo necesitarán $625 para ganar $25 de interés al 4.8%?
5) ¿Cuál será el monto que se acumulará dentro de un mes, si se presta $3.6 millones al 2
7
/8%?
6) Una persona obtuvo un préstamo de $95. Seis meses después liquidó tanto el capital como
el interés con un pago de $100. ¿Qué tasa de interés pagó?
7) Una camarera, en una época de apuros económicos, empeño su reloj y anillo de diamantes
por $55. Al final del mes los rescató pagando $59.40. ¿Cuál fue la tasa anual de interés?
8) Si $1000.00 se invierten a una tasa de interés real de .0075 mensual y se capitalizan
intereses mensualmente ¿Cuál es el monto acumulado después de: ¿5 años?, ¿10 años?,
¿15 años?
9) Un fondo de ahorros paga de interés 10% y el interés se capitaliza semestralmente
¿Cuánto dinero habrá que invertir inicialmente para tener $5000.00 después de un año?
10) Se ha invertido $1000 a una tasa de interés de 9%. Calcular el monto del capital después
de un año, si el interés se capitaliza: mensualmente, semanalmente, diariamente, cada
hora, cada minuto.
Para este problema. Tome el exponente “nt”, con un valor redondo de “n” y el valor “n”
de la formula, con el mismo valor “n” del exponente.
11) Se invierten $15,000 al 3.5% anual y se capitalizan intereses semestralmente. ¿Cuál es el
monto acumulado después de: ¿1 año?, ¿3 años?, ¿5 años?,
¿20 años?
12) Un fondo de ahorros paga de interés 8.8% y el interés se capitaliza trimestralmente.
¿Cuánto dinero abra que invertir inicialmente para tener $10,000 después de un año?
D. Anualidades
La expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos
iguales. La expresión anualidades puede cambiarse por el de rentas, series uniformes, pagos
periódicos, amortizaciones u otros según el caso.
La anualidad puede definirse como una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son
diferentes o algunos de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso, los
79
nombre de anualidades variables o anualidades impropias.
Anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas son una variación de las anualidades ciertas, en la
que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan las anualidades
ordinarias o vencidas y anualidades anticipadas. La anualidad es ordinaria o vencida si el pago se
hace al final del periodo de pago. Es anticipada, si el pago se efectúa al principio del periodo de
pago.
Símbolos utilizados en las anualidades
A = pago periódico de una anualidad
i = tasa efectiva por periodo de capitalización
j = tasa nominal anual
m = número de capitalización en el año
j(m) = tasa nominales con m periodos de capitalización en el año
n = número de periodos de pago
F = monto de una anualidad o su valor futuro
P = valor actual o presente de una anualidad
Cálculo del valor futuro
Los pagos A efectuados al final de cada periodo ganan interés compuesto, hasta la fecha final.
Cada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de los siguientes
periodos.
El valor futuro F de la anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las
distintas rentas de A, o sea:
F = A + A(1 + i) + A(1 + i)2 + ………. + A(1 + i)nn-2 + A(1 + i)n-1
F = A (1 + i) n - 1
i
Cálculo del valor presente
El valor presente de una anualidad es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos
que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad.
P = A 1- (1- i) -n
80
Matemática I
i
Ejemplo 1.
Una persona que viaja fuera de su país deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la
condición de que paguen $.9,000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignara en una
cuenta de ahorros que paga 8 % nominal anual. Hallar el valor futuro de los 5 años y el valor
presente del contrato de alquiler.
Datos:
A = 9000
j = 0.08
m=4
i = 0.08/4= 0.02
n = 4(5) = 20
F = A (1 + i) n - 1
I
P = A 1- (1- i) -n
i
Operaciones
Valor futuro
F = 9000 (1 + 0.02) 20 - 1,
0.02
F = 218,676.33
Se resuelve utilizando calculadora, se tiene,
Valor presente
P = 9000 1- (1- 0.02) –20
0.02
P = 147,162.90
Ejemplo 2.
Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de Q.5,000, pagadera semestralmente
durante 7 años 6 meses al 8.6 %, capitalizable semestralmente.
Datos:
A = 5000
81
j = 0.086
m=2
i = 0.086/2= 0.043
n = 7.5 (2) = 15
F = A (1 + i) n - 1
I
P = A 1- (1- i) -n
i
Operaciones
Valor futuro
F = 5000 (1 + 0.043) 15 - 1,
0.043
F = Q.102,379.35
Valor presente
P = 5000 1- (1- 0.043) –15
0.043
P = 54,443.71
82
Matemática I
PROBLEMAS:
1. Calcular el valor futuro y el presente de las siguientes anualidades ordinarias.
a) Q.2,000 semestrales durante 8 ½ años al 8 % capitalizable semestralmente
b) Q.4,000 anuales durante 6 años al 7.3 %, capitalizable anualmente
c) Q.2,000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8 % con capitalización mensual2. Una persona deposita Q2,000 al final de cada año, durante 15 años, en una cuenta de
ahorro que paga el 8 % de intereses. Hallar el valor futuro incluyendo el último pago.
3. Una persona desea comprar una renta de Q.20,000 pagadera semestralmente, durante los
próximos 10 años. Hallar el costo de la anualidad a la tasa del 6 %..
4. Una compañía vende neveras, con una cuota inicial de Q100,000 y 16 cuotas mensuales
de Q50,000. Si se para el 15 % con capitalización mensual, halla el valor de contado.
5. Una persona debe pagar una anualidad de Q.6,000 trimestrales durante 10 años. Si no
efectúa los primeros 4 pagos ¿Cuánto deberá para al vencer la quinta cuota, para poner al
día su deuda, si la tasa de la operación es del 10 %, con capitalización trimestral.
6. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de Q.5000 semestrales pactados al
8 % nominal. Al efectuar el noveno pago, desea liquidar el saldo con un pago único
¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago para liquidar la deuda?
7. Al cumplir 10 años su hijo, el padre decide consignar semestralmente Q.2,000 en una
cuenta de ahorros, que paga el 9 % nominal. Si se hace estas consignaciones durante 5
años consecutivos, calcular la cantidad que tendrá en su cuenta el hijo, al cumplir 21
años.
8. Una persona deposita Q5,000 cada final de año en una cuenta de ahorro que abona el 8 %
de intereses. Hallar la suma que tendrá en su cuenta al cabo de 10 años, al efectuar el
último deposito.
9. Calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: Q.6,000 de contado y
12 pagos trimestrales de Q.2,000 con 12 % de interés, capitalizable trimestralmente.
10. Una mina en explotación tiene una producción anual de Q.8000,000 y se estima que se
agotara en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero
es de 8 %.
11. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad:
a) Q.400,000 de contado
83
b) Q. 190,000 de contado y Q50,000 semestrales durante 2 ½ años.
c) Q. 210,000 de contado y Q.20,000 trimestralmente durante 3 años
RESPUESTAS
Ejercicios de Sumas, Resta, Multiplicación y División Página 10

1.
2.
3.
4.
-17
-11
-18
81

1.
2.
3.
4.
5.
Problemas de Suma y Resta.
5. -7. 11
9. --
13. -251
6. 277
10. -436
14. -968
11. 283
15. -8. 19
12. -16. -29
Problemas de Multiplicación y División
-48
72
64
-1,632
3,312
6. 162
11. 1
7. 2,464
8. -2
9. 26.66
10. – 2.57
12.
13.
14.
15.
16. 39.33
-408
17.
-3.36
18.
-142.41
19.
-20.
-318,816
4,749,696
10
207.79
Ejercicios de Números Racionales Página 16-17

Simplificar las siguientes Fracciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1/2
1/3
4/9 10. 7/6
1/4
1/2
1/4 13. 6
1
 Suma y
1.
2.
3.
4.
2
7/3
7/6
31/30

8. 3
9. 7/4
15. 4
16. 4
17. 3/2
11. 2
12. 1/4
18. 69/13
19. 8
20. 49/79
14. 9
21. 7/5
Resta de Fracciones
5.
6.
7.
8.
13/14
53/8
118/77
17/6
9. 14
10. 16/3
11. 5/7
12. 1/22
13.
14.
15.
16.
-7/6
1/2
34/55
29/20
Ejercicios Mixtos
84
Matemática I
Problemas de Regla de Tres directa e inversa Página 20

Regla de Tres Directa
1. Q 23,970
2. 5 Euros equivalen a Q 58.15
Q 1,000 son 8.59 Euros
3. 630 Km
4. 360 Km
5. 387 Hombres
6. 1.05 x 1013 está destinado al presupuesto de Relaciones Internacionales.
7. 525,000 se venden
8. 239.73 Xincas en Guatemala
9. 31,867.81 de la tierra puede ser cultivada
10. Q 4.056

Regla de Tres Inversa
1.
2.
3.
4.
5.
3.27 Km/h
1.5 Km/h
20 minutos
2.33 días
136,000 Km2
Ejercicios de Exponentes y Radicales Página 26-30

Desarrolle los Cuadrados
1.
2.
3.
4.
5.

289
90,000
196
7,056
1,225
Encontrar la Raíz Cuadrada
1.
2.
3.
4.
5
14
10
15
85
5. No tiene
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Expresar en Notación Científica
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

2.80 x 10 4
11.
5
4.05 x 10
12.
4.23 x 10 -7
13.
-4
4.01 x 10
14.
3.03 x 10 6
15.
-12
6.87 x 10
16.
4.03 x 10 4
17.
-4
1.90 x 10
18.
5.50 x 10 13
19.
6
7.46 x 10
20.
Expresar en Notación Normal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
0.000000000000000414
26.7800000
0.000000000000000495
2,270,000,000
0.00000000000786
256.7
0.0283
8,250,000,000
378,000
50,100,000,000

Encontrar el Resultado de:
7.84 x
1.75 x
4 x 10
4 x 10
1.06 x
9.10 x

10
10
4
10
-3
6
10
10
10
10
10
10
10
10
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
-4
2
-6
8
-5
5
10
-6
3,540,000,000,000
12,610,000
0.000000000000095
28,000,000,000,000,000,000
0.0786
26,700,000,000,000
0.000000000009183
725,000,000,000,000
37.8
999,000,000,000
7. 4.82 x 10 3
8. -1.47 x 10 -1
9. 1.238763 x 10
10. 1.23684 x 10
11. 4.22 x 10
12. 2.11 x 10 -13
5
4
-5
10
10
3.42 x
9 x 10
9.20 x
3.65 x
8.76 x
9.30 x
8.70 x
5.80 x
2.88 x
8.36 x
5
-3
6
5
Exponentes
1.
2.
3.
4.
5.
B
B
A
B
C
9. A
10. B
11. C
12. C
13. D
86
Matemática I
6. D
7. D
8. B

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Resuelva
b7
x2
4
Y5
XY
(1 + i)
16a 12
X6 / Y4
8xy
X20y

14. A
15. B
16. D
2
Radicales
1. 3
2. 12
3. 2
4. 3
5. 5a
6. 7ab2c2
7. 10x2y2
3
3y
2
8. 27xy
9. xy3
10. 3a2 b3
11. a2m3
12. 3n3
13. 2a2b3c4
14. 4y2
15. 20ab2
16. 2
17. 2n2
18. 8xy3
19. 10ax2y3z4
20. 6
21. 2abc3
22. 3x2y3z4
87
23. 3n2
24.
25.
26.
27.
28. 10b3
29.
30.
Ejercicios de Expresiones Algebraicas Página 35-38

Suma de Monomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-150xy
3mn
-6ab
-12mn
118xy
18pq
-13z
-1/5abc

Resta de monomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
48x – 62b
-1,546a2b2
506xy
656m2
-853abc
-1,034km
89q
-433mn
8/9 – 3/4abc

Suma de polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

3a + 5b
14a – c
6a + 2b
-4r
-2x
-4m – 4n – 8
-49mn2 + 49mn – 10n
-–
335qr2 + 68r2 + 103z
Resta de Polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
-17x + 16y + 14z
-5m + 11n – 14
–
-9x -22y + 14z
A3a2 b – 7a2 b – 9ab2
–
X + 4y
-12a + 4b
-2x2 + 11x
2x2 y + 18xy2 –x3
88
Matemática I

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.


-2x3 + 8x2 – 6x
9a4 b – 36a3 b – 54ab9
3a3 b – 6a2 b2 + 3ab2
-4x5 +12x4 + 20x3 +24x2
16a 4b4c5 + 2a 3b3c3 – 10a3b3c2
-30q3r6 – 40q3r4 – 15q2r3
9m3n8 – 24m6n6 + 15m3n3
-63a 2 b6 + 56a 3b4 – 35 a2b3
75x4y5 + 50x3y4z2 + 15x3y4
–
Multiplicación de polinomio por polinomio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

–xy + 6x2 – 2y2
22xy – 15x2 – 8y2
–
–
8a3 + 10ab2 +17a2b +b3
–
–
3y5 +5y2 -12y
–
–
División de monomios entre monomios
1. A
2. -9xz2
3. 1
4. -1/2xy
5. -8x
6. –
7. –
8. 9q
9. 6p2q2
10. -4b5c
División polinomios entre polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.


A 2 b2
-6x2
4a3 b3
-5x4y3
20 m2n2p
5m3n4
-20a6x2
20m3n2p
-15 ab3
-24b6
Multiplicación de polinomios por monomio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
–
A-1
A-5
–
X-4
A+3
M–5
3x -2y
5a – 7b
3m2n-2 – 4mn-1 -10
Ejercicios Varios
o Suma y Resta de monomios
1. -2x+3y
2. 5mn – m
o
Suma y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Resta de polinomios
–c
–
-4r
3x-24y-2z
-4m-4n-8
-2x+23
2x2-x
X3-x2+3x+6
4m2-3mn
2b
3x-5y
1a+b-4
X2+2x-6
–
–
2x+2y+22
-2x2+2y2+xy
X3-6x2+4x
-5x2+4x+6y3+y2-6
–
89
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
12a
–
-13x
-6ab
-10xy
10mn
½ - 2/3b
3/5b + 3/4c
B
–xy
–abc
4x – 6b
5a- 6b
-8x +3
-9a2 -5b2
-7xy + 5yz
–a
-14m2
o
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
-6
32
-240
–a2b2
-6x3
4a 3b3
-5x4y3
20m3n2p
Abc2d
–
–
-1/4 a4bc
-3a 4
3a 2x6y
–
-20a 6x2y2
-6a n+3bx+1
24a 7
-60a 6b4x
3/4x8y4
Multiplicación de polinomios por monomios y polinomios por
polinomios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
16ax5y-6ax3y2
-2x3+8x2+6x
1/5a 3-4/15a 2b
–
–
-5/16a 4m+ 5/24a 2b2m -5/32 a2mx2+ 1/8 a2y2m
–
6x2+xy-2y2
X3-y3
2x4-x3+7x-3
-6x4-2x3
3 a4b-12 a3b+18 a2b
-4/9 a4b+1/2 a3b2
6/5 a4x+a3bx-2/3 a2b2x
-9/10 a3x3+3/2 a2bx3-9/5 a2x3c
–
–11mn2+5n2+6m2
71y-14y2+33
–
3y5+5y2-12y+10
90
Matemática I
o
Con los siguientes parámetros a=1, b=2, c=-1/2, hallar el valor numérico de:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
9
-31
-48
-31
-35/2
¼
7. x
8. 2
9. -4
10. 95/8
Ejercicios de Productos Notables Página 42-43
A. Productos Notables
A1. Cuadrado de la Suma
1. X2+10x+25
2. 49 a2+14ab+b2
3. 16 a2b4+48ab2xy3+36x2y6
4. –
5. 4x2+20xb+25b2
6. 49 a2+42ab+9b2
7. 16 b4+48b2y3+36y6
8. A2x3+10axb+25b2
9. 36 a2+12aby+b2y2
10. 16 a4+48 a2x3+36x6
A2. Cuadrado de la Resta
1. A2-2ab+b2
2. 49 a2-42ab+9b2
3. 16b4+48b2y3+36y6
4. A2x2-10abx+25b2
5. 36 a2-12aby+b2y2
6. 16 a4-48 a2x3+3x6
7. 64-16a+a2
8. 9x8-30x4y2+25y4
9. –
10. Z2-8z+1
A3. Productos de Suma por una Diferencia (a + b) (a-b)
1. X2-25
91
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
9 a2-4b2
36 a2-b2y2
49 a2-9b2
4x2-25y2
9 a2x2-4b2
16 a2-9b2y2
49 a2-9b2
9 a2- 4b2
36 a4-b2y4
A4. Producto de dos binomios de la forma (a + b)(a+c)
1. X2+9x+20
2. 9 a2+12ab+4b2
3. 36 a2+6ab+6ay+by
4. 49 a2+21 a+7 ab+3b
5. 4x2+8bx+10xy+20by
6. 9 a2x2+6abx+3axc+2bc
7. 16 a2+12aby+8ab+6b2y
8. 49 a2+21ab+56 ax+24xb
9. 9 a2+ 6 ab+18 at+12bt
10. 36 a4+6 a2b+6 a2y2+by2
A5. Cubo de la suma de un binomio (a + b)3
1. X3+15x2+75x+125
2. 27 a3+54 a2b+36 ab2+8b3
3. 64 a3b6+144 a2b4xy3+108 ab2x2y6+27x3y9
4. A a3+3+3x a2+2yb-2+3x a+1yb2-4+yb3-6
5. 8x3+60bx2+150b2x+125b3
6. 8 a3+36 a2b+54 ab2+27b3
7. 64b6+96b4y3+54ab2y6+8y9
8. A3x3+15 a2bx2+75 ab2x+125b3
9. 27 a3+27 a2by+9 ab2y2+b3y3
10. 64 a6+144 a4x3+108 a2x6+27x9
A6. Cubo de la diferencia de un binomio (a-b)3
1. X3-6x2+12x+8
2. 27 a3-54 a2b+36ab2-8b3
3. –
4. –
5. 8x3-48x2b+96xb2-64b3
6. 8x3-36 a2b+54ab2+27b3
7. 64b6-96b4y3+48b2y6-8y9
8. –
9. –
10. 64 a6-144 a4x3+108 a2x6-27x9
92
Matemática I
Factorización Página 49 a 52
B1. Caso #1: Factorizar las siguientes expresiones con factor común
1. X(2x-3y)
2. 4(x+2y+3z)
3. X(3x-3x-8)
4. 5 a2b2c2(2bc2-3ac2+6 a2b)
5. 3x(x2-x-6)
6. 6p(p+4q2)
7. Wx(xy-9y-14y)
8. Ax2(3axy+4 a4y3-6 a3x4-10x2)
9. 5 a3b2c4x (25 ab3c-9 a2bx2- 60ac4-2c)
10. 3m4p2q (m2p2q – 3mx+m3px+1-2mp2x2y)
B2. Caso #2: Factorizar las siguientes expresiones por agrupación
1. (a+ b)(2x-y+5)
2. (a+ b-c)(m- n+ x)
3. (a x-b)(1/2 a-2x+1)
4. –
5. (3m-x)(5x+3-y)
6. (7-y+z2)(x-1)
7. –
8. (ay+b2)(a-x)
9. –
10. (5 a+2b)(mx/3+4my-2nx/9-8ny/3)(mx/3-4my+2nx/9)
B3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Caso #3: Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado
(2x-5y)2
(8ax2-1) 2
(x+4) 2
(3x-5) 2
(3x-1) 2
(4x+3) 2
(x+3) 2
(4x-5) 2
(5 a+2b) 2
(6x2-7) 2
B4. Caso #4: Factorizar las siguientes expresiones aplicando diferencia de cuadrados
1. (5x+2y)(5x-2y)
2. (3xy+4 a)(3xy-4 a)
93
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
3(x-2)(x+2)
(xy+6y2)(xy-6y2)
(4x+5y)(4x-5y)
(12+xy)(12-xy)
(6+5 a)(6-5 a)
(5+2 a)(5-2 a)
(4mn+3p)(4mn-3p)
(2 a+3b)(2 a-3b)
B5. Caso #5: Factorizar las siguientes expresiones aplicando trinomio cuadrado perfecto por adición y
sustracción.
1. (x2+y+xy)(x2+y2-xy)
2. –
3. –
4. –
5. –
6. –
7. –
8. –
9. –
10. –
B6. Caso #6: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma x 2+bx+c
1. (x+4)(x+4)
2. (x-4)(x-2)
3. (x+4)(x-2)
4. (x+3)(x+2)
5. (x-2)(x-3)
6. (x+6)(x-1)
7. (x-8)(x-6)
8. (x-3)(x-1)
9. (x-5)(x+1)
10. (x+18)(x-2)
B7. Caso #7: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma ax2+bx+c
1. (3x+1)(9x+4)
2. (2x+7)(5x-1)
3. (x-5)(5x-15)
4. (x-1)(3x+1)
5. (x+1)(5x+2)
6. –
7. –
8. –
9. (3y-7)2
10. (7x+21)(7x+21)
94
Matemática I
B8. Caso #8: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de cubos
perfectos.
1. (x-2) 3
2. (y-3)3
3. (x+2) 3
4. (2x+b)3
5. (3x-y) 3
6. (2x-b) 3
7. (3x+y) 3
8. (3 a2-b)3
9. –
10. –
B9. Caso #9: Factorizar las siguientes expresiones aplicando la forma de suma o diferencia de cubos
perfectos.
1. (x+y)(x2-xy+y2)
2. (x+2)(x2-2x+4)
3. (x+3)(x2-3x+9)
4. (x-4)(x2+4x+16)
5. (3x-4y)(9x2+12xy+16y2)
6. (x-3)(x2+3x+9)
7. (a+2)(a2-2 a+4)
8. (5x+y)(25x2-5xy+y2)
9. (2y+z)(4y2-2yz+z2)
10. (4-y)(16+4y+y2
C. Ejercicios de Simplificación
Ejercicios de Sistemas de Ecuaciones Página 58
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
X
X
X
X
X
X
X
–
=
=
=
=
=
=
=
2,y=1
1,y=3
½ , y = - 3/2
5/14 , y = 13/7
-3 , y = 14
3/2 , y = -2
1 , y = -3
Ejercicios Funciones lineales y gráficas Página 65
1. --
95
2. Obtenga la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas
a. Y= 1/2x – 7
b. Y= 3/8x – 41/8
c. Y= -5/4x + 8
3. Encuentre la pendiente y la intercepción Y de la recta dada o trace su grafica.
a. M= 3/4 , b= 8/4
b. M= 1/2 , b= 0
c. M= 0 , b= 4
d. M= 5/4 , b= -5
e. M= -1/3 , b= 7/3
Problemas Ecuaciones Cuadráticas Página 67
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
X=5
X= -5/3
N= 4
X=2
X=5 ó x=-3
X=2
–
X=3 ó x=1
–
–
Y= -3/4
A = 1/6
S= -3/2 ó x= -1/3
X=4
X=-3 ó x= -1/3
X=3
–
P=9
N=1
P=9 ó p=-5
Ejercicios Funciones y Gráficas Página 68
1.
X
3
-2
1.5
Y
3
-7
0
(Para los siguientes ejercicios se utilizaron los siguientes valores para X: -2, -1, 0, 1, 2; estos se utilizaron
para encontrar los valores de Y, respectivamente)
96
Matemática I
1.
2.
3.
4.
Y=
Y=
Y=
Y=
(0, -5, -8, -9, -8)
(-6, 1, -6, -21, -38)
(-26, -5,0, -5, -14)
(1/4, ½, 1, 2, 4)
Ejercicios del Teorema de Pitágoras Página 70
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A= 6.24
B= 9.53
C= 18.03
A= 5.66
B=8
C= 16.40
A= 9.80
B= 14.14
C= 10.63
A= 13.23
Ejercicios de Porcentajes Página 71-72
1. Convertir los siguientes porcentajes a decimales
a. 0.35
b. 0.0237
c. 0.125
d. 0.71
e. 0.0025
2. Convertir los siguientes porcentajes a fracciones (Su forma más simple)
a. 8/25
b. 19/2000
c. 1/25
d. 3/100000
e. 1/20
3. 10.71
4. 884
5. –
6. $ 45.36
7. $795.47
8. IGSS: $1,862
ISR: $1,806.90 Renta Neta: $34,331.10
9. 19.29 gr. De Níquel
10. $ 1.65
11. $ 29.43
12. $ 85,048.20
13. 71.08 gr. De Plata
Ejercicios de Intereses Página 75-76
97
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Interés: $8.75
Monto: $758.75
Tasa de Interés: 0.36%
0.83 años
0.83 años
Monto: $ 5,250
Tasa de Interés: 190% anual
Tasa de Interés: 96% anual
–
–
–
Mensual: 1,093.80
Semanal: 1,094.09
Diariamente: 1,094.16
Cada Hora: 1,094.18
Cada Minuto: 1,094.17
12. 1 año: 15,529. 60
2 años: 16,645.54
5 años: 17,841.66
20 años: 30,023. 96
98

MATEMATICAS INTRODUCTORIAS

Transcripción

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