rb ra κ - CEIUCAWeb

1
0Apellido y nombre (MAYÚSCULAS)
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UCA - Física II, 2do Cuat. Ier Parcial, 26 de Septiembre de 2009, 8:30 – 12:30 hs
Problemas
Teoría
Laboratorio
_______________________________________________________________________________
Problemas. Dos ejercicios: valor 50 pts., mínimo para aprobar 25 pts. Transcriba resultados,
fórmulas, o valores numéricos, en las casillas indicadas. En los espacios reservados para pasos
intermedios es obligatorio anotar una breve justificación del resultado en cada paso. Los valores
numéricos deben escribirse solamente con cifras significativas y se deben indicar las unidades.
Fórmulas ilegibles, gráficos incompletos, o bien justificación omitida, se consideran parte no
resuelta del ejercicio y no dan puntaje.
_______________________________________________________________________________
PROBLEMA 1. Se tiene un capacitor esférico aislado, con carga +Q en su conductor interno (de
radio ra ) y carga –Q en su conductor externo (de radio rb ). Inicialmente, el espacio entre ambos
conductores está vacío, y luego se llena el mismo hasta la mitad con un líquido dieléctrico de
constante κ como se muestra en la figura. Exprese todas sus respuestas numéricas con cuatro
cifras significativas. Sugerencia: Le conviene controlar sus resultados reemplazando a modo de
control κ = 1 y verificar que reobtiene los valores cuando no hay dieléctrico!
rb
ra
κ
P1a) Hallar la capacidad C del capacitor con el dieléctrico. Sugerencia: calcule la capacidad
cuando no existe dieléctrico y luego imagine el capacitor descompuesto en otros dos, uno en el
hemisferio superior y otro en el inferior. Exprese su respuesta en términos de los datos del
problema. Como aplicación concreta, calcule el valor numérico de la misma si ra = 10 cm , rb =
11.25 cm y κ = 3 .
C = [(1+κ)/2 ] 4πε0 ra rb /( rb - ra )
C = 0.2 nF = 200 pF
(en fórmula)
(valor numérico)
2
Justificar
Primero consideramos el caso sin dieléctrico. La componente radial del campo entre los cascarones
es E(r) = kQ/r2. La diferencia de potencial entre los cascarones es la integral entre ra y rb de –E(r)dr
o sea ΔV = kQ(1/ra - 1/rb ) o sea que la capacidad en el caso vacío es C0 = 4πε0 ra rb /( rb - ra ) .
Podemos pensar que este capacitor está formado por dos capacitares semiesféricos (casquetes
superior e inferior) conectados en paralelo, cada uno de capacidad C0/2 . Al colocar el dieléctrico,
la capacidad del capacitor inferior se multiplica por κ , y la capacidad total es C = CS +CI = C0/2 +
κ C0/2 = [(1+κ)/2 ] C0 . El valor numérico de C0 = (1/9*10-9 C2/Nm2) 10-1 *1.125*101 2
m /[(1.125*10-1 - 10-1)m] = 10-10 F = 0.1 nF = 100 pF , y el de C = [(1+3)/2 ] 0.1 nF = 0.2 nF
P1b ) Determine el campo eléctrico en el espacio entre ambos conductores ( ra < r < rb ) en
función de la distancia r al centro de ambas esferas. Dé su respuesta para el hemisferio superior ES
y para el inferior EI .Sugerencia: piense que la carga Q del conductor interior se reparte
inequitativamente entre el casquete superior ( QS ) y el inferior ( QI ). Si piensa en términos de los
dos capacitores de P1a), note que las cargas pueden obtenerse a partir de las capacidades de cada
uno de ellos, teniendo en cuenta el modo en que ambos se conectan .
ES (r) = Q/[2πε0(1+κ) r2 ] ř ( ř es el versor radial)
EI (r) = ES (r) (notar que si κ = 1 se recupera el valor Del campo sin dieléctrico )
Justificación
Tenemos Q = QS +QI (1). Usando el teorema de Gauss para el casquete superior (note que la
superficie gaussiana es un hemisferio y no una esfera) 2π r2 ES(r) = 4πk QS de donde ES(r) = 2k
QS / r2 . Para el casquete inferior es análogo pero el campo tiene un factor adicional de 1/κ debido
al dieléctrico: EI(r) = 2k QI / (κ r2). Debido a que la diferencia de potencial entre ambos
conductores debe ser la misma independientemente del casquete considerado, las componentes
radiales del campo eléctrico deben ser las mismas, por lo que QS = QI /κ (2). De (1) y (2), QS = Q
/(1+κ) y QI = Q κ /(1+κ). Finalmente, ES(r) = 2k Q/[(1+κ) r2 ]. Análogamente, EI(r) = 2k
Q/[(1+κ) r2 ] = ES(r)
P1c) Encuentre la densidad de carga superficial en los hemisferios superior e inferior tanto para el
conductor interno como el externo. Dé su respuesta en fórmulas y calcule sus valores numéricos
para el caso de P1a) y Q = 10 μC .
fórmula
valor numérico
2
39.79 μC /m2
σS( ra )
Q /[(1+κ) 2π (ra ) ]
σ I( r a )
κ Q /[(1+κ) 2π (ra )2]
119.4 μC /m2
σS( rb )
-Q /[(1+κ) 2π (rb )2]
-31.44 μC /m2
σ I( r b )
-κ Q /[(1+κ) 2π (rb )2]
-94.32 μC /m2
Justificación
De P1b) tenemos que QS = Q /(1+κ) y QI = Q κ /(1+κ). Las superficies involucradas son Aa = 2π
(ra )2 , Ab = 2π (rb )2 ya que se tratan de hemisferios. σS( ra ) = QS / Aa = Q /[(1+κ) 2π (ra )2] y
3
σI( ra ) = QI / Aa = κ σS( ra ) = κ Q /[(1+κ) 2π (ra )2]; σS( rb ) = QS / Ab = Q /[(1+κ) 2π (rb )2] y
σI( rb ) = κ σS( rb ) = QS / Ab = κ Q /[(1+κ) 2π (rb )2]. Numéricamente: σS( ra ) = Q /[(1+κ) 2π
(ra )2] = 10 μC /[(1+3) 2π (10-1 m )2] = 39.79 μC /m2 . σI( ra ) = κ σS( ra ) = 3*39.79 μC /m2 =
2
2
119.4 μC /m2 ; σS( rb ) = -σS( ra ) (ra / rb) = -(10-1 /1.125*10-1) *39.79 μC /m2 = -31.44 μC /m2
y finalmente σI( rb ) = κ σS( rb ) = -3*31.44 μC /m2 = -94.32 μC /m2
P1d) Determine la energía electrostática del hemisferio superior US y del inferior UI, y la energía
total U. Dé su respuesta en términos de fórmulas y en valores numéricos para los valores indicados
anteriormente: si ra = 10 cm , rb = 11.25 cm, κ = 3 y Q = 10 μC.
fórmula
valor numérico
US
Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ)2 4πε0 ra rb]
62.5 mJ
UI
κ Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ)2 4πε0 ra rb]
187.5 mJ
U
Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ) 4πε0 ra rb]
250 mJ
Justificación
US = (QS)2/(2CS) = (Q /(1+κ))2/(2 C0/2 ) = Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ)2 4πε0 ra rb]
UI = (QI)2/(2CI) = (Q κ/(1+κ))2/(2 κ C0/2 ) = κ Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ)2 4πε0 ra rb] = κ US
U = US + UI = (1+κ ) US = Q2 ( rb - ra ) /[(1+κ) 4πε0 ra rb]
Valores numéricos:
US = (QS)2/(2CS) = (Q/4)2/ C0 = (2.5*10-6)2/10-10 J = 6.25*10-2 J = 62.5 mJ
UI = κ US = 3*62.5 mJ = 187.5 mJ
U = (62.5 + 187.5) mJ = 250 mJ
PROBLEMA 2. Se tiene un sistema formado por dos aros idénticos de radio a uniformemente
cargados, como se indica en la figura. El aro de la derecha posee una carga +Q (positiva), mientras
que el de la izquierda tiene carga –Q (negativa). Respecto del sistema de coordenadas usado, el aro
de la derecha se encuentra en el plano y-z de coordenada x = a, mientras que el de la izquierda se
encuentra en un plano paralelo ubicado en x = -a. Note que si bien se supone que P2c y P2d se
obtienen de P2a, también es posible responder a esas preguntas en forma independiente.
4
y
-Q
a
a
a
+Q
a
x
z
P2a) Determine el potencial eléctrico V(x) del sistema sobre todo el eje x. Sugerencia: use el
principio de superposición y tenga en cuenta que los aros no se encuentran en x = 0. Como
aplicación numérica, determine el valor de V(a) en volts si Q = 1.809 pC y a = 1 cm . Calcule
además el campo eléctrico sobre el eje E (x) . Son V(x) y E (x) de paridad definida?
V(x) = kQ/[ a2 + (x-a)2]1/2 - kQ/[ a2 + (x+a)2]1/2
V(a) = 0.9 V
E (x) = kQ(x-a)/[ a2 + (x-a)2]3/2 - kQ(x+a)/[ a2 + (x+a)2]3/2
Paridad de V(x) y E (x) : V(x) es impar y E(x) par
Justificación
Aplicamos el principio de superposición: V(x) = V+(x) + V-(x) , donde V+(x) = kQ/( a2 + (x-a)2)1/2 ,
V-(x) = -kQ/( a2 + (x+a)2)1/2
Valor numérico: V(a) = kQ [1/a -1/(a√5)] = kQ/a*(1-1/√5)= 9*109*1.809*10-12/10-2*(1-1/√5) V=
0.9 V
E(x) = -dV/dx = kQ(x-a)/( a2 + (x-a)2)3/2 - kQ(x+a)/( a2 + (x+a)2)3/2
P2b) Teniendo en cuenta las observaciones sobre la paridad de la funciones, grafique
aproximadamente V(x) y la componente x del vector campo eléctrico E(x) en función de x.
Ayuda: conviene graficar primero considerando un solo aro, y luego usar el principio de
superposición y sumar los gráficos.
Grafico de V(x)/(kQ/a) versus x/a
5
0.4
0.2
-4
-2
2
4
2
4
- 0.2
- 0.4
Grafico de E(x)/(kQ/a2) versus x/a
0.2
-4
-2
- 0.2
- 0.4
- 0.6
P2c) Considere ahora el caso en el que x >> a, es decir, cuando se consideran regiones sobre el eje
muy lejanas del sistema hacia la derecha. Encuentre las expresiones aproximadas de V(x) y E (x)
mas simples tales que ambas funciones no sean cero. Verifique que las expresiones obtenidas son
consistentes con la distribución de carga que se esperaría cualitativamente para este sistema visto
6
desde lejos, y diga qué a que tipo de distribución es ésta entre los tipos estudiados (por ej, plano
infinito, hilo infinito, carga puntual, dipolo, etc).
Ayuda: use que 1/√(1+u) = 1-u/2 , si |u| << 1
V(x) = k Q2a/x2
E (x) = k Q4a/x3 i
Tipo de distribución de carga : dipolo de momento dipolar p = Q2a i
Justificación
V(x) = kQ{1/[ x2 -2ax +2 a2]1/2 - 1/[ x2 +2ax +2 a2]1/2 } . Si x >> a (x>0), V(x) = (kQ/x){1/[ 1 2 a/x +2 (a/x)2]1/2 - 1/[ 1 +2 a/x +2 (a/x)2]1/2 } ≈ (kQ/x){ [1-1/2(-2 a/x)]-[ 1-1/2(2 a/x)]} = (kQ/x)
(4 a/2x) = k Q2a/x2 , que representa a un dipolo de momento dipolar p = Q2a i .
E(x) = -dV/dx = k Q4a/x3
P2d) Considere ahora el límite opuesto, cuando x es muy pequeño (cercano al orígen del sistema),
0 < x < < a . Obtengas las expresiones de V(x) y E (x) mas simples tales que ambas funciones
no sean cero. Ayuda: use la misma fórmula de P2c).
V(x) = (kQ/ a2√2)*x (lineal en x)
E (x) = - kQ/ a2√2 i
(constante)
Justificación
V(x) = kQ{1/[ x2 -2ax +2 a2]1/2 - 1/[ x2 +2ax +2 a2]1/2 } . Si 0 < x << a , V(x) = (kQ/a√2){1/[ 1
– x/a +(x/a)2/2]1/2 - 1/[ 1 + x/a +(x/a)2/2]1/2 } ≈ (kQ/ a√2){ [1-1/2(- x/a)]-[ 1-1/2( x/a)]} = (kQ/
a√2) x/a = (kQ/ a2√2)*x . El campo es E(x) = -dV/dx = - kQ/ a2√2
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Teoría. Valor 30 pts., mínimo para aprobar 15. Cuatro preguntas a) hasta d). Se dan 4 respuestas
para cada pregunta y solamente una es correcta. Marque únicamente la casilla correcta.
Seleccionar más de una casilla o dejar todas en blanco equivale a no contestar la pregunta. Para
cada pregunta hay un espacio de justificación de la respuesta elegida. Es obligatorio dar la
justificación porque permite la evaluación personalizada del examen. Escala de puntaje, 4 bien =
30 ptos., 3 bien = 24 ptos., 2 bien = 15 ptos. ; no se asigna puntaje a menos de dos aciertos.
Ta) Capacitor conectado a un resorte:. Considere un capacitor de placas paralelas (sin dieléctrico
entre placas), tal que una de las placas se encuentra conectada a un resorte de constante K (no
confundir con la constante k = 1/(4πε0)), como se indica en la figura. Si las cargas en las placas a y
b son respectivamente +Q y –Q, y el área de las placas es A, el resorte se estira una distancia
7
1.
2.
Q2/(KA ε0)
KQ2/(2A ε0)
3. ■ Q2/(2KA ε0)
4. Ninguna de las anteriores
Justificar
En equilibrio, la fuerza eléctrica cancela la fuerza elástica. La fuerza de una placa sobre otra se
obtiene integrando dF = E dq, donde E es el campo debido solamente a la otra placa y no el
campo total entre las placas. El módulo de E es E = σ/(2ε0), así que el módulo de la fuerza es
F = QE = Q σ/(2ε0) = Q2/(2Aε0).Si llamamos x el estiramiento desde la posición de equilibrio
del resorte, la condición de equilibrio es Kx = Q2/(2Aε0).
Tb) Potencial, campo eléctrico y carga. Mediante mediciones experimentales, se determina que el
-λr
potencial eléctrico de una distribución esféricamente simétrica de carga es V(r) = k q e /r ,
donde q es una constante con unidades de carga y λ una constante con unidades de (longitud)-1. Si
se considera una superficie esférica imaginaria de radio arbitrario r, la carga encerrada por la misma
es
-λr
3 ■ q e (1+λr)
1. q
-λr
4 0
2. q e
Justificar
V(r) = k q e-λr /r , E(r) = -dV/dr = k q e-λr /r2*(1+λr) . Si tomamos una esfera de radio r como
superficie Gaussiana y aplicamos el teorema de Gauss tenemos E(r) 4π r2 = Q(r) / ε0 o sea que
Q(r) = ε0 4π r2 k q e-λr /r2*(1+λr) = q e-λr (1+λr)
Tc) ) Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico Una partícula de carga 1 μC y
masa 0.1 gr se mueve libremente hacia la derecha a lo largo del eje x de un sistema de coordenadas
fijo con velocidad de 10 Km/s . Al pasar por x = 0 , entra en una zona del espacio donde existe un
campo eléctrico uniforme de magnitud 1 Mvolt/m en dirección del eje +y. El tiempo que deberá
transcurrir para que su energía cinética se duplique es:
1. ■ 1 seg
2. 10 seg
3. 0.1 seg
4. ninguna de las anteriores
Justificar
Una vez que la partícula entra en la zona del campo no nulo, actúa sobre ella una fuerza constante
de componentes Fx = 0 y Fy = qE0 , donde q es la carga y E0 la magnitud del campo uniforme. La
ecuación de movimiento de Newton es m dvx/dt = 0 , m dvy/dt = qE0 , cuyas soluciones son,
usando las condiciones iniciales vx(0) = v0 (la velocidad inicial) y vy(0) = 0, vx(t) = v0 y vy(t) =
(qE0 /m)*t . La energía cinética es proporcional a [ (vx(t))2 + (vy(t))2 ] = [ (v0 )2 + ((qE0 /m)*t )2 ].
Como el valor inicial de esta cantidad es (v0 )2 , la misma se duplica cuando (qE0 /m)*t = v0 , de
donde t = (m v0 )/ (qE0 ) = 10-4*104/(10-6*106) seg = 1 seg
8
Td) Capacitores reconectados Dos capacitores de 3 μF y 4 μF se cargan individualmente
conectándolos a una batería de 6 V. Luego de desconectar ambos de la batería, se une la placa
negativa de uno con la positiva del otro y viceversa, de modo de obtenerse otro capacitor. Las
cargas
finales
en
cada
uno
de
los
capacitores
son,
aproximadamente:
3. ■ 2.6 μC y 3.4 μC
1. 10.5 μC y 14 μC
4. Ninguna de las anteriores
2. 1.0 nC y 1.4 μC
Justificar
Sean C1 = 3 μF y C2 = 4 μF . Inicialmente, las cargas sobre cada capacitor son Q1 = C1 V = 3 μF *6
V = 18 μC y Q2 = C2 V = 4 μF *6 V = 24 μC . Al conectarlos queda un capacitor equivalente
formado por el paralelo de ambos, de capacidad C = C1 + C2 = 7 μF y carga Q = Q2 – Q1 = 6 μC
(debido al modo de conexión especificado). Para esa capacitor, la diferencia de potencial entre sus
placas es V´ = Q/C = 6 μC/(7 μF ) = 6/7 V . Como esta es la misma diferencia de potencial que
hay entre las placas de cada uno de los dos capacitares por estar conectado en paralelo, las cargas
finales son Q1´ = C1 V´ = 3 μF *6/7 V = 18/7 μC y Q2 ´= C2 V´ = 4 μF *6/7 V = 24/7 μC .
LABORATORIO
CUADRADOS MINIMOS-CAMPO ELECTRICO
1. Haga un esquema prolijo y detallado del dispositivo utilizado para estudiar el campo eléctrico
en un medio poco conductor a través de la medición de diferencias de potencial. Incluya el
sistema de ejes coordenados utilizado y conecte el voltímetro de manera que el potencial
disminuya con la distancia.
V
electrodo
voltímetro
electrodo
y
x
agua
Papel
milimetrado
Fuente AC
2. La mediciones de la variación de potencial sobre la recta que une los centros de los electrodos,
separados entre si 24 cm y entre los que hay una diferencia de potencial de 12 V, se muestran
en el gráfico siguiente. (el electrodo situado en X=0 se puso a potencial cero)
9
a. Usando cuadrados mínimos determine la función lineal que representa la variación de
potencial con la distancia. Asuma que pasa por el origen.
Valores
X= x (cm)
Y= V (V)
XxY
X²
0
0
0
0
a=
6
-4,5
-27
36
Σ
12
-5,5
-66
144
ΣX × Y
= −0,5
ΣX ²
18
-9,5
-171
324
24
-11,5
-276
576
-540
1080
V = a × X = −0,5 × X
b. Represente gráficamente en el espacio que figura en el punto siguiente la función
obtenida (no represente los puntos experimentales) en el entorno 0≤X≤24 e indique los
potenciales correspondientes a X= 8; 16 y 24 cm
c. Si la función calculada representara los potenciales reales de la cuba represente
gráficamente como se modifica la función al agregar un electrodo circular de 8 cm de
diámetro con centro en el punto X=12 cm e indique los potenciales en X=8; 16 y 24cm .
Variación de potencial entre electrodos
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 22 24 26
0
-2
s/cond.
-4
V (V)
c/cond.
-6
-8
-10
-12
-14
x (cm)
X
V sin conductor
V con conductor
cm
V
V
8
-4
-6
16
-8
-6
24
-12
-12
CAPACITORES
Las capacidades de dos condensadores C1 y C2 medidas con un capacímetro digital cuyo error es
1,5% + 2 dígitos y su apreciación 0,01μF, son 3,00 μF y 6,00 μF respectivamente. Se pide:
1. El error absoluto y relativo de cada medida.
2. La capacidad equivalente de los dos capacitares conectados en paralelo y el error absoluto y
relativo de esta capacidad.
3. La capacidad equivalente de los dos condensadores conectados en serie y el error relativo y
absoluto de esta capacidad
Resultados usando propagación clásica
10
C1
C2
ΔC1
ΔC2
εC1
εC2
Cp
ΔCp
εCp
Cs
εCs
ΔCs
3,00
6,00
0,07
0,11
0,02
0,02
9,00
0,18
0,02
2,00
0,06
0,12
μF
μF
μF
μF
μF
μF
μF
μF
1,5% x C1+0,02
1,5% x C2 +0,02
ΔC1/C1
ΔC2/C2
C1+C2
ΔC1+ ΔC2
ΔCp/Cp
C1x C2/ (C1+C2)
εC1 + εC2 + εCp
Cp x εCp
Resultados usando derivadas parciales
C1
C2
ΔC1
ΔC2
Cp
3,00
6,00
0,07
0,11
9,00
μF
μF
μF
μF
μF
1,5% x C1+0,02
1,5% x C2 +0,02
C1+C2
2
ΔCp
0,13 μF
⎛ ∂Cp
⎞ ⎛ ∂Cp
⎞
× ΔC1⎟ + ⎜
× C2⎟
⎜
⎝ ∂C1
⎠ ⎝ ∂C 2
⎠
2
(ΔC1)2 + (C 2)2
εCp
0,01
ΔCp/ Cp
2
ΔCs
0,03 μF
⎛ ∂Cs
⎞ ⎛ ∂Cs
⎞
× ΔC1⎟ + ⎜
× C2⎟
⎜
⎠
⎝ ∂C1
⎠ ⎝ ∂C 2
⎡⎛ C 2 2
⎢⎜⎜
2
⎣⎝ (C1 + C 2)
εCs
0,02 μF
2
2
⎤
⎡⎛
⎞
C12
⎟⎟ × ΔC1⎥ + ⎢⎜⎜
2
⎠
⎦
⎣⎝ (C1 + C 2)
⎤
⎞
⎟⎟ × ΔC 2⎥
⎠
⎦
2
ΔCs / Cs
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Resumen de Instrucciones
Para el examen usted recibe un formulario, que es lo único que entregará para la corrección y evaluación.
Deberá entregarlo firmado, con la aclaración de su nombre y apellido en letra de imprenta y con el
número de registro.
Escriba solamente en los espacios reservados (bloques y casillas). Las respuestas tienen que anotarse
con tinta.
El examen consta de tres partes: Problemas, Teoría y Laboratorio, por un total de 100 puntos.
En la parte Problemas hay dos ejercicios de 25 puntos cada uno.
En Teoría, cuatro preguntas por un total de 30 puntos.
En Laboratorio, pasos por un total 20 puntos.
El parcial se aprueba cuando se alcanza al menos la mitad del puntaje de cada sección.
11
Es decir, se requiere un puntaje mínimo en cada parte: 25 en Problemas, 15 en Teoría y 10 en Laboratorio.
El examen se aprueba a partir de 50 puntos formados con los mínimos de cada parte.
Con 70 puntos el alumno aprueba el examen parcial con concepto destacado.
A partir de 80 puntos, el concepto por este examen es distinguido o sobresaliente.
Duración: no más de 4:00 horas.
Le recomendamos que comience por los temas que le resulten más familiares. ¡Buen trabajo!
Algunas fórmulas
Ley de Coulomb:
Nm2C−2 (o sinó mF−1).
ε o = 8,85 × 10 −12 F / m
Ley de Gauss:
Potencial eléctrico: dV = - E . dr
Campo eléctrico : E = -dV/dx (caso unidimensional) E = - ∇ V (caso tridimensional)
Q
Potencial debido a una carga puntual Q con V = 0 para r → ∞
V =k
r
Potencial debido a un aro de radio R y carga Q uniformemente distribuída, en el plano y-z con x = 0
V(x) = k Q / ( R2 + x2)1/2
Ruptura del dieléctrico en aire E max ≅ 3 × 10 6 V / m
Campo eléctrico en la superficie de un conductor: E = σ/(κε0) n
Capacidad: C = Q/ V
Capacidad equivalente
en paralelo Ceq = C1 + C 2
2
en serie
1
1
1
=
+
Ceq C1 C 2
2
Energía de un condensador UC = Q /2C = C V /2
Torque sobre un dipolo eléctrico: τ = p x E
2
Densidad de energía eléctrica: ue = ε0 E /2 (energía por unidad de volumen)
12
Ley de Ohm: V = I R
Resistencia de un conductor cilíndrico: R = ρ L/A
Potencia disipada por una resistencia: PR = R I2
Resistencia equivalente: en paralelo 1/Req = 1/R1 + 1/R2 , en serie Req = R1 + R2