1 APRENDER MATEMÁTICAS EN LA INFANCIA

Transcripción

International Symposium on Early Mathematics/Symposium Internacional
sobre Matemática Temprana Cadiz-Spain, 5-6 May 2006 Grupo de
Investigación HUM-634 Departamento de Psicología
APRENDER MATEMÁTICAS EN LA INFANCIA
Libro de actas del Symposium Internacional sobre Matemática Temprana
J.I. Navarro & M. Aguilar (Eds.)
Publicado por el Departamento de Psicología de la Universidad de Cádiz, Grupo de
Investigación HUM-634
Learning maths in childhood
Proceedings of International Symposium on Early Mathematics
Published by Department of Psychology. University of Cadiz (Spain)
Research Group HUM-634
Cadiz-Spain, 5-6 May 2006
ISBN: 84-608-0452-6
Nota: Este trabajo ha sido parcialmente financiado por los proyectos de investigación BSO2003-04188 y
SEJ2005-06881 del MEC.
International Symposium on Early Mathematics. Cadiz (Spain), May 2006. Proceedings book
1
ENTIDADES COLABORADORAS
Facultad de Ciencias de la Educación
Vicerrectorado de Investigación
Consejo Social
Departamento de Psicología de la UCA
Vicerrectorado de Extensión Universitaria
Escuela Universitaria de Ciencias de la Salud
Dirección General de Tecnología de la Información y Comunicaciones.
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3
International
Symposium
on
Early
Mathematics/Symposium
Internacional sobre Matemática Temprana Cadiz-Spain, 5-6 May
2006 Grupo de Investigación HUM-634 Departamento de Psicología
CONFERENCIANTES INVITADOS/KEY SPEAKERS
Dr. Terezinha Nunes
Department of Educational Studies, University of Oxford (UK).
Children’s reasoning and mathematical achievement. El razonamiento del niño y sus
logros en matemáticas.
Dr. Manuel Aguilar
Departamento de Psicología. Universidad de Cádiz. (España)
Prevenir las dificultades de aprendizaje en matemáticas.
Dr. Johannes Van Luit
Department of Special Education. Utrecht University. (Netherlands)
The development of early numeracy in children with special mathematical needs.
Desarrollo temprano del número en niños con necesidades educativas especiales en
matemáticas.
Dr. Jose Orrantia
Departamento de Psicología. Universidad de Salamanca. (España)
Aprender matemática a temprana edad. La resolución de problemas en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Dr. Carol Aubrey
Institute of Education at the University of Warwick. Childhood Research Unit (UK).
Low-achieving children in mathematics in the context of the English National Numeracy
Project. Los niños con bajo rendimiento en matemáticas en el contexto del proyecto
británico sobre el aprendizaje del número.
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International Symposium on Early
Mathematics/Symposium Internacional sobre Matemática
Temprana. Cadiz-Spain, 5-6 Mayo 2006. Grupo de
Investigación HUM-634. Departamento de Psicología
PROGRAMA/Symposium Schedule
VIERNES/FRIDAY 5
16.00-17.00
17.00
17.30-19.00
19.00-21.00
Entrega de Documentación/Registration
Acto de inauguración/Opening session
Dr. Terezinha Nunes
Children’s reasoning and mathematical achievement. El razonamiento del
niño y sus logros en matemáticas.
Discusión/discussion
SESIÓN COMUNICACIONES / Individual paper session (I)
Investigación acción en una práctica educativa: Taller de juego y matemáticas
en el ciclo inicial de primaria.
Edo, Mercè y Deulofeu, Jordi
Progression In Early Number. Kathleen Hart
Children and early mathematics towards social and emotional mathematics.
Päivi Perkkilä, & Eila Aarnos
Early numeracy and dimensions of teaching-learning processes. A
comparative case study of maths lessons for six-year-old children in three
European samples. Hiltunen, Teija,
El conocimiento lógico-matemático en Educación Infantil y su relación con el
aprendizaje de la lectura en 1º de Primaria. Jaime Solsona
Desarrollo de las capacidades relacionales y de conteo evaluadas por la
versión española del test de Utrecht.
M. Aguilar, J. I. Navarro, E. Marchena, C. Alcalde y J. García
SÁBADO/SATURDAY 6
9.30-11.00
11.00-11.30
11.30-13.00
13.00-14.30
Dr. Manuel Aguilar
Departamento de Psicología. Universidad de Cádiz. (España)
Prevenir las dificultades de aprendizaje en matemáticas.
Descanso- Break
SESIÓN COMUNICACIONES/ Individual paper session (II)
El pensamiento multiplicativo en los primeros niveles. Una investigación en
curso. Mª Asunción Bosch Saldaña
Elaboración de una prueba de evaluación criterial de los contenidos
matemáticos en educación infantil.
Consuelo Vicent Català y Mª Dolores Gil Llario
Adquisición del error en la sustracción en educación primaria.
Ricardo López Fernández y Ana B. Sánchez García
Fundamentos lógicos de los procesos directo e inverso en la matemática
temprana. P. Ruesga, J. Jiménez yJ. M. Sigarreta
Uso y desarrollo de pensamiento relacional por alumnos de tercero de
Primaria. Marta Molina González y Encarnación Castro Martinez
Dr. Johannes Van Luit
Department of Special Education. Utrecht University. (Netherlands)
The development of early numeracy in children with special mathematical
needs. Desarrollo temprano del número en niños con necesidades educativas
5
14.30-16.30
16.30-18.00
18.00-18.15
18.15-19.45
19.45-21.30
especiales en matemáticas.
COMIDA/LUNCH BREAK
Dr. Jose Orrantia
Departamento de Psicología. Universidad de Salamanca. (España)
Aprender matemática a temprana edad. La resolución de problemas en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Descanso- Break
Dr. Carol Aubrey
Institute of Education at the University of Warwick. Childhood Research Unit
(UK).
Low-achieving children in mathematics in the context of the English National
Numeracy Project. Los niños con bajo rendimiento en matemáticas en el
contexto del proyecto británico sobre el aprendizaje del número.
SESIÓN COMUNICACIONES/ Individual paper session (III)
Una aplicación informática para enseñar conceptos numéricos iniciales a
niños de 5 a 7 años.
C. Alcalde, J. I. Navarro, M. Aguilar, E. Marchena, G. Ruiz y J. García
Un estudio sobre la comprensión de las cuatro operaciones aritméticas en
niños de educación infantil.
Mª Oliva Lago Marcos, Sonia Caballero Reales, Purificación Rodríguez
Marcos y Laura Jiménez Márquez.
¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del uno, dos,
tres? Irma Fuenlabrada
Formación Inicial de Profesores de Primaria en Matemáticas en el Marco del
Espacio Europeo de Educación Superior: Implicaciones para el Aprendizaje
de los Escolares.
José Luis Lupiáñez Gómez, Pablo Flores Martínez y Isidoro Segovia Álex
La narración como metodología de instrucción de las matemáticas en
educación primaria: estudio de caso único.
Francesca Marí Sabater y Mª Dolores Gil Llario
On Cloud Nine® Math. Developing Reasoning and Computation in Math
Nanci Bell &Jennifer Egan
Estrategias para la lecto-escritura de números de dos cifras en la Educación
Infantil: Análisis cualitativo de una situación de juego.
Carlos de Castro Hernández y Beatriz Escorial González
POSTERS/ poster session
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Friday 5 & Saturday 6
Podrán estar expuestos durante todo el Symposium
El desarrollo temprano de la propiedad conmutativa de la adición en tareas de engaño
perceptivo.
Purificación Rodríguez Marcos, Lorena Alameda Mena y Laura Jiménez Márquez
Exploring Kindergarten Children’s Number Skills. Meike Gruessing,
La resolución de problemas verbales que requieren distintas consideraciones del
contexto de la vida real.
Laura Jiménez Márquez, Mª Oliva Lago Marcos y Mª Lourdes Hernández Rincón.
Mathematics Education and Neurosciences (MENS). Fenna van Nes & Titia Gebuis
Acquisition of concrete operational skills in first and second grade pupils.
Alicja Maurer & Danuta Kmita
Validación de una prueba de evaluación criterial de los contenidos matemáticos en
educación infantil: determinación de los puntos de corte, fiabilidad y validez.
6
Mª Dolores Gil Llario, Consuelo Vicent Català y Adela Descals Tomas
7. Can rhythm help children in mathematics difficulties? Piccinini, P.
8. Developing confidence and competence in early mathematics in England.
Chris Kyriacou & Maria Goulding
9. Conocimiento, uso y control de las estrategias de resolución de problemas en
estudiantes de 5º de educación primaria.
Mª Dolores Gil Llario y Francesca Marí Sabater
10 Los forros de los cuerpos: una actividad para apoyar el desarrollo de la percepción
geométrica en preescolar. Bertha Vivanco Ocampo
11 Enhancing mathematical skills in pre-schoolers – development and evaluation of a
programme for the kindergarten. C. Quaiser-Pohl
7
8
CHILDREN’S REASONING AND MATHEMATICAL ACHIEVEMENT. EL
RAZONAMIENTO DEL NIÑO Y SUS LOGROS EN MATEMÁTICAS.
Dr. Terezinha Nunes
[email protected]
Abstract
It has often been claimed that children’s understanding of mathematics is based on their
ability to reason logically, but there is no satisfactory evidence yet for this causal link.
Nor is there any convincing evidence for alternative causal hypotheses that information
processing constraints, such as the extent of children’s working memory, determine
their mathematical development. We set out to test the causal hypothesis that logic is
the basis for mathematical development in two related studies. One was a longitudinal
study in which we showed (a) that measures of 6-year-old children’s logical abilities
and of their working memory both predict their mathematical achievement over a period
of 16 months even after controls for differences in age and intelligence, and (b) that the
logical scores continued to predict mathematical levels after controls for differences in
working memory, whereas working memory scores failed to predict the same outcome
measure after controls for differences in logical ability. In the second study we trained
an experimental group of children in logical reasoning and showed that they made more
progress in mathematics than a control group of children from the same schools who
were not given this training. Together these studies showed a strong link between
logical reasoning and mathematical development (Study 1) and also established that this
link is a causal one (Study 2). Our results, therefore, demonstrate that much of
children’s mathematical knowledge is based on their understanding of its underlying
logia.
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10
PREVENIR LAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Manuel Aguilar Villagrán
Departamento de Psicología
Universidad de Cádiz
[email protected]
Nota: Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto de investigación BSO2003-04188 del MEC.
1. Conceptualización y prevalencia de las dificultades de aprendizaje de las
matemáticas.
La complejidad del campo de las matemáticas hace que el estudio de sus
dificultades sea, a veces, desalentador. En teoría, una dificultad en matemáticas puede
tener variados orígenes, desde un déficit en la habilidad para procesar información
necesaria en una o muchas áreas de las matemáticas (e.g. aritmética, geometría,
álgebra,…), hasta una dificultad individual en un dominio específico (e.g. teoremas vs.
gráficos). Una aproximación a las dificultades de aprendizaje de las matemáticas es
centrarse en el desarrollo matemático normal en comparación con personas que tienen
un pobre rendimiento en matemáticas. Desafortunadamente para muchos dominios de
las matemáticas (e.g. geometría y álgebra) no hay conocimiento suficiente sobre el
desarrollo normal de estos aprendizajes (Geary, 2003). Los modelos teóricos y
experimentales sí han proporcionado una base suficiente en determinados dominios
matemáticos como son la numeración, el conteo o las operaciones aritméticas sencillas.
Hay estudios que muestran que muchos niños tienen un rendimiento normal o similar a
sus iguales en otras áreas y sólo presentan retraso en el desarrollo de los conceptos
numéricos. Asimismo, otros estudios señalan que muchos niños con DAM no entienden
conceptos relacionados con el conteo, o presentan déficit en las combinaciones
numéricas básicas. Si nos detenemos con cierto detalle en las dificultades de la
aritmética elemental (aquella en la que están implicadas las operaciones aritméticas
sencillas) su estudio pone en evidencia numerosos déficit cognitivos que afectan al
conteo y a los procedimientos aritméticos que de él se desprenden, la recuperación de
11
los hechos numéricos (combinaciones numéricas básicas) de la memoria, los
conocimientos conceptuales y la memoria de trabajo. Como mostró Geary (1990) en un
estudio con alumnos de primero, los niños que presentan dificultades en matemáticas se
distinguen de los niños normales por la utilización de procedimientos inmaduros para
resolver sumas simples, como por ejemplo la estrategia contar todo, y por una tasa más
elevada de errores. Además, recurren con menos frecuencia que los otros a la
recuperación de la memoria de los hechos numéricos y, los que lo hacen, son
recuperaciones más inexactas y afectadas de una variación muy importante en las
latencias de respuesta. Un seguimiento de los mismos niños (Geary, Brown, &
Samaranayake, 1991) indicaba que, un año después, el número de hechos numéricos
memorizados por aquellos con dificultades no había aumentado, contrariamente al
patrón de desarrollo clásico (normal) que permite a los niños abandonar
progresivamente los procedimientos de conteo a favor de la recuperación. Sin embargo,
habían abandonado prácticamente la estrategia de sumar denominada contar todo en
provecho de la estrategia más evolucionada de contar a partir del primer número
(counting on). Numerosos estudios han confirmado estas observaciones (e. g., Jordan,
Levine, y Huttenlocher, 1994; Jordan, Hanich, Kaplan, 2003) y sugieren que los niños
con dificultades se distinguen de los niños normales por un progreso lento en la
adquisición de procedimientos algorítmicos de conteo y por una dificultad de la
recuperación en memoria.
El retraso en la adquisición de procedimientos parece resultar en parte de una
inmadurez en el dominio de conceptos relacionados con el conteo, conceptos que tienen
gran importancia en el descubrimiento de estrategias aritméticas eficaces. Así, Geary,
Bow-Thomas, y Yao (1992) han mostrado que los niños de primero con dificultades y
que utilizan preferentemente la estrategia de suma no identifican correctamente cuáles
son las características pertinentes de un procedimiento correcto de conteo (muchos de
entre ellos creen por ejemplo que un conteo correcto necesita señalar en una sucesión
inmediata los objetos contiguos). Cometen, por otra parte más errores de conteo que los
sujetos normales. Es posible que los problemas que encuentran los niños con
dificultades en el aprendizaje de la aritmética, como por ejemplo el dominio de las
llevadas en las operaciones complejas, tenga su origen en una falta de comprensión de
los principios que subyacen a estas operaciones. Sin embargo, la insuficiencia de
conocimientos conceptuales no da cuenta del conjunto de los déficit, como por ejemplo
las dificultades de recuperación en memoria de las combinaciones numéricas básicas.
12
Éstas últimas podrían proceder, aunque indirectamente, de otra característica
cognitiva de los niños con dificultades de aprendizaje y es su débil capacidad de
memoria de trabajo. Los niños con DAM son menos hábiles que los otros para mantener
informaciones en memoria a corto plazo efectuando otros procesamientos (Geary et al.,
1991; Hitch y McAuley, 1991; McLean y Hitch, 1999). El rol que la memoria de trabajo
juega en la aritmética mental del niño (Adams y Hitch, 1997) y en el adulto (Wilson y
Swanson, 2001) es dudoso. ¿Cómo las débiles capacidades en memoria de trabajo
podrían llevar a las dificultades de memorización de los hechos numéricos básicos? Está
establecido que aún cuando no se haya realizado un aprendizaje sistemático de las tablas
(fundamentalmente de sumar y multiplicar), la constitución de representaciones de los
hechos numéricos en la memoria está ligada a los procedimientos de conteo. Cada vez
que el niño utiliza un procedimiento de conteo para resolver una suma, el resultado
alcanzado es asociado en memoria a esta operación. Sin embargo, como señala Geary
(1994), para que las estrategias de conteo conduzcan a una asociación en memoria hace
falta que las dos operaciones y el resultado esté de forma simultánea en el “espíritu” del
niño, o en su memoria de trabajo. Como la memoria de trabajo de los niños con
dificultades es de poca capacidad, y como privilegian, por otra parte, procedimientos
algorítmicos más lentos (la estrategia sumar o contar todo), es posible que hayan
olvidado uno de los dos operandos (sumandos) cuando alcanzan el resultado. En este
caso, el problema y la respuesta obtenida tienen menos posibilidades de ser
almacenadas en la memoria. Tal proceso de olvido consecutivo en la utilización de
estrategias algorítmicas ha sido puesto en evidencia, incluso en el adulto (Thévenot,
Barrouillet, y Fayol, 2001).
En resumen, los niños con dificultades de aprendizaje de las matemáticas
presentan un retraso en el desarrollo de la utilización de procedimientos de conteo y una
dificultad específica en la recuperación de los hechos numéricos. Las dificultades
procedimentales parecen desprenderse de una insuficiencia de conocimientos
conceptuales, que generan un retraso del desarrollo, y probablemente de capacidades
limitadas de la memoria de trabajo que perjudican el control de la ejecución de
procedimientos y resultados, lo que implica que cometan numerosos errores. Las
dificultades de la recuperación en memoria serían en parte imputables al retraso del
desarrollo de estos conocimientos procedimentales. Por otra parte, estas dificultades de
recuperación de hechos numéricos parecen relativamente independientes de dificultades
procedimentales, más persistentes que estos últimos (Garnett y Fleishner, 1983; Geary,
13
Widaman, Little, y Cormier, 1987), y afectan a la vez a procedimientos de codificación
y recuperación.
Otro problema relacionado con la conceptualización de las dificultades de
aprendizaje de las matemáticas es que hay pocos instrumentos específicos para la
detección o diagnóstico de niños y niñas con DAM; y otro problema es que aunque las
dificultades matemáticas son diagnosticadas cuando, al menos, el niño lleva un año en
la escuela, el desarrollo matemático empieza antes de la enseñanza formal de las
matemáticas. Los niños con riesgo de dificultades en matemáticas deberían ser
detectados en preescolar y esto permitiría introducir programas educativos de carácter
preventivo. Generalmente, se usa el miso criterio que para el diagnóstico de las
dificultades de aprendizaje en general; una combinación de medidas de la inteligencia
(test de CI) y una medida del rendimiento matemático con un test estandarizado. El
criterio general es el de la discrepancia entre el CI, que tiene que tener una puntuación
promedio y una puntuación por debajo del percentil 25 o 20 en el test estandarizado de
rendimiento matemático. Este criterio de discrepancia, entre el CI y el rendimiento en el
área específica (matemáticas), plantea algunos problemas como la selección de falsos
positivos o el hecho de que elegir el criterio del percentil 20 o 25 no coincide con los
estudios de prevalencia de niños y niñas con DAM (véase más abajo).
Los resultados de varios estudios sugieren que entre el 5 y el 7% de la población
en edad escolar muestran alguna forma de dificultad en las matemáticas (Geary, 2003).
Ruth Shalev presentó, en una reunión de expertos celebrada en El Escorial (España) en
marzo de 2004, el cuadro siguiente con los porcentajes de prevalencia de las DAM en
diversos estudios. En definitiva, se estima que entre el 5 y el 8% de los niños
escolarizados tendrían problemas con las matemáticas.
England (Lewis et al, 1994)
3.6 %
USA (Badian, 1982)
6.4 %
Germany (Hein et al, 2000)
6.6 %
India (Romaa & Gowramma, 2002)
5.5 %
Israel (Gross-Tsur et al, 1996)
6.5 %
Tabla 1. Estimación de los niños escolarizados que tendrían
problemas con las matemáticas según diversos estudios (a
partir de Shalev, 2004).
14
Por otro lado, parece bien establecido que más del 50% de los estudiantes con
dificultades de aprendizaje presentan problemas con el aprendizaje de las matemáticas
(Kavale y Reese, 1992). Ahora bien, las dificultades en matemáticas no aparecen solo
en estudiantes con dificultades de aprendizaje; como mostraron Cawley et al., (1998),
solo el 85% de la población de 14 años desarrolla una buena fluidez con la operación de
la suma; el 81% con la resta; el 54% con la multiplicación; y el 54% con la división. De
la importancia de las dificultades que presentan en general los niños y niñas en las
matemáticas queda constancia en el último informe publicado por el Ministerio de
Educación y Ciencia de España en el que se describen los resultados de la evaluación de
la educación primaria realizado en 2003 (INECSE, 2006). En el área de matemáticas, el
49% de los alumnos evaluados no consiguió la puntuación promedio de 250, incluso un
16% no llega al nivel 200. Las reflexiones a las que estos datos nos pueden llevar
sobrepasan el objetivo de esta ponencia y llegarían a consideraciones más globales
sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje, las reformas educativas, la formación del
profesorado, etc.
2. La prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Principios
de intervención.
Hay un importante campo de estudio que investiga las bases y métodos para
prevenir y tratar las dificultades matemáticas (Fuchs y Fuchs, 2001). Generalmente la
prevención se conceptualiza a tres niveles (Fornes, Kavale, MacMillan, Asarnow y
Duncan, 1996).
La prevención primaria se centra en diseños universales. Con este tipo de
diseños los principios instruccionales son formulados e incorporados para todos los
alumnos que puedan beneficiarse de los cambios instruccionales. Un ejemplo, tomado
de la vida diaria, es el caso de adaptación de las aceras para que las personas en sillas de
ruedas pudieran cruzar las calles sin problemas, esto fue concebido para esas personas
pero es beneficioso para todas las personas. Como aplicación a los estudiantes con
dificultades de aprendizaje, este diseño universal puede ser incorporado a la educación
en general sin acomodaciones o adaptaciones especiales para beneficiar a los alumnos
con dificultades de aprendizaje sin perjuicio para los alumnos de rendimientos medios o
altos. Son cuatro los principios que Fuchs y Fuchs (2001) describen como
característicos de la prevención primaria: (1) ritmo rápido, actividades variadas y
compromiso; (2) presentar las actividades de forma motivadora a todos los estudiantes,
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llevando el desafío más allá de lo que marcan los estándares; (3) autoverbalizaciones,
enseñar a los estudiantes a hablarse en voz alta, a preguntarse sobre los pasos en la
resolución de problemas, etc. Los estudiantes con dificultades en las matemáticas
mejoran cuando se les enseña autoverbalizaciones (Leone y Pepe, 1983); y (4) fomentar
representaciones físicas y visuales. La investigación ha demostrado que usando
representaciones físicas y visuales mejora la comprensión conceptual y la competencia
matemática de los niños. Así, Harris, Miller y Mercer, (1995) enseñaron las etapas de la
multiplicación usando materiales concretos y abstractos, en un secuencia muy bien
diseñada. Los resultados señalaron que tanto los estudiantes con como los sin
dificultades de aprendizaje mejoraron más que sus iguales.
Cuando las intervenciones primarias fallan aparece la prevención secundaria que
es puesta en marcha para de alguna forma detener el desorden de aprendizaje cuando
falla la prevención primaria. La prevención secundaria puede equipararse a la que es
factible que haga el maestro sin causar muchas interrupciones en las clases de
matemáticas. La intervención secundaria tiene como meta mejorar el progreso de los
estudiantes con la mínima intrusión sobre los objetivos planteados a los niños y con la
mínima disrupción de otros. El primer principio que debe guiar la prevención
secundaria es que lo que se haga debe ser factible de ser realizado por el profesor en las
rutinas diarias de la clase. El segundo principio es que la adaptación no puede perturbar
las adquisiciones del niño. El tercero es que las intervenciones no deben ser añadidas
(entorpecedoras o intrusivas) en el desarrollo de las clases de matemáticas.
Por el contrario, la prevención terciaria estaría reservada para los problemas que
son más resistentes a la prevención y que requieren una intervención más intensa para
que no aparezcan complicaciones. La prevención terciaria sería sinónimo de
intervención, intensiva, individualizada y requiere recursos especiales para aminorar las
dificultades individuales de los estudiantes. Uno de los principios de la prevención
terciaria es que las decisiones instruccionales hay que tomarlas refiriéndose a un alumno
en concreto, individualmente. Para ello hay que centrarse en métodos específicos,
usando investigaciones ya realizadas y formulando metas de aprendizaje e hipótesis
sobre qué método instruccional producirá un desarrollo más satisfactorio. Es necesario
formar al maestro para que incorpore a su actuación un mayor ajuste con sus alumnos,
revisando las respuestas individuales al aprendizaje. Un segundo principio se dirige a la
instrucción intensiva que incluye una serie de requisitos: (1) una alta proporción de
respuestas activas y con niveles apropiados, (2) diseño instruccional muy cuidadoso con
16
el nivel individual de los estudiantes, (3) pistas instruccionales, rapidez, y
desvanecimiento del soporte cuando las respuestas vayan siendo correctas, y (4)
proporcionar feedback en las tareas realizadas.
Los principios de la intervención terciaria pueden aplicarse, variando en
extensión, a todos los estudiantes. Sin embargo, hay algunas cuestiones no resueltas
sobre si este tipo de intervención es práctica y deseable para la mayor parte los
estudiantes. Generalmente, el desarrollo del niño, por definición, progresa bien de modo
natural en un buen contexto educativo que también proporciona beneficios sociales y
son menos caros de poner en marcha. Al mismo tiempo, permiten que los alumnos con
bajo rendimiento se beneficien de forma natural de las experiencias educativas
cotidianas y que los programas regulares se fortalezcan.
Dowker (2004) plantea la intervención como un continuo que iría desde la no
necesidad de intervención activa hasta la necesidad de una intervención individualizada.
En concreto plantea los siguientes niveles de intervención: (1). Sin necesidad de
intervención activa, pero los alumnos pueden beneficiarse del profesorado y de
especialistas que tengan conciencia de los puntos fuertes y débiles de los niños; (2).
Necesidad de adaptación flexible del programa de actividades con toda la clase; (3).
Necesidades de disponer intervención en pequeños grupos; (4). Necesidades de
intervención individualizada, proporcionando una intervención en clase infrecuente y/o
intensiva; (5). Necesidad de una intervención individualizada; y (6) por último,
proporcionar una atención con un programa totalmente individualizado en un marco de
educación especial (o especializada).
En resumen, los niños y las niñas pueden requerir a lo largo de su escolaridad
diferentes grados y tipos de intervención, y en diferentes aspectos del currículum de
matemáticas. Generalmente, con poca intervención individual puede ser posible que el
niño se beneficie más que si se encuentra con toda la clase.
En el desarrollo de programas de prevención e intervención han ido apareciendo
una serie de orientaciones generales que es necesario tener presente cuando se elaboren
y diseñen programas de intervención temprana.
Lemmel (2000) propone las siguientes:
-
Incitar a la búsqueda de varias soluciones a un mismo problema, con selección,
por los mismos niños, de los caminos mas “económicos” y análisis y ventajas e
inconvenientes de cada modelo elegido.
17
-
Presentación e informes, efectuadas por los aprendices, de elementos de una
situación según varios medios: enunciado verbal, texto escrito, esquema, recurso
a la informática, etc.;
-
Llamada a verbalizaciones de tipo metacognitivo;
-
Identificar y analizar los errores
La idea principal es que conviene alejar la imitación pasiva, favoreciendo la
movilidad intelectual y la capacidad de pensar de otro modo para superar los obstáculos
que se presenten. Este aspecto preventivo no es, sin embargo, siempre suficiente. Una
ayuda más profunda es, a veces, necesaria.
Gifford (2003) desarrolla una serie de principios pedagógicos que deben guiar la
intervención y que aquí resumimos. Estos principios son útiles para analizar los
diferentes programas que más adelante veremos.
1. Cognitivos. Las características cognitivas se refieren a procedimientos de
imitación, de práctica, ocupándose de la instrucción, generalizando y
haciendo conexiones (incluyendo la visualización, verbalización y
simbolización), reestructurando el conocimiento y analizando el conflicto
cognitivo, poniendo en marcha la metacognición y resolución de problemas.
2. Físicos. Realizar actividades físicas, especialmente al aire libre, utilizar
recursos multisensoriales y experiencias, especialmente música y enseñanza
actividades con ordenador.
3. Emocionales. Actividades que fomenten el autoconcepto y prevengan la
pérdida del mismo, que sean abiertas y proporcionen oportunidades para
elegir y controlar las que sena relevantes, interesantes y divertidas.
4. Sociales. Permitiendo relaciones con la cultura familiar, con apoyo en los
compañeros, y permitiendo el aprendizaje cooperativo.
Las estrategias de enseñanza en las que el adulto participe se centran en una serie
que comprende:
- Exposición: proporcionando variados ejemplos e instrucciones no autoritarias.
- Conflicto cognitivo: proporcionando contraejemplos, analizando errores,
incluyendo el uso de muñecas que cometen errores.
- Modelado: encajando habilidades y destrezas, articulando estrategias de
pensamiento y actitudes hacia la curiosidad.
- Scaffolding en la resolución de problemas: creando contingentemente
subproblemas y centrando la atención.
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- Representación y simbolización: incluyendo el animar a los niños a crear sus
propias representaciones.
- Discusión. Dividiendo las metas y negociando significados, pero usando los
errores de forma adecuada, especulando con las afirmaciones de los niños y
preguntando de forma indirecta más que directa.
En suma, la enseñanza no debería estar encorsetad, constreñida y en cambio,
establecer un claro apoyo, con oportunidades para elegir, para establecer cierto control y
mantener un clima de clase en las que hablar no sea un riesgo para la propia autoestima.
3. Programas de intervención generales y específicos.
Desde un punto de vista psicológico se puede establecer una clasificación de los
modelos de intervención preventiva o paliativa. Meljac (1999) los clasifica así: los
programas que tienen por objeto la construcción de las operaciones mentales, los que se
centran en los aprendizajes y, en fin, los que tienen en cuenta las carácterisiticas
personales de los estudiantes.
Construcción de operaciones mentales.
La característica esencial de estos métodos, nacidos, en su mayor parte, en los
años 60, y no se apoyan en contenidos escolares (lo que los descontextualiza
totalmente) y buscan provocar conflictos cognitivos.
El enfoque Logo, creado por Seymour y Paper (1980) con referencia a los
trabajos de Piaget y la inteligencia artificial, utiliza el lenguaje informático de la
programación más simple (una “tortuga” que se desplaza o forma trazos sobre la
pantalla del ordenador). Se trata no solo de aprender un método de pensamiento sino de
aprender un método de aprender a aprender. El programa Logo que permite formalizar
una transformación y su inversa sean conocidas estuvieron muy de moda en los años 70,
sobre todo en los medios pedagógicos.
Los ARL o talleres de razonamiento lógico, utilizando en origen un material
de papel y lápiz, son contemporáneos del Logo. Para sus autores, Higelé, Hommage y
Perry (1992), apuntan a rehabilitar fundones cognitivas deficientes.
Fundamentados sobre la teoría piagetiana y las aportaciones de Perret-Clermont
tratan del conflicto socio-cognitivo, los ARL, ofrecen además del papel y lápiz una
versión informática y proponen ejercicios variados, adaptados a toda la duración de la
escuela elemental.
19
El PEI, o Programa de Enriquecimiento Instrumental, fue desarrollado por
el israelí R. Feuerstein (Feuerstein, Rand, Hoffman y Miller, 1980), alumno directo de
Piaget muy inspirado por sus teorías y por las de Vygotsky. El PEI presenta al niño una
serie de ejercicios muy graduados, apuntando a la toma de conciencia de sus
posibilidades personales, la mejora de la representación de sí mismo como la
transferencia de adquisiciones a una amplia gama de situaciones. En los años 80,
conoció un auge considerable en muchos países, España entre ellos, sobre todo en niños
mayores en s que era trabajado en pequeño grupo. El programa de Feuerstein ha sido
evaluado por equipos de investigadores que lo han evaluado tanto de forma severa
(Loarer, Chartier, Huteau y Lautrey, 1995) como muy favorable (Prieto, 1989).
El PASS, programa de mejora de las funciones ejecutivas: los déficit de
programación representan una causa de los fracasos, sobre todo en la realización de las
operaciones. Montague et al., (1997) han mostrado el lugar que las estrategias
cognitivas de planificación juegan en los niños con dificultades en el cálculo sobre todo
en la recuperación de los hechos numéricos y en la realización de las operaciones. Este
entrenamiento cognitivo utiliza el método PASS (Dass et al., 1994), que sistematiza
operaciones de.
-P: la planificación necesaria para alcanzar una meta así como su auto-control
(directamente ligado con las funciones frontales de planificación);
-A: los procesos atencionales focalizan la actividad sobre una tarea dada;
-S1: los procesos simultáneos, implicados en habilidades del hemisferio derecho,
permitiendo reunir en un todo coherente fragmentos dispares;
-S2: el procesamiento sucesivo o secuencial, privilegio del hemisferio izquierdo,
permitiendo procesar la información una después de otra.
→Programas centrados en el aprendizaje.
Proponen procedimientos propiamente pedagógicos y apuntan al desarrollo del
alumno.
EL SPPA-SPPE (sistemas personales de pilotaje del aprendizaje y de la
enseñanza) de Lerbet y Gouzien (1994). Toma explícitamente en cuenta el
procedimiento de enseñanza de los profesores. El método elabora unas herramientas que
permiten la relación entre los diferentes sistemas de pilotaje y realiza una distinción
entre consumo del saber o, al contrario, por producción. Detalla también las diferentes
formas de memoria implicadas en el aprendizaje: de recuerdo, de reconocimiento,
visual, etc.
20
La Gestión Mental de La Garanderie (1982). Es uno de los más conocidos y
también de los más criticados por los científicos. Está basado en un conjunto de
consideraciones filosóficas y también en la experiencia personal del autor. El concepto
clave de La Garanderie es el de las imágenes mentales (la mayoría visuales, o bien
auditivas, según los sujetos). Estas imágenes mentales que conducen de la percepción a
la conceptualización son indispensables para la memorización y la comprensión. La
gestión mental debe conducir al aprendiz a utilizar sus mejores modalidades sensoriales.
Corresponde al maestro suscitar en el niño una mejor gestión de estos modelos de
aprehensión.
El desarrollo o la rectificación de una imagen visual está bastante próxima a la
utilizada en el lenguaje escrito por La Garanderie, y podría mejorar las capacidades de
cálculo. En algunas dificultades del cálculo, en pacientes adultos, se ha establecido una
línea visual de representación de las numerosidades defectuosas que beneficiarían
favorablemente el restablecimiento de una línea de representación normal (Butterworth,
1999). Por eso se propone que los niños con dificultades en el cálculo tengan un
entrenamiento en la visualización de la imagen de una “tabla” de intermediación,
análoga al bloc de notas viso-espacial. Este apoyo visual, donde se imprimirían los
resultados parciales en la realización de operaciones complejas, mejora la realización de
los niños que olvidan las etapas de las operaciones.
El Ciclo de Aprendizaje de Meljac (1999). Este programa es un conjunto
estructurado de ejercicios destinado a los niños que presentan fracaso en las
matemáticas a lo largo de la enseñanza elemental. Es más conveniente en los niños que
presentan un retardo en las adquisiciones lógico-matemáticas, seguido de los que
presentan un retraso global moderado, o de inhibición del pensamiento. Su base teórica
está constituida por las investigaciones de Inhelder, Sinclair y Bovet (1974). Un
proyecto
individual
de
intervención
debería
alternarse
con
ejercicios
más
específicamente numéricos.
→Aproximaciones específicas.
Desarrolladas en el marco de la psicología cognitiva y la neuropsicología, buena
parte de estos trabajos proceden de trabajos con adultos con lesiones cerebrales y
abandonan completamente instrumentos generales de pensamiento ara centrarse
directamente sobre los procedimientos que hay que reeducar.
Reeducación de dificultades de transcodificación. En el niño el desarrollo
concreto del conteo representa una ayuda innegable,; se insistirá en el conteo sobre la
21
sintaxis de las decenas y particularmente las que sobrepasan al 20. Para los niños con
dificultades que tienen un buen desarrollo verbal, la regularidad del sistema árabe podrá
servir de modelo y mejorar las dificultades.
Girelli (2000) hace una revisión de este tipo de trabajos y, aunque la mayor parte
atañe a pacientes adultos, algunos permiten pensar que las dificultades se inscriben en el
cuadro de un desarrollo perturbado. Distingue tres ejes: uno de reeducación de la
transcodificación numérica, el segundo sobre las capacidades de cálculo y el tercero
sobre la reeducación de la resolución de problemas. Girelli cita el caso de un
adolescente de 13 años con dificultades en la transcodificación (Sullivan, Macaruso y
Sokol, 1996).
Después de examinar al chico que tenía un déficit en las tareas de
transcodificación, sobre todo en la producción de numerales (cifras) árabes), los autores
proponen a este chico un programa de dos sesiones de 45 minutos (bastante poco sobre
todo si se tiene en cuenta que otros procedimientos abarcan el año entero).
Inspirándose en las metodologías utilizadas en los exámenes clínicos, estas
sesiones suministran al chico un cuadro sintáctico preciso (por ejemplo, centenas,
decenas y unidades) y tratan, enseguida, de que aprenda él mismo cómo generar el
mismo cuadro. Una evaluación de control, reveló una mejora notable en su ejecución,
identificable 6 meses después de la intervención. Como el estudio es de caso único, es
difícil de extraer conclusiones generales.
4. Programas de intervención en Educación Infantil.
Muchos de los programas de intervención en Educación Infantil tienen como
meta trabajar con niños en situación de riesgo de sufrir dificultades académicas en
general: generalmente son programas dirigidos a niños de grupos de socioeconómicos
desfavorecidos. Estos programas pueden o no incluir evaluaciones individuales. Otra
característica de estos programas es que se dirigen a niños preescolares y no son
siempre están restringidos al trabajo con las matemáticas sino que abarcan contenidos
curriculares más amplio. Por ejemplo, el Head Start Program en los EEUU pone el
acento de forma significativa en conceptos de número, entre otros aspectos de la
intervención temprana (Arnold, Fisher, Doctoroff y Dobbs, 2002).
Una investigación realizada dentro del contexto del programa de Head Start es
la realizada por Arnold et al., (2002). En este estudio, en algunas clases en las que se
aplicaba el Programa Head Start se incluyó una intervención en una clase durante 6
22
semanas. En esta clase, las actividades de matemáticas fueron parte de la rutina diaria.
Estas actividades se desarrollaban mientras los niños permanecían sentados en círculos,
en los tiempos de transición entre actividades, cuando comían, y también en otras
actividades en grupos pequeños. Otras clases también se implicaron en estas actividades
típicas. Después del programa, los niños que habían pasado por la intervención
puntuaron más alto en un examen estandarizado de matemáticas y los informes y
clasificaciones de los profesores indicaron mayor atracción por las matemáticas en este
grupo. Los niños mejoraron más que las niñas.
Otro proyecto relacionado con Head Start es el renombrado Berkeley Maths
Readiness Project (Starkey y Klein, 2000). Este proyecto es financiado por el
Departamento de Educación de los EEUU y esta siendo realizado por Prentice Starkey y
Alice Klein en la Universidad de California en Berkeley. Los investigadores están
desarrollando y evaluando un plan de estudio de matemáticas dirigido a preescolares
que incluye ocho elementos del currículum matemático: (1) el conteo y el sentido
numérico (number sense); (2) razonamiento aritmético; (3) sentido espacial; (4)
razonamiento geométrico; (5) construcción de patrones de unidades y de formas; (6)
razonamiento lógico; (7) medida; y (8) matemáticas y ordenador. Por ejemplo, en la
unidad de razonamiento aritmético incluye una actividad de división (dividir un
conjunto de objetos concretos en dos subconjuntos iguales) y actividades de suma y
resta como utilizar los dedos para contar y para resolver problemas como este “tres
coches y un coche ¿cuantos coches son?”.
El currículo matemático es llevado a cabo por los profesores y los padres de los
niños. Los profesores asisten a dos seminarios para aprender como se aplica el programa
y los materiales que se usan en su aplicación. Después aplican el programa en sus
clases, y también demuestran las actividades relacionadas a los padres y niños en una
serie de visitas a la propia casa del niño. A los padres se les proporcionan materiales con
consejos y ejercicios que pueden utilizar con sus hijos.
El progreso matemático de los niños en las clases experimentales que han
utilizado el programa es mucho mayor en comparación con los niños de otras clases, y
niños de las mismas clases un año antes de que el proyecto fuera puesto en marcha. Los
progresos en el rendimiento han sido demostrados tanto en los niños de clase media,
como en los niños con bajo estatus socioeconómico en el programa de Head Start y el
Programa de Preescolar del estado de California.
23
Estos investigadores (Starkey, Klein y Wakeley, 2004) volvieron a aplicar un
programa parecido (con siete componentes del programa anterior) a una muestra de 163
niños (88 niñas y 75 niños) y a sus familias. La muestra era de un nivel socioeconómico
variado y se formaron subgrupos (experimentales y de comparación) de niveles
socioeconómicos medio y bajo. También los padres participaron en este programa en
coordinación con los colegios participantes. La intervención en casa de los grupos
experimentales comprendía una serie de tres clases en casa a lo largo del año. El
contenido de cada clase en casa cubría aproximadamente dos unidades del currículum
de matemáticas. En una clase típica, se presentan cuatro actividades de matemáticas, y
los padres aprenden cómo implementar estas actividades diádicas con sus niños. A los
padres también se les proporcionaba materiales y unas hojas guías para dirigir las
actividades en casa con sus niños preescolares. En este estudio, los investigadores
diseñaron y usaron un instrumento para evaluar el conocimiento matemático informal
de los niños, el Child Math Assessment (CMA). Está compuesto de 16 tareas que
evalúan diversas áreas de matemáticas que incluyen: numeración, aritmética,
espacio/geometría, medida, patrones y relaciones lógicas. Las tareas que evalúan el
conocimiento son 16: contar objetos, contar subconjuntos dentro de un conjunto
ordenado de objetos, secuencias de números, comparación de números, números
ordinales, reproducción de números, sumar y restar con objetos, sumar dos conjuntos,
conocimiento de las formas, emparejar formas, transformaciones en triángulos, medidas
no estándar, duplicación de patrones, extensión de patrones y ordenar series. Los
resultados mostraron un mayor incremento, en relación con las puntuaciones de partida,
en el grupo experimental de niños de bajo nivel socioeconómico que en los de nivel
medio. Es decir, las diferencias de puntuaciones fueron reduciéndose a lo largo de la
intervención. Asimismo, la puntuación de estos grupos experimentales (de bajo y medio
nivel socioeconómico) fueron mayores que la de los grupos equivalentes al terminar el
año escolar. Los autores concluyen, a pesar de diversas limitaciones, que este programa
de intervención temprana puede ser especialmente apropiado para incorporar a los
programas de preescolar (como el Head Start de California).
Otros programas importantes para niños preescolares que tuvieron la intención
de reducir y prevenir dificultades de matemáticas son el programa Rightstart de Griffin,
Case y Siegler (1994); Griffin (2004) y el programa Programa Matemática Grande
para niños pequeños (Big Math for Little Kids programme) de Ginsburg, Balfanz y
Greenes (1999) y Greenes, Ginsburg y Balfanz (2004).
24
El programa Rightstart (Griffin et al., 1994; Griffin, 2004) ha sido utilizado en
algunas clases de preescolar de barrios periféricos de bajo nivel económico en los
EEUU y Canadá. Se centra en atender a los niños para que adquieran la “estructura
central conceptual” de una línea mental del número. Un niño que tiene esta estructura
conceptual podrá, por lo menos para números relativamente pequeños, entender cuál de
dos números es más grande; contar hacia atrás desde un numero dado (Ej.: decir qué
numero es dos números antes de 7); y utilizar la estrategia de adición de contar a partir
del mayor (counting on from the larger addend); Ej.: si se pide añadir 2 y 5, empezarán
con 5 y contarán hacia delante 6, 7). La investigación anterior sobre el tema había
indicado que generalmente los niños que tienen menos de 5 años no parecen usar tales
líneas mentales de números, mientras los niños que tienen mas que 5 años la usan. Sin
embargo, algunos niños de 5 o 6 años, especialmente los de origen socioeconómico
bajo, tenían dificultades con las tareas de las líneas mentales de números.
El programa Rightstart incluye treinta juegos para ser jugados por grupos
pequeños de cuatro o cinco niños e incluye también unos juegos para la clase entera. El
modo predominante de trabajo con los niños incluye actividades para grupos pequeños,
20 minutos al día. Los juegos y actividades usados en el programa incluyen actividades
como contar y enumerar; cuantificar conjuntos de objetos; emparejar objetos con los
numerales escritos (cifras); y predecir el resultado de sumar o restar 1 a un conjunto de
objetos. El programa que Griffin denomina Number Worlds (Griffin, 2004) se basa en
cinco principios que son el armazón teórico que guía el desarrollo de todas las
actividades:
Principio 1. Construir sobre los conocimientos actuales del niño (cada idea es
presentada al no conectándola con su conocimiento existente);
Principio 2. Cuando se selecciona un nuevo conocimiento, seguir el desarrollo
natural de forma progresiva; teniendo en cuenta que la investigación ha demostrado que
no todos los niños siguen la progresión común en el desarrollo del número. La
investigación sugiere que a la edad de 4 años los niños poseen dos precursores del
desarrollo numérico, aunque aparecen separados, el conocimiento del conteo y el
conocimiento de la cantidad, estos precursores serán integrados sobre los 6-7 años.
Principio 3. Enseñar tanto fluidez en el cálculo como comprensión conceptual;
para ello plantean una serie de juegos que permiten este desarrollo conceptual (e.g. The
Mouse and the Cookie Jar Game).
25
Principio 4. Proporcionar abundantes oportunidades de exploración manual,
resolución de problemas y comunicación; en el programa se desarrollan una serie de
juegos que permiten estas manipulaciones y da oportunidades a los niños de discutir
entre ellos y dar las razones de sus elecciones en la participación en los juegos; y
Principio 5. Exponer a los niños a todas las formas de representación de los
números y hablar sobre ello en el desarrollo de la sociedad (social). El número es
representado en nuestra cultura, entre otras, de cinco maneras: como grupo de objetos,
como un patrón de cosas (puntos), como una posición en una línea, posición en una
escala (e.g. en el termómetro) y un punto en un dial. Los niños tienen que familiarizarse
con todas estas formas de representación y usar el lenguaje para hablar de los números
en estos contextos.
En una evaluación inicial, 23 niños de preescolar y 24 controles de
características y orígenes parecidos fueron seguidos hasta el primer curso. Los que
habían seguido el programa incrementaron sus puntuaciones más que los otros en
pruebas de aritmética oral y problemas aritméticos verbales. También lo hicieron mejor
en el conocimiento de la línea numérica y problemas aritméticos escritos que se
enseñaron en el colegio: pero las diferencias aquí no fueron significativas porque los
niños en los dos grupos hicieron bien las actividades. Los que estaban en el grupo de
Rightstart también recibieron mejores evaluaciones de los profesores en la mayoría de
los aspectos del conocimiento numérico y en aritmética.
Ginsburg. Balfanz y Greenes (1999) introdujeron el programa de intervención
que se llama Big Math for Little Kids. Como el programa de Rightstart, introduce
juegos de matemáticas y actividades en el currículum general en los programas del
preescolar en alumnado con desventaja. Mientras el programa de Rightstart acentúa las
habilidades específicas que parecen ser importantes en el desarrollo del número, el
programa Bigmath subraya la introducción del niño en una gran variedad de conceptos
matemáticos importantes; no necesariamente solo con la numeración.
Parte de la base de que en el desarrollo de los programas diseñados se refleja una
visión de la educación matemática temprana limitada a contar (conteo), identificar
formas, y a alguna medida simple de comparación. En los programas en los que se
introducen ideas más sofisticadas, lo hacen con frecuencia fugazmente y no
reconocidas. Por consiguiente, la meta del programa BigMath es ayudar a los niños a
explorar “grandes” ideas matemáticas y por amplios períodos de tiempo. Incluye
26
actividades diseñadas para hacerlas individualmente, en pequeño grupo y toda la clase.
Estas son los seis contenidos básicos que debe contener el currículum:
1. Número. Uso de números y sus distintas formas y representaciones.
Procedimientos de contar y sus principios, el uso de números como etiquetas (e.g.
números de las casas), y las diferentes maneras en que los números pueden ser
representados (e.g. numerales, palabras números, conjuntos de juguetes o puntos), y
mostrar a los niños todas las representaciones al mismo tiempo;
2. Forma. Implicando no solo el reconocimiento y denominación de las formas,
sino su exploración y características (e.g. número de lados y ángulos) simetría, y formas
de partirla en otras formas o figuras;
3. Medida. Incluye la comprensión de la comparación, seriación e iteración
(repetir el uso de la unidad de medida) con relación a una amplia variedad de
cantidades: longitud, peso, capacidad, área, tiempo, temperatura y monedas;
4. Operando con números. Se trabaja con números. Primero agrupando objetos,
poniéndolos juntos y separándolos unos de otros para llegar a la formalización de la
suma y la resta y la relación entre conjuntos y subconjuntos;
5. Patrones y lógica. Desarrolla la repetición sistemática de elementos en el
contexto del número, forma, color, y sonido (e.g. ritmo). Los niños copian patrones y
los generalizan. E.g. sumando 2 repetidamente para hacer 1, 3, 5, 7,…) describiéndolo;
y creando sus propios patrones.
6. Navegación y conceptos espaciales. Enfatiza el desarrollo del vocabulario
espacial, como arriba, abajo, encima, enfrente, al lado de, entre, a la derecha,… Incluye
la descripción y mapeo de posiciones y rutas. El niño desarrolla estos conceptos a través
de historias y juegos: búsquedas de objetos escondidos, de tesoros, etc.
El programa incluye una amplia variedad de juegos, historias o cuentos y
dibujos. Por ejemplo, una de las tareas implica una línea simétrica que se le presenta a
los niños con dibujos de medias caras, y pidiéndoles que ellos completen las caras.
Alguna tarea espacial incluye, como hemos mencionado antes, “búsqueda del tesoro” en
la que los niños tienen que alcanzar y localizar un objeto con pistas sobre su posición
relativa en relación a otros objetos. Una de las actividades numéricas incluye escuchar
una historia, “So Many Fives”, en el que los niños representan el número cinco a través
de de palabras en diferentes lenguajes, el numeral escrito con cifras y varios tipos de
cuentas o configuraciones de puntos. Los niños son animados a pensar en una amplia
variedad de de formas de representar otros números.
27
El programa se encuentra aún en su estadio inicial y no ha tenido una evaluación
completa. Sin embargo, los resultados son prometedores, y sugiere que los niños
pequeños pueden abordar mejor las matemáticas y sus desafíos, y van más allá del
simple conteo, que el enfoque más tradicional había sugerido. Los autores también
sugieren, de las observaciones realizadas, que los niños mejoran en la frecuencia y uso
del lenguaje matemático, sus explicaciones son más robustas y profundas, este
fenómeno es más interesante en el caso de los niños que no tienen el inglés como lengua
nativa.
En Holanda, Van Luit y Schopman (2000) llevaron a cabo un estudio en el que
examinaron los efectos de un programa de intervención con niños que asistían al
preescolar y que tenían necesidades educativas especiales. Los niños eran 124 con un
rango de edad entre 5 y 7 años. No tenían impedimento de tipo sensorial o motor, ni
dificultades de aprendizaje severas. Casi todos tenían déficit de lenguaje y/o problemas
de conducta. Todos tenían una puntuación por debajo del 25% en el Utrecht Test for
Number Sense (Early Numeracy Test, de Van Luit, Van de Rijt y Pennings, 1999) en su
grupo de edad. Es un test que evalúa destrezas de conteo y conceptos numéricos
tempranos. 62 de los niños recibieron la intervención, los otros 62 sirvieron de grupo
control y asistieron al currículum normal de sus escuelas. El programa de intervención
fue el Early Numeracy Programme, diseñado para niños y niñas con necesidades
educativas especiales, con énfasis en el aprender a contar. El programa consiste en 20
lecciones con instrucciones completas y los materiales pertinentes para su desarrollo. El
propósito del programa es asistir a los niños en el aprendizaje del conteo para que de
este modo les resulte fácil la transición al aprendizaje matemático en el curso primero.
El programa comprende los números del 1 al 15, que son representados de varias
maneras progresando desde las formas concretas (conjunto de objetos) a través de
formas semiconcretas (por ejemplo, tarjetas con dibujos de bananas) hasta las abstractas
(numerales o cifras), y marcas de conteo. Se hizo especial énfasis en patrones de 5, y
fueron representados con 5 cuentas o marcas con una elipse. El número de actividades
se enmarcaba en juegos que implicaban a la familia, celebraciones y de compras
(shopping). Los niños tenían dos sesiones de media hora por semana en grupos de tres y
durante seis meses. Al final de la intervención el grupo entrenado tuvo mejores
resultados que el grupo control en las actividades que formaban parte del programa,
pero desafortunadamente no hubo transferencia a un conocimiento superior de tareas de
numeración similares aunque no idénticas (véase tabla 2).
28
Early numeracy (máx.= 100)
Transferencia (máx= 14)
Grupo
Grupo
experimental
control
Pretest
46.1
46.9
Postest
59.5
53.3
Pretest
4.1
3.4
Tabla 2. Resultados del Early Numeracy Programme
Los autores sugieren que este fallo en la generalización puede ser explicado en
términos de teorías metacognitivas. Para realizar transferencias, los niños tienen que ser
requeridos a extender y/o modificar las estrategias enseñadas durante la intervención. A
pesar de la variedad de problemas presentados, el programa falla al inculcar el
conocimiento de cuándo y cómo las estrategias pueden ser aplicadas a otras situaciones.
La sugerencia es que la transferencia de estrategias de aprendizaje debe ser entrenada de
forma más explícita.
Rosie Roberts (2001) describe el Preschool Early Education Partnership
(PEEP). Este programa se ha desarrollado en un área de la ciudad de Oxford
(Inglaterra) con desventaja socioeconómica. Implica el trabajo con los padres desde el
nacimiento de los niños hasta que van a la escuela. Ofrece materiales, sesiones de grupo
y visitas a casa de los padres. Se centra en que los padres y sus hijos hablen, canten y
jueguen juntos, y vean libros y otros materiales similares con sus hijos. El aspecto
central de este programa es la preparación para la lectura; pero las actividades de
numeración están también incorporadas. Implican juegos de conteo; animan a los padres
a discutir de números con sus hijos en el contexto de actividades prácticas como cuando
van de compras o preparan la comida, y también a discutir de números en el medio en el
que viven, como el número de la casa o el número del autobús, los números en el
ascensor, etc.
En España hay pocos estudios de intervención en Educación Infantil y esto
puede deberse a que los niños están escolarizados desde edad muy temprana y siguen
los programas curriculares en los que no se incluyen tópicos y contenidos matemáticos;
generalmente están limitados al desarrollo de prerrequisitos o se realiza una
introducción al sentido numérico limitado al conocimiento de los numerales o cifras
hasta el 10.
Un trabajo destacado es el de Miranda Casas y Gil Llario (2002a). Diseñaron un
programa para ser aplicados en aulas de educación preescolar con dos objetivos: (1)
29
estimular en el alumnado la comprensión del concepto de número y (2) analizar la
eficacia de un procedimiento de instrucción centrado en el juego y en la narración para
la adquisición de los conceptos matemáticos básicos en el que también se concediese a
los compañeros un papel activo en el fomento del aprendizaje de sus iguales.
Sobre una muestra de 60 niños de 2º de Educación Infantil seleccionaron a 30
niños y niñas que cumplieran los requisitos siguientes: no tener retraso mental
(evaluado con el test Badyg) y no sobrepasar el nivel del 75 por ciento de los objetivos
en una prueba de Nivel Actual de Competencia en Matemáticas, elaborado ad hoc.
También aplicaron la prueba de Conceptos Básicos Boehm. Los 30 niños fueron
distribuidos en dos grupos: uno experimental, que recibió un programa de intervención
basado en el juego y la narración, y otro grupo control, que recibió la instrucción
tradicional en su aula, con 15 niños cada uno.
La intervención se aplicó durante el primer y segundo trimestre del curso escolar
al ritmo de dos sesiones semanales de media hora cada una hasta completar un total de
20 sesiones. Las narraciones trabajaron los siguientes contenidos: uno, varios; primero,
segundo, tercero, cuarto y quinto; mayor que, menor que; cantidad del 0 l 9; distinto
número de; igual que, menos que, más que; tantos como; ordenar de menor a mayor; la
mitad; ordenar de mayor a menor; el doble.
Los resultados antes de la intervención señalan que no hay diferencias entre los
grupos formados (experimental y control). Los dos grupos mejoraron sus puntuaciones
en el Nivel Actual de Competencia Matemática y en el Test de Conceptos Básicos de
Boehm, estableciéndose diferencias significativas entre el pretratamiento y el
postratamiento en ambos grupos. Es decir, el grupo control también mejoró de forma
significativa sin entrenamiento específico. Sin embargo, la comparación entre los dos
grupos arrojó resultados a favor del experimental en las dos variables evaluadas (Nivel
Actual de Competencia Matemática y Conceptos Básicos de Boehm). En esta tabla 3 se
presentan estos resultados después del tratamiento.
30
Grupo
Grupo control
experimental
Media
Media
Significación
bilateral
NAC
16,47
11,80
0,000
Boehm
23,27
19,53
0,007
Tabla 3. Resultados del programa.
Las autoras señalan que los niños instruidos mediante el programa cuya
metodología se ha centrado en la narración y el juego adquieren los conceptos básicos
matemáticos de forma más firme y clara en comparación con quienes han recibido una
instrucción más tradicional. Un análisis más cualitativo destaca la gran aceptación que
tuvo el programa tanto por parte del alumnado como del profesorado.
Para terminar este apartado nos referiremos a dos estudios recientes. En Nueva
Zelanda, Young-Loveridge (2004) han puesto en marcha un estudio para explorar la
efectividad de un programa diseñado para incrementar las destrezas numéricas en niños
de 5 años de edad. El programa se aplicó retirando a los niños de la clase por pareja para
trabajar con un maestro especialista usando libros de números y juegos. Los
participantes fueron 106 niños que tenían una baja puntuación en numeración. Veintitrés
niños participaron en el programa, y 84 sirvieron como grupo de contraste. En el pretest
fueron evaluados en conteo verbal, reconocimiento de patrones, enumeración,
reconocimiento de numerales y adición y substracción con objetos y sin objetos. Las
evaluaciones de los postests incluyeron las mismas tareas que en el pretest pero
aumentadas con más dificultad en los ítemes del mismo tipo (recuperación de hechos
numéricos, ordenar un conjunto de numerales, identificar uno más que, amplitud de
enumeración (contar una espiral de 40 puntos), estrategias de la suma y de la resta,
numerales escritos, elegir el número mayor, contar de 10 en 10, y entender el valor de
posición).
El programa fue aplicado en sesiones de 30 minutos cada día durante 7 semanas.
Cada sesión incluía historias de números, rimas y juegos.
Los resultados señalan que el programa incrementó los niveles de numeración de
los niños del grupo experimental y produjo una ganancia en numeración que era
evidente en el contraste con los niños del grupo de comparación.
31
Cuando dejó de aplicarse el programa, la magnitud del efecto de las ganancias
fue gradualmente disminuyendo con el tiempo, pero los beneficios de la participación
en el programa permanecieron estadísticamente significativos más de un año después de
finalizada la intervención. En la tabla 4 se muestran los resultados. Todas las diferencias
entre el grupo experimental y control son significativas p< 0.05 y p< 0.01.
Media
N
Grupo
Postest 1
Postest 2
Postest 3
(0 meses)
(6 meses)
(15 meses)
23
29,91
38,22
57,91
84
13,16
26,11
52,04
experimental
Grupo control
Tabla 4. Resultados del programa.
La finlandesa Pirjo Aunio y sus colaboradores (Aunio et al., 2005) han estudiado
la posibilidad de incrementar los niveles numéricos de niños de preescolar aplicando los
programas Let’s think! (Adey et al., 2001) y Young children with special educational
needs count, too! Maths! (Van Luit y Schopman, 2000).
Los participantes fueron 45 niños de preescolar con una media de 66,4 meses y
fueron asignados aleatoriamente a un grupo experimental o a un grupo control. El grupo
experimental recibió instrucción dos veces a la semana con una duración de media hora.
El entrenamiento se prolongó durante 9 meses. Una de las sesiones se dedicaba al
programa Let’s think! y la otra al programa Maths!.
El programa Let’s think! está diseñado para niños de 5 y 6 años y comprende 30
actividades, cada una de las cuales requiere unos 30 minutos para ser completada. Estas
30 actividades abarcan un curso escolar. Idealmente, el maestro usa este programa con
un grupo de 6 niños, esto es cada día de la semana un grupo recibe una sesión del
programa de forma que toda la clase sea tratada por el mismo maestro a lo largo de la
semana.
El programa Maths! Fue diseñado para niños de 5 a 8 años con necesidades
educativas especiales y débil sentido numérico. El principal propósito de este programa
es apoyar al niño en el uso de la secuencia numérica oral de forma eficiente, con la idea
de facilitar y hacer más fácil el aprendizaje de las matemáticas básicas en la escuela.
Consiste en 20 lecciones para grupos pequeños de niños, con un plan instruccional
completo que se acompaña de materiales. La cantidad de tiempo que se necesita para
32
cada lección varía de acuerdo con la habilidad de los niños. Se recomienda que una
sesión de una lección dure al menos alrededor de 30 minutos.
Las pruebas utilizadas fueron el Early Numeracy Test (ENT, Van Luit et
al.,1999), con 40 ítemes que evalúan aspectos del desarrollo numérico de los niños
pequeños. Tiene dos escalas: la Relacional y la de Conteo y la puntuación máxima en
cada escala es de 20. La prueba SRT I/Spatial relationship (Shayer y Wylam, 1978) que
mide el razonamiento analógico y la conciencia espacial (puntuación máxima 24) y una
versión abreviada del Geometric analogies (Hosedfeld et al., 1997) cuya máxima
puntuación es 12. Estas tres pruebas fueron aplicadas en tres momentos: pretest, postest
inmediato y postest de seguimiento (seis meses después de la intervención).
La comparación entre el pretest y el postest reveló que el grupo experimental
mejoró más que el grupo control al final del entrenamiento, pero esta diferencia entre
los grupos se había desvanecido seis meses más tarde. Tampoco se encontró diferencias
entre los grupos en la transferencia de las tareas enseñadas a otras similares. En la tabla
5 pueden verse los resultados tomados de Hosedfeld et al., (1997).
Tabla 5. Resultados tomados de Hosedfeld et al., (1997)
5. Programas de intervención de tipo piagetiano.
Una de las formas más importantes de intervención para mejorar los resultados
en aritmética ha sido el entrenamiento en operaciones piagetianas (Piaget, 1952). La
33
idea básica de este tipo de intervención es comprender que los conceptos relacionados
con el número son la razón fundamental o prerrequisitos necesarios para la aritmética.
Un estudio reciente, conducido por Adey et al., (2002) ha investigado los efectos
de un programa de aceleración cognitiva de tipo piagetiano con 300 niños de 1º de
educación primaria comparándolos con 170 niños igualados en una serie de variables.
Este segundo grupo de niños es el grupo control. Las evaluaciones pre y postest incluían
pruebas de conservación (del número, de la cantidad de líquido, de sólidos y de peso) y
un segundo test que evaluaba la conciencia espacial a través de los clásicos dibujos del
nivel de horizontalidad del agua en una botella. El programa de intervención consistió
en el desarrollo de 26 actividades de aceleración cognitiva y 3 de introducción para que
el niño se familiarice con la metodología (escuchar a los otros niños, respetar sus puntos
de vista, encontrar formas de solucionar los conflictos cognitivos, etc.). Cada actividad
programada incluye un esquema de algunas de las operaciones desarrolladas: seriación,
clasificación, secuencias de tiempo, clasificación reglas de juego, puntos de vista,
causalidad, etc. Y tiene una duración aproximada de 30-40 minutos. En cada clase el
maestro desarrolla de lunes a viernes la misma actividad con solo 6 niños, de esa forma
en una semana una clase de 30 alumnos realiza la misma actividad. Los resultados
señalan que el grupo experimental obtiene un a ganancia mayor en desarrollo cognitivo
que el grupo control tanto en las medidas directas con en las medidas de transferencia,
aunque cuando el género fue considerado separadamente los niños del grupo
experimental tienen más ganancia que los del grupo control pero no es una ganancia
significativa. No se encontró interacción con variables de tipo social o lingüísticas. Los
participantes están pendientes de pasar una segunda evaluación al final de 2º de
educación primaria, aunque los autores señalan que en los estudios con alumnos de
secundaria los efectos se mantienen tres años después de su intervención.
En relación con la adquisición de las operaciones formales (que implica la
manipulación de símbolos y la abstracción) en la adolescencia, la investigación parece
confirmar que es menos universal que la adquisición de los conceptos numéricos
tempranos: los que, según la teoría de Piaget, son dependientes de las destrezas de las
operaciones concretas. Hay considerables diferencias individuales y culturales en la
consideración sobre cuándo las operaciones formales son alcanzadas y parece ser que
depende altamente de la escolarización. Una investigación de Adey y Shayer (1994)
señala que un entrenamiento eficaz en operaciones formales tiene un impacto positivo
en el desarrollo matemático en los niños más mayores y en los adolescentes. Esta
34
investigación tenía como meta incrementar los resultados en ciencias; el incremento en
matemáticas fue un producto derivado del entrenamiento en ciencias. Adhami, Johnson
y Shayer han usado el entrenamiento en operaciones formales más específicamente para
aumentar el aprendizaje matemático (Cognitive Acceleration in Mathematics Education,
o CAME (Adhami, Johnson y Shayer, 1998). La investigación de Adey et al. (1994) está
dirigida a entrenar a niños de 1º y 2º en operaciones concretas, y en particular
proporcionando a los niños oportunidades de usar estas operaciones en contextos
matemáticos: e.g. con relación al razonamiento proporcional. El programa CAME está
destinado a todos los niños más que a los que tienen dificultades matemáticas.
Alguna intervención con niños con DAM de tipo piagetiano con entrenamiento
en operaciones concretas ha sido poco exitosa en mejorar los resultados en aritmética
(Ostad, 1999). Sin embargo, las aproximaciones que combinan entrenamiento
piagetiano con otras formas de intervención logran resultados significativos (e.g. Van de
Rijt y Van Luit, 1998). En este estudio (Van de Rijt y Van Luit, 1998) seleccionaron de
una muestra de 505 niños a 136 que participaron en el experimento. Fueron
seleccionados con base en una puntuación por debajo del 45% de las respuestas
correctas en el Early Numeracy Test (ENT, Van Luit et al.,1999). Los 136 niños fueron
divididos en 4 grupos, dos experimentales y dos control. Uno de los grupos
experimentales recibió instrucción guiada y el otro instrucción estructurada. Los grupos
experimentales fueron sometidos al programa The Additonial Early Mathematics (AEM)
program específicamente diseñado para niños con dificultades en el aprendizaje de las
matemáticas entre 4-7 años. El programa enfatiza aspectos piagetianos y aspectos
relacionados con el conteo. Se compone de 26 lecciones que se imparten en sesiones de
media a una hora de duración y comprende los números del 1 al 20. Las lecciones están
divididas en varios temas relacionados con la vida familiar del niño de forma que le
resulten útiles y significativas (tiendas, correos, animales, etc.). Los resultados
encontrados no señalan diferencias entre los dos procedimientos instruccionales
utilizados (Insrucción guiada e Instrucción estructurada). Los dos grupos obtuvieron el
mismo nivel. Por tanto, no dan respuesta a la pregunta de qué forma de instrucción es
más conveniente para niños con pobres rendimientos en matemáticas. Una explicación
puede ser la falta de seguimiento estricto del método instruccional de la instrucción
guiada, parece que los niños no son capaces de resolver ningún problema si no reciben
la instrucción directa del profesor.
35
Recientemente, Botha, Maree y Witt (2005) han analizado las características del
profesorado de Sudáfrica en relación al desarrollo en sus clases de procesos y
estrategias matemáticas (algunas de tipo piagetiano) con niños pequeños y cómo las
integran en la enseñanza. Los resultados indican que esta integración no es planificada
por los profesores. Señalan las posibles diferencias, aunque no mostradas de forma
empírica, que se encontrarían en los niños en función de que sus profesores realizaran
esta integración de características del enfoque piagetiano en el desarrollo de las clases
de matemáticas en los primeros cursos de la educación primaria.
EL PROGRAMA “Jugando con Números”
El trabajo que se está llevando a cabo con el software Jugando con números, se
enmarca dentro de un proyecto de investigación desarrollado por el grupo de
Investigación HUM 634 del Departamento de Psicología de la Universidad de Cádiz
(Navarro et al., 2005).
El software Jugando con Números, es un programa diseñado para desarrollar,
adiestrar y reforzar habilidades de pensamiento matemático. Las actividades del
programa se agrupan en tres grandes bloques, en función del tipo de habilidad
matemática que trate de implementar.
BLOQUE I: Aprendiendo a Contar.
El primer grupo de actividades centradas en las estrategias de conteo se presenta
bajo el título Aprendiendo a Contar. En el se pretende que el sujeto, al ir superando los
distintos niveles del programa, desarrolle una serie de estrategias de conteo: el principio
de correspondencia uno a uno, de irrelevancia del orden, de abstracción y de
cardinalidad.
Este bloque de actividades consta de una secuencia de 28 ejercicios, presentados
de forma ordenada, atendiendo a su nivel de dificultad. Dicho nivel de dificultad,
establecido en función del número de elementos que el sujeto debe contar. Los primeros
ejercicios alcanzan un máximo de 5 elementos que contar, ampliándose en los
siguientes niveles hasta 9, 15 y 20 elementos.
En todos los casos, lo que se pide al niño es que cuente una serie de elementos
que aparecen en la pantalla.
BLOQUE II: Cadenas.
36
El segundo bloque, denominado Cadenas, trabaja el conocimiento y dominio de
la secuencia numérica para llegar a tener destrezas en fluidez de conteo: facilidad para
contar hacia delante, hacia atrás, etc. (se tata de desarrollar los niveles establecidos por
K. Fuson: cadena irrompible, cadena rompible, cadena numerable y cadena
bidireccional).
Este bloque consta de 20 ejercicios, que se agrupan de forma ordenada en 2
grandes apartados. En el primero, se presentan actividades con la secuencia numérica
hasta el 10, mientras que en el segundo, el límite de dicha secuencia se ve ampliado
hasta el 20.
En cada uno de ellos, lo que se pide al alumno es que conduzca la figura de un
marciano a través de una cadena de casillas, en cada una de las cuales, figura un número
componiendo la secuencia numérica.
BLOQUE III: Calcular.
En el tercer bloque del programa se pretende acercar al niño a las operaciones
básicas, sentando las bases para el desarrollo de estrategias más avanzadas.
En este bloque encontramos solamente tres actividades concretas: Contar, Sumar
y Restar.
En el ejercicio Contar, de manera semejante a las actividades propuestas en el
bloque Aprendiendo a Contar, se presentan una serie de elementos que el sujeto debe
contar, con el añadido que aquí, una vez contados los elementos, debe marcar en un
panel adjunto, el número de elementos contados, por lo que aquí no solo se refuerza el
dominio de las estrategias de conteo, sino que además se trabaja el reconocimiento de
las grafías numéricas hasta el 20.
Los ejercicios de Sumar y Restar son similares en su presentación. En ambos, se
trata de completar una caja de lápices, introduciendo tantos como se piden, pero con una
salvedad. En Sumar, se pide al sujeto que introduzca un número determinado de lápices
en una caja donde ya hay algunos, para que luego efectúe una suma para saber cuantos
lápices hay en total. En Restar, también hay lápices en la caja, pero esta vez lo que se
pide al sujeto es que coloque lápices en ella hasta que haya un determinado total, por lo
que debe efectuar un calculo anterior.
En la aplicación de este software se ha seguido un diseño de investigación de
tipo pretest - postest. Los participantes son 128 niños y niñas que cursaban el 3º curso
de Educación Infantil, pertenecientes a tres centros escolares de la ciudad de Cádiz.
37
En el pretest todos los participantes fueron evaluados con la aplicación de tres
pruebas.
1. El ENT (The Utrech Early Numeracy Test, Van Luit et al., 1999), cuya
versión española experimental TEMTU –Test de Evaluación Matemática Temprana de
Utrech (Formas, A, B y C)- ha sido desarrollada por los componentes del grupo de
investigación HUM 634 del Departamento de Psicología de la Universidad de Cádiz.
2. El TEDI-MATH (Grégoire et al., 2005) para el diagnóstico de las
competencias básicas en matemáticas en un rango de edad de 4 a 8 años. Se compone de
cinco subtests (contar, numerar, comprensión del sistema numérico, operaciones
lógicas, operaciones y estimación del tamaño) con una serie de pruebas y subpruebas
para evaluar el desarrollo matemático.
Estos dos tests evalúan el conocimiento numérico que constituye la base sobre la
que se construirá el aprendizaje escolar de las matemáticas.
3. Matrices Progresivas de Raven (Escala de color). Es un test clásico de
evaluación de inteligencia factor “g”.
Tomando como base los datos obtenidos en las tres pruebas utilizadas, los
participantes fueron divididos en tres grupos: un grupo experimental (GE) y dos grupos
de control. Uno de los grupos de control (GC1) está compuesto por alumnos de los
mismos centros en los que se encuentran los niños y niñas del grupo experimental; el
otro grupo control (GC2) corresponde a los participantes de un tercer centro sin ningún
contacto con los componentes del grupo experimental.
El grupo experimental trabaja semanalmente con el programa “Jugando con
Números”, mientras que el primer grupo control, realiza el mismo número de sesiones
de trabajo con el ordenador pero ejecutando juegos de contenido no matemático. El
segundo grupo control no participa en sesiones de ordenador, solo sigue su desarrollo
curricular estándar.
La aplicación del programa “Jugando con números” forma parte del proyecto
“Diseño de aprendizaje numérico y enseñanza asistida por ordenador’, es diseñado para
llevarse a cabo durante dos cursos académicos completos. En estos momentos se
encuentra a punto de finalizar, por lo que solo expondremos un avance de resultados.
El desarrollo de nuestra intervención durante el primer año, se planificó para que
cada niño realice una sesión de 30 minutos por semana, por parejas en el caso de los
niños del grupo experimental y en equipos de 3 a 5 niños en el caso de pertenecer al
grupo control que también trabaja con el ordenador.
38
En este primer año, el número total de sesiones para la aplicación del programa
ha sido de 15.
El seguimiento de la evolución de cada sujeto se planificó de forma que fuese
individualizado y se llevará a cabo mediante registros diarios en una ficha de
observación, diseñada a tal efecto, donde quedan anotados: número de sesión, fecha y
hora, actividades realizadas y observaciones de la realización y evolución del niño.
Como ya hemos señalado con anterioridad, el proyecto se encuentra en estos
momentos en su segundo año de aplicación, por lo que los resultados son parciales.
Presentamos los estadísticos descriptivos entre el pretest (octubre-noviembre de 2004) y
el postest (junio de 2005).
La comparación se establece solo con el ENT (The Utrech Early Numeracy Test;
Formas A en el pretest y B en el postest).
Grupo Experimental
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
TEMTU A 2004
38
5
35
15,5
7,4
TEMTU B 2005
38
14
38
25,8
6,5
Incremento de la media en 10 puntos (aprox.)
Grupo Control 1
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
TEMTU A 2004
33
5
31
15,4
7,2
TEMTU B 2005
33
12
35
23,5
6,1
Incremento de la media en 8 puntos (aprox.)
Grupo Control 2
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
TEMTU A 2004
56
7
36
20,7
6,6
TEMTU B 2005
56
13
37
25,7
5,9
Incremento de la media en 5 puntos
Tabla 6. Resultados de la comparación se establecida solo con el ENT (The
Utrech Early Numeracy Test; Formas A en el pretest y B en el postest).
De este primer análisis se desprende la idea de que el incremento de dichas
medias es mayor en el grupo experimental (10 puntos) que en los grupos control 1 (8
puntos) y control 2 (5 puntos). Esta comparación inicial permite tener expectativas de
39
que el postest que se realice en junio de 2006 mostrará avances significativos en los
participantes del grupo experimental en comparación con los dos grupos de control. El
postest incluirá la aplicación del TEMTU (ENT) en su forma C y una nueva aplicación
del TEDI MATH. Una vez realizada esta primera comparativa, podemos plantear el
análisis de la evolución de los sujetos más destacados (por arriba y por abajo).
La presentación de estos estadísticos descriptivos nos ofrece una idea general de
las evoluciones de la muestra, pero un análisis más detallado de los incrementos de cada
niño permite comprobar que los que fueron catalogados como de nivel bajo en las
puntuaciones del tets inicial (Forma A del test), han experimentado un incremento más
destacado en sus puntuaciones directas, que aquellos niños que obtuvieron puntuaciones
altas (Forma B del test). Asimismo, los niños catalogados como de nivel bajo de los
grupos de control, experimentaron un crecimiento menor que los pertenecientes al grupo
experimental. Esto pondría de manifiesto la importancia que el programa “Jugando con
Números” está teniendo en la mejora de los resultados. Los análisis posteriores nos
permitirán confirmar o rechazar estos resultados preliminares.
6. Programas de intervención en la Educación Primaria.
Intervenciones en grupo en dificultades específicas para la aritmética
Askew, Bibby y Brown (2001) han desarrollado una técnica para intervenir con
grupos pequeños entrenando en el uso de “estrategias de hechos derivados”: uso de
principios aritméticos como la propiedad conmutativa y la asociativa para trabajar en
nuevos hechos aritméticos conociendo otros. El desarrollo y uso de cada estrategia ha
sido cada vez más reconocida en la enseñanza de las matemáticas como un todo. Sin
embargo, hay algunos niños que no desarrollan estas estrategias. Con frecuencia
(aunque no siempre) hay entre los niños quienes conocen relativamente pocos hechos
aritméticos y dependen de sus estrategias de conteo. Sus fallos para conocer hechos
numéricos (las combinaciones numéricas básicas) pueden impedirle su desarrollo y
almacenamiento de estas combinaciones, que pueden interferir con el desarrollo de
estrategias de hechos derivados.
Más que enseñar a memorizar los hechos numéricos básicos como se hace
tradicionalmente, Askew et al., (2001) desarrollaron un programa que enfatiza el trabajo
con estrategias para derivar hechos numéricos conociendo otros hechos numéricos. Los
maestros trabajan con grupos pequeños (cuatro en cada grupo) de tercer curso (de 7 a 8
años) quienes habían alcanzado el denominado nivel 2C que quiere decir que los niños
40
estaban por debajo de 7 en el nivel evaluado a través del Test Nacional Curricular. Los
niños recibieron la instrucción una vez a la semana durante 20 semanas. Eran 48 niños
en el grupo experimental, quienes fueron comparados con 48 niños del grupo control.
Todos los niños fueron diagnosticados con un test de aritmética diseñado por los
investigadores, justo antes de la intervención, y poco después de que se completara la
intervención. Los niños del grupo experimental incrementaron significativamente más
que los del grupo control, tanto en exactitud como en el uso de los hechos numéricos
conocidos y derivados más que utilizar los recursos de estrategias de conteo.
También Miranda Casas y Gil Llario (2002b) han desarrollado un programa para
la recuperación de las dificultades de aprendizaje del cálculo por medio del desarrollo
de una instrucción estratégica explícita con niños que tienen alto riesgo de experimentar
dificultades de aprendizaje de las matemáticas. El estudio compara la eficacia
diferencial de los dos componentes metodológicos más utilizados en la reeducación de
las habilidades de cálculo; a saber, la instrucción directa y las autoinstrucciones.
Asimismo,
intenta
comprobar
si
las
autoinstrucciones
como
estrategia
de
autorregulación son suficientes en sí mismo para resolver las dificultades que
manifiestan los niños con dificultades de aprendizaje en el cálculo o si, debido a sus
dificultades para recuperar hechos numéricos básicos, la práctica efectiva es un
componente necesario para que se produzca una mejora realmente significativa en su
ejecución.
Los participantes fueron 27 niños de tercero de educación primaria con
dificultades de aprendizaje del cálculo. Fueron distribuidos de manera aleatoria en tres
condiciones experimentales: Grupo 1, entrenamiento autoinstruccional y práctica
efectiva, grupo 2, entrenamiento autoinstruccional, y grupo 3, instrucción directa.
Fueron evaluados con una prueba de rapidez de cálculo de sumas y restas de R. Canals
y una prueba ad hoc que consta de diez apartados de sumas y restas con dos ítemes cada
uno, de manera que la puntuación máxima es de 20 puntos.
Los programas aplicados son el entrenamiento autoinstruccional y la instrucción
directa. El entrenamiento autoinstruccional es un acercamiento cognitivo-conductual
que consiste en utilizar el entrenamiento mediado verbalmente para fomentar el
autocontrol a través del uso de auotverbalizaciones como estímulos discriminativos y
refuerzos durante el desarrollo de la tarea. El programa autoinstruccional se compuso de
7 sesiones, con una duración de 30 minutos. El grupo de práctica efectiva tenía asignada
tarea para casa. En la condición de instrucción directa se utilizó el procedimiento
41
habitual aplicado por el maestro en su clase, que no seguía ninguna indicación por parte
de los investigadores. Este procedimiento consistía en una explicación en la pizarra de
los mismos contenidos trabajados en la condición experimental (sumas y restas con y
sin llevadas) y posteriormente práctica independiente, donde no se minimizaba el error.
Los resultados fueron los siguientes: en el grupo que recibió autoinstrucción más
práctica efectiva prácticamente se doblaron las medias en las tres variables evaluadas:
cálculo ad hoc, sumas y restas en la prueba de Canals. Los resultados también fueron
significativos en el grupo de autoinstrucción y menos importantes en el grupo de solo
instrucción directa. La comparación entre los tres grupos arrojó resultados a favor del
grupo 1 con respecto a los otros dos. Las conclusiones del trabajo sugieren que la
autorregulación más la práctica efectiva puede ayudar a superar las dificultades de
recuperación de los hechos numéricos básicos que es un rasgo definitorio de las
personas con dificultades de aprendizaje de las matemáticas.
Pinteño et al. (2003) aplicaron a una muestra de 16 alumnos de cuarto y quinto
de educación primaria un programa de entrenamiento en resolución de problemas
aritméticos de estructura aditiva y multiplicativa. Los participantes fueron evaluados
con una batería de problemas aritméticos elaboradas ad hoc. La batería tiene dos
formas: A para el pretest y B para el postest después de la intervención. Cada forma se
compone de 62 problemas; de estructura aditiva (cambio, combinación, igualación y
comparación) y de estructura multiplicativa (isomorfismo de medidas, esclares grandes
y pequeños y producto cartesiano). 31 de los problemas contienen números pequeños y
31 números grandes (mayores de 20). La intervención consistió en la aplicación de un
Programa Instruccional que considera una serie de variables en la resolución de
problemas: elementos manipulativos, gráficos y simbólicos, diagramas gráficos,
reescritura de los enunciados con ayudas textuales, heurística general en la resolución
de problemas, etc. Las sesiones de aplicación del programa fueron colectivas y se
desarrollaron en los dos últimos trimestres del curso 2000-2001. Los resultados
encontrados señalan la mejora significativa de los participantes sobre todo en los
problemas considerados, dentro de cada categoría, como difíciles o muy difíciles. Los
autores señalan como una de las principales limitaciones de este estudio el que no
existiera grupo de comparación para evaluar de forma más precisa la eficacia del
entrenamiento realizado.
Intervención individual en dificultades de aprendizaje de las matemáticas.
42
Una de las formas de intervenir en dificultades de aprendizaje de las
matemáticas es dar cuenta de técnicas y resultados basados en atención individual en los
distintos componentes de la aritmética. Algunos de las técnicas que mencionaremos son
totalmente individuales; alguna incluye el trabajo en grupos pequeños al menos en parte
del trabajo, pero incluyen valoración individual.
Programas de intervención individualizada para niños de educación primaria.
Denvir y Brown (1986) realizaron un proyecto basado en una jerarquía de
habilidades matemáticas que han investigado (Denvir y Brown, 1986). Primero
realizaron un estudio piloto longitudinal que se llevó a cabo durante tres meses con siete
alumnos. Fueron enseñados a relacionar unas destrezas con otras con una aproximación
a la jerarquía que los autores construyeron: por ejemplo, si un niño puede sumar con la
estrategia “contar todo” se le enseña a sumar con la estrategia “contar a partir del
primero de los sumandos”. El proceso de enseñanza se realiza presentando a los niños
problemas, con objetos para poder manipularlos y animando a los niños a discutir entre
ellos y reflexionar sobre los problemas. Todos los niños progresaron; además hicieron
más progreso durante los cinco meses inmediatos al estudio longitudinal.
El estudio principal fue llevado a cabo durante un período de tres meses con
doce estudiantes que habían recibido una baja puntuación en la valoración diagnóstica
(Denvir y Brown, 1986).
Fueron enseñados en pequeño grupo (seis alumnos en cada grupo) dos veces a la
semana durante seis semanas en sesiones de cinco minutos. Se les animaba a usar
múltiples métodos para resolver los problemas planeados (e.g. resolver problemas
aritméticos con una línea numérica, con calculadora, usando objetos concretos como los
bloques de Dienes, en forma escrita, etc.) ya discutir estos métodos y cómo y porqué
dan las mismas respuestas. Casi todas las conversaciones eran entre los adultos y los
niños; los niños raramente discutían sus métodos entre ellos.
Los niños incrementaron sus resultados. Los niños de este estudio tuvieron más
ganancias que los del estudio piloto. Los niños enseñados en grupos parecían más
relajados y positivos que los que habían sido enseñados individualmente; pero con
frecuencia estaban distraídos; era más difícil asegurar que cada niño estaba participando
cuando ellos podían "esconderse detrás" de los otros; y el dominio de la destreza o nivel
en cada niño no podía ser precisado.
Es interesante resaltar que los niños en ambos estudios no siempre aprendían lo
que les era enseñado, los intentos de que realizaran las tareas enseñadas no daban el
43
resultado esperado. En otras palabras, el resultado de la intervención era que los niños
adquirían nuevas destrezas, pero no siempre la destreza específica que se le había
enseñado.
En 1998, Trundley (1998) llevó a cabo un proyecto de intervención
individualizada para el desarrollo de las estrategias de hechos derivados. Se basó en la
investigación de Askew, Bibby y Brown (2001) sobre la importancia de estimular esta
estrategia en los alumnos que tienen baja puntuación en matemáticas. En particular, se
basaba en la teoría de que el uso de los "hechos numéricos básicos" y las estrategias de
hechos derivados se refuerzan uno a otro. Mientras más hechos numéricos conozcas,
más puedes derivar; algunos hechos que conoces llegan a ser hechos conocidos.
Algunos niños dependen de forma persistente de las estrategias de conteo, yeso hace
que no lleguen a un conocimiento conceptual de las operaciones aritméticas. Esta es la
tendencia de los niños con dificultades de aprendizaje de las matemáticas.
En este proyecto se trabajó con dos grupos de 12 profesores en Devon
(Inglaterra). El primer grupo se reunión en una sesión semanal full-day») durante 20
semanas en el otoño y primavera de 1997/1998, y el segundo grupo en sesiones de
medio día cada sesión. Cada maestro seleccionaba seis niños en su clase que estuvieran
específicamente por debajo en su rendimiento e matemáticas. Todos los niños eran de
3° y 4° Y fueron evaluados al principio y al final del proyecto usando un test oral. Los
seis niños de cada maestro fueron seleccionados con base en: (a) la valoración del
maestro; (b) el test oral y (c) el Key Stage 1 del Nacional Currículo Test.
Cada niño recibió una sesión semanal de 20 minutos con su profesor en una
habitación con espejo, eran observados por otros profesores en la habitación de al lado a
través de un espejo unidireccional. Cada sesión consistía en:
2-3 minutos practicando destrezas de conteo.
2 minutos revisando los hechos numéricos conocidos.
10-12 minutos practicando la estrategia de hechos derivados a partir de los
hechos conocidos.
2 minutos jugando con números grandes o trabajando con un problema.
Los maestros tomaban notas de las sesiones en las que eran observadores, y
discutían con el profesor que llevaba la sesión con los niños. Todos los profesores del
proyecto tenían sus propias sesiones y también eran observados por los otros maestros.
Todos leían trabajos o artículos sobre la enseñanza de la numeración y su
evaluación de los investigadores Askew, Atkinson, Straker y otros.
44
Los profesores del primer grupo, los de todo el día, adicionalmente abordaban
por las tardes discusiones y lecturas relacionadas con la enseñanza de las matemáticas.
Los profesores también fueron observados en sus clases dos veces durante el
desarrollo del proyecto, las observaciones fueron analizadas y se dio fed back a los
profesores.
Los niños fueron nuevamente evaluados 5 meses después de empezar el
proyecto, mostrando un considerable incremento. En relación con el conteo (counting),
fueron más capaces de contar en diferentes etapas, hacia adelante y hacia atrás. En el
seguimiento de la intervención, dieron un 70% de respuestas correctas y con fluidez a
cuestiones que previamente no eran capaces de realizar, y un 80% de preguntas en que
ellos daban respuestas casi correctas pero con algunos errores. En relación al "cálculo",
eran capaces de calcular el 65% de los problemas que anteriormente eran incapaces de
resolver; usando la estrategia de hechos derivados o los hechos numéricos en un 40% de
los problemas que resolvían antes contando objetos; y usando hechos derivados o
conocimiento de hechos en el 68% de los problemas que antes resolvían contando de
uno en uno.
Los profesores participantes estaban entusiasmados con el proyecto y sus
comentarios mostraban la aceptación del trabajo en pequeño grupo y la importancia de
la enseñanza de las estrategias de hechos derivados.
Kaufmann, Handl y Thony (2003) en Austria llevaron a cabo un estudio piloto
de un proyecto de intervención para niños con dificultades de la aritmética. El proyecto
incluye componentes de hecho, procedimentales y conceptuales. Seis niños de entre 6 y
7 años y con diagnóstico de discalculia del desarrollo tomaron parte en el estudio.
Recibieron tres sesiones semanales individuales de 25 minutos de duración y
durante seis meses. En la intervención se entrenaba determinados componentes de las
dificultades de la aritmética, empezando con los principios del conteo; continuando a
través de la lectura y escritura de números; aprendizaje de las combinaciones numéricas
de suma hasta 10; aprendizaje de los hechos numéricos básicos de la suma y de la resta;
trabajo con la relación inversa entre la suma y la resta; suma de los números más allá de
10; tratamiento con el sistema de base 10; aprendizaje de los hechos multiplicativos; y
aprender los procedimientos de división (véase la figura 1). Fueron comparados con 18
niños sin dificultades matemáticas en procesamiento numérico y en una batería de
cálculo. En conjunto los efectos fueron grandes den el grupo de intervención.
45
Figura 1. Módulos del programa de intervención tomados de Kaufmann, Handl y Thony
(2003).
7. Algunos programas específicos.
Hay dos estudios a gran escala que merecen ser destacados ya que han sido
desarrollados de forma independiente. Están basados en teorías cognitivas y son
programas de intervención individualizada que se dirigen al desarrollo de la numeración
en los niños, son el Mathematics Recovery Programme (Wright, Martland y Stafford,
2000; Wright, Martland, Stafford y Stanger, 2002), y el Numeracy Recovery
Programme (Dowker, 2001). Hay diferencias importantes entre los dos programas. La
más destacada es que el Mathematics Recovery Programme tiene características más
intensivas que el Numeracy Recovery y pone más énfasis en los métodos de conteo y de
46
representación del número, y el Numeracy Recovery insiste más en la estimación y en el
uso de estrategias de hechos derivados. Desde un punto de vista más teórico, el
programa Mathematics Recovery pone más énfasis en un más amplio desarrollo en
estadios, mientras que el Programa Numeracy Recovery es un programa de gran alcance
envolviendo forma independiente las destrezas y procesos. A pesar de estos rasgos
distintivos, los dos programas tienen características comunes además de ser
individualizados y componenciales. Los dos programas se dirigen a edades que con
frecuencia son olvidadas en los primeros cursos de primaria (6-7 años); ambos tratan
principalmente con números y aritmética más que en otros aspectos de las matemáticas;
y ambos dan mucha importancia a la colaboración entre investigadores y maestros.
El Programa Mathematics Recovery
El origen del Programa Mathematics Recovery se encuentra en Australia y fue
diseñado por Wright y sus colegas (Wright et al., 2000, 2002). En este programa, los
maestros proveen de instrucción individualizada a niños de 6 y 7 años con bajos
resultados en matemáticas. Los niños reciben 30 minutos de instrucción individualizada
por día durante un período de 12 a 14 semanas. La elección de los tópicos del programa
está basada en un marco teórico de trabajo del número (Learning Framework in
Number) creada por los investigadores. Dividen el aprendizaje de la aritmética en cinco
amplios estadios: emergente (el simple conteo, pero pocas destrezas numéricas),
perceptual (puede contar objetos y algunas veces sumar conjuntos de pequeños objetos
que están presentes); figurativo (puede contar bien utilizando la estrategia l/contar todo//
para sumar); counting-on (puede sumar con la estrategia de contar a partir del número
más grande- counting-on, y restar contando hacia atrás; puede leer numerales hasta el
100 pero tiene pequeñas dificultades para entender el valor de posición) y fácil (conoce
los hechos numéricos básicos; y son capaces de usar la estrategia de los hechos
derivados; pueden multiplicar y dividir con la estrategia de sumas repetidas pero tiene
dificultades para las llevadas). Los niños son evaluados antes y después de la
intervención, en un número de claves determinadas. La intervención se basa en los
resultados de la evaluación inicial en cada uno de los tópicos evaluados. Los tópicos se
seleccionan en función del estadio en el que el niño se encuentra (véase el cuadro 1).
47
Niveles en el desarrollo de la secuencia numérica hacia adelante.
Nivel 0.Emergencia del conteo hacia adelante.
Nivel 1. Conteo inicial hasta 10.
Nivel 2. Conteo intermedio hasta 10.
Nivel 3. Conteo fácil hasta 10.
Niveles en el desarrollo de la secuencia numérica hacia atrás.
Nivel 0. Emergencia del conteo hacia atrás.
Nivel 1. Conteo inicial hacia atrás desde 10.
Nivel 2. Conteo intermedio desde 10.
Nivel 3. Conteo fácil desde 10.
Niveles en el desarrollo de la identificación numérica.
Nivel 0. Inicio de la identificación numérica
Nivel 1. Numerales hasta 10.
Niveles de aprendizaje de la aritmética temprana.
Nivel 0.Inicio del conteo.
Nivel 1. Conteo perceptual.
Nivel 2. Conteo figurativo.
Nivel 3. Inicio de la secuencia numérica.
Nivel 4. Intermedio en la secuencia numérica.
Nivel 5. Fácil en la secuencia numérica.
Niveles de desarrollo de las estrategias aritméticas con decenas.
48
Nivel 1. Iniciación de la decena.
Nivel 2. Conocimiento intermedio de la decena.
Nivel 3. Conocimiento fácil de la decena.
Cuadro 1. Componentes del Programa Mathematics Recovery diseñado por Wright et
al., (2000, 2002).
Los tópicos siguientes ponen más énfasis en aritmética y menos en el conteo. A
pesar de esta división en estadios, el programa reconoce y se adapta al hecho de que
algunos niños pueden llegar más tarde a un estadio que otros. Hay muchas actividades
que se usan para diferentes tópicos y estadios con el Programa Mathematic Recovery.
Por ejemplo, las actividades que tratan con patrones temporales en el estadio Emergente
incluye conteo del número de movimientos (shopping) que un adulto hace con las
manos; produciendo cuando se le solicita los movimientos o palmadas con sus manos,
contando el número de veces que el adulto toca las palmas; tocar las palmas el número
de veces que se le solicite. Las actividades que tratan con secuencias de números en
Counting-On incluye que los niños cuenten tarjetas con conjuntos de 5 puntos; cuenten
los puntos de de cada nueva tarjeta presentada; contar hasta 30 de 5 en 5 sin contar los
puntos; contar hasta 30 de 5 en sin tarjetas; contar hacia atrás de 5 en 5 desde 30,
primero con y luego sin las tarjetas.
Los niños que participaron en el programa incrementaron significativamente sus
puntuaciones en las evaluaciones realizadas en los tópicos mencionados. Los profesores
participantes encontraron la experiencia muy útil; sentían que habían ayudado a los
niños a entender mejor el desarrollo de las matemáticas; y usaban las ideas y técnicas
del programa en sus clases.
Durante el período evaluado (1992-1997), los niños que participaron en el
programa puntuaron por encima del 75% de los estudiantes de sus clases a pesar de que
sus resultados, antes de la intervención, estaban por debajo de los promedios en algunos
de los tópicos antes de la intervención. Hasta este momento las evaluaciones del
programa no han sido estandarizadas en formato test; esto sería deseable para una
próxima etapa, de esa forma los resultados del programa serían fácilmente comparables
con los de otros programas.
El Programo Numeracy Recovery
El Programa Numeracy Recovery (Dowker, 2001, 2003, 2005), fue en principio
desarrollado para niños de entre 6 y 7 años en escuelas de Oxford. Está organizado para
49
trabajar con niños identificados por sus maestros como niños con problemas
aritméticos. 175 niños (alrededor del 15% de los niños en las clases implicadas)
empezaron la intervención. Estos niños fueron evaluados en nueve componentes de la
numeración temprana. Los niños recibieron una sesión semanal individual de media
hora de duración en los componentes en los que se encontró que tenían dificultades. Las
intervenciones fueron realizadas por los maestros, usando las técnicas propuestas por
Dowker (2001). Los profesores eran relevados por otros profesores medio día a la
semana. Cada niño permanece unas treinta semanas en el programa, aunque el tiempo
puede ser más largo o más corto, dependiendo de las evaluaciones de los maestros.
Nuevos niños van incorporándose al proyecto de forma periódica. Las
intervenciones están basadas en un análisis particular de las subdestrezas que sirven al
desarrollo de las tareas aritméticas, con remediación de áreas específicas en las que los
niños muestran problemas. Los componentes del programa se seleccionaron por los
investigadores discutiendo con los maestros de los niños que indicaron qué era
importante en el desarrollo numérico temprano. Los componentes fueron los siguientes:
(1) Procedimientos de conteo.
(2) Principios de conteo: especialmente el de irrelevancia del orden que implica
el hecho de que un conjunto de objetos puede contarse en diferente orden y siempre
resulta el mismo número; y la habilidad para predecir el resultado de la suma o de la
resta de un objeto a un conjunto dado.
(3) Escribir los símbolos de los números.
(4) Entender el valor de posición de un número en las operaciones aritméticas.
(5) Problemas aritméticos verbales.
(6) Traslación entre problemas aritméticos presentados en forma concreta, verbal
y numérica (e.g. ser capaz de representar la suma de 3 + 2 = 5 añadiendo 3 cuentas a 2
cuentas, o con palabras en forma de problemas como "Juan tiene 3 dulces y su amigo le
da 2 más, por tanto, el tiene ahora 5”).
(7) Estrategias de hechos derivados para la suma y la resta: i.e. la habilidad para
derivar y predecir hechos numéricos a partir de otros conocidos; por ejemplo, usando
principios aritméticos como la propiedad conmutativa y asociativa, la suma/resta como
operaciones inversas, etc.
(8) Estimación aritmética: la habilidad para aproximar y responder a problemas
aritméticos, y evaluar la falta de razonamiento en la estimación aritmética.
(9) Recuperación de los hechos numéricos de la memoria.
50
Los procedimientos de intervención utilizan programas ya publicados: por
ejemplo materiales de Hopkins (1997a,b) y Straker (1996) forman parte de la
intervención para la recuperación de hechos numéricos de la memoria. También se han
diseñado materiales específicos diseñados para el proyecto. Por ejemplo, la valoración e
intervención para el componente 6 (Traslación) incluye tareas de transformación en
todas las posibles direcciones entre distintos formatos de números (sumas escritas);
formato concreto (operaciones con cuentas); y verbal (problemas verbales) y todo ello
para la suma y la resta. En la intervención, los niños muestran los mismos problemas en
diferentes formas, y tienen que mostrar que dan los mismos resultados. Son animados a
representar los problemas de forma concreta y verbal, también de forma concreta.
Para el componente de estimación (Componente 8) se le presentan al niño una
serie de problemas con distintos grados de dificultad y estimación de estos problemas
por personajes imaginarios (Tom y Mary). A los niños se les pide (a) evaluar como
"Tom y Mary" estiman en unas caras somientes de una escala de cinco puntos desde
"Muy bueno" a "muy tonto"; y (b) sugerir "buenas adivinanzas" para estos problemas
entre ellos. Se les anima a dar razones para sus evaluaciones.
Los niños del proyecto, junto con sus compañeros han pasado varias
evaluaciones, con intervalos de 6 meses, con tests estandarizados: entre ellos, el British
Abilities Scales Basic Number Skills subtest (1995), y el subtest de Aritmética del
WISC.
Los resultados señalan un incremento significativo en el grupo experimental en
las distintas evaluaciones en los tests aplicados. Cien de los 146 niños fueron evaluados
de nuevo un año después, y siguen manteniendo los incrementos adquiridos con el
entrenamiento. Aunque la autora (Dowker, 2005) señala que la evaluación definitiva del
programa no está acabada. Para mejorar los procedimientos de evaluación se comparan
los niños con otros de la misma escuela y se realizan comparaciones una vez realizada
la intervención con grupos de la misma edad al empezar el tratamiento; e.g. los niños
que al empezar el tratamiento tienen entre 6 años y 6 años y 3 meses son comparados,
tras recibir el tratamiento, con niños de 6 años y 6 meses a 6 años y 9 meses. Las
comparaciones entre el primer grupo 6 meses después de empezar la intervención y el
segundo grupo de la misma edad antes de realizar la intervención hace posible estimar
los efectos de la intervención en los niños en condiciones educativas idénticas.
8. Implicaciones educativas y perspectivas futuras.
51
La investigación revisada apoya el punto de vista de que los niños con
dificultades de aprendizaje de las matemáticas son altamente susceptibles de
intervención. Los trabajos con los niños que son simplemente "malos en matemáticas"
son menos. Los trabajos realizados individualmente con niños y niñas que tienen fallos
en aritmética tienen un impacto significativo en sus puntuaciones.
La cantidad de tiempo que se da a los niños no necesita ser, en muchos casos,
muy amplia para ser efectiva. Con poca cantidad de trabajo individualizado puede
conducir a los niños al punto en el que pueda aprovechar mucho mejor la enseñanza
general que recibe.
1. Se necesitan nuevas investigaciones que permitan mostrar si sería mejor
diseñar formas de instrucción individualizada que sean más efectivas para mejorar los
resultados de los niños en aritmética, en relación con otras intervenciones
individualizadas en lectura, o intervenciones en matemáticas que son aplicadas de forma
general pero no inciden en los puntos fuertes o débiles de los niños. Es también
deseable más investigación entre diferentes formas de intervención (e.g. edad de inicio
de la intervención; grado de intensidad; componentes sobre los que se actúa de manera
prioritaria) para comprobar lo que es apropiado para diferentes grupos de niños.
2. Una cuestión importante al comparar diferentes programas es plantear la
necesidad de usar formas similares de evaluación y diagnóstico. Actualmente, como
señalan Kroesbergen y Van Luit (2003) y Rohrbeck et al., (2003), es difícil comparar
programas, porque muchos investigadores han trabajado de forma aislada, ignorando
unos programas y otros. O seleccionan las muestras de participantes de formas distintas
y con distintas evaluaciones o valoraciones, eso hace difícil o imposible hacer
comparaciones válidas entre distintos estudios.
3. Asimismo, sería deseable investigar y extender las potencialidades de
intervenciones similares en otros contenidos matemáticos como la medida, la geometría,
la resolución de problemas en niños pequeños, etc.
4. Otra elemento de investigación sobre el que se precisa investigar es quiénes
deben llevar a cabo la intervención ya sea individual o en pequeño grupo: el maestro o
tutor de la propia clase; el profesor de apoyo en la propia clase del niño; profesor de
educación especial; o en ciertos casos los propios padres, etc.
5. Otro aspecto que deben incluir futuras investigaciones sobre intervenciones
tanto individuales como en pequeños grupos es desarrollar trabajos fuera del rango de
52
edad de los 7 años. La investigación sobre los profesores jugará aquí un papel
importante.
6. Particularmente, parece ya claramente demostrada la importancia de la
intervención preescolar en niños de alto riesgo, sería aconsejable hacer más
investigación sobre métodos de valoración y evaluación de las habilidades matemáticas
tempranas; la predicción de las diferentes formas de dificultades matemáticas; y la
intervención temprana que puede tener un impacto máximo en la prevención de
dificultades.
7. Parecería deseable centrarse en intervenciones de niños por debajo de los 7
años. Este grupo de niños parece particularmente importante desde este punto de vista,
los dos primeros años de escolaridad obligatoria son los que ponen las bases del
aprendizaje matemático posterior; y la identificación e intervención sobre estas
dificultades en este estadio tienen un potencial efecto de prevención de desarrollo
inapropiado de estrategias que más tarde pueden suponer un hándicap, y desarrollar
actitudes negativas hacia la aritmética.
Terminamos manifestando la necesidad de colaboración entre profesores,
investigadores, administraciones educativas para mejorar la investigación y la práctica
educativa.
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59
60
THE DEVELOPMENT OF EARLY NUMERACY IN CHILDREN WITH
SPECIAL MATHEMATICAL NEEDS
Johannes E.H. Van Luit, PhD.
Department of Special Needs Education
Utrecht University
The Netherlands [email protected]
Introduction
In the Netherlands, 97% of the children aged four years attend elementary school. By
the age of five years, this is 100%. In the first two years of school the prerequisites for
mathematics are integrated into their daily education. Math activities are taught twice a
week for half an hour. The schools are free to choose the activities. In general, the
teachers use suggestions from the kindergarten books. Most Dutch curricula are based
on constructivist principles. Prerequisite math skills are a variety of counting skills,
building with blocks, and discussions of questions involving quantities. These activities,
which are playful and interactive, are necessary for the later school curriculum that
requires some basics in math concepts, understanding of numbers, and knowledge of the
sequence of number names. Children in special education are nevertheless taught fewer
prerequisite math education skills than their peers in regular elementary education.
Poor instruction is thought to be one of the main causes of the math difficulties
encountered by children with special educational needs. Effective math instruction is
therefore an important issue for teachers. Much has been written about the development
of early numeracy, but little is known about the effects of early intervention. Research
into the mathematical learning of 5- to 7-year-old children is important, as many of
these children have deficient early numeracy skills, which can interfere with the
acquisition of later mathematic skills. Research has demonstrated that most of the
children having difficulties with math from grade 1 and further, were already low math
achievers in kindergarten.
Early numeracy is important for the learning of basic mathematics skills like
addition, subtraction, multiplication, division and the development of further
mathematical knowledge. Children must understand the basic concepts of the early
numeracy, must know the procedures for solving early math problems, and they also
must know when to use this knowledge.
61
In literature much consensus is found between the opinions of researchers concerning the findings with regard to the phases in the development in counting and the age
attending these phases.
Phase 1.
Acoustic counting
At the age of about three, children begin with acoustic counting; the counting
is nothing more than reciting a poem or a song.
Phase 2.
Asynchronous counting
At the age of about four the asynchronous counting manifests. Children use the
numbers in the right order, but they are not able yet to point to one object
while enumerating one number. Frequently they miss an object or point to the
same object twice, for example they point two blocks when saying ‘se – ven’.
Counting and pointing to objects at the same time is not yet possible. When it
is possible, they are able to count synchronously.
Phase 3.
Arranging objects while counting
When an amount of unarranged objects has to be counted, children start to
arrange the objects while counting. For instance they push the counted objects
aside. Children at the age of four and a half master this arranged counting.
Phase 4.
Resultative counting
At the age of five, children reach the phase of resultative counting. This means
that they are aware of the fact that counting must begin with number one, that
every object must be counted once, and that the last number mentioned gives
the total amount of objects. Important in this phase is the fact that the children
discover the one-to-one-relation between object and number.
Phase 5.
Shortened counting
After resultative counting, children learn another strategy for counting, that is,
shortened counting. In a number of objects the children recognize the representation of, for example, the five on the dice, and they count form this
number on. Children at the age of five and a half years to six should be able to
deal with shortened counting.
It has been found that children at the age of five and six years old also are able to solve
conservation-in-number tasks and correspondence tasks by making use of counting. To
connect incoming information with existing knowledge, the different aspects of early
numeracy are frequently repeated. From a Piagetian perspective, four math prerequisites
may be added to these counting skills: using concepts of comparison such as greater,
62
most, less, and so on.; classification or the ability to arrange objects in a class or
subclass; seriation or the ranking of objects; and correspondence or the comparison of
quantities by making a one-to-one relation. Stimulating these diverse aspects of early
numeracy is important because, at least in the Netherlands, it is assumed that these skills
will have been mastered by the time children enter elementary school. The first grade
curriculum is built on this knowledge.
Components of early numeracy
Only a few decades ago, Piaget was of the opinion that counting added nothing to the
development of number sense. More recent research, however have shown that counting
strategies can be used to solve different problem situations including Piagetian-type tasks.
To use counting effectively, the child must master the cardinal and ordinal aspect of
number. This means that the child knows that by counting an amount of objects, the last
number named in the count (the cardinal number) represents the total number of counted
objects. In addition, the child has to learn to order the numerals in the correct sequence
and that the numerals represent a place in this sequence (ordinal number). The different
counting skills and the skills measured by Piagetian tasks can be operationalized in
different components of one overall construct.
Based on literature, eight components of early numeracy can be described.
1. Concepts of comparison. From a very young age, children are able to make
comparisons between amounts of objects. Research shows that 4 year-olds are able to
compare nonequivalent situations using concepts such as low, lower, lowest, more, and so
on.
2. Classification. An expression derived from Piaget referring to the fact that children
must learn to group objects together on the basis of one or more specific characteristics.
This can also be applied to amounts and numbers, this is the cardinal aspect of the
number.
3. One-to-one correspondence. The child makes a one-to-one correspondence between
numerals and counted objects, such that each object is assigned only a single numeral.
4. Seriation. This is also a well-known term derived from Piaget, and it refers to the
ability to order objects in a sequence based on one or more specific characteristics. For
example, when numbers have to be placed in a sequence from large to small, or when
63
amounts must be placed in an order from few to many. By seriating numbers the child
also becomes familiar with the ordinal aspect of numbers.
5. The use of number words. Most middle-class children below the age of 3½ are working
on learning the sequence up to ten, and most children between 3½ and 4½ years old are
working on learning the sequence of numerals between ten and twenty.
6. Structured counting. Research has demonstrated that most children aged 5½ to 6 count
correctly when pointing or moving is allowed, which may be seen as a form of structured
counting. However, counting objects arranged in a specific structure is easier than
counting objects arbitrarily arranged.
7. Resultative counting. Children know that the last number word mentioned gives the
total number of objects, and they can count the objects without pointing to them. This
component also includes nonverbal calculations which require understanding of number
transformation and not necessary the conventional skills.
8. General understanding of numbers. This component refers to the ability to use the
different strategies and skills of early numeracy in real daily life problem situations.
The Early Numeracy Test (ENT)
The development of infant numeracy is a subject that has increasingly aroused the interest
of both researchers and those working in the field of education. This interest also is
stimulated by the fact it is assumed that, by the stage of infant school, it should be
possible to detect any arrest in the development of particular cognitive skills and where
possible to intervene in order to prevent later problems in mathematical development.
A test has been developed in a research project to look at infant numeracy that
allows the numeracy skills of children between the ages of 4 and 7 years to be measured.
This test, the Early Numeracy Test (ENT), consists of the eight components mentioned
before. The components ‘classification', 'one-to-one correspondence' and 'seriation' are
derived from the Piagetian operations. However, they are not used in the original
Piagetian sense, but with a more number oriented connotation. This means that the tasks
referring to these components deal mainly with amounts rather than, for example,
differences in volume as in the typical Piagetian tasks. The test consists of two parallel
forms, Form A and Form B, each with five items per component. So the test consists of
two forms with 40 items each.
64
It is the end of the afternoon so I will try to let you think about the way children will
solve some items. I will give you eight examples, one example of each component. You
have got a paper with these eight items mentioned on it and I will ask you to give an
impression of the scores of the children on these items. We have measured these scores
in The Netherlands in 823 children for six moments between their age of 4½ and 7½
years. On your paper you can give an impression of the percentages of the children that
will respond correctly on the items that I will present. This impression is based on three
moments in time: the first measurement halfway kindergarten 1 (in Spain: “educacion
infantile” halfway second year; age of the children: 4½ - 5 years), the second
measurement halfway kindergarten 2 (in Spain: “educacion infantile” halfway third
year; age of the children: 5½ - 6 years), and the third measurement halfway grade 1 (age
of the children: 6½ - 7 years). Please give an impression on your paper for each of the
eight items for three moments in their school career.
I will ask you to write down what percentage of the children will respond correctly on
these measurements. I must say these data are from the Netherlands and maybe the data
for Spanish children differ, but it is going about the development of numeracy.
The first test item is from Concepts of comparison
Task 3.
Here you see buildings. Point out the lowest building.
The next item is from Classification
Task 8.
Look at these pictures. Point out all the grey circles.
65
Now an item from Correspondence
Material:
The material consists of blocks
Task 12.
The experimenter gives the child 15 blocks and says:
I have thrown with two dice these points. Can you lay down the same amount
of blocks?
The experimenter shows this picture.
Here you see an item from Seriation
Task 20.
Here you see bricks in a row from many to few bricks.
The experimenter points out the row of bricks at the bottom of the page and
says
These bricks fit in somewhere in the row.
Then the eExperimenter points out the bricks in the square at the left top of the
page and says:
Point out where in this row these bricks fit in.
66
Now an item from Using counting words
Task 22.
The experimenter shows the picture to the child and says:
Point out the square with seven dots.
Here you see an item from Structured counting including synchronously and shortened
counting
Task 29.
The experimenter says: I'll show you a picture you have to take a good look at
for a short while.
Then the experimenter shows the picture to the child for 2 seconds (count:
twenty-one, twenty-two), removes the picture and says:
How many dots are there on both dices?
67
And now an item from Resultative counting
Material:
The material consists of blocks
Task 35.
The experimenter lays down 5 blocks on the table and says:
Here are five blocks. I push them under my hand.
Then the experimenter pushes the blocks under his hand. Then he pushes 7
blocks, which he shows to the child, also under his hand and says:
I add seven blocks. How many blocks are there under my hand together?
At last an item from General knowledge of numbers
Task 40.
The experimenter points out the picture of the game and the dices and says:
This is a game with dices. You have thrown two dices.
After that the experimenter points out the two dices.
Look how many dots you have thrown and point out where the pawn should be
standing in the game.
68
Now we will look at the percentages of good scores among Dutch children in the age of
4½ till 6½ years old. I will interpret these percentages and maybe later on we can
discuss these percentages and the one you noted on your paper.
Task 3 is an easy one. Nearly all children in kindergarten 2 and grade 1 can solve this
problem and even two third of the children in kindergarten 1. This means that most
young children can understand this kind of language from the beginning of kindergarten
1.
Task 8 is a difficult one. This task is far away from mathematics and looks the most at a
Piaget related task. This task is difficult because a child has to understand form, size and
colour at the same time.
Task 12 is an easy one. One-one correspondence is a strong component which we can
teach children from the beginning of kindergarten 1.
Task 20 is a difficult one. We see here a strong difference between children which count
and therefore give a good answer and children which only look and place the three
bricks between the first and second batch of bricks because of the direction in which the
batches are placed.
Task 22 gives a nice development perspective in mathematics knowledge. About one
forth of the children halfway kindergarten 1 can count seven dots correctly, halfway
kindergarten 2 already half of the children is capable to do so and halfway grade 1
nearly all children can count seven dots correctly.
Task 29 gives also a nice view of math development, although one fourth of the
children halfway grade 1 is not capable to subitize the dots on the two dices.
Task 35 is the most difficult task in the test and even half of the children halfway grade
1 is not capable to solve ‘5 plus 7’ mentally correct. This is math belonging to the end
of grade 1 and also therefore to difficult for many children.
69
Task 40 is a nice task which shows the knowledge of children how to use counting in a
game. It is remarkable that one fourth of the children halfway grade 1 is not capable to
solve this task correctly.
So far the test and some examples of it. Now back to the research we have done.
Poor achievers
The development of basic mathematics skills means, among other things, the acquisition
of problem-solving procedures and the development of memory representations for
basic number facts. Failure to make connections between concrete and abstract
mathematical knowledge can result in early learning problems, and many researchers
have indeed argued that the use of concrete materials with an emphasis on the
understanding of the underlying concepts can bridge the gap between the concrete and
the abstract. Other researchers advocate another and intermediate phase of instruction in
computational skills for children with math disabilities. Given that early numeracy
problems appear to involve both procedural and memory deficits and the relevant
children appear to have difficulties representing problems, we assume that young
children with special educational needs indeed have trouble bridging the gap between
the concrete and the abstract. The use of concrete objects and semi-concrete models to
assist them in their math problem solving may therefore be useful. Based also on the
assumption that there is a gradual transition from modeling procedures to counting
procedures to retrieval from memory, we suggest that young children with special
educational needs may benefit from early math instruction and practice at three levels:
concrete objects, semi-concrete representations of objects, and mental acts.
Children go from counting concrete objects to fact retrieval via many
intermediate steps. Just how one goes from concretely dealing with numbers to the
abstract is often not fully explained, however. Our early numeracy program uses
perceptual gestalts as semi-concrete representations of real objects. Perceptual gestalts
thus model the real-life situation of a one-to-one relation to concrete objects. The
gestalts are more abstract than real-life objects but there is still a link. As perceptual
gestalts symbolize concrete reality and organize abstract numbers into visual patterns,
they may help children shorten elaborate counting strategies. Perceptual gestalts may
also, thus, facilitate the transition from the concrete to the abstract.
70
In the present study, we investigated the effect of early mathematics intervention
on the early numeracy of young children with special educational needs. We suggest
that these children may particularly benefit from instruction using perceptual gestalts to
construct meanings and solve simple computational problems.
Method
Participants
The subjects were children between 5 and 7 years of age with special educational needs
because mild mental difficulties, but no significant sensory or motor problems, and no
clear signs of severe mental retardation. These children differ from average or nondisabled children to such an extent that they require special educational assistance. In
most cases, the children have language deficits and behavioral problems. The
psychological picture of the group is complex.
Admission to a special education program is considered by a committee
consisting of at least the school principal, a doctor, a welfare worker, and a school
psychologist. In kindergartens for special education, the children are observed to
determine the most appropriate type of education for them in the future. Since children
with a developmental lag are such a heterogeneous group, however, the same program
may be successful with one child and not the other.
The participants in this study were 124 five- to seven-year-old children with
special educational needs from nine Dutch kindergartens. All of the children, whose
parents had returned a permission form, were administered the ENT. Children who
performed at a very weak to mediocre level (children with a score comparable to the
lowest 25% of the norm group) were assigned to either the intervention or comparison
group. That is to say, the low mathematics achievers were assigned to one of two groups
by matching for gender, age and early numeracy performance. The experimental group
consisted of 40 boys and 22 girls; the comparison group consisted of 41 boys and 21
girls.
71
Table 1
Comparison of groups at pretest
Descriptive information
Experimental Group
Comparison Group
M
SD
M
SD
Age (years)
6.3
0.5
6.1
0.5
IQ (M = 100)
74.9
13.1
79.1
14.3
%
%
Background Dutch
87.3
85.7
Non-Dutch
12.7
14.3
Gender Male
58.7
66.7
Female
41.3
33.3
46.9
54.5
Middle
40.6
36.4
High
12.5
9.1
SES Low
An overview of the two groups of children is presented in Table 1. The descriptive data
were examined via chi-square statistics for gender and race, Mann-Whitney tests for
Social Economic Status, and T-tests for age, IQ, and number sense, and found to be
quite comparable across the two groups.
Early Numeracy Program
It is often claimed that young children learn about numbers by counting. However,
many children make no attempt to count. Various explanations have been offered for
this. For example, the child may not understand that counting is a method of
72
determining the number of elements or that counting is more reliable than estimating.
The program was designed for children with special educational needs and difficulties
grasping numeracy. The program consists of 20 lessons with complete instructional
plans and accompanying materials. The purpose of the program is to assist the child in
learning to count and thereby ease the transition from early to basic mathematics
instruction in grade one.
The early numeracy program includes both learning-by-doing and instructional
coaching methods. This is because some children may develop their skills on the basis
of discovery while others require a more structured manner of learning. The teacher
needs to discover which instructional methodology suits a child best, though it should
be noted that this may vary for different tasks and different subject matter. To overcome
the information processing problems that children with special educational needs
frequently display, the early numeracy program helps the child connect incoming
information with existing knowledge, by repeating, arranging, and organizing
information. In addition, the program takes the everyday reality of young children into
consideration and is designed to keep them interested. Realistic math problems are
posed in order to make the skills and problem-solving processes meaningful.
Furthermore, so-called utility information was incorporated into the program. That is,
the reason for using a particular strategy is explained as children’s persistence in using a
strategy depends on being able to attribute their successes and failures to the execution
of appropriate and inappropriate strategies. Such attribution is facilitated when utility
information is added to strategy training. Explaining why a problem should be solved in
a particular manner also produces a richer conceptual understanding, which presumably
fosters transfer.
The program involves the numbers one to fifteen. The first five lessons consider
the numbers one to five within a thematic frame called the family. In the next five
lessons, the numbers six to ten are considered under the theme celebrations. The
following five lessons again consider the numbers one to ten under the theme the post.
The program concludes with five lessons involving the numbers eight to fifteen under
the theme the shop. Diverse aspects of early numeracy are included in each lesson.
The goal of the program is to achieve induction and thereby facilitate transfer to
new math problems. The instructional materials vary widely and alternate between
concrete objects like ten bananas, semi-concrete representations of objects on a card
73
with a picture of a banana and tally marks indicating the number of bananas the child
wants to buy, and abstract representations of objects as a written number indicating the
number of bananas in a box. Transfer is stimulated by the inclusion of diverse problems,
which shows children just how and when strategies can be applied in other situations. A
special feature of the program is its use of tally marks.
By using tallies as perceptual gestalts, we bridge the gap between situated knowledge
like an actual amount of objects as thirteen strawberries and formal mathematics like the
abstract number symbol 13. The tally-mark method helps children understand that five
represents five objects and that numbers are based on patterns of five and ten, for
example. For the remediation of arithmetic difficulties, considerable importance is
attached to the representation of numbers in terms of five. Patterns of five not only fit
our decimal system; they also fit the natural finger counting of children. To indicate an
amount see the exemple out of lesson 19
Figure 1: Part of lesson 19 ‘Buying fruit’ from the Early numeracy program
In the introduction the teacher says and asks questions like:
“Today we are going to buy some fruit. Who has been to a shop where you can buy
fruit? Are there other places where you can buy fruit? What type of fruit do you like the
most? On the table there are boxes with different types of fruit. Let's see what types of
fruit we've got.”
The first exercise is going about ‘Which belong together?’
Different types of fruit are put on the table. The child is asked to arrange the fruit
according to type.
The second exercise is going about ‘How many of each?’
The child is asked to find out how many there are of each type of fruit. He or she adds
the cards with the matching numbers of tally marks to the piles of fruit. The teacher
reminds the child that an ellipse contains five tallies. The child answers such questions
as “Are there more (or fewer) bananas than strawberries?”
The third exercise is going about ‘How many fruit are you going to buy?’
The child buys and sells fruit (see picture). The customer has two big coins (worth five
euros each) and ten small coins (worth one euro each). He or she is given two cards
74
showing the type of fruit to be bought and how much. The grocer gets the fruit and
decides how many euros the customer must pay. The customer pays, and the grocer
verifies the number of euros.
Customer: “I’d like to have
six apples and five bananas.”
Semi-concrete
& abstract
presentation
of number:
Concrete &
abstract
presentation
of number:
6
5
Greengrocer: “Six apples and five bananas, here
you are. That’s five and one is six, ... seven,
... eight, … nine, ... ten, ... eleven euros.”
5
5
Semi-concrete
presentation
of number:
Customer: ”Here you are,
five, ...ten, eleven euros.”
The last exercise in this lesson is going about ‘How many left?’
Each child is presented two cards with fruit. The amount of fruit is represented both
with
pictures and with tally marks. The children answer questions such as “How many apples
do you have. When you eat one (or two, or five), how many apples are there left?” If
necessary, real apples may be used to solve the problems.
Measures
75
In short the following materials are included: the early numeracy test, an intelligence
test, and a transfer test.
Procedure
For thirty sessions, the children in the experimental group participated in the early
numeracy program in little groups of three students each. There were two half hour
sessions a week, for which the children were taken outside the classroom. Apart from
these sessions the children received no further math education. During the intervention
period the children made slow but continuous progress. Initially, the children needed
instruction in a structured way with lots of repetition. After about ten sessions some of
them got used to the learning-by-doing principles of the early math program.
The children in the comparison group participated in a standard mathematics
curriculum. The amount of time that the children in the comparison group were
involved in early mathematics education varied from two till four half-hour sessions per
week. The children were given individual instruction when necessary, in the way the
standard curriculum is typically provided. The teachers used standard remedial
instruction procedures and materials from the standard curriculum for young children
with special educational needs. The children in the comparison group did not receive
instruction based on the three phases (concrete - semi-concrete - abstract) used in the
intervention.
Results
The dependent variables in the present study were early numeracy performance and
transfer performance. The children’s mean scores are presented in Table 2. The test data
were analyzed using t-tests.
Table 2
Means and Standard Deviations as a Function of Treatment Condition and Time of Testing
________________________________________________________________________
Experimental group
Comparison group
76
Early numeracy
(max. = 100%)
pretest
posttest
effect size
46.1
9.3
46.9
9.3
59.5
9.3
53.3
9.4
1.44
.68
Math prerequisites
pretest
10.0
3.4
10.3
2.5
(max. = 20)
posttest
13.2
3.2
11.8
3.3
Counting
pretest
3.0
2.4
3.4
3.0
(max. = 15)
posttest
7.7
3.3
5.7
3.4
General understanding of number pretest
1.4
1.1
1.5
1.1
(max. = 5)
2.6
1.3
1.7
1.3
4.1
3.2
3.4
3.1
Transfer (max. = 14)
posttest
posttest
______________________________________________________________________
_____
We assumed that the children in the experimental group would make better numeracy
progress than the children in the comparison group. A significant difference was found
between the experimental and comparison children [t(124)= 3.29, p= 001]. The early
numeracy program appeared to be effective. Also on math prerequisites, counting skills,
and general understanding of number significant difference was found. The
experimental group progressed more than the comparison group. On the transfer task
performance, however, no significant differences were found between the two groups
[t(124) = .98, p = .332].
Conclusion and discussion
The present study provides insight into the effectiveness of early math intervention for
young children with special educational needs. Previous studies suggested that early
math intervention may indeed be beneficial for young children who are developmentally
delayed. This conclusion was confirmed by the results of the present study.
Significant posttest differences were found for five of the eight aspects of early
numeracy, namely: concepts of comparison, the use of number words, structured
77
counting, resultative counting, and general knowledge of number. This means that the
children are better prepared for grade one math instruction.
The use of perceptual gestalts most likely produced better structured counting
and a more general understanding of number. However, the early numeracy program
includes much more than perceptual gestalts. The most important elements are:
-
adaptation of the instructional methodology to the individual child;
-
taking the everyday reality of the young child into account;
-
use of a variety of instructional materials and problems;
-
frequent repetition of information.
Furthermore, the manner in which the information is arranged and organized may
clearly foster greater mathematical insight. Just which variables contributed to the
positive results for the experimental children is still unclear although the intervention
closely resembles educational practice.
Another assumption was that the transfer task performance of the children in the
experimental group would be better than the transfer task performance of the children in
the comparison group. No significant differences were observed between the conditions,
however. Revision of the early numeracy program and lengthening the period of
intervention also did not influence these disappointing results. The failure of the
children to transfer can be understood in terms of metacognitive theory. In order to
transfer, the children were required to extend and/or modify the strategies taught during
the intervention. Despite the wide variety of problems presented, the early math
program apparently failed to inculcate knowledge of when and how strategies might be
applied in other situations. As often observed, children with special educational needs
are virtually unable to apply acquired skills in new situations.
Implications for practice
This research demonstrates that early math intervention is beneficial for young children
with special educational needs. Nevertheless, the intervention had no influence on
transfer task performance. Spontaneous transfer is probably not possible among the
children we refer to, at least if they also lack early numeracy. They seem to need
explicit information as to why a problem should be solved in a particular way, and when
and how strategies are useful in other situations. However, explicit rather than implicit
78
information about the utility of strategies seems a little inappropriate for kindergarten
education. Early math instruction should not become too academic.
Furthermore, the research presented here demonstrated that some children may
develop their early numeracy skills by learning-by-doing, although most of them need a
more structured way of learning. This depends on the capacities and needs of the
individual child. Which instructional principles are best used may even vary for each
child, according to different topics as well as different tasks within a topic. The teacher
therefore needs to adapt his or her instructions to the individual child. Learning-bydoing seem to be useful for encouraging children to discover strategies to solve early
numeracy problems by themselves. However, most children may need to get used to this
way of instruction. Also, in our opinion a child should at least have some initial number
sense to rely on before this method can take effect. Kindergartners have usually been
exposed to the use of numerals in various situations, both within and without the school
context. However, it appears that young children with special educational needs do not
catch spontaneously what it is all about. Therefore, initial number sense should be
stimulated first.
This relates to the importance of allowing children to learn at their own pace.
The child’s particular skills and difficulties determine what must be done. A child who
cannot give the right answer to the question “How many bricks are there in this box,”
may not be able to speak numerals in the correct sequence, whereas another has
problems in synchronized counting. A third child counting the bricks in perfectly
synchronized fashion, and using the right sequence of numerals, may yet not understand
that the last numeral spoken indicates how many bricks there are.
Therefore, remediation of difficulties in developing early numeracy should be finetuned to the child’s individual needs and capacities.
79
80
APRENDER MATEMÁTICA A TEMPRANA EDAD
La resolución de problemas en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas
Josetxu Orrantia y Santiago Vicente
[email protected]
Departamento de Psicología Evolutiva y de la Educación
Universidad de Salamanca
Las matemáticas juegan un importante papel en el curriculum de la escolaridad
elemental, al proporcionar instrumentos que permiten describir y analizar numerosas
situaciones que ocurren en el mundo real. Esta utilidad práctica de las matemáticas
queda reflejada en la resolución de situaciones problemáticas (en el formato de un
problema verbal) puesto que permite desarrollar en los estudiantes las habilidades sobre
cuándo y cómo aplicar sus conocimientos matemáticos a situaciones de la vida
cotidiana.
Sin embargo, la utilidad práctica de la resolución de problemas contrasta con las
dificultades que presentan muchos alumnos y alumnas en esta tarea, aún cuando no
tengan dificultades para ejecutar las operaciones aritméticas implicadas en el problema.
Esta discrepancia entre la ejecución de operaciones y la resolución de problemas puede
ser explicada por diferentes factores, unos más centrados en el propio alumno y otros
centrados en el contexto de enseñanza-aprendizaje que rodea al alumno. Así, entre los
primeros podemos encontrar, por un lado, el tipo de estrategias que los estudiantes
ponen en marcha para resolver el problema; puesto que los problemas parten de un texto
lingüístico, las estrategias necesarias para su resolución deberían permitir crear, a partir
de la comprensión del enunciado, una representación del problema desde la cual
planificar dicha resolución; frente a esto, muchos estudiantes utilizan otras estrategias
más superficiales, cuya característica fundamental es que se saltan este proceso de
comprensión. Y por otro lado, otro factor tiene que ver con el conocimiento conceptual
que los alumnos tienen que poner en marcha para resolver los problemas, puesto que,
como veremos más adelante, algunos problemas necesitan un conocimiento más
avanzado que otros. Y entre los factores más contextuales cabe mencionar las creencias
y conocimientos de los profesores sobre la tarea de resolución de problemas, el tipo de
81
interacción profesor/alumnos durante la resolución de la tarea, y los materiales
utilizados, especialmente el tipo de problemas a los que se enfrentan los alumnos.
En este contexto, la conferencia que aquí presentamos pretende analizar algunos de
estos factores a partir de la revisión de nuestros propios trabajos desarrollados
recientemente. Para ello, es necesario que antes consideremos en qué consiste, desde el
punto de vista de los procesos y estrategias implicadas, la resolución de un problema.
Desde este marco analizaremos algunos de nuestros trabajos relacionados con los
factores mencionados.
El proceso de resolución de problemas
En términos globales, la resolución de un problema comienza con un texto lingüístico y
termina con una operación que da lugar a una solución numérica. En este proceso
podemos distinguir diferentes componentes (Mayer, 1985, 1989, 1992; Mayer, Larkin y
Kadave, 1984; Schoenfeld, 1985; Greeno, 1980; Carpenter y Moser, 1982; de Corte y
Verschaffel, 1987; Stern, 1993). Así, el texto verbal se traslada a una representación
interna abstracta en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones, así
como la situación cualitativa descrita en el enunciado. Sobre la base de esta
representación se selecciona una operación aritmética o una estrategia de conteo
informal para encontrar el elemento desconocido de la representación, ejecutándose
posteriormente la acción u operación seleccionada. Una vez hecho esto se puede
reactivar la representación inicial del problema, sustituyendo el elemento no conocido
por el resultado de la acción ejecutada. A partir de aquí se llevan a cabo una serie de
acciones de verificación para comprobar la exactitud de la solución encontrada.
Se han propuesto diferentes modelos para explicar este proceso de resolución de
problemas (Briars y Larkin, 1984; Cummins, Kintsch, Reusser y Weimer, 1988; Kintsch
y Greeno, 1985; Reusser, 1990; Riley et al., 1983; Riley y Greeno, 1988). Todos ellos
coinciden, de una manera u otra, en que la resolución de problemas supone un elaborado
proceso en el que hay que poner en marcha sofisticadas estrategias para comprender el
enunciado, esto es, para trasladar el texto verbal a una representación interna abstracta
en la que se recogen las distintas proposiciones, sus relaciones semánticas, así como la
82
situación cualitativa descrita en el enunciado. Y para ello es necesario acceder a cierto
conocimiento conceptual que permita establecer estas relaciones semánticas.
Así, por ejemplo, algunos modelos, como los desarrollados por Briars y Larkin (1984) o
Riley et al. (1983) proponen que los problemas más difíciles necesitarían un
conocimiento conceptual más avanzado, o si se quiere, los estudiantes fracasarían en la
resolución de ciertos problemas porque no poseen el conocimiento conceptual necesario
para resolverlos correctamente. Este conocimiento conceptual es un tipo de
conocimiento esquemático, el cual implica, precisamente, operar con las relaciones
semánticas descritas en el texto del problema. En el nivel más alto de competencia, el
esquema del problema permite establecer relaciones semánticas que proyectan la
información textual del enunciado en un esquema parte-todo. Esto significa conocer
que, de los tres conjuntos que aparecen en el texto del problema de una operación, uno
actúa como el “todo” y los otros dos como las “partes” dentro de una estructura parteparte-todo (véase más adelante).
Otros autores (e.g. Cummins et al., 1988; Kintsch y Greeno, 1985) han propuesto
modelos más complejos en los que la comprensión textual interactúa con la
construcción de la representación del problema en términos de conjuntos y sus
interrelaciones. En este caso, el procesamiento textual y el conocimiento conceptual se
integran para comprender y resolver un problema. Así, Kintsch y Greeno (1985)
plantean que desde el texto del problema se deriva una representación textual “dual” en
la que se puede distinguir, al igual que ocurre en la comprensión de textos (Kintsch,
1988, 1998; van Dijk y Kintsch, 1983), dos componentes: una estructura proposicional
de la información descrita en el enunciado o texto base, donde se representan sus
aspectos superficiales y semánticos, y un modelo de la situación, que se denomina
modelo del problema, en el que se incluiría la información que se infiere desde la base
de conocimientos que se posee sobre el mundo y sobre los problemas aritméticos, y se
excluiría, si se diera el caso, aquella información del texto base que no se necesite para
resolver el problema. En este sentido, los problemas que implican algo más que la
aplicación de una operación para su resolución, bien porque contienen información
superflua o porque omiten información necesaria, se resolverían desde la construcción
del modelo del problema.
83
En una extensión de estos modelos basados en la comprensión textual, Reusser (1988,
1990) ha propuesto un modelo que introduce un paso intermedio entre el texto base y el
modelo del problema, el cual denomina modelo de la situación episódico o modelo
mental de la situación denotada por el texto del problema. Este paso guiaría la
comprensión de los acontecimientos específicos de la historia presentada en el
problema, tales como la estructura temporal de las acciones o las intenciones de los
actores implicados. En palabras del autor “los problemas situacionales se organizan en
torno a algún protagonista con ciertas necesidades, motivos y propósitos, y que está
implicado en ciertas interacciones con coactores, objetos e instrumentos” (Reusser,
1988, p. 480), y que para resolver el problema “se debe convertir en transparente la
estructura funcional y temporal de la acción” (p. 493). Supondría entonces un acceso al
conocimiento del mundo real para entender el enunciado del problema.
En definitiva , para resolver un problema hay que desencadenar una serie de estrategias
que permitan crear una representación del mismo; en este proceso interactúan distintos
tipos de conocimientos como lingüísticos, del mundo y matemáticos.
Una vez analizado lo que supone resolver un problema vamos a analizar algunos de los
factores mencionados más atrás que pueden influir en que algunos estudiantes fracasen
en la resolución de problemas. Consideraremos en primer lugar los centrados en el
aprendiz para después analizar los centrados en el contexto.
Factores centrados en el aprendiz: estrategias y conocimientos
Como hemos visto, para resolver un problema hay que desencadenar una serie de
estrategias que permitan crear una representación del mismo, y en este proceso
interactúan distintos tipos de conocimientos como lingüísticos, del mundo y
matemáticos. En este sentido, una parte importante de las dificultades que presentan los
estudiantes en la resolución de problemas pueden deberse precisamente a las
dificultades que tienen para comprender los enunciados.
De hecho, algunos autores sugieren que muchos alumnos y alumnas no intentan basar la
resolución del problema en la comprensión del mismo; simplemente se saltan este paso
y se embarcan directamente a realizar cálculos con los números que aparecen en el
84
enunciado (Verschaffel y De Corte, 1997). Utilizan lo que estos autores denominan
estrategias superficiales para resolver problemas.
Posiblemente la estrategia superficial más comúnmente utilizada sea la estrategia de la
palabra clave (Hegarty et al., 1995; Nesher y Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte y
Pauwels, 1992). En este caso los estudiantes seleccionan palabras claves aisladas del
texto que asocian con una operación determinada sin tener en cuenta una representación
global de la situación del problema. Por ejemplo, las palabras “juntos” o “ganar” se
asociarían con una suma, mientras que “menos que” o “perder” se asociarían con la
operación de restar. Esta estrategia tiene “éxito” cuando los alumnos de enfrentan a
ciertos problemas, pero fracasa con otros, como veremos más adelante.
Otras estrategias superficiales descritas pueden ser aún más dramáticas. Por ejemplo, los
estudiantes pueden guiarse por lo números que aparecen en el problema para decidir la
operación. Así, si los números son 78 y 54 se podría pensar en una suma o una
multiplicación, pero si son 78 y 3 la operación más probable sería la división, infiriendo
las operaciones a partir del tamaño de los números, como así ha sido recogido por
Sowder (1978). O bien seleccionar los números y dejarse guiar por la operación más
reciente enseñada en clase o simplemente ejecutar una operación con la que uno se
siente más competente. Incluso cuando los problemas introducen información numérica
irrelevante esta tiende a ser utilizada en las operaciones ejecutadas por los estudiantes
(Littlefield y Rieser, 1993).
En cualquier caso, todas estas estrategias tienen en común un estilo impulsivo y
precipitado de los estudiantes cuando se enfrentan a la resolución de problemas, con la
ausencia de una lectura cuidadosa del problema que les permita acceder a una
representación de la situación denotada en el enunciado.
Añadido al problema de las estrategias, el conocimiento conceptual también puede tener
un rol importante en el proceso de resolución de problemas, como hemos podido
comprobar al revisar los modelos. La idea fundamental que queremos plantear es que
diferentes tipos de problemas de estructura aditiva necesitan diferente conocimiento
conceptual (y estrategias), o, para ser más precisos, el grado de dificultad de los
problemas viene marcado por el tipo de conocimiento conceptual implicado en la
85
resolución de los mismos. Por lo tanto, antes de entrar a considerar la influencia de este
conocimiento conceptual, es necesario clarificar la existencia de distintos tipos de
problemas.
Decimos que los conocimientos (y estrategias) están mediatizados por el grado de
dificultad de los problemas el cual depende fundamentalmente de su estructura
semántica. Así, ciertos problemas necesitarán estrategias más sofisticadas y
conocimientos más avanzados, mientras que en otros ocurrirá lo contrario. Veamos el
análisis de esta variable en los problemas con estructura aditiva.
A pesar de que tradicionalmente se ha analizado la influencia que las variables
superficiales del problema, como el número de palabras o la complejidad sintáctica
entre otras, tienen en la capacidad de los alumnos y alumnas para resolver problemas, en
los últimos veinte años el foco de la investigación se ha centrado en las características
de la tarea relacionadas con la estructura semántica de los problemas, ya que esta
variable tiene una influencia directa en la relativa dificultad de tales problemas.
Los problemas verbales aritméticos pueden ser considerados genuinos textos, esto es,
auténticas entidades discursivas (Orrantia, 1993; Reusser, 1990), y como tales poseen
una estructura (superestructura en términos de la comprensión del discurso, véase Van
Dijk y Kintsch, 1983) que representa las relaciones semánticas básicas entre las
cantidades que aparecen en el problema. En este sentido, podemos hablar de distintos
tipos de problemas en función de su estructura semántica, es decir, de las posibles
relaciones que se establecen entre los conjuntos que aparecen en el enunciado. Se han
propuesto diferentes esquemas de clasificación para los problemas de suma y resta de
una operación (Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992; Nesher, Greeno y Riley, 1982;
Riley y Greeno, 1988; Riley, Greeno y Heller, 1983; Vergnaud, 1982). Quizás la
clasificación más utilizada haya sido la propuesta por Riley y colaboradores, en la que
distinguen tres categorías básicas de problemas: cambio, combinación y comparación
(véase Tabla 1).
Los problemas de cambio parten de una cantidad a la que se añade o quita algo para dar
como resultado una cantidad mayor o menor. Los problemas de combinación y
comparación parten de dos cantidades que se combinan o comparan para producir una
86
tercera. Los problemas dentro de cada una de estas categorías reflejan el mismo tipo de
acciones o relaciones, pero, dado que los problemas incluyen tres cantidades, una de las
cuales es la desconocida, en cada categoría podemos identificar diferentes tipos de
problemas dependiendo de la identidad de la cantidad desconocida. Así, en los
problemas de cambio donde se produce un cambio sobre una cantidad inicial para dar
un resultado, la cantidad desconocida puede ser el resultado, el cambio o la cantidad
inicial; dado que el cambio puede ser añadir o quitar, encontraríamos seis tipos de
problemas de esta categoría. De la misma manera, en los problemas de comparación la
cantidad desconocida puede ser el conjunto de referencia, el de comparación o la
_____________________________________________________________________________
_______
Cambio 1
Cambio 2
Juan tenía 3 canicas.
En una partida ha ganado 5 canicas.
En una partida ha perdido 5 canicas.
¿Cuántas canicas tiene Juan ahora?
¿Cuántas canicas tiene Juan ahora?
Cambio 3
Cambio 4
En una partida ha ganado algunas canicas.
En una partida ha perdido algunas canicas.
Ahora Juan tiene 8 canicas.
¿Cuántas canicas ha ganado?
¿Cuántas canicas ha perdido?
Cambio 5
Cambio 6
Juan tenía algunas canicas.
Juan tenía algunas canicas.
En una partida ha ganado 5 canicas.
En una partida ha perdido 5 canicas.
¿Cuántas canicas tenía?
¿Cuántas canicas tenía?
Comparación 1
Comparación 2
Juan tiene 5 canicas.
Pedro tiene 8 canicas.
¿Cuántas canicas tiene Pedro más que Juan?
¿Cuántas canicas tiene Pedro menos que
Juan?
87
Comparación 3
Comparación 4
Pedro tiene 5 canicas más que Juan.
Pedro tiene 5 canicas menos que Juan.
¿Cuántas canicas tiene Pedro?
Comparación 5
Comparación 6
Él tiene 5 más que Pedro.
Él tiene 5 menos que Pedro.
Igualación 1
Igualación 2
¿Cuántas canicas tiene que ganar Juan para
¿Cuántas canicas tiene que perder
tener las mismas que Pedro?
Pedro para tener las mismas que Juan?
Igualación 3
Igualación 4
Pedro tiene 8 canicas
Si tuviera 3 canicas más tendría las mismas que
Si tuviera 3 canicas menos tendría las
mismas
Pedro
que Juan.
¿Cuántas canicas tiene Juan?
Igualación 5
Igualación 6
Si Juan tuviera 3 canicas más tendría las
Si pedro tuviera 3 canicas menos tendría las
mismas que Pedro.
mismas que Juan
¿Cuántas canicas tiene Juan?
Combinación 1
Combinación 2
Juan y Pedro tienen 8 canicas entre los dos.
88
Pedro tiene 5 canicas
Juan tiene 3 canicas (o Pedro tiene 5
canicas).
Cuántas canicas tiene entre los dos?
¿Cuántas canicas tiene Pedro (o Juan)?
Tabla 1. Tipos de problemas con estructura aditiva
diferencia, y puesto que el conjunto de referencia puede ser el mayor o el menor,
también encontraríamos seis tipos de problemas de comparación. Y en las situaciones
de combinación podemos desconocer una parte, otra parte o el todo; pero en este último
caso, dado que no existe ninguna diferencia conceptual entre cada una de las partes (De
Corte y Verschaffel, 1987), se suelen considerar solamente dos tipos de situaciones de
combinación: la que pregunta por el todo o por una de las partes. Por lo tanto, se
identifican catorce tipos de problemas diferentes con estructura aditiva.
Algunos autores (Carpenter y Moser, 1982; Fuson, 1992) han propuesto una categoría
adicional que puede considerarse una “mezcla” de las categorías de cambio y
comparación; son los problemas de igualación, en los que la relación comparativa entre
dos cantidades no se expresa de forma estática (como en los problemas de comparación)
sino dinámicamente (véase Tabla 1).
Es fácil imaginar que los distintos tipos de problemas ofrecen diferentes grados de
dificultad en su resolución. Así, uno de los resultados más recurrentes ha sido que los
problemas de comparación son los más difíciles de resolver (Bermejo, Lago y
Rodríguez, 1994; Carpenter y Moser, 1982; De Corte y Verschaffel, 1987; Orrantia,
Morán y Gracia, 1997b). Sin embargo, más que la propia estructura semántica, parece
jugar un papel más importante el lugar que ocupa la cantidad desconocida (Fuson,
1992). Este factor hace que podamos distinguir entre problemas con un lenguaje
consistente y con un lenguaje inconsistente o conflictivo. En los primeros los términos
del enunciado (por ejemplo, “ganar” o “más que” coinciden con la operación a realizar
(una suma, como en cambio 1 o comparación 3), mientras que en los segundos, los
términos entran en conflicto con la operación (aparece “ganar” o “más que” y hay que
hacer una resta, como en cambio 5 o comparación 5). Pero lo más importante a efectos
de este trabajo es que lo que diferencia ambos tipos de problemas es el conocimiento
conceptual implicado en cada un o de ellos.
89
Así, los problemas consistentes se pueden resolver a partir del modelado directo,
construyendo el modelo de la situación del problema secuencialmente, proposición por
proposición, tal como se presentan en el texto del problema. De esta manera, los
conocimientos requeridos para este tipo de problemas no van más allá del uso de ciertas
formas de relaciones numéricas de carácter protocuantitativo, que integradas con los
principios básicos del conteo permiten el desarrollo de estrategias de conteo apropiadas
para resolver este tipo de situaciones problemáticas (véase Orrantia, 1997a y b). Es más,
la estrategia de la palabra clave puede ser funcional con este tipo de problemas.
La resolución de los problemas inconsistentes, sin embargo, requieren proyectar la
información textual del enunciado a un esquema parte-todo, como mencionábamos más
atrás. Esto significa conocer que, de los tres conjuntos que aparecen en el texto base,
uno actúa como el “todo” y los otros dos como las “partes” dentro de una estructura
parte-parte-todo. Tomemos como referencia el siguiente problema de comparación:
“Juan tiene 8 canicas; él tiene 3 más que Pedro; ¿cuántas canicas tiene Pedro?”. Los tres
conjuntos mencionados son el conjunto referente (las canicas de Pedro), que ha sido
comparado a otro, el conjunto comparado (las canicas de Juan), y la diferencia entre los
dos conjuntos, el conjunto diferencia. Desde las proposiciones de la segunda frase del
enunciado se infiere si el conjunto referente es el conjunto mayor y el conjunto
comparado es el menor, o viceversa, de tal forma que, desde un esquema parte-todo, se
conoce que “conjunto menor = conjunto mayor - conjunto diferencia” o “conjunto
mayor = conjunto menor + conjunto diferencia”, y así transformar la información
textual en una ecuación matemática. En el problema que nos ocupa, y con la ayuda de
esta transformación matemática (Stern, 1993), se infiere que el conjunto comparado es
el mayor y el conjunto referente (el desconocido) es el menor, y así decidir hacer una
resta.
Algo similar podemos decir con los problemas de cambio más difíciles, aquellos en los
que se pregunta por el conjunto inicial (cambio 5 y 6). Su resolución implica algún tipo
de “reversibilidad de las operaciones mentales” (Briars y Larkin, 1984). Por ejemplo, en
un problema de cambio añadiendo del tipo “conjunto inicial desconocido + conjunto
cambio = conjunto final” (“Juan tenía algunas canicas; entonces ganó tres en una
partida; ahora tiene ocho canicas; ¿cuántas tenía antes de la partida?”), su resolución
implica identificar el conjunto inicial desconocido como más pequeño que el conjunto
90
final; por ello, se podría resolver partiendo del conjunto final, al que se le quita las
canicas ganadas para saber cuántas tenía en el conjunto inicial. Esta inversión, al igual
que en los problemas de comparación, implica entender la naturaleza recíproca entre la
suma y la resta, y las relaciones parte-todo que se establecen en cualquier triada
numérica, base para la comprensión de la composición aditiva de los números. Es
importante no confundir el conocimiento de estas relaciones parte-todo con la estructura
parte-todo característica de los problemas de combinación. No se trata de convertir, en
el modelo de la situación del problema, los problemas de cambio o comparación en un
problema de combinación parte-parte-todo. Más bien, este tipo de conocimiento
conceptual tiene que ver con el esquema parte-todo característico de relaciones
numéricas avanzadas (véase una discusión similar en Fuson, Carroll y Landis, 1996).
En unos trabajos recientes nuestros (Orrantia, 2003; Orrantia y Vicente, en preparación)
hemos analizado la importancia de este conocimiento conceptual en el proceso de
resolución de problemas. Para ello, tuvimos en cuenta el acceso al conocimiento
conceptual en el propio proceso de resolución de problemas, esto es, de qué manera los
niños operaban con relaciones cuantitativas parte-todo cuando estaban resolviendo los
problemas. El procedimiento que utilizamos está basado en el concepto de resistencia a
la instrucción (Sánchez, 1989; Orrantia y Sánchez, 1994; Orrantia, Morán y Gracia,
1997a, 1998), es decir, la mayor o menor capacidad de un alumno o alumna para
aprovechar la ayuda externa proporcionada por alguien más experto en un proceso de
resolución conjunta de la tarea propuesta. Este procedimiento supone que en la medida
en que alguien que presenta más o menos dificultades para resolver la tarea necesite más
ayuda en un proceso concreto de la misma, ese proceso puede ser considerado un
candidato para explicar las dificultades. Nuestra hipótesis era que la mayor resistencia a
la instrucción se produciría en aquellos procesos en los que los alumnos tuvieran que
acceder a un conocimiento conceptual más avanzado para resolver ciertos problemas.
Hipótesis que fue confirmada por los resultados, ya que los problemas más difíciles de
cambio y comparación, es decir, los inconsistentes, son los que demandaron más ayudas
de los instructores, ayudas que se concentraron fundamentalmente en aquellos procesos
en los alumnos tenían que operar con las relaciones parte-todo.
A la luz de estas ideas es fácil imaginar que si se mejora el acceso al conocimiento
conceptual mejoraría la resolución de problemas. Esta cuestión se puede considerar
91
desde diferentes planteamientos, como por ejemplo intervenir directamente en los
alumnos para que operen con relaciones parte-todo. En nuestro caso hemos optado por
una metodología diferente, consistente en re-escribir los enunciados de los problemas
para hacer más explícitas estas relaciones parte-todo. De hecho, este es un
planteamiento metodológico llevado a cabo por diferentes trabajos en las décadas de los
ochenta y noventa (Cummins, 1991; Cuumins, Kintsch, Reusser y Weimer, 1988;
Davis-Dorsey, Ross y Morrison, 1991; De Corte, Verschaffel y De Win, 1985; Hudson,
1983; Staub y Reusser, 1992; Stern y Lehrndorfer, 1992).
Generalmente hablando, estos trabajos sobre reescritura pueden dividirse en dos grandes
grupos. Por un lado, y en consonancia con lo que venimos diciendo, aquellos
interesados en explicitar las relaciones semánticas entre los conjuntos implicados en la
situación problemática. Por otro lado, los estudios dedicados a hacer más comprensible
la situación en la que el problema está inserto, de manera que se centran más en otros
conocimientos (no conceptuales) más relacionados con lo que más atrás al describir los
modelos de resolución llamábamos modelo de la situación o modelo episódico de la
situación (Reusser, 1990).
En nuestro caso, en un reciente trabajo (Vicente, Orrantia y Verschaffel, en revisión)
hemos aplicado esta metodología de reescritura atendiendo a las dos variables
mencionadas. Así, los problemas fueron reescritos bien para hacer más explícitas las
relaciones parte-todo, o bien para hacer más explícito el modelo de la situación
episódica del problema desde el punto de vista del modelo de Reusser. Para ello,
tomamos como referencia un problema de dos operaciones con estructura semántica de
cambio, por ser esta estructura la que mejor permite una reescritura situacional. Este
problema fue presentado en dos versiones: fácil (consistente) y difícil (inconsistente), a
un grupo de alumnos de tercero, cuarto y quinto curso de E. Primaria. La reescritura
situacional añadió al texto marcadores de la estructura temporal, causal e intencional de
la situación denotada por el texto del problema, mientras que la reescritura conceptual
reflejó explícitamente el conjunto “todo” dentro de las relaciones parte-todo
Los resultados obtenidos fueron dobles. En primer lugar, y en consonancia con los
estudios previos, la reescritura conceptual supuso significativamente más problemas
resueltos correctamente que la versión estándar y situacional, pero sólo para los
92
problemas difíciles, no para los fáciles. Y este efecto facilitador fue más evidente para
los alumnos más jóvenes, esto es, los de tercero, aunque los demás cursos también se
vieron beneficiados por este tipo de reescritura. En segundo lugar, la reescritura para
crear un modelo de la situación más enriquecido no resultó en una mejora de la
ejecución de los estudiantes, o incluso en algunos casos fue hasta contraproducente
respecto a la versión estándar. Una explicación plausible para este resultado puede
encontrarse en que este tipo de reescritura dio como resultado un texto del problema
mucho más largo, organizado en una estructura más completa pero probablemente
también más compleja. De todas formas, otra posible explicación la podemos encontrar
en el tipo de problemas a los que los alumnos están más acostumbrados a enfrentarse,
en los que la información generalmente es más aséptica, incluyendo fundamentalmente
los datos y la pregunta, aspecto este que vamos a revisar a continuación.
En definitiva, entre los factores que pueden explicar las dificultades que muchas veces
encuentran los alumnos la resolución de problemas aritméticos, destacamos el tipo de
estrategias y conocimientos que tienen que poner en marcha cuando se enfrentan a los
problemas. Sin embargo, no son los únicos factores responsables. Muchas veces los
contextos educativos en los que se desarrolla el aprendizaje de la aritmética pueden
tener relación con el fracaso más allá de las variables propias del aprendiz.
Factores centrados en el contexto
Como mencionábamos más atrás, entre los factores contextuales que pueden influir en
cómo los alumnos se enfrentan a la resolución de problemas destacamos tres: los
materiales curriculares, los conocimientos y creencias de los profesores, y la interacción
profesor-alumnos cuando resuelven problemas.
Por lo que se refiere la los materiales, los estudiantes dedican buena parte de su tiempo
en las aulas a trabajar con materiales preparados, entre los que el libro de texto juega un
papel fundamental. Por lo tanto, tales materiales son una parte importante del contexto
de enseñanza y aprendizaje. A pesar de que los trabajos relacionados con los libros de
texto generalmente no han establecido un vínculo directo con el aprendizaje de los
alumnos, su análisis permite tener una visión de su potencial efecto, especialmente si
tenemos en cuenta que, por lo que se refiere al área de matemáticas, las prácticas
93
educativas de los profesores están enormemente influenciadas por los libros de texto
(Cooney, 1985; Clark, 1979; Haggaty y Pepin, 2002; Millett y Johnson, 1996; NCTM,
1989; Schmidt y cols., 1997; Stray, 1994). Es más, como señalan Nathan y Koedinger,
2000), los libros de texto pueden ser una fuente de influencia sobre los conocimientos y
creencias de contenido pedagógico de los profesores; como afirman los autores, la
utilización de los libros para estructurar diariamente las clases puede llevar a los
profesores a interiorizar la visión de las matemáticas que conllevan implícitamente los
libros.
Existen trabajos que han analizado los problemas en los libros de texto como una
ventana a través de la cual ver las experiencias que los estudiantes tienen con este
particular contenido (Carter, Li y Ferrucci, 1997; De Corte, Verschaffel, Janssens y
Joillet, 1985; Fuson, Stigler y Bartsch, 1988; Li, 2000; Mayer, Sims y Tajika, 1995;
Reusser, 1988;Schoenfeld, 1991; Stigler, Fuson, Ham y Kim, 1986; entre otros).
Aunque algunos de estos trabajos han sido desarrollados en el contexto de estudios
comparativos entre los libros utilizados en distintos países (especialmente occidentales
y orientales), de todos ellos se pueden extraer algunas características que pueden
ayudarnos a entender las prácticas educativas que se pueden estar promoviendo en las
aulas.
Así, los problemas que aparecen en los libros de texto tienden a ser agrupados y
formulados de tal forma que la utilización de estrategias superficiales puede llevar a una
ejecución correcta del problema. Por ejemplo, en algunos casos se promueve la
utilización de la estrategia de la palabra clave resaltando estas palabras en el propio
texto del problema; en otros, la estrategia puede ser derivada implícitamente a partir de
la “dieta” más o menos esteriotipada de los tipos de problemas presentados. Los
problemas desafiantes, con información superflua o con datos necesarios omitidos, son
poco habituales, de tal manera que los estudiantes infieren que resolver un problema
implica hacer algo con (todos) los números que aparecen en el enunciado. Además, los
contextos en los que aparecen los problemas son más bien esteriotipados, lo que los
convierte en poco estimulantes y motivantes, llevando a los estudiantes a considerar
estos contextos como algo irrelevante para la resolución de la tarea. Incluso contextos
“realistas” en los que hay que hacer uso de conocimientos del mundo real son poco
94
habituales, y cuando aparecen, los estudiantes tienden a obviarlos (ver para esta última
cuestión Verschaffel, Greer y De Corte, 2000).
Por lo tanto, los libros de texto, como material curricular habitualmente utilizado por
profesores y alumnos, pueden ser un reflejo del tipo de contenidos que se están
promoviendo en las aulas en relación a la resolución de problemas. En nuestro caso, y
dado que en nuestro país no contamos con muchos estudios que analicen los libros
desde la perspectiva que estamos proponiendo, llevamos a cabo un análisis de los
problemas que aparecen en los libros de texto publicados por tres de las editoriales más
representativas de nuestro país (Orrantia, Gonzáles y Vicente, 2005). Nuestra intención
no fue hacer un análisis comparativo de estos textos, sino más bien presentar un
panorama más o menos amplio de los problemas a los que los alumnos se enfrentan
habitualmente en las aulas, con el ánimo de que, a partir de este análisis, pudiéramos
tener una visión del tipo de prácticas educativas que se pueden estar promoviendo. Los
problemas fueron categorizados en base a su estructura semántica atendiendo a las
dimensiones sugeridas por los trabajos previos y que ya hemos expuesto más atrás.
Además, tuvimos en cuenta el análisis de problemas que fueran más allá de la ejecución
de una operación para llegar al resultado, como problemas que omiten o añaden
información o situaciones en las que los alumnos tienen que inventar preguntas, datos o
problemas completos. Y, por último, categorizamos los problemas en relación al
contexto situacional en el que aparecen, ya que esta cuestión ha sido escasamente
estudiada, no sólo en nuestro país sino también fuera de nuestras fronteras.
Los resultados encontrados son los siguientes. Por lo que se refiere a los tipos de
problemas que aparecen en los libros, quizás el aspecto más relevante sea la relación
que existe entre los problemas más frecuentes y el grado de dificultad de los mismos
según lo planteado desde las distintas investigaciones sobre el tema. Así, los problemas
más numerosos corresponden con los más sencillos de resolver, como es el caso de los
problemas de combinación 1, comparación 1, o los de cambio 1 y 2. Estos problemas no
requieren un conocimiento conceptual avanzado en el que haya que establecer las
relaciones semánticas descritas en el texto del problema, sino que su resolución se
puede llevar a cabo entendiendo premisa por premisa secuencialmente, tal como se
presenta en el texto del problema. En este caso, la creación de una representación
(comprensión) de la situación problemática no es estrictamente necesaria. Es más, la
95
resolución de estos problemas se podría llevar a cabo aplicando lo que más atrás hemos
denominado estrategias superficiales, ya que la selección de los datos con ciertas
palabras clave (ganar, gastar, juntos…) puede ser suficiente para resolver el problema
sin necesidad de una comprensión profunda del enunciado. Algo similar podemos decir
de otro de los tipos de problemas que más aparecen en los libros, como los problemas
de combinación 2. Aunque su resolución no pueda ser llevada a cabo directamente a
partir de estrategias superficiales, tampoco necesitan de un conocimiento conceptual
muy desarrollado (Carpenter, Hiebert y Moser, 1981; Fuson, 1992; Orrantia, 2003).
Por lo tanto, los problemas más numerosos que aparecen en los libros son aquellos que
resultan más sencillos de resolver para los alumnos desde el punto de vista de su
estructura semántica. Pero no es la estructura semántica la única variable que hace que
los problemas sean sencillos. También hemos podido comprobar que los problemas
“desafiantes” que vayan más allá de la selección de los datos y la operación son escasos.
Así, problemas con datos omitidos o extra son poco numerosos, y cuando aparecen lo
hacen en contextos en los que es fácil anticipar que faltan o sobran datos, ya que el
propio texto lo especifica. De hecho, este tipo de problemas son prácticamente nulos
fuera del apartado de resolución de problemas que proponen los libros. En este contexto
es fácil imaginar que los estudiantes sencilla y razonadamente infieren que resolver un
problema implica hacer algo con (todos) los números dados en el enunciado. Y si
además los problemas se pueden resolver con estrategias superficiales, el tipo de
estrategias que se están promoviendo distan mucho de las que son necesarias para llevar
a cabo una comprensión profunda del enunciado. Es verdad que estas estrategias sirven
para resolver los problemas que precisamente aparecen en lo libros de texto, pero la
investigación nos demuestra constantemente que los estudiantes fracasan en la
resolución de problemas, precisamente cuando los problemas precisan de hacer algo
más que seleccionar los datos y buscar alguna palabra que me permita llegar a una
operación.
Este carácter esteriotipado de los problemas también lo hemos comprobado desde el
análisis del contexto situacional en el que se presentan. Los problemas se formulan en
contextos muy estándar en los que la información se presenta en premisas muy precisas
con datos y preguntas. Quizás este sea el motivo por el que nuestro estudio de
reescritura en el que se hace más explícito el modelo episódico de la situación no haya
96
arrojado resultados positivos. En realidad los alumnos no están acostumbrados a
enfrentarse a este tipo de problemas.
Este contexto nos lleva a plantear cuál es el verdadero rol que los problemas tienen en
los libros de texto. ¿Realmente los problemas son presentados para poner en marcha
estrategias de resolución de problemas, o más bien tienen una función más relacionada
con el ejercicio de las operaciones aritméticas que se están enseñando?. Lógicamente,
no tenemos una respuesta concluyente para esta cuestión, pero sí que nos atrevemos a
considerar que una parte importante de los problemas están más orientados a ejercitar
ciertas operaciones aprendidas que a promover estrategias de resolución. Bien es verdad
que es más positivo que el ejercicio de las operaciones se plantee desde el contexto de
situaciones problemáticas que el plantear listas y listas de operaciones algorítmicas
como práctica de las mismas. Pero también es verdad que los problemas deben tener un
fin en sí mismos como objetivo a desarrollar en los contenidos de aritmética.
En definitiva, desde los diferentes aspectos analizados podemos constatar que los
problemas que habitualmente aparecen en los libros de texto presentan una naturaleza
altamente esteriotipada en la que no es necesario poner en marcha sofisticadas
estrategias que permitan llagar a la resolución, lo que nos lleva a replantear su rol en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de aritmética. Y lo que nos lleva, también, a
entender en cierta medida la discrepancia que existe entre la ejecución de operaciones y
resolución de problemas.
Además de los materiales curriculares, otro factor contextual que puede tener una
estrecha relación con la manera en que los estudiantes se enfrentan a la resolución de
problemas se relaciona con el pensamiento del profesor, tanto en lo que se refiere a los
conocimientos que estos tienen como a sus creencias.
Cuando se habla de la construcción del conocimiento, aceptamos la idea de que las
personas aprendemos participando de forma activa en nuestros aprendizajes y dando
sentido al mundo a partir de nuestros conocimientos y creencias ya existentes. En este
sentido, el aprendizaje de los profesores no es una excepción. Los profesores interpretan
las experiencias docentes a través de los filtros de su conocimiento y sus creencias. Y,
lo que es más importante, este conocimiento y estas creencias son las que determinan,
97
en muchas ocasiones, las formas de actuar en las aulas cuando se trata de diseñar
cualquier situación de enseñanza-aprendizaje.
Recientemente, Putnam y Borko (2000) han recogido tres grandes categorías de
conocimiento y creencias de los profesores: el conocimiento pedagógico general, el
conocimiento de la materia de la asignatura y el conocimiento de contenido pedagógico.
La mayor parte de las investigaciones más recientes han girado alrededor de la tercera
categoría (acuñada por Shulman, 1986, 1987), referida a los conocimientos y creencias
que los profesores tienen sobre cómo se representan la materia y la forma en que la
hacen más accesible a los aprendices. En este sentido, y para los propósitos de nuestra
reflexión, nos interesan los trabajos que van más allá del estudio de los conocimientos y
las creencias per se, aquellos que se centran en el efecto que tienen los conocimiento y
creencias sobre los aprendizaje de los estudiantes. En esta línea se han desarrollado
diferentes trabajos relacionados con las matemáticas (Carpenter, Fennema, Peterson y
Carey, 1988; Fenema y Loef, 1992; Leinhardt, 1988; Peterson, Fennema, Carpenter y
loef, 1992; Nathan y Koedinger, 2000; Putnam, Heaton, Prawat y Remillard, 1992;
Staub y Stern, 2002) que plantean que ciertos conocimientos y creencias relacionadas
con una visión de la aritmética y la resolución de problemas próxima a la transmisión
directa del conocimiento y con planteamientos menos constructivistas podrían afectar a
los resultados el aprendizaje de los estudiantes.
En nuestro caso, hemos llevado a cabo recientemente un trabajo en el que hemos
analizado los conocimientos y creencias sobre la resolución de problemas de un amplio
grupo de profesores de Primaria (Orrantia y González, en preparación). Para ello,
aplicamos un cuestionario de creencias adaptado al castellano de Fennema, Carpenter y
Loef (1990). El cuestionario, de 48 items que se respondían en una escala tipo Likert,
fue diseñado para evaluar las creencias de los profesores hacia una orientación
constructivista o hacia una orientación de transmisión directa del conocimiento.
Además, también analizamos el conocimiento de contenido pedagógico a través de un
test de dificultad de problemas, en el que los profesores debían identificar, desde pares
de problemas aditivos, cuál sería más difícil para sus alumnos y argumentar el porqué
de sus respuestas. Junto con estos instrumentos también se aplicó un cuestionario sobre
su práctica educativa (años de experiencia, cómo son sus clases, utilización de libros de
texto…).
98
Los resultados, tomados globalmente, muestran que los años de experiencia se
relacionan con las creencias y conocimientos de los profesores. Así, hemos podido
comprobar que los profesores con más de veinte años de experiencia son los que
muestran una orientación más constructivista y tienen más conocimientos de los tipos
de problemas. Incluso hemos comprobado que los que tienen puntuaciones más altas en
el test de dificultad de problemas muestran una orientación más constructivista. No deja
de ser curiosa esta compleja relación entre conocimientos, creencias y años de
experiencia. Que la experiencia suponga tener más conocimiento de los distintos tipos
de problemas entra dentro de la lógica, pero que el sistema de creencias esté
mediatizado por la experiencia es algo que no hemos encontrado en los estudios
revisados sobre el tema. Sí que contamos con estudios que también han relacionado
conocimientos con creencias, como el de Peterson et al. (1989), que plantean desde su
trabajo que los profesores con una orientación más constructivista tienen más
conocimiento sobre los tipos de problemas (utilizando una prueba similar a la nuestra),
y además sus alumnos obtienen mejores resultados en resolución de problemas que los
alumnos de profesores menos constructivistas, pero no obtienen mejores resultados en
pruebas de cálculo.
Estos resultados de Peterson y colaboradores son interesantes, ya que la orientación
constructivista evaluada a partir de nuestro cuestionario de creencias prima la resolución
de problemas frente al cálculo. ¿Quiere esto decir, entonces, que los profesores con más
experiencia tienden a favorecer la resolución de problemas frente al cálculo? Sería
tentativo pensar que esto pueda ser así,, lo que nos llevaría a plantearnos que la
formación de aquellos profesores que inician su andadura en la enseñanza de las
matemáticas debería plantear la resolución de problemas en relación al cálculo. No
quiere decir esto que el cálculo no sea importante, sino otorgarle un mayor papel al
proceso de resolución de problemas.
Por otro lado, y quizás en relación con lo que estamos planteando, también hemos
podido comprobar una posible relación entre la utilización del libro de texto y los
resultado obtenidos en las pruebas de conocimientos y creencias. Así, los profesores que
dicen utilizar menos el libro de texto son los que presentan una orientación más
constructivista en el cuestionario de creencias. Y unido a esto, los que plantean una
99
mayor utilización del libro de texto son los que puntúan más bajo en el test de dificultad
de problemas respecto a los que estiman que sus clases están menos mediatizadas por la
utilización de los libros de texto. Nuevamente resulta tentador considerar que las
creencias y conocimientos de los profesores estén en parte mediatizados por la
utilización de los libros de texto. No existen muchos estudios que consideren esta
influencia tan directa. Quizás el que más explícitamente lo plantee sea el trabajo de
Nathan y Koedinger (2000), quienes establecen una relación directa entre los libros y
los conocimientos y creencias de los profesores.
En este contexto, nuestro análisis de los libros de texto expuesto más atrás ha revelado
el carácter esteriotipado de los problemas y su posible utilización como mero ejercicio
de las operaciones de cálculo. No sabemos si sería entonces descabellado pensar que los
libros puedan ejercer una influencia en aquellos que los utilizan. Influencia que lleve a
fomentar ciertas creencias relacionadas con la transmisión directa y con el fomento del
cálculo frente a la resolución de problemas. Y no sólo esto, sino que el tipo de
problemas que se promueven desde los libros no de lugar a un conocimiento de los
diferentes tipos de problemas y su grado de dificultad. De todas formas, y al igual que
pensamos del estudio de Nathan y Koedinger, de momento no contamos con
argumentos sólidos para llegar a plantear una influencia directa de los libros en los
conocimientos y creencias de los profesores.
Para terminar, nos gustaría considerar brevemente un último factor del contexto de
enseñanza y aprendizaje que puede tener influencia en la manera en que los estudiantes
se enfrentan a los problemas, como es la interacción profesor-alumnos dentro del aula.
En el trabajo anterior relacionado con las creencias y conocimientos es un análisis
indirecto de las prácticas educativas, puesto que no es lo mismo lo que el profesor
piensa o dice que hace y lo que hace realmente. En este sentido, en una serie de trabajos
recientes hemos llevado a cabo un análisis directo de lo que los profesores hacen en las
aulas cuando resuelven problemas con sus alumnos (Orrantia el al. 2006).
En este caso, nuestro interés se ha centrado en los recursos lingüísticos empleados por
profesores y alumnos durante la interacción en situaciones concretas de enseñanzaaprendizaje en la tarea de resolución de problemas. Concretamente, en estos trabajos
hemos desarrollado un sistema de análisis que nos permite describir con una cierta
100
precisión qué es lo que se hace en las aulas y qué se podría llegar a hacer. De forma más
precisa, el sistema de análisis permite desentrañar dos cuestiones básicas. En primer
lugar, qué es lo que se hace público durante la interacción entre el profesor y sus
alumnos. Esto es, de todo aquello que se hace durante la interacción qué es lo que se
llega a compartir conjuntamente por todos los participantes. Algo que, si tenemos
presente qué supone resolver un problema aritmético, nos permite valorar la relevancia
de la información que se hace pública, esto es, hasta qué punto sigue las pautas del
elaborado y estratégico proceso de resolución de problemas expuesto más atrás, o más
bien sigue un proceso menos estratégico basado en la transmisión directa. En segundo
lugar, quién es el responsable de la elaboración de esos conocimientos públicos. O lo
que es lo mismo, de la información que se llega a compartir conjuntamente, qué
responsabilidad recae sobre el profesor y cuál sobre los alumnos. Algo que nos permite
valorar el grado en que las tareas llegan a ser co-construidas por profesor y alumnos o
más bien estos son meros receptores pasivos de la información.
Aunque este tipo de investigación se basa, lógicamente en el análisis de casos, veamos
como ejemplo la siguiente interacción.
En una cuba de madera entran 158 litros; En esta entran 26 litros menos que en una
cuba metálica; Averiguar cuántos litros cabrán en la cuba metálica.
Maestra: ¿Lo habéis leído en voz baja?
Alfonso, léelo en voz alta
Alumno: (Lee el problema)
Maestra: ¿Entendéis todo lo que nos dice ahí? ¿Hay alguna palabra que no entendáis?
Un alumno: Cubas
Maestra: ¿Alguien sabe lo que significa cuba?
Otro alumno: Es como una cisterna que meten vino
Maestra: Como una cisterna.
¿Y qué es una cisterna? ... ¿Un recipiente? (Pregunta al mismo alumno)
Alumno/a: Sí.
Maestra: Es un recipiente donde se meten líquidos; preferiblemente, vino.
Maestra: Bien, entonces vamos a responder a la pregunta del problema.
¿Cuál es la pregunta que nos hace el problema? Hallar qué pregunta el problema.
101
Otra alumna: (Brazo levantado)
Maestra: Azucena.
Alumno/a: Que cuántos litros entren en la cuba metálica.
Maestra: ¿Eso es lo que pregunta?
Varios alumnos: Si
Maestra: Bien, ¿Todo el mundo lo tiene claro?
(Algunos alumnos con caras de circunstancias)
Maestra: No os preocupéis. Intentarlo y luego lo vemos.
(Los alumnos comienzan a resolverlo individualmente)
Trabajo individual de los alumnos y supervisión individualizada por parte de la
Maestra
Alumno: ¿Tengo que sumar o restar?
Maestra: Fíjate bien que el problema te lo dice
Alumno: Pero no estoy seguro
Maestra: Vamos a ver ¿Qué quieres sumar o restar?
Alumno: 158 y 26
Maestra: Muy bien ¿Y qué crees que hay que hacer?
Alumno: Yo he restado 158 menos 26
Maestra: ¿Estás seguro que hay que restar?
Alumno: Creo que sí
Maestra: Fíjate, la cuba de madera tiene 158 y tiene 26 menos que
la metálica Luego, para saber cuántos entran en la metálica ¿Tengo que sumar o
restar?
Alumno: No sé, creo que restar
Maestra: Creo que no lo has entendido bien. Si restas, la cuba metálica será más
pequeña, y en la cuba metálica entran más que en la de madera ¿no?
Luego tendrás que…
Alumno: Sumar
Maestra: Muy bien, inténtalo
Puesta en común
102
Maestra: Veamos ¿Qué tal ha ido?
A ver ¿Cuál era la pregunta?
Un alumno: Que cuánto cabe en las cubas metálicas
Maestra: Perfecto ¿Y cómo lo habéis hecho?
Varios alumnos: Sumando 158 y 26
Otros alumnos: No, hay que restar 158 menos 26
Maestra: ¿Estáis seguros? Yo creo que los que han sumado
llevan razón, porque en la cuba metálica entran más que en
la de madera.
Maestra: Muy bien, y entonces da…
Un alumno: 184
Maestra: 184 qué ¿Manzanas?
Alumno: No, litros que entran en la metálica
Maestra: Correcto. A ver, ¿cuántos lo teníais bien? ¿Y qué
ha ocurrido?
Que habéis restado ¿no? A ver si en el próximo nos fijamos más
y lo hacemos todos bien ¿vale?
Sin ánimo de entrar en detalle con el sistema de análisis, de esta interacción se podrían
sacar algunas conclusiones. Así, y respecto a lo que se hace público en la interacción, la
cuestión que habría que plantearse es hasta qué punto lo público refleja el elaborado
proceso de resolución de problemas que hemos expuesto en la primera parte de esta
conferencia. Y, por otro lado, habría que considerar quién es el responsable de la
elaboración de esos contenidos públicos, y hasta qué punto los alumnos son meros
receptores o tienen algún grado de participación en la construcción (o co-construcción)
de esos contenidos. Dejamos al lector que reflexiones sobre estas cuestiones.
Conclusiones
La resolución de problemas juega un importante papel en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la aritmética, por lo que es necesario promover en los estudiantes, desde
los primeros niveles de escolaridad, las estrategias necesarias para resolver problemas.
Es más, la importancia de desarrollar estrategias de resolución de problemas forma parte
fundamental de los marcos teóricos que subyacen a los proyectos internacionales de
103
evaluación del rendimiento de los alumnos en matemáticas, como el informe PISA
(Program for International Students Assessment) o el TIMSS (Trends in International
Mathematics and Sciences Study). Así, el proyecto PISA establece que las matemáticas
suponen la capacidad de los estudiantes para resolver e interpretar situaciones
problemáticas del mundo real en las que el camino hacia la solución no resulta obvio de
modo inmediato. En este sentido, los problemas proporcionan un contexto auténtico de
utilización de las matemáticas.
Sin embargo, una parte importante de alumnos presentan dificultades en esta tarea,
sobre todo si la comparamos con el rendimiento que los mismos tienen en el cálculo. Y
hemos tenido la oportunidad de ver que los factores que pueden explicar este fracaso no
son sólo responsabilidad del alumno. El contexto de aprendizaje que rodea al alumno
también es un factor importante. En este sentido, a la hora de abordar la explicación del
rendimiento de los alumnos en esta importante tarea, no debemos mirar solamente hacia
ellos.
104
CHILDREN’S MATHEMATICS ACHIEVEMENT IN THE CONTEXT OF THE
NATIONAL NUMERACY STRATEGY
Carol Aubrey
University of Warwick
Ray Godfrey
Canterbury Christ Church University
Sarah Dahl
Correspondence:
Professor Carol Aubrey
Institute of Education
Westwood
COVENTRY
CV4 7AL (UK)
Tel. 024 765 24486
Email: [email protected]
105
ABSTRACT
This paper focuses on a cohort of English pupils who have been tracked through
primary school during the first five years of the new National Numeracy Strategy
(DfEE, 1999). It reports a limited longitudinal study of young children’s early
mathematical development, initially within three testing cycles: at the mid-point and
towards the end of their reception year (at five years-of-age) and again at the mid-point
of Year 1 (at six years-of-age). These cycles are located within the broader context of
progress through to the end of Key Stage 1 (at seven years) and Key 2 (at eleven years)
on the basis of national standardised assessment tests (SATs). Results show that
children who bring into school early mathematical knowledge do appear to be
advantaged in terms of their mathematical progress through primary school. Numerical
attainment increases in importance across the primary years and practical problem
solving remains an important element of this. This finding is significant given the
current emphasis on numerical calculation in the English curriculum. It is concluded
that without active intervention, it is likely that children with little mathematical
knowledge at the beginning of formal schooling will remain low achievers throughout
their primary years and, probably, beyond.1
1
This paper is based on data analysis that is being reported by Aubrey et al (2006) in Mathematics
Education Research Journal, 18, (1), pp 27-46.
106
Introduction
The stimulus for this paper came from a request from Dutch colleagues to consider lowachieving pupils in mathematics in the context of the English National Numeracy
Strategy (NNS). The NNS was first introduced into all English primary schools in
September, 1999 with training provided for head teachers and teachers during the
Summer of 1999. It followed the introduction of a National Literacy Strategy,
Department of Education and Employment (DfEE), 1998 in the previous year that, in
many ways, provided a blueprint in terms of structure and delivery of subject content.
Central to this process has been the introduction of the National Numeracy Strategy:
Framework for Teaching Mathematics from Reception to Year 6 (DfEE, 1999) together
with The Orders for the National Curriculum (DfEE, 2000a) intended to incorporate the
Framework.
Prior to the introduction of the NNS, the English National Curriculum for mathematics
had placed more emphasis on mathematical applications and less on written calculation.
By contrast, the focus in the Framework document is on arithmetic skills: numbers and
the number system, calculations and solving word problems.
The daily mathematics lesson is broken down into three elements, lasting between 45
and 60 minutes:
•
Oral work and mental calculation using whole class teaching;
•
Main lesson for new topics and consolidating previous work;
•
Plenary session to draw together what has been learned.
Specimen planning sheets in the Framework specify topics to be taught each week
throughout the year for each Year Group from Reception (for five-year-olds) through to
Year 6 (for eleven-year-olds), though it is anticipated that work will be differentiated for
different groups during the main section of the lesson. In fact, a range of strategies has
emerged from differentiation for groups and individuals, through ‘setting’ pupils and
then teaching according to a perceived common attainment level or more limited range,
to no differentiation at all, in order to follow the advice in the Framework that there
should be a ‘high proportion of work with the whole class’ (DfEE, 1999: 15).
107
An intention of the Labour government was to improve national standards of primary
numeracy as the Third International Mathematics and Science Study (TIMSS), Harris et
al (1997), had shown England (and other UK countries) to have scored below the
international average, with relatively low scores in written arithmetic but very good
scores for practical problem solving. A significant influence was Chris Woodhead, then
Chief Inspector, and the review of international research he commissioned (Reynolds
and Farrell, 1996). This review drew attention to the way effective teaching structures
learning tasks on the basis of what children have in common and tries, so far as
possible, to bring all children in a class along together, thereby reducing the wide range
of attainment and the long attainment ‘tail’ that has long been a feature of English
primary classes. This paved the way for the National Literacy and Numeracy Projects,
launched by the previous Conservative government. Also important was the muchpublicised introduction of whole-class, Swiss-style mathematics by Sig Prais of the
National Institute for Social and Economic Research in the London Borough of Barking
and Dagenham though this does not appear to have ever been subjected to proper
evaluation.
It is not easy to draw conclusions about the impact of the NNS on pupil learning. In
1997, 61% of pupils reached the expected level 4, whilst in 2004, 74% of children reach
this level, just short of the target of 75%. However, as noted by the international
external evaluation team (Earl et al 2001; 2003: 3), much of the increase occurred prior
to the introduction of the NNS in 1999 and ‘some head teachers and teachers expressed
doubt … about whether increase in test scores actually represented comparable
increases in pupil learning’, presumably the cause was pressure to improve national test
performance and test preparation. Whilst there is considerable evidence of improved
teaching since the introduction of the Strategies, evidence of deep changes in teaching
practice is ‘mixed’ (Earl et al 2003: 5 and 6) and there is still ‘considerable disparity
across teachers and schools’, in terms of subject knowledge, skill and pedagogical
understanding of the Strategy. Moreover, throughout the four years of the evaluation
concerns have been expressed about teacher overload, pressure for compliance and
undue stress that may result in ‘a culture of compliance’.
In the midst of what Alexander (2004) has described as ‘pedagogical prescription’, the
government has now published its Primary Strategy, Department of Education and
108
Skills (DfES, 2003: para 2.4) that attempts to incorporate the Literacy and Numeracy
Strategies and in which, it claimed, that teachers have the freedom to decide how to
teach ‘ … the National Literacy and Numeracy Strategies, though they are supported
strongly, are not statutory … the Office for Standards in Education (OFSTED) will
recognise and welcome good practice … Our aim is to encourage all schools to …take
control of their curriculum and to be innovative.’ Indeed, there is some evidence to
suggest that OFSTED is looking beyond basic structures and timing to a great flexibility
in interpreting teaching methods (OFSTED, 2002).
Meanwhile, a range of studies (for instance, of Alexander, 2000; Hardman et al, 2003;
and Moyles et al, 2003) have found that whilst teaching methods and classroom
organisation have changed, at the deeper level of classroom discourse, pupil-teacher
interaction is still dominated by closed questions, emphasising recall rather than
speculation and problem-solving, with short answers for which teachers do not provide
diagnostic feedback. The pace of lessons has been perceived as leaving little time for
consolidation and too little opportunity for formative assessment.
Context
Kyriacou et al (2004) reviewed the ways that teachers’ approach to the daily
mathematics lesson impacted on pupils’ confidence and competence in early
mathematics through an in-depth analysis of eighteen studies. Results showed that the
daily lesson had been well received by teachers and there was some evidence that this
had enhanced pupil confidence and competence. A closer examination revealed,
however, that intentions to promote higher quality dialogue, discussion and strategic
thinking had not been realised and what had been achieved was closer to increased use
of ‘traditional whole class teaching with pace’ that may be creating problems for lower
attaining pupils. Overall gains may reflect a closer match between teaching and
assessment, rather than increased understanding of mathematics. The conclusion was
that there was a need for in-service training to strengthen teachers’ subject knowledge
and their understanding and use of interactive teaching in order that they can better
exploit the opportunities to enhance pupils’ understanding that arise in the course of
teaching.
109
Research from the five-year longitudinal Leverhume Numeracy Research Programme of
teaching and attainment conducted at King’s College London from 1997 to 2002,
concluded that the NNS had had at most a small effect on attainment in most areas of
numeracy (Brown et al, 2003). The Nuffield Year 4 project (Brown and Askew, 2004;
Askew and Brown, 2004) set out to investigate aspects of the impact of the NNS in
primary schools, drawing upon data collected for the Leverhume Research Programme.
This comprised large-scale outcome data from two cohorts of Year 4 pupils from 35
schools two years before the introduction of the NNS (1997/8) and two years after
(2001/2), teacher questionnaire, observation and interview data, also before and after
introduction of the NNS. In the second phase, a small set of 5 schools in 4 local
authorities were revisited and interviews carried out with Year 4 teachers, head teachers
and/or mathematics co-ordinators, singly or as a group.
An average gain in pupils’ results for a numeracy test of about 3%, just over two
months’ development, was found. Two-thirds of schools had higher test scores and in
only half of those cases that had a decline was this more than 2%. In terms of attainment
in different groups, variation had increased rather than decreased, as had been
anticipated by the first Director of the NNS, with the introduction of more whole-class
teaching. Slightly greater improvements were made within the middle 50% of pupils,
with small improvements being made within the top 10% and a small decline within the
lowest 10%. Teachers, themselves, expressed doubts about the lower attainers’ ability to
participate satisfactorily in whole-class teaching and felt that their needs were not being
fully met. Boys more than girls appeared to have benefited from the introduction of
NNS and were over-represented in the top 10% of pupils. In general, improvement in
pupils’ facility on items relating to numbers and the number system and place value, all
areas of emphasis in the NNS, whereas changes in some basic skills, such as knowledge
of multiplication facts, division, ratio and proportion had not occurred.
Furthermore, observation and interview data suggested that low-attaining pupils
derived least benefit from whole-class teaching with the lesson topic not always
matching their areas of greatest need. Analysis of post-NNS lessons showed more
opportunities to explain mental methods but little evidence of pupils discussing and
evaluating different methods as applied to different calculations. One reason for this
110
related to the objectives-driven nature of lessons that allowed little room for
alternatives. Another was teachers’ view that different methods suited different children
and their way of working. As noted by Askew and Brown (2004), informed
interpretation of objectives in the Framework and a move to more strategic ways of
working are challenging for teachers to understand and implement. Evidence of ‘deep’
change as noted by the evaluation team is hard to identify (Earl et al 2003). In the
meantime, teachers have interpreted objectives in terms of existing understandings,
rather than changed their understanding.
The review of research evidence provided has, of necessity, been brief and focused on
such searching questions as: has children’s attainment in numeracy improved; how and
to what extent has numeracy teaching changed; why have such changes occurred?
By contrast, the study to be reported here focuses on the mathematical performance of a
cohort of three hundred children just completing their primary education who have
experienced the first five years of the English NNS. These children were tracked from
age five to six years with follow-up, national standardised assessment (SATs) at seven
years and more recently, reassessed at eleven years, again through SATs. The National
Curriculum sets standards of achievement ranging from levels 1 to 8 that provide
information on how pupils are progressing. At seven years they will be expected to
reach level 2 and at eleven years level 4. These pupils received the NNS from Year 1 (at
six years) to Year 6 (at eleven years) but missed the Foundation Stage (DfEE, 2000b)
for three- to five- year-olds that advocates a flexible introduction to the NNS through a
play-based pedagogy in Reception (for five-year-olds).
The following questions provided a structure for the methodology of the final
phase of this work to be reported here:
•
Is early achievement likely to be a major determinant of subsequent success in
the current NNS context?
•
Is this the case for all children or are there particular areas of gain (or loss) for
particular groups of children?
111
•
Is it likely that their performance can be related in any way to the NNS teaching
received?
Background
In our earlier paper (Aubrey and Godfrey, 2003), we reported a limited longitudinal
study of 300 young English children’s early mathematical development within three
testing cycles, at the mid-point and towards the end of their reception year (at five
years-of-age) and again at the mid-point of Year 1 (at six years-of-age), located within
the broader context of progress through the first phase of formal schooling (described as
Key Stage 1) to standardised assessment tests (SATs) carried out at seven years.
Assessment was carried out using the Utrecht Early Mathematical Competence Test
(van Luit et al, 1994). This comprised eight sub-tests five items in each, including
comparison, classification, correspondence, seriation, counting, calculation and practical
problem solving. Broadly, one set of sub-tests related to understanding of relations in
shape, size, quantity and order, whilst a second set of sub-tests related to counting and
basic arithmetic.
Three hundred pupils were selected from twenty-one schools, large and small, from
rural and urban areas, with high and low concentrations of children eligible for free
school meals and/or with special educational needs, as well as representing a broad
range of achievement levels based on the schools’ previous SAT results. Whilst our
earlier paper focused upon the performance of the English pupils, reference was also
made to the larger sample from our wider European project which involved children
from Flemish-speaking Belgium, Germany, Greece, Slovenia and the Netherlands (van
de Rijt et al, 2003).
Results showed that children’s total scores at around the mid-point of reception year
were indeed predictive of later achievement at the end of Key Stage 1 (KS1) though the
combined scores over three testing cycles which extended to the mid-point of Year 1,
were more so. Discriminant analysis determined that a combination of a counting subtest (one seemed sufficient) and a sub-test focusing on understanding of relations in
112
shape, size, order or quantity (a different one at each testing cycle), together with the
general number knowledge sub-test was best predictive of final SAT levels.
Comparison with the international data set suggested a trajectory for English pupils
different from that found elsewhere in Europe, with more of a bias towards arithmetic
sub-tests than their European counterparts who start school later and, thus, experience
for longer and broader, holist preschool programme. Moreover, the pattern of
dependence of scores on age in which no advantage was found in including any national
differences was especially interesting, given the early English school starting age.
Findings suggested the need for young English pupils to have a broad and balanced
early mathematics curriculum with appropriate emphasis being placed on practical
problem solving.
Aims
Aims for the current and final phase of our research were thus to:
•
build on the existing longitudinal study by tracking our original cohort of pupils
from their KS1 SATs in 2000 to the end of their primary years and their KS2
SATs in the Summer of 2004;
•
examine these results in the light of our earlier findings, where early
achievement did appear to be a major determinant of later success;
•
consider the results in the light of the NNS curriculum that pupils had received.
Methods
i) Participants
113
More than three hundred schools in the south-east of England were informed about the
initial project and invited to take part. Since most were willing to participate it was
possible to select schools carefully to include east, west and the centre of the region,
urban and rural areas, large and small schools, with high and low concentrations of
children eligible for free school meals (FSM) and special educational needs (SEN), as
well as a broad band of achievement levels based on schools SATs results. The SATs
results for the schools selected ranged from the twentieth to the ninety-fourth percentile.
Eventually twenty-one schools took part. So far as possible, groups of ten children (five
boys and five girls) were nominated from each reception class selected, based on the
teacher’s judgement of the range of ability in the class. Ages at the first cycle of testing
were as Table 1 shows.
Table 1: Ages at the first cycle of testing
Mean
age SD
N
(months)
Boys
60.1
3.56
163
Girls
59.8
3.57
156
Total
60.0
3.56
319
ii) Materials
Three forms (A, B and C) of the Utrecht Early Mathematics Test (Van Luit et al, 1994)
were used. Each form comprised eight sub-tests, providing forty items in total. These
were as follows:
1. Concepts of comparison (between two, non-equivalent cardinal, ordinal or
measure situations.
2. Classification (grouping of objects in a class on the basis of one or more features)
3. One-to-one correspondence (counting and pointing to objects at the same time to
make a one-to-one relation)
114
4. Seriation (dealing with discrete and ordered entities)
5. Using number words (flexibly and in sequence, in this case, backwards and
forwards)
6. Structured counting (counting objects in a variety of arrangements)
7. ‘Resultative’ counting (responding to ‘how many’ questions or otherwise
determining an amount without the need to point and count)
8. Applying general knowledge of numbers in real-life situations (solving practical
word problems).
For ease of reporting, the first four sub-tests that assessed understanding of relations in
space, size, quantity and order will be described hereafter as ‘relational’ tasks. The
second four tests, comprising counting forwards and backwards, ordering numbers
within 20 and simple problems solving which required manipulation of numbers within
10, will be described simply as ‘numerical’ tasks.
Reliability coefficients for each form of the test when used in England as well as the
different countries have been reported elsewhere (see van de Rijt et al, 2003). Analysis
of the scores of the English sample with a view to finding dependence on time of day or
day of the week discovered no evidence that the test was not robust in such respects.
iii) Procedure
Approximately one hundred children took each form of the test, on each of three testing
cycle. Details are provided below.
Table 2: Children taking each form of the test on each testing cycle
115
N
Form A
Form B
Form C
T1
319
119
100
100
T2
299
113
93
93
T3
290
107
88
95
Tests were individually administered with each form taking approximately twenty
minutes to complete. Most items were orally presented with children responding mainly
to pictorial material or, in the case of some of the counting and number tasks,
manipulating unifix blocks. A few items required children to match two objects in a
picture using a pencil to link them.
A limited longitudinal design was employed within three testing cycles, at the mid-point
and towards the end of children’s reception year (at five years-of-age) and again at the
mid-point of Year 1 (at six years-of-age). The same tester was used for the three testing
cycles, with the exception of one or two rural schools that were not accessible by public
transport.
SAT results at KS1 (seven years) and KS2 (eleven years) were also included in the
analysis, though the focus of this report is the assessment at the end of primary
schooling. These national standardised tests taken at seven and eleven years sample
pupils’ National Curriculum mathematical performance on number and calculation,
solving problems, measure, shape and space and data handling and, hence, teaching of
NNS.
iv) Preliminary analysis
The multilevel analysis used for the study provided an extension of multiple regression
to incorporate the hierarchical structure of the data, with groups of ten pupils (five girls
and five boys), nested within classes, within schools, with different areas of the
authority. Preliminary analysis (Aubrey and Godfrey, 1999) revealed that different areas
of the authority and different classes of pupils showed no significant variation.
Moreover, no difference was found between mean scores of boys and girls, though there
116
was some indication that boys’ results were more variable and less predictable. All
these factors are thus ignored in subsequent analysis.
The basis multilevel model allowed scores to be plotted against age in order to analyse
differences between scores in the different testing cycles. Sub-test scores showed little
difference between cycles 1 and 2 (around five years of age) and a larger difference
between cycles 2 and 3 (at five and a half to six years). The profile of different topics
varied, some relational tasks declining over time.
Between 1998 and 2004, there was considerable sample attrition illustrated in Table 3.
This arose partly from family mobility, partly from pupil absence and partly from
transfer to junior (seven to eleven years) from infant schools (up to seven years),
although many of the schools involved were combined infant and junior schools. Only
82.4 percent of the original sample were included in the KS1 SATs results and only
59.4 percent in the KS2 SATS results. Nevertheless, just over 50% of the sample
appeared in all five sets of resultsi.
The gender balance was maintained fairly steadily throughout and is ignored in the
following analysis.
Table 3: Sample size in each round of testing
Tests
Boys
Girls
Total
Percentage
of
original
sample
First Cycle UEMCT
162
156
318
100%
Second Cycle UEMCT
152
145
297
93.4%
Third Cycle UEMCT
150
140
290
91.2%
KS1 SATs
134
128
262
82.4%
KS2 SATs
94
95
189
59.4%
All the above
83
84
167
52.5%
117
Before analysing the results of the KS1 SATs, Aubrey and Godfrey (2003) applied
optimal scaling (with OVERALS [1] in SPSS) to determine a score to be attributed to
each of the levels attainable by the children that would be suitable for regression with
UEMCT results. This approach was motivated by the absence of raw score data form
some schools and the use of fine grading in recording levels. The results were very
close to counting levels W2, 1, 2C, 2B, 2A, 3 and 4 as worth 1, 2, 3, 4, 5, 6 and 7
respectively. This simplified quantification was used for analysis.
In the case of KS2 results all schools that provided data did provide raw scores and
there was very little use of fine grading. Although the scores were not normally
distributed (Kolmogorov-Smirnov Z = 1.46, p = 0.03), they ranged from 9 to 100 and
offered an adequate quantification of performance.
Table 4 shows the Pearson correlations between KS2 SATs scores and total or partial
(numerical and relational) scores in each cycle of the UEMCT testing and with the
quantified levels attained at KS1.
Table 4: Pearson correlations between KS2 SAT scores and scores in UEMCT for
KS1 SATs
Total Scores
Numerical Scores
Relational Scores
UEMCT 1
.57
.50
.52
UEMCT 2
.66
.60
.63
UEMCT 3
.63
.66
.58
UEMCT average
.70
.68
.65
KS1 SATs
.78
As four years passed between KS1 SATs and KS2 SATs, it might be expected that
UEMCT scores would be less successful predictors at KS2 (at eleven years) than at KS1
(at seven years) but, indeed, they were only slightly less so. The biggest drop from KS1
to KS2 was the correlation with the total score in the third cycle of UEMCT testing.
2
‘W’ means a child is still ‘working towards’ work at Level 1 (L1), that is, has not reached L1.
118
This cycle of testing was closest in time to the KS1 SATs and had by far the highest
correlation (0.72) and the furthest to drop (to 0.63).
For both KS1 and KS2 SATs, the correlation with total UEMCT scores gradually
increased from one cycle to the next. For KS1 total UEMCT scores were more highly
correlated than either partial score with SATs levels, at KS2 this held only for the first
and second cycles of UEMCT testing. In the third cycle the numerical score was more
closely associated than total score with KS2 SATs performance.
This seems to suggest that either relational performance was in some sense a less useful
indicator of the type mathematical ability measured in SATs at the time of the third
cycle of testing than it was earlier. It also suggests that in the schools concerned not
much happens between the ages of seven and eleven that disturbs the predictive value of
mathematics tests taken at around the ages of five and six years.
At KS1 the data were consistent with the view that the final UEMCT score was a
reasonably good predictor of performance in SATs and that taking the second UEMCT
score into account improved the prediction, but the first UEMCT score added no further
information about later performance.
Table 5 shows the proportion of variance explained when total, numerical and relational
UEMCT scores were used as predictors of KS2 SATs scores in simple regression
models, starting with cycle 3, then adding cycle 2 and finally cycle 1. Very similar
results were found at KS1. The first UECMT score added no useful predictive
information to what was contained in the second and third scores.
Table 5: Variance explained by variables in sequential regressions of KS2 SATs
scores on scores in UEMCT Cycles 1, 2 and 3
Numerical and
Total
Numerical
Relational
Scores
Scores
Scores
Cycle 3
45.1%
43.8%
33.0%
46.1%
Adding Cycle 2
5.7%
5.6%
11.0%
5.9%
Relational
Scores
119
Adding Cycle 1
0.0%
0.1%
0.2%
0.0%
The best simple regression equation was:
KS2 SAT score = 3.37 + 1.37 × Third UEMCT Score + 1.15 × Second UEMCT score.
In this equation, the third UECMT score seems to be about 1.2 times as important as the
second. At KS1, the third score was 1.7 times as important. This higher figure can be
explained in terms of recency. At age seven years, the time of third testing was much
more recent than the second. At age eleven years, the difference was less notable.
Changes in the predictive value of UECMT scores from KS1 to KS2 are slight and
subtle. It does seem clear however, that for both Key Stages relational scores are rather
less important than numerical scores and that these are less effective than total scores.
Cycle 3 alone is less effective in predicting KS2 than KS1, but by adding information
from cycle 2, this difference is partially eliminated. After a longer time lapse, the most
recent UECMT results are less dominant and evidence of sustained high performance is
relatively more important.
This suggests, though other interpretations are possible, that there is in general some
underlying consistency in children’s performance in mathematics, measured with some
variability by UECMT at various ages and by KS2 SATs, but also that children are
making some real progress through time in terms of mathematical development and that
slower progress during the early years is unlikely to be compensated for by faster
progress later.
Aubrey and Godfrey (2003) distinguished between the actual raw scores gained by
children in the various test and residual scores after adjustment for age. A series of
regression models were compared. This led to the conclusion that raw scores in
UECMT were an effective predictor of both raw and age-related scores in KS1 SATs;
but age-related performance measured in UECMT was an effective predictor only of
120
age-adjusted performance but not of raw scores measured in KS1 SATs. This pattern is
rather complicated and difficult to interpret.
For the KS2 analysis the approach was more straightforward. UEMCT and SATs scores
were regressed on age and residuals were used as age-adjusted scores. This means that
age-adjusted scores were calculated independently for each round of testing and the
relationship between age-adjusted scores was also independently calculated. The
resulting pattern for KS2 SATs shown in Table 6 is rather simpler than the one for KS1
reported in Aubrey and Godfrey (2003).
At KS2 with both cycles used as predictors, making age adjustments to UEMCT scores
only very slightly reduced the predictive value for raw KS2 SATs scores. Whereas 50.8
percent of variance was accounted for by raw scores, 50.1 percent was by age-adjusted
scores. The best predictive value was that of age-adjusted UEMCT scores for ageadjusted KS2 SATs scores, but it was only best by a negligible amount. Predictive value
was lost only when raw scores in UEMCT were used to predict age-related scores at
KS2. The proportion of variance accounted for was 46 percent.
The differences between the patterns at KS1 and KS2 are quite small and if generalised
to other schools would scarcely give individual schools any cause for concern. They
therefore deserve careful consideration. The suggestion arising from Table 6 is that raw
and age-adjusted performance in the earliest years of schooling were equally important
for predicting raw scores at KS2, whereas early age-adjusted scores are a rather poorer
predictor of raw scores at KS1.
Table 6: Proportion of variance explained in sequential regressions of KS2 SATs
scores on scores in total UEMCT scores in cycles 1, 2 and 3, with and without
adjustments for age
No
Age
Adjustments
Age
Age
Age
Adjustment
Adjustments
Adjustments
for UEMCT
for KS2 SATS
for both
Cycle 3
45.1%
44.4%
40.7%
45.0%
Adding Cycle 2
5.7%
5.7%
5.3%
6.5%
121
Adding Cycle 1
0.0%
0.0%
0.0%
0.0%
As suggested by the relative high correlation in Table 4 between KS2 SATs and KS1
SATs, a far more successful predictive model can be calculated employing KS1 SATs
results alongside UECMT scores. Once these are taken into account, the first UECMT
score had no predictive value at all. The best simple regression model is:
KS2 SAT score = 2.26 + 9.84 × KS1 SATs level + 0.92 × Second UEMCT score.
However, taking the difference of scale into account, the KS1 SATs levels were still 1.6
times as important as UEMCT scores from eighteen months earlier. The KS1 SATs
were clearly better predictors of KS2 SAT performance than UEMCT scores a year and
a half earlier. This may be at least in part because there is some similarity of format and
content between SATs at different Key Stages. It may be because during the year and a
half the future mathematical progress of the child becomes more settled. It is interesting
that the second UEMCT score rather than the third was the best representative of
continued high performance.
Table 7 suggests that making age adjustments to KS1 SATs made an almost
imperceptible improvement in prediction of raw KS2 scores and age-adjusted scores
and that age-adjusted KS2 scores were less predictable than raw scores with or without
the use of age adjustment for earlier tests.
Table 7: Proportion of variance explained in sequential regressions of KS2 SATs
scores on scores in total UEMCT scores in cycles 1, 2 and 3, and on KS1 SATs
levels with and without adjustments for age
No
Age
Adjustments
KS1 SATs
60.1%
Age
Age
Age
Adjustment
Adjustments
Adjustments
for UEMCT
for KS2 SATS
for both
60.8%
56.4%
57.6%
122
Adding Cycle 2
4.4%
4.7%
3.0%
5.7%
Adding Cycle 3
0.2%
0.3%
0.2%
0.4%
Adding Cycle 1
0.0%
0.0%
0.0%
0.0%
At KS2 SATs pupils are grouped by level on the basis of their score. The national target
level for pupils of this age is 4. Anything less than that is regarded as in some way
indicative of a problem of some kind. Table 8 charts the progress of an average member
of each of these groups through the three cycles. The picture is very similar to that
found by Aubrey and Godfrey (2003) at KS1.
Boxplots in figures 1 to 4 show graphically the progress of these groups in terms of
relational scores, numerical scores, total scores and age-adjusted total scores in
UEMCT. The boxes labelled missing represent children who were not included in the
KS2 SATs data. They indicated that sample attrition affected a broad range of children
and
probably
did
not
have
much
biasing
effect
upon
the
results.
123
Table 8: Mean total, relational and numerical UEMCT scores for each cycle of
testing and KS1 SATs levels for children grouped by KS2 SATs level
KS2 SATs
UEMCT
level
Cycle
N
KS1 SATs
Mean Scores
Total
Number
Relational
1
10.6
4.0
6.6
2
8.0
3.0
5.0
3
11.2
4.2
7.0
Mean Level
1.8
3
1
12.7
5.0
7.7
2
15.2
6.4
8.9
3
23.6
11.4
12.3
3.3
4
1
15.8
6.9
8.9
2
19.0
8.7
10.4
3
27.9
13.8
14.1
4.5
5
1
20.7
9.4
11.4
2
25.6
12.0
13.6
3
32.3
16.2
16.1
5.5
Note that only one pupil appeared at Level 1 and one at Level 2. These are omitted form
the table.
124
Figure 1 Boxplots of Relational Scores in each UEMCT cycle of testing for children
grouped by KS2 SATs level
Relational Scores
20
10
Cycle 1
Cycle 2
0
Cycle 3
Missing
0
1
2
3
4
5
KS2 SATs Level
In Figure 1, the relational scores for pupils assigned to level 4 appear to lag one cycle
behind those of pupils assigned to level 5. Similarly those at level 3 lag behind those at
level 4. This is not true to the same extent of the numerical scores shown in Figure 2
and not true at all of total scores shown in Figure 3, where the final UEMCT score for
each group are superior to the second scores for next highest group.
125
Figure 2: Boxplots of Numerical Scores in each UEMCT cycle of testing for children
Numerical Scores
20
10
Cycle 1
Cycle 2
Cycle 3
0
Missing
0
1
2
3
4
5
KS2 SATs Levels
Figure 3: Boxplots of Total Scores in each UEMCT cycle of testing for children
Total UEMCT Scores
40
30
20
10
TOTAL1
TOTAL2
0
TOTAL3
Missing
0
1
2
3
4
5
KS2 SATs Levels
126
Figure 4: Boxplots of Age-adjusted Total Scores in each UEMCT cycle of testing for
children grouped by KS2 SATs level
Age-Adjusted UEMCT Scores
20
10
0
-10
Cycle 1
Cycle 2
Cycle 3
-20
Missing
0
1
2
3
4
5
KS2 SATs Levels
The age-adjusted scores shown in Figure 4 suggest that children who just failed to reach
the KS2 target of level 4 (the national norm) and were assigned to level 3 had on
average proceeded steadily through the three UEMCT tests attaining just below average
for their ages. Those who achieved the target on average started off at the appropriate
score for their age and made slight progress. Those who reached level 5 (above the
national norm) at KS2 on average started high and made more progress, presumably
hitting a ceiling in the final round of testing. The most remarkable thing is that children
making virtually no progress up to the age of eleven and classified in KS2 SATs as ‘N’
(not classified) are distinguished not so much by low scores initially, but by their swift
decline during the earliest years of schooling.
It is also notable that the maximum and minimum scores shown for each type of score
for each group in each cycle of testing are quite widely separated. Individual children
could be very far from the average score for their group.
Finally, Aubrey and Godfrey (2003) took a finer grained look at how UEMCT scores
might predict KS1 SATs performance by applying discriminant analysis to the eight
individual topic scores in each cycle of testing. The results were that for each set of
tests, the best prediction of KS1 SATs levels was achieved by a combination of a
127
relational topic score with a numerical topic score together with the General Number
Knowledge topic score. The two most predictive topics in addition to General Number
Knowledge varied from cycle to cycle. General Number Knowledge, as defined in
UEMCT, appeared to be genuinely an important predictor. The other topics appeared to
be best representatives of what predictive value there was in the relational topics as a
whole and the numerical topics as a whole. In fact at KS2, General Number Knowledge
remained important, but otherwise the topics involved were different. Classification was
no longer important in cycle 1 but became so at cycle 3. Structured Counting
disappeared at cycle 2 and Seriation appeared. Resultative Counting was replaced by
Structured counting at cycle 2.
Discussion
These results reinforce and extend those reported in Aubrey and Godfrey (2003). We
showed then that children with higher mathematical knowledge at six years tended to
have higher scores on SATs at seven years. Changes in the predictive value of UEMCT
scores from KS1 to KS2 were small and subtle. For the schools and pupils concerned,
nothing much happened to disturb the predictive value of mathematics tests taken at
around the ages of five and six years. By the third cycle of UEMCT, the numerical score
was more closely associated than total score with KS2 SATs performance. Furthermore,
at both KS1 and KS2, correlation with relational scores was slightly higher than with
numerical scores in cycles 1 and 2, but rather lower in cycle 3 suggesting that relational
performance was rather less useful as an indicator of the type of mathematical ability
measured in SATs at the time of the third cycle of testing than earlier. Overall, at KS1
the data were consistent with the view that the final UEMCT score was a reasonably
good predictor of performance in SATs and that taking the second UEMCT score into
account improved the prediction, but the first UEMCT score added no further
information about performance.
In general, there appeared to be some consistency in children’s performance in
mathematics, measured with some variability by UEMCT at various ages and by KS2
SATs. Children were making some real progress through time in terms of mathematical
development and slower progress during the early years is unlikely to be compensated
128
for by faster progress later. Sample attrition of more than one third affected a broad
range of children and probably did not bias the results obtained.
Adjusting UEMCT and/or SAT scores for age did not perceptively improve prediction.
The age-adjusted scores suggested that children who just failed to reach the national
KS2 target of level 4 and were assigned to level 3 had on average proceeded steadily
through the three UEMCT tests attaining just below average for their ages. Those who
achieved the target on average started off at the appropriate score for their age and made
slight progress. Those who reached level 5 at KS2 on average started high and made
more progress. Children making almost no progress up to the age of seven years and
classified in KS2 SATs as ‘N’, were distinguished less by low initial scores, than by
their swift decline during the earliest years of schooling.
Applying a discriminant analysis to each of the eight individual test scores in each cycle
of testing at KS1 indicated that the best prediction of KS1 SATs levels was achieved by
a combination of a relational topic score with a numerical score, together with the
General Number Knowledge topic score. The results for a similar discriminant analysis
at KS2 indicate that General Number Knowledge remains important but otherwise the
topics involved were different.
Conclusions
The results for the second phase of primary schooling confirm and reinforce our earlier
results for the first phase of schooling. Children who bring into their reception year
numerical and relational knowledge do appear to be advantaged in terms of their
mathematical progress through primary school. Numerical attainment increases in
importance across the primary years. Though it is beyond the scope of this paper to
speculate too wildly upon the relationship of this finding to the current emphases in the
English curriculum, that General Number Knowledge, involving practical problem
solving, remains important across primary schooling is worthy of note, given the Brown
et al (2003) finding that English children’s scores for word problem solving may have
declined with the introduction of the NNS and its emphasis on numerical calculation.
129
Indirectly, these findings may argue for the importance of pre-school education between
three and five years. Reception class teachers (for five-year-olds) who systematically
monitor their pupils from the beginning of the year, identify and coach those without
these mathematical skills may well help to reduce inequality. Without active
intervention, it seems likely that children with little mathematical knowledge at the
beginning of formal schooling will remain low achievers throughout their primary years
and, probably, beyond. What is most striking is the extent to which these findings are
compatible with the King’s College Nuffield project findings for Year 4 pupils:
standards are declining for low-attainers. What this study clearly demonstrates is that
the decline starts early on with low attainers slipping further behind. The gender
differences found by Kings College, with boys being more favoured than girls, was not
up held.
It seems reasonable to suppose that pupils’ attainment has been influenced by the
changes to the English curriculum brought in by the NNS. Furthermore, it would appear
that the NNS advantages some pupils more than others, with low attainers being least
advantaged. This may well be related to the fast pace of classroom teaching and
learning and a curriculum that leaves too little time for consolidation and too little
opportunity for formative assessment that leads to adaptation to the individual needs of
learners (Askew and Brown, 2004).
Interestingly, whilst the new Primary Strategy (DfES, 2003) is still set upon producing a
common approach to teaching and learning approaches promoted by the Strategies and
still driven by testing, targets and performance tables, there is talk of increasing
autonomy of teachers and schools and insistence on individualisation. But if teaching
and learning must be focused on individual pupils’ needs and abilities, then this must
include the needs of children from special needs and minority ethnic needs
backgrounds, as well as the gifted and talented. The deep irony here, as noted by
Alexander (2004), is that whole-class interactive teaching of the Strategies is intended
to exploit commonalities of the group, in order to benefit the individuals.
130
References
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The development of early numeracy in Europe. Journal of Early Childhood Research,
1,( 2), 155-179.
132
133
COMUNICACIONES ORALES/ Individual papers session
SESSION I
VIERNES/Friday 5
19.00-21.00
SESIÓN COMUNICACIONES / Individual paper session (I)
Investigación acción en una práctica educativa: Taller de juego y
matemáticas en el ciclo inicial de primaria.
Edo, Mercè y Deulofeu, Jordi
Progression In Early Number. Kathleen Hart
Children and early mathematics towards social and emotional
mathematics. Päivi Perkkilä, & Eila Aarnos
Early numeracy and dimensions of teaching-learning processes. A
comparative case study of maths lessons for six-year-old children in
three European samples. Hiltunen, Teija,
El conocimiento lógico-matemático en Educación Infantil y su relación
con el aprendizaje de la lectura en 1º de Primaria. Jaime Solsona
Desarrollo de las capacidades relacionales y de conteo evaluadas por la
versión española del test de Utrecht.
.
134
Investigación acción en una práctica educativa: Taller de juego y matemáticas en
el ciclo inicial de primaria
EDO, Mercè y DEULOFEU, Jordi
Departament de Didàctica de les Matemàtiques i les Ciències Experimentals.
Universitat Autónoma de Barcelona. [email protected] - [email protected]
Contexto y Problema: El equipo de maestros del ciclo inicial del CEIP Bellaterra
(Barcelona) realiza un taller de juegos y matemáticas del cual no se siente
suficientemente satisfecho. Piden asesoría externa y argumentan:
–
Nos parece que los alumnos aprenden matemáticas pero no tenemos
forma de comprobar exactamente qué aprenden.
–
No tenemos claro qué juegos escoger ni como secuenciarlos.
–
No tenemos claro qué contenidos curriculares se trabajan.
Constituimos un grupo de investigación acción formado por 4 maestros del ciclo inicial,
4 maestros en prácticas y el investigador externo. Participan en el taller 98 alumnos.
Objetivo: Mejorar una práctica educativa. Conseguir un diseño de un taller de juegos y
matemáticas aplicable a la realidad de la escuela y que responda a los objetivos
educativos seleccionados por el grupo de investigación.
Objetivos del taller: que los alumnos sean capaces de:
–
Aumentar su capacidad de cálculo mental
–
Aumentar su capacidad de descubrir y aplicar estrategias de juego
–
Aumentar su capacidad de gestión y colaboración cooperativa.
Procedimiento, Investigación acción: Estudio sistemático orientado a mejorar la
práctica educativa por grupos de sujetos implicados a través de sus propias acciones
prácticas y de reflexión sobre los efectos de tales acciones.
La investigación acción es un proceso de reflexión sistemática y compartida; en nuestro
caso incluye: planificación (diseño del taller), actuación (aplicar lo diseñado),
observación (recogida de datos), evaluación (análisis de los datos, triangulación con los
miembros del grupo), los resultados promueven una nueva planificación, actuación,
observación y evaluación. Este ciclo completo se repite varias ocasiones. (Edo, 2004)
Algunos resultados en relación al objetivo: Aumentar la capacidad de cálculo mental
Resultados parciales. Corresponden a un pretest y un postest realizados antes y
después de las 4 sesiones de cada juego. Distinguimos dos tipos de juegos en relación al
contenido de cálculo: a) combinaciones aritméticas básicas. b) descomposición de una
cantidad determinada.
Para los juegos de tipo a) Promedio aciertos pretest: 10, promedio aciertos postest: 16,
Mejora: 60%.
Para los juegos de tipo b) Promedio aciertos pretest: 12, promedio aciertos postest: 27,
Mejora: 125%.
135
Resultados globales. Los resultados de una prueba estandarizada (Prueba
psicopedagógica de aprendizajes instrumentales) aplicada los 4 años anteriores a la
experiencia dan una media de aciertos de 6,07 para primero de primaria y de 6,25 para
segundo. En el curso de la experimentación dichos resultados fueron: 7,75 en primero y
7,1 en segundo curso.
Conclusiones
En relación con la investigación acción esta experiencia ha sido un medio para resolver
el problema inicial, mejorando la práctica educativa taller de juegos y matemáticas. Así
mismo ha constituido una actividad de formación permanente para todos los miembros
del equipo y de aproximación y mejora de la comunicación entre la práctica educativa y
la teoría e investigación.
En relación con el aprendizaje del cálculo, esta experiencia ha mostrado que los juegos
de mesa utilizados en el taller y el diseño de la situación didáctica crean un contexto
adecuado para el aumento de la capacidad de cálculo mental de los alumnos implicados.
Esta experiencia ha proporcionado datos para seguir investigando la aportación de los
juegos a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en las primeras edades. (Edo
& Deulofeu, 2006)
Referencias:
Edo, M. (2004). «Taller de juegos y matemáticas en el ciclo inicial de primaria»,
Desarrollo curricular. Estrategias e instrumentos, en Tomás, C. y Casas, M. (coords.).
Educación Primaria. Orientaciones y Recursos.CISSPRAXIS. Barcelona. CD-Rom 13
pag.72
Edo, M. & Deulofeu, J. (2006) Investigación sobre juegos, interacción y construcción
de conocimientos matemáticos. Enseñanza de las ciencias (aceptado para su
publicación).
136
Progression In Early Number
Kathleen Hart. Emeritus Professor of Mathematics Education, University of
Nottingham.
[email protected]
Abstract
In 2001 to 2004 the Department for International Development [DFID] funded a small
research project to look at progression in Numeracy concepts in the first three grades in
Ghana, Zambia and Malawi all of which were very dependent on aid. There was a need
for instruments and objectives with which teachers could assess the achievements of the
children they taught and funding agencies could judge the effectiveness of the schools
they were supporting. All three countries showed poor results in mathematics at the end
of the primary phase. Children, teachers and schools were all working in deprived
conditions. The research is on a small scale and has gaps but it is presented here as an
illustration of what children appear to be able to do with scant input from the
educational system and which concepts demand more effort. There was very little actual
research evidence of ‘progression’, although two large scale Australian projects were
looking at performance at this age level. An educator from each of the countries
involved was recruited. These colleagues were; Joseph Ghartey Ampiah from Ghana,
Bentry Nkhata from Zambia and Duncan Nyerenda from Malawi. We met altogether at
the start of the work to plan and then after the data collection and computer analysis to
discuss what we had found. Additionally Professor Hart spent a week with each
colleague and worked with teachers who had volunteered their classes.At the planning
meeting we scrutinised the Number content of the national curriculum of each of the
three countries as well as those of five other countries. The demands of the syllabus of
the three African countries were very large and a third grade Zambian pupil for example
was expected to know more than a London child. We drew up a list of whole number
ideas that seemed to be common and then planned a set of questions that pupils could be
asked. For the sample each colleague identified eight schools in his area; four urban and
four rural and further identified in each two teachers who were prepared to come to two
days training and then to test children in their classes. The children in many cases could
not read and so the questions were read to them whilst they had the printed version of
the test in front of them. In the first and second grade a small group of pupils were
interviewed. The researcher was in the classroom when the teacher did the testing and
helped with the translation into the local language. In each class 25 children were
chosen randomly and the plan was to test them three times in the school year. In two
countries the last test was given to the grade above at the start of the year.The results
indicate that the current syllabus is far too difficult and that there are large conceptual
gaps between ideas which the curriculum lists consecutively. Place value causes great
problems and the understanding of diagrams cannot be assumed. A suggested
progression is available.
In 2001 [finishing in 2004], the Department for International Development of the
United Kingdom [DFID] funded a small research project to look at Numeracy and
Literacy in three Sub-Saharan countries. This paper gives some details of the work that
was done on Numeracy. There are restrictions to the study particularly in the limited
137
time available in the original plan, the part-time commitment of the UK researchers and
of the colleagues in the three countries and the difficulties experienced in obtaining data
from the schools. The opinions expressed are those of the author who hopes that the
suggestions for a progression offered in this paper form the start of a discussion and
further research, not the end point. The results and implications are not presented
merely as a picture of what happens to children educated in a deprived environment and
thus of peripheral interest but because what they find hard having been little influenced
by an education system is close to what children might naturally find difficult.
The three countries which were chosen for the study were Ghana, Malawi and Zambia;
all three heavily dependent on aid. The purposes of the research were a] to provide
information on what children in their first three years in school could do and b] to give
teachers assessment material they could use in class. Donors usually require that the
effectiveness of the education they are funding be evaluated and this is often done by
testing at the end of the primary phase and results in statements of what is not
successful rather than what has been achieved. Teachers become very dispirited when
continually being told what their pupils cannot do. If the assessment procedures
available could measure achievement on early Number concepts, the teachers would be
in a position to display the learning that had taken place.
Plan of Research
The research was to take place in four countries with the University of Liverpool [Prof.
Terry Russell] being the administrative centre. Prof. Hart would use the statistical and
computing facilities of The University of Nottingham. Agreement on participating
country commitments was achieved by visits of the principal researchers to Ghana,
Malawi and Zambia to identify or confirm the participation of key collaborating
personnel. The higher education institutes to which they belonged became part of the
project. In Numeracy the three assistant researchers identified by their institutions were
Joseph Ghartey Ampiah from Ghana, Bentry Nkahta from Zambia and Duncan
Nyerenda from Malawi. All three had teaching commitments at their colleges besides
being involved in other projects, so the time they could give to this project was
restricted. They would be responsible for the identification of teachers and schools to
take part in the research.
138
A major part of the initial plan was to carry out a search of available literature on
research which supported a stated progression in Number concepts. Theses from
masters and doctoral studies, research projects and statements from government
departments were accessed from libraries in the UK, USA, Australia, South Africa,
Lesotho and from the three countries involved. It soon became apparent that although
there was a curriculum stated for each country, which relied on an hypothesised
progression from ‘simple’ mathematical ideas to those considered more complicated,
there was little if any evidence that these were more than ‘guesses’.
Literature Search
Some results on Progression in Early Number were available from two large Australian
projects, one which had looked at ‘growth points’ [The Early Numeracy Research
Project,2001] and reported on the percentages of children who failed to meet these and
the other [Wright, 1996] had put forward a framework in “Count Me In Too’. In the UK
Kings College were carrying out a survey with a large sample of children, which
entailed classroom observation, testing and interviews but they did not comment on
progression.
Nowhere was there an accepted and tried progression against which we could match the
performance of our sample. Actual research on the learning displayed by African
children in the first four school years was extremely limited, although all three of the
project countries had data from testing children at the end of the primary phase. These
tests concentrated on the performance at the end of primary school and there are reports
of evaluation carried out with the help of USAID or finance from Japan. In 1998 in
Ghana [PMT] the ‘satisfactory performance’ of 50% of questions correct was achieved
by only 2.8% of P6 pupils with 17% of this year group scoring zero. In Zambia ‘The
Basic Curriculum Framework’ issued by the Ministry of Education in Dec.2000 says
“Numeracy or Mathematics ,is traditionally considered the most difficult subject for
both pupils and teachers”[p14].
The Syllabuses
In Dec.2001 the first workshop was held in Zambia and attended by the local literacy
and numeracy researchers as well as the two UK professors. Each of the mathematics
researchers was asked to bring the Number syllabus for the primary phase for his
country. We compared these three lists with stated syllabuses from the UK, USA [The
139
Standards], Western Australia, South Africa [OBE], Lesotho and Sri Lanka. The content
lists of the three project countries were very full and required more of the pupils than
the expectations of some of the western countries. Concentrating on those topics of
Whole Numbers which were common to the three project country requirements we drew
up a content list. This was not tied closely to grade level and as we ‘unpicked’ the topics
we found that many pre-requisite skills and concepts did not appear in the Ministry
statements but would be needed if we were to inform teachers. The official documents
required a move to much larger numbers and fractions by the end of grade 4 and none
gave any indication of where real difficulties in learning might be found. We eventually
investigated the understanding of only a subset of the Number topics.
Methodology
At the workshop we considered the data that could inform a progression of number
concepts and which would be relatively easy to obtain in a short space of time. We
decided to use test papers of questions which had in the main been used in research
elsewhere but which reflected the content list we had drawn up and interview schedules.
We could not assume that the children being tested could read so all the printed
questions in grades 2 and 3 would be read out after being translated into whatever
language the teacher normally used with the class. In grade1 only interviews would be
carried out, again in the language normally used for mathematics teaching. The three
countries used the same number symbols as the UK and the children learned the English
number names for counting. We planned three periods of testing to occur throughout the
school year. After the workshop the three local colleagues were sent the printed
questions and asked for comments and also encouraged to ask teachers of the
appropriate levels for their comments on the difficulty of the questions. The questions
were also piloted in a school in London.
Sample
The sample for each country was selected by the local researchers to include four rural
and four urban schools. These would be chosen for ease of transport and accessibility to
the colleague’s home or place of work. The schools were also agreeable to the testing
taking place. In each school two classes would be tested and the teachers of these
classes asked to attend two days training for which they would receive a small payment.
The teachers would do the testing in the presence and with the help of the local
140
researcher who would then take away the scripts to be marked according to a common
marking scheme which recorded correct answers and specific errors which had been
identified elsewhere when the questions were used. There was no time limit for a test
but it was thought that 45 minutes would probably be sufficient with about 20 minutes
spent on an interview. In Ghana each of the teachers would be asked to administer three
tests [or interviews] spaced throughout the year with children in their own classroom. In
Malawi and Zambia the school year ran from January so by the planned end of the
project in August only half of the year would be completed. In these two countries tests
A and B would be taken during the seven months and the third test [C] would be given
on the first test administration in the school, to the grade above. The sample in each
class was 24 chosen randomly by the researcher, to give a balance boy/girl, all the
pupils in a class were tested if there no more than 27. Six children in grades 1 and 2
were interviewed in the presence of the researcher. It had been planned that six more
would be interviewed by the teacher, later when the researcher had left but this proved
impossible. Absenteeism on the part of pupils in some schools meant that the same
number of pupils did not take consecutive tests. The number of children tested in Ghana
is shown in Table 1 below
Table 1 Ghana Sample
Test A
Test B
P1
Test C
Interview
24
24
25
P2
104
89
92
P3
100
79
93
P4
102
85
79
In Zambia the testing started with samples of P1 [38], P2 [ 140] ,P3 [102] and P4 [ 75].
However subsequent testing sometimes did not take place in certain schools and so data
for individual children are missing. The situation in Malawi resulted in less data being
collected. The detailed instructions for recording the interviews were not followed and
so we have scant information about grade 1. Only seven schools took part in the testing
and the resulting numbers were P2 [75], P3 [75], P4 [75].
Marking
141
The written test papers were taken to the local researcher’s institute and markers
engaged to assign codes to different answers. The coding sheets were the same for all
three countries and had been decided earlier. Statistics,using SPSS were then computed
at the University of Nottingham, questions asked of the researchers who were given the
results and finally the researchers from Ghana and Zambia met with Prof. Hart to look
at the results and come to some conclusions. The researcher from Malawi did not take
part in this second workshop which was held in South Africa. Messrs Ampiah and
Nkahta reported on the difficulties in carrying out the testing and aspects of the
procedures which they considered illuminating. The data which were used for
computing test scores were taken for each test separately and no attempt was made to
produce a profile of individual children. Comparisons among the three countries were
only made in very general terms and provided a basis for discussion among the local
researchers, only one of whom was a mathematics educator.
Comments On The Testing Procedures
Reading the questions to the pupils in order to avoid the necessity of the child having to
read resulted in some pupils in classes in Ghana omitting questions because they had
failed to keep pace with the teacher. In both Zambia and Ghana the local researchers
commented that children found it difficult to work from the printed page even with the
teacher reading the questions, as the usual form of class lesson was through verbal
interaction with the teacher who used the blackboard. Additionally diagrams proved
much more difficult for the children to interpret than we assumed. Adults, particularly
western adults tend to assume that using a diagram is an aid to understanding but this is
not necessarily the case. The Zambian colleague commented on the apprehension shown
by the teachers on the days when he was in the school helping them. They had been on a
two day course in which the purpose of the exercise had been explained but this did not
convince them that we were engaged in a professional/academic endeavour through
which they might learn. It took a great deal of time for pupils to write their names and
the name of the class before the testing started, again an activity which is generally
assumed to be straightforward. Before the papers were finalised the Zambian researcher
had discussed the difficulty of the items with teachers, referring to the suitability of the
syllabus and textbooks [where there were such] but during the tests the teachers
complained that some items were too hard although all the items matched the stated
syllabus for that grade level.
142
The Results
Grade 1
The results from grade 1 are dependent on the interviews with a small number of
children. The emphasis in all three syllabuses was on counting in the first grade and this
seemed quite well done. The teachers reported that the pupils had the number names in
the correct order, touching or pointing to objects as they said them. The pupils could
choose a set of objects to match a number symbol and write that symbol if it was less
than ten. The questions the Ghanaian sample answered at the 90% level were answered
at the 70% level by the Zambian pupils. We could not obtain this information for the
sample from Malawi. The more sophisticated Number work that follows in most
syllabuses contains not only larger numbers and operations upon them but also explores
more efficient ways of finding totals than counting all the objects. We looked for
evidence of ‘counting on’ and also the use of number bonds where the pupil could say
“3 and 5 make 8” without counting either objects or fingers. Only 5% of the Zambian
sample and 25% of the Ghanaian could do this; at least 30% had to have a set of objects
to count. By the end of the school year however 85%-95% [Ghana] and 65%-75%
[Zambia] could give correct answers to single digit addition and subtraction questions
set out formally in number sentences although they were unable to form a number
sentence themselves to describe a situation.
Grade 2
The tendency in printed syllabuses is to assume that small numbers will lead to larger
and operations proliferate and so for grade 2 we find that tens and ones are being used,
addition and subtraction of two digit numbers with no decomposition is expected and
before the end of the year multiplication is introduced. To adequately deal with place
value the tens must be seen as entities which can be counted, not as a collection of ones.
A frequently used device is to show bundles of ten sticks and separate single sticks. We
used a diagrammatic form of these and asked the second graders [questions are still
being read out by the teacher] to write the number symbols to correspond. The
Ghanaian children could cope with these diagrams at the 50% level and less than 30%
of the Zambian sample could interpret the figures in symbols whilst less than 20% of
those from Malawi could do so. Formal algorithms for addition and subtraction of two
digit numbers when no regrouping was required were correctly done by 80% [Ghana]
but the Zambian sample had 45-67% success for addition and 28-38% for subtraction,
143
recall only single digit computation was involved. Only 30 to 40% could re-write a
number sentence with addition, as a subtraction. Multiplication is in the syllabuses but
appeared too difficult for all the groups in grade 2.
Grade 3
In grade 3 the addition and subtraction algorithms are extended to include both
decomposition and three digit numbers. For the two digit subtractions the Zambian
sample was successful 60% of the time but when decomposition was needed this fell to
30%. A common error was to subtract the smaller digit from the larger whether it was
on the top or bottom line [20% occurrence]. The Ghanaian sample had 92% success
when no regrouping was needed falling to 44-50% when it was. If no decomposition is
needed then the skill involved is essentially the knowledge of number bonds to ten and
place value is not involved. When hundreds are involved the problems are compounded
as can be seen in Table 2 below.
Table 2 Third Grade Addition and Subtraction
HTU
HTU
HTU
HTU
431
206
236
956
+153
+325
-121
-234
Ghana 95%
Ghana
90%
Ghana
78%
Ghana 81%
Zambia 79%
Zambia
69%
Zambia 68%
Zambia 65%
Malawi 76%
Malawi 60%
Malawi 70%
Malawi 65%
HTU
HTU
HTU
HTU
235
573
215
432
+117
+147
52%
-117
Ghana
-275
Ghana 61%
Ghana
9%
Ghana 25%
Zambia 27%
Zambia
21%
Zambia 7%
Zambia 22%
Malawi 25%
Malawi
14%
Malawi 11%
Malawi 23%
The syllabuses for all three countries continue to introduce larger numbers with scant
regard to extra difficulty. There is a tacit assumption that little more cognitive effort is
needed. This does not appear to be true of the samples involved in this project.
144
Asked to identify the number written in symbols which corresponded to a three figure
number read out by the teacher only 34% of the Ghanaian sample could do so and 8%
of the Zambians. The number was ‘eight thousand and twenty eight’ and 65% of the
Zambian sample chose 800028.
We can see in Table 3 the results of addition of thousands when given to grade 4 pupils.
Table 3 Thousands Question in Grade 4
3074 +213 + 5633
Th H T U
+ __________
Ghana
34%
Zambia
0%
Malawi
35%
We can see that there are serious problems when numbers over ten have to be
manipulated and more tens made. Success on questions where no regrouping is involved
could lead the teacher to assume understanding of the whole process. By the end of
grade 3 the Ghanaian sample were nearly all [93%] able to deal with two or three digit
addition as long as there was no regrouping, this fell to 60% when regrouping was
needed. Subtraction is even harder and with regrouping and three digits the facility is
only 30%. The Zambian children have a lower success rate and if ‘ten’ has to be broken
up in either addition or subtraction then the success rate in grade 3 is only 20-30%. In
Malawi the first test in grade 3, given halfway through the school year had three
questions in diagrammatic form which were completed at 50-21% level. Two digit
subtraction showed the same falling away when decomposition was entailed as did the
three digit subtraction later in the year [73 % fell to36%].
Although the ability to complete a previously taught algorithm for addition or
subtraction is not necessarily a sign of complete understanding, one would expect
heavily practised techniques to yield results and yet with these samples there is limited
success. Where the pupils succeed is when the question needs addition bonds up to ten
[or fingers for counting], any requirement to reinterpret tens and ones or other ‘adjacent
columns’ results in failure.
145
In any progression of Number topics it seems highly desirable to separate addition and
subtraction so that each is dealt with but also to deal separately with their
interconnectedness. Place value and the ramifications of using two, three and even four
digit numbers cause a large hurdle to understanding and it is not enough for a syllabus
simply to assume a smooth transition.
Multiplication can be seen to replace repeated addition or to represent an array [columns
and rows]. Both these representations seemed too difficult for the end of grade 2 in
which syllabus they occurred. Only 40% of the Ghanaian children given the question ‘5
x 3 = 3 +……….’ Could complete it. The Zambian children who were younger had no
idea of multiplication [it was difficult to describe in the local language]. ‘Share’ was
easier to interpret and about half the sample could deal with sharing when a picture was
given. In grade 3 about 45% of the sample from Malawi could write an expression for
multiplication. Sharing was at 65% and higher.
Grade 4
We simply refer to grade 4 results because according to the syllabuses by the end of
grade 4 the pupils should successfully handle the four operations with four figure
numbers. This was far from the case and any departure from the accepted format caused
considerable problems. For example the question “how many groups of 23 flowers can
you get from a box of 237 flowers?” had facility 5% in Zambia and less than 10% of the
Ghanaian pupils had a correct answer.
Suggestions For A Progression
The contents of the syllabus were too many and the level of difficulty was too great for
most of the children in the schools of the sample. These were by no means the most
deprived in the area. It seems a waste of time to run an education system which takes
100 children in grade 1 and is satisfied if 5 of them emerge with understanding four
years later. This situation is exacerbated by the conditions in Sub-Saharan Africa but in
most western countries we are content if 60 to 70% of the primary school succeeds in
mathematics. We label children as ‘low attainers’ or ‘slow learners’ whereas they may
be attaining at the most advantageous rate and the expectations of the system is what is
incorrect. We have the pupils in school for 11 years or more but when they emerge
having repeated some topics, reviewed others and practised ad nauseam we are always
left with very few who wish to continue studying mathematics or have confidence in
146
their mathematical knowledge. The result of the project reported here was to produce a
list of topics ,not tied closely to grades but reflecting Number topics which occurred in
the Primary school syllabuses. The list is based on what the children appeared to be able
to do rather than what we wished they could achieve and identifies for the teacher where
there are large leaps in demand, i.e. when the next concept is much harder than that
which went before. A teacher might consider delaying the new introduction and
working on consolidation before proceeding. A lot of what appeared in the syllabus for
a particular grade has been moved and appears at a later stage. Each stage could be
suitable for a grade but would only be attempted if the teacher was sure that all previous
ideas were assimilated by all [or nearly all] children. There is a limited amount of
content matter but the expectation is for all of it to be learned by everybody.
Stage 1
Numbers Less Than Ten
Objects. Matching two sets. As many as.
Counting objects. Using words in correct order. Matching object to word [touching].
How many? Last word in count is answer to ‘how many’. Position relative to other
numbers
Number symbols 1 to 9 matched with a set of objects.
Writing symbols.
Expression for addition. Solved by counting.
Subtraction as removal . Solved by counting.
Numbers More Than Ten –as well
Counting to 20 or 30 [not recording] orally . Matching names to sets of objects.
How many more has one set than another [oral].
How many altogether from two sets [oral].
More than. Using numerals and also objects. Totals but not symbols can be more than
ten.
Symbolic expression for addition. Knowing number bonds.
Symbolic expression for subtraction. Knowing bonds.
Addition and subtraction in formal format, numbers less than ten.
Ordinal numbers less than ten.
147
Then Stage 2
Note. The lines drawn above denote a big increase in
difficulty when they are crossed.
References
Clarke, D. and team. Early Numeracy Research Project. Describing Goals For Teaching
Multiplication and Division In The Early Years. Victoria Dept. of Education, Australia.
1999
DFID [2004] Research Into Assessment of Numeracy and Literacy Achievements in
Disadvantaged Primary School Populations in Sub-Saharan Africa
Hart, K. and Yahampath, K. National Basic Mathematics Survey Report [Sri Lanka].
Cambridge Education Consultants. Cambridge, UK. 1999
TED & JICA: Ghana STM Project with Institute of Education. Baseline Survey for
GES-JICA STM Project, January, 2001. Ghana
Wright,R. Problem-centred Mathematics in the First Year of School. In Mulligan and
Mitchelmore, MERGA, Australia. 1996
148
CHILDREN AND EARLY MATHEMATICS TOWARDS SOCIAL AND
EMOTIONAL MATHEMATICS
Päivi Perkkilä, EdD & Eila Aarnos, PhD (Psych.)
[email protected]; [email protected]
University of Jyväskylä
Chydenius-institute – Kokkola University Consortium. Finland
The problem: What kind of emotions do children have towards the real world
mathematics and formal school mathematics?
We are concerned about the gap between the real world mathematics and formal school
mathematics. Mathematical experiences are essential parts in children’s world from
very early of life. The child’s focusing on numerosity produces practice in recognizing
and utilizing numerosity in the meaningful everyday context of the child.
All emotions arise from events that in some way have relevance for oneself. There is,
however, a special class of human emotions that are even more immediately selfrelevant. We focus here on the “self-conscious” emotions, which directly involve selfreflection and self-evaluation.
Subjects: 299 Finnish children aged 6 to 8 from different parts of Finland.
Procedure: We have developed a pictorial test including 38 pictures. The picture sets
are wild nature, nature products, human beings, toys, built environment, mathematical
issues, and child’s own drawing about her/him in the Land of Mathematics.
Children were asked to evaluate all pictures from three viewpoints:
1. Is there any kind of mathematics in the picture?
2. How did you felt the mathematics in the picture?
3. Write down your own mathematical ideas about the pictures.
After describing and interpreting the results of pictorial test we have selected 24
interesting cases for deep interviews.
Results: The main scale consists of all the mathematical contents that children produced
under the pictures. The lower quartile consists of children who produced either nothing
or mainly numbers, and arithmetic tasks. The upper quartile consists of children who
produced mainly amount expressions and comparisons, word problems, and mental
models. The greatest differences between these groups were found in emotions towards
the real world mathematics, and in emotions towards doing mathematics alone. There
were great differences between girls and boys in their emotions towards the picture sets
of pictorial test.
Conclusions: Especially we are worried about two groups of children: those who seem
to have sad emotions and only few ideas about mathematics, and those who seem to
have rich mathematical ideas and great interest in the real world mathematics. Our
results issue big challenges for early mathematics education in pre-school and in
primary school. We wonder if we should give girls and boys some different
opportunities to learn mathematics.
149
EARLY
NUMERACY
AND
TEACHING-LEARNING
PROCESSES.
A
comparative case study of maths lessons for six-year-old children in three
European samples
Hiltunen, Teija (Lic.Educ.)
Department of Teacher Education in Turku
University of Turku, FINLAND
[email protected]
FIN-20014
Assistentinkatu 5
Fax +358 2 333 88 00
Abstract
This article is based on a comparative, cross-sectional, case study and it addresses three
questions: What kinds of early numeracy features of six-year-old children are there in
the three European samples presented in this study, and what kind of teacher-pupil
classroom interaction profiles are there in these samples? The third question is how are
these early numeracy features related to the teacher-pupil classroom interaction profiles,
based on teaching-learning interaction dimensions, during the test week? These
questions were investigated with mixed quantitative and qualitative methods. In this
study, early numeracy features of six-year-old pupils (N=99) were tested with The
Utrecht Early Numeracy Test (ENT by Van Luit, Van de Rijt & Pennings 1994) which
seems to be a reliable instrument for measuring the development of early numeracy in
different countries (Aubrey & Godfrey 1999; Van de Rijt & Van Luit 1999; Godfrey,
R., Van de Rijt, B.A.M., & Van Luit, J.E.H., 2000). Six structures of teacher-pupil
classroom interaction behaviours, during ENT weeks`math lessons, are based on
Pollard´s (1997) teaching-learning models, with the addition of off-task code, and
analysed from video movie files minute for minute (MPEG 886 min). Findings indicate
that slightly above average ENT results are related to a socio-constructivist classroom
interaction profile. Average ENT-results are related to behaviourist classroom
interaction profile and slightly below average ENT results are related to a constructivist
classroom interaction profile. These results suggest a move towards socio-
150
constructivism in the teacher-pupil classroom interaction of maths learning
environments.
This paper was presented in part at FERA, November 2003 and as a poster at EARLI, August 2003.
Acknowledgement: This article was produced jointly with J.E.H. Van Luit and B.A.M Van de Rijt. I
would like to thank colleagues in Utrecht University, Helsinki University and Åbo Academi University
for all the translated ENT -versions, and also all the teachers and six-year-old children of the schools and
the preschools presented in this investigation.
151
Introduction
Practices, activities and institutional arrangements of learning environments vary a great
deal in European pre- and primary schools. This research aims to understand how the
development of early numeracy is related to classroom interaction in pre and primary
classrooms from England, Sweden and Finland.. Previous international comparative
surveys indicate that individual early numeracy test results of six-year-old Finnish
children seem to be very good, whereas English children perform slightly below
expectations in early numeracy tests (Godfrey, R., Van de Rijt, B.A.M., & Van Luit,
J.E.H., 2000). Comparative early numeracy test results of Swedish children have not
been available until now. Aunio (2006) suggested that there were cross-national
differences in that the children in Beijing, Hong Kong and Singapore had better number
sense than the children in Finland
Greeno (1993) suggests the learning analysis unit should be the relation
between individual features and situational, socio-cultural learning environments.
Situational, socio-cultural learning environments seem to vary from one culture to
another and it is interesting to compare, whether the early numeracy test results are
related to the pedagogical differences between cultures from the perspective of teacherpupil classroom interaction behaviours. Because of the multi-dimensionality of lessons,
this study refers to classroom interaction dimensions focusing on both pupils´ and
teachers´ perspectives. The data available consist of qualitative and quantitative
analyses of video-observed teacher-pupil interaction profiles, in maths lessons during
the ENT testing week, and they will be presented on weekly teaching-learning
interaction dimensions.The purpose of this study is to compare the features of early
numeracy test results (Van Luit, Van de Rijt & Pennings 1994) of six-year-old children
(N=99) and teacher-pupil classroom interaction profiles (886 min. of MPEG movie
files), based on Pollard´s (1997) teaching learning interaction models, in three European
samples.
Early numeracy
Already infants have an innate predisposition to recognize small numerosities and
compare quantities. At the age of three children begin to understand the relationship
between counting and the number of objects being counted. Counting is at first a routine
activity imitated from adults, peers, tv, school etc. and children have to go through a
152
developmental period before mastering different skills. Children have to learn different
counting skills in different contexts in order to generate the counting principles. A
period at about the age of two is called recognition of number words, the next period is
synchronously counting, and after this period, at about the age of five, comes resultative
counting. (Geary 1994, 2000; Ginsburg 1977; Wynn 1990; according to Van de Rijt &
Van Luit 1999, also Fuson 1988; Saxe & Gearhart 1988.) Recent research supports the
position that humans are born with an innate set of basic quantitative competences.
Geary (1994, 2000) speaks of primary and secondary mathematical skills. These
primary quantitative abilities are implicit understanding of numerocity, ordinality,
counting and simple arithmetic. Secondary abilities are culturally determined, and
normative development of secondary abilities can and often does vary from one culture
or generation to the next depending on school practices. (Geary 2000.)
Looking at different abilities, it is possible to assume that there is an
overall numerical construct for solving problems in maths contexts, and this construct,
which can be referred to as early numeracy, has different components, representing the
development of this construct. Earlier studies of Van de Rijt (1996), Van Luit, Van de
Rijt and Pennings (1994) and Van de Rijt and Van Luit (1999), on early numeracy
development in 4- to 7-year old children provided a list of eight components of
numerical and non-numerical quantity knowledge, which contribute to early numeracy.
The test was been piloted in the 1990´s on 823 Dutch children aged between four-and-ahalf and seven-and-a-half years. (Van Luit, Van de Rijt & Pennings 1994, Van de Rijt
& Van Luit 1999.)
The Early Numeracy Test (Van Luit, Van de Rijt & Pennings 1994) is based partly
on Piaget´s (1965) operations, because there is a relation between the different counting
skills and the operations like classification (a number word becomes a cardinal number),
conservation in general (more, less than), and correspondence and seriation (relations,
ordinal & cardinal number) by Van de Rijt (1996). The ENT (Early Numeracy Test) is
divided in this study into eight components:
•
Concepts of comparison, both of measures and of numbers
•
Classification, matching or grouping objects on the basis of one or more
characteristics
•
Correspondence, recognising sets with the same elements or numbers, or making
a set to match a given set
153
•
Seriation, recognising sets which are arranged in order of size or some other
attribute
•
Using counting words, counting with numbers up to 20, forwards and backwards
•
Structured counting, counting objects in a number of arrangements
•
Resultative counting, counting without the need to touch or point
•
General number knowledge, applying number knowledge to realistic situations.
Each component is devided into five items (Godfrey, R., Van de Rijt, B.A.M., & Van
Luit, J.E.H., 2000, Van de Rijt & Van Luit 1999).
In the standardization study of the Finnish ENT, the results indicate that
items 1-15 (components 1-3) are easier, whereas items 16 to 40 (components 4-8) refer
to increasing discrimination power, confuson and difficulties for Finnish children. On
the Finnish Early Numeracy Test, the test results of the normative study, the average
raw test score for 6.5 year-old children was 30. According to Aunio (2003) the ENT
may not be suitable for talented, over six-year-old children. The split-half reliability in
Aunios´(2003) study was .90.
This kind of early numeracy comparison is relevant, because previous international
comparative surveys indicate that Finnish children (mean score 31.9) seem to perform
very well, whereas English children (mean score 15.9) perform slightly below
expectations, when using the ENT raw test score 0-40. (Godfrey, R., Van de Rijt,
B.A.M., & Van Luit, J.E.H., 2000). Aunio (2006) suggested that there were crossnational differences in that the children in Beijing, Hong Kong and Singapore had better
number sense than the children in Finland. In the literature, there are several studies
which propose that school systems and math education should be described to explain
these differences in early numeracy between countries, because different kinds of
schooling and care, starting school at different ages, different class sizes and different
adult-child ratios etc. may cause these differences (Aubrey & Godfrey 1999; Van de
Rijt & Van Luit 1999; Godfrey, R., Van de Rijt, B.A.M., & Van Luit, J.E.H., 2000).
The goal of the Early Numeracy Test is to indicate a lag in development of
early numeracy. There are three test forms, A-C, with eight components with 40 item
each. Raw test scores are 0-40 and numeral competence scores are 0-100. Individual
testing takes 30 minutes for child. ENT seems to be a reliable instrument for measuring
the development of early numeracy in different countries. Early numeracy is composed
of eight components. There is a possibility for the test user to determine the level of
154
competence score (A-E), which is compared with the scores of children in the same age
norm group. The A-E levels are determined as follows:
Level A
good to very good (comparable with around 25% of the highest scoring
children in the norm group)
Level B
ample to good (comparable with around 25% of the children in the norm
group scoring just above the average)
Level C
moderate to ample (comparable with around 25% of the children in the
norm group scoring just below the average)
Level D
weak to moderate (comparable with around 15% of the children in the
norm group scoring amply below the average)
Level E
very weak to weak (comparable with around 10% of the lowest scoring
children in the norm group) (Van Luit, Van de Rijt & Pennings 1994).
For the previous international studies (Aubrey & Godfrey 1999; Van de
Rijt & Van Luit 1999) all six countries were asked to assign about a hundred children to
each three test forms and to test them three times during the course of a year. Reliability
of the test form A in the ENT measured in 1997-98 was in the Netherlands .90, in
Belgium .89, in Germany .88, in Greece .92, the United Kingdom .83 and in Slovenia
.90. The eight components represent one latent structure, early numeracy, in different
countries. In the development of early numeracy there are differences between
countries.
ENT is widely used for children in special needs education. Most
mathematical difficulties start in the domain of early numeracy at an early age (Van de
Rijt, Godfrey, R., Aubrey, C., Van Luit, J.E.H., Gresquière, P., Torbeyns, J., Hasemann,
K., Tancig, S., Kavkler, M., Magajna, L. & Tzouriadou, M. (2003). Specific
characteristics of children with special educational needs are memory deficits,
inadequate use of strategies for solving maths tasks and deficits in generalization and
transfer of learned knowledge to new and unknown tasks. Children in most special
education math settings are not be able to master the four basic maths operations before
leaving primary school. This is why there are interventions and effect studies available
for following step-by-step processes from the concrete to the abstract and from working
with material to working with mental representations etc. In van Luit and Naglieri
(1999) study, the training took into account the particular difficulties especially in the
155
lack of spontaneous use of adequate information processing and remembering
strategies. Children with MMR and LD benefited from the training using three methods
of problem solving 1) effective (knowing by heart) 2) potentially effective (more steps
than one) and 3) non-effective (wrong solutions).
A further, more complex multilevel model by Godfrey, R., Van de Rijt,
B.A.M., and Van Luit, J.E.H.(2000) allowing for differences between countries and
even within countries (national mean scores and ages together with the international
regression line for individual scores on age), No Swedish results were available in these
previous studies. It seems that the main reason why English children were less
successful in these previous studies was that they were much younger than the other
participants. Learning environments, school systems and maths education should be
described to explain these differences, because of different kinds of schooling, ages,
class sizes and adult-child ratios etc. may cause these differences.
Dimensions of teaching-learning processes and teacher-pupil classroom interaction
The quality of classroom interaction is determined by interaction processes, which take
place between the teachers and the pupils in the classrooms. Because of the complexity
and multi-dimensionality of lessons, this study refers to classroom interaction
dimensions focusing on both pupils´ and teachers´ perspectives. The data available
consist of qualitative and quantitative analyses of video-observed teacher-pupil
interaction profiles in maths lessons during the ENT test week.
There have been several previous studies on teachers´ interaction
behaviours in classrooms. Early childhood education emphasizes the importance of
caring, sensitive and responsive interaction to facilitate the child’s socio-emotional
development and play (Bredekamp & Copple, 1997), because a more secure
relationship with the teacher encourages children to explore and offers more
opportunities to learn. For example in Teaching Styles Rating Scale (McWilliam,
Scarborough, Bagby & Sweeney, 1998) children and care teachers were rated on use of
eight interaction behaviours and clustered by teachers average profiles. The Caregiver
Interaction Scale (Arnett, 1989) was clustered by teachers sensitivity and education. The
Engagement Check II (McWilliams 1999) and Early Childhood Environment Rating
Scale (Harms, Clifford & Cryer, 1998) measured group-child engagement. Modes of
teacher participation and classroom teaching behaviour studies are typical teacherInternational Symposium on Early Mathematics. Cadiz (Spain), May 2006. Proceedings book
156
oriented classroom investigations Furthermore, there are many studies, which tend to be
carried out from students´ perspectives. Children’s talk on early years` classrooms was
used to investigating leadership and control. Bennet, Wood and Rogers (1997)
investigation on social interaction and learning, partly illustrated insights gained from
the use of functional analysis of the classroom talk system. There have been some
studies investigating the dynamics of peer interaction in problem-solving tasks based on
learner´s conceptual framework and social activity in the construction of mathematical
thinking. This pedagogy draws on socio-cultural approaches to development and
learning. (Kaartinen 1995; Wells 1999; Brown & Renshaw 2000 by Kumpulainen &
Wray eds. 2002, 77-90.) There are studies of re-conceptualizing scaffolding and zone of
proximate development. Some of those studies have been more on language functions,
such as Sahlström and Lindblad`s (1998) investigation of subtexts in the classrooms.
Fourlas examined teacher-centred versus peer-group-centred primary classrooms (1988,
according to Kumpulainen & Wray 2002, 43-56). This sample of case study videoobservations tends to present classroom interaction both from teachers` and students`; as
well as a shared co-operational perspective. This interaction research is based on sociocultural perspective and, thus the focus of the analysis is on group level teacher-pupil
oriented interaction. Typical features of this kind of interaction analysis are the
acknowledged socio-cultural context of interaction in macro-, meso- and microlevel
analyses, qualitative and meaninglevel analyses, dynamic descriptions of interaction and
focusing on meanings and structures of interaction. The socio-cultural perspective
emphasizes the homogeneity of a cultural group. The socio-cultural perspective has
been successful in characterizing the features of learning situations. (Cobb, 1994;
Vosniadou, 1996.)
The model to analyze differences in classroom processes in this study lays
emphasis on general theoretical approaches to learning: socio-constructivism
behaviourism and constructivism. In behaviorist, teacher-oriented model the teacher
decides on important knowledge, skills etc. and instructs children. Children only
respond to the teacher’s questions. The teacher corrects and assesses responses, the
children respond and the teacher instructs children again and so on. The most significant
of these psychologists was Skinner (1953/1968). (Pollard 1997,119-120.)
157
CHILDREN
ADULT
Respond
Desides on
important
Respond
Instructs
Corrects
children
and
knowledge, skills etc.
Instructs
children
Assesses
Figure 1. A behaviourist model of roles in teaching-learning interaction (Pollard 1997,
120).
Socio-constructivist theory strongly suggests the importance for learning of the social
context and interaction with others (shared interaction). The most influential writer on
this approach has been Vygotsky (1962, 1978).
CHILDREN
Activity
And
Activity
and
Discussion
Activity
and
discussion
Makes
sense
discussion
Area of work
evaluation
And activity
ZPD
ZPD
reviewed
Negotiated
ADULT
Reflective
Agent
agent
Reflective
(support & instruction)
Figure 2. A socio-constructivist model of roles in teaching-learning interaction (Pollard
1997, 126).
The "zone of proximal development" (ZPD) is
The distance between the actual developmental level (of the child) as
determined through problem solving and the level of potential
development as determined through problem solving under adult guidance
or in collaboration with more capable peers. (Vygotsky 1978, 86.)
158
Socio-constructivism in classrooms portrays the image of the learner as active and
social. Images of teaching and learning are that knowledge and skills are constructed
gradually through experience, interaction and adult support. Learning comes through the
interdependence of teacher and children. Characteristic of child activities is discussing
an issue with an adult or other child/children and problem-solving within a group. By
structuring challenge teacher can clarify thinking and proceed to meaningful
understanding. The teacher also encourages collaboration and language development.
Socio-constructivism requires a very high level of adult scaffolding, judgment,
knowledge and skills. (Pollard 1997, 128-131.)
CHILD
Experience
Experience
Makes sense
Area of work
And creativity
Negotiated
ADULT
Evaluates
Figure 3. A constructivist model of roles in teaching-learning interaction (Pollard 1997,
123).
Child-oriented constructivist models are based on Piaget´s work (1926, 1950).
Teaching-learning interaction starts in the area of work and activity, which is based on
adult-child negotiation, the rest of the process laying its emphasis on childrens´
experiences until it makes sense for them. The teacher only evaluates the process.
(Pollard 1997, 121-123.)
Blatchford (2003) investigated connections between class size and three
aspects of child and teacher behaviour in class: teacher-child interaction, pupil
attentiveness and off-task behaviour, and peer relations in large (average 33 children)
and small (average 19 children) reception classes (children aged 4-5 years). Data consist
of a sub-sample of 235 children in 39 classes from a longitudinal study of two cohorts
of over 10 000 children for three years after entry to English infant schools (aged 4-7
159
years). Results show that teacher-child contacts are more personalized and frequent in
small classes, whereas in large classes children are more likely to be off-task and
interact more extensively with their peers (through social contacts as well as work).
In this study, teacher-pupil classroom interaction was rated on six categories of
interaction behaviours, based on Pollard´s (1997) three dimensions of roles in the
teaching-learning process and with the addition of dis/organized off-task transition
period.
•
Teacher-oriented (TO) Behaviourism (code 3) meaning traditional teaching and
instruction.
•
Teacher-group (TG) Behaviourism (code 2) meaning questions and answers,
correction and assessment.
•
Teacher-pupil (TP) Socio-Constructivism (code 1) meaning teacher interacting
with one pupil.
•
Dis/organized (code 0) meaning transition periods, chatting off-task about
anything except maths.
•
Pupil-pupil (PP) Socio-Constructivism (code -1) meaning 2-3 pupils interacting
together.
•
Pupil´s independent (PI) Constructivism (code -2) meaning pupil´s independent
work.
•
Pupil-oriented (PO) Constructivism (code -3) meaning projects, themes etc. by
pupils in groups.
The coding system above proposes teacher-pupil classroom interaction categories and a
brief description of each category .
METHODS
A cross-cultural and cross-national project is time-consuming and labour intensive. This
study was carried out in those European schools and preschools, which gave permission
for the research during Comenius 1. School a working place for children project 200003 and that is why the number of countries decreased from six to three. Early numeracy
testing was carried out in Turku, Finland (sample code Pre1-3 and Sch1) in
January/April 2002, in London, England (sample code Sch2) in October 2002 and in
Gothenburg, Sweden (sample code Sch3) in March 2003.
160
The participants were children in samples from the Comenius 1. project
partner schools with the addition of some preschoolers, because in Finland most sixyear-olds are in preschools maintained by social services. Three preschool groups (Pre13) and one school class (Sch1) were from Turku, Finland. Two school classes (Sch2)
were situated in London, where six-year-old children are second or third year (after
reception class) primary school pupils. Two preschool groups were situated in
Gothenburg (Sch3), where most six-year-old children are in preschools maintained by
the educational authorities. There was a total number of 99 participants of whom 36
were from Pre1-3, three from Sch1, and 30 from Sch2 and Sch3. Tested children were
of a similar age (6-7 year olds, mean 6.5 years)in these samples. Learning
environmental factors like number of formal schooling years, class size, maths group
size and adult-child ratio are presented here. Educational systems and maths curriculum
comparisons will be presented in later articles.
Early numeracy and mathematical competence skills of six-year-old
children were tested with and the Utrecht Early Numeracy Test (Van Luit, Van de Rijt
& Pennings, 1994) in three European samples. The ENT English version of the test
forms A-C and test manual were received from Bernadette van de Rijt and her group at
Utrecht University (Van Luit, Van de Rijt & Pennings1994), the Finnish version of test
form A from Helsinki University (Hautamäki & Järvinen 1997) and the third, Swedish
version of test form A was translated at Åbo Academy University. Early Numeracy
Testing of each participant takes half an hour; in Pre1-3 and Sch1 testing took 19.5
hours, in Sch2 and Sch3 countries 15 hours each.
All the participants were tested individually exactly according to the test
manual instructions by one and the same researcher. The administration rooms were
quite quiet although a large variety of environments was available from corridors,
stockrooms, play rooms, sleeping rooms and individual tutoring rooms. The minimum
criteria for testing environments were two suitable chairs and one table in between. On
the table between the researcher and the participant there was all the time the very same
folder containing test manual with picture copies, a small bag of twenty multi-link
blocks (ten blue and ten yellow multi-links), three copies of task papers (A 13-14 and
A19) for each participant to use and a pencil and a rubber each. The concepts of cube
and multi-link blocks was clarified in the pupil´s language with each participant in
advance before testing. Children were allowed to get used to the researcher and the test
situation, and to sit comfortably. After the testing every child was able to choose a
161
sticker for herself/himself, which seemed to be a motivaltional factor for children of this
age. There was a large variety of stickers from pictures to texts like ”nice work”, ”good”
and ”super”.
During the testing, the researcher had access to the scoring form, which
was translated into each three languages, and the test manual. The personal data were
filled in on the scoring forms during the testing. ENT data were stored in the computer
and quantitatively analysed by SPSS statistics, using T-tests, one way ANOVA and
Tukeys HSD multiple comparisons between samples. Age group levels A-E and crosssample comparisons of the ENT items (percentages of correct answers) are available.
Reliability was tested in the whole sample of all 99 participants. The results are
presented in tables and figures for Pre1-3, Sch1, Sch2 and Sch3 samples.
Testing was carried out at each preschool/kindergarten and infant/primary
school during the same week as video-observations of teaching-learning processes and
teacher-pupil classroom interaction in all weekly maths lessons. The research timetable
was planned in advance, but the flexibility of situations at schools and preschools had
an effect in many ways during the test week(s). The main criterion was to video-observe
all the maths lessons during the test week and test as many children as possible in
between the lessons during the same week. The aim was to test 40 children within each
week, but the reality turned out to be a maximum of 30 tested children per week within
school hours. Limitations like timetable, breaks and lunchtime were carefully
considered. More resources, time or research assistants would be one solution in future
investigations.
The qualitative data presented consist mainly of video-observation of
implemented teaching-learning processes, teacher-pupil classroom interaction in maths
lessons during the early numeracy test week of each sample. The classroom interaction
was analyzed by the classification instrument described above consisting seven
categories. The unit of analysis was one minute. Teacher-pupil-oriented classroom
interaction was videotaped with two video cameras, one of which was directed towards
the teacher and the other towards the group of pupils during whole class work. During
pupils independent work another video camera was directed towards those pupils who,
according to the teacher, are good and the other towards those pupils who are poor in
mathematics or towards two groups working on a task.
The videotaped mathematics lessons during one ENT-week from each
sample/school/class in 2002-2003 are stored in the computer as movie files (MPEG),
162
linked to Windows Media player minute for minute codes of seven teacher-pupil
classroom interaction structures and analyzed using statistical mode- and average
meaning level analyses in each sample. Analyses are made of weekly maths lessons and
carried out using typical weekly teacher-pupil classroom interaction mode profile
figures from each sample, from preschools and schools. Three dimensions of teachinglearning processes were analyzed on percentage basis and presented in a figure of all
samples. The research assistant analyzed 10% of the video files. The correspondence
between the two researchers was 75%. The codes of interpretation were 1. teacher-pupil
interaction and 2. teacher-group interaction. Code 1 is for teachers´ systematic questions
connected with pupils correct responses or discussion in the zone of proximal
development. Code 2 is for random asking and correct or wrong responses without
ZPD. Only 3.33% of the differences between the researchers´ analyses were caused by
some other inexplicable factors.
The relationship between ENT results and dimensions of teaching-learning
processes is performed on a competence score meaning level from the samples, along
with the fourth dimension of the teaching-learning process figure, without the off-task
transition periods.
During each video-observed maths lesson the researcher filled in one A4
observation sheet with the time and teaching-learning processes of three pupils, who
according to the teacher are poor, average and good in mathematics. Supplementary
materials like copies of textbooks, worksheets etc. were collected from the classes.
RESULTS
Early numeracy
In the study presented here, the participants (N=99) were a sample of average six-yearold pupils from those Comenius project schools, which gave permission for the research
with the addition of some preschoolers, because in Finland most six-year-olds are in
preschools maintained by social services. In Pre1-3 and Sch1 samples (n=39) most of
the participants were from preschools and less than 10% from primary school. Sch2
participants (n=30), after the reception class, are now in the second grade of formal
infant/primary school and they are third year formal school pupils. The third sample
consist of preschooler participants from (n=30) Sch3.
163
The tested children were of similar ages (mean 6.5 years) in all three
samples, but formal schooling years differ (Pre1-3 0 years-, Sch1 one year, Sch2 three
years and Sch3 one year of formal schooling). Class sizes (Pre1-3 & Sch1 n=20-25;
Sch2 n=30; Sch3 n=16-26) and adult-child ratios differ among the samples (Pre1-3 &
Sch1 adult child ratio 1-3:20-25; Sch2 adult child ratio 2:30; Sch3 adult child ratio23:16-26).
In Sch1, one teacher may be responsible for over 20 pupils, but in this
sample there were two teacher trainees available. Kindergarten teachers may be
responsible for a whole group of half-day preschoolers in Pre1-3, but in this case whole
day groups had two teachers and a nursery nurse per group. In Sch2 there is always one
teacher and one class assistant per group. In Sch3, preschools are held in schools and
there is one teacher for 8 children, there were two preschool teachers in both groups
with the addition of a nurse in a group bigger than 16. In Pre1-3 & Sch1 and Sch3 the
groups were partly split into half or divided into small groups while working on maths
tasks. The group size varied from eight to thirty during the video-observed maths
lessons.
Table 1. ENT results
Samples
M Competence scores 0- M Raw test score 0- SD
100
40
Pre 1-3 & Sch1
74.46
31.44
5.471
Sch2
69.93
29.40
5.757
Sch3
61.53
24.43
5.710
Total M
68.64
28.42
5.646
ENT-results indicate that there are differences between groups in competence scores,
the Pre1-3 & Sch1 sample is slightly better with a competence score mean 74.46 (Raw
test scores M 31.44, SD 5.471), than the Sch2 sample with a competence score mean
69.93 (Raw test score M 29.40, SD 5.757).Sch3 is slightly below average with a
competence score mean 61.53 (raw test score M 24.43, SD 5.710) in the development of
early numeracy.
164
The reliability of the whole ENT with 40 test items in these samples was
.84 (N=99). The Utrecht Early Numeracy Test seems to be a reliable measurement of
early numeracy.
Next, Figure 4 indicates the same above average, average and below
average trends in age group levels of ENTresults in the FI (Pre1-3 & Sch1), UK (Sch2)
& SE (Sch3), samples.
50
40
30
Age group level A-E
E
20
D
C
Count
10
B
0
A
FI
UK
SE
Samples
Figure 4. Age group levels of ENT results in the FI (Pre1-3 & Sch1), UK (Sch2) & SE
(Sch3) samples.
There are more participants in the Finnish FI sample (Pre1-3 & Sch1, n=39) and slightly
above average age group levels A-B, from very good to good and ample, of ENT-results
than the in the average English UK sample (Sch2, n=30). The Swedish SE sample
(Sch3, n=30) indicates lower age group levels D-E, from moderate to weak and very
weak ENT results.
The discrimination of the test is a problem with the very easy and very
difficult tasks. This study (Figure 5) verified earlier outcomes of the ENT as perhaps not
being good for talented, over six-year-old-children, but the discrimination power was
found to be slightly different from that in Aunio´s (2003) stud, although it still followed
the same trend of increasing discrimination power after the first 15 tasks.
The most difficult of all items (Fugure 5) was found to be item 20 for all samples of
participants. Only 6.5% of sample Sch3, 20% of sample Sch2 and 35.9% of sample
Pre1-3 & Sch1 solved task A20:
165
Task A20.
Here you see slices of bread in a row from many to few slices of bread.
(Examiner points out the row of slices of bread at the bottom of the page)
These slices of bread fit in somewhere in the row. (Examiner points out the
slices of bread in the square at the left to of the page.) Point out where in
this row these slices of bread fit in.
Most of the participants pointed out the other slices of bread in the row, but not the
suitable empty
space, in between the four and two slices of bread, for the three slices of bread.
1
0,8
Pre1-3&Sch1
Sch2
Sch3
0,6
0,4
0,2
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Competence scores 0-1
(0-100%)
Cross-samples comparison of the ENT-results item by item
ENT items 1-40
Figure 5. Cross-samples comparison of ENT results item by item (1-40)
The easiest of all items was found to be item 11 for all samples of participants. 100% of
Pre1-3 &
Sch1 participants and 96.7% of both Sch2 and Sch3 participants solved this problem:
Task A11.
(Examiner gives 10 cubes to the child) You have thrown four with a dice.
(Examiner shows the four structure on a dice.) Can you lay down the same
amount of cubes?
It was easy for participants to find correspondence with numbers 0-10, with dices and
cubes as
objects.
100% of both samples Sch2 and Pre1-3 & Sch1 and 90% of sample Sch3 solved task
A6:
166
Task A6.
Look at these pictures. Point out the picture with something that cannot
fly.
The right answer was a bicycle with the alternatives being a butterfly, an aeroplane and
a bird; this caused a lot of laughter among the participants in all samples.
The achievement scores of the groups in different subscales were
compared with one way Anova (Table 2).
Table 2. One way Anova of the eight components of ENT.
_______________________________________________________
Sig.
Components
Items
***
1. Concepts of comparison
1-5
2. Classification
6-10
4. Seriation
16-20
5. Using counting words
6. Structured counting
21-25
26-30
7. Resultative counting
31-35
**
3. Correspondence
11-15
ns.
8. General knowledge of numbers
36-40
________________________________________________________________
***p .000, **p.014, p .295ns
Six of the eight components indicate statistically strong significant differences and also
correspondence indicates statistically slightly significant difference of these samples.
The only statistically non-significant component was general knowledge of numbers,
which implies that all the participants in these samples have the same general
knowledge of numbers. There seems to have less discrimination power in items/tasks
11-15, which is why the discrimination power increses after the first 15 tasks (compare
Aunio 2003), but actually no discrimination power at all was founf in the last
items/tasks 36-40.
Table 3. Tukeys HSD multiple comparisons post hoc test indicates differences between
samples in ENT components.
________________________________________________________
Sig.
Samples
Components
___________________________________________________________________
167
***
Pre1-3 & Sch1 – Sch3
Concepts of comparison
Classification
Seriation
Structured counting
Sch2 –Sch3
Using counting words
**
Concepts of comparison
Classification
Sch2 – Sch3
*
Structured counting
Using counting words
Sch2 - Pre1-3 & Sch1
Correspondence
Seriation
Sch2 – Sch3
Seriation
__________________________________________________________
*p< .05 , **p<.01, ***p<.001
All the other comparisons between samples of ENT -components were non-significant.
Multiple comparisons indicate better ENT results at Sch2 than at Pre1-3 & Sch1 only in
the resultative counting component. Sch3 tend to have slightly poorer results than Pre13 & Sch1 and Sch2 in the comparison of the ENT components. Table 4 presents the Ttest results for the eight components of the early numeracy test.
Table 4. T-test result for eight components of ENT.
_________________________________________________________
Componets
of
N
ENT/
M
SD
SE
.577
.092
Descriptives
1. Concepts of Comparison Pre1-3 &39 4.67
Sch1
Sch2
30 3.93
1.230
.225
Sch3
30 3.77
.971
.177
Total
99 4.17
1.011
.102
168
2. Classification
Pre1-3 &39 4.33
.662
.106
Sch1
3. Correspondence
Sch2
30 3.70
.837
.153
Sch3
30 3.60
.968
.177
Total
99 3.92
.877
.088
Pre1-3 &39 4.26
.938
.150
Sch1
4. Seriation
Sch2
30 4.17
1.020
.186
Sch3
30 3.57
1.073
.196
Total
99 4.02
1.040
.105
Pre1-3 &39 3.64
1.328
.213
Sch1
5.Using counting words
Sch2
30 2.80
1.448
.264
Sch3
30 1.90
1.373
.251
Total
99 2.86
1.545
.155
Pre1-3 &39 4.15
1.159
.186
Sch1
6. Structured counting
Sch2
30 4.30
.837
.153
Sch3
30 3.27
1.172
.214
Total
99 3.93
1.154
.116
Pre1-3 &39 3.82
1.073
.172
Sch1
7. Resultative counting
Sch2
30 3.60
1.248
.228
Sch3
30 2.57
1.104
.202
Total
99 3.37
1.250
.126
Pre1-3 &39 3.03
1.224
.196
Sch1
Sch2
29 3.90
.900
.167
Sch3
30 2.63
1.402
.256
Total
98 3.16
1.290
.130
8. General knowledge ofPre1-3 &39 3.62
1.269
.203
numbers
Sch1
Sch2
30 3.23
1.251
.228
Sch3
30 3.17
1.367
.250
169
Total
99 3.36
1.297
.130
____________________________________________________________________
These statistics indicate the differences between samples Pre1-3 & Sch1,
Sch2 and Sch3. Of the eight ENT components, the easiest for all participants were the
first three components (as in Aunio´s study, 2003) and the using counting words component. The most difficult components of ENT were seriation and structured
counting for these samples of participants.
Teacher-pupil classroom interaction
Typical weekly teacher-pupil interaction mode profiles of the samples from the Finnish
pre- and primary schools (Pre1-3 & Sch1), the English primary school (Sch2) and
preschools in the primary school from Sweden (Sch3) are presented in Figures 6-9
describe the differences between maths education environments:
Preschools 1-3 (mode)
Interaction profile
3
2
1
0
Fip (moodi)
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Time a 54-76 min. (total 249 min)
Figure 6. Typical weekly teacher-pupil interaction profile during math lessons of the
preschools (Pre1-3).
Figures 6-7 are modes of typical weekly interaction profiles from the Finnish-sample.
Figure 6 is from two different preschools and Figure 7 from one school only. In
preschools there is only one weekly maths lesson, but there are maths during everyday
informal preschool activities.
170
All the preschools use different timetables and methods, and thus it is hard
to find socio-constructivism and co-operation in typical weekly classroom interaction
mode profiles. In the Pre1-3 sample the preschools´ math ”lesson” is either in small
group of 7-8 children and one teacher, or in a whole group of 20-25 with two teachers
and one nursery nurse. There is a national curriculum for all preschools in Finland.
Figure6 presents a typical preschool lesson starting with a transition
period. After a short teacher-pupil interaction, teacher-group interaction tends to be
briefly divided into pupil-pupil interaction and transition periods. In the middle of a
typical maths lesson there seems to be more pupil`s independent work. During the last
five minutes, one pupil is helping another pupil to cope with the daily counting task.
Interaction profile
School 1. (mode)
3
1
-1
-3
0
10
20
30
40
50
60
Time à 51-61 min (total 260 min)
Figure 7. Typical weekly teacher-pupil interaction profile during math lessons of
school 1.
The typical weekly interaction profile in Figure 7 describes a school math lesson (Sch1)
starting, after a transition period, with whole class teaching. In the middle of the lesson
there seems to be a 25-minute period of independent counting and then whole class
working again towards the end of the typical lesson. All the lessons end with a
transition period for a break. There are five weekly maths lessons in Finnish schools, in
one of which the class is split half for counting. In normal schools there is only one
teacher per class, but in this case there were two teacher trainees and one class teacher,
but only three of the pupils in the class were six-year olds.
171
Six-year-olds have different curricula, also for maths, depending on
whether they are in schools maintained by the educational authorities or in preschools
maintained by social services. Comparing the diffrences in curricula will be one of the
topics in the future articles concerning these samples.
In Sch2, the typical weekly teacher-pupil interaction mode profile is from one
school only describing mainly teacher-orientation and whole class teaching (Figure 8).
profile in math lessons
Typical weekly interaction
School 2. (mode)
3
2
1
0
Uks (moodi)
-1
-2
-3
0
10
Time
20
30
40
50
60
a 50-61 min (total 210 min)
Figure 8. Typical weekly teacher-pupil interaction profile during maths lessons of
school 2.
There are four maths lessons weekly per class in English schools. Typical lessons seem
to begin with whole class teaching. In school 2, there seemed to be a lot of teacherorientation in the middle of a lesson, even during independent work, but towards the
end of lessons there were the possiblity to work more independently. There is one
teacher and a class assistant in each class; the assistant is working with the poor pupils`
group during pupils´ independent work. All the schools follow the National Curriculum
in England.
In the Swedish sample Sch3 (Figure 9), the typical weekly teacher-pupil
classroom interaction mode profile indicates mainly a pupil-orientation and
constructivist model in teaching-learning. There is only one hour of maths per week, but
there is said to be more maths in everyday informal preschool activities. There are 1626 children in one group divided into 2-3 small groups during individual work in maths.
All pupils begin together with the whole group and work more independently towards
172
the end of a maths lesson. There is a transition period in the middle and lessons end
individually. There are two teachers in a group of 26, two in a group of 16, and one for
small group work.
Figure 9. Typical weekly teacher-pupil interaction profile during maths lessons of
school 3.
School 3. (mode)
3
Interaction profile
2
1
Serie1
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
Time á 48-61 min (total 167 min)
Table 5 indicates how the 886 minutes of analysed teacher-pupil classroom interaction
were classified into different categories.
Table 5. Means of weekly teaching-learning interaction in these samples.
CODE
Pre1-3
Sch1
Sch2
Sch3
3 TO, Teacher oriented Behaviourism
10 %
29 %
19 %
3%
2 TG, Teacher – group Behaviourism
24 %
19 %
47 %
26%
0%
10 %
14 %
14 %
0%
5%
3%
9%
3%
1
TP,
Teacher-pupil
Socio- 9 %
Constructivism
0 Dis/organized transitions
-1
PP,
Pupil-pupil
4%
Socio- 36 %
Constructivism
173
-2 PI, Pupils independent Constructive
17 %
35 %
15 %
22 %
-3 PO, Pupil oriented Constructivism
0%
0%
0%
27 %
Total time 886 min
249 min
260 min
210 min
167 min
These results indicate that in preschools (Pre1-3) there is mainly socio-constructivist,
co-operational oriented teacher-pupil interaction (45 %) in classrooms. Altogether 36%
of lessons were based on pupil-pupil interaction, and 24 % of lessons on teacher-group
interaction in Pre1-3.
At schools, Sch1 (48%) and Sch2 (66%), teaching-learning seemed to consist more of
behaviourist, teacher oriented teacher-pupil classroom interaction. At Sch2, 47% of
lessons were based on teacher-group interaction, and 19% on teacher-oriented
interaction. In Sch1, 29% of lessons were carried out through teacher oriented
interaction and 19% through teacher-group interaction, but also 35% of the lessons
consist of pupils´ independent work.
At the Sch3 preschool in schools, teacher-pupil interaction is mainly
constructivist and pupil- oriented (49%). There, 27% of weekly maths lessons were
based on pupil-oriented interaction, but there was also 26% teacher-group interaction.
However, to sum up comparing pre- and primary school interaction the schools
(samples Sch1 and Sch2) represent behaviourism, and the pre-schools both
constructivism (sample Sch2, preschool classes in schools) and socio-constructivism
(sample Pre1-3). The quality of a learning environment tends to be crucial.
Dimensions of teaching-learning processes and Early Numeracy Test -results
To the dimensional approach with the three dimensions of the teaching-learning
process, behaviourism, socio-constructivism and constructivism, is added with a fourth
dimension of ENT competence scores, which refer to dimensional differences between
the groups of these samples presented in Figure 10.
174
ENT and teaching-learning dimensions
Socio const.
80
60
40
20
Behaviourism
0
Pre1-3 & Sch1
Construct.
Sch2
Sch3
ENT
Figure 10. The ENT competence scores and the dimensions of teaching-learning
processes in weekly maths lessons.
These results show three different dimensional weekly profiles in these samples for
mathematics teaching-learning processes related to early numeracy results. In the Sch3
sample, six-year-old pupils are in preschools and the teaching-learning profile is mainly
constructivist (49%), but there is also behaviorism (29%) as well as socioconstructivism (17%), but only 5% dis/organization in the dimensional profile. This
kind of mainly constructivist learning environment seems to be related to slightly below
average ENT results (competence score mean 61.53) in these samples.
All six-year-old pupils are at schools in the Sch2 sample, where the
weekly teaching-learning profile shows more behaviourism (66%) than in the two other
countries, as well as less constructivism (15%) and socio constructivism (19%) than the
other two samples and no dis/organization at all during the investigation week in maths
lessons. This kind of mainly behaviourist learning environment seems to be related to
average ENT results (competence score mean 69.93) in these samples.
In the Pre1-3 & Sch1 sample, six-year-olds are either at school or at social
services´ preschool. These results show slightly above average socio-constructivism
(24%) in maths lessons weekly teaching-learning profiles at the school and preschools
of Pre1-3 & Sch1 for six-year-old pupils than in the Sch2 and Sch3 samples. There
appears to be less behaviourist dimension (41%) than in Sch2, but more than in Sch3.
The constructivist dimension in Pre1-3 & Sch1 (26%) seems to be stronger than in Sch2
175
and weaker than in Sch3. This kind of mainly socio constructivist learning environment
refers to be related to slightly above average ENT results (competence score mean
74.46) in these samples.
Discussion
This comparative, cross-sectional, case study addressed three questions: What kind of
early numeracy features of six-year-old children are there in three European samples,
what kind of teacher-pupil classroom interaction profiles, based on teaching-learning
model dimensions, are there in these samples; and how are these early numeracy
features related to the teacher-pupil interaction profiles and teaching-learning
interaction dimensions during the test week? These questions were investigated with
mixed quantitative and qualitative methods. These results lead to some dimensional
conclusions. Typical teacher-pupil interaction profiles may be usefully applied to some
other subjects in European schools and preschools.
Results indicate that constructivist teaching-learning interaction processes were
related to slightly below average ENT scores in the Sch3 sample. Behaviourist teachinglearning interaction processes were related to average ENT scores in the Sch2 sample.
Socio-constructivist teaching-learning interaction processes were related to slightly
above average ENT scores in Pre1-3 preschools, whereas at the school in Sch1,
teaching-learning interaction processes had more of a behaviourist and constructivist
profile. To sum up, the schools (samples Sch1 and Sch2) represent behaviourism and
the pre-schools both constructivism (sample Sch2, preschool classes at schools) and
socio-constructivism (samples Pre1-3 at kindergartens). The quality of the learning
environment was shown to be more important than the organizational arrangements and
form of schooling of six-year-old learners.
When looking at the eight components of ENT related to early numeracy scores it
seems that only in general knowledge of numbers there were no significant difference
between the groups. The correspondence component indicates a statistically slightly
significant difference. All the other six components indicate statistically strong
significant differences.
In Tukey HSD multiple comparisons of ENT-results between samples resultative
counting was the only component, which was found to be statistically slightly more
significant in teacher-oriented classroom interaction (behaviourist teaching-learning
176
environment) than in co-operational classroom interaction (socio-constructivist maths
learning environments). According to the ENT results presented, in concepts of
comparison, classification, seriation and structured counting there were a statistically
strong significant difference between samples of socio-constructivist and constructivist
maths learning environments. There was a statistically strong significant difference
between samples of teacher-oriented (behaviouristic) maths learning environments and
constructivist learning environments in subscales counting words and resultative
counting.
Even though the samples were small, there was a trend in ENT results indicating that
the Finnish FI-sample (Pre1-3 & Sch1, n=39) scored higher, from very good to good
and ample (age group level A-B) ENT results than the average English UK sample
(Sch2, n=30). The Swedish SE-sample (Sch3, n=30) indicated lower, from moderate to
weak and very weak (age group level D-E) ENT results. This study verified earlier
outcomes that ENT may not be good for talented, over six-year-old children. The
discrimination power in this study was found to be slightly different than in Aunio´s
(2003) study; following the same trend of increasing discrimination power after the first
ENT 15 tasks, but with the difference that tasks 11-15 showed less discrimination
power and, finally, tasks 36-40 showed no discrimination power at all.
The typical weekly teacher-pupil interaction profile of each sample is useful for
application purposes, for example, in planning maths teaching and learning
environments, and also in developing subject matters in the mathematics curriculum and
assessment. The differences between formal and informal maths learning environments
does not appear in these video observations, but ENT results refer to some other
underlying dimensions than these presented. Interaction in classrooms varies a lot
between these samples on a weekly basis. One significant difference in the subject
matter mathematics for six-year-olds between and even within the samples presented in
this study, was that the weekly formal lessons and hours of maths varied a lot from
preschools´ one hour per week to schools´ four hours per week. The importance of the
quality of informal maths in everyday situations is being increasingly emphasised into
focus, but it is impossible to investigate in this study retrospectively.
In fact the most interesting result was that the best ENT-results were from the
preschool samples Pre1-3 with only one weekly maths lesson/hour. Actually, there is
said to be more maths in everyday preschool life at Pre1-3 preschools. These results
indicate that learning maths might be more effective in informal, concrete everyday
177
situations with real life tasks and “examples” than in formal lessons. The most effective
environment for teaching and learning maths, specially early numeracy for six-yearolds, who are at the Piaget concrete operations level, seems to be socio-constructivist,
where pupils´ zone of proximal development is the main concern rather than the formal
maths lessons. The “Learning by doing” –like, constructivist teaching-learning
environment was related to slightly below average early numeracy results in the Pre3
sample, where there was also only one formal weekly maths lesson and maths was said
to be present in everyday preschool life. In this case statistically significant differences
in ENT results between the preschools in Pre1-3 and Sch3 might be in teaching-learning
environments, because it seems to be less effective to make sense of early numeracy
through one´s own experience than to make sense of maths through active discussions
and reflection with peers and teacher, whose role is more to give support and
instructions. A possible surprise for those who speak of the effectiveness of whole class
teaching was perhaps the average ENT results in behaviouristic teaching-learning
environments, but when thinking of six-year-old pupils who are at the Piaget concrete
operations level, teacher-oriented teaching-learning interaction, with teachers to instruct
and ask questions for pupils to respond to and teachers´ role in correcting answers and
assessment of learning, does not lead to discussions in the zone of proximal
development (ZPD).
CONLUSIONS
The results presented in this study indicate three levels of early numeracy features for
six-year-old children in three European samples and seven structures of teacher-pupil
classroom interaction, based on three dimensions of teaching-learning processes. The
early numeracy features; average, slightly above and below average ENTresults, were
related to the seven structures of teacher-pupil classroom interaction, teacher oriented,
teacher-group, teacher-pupil, off-task, pupil-pupil, pupils´ independent work and pupiloriented interaction, and also to the three dimensions of teaching-learning processes;
behaviourist, socio-constructivist and constructivist. The four dimensions, without the
off task dis/organization; ENT results, behaviourist, socio-constructivist and
constructivist behaviours, show a varied combination of dimensions during the test
week in each sample presented.
178
The typical weekly interaction profile is simply a tool for developing the teaching
environment towards the learning environment. There may be even more use of lesson
profiles, especially in making formal maths lessons less formal for six-year-olds or in
increasing “high quality” informal mathematics within everyday school/preschool life
through peer/adult interaction on ZPD. The most effective learning environment seems
to be the one allowing discussion between peers and teacher in the zone of proximal
development in early numeracy and maths. In the future investigations special attention
should be paid to such discussions of maths in formal and informal situations. The next
article concerning these samples will be on these discussions of maths episodes.
The problem may lie in too large class sizes, both organizational and environmental
difficulties in letting pupils talk about the task during lessons both with peers and
teacher on a ZPD basis, but it may also be a question how to re-arrange time, space and
classroom interaction on a daily and a weekly basis. There are many ways to benefit
from tasks and socio-constructive co-operation in the zone of proximal development
seem to be the most effective for six-year-old pupils in these samples.
The sample of the ENT study presented was small, but reliability was quite high (.84).
The participants were six-year-old pupils (N=99), whose teachers were experienced
except for one who was a teacher trainee student in Sch1. To carry out research in one
week can be seen to be a short time, but even during 886 minute-for-minute analyzed
classroom interaction, there is a possibility to see different dimensional processes in
math’s teaching-learning and trends of teacher-pupil interaction profiles in classroom
settings. Inter-observent reliability was 75%. Codes 1 and 2 where interpretative in
some situations and only 3.33% of the differences between the two researchers´
analyses were caused by some inexplicable factors.
Situational and cultural factors must be acknowledged, because school systems,
curricula and languages varied in these European schools and preschools. Using the
alternative theoretical perspectives minimizes reliability limitations in theoretical
concepts and contents. Seven structures of interaction arose from the data and were
grounded in theory. ENT is seen to be a reliable instrument for early numeracy, but
validity limitations in internal credibility must be carefully considered, because the test
may be problematic with language-based tasks, in counting, in Piaget´s logical
operational tasks, and in using multi-link and cube features as objects. Empirical design
and criteria is based on mixed qualitative and quantitative methods, for ENT, classroom
interaction profiles and dimensional presentation of teaching-learning processes.
179
External transferability is always a problem in case studies, but these dimensions
presented indicate some interesting applications in developing maths-learning
environments for six-year old pupils.
The educational or scientific importance of the study is for six-year-olds, because in
Finland most six-year-old children are at preschools in kindergartens, maintained by
social services, while some pupils are in the formal primary school system. In Sweden
children of the same age are mainly in preschools situated in schools in the formal
school system whereas, in England, all six-year-olds are already in the second or third
class of the formal infant/primary school system. Van de Rijt´s and Van Luit´s (1999)
findings indicate that, if we assume that there are similarities in childhood development
of different nationalitives it may be more a question of school systems and maths
education, which should be described to explain these differences. The findings
presented indicate that it may be even more a question of the whole learning
environment, pupils´ discussion with teacher or peers about maths task, and socioconstructivist ZPD support.
This research is one step towards equal opportunities for six-year-old learners. The
aim was to understand early numeracy and classroom interaction. The main idea is to
improve math learning and lessons in formal learning environments. The results suggest
improvements towards socio-constructivism in the teacher-pupil classroom interaction
of math learning environments. The next step would be a deeper analysis of the maths
episodes in these samples. There are some other dimensions of maths learning
environments, national educational systems, in maths education and curriculum, which
are the basis for all pre-, infant- and primary schools daily learning objectives, and these
will be analysed in later articles concerning these samples.
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183
184
El conocimiento lógico-matemático en Educación Infantil y su relación con el
aprendizaje de la lectura en 1º de Primaria
Jaime Solsona
[email protected]
Resumen
El objetivo principal de este estudio fue establecer una relación entre el aprendizaje del
conocimiento fonológico, el aprendizaje del conocimiento lógico-matemático y el
desarrollo de la atención mental (siguiendo el constructo desarrollado por J. PascualLeone), que suponemos está en la base del aprendizaje de la lectura. De esta forma se
pretende encontrar un apoyo teórico que justifique la conveniencia de utilizar programas
de entrenamiento en conocimiento fonológico y conocimiento lógico-matemático antes
del aprendizaje de la lectura. Han participado 48 alumnos/as prelectores que cursaban el
segundo curso de Educación Infantil al inicio del estudio; son distribuidos
aleatoriamente en tres grupos: el primero entrenado en conocimiento fonológico, el
segundo entrenado en conocimiento lógico-matemático y el tercero, que no recibe
tratamiento experimental alguno, es el grupo de control. De todos ellos se toman
medidas de su nivel de conocimiento fonológico, de su inteligencia y de su atención
mental. Durante 61 sesiones se administraron a los grupos experimentales 1 y 2
programas de entrenamiento en conciencia fonológica, o bien en razonamiento lógicomatemático. Del análisis de los resultados se concluye: 1º La pertinencia de incluir la
enseñanza del conocimiento fonológico en el programa general de Educación Infantil
por su efecto facilitador del posterior aprendizaje de la lectura. 2º La conveniencia de
realizar un programa de entrenamiento en conocimiento lógico-matemático, como el
descrito en este estudio, para incrementar el aprendizaje del conocimiento fonológico.
3º La importancia de conocer la capacidad de la atención mental de los niños para poder
realizar predicciones sobre su aprendizaje e implementar la metodología más apropiada
en cada caso.
Nota: El trabajo forma parte de la tesis doctoral del Dr. Jaime Solsona
1. Introducción
Tanto la conciencia fonológica como el conocimiento lógicomatemático se han relacionado con el aprendizaje de la lectura. La primera ha
sido ampliamente explorada por la investigación, mientras que el conocimiento
lógico-matemático ha llamado menos la atención de los investigadores,
desconociéndose en qué medida interactúan. Teniendo en cuenta la relación
entre la conciencia fonológica y el conocimiento lógico-matemático en su
correspondencia con el aprendizaje de la lectura, con el trabajo que aquí se
presenta, se pretendía evaluar en qué medida el entrenamiento en conocimiento
lógico-matemático repercutía en la conciencia fonológica de niños prelectores y
en el posterior aprendizaje de la lectura.
185
El niño de 5-6 años aprende mediante la acción; ésta le permite entrar en
contacto con los objetos, interactuar con ellos y conocerlos. De esta manera
extrae dos tipos de experiencia: La experiencia física que le permite descubrir
las propiedades de los objetos y la experiencia lógico-matemática que le
permite extraer conocimientos a partir de la acción mediante abstracción
reflexiva. La experiencia se hace accesible a partir de los marcos lógicomatemáticos que consisten en clasificaciones, ordenaciones, correspondencias,
funciones, etc. (Piaget, 1970).
El conocimiento lógico-matemático se ha relacionado con la lectura
(Hecht, Torgesen, Wagner y Rashotte, 2001). En este estudio, se relacionan las
habilidades fonológicas con las diferencias individuales en habilidades
aritméticas de los niños de los primeros cursos de primaria. Se supone que los
procesos fonológicos pueden influenciar el crecimiento en habilidades
aritméticas porque para resolver combinaciones numéricas básicas (como por
ejemplo, 6 + 7 = 13) se deben procesar los sonidos del habla, es decir que
primero deben convertir los términos y operadores del problema en un código
hablado.
La adquisición de la lectura y de las matemáticas puede suponer un
aumento en las habilidades de procesamiento fonológico. Las diferencias
individuales en lectura y matemáticas están asociadas en los niños y parece ser
que están influenciadas por las habilidades fonológicas. En diferentes estudios
se ha visto la influencia de las habilidades fonológicas en la lectura, y parece ser
que los procesos fonológicos también tienen influencia en el dominio
matemático. En teoría, el niño para solucionar correctamente un problema
(como por ejemplo, resolver 8 + 9 = 17) debe codificar los términos del
problema y al mismo tiempo generar una respuesta para resolverlo. Codificar y
mantener la información fonológica en la memoria de trabajo hace que el niño
dedique una gran cantidad de recursos atencionales para solucionar el problema.
Algunos estudios han encontrado una asociación entre memoria fonológica y
diferencias individuales en habilidades aritméticas (Solsona, 2004).
Los niños que son eficientes en la resolución de problemas aritméticos
simples pueden dedicar sus recursos de memoria a procesos asociados con la
selección e implementación de los procedimientos requeridos para solucionar
problemas matemáticos generales (Aguilar, Navarro y Alcalde, 2003; Aguilar y
186
Navarro, 2000); mientras que los niños que usan más tiempo y más memoria
para solucionar simples problemas aritméticos están en desventaja porque sus
recursos de memoria se dedican a los cálculos aritméticos a expensas de
seleccionar los procedimientos apropiados. Mientras el niño soluciona
problemas
matemáticos,
debe
codificar
y
mantener
representaciones
fonológicas exactas de los términos y de los operadores en la memoria
fonológica, al tiempo que selecciona e implementa estrategias que lo solucionen
(Hecht et al., 2001). También se supone que los recursos de memoria que
controla el ejecutivo central se usan durante la realización de las tareas de
conciencia fonológica y aritméticas, porque ambas tareas requieren recordar
resultados parciales mientras almacenan información específica en la memoria
fonológica (Swanson y Sachse-Lee, 2001).
2. Los contenidos lógico-matemáticos
Deaño (1993) denomina conocimiento lógico-matemático aquel tipo de
conocimiento que permite comprender la realidad, organizarla y darle
significación, para una mejor adaptación intelectual
Los contenidos lógico-matemáticos de los que habla Deaño se refieren a
habilidades:
Clasificatorias: constitución de categorías y de sus relaciones.
De seriación: comprensión de relaciones del tipo “menor que” o “más
rojo que”.
De ordenación de objetos en función del aumento o disminución de
alguna característica.
Numéricas.
Mientras que los conocimientos infralógicos abarcan contenidos
relativos a las relaciones espaciales:
Topológicas: del tipo dentro-fuera.
Euclidianas: del tipo de cuantificación de la distancia, y temporales de
secuencia de hechos y acontecimientos.
Existe una enorme diferencia entre el mundo del pensamiento del niño y
del adulto, sobre todo en términos de organización y estructura interiores. El
paso de un mundo al otro se produce tras un prolongado proceso de evolución
(Lawrence, Theakston, e Isaacs, 1982).
187
Los principales conceptos básicos que impregnan y controlan la
estructura del pensamiento del adulto son: las nociones de espacio y tiempo; de
realidad y causalidad; de número, orden, medida, tamaño y forma; de
movimiento, velocidad, fuerza y energía; y las ideas de las relaciones lógicas
fundamentales, como las del todo y la parte, las clases, las jerarquías de clases y
sus miembros, y la inferencia. Aunque no sepamos formular estos conceptos en
términos intelectuales, funcionan en nuestro interior en forma estructurada y
organizada y nos proporcionan el marco de referencia coherente de nuestro
pensamiento mediante el que ordenamos e interpretamos la sucesión de
impresiones, acontecimientos y experiencias que se nos presentan en la vida
diaria (Lawrence, Theakston, e Isaacs, 1982).
Los niños recogen las palabras asociadas a estos conceptos básicos y
aprenden a usarlas en situaciones adecuadas, pero esto no quiere decir que estos
conceptos se encuentren como estructuras en funcionamiento, aunque sea de
forma simple y elemental, en niños de edades entre los cuatro y los doce años.
Los niños promedio entre los cuatro y seis años no poseen los conceptos,
aunque pueden utilizar las palabras. En niños de 7-8 años, los conceptos existen
en forma rudimentaria y pueden emplearlos con éxito en casos simples, pero
suelen equivocarse con pruebas más difíciles. Hacia los 11-12 años, los
conceptos están bien presentes en su forma funcional apropiada y los niños
pueden emplearlos como los adultos (Lawrence, Theakston, e Isaacs, 1982).
Algunos de estos conceptos maduran antes que los demás, y los últimos
en hacerlo son las relaciones estrictamente lógicas, de modo que sólo entre los
11-14 años la mayor parte de los niños adquieren la capacidad para el
razonamiento formal abstracto (Lawrence, Theakston, e Isaacs, 1982).
3. Actividades de aprendizajes lógicos-matemáticos
En España, Deaño (1993) informa de un trabajo de investigación sobre
actividades de aprendizajes lógicos-matemáticos que abarcaban los aspectos
más
importantes
del
bloque
de
contenidos
“Relaciones,
medida
y
representación en el espacio” y que se aplicaron a niños entre tres y ocho años
de edad en forma de tareas.
Las puntuaciones obtenidas pusieron de manifiesto:
“Las tareas se diferencian con la edad”.
188
“Las puntuaciones presentan un aumento progresivo con el avance de la edad
hasta que se estabiliza su consecución”.
“Existe una asociación entre intervalos de edad y tareas resueltas”
“Existe un aumento progresivo en la resolución de tareas con el avance de la
edad”.
Se estableció un conjunto de 17 tareas o dimensiones lógicomatemáticas que agrupaban a las tareas más afines con el fin de facilitar los
procesos psicológicos de su aprehensión:
1. UBICACIÓN ESPACIAL DE LOS OBJETOS (Depositar objetos dentro
fuera, Correr alrededor de un objeto fijo, etc.)
2. DISCRIMINACIÓN SEGÚN MODELO (Agrupar fichas de colores según
un modelo dado, etc.)
3. AGRUPAMIENTO (Vaciar todo el líquido de una botella, Agregar todas las
fichas verdes a una colección ya formada, etc.)
4. CONTRASTE DE MAGNITUDES (Marchar despacio-deprisa según
consigna, De dos collares desiguales en longitud, indicar el que tiene más bolas,
etc.)
5. ORDENAR (Colocarse al principio o final de la fila, Ordenar en una
secuencia temporal tres viñetas de acciones, etc.)
6. COLECCIÓN (Indicar los elementos que no pertenecen a una colección,
Formar un conjunto según el criterio de los que le pertenecen, etc.)
7. CORRESPONDENCIA (Emparejar elementos de dos conjuntos iguales
numéricamente, Repartir ocho objetos entre cuatro compañeros, etc.)
8. ANTES-DESPUES (Introducir en una caja objetos de colores y retirar
después los azules, Formar un círculo con los rojos, pero antes separar los
verdes, etc.)
9. ORDENAR DIFERENCIAS CUALITATIVAS. SERIAR (Continuar una
serie grande-pequeño, Continuar la serie círculo-cuadrado-triángulo, etc.)
10. COMPARAR MAGNITUDES (Llenar un cubo con más arena que otro,
Realizar una serie en orden inverso a otra dada, etc.)
11. CONJUNTOS (Verter de una botella algún líquido en vasos iguales, Indicar
subconjuntos que pertenecen a conjuntos previamente formados, etc.)
12. PROGRESIÓN SERIAL (Formar la serie pequeño mediano grande,
Ordenar pelotas de distinto tamaño, etc.)
189
13. PONDERACIÓN (Determinar el más pesado de dos objetos con la ayuda de
la balanza, Obtener la misma cantidad de peso en la balanza, etc.)
14. TIEMPO PUNTUAL (Secuenciar los días de la semana, Dado un día de la
semana decir que día fue ayer, etc.)
15. TAMAÑO-MEDIDA (Construir en plastilina un churro mitad que otro,
Indicar el número de veces que un recipiente contiene a otros, etc.)
16. CONTRASTE E.-T. RELOJ (Construir un reloj en cartulina según modelo,
Decir la hora exacta que marca el reloj (sólo aguja pequeña), etc.)
17. INTERSECCIÓN (Realizar la intersección de dos conjuntos, Colocar la
pieza que corresponde a la intersección de dos conjuntos, etc.)
4. Teoría de los operadores constructivos de Juan Pascual-Leone
Se puede definir como una teoría metasubjetiva neopiagetiana. Quiere
ser una teoría integradora que explique toda la conducta del sujeto y no sólo en
un terreno particular (Delval, 1978). Trata de conjugar una teoría básica de
estadios con el enfoque de los procesos del procesamiento de la información y
la existencia de importantes diferencias individuales que se manifiestan en el
estilo cognitivo de los sujetos (García Madruga y Lacasa, 1997). En cuanto a
los problemas cognitivos, pretende predecir cuál es el proceso por el que un
sujeto resuelve un problema o realiza un determinado comportamiento (Delval,
1978).
En esta teoría se distinguen tres tipos de constructos: Los esquemas, que
son operadores del organismo psicológico; las capacidades u operadores, que
son operadores escondidos del hardware del cerebro; y los principios
organísmicos del hardware del cerebro que especifican cómo interactúan los
esquemas y los operadores para producir una actuación (Pascual-Leone y
Baillargeon, 1994).
Tabla 1
Definición de Términos de la teoría de los operadores constructivos. En
Pascual-Leone y Johnson, (in press.).
ESQUEMAS: “Software”, procesos de información.
E
=
Repertorio de esquemas ejecutivos.
190
A
=
Repertorio de esquemas afectivos.
H o H’ =
Repertorio de esquemas de acción.
OPERADORES OCULTOS: “Hardware”, recursos o capacidades.
M
=
Reserva de “energía” mental. La capacidad M = e + k
e
=
Número de esquemas que M puede activar
simultáneamente en el período sensoriomotor.
k
=
Número de esquemas simbólicos que M puede
hiperactivar.
I
=
Mecanismo de interrupción central; utilidad de inhibición central
que crece con el crecimiento de M.
El esfuerzo mental forma parte de M o de I.
C
=
Aprendizaje de contenido (o esquemas de contenido)
L
=
Aprendizaje lógico-estructural (o relacional)
LM
=
Aprendizaje L debido al esfuerzo mental.
LC
=
Aprendizaje L debido a la automatización del
aprendizaje C.
F
=
Factores de campo de la Gestalt.
PRINCIPIOS ORGANÍSMICOS
SOP
=
Principio de sobre-determinación esquemática de la actuación.
De un modo metafórico se puede decir que el operador M sirve para
situar a los esquemas en el espacio M. Conduce a los esquemas de tareas
relevantes a la hiperactivación. La capacidad M es una especie de energía
mental que se incrementa con el desarrollo humano hasta la adolescencia.
Representa el número de esquemas que se pueden activar simultáneamente
(Pascual-Leone y Baillargeon, 1994). Pero sólo un pequeño número de
esquemas puede ser activado por M simultáneamente; este número es la
máxima capacidad M del individuo (Pascual-Leone y Johnson, in press.). Esta
capacidad M se puede medir, y su medida aumenta de una manera discreta con
cada piagetiano o neopiagetiano estadio de desarrollo. Este crecimiento de la
capacidad M permite la integración de más esquemas en el proceso de solución
de tareas. De esta manera, cuando se alcanza una experiencia suficiente, este
191
crecimiento de la capacidad M constituye la regla de transición para pasar de
un estadio cualitativo del desarrollo al siguiente (Pascual-Leone y Baillargeon,
1994). Los valores ideales tomados por este parámetro oculto de la atención
mental han sido predichos como se establece en la Tabla 2.
En la definición de la capacidad de atención mental, Pascual-Leone dice
que es un recurso interno de la atención ( “a menudo llamado memoria de
trabajo no muy ajustadamente”) que permite a los sujetos guardar en la mente,
por medio de la activación endógena de los correspondientes esquemas, un
número dado de características o limitaciones de las tareas que no son
directamente activados por la situación perceptual (Baillargeon, Pascual-Leone
y Roncadin, 1998).
La atención mental M se refiere al “máximo número de unidades
mentales (esquemas) que el organismo psicológico es capaz de utilizar,
simultáneamente, en un único acto atencional cuando se enfrenta a una
situación que requiere una síntesis dinámica” (Corral y Pardo de León, 1997).
Si se dispone de una atención mental inferior a las demandas de la tarea, supone
que aunque el sujeto pueda tener esquemas semejantes en su repertorio, no
podrá integrarlos, conectarlos o interrelacionarlos, hasta haber alcanzado la
atención mental suficiente para hacerlo (Corral y Pardo de León, 1997). Por
mucha enseñanza que haya, si la atención mental ni alcanza el mínimo
necesario, no hay aprovechamiento; si hay atención mental, pero no se le dan
las ocasiones para que la ejercite, el desarrollo lógico se retrasará (Corral y
Pardo de León, 1997).
Tabla 2
Capacidad predicha de M correspondiente a la edad cronológica
media de sujetos normales. Subestadios del desarrollo de Piaget
(Pascual-Leone, 1978).
Poder
máximo
Edad
subestadio de Piaget
de M
cronológi
ca media
predicho
192
e+1
preoperaciones tempranas
3-4 años
e+2
último subestadio del período properatorio
5-6 años
e+3
operaciones concretas tempranas
7-8
e+4
operaciones concretas tardías
9-10
e+5
subestadio introductorio a las operaciones
11-12
formales
e+6
operaciones formales tempranas
13-14
e+7
operaciones formales tardías
15-adultos
La atención mental es un poderoso concepto que permite entender el
desarrollo intelectual y afectivo en cualquier etapa de la vida. Como se supone
que este operador oculto tiene un crecimiento continuado, se puede predecir,
previo análisis racional de tareas, el comportamiento cognitivo de los niños en
las más variadas situaciones (Corral y Pardo de León, 1997).
5. Medida de la atención mental: el Test de Intersección de Figuras.
El Figural Interseccions Test de Pascual-Leone, (1967) es un test de
lápiz y papel, cuya estructura y normas de aplicación han sido descritas en los
instrumentos de medida de la investigación.
Primero se presentan unos items que sirven de entrenamiento y después
se presentan los items del test. Cada item consta de un número de figuras
geométricas, separadas unas de otras, en la parte derecha de la hoja: son las
figuras relevantes de la tarea; el número de estas figuras varía aleatoriamente de
2 a 8 en cada item y este número, j, define la clase M del mismo. En la parte
izquierda de la hoja se presentan las mismas figuras solapadas con un área de
intersección común. En algunos items, esta figura combinada puede contener
una figura irrelevante, no presentada en la parte derecha, y que tampoco forma
parte de la intersección. Esta figura es un distractor que debe ser ignorado
(Pascual-Leone, 1967). En cada item hay que realizar dos subtareas: 1. situar un
punto rojo dentro de cada figura de la parte derecha, para asegurar la
exploración de todas las figuras relevantes; 2. en la parte izquierda, poner un
puntito que esté dentro de todas las figuras relevantes al mismo tiempo
(Pascual-Leone, 1967).
193
Las diferencias en la dificultad de un item son debidas a tres factores: 1.
la demanda M requerida por la clase M de cada item —el número de figuras
relevantes debe ser guardada en la mente usando la capacidad M (estrategias
X); 2. las figuras solapadas pueden esconder la segregación perceptual de las
figuras separadas (estrategia Y); 3. el número y la fuerza de las estrategias Y
provocada por el contexto de los items aumenta con el número j de figuras
presentadas. La presencia de las estrategias Y provoca la utilización de la
atención mental disponible dentro de las estrategias X para dejar en suspenso a
las estrategias Y. Un sujeto deberá usar su capacidad M, indicada por t, para
activar los esquemas relevantes de las estrategias X y para detectar e
interrumpir los esquemas irrelevantes de las estrategias Y. La demanda M de un
item, estimada por el valor j, indica la capacidad M que se necesita para activar
los esquemas relevantes de tarea. La diferencia t – j da una estimación de la
capacidad M disponible para controlar las estrategias Y provocadas por el
contexto de un item (Pascual-Leone y Baillargeon, 1994). Este conflicto interno
entre las estrategias correctas X y las estrategias engañosas Y constituye el
denominado Contextual Overdetermination Trade-off.
Todos los items mantienen las mismas estrategias mentales para su
resolución, pero como el grado de demanda de M se incrementa con cada clase
j, de la misma manera el sujeto necesitará un mayor grado de capacidad M para
superarlos (Pascual-Leone y Baillargeon, 1994).
Existen dos maneras de enfrentarse con la tarea de resolver los items: el
procedimiento de intersección total y el procedimiento de intersección parcial.
Mediante el procedimiento de intersección total, el sujeto guarda en la mente,
por separado, todas las figuras relevantes con la excepción de una de ellas que
utiliza como fondo. La figura de fondo se automatiza en una estructura L
perceptual que no necesita la promoción de M; pero sí necesita M un esquema
operativo OP que puede encontrar la intersección de todas las figuras. Usando
esta estrategia cada item tiene una demanda mental M. Otros niños utilizan el
procedimiento de intersección parcial que consiste en localizar intersecciones
parciales y utilizarlas en vez de las figuras para generar otras intersecciones. De
esta manera, un niño de una capacidad M puede resolver items de una demanda
M mayor (Pascual-Leone y Baillargeon, 1994). Para minimizar esta dificultad
194
en la medida de la atención mental, se introducen las figuras irrelevantes que
dificultan el uso de estrategias de intersección parcial en las tareas del FIT.
6. Método
Participantes. La muestra estaba compuesta por 75 alumnos/as
prelectores que cursaban el segundo curso de Educación Infantil al inicio del
estudio. Contaban con una edad media de 5 años y 7 meses (rango de 5,2 a 6,2).
Procedían de 3 aulas de un colegio público de una ciudad de Andalucía de
62.000 habitantes y con un nivel socio-económico medio y medio-bajo. A todos
los alumnos de estos tres cursos se les aplicó las Pruebas de Habilidad Lectora
(Domínguez, 1996a), subpruebas de Lectura de 10 palabras regulares y Lectura
de 10 pseudo palabras. Se descartaron 21 alumnos que demostraron algún
conocimiento de conversión grafema-fonema. Un total de 46 participantes han
completado todas las fases del estudio, 24 eran niños (52,17 %) y 22 eran niñas
(47,83 %). Su cociente intelectual medido con el Batería de Aptitudes
Diferenciales y Generales (Yuste, 1998), arrojaba una X = 44,76 (dt = 29,54).
Técnicas e instrumentos de medida.
Con el fin de conocer el CI de la muestra, se utilizó la Batería de
Aptitudes Diferenciales y Generales (B.A.D.y G.) «Formas A y B» (Yuste,
1998). Esta misma batería fue utilizada también para medir el conocimiento
lógico-matemático, empleando la puntuación de Inteligencia General NoVerbal más la puntuación en Conceptos Cuantitativos y Numéricos. Esta prueba
reúne 72 ítems que evalúan los objetivos perseguidos con el entrenamiento en
conocimiento lógico-matemático.
Como test de lectura se utilizó la Prueba de Evaluación del Retraso en
Lectura (P.E.R.E.L.) de Soto, Maldonado, Sebastián, López Taboada, Del Amo,
Linaza y López Alejo (1992). Se trata de una prueba diseñada para evaluar el
rendimiento en lectura en los primeros años de Educación Primaria, desde el
punto de vista de la decodificación del lenguaje escrito. Para la selección de los
participantes, también se han utilizado las Pruebas de Habilidad Lectora
(Domínguez, 1996a): Subprueba de Lectura de 10 palabras regulares. Y
Subprueba de Lectura de 10 pseudo palabras.
Prueba de Segmentación Lingüística (P.S.L.) (Formas A y B) (Ortiz,
1995). El P.S.L. evalúa la conciencia fonológica de los participantes. Las
195
unidades estructurales del lenguaje oral que propone el P.S.L. como objeto de
reflexión y manipulación son: palabras, sílabas, unidades intrasilábicas y
fonemas.
Programa de entrenamiento en conciencia fonológica. Ejercicios de
reflexión sobre unidades del habla (Calero, Pérez, Maldonado y Sebastián,
1997). Los tipos de tareas en el programa son: desarrollo de la conciencia
lexical, desarrollo de la conciencia silábica y desarrollo de la conciencia
fonémica.
Programa para desarrollar el conocimiento lógico-matemático. Para
ajustarnos a las necesidades específicas de este trabajo, se ha diseñado un
material para su aplicación en el grupo experimental. Se diseñó una batería de
actividades académicas lógico-matemáticas constituidas por 100 ejercicios
sistemáticos basados en los programas de Deaño (1993), Lawrence, Theakston
e Isaacs, (1982), y en las actividades de Sanz, Arrieta y Pardo (1988), Batlle y
Batlle (1988) y Ruiz Casas (1989). Esta batería incluía ejercicios de
clasificación, secuencias temporales, series de números, tareas con bloques
lógicos, operaciones sencillas, nociones espaciales, cardinalidad, etc.
Procedimiento.
Elección de la muestra y constitución de los grupos. En primer
lugar se aplicó las Pruebas de Habilidad Lectora, subpruebas de Lectura de 10
palabras regulares y Lectura de 10 pseudo palabras para comprobar que ningún
participante en el estudio sabía leer palabras utilizando la vía fonológica,
aunque pudiera descifrar alguna palabra utilizando la vía directa o visual. De
esta manera se obtuvo una muestra de 48 participantes (24 niños y 24 niñas) sin
ningún conocimiento lector. Con esta muestra se formaron al azar dos grupos
experimentales de doce participantes cada uno: el grupo experimental 1 que
sería entrenado en conocimiento fonológico (formado por 7 niños y 5 niñas), y
el grupo experimental 2 que sería entrenado en conocimiento lógicomatemático (formado por 6 niños y 6 niñas). Además se formó un grupo de
control de 24 participantes (11 niños y 13 niñas). Los participantes siguieron el
currículo escolar estandarizado para su nivel escolar.
Aplicación de las pruebas en la fase de pretest. A los 48
participantes se les aplicó la P.S.L. (Forma A), para evaluar la conciencia
196
fonológica, siguiendo las instrucciones que se indican en la misma y en las
adecuadas condiciones de administración. También se midió el conocimiento
lógico-matemático (C.l-m.) mediante el B.A.D.y G. (A), siguiendo las
instrucciones del manual.
Aplicación de los tratamientos experimentales: (1) Entrenamiento
en conocimiento fonológico. Los 12 participantes del grupo experimental 1
realizaron los 100 ejercicios de reflexión sobre unidades del habla en 61
sesiones de 30 minutos de duración, programadas dentro de su escolarización
regular y administradas por uno de los autores del trabajo. (2) Entrenamiento
en conocimiento lógico-matemático. Al mismo tiempo se aplicaba a los 12
participantes del grupo experimental 2 el programa específico de conocimiento
lógico-matemático diseñado para esta investigación, siguiendo la planificación
y la programación prevista para cada contenido en las mismas condiciones de
administración que el entrenamiento (1).
Aplicación de las pruebas del postest. Para evaluar la conciencia
fonológica se administró la Forma B de la P.S.L. Volvió a administrarse la
versión B del B.A.D.y G. para evaluar el conocimiento lógico-matemático. Y
para la evaluación de la lectura, se utilizó el P.E.R.E.L.
El trabajo fue planificado contando con la autorización de los
responsables del centro escolar y siguiendo un diseño experimental de tres
grupos al azar (2 experimentales y 1 de control) con medidas repetidas, siendo
las variables independientes los programas de entrenamiento en conciencia
fonológica y conocimiento lógico-matemático, y las variables dependientes las
medidas de inteligencia, conciencia fonológica, lectura y conocimiento lógico
matemático, evaluadas a través de las pruebas específicas antes descritas.
7. Resultados
La primera comparación estadística fue realizada para comprobar
la homogeneidad de los tres grupos de participantes en relación a las
variables dependientes medidas. Por medio de la prueba de Kruskal-Wallis
se comprueba que efectivamente no aparecen diferencias al inicio del
197
estudio entre los distintos grupos en conocimiento fonológico (χ2 (2gl) = 7.8;
p ns), conocimiento lógico-matemático (χ2 (2gl) = 9.6; p ns), ni en el nivel
intelectual (χ2 (2gl) = 8.9; p ns) (tabla 1).
Cuando se comparan los datos pretest y postest, en los tres grupos se
aprecian diferencias significativas de conocimiento fonológico y de
conocimiento lógico-matemático, medido con la prueba de los rangos con signo
de Wilcoxon. El contraste entre los grupos de Control y Experimental 1 en el
postest de conocimiento fonológico y en conocimiento lógico-matemático
realizado mediante la prueba de Kruskal-Wallis, indica que no hay diferencias
significativas. El grupo experimental 1, entrenado en tareas de conciencia
fonológica, ha mejorado en la medida de la conciencia fonológica 7,85 puntos.
Mientras que el grupo experimental 2, entrenado en tareas de conocimiento
matemático, ha mejorado en 11,67 puntos. Cabe resaltar que el grupo entrenado
en conocimiento matemático ha mejorado más su conciencia fonológica, que el
grupo entrenado precisamente en esta variable. El contraste estadístico
realizado para comparar el conocimiento fonológico y el conocimiento lógicomatemático teniendo en cuenta las diferencias pretest-postest, revela que el
entrenamiento específico en conocimiento fonológico ha sido efectivo en
relación a la lectura, evaluada mediante la tarea de descifrado (χ2 = 4.076; p <
0.43), mientras que el entrenamiento en conocimiento matemático no ha
mejorado la lectura (χ2 = 2.185; p ns. Ver tabla 2).
Para intentar profundizar en la comprensión del grado de relación
existente entre las dos variables se han contrastado las ganancias del pretestpostest en conocimiento fonológico, formando un solo grupo con los dos grupos
experimentales y comparándolo con el grupo de control (tabla 3). De la
aplicación de la prueba “U” de Mann-Whitney a las diferencias pretest-postest
en conocimiento fonológico y en conocimiento lógico-matemático de los
grupos Control y Experimental 1 + Experimental 2, indica que sí hay
diferencias significativas (U = 38; p < 0.05). Este resultado parece indicar que
serán más efectivos los entrenamientos en conocimiento fonológico para
realizar tareas de segmentación lingüística si se realizan al mismo tiempo
entrenamientos en conocimiento lógico-matemático.
Estos datos suponen que aunque las ganancias en conocimiento
fonológico del grupo Experimental 1 (entrenado en tareas de conciencia
198
fonológica) no han sido estadísticamente significativas respecto del grupo de
Control (U = 111,001; p = 0,606). Sin embargo, se observa una tendencia de los
datos en la dirección de su influencia en la adquisición de los mecanismos de
decodificación de la lengua escrita. Las ganancias en conocimiento fonológico
del grupo Experimental 2 (entrenado en tareas lógico-matemáticas) han sido
significativas respecto del grupo de Control (U = 58,001; p < 0,007). Sin
embargo, éstas no han sido del todo eficaces en la adquisición de los
mecanismos de decodificación de la lengua escrita. Cuando se unen las
puntuaciones del postest en lectura (descifrado) de los dos grupos
experimentales y se contrastan con las del grupo de control, revelan diferencias
significativas, lo que induce a pensar que el entrenamiento en conocimiento
lógico-matemático también tiene una relación con la facilitación del aprendizaje
inicial de la lectura.
8. Discusión
La falta de sensibilidad de los niños de educación infantil a los sonidos
puede ser una de las razones de las dificultades que se encuentran
posteriormente en el aprendizaje de la lectura. Las medidas de sensibilidad
infantil a las tareas de conciencia fonológica que se toman antes de que los
niños aprendan a leer pueden predecir cómo aprenderán (Bryant y Bradley,
1998). Enseñar a los niños en preescolar a desarrollar la conciencia fonológica,
sobre todo en relación con las sílabas y fonemas, les ayudará a aprender a leer y
escribir posteriormente, y será de gran ayuda para los niños que tienen
problemas en este aprendizaje. Sin embargo, la intervención temprana en
educación infantil no es suficiente para prevenir fracasos en el aprendizaje de la
lectura en la escuela y, por tanto, esta intervención debe proseguir en el primer
curso de primaria (Saint-Laurent y Giasson, 2001).
En este estudio la comparación entre el grupo entrenado en
conocimiento fonológico y el grupo de control, teniendo en cuenta las
diferencias pretest-postest no revelan diferencias significativas en conocimiento
fonológico, aunque sí indican una estrecha relación, porque cuando se
contrastan las puntuaciones del postest en lectura (descifrado) entre estos dos
199
grupos sí se obtienen diferencias significativas. La explicación a este hecho
puede ser doble. Por una parte, parece indicar que el entrenamiento en
conocimiento fonológico no ha sido del todo efectivo, posiblemente porque las
tareas realizadas con el material de entrenamiento tenían un grado de
abstracción que no correspondía a la etapa de desarrollo de los niños de la
muestra. Por otra, se podría atribuir a una baja correlación entre las tareas del
entrenamiento y las tareas de la prueba de medida del conocimiento fonológico,
que incluye evaluación de tareas que no han sido entrenadas. No obstante, todo
parece indicar que aunque las ganancias en conocimiento fonológico del grupo
Experimental 1 no han sido significativas respecto del grupo de Control, sin
embargo, marcan una tendencia que pueden relevarse eficaces en la adquisición
de los mecanismos de decodificación de la lengua escrita, lo cual está en la
línea de recientes investigaciones sobre la relación entre el conocimiento
fonológico y el aprendizaje de la lectura (Hernández-Valle y Jiménez, 2001;
Duncan, Seymour e Hill, 2000; Domínguez, 1996b).
Al mismo tiempo, los resultados muestran que la comparación en
conocimiento fonológico entre el grupo entrenado en conocimiento lógicomatemático y el grupo de control, teniendo en cuenta las diferencias pretestpostest, revela diferencias significativas, pero que cuando se contrastan las
puntuaciones del postest en lectura entre estos dos grupos no se obtienen estas
diferencias, lo que corrobora el estudio de O’Shaughnessy y Swanson (2000),
aunque sí indican una tendencia, ya que cuando se comparan juntas las
puntuaciones de los dos grupos experimentales con relación a las del grupo de
control en lectura (descifrado), sigue habiendo diferencias significativas. Los
resultados parecen sugerir que los entrenamientos en conocimiento fonológico
serán más efectivos en la realización de tareas de conocimiento fonológico si al
mismo tiempo se realizan entrenamientos en conocimiento lógico-matemático.
Esta relación entre la conciencia fonológica y las habilidades aritméticas ya ha
sido sugerida en otros estudios, presentándola como un buen predictor del
crecimiento de estas habilidades cuando se controla la memoria fonológica
(Hecht et al., 2001).
Algunos estudios han relacionado también las tareas de lectura,
conciencia fonológica y matemáticas con los procesos de la memoria de trabajo
200
(Hecht, et al., 2001; Swanson y Sachse-Lee, 2001; Swanson y Ashbaker, 2000;
de Jong, 1998; Kail, 1997; Ackerman, Dykman y Gardner, 1990).
Hecht, et al., (2001) han estudiado esta relación y han observado que la
adquisición de la lectura y de las destrezas matemáticas puede suponer un
aumento en las habilidades de procesamiento fonológico. Las diferencias
individuales en lectura y matemáticas están asociadas en los niños y parece ser
que están influenciadas por las habilidades de procesamiento fonológico.
Suponen que los procesos fonológicos pueden influenciar el crecimiento en
habilidades aritméticas, porque para resolver problemas matemáticos se deben
procesar los sonidos del habla, es decir que primero se deben convertir los
términos y operadores del problema en un código hablado. Sugieren también
que la relación entre estas dos habilidades se establece a través de la demanda
de la memoria de trabajo que las dos realizan al ejecutar tareas de conocimiento
fonológico y de cálculo matemático. Nosotros constatamos la existencia de esta
relación, pero hemos sugerido (Solsona, 2004) que pueden establecerse a través
del constructo atención mental desarrollado por Pascual-Leone (1978).
Swanson y Sachse-Lee (2001) suponen que la demanda de memoria de
trabajo, por parte de las tareas de conciencia fonológica, es la responsable de la
relación entre la conciencia fonológica y las habilidades matemáticas. Se
supone que los recursos de memoria que controla el ejecutivo central se usan
durante la realización de las tareas de conciencia fonológica y aritméticas,
puesto que ambas tareas requieren recordar resultados parciales mientras
almacenan información específica en la memoria fonológica. Es por eso que
tareas de conciencia fonológica pueden predecir diferencias en habilidades
aritméticas, porque ambos dominios requieren que se dediquen recursos a la
memoria fonológica y al ejecutivo central (Mann y Foy, 2003). Mientras el niño
soluciona problemas matemáticos debe codificar y mantener representaciones
fonológicas exactas de los términos y de los operadores en la memoria
fonológica, al tiempo que selecciona e implementa estrategias que lo
solucionen.
En teoría, el niño para solucionar correctamente un problema debe
codificar los términos del problema y al mismo tiempo generar una respuesta
para resolverlo. Codificar y mantener la información fonológica en la memoria
de trabajo hace que el niño dedique una gran cantidad de recursos atencionales
201
para solucionar el problema. Por otra parte, la capacidad de la memoria de
trabajo afecta al desarrollo de las habilidades metalingüísticas, como la
conciencia fonológica, que determina la adquisición inicial de la lectura y puede
ser la causa de problemas de lectura. La capacidad de la memoria de trabajo es
más importante en las tareas de conciencia fonológica que la memoria a corto
plazo, porque estas tareas requieren almacenamiento y manipulación de
fonemas (de Jong, 1998).
Esta interpretación de la relación entre las tareas de lectura, conciencia
fonológica y matemáticas con los procesos de la memoria de trabajo, sólo se
puede realizar en niños normales a partir del segundo curso de primaria, cuando
ya tienen un rendimiento lector bien asegurado, son conscientes de sí mismos y
son capaces de procesar mentalmente material con un cierto grado de
abstracción (Kail, 1997).
Los
resultados
de
nuestro
estudio
muestran
unas
relaciones
significativas entre los pretest y postest del conocimiento fonológico y del
conocimiento lógico-matemático con la lectura (descifrado) y la lectura directa
de palabras. Suponemos que la relación se establece por el tipo de tareas que se
desempeñan en las tres actividades, que reflejan el funcionamiento lógico del
pensamiento infantil: utilización de símbolos, ubicación, discriminación,
agrupar, ordenar, etc.
En las primeras fases del aprendizaje de la lectura se requiere que el
niño realice la conversión grafema-fonema a una velocidad creciente para poder
aprehender la palabra completa y tener acceso a su significado. La habilidad en
la realización de esta tarea dependerá de su capacidad de segmentar y tomar
conciencia de las unidades que componen el lenguaje oral (Jiménez et al.,
1996). Estudios anteriores han puesto de manifiesto que el nivel de
conocimiento fonológico en Educación Infantil es un buen predictor del
rendimiento lector en los primeros años de primaria (Bryant y Bradley, 1998),
que es posible desarrollar estas habilidades metalingüísticas en niños
prelectores por medio de una enseñanza explícita y que estas habilidades, junto
con el conocimiento de las reglas de conversión grafema-fonema, pueden tener
un efecto inmediato en la capacidad de leer y escribir palabras (Domínguez,
1996b).
202
En nuestro estudio, los niños entrenados en conocimiento fonológico,
han obtenido unas puntuaciones significativamente mejores que el grupo de
control en la prueba de lectura medida en el segundo trimestre de 1º de
primaria. Este resultado corrobora los resultados de estudios precedentes y
sugiere el carácter precursor del conocimiento fonológico con respecto a la
lectura (Holopainen, Ahonen y Lyytinen, 2000; Maldonado, Sebastián y Soto,
1992). Sin embargo, no todos los niños del grupo entrenado en conocimiento
fonológico han mejorado sus habilidades fonológicas y lectoras a pesar del
entrenamiento, lo que ya ha sido puesto de manifiesto en estudios precedentes
(Holopainen, Ahonen y Lyytinen, 2001; Saint-Laurent y Giasson, 2001;
Schneider, Ennemoser, Roth y Kuspert, 1998). Esto indica que hay niños que
son resistentes a la intervención en conocimiento fonológico (Gustafson,
Samuelsson y Rönnberg, 2000), que la relación entre el conocimiento
fonológico y la lectura no es mecánica y que puede haber otro proceso
cognitivo de carácter más general que media en esta relación. Algunos autores
han sugerido que es la memoria de trabajo el factor clave en la realización de
las tareas de conocimiento fonológico y lectura (Oakhill y Kyle, 2000;
Porpodas, 1999). Otra posible explicación puede estar relacionada con el
constructo atención mental.
Los niños entrenados en conocimiento fonológico han mejorado sus
resultados en tareas lógico-matemáticas y los niños entrenados en conocimiento
lógico-matemático han obtenido unas puntuaciones en habilidades fonológicas
significativamente mejores que el grupo de control. La interpretación que
damos a estos resultados está en función de la edad de los participantes y las
características psicológicas de los niños de esta edad. Los resultados de nuestro
estudio muestran unas relaciones significativas entre los pretest y postest del
conocimiento fonológico y del conocimiento lógico-matemático con la lectura
(descifrado) y la lectura directa de palabras. Suponemos que la relación se
establece por el tipo de tareas que se desempeñan en las tres actividades, que
reflejan el funcionamiento lógico del pensamiento infantil. Las operaciones
mentales necesarias para la resolución de estas tareas están en el repertorio de
estos niños y la única limitación para su correcta ejecución estriba en la
abstracción del material lingüístico y posiblemente en la capacidad de su
atención mental (Solsona, 2004).
203
Qué posibles implicaciones pueden tener estos datos para la práctica de
la enseñanza de la lectura. En primer lugar, se advierte una vez más la
pertinencia de incluir la enseñanza del conocimiento fonológico en el programa
general de Educación Infantil por su efecto facilitador del posterior aprendizaje
de la lectura. Creemos que se debe enseñar el conjunto de tareas que forman
parte de esta materia metalingüística y que se deben incluir, para su enseñanza,
materiales concretos que permitan rebajar el grado de abstracción unido a este
tipo de tareas. En segundo lugar, se aconseja realizar un programa de
entrenamiento en conocimiento lógico-matemático, puesto que puede
incrementar el aprendizaje del conocimiento fonológico. Cabe proponer futuras
investigaciones que delimiten el tipo de contenidos lógico matemáticos
(cardinalidad, secuencias de conteo, nociones espaciales, etc.) que son más
eficaces para mejorar la conciencia fonológica.
204
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208
Desarrollo de las capacidades relacionales y de conteo evaluadas por la versión
española del test de Utrecht
Departamento de Psicología. Universidad de Cádiz [email protected]
Resumen
Cuando se evalúa el conocimiento matemático se encuentra que tanto en los
niños como en los adultos las diferencias pueden ser muy marcadas. En el muy
conocido Informe Cockroft (1982) ya se mencionaba que en una clase de niños y niñas
de 11 años es probable que haya un rango de hasta 7 años de diferencias en habilidades
aritméticas. En un estudio más reciente Brown, Askew, Rhodes et al (2002) han
encontrado diferencias similares en 6º curso (10-11 años) evaluados con tests
estandarizados de matemáticas. Las diferencias entre los alumnos que se encuentran el
percentil 5 y el percentil 95 se corresponde con 7 años cronológicos en “edad
matemática”. En el presente trabajo se presentan unos primeros resultados provisionales
de la standarización en España del Utrech Early Numeracy Test de van Luit, van de
Rijt, & Pennings (1999) (Test de Evaluación Matemática Temprana de Utrech.
TEMTU. Versión española experimental), una prueba de papel y lápiz dirigida a evaluar
el nivel de competencia matemática temprana. El test consta de tres versiones paralelas
(A, B y C) de 40 ítems cada una de ellas. El TEMTU se compone de 8 subtests y cada
uno de ellos es evaluado a través de cinco ítems. Los ocho componentes del tests reúnen
tareas relacionadas con las operaciones piagetianas, pero también incluye tareas
relacionadas con el conteo. Los ejercicios de conteo del test proceden del trabajo
original de Fuson (1988). En este proyecto inicial, el TEMTU fue administrado a 151
alumnos (77 niños y 74 niñas) de 3º de Educación Infantil. La media de edad para los
niños fue de 63,65 meses (dt = 3,75) y para las niñas de 63,42 (dt = 3,49). Se presentan
los valores encontrados y se discuten algunos elementos comparativos con datos
paralelos encontrados en otros países.
Nota: Este trabajo ha sido financiado por el proyecto de investigación SEJ2005-06881 del MEC. Correspondencia a: Dr. M.
Aguilar, Departamento de Psicología, Facultad de Ciencias de la Educación. Campus Río San Pedro. Puerto Real. Cádiz. 11510. Email: [email protected]
Introducción
Cuando se evalúa el conocimiento matemático se encuentra que tanto en los
niños como en los adultos las diferencias pueden ser muy marcadas. En el muy
conocido Informe Cockroft (1982) ya se mencionaba que en una clase de niños y niñas
de 11 años es probable que haya un rango de hasta 7 años de diferencias en habilidades
aritméticas. En un estudio más reciente Brown, Askew, Rhodes et al (2002) han
encontrado diferencias similares en 6º curso (10-11 años) evaluados con tests
estandarizados de matemáticas. Las diferencias entre los alumnos que se encuentran el
209
percentil 5 y el percentil 95 se corresponde con 7 años cronológicos en “edad
matemática”.
Estas diferencias se confirman en las evaluaciones internacionales como por
ejemplo, en el TIMSS (1996) o el PISA (2003). Aunque son menos pronunciadas en los
países del Pacífico Oriental (TIMSS, 1996). Sin embargo, análisis cuidadosos de estos
resultados también muestran que las diferencias entre alumnos de la misma edad en un
mismo país son grandes (Schmidt, McKnight, Cogan, Jackwerth, and Houang, 1999;
Tsuge, 2001).
Esta variabilidad también se constata en el desarrollo matemático temprano
(Ginsburg, Klein y Starkey, 1998; Huges, 1981; Van de Rijt y Van Luit, 1994; YoungLoveridge, 1991). Por ejemplo, Wright (1994) en una muestra de niños de 5 y 6 años
encontró diferencias de hasta tres años en habilidades matemáticas. Algunos estudios
relacionan estas diferencias con la desventaja socio-económica y las lenguas
minoritarias (Bowman, Donovan y Burns, 2001; Denton y West, 2002; Natriello,
McDill y Pallas, 1990). Son muy conocidos los trabajos que reflejan las diferencias en
conteo entre países asiáticos (China, Japón y Corea) y países occidentales. Así, mientras
en China los niños de 4 años suelen contar hasta 50, los europeos de la misma edad
apenas llegan a 15 (Fayol, 2005).
Estudios longitudinales señalan que estas diferencias se mantienen bastante
estables a lo largo del desarrollo y los niños y niñas permanecen en la misma posición
con respecto a sus iguales a lo largo de la escolaridad primaria y secundaria (Fogelman,
1983; Newman, 1984; Wels y Van den Munckhof, 1979; Young-Loveridge, 1991).
Incluso esta diferencia entre los más y menos competentes se amplian con el paso del
tiempo (Fogelman, 1983). Estos descubrimientos permiten afirmar que reforzar el
aprendizaje matemático en la escolaridad temprana podría reportar un gran beneficio a
niños y niñas en los inicios de la escolaridad obligatoria.
Desde los estudios de Piaget y Szeminska (1941), se ha considerado que el
desarrollo del pensamiento lógico es la base del desarrollo del número y las habilidades
aritméticas en el niño (Baroody, 1988; Dehaene, 1997; Fayol, 1990). De acuerdo con
este enfoque el desarrollo matemático va unido al desarrollo del pensamiento lógico;
por ejemplo, hablamos de adquisición del número en el momento en que el niño
controla los principios de la lógica y el uso de inferencias que conlleva. Básicamente en
el aprendizaje del número subyacen las operaciones de seriación y clasificación.
210
También la operación de conservación juega un papel importante en el conjunto de la
teoría piagetiana. Los números no serían inteligibles si no quedaran idénticos a ellos
mismos cualquiera que fueran las transformaciones aparentes que sufrieran. En
definitiva, el modelo piagetiano ha tenido una influencia enorme en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Igualmente el modelo ha sido utilizado
como cuadro teórico para la comprensión de las discalculias.
Las críticas al modelo piagetiano han sido variadas y aunque alguna de ellas no
son fundadas, otros trabajos experimentales llegan a poner en duda el modelo operatorio
del número considerando que el modelo proporciona una explicación incompleta de las
competencias numéricas en el niño (Barouillet y Camos, 2002).
Un enfoque alternativo defiende que no es clara la relación entre el desarrollo
del número y las operaciones lógicas. Al contrario, defiende que la comprensión del
número se desarrolla gradualmente a través de las experiencias de conteo del niño
(Gelman y Gallistel, 1978; Barouillet y Camos, 2002; Lehalle, 2002). Según este marco
teórico, el conteo es visto como una noción más compleja -y no solo un recitado
memorístico de la cadena numérica oral- que va desde niveles concretos a niveles más
abstractos. La iniciación del niño en el mundo del número se da en contextos de crianza,
de manera que las interacciones que se producen en el seno familiar tienen relación con
producciones numéricas: canciones con números, rimas, juegos, cumpleaños, etc. En el
desarrollo temprano se enfrentan, pues, a los números de formas muy variadas.
Este enfoque ha permitido conocer e identificar con precisión la progresión y
desarrollo del conocimiento matemático entre los dos y los siete años de edad
(Carpenter, Fennema, Loef Franke, Levi, y Empson, 1999; Clarke y Cheeseman, 2000;
Fuson, Wearne, Hiebert, Murray, Human, Olivier, Carpenter & Fennema, 1997; Jones,
Thornton, Putt, Hill, Mogill, Rich, y Van Zoest, 1996; Wright, 1998). Las conclusiones
de estos estudios asumen que además de las mencionadas operaciones lógicas
piagetianas, varias destrezas de conteo son también importantes para el desarrollo del
número y así, el aprendizaje del sistema de numeración convencional empezaría en la
infancia temprana con la adquisición de la secuencia verbal de la cadena numérica.
Un punto de vista que podríamos denominar interaccionista (Van de Rijt, 1996;
Van de Rijt y Van Luit, 1998) asume que las operaciones piagetianas y el conteo no
tienen por qué ser separados y que juntos contribuyen al desarrollo del número. Asume
que las operaciones piagetianas y las habilidades de conteo hacen una contribución al
desarrollo de la matemático, aunque se considera que la aportación del conteo es mayor
211
que la de las operaciones lógicas (Nunes y Bryant, 1996). Algunos estudios han
resultado concluyentes para apoyar este punto de vista. En este sentido, un estudio
pionero fue el de Clements (1984) en el que mostró que el entrenamiento a un grupo de
niños de cuatro años en destrezas de conteo producía una mejora no solo en el conteo
sino también en tareas piagetianas (seriación y clasificación). Clements concluye en este
estudio que el conteo, la seriación y la clasificación son interdependientes.
Objetivos
Parece, pues, necesario conocer estos conocimientos matemáticos. En trabajos
anteriores hemos evaluado conocimientos matemáticos informales (Aguilar, 1999;
Aguilar, Ramiro y López, 2002) y adaptado el Test de Evaluación Matemática
Temprana de Utrech (TEMTU) (Van de Rijt, Van Luit y Pennings, 1999; Aguilar,
Navarro, Marchena, Alcalde y García, en prensa). Generalmente la organización del
proceso de enseñanza-aprendizaje se organiza de manera que se diseñan y realizan
actividades para el alumno “medio”, por eso interesa conocer el grado de “uniformidad
de conocimientos” matemáticos que presentan los niños de esta edad. Si las diferencias
encontradas son importantes, las implicaciones para la enseñanza serían valiosas al tener
que implementar actividades diferenciadas para los distIntos grados de desarrollo
matemático en cada grupo-clase. El poder intervenir antes de la escolaridad obligatoria
añade un valor de prevención de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Con
estos antecedentes planteamos los siguientes objetivos:
•
Conocer las habilidades matemáticas de carácter relacional y las de tipo
cognitivo (conteo y conocimiento genereal de los números) de los niños
y niñas cuando se encuentran en el último año de la escolaridad no
obligatoria.
•
Determinar las diferencias en el desarrollo matemático en alumnado
escolarizado en el mismo nivel de Educación Infantil.
•
Precisar qué número de niños no han desarrollado suficientemente las
destrezas matemáticas antes de entrar en Primero de Educación Primaria.
•
Comprobar si existen diferencias en función del género en el desarrollo
matemático al terminar la Educación Infantil.
Método
Participantes
212
El TEMTU fue administrado a 151 alumnos (77 niños y 74 niñas) de 3º de
Educación Infantil de centros escolares de la provincia de Cádiz (España). En cada aula
había un mínimo de 20 alumnos y un máximo de 25. Los participantes proceden de
cuatro centros escolares (dos públicos y dos concertados) de ámbito urbano y rural y
acogen a niños y niñas de nivel socioeconómico medio y medio-bajo. El rango de edad
oscila entre los 4 años y 7 meses y 5 años y 11 meses, siendo la media de 5 años y 3
meses. La media de edad para los niños fue de 63,65 meses (dt = 3,75) y para las niñas
de 63,42 (dt = 3,49). La administración del test contó con la autorización de los
responsables del centro y de los padres de los alumnos.
La distribución de la muestra se ha repartido en tres grupos de edad según
aparece en la tabla 1.
Tabla 1
Grupos de edad
Niños
Niñas
Total
Grupo I
4.09- 5.00
14
21
35
Grupo II
5.01 – 5.06
36
34
70
Grupo III
5.07 a- 5.10
27
19
46
Material
El Test de Evaluación Matemática Temprana de Utrech (TEMTU) (Van de Rijt,
Van Luit y Pennings, 1999) es una prueba de papel y lápiz dirigida a evaluar el nivel de
competencia matemática temprana.
El test consta de tres versiones paralelas (A, B y C) de 40 ítemes cada una de
ellas. El TEMTU se compone de 8 subtests y cada uno de ellos es evaluado a través de
cinco ítemes. Los ocho componentes del tests reúnen tareas relacionadas con las
operaciones piagetianas pero también incluye tareas relacionadas con el conteo. Los
ejercicios de conteo del test proceden del trabajo original de Fuson (1988). Fuson
investigó profundamente el desarrollo del conteo y de la utilización funcional de la
numeración entre los niños de dos a ocho años de edad.
Con la ayuda de una de las tres versiones el evaluador puede tener una medida
del desarrollo de la competencia matemática del alumno/a. Comparando la ejecución de
213
un niño con otros de su grupo normativo se puede determinar el nivel de competencia
matemática temprana. Los componentes de la prueba son los siguientes.
1. Conceptos de comparación. Este aspecto se refiere al uso de conceptos de
comparación entre dos situaciones no equivalentes relacionados con el cardinal, el
ordinal y la medida. Son conceptos usados con frecuencia en las matemáticas: el más
grande, el más pequeño, el que tiene más, el que tiene menos, etc. Un ejemplo de ítem
de este subtest es: “Aquí ves unos indios. Señala el indio que tiene menos plumas que
éste que tiene su arco y sus flechas”. Gelman y Baillargeon (1983) mostraron que los
niños de cuatro años son capaces de usar estos conceptos.
2. Clasificación. Se refiere al agrupamiento de objetos basándose en una o más
características. Un ejemplo de ítem es: “Mira estos cuadrados. ¿Puedes señalar el que
tiene cinco bloques pero ningún triángulo?”. Con la tarea de clasificación se pretende
conocer si los niños, basándose en la semejanza y en las diferencias, pueden distinguir
entre objetos y grupos de ellos.
3. Correspondencia uno a uno. Este subtest evalúa el principio de
correspondencia uno a uno. El niño debe ser capaz de establecer esta correspondencia
entre diferentes objetos que son presentados simultáneamente. Una muestra de este
subtest es el ítem 12: el evaluador le da al niño 15 cubos y le presenta un dibujo que
representa las caras de dos dados con el patrón de puntos de 5 y 6. “Yo he lanzado dos
dados y he conseguido estos puntos. ¿Puedes darme la misma cantidad de cubos?”.
4. Seriación. La seriación es ordenar una serie de objetos discretos según un
rango determinado. Se trata de averiguar si los niños son capaces de reconocer una serie
de objetos ordenados. Los términos usados en esta tarea son: ordenadas de mayor a
menor, del más delgado al más grueso, de la más pequeña a la más grande. Ejemplo:
“Aquí ves unos cuadrados que tienen unos palitos Señala el cuadrado donde los palitos
están ordenados del más delgado a la más grueso”.
5. Conteo verbal (uso de la secuencia numérica oral). En este subtest se evalúa
la secuencia numérica oral hasta el 20. La secuencia puede ser expresada contando hacia
adelante, hacia atrás y relacionándola con el aspecto cardinal y ordinal del número.
Ejemplo: “Cuenta desde el 9 hasta el 15". Fuson (1988) informó que muchos niños de
clase media a los tres años y medio cuentan hasta 10, entre los tres y medio y cuatro y
medio están ocupados en aprender la secuencia entre 10 y 20. Sin embargo, entre los 4 y
medio y los seis solo conocen de manera imperfecta la secuencia entre 14 y 20.
214
6. Conteo estructurado. Este aspecto se refiere a contar un conjunto de objetos
que son presentados con una disposición ordenada o desordenada. Los niños pueden
señalar con el dedo los objetos que cuentan. Se trata de averiguar si son capaces de
mostrar coordinación entre contar y señalar. Ejemplo: El evaluador pone sobre la mesa
un total de 20 bloques de forma desorganizada. El niño es requerido a que cuente todos
los bloques. Se le permite señalar o tocar los bloques con los dedos o mover los bloques
contados de un sitio a otro. El trabajo de Fuson (1988) demostró que muchos de los
niños de entre cinco años y medio y seis son capaces de contar correctamente cuando se
les permite señalar o mover los objetos de sitio.
7. Resultado del conteo (sin señalar). El niño tiene que contar cantidades que
son presentadas como colecciones estructuradas o no estructuradas y no se le permite
señalar o apuntar con los dedos los objetos que tiene que contar. Un ejemplo es: Se le
presenta al niño 15 cubos en tres filas de cinco cubos cada una con un espacio entre
ellos y se le pregunta: “¿Cuántos cubos hay aquí?”.
8. Conocimiento general de los números. Se refiere a la aplicación de la
numeración a las situaciones de la vida diaria que son presentadas en formas de dibujo.
Un ejemplo es: “Tú tienes 9 canicas. Pierdes 3 canicas. ¿Cuántas canicas te quedan?
Señala el cuadrado que tiene el número correcto de canicas”.
Cada uno de los ocho componentes del test tiene cinco ítems. Cada acierto se
puntúa con 1 y los errores con 0. La puntuación directa máxima que puede obtenerse es
de 40. Los cuatro subtests primeros (ítems 1 a 20) evalúan habilidades de tipo
piagetiano y los cuatro últimos (ítems 21 a 40) estiman las habilidades numéricas de
corte más cognitivo.
Procedimiento
Los autores del trabajo administraron el TEMTU en su versión A de forma
individual, dentro del centro escolar al que pertenecían los participantes, durante los
meses de Septiembre, Octubre y Noviembre de 2004, y tras un periodo de
entrenamiento en el manejo del mismo. Completar el test lleva aproximadamente entre
veinte y treinta minutos. Todos los ítems son presentados oralmente y los niños
responden señalando en un material con dibujos o, en el caso de las tareas de contar y de
numeración, manipulando pequeños cubos de madera del tipo unifix. Algunos de los
ítems requieren que el alumno/a use el lápiz para unir los objetos del dibujo presentado.
Los datos han sido procesados y analizados usando el programa SPSS 11.5 para
Windows.
215
Resultados y discusión
En primer lugar presentamos los resultados globales que la muestra ha obtenido
en cada uno de los ocho subtests del TEMTU y la puntuación global (Tabla 2).
Comparando estos resultados con los obtenidos por Van de Rijt y Van Luit (1994) en el
grupo de edad comprendido entre 4 y 5 años se observan similitudes y diferencias. Las
medias obtenidas en su estudio en los subtests del TEMTU de tipo piagetiano fueron:
Comparación, 3,56 (dt = 0,32); Clasificación, 2,56 (dt = 1,29); Correspondencia, 1,93
(dt = 1,15); y Seriación, 1,13 (dt = 1,03 ), que son muy similares o algo menores a los
que nosotros hemos encontrado. En cambio, en los subtest de habilidades numéricas las
medias de nuestros participantes ha sido mayor, excepto en el subtest de conteo
resulante: Conteo verbal, 1,26; Conteo estructurado, 1,26; Conteo resultante, 0,87 y
Conocimiento general de los números, 1,00. Una explicación de estos resultados tendría
que ver con el hecho de que los grupos que se comparan no son equivalentes en edad
cronológica. La muestra de Van de Rijt y Van Luit (1994) con 230 participantes tiene
un rango de edad de 4 a 5 años, la nuestra está comprendida entre 4 años y 9 meses y 5
años y 10 meses por ser aplicado el test en los meses iniciales del curso 2004-2005.
En segundo lugar se presentan los resultados en función de los grupos de edad
en los que hemos dividido a los niños y niñas participantes (Tablas 2, 3 y 4).
Tabla 2. Estadísticos descriptivos en los subtest del Test de Evaluación Matemática
Temprana de Utrech: toda la muestra.
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. Típ.
151
2,00
5,00
4,37
,78
151
,00
5,00
3,49
1,07
151
,00
5,00
1,96
1,47
151
,00
5,00
1,54
1,50
151
,00
5,00
1,63
1,55
216
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
151
,00
5,00
1,56
1,37
151
,00
5,00
,96
1,17
151
,00
5,00
1,99
1,47
151
4,00
36,00
17,53
7,58
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
151
Las Tablas (3, 4 y 5) muestran los datos de los tres grupos de edad en los que se
ha dividido la muestra evaluada. Tanto la media del total del test como la de los subtets
de que se compone permite afirmar que se produce un desarrollo gradual y progresivo
en relación con la edad. Las medias globales van aumentando desde 13,08 en el grupo
de menor edad (Grupo I) a 17,65 en el grupo II y 20,71 en el grupo III. La diferencia de
medias entre el grupo de edad más pequeño y el mayor es de algo más de 7 puntos.
Estos datos confirman que existen diferencias considerables entre niños y niñas que
reciben la misma enseñanza en Educación Infantil. Los datos de estas tablas permiten
algunos análisis interesante: a partir de los 5 años y 1 mes siempre encontramos algún
participante que realiza bien todos los ítems de alguno de los ocho componentes del
tests (en cada uno de los subtest la puntuación máxima posible es 5). En el grupo de
mayor edad y en la puntuación total del test nos encontramos con una puntuación
máxima de 35 que corresponde a una edad equivalente de desarrollo matemático de 2º
de Educación Primaria (puntuación media del test a los 7 años de 32, Van de Rijt y Van
Luit, 1994). Lo cual quiere decir que al iniciarse el tercer curso de Educación Infantil
hay niños y niñas que presentan un desarrollo de habilidades matemáticas muy por
encima de su edad cronológica y con bastante ventaja sobre sus compañeros de aula.
Cabe comentar otros resultados que proporciona el análisis de los datos. Si
prestamos atención a los subtests de tipo relacional o piagetianos, comparación,
clasificación, correspondencia uno a uno y seriación, es en este último componente
donde las puntuaciones son más bajas en cada uno de los grupos de edad en los que
hemos dividido la muestra. Es decir la tarea de seriación sería la más difícil en todas las
edades. Podemos conjeturar que los resultados podrían variar si la seriación fuera
217
evaluada con un formato no de tipo lógico sino numérico tal como plantea Grégoire
(2005), dando al niño una serie de cartas con dibujos de árboles de 1 a 9 y que las
ordene de menor a mayor y una vez realizado pedirle que inserte en la fila una carta con
5 árboles representados.
218
Temprana de Utrech. Grupo I. 4,07 - 4,12.
SUBTEST
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
35
2,00
5,00
4,00
,87
35
,00
5,00
3,20
1,15
35
,00
4,00
1,48
1,24
35
,00
3,00
,94
1,02
35
,00
4,00
1,11
1,25
35
,00
3,00
,82
,85
35
,00
2,00
,34
,63
35
,00
4,00
1,17
1,09
35
5,00
25,00
13,08
5,24
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
35
219
Temprana de Utrech. Grupo II. 5,01- 5,06
SUBTETS
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. Típ.
70
2,00
5,00
4,51
,73
70
1,00
5,00
3,47
1,05
70
,00
5,00
1,87
1,43
70
,00
5,00
1,44
1,43
70
,00
5,00
1,62
1,51
70
,00
5,00
1,52
1,27
70
,00
5,00
1,01
1,09
70
,00
5,00
2,14
1,39
70
6,00
35,00
17,65
6,89
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
70
220
Temprana de Utrech. Grupo III. 5,07- 5,12
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
46
3,00
5,00
4,45
,72
46
1,00
5,00
3,73
,97
46
,00
5,00
2,45
1,57
46
,00
5,00
2,17
1,70
46
,00
5,00
2,04
1,72
46
,00
5,00
2,19
1,57
46
,00
5,00
1,34
1,41
46
,00
5,00
2,39
1,61
46
4,00
36,00
20,71
8,51
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
46
Otro de los objetivos de este trabajo es precisar y diferenciar a los niños y niñas
que pueden presentar debilidades en las destrezas matemáticas antes de incorporarse a la
escolaridad obligatoria. Van de Rijt y Van Luit (1994) establecen diversos
procedimientos para detectar a los niños que puedan presentar riesgos de dificultades de
aprendizaje de las matemáticas. Si elegimos a los participantes que se encuentran una
desviación típica por debajo de la media, el número de niños y niñas de la muestra que
reúnen este requisito es de 25, que representa el 16,5% de la muestra. Estos datos
certifican la importancia de diseñar y aplicar programas que recorten las diferencias
encontradas entre el alumnado que asisten al mismo nivel escolar.
221
El último objetivo que enunciamos pretendía comprobar si existen diferencias en
función del género en el desarrollo matemático al terminar la Educación Infantil. Los
datos que presentamos en las tablas 6 y 7 no precisan de análisis estadísticos
comparativos pues las diferencias en el total del test son insignificantes. Nos atrevemos
a afirmar, pues, que las diferencias de género encontradas en las matemáticas se
desarrollan y establecen después de la Educación Infantil.
Temprana de Utrech. Niños.
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
77
2,00
5,00
4,41
,74
77
1,00
5,00
3,44
,99
77
,00
5,00
2,02
1,613
77
,00
5,00
1,44
1,58
77
,00
5,00
1,61
1,63
77
,00
5,00
1,63
1,45
77
,00
4,00
,94
1,16
77
,00
5,00
2,02
1,5
77
5,00
35,00
17,48
8,18
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
77
222
Temprana de Utrech. Niñas
COMPARACION
CLASIFICACION
CORRESPONDENCIA
SERIACION
CONTEO VERBAL
CONTEO
ESTRUCTURADO
CONTEO
RESULTANTE
N
Mínimo
Máximo
Media
Desv. típ.
74
2,00
5,00
4,33
,83
74
,00
5,00
3,54
1,14
74
,00
5,00
1,89
1,31
74
,00
4,00
1,66
1,41
74
,00
5,00
1,66
1,47
74
,00
5,00
1,50
1,29
74
,00
5,00
,97
1,19
74
,00
5,00
1,95
1,40
74
4,00
36,00
17,5
6,97
CONOCIMIENTO
GENERAL DE LOS
NUMEROS
TOTAL DEL TEST
N
74
Para finalizar queremos señalar que el TEMTU puede perfilarse como un
instrumento adecuado para conocer los niveles de desarrollo matemático en Educación
Infantil ya que no contamos con otras herramientas de fácil aplicación como la que aquí
hemos utilizado. Somos conscientes de que estos resultados están limitados por el
tamaño de la muestra y el formato de elección de los participantes. Se requiere una
estandarización adecuada del test, proceso que en este momento está en marcha.
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227
228
COMUNICACIONES ORALES/Individual papers session
SESIÓN/SESSION II
11.30-13.00
SESIÓN COMUNICACIONES/ Individual paper session (II)
El pensamiento multiplicativo en los primeros niveles. Una
investigación en curso. Mª Asunción Bosch Saldaña
Elaboración de una prueba de evaluación criterial de los contenidos
matemáticos en educación infantil.
Consuelo Vicent Català y Mª Dolores Gil Llario
Adquisición del error en la sustracción en educación primaria.
Ricardo López Fernández y Ana B. Sánchez García
Fundamentos lógicos de los procesos directo e inverso en la
matemática temprana. P. Ruesga, J. Jiménez yJ. M. Sigarreta
Uso y desarrollo de pensamiento relacional por alumnos de tercero de
Primaria. Marta Molina González y Encarnación Castro Martinez
229
EL PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO EN LOS PRIMEROS NIVELES. UNA
INVESTIGACIÓN EN CURSO.
Mª Asunción Bosch Saldaña, Universidad de Almería3.
Resumen
Esta comunicación muestra los primeros resultados de un estudio empírico sobre el
desarrollo del pensamiento multiplicativo en los primeros niveles, en el que nos
planteamos, entre otras, las cuestiones siguientes:
9 Observar si los alumnos de Educación Infantil son capaces de resolver
problemas de división en los que no se pueda realizar un reparto.
9 Observar el tipo de estrategias que utilizan resolviendo dichos problemas.
9 Observar cómo se enfrentan a cuestiones sobre pensamiento relacional
(proporcional) y qué tipos de argumentos ofrecen.
9 Observar su nivel de manejo y comprensión de las unidades múltiples.
Se trata de un estudio enmarcado en el paradigma de investigación cualitativo, de
carácter exploratorio e interpretativo. El colectivo objeto del estudio han sido niños de 5
años (curso 3º de 2º ciclo de Educación Infantil) y ocasionalmente, niños de 4 años (2º
curso de 2º ciclo de Educación InfantiI).La recogida de datos se ha realizado mediante
entrevistas individuales semiestructuradas (que han sido filmadas) y a través de una
situación manipulable original: Un camino con 12 piedras y una rana que salta sobre
ellas. En este contexto, se han ido alternando preguntas de carácter distinto.
-
Problemas de división de tipo cuotitivo: “Si la rana va saltando de n en n
piedras, ¿cuántos saltos tendrá que dar para recorrer todo el camino?”.
-
Preguntas sobre pensamiento relacional de tipo proporcional: “Si en lugar de ir
de n en n piedras, la rana va saltando de m en m piedras, ¿dará más saltos o
menos saltos (que antes) para llegar al final?”.
-
Problemas de división de tipo partitivo: “Para hacer el camino en n saltos
(iguales), ¿cuántas piedras ha de saltar la rana a la vez?”.
En un primer análisis de las respuestas de los niños, hemos apreciado que aparecen
fundamentalmente dos tipos de estrategias de resolución de los problemas planteados.
Así, al problema en el que se pregunta por el multiplicando aparecen respuestas en las
que se aprecian estrategias de conteo, con o sin uso de unidades múltiples, mientras que
ante el problema en que la incógnita es el multiplicador, las estrategias que utilizan los
niños son principalmente de estimación, tanto en cálculo como en medida. También
hemos descubierto que los problemas de tipo partitivo se muestran significativamente
más complicados que los de tipo cuotitivo, así como que para grupos de dos o tres
objetos, los niños generalmente usan la subitización, mientras que para grupos de 4 o
más objetos los niños suelen contar. Asimismo no hemos obtenido ninguna relación
directa entre la madurez de conteo (para la medida de la cual se hace una entrevista
paralela) y la resolución exitosa de los problemas planteados o las estrategias empleadas
al resolver los mismos.
3
Investigación financiada por el proyecto I+D+i BSO2002-03035 del Ministerio de Ciencia y Tecnología
y dirigida por los doctores Encarnación Castro e Isidoro Segovia de la Universidad de Granada.
230
ELABORACIÓN DE UNA PRUEBA DE EVALUACIÓN CRITERIAL DE LOS
CONTENIDOS MATEMÁTICOS EN EDUCIÓN INFANTIL
CONSUELO VICENT CATALÁ. Maestra de E.Infantil y psicóloga. Colegio
público Ramón Martí Soriano -Vallada- (Valencia). E-mail: [email protected]
Mª DOLORES GIL LLARIO. Profesora titular del Departamento de Psicología
Evolutiva y de la Educación: Universidad de Valencia. Estudi General. E-mail:
[email protected]
Resumen
La evaluación referida al criterio hace referencia al acercamiento de evaluación
educativa en el que se recoge información mediante un instrumento estandarizado con el
objeto de poder describir el conjunto de conocimientos y/o habilidades adquiridos por
los niños acerca de un dominio educativo de referencia descrito adecuadamente (Jornet
y Suárez, 1994). La evaluación criterial relaciona directamente la producción de los
niños con la exigencia de la tarea. Dicha exigencia procede de señalar la competencia
establecida experimentalmente que fija un punto de corte a diferencia de la evaluación
normativa que relaciona la producción de los niños con relación a sus compañeros. En
este trabajo se presentan los resultados de las dos primeras fases del desarrollo de esta
Prueba Referida al Criterio (Rivas, 1997). Fase I: Especificación del Dominio Educativo
(Concretar los contenidos mínimos del Diseño Curricular Base del segundo ciclo de
E.I.) y Fase II: Análisis de los ítems (Elaborar una prueba de evaluación que valore
ponderadamente la adquisición y consolidación de dichos contenidos). Para especificar
el dominio educativo de esta prueba hemos tomado como referencia el DCB (A.AV.V.,
1990), el currículo establecido en D.O.G.V. (A.A.V.V:, 1992), y B.O.E (MEC, 1991)
así como de las orientaciones en los “Materiales para el desarrollo curricular” (“Caja
Verde”) que marcan los contenidos mínimos y el PCC de diferentes colegios, ya que los
contenidos mínimos se concretan en cada Centro educativo a partir del PCC. Tomando
estos distintos materiales como punto de referencia hemos establecido un sistema de
acuerdo interjueces aceptando aquellos objetivos y contenidos que por consenso son
trabajados por profesionales de diferentes centros de la comarca. Con todos estos datos
hemos secuenciado los contenidos a trabajar en el primer, segundo y tercer curso del
segundo ciclo de E.I. La prueba que se propone valora todos los contenidos específicos
de matemáticas que deben alcanzar los niños al finalizar la etapa de E.Intantil y consta
de tres partes, que se corresponden con los distintos bloques de contenidos a trabajar en
el área de matemáticas en E.Infantil: Atributos y relaciones; Cuantificadores y números;
y el tiempo, el espacio y la medida. La administración de la prueba cuesta
aproximadamente 45 minutos y se compone de material manipulativo así como de papel
y lápiz.Para cada objetivo de la prueba criterial se generaron una serie de ítems que no
reciben una puntuación homogénea (Fase II) debido a que algunos de ellos son
específicos para el nivel del tercer curso del segundo ciclo de E.I, mientras que otros ya
se han trabajado en cursos anteriores. Por otro lado, existe la alternativa de responder
itemes de dificultad inferior (y obtener una puntuación más baja) si el item inicial
resulta inaccesible para el sujeto. Por último, también se han ponderado los objetivos
dado que no todos se trabajan con la misma intensidad.
231
INTRODUCCIÓN:
La evaluación referida al criterio hace referencia al acercamiento de evaluación
educativa en el que se recoge información mediante un instrumento estandarizado con el
objeto de poder describir el conjunto de conocimientos y/o habilidades adquiridos por
los niños acerca de un dominio educativo de referencia descrito adecuadamente (Jornet
y Suárez, 1994).
La evaluación criterial relaciona directamente la producción de los niños con la
exigencia de la tarea. Dicha exigencia procede de señalar la competencia establecida
experimentalmente que fija un punto de corte a diferencia de la evaluación normativa
que relaciona la producción de los niños con relación a sus compañeros. Por tanto, este
tipo de prueba es el que mejor nos sirve para evaluar los avances de los estudiantes de
E.I. en un dominio determinado.
Si bien existen pruebas aplicadas de evaluación referida al criterio para evaluación
global de Educación Primaria (Rivas y Alcantud, 1989) que detectan aprendizajes
básicos en Matemáticas (y también otras áreas) vinculando la ejecución del escolar en
los objetivos y contenidos mínimos necesarios para la promoción de nivel no contamos
con pruebas semejantes para el ciclo de Educación Infantil (en adelante E.I.).
OBJETIVO:
El objetivo del presente trabajo ha sido la elaboración de una prueba de Evaluación
Referida al Criterio para evaluar los contenidos matemáticos de segundo ciclo de E.
Infantil. En este trabajo se presentan las dos primeras fases del desarrollo de esta Prueba
Referida al Criterio (Rivas, 2003), a saber, Fase I: Especificación del Dominio
Educativo y Fase II: Análisis de los ítems.
PROCEDIMIENTO:
Para llevar a cabo el objetivo se siguieron dos fases que detallamos a continuación:
FASE I: Especificación del dominio educativo
El primer paso llevado a cabo en esta fase fue una recogida de documentación de
diferentes fuentes con objeto de concretar los objetivos y contenidos básicos del curso.
Para ello se tomó como referencia el Diseño Curricular Base (DCB) (A.AV.V., 1990),
el currículo establecido en D.O.G.V. (A.A.V.V:, 1992), y B.O.E (MEC, 1991) así como
las orientaciones de los “Materiales para el desarrollo curricular” (“Caja Verde”.)
Posteriormente se revisaron los PCC de diferentes colegios, ya que ahí se refleja una
concreción de los contenidos mínimos en cada centro. Paralelamente se realizó una
232
revisión bibliográfica (ej: Barragán, 1992; Canals, 1992; Dalmau y otros, 1993; Deaño,
1993, Krainer, 2005...).
Tras un primer análisis se confeccionó un borrador que fue el punto de partida para
el análisis de un grupo de profesionales. Se trataba de siete maestros/as en activo con
más de tres años de experiencia de E. Infantil provenientes de diferentes localidades de
la provincia de Valencia.
El trabajo de este equipo consistió en el debate grupal de una serie de valoraciones
particulares nacidas de la realidad de sus propios centros y aulas. Así, se realizó un
análisis exhaustivo de cada uno de los objetivos desde el punto de vista de su
experiencia en los últimos años valorando cuánto tiempo se dedicaba a cada uno, con
qué grado de exigencia eran considerados, etc. Este trabajo que se llevó a cabo a lo
largo de un curso escolar en reuniones de dos horas a la semana, concluyó cuando se
estableció un acuerdo entre los profesionales en la valoración relativa a la entidad y
peso de cada objetivo del área de matemáticas llegando a su vez a secuenciar los
contenidos a trabajar en el primer, segundo y tercer curso del segundo ciclo de E.I.
Fase II: Análisis de los ítems
Los ítems que componen esta prueba pretenden reflejar el universo de medida
propio de cada objetivo curricular del segundo ciclo de matemáticas de E. Infantil. Estos
objetivos, a su vez constituyen el desarrollo de los tres bloques de contenidos básicos a
trabajar en el área de matemáticas en E.I.:
a) Atributos y relaciones
b) Cuantificadores y números
c) El tiempo, el espacio y la medida.
Los ítems que se proponen para cubrir cada objetivo no se puntúan del mismo
modo debido a que algunos de ellos son específicos para el nivel del tercer curso del
segundo ciclo de E.I, mientras que otros ya se han trabajado en cursos anteriores. Por
esta razón al puntuar realizamos una ponderación, en la que se concede más peso a
un ítem específico del tercer nivel (5-6 años) que a un ítem que ya se ha trabajado en
cursos anteriores. A continuación ponemos ejemplos de estos ítems:
233
•
Ítem 1.5. (Atributos y Relaciones):
Le mostramos: a) el triángulo amarillo liso pequeño delgado y
b) el
rectángulo verde rugoso grande grueso, entonces le decimos, dime lo que
sepas de estas figuras si el niño no responde, entonces le hacemos preguntas
orientativas ¿de qué color es? ¿qué forma tiene o cómo se llama? ¿son lisas
o rugosas?
•
Ítem 1.6. (Atributos y Relaciones):
Le mostramos a) el cubo y b) la esfera, entonces le decimos dime lo que
sepas de estas figuras si el niño no responde, entonces le hacemos preguntas
orientativas ¿qué forma tiene o cómo se llama? Dame el cubo, ahora dame
la esfera.
En el primer ítem que mostramos en este ejemplo, les preguntamos a los niños
conceptos que se siguen trabajando en el tercer curso, pero que se han introducido y
trabajado bastante en el segundo curso, mientras que en el segundo ejemplo, les
preguntamos sobre conceptos específicos que trabajamos en el tercer curso. Por ello, el
primer ítem lo puntuamos con un 10% del objetivo, mientras que el segundo lo
puntuamos con un 25% del objetivo.
También hay ítems en los que se puede obtener la puntuación máxima del
objetivo, pero si los niños no los consiguen realizar se ofrecen otros ítems de modo
alternativo, evaluando los mismos aspectos pero con un nivel inferior de dificultad,
por lo que a éstos también se les concede menor puntuación. A continuación
podemos ver un ejemplo de ello:
234
•
Ítem 1.2. (Cuantificadores y el Número):
Le damos 10 tazos o cromos de Pokemon y le decimos “cuenta los tazos, a
ver si sabes cuántos hay”. Si realiza correctamente este ítem, el siguiente nos
lo saltamos y si no le planteamos el siguiente.
•
Ítem 1.2. (Cuantificadores y el Número):
Le damos 5 tazos o cromos de Pokemon y le pedimos que los cuente. Cuenta
ahora los tazos a ver si sabes cuántos hay.
El segundo ejemplo constituye un nivel inferior del primer ítem, por ello, si los
niños realizan el primero correctamente no hace falta realizar el segundo ítem del
ejemplo, pero en caso de que los niños no tengan el nivel propio del tercer curso
evaluamos si tienen o no el nivel del segundo curso. Por ello, el primer ítem se puntúa
con un 18% de la prueba, mientras que el segundo con un 9%.
A continuación ofrecemos dichas ponderaciones para cada ítem del bloque de
Atributos y Relaciones que seguidamente vienen recogidos esquemáticamente en la
tabla 1.
ATRIBUTOS Y RELACIONES
OBJETIVO 1 CONOCER Y EVOCAR DE ATRIBUTOS: 100% dividido en:
1.1.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (círculo verde, delgado, pequeño y
círculo grande y grueso) 10%
1.2.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (rombo morado, grueso y rombo
delgado, naranja) 25%
1.3.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (cuadrado azul claro, pequeño,
grueso, cuadrado mediano un poco más oscuro, grueso y cuadrado azul
oscuro, grande y delgado) 20%
1.4.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (la barrita larga roja y la barrita
corta rosa)10%
1.5.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (triángulo amarillo liso pequeño
delgado y el rectángulo verde rugoso grande grueso) 10%
1.6.
DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (el cubo y la esfera) 25%
Se le concede mayor puntuación al objetivo 1.2. y al objetivo 1.3. y 1.6. porque son
específicos del tercer curso del segundo ciclo de E.I.
235
OBJETIVO
2
AGRUPAR
OBJETOS
BASÁNDOSE
EN
LAS
CARACTERÍSTICAS Y FORMACIÓN DE COLECCIONES: 100% dividido en:
2.1.A. DISCRIMINAR DISTINTAS FIGURAS (el cubo y la esfera) 33,33%
2.1.B. AGRUPAR DETERMINADAS FIGURAS (las que sean en forma de
círculo, gruesas y pequeñas) 33’33 %
2.2.
COLOCAR DETERMINADAS ETIQUETAS CORRESPONDIENTES A
CIERTAS FIGURAS (las que son en forma de rectángulo y delgadas)
33’33%
Con estos ítems se cubre el objetivo 2, y, como se puede observar, tienen un peso
equivalente. En caso de que no hicieran correctamente el objetivo 2.1.A. aplicaríamos el
2.1.A. bis: AGRUPAR DETERMINADAS FIGURAS (aquellas que sean azules y
cuadradas) y su puntuación sería de 16’66%
En caso de que no hicieran correctamente el 2.1.B. plantearíamos el ítem 2.1.B. bis:
AGRUPAR DETERMINADAS FIGURAS (aquellas que tengan forma de rectángulo)
dándole una puntuación máxima de 16’66%
En caso de que el 2.2. no lo hicieran correctamente puntuaríamos el 2.2. bis.
COLOCAR DETERMINADAS ETIQUETAS CORRESPONDIENTES A CIERTAS
FIGURAS (la que son en forma de cuadrado) con una puntuación de 16’66%
OBJETIVO
3
AGRUPAR
Y
COLECCIONAR
OBJETOS
JERÁRQUICAMENTE: 100% dividido en:
3.1 AGRUPAR 10 PALITOS DE DIFERENTES TAMAÑOS DE MENOR A
MAYOR Y DE MAYOR A MENOR. 100% debido a que con este ítem se
cumple el objetivo
En caso de que no lo hicieran correctamente pasaríamos el 3.1. bis: AGRUPAR 5
PALITOS DE DIFERENTES TAMAÑOS DE MENOR A MAYOR Y DE MAYOR A
MENOR cuyo peso ponderado es de 50%
OBJETIVO
4
ORDENAR
ELEMENTOS
SIGUIENDO
UN
ORDEN
ESTABLECIDO POR EL ADULTO: 100%
4.1.
CONTINUAR UNA SERIE DADA POR EL ADULTO (rectángulo rugoso,
cuadrado amarillo, círculo azul, triángulo verde, rectángulo rugoso, cuadrado
amarillo) 100% debido a que con este ítem se recoge por completo el
objetivo 4.
236
En caso de que no lo hicieran correctamente se aplicaría el 4.1. bis: CONTINUAR
1.1.
di i
%
100
1:
VO
E
QU
UNA SERIE DADA POR EL ADULTO (círculo azul, cuadrado azul, círculo azul) con
10%
SIN AJUSTES DE NIVEL
un 50% de puntuación.
OBJETIVO 5 ESTABLECER RELACIONES QUE SE DAN EN DOS SERIES
PARALELAS
5.1 Establecer relaciones que se dan en dos series paralelas (una serie es cuadrado
grande, cuadrado pequeño, y la otra es círculo grande, círculo pequeño) 100%
25%
1.3.
20%
1.4.
10%
1.5.
10%
1.6.
25%
OBJETIVO 2: 100% dividido en:
SI EL 2.1.A. NO LO HACEN
2.1.A. 33,33%
CORRECTAMENTE PUNTUARÍAMOS
EL 2.1.A bis. CON UN 16,66%
SI EL 2.1.B. NO LO HACEN
2.1.B. 33,33%
CORRECTAMENTE PUNTUARÍAMOS
EL 2.1.B. bis. CON UN 16,66%
SI EL 2.2. NO LO HACEN CORRECTAMENTE
2.2. 33,33%
PUNTUARÍAMOS
EL 2.2. bis. CON UN 16,66%
100%:
3:
SI EL 3.1.NO LO HACEN CORRECTAMENTE
3.1.
100%
PUNTUARÍAMOS
EL 3.1. bis CON UN 50%
100%:
100%:
4:
OBJETIVO 5:
OBJETIVO OBJETIVO
1.2.
4.1.
100%
PUNTUARÍAMOS
5.1.
100%
237
Tabla 1. Ponderación de los ítems que pertenecen al bloque de contenidos
Atributos y Relaciones
En la tabla anterior (tabla 1) podemos observar que se hacen ajustes de nivel en
algunos objetivos y en otros no, esto se debe a que hay algunos contenidos que
permiten gradación y por lo tanto se pueden ajustar al nivel del niño (por ejemplo, si
un niño no sabe clasificar atendiendo a tres criterios, podemos pedirle que clasifique
atendiendo a dos criterios). En cambio cuando evaluamos conceptos concretos no
podemos realizar ajustes de nivel (por ejemplo, cuando evaluamos el conceptos de
esfera, no existen posibilidades graduales). Esto también ocurre en los otros bloques
de contenidos como podemos observar en la tabla 3 y en la tabla 4.
También ocurre, que en algunos objetivos hay varios ítems, mientras que en
otros sólo hay uno. Esto de debe a que nosotros tomamos como referencia el
currículo establecido en el D.O.G.V. (A.A.V.V:, 1992), y B.O.E (MEC, 1991)
desarrollando en cada área (Atributos y Relaciones; Cuantificadores y el Número;
Tiempo, espacio y medida) los objetivos pertinentes para la adquisición de los
contenidos marcados en dicho documento.
A continuación presentamos un análisis semejante de los ítems del bloque de
Cuantificadores y el número.
LOS CUANTIFICADORES Y EL NÚMERO
OBJETIVO 1 CONOCER DE LA SERIE NUMÉRICA: 100% dividido en:
1.1.
IDENTIFICAR DETERMINADOS NÚMEROS (del 0 al 10) 18%
1.2.
CONTAR UNA SERIE DE OBJETOS (10 tazos) 18%
1.3.
NOMBRAR LA SERIE NUMÉRICA DEL 0 AL 10 y viceversa 18%
1.4. IDENTIFICAR DETERMINADOS ORDINALES (tercero, quinto, primero y
último) 20%
1.5. COMPLETAR LA SERIE NUMÉRICA EN UN DIBUJO, COMPLETANDO
EL NÚMERO CORRESPONDIENTE DE OBJETOS (del 0 al 9) 20%
1.6.A. IDENTIFICAR LA MITAD EN UN DIBUJO 3%
1.6.B. DAR LA MITAD DE UN RULO DE PLASTILINA 3%
Con estos ítems se consigue el objetivo 1, por ello con estos objetivos ya se puede
obtener la puntuación máxima del objetivo. En caso de que el 1.1. no lo hicieran
238
correctamente aplicaríamos el 1.1. bis: IDENTIFICAR DETERMINADOS NÚMEROS
(del 0 al 5) con un 9%
En caso de que el 1.2. no lo hicieran correctamente, aplicaríamos:1.2. bis:
CONTAR UNA SERIE DE OBJETOS (5 tazos) en un 9%
En caso de que el 1.3. no lo hicieran correctamente aplicaríamos 1.3. bis
NOMBRAR LA SERIE NUMÉRICA DEL 1 AL 5 y viceversa en un 9%.
OBJETIVO 2 CONOCER EL VALOR CARDINAL DE UN CONJUNTO 100%
dividido en:
2.1.
PONER EL NÚMERO CORRESPONDIENTE, DADO UN DIBUJO (hay
dibujadas cajitas con diferentes números de bolas, por lo tanto pondrán un
número en cada cajita según las bolas que tenga: 3,7,3,10,7) 30%
2.2.
SEÑALAR DÓNDE HAY EL MISMO NÚMERO DE OBJETOS, DÓNDE
HAY MÁS Y DÓNDE HAY MENOS (nosotros le señalamos las dos cajitas
que tienen 7 bolas y les preguntamos si en ellas hay en una más bolas que en
la otra, después señalamos un cajita con siete bolitas y una con tres y les
preguntamos en cuál hay más y en cuál hay menos) 30%
2.3.
ESTIMAR DETERMINADAS CANTIDADES (4+4) 30%
2.4.
IDENTIFICAR VISUALMENTE DÓNDE HAY LA MISMA CANTIDAD
DE OBJETOS PERO DISTRIBUIDOS DE DIFERENTE FORMA 10%
Con estos ítems se consigue el objetivo 2 y por tanto con ellos ya se puede obtener
la puntuación máxima del objetivo. En caso de que el 2.2. no lo hicieran correctamente
aplicaríamos el 2.2. bis: SEÑALAR DÓNDE HAY EL MISMO NÚMERO DE
OBJETOS, DÓNDE HAY MÁS Y DÓNDE HAY MENOS (nosotros le señalamos una
de las dos cajitas que tiene 3 bolas y les preguntamos dónde hay más, menos e igual)
con un 15 %
En el caso de que el 2.3. bis: ESTIMAR DETERMINADAS CANTIDADES (3+2)
con un 15%
OBJETIVO 3 PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS DE SU VIDA
COTIDIANA VERBAL Y GRÁFICAMENTE, 100% divido en:
3.1.A. RESOLVER UNA SUMA CON MATERIAL MANIPULATIVO (SUMAR 5
TAZOS MÁS 3) 20%
3.1.B. DIBUJAR LA OPERACIÓN DEL OBJETIVO 3.1.A. 20%
3.2.B. RESOLVER UNA RESTA CON MATERIAL MANIPULATIVO (RESTAR 7
TAZOS MENOS) 20%
239
3.2.B. DIBUJAR LA OPERACIÓN DEL OBJETIVO 3.2.A 20%
dividido en:
1: 100%
LOS
NIDOS
3.3. DESCOMPONER EL NÚMERO 5 DE DIFERENTES FORMAS CON DAMAS
1.1.
18%
PUNTUARÍAMOS
EL 1.1. bis. CON UN 9%
BLANCAS Y DAMAS NEGRAS 20%
Con estos ítems se consigue el objetivo 3, por ello con estos objetivos ya se puede
obtener la puntuación máxima del objetivo. En caso de que no hicieran correctamente el
3.1.A. y el 3.1.B. aplicaríamos el 3.1.A. bis: RESOLVER UNA SUMA CON
MATERIAL MANIPULATIVO (SUMAR 2 TAZOS MÁS 3) con un 10% y el 3.1.B.
bis: DIBUJAR LA OPERACIÓN DEL OBJETIVO 3.1.B. bis con un 10%
En caso de que el 3.2.A. y el 3.2.B. no lo hicieran correctamente aplicaríamos el
3.2.A. bis: RESOLVER UNA RESTA CON MATERIAL MANIPULATIVO
(RESTAR 5 TAZOS MENOS 2) con un 10% y el 3.2.B. bis: DIBUJAR LA
OPERACIÓN DEL OBJETIVO 3.2.C con un 10%.
Seguidamente presentamos una tabla que representa esquemáticamente las
puntuaciones para cada ítem en el área de Cuantificadores y el Número.
1.2.
18%
PUNTUARÍAMOS
1.3.
18%
PUNTUARÍAMOS
en:
2: 100% dividido
OBJETIVO
1.4.
20%
1.5.
20%
1.6.A. 3%
1.6.B. 3%
2.1.
30%
2.2.
30%
PUNTUARÍAMOS
240
2.3.
30%
PUNTUARÍAMOS
2.4.
10%
SI EL 3.1.A. NO LO HACEN CORRECTAMENTE
OBJETIVO 3: 100% divido en:
3.1.A. 20%
PUNTUARÍAMOS
EL 3.1.A. bis CON UN 10%
SI EL 3.1.B. NO LO HACEN CORRECTAMENTE
3.1.B. 20%
PUNTUARÍAMOS
EL 3.1.B. bis CON UN 10%
3.2.A. 20%
SI EL 3.2.A.. NO LO HACEN CORRECTAMENTE
PUNTUARÍAMOS EL 3.2.A. bis CON UN 10%
3.2.B. 20%
PUNTUARÍAMOS EL 3.2.B. bis CON UN 10%
3.3.
20%
Tabla 2. Ponderación de los ítems que pertenecen al bloque de contenidos
Cuantificadores y el Número
Por último, analizamos las ponderaciones de los ítems del bloque del Tiempo, el
Espacio y la Medida.
EL TIEMPO, EL ESPACIO Y LA MEDIDA
OBJETIVO 1 CONOCER Y VERBALIZAR SU SITUACIÓN RESPECTO A
LOS OBJETOS Y LA DE LOS OBJETOS ENTRE ELLOS MISMOS: 100%
dividido en:
1.1.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (ENCIMA Y
DEBAJO) 20%
1.2.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (DENTRO Y
FUERA) 10%
1.3.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (DELANTE Y
DETRÁS) 10%
1.4.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (ALREDEDOR DE)
10%
1.5.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (AL LADO DE)
10%
241
1.6.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (JUNTOS Y
dividido
100%
VO
1:
TENI
CON
DE
SEPARADOS) 10%
1.7.
1.1.
20%
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (IZQUIERDA Y
DERECHA) 20%
1.8.
IDENTIFICAR LA SITUACIÓN DE UN OBJETO (ARRIBA Y
ABAJO) 10%
Al 1.1. y el 1.7. les damos más valor porque son propios del tercer nivel del
segundo ciclo de E.I.
OBJETIVO 2 USO Y CONOCIMIENTO DE SU PROPIO CUERPO Y DE
INSTRUMENTOS CULTURAL Y SOCIALMENTE RECONOCIDOS POR SU
CULTURA PARA MEDIR EL TIEMPO, EL ESPACIO Y LA MATERIA.
2.1.A.
IDENTIFICAR LA DURACIÓN DE UNA SITUACIÓN (mucho o
poco) 5%
2.1.B. IDENTIFICAR LOS CONCEPTOS DE DEPRISA Y DESPACIO 5%
2.1.C. IDENTIFICAR EL OBJETO DE PESADO EN UN OBJETO QUE EL
ADULTO INDIQUE 5%
2.1.D. IDENTIFICAR EL OBJETO DE LIGETO EN UN OBJETO QUE EL
ADULTO INDIQUE 5%
2.2.A. ESTIMAR CANTIDADES (más o menos entre 6 y 8) 20%
2.2.B. MEDIR CON SU PROPIO CUERPO (más o menos entre 6 y 8) 20%
2.3.
INTERPRETAR UN LABERINTO 40%
En caso de que no hicieran correctamente el 2.2.A. y el 2.2.B. aplicaríamos el
2.2.A. bis ESTIMAR CANTIDADES (más o menos entre 2 y 3) y el 2.2.B. bis MEDIR
CON SU PROPIO CUERPO (más o menos entre 2 y 2) con un 10% cada uno.
OBJETIVO 3 CONOCER LAS RELACIONES PARTE-TODO EN LAS
DIFERENTES SITUACIONES ESCOLARES Y COTIDIANAS
3.1.
RECONOCER LAS PARTES DE LA CARA 50%
3.2. RECONOCER LAS PARTES DE LA CARA QUE LE FALTAN A UN
DIBUJO 50%
A continuación presentamos una tabla donde se presenta esquemáticamente las
puntuaciones de cada ítem del área del Tiempo, el Espacio y la Medida.
242
OBJETIVO 2: 100% dividido en:
1.2.
10%
1.3.
10%
1.4.
10%
1.5.
10%
1.6.
10%
1.7.
20%
1.8.
10%
2.1.A. 5%
2.1.B.
5%
2.1.C. 5%
2.1.D. 5%
2.2.A 20%
SI EL 2.2.A. NO LO HACEN CORRECTAMENTE
PUNTUARÍAMOS
EL 2.2.A. bis CON UN 10%
2.2.B. 20%
PUNTUARÍAMOS
dividido en:
100%
OBJETIVO 3:
EL 2.2.B. bis CON UN 10%
2.3.
40%
3.1.
50%
3.2.
50%
Tabla 3. Ponderación de los ítems que pertenecen al bloque de contenidos el
Tiempo, el Espacio y la Medida.
En definitiva, a todos los ítems se les conceden unas puntuaciones y a partir de la
suma de las puntuaciones de los ítems que forman un objetivo se obtienen las
puntuaciones de cada objetivo. De las valoraciones de cada objetivo, obtenemos una
puntuación global de cada bloque, la cual también hemos considerado oportuno
243
ponderar (véase tabla.4.), porque todos los objetivos los valoramos en un 100%, pero no
todos son igual de importantes, ya que en algunos se valoran muchos aspectos, porque
abarcan muchos contenidos y están formados por un mayor número de ítems, mientras
que los contenidos que se abarcan en otros son pocos. Así pues, consideramos
justificado ofrecer distinto peso a los objetivos a trabajar en cada bloque de contenidos.
A continuación presentamos una tabla que refleja el peso concedido a cada objetivo
para constituir la puntuación global del área.
Tabla 4. Ponderación de los objetivos de la Prueba Criterial
OBJETIVO 2: AGRUPAR OBJETOS BASÁNDOSE EN LAS
CARACTERÍSTICAS Y FORMACIÓN DE COLECCIONES
100% dividido en:0
ATRIBUTOS Y RELACIONES
25%
35%
OBJETIVO 3: AGRUPAR Y COLECCIONAR OBJETOS
JERARQUICAMENTE:
15 %
OBJETIVO 4: ORDENAR ELEMENTOS SIGUIENDO UN ORDEN
15 %
ESTABLECIDO POR EL ADULTO
OBJETIVO 5: ESTABLECER RELACIONES QUE SE DAN EN DOS
10%
OBJETIVO 1: CONOCER LA SERIE NUMÉRICA
OBJETIVO 2: CONOCER EL VALOR CARDINAL DE UN
100% di idid
EL NÚMERO
30%
25%
CONJUNTO 25%
OBJETIVO 3: PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS DE SU
VIDA COTIDIANA VERBAL Y GRÁFICAMENTE
MEDIDA
O Y LA
CUANTIFICADORES Y
SERIES PARALELAS
ESPACI
PONDERACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LA PRUEBA CRITERIAL
OBJETIVO 1: CONOCER Y EVOCAR ATRIBUTOS
45%
OBJETIVO 1: CONOCER Y VERBALIZAR SU SITUACIÓN
RESPECTO A LOS OBJETOS Y LA DE LOS OBJETOS ENTRE
25%
ELLOS MISMOS
244
OBJETIVO 2: USO Y CONOCIMIENTO DE SU PROPIO CUERPO
Y DE INSTRUMENTOS CULTURAL Y SOCIALMENTE
RECONOCIDOS POR SU CULTURA PARA MEDIR EL TIEMPO, EL 35%
ESPACIO Y LA MATERIA
OBJETIVO 3: CONOCER LAS RELACIONES PARTE-TODO EN
LAS DIFERENTES SITUACIONES ESCOLARES Y COTIDIANAS
15 %
OBJETIVO 4: COMPRENDER DE LAS RELACIONES TEMPOCAUSALES EN LOS ACONTECIMIENTOS DE SU VIDA
25%
COTIDIANA
DESCRIPCIÓN DEL INSTRUMENTO:
Muchas investigaciones sostienen con énfasis que la utilización de material
concreto para la comprensión de conceptos fundamentales puede hacer de puente entre
lo concreto y lo abstracto (Ross y Kurtz, 1993, Van Luit y Shopman, 2000). Por lo
tanto, la utilización de objetos concretos y modelos semiconcretos, puede ser
provechoso también en la evaluación de la competencia matemática.
Por ello, dado que en la E.I. se promueve el uso de materiales diversos (con
distintos colores, formas, tamaños,…) que los niños puedan explorar o clasificar, porque
se entiende que mediante la pizarra y al papel no siempre es posible aportar suficiente
orientación para que el niño aprecie toda la riqueza de significados e interrelaciones que
se alcanzan mediante la manipulación (Gómez, 1988, Ross y Kurtz, 1993, Van Luit y
Shopman, 2000), a la hora de evaluar entendemos que hemos de seguir los mismos
criterios.
Así pues, el formato de la prueba se presenta en dos documentos y una caja de
materiales. En el documento del evaluador, se indica explícitamente lo que el evaluador
ha de decir a los niños, así como los materiales asociados que les ha de ir mostrando. En
el documento de registro, están ya escritas las posibles respuestas de los niños y se ha de
subrayar la que cada niño realice o bien anotar en observaciones cualquier respuesta
diferente.
Los materiales manipulativos han sido elaborados ad hoc atendiendo a las
directrices de la bibliografía especificada (ej, Hanna, 2000; Pasnak y cols, 1996;
Raphael y Wahlstrom, 1989; Barody, 1989; Moyer, 2002) y son los siguientes:
245
• Figuras manipulativas de diversas formas (círculo, cuadrado, triángulo,
rectángulo, rombo, esfera, cubo, listones de longitud larga y corta) con las
siguientes características:
-
Color: Verde, azul, morado, naranja, morado, rojo, rosa
-
Tonalidad: azul claro, ni claro ni oscuro, azul oscuro.
-
Grosor: grueso y delgado.
-
Tamaño: Grande, mediano y pequeño.
-
Textura: liso, rugoso
•
Etiquetas que indican las cualidades de las figuras
•
Pajitas cortadas de 10 tamaños diferentes.
•
Figuras planas para hacer series: rectángulos de lija, cuadrados amarillos,
círculos azules, triángulo verdes, círculos rojos, cuadrados rojos.
•
Fichas negras y blancas (juego de damas).
•
Otros: plumas, tazos, rulo de plastilina, garbanzos
CONCLUSIÓN:
La evaluación de los conocimientos y habilidades matemáticas básicas que los niños de
E.I. precisan adquirir ha de estar claramente vinculada con el tipo de metodología que se
emplee en el proceso E/A. Resulta muy costos y hasta cierto punto inapropiado evaluar
mediante papel y lápiz unas habilidades que se han adquirido y consolidado mediante la
manipulación, máxime cuando ésta no sólo es la forma de aprender de los niños en esta
etapa evolutiva sino también de expresar lo que conocen. Por este motivo las pruebas de
evaluación que se propongan sería conveniente que tuvieran un fuerte componente
manipulativo.
Por otro lado se precisan estudios que clarifiquen el peso diferencial que en el contexto
real de las aulas se otorga a los diferentes objetivos académicos. Este trabajo constituye un
esfuerzo importante en esta línea ya que partiendo de un acuerdo interjueces desarrolla y
secuencializa los contenidos y objetivos del tercer curso de E.I. ofreciendo una
ponderación basada en la experiencia de una serie de profesionales expertos en el campo.
Una prueba como ésta desarrollada a partir de directrices exclusivamente teóricas
precisa una validación empírica para poder ser utilizada con un mínimo grado de confianza
y seguridad. Este objetivo ha sido desarrollado y expuesto en un poster presentado en este
mismo symposium.
246
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
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Children with Special Educational Needs. Remedial and Special Education, 21,
27-40
248
ADQUISICIÓN
DEL
EDUCACIÓN PRIMARIA
ERROR
EN
LA
SUSTRACCION
EN
(I) Ricardo López Fernández ([email protected])
Universidad de Salamanca. Departamento de Didáctica de las Matemáticas, Paseo de
Canalejas, 169. Facultad de Educación. Salamanca. 37008. España
Teléfono: +34 923294630 (ext. 3433)
Fax: +34 923294635
(II)Ana B. Sánchez García ([email protected])
Universidad de Salamanca. Instituto Universitario de Ciencias de la Educación (IUCE),
Paseo de Canalejas, 169.Edificio Solís, 1ª planta. Salamanca. 37008. España
Teléfono: +34 923294630 (ext. 3431)
Fax: +34 923294635
ABSTRACT
El estudio de los errores cometidos durante la resolución de las restas, es un tema de
investigación abordado desde postulados teóricos diferentes. En la comunicación que
presentamos, indagamos sobre la tipología, naturaleza y evolución de los errores en la
sustracción. El objetivo principal, trata de examinar si en nuestro contexto escolar se
producen errores sistemáticos y si disminuyen a lo largo de la escolaridad. Así mismo,
comparamos nuestros resultados con los aportados por autores de referencia en este
campo de investigación. Para ello, efectuamos un análisis sobre más de 7000 restas
realizadas por niños escolarizados en nuestro sistema educativo.
KEY WORDS
Aprendizaje algorítmico, errores en la sustracción, investigación empírica, evolución en
la adquisición del error
I. INTRODUCCIÓN
249
La literatura más relevante en torno a los errores en los procesos algorítmicos, pone de
manifiesto que los errores sistemáticos que se producen durante el aprendizaje, se
analizan desde dos perspectivas teóricas que giran en torno a la semántica o la sintaxis
(Resnick, 1982) de la adquisición de la habilidad. La primera línea de investigación ,en
la que , entre otros, se encuentran autores como (Carpenter & Moser, 1984; Carpenter,
Franke, Jacobs ,Fennema, 1996 ; De Corte & Verschaffel, 1987; Fuson, 1986; Fuson
1992; Fuson & Briars, 1990; Hiebert & Lefevre, 1986; Nesher, Greeno, & Riley,
(1982); Ohlsson & Rees 1991; Resnick, 1982, 1983; Resnick & Omanson, 1987; Sander
& Richard, 1997; Sander, 2001), se ha centrado en el background conceptual que los
niños adquieren durante el aprendizaje del algoritmo. Por otra parte, la aproximación
sintáctica, ha aportado datos sobre los mecanismos procesales que rigen la generación
de los errores, (Brown & Burton 1978; Brown & VanLehn 1980; Brown & VanLehn
1982; VanLehn, 1982, 1983, 1987, 1990); (Young & O´Shea, 1981). En este contexto,
la primera fase de la investigación que exponemos en esta comunicación, trata de
comprobar las aportaciones de las perspectivas procesales o sintácticas, (Resnick 1982)
en el contexto concreto de nuestro país.
En relación al tema que nos ocupa, es la línea de investigación liderada por autores
como Brown & Burton (1978); Brown & VanLehn (1982); VanLehn, (1982, 1983,
1990); Young & O´Shea, (1981), la que ilustra que algunos estudiantes mostraban
procesos erróneos, “buggy procedures – Buggy algorithmic”, (Brown & Burton 1978;
VanLehn 1982,1990). Así, según la Teoría de la Reparación, tales errores iniciales, se
producen durante el aprendizaje inductivo de la sustracción a partir de ejemplos y a
través de mecanismos analógicos, Brown & VanLehn, (1980); VanLehn, (1982, 1983,
1990).
II. OBJETIVOS Y METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
250
Los objetivos de esta fase de la investigación fueron:
I. Analizar la tipología de los errores más frecuentes.
II. Observar la evolución del error a lo largo de toda la Educación Primaria y
comparar los resultados con los referidos por autores relevantes.
Sujetos
A una muestra global de 357 sujetos, situados en los cursos 2º, 3º, 4º, 5º, 6º de
Educación Primaria, se les pasó la prueba de las 20 restas de (VanLehn,1990, pp.170).
Procedimiento
Para el análisis cuantitativo de la base de datos que generaron las pruebas, utilizamos el
programa SPSS 11.5.
Al objeto de establecer categorías que nos permitieran agrupar de manera ordenada los
datos de los que disponíamos, optamos por tomar como referencia la categorías que
crearon (Brown & Burton, 1978: 179; Brown & VanLehn 1982; VanLehn, 1990). Para
definir la tipología de los errores utilizamos el glosario de errores de (Vanlehn, 1990,
pp. 223).
III. RESULTADOS
Con el fin de informar adecuadamente de los resultados obtenidos, dividimos este
apartado en subapartados que se corresponden con el análisis de los datos en función de
las categorías establecidas con anterioridad.
3.1. Aciertos en el total de las 20 restas de la prueba de (VanLehn, 1990, pp.170).
Del total de población muestral (n=357), respondieron correctamente a las 20 restas un
porcentaje de 26,61%. La distribución de aciertos por curso podemos apreciarla en la
tabla 1, que mostramos a continuación:
251
Curso
Nmuestra
N20
% sobre el total de muestra en cada
curso
Segundo
64
4
6,25 %
Tercero
72
15
20,83 %
Cuarto
73
23
31,51 %
Quinto
75
30
40,00 %
Sexto
73
23
31,51 %
Total
357
95
26,61 %
Tabla 1. N20 = Total de alumnos que completan correctamente las 20 restas distribuidos por cursos.
Como podemos apreciar, el porcentaje de aciertos se incrementa por curso para
descender a partir de quinto y situarse de nuevo en las mismas frecuencias que en
cuarto. Fenómeno que denominamos “decaimiento de la información algorítmica”
López, (1999), que puede ser vinculado a la influencia de un currículum no trasversal y
descontextualizado del área de matemáticas, que naturalmente incide categóricamente
en los resultados.
3.2. Estudio de los errores cometidos a través de la prueba de VanLehn,
(1990, pp.170).
Fueron analizadas 7140 restas, siendo el porcentaje de error de un (23,47%).
Resultado muy similar al encontrado por Young & O´Shea, (1981), que observaron un
22% de errores. El número de errores desciende linealmente por curso, con un
coeficiente de proporcionalidad igual a (-73, 8), apreciándose una estabilidad en el
descenso entre quinto y sexto curso.
El mayor número de errores se concentra en la resta nº 19. (10012-214) con un
porcentaje de 37,53%
252
Consideramos que la conglomeración del error en torno a esta resta puede ser
debido a la estructura conceptual que subyace a la misma. Estructura de la cuál se deriva
el manejo de reglas inherentes a la transformación del cero fundamentalmente.
En relación a los errores cometidos por curso, comparamos nuestros resultados
con los obtenidos por Brown y Burton en 1978 mediante el estadístico χ2 .Los
resultados obtenidos llevaron a la aceptación de la hipótesis nula que indicaba que no
hay diferencias en los porcentajes de las dos muestras.
Investigación
Errores
Curso 4
Curso 5
Curso 6
total
Brown &Burton (1978)
Frecuencia
504
399
422
1325
Porcentaje
(38,03%)
(30,11%)
(31,84)
100%
Nuestra investigación
Frecuencia
50
45
50
145
2003-05
Porcentaje
(34,48 %)
(31,03%)
(34,34%)
100%
Tabla 2. Compara resultados de la investigación de Brown and Burton 1978, con los obtenidos en
nuestra investigación.
3.3. Errores más comunes
Del análisis de los errores, encontramos tres conclusiones: (i) el 51,3 % de los
cuestionarios analizados mostraban más de un bug o tipo de error, (ii) el error que
aparecía con mayor frecuencia era el “error de cómputo”, y (iii) algunos de los errores
con concentración superior en frecuencias persistían durante todos los cursos, eran
sistemáticos en su naturaleza.
En relación, al error cometido con mayor número de frecuencias “errores de
cómputo”, presentaba un porcentaje de aparición de un 35,01%. Recordamos que otros
autores han informado de este mismo error, con un número de frecuencias de aparición
muy alto. Ejemplo de ello, es el resultado de Young & O´shea, (1981) con un 37% y
Vanlehn, (1990) con un 27,13%. VanLehn (1990, pp. 104), informa que la proporción
de casos que manifestaban esta categoría de error, disminuía en su muestra en función
253
de la instrucción, decreciendo a medida que ascendía en nivel, evidencia que también
observamos de igual modo en nuestra investigación.
Del mismo modo, informamos que el porcentaje obtenido en relación a la
categoría “no diagnosticable” fue de un 5,88% de alumnos que podían ser incluidos
dentro de la misma. Vanlehn (1990:104), investiga de nuevo a estos niños que cometían
errores asignados a las categorías “no diagnósticable, y errores de computo” e informó
que el hecho de que estos errores aparecieran de manera constante, no era suficiente
para poder establecer un diagnóstico. Consideramos, que además de esta explicación
existen algunas causas concretas y reales, esencialmente de naturaleza pedagógicosituacional, que dependen del contexto del aula, sus características, y momento de
ejecución de la prueba. Por tanto, valoramos estos errores y los definimos como “
acumuladores”, pues su origen es diverso y pudiera estar fundamentado en causas de
naturaleza procesal, como puede ser el escaso entrenamiento en el cálculo numérico,
como por otra parte, vinculados a actitudes relacionadas con el entorno como pueden ser
la falta de concentración, motivación, experiencia con este tipo de pruebas…etc, que se
configuran como causas actitudinales determinantes que explicarían su aparición en
todos los cursos.
Al analizar los resultados observamos que los estudiantes, por norma general,
presentaban más de un error sistemático en sus respuestas. Tal apreciación también la
hemos encontrado en otros estudios, (Brown & VanLehn, 1980; Young & O´Shea,
1981, VanLehn , 1982, 1990). Como ejemplo de ello, tomamos una cita de Brown y
Burton (1978):
As can be seen, nearly 40% of the students exhibited consistently buggy behavior.(…).
Brown & Burton (1978, pp. 181)
254
Para determinar si los errores que aparecían en nuestra investigación se
encontraban en cada niño de manera individual y de forma parcial o dominante,
metodológicamente adoptamos la postura que consistía en analizar los errores que
mayor número de frecuencias agrupaban y que se repetían a lo largo de todos los cursos,
y considerar como error dominante, la aparición del mismo tipo de error en más de tres
ocasiones sobre el total de las 20 restas por niño.
En la tabla siguiente expresamos el número de ocurrencias y el número de niños
que producían errores sistemáticos, en los cursos: 3º, 4º, 5º y 6º.
Cat egoría y nombre del erro r*
N º o cu rr enc i as
N º n i ños
61
13
Borrow-no-decrement
48
22
Borrow-from-zero-is-ten
38
8
Borrow-from-at-zero
28
13
19
3
13
8
9
4
Always-borrow
6
3
Add-instead-off-sub
4
1
Borrow-into-one=ten
3
1
Borrow-across-zero
3
1
Always borrow-left
3
1
2
1
1-1=0-after-borrow
Forget-borrow-over-blanck
Diff, 0-N=N
Borrow-no-decrement-except last
Ignore-left-most-one-over-blank
Tabla 3. Cursos: 3,4, 5, 6. Nº de ocurrencias y chicos que consistentemente exhibieron el bug
En general, podemos indicar que la comparación con otras teorías no puede ser
realizada de manera exhaustiva, dado que los contextos, recursos y muestras son
diferentes. No obstante, tomando como referencia la tabla 7.17. de (Vanlehn, 1990, pp.
202), donde informa de los bugs sistemáticos encontrados en el estudio de Young y
O´Shea 1981, los obtenidos por Brown and Vanlehn 1982 y los obtenidos por Vanlehn
(1990), podemos informar que al margen de coincidir en los errores más comunes con
255
una u otra de estas investigaciones, lo importante es que se repite en las cuatro
investigaciones, la aparición de los bugs sistemáticos:“ Borrow-across-zero, y Borrowform-zero” , íntimamente relacionados con la transformación del cero. Por otra parte,
existen en nuestra investigación bugs que aparecen con un nivel de frecuencias muy
elevado, pero que no podemos considerar como estables, porque desaparecen a partir de
cuarto curso. Es el caso de los bugs “Smaller-from-larger” o “Stop-borrow-at-zero”.
Este hecho respaldaría en un principio la conjetura de que hay errores de corte
semántico que desaparecen con la instrucción para dejar paso a los de tipo procesal y
que estudiamos en una segunda fase de nuestra investigación.
Por último, VanLehn en 1982, establece los porcentajes de bugs estables, que
específicamente, se presentaban en un 49% de los alumnos de tercero, un 27% de los
alumnos de cuarto y un 13% de los alumnos de quinto. Concluyendo que, la diferencia
de porcentajes entre cursos se debía, a que los niños más mayores habían aprendido el
algoritmo correcto. La evolución de porcentajes era clara: un 19% de los alumnos de
tercero se encontraban dentro de la categoría “libre de bugs”, 39% de los alumnos de
cuarto y 60% de los alumnos de quinto.
En nuestra investigación, podemos apreciar estos porcentajes. No obstante, en
nuestra investigación, encontramos que un 55,55% de los alumnos de tercero
presentaban bugs estables, un 52,05% en cuarto y un 26,66% en quinto, frente a unos
porcentajes de niños categorizados como “libres de error “de un 23,61% en 3º, un 23,
28% en cuarto y 33,33% en quinto.
Encontramos pues, en los resultados un porcentaje mayor, de niños con bugs
estables, en todos los cursos y también un menor descenso por curso de los mismos,
aunque sí apreciamos proporcionalidad en el descenso entre cuarto y quinto, cursos
sujetos a la influencia de un mayor número de niños categorizados como “libres de
error”
256
CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos en esta fase de la investigación evidencian que en
nuestras aulas, se producen errores en el algoritmo de la sustracción y que en un 55,5%
de los casos son estables, a lo largo de toda la escolaridad.
Del mismo modo, observamos que la frecuencia de errores por curso disminuye
mostrando un punto de inflexión en quinto curso para subir en sexto, y equipararse en
resultados a los obtenidos en cuarto. Tendencia, observada del mismo modo, por Brown
y Burton en 1978.
Igualmente, encontramos una tipología de errores sistemáticos similares a la
encontrada por autores relevantes en la literatura que aborda el tema, (Young & O´shea
1981; Brown and Vanlehn 1982; Vanlehn 1990), coincidiendo en dos errores con estos
tres estudios. Tales errores son: “Borrow-from-zero y y Borrow-across-zero”.
Los resultado de esta fase de la investigación, evidencian que los errores, giran
en torno a conductas que recaen sobre las fases de mayor complejidad cognitiva del
proceso y en relación directa con la comprensión de conceptos y principios esenciales
para el aprendizaje significativo del algoritmo. Básicamente en el ámbito de los
principios que rigen el sistema de numeración decimal. Es posible, por tanto, que
pudiera existir una línea evolutiva común en la adquisición del error durante el
aprendizaje de la sustracción, que explique la aparición de errores similares en
contextos didácticos de aprendizaje diferentes.
De las categorías de errores con más presencia, apreciamos “los errores de
cálculo” que presentaba el mayor número de frecuencias. Este hecho es comparable,
con los resultados obtenidos en las investigaciones de VanLehn (1990), Young y&
O´Shea (1981).
257
Asimismo, establecemos como la aparición de casos de este tipo de error en la
muestra, disminuía igualmente que en las investigaciones tomadas como referencia, a
medida que ascendíamos de curso. Algunos de los errores con concentración superior de
frecuencias, persistían en determinadas restas durante todos los cursos de 2º a 6º.Estos
son los que en nuestra investigación denominamos “errores sistemáticos de carácter
estable”, otros desaparecen a partir de cuarto.
Para terminar, comparamos los porcentajes de errores estables encontrados en la
investigación, con los encontrados por VanLehn (1990), evidenciando la existencia de
un porcentaje mayor de niños con bugs estables en nuestra muestra, en todos los cursos,
y también un menor descenso por curso de los mismos
Concluyendo, opinamos que las aportaciones realizadas por (Brown & Burton
1978; Brown & VanLehn 1982; VanLehn & Brown 1980; VanLehn, 1982, 1983, 1987,
1990, Young & O´Shea, 1981), pueden ser generalizadas a contextos didácticos espacio
temporales muy diferentes. Apreciamos una similitud evolutiva en lo que podríamos
denominar adquisición del error. Por tanto, consideramos que las conclusiones de sus
estudios, son una ayuda de inestimable valor para los profesores que enseñan procesos
algorítmicos en el ámbito escolar.
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261
FUNDAMENTOS LÓGICOS DE LOS PROCESOS DIRECTO E INVERSO EN
LA MATEMÁTICA TEMPRANA.
P. Ruesga. Dpto. de Didácticas Específicas. U. de Burgos. [email protected]
J. Giménez. Dpto. Didácticas de las C. Exp. y de la Matemática. U. de Barcelona.
[email protected]
J. M. Sigarreta. Dpto. Matemáticas. U. Carlos III de Madrid. [email protected]
Resumen
Desde el punto de vista de la Lógica, la Matemática es conceptualizada como una
ciencia que consiste en el establecimiento de relaciones de diversos tipos. En tal sentido,
sustentándonos en los modos de razonamientos se pueden distinguir dos procesos
relacionales (Directos e Inversos) que tienen lugar en diferentes aspectos del quehacer
matemático y se fundamentan a través de la inferencia lógica [Ruesga(2004)]. Estos
procesos son coincidentes con los constitutivos de la reversibilidad piagetiana [Piaget
(1975)] en un caso particular, concretamente en los cálculos algorítmicos, pero
adquieren en el ámbito matemático mayor generalidad y otra naturaleza.
En la etapa de educación inicial, ambos procesos son identificables en actividades de
aplicar y descubrir reglas respectivamente. En este trabajo se presentan los resultados de
un experimento consistente en la aplicación de dos tareas; la primera de clasificación
multiplicativa y la segunda de transformación a un grupo de 211 niños (3-5 años).
Ambas tareas se plantean como actividad sustentada en reglas asociadas a códigos y
desarrollan los dos modos: directo e inverso a través de pruebas diferentes
implementadas con los resultados de un grupo piloto. Desde el punto de vista del diseño
experimental se trata de un estudio descriptivo, de tipo exploratorio, con una sola
medición, con la cual se realiza un análisis de proceso multivariado. Las pruebas se
desarrollaron sin límite de tiempo en una sola sesión efectuándose registro videofilmado
y escrito.
Las variables utilizadas para el análisis son: logro (éxito o fracaso), procedimiento
(usado por el niño para resolver la tarea) y argumentación (mostrada a lo largo del
proceso resolutivo) relativas a cada tarea y modo. En este trabajo se muestra la relación
entre las variables estudiadas
Entre otras conclusiones podemos aseverar que los modos inversos, son desconocidos
en la actividad habitual docente, resultan más difíciles que los directos, que la
transformación resulta más complicada que la clasificación. La clasificación en modo
directo es asequible para más del 95% de los alumnos; y que es posible mejorar de
forma significativa los logros en la transformación cuando se tienen en cuenta aspectos
de tipo metodológico.
Bibliografía
Piaget, J. (1975). L’equilibration des structures cognitives. París. Presses Universitaires
de France.
Ruesga, P. (2004). El inicio del razonamiento en la infancia. Burgos. Publicaciones de
la Universidad de Burgos.
262
Uso y desarrollo de pensamiento relacional por alumnos de tercero de Primaria
Marta Molina González
Encarnación Castro Martínez
([email protected])
Universidad de Granada
([email protected])
Universidad de Granada
Resumen
En esta comunicación se describen las estrategias de pensamiento relacional empleadas
por un grupo de alumnos de tercero de Primaria en la resolución y construcción de
igualdades numéricas de suma y resta. Este trabajo forma parte de un experimento de
diseño centrado en el estudio del desarrollo de pensamiento relacional por alumnos de
tercero de Primaria en el contexto de la resolución de igualdades numéricas, compuestas
por números naturales, y basadas en relaciones o propiedades aritméticas básicas tales
como la propiedad conmutativa de la suma, la complementariedad de la suma y la resta
o la compensación. Siguiendo la propuesta Early-Algebra, el trabajo centrado en el uso
y desarrollo de pensamiento relacional se presenta como potenciador de un enfoque
estructural de la aritmética.
Reforma de la enseñanza del algebra. Early-Algebra
La enseñanza tradicional del algebra es ampliamente criticada por numerosos
investigadores (Booth, 1989; Kaput 1999, Mason, Davis, Love & Schoenfeld, según
Lee, en prensa). La crítica internacional se basa principalmente en el gran número de
estudiantes que fracasan en esta área y dejan de estudiar matemáticas, la falta de
conexión entre el álgebra y las demás áreas de las matemáticas, y la ausencia de
significado en el aprendizaje algebraico adquirido por los estudiantes.
La gran insatisfacción con la actual y tradicional enseñanza del álgebra, el
reconocimiento de la importancia de los hábitos mentales que están involucrados en
actividades algebraicas, y la preocupación por hacer el estudio del álgebra accesible a
todos los estudiantes, han conducido a buscar formas más efectivas de enseñar álgebra.
En la última década se han sugerido enfoques para la mejora de la enseñanza del álgebra
centrados en la resolución de problemas, otros que potencian y fortalecen las
habilidades aritméticas y procesos de enseñanza focalizados en el uso de tecnología
(Freiman y Lee, 2004). Una de las propuestas más ambiciosas, conocida como EarlyAlgebra, consiste en un cambio curricular: la introducción del álgebra desde los
263
primeros años escolares, no como una asignatura sino como una manera de pensar y
actuar en objetos, relaciones, estructuras y situaciones matemáticas, como guía hacia
una enseñanza con compresión de las matemáticas (Kaput, 2000; Carraher, Schliemann
y Brizuela, 2000; Carpenter, Franke y Levi, 2003).
Según la propuesta Early-Algebra los maestros han de promover la observación de
patrones, relaciones y propiedades matemáticas y crear un ambiente escolar en el que se
valore que los alumnos exploren, modelicen, hagan predicciones, discutan, argumenten,
comprueben ideas y también practiquen habilidades de cálculo (Blanton y Kaput, 2003).
Se considera que los diferentes modos de pensamiento involucrados en la actividad
algebraica son hábitos mentales importantes que los alumnos deben de adquirir y que
tienen el potencial de enriquecer la actividad matemática escolar y, muy especialmente,
el aprendizaje de la Aritmética.
Esta propuesta va acompañada de una amplia concepción del Álgebra que engloba el
estudio de relaciones funcionales, el estudio y generalización de patrones y relaciones
(lo que incluye la aritmética generalizada), el estudio de estructuras abstraídas de
cálculos y relaciones, y el desarrollo y la manipulación del simbolismo (Kaput, 2000;
Blanton y Kaput, 2004).
Early-Algebra y Aritmética. Una de las propuestas de Early-Algebra consiste en
fomentar un enfoque estructural de la Aritmética rompiendo con el énfasis
computacional predominante en los primeros cursos escolares. Dicho énfasis se señala
como causa de la falta de conciencia de los alumnos sobre las estructuras que subyacen
a las operaciones matemáticas y sus propiedades. Según Kieran (1992), la forma
tradicional de introducir la aritmética no ha sido eficaz en el desarrollo de las
habilidades de los alumnos para reconocer y usar la estructura matemática, dando lugar
a una de las principales dificultades en la introducción del álgebra.
En esta línea, tomamos como referencia fundamental un trabajo dirigido por Carpenter
(Carpenter et al., 2003). En él se aborda, desde la enseñanza de la Aritmética, el
desarrollo de diversos aspectos del pensamiento algebraico entre los que se encuentran
la comprensión del signo igual, la observación y generalización de relaciones numéricas
y la elaboración de conjeturas, todo ello abordado en el contexto de igualdades
numéricas y simbólicas.
Partiendo del trabajo de Carpenter y sus colaboradores, hemos realizado dos
experimentos de enseñanza centrados en dos aspectos del pensamiento algebraico a
desarrollar en el contexto de la Aritmética: el pensamiento relacional y la comprensión
264
del signo igual. El primero de estos estudios analiza el desarrollo de la comprensión del
signo igual y aporta evidencias de la capacidad de los alumnos de tercero de Primaria de
desarrollar pensamiento relacional como una estrategia para la resolución de igualdades
numéricas (Molina, 2004; Molina y Castro, 2005; Molina y Ambrose, pendiente de
aceptación). En el segundo estudio, en el que se centra esta comunicación, se profundiza
en el análisis del desarrollo de pensamiento relacional; objetivo que se ve favorecido
por la comprensión relacional del signo igual que muestran la mayor parte de los
alumnos. En ambos casos se trabaja en el aula, con alumnos de tercero de Educación
Primaria, mediante la discusión y resolución escrita de igualdades numéricas abiertas e
igualdades verdaderas y falsas.
Pensamiento Relacional
Definimos el término pensamiento como la actividad intelectual (interna) mediante la
cual las personas entienden, comprenden, y dotan de significado a lo que les rodea;
consistente en formar, examinar, reflexionar y relacionar ideas o conceptos, tomar
decisiones y emitir juicios de eficacia. Esta actividad es la que permite encontrar
respuestas ante situaciones de resolución de problemas o hallar los medios para alcanzar
una meta. Por otra parte, adoptamos una acepción general del término relación:
conexión, correspondencia o situación que se da de una cosa con otra o de una cosa con
si misma, ya sea en la realidad o en la mente. Ambas definiciones nos permiten definir
el término pensamiento relacional, entendido como pensamiento sobre relaciones, de la
siguiente forma:
El pensamiento relacional es la actividad o acción intelectual de examinar y buscar
relaciones entre objetos matemáticos, reflexionar y utilizar dichas relaciones con una
intencionalidad, como puede ser resolver un problema, tomar una decisión o aprender
más sobre la situación o los conceptos involucrados.
Entendemos que cuando una persona piensa relacionalmente o, equivalentemente, usa
pensamiento relacional, no sólo observa o detecta las relaciones existentes entre los
objetos matemáticos en cuestión, sino que éstas pasan a ser consideradas objeto de
pensamiento con la intención del logro de un objetivo. Las relaciones son los conceptos
e ideas en los que se basa la resolución del problema.
Centrados en el contexto de la aritmética, y más concretamente en la resolución de
igualdades numéricas, los objetos matemáticos en los que se centra dicha actividad son
los números y las operaciones. En particular, este tipo de pensamiento puede tener lugar
en situaciones de cálculo y en otras en las que se relacionan expresiones aritméticas.
265
El uso de pensamiento relacional en el cálculo conlleva el uso de estrategias flexibles,
no usuales o informales, muy relacionadas con el cálculo mental y con el uso del
sentido numérico. Por ejemplo, diremos que una persona usa pensamiento relacional
para realizar el cálculo 14 + 9 cuando, tras examinar la expresión, busca relaciones entre
uno de los términos y algún otro número, que le faciliten dicho cálculo. En este caso
puede buscar un número que sumado a 14 de 20. Tras encontrar el valor desconocido en
la igualdad 14 + n = 20, se necesita, para poder completar el cálculo, buscar la relación
que existe entre 6 y 9.
De este modo el pensamiento relacional puede ser utilizado para producir respuestas o
resultados que no se conocen o no se recuerdan en un determinado momento, a partir de
otros que se conocen, o para resolver una secuencia de operaciones de forma más
sencilla
transformándola
mediante
la
aplicación
de
propiedades
aritméticas
fundamentales.
Por otra parte, se puede usar pensamiento relacional en situaciones en las que se
relacionan expresiones aritméticas mediante relaciones de igualdad, desigualdad o de
orden. En este contexto, el uso de pensamiento relacional implica la obtención de la
respuesta a partir del examen de los números o expresiones involucradas y el
establecimiento de relaciones entre ellos; no siendo necesario realizar explícitamente las
operaciones expresadas (Carpenter et al, 2003). Por ejemplo, para resolver la igualdad
numérica abierta 8 + 4 = + 5, se pueden comparar las expresiones que la componen,
“8 + 4” y “ + 5”, y reconocer que ambas contienen una suma y que una contiene un 4
y otra un 5. Usando sentido numérico se sabe que 4 es una unidad menor que 5, y,
mediante el conocimiento de la relación de compensación, puede deducirse que la
respuesta es una unidad menos que 8.
El trabajo centrado en pensamiento relacional implica focalizar la atención en relaciones
relativas a las operaciones y los números involucrados, manteniendo el cálculo de las
operaciones en un segundo plano. De este modo, como señalan Carpenter et al. (2003) y
Koehler (2004), se favorece un aprendizaje significativo de la aritmética, el desarrollo
de fluidez en el cálculo y el desarrollo de una buena base para el posterior estudio
formal del álgebra.
Igualdades y relaciones aritméticas
La mayoría de los currículos elementales de Aritmética emplean el lenguaje de las
igualdades numéricas desde el inicio del estudio de las matemáticas, siendo éstas un
componente importante del lenguaje matemático (Grouws, 1974; Lindvall e Ibarra,
266
1980). El trabajo con igualdades numéricas abiertas es considerado importante, dentro
del aprendizaje de la Aritmética, para que los alumnos comprendan las operaciones
básicas y la relación existente entre ellas, además de para modelizar y resolver
problemas (Weaver, 1972; Lindvall e Ibarra, 1980). Asimismo, las igualdades
numéricas son consideradas un buen contexto en el cual introducir a los alumnos a la
resolución de ecuaciones (siendo la incógnita representada mediante una línea o una
figura) y trabajar la comprensión del signo igual, un componente esencial del
pensamiento algebraico (Radford, 2000; Carpenter et al., 2003; Freeman y Lee, 2004).
Según Lindvall e Ibarra (1980), “Puede decirse que los alumnos no poseen una
verdadera compresión del signo igual y de las ecuaciones hasta que muestran cierta
maestría en las igualdades abiertas” (p. 50).
Carpenter et al. (2003), partiendo del trabajo de Davis (1964), proponen las igualdades
numéricas abiertas y verdaderas y falsas como contexto en el cual favorecer que los
niños desarrollen y utilicen pensamiento relacional. Las igualdades numéricas proveen
de un contexto flexible en el cual pueden representarse relaciones aritméticas, focalizar
la atención de los alumnos en ellas y favorecer el diálogo sobre su comprensión de ideas
matemáticas básicas, tales como las propiedades de las operaciones o de la estructura de
nuestro sistema numérico de base diez, por ejemplo con las igualdades 42 = 40 + 2, 2 +
40 = 42, 42 = 30 + 12.
Las discusiones sobre igualdades basadas en relaciones y propiedades aritméticas
pueden ayudar a los alumnos a aprender aritmética con comprensión y desarrollar una
sólida base para el posterior estudio del álgebra haciendo que los alumnos tomen
conciencia de la estructura que subyace a la aritmética (Kieran, 1992; Resnick, 1992;
Carpenter et al., 2003).
Desafortunadamente las concepciones de los alumnos sobre el signo igual interfieren
con su habilidad para comprender las igualdades por lo que previa o conjuntamente se
hace necesario favorecer el desarrollo de dicha comprensión (Carpenter et al., 2003;
Molina y Ambrose, pendiente de aceptación).
Relaciones aritméticas. Centrándonos en las operaciones de la estructura aditiva y en el
conjunto de los números naturales, identificamos nueve relaciones que pueden
trabajarse desde la resolución de igualdades numéricas con soluciones en el conjunto de
los números naturales. Dichas relaciones delimitan el foco de atención en nuestra
intervención en el aula al ser empleadas en el diseño de las igualdades que componen
las actividades. En la Tabla 1 se enuncian dichas relaciones acompañadas de ejemplos
267
de igualdades mediante las cuales se pueden trabajar en el aula. La última relación
incluida en la Tabla 1, magnitud, comprende relaciones aritméticas basadas en la
magnitud de los números involucrados y el conocimiento de las operaciones suma y
resta.
Tabla 1: Relaciones aritméticas en el contexto de las igualdades numéricas.
Relación
Ejemplos de igualdades
V/F o abiertas
Operación conmutativa de la suma
12 + 11 = 11 + 12
(a + b = b + a)
12 + 7 = 7 + 
No conmutatividad de la resta
24 – 15 = 15 – 24
Cero elemento neutro
24 – 24 = 0
9 – = 0
A–a=0
100 – 100 = 1
100 –  = 0
Compensación
51 + 51 = 50 + 52
a + b = (a – 1) + ( b + 1)
8+5=+7
a + b = (a + 1) + ( b – 1)
a – b = (a –1) – (b – 1)
a – b = (a + 1) – (b + 1)
Relación complementaria de la suma y la resta
27 + 48 – 48 = 27
a+b–b=a
27 + 48 – 48 = 
a–b+b=a
Relaciones de composición y descomposición
24 – 15 = 24 – 10 – 5
7 + + 6 = 14 + 6
Magnitud
75 – 14 = 340
7 + 15 = 8 + 15
Propiedad reflexiva de la igualdad
3=3
12 + 12 = 12 + 12
Antecedentes
En relación con el uso y desarrollo de pensamiento relacional diversos autores
documentan la falta de conocimientos de los alumnos de Educación Primaria y
Secundaria sobre la estructura que subyace a las expresiones aritméticas y sus
propiedades (Liebenberg, Sasman y Olivier, 1999; Kieran, 1989). Observan la falta de
268
capacidad de los alumnos de resolver igualdades sin calcular la respuesta así como la no
aceptación de la falta de clausura.
Trabajos relativos al uso y desarrollo de pensamiento relacional señalan la bondad de
las estrategias de pensamiento y cálculo flexible para favorecer el aprendizaje, la
retención y la transferencia de conocimiento sobre el cálculo (Myers y Thorton, 1977;
Thorton, 1978; Gómez, 2005). En particular Myers y Thorton (1977) observan que los
niños que resuelven correctamente un mayor número de hechos numéricos tienden a
descubrir y usar relaciones entre hechos numéricos más sencillos, y los alumnos con
peores resultados o con dificultades de aprendizaje, no lo hacen.
Dentro de la propuesta Early-Algebra, trabajos de Carpenter et al. (2003) y Koehler
(2004) dan muestras de la capacidad de los alumnos de los primeros cursos de
Educación Primaria para pensar sobre relaciones sofisticadas y expresarlas de incluso de
forma simbólica.
Nuestro estudio previo (Molina, 2004; Molina y Castro, 2005; Molina y Ambrose,
pendiente de aceptación) confirma dicha capacidad por parte de los alumnos de tercero
de Primaria y da muestras de la bondad del trabajo con igualdades numéricas verdaderas
y falsas, basadas en relaciones y propiedades aritméticas básicas, en el que se da
prioridad a la discusión y explicación de lo realizado por parte de los alumnos, para
favorecer el uso y desarrollo de pensamiento relacional. Las discusiones conducen a los
alumnos a evaluar su pensamiento y el de sus compañeros y favorecen la organización y
consolidación de su pensamiento matemático al tener que explicarlo.
Del desempeño de los estudiantes ante las distintas tareas, deducimos que la forma de
los distintos tipos de igualdades influye especialmente en el modo de abordarlas por
parte de los escolares. En las igualdades abiertas los alumnos tienden a realizar los
cálculos y a no considerar la totalidad de la igualdad, en cambio en las igualdades
verdaderas y falsas les resulta más sencillo apreciar esta totalidad y utilizar pensamiento
relacional. Más de la mitad de los alumnos dan evidencias del uso de pensamiento
relacional, sin embargo dichas manifestaciones son poco frecuentes debido a la limitada
comprensión del signo igual de los alumnos y a su fuerte tendencia computacional.
Objetivos de la Investigación
Este trabajo forma parte de una investigación en la que se pretende indagar en un
proceso de enseñanza/aprendizaje y tratar de analizar lo qué ocurre y cómo ocurre.
Dicho proceso consiste en el trabajo con igualdades numéricas basadas en relaciones
aritméticas básicas, mediante una metodología de trabajo en el aula centrada en la
269
discusión de las respuestas y estrategias de los alumnos. Nuestro interés se centra en el
estudio del uso y desarrollo de pensamiento relacional como estrategia para la
resolución de igualdades numéricas, del modo en que lo manifiestan los alumnos y las
relaciones aritméticas en las que se apoyan. En esta comunicación recogemos los
primeros resultados del análisis del uso y desarrollo de pensamiento relacional.
Metodología
La metodología de investigación aplicada en este estudio se ubica dentro de las
metodologías propias de las investigaciones de diseño, un paradigma emergente que
actualmente está siendo activamente aplicado y desarrollado dentro de la investigación
educativa. Este paradigma persigue analizar el aprendizaje en contexto, mediante el
diseño y estudio sistemático de estrategias y herramientas de enseñanza. El diseño se
considera central para promover el aprendizaje, crear conocimiento útil, y hacer
progresar las teorías de aprendizaje y enseñanza en ambientes complejos (DBRC,
2003).
Los estudios de diseño son un tipo de experimentos de enseñanza cuyo objetivo es
producir teoría, que ayude a guiar la práctica educativa en el aula y a identificar
prácticas de enseñanza-aprendizaje eficaces, permitiendo adaptar las condiciones de la
enseñanza para afectar la probabilidad de ciertos resultados o sucesos (Confrey, en
prensa).
Los estudios de diseño constituyen extensas investigaciones de prácticas educativas
provocadas por el uso de un conjunto de tareas curriculares noveles, cuidadosamente
secuenciadas, que estudian como algún campo conceptual o conjunto de habilidades e
ideas son aprendidas mediante la interacción de los alumnos bajo la guía del profesor.
Este tipo de estudios tratan de documentar “qué recursos y conocimiento previo ponen
en juego los alumnos en la tarea, cómo interaccionan los alumnos y profesores, cómo
son creadas las anotaciones y registros, cómo emergen y evolucionan las concepciones,
qué recursos se usan, y cómo es llevada a cabo la enseñanza a lo largo del curso de la
instrucción, mediante el estudio de trabajo de los alumnos, grabaciones de videos y
evaluaciones de la clase” (Confrey, en prensa).
Investigación dirigida por una conjetura. El diseño de investigación específico que ha
sido aplicado en este trabajo es el “diseño de investigación dirigido por una conjetura”
de Confrey y Lachance (2000), en el cual se reconocen las características de los
experimentos de diseño descritas anteriormente. El punto de partida de este diseño es
“una inferencia basada en pruebas incompletas o no concluyentes” (pp. 234-235). No
270
existen hipótesis a ser probadas sino que la conjetura es la guía en el proceso de
investigación, siendo revisada y reelaborada a lo largo de dicho proceso.
La conjetura que guía nuestra investigación es que los alumnos de tercero de Primaria
son capaces de utilizar estrategias basadas en el uso de pensamiento relacional para
resolver igualdades numéricas. Estas estrategias permiten además hacer explícito su
conocimiento aritmético. Por otra parte, sabemos, por la literatura existente, que los
alumnos de de Educación Primaria, y concretamente de tercero de Primaria, encuentran
dificultades en la resolución de igualdades numéricas mostrando cierta tendencia
computacional. Conjeturamos que mediante la consideración y discusión de igualdades
de variadas formas los alumnos pueden desarrollar su comprensión de las igualdades
numéricas, y en especial del signo igual, llegando a entenderlas como expresiones de
una relación, y pueden desarrollar pensamiento relacional como estrategia para su
resolución.
Recogida de datos
Los sujetos participantes en este estudio son una clase de 26 alumnos de tercero de
Primaria, 12 niños y 14 niñas, de un colegio público de la provincia de Granada. La
recogida de datos en el aula ha tenido lugar durante un total de seis sesiones realizadas
en días diferentes y durante el horario escolar. La primera sesión tuvo lugar dos meses
antes de la segunda. Las sesiones segunda, tercera, cuarta y quinta se realizaron con una
separación entre ellas de una a dos semanas. La última sesión se realizó en el siguiente
curso académico, ocho meses y medio después de la quinta sesión (Ver Tabla 2 para
conocer la organización y distribución de las sesiones).
Los resultados de las sesiones previas fueron considerados para el diseño de las
sucesivas intervenciones, las cuales pretendían dar un paso más en el estudio y
desarrollo de pensamiento relacional y de la comprensión de las igualdades,
realizándose un seguimiento a veces global y otras individual.
Sesión
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
Fecha
23-11-
24-1-2005
3-2-2005
16-2-2005
2-3-2005
16-11-
2004
2005
Número de
alumnos en
26
21
22
25
(13)
25
271
clase
Duración
30’
1h
1h
1h
- actividad
-
- actividad - entrevistas - actividad
escrita
escrita
discusión
escrita
-entrevista
- discusión
a4
- actividad
alumnos
escrita
Actividades - actividad
realizadas
1h50’
1h
individuales escrita
- discusión - discusión
Igualdades
numéricas
abiertas
abiertas y
verdaderas verdaderas verdaderas
verdaderas
V/F
y falsas
y falsas
y falsas
y falsas
empleadas
Tabla 2: Organización y distribución de las sesiones
Como es propio de la metodología utilizada se ha realizado una recogida de datos
exhaustiva, que ha permitido capturar con detalle las interacciones ocurridas en el aula,
llevándose a cabo evaluaciones individuales para poder valorar el aprendizaje y
evolución de cada alumno. Se han realizado grabaciones en video de las tres primeras
sesiones, grabaciones en audio de las entrevistas, se han tomado notas de lo ocurrido en
el aula y se han recogido las hojas de trabajo de los alumnos. Además, a lo largo del
proceso de investigación se han recogido las reflexiones y decisiones tomadas por las
investigadoras a partir de cada intervención en el aula, para poder describir con
precisión, a posteriori, la evolución de la conjetura de investigación. Todos los datos
recogidos son de tipo cualitativo.
Actividades. Como se observa en la tabla 2 se llevaron a cabo discusiones, actividades
escritas y se realizaron entrevistas a varios alumnos, todo ello en el contexto de la
resolución de igualdades numéricas. Las actividades escritas fueron siempre resultas
individualmente, usándose lápiz y los folios distribuidos por las investigadoras. Durante
las discusiones participaron mayoritariamente aquellos alumnos que levantaron la mano
para hablar. En las discusiones pedimos que los alumnos explicaran distintas formas en
las que habían resuelto las igualdades. De este modo se favoreció la participación de un
mayor número de alumnos y se hizo explícita la existencia de diversas formas de
resolver una misma igualdad y nuestro interés en que los alumnos exploraran y
explicaran todas las formas que se les ocurrieran. A partir de la tercera intervención les
cuestionamos directamente por formas de resolver las igualdades sin realizar todas las
272
operaciones expresadas.
Igualdades numéricas utilizadas. En cada una de las intervenciones en el aula se
emplearon una determinada colección de igualdades, abiertas o verdaderas y falsas,
elaboradas en función de los resultados de la sesión anterior, de los objetivos de la
sesión en cuestión, de las recomendaciones de Carpenter et al. (2003) y de nuestra
experiencia previa (Molina, 2004; Molina y Castro, 2005; Molina y Ambrose, pendiente
de aceptación). Además, se tuvo en cuenta el tamaño de los números involucrados, la
proporción de igualdades verdaderas y falsas, la posición de la incógnita en las
igualdades abiertas y las relaciones aritméticas anteriormente mencionadas.
Análisis de los datos
Como es propio de la metodología utilizada en este estudio, el análisis de los datos
recogidos en el transcurso de esta investigación comprende dos etapas: un análisis
continuo, tras cada sesión en el aula, y un análisis final. El primero de ellos se refiere al
análisis de los datos de cada intervención. Los resultados de este análisis conducen a la
toma de decisiones con respecto a futuras intervenciones y facilita la revisión y el
desarrollo de la conjetura de investigación. Estos resultados se toman como referencia
para la continuación del proceso. El análisis final es el análisis de todo el proceso de
investigación y todos los datos recogidos. Este análisis conduce a la construcción de una
historia coherente de la evolución de la conjetura y de la evolución de los alumnos a lo
largo de la intervención en el aula.
Primeros Resultados
Los resultados obtenidos hasta el momento dan muestras de la capacidad de los alumnos
de tercero de Educación Primaria de desarrollar y utilizar pensamiento relacional como
estrategia para la resolución de igualdades, confirmando en este sentido los resultados
de nuestro estudio previo. Inicialmente, la mayoría de los alumnos muestra la tendencia
de realizar el cálculo de las operaciones involucradas en la igualdad aunque algunos
alumnos dan muestras puntuales del uso de pensamiento relacional. A partir de la
tercera sesión las estrategias basadas en pensamiento relacional son más frecuentes
distinguiéndose los siguientes diez tipos:
1. Conmutatividad. Esta estrategia corresponde al uso de la propiedad conmutativa de la
suma o una supuesta conmutatividad de la resta en N, en general a la suposición
(matemáticamente correcta en el caso de la suma) de que el orden de los términos no
influye en el resultado o valor de una expresión aritmética. En particular, identificamos
el uso de esta estrategia en las siguientes explicaciones de los alumnos: “[75 + 23 = 23 +
273
75] Verdadera porque en la suma no importa cambiar el orden”, “[18 – 7 = 7 – 18]
Verdadera porque los números son iguales pero están puestos de otra forma”.
2. Restricción en el dominio de la operación. Esta estrategia corresponde al uso de la
suposición (matemáticamente correcta en el caso de la resta) de que, dentro del conjunto
de los números naturales, sólo es posible operar dos números cuando el primero es
mayor que el segundo. Son ejemplos del uso de esta estrategia las siguientes
explicaciones: “[75 + 23 = 23 + 75] Falsa porque 75 más 23 da 98 y a 23 no le puedes
sumar 75” y “[18 – 7 = 7 – 18] Falsa porque 18 – 7 son 11 y a 7 no le puedes quitar
18”.
3. Composición-descomposición. Esta estrategia corresponde al uso de relaciones que
permiten obtener un término a partir de la agrupación o composición de otros dos
términos, o inversamente, a partir de la descomposición de un término en otros dos. Esta
estrategia se manifiesta en igualdades en las que ambos miembros incluyen uno o más
términos iguales, lo que favorece la comparación de los demás términos involucrados en
la igualdad. Son ejemplos del uso de esta estrategia las siguientes explicaciones “[257 –
34 = 257 – 30 – 4] Verdadera porque a 30 le sumas 4 te da 34 y son los mismos
números”, “[257 – 34 = 257 – 30 – 4] Verdadera porque es la misma sólo han puesto
más números para restar”, “[6 + 4 + 18 = 10 + 18] Verdadera porque es lo mismo sólo
que han puesto otros números”.
4. Compensación. Esta estrategia corresponde al uso de la relación de compensación de
la suma o de la resta. En el caso de la suma esta relación consiste en que la suma no
varía cuando un mismo número es sumado a uno de los sumandos y restado al otro
sumando. La siguiente explicación es un ejemplo del uso de esta estrategia “[53 + 41 =
54 + 40] Verdadera porque el 1 del 54 se lo ponemos al 40 te da lo mismo”.
En el caso de la resta esta relación consiste en que la resta no varía si un mismo número
es sumado o restado a ambos términos de la operación. Por ejemplo, se distingue el uso
de esta estrategia en las siguientes explicaciones: “[19 – 13 = 9 – 3] Porque... porque...
a... si a diecinueve le quitamos trece es igual que como si le quitáramos los unos”, “[17
– 12 = 16 – 11] Verdadera porque a 17 le restamos 12 y nos da 5 y a un número menor
que el diecisiete le restamos un número menor que el 12 nos da lo mismo”.
5. Complementariedad de la suma y la resta. Esta estrategia consiste en el uso de la
relación de complementariedad existente, por definición, entre las operaciones suma y
resta; lo que permite la cancelación de dos términos cuando un mismo número es
sumado y restado. Un ejemplo del uso de este tipo de estrategia es la siguiente
274
explicación: “[16 + 14 – 14 = 36] Falsa porque 16 + 14 – 14 son 16 porque le quitamos
y le ponemos a los números”
6. Mismidad. Esta estrategia se basa en la observación de la repetición de términos y la
suposición de que toda igualdad que involucra términos iguales es verdadera. Son
ejemplos las siguientes explicaciones: “[53 + 41 = 54 + 40] Falsa porque 53 no es igual
a 54 y 41 no da lo mismo que 40”, “[75 + 23 = 23 + 75] Verdadera porque son iguales y
entonces dan lo mismo”, “[18 – 7 = 7 – 18 Verdadera porque dieciocho menos 7 y el
otro es lo mismo y si es lo mismo da igual”. Como podemos ver en los dos últimos
ejemplos esta estrategia puede corresponder en algunos casos con la aplicación de la
propiedad conmutativa de la suma o una supuesta conmutatividad de la resta, sin
embargo, diferenciamos ambos tipos de estrategias según los alumnos hagan referencia
al cambio de orden o únicamente a la mismidad de los términos.
7. Similitud de estructura4. Esta estrategia consiste en la observación y uso de un patrón
o cierta similitud en la estructura de las expresiones que componen la igualdad. Un
ejemplo lo observamos en la explicación de una alumna a su respuesta 7 en la igualdad
17 - = 18 – 8: “Como 18 luego hay un ocho pues me ha salido”. Esta alumna utiliza
estrategias de cálculo para dar respuesta a las demás igualdades abiertas de la actividad,
haciendo uso de un significado operacional del signo igual, sin embargo, en esta
igualdad aprecia cierta similitud entre la estructura de las expresiones 17 – 7 y 18 – 8
que le permite obtener la respuesta.
8. Magnitud. Esta estrategia refiere a los casos en los que los alumnos obtienen su
respuesta a partir de la comparación de la magnitud de los términos involucrados en la
igualdad y su conocimiento del efecto de las operaciones suma y resta en el conjunto de
los números naturales. Dentro de este tipo de estrategias distinguimos entre:
8.1 Efecto suma: cuando la estrategia se basa en el uso de conocimiento sobre el
efecto de la operación suma sobre un número (Ej. “[37 + 22 = 300] Porque…
porque treinta y siete más, porque treinta y siete más veintidós,… porque treinta y
siete más veintidós no te dan trescientos porque trescientos es un número más
mayor”).
8.2 Efecto suma-no compensación: cuando la estrategia se basa en la apreciación de
un cambio o una diferencia de magnitud entre los términos que no está
compensada (Ej. “[7 + 15 = 8 + 15 Falsa porque 7 + 15 son 22 pero 8 + 15 son
4
Al igual que Kieran (1989) denominamos estructura de una igualdad a la forma o disposición de los
términos y operaciones, sujeta a las restricciones del orden de las operaciones.
275
23 porque a 7 le han puesto una más”).
8.3 Efecto-resta: cuando la estrategia se basa en el uso de conocimiento sobre el efecto
de la operación resta sobre un número (Ej. “[75 – 14 = 340] Falsa porque 75 – 14
son 61 y además si a 75 le restamos más no puede salir 340”, “[37 + 22 = 300]
Porque… porque treinta y siete más, porque treinta y siete más veintidós,…
porque treinta y siete más veintidós no te dan trescientos porque trescientos es un
número más mayor”).
9. Cero como elemento neutro. Esta estrategia se basa en el uso de las propiedades del
cero como elemento neutro de la suma (a + 0 = a y 0 + a = a) y elemento neutro de la
resta por la derecha (a – 0 = a). Por ejemplo en la igualdad 23 + 0 = 23 una alumna
justifica la veracidad de la igualdad explicando “Porque veintitrés más cero igual a
veintitrés, porque si a veintitrés no le sumamos nada es veintitrés”. Esta alumna asocia
el cero con “nada” y esto le permite concluir la veracidad de la igualdad sin necesidad
de realizar ningún cálculo.
10. a – a = 0 . Esta estrategia se basa en el uso de la relación aritmética a – a = 0 siendo
“a” un número natural. Esta estrategia es expresada por una alumna en la igualdad 125 –
125 = 13 explicando “Falsa, porque a ciento veinticinco le quitas ciento veinticinco son
cero, no trece […] Porque aquí son los mismos números y si le quitas los mismos
números son cero, aquí no te puede dar trece”.
Estas diez estrategias se consideran basadas en pensamiento relacional porque en cada
una de ellas el alumno considera la igualdad como una totalidad, examina los términos
que la componen, busca relaciones entre ellos (guiado por su comprensión de dicha
igualdad) y utiliza dichas relaciones para resolver la igualdad. Las relaciones observadas
entre los términos son las que le permiten obtener la respuesta, evitando la realización
de los cálculos expresados en la igualdad.
Estrategias de cálculo. En la mayoría de las igualdades propuestas los alumnos
manifiestan también el uso de estrategias de cálculo mostrando ser capaces de encontrar
sumandos o substraendos desconocidos en igualdades numéricas. Para realizar dichos
cálculos los alumnos emplean los algoritmos estándares de la suma o la resta, hacen uso
de estrategias de conteo (apoyándose en el uso de los dedos en casos puntuales), utilizan
el recuerdo de hechos numéricos, y hacen uso de su sentido numérico relacionando las
operaciones de suma y resta o derivando un hecho numérico de otros hechos que
276
conoce. Algunas de las explicaciones que evidencian el uso de estas estrategias son las
siguientes:
-
“[6 + 4 + 18 = 10 + 18] Verdadera porque diez más ocho son veintidós y
dieciocho más diez es veintidós”,
-
“[7 + 3 = 10 + 3] siete más tres son… diez […] Y a diez le quito…a diez le he
quitado el cero y le he puesto el tres, y me ha salido trece. Y no es igual”.
-
“[17 – 12 = 16 – 11] Verdadera porque he hecho una cuenta y otra cuenta y me
ha salido lo mismo”,
-
Explicación de una alumna a su respuesta 15 en la igualdad 14 – 9 = – 1: “He
restado a catorce nueve y luego me ha salido seis he ido contando seis más diez
y me ha salido quince”
Para aportar explicaciones diferentes a las de sus compañeros algunos alumnos expresan
las operaciones en distinto orden del que aparecen expresadas en la igualdad, y en otros
casos recurren a formas diferentes de realizar las mismas operaciones, por ejemplo
resolviendo una resta a partir de una suma.
Construcción de igualdades. Ambos tipos de explicaciones, de pensamiento relacional y
de cálculo, también se hacen manifiestas cuando los alumnos construyen sus propias
igualdades. Se identifica el uso de estrategias de cálculo en la construcción de una
igualdad cuando es necesario calcular el valor numérico de ambos miembros para
comprobar si es verdadera o falsa, no siendo posible deducir la igualdad de los
miembros a partir del uso de una relación o propiedad aritmética básica (Ej. 15 – 3 = 8 +
4 y 8 + 3 = 13 – 2).
En cambio se identifica el uso de estrategias de pensamiento relacional en la
construcción de una igualdad cuando se puede afirmar su veracidad o falsedad mediante
el uso de pensamiento relacional, sin necesidad de operar para calcular el valor
numérico de sus miembros (Ej. 1.000 + 2.000 = 1.000 + 2.000 y 40 – 10 = 40 – 50).
Entendemos que en estos casos el alumno ha recurrido a su conocimiento de la
estructura de la aritmética para construir la igualdad.
En las igualdades verdaderas y falsas construidas por los alumnos, se identifica el uso
de las mismas diez estrategias de pensamiento relacional detectadas en la resolución de
igualdades5: Conmutatividad (Ej. 20 + 30 = 30 + 20V), Restricción del dominio de la
5
El superíndice V o F indica si estas igualdades fueron propuestas por los alumnos como verdaderas o
falsas.
277
operación (Ej. 15 – 1 = 15 – 20F), Composición-descomposición (Ej. 6 100 + 1000 =
1100V), Compensación (Ej. 12 + 4 = 13 + 3V), Complementariedad de la suma y la
resta (Ej. 10 + 5 – 10 = 50F), Mismidad (Ej. 19 – 9 = 19 – 9V), Similitud de estructura
(Ej. 15 – 15 = 0 – 0V), Magnitud (Ej. 1000 + 1000 = 1F), Cero neutro (Ej. 100 + 0 =
100V) y a - a = 0 (Ej. 5 – 5 = 0V).
Además, se identifican dos estrategias que no se basan en el cálculo ni tampoco en
pensamiento relacional. Una de estas estrategias consiste en construir igualdades falsas
a partir de igualdades verdaderas modificando únicamente uno de los términos. Por
ejemplo a partir de la igualdad verdadera 18 – 8 = 17 – 7 una alumna obtiene la
igualdad falsa 18 – 8 = 17 – 14. La otra estrategia consiste en la construcción de
igualdades, a partir de una igualdad dada o construida previamente, alterando la
disposición de los términos. Por ejemplo a partir de la igualdad 12 – 4 = 13 + 5 se
obtiene la igualdad 4 + 12 = 13 – 5 y 5 + 13 = 4 - 12. Esta estrategia es utilizada bajo la
suposición de que las igualdades que están formadas por los mismos términos tienen el
mismo carácter de veracidad o falsedad. De este modo algunos alumnos construyen, a
partir de una igualdad que saben que es verdadera (falsa), otras que contienen los
mismos términos dispuestos de manera diferente, como propuesta de otras igualdades
verdaderas (falsas).
Conclusiones
Este trabajo nos permite mostrar parte de la potencialidad de la propuesta Early-Algebra
y describir una intervención en el aula en la línea de esta propuesta. En este caso nos
centramos en el pensamiento relacional como guía hacia un trabajo aritmético no
computacional. Como se ha mostrado, los alumnos de tercero de primaria son capaces
de desarrollar y utilizar pensamiento relacional en la resolución de igualdades
numéricas. La consideración de igualdades numéricas especialmente diseñadas a partir
de relaciones y propiedades aritméticas básicas y el promover el uso de múltiples
enfoques para la resolución de las igualdades fueron dos de los elementos clave de
nuestra intervención en el aula.
Los distintos tipos de estrategias detectadas en la resolución y construcción de
igualdades numéricas por parte de los alumnos muestran el modo en que manifiestan
este tipo de pensamiento en este contexto. Estas manifestaciones expresan su
comprensión de importantes propiedades aritméticas así como de la estructura de las
6
En este ejemplo se reconoce el uso de la estrategia composición-descomposición porque el alumno
utiliza la estructura del sistema numérico decimal en la construcción de la igualdad al descomponer 1100
en unidades de distinto orden.
278
operaciones; ideas matemáticas fundamentales que habitualmente no son explicitadas en
el aula. De este modo la enseñanza de la aritmética es menos computacional y los
alumnos desarrollan un aprendizaje semántico de la aritmética tomando conciencia de la
estructura que subyace.
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281
282
COMUNICACIONES ORALES/Individual papers session
SESIÓN/SESSION III
SÁBADO/Saturday 6
19.45-21.30
SESIÓN COMUNICACIONES/ Individual paper session (III)
Una aplicación informática para enseñar conceptos numéricos iniciales a
niños de 5 a 7 años.
C. Alcalde, J. I. Navarro, M. Aguilar, E. Marchena, G. Ruiz y J. García
Un estudio sobre la comprensión de las cuatro operaciones aritméticas en
niños de educación infantil.
Mª Oliva Lago Marcos, Sonia Caballero Reales, Purificación Rodríguez
Marcos y Laura Jiménez Márquez.
¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del uno, dos,
tres? Irma Fuenlabrada
Espacio Europeo de Educación Superior: Implicaciones para el Aprendizaje
de los Escolares.
José Luis Lupiáñez Gómez, Pablo Flores Martínez y Isidoro Segovia Álex
La narración como metodología de instrucción de las matemáticas en
educación primaria: estudio de caso único.
Francesca Marí Sabater y Mª Dolores Gil Llario
Nanci Bell &Jennifer Egan
Infantil: Análisis cualitativo de una situación de juego.
Carlos de Castro Hernández y Beatriz Escorial González
283
Una aplicación informática para enseñar conceptos numéricos iniciales a niños de
5 a 7 años
Concepción Alcalde Cuevas, José. I. Navarro Guzmán, Manuel Aguilar Villagrán,
Esperanza Marchena Consejero, Gonzalo Ruiz Cagigas* y Jesús García Gallardo.
Departamento de Psicología
*Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos
Universidad de Cádiz
Nota: Este trabajo ha sido financiado por el proyecto de investigación BSO2003-04188 del MEC. Correspondencia a
la Dra. C. Alcalde, Departamento de Psicología. Facultad de Ciencias de la Educación [email protected]
284
RESUMEN
La necesidad de mejorar la calidad de los resultados de los aprendizajes de las
matemáticas ha llevado a enfocar algunas investigaciones en cómo incrementar el
rendimiento, destacando la importancia del desarrollo de la matemática temprana.
Nuestra comunicación presenta un prototipo de software para el desarrollo de
habilidades matemáticas en niños de educación infantil y primer ciclo de Educación
Primaria. Las actividades desarrolladas se enmarcan dentro de la teoría de Gelman y
Gallistel (1978), la teoría de Piaget y la adquisición de los principios que dichos autores
plantean en el niño. En concreto se desarrollan actividades dirigidas a adquirir el conteo,
la comparación, la clasificación, la seriación y la combinación como estrategia de
resolución de problemas. Se presentan las características del software, el proceso de
desarrollo informático y las diferentes tareas que se enseñan a través de este
procedimiento.
INTRODUCCIÓN
En los últimos años, los sistemas educativos de muchos países occidentales han
puesto gran énfasis en el aprendizaje de las matemáticas con la finalidad de mejorar los
resultados en este área de conocimiento (PISA, 2003) y prevenir la aparición de
dificultades de aprendizaje. Uno de los enfoques fundamentales en educación
matemática se ha centrado en la denominada matemática temprana (early mathematics).
Sirvan de ejemplo los currícula de matemáticas de países como Gran Bretaña, Nueva
Zelanda y USA (Wright, Martland y Stafford, 2000). Por ejemplo, en los “Principios y
Estándares para la Educación Matemática” del National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM, 2002), se concreta una serie de recomendaciones para el
desarrollo de la matemática temprana, estableciéndose un primer nivel en los estándares
que cubre desde el pre-kindergarten al segundo curso de Educación Primaria. Como en
los estándares anteriores, es una característica común la creencia de que todos los
estudiantes deben aprender matemáticas de manera significativa, y eso requiere ser
capaz de usar las matemáticas en la vida diaria y en el trabajo, algo que parece
importante para la vida en el siglo XXI.
Incidiendo en esta importancia, Bryant y Nunes (2002) han sugerido que la base
del desarrollo matemático de los niños es el pensamiento lógico, la enseñanza del
sistema de numeración convencional y el aprendizaje significativo y contextual izado de
las matemáticas. En la investigación sobre matemática temprana se describe el
285
constructo “number sense” (sentido numérico o desarrollo numérico) como un
conocimiento del niño que se relaciona con el rendimiento y la instrucción matemática.
Una revisión sobre el polémico origen de este constructo puede encontrarse en PérezEcheverría y Scheuer (2005).
Las aplicaciones informáticas que presentamos en esta comunicación van
dirigidos al aprendizaje de conceptos matemáticos. Para su diseño partimos, en primer
lugar, del análisis de las actividades que considerábamos necesarias para cumplir los
objetivos de aprendizaje propuestos y, en segundo lugar , las características básicas que
debíamos tener en cuenta para su adaptación a la población a la que nos dirigíamos.
Las actividades desarrolladas se enmarcan dentro de la teoría de Gelman y
Gallistel (1978), la teoría de Piaget y la adquisición de los principios que dichos autores
plantean en el niño. Estas se concretaron en actividades dirigidas a adquirir las
habilidades necesarias para el recitado de la secuencia numérica, la adquisición de la
estabilidad en el recuento, el establecimiento del valor de cardinalidad de los números,
la irrelevancia del orden en el que se cuenten los objetos para su valor cardinal, la
comparación, clasificación y seriación de objetos y la combinación como estrategia de
resolución de problemas.
El diseño de los programas informáticos debía atenerse a las siguientes
características:
•
Facilitar los aprendizajes.
•
Estar adaptado al objetivo de enseñanza-aprendizaje que se quiere
desarrollar
•
Ser motivante, lúdico, atractivo y reforzante para el alumno.
•
Ser sencillos y de fácil utilización.
•
Estar sustentado en la teoría del aprendizaje.
•
Ser interactivo.
•
Tener diferentes niveles de complejidad.
•
Facilitar la generalización de los aprendizajes.
•
Estar adaptado a las características de la población a la que se dirige
El software utilizado para el desarrollo de las aplicaciones informáticas del
primer módulo fue Authorware versión 4.03 de Macromedia, Inc. Se trata de un sistema
de autor multimedia que emplea la metáfora de programación de “flujo de iconos”,
posiblemente el paradigma que permite más rapidez en la elaboración de este tipo de
286
programas. La programación consiste básicamente en ir colocando sobre una línea de
flujo, que indica el avance del programa, iconos que modifican y controlan dicha línea
(iconos de decisión e interacción), e iconos de elementos multimedia (iconos de
visualización, sonido, animación, movimiento y cálculo).
La gran variedad de elementos y formatos que admite este software, así como el
importante control que permite sobre todos ellos, lo convirtieron en una de las
herramientas más potentes del mercado. Por otro lado, la sencillez de desarrollo, ya que
está orientado hacia programadores no expertos, permite una rápida producción que en
ordenadores tan rápidos como los actuales se ejecutan con fluidez, justificando su uso
frente a otras técnicas de programación.
En el desarrollo del segundo y tercer módulo hemos utilizado como software de
autor Flash MX, también de Macromedia Inc. Flash emplea la metáfora de “película”
para la programación, que consiste en ir colocando objetos y símbolos (el reparto) sobre
una línea de tiempo (los fotogramas) para sincronizarlos, y mediante un lenguaje de
programación orientado a objetos (ActionScript) establecer las acciones a desarrollar. Es
un paradigma más complejo que el de “flujo de iconos” y por tanto el desarrollo de
programas es más lento, pero en cambio presenta la ventaja de permitir crear programas
tanto para Internet como para su distribución en soportes físicos como el CD-ROM.
Los archivos SWF (Shockwave Flash), que genera Flash, se han convertido en un
estándar de Internet, existen plugins para los principales navegadores y algunos
sistemas operativos lo incorporan ya de forma nativa. En las aplicaciones sólo
utilizamos gráficos vectoriales, frente a los mapas de bits del primer módulo. De este
modo los tamaños de los archivos se mantienen pequeños, para su uso directo en
Internet, y presentan también la ventaja de poder reproducir la aplicación a muy
diferentes tamaños (incluso sobre PDA) sin que se deteriore la calidad gráfica.
Al ser Flash una herramienta de desarrollo pensada para Internet, posee
limitaciones, por motivos de seguridad, para almacenar datos y realizar acciones en los
ordenadores de los usuarios. Para los programas que distribuimos en CD-ROM, que
necesitan trabajar con una base de datos sobre el propio ordenador local, hemos
superado esto creando los ejecutables con el software MDM Zinc 2, que añade
funcionalidades a cualquier programa desarrollado con Flash.
PROCESO DE ELABORACIÓN DE LA APLICACIÓN INFORMÁTICA
Se siguió una secuencia de seis pasos:
287
1. Diseño y realización de cada una de las pantallas que constituyen las actividades
de aprendizaje. Para la realización de las pantallas tuvimos en cuenta las
siguientes características: adecuación del dibujo, selección del color,
organización de las pantallas y presentación clara y adecuada a los usuarios.
2. Selección de la voz para la grabación del texto. Seleccionamos voces infantiles
por resultar más atractivas para este tipo de usuarios.
3. Diseño y realización de las pantallas adicionales:
a. Pantalla presentación de cada uno de los módulos del programa de forma
intuitiva y con ayuda de voz.
b. Pantalla de presentación de los diferentes niveles de complejidad de cada una
de las actividades, para que mediante iconos, formas, colores y voces el
usuario pueda acceder a la actividad y nivel deseado.
c. Opción oculta de introducción del código del usuario. Para que el
profesorado, si lo desea, pueda almacenar los resultados para su posterior
evaluación y que no interrumpa la actividad normal de los niños.
4. Elaboración de la base de datos en Microsoft Access, donde se almacenan los
resultados obtenidos en cada una de las actividades, si se estableció un código de
usuario.
5. Repetidas pruebas de resultados a través de diferentes usuarios.
6. Reelaboración de la aplicación de informática tras feedback de los usuarios de
prueba.
"JUGANDO CON LOS NÚMEROS".
El software Jugando con los Números, (Navarro, Ruiz, Alcalde, Aguilar y
Marchena, 2005) es un programa destinado al desarrollo, adiestramiento y refuerzo de
habilidades de pensamiento matemático. Las actividades del programa se agrupan en
tres grandes bloques, en función del tipo de habilidad matemática que enseña:
BLOQUE 1. Cuatro programas para el aprendizaje de conceptos relacionados con la
adquisición del número y la habilidad de contar: "Aprendiendo a Contar", "Cadena
de Números", “Calcular” y "Comenúmeros".
BLOQUE 2. Tres programas para el aprendizaje de conceptos relacionados con:
“Comparaciones”, “Clasificaciones” y “Seriaciones”.
BLOQUE 3. Un programa para el aprendizaje de conceptos relacionados con la
resolución de problemas: “Combinaciones”
288
Está dirigido especialmente a los alumnos escolarizados en el segundo ciclo de
Educación Infantil y primer ciclo de Primaria. Una de las características más
significativas de este software es la facilidad de moverse a través de él. Gracias a un
sencillo sistema de navegación, se puede acceder a los distintos ejercicios y niveles
prácticos. De forma intuitiva, ayudado por iconos claros, el niño puede pasar de un
programa a otro con gran facilidad, sin una excesiva ayuda del adulto.
Los programas permiten la opción de guardar en una base de datos los resultados
del alumno en cada sesión de trabajo (para ello el profesor deberá introducir el código
correspondiente al alumno, y automáticamente el ordenador clasificará la actividad y
recogerá los resultados). De esta forma, el profesor u orientador podrá tener constancia
de la evolución de sus estudiantes.
El orden de presentación de las actividades se realiza de forma aleatoria. Esta
característica hace más novedosa cada una de las ejecuciones prácticas evitando la
posibilidad de respuestas automáticas y memorísticas.
EL PRIMER MÓDULO DE JUGANDO CON LOS NÚMEROS se inicia con
una pantalla de presentación (Fig.1) que permite acceder a los diferentes programas:
"Aprendiendo a Contar", "Cadena de Números", “Calcular” y "Comenúmeros".
Figura 1. Pantalla de presentación de los programas
"APRENDIENDO A CONTAR" y "CADENA DE NÚMEROS"
Los programas: "Aprendiendo a Contar" y "Cadena de Números", tratan de
introducir progresivamente, mediante la presentación de diferentes niveles de dificultad,
289
al alumno en los primeros conceptos matemáticos, desarrollando la habilidad del
conteo. En los dos programas, todos los niveles presentan un botón de ayuda, que
pulsándolo repite la orden de trabajo solicitada y un botón de salida del programa que
lleva a la pantalla de presentación del programa en el que se encuentra y permite
acceder a otro nivel. Si los que se desea es regresar a la pantalla de inicio general se
debe volver a pulsar el botón de salida.
“APRENDIENDO A CONTAR” inicia al alumno en el aprendizaje de la secuencia
numérica; mediante actividades dirigidas a diferenciar entre los objetos contados y no
contados. Presenta cuatro subprogramas, cada uno de ellos presentan diferentes niveles
de complejidad:
"APRENDIENDO A CONTAR del 1 al 5” y "APRENDIENDO A CONTAR del 1
al 9": En estos dos subprogramas el número de objetos que aparecen en la pantalla es
igual al número que se solicita contar y el ordenador va nombrando los números de la
secuencia solicitada cuando tocan uno de los objetos excepto en el nivel cuatro y
aparece en pantalla el número correspondiente al contado, siendo su nivel de
complejidad relacionado con:
•
Primer nivel: el objeto contado desaparece.
•
Segundo nivel: el objeto contado se modifica.
•
Tercer nivel: el objeto contado no cambia.
•
Cuarto nivel: el objeto contado no cambia.
"APRENDIENDO A CONTAR del 1 al 15” y "APRENDIENDO A CONTAR del
1 al 20". En estos dos subprogramas los objetos no cambian y el ordenador va
nombrando los números de la secuencia solicitada cuando tocan uno de los objetos
excepto en el nivel cuatro y aparece en pantalla el número correspondiente al contado,
siendo su nivel de complejidad relacionado con:
•
Primer nivel: Los objetos aparecen ordenados.
•
Segundo nivel: Los objetos aparecen desordenados.
•
Tercer nivel: El número de objetos que aparecen es mayor que el solicitado.
•
Cuarto nivel: El número de objetos que aparecen es mayor que el solicitado.
La pantalla de presentación del programa incluye los cuatro subconjuntos
correspondientes a cada uno de los subprogramas donde se reflejan los distintos niveles
de complejidad en las actividades, esto es: (a) El número final del conteo, indicado por
el color de los marcianillos (cuanto más rojo más elevado es el número); y (b) La
290
dificultad de la tarea, indicada por la posición de las antenas de los marcianillos (cuanto
más elevadas más difícil).
Cada uno de los subprogramas de "APRENDIENDO A CONTAR" se compone
de 5 actividades de conteo (figura 2). En cada una de ellas se presenta un número
aleatorio de objetos (hasta cinco, hasta nueve, hasta quince, hasta veinte, dependiendo
del subprograma en el que se esté trabajando) y se pedirá al alumno que cuente hasta un
número determinado y que cuando termine pulse la palanca roja. El alumno deberá
responder pulsando, con el ratón, sobre los objetos.
Figura 2. Actividades de contar.
Después de que el alumno pulse la palanca roja, indicando que ha terminado la
tarea solicitada, si la respuesta es correcta, aparece una pantalla de refuerzo, mientras el
ordenador presenta fuegos artificiales con sonido. Por el contrario, cuando no es
correcta, el ordenador produce una ayuda donde le indica cuál debería haber sido su
respuesta correcta.
El feedback se adapta al tipo de error cometido: Si se pasa o no llega al número
solicitado y pulsa la palanca roja nos indica el error y el número en el que debería
haberse parado. Si el alumno cuenta dos veces el mismo objeto, el programa interrumpe
el conteo, indica el error de repetición y el número al que debería haber llegado
contando. Las actividades posteriores se llevan a cabo con el mismo procedimiento, con
el único cambio del modelo presentado aleatoriamente y la orden relacionada con el
número de objetos que componen la secuencia numérica.
"CADENA DE NÚMEROS" (Fig. 3). Este programa consolida en el alumno el
aprendizaje de la secuencia numérica, mediante actividades dirigidas a la adquisición
291
del recuento hacia delante y hacia atrás, empezando a partir de un número
predeterminado menor que diez. Progresivamente este inicio podrá ser desde las
decenas. Asimismo, estas actividades permitirán, no sólo la adquisición de la secuencia
numérica, sino la posibilidad de descubrir, mediante operaciones, cuantos números hay
entre ambos números solicitados. Presenta dos subprogramas: "CADENA DE
NÚMEROS hasta el diez" y "CADENA DE NÚMEROS hasta el veinte”.
Figura 3. Actividades “cadena de números”.
A su vez cada subprograma presenta nueve niveles de complejidad: En los
cuatro primeros niveles (N1, N2, N3, N4) su actividad se centra en contar hacia delante,
los cuatro siguientes (N5, N6, N7, N8) su actividad se centra en contar hacia atrás. El
último nivel (N9), solicita el número de casillas que hay entre los dos números
indicados, hacia delante o hacia atrás.
CONTEO HACIA DELANTE (N1, N2, N3, N4):
• Primer nivel: El ordenador señala la casilla de salida y la de llegada y recita la
secuencia solicitada cuando saltan a la siguiente casilla.
• Segundo nivel: El ordenador señala la casilla de salida y no la de llegada y recita la
• Tercer nivel: El ordenador no señala ni la casilla de salida ni la de llegada pero recita
la secuencia solicitada cuando saltan a la siguiente casilla.
• Cuarto nivel: El ordenador no señala ni la casilla de salida ni la de llegada y tampoco
recita la secuencia solicitada cuando saltan a la siguiente casilla.
CONTEO HACIA ATRÁS (N5, N6, N7, N8):
292
• Quinto nivel: El ordenador señala la casilla de salida y la de llegada y recita la
• Sexto nivel: El ordenador señala la casilla de salida y no la de llegada y recita la
• Séptimo nivel: El ordenador no señala ni la casilla de salida ni la de llegada pero
• Octavo nivel: El ordenador no señala ni la casilla de salida ni la de llegada y tampoco
CONTEO
DE
NÚMERO
DE
CASILLAS
ENTRE
DOS
NÚMEROS
SOLICITADOS (N 9):
Noveno nivel: El ordenador no señala ni la casilla de salida ni la de llegada y tampoco
recita la secuencia solicitada cuando saltas a la siguiente casilla. El alumno debe
descubrir, mediante una operación lógica, cual es el número de casillas intermedias.
Cada uno de los subprogramas de “CADENA DE NÚMEROS” se compone de
5 actividades de conteo. Cada una de estas actividades presenta, en la pantalla, un
laberinto de 20 casillas que aleatoriamente cambia su forma (en cada una de las casillas
y de forma secuencial aparece un número que va del uno al veinte).
La tarea que el
alumno debe realizar es el conteo, desde un número a otro, con la característica que el
número de partida no necesariamente comienza en el uno y pudiendo ser este conteo
hacia delante (N1, N2, N3 y N4) o hacia atrás (N5, N6, N7 y N8). Terminada la
actividad el alumno debe pulsar el botón rojo.
En los niveles: N1, N2, N5, N6 el
ordenador sitúa al marcianillo en la casilla de salida. El alumno deberá responder
arrastrando con el ratón el marcianillo de una casilla a la siguiente hasta el número
solicitado por el ordenador: marcado en los niveles N1 y N5 y no marcado en los
niveles N2 y N6. Un ejemplo de una posible actividad es: “El marcianillo se encuentra
en la casilla cinco. Cuenta hasta la casilla diez arrastrando al marcianillo de casilla en
casilla. Después pulsa la palanca roja”. Cada vez que el alumno arrastra el marcianillo
con el ratón a la siguiente casilla, el ordenador va recitando la secuencia numérica
solicitada.
En los niveles: N3 y N7 el ordenador le pide que sitúe el marcianillo en una
determinada casilla, cuando ha realizado la orden correctamente de dice que arrastre al
marcianillo con el ratón hasta una determinada casilla. Un ejemplo de una posible
actividad es: “Sitúa al marcianillo en la casilla cinco”. Si la respuesta es correcta: “Lo
293
has hecho muy bien. Cuenta hasta la casilla diez arrastrando al marcianillo de casilla
en casilla. Después pulsa la palanca roja”. Cada vez que el alumno arrastra el
marcianillo a la siguiente casilla el ordenador va recitando la secuencia numérica
solicitada. Si el alumno, en la primera orden, va a cualquier otra casilla el ordenador le
indica su error. Cuando realiza tres errores el ordenador le dice “demasiados errores” y
el ordenador sitúa al marcianillo en la casilla solicitada para indicarle la segunda tarea.
En los niveles N4 y N8 la tarea a desarrollar es igual que la de los niveles N3 y
N7. La diferencia es que cuando se arrastra el marcianillo, el ordenador produce un
sonido indicativo de que ha cambiado de casilla de forma correcta, pero no reproduce la
secuencia numérica.
Después de que el alumno pulse el botón rojo, en cualquiera de los niveles, si la
respuesta es correcta, aparece una pantalla de refuerzo, mientras el ordenador emite
aplausos producidos por los marcianillos. Por el contrario, cuando no es correcta, el
ordenador produce una ayuda adaptada al error cometido de la siguiente manera:
•
Cuando el error consiste en no llegar al número solicitado, el programa indica
el tipo de error y cuál hubiera sido la respuesta correcta.
•
Cuando el error consiste en pasarse del número solicitado, el programa
interrumpe el conteo, indica el tipo de error y la respuesta correcta.
En el nivel N9 el ordenador le pide que sitúe el marcianillo en una determinada
casilla, cuando ha realizado la orden correctamente de dice que cuente las casillas que
hay hasta una determinada y que la solución la dé marcando el número en la calculadora
o en el teclado. Un ejemplo de una posible actividad es: “Sitúa al marcianillo en la
casilla cinco”. Si la respuesta es correcta le dice: “Lo has hecho muy bien, cuenta
cuantas casillas hay hasta la casilla diez y márcalo en la calculadora o en el teclado”.
Si el alumno, en la primera orden, va a cualquier otra casilla el ordenador le indica su
error. Cuando realiza tres errores el ordenador le dice “demasiados errores” y sitúa al
marcianillo en la casilla solicitada para indicarle la segunda tarea.
Las actividades posteriores se llevan a cabo con el mismo procedimiento, con el
único cambio del modelo presentado aleatoriamente del laberinto y la orden relacionada
con el número del que parte y al que debe llegar
"CALCULAR". Con este programa pretendemos desarrollar en el alumno el concepto
del valor de cardinalidad de los números a través de actividades prácticas. Mediante la
presentación de diferentes tareas, el alumno descubrirá que sólo el último número del
proceso de recuento representa el valor o cantidad de objetos del conjunto concreto
294
contado. El programa se compone de cinco prácticas, que de manera aleatoria solicitan
al alumno que indique cuantos objetos hay, pudiendo oscilar el número desde uno hasta
veinte.
En cada una de las actividades el ordenador pide que cuente cuantos objetos
aparecen en la pantalla y que lo indique en la calculadora que aparece a la derecha de la
pantalla (fig. 4). Un ejemplo de una actividad es: “Cuenta cuantos caramelos hay y
márcalo en la calculadora”. Si la respuesta es correcta le dice: “cuatro, lo has hecho
muy bien” y aparece una pantalla de refuerzo donde los marcianillos bailan al son de
una música.
Figura 4. Actividades de calcular.
Si el alumno no da la respuesta correcta, el ordenador dice el número que el
alumno ha marcado, le dice que no está bien y le indica la respuesta correcta: “tres, no
está bien. La solución correcta era cuatro”. Después, el ordenador le plantea una nueva
actividad hasta cubrir las cinco que forman el programa.
"COMENÚMEROS". Con el programa pretendemos desarrollar en el alumno la
discriminación gráfica de los números, así como la asociación con su respectiva
etiqueta a través de actividades prácticas.
Pulsando en el icono correspondiente al programa en la pantalla de presentación
de "Jugando con los Números" accedemos a la pantalla de inicio del programa donde se
explica la dinámica del juego y el tipo de actividad a desarrollar. La instrucción que se
295
facilita al niño/a es: “Para jugar debes pulsar en el teclado el número que corresponde
al que aparece el caramelo. Pulsa en el marcianillo para comenzar”. El programa se
compone de veinte actividades. De manera aleatoria van bajando caramelos con un
número dibujado, que va desde el cero hasta el nueve. El alumno debe marcar en el
teclado ese mismo número. Cuando el alumno marca el número correcto que aparece en
el caramelo, el marcianillo se lo come, mientras dice el nombre del número
correspondiente. Si la respuesta no es correcta, el marcianillo enrojece, le da una especie
de calambre y el caramelo cae al suelo explotando. El alumno puede rectificar el error si
antes de que el caramelo caiga, marca en el teclado el número correcto, por lo que el
marcianillo se comerá el caramelo y etiquetará el número solicitado. Después, el
ordenador le plantea una nueva actividad hasta cubrir las veinte que forman el
programa. Al finalizar el programa aparece una pantalla de resultados donde se
designan los siguientes datos: el número de aciertos (bocados), el número de errores
(explosiones), el número de errores intermedios (calambres)(Fig.5) y una puntuación
final. Haciendo un clic con el ratón en el marciano que aparece en esta pantalla
comienza de nuevo el juego.
Figura 5. Actividad “comenúmeros”.
SEGUNDO MÓDULO DE “JUGANDO CON LOS NÚMEROS” se compone de
tres programas: “Comparaciones”, “Clasificaciones” y “Seriaciones” que tratan de
introducir progresivamente, mediante la presentación de diferentes niveles de dificultad,
dichos concepto.
296
En los tres programas, todos los niveles presentan un botón de ayuda, que
pulsándolo repite la orden de trabajo solicitada y un botón de salida del programa que te
lleva a la pantalla de presentación del programa en el que te encuentres y te permite
acceder a otro nivel. Si lo que deseas es regresar a la pantalla de inicio general debes
volver a pulsar el botón de salida. Todos los programas permiten en su una pantalla de
inicio pulsar el botón de empezar, para iniciar las actividades o pulsar el botón de salida
para regresar al menú principal.
“COMPARACIONES” inicia al alumno en el aprendizaje del concepto de
comparación de objetos. Mediante la presentación de diferentes tareas, el alumno
descubrirá las diferencias y similitudes entre dos o más situaciones no equivalentes,
relacionadas con el cardinal, el ordinal y la medida. Presenta dos subprogramas:
"COMPARACIONES NIVEL 1” y "COMPARACIONES NIVEL 2”.
"COMPARACIONES NIVEL 1” presenta 12 actividades, 6 actividades dirigidas a
diferenciar objetos entre sí y 6 actividades dirigidas a diferenciar objetos frente a un
modelo. Cada una de las actividades se representa en una pantalla con tres torres o filas
que aparecen aleatoriamente y cambian el número de cubos que los componen (hasta un
máximo de 10 cubos) y el color de los mismos. En cada una de las actividades el
ordenador le pide al niño que “señale la torre o fila que tiene más cubos o menos
cubos” (cuando la actividad es de comparación de objetos), o que “señale la torre o fila
que tiene igual número de cubos, más cubos o menos cubos que la torre blanca” (Fig.6)
(cuando la actividad es de comparación de un modelo con tres objetos). Si la respuesta
es correcta se escucha una voz de refuerzo (perfecto, muy bien, chuli, …). Por el
contrario, cuando no es correcta, el ordenador dice “no es correcto” e indica cuál
debería haber sido su respuesta correcta parpadeando la torre o fila solicitada y se inicia
otra actividad. El programa finaliza con una hoja de resultados donde se indican los
aciertos y errores cometidos. El usuario puede poner su código y grabar o imprimir
dichos resultados. El programa también permite, pulsando el botón de repetir, iniciar de
nuevo la actividad o pulsando el botón de salida regresar al menú inicial.
297
Figura 6. Actividades de comparación.
“COMPARACIONES NIVEL 2” se diferencia básicamente del nivel 1 en el tamaño
(son más pequeños) y cantidad de cubos que forman las torres y las filas (que pueden
llegar a 20 cubos), siendo el tipo de actividades similares.
“CLASIFICACIONES” inicia al alumno en el aprendizaje del concepto de
agrupamiento de objetos. Mediante la presentación de diferentes tareas, el alumno
descubrirá la clasificación y la posibilidad de distinguir entre objetos y grupos de ellos.
Presenta tres subprogramas: "CLASIFICACIONES NIVEL 1”, "CLASIFICACIONES
NIVEL 2” y "CLASIFICACIONES NIVEL 3”.
"CLASIFICACIONES NIVEL 1” presenta 3 actividades dirigidas a agrupar objetos
por una característica (el color). Cada una de las actividades se representa en una
pantalla, en la parte superior aparecen tres filas con el mismo número de cubos cada fila
(tanto el color como el numero de cubos que componen filas aparece aleatoriamente) y
tres sacos de los mismos colores. En cada una de las actividades el ordenador le pide al
niño que meta cada cubo en la bolsa de su color. Si la respuesta es correcta, cuando
termina de introducir todos los cubos escucha una voz de refuerzo. Por el contrario,
cuando no es correcta, el ordenador dice “no esta bien, ese cubo no va en esa bolsa
inténtalo de nuevo”, cuando comete dos errores en una misma actividad el ordenador le
dice “no esta bien, ese cubo no va en esa bolsa pruébalo en una nueva combinación”. El
298
programa finaliza con una hoja de resultados donde se indican los aciertos y errores
cometidos. El usuario puede poner su código y grabar o imprimir dichos resultados.
También el programa permite, pulsando el botón de repetir, iniciar de nuevo la
actividad o pulsando el botón de salida regresar al menú inicial.
Figura 7. Actividades de clasificación.
“CLASIFICACIONES NIVEL 2 y NIVEL 3” se diferencian básicamente del nivel 1
en la presentación de los cubos (en estos casos de forma desordenada) y en el número de
cubos por color (en el nivel 1 y 2 es siempre igual y en el nivel 3 cada grupo de cubos
tiene un número diferente) (Fig. 7).
“SERIACIONES”. Este programa inicia al alumno en el aprendizaje del concepto de
ordenación de objetos. Mediante la presentación de diferentes tareas, el alumno
descubrirá el orden en una serie de objetos discretos según un rango determinado.
"SERIACIONES NIVEL 1” presenta varias actividades dirigidas a discriminar grupos
de objetos que están ordenados de los que no están ordenados. Cada una de las
actividades se representa en una pantalla con cuatro grupos de objetos (solamente uno
de los grupos están ordenados bajo el criterio que se le indica y otro representa la
ordenación con el criterio opuesto). En cada una de las actividades el ordenador le pide
al niño que “señala el cuadrado donde los objetos están ordenados del mayor al menor
o del menor al mayor”. Si la respuesta es correcta escucha una voz de refuerzo
(Perfecto, muy bien, chuli, …). Por el contrario, cuando no es correcta, el ordenador
dice “no es correcto, los objetos que están ordenados de mayor a menor o de menor a
299
mayor son estos” e indica cual debería haber sido su respuesta correcta parpadeando y
se inicia otra actividad. El programa finaliza con una hoja de resultados donde se
indican los aciertos y errores cometidos y tiempo de la actividad. El usuario puede
poner su código y grabar o imprimir dichos resultados.
También el programa permite, pulsando el botón de repetir, iniciar de nuevo la
actividad o pulsando el botón de salida regresar al menú inicial.
El nivel 2 de “SERIACIONES” se diferencia del nivel 1 en que los objetos a ordenar
son números, no siendo necesario que aparezcan de forma consecutiva. Primero se
trabajan con números de una cifra y posteriormente con números de dos cifras.
El nivel 3 de “SERIACIONES” Las actividades se representa en una pantalla donde
en la parte superior aparecen un objeto o un número y en la parte inferior una serie de
objetos o números en un orden establecido.
En cada una de las actividades el ordenador le pide al niño que “sitúe este objeto
o este número donde le corresponda”. Si la respuesta es correcta escucha una voz de
refuerzo. Por el contrario, cuando no es correcta, el ordenador dice “no es correcto, el
objeto o el número debía colocarse en este lugar” e indica cual debería haber sido su
respuesta correcta y se inicia otra actividad.
El nivel 4 de “SERIACIONES”. Las actividades se representa en una pantalla donde
en la parte superior aparecen una serie de objetos o de números y en la parte inferior una
serie de rectángulos iguales. En cada una de las actividades el ordenador le pide al niño
que “ordena estos objetos o estos números de mayor a menor o de menor a mayor”. Si
la respuesta es correcta escucha una voz de refuerzo. Por el contrario, cuando no es
correcta, el ordenador dice “no es correcto, los objetos o los números no están
ordenados del mayor al menor o del menor al mayor” y se inicia otra actividad.
TERCER MÓDULO DE “JUGANDO CON LOS NÚMEROS” se compone del
programa de “Combinaciones”, que tratan de introducir al alumno progresivamente en
la resolución de problemas aritméticos de combinación
“COMBINACIONES” inicia al alumno en el aprendizaje de la resolución de
problemas denominados problemas de la parte y el todo. Presenta dos subprogramas:
"COMBINACIONES NIVEL 1” y "COMBINACIONES NIVEL 2”.
Todos los niveles presentan un botón de ayuda, que pulsándolo repite la orden
de trabajo solicitada y un botón de salida del programa que te lleva a la pantalla de
presentación del programa en el que se encuentra y le permite acceder a otro nivel. Si lo
300
que se desea es regresar a la pantalla de inicio general se debe volver a pulsar el botón
de salida.
"COMBINACIONES 1”. Este programa presenta 4 actividades donde se
trabajan problemas de carácter estático: se proporcionan los datos de las partes y se
pregunta por el todo. Cada actividad se representa en una pantalla. En la parte superior
aparecen dos rectángulos donde se colocan los objetos que componen las partes (el
número de objetos aparece aleatoriamente y cada parte presenta objetos de igual color)
y en la parte inferior otro rectángulo donde se van colocando los objetos de cada una de
las partes. En la parte derecha hay una calculadora donde el niño debe seleccionar el
número resultado de la unión (Fig. 8). El ordenador le pide al niño que arrastre todas las
estrellas blancas al rectángulo de abajo, cuando las ha colocado todas le dice que
arrastre las de color rosa. Cuando ha bajado todas las estrellas le pregunta “¿Cuántas
estrellas tienes en total? Señala en la calculadora el resultado del problema y después
pulsa el botón rojo”. Si la respuesta es correcta escucha una voz de refuerzo. Por el
contrario, cuando no es correcta, el ordenador dice “No es la solución correcta” y se
inicia una nueva actividad. El programa finaliza con una hoja de resultados donde se
indican los aciertos y errores cometidos. El usuario puede poner su código y grabar o
imprimir sus resultados. Pulsando el botón de repetir, se inicia de nuevo la actividad.
Pulsando el botón de salida se regresa al menú inicial.
Figura 8. Actividades de combinación, nivel 1.
“COMBINACIONES NIVEL 2” Este programa presenta 4 actividades donde se
trabajan problemas de carácter estático: en el enunciado del problema aparece el todo y
301
una de las partes y nos preguntan por la otra parte. Cada actividad se representa en una
pantalla. En la parte superior aparecen un rectángulo donde con aparece “el todo”
(conjunto de estrellas de color blancas y rosas) y dos rectángulos donde se colocan los
objetos que componen “las partes” (el número de objetos es aleatorio y cada parte
presenta objetos de igual color). En la parte derecha hay una calculadora donde el niño
debe seleccionar el número que resulta de la diferencia del todo menos una de las partes
(Fig. 9). El ordenador dice “hay un total de … (el número que de forma aleatoria
determina el todo) estrellas, … (el número que de forma aleatoria determina una de las
partes) son rosas y el resto blanca. Arrastra las estrellas blancas al rectángulo vacío.
Cuando han bajado todas las estrellas le pregunta ¿Cuántas estrellas blancas o rosas
hay? Señala en la calculadora el resultado del problema y después pulsa el botón rojo”.
Si la respuesta es correcta escucha una voz de refuerzo. Por el contrario, cuando no es
correcta, el ordenador dice “No es la solución correcta” y se inicia una nueva actividad.
Figura 7. Actividades de combinación, nivel 2.
El feedback se adapta al tipo de error cometido: Si intenta bajar estrellas que no
pertenecen a “la parte” solicitada nos indica el error y nos da de nuevo la orden, lo
mismo ocurre cuando es solicitado “el todo”. De la misma forma te indica que no
puedes mover ninguna estrella de otra parte hasta finalizadas las de la parte solicitada.
Las actividades posteriores se llevan a cabo con el mismo procedimiento, con el único
cambio del modelo presentado aleatoriamente y la orden relacionada con la actividad.
El programa finaliza con una hoja de resultados donde se indican los aciertos y errores
cometidos. El usuario puede poner su código y grabar o imprimir dichos resultados.
302
RECOMENDACIONES PARA LA REALIZACIÓN DE “JUGANDO CON LOS
NÚMEROS” EN CLASE
“Jugando con los números” (Navarro, et al., 2005) es un software que está
diseñado para alumnos de 5, 6 y 7 años. También está pensado para aquellos alumnos
mayores que tienen alguna dificultad en el aprendizaje de conceptos iniciales de la
matemática escolar. La puesta en práctica debe ser lo más individualizada posible y con
el apoyo suficiente del adulto. La supervisión de éste sería muy aconsejable para no
llevar a cabo una repetición asistemática de las tareas. Aunque el sentido lúdico está
muy presente a lo largo del diseño de todo el software, habría que limitar su ejecución
según criterios profesionales e individualizados en cada caso. No obstante, por razones
de eficiencia, un tiempo situado entre los 20 y 30 minutos de actividad con el programa
cada día (o en días alternos) sería lo recomendado. Finalmente, el trabajo con “Jugando
con los números” podría estar incorporado al programa general de actividades del
profesor.
REFERENCIAS
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Goswami (Ed.). Blackwell handbook of childhood cognitive development (pp.
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Children (NAEYC) and the National Council of Teachers of Mathematics
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303
Wright, R.J., Martland, J., y Stafford, A. (2000). Early Numeracy: Assessment for
Teaching and Intervention. London: Paul Chapman Publications/Sage.
304
UN ESTUDIO SOBRE LA COMPRENSIÓN DE LAS CUATRO OPERACIONES
ARITMÉTICAS EN NIÑOS DE EDUCACIÓN INFANTIL.
Mª Oliva Lago Marcos, Sonia Caballero Reales, Purificación Rodríguez Marcos y Laura
Jiménez Márquez.
Universidad Complutense de Madrid
E-mail: [email protected]
En la presente investigación se pone de manifiesto que el conocimiento aritmético de
los niños de Educación Infantil no se limita a las estructuras aditivas, sino que abarca
también las multiplicativas. En efecto, las primeras investigaciones tuvieron por objeto
el estudio de la adición y substracción y comprobaron, entre otras cosas, que los niños
pequeños desarrollaban distintas estrategias, normalmente basadas en la representación
directa, para resolver con cierto grado de éxito problemas con estructuras semánticas de
Cambio y Combinación (p.e., Lago y Rodríguez, 1999; Carpenter, Hiebert y Moser,
1981; Resnick, 1983; Siegler, 1987). Más recientemente, aunque los estudios sobre las
estructuras multiplicativas resultan especialmente escasos en niños de corta edad,
devuelven una imagen similar (p.e., Correa, Bryant y Nunes, 1998; Nunes y Bryant,
1997; Squire y Bryant, 2002). Además, muy pocos trabajos analizan conjuntamente las
cuatro operaciones. Una notable excepción la constituye el estudio de Carpenter, Ansell,
Franke, Fennema y Weisbeck (1993) en el que comprobaron que valiéndose de una
estrategia consistente en representar con objetos las acciones y relaciones descritas en
los enunciados de los problemas, los niños de E.I. solucionaban con cierto grado de
éxito problemas de adición, sustracción, multiplicación y división. No obstante, los
profesores que formaron parte del estudio habían recibido entrenamiento previo en el
programa CGI, lo que podría explicar, en parte, el éxito infantil. Por este motivo, en la
presente investigación hemos analizado nuevamente la competencia de los niños en las
cuatro operaciones aritméticas y hemos añadido un factor no contemplado por
Carpenter et al., la Estructura Semántica de los problemas. En concreto, presentamos a
18 niños de 4-5 años y 18 de 5-6 años, por una parte, problemas sencillos de Cambio de
adición y sustracción y problemas de Sumas/Restas Repetidas de multiplicación y
división y, por otra, problemas estáticos de Comparación en las cuatro operaciones. Se
realizó un ANOVA mixto 2 (Grupo: 4-5 años vs. 5-6 años) x 4 (Operación: adición vs.
substracción vs. multiplicación vs. división) x 2 (Estructura Semántica: cambio/sumas
repetidas/restas repetidas vs. comparación) con medidas repetidas en los dos últimos
factores y los resultados indicaron que eran significativos los factores Grupo y
Estructura Semántica, así como la interacción triple Grupo*Estructura
Semántica*Operación. En general, los niños de 5-6 años alcanzaron un nivel de éxito
ligeramente superior (M=1.215) al de 4-5 años (M=0.819) y, con independencia de la
edad, los problemas de Comparación fueron extremadamente complejos para ellos (M
=0.375). Por último, el análisis de la interacción triple Grupo*Operación*Estructura
Semántica reveló que: a) en el grupo de edad de 4-5 años los problemas de división eran
los más difíciles cuando se formulaban en términos comparativos, mientras que en
Restas Repetidas eran los más sencillos y b) en el grupo de 5-6 años los problemas más
sencillos eran los de multiplicación en Sumas Repetidas y los más complicados los de
Comparación. Finalmente, también se ha prestado especial atención a los
procedimientos empleados por los niños y se han propuesto niveles de desarrollo.
305
¿CÓMO HACER PARA QUE LOS NIÑOS DEL PREESCOLAR VAYAN MÁS
ALLÁ DEL UNO, DOS, TRES?
M. en C. Irma Fuenlabrada
DIE/CINVESTAV
México
En el marco de una investigación (en curso) sobre los procesos de acceso a la
simbolización matemática de los primeros números, sus usos y funciones; se estudian
los casos de 9 niños, de tres grupos de edad del preescolar.
El recurso metodológico es el diseño y experimentación de una ingeniería
didáctica (Artigue, 1995); se retoman estudios sobre la enseñanza de los primeros
números (Ávila, 1988; Peltier, 1995) y de la didáctica de las matemáticas en torno a la
importancia de la simultánea recuperación y problematización de los saberes previos de
los sujetos de aprendizaje, así como el acceso a su representación simbólica. El objeto
de la secuencia didáctica inmerso en la ingeniería fue la enseñanza de los números a
través de situaciones de conteo postulando su interdependencia funcional con
situaciones problemáticas que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y
repartir objetos.
Particularmente, interesa presentar sólo el caso de Mariana, Luis y Emiliano
(3ero. de preescolar) porque ellos al inicio de la experiencia que se reporta, disponían
del conocimiento de la serie numérica oral en un rango numérico no mayor al 20;
aunque sus posibilidades de conteo estaban situadas en colecciones menores al 10 y no
empleaban espontáneamente el registro de los datos como recurso de apoyo en la
resolución de problemas; no obstante ser capaces de realizar con éxito tareas explícitas
de correlación entre una colección y el registro numérico de su cardinalidad y viceversa.
Con base en estos antecedentes el análisis de estos casos devela cómo el cálculo
mental de las relaciones aditivas de los primeros 6 números -realizada a través de las
fichas de dominó-, puede constituirse en un apoyo importante en la resolución de
problemas que conllevan acciones de quitar, igualar y comparar colecciones; en los que
los niños evocan la distribución geométrica de los puntos en el dominó como una
estrategia de solución. Mientras que para los problemas que implican agregar, reunir o
repartir objetos las estrategias de conteo directo de colecciones fueron más frecuentes.
Asimismo, el análisis evidencia cómo recuperar las posibilidades del cálculo mental de
los primeros números en una secuencia de enseñanza y, simultáneamente, extenderlo
explicitando sus alcances e introduciendo al cálculo escrito como recurso alternativo en
pos de la eficacia, que deberá ser resuelto en el primer ciclo de la escuela primaria.
BIBLIOGRAFÍA
Artigue, M. (1995). Ingeniería Didáctica. En: P. Gómez (Ed.), Ingeniería Didáctica en
educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México (DF): Grupo Editorial
Iberoamérica
Ávila A. (1988). La enseñanza oficial de las matemáticas elementales en México; su
psicopedagogía y transformación (1944-1986). Colección cuadernos de cultura
pedagógica. Serie investigación No. 6. México (DF). SEP-UPN.
Peltier M. L. (1995). Tendencias de la investigación en didáctica de las matemáticas y la
enseñanza de los números en Francia. Educación Matemática. 7 (2). México (DF):
Grupo Editorial Iberoamérica
306
Espacio Europeo de Educación Superior: Implicaciones para el Aprendizaje de los
Escolares7
Jose Luis Lupiáñez Gómez
Pablo Flores Martínez
Isidoro Segovia Álex
Dpto. Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada.
En este trabajo describimos el modo de afrontar y adaptar a las nuevas
orientaciones que plantea el EEES la formación matemática de los Maestros de
Educación Primaria, dentro del marco legal actual. En primer lugar presentamos los
elementos característicos de los futuros títulos en ese nuevo marco, después ponemos de
manifiesto el marco legal de los títulos actuales, que debe ser tenido en cuenta en
cualquier modificación que pueda hacerse. A continuación describimos el proceso de
adaptación y los resultados obtenidos en el caso de la formación en Didáctica de la
Matemática de los Profesores de Educación Primaria que se realiza como una
experiencia piloto en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad
de Granada. Finalmente reflexionamos en torno a las implicaciones que tiene una
actividad formativa de este tipo. Estas implicaciones se refieren tanto a la formación de
los futuros maestros y al aprendizaje de sus escolares, como a la propia labor de los
formadores y al desarrollo del área de conocimiento.
1. PARÁMETROS DEL CAMBIO HACIA EL EEES
En el año académico 2004/05, los primeros cursos de algunas de las titulaciones
de la Universidad de Granada experimentaron cambios con motivo de la próxima
implantación del Espacio Europeo de Educación Superior (EEES). Una de esas
titulaciones fue la de Maestro en la especialidad en Educación Primaria, que se imparte
en la Facultad de Ciencias de la Educación de dicha Universidad.
La intención final del EEES es que en 2010 las universidades adopten un sistema
de titulaciones comprensible y comparable en todos los países de la Unión Europea. En
7
Este documento se ha elaborado dentro del Grupo de Investigación “Didáctica de la Matemática.
Pensamiento Numérico” (FQM-193), del Plan Andaluz de Investigación de la Junta de Andalucía.
307
este sentido se han establecido orientaciones que en algunos casos ya se han plasmado
en leyes en nuestro país, para la elaboración de las futuras titulaciones. Una de ellas es
el denominado ‘crédito europeo’ o crédito ECTS (European Credits Tranfers System),
que implica un cambio en la forma de medir el tiempo lectivo. Otra orientación la
constituye la caracterización de cada titulación mediante las competencias generales y
profesionales que definan el perfil profesional del titulado. Estas dos directrices
pretenden implicar un cambio sustancial en la actividad docente que estará centrada en
el estudiante, y en donde el papel del profesor será el de guía y orientador para
conseguir que éste adquiera las competencias establecidas. En este nuevo modelo
adquiere relevancia el ‘aprender a aprender’ del alumno lo que implica una mayor
responsabilidad y autonomía, además de un cambio importante en los planteamientos
metodológicos del profesor.
Acogiéndose a estas orientaciones, la Junta de Andalucía promovió la
experimentación en los actuales títulos universitarios con el objetivo de sacar
conclusiones de la experiencia que permitan diseñar nuevas titulaciones de acuerdo al
EEES. Estas titulaciones experimentaron cambios consisten en una nueva definición de
los programas de las asignaturas cuyos objetivos son plasmados en forma de
competencias, una nueva consideración del tiempo lectivo que se traduce en créditos
ECTS, y una nueva consideración de la actividad docente en donde el alumno adquiere
un mayor protagonismo. La relación profesor alumno en el ‘tiempo de clase’ puede
verse reducido en un 30 % intentando promover con ello el trabajo autónomo y guiado
del alumno que requerirá, por otro lado, una atención más personalizada del profesor
mediante la potenciación de su horario de tutorías.
2. LA TITULACIÓN DE PRIMARIA Y LA FORMACIÓN DE MAESTROS EN
EL MARCO LEGAL ACTUAL
La titulación de Maestro Especialista en Educación Primaria se dirige a formar
profesionales de la enseñanza en el tramo de educación básica (6-12 años) denominada
Educación Primaria. En la actualidad, este título de Maestro Especialista en Educación
Primaria está definido por el Real Decreto 1440/1991 (BOE de 11 de Octubre). En este
Decreto se establecen las líneas generales de la titulación y las de las materias tróncales
que la integran. La primera de las directrices que figuran en el anexo II del Decreto,
establece que “las enseñanzas conducentes a la obtención del título oficial de MaestroEspecialidad de Educación Primaria deberán proporcionar una formación orientada al
308
desarrollo de la actividad docente en los correspondientes niveles del sistema
educativo, integrando los aspectos básicos con la preparación específica en la
Especialidad de Educación Primaria”.
Basándose en estas directrices, la Universidad de Granada estableció el Plan de
Estudios de esta titulación mediante Resolución de 28 de Julio de 1994 (BOE nº 202 de
24 de Agosto). Por último y mediante Resolución de 25 de Enero de 2001 (BOE nº 39
de 14 de Febrero), se ordenó la adecuación del plan de estudios a nuevas normativas con
ligeras modificaciones, quedando establecido de manera definitiva el actual titulo de
Maestro-Especialidad de Educación Primaria. En el marco legal general de las
titulaciones se indica que al menos el 70 por ciento de los créditos de las asignaturas
tendrán carácter presencial, con lo que hasta un 30 por ciento puede considerarse con
carácter no presencial.
De manera interna, la Universidad de Granada y en particular la Facultad de
Ciencias de la Educación estableció el perfil de la titulación con base en las siguientes
necesidades formativas para el modelo de maestro:
1. Desarrollar la capacidad para ejercer como maestro de manera crítica y reflexiva
en una comunidad con pluralidad de valores.
2. Formar el maestro en actitudes y modelos de organización social que favorezcan
la instauración en el aula del derecho a la diferencia.
3. Formar maestros como profesionales comprometidos en el cambio y mejora del
proceso educativo y del entorno social en los contextos donde desarrollen su
actuación.
4. Capacitar al maestro para actuar como investigador de los propios procesos en
que se desarrolle su trabajo, así como para prestar la ayuda necesaria a fin de que
los alumnos consigan su plenitud personal.
5. Capacitar al Maestro para que desarrolle en los alumnos habilidades cognitivas
adecuadas que les posibiliten la adquisición de modelos culturales permanentes
para “saber aprender”.
6. Dotar de la capacidad para desarrollar en las aulas estrategias de apoyo y
motivación que perfeccionen personal y profesionalmente a los alumnos y hagan
de los centros contextos estimulantes para el aprendizaje.
7. Adquirir dominio de los conocimientos científicos básicos desarrollados en su
currículum que favorezcan su autonomía y creatividad.
309
8. Preparar al Maestro para la colaboración específica con profesionales
especializados en la implantación de estrategias preventivas en el desarrollo de
los aprendizajes.
En el campo concreto de la formación del Maestro Especialista en Educación
Primaria, el Plan de Estudios se orienta hacia la consecución de los siguientes objetivos:
1. Proporcionar al maestro los conocimientos básicos sobre las distintas disciplinas
que han de enseñar en el ejercicio de su labor profesional.
2. Dotar al maestro de los conocimientos psicosocio-pedagógicos y del
correspondiente adiestramiento en el diseño de estrategias metodológicas que le
permita el adecuado desarrollo de su profesión.
3. Proporcionar la debida formación para que pueda realizar su tarea como
investigador, como medio de orientación, progreso y renovación en el campo de
la enseñanza.
4. Ayudar a diseñar y planificar la enseñanza de forma autónoma, creativa y crítica.
5. Formar al Maestro como agente subsidiario de la familia en la educación de los
niños y favorecer actitudes positivas hacia el reconocimiento de su papel como
agente de transformación y cambio social.
6. Proporcionar a los estudiantes el necesario contacto con la realidad escolar que
les permita la formación inicial en la práctica real de aula y, al mismo tiempo
conlleve a la reflexión crítica entre teoría y práctica.
3. LA FORMACIÓN DE MAESTROS DE EDUCACIÓN PRIMARIA EN LAS
NUEVAS ORIENTACIONES. PLANIFICACIÓN DE LA EXPERIMENTACIÓN
Con las consideraciones legales reflejadas en el apartado anterior y las
orientaciones que proporcionaron las autoridades educativas relativas a los futuros
títulos, se planificaron los cambios que de manera experimental se llevarían a cabo.
Un documento de partida para el trabajo experimental lo constituyó el
documento titulado ‘Experiencia piloto para la implantación del crédito europeo
(ECTS) en Andalucía’ editado por la Consejería de Educación y Ciencia. En él se indica
que por iniciativa de la Secretaría General de Universidades e Investigación de la
Consejería de Educación y Ciencia de la Junta de Andalucía, y con el asesoramiento de
la Comisión Andaluza para el Espacio Europeo de Educación Superior (EEES), se
realizó una convocatoria para financiar experiencias piloto de implantación del sistema
de créditos europeos en titulaciones de las universidades andaluzas.
310
El objetivo era avanzar en la integración de la enseñanza superior andaluza en el
EEES y su finalidad principal era el entrenamiento del profesorado en el nuevo modelo
educativo propuesto por la Declaración de Bolonia, así como obtener resultados sobre la
experiencia que contengan una opinión sobre el futuro de las titulaciones.
Para el desarrollo de la experiencia se seleccionaron 14 titulaciones entre las que se
encontraba la Titulación de Maestro Especialidad Educación Primaria y con este fin se
celebraron algunas reuniones previas a la experimentación en las que se dieron al
profesorado algunas orientaciones de trabajo. Algunos de los acuerdos a los que se
llegaron fueron los siguientes:
•
Reducir el tiempo lectivo de teoría y práctica y aumentar el tiempo destinado a
actividades dirigidas (sin superar el 30 % de acuerdo a la norma legal). Para el
profesor no significaría menos trabajo sino una re-organización de ese tiempo en
otras actividades (como la planificación y el desarrollo de tutorías).
•
Promover el desarrollo de las competencias establecidas en el Proyecto Tuning
(González y Wagenaar, 2003), y que son comunes a todas las titulaciones, así
como el impulso a las competencias profesionales específicas que establece cada
titulación.
•
Disminuir o reorganizar los contenidos que no vayan orientados a desarrollar las
competencias establecidas.
•
Considerar el trabajo del alumno como elemento que caracteriza las asignaturas,
y no el del profesor.
•
Calcular las adaptaciones de los créditos ECTS de tal forma que 1 hora de clase
teórica implique al alumno 1,5 horas de estudio, mientras que 1 hora de prácticas
requiera 0,75 horas de estudio.
•
Adaptar los programas de las asignaturas a todos los elementos anteriores:
•
Los objetivos deben enunciarse en forma de competencias.
•
Seleccionar los contenidos para que se dirijan al desarrollo de competencias.
•
En la metodología deben planificarse las actuaciones del profesor y del
alumno tanto en los créditos teóricos y prácticos, como en la dirección de
actividades para las horas no presenciales. El papel de las tutorías es muy
importante.
•
La evaluación debe estar en consonancia con las otras componentes
curriculares (competencias, tipos de contenidos y metodología) y constituye
un elemento de cambio importante.
311
Para la realización de las tareas anteriores se constituyeron grupos de trabajo de
todas las universidades andaluzas que elaboraron guías docentes para cada una de las
titulaciones seleccionadas para la experimentación, que sirvieron para que el
profesorado de cada universidad desarrollara de manera específica los programas de las
diferentes asignaturas.
En las secciones siguientes describiremos la adaptación específica que el
Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada ha hecho de
la asignatura “Matemáticas y su Didáctica” del primer curso de la Titulación de Maestro
especialidad Educación Primaria. Analizaremos con más detalle la organización de los
créditos prácticos de esta asignatura bajo las directrices del EEES.
4. LA FORMACIÓN DEL MAESTRO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DESDE LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. LA ASIGNATURA DE
MATEMÁTICAS
Y
SU
DIDÁCTICA
DE
PRIMER
CURSO
Y
SU
ADAPTACIÓN A LA EXPERIMENTACIÓN
La formación del futuro maestro de Educación Primaria, desde la Didáctica de la
Matemática se aborda a través de una asignatura troncal, Matemáticas y su Didáctica, de
9 créditos (4,5 teóricos y 4,5 prácticos) y una obligatoria de la Universidad de Granada,
Currículo de Matemáticas de Educación Primaria, de 4,5 créditos (2 teóricos y 2,5
prácticos). Los alumnos pueden completar su formación eligiendo una asignatura
optativa, dedicada a la Resolución de Problemas, y otras opciones de libre
configuración.
La ubicación de las asignaturas obligatorias en los dos primeros cursos lleva a
considerar las destrezas matemáticas que disponen los alumnos (Socas et al, 1999), y su
disposición a enfrentarse con el conocimiento didáctico (Flores, 1999, Cardeñoso,
1999). Teniendo en cuenta las carencias matemáticas, y dada la lejanía entre los
primeros cursos de la diplomatura y la salida profesional, se decidió que la asignatura de
primer curso debería dirigirse a fundamentar los conocimientos matemáticos de nuestros
alumnos. Se trataba con ello profundizar en las destrezas matemáticas que habían
desarrollado a lo largo de su escolaridad obligatoria, antes de introducir nuevos
conceptos específicos de la Didáctica de la Matemática. El término que se viene
utilizando para designar esta opción ha sido: Matemáticas para maestros. Con ello se
pretende destacar que:
312
1. Los contenidos de referencia son de carácter matemático, atendiendo a sus
conceptos y procedimientos, a sus representaciones, a la fenomenología, a la
modelización y a la historia (Rico, 1997).
2. El alcance de los mismos es el de las Matemáticas de la Educación Primaria.
3. Su ámbito de formalización, aplicación, significación, representación y estudio
corresponde al que debe tener un maestro de Educación Primaria.
4. Las matemáticas se plantean desde una perspectiva cultural, social y
epistemológica coherente con los actuales currículos oficiales para este nivel
educativo.
La asignatura de segundo curso adquiere un papel profesionalizador,
enfrentando al maestro con su papel como educador matemático, para lo que debe
manejar determinados conceptos específicos de Didáctica de la Matemática. Estos
conceptos están siempre encauzados a facilitarle la comprensión del currículo, así como
el diseño, implementación y evaluación de la enseñanza de las Matemáticas en la
Educación Primaria.
Los programas de las asignaturas, consensuados en el Departamento a través de
sucesivos cursos en los que se han introducido pequeñas variaciones, establecen unas
finalidades similares en ambas materias, definidas por (Departamento de Didáctica de la
Matemática, 2005):
“El fin principal de esta asignatura es el de ampliar y profundizar la formación
del futuro maestro en los contenidos de la matemática básica y de los procesos
implicados en su enseñanza/aprendizaje”.
Lo que diferencia a las dos es la forma en que se entiende este fin en el
desarrollo de las dos asignaturas. Mientras que en Matemáticas y su Didáctica se
organizan sus contenidos por los bloques matemáticos básicos (Aritmética, Geometría,
Medida y Estadística y Probabilidad), en Currículo de Matemáticas se articulan en
función del desempeño profesional (Conocimiento matemático, Finalidades educativas,
Medios de enseñanza, Evaluación).
4.1 La experiencia piloto en la asignatura ‘Matemáticas y su Didáctica’
En esta parte del trabajo vamos a centrarnos en la experiencia llevada a cabo en
la asignatura Matemáticas y su Didáctica, con la que se ha comenzado la
313
experimentación con créditos europeos en el curso 2004-2005, y que ha sido objeto de
mayor atención reflexiva por parte del seminario docente del Departamento.
Para afrontar esta asignatura, además de adecuar el programa a los ECTS de
forma numérica y redefinir objetivos y adecuarlos a competencias (ver programa en
Anexo I), consideramos importante establecer una diferenciación precisa entre créditos
teóricos y créditos prácticos. Para ello estudiamos cómo se contempla esta diferencia en
la regulación legal, tanto en la legislación nacional como en la particular de la
Universidad de Granada. En el Real Decreto 1497/1987 (BOE de 14 de Diciembre), en
su artículo 2 se define el crédito como “la unidad de valoración de las enseñanzas”, y lo
hace corresponder con diez horas de “enseñanza teórico-práctica”. Pero no se establece
una diferencia entre estas dos modalidades, lo que nos lleva a pensar en que su
caracterización es intuitiva pero supuestamente obvia para todos los profesores.
Una clarificación teórica de esta diferencia nos ha llevado a estudiar diversas
variables que permiten distinguir la teoría y la práctica. Ferrater (1991, p. 2652, 2661)
nos muestra las distintas formas de entenderlas, tanto en los procesos formativos en
general, como en la formación de maestros. Podemos abarcar estas diferencias en dos
bloques, el primero corresponde a la separación epistemológica entre el conocimiento
teórico y práctico, mientras que el segundo se refiere a las competencias, y con ello a la
forma de enseñanza.
Consideramos que la división entre los créditos teóricos y prácticos en las
asignaturas, tiene que centrarse en las acciones que se realizan durante la enseñanza y
las competencias que se pretende que adquieran los alumnos. Una forma de ver los
créditos prácticos en esta modalidad consiste en pensar que se dedican a tareas en las
que se aplican los conceptos teóricos a resolver problemas del mundo profesional
(prácticas profesionales, como la planificación de clase, el planteamiento y la
calificación de exámenes, etc.), o del mundo cotidiano (prácticas matemáticas que
permiten resolver problemas de repartos, de análisis de un fenómeno aleatorio,
interpretar informaciones, etc.). Otra perspectiva nos hace ver que los créditos prácticos
tienen que abordar las competencias procedimentales, ligadas al saber hacer, como las
relacionadas con el manejo de los medios tecnológicos para la enseñanza (práctica
profesional), o el manejo de los procedimientos matemáticos (práctica matemática)
(Monereo, 1994, Pozo y Monereo, 1999).
Y por último, pero no desligado de los aspectos anteriores, otra diferenciación
entre teoría y práctica se hace atendiendo al grado en el que el estudiante adquiere
314
protagonismo en la realización de tareas. Esta concepción nos permite considerar como
actividades prácticas aquellas en las que el estudiante hace. Así, la idea de práctica no
estaría ligada al contenido que se afronta sino a la forma en que se relaciona con el
conocimiento. Incluso, un contenido teórico, conceptual, puede asumirse de manera
práctica si le damos protagonismo al estudiante para que realice actividades que le
permitan interpretarlo, debatirlo con sus compañeros, ponerlo en común y contrastarlo
con textos en los que se defina, caracterice, ejemplifique, etc. En este sentido se
entiende la práctica como ejercitación, tal como aparece en el texto de Resnick y Ford
(1990).
Ante estas opciones, en la organización de la asignatura hemos adoptado por este
último criterio para diferenciar los créditos prácticos, con lo que la organización de las
enseñanzas se ha establecido diferenciando las clases teóricas de las clases prácticas por
el tipo de actuación del profesor y de los alumnos, y no por el contenido que se propone.
Este criterio está en mayor consonancia con algunas de las ideas básicas de cambio que
se propugnan, que van dirigidas a acentuar un mayor protagonismo del alumno en su
aprendizaje.
En relación a la organización del tiempo lectivo, 4,5 créditos teóricos y 4,5
créditos prácticos, la carga docente contempla 3 horas semanales, durante todo el curso,
divididas en una sesión de dos horas y otra de una hora. La experimentación con el
crédito europeo nos ha llevado a reducir la atención presencial, para dar mayor
responsabilidad y disponibilidad de tiempo a los alumnos para el trabajo autónomo.
Para ello hemos planteado la siguiente organización temporal:
•
Créditos teóricos:
•
Clases presenciales de 2 horas semanales, durante 21 semanas del curso
•
Seminarios de orientación, de 1 hora semanal, durante 21 semanas
•
Tutorías individualizadas, durante las horas de tutoría del profesor, a lo largo
del curso.
•
Créditos prácticos:
•
Seminarios de actuación práctica de los alumnos, durante 3 horas semanales,
en 9 semanas, distribuidas 3 al final de cada trimestre.
4.2 Desarrollo de los créditos teóricos
315
En las sesiones de clases teóricas la responsabilidad de enseñanza corre a cargo
del profesor, suministrando reactivos para que los estudiantes puedan emprender el
estudio del tema de manera significativa, sin que eso suponga la presentación de todos
los contenidos y resultados que el estudiante tiene que aprender. Los modelos de
instrucción que en ellas se realizan son:
•
Modelado: El profesor realiza tareas tal como espera que las realicen los
estudiantes, haciendo visibles las conductas encubiertas; los estudiantes
observan para construir un modelo conceptual de estas tareas.
•
Andamiaje: El profesor lleva a cabo parte de las tareas, y promueve que los
estudiantes las realicen con su ayuda (Vizcarro et al, 1999).
Estos procesos instructivos contemplarán los contenidos de manera holística
(Moral, 2001), dejando los atomistas para que las realicen los alumnos apoyándose en
los documentos recomendados. De esta forma se tratará de que se produzca un
aprendizaje profundo de los conceptos tratados, mediante un desarrollo con complejidad
y diversidad crecientes y habilidades globales (Vizcarro, 1999). Durante el desarrollo de
los contenidos teóricos cabe la realización de prácticas de contextualización, aplicación
y evaluación (Díaz-Godino, 2005), mediante los métodos de instrucción indicados.
Los seminarios de orientación tienen lugar todas las semanas en la sesión de una
hora. En estas sesiones los estudiantes tienen que indicar sus necesidades, sus dudas etc.
También se realizarán las actividades de ejercitación que determinen los estudiantes, a
la vista de las que han elaborado previamente los profesores y que se inspiran en las
cuestiones que posteriormente se utilizarán en las pruebas de evaluación (ver Anexo II).
Para ello se realizarán los dos modelos de instrucción siguientes:
•
Entrenamiento: El estudiante realiza las tareas propuestas, desde la
interpretación de los datos hasta la búsqueda de informaciones necesarias. El
profesor suministra estas informaciones, tratando de ceñirse a las demandadas.
•
Articulación: Los estudiantes eligen las tareas para resolver y explicitan sus
habilidades, razonamiento e interpretación de los conceptos puestos en juego en
su resolución.
Por último, en las tutorías se lleva a cabo una atención personalizada en el
despacho del profesor, resolviendo las dificultades que manifiesten sobre los temas
tratados y las tareas que se le exigen. Durante estas tutorías se realizará una instrucción
basada en el entrenamiento, andamiaje, modelado y reflexión.
316
Con objeto de dirigir la acción, se han elaborado unas guías de trabajo y hojas de
actividades que orientan al alumno y guían el trabajo del profesor en clase (ver ejemplo
del Tema Primero en Anexo II). Los alumnos realizan las tareas encomendadas,
trabajando en grupos cuando sea procedente, participan en las puestas en común y
desarrollan y presentan los trabajos elaborados, empleando medios tecnológicos
adecuados.
4.3 Desarrollo de los créditos prácticos
En las sesiones de clases prácticas los estudiantes son los que realizan las tareas
que el profesor ha programado. El tipo de prácticas que pueden contemplarse en estas
clases son las basadas en problemas de ejercitación, aplicación y evaluación (Díaz
Godino, 2005), o experiencias, experimentos ilustrativos, ejercicios prácticos e
investigaciones (Caamaño, 2003), en todas ellas se incluyen actividades de observación,
predicción, crítica, generación y análisis (Llinares, 1998). El modelo de trabajo
propuesto abarca la lectura del documento guía, la actuación en equipos con los
reactivos suministrados, la puesta en común de resultados y la elaboración de un
cuaderno de equipo. Durante el transcurso de la clase realizamos los siguientes modelos
de instrucción:
•
Entrenamiento: El estudiante realiza las tareas, el profesor observa durante esta
realización y da consejo y ayuda.
•
Articulación: Los estudiantes resuelven tareas explicitando su razonamiento y
habilidades.
•
Reflexión: Los estudiantes comparan sus procesos de resolución con los
compañeros, en primer lugar mediante el trabajo en grupos, y posteriormente,
por medio de la realización de puestas en común.
•
Exploración: Los estudiantes elaboran nuevas situaciones a las que aplicar los
conceptos aprendidos. En el diseño de las tareas previstas se enfatiza la
búsqueda de situaciones nuevas a las que afecten los conceptos aprendidos.
317
Al hacerse más patentes las competencias que se espera que alcancen los
alumnos, se potencian también las actividades prácticas, en las que los alumnos actuarán
sobre materiales concretos, bajo la supervisión del profesor. Para ello en el momento de
las prácticas (las tres últimas semanas de cada trimestre) cada grupo se dividirá en tres
subgrupos que ocuparán de manera rotatoria y semanal tres escenarios diferenciados, tal
y como figura en el Anexo I.
Al finalizar cada bloque teórico de contenido, el gran grupo de futuros maestros
se divide en tres subgrupos. Cada uno de ellos va a uno de los escenarios y trabaja allí
durante las tres horas de clase de una semana. A la semana siguiente los subgrupos
rotan y cada uno de ellos trabaja en otro escenario durante otras tres horas. En la tercera
semana se cierra la rotación, y así todos los alumnos han trabajado el mismo tiempo en
cada uno de los escenarios de prácticas.
Dentro de cada subgrupo, los estudiantes trabajan en pequeños grupos de cuatro,
siendo esta agrupación la misma para todo el curso. Asimismo, el profesor que dirige la
actividad práctica en cada uno de los escenarios es el mismo en los tres bloques de
contenido sobre los que se realizan las prácticas. Además del trabajo práctico de los
futuros maestros en los tres bloques de prácticas, en la asignatura también existe un
diseño de tutorías dirigidas con cada uno de los pequeños grupos. Estas tutorías se
reparten a lo largo de curso, y cada uno de esos pequeños grupos tiene al menos una
tutoría con uno de los profesores de prácticas.
El trabajo en los créditos prácticos consiste en la actuación de los alumnos,
primero individual, y luego en grupos. El profesor presentará las actividades, atenderá a
las dudas, animará el trabajo de los alumnos, y coordinará las puestas en común. Para
ello se requiere del uso de unos “cuadernos guía de prácticas” (Flores y Segovia, 2004)
con las instrucciones y actividades pertinentes que se comentan y ejemplifican a
continuación.
4.4 Los cuadernos guía de prácticas
Los cuadernos de prácticas están diseñados para fomentar el trabajo autónomo
de los maestros en formación, y al mismo tiempo constituyen uno de los indicadores de
evaluación de su rendimiento.
Existen cuadernos individuales y de grupo, y en ambos casos están clasificados
también por bloques de contenido y por escenarios de prácticas. Los cuadernos
individuales son para cada uno de los alumnos que participa en las prácticas. Incluye las
318
diferentes explicaciones, actividades, recursos, y fuentes documentales para poder
afrontar cada una de las prácticas. El cuaderno de grupo trata de aunar el trabajo
realizado individualmente, e incluye actividades adicionales de reflexión sobre el
trabajo realizado antes de manera individual. Por tanto, distinguiendo cuadernos
individuales y de grupo según bloques de contenido y escenarios, hemos diseñado 18
cuadernos de prácticas diferentes. Estos cuadernos se revisan y renuevan cada nuevo
curso, procurando introducir las mejoras necesarias para superar las dificultades
encontradas en la implementación anterior, como por ejemplo enunciados de tareas
poco claros o reiterativos, nivel de complejidad de las tareas, etc.
Para ejemplificar el contenido y la estructura de los cuadernos de prácticas
presentaremos dos ejemplos de los mismos. Dado que cada uno tiene una presentación
inicial y un desarrollo posterior, mostraremos las presentaciones de tres cuadernos de
escenario diferente8.
Bloque de Aritmética. Cuaderno de Prácticas del Taller de Informática
Práctica 1: La Balanza Numérica
1. Presentación
En esta práctica usaremos y analizaremos una balanza numérica virtual que está
disponible en Internet. Es un material didáctico que puede ser útil para trabajar
igualdades y desigualdades de números, descomposiciones numéricas y expresiones
algebraicas. Se presentan tres tipos de balanza:
•
La balanza con formas, donde se colocan en los platillos figuras de
diferente color y forma, que llevan asociado un valor o “peso” distinto. Con
ella damos los primeros pasos para establecer equivalencias. (Accesible
desde la página http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=33).
•
La balanza con números, donde lo que se trata de comparar son los valores
numéricos, realizar descomposiciones y comprobar propiedades de las
8
No mostraremos los cuadernos con el formato original con el que se entregan a los futuros maestros. Ese
formato original incluye muchas ilustraciones orientativas o espacios en blanco para las respuestas que
aquí hemos suprimido. En los dos primeros ejemplos se incluyen la introducción y los objetivos, mientras
que sólo se resumen las actividades. En el tercer ejemplo se incluyen, además de la introducción y los
objetivos de la práctica, las referencias recomendadas y las actividades tanto del cuaderno individual
como del cuaderno de grupo. Presentamos en cursiva la información que está literalmente extraída de los
cuadernos.
319
operaciones
aritméticas
básicas.
(Accesible
desde
en
la
página
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=26).
•
La balanza con expresiones algebraicas. Tiene este material una doble
utilidad. Por una parte se introduce el concepto de variable (x) al que el
usuario puede dar valores y comprobar para qué valores de x una cierta
expresión es correcta ó no. La otra aplicación es la de realizar
representaciones
gráficas.
(Accesible
desde
la
página
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=10).
2. Objetivos
Con este programa se pretende facilitar:
•
La adquisición del concepto de igualdad y desigualdad de números
•
Las descomposiciones numéricas
•
Expresiones de la multiplicación mediante sumandos iguales, y de la
división mediante restas sucesivas constantes
•
La comprobación de las propiedades aritméticas básicas (conmutativa,
asociativa, elemento neutro, elemento simétrico, distributiva del producto
respecto de la suma y respecto de la diferencia)
•
La adquisición del concepto de variable
•
La comprobación de propiedades algebraicas
Descripción general de la práctica
Las actividades se realizan en tres bloques según los tres tipos de balanzas. En la
balanza con figuras se realizan algunas exploraciones dirigidas a introducir de forma
natural algunas propiedades matemáticas como la conmutativa o la asociativa. En la
balanza con números se aplican las propiedades anteriores además de otras como la
distributiva, y se abordan actividades de descomposición numérica, tanto en forma
aditiva como multiplicativa. Finalmente, en la balanza con expresiones algebraicas, los
estudiantes analizan cómo el equilibrio de los dos platillos de la balanza que incluyen
variables algebraicas, depende del valor que tomen dichas variables.
En el cuaderno de grupo pedimos a los estudiantes que analicen algunas ventajas
e inconvenientes de este recurso para trabajas nociones aritméticas. La mayoría de ellos
manifiestan que la balanza con figuras puede generar confusión en el aula pues no todas
320
las figuras tienen el mismo “peso” cada vez que se ejecuta el programa. Sin embargo,
valoran muy bien el potencial de la balanza con números para explorar diferentes
descomposiciones numéricas de manera sencilla.
Cuaderno de Prácticas del Taller de Matemáticas. Bloque de Medida y Estadística
Práctica 2: Medida indirecta de longitudes inaccesibles
1. Presentación
Una forma de medir indirectamente longitudes se basa en aplicar las leyes de la
proporcionalidad de la medida de los segmentos homólogos de triángulos semejantes,
establecida en el teorema de Tales. El esquema que, con carácter general, se utilizará
en la actividad es el que sigue.
D
B
C
A
O
La relación entre la medida de los segmentos es:
OA
OC
=
OB
OD
=
AB
CD
Para resolver los problemas hay que construir el esquema anterior para el problema
que se trate, en el que se tiene que dar necesariamente el paralelismo entre el segmento
AB y CD; en este caso, y en el de las actividades que se proponen, este paralelismo se
consigue haciendo que ambos segmentos sean perpendiculares al segmento OC.
2. Objetivos
Con esta actividad se pretende que practiques resolviendo problemas de obtención de
medidas de objetos inaccesibles. Esto se concreta en que:
a) Percibas la viabilidad de realizar y emplear actividades matemáticas fuera
del aula, conectando éstas con situaciones reales.
b) Tomes conciencia de que estas actividades tienen unas características
especiales diferenciadas de lo que suelen ser las tareas que se proponen
dentro del aula, y que conviene conocer y trabajar.
321
c) Realices actividades de medida (longitudes y amplitudes) empleando los
instrumentos adecuados.
d) Realices una aplicación práctica del teorema de Tales.
Descripción genérica de la práctica
Las actividades de esta práctica están organizadas en torno a dos métodos de medida de
alturas inaccesibles: según la sombra proyectada, usando listones y con teodolito. Con
el primer método se usa la noción de proporcionalidad, y se aplica hallando la altura de
varios árboles que hay en la entrada de la Facultad en la que se realizan las prácticas.
Con el segundo método se aborda la medición de la altura del edificio principal de la
propia Facultad. En ambos casos, antes de aplicar la medición, pedimos a los
estudiantes que estimen esas alturas, para que luego las contrasten con los resultados
obtenidos. Finalmente, con el teodolito se repiten las mediciones anteriores para
comprobar las diferentes medidas obtenidas.
En el cuaderno de grupo pedimos a los estudiantes que describen los
procedimientos que han llevado a cabo en las diferentes mediciones, y que valoren la
bondad de cada uno de ellos. En general, admiten que son métodos caseros pero muy
efectivos para medir alturas inaccesibles, y sostienen que obtienen diferencias notables
entre sus estimaciones previas y las mediciones finales.
Cuaderno de Prácticas del Taller de Manipulativos. Bloque de Aritmética
Práctica 2: El material Multibase
1. Presentación
No siempre se ha usado el sistema de numeración actual para representar números.
Aunque han existido diversos sistemas de numeración, ya sabes que antes de nuestro
sistema los números se representaban en el sistema romano. Pero el sistema de
numeración romano no resultaba muy práctico para el cálculo, por lo que se hacía
necesario el uso de ábacos para manejar grandes cifras. A partir del siglo XIII
comenzó a utilizarse el sistema de numeración posicional que usamos en la actualidad.
Aunque de procedencia hindú, los árabes jugaron un importante papel en su difusión,
de ahí el nombre de sistema indoarábigo.
322
El material de trabajo que vamos a utilizar está diseñado específicamente para trabajar
y comprender el sistema de numeración y sus características.
Como verás, puedes trabajar con bloques multibase en base decimal o en otra base.
Las características del material cambiarán según el caso, pero hay propiedades de los
sistemas que son siempre las mismas independientemente de la base que emplees. Un
material como éste, diseñado de modo que al usarlo se trabaja con un concepto
matemático, recibe el nombre de material estructurado.
2. Objetivos
a) Reconocer las propiedades de los sistemas de numeración multiplicativos y
posicionales en situaciones concretas.
b) Establecer la distinción entre el concepto de número natural y sus
representaciones por medio de materiales manipulativos o por medio de
sistemas de numeración escritos.
c) Comprender el mecanismo de los algoritmos de las operaciones aritméticas
básicas por medio de la manipulación del material multibase.
d) Conocer y utilizar el material didáctico de los bloques multibase como modelo
para comprender el sistema de numeración y los algoritmos.
3. Bibliografía y recursos
Dienes, Z. P. (1978). Cómo utilizar los bloques multibase. Barcelona: Teide.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Madrid: Síntesis.
Ifrah, G. (1987). Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial.
4. Actividades del cuaderno individual
1. Considera el siguiente conjunto de objetos:
a) Cuenta en base cuatro esta colección de objetos de
dos formas:
i) Por los agrupamientos necesarios en el dibujo.
ii) Usando la secuencia numérica en base cuatro.
b) Cuenta la colección en base diez de las dos formas
anteriormente indicadas.
323
c) Representa la cantidad anterior con el material multibase en la base cuatro con el
menor número de objetos.
d) Representa y anota en el cuadro adjunto el resultado obtenido. Usa los Símbolos
(
,
, ▐ , ) para la representación gráfica y escribe los Numerales
correspondientes en la fila de abajo.
er
Unid. 3 orden
Unid. 2º orden
Unid. 1er orden ▐
Unid. simples
S
N
2. Toma ahora el material multibase de base cuatro y representa con él el mismo
conjunto de objetos. Prueba luego con otras bases diferentes y amplia el cuadro
anterior:
Base Unid. 3er orden
Unid. 2º orden Unid. 1er orden ▐ Unid. Simples
diez
cinco
S
N
S
N
3. Representa con los bloques de base seis la cantidad que en dicha base de escribe
4251(seis ¿Qué pasos tienes que dar para encontrar su expresión en base diez? Hazlo
usando los materiales y luego explica cómo hacerlo si no tienes los materiales.
4. Con los bloques de base diez representa la cantidad que en dicha base se escribe
258. ¿Qué pasos tienes que dar para encontrar su expresión en base cinco? Hazlo
usando los materiales y luego explica el proceso si no tienes los materiales.
5. Representa con los bloques de base diez los números 267 y 582. Manipulando el
material, realiza la suma de 267 + 582 y explica qué ocurre con las unidades de
primer orden (o decenas).
6. Representa con los bloques de base diez los números 335 y 152. Manipulando el
material, realiza la diferencia 335 - 152 y explica cómo has operado con las
unidades de primer orden (o decenas). ¿Hay otra forma de hacerlo?
7. Realiza una división y una multiplicación en base cinco: 24 × 3 y 142 : 4 en base
cinco.
324
5. Actividades del cuaderno de grupo
1. Describe el material en base diez y en base cuatro.
2. Compara este material con el ábaco. Señala algunas diferencias en su uso.
3. Como has podido comprobar, la misma cantidad de objetos se expresa de forma
diferente según la base del sistema elegido. Establece una distinción entre el número y
su expresión por medio del sistema de numeración.
4. Explica cómo se manifiesta en el uso del material multibase el principio de
agrupamiento y el principio posicional.
5. El sistema monetario tiene ciertas similitudes con el material multibase. Establece
similitudes y diferencias entre ellos. Determina las condiciones que debería cumplir un
sistema monetario para trabajar en base diez.
5. CONCLUSIONES: IMPLICACIONES PARA LA ENSEÑANZA Y EL
APRENDIZAJE DE LOS ESCOLARES DE PRIMARIA
La realización de este tipo de actividades en la formación inicial de profesores
de matemáticas de Educación Primaria tiene varias implicaciones. Por una parte,
inciden en la formación del futuro maestro, contribuyendo a desarrollar su conocimiento
profesional y por tanto pueden extraerse consecuencias para sus futuros escolares. Por
otra parte, también existen implicaciones para los propios formadores que diseñamos y
llevamos a la práctica esta formación y para, también de manera general, el desarrollo
de nuestra área de conocimiento.
En relación a la formación de futuros maestros, uno de los principales avances
de este diseño formativo es la relación entre teoría y práctica. Los estudiantes se ven
inmersos en un proceso de aprendizaje en el que han de conjugar los conocimientos
matemáticos que se desarrollan en las sesiones de teoría, con las actividades que se
plantean en las prácticas. En ellas han de poner en juego esos conocimientos teóricos
para dar respuesta y justificar las cuestiones planteadas. Asimismo, el tipo de
actividades planteadas en las prácticas, suponen un modo muy activo para que los
estudiantes profundicen en esas nociones matemáticas, y vayan más allá de los
desarrollado en clase de teoría.
Por otro lado, desde el punto de vista de su aprendizaje como futuros maestros,
también conocen y participan en un modelo de enseñanza en el que son ellos los
protagonistas, y del que pueden extraer muchas consecuencias como profesores. Todas
325
estas consecuencias se han extraído de las tutorías dirigidas en pequeños grupos que
realizan al término de cada bloque de prácticas. En primer lugar conocen y analizan
materiales y recursos que están disponibles para el profesor, y profundizan en su
manejo, en sus fortalezas y debilidades, y en cómo emplearlo en el aula. Encuentran que
mucho de ellos podrían resultar de gran valor de cara al aprendizaje de los escolares. En
segundo lugar, también son actores en un modo de organizar un aula que encuentran
muy apropiada para el trabajo con materiales por el tipo de debates y discusiones que
genera. En tercer lugar, los futuros maestros se esfuerzan por trabajar y compartir ideas
en grupo, y ellos sostienen que eso es un aspecto crucial en la actividad profesional en
un centro escolar.
Otro campo en el que pueden extraerse consecuencias de esta actividad
formativa es en la propia labor y formación del formador de maestros. Después de un
año de la planificación y la experimentación realizada, no sólo se ha cumplido con la
normativa de adaptación de las asignaturas al futuro EEES. También reconocemos otros
aspectos que consideramos muy valiosos, tanto en el desarrollo profesional de los
formadores que hemos estado implicados, como en el desarrollo del área de
conocimiento en una Facultad de Educación y en la Universidad de Granada.
En primer lugar, la experiencia ha promovido interesantes debates y discusiones
entre los profesores en relación a la planificación de la formación de maestros en el área
de matemáticas. Con motivo de estas actividades se generó un material para el aula,
consensuado por el grupo de profesores y experimentado en la misma. En segundo
lugar, las actuaciones descritas han generado cambios importantes en la actitud de los
alumnos con relación a la asignatura Matemáticas y su Didáctica, y con las matemáticas
escolares. Su participación en las prácticas, el impulso de un trabajo autónomo, y el
fomento de la comunicación entre ellos mismos, y entre ellos con los profesores, han
constituido uno de los grandes avances de esta experiencia. Finalmente, ha establecido
un modelo de trabajo en aulas con gran número de alumnos, más de cien, donde a priori
no es fácil abandonar una metodología basada en la clase magistral.
Por tanto, podemos concluir que la experiencia resulta útil desde varios puntos
de vista. Por una parte es relevante para la formación de profesores de matemáticas para
los niveles de Primaria, incluyendo las matemáticas de las distintas especialidades de la
carrera de maestro. Asimismo, moviliza la organización de una actuación docente
universitaria que promueve el trabajo del alumno en situaciones de masificación. Por
326
otra parte, es sin duda una experiencia importante de cara a la adaptación de las
enseñanzas a las nuevas directrices europeas en materia de educación superior.
REFERENCIAS
Cardeñoso, J. M. (1999). Sobre el conocimiento profesional, en relación con el área de
didáctica de la matemática, que construimos en las aulas de formación de
profesores de primaria. En J. Carrillo y N. Climent (Eds.) Modelos de
formación de maestros en Matemáticas, Huelva: Servicio de Publicaciones de
la U. de Huelva, 119-132.
Díaz Godino, J. (2005). Aplicación de un enfoque pragmático sobre las competencias y
la cognición al desarrollo curricular. Documento no publicado. Granada:
Departamento de Didáctica de la Matemática.
Ferrater, J. (1991). Diccionario de Filosofía. Madrid: Alianza.
Flores, P. (1999). Conocimiento profesional en el área de didáctica de la matemática en
el primer curso de la formación de maestros de educación primaria. En J.
Carrillo y N. Climent (Eds.) Modelos de formación de maestros en
Matemáticas, Huelva: Servicio de Publicaciones de la U. de Huelva, 91-118.
Flores, P. y Segovia, I. (Eds.) (2004). Prácticas de matemáticas para maestros.
Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática.
González, J., Wagenaar, R. (Eds.) (2003) Tuning Educational Structures in Europe.
Informe final fase uno. Bilbao: Universidad de Deusto y Universidad de
Groningen.
Llinares, S. (1998). Conocimiento profesional del profesor de matemáticas y procesos
de formación. UNO, 17, 51-65.
Monereo, C. (Coord.) (1994). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Barcelona: Graó.
Moral, C. (2001). Actividades prácticas en el aprendizaje universitario. En Guía III
Materiales de formación del profesor universitario. Proyecto andaluz de
formación del profesorado universitario. Sevilla: UCUA, 303-333.
Pozo, J.I. y Monereo, C. (1999). El aprendizaje estratégico. Madrid: Santillana.
Resnick, L.B. y Ford, W.W. (1990). Los ejercicios y de la práctica. En La enseñanza de
las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Madrid: Paidós, 25-57.
Rico, L. (Coord.) (1997). La educación matemática en la enseñanza secundaria.
Barcelona: Horsori.
327
Segovia, I. y Roa, R. (2005). Fundamentación institucional. Granada: Departamento de
Didáctica de la Matemática.
Socas, M., Camacho, M., y Morales, A. (1999). Formación del profesorado e
investigación en educación matemática. La Laguna: Departamento de Análisis
Matemático de la Universidad de La Laguna.
Vizcarro, C., Liébana, C., Hernández, A., Juárez, E. e Izquierdo, F. (1999). Evaluación
de estrategias de aprendizaje. En J. I. Pozo y C. Monereo (Coord.) El
aprendizaje estratégico. Enseñar a aprender desde el currículo. Madrid: Aula
XXI Santillana, 277-299.
Agradecimientos
El desarrollo del plan formativo presentado en el documento se ha llevado a cabo
gracias a los dos Proyectos de Innovación Docente concedidos y avalados por el
Vicerrectorado de Planificación, Calidad y Evaluación Docente de la Universidad de
Granada.
328
ANEXO I
Programa de la asignatura de Matemáticas y su Didácticas para Maestros de
Educación Primaria
Asignatura: MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA Tipo: Troncal específica Créditos: 9
(4,5 T + 4,5 P)
Carácter: Anual Área: DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ECTS: 225 horas de trabajo del alumno/año
HORAS
PRESENC/AÑO: HORAS NO PRESENCIALES/AÑO: 162
63
H. Teor/año
H. Práct/año Est.
Est. Práct/año
Evaluac/año
Trabajos/año
42
21
15,75
56,24
27,05
(1,4/semana)
(0,7/semana) 63
(0,52/sem)
(1,87/sem)
(0,9/sem)
Teor/año
(2,1/sem)
Nivel, requisitos, idioma en que se imparte: Los alumnos deben dominar los conceptos,
destrezas, algoritmos y estrategias básicas de las Matemáticas de Educación Primaria y
Primer Ciclo de Secundaria. Idioma Español.
Descriptores : Conocimiento de las matemáticas. Contenidos, recursos didácticos y
materiales para la enseñanza.
Objetivos (competencias):
· Conocer las matemáticas básicas que permitan desarrollar su futura labor profesional
como docente en la Educación Primaria.
· Disponer de las destrezas necesarias para el empleo de instrumentos, técnicas y material
didáctico en el área de matemáticas, incluido el uso de nuevas tecnologías.
· Analizar e interpretar las normas que regulan el currículo de matemáticas de Educación
Primaria
· Comprender, interpretar y extraer conclusiones de las producciones de los niños (útiles
matemáticos, estrategias, conocimiento informal, concepciones previas, representaciones,
errores, obstáculos, etc.).
· Realizar consultas, elaborar informes relacionados con el currículo de matemáticas con
claridad, precisión y rigor.
· Percibir el conocimiento matemático como interdisciplinar y, cultural y socialmente útil.
Valorar la labor educativa como compromiso ético y social.
329
Contenidos (programa):
Programa de teoría:
EL NÚMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Número natural.
Concepto y usos. Cuantificación y ordenación. Sistemas de Numeración: Sistemas
Posicionales. El Sistema de Numeración Decimal. Números enteros: concepto,
simbolización y contextos.
ARITMÉTICA. Estructura aditiva: suma y resta de números naturales; conceptos y
propiedades; usos. Estructura multiplicativa: producto y división de números naturales;
conceptos y propiedades; usos. Cálculo mental y Estimación. La calculadora en el aula. Los
problemas aritméticos. Resolución de Problemas.
NÚMEROS RACIONALES. Concepto de fracción y significados. Operaciones con
fracciones. Equivalencia de fracciones. El número racional. Operaciones con racionales.
Propiedades. Ordenación de racionales. Representación gráfica. Números decimales.
Representación decimal de los números racionales. Operaciones y ordenación de decimales.
GEOMETRÍA. Plano y Espacio: conceptos básicos, relaciones y propiedades. Figuras
(polígonos y círculos) y cuerpos (poliedros y cuerpos redondos): elementos y propiedades.
Posiciones en el espacio: sistemas de referencia. Introducción a las transformaciones
geométricas. Geometría en el entorno
MAGNITUDES Y SU MEDIDA. Idea de magnitud. Cantidad. Las magnitudes
longitud, superficie, volumen, amplitud, capacidad tiempo y dinero. Medida directa de
magnitudes ; sistemas de unidades de medida; evolución histórica Medida indirecta de
magnitudes: proporcionalidad aritmética y geométrica. Estimación y aproximación en la
medida.
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y A LA PROBABILIDAD. La
Estadística y sus usos. Población, muestra y variables estadísticas. Tablas y gráficos.
Medidas de posición central. Medidas de dispersión. Fenómenos aleatorios. Conceptos de
probabilidad. Asignación de probabilidad: regla de Laplace. La Estadística como
conocimiento cultural.
Programa de prácticas:
Las prácticas estarán referidas al desarrollo de las competencias asociadas a los temas de
teoría distribuidos en tres bloques, Aritmética, Geometría y Medida, Estadística y
Probabilidad y consistirán en:
- Resolución de problemas
- Conocimiento y uso de materiales didácticos.
- Lectura y análisis crítico de textos sobre matemáticas.
330
Metodología:
Metodología de los créditos teóricos:
El desarrollo del curso potenciará el protagonismo del alumno en su aprendizaje,
aumentando su trabajo autónomo que estará organizado por medio de clases teóricas y
atención tutorizada.
Las Clases teóricas, de 2 horas semanales presenciales en el aula , en las que el profesor
presentará, orientará y sintetizará los temas del programa, y guiará las reflexiones y análisis
de los alumnos basadas en las lecturas de los textos recomendados en la bibliografía; así
mismo presentará y facilitará la comprensión de aquellos contenidos teóricos que tengan
mayor complejidad.
La atención tutorizada en:
Seminarios de orientación, de 1 hora semanal en el aula, en la que el profesor atenderá las
cuestiones y dudas de los alumnos que participen, y presentará y contextualizará situaciones
problema sobre lo tratado en las clases teóricas y en el estudio independiente
Sesiones de Tutoría, en el despacho del profesor, para resolver las dudas, ayudar en el
estudio a los alumnos o grupos y hacer un seguimientos de las tareas propuestas.
Con objeto de dirigir la acción, se suministrarán unas guías de trabajo y hojas de
actividades que orienten al alumno y guíen el trabajo del profesor en clase.. Los alumnos
realizarán las tareas encomendadas, trabajando en grupos cuando sea procedente,
participarán en las puestas en común y desarrollarán y presentarán los trabajos elaborados,
empleando medios tecnológicos adecuados.
Metodología de los créditos prácticos:
Al hacerse más patentes las competencias que se espera que alcancen los alumnos, se
potencian también las actividades prácticas, en las que los alumnos actuarán sobre
materiales concretos, bajo la supervisión del profesor. Para ello en el momento de las
prácticas (las tres últimas semanas de cada trimestre) cada grupo se dividirá en tres
subgrupos que ocuparán de manera rotatoria y semanal tres espacios diferenciados:
Aula base del curso, en la que se lleva a cabo resolución de problemas matemáticos y de
enseñanza.
Seminario del Departamento de Didáctica de la Matemática, o un aula auxiliar, en el que
se ubicará un laboratorio de matemáticas.
Aula de Informática, en la que se realizarán prácticas matemáticas y didácticas empleando
ordenadores e Internet.
En el primer trimestre las prácticas estarán asociadas a los temas de Aritmética (tres
primeros temas) las del segundo a Geometría (tema 4) y las del último trimestre a Medida,
Estadística y probabilidad (temas 5 y 6)
El trabajo en los créditos prácticos priorizará la actuación de los alumnos, primero
individual, y luego en grupos. El profesor presentará las actividades, atenderá a las dudas,
animará el trabajo de los alumnos, y coordinará las puestas en común. Para ello se requiere
331
del uso de unos ‘cuadernos guía de prácticas’ con las instrucciones y actividades
pertinentes.
Evaluación:
El mayor contacto entre profesor y alumno en las tutorías y en las actividades prácticas
permiten un proceso de evaluación continuo, que facilita la orientación, y no se limita a la
calificación; para ello se recomienda a los alumnos hacer uso de las tutorías.
Para la calificación final del alumno se tendrá en cuenta:
a) La realización y la calidad de los trabajos, individuales o en grupo, propuestos por el
profesor, así como su presentación oral o escrita.
b) La superación de una o varias pruebas escritas a lo largo del curso sobre los contenidos
del programa.
c) El grado y la calidad de la participación en las actividades que tienen lugar durante las
clases;
d) La asistencia y aprovechamiento durante la realización de los tres módulos de prácticas y
el trabajo reflejado en los cuadernos de prácticas.
e) La asistencia regular a las clases teóricas.
La Calificación final deberá recoger la superación de los créditos teóricos y prácticos de
manera independiente.
Aquellos alumnos que opten por un seguimiento distinto de la asignatura tendrán la opción
de examen final que incluirá los contenidos de carácter teórico y práctico desarrollados
durante el curso.
Bibliografía.
Calendario (programación):
Primer cuatrimestre: Números, Sistemas de numeración. Aritmética (Temas 1, 2 y 3).
Segundo cuatrimestre: Geometría, Medida y Estadística y Probabilidad (temas 4, 5 y 6).
332
Anexo II
Guión de trabajo para el profesor y el alumno del tema primero de la asignatura
de Matemáticas y su Didáctica
333
DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA. UNIVERSIDAD DE
GRANADA
Asignatura: Matemática y su Didáctica en la Educación Primaria. Curso 2004-05
Guión del Tema 1: EL NÚMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
1. Usos del número natural (1, 123 y siguientes).
2. Concepto de número natural (1, 128 y siguientes).
3. Ordenar. La secuencia numérica. (1, 131-132). Cuantificar. Estrategias. El cero (1,
133 y siguientes) y (2, 31).
4. Representación del número. Sistemas de Numeración: antecedentes y evolución (1,
138 y siguientes) y (2, 31).
5. Sistemas posicionales. El sistema de Numeración Decimal (1, 140) y (2, 55).
6. Materiales y recursos (1, 141) y (2, 163).
Bibliografía
Castro, E. (Ed.) (2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria.
Síntesis: Madrid.
Gómez, B. (1988). Numeración y cálculo. Síntesis: Madrid.
Nortes, A. (1995). Matemáticas y su didáctica. Lerco Print: Madrid
Orientaciones para el trabajo del alumno
Tres son las ideas básicas asociadas a este tema: la idea de número natural que se
extrae de la reflexión sobre el concepto matemático, su uso y sus formas de
representación. En relación al concepto se pretende que el alumno tenga una idea del
significado del concepto de número desde sus concepciones ordinal y cardinal. En
relación a su uso se pretende que el alumno comprenda la importancia del dominio de
la secuencia numérica, conozca los principios básicos de la actividad de contar y las
estrategias que se emplean en los usos fundamentales del número: la ordenación y
cuantificación. En relación a las formas de representar los números el alumno debe
dominar los principios del funcionamiento del sistema de numeración decimal así
como otras formas de representación que permitan una reflexión y análisis del mismo:
existencia del cero, valor posicional, etc. Por último, el alumno debe conocer los
materiales y recursos más usuales en la enseñanza aprendizaje de los números y el
sistema de numeración como las regletas Cuisenaire, los bloques de multibase y el
334
ábaco. Las actividades que se proponen en hoja anexa son las cuestiones a las que el
alumno debe saber dar respuesta; también se presentan algunos ejemplos que pueden
servir de reflexión así como para poner de manifiesto si comprende las cuestiones
teóricas y sabe aplicarlas.
Organización temporal
7 de Octubre, Jueves (2 horas)
Epígrafes 1, 2 y 3. Actividades
14 de Octubre, Jueves (2 Epígrafes 4 y 5. Actividades
horas)
19 de Octubre, Martes (1 hora) Seminario de orientación tema 1. Actividades
21 de Octubre, Jueves (2 Epígrafes 5 y 6. Actividades. Presentación del tema
horas)
2
26 de Octubre, Martes (1 hora) Seminario de orientación tema 1: Actividades
Actividades de reflexión y evaluación
• ¿Qué es número? ¿Para qué se emplea (usa)?
• ¿En qué consiste contar/emparejar? ¿Qué tipo de número resulta de
contar/emparejar? ¿Cómo se caracteriza el número resultante de contar? ¿Cómo se
cuenta?
• ¿En qué consiste ordenar? ¿Qué tipo de número resulta de ordenar? ¿Cómo se
caracteriza el número resultante de ordenar?
• ¿De qué formas se representa el número? ¿Qué características tiene el sistema
decimal de numeración escrito? ¿Y el sistema oral? ¿En qué se diferencian del
sistema de numeración romano? ¿Qué otros sistemas tienen las mismas
características?
• ¿Qué particularidades tiene el cero? ¿Qué función tiene el signo del cero en el
sistema de numeración?
¿Qué materiales se pueden emplear para trabajar el sistema de numeración? ¿Cómo se
emplean cada uno de estos materiales?
335
LA NARRACIÓN COMO METODOLOGÍA DE INSTRUCCIÓN DE LAS
MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA: ESTUDIO DE CASO ÚNICO.
Francesca Marí Sabater. Psicóloga. Máster en Dificultades de Aprendizaje
Mª Dolores Gil Llario. Profesora Titular del Departamento de Psicología Evolutiva y de
la Educación de la Universitat de València. Estudi General [email protected]
RESUMEN
El objetivo del presente trabajo es mostrar cómo la narración constituye un
método de instrucción básico para la consolidación de los fundamentos de la
matemática temprana tal y como propone Bruner (1997). Como este autor señala, lo
interesante de una narración es resolver lo inesperado y explicar el desequilibrio que
originó el relato en su primer momento. De manera que el relato tiene dos aspectos: una
secuencia de acontecimientos y una valoración implícita de los acontecimientos
relatados. Se diferencia de una mera exposición de la información por la facilidad con
que el oyente se siente implicado, y en esa medida por su potencial motivador por todo
lo cual se convierte en un método especialmente interesante para trabajar el área de
matemáticas. En este trabajo se muestra una narración que recoge prácticamente todos
los objetivos básicos de 1º de Primaria de matemáticas atendiendo al conocimiento
informal de los niños en estas edades y haciendo de este modo significativo el
aprendizaje. De los nueve objetivos del bloque de numeración cinco se trabajan
directamente en la narración y tres no se trabajan directamente pero se pueden
introducir a través de la narración. En el bloque de operaciones tres se trabajan con la
narración y los otros tres de forma indirecta; los tres objetivos del bloque de problemas
se trabajan directamente mediante la narración así como dos de los tres del bloque de
topología. Tres de los cuatro objetivos del área de medidas también se pueden trabajar
aunque indirectamente y sólo el bloque de estadística quedaría sin tratar. La narración,
Quatrepins, además lleva asociadas una serie de actividades de tipo manipulativo
dirigidas a incrementar la comprensión y consolidación de los objetivos básicos. Este
procedimiento fue aplicado a un caso único. Se trata de una niña, Laia, que cursa
primero de E. Primaria y que a pesar de tener una inteligencia normal y no presentar
dificultades en los procesos básicos implicados en el desarrollo del pensamiento
matemático presenta un bajo rendimiento debido fundamentalmente a su baja
motivación. A esta niña le gustan mucho los cuentos e insiste en que las matemáticas
son “lo contrario de los cuentos” y por eso no le gustan nada. Esto hace que sus niveles
atencionales se reduzcan cuando se trata de una tarea matemática. Los resultados
muestran un claro aumento en su rendimiento matemático y sobre todo un interés por
las matemáticas que antes no tenía.
336
INTRODUCCIÓN
Las matemáticas constituyen un área de estudio que por numerosos motivos, entre los
que destaca la descontextualización de contenidos que ciertas prácticas instruccionales
han ocasionado, constituye un núcleo académico que genera rechazo en muchos niños
que inician su escolarización. Estos niños experimentan dificultades para captar la
significatividad y la utilidad que una buena competencia matemática les puede conferir.
Es preciso, por tanto, introducir prácticas instruccionales que tengan como objetivo
paliar este problema haciendo que los niños se interesen por las matemáticas desde el
principio, es decir, desde E. Infantil, de manera que de forma activa se impliquen en su
aprendizaje. Esta etapa así como los primeros cursos de Primaria son un período clave
de cara a la prevención de ulteriores dificultades de aprendizaje.
La narración, tal y como señala Bruner (1997), tiene la cualidad de atraer
inmediatamente la atención del lector. Además, no sólo la capta al inicio del relato sino
que la mantiene a lo largo del mismo ya que lo interesante de una narración es ir
resolviendo lo inesperado de manera que se vaya explicando el desequilibrio que
originó el relato en su primer momento. Así pues el relato supone una valoración
implícita de los acontecimientos relatados a lo largo del transcurso del propio relato.
La narración se diferencia de una mera exposición de la información por la facilidad con
que el oyente se siente implicado, y en esa medida por su potencial motivador por todo
lo cual se convierte en un método especialmente interesante para trabajar el área de
matemáticas en E. Infantil.
OBJETIVO:
El objetivo de este trabajo es mostrar cómo la narración puede constituir una estrategia
válida y eficaz para el tratamiento de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas
en niveles tempranos. Para ello se desarrolla un programa de intervención basado en la
narración donde se recogen prácticamente todos los objetivos básicos de 1º de Primaria
337
de matemáticas atendiendo al conocimiento informal de los niños en estas edades y
haciendo de este modo significativo el aprendizaje. Este procedimiento fue aplicado a
un caso único.
DESCRIPCIÓN DEL CASO.
Laia inicia 2º curso de primaria. En la última sesión de evaluación del pasado curso el
tutor insistió en la necesidad de trabajar los contenidos de matemáticas que no habían
sido asimilados por la niña. Teniendo en cuenta el carácter acumulativo de la materia,
era importante consolidar estos aprendizajes para evitar mayores dificultades. El tutor
consideraba que la alumna tenía una buena capacidad de razonamiento. Además
destacaba su motivación por la lectura y por los cuentos. Describía su actitud ante las
matemàticas como de “bloqueo” que impedía su avance en los aprendizajes.
El centro cuenta con el asesoramiento de un gabinete psicopedagógico municipal. La
psicóloga de este gabinete realiza a principios de curso y a demanda del tutor, una
valoración psicopedagógica de la alumna obteniendo los siguientes datos:
-
Las capacidades cognitivas generales de la niña se situan en el rango medio.(CI= 110.
Valoración mediante WISC-R). Esto sugiere un buen razonamiento tanto verbal como
lógico.
-
Cabe destacar la buena ejecución, ligeramente superior al rango medio, en las
subpruebas Historietas, Comprensión y Semejanzas, denotando buenas capacidades de
razonamiento verbal, captación de secuencias temporales y relaciones causa-efecto.
-
Por otro lado, se observa una ejecución deficiente (por debajo del rango medio) en la
subpruebas Aritmética y Dígitos. Teniendo en cuenta que las puntuaciones del resto de
la subpruebas en las que la atención está implicada (figuras incompletas, cubos,
laberintos…) se sitúan dentro del rango medio, se descarta un posible déficit de
atención.
338
-
La alumna se muestra colaboradora y participativa durante el proceso de evaluación.
Resulta significativo el cambio de actitud que se da cuando las tareas requeridas son
numéricas. “Esto seguro que no me sale…” “no me gustan los números…” “¿más
números…? … son algunas de sus verbalizaciones.
-
Se administra una prueba criterial para valorar el grado de asimilación de los contenidos
correspondientes a primer curso de ciclo inicial según el proyecto curricular del centro.
Los resultados de esta valoración inicial se recogen en el siguiente cuadro:
OBJETIVOS DE MATEMÀTICAS PARA 1º
NUMERACIÓN
A: Asimilado
PA: Parcialmente asimilado
NA: No asimilado.
Formar grupos de diferentes maneras.
PA
Clasificar en función de dos criterios.
PA
Seguir series.
NA
Anterior y posterior de números menores de 100.
NA
Dictado y lectura de números menores de 100.
PA
Asociar número y cantidad.
PA
Ordenar números menores de 100.
PA
Ordinales: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, último.
PA
OPERACIONES
Suma sin llevar y llevando.
NA
Resta sin llevar.
PA
Números pares y impares, del 0 al 9.
NA
Cálculo mental con la suma.
PA
Uso de la calculadora para corregir.
PA
Estimación por aproximación (cantidades y medidas
NA
naturales)
PROBLEMAS
Problemas sencillos de sumar de una operación.
PA
339
Problemas sencillos de restar de una operación.
NA
Aplicación de problemas a la vida real.
NA
TOPOLOGIA-GEOMETRIA
Representación en el espacio (derecha/ izquierda)
Reconocer y dibujar formas (cuadrado, círculo, triangulo,
PA
A
rectangulo y rombo)
MEDIDAS
Medidas naturales de longitud (pie, plamo, paso...)
PA
Monedas.
NA
Tiempo (año, mes, semana, día)
NA
Utilización del reloj (horas en punto)
PA
ESTADÍSTICA
Recogida y registro de datos.
PA
Probabilidad a nivel intuitivo. Fenómenos aleatorios.
PA
A partir de estos resultados se observan dificultades en todos los bloques de contenidos.
-
Se concluye que la baja motivación de la niña ante los datos numéricos compromete su
rendimiento en las tareas matemáticas. Por ello se programa durante el primer trimestre,
la asistencia de la niña al aula de pedagogía terapéutica para trabajar de manera
sistemática estos contenidos.
PROGRAMA DE INTERVENCIÓN: QUATREPINS.
A partir de los datos aportados por el tutor y por la valoración psicopedagógica se
desarrolla un programa de intervención con los siguientes objetivos:
-
Recuperar los contenidos no asimilados por la niña durante el pasado
curso.
-
Aumentar la motivación por las matemàticas de la alumna,
“desbloqueando” su actitud negativa hacia los datos numéricos.
340
Se considera que para promover aprendizajes significativos, será necesario partir de una
metodología motivante para la niña, que dote de una funcionalidad real e inmediata a
cada contenido que se presente. Por ello se decide recurrir a la narrativa como método
de introducción de las tareas matemáticas.
Tomando estas consideraciones, se elabora un cuento que constituirá el hilo conductor a
partir del cual se irán introduciendo sucesivamente diferentes contenidos matemáticos.
Las situaciones presentadas en la historia contextualizarán estos contenidos, dándoles
un sentido y funcionalidad explícita, de aplicación inmediata para la resolución de
dichas situaciones.
Así se programa una intervención de dos sesiones semanales durante el primer
trimestre por parte de la maestra de pedagogía terapéutica en atención individualizada.
En la primera sesión semanal se introducirán los contenidos a través de la narrativa, en
la segunda se realizaran actividades de práctica y consolidación de estos contenidos sin
perder de vista el referente contextualizador del cuento. Así mantenemos la motivación
tanto por la historia como por los aspectos trabajados.
341
Quatrepins (escrita originalmente en valenciano, en castellano, Cuatropinos) explica
la historia de una maestra y sus dos hijos que van a vivir a un pequeño pueblo. La
escuela de este pueblo se reabrirá con su llegada después de años de inactividad. Sus
habitantes han olvidado cómo funcionan los números y por ello la maestra y los niños se
encuentran con situaciones curiosas que tendrán que resolver.
En el siguiente cuadro presentamos los contenidos que se trabajan explícitamente en el
cuento y aquellos que, aunque no se trabajan directamente, se pueden introducir al hilo
de la historia:
CONTENIDOS TRABAJADOS
CONTENIDOS QUE SE PUEDEN
DIRECTAMENTE
INTRODUCIR
NUMERACIÓN
Seguir series.
Dictado y lectura de números menores de
Anterior y posterior de números menores
342
100.
de 100.
Ordinales: primero, segundo, tercero,
cuarto, quinto, último.
OPERACIONES
Resta sin llevar.
Estimación por aproximación (cantidades
y medidas naturales)
PROBLEMAS (todos los contenidos se trabajan directamente)
TOPOLOGIA-GEOMETRIA (todos los contenidos se trabajan directamente)
Reconocer y dibujar formas (cuadrado, círculo, triangulo, rectangulo y rombo)
MEDIDAS (todos los contenidos se pueden introducir
de manera contextualizada a la narración)
Medidas naturales de longitud (pie, palmo, paso...)
Monedas.
Los contenidos referidos al bloque de estadística no se trabajan en la historia.
A modo de ejemplo veremos algunas situaciones referidas en el cuento y los aspectos
que se trabajan:
343
4
- Todavía no hemos llegado y ya estoy harta de este pueblo- lloriqueaba
Paula.
Así que dejaron el coche allà mismo, bajaron la bicicletas del portaequipajes
y las cargaron como pudieron con el resto de cosas que llevaban.
Mientras caminaban con las bicis cogidas por el manillar, vieron una cosa
que hizo que se detuvieran de tan extraña que les pareció.
QUATREPINS A 35 PASOS
cinco
- ¡Esto no puede ser! - Exclamó Paula.
- ¿Quien habrá sido el bromista que nos has querido engañar de esta
manera? - dijo Andreu.
- Es cierot niños, no es posible que cuanto más avancemos, más pasos
falten para llegar al pueblo. Estas señales tendrían que estar ordenadas de
mayor a menor.
-Tendríamos que colocarlas bien para que nadie más se líe- propuso
Paula.
-¡Vale! ¡Es una buena idea! - exclamó Andreu.
Así que bajaron de las bicis y cambiaron los carteles.
344
6
seis
Podemos ver como en esta secuencia de la historia, que constituiría una sesión de
trabajo, se trabajan los siguientes aspectos:
-
Este es un contenido que se repite en cada página del cuento. En la parte
superior siempre aparece un ejercicio en el que la niña tendrá que completar bien
la expresión numérica o bien la cantidad de objetos a la que se refiere.
-
Lectura de números menores de 100.
-
-
Ordinales: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, último.
Por otra parte se facilita el contexto para introducir el contenido referido a las medidas
naturales, a la estimación por aproximación y a la resolución de problemas. Así, en la
siguiente sesión, posteriormente a la lectura y resolución explícita de la situación, se
pueden plantear otras actividades:
-
Medir en pasos la clase, en palmos la mesa…
345
-
Estimar cuántos pasos puede medir el patio para posteriormente comprobar.
-
Ordenar ciudades según la distancia a la que se encuentran mirando un mapa.
-
Calcular los pasos que nos faltan para llegar al final del pasillo si sabemos que mide
a y ya hemos recorrido b.
-
Etc…
EVALUACIÓN.
Al final del primer trimestre se realiza una valoración de la efectividad del programa.
Para ello se recogen datos a partir de una prueba criterial paralela a la administrada en la
evaluación inicial y a partir de las informaciones proporcionadas por el tutor y la
maestra de pedagogía terapéutica.
En el siguiente cuadro comparamos resultados de la prueba criterial inicial y la
administrada post-intervención:
A: Asimilado
OBJETIVOS DE MATEMÀTICAS PARA 1º
PA: Parcialmente asimilado
NA: No asimilado.
PRE-interv
POST-interv
NUMERACIÓN
PA
PA
PA
PA
Seguir series.
NA
PA
Anterior y posterior de números menores de 100.
NA
A
Dictado y lectura de números menores de 100.
PA
A
PA
A
PA
A
Ordinales: primero, segundo, tercero, cuarto, quinto,
PA
A
último.
346
OPERACIONES
NA
PA
Resta sin llevar.
PA
A
NA
A
PA
PA
PA
A
Estimación por aproximación (cantidades y medidas
NA
PA
PA
A
NA
PA
NA
PA
PA
A
A
A
Medidas naturales de longitud (pie, palmo, paso...)
PA
PA
Monedas.
NA
PA
NA
PA
PA
PA
Recogida y registro de datos.
PA
PA
Probabilidad a nivel intuitivo. Fenómenos aleatorios.
PA
PA
naturales)
PROBLEMAS
TOPOLOGIA-GEOMETRIA
Reconocer y dibujar formas (cuadrado, círculo, triangulo,
rectangulo y rombo)
MEDIDAS
ESTADÍSTICA
Como podemos observar, los progresos han sido significativos en todos los bloques de
contenidos.
Por otra parte tanto el tutor como la maestra de pedagogía terapéutica coinciden en
señalar que:
347
-
Ha habido un notable cambio de actitud hacia las tareas matemáticas que se
manifiesta en:
o Mayor motivación y participación en la clase de matemáticas,
o Verbalizaciones que reflejan sus sentimientos de competencia (“ahora ya
me sale”, “seguro que lo tengo bien”, …),
o Generalizaciones de lo aprendido a otras áreas y a situaciones de la vida
cotidiana.
CONCLUSIONES
El hecho de partir de unos niveles de razonamiento adecuados nos llevó a considerar
que la falta de motivación era la causa fundamental del bajo rendimiento de la alumna.
La baja competencia, repercutía a su vez en la motivación, generándose un círculo
vicioso difícil de superar.
Por ello se recurrió al uso de una metodología, cuyas características enlazaban bien con
el estilo de aprendizaje de la alumna. Así se consiguió una mejora considerable de la
motivación de la niña y consiguientemente un aumento de su capacidad de aprendizaje
de las matemáticas.
La narrativa constituye en este caso una metodología válida y eficaz para trabajar
contenidos matemáticos.
BIBLIOGRAFÍA:
Bruner, J. (1997): La educación puerta de la cultura. Madrid: Aprendizaje Visor.
348
Nanci Bell, M.A., Director
Lindamood-Bell Learning Processes
416 Higuera Street
San Luis Obispo, CA 93401 USA
(805) 541-3836
(805) 541-5392 fax
[email protected]
Jennifer Egan, M.A., Director of Curriculum
Gander Educational Publishing
412 Higuera Street
San Luis Obispo, California 93401 USA
[email protected]
Summary
Dual Coding Theory (DCT) is a theory of mind in which all cognition consists of the
independent activity of, or interplay between, two great mental codes: a verbal code
specialized for language and a nonverbal code specialized for knowledge of the world in
the form of mental images. Mathematical cognition requires that dual coding ability—
interplay between the verbal and nonverbal codes. Mathematical instruction in mentally
encoding information in both linguistic and imaginistic forms results in significant gains
in mathematical reasoning, problem solving, and computation. The nonverbal code of
imagery for math requires accessing both concept imagery (the ability to create mental
representations for a whole) and numeral imagery (the ability to create mental
representations for numerals and math facts). The direct and explicit development and
application of the dual coding to math results in statistically significant improvement in
math for children aged six to eight years. For example, after fifty-five hours of
stimulation, the mean improvement in math computation was 91 to 101 in standard
scores or from the 27th to the 53rd percentile. As cognitive psychologist, Pribram, stated,
“We cannot think about something of which we are not consciously aware, and we
cannot be aware of something not perceived sufficiently at the sensory level to come to
consciousness.” Imagery is a sensory-cognitive factor underlying competency in
mathematics. This presentation will discuss the role of dual coding in math instruction,
show some specific steps, and present data.
349
Infantil: Análisis cualitativo de una situación de juego
Carlos de Castro Hernández, [email protected], Centro Superior de Estudios
Universitarios La Salle (Universidad Autónoma de Madrid)
Beatriz Escorial González, [email protected], Colegio Las Naciones de Madrid
RESUMEN
La investigación se desarrolla en un aula del último curso de Educación Infantil (5 y
6 años) en que los alumnos siguen una metodología de aprendizaje por proyectos. El
aprendizaje matemático en los proyectos es significativo y funcional, pero carece de la
sistematicidad que requiere el aprendizaje de ciertas destrezas matemáticas básicas,
como la lectura y escritura de números. En esta situación, se plantea el interrogante
sobre qué tipo de situaciones de aprendizaje, compatibles y complementarias con el
enfoque de proyectos, permitirán a los niños aprender destrezas numéricas. La opción
tomada en el diseño del curso, para abordar esta problemática, es el diseño de un taller
de juegos matemáticos. Uno de los juegos utilizados es el bingo.
En este contexto, planteamos el problema de investigación: Analizar las estrategias
que emplean los niños de cinco y seis años en el juego del bingo para leer y escribir
números de dos cifras.
Participan en la investigación un grupo de alumnos del Colegio Las Naciones de
Madrid. Los alumnos comienzan el curso jugando al bingo con el juego restringido a los
diez primeros números. En las primeras sesiones utilizan una recta numérica, situada en
la pared, para ayudarse en la lecto-escritura de números. En el primer trimestre
aprenden la dinámica del juego y reconocen, sin necesidad de la recta numérica,
números de una cifra. Durante el segundo trimestre, el bingo se amplía hasta los 30
primeros números. Los niños pasan de utilizar una recta numérica a una tabla con los
cien primeros números. En el trimestre final, el juego se desarrolla con los números del
31 al 60. La mayoría de los niños acaban prescindiendo de la “tabla cien” para la lectoescritura numérica.
Se ha utilizado una metodología cualitativa. Algunas sesiones de trabajo han sido
grabadas en vídeo y en otras se han recogido información fotográfica y grabaciones de
audio, transcritas para su posterior análisis.
Los niños emplearon dos estrategias básicas: el uso de la recta numérica o la tabla
cien, y la lectura directa de los números. Algunos niños no fueron capaces, al utilizar la
“tabla cien”, de coordinar la recitación de la secuencia numérica oral con el
señalamiento de números y el reconocimiento de los mismos. Estos niños emplearon
una variante de la estrategia consistente en reconocer primero el número que debían leer
para realizar a continuación la correspondencia entre los numerales orales y escritos.
Los participantes aprenden a leer y escribir números de dos cifras en Educación
Infantil, aunque estas destrezas suelen limitarse en esta etapa a números de una cifra.
Los niños tienden, sin orientación de la maestra, a utilizar estrategias más eficientes
para dinamizar el juego. Así, la práctica de lectura y escritura no resulta repetitiva. No
ha habido un abuso de práctica que tendiera a fijar estrategias poco eficientes,
ocasionando obstáculos en el aprendizaje. Un elemento fundamental ha sido la “tabla
cien” como instrumento facilitador del proceso de lecto-escritura numérica. Su
aparición fue “sugerida” por los alumnos al solicitarnos “una recta numérica más grande
en dos filas”.
350
351
International Symposium on Early Mathematics/Symposium
Internacional sobre Matemática Temprana Cadiz-Spain, 5-6
May 2006 Grupo de Investigación HUM-634 Departamento de
Psicología
POSTERS
VIERNES & SÁBADO/Friday & Saturday 5-6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
El desarrollo temprano de la propiedad conmutativa de la adición en tareas
de engaño perceptivo.
Purificación Rodríguez Marcos, Lorena Alameda Mena y Laura Jiménez
Márquez
Exploring Kindergarten Children’s Number Skills. Meike Gruessing,
La resolución de problemas verbales que requieren distintas consideraciones
del contexto de la vida real.
Laura Jiménez Márquez, Mª Oliva Lago Marcos y Mª Lourdes Hernández
Rincón.
Mathematics Education and Neurosciences (MENS). Fenna van Nes & Titia
Gebuis
Acquisition of concrete operational skills in first and second grade pupils.
Alicja Maurer & Danuta Kmita
Validación de una prueba de evaluación criterial de los contenidos
matemáticos en educación infantil: determinación de los puntos de corte,
fiabilidad y validez.
Mª Dolores Gil Llario, Consuelo Vicent Català y Adela Descals Tomas
Can rhythm help children in mathematics difficulties? Piccinini, P.
Developing confidence and competence in early mathematics in England.
Chris Kyriacou & Maria Goulding
Conocimiento, uso y control de las estrategias de resolución de problemas en
estudiantes de 5º de educación primaria.
Mª Dolores Gil Llario y Francesca Marí Sabater
Los forros de los cuerpos: una actividad para apoyar el desarrollo de la
percepción geométrica en preescolar. Bertha Vivanco Ocampo
Enhancing mathematical skills in pre-schoolers – development and
evaluation of a programme for the kindergarten. C. Quaiser-Pohl
352
POSTER 1
EL DESARROLLO TEMPRANO DE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA DE
LA ADICIÓN EN TAREAS DE ENGAÑO PERCEPTIVO.
Purificación Rodríguez Marcos, Lorena Alameda Mena y Laura Jiménez Márquez
El ambiente en el que se desarrollan los niños pequeños les ofrece múltiples
oportunidades para el descubrimiento de los efectos de las operaciones aritméticas
básicas (p.e., Bisanz, Sherman, Rasmussen y Ho, 2005; Bryant, 1997; Caballero, 2005;
Ginsburg, Klein y Starkey, 1998). El examen de estas competencias tempranas ha
permitido poner de manifiesto, por un lado, que los niños de Educación Infantil emplean
diversos procedimientos de resolución apoyándose en referentes externos como los
dedos. Por otro, que poseen un cierto conocimiento conceptual sobre los principios que
subyacen a las operaciones. Así, diversos estudios han apoyado la visión de que el
principio de inversión surge tempranamente en el razonamiento infantil (p.e., Bryant,
Christie y Rendu, 1999; Klein y Bisanz, 2000; Rasmusen, Ho y Bisanz, 2003). En una
línea similar se sitúan los estudios sobre la propiedad conmutativa de la adición, que
constituye el objeto de este estudio. En general, sugieren que los niños pequeños tienen
una cierta comprensión de la conmutatividad y plantean niveles de desarrollo, como los
propuestos por Baroody y Gannon (1984), Resnick (1992) y Bermejo y Rodríguez
(1993). No obstante, algunos autores, como Cowan (2003), señalan que las tareas que se
han utilizado para medir la comprensión de la conmutatividad en el nivel de las
cantidades resultan cuestionables. En efecto, el hecho de que los niños reconozcan que
a+b=b+a no garantiza el conocimiento de que el resultado de la suma es idéntico en
ambas cuentas. Teniendo en cuenta esto, hemos presentado a 25 niños de 2º de E.I. y 25
de 3º de Educación Infantil tres tareas de conmutatividad. La primera fue la prueba
clásica a la que hemos denominado Conmutatividad Estándar (a+b=b+a), mientras que
en la segunda (Conmutatividad con Engaño en el Continente) y en la tercera
(Conmutatividad con Engaño en el Contenido) los niños han de construir la igualdad
(a+b= b+?). Además, en estas últimas hemos introducido un engaño perceptivo, bien en
el continente, bien en el contenido, para diferenciar entre los que realmente tienen el
principio de conmutatividad de aquéllos que simplemente hacen una comparación
perceptiva de las dos cuentas sin reparar en que el resultado ha de ser el mismo. Se
realizó un ANOVA mixto 2 (Curso: 2º vs 3º de E.I.) x 3 (Tareas: Conmutatividad
estándar vs. Conmutatividad con Engaño en el Continenete vs. Comutatividad con
engaño en el Contenido) con medidas repetidas en el último factor con el programa
SPSS 12.0. Los resultados indicaron que eran significativos los efectos principales de
ambos factores. Los niños mayores obtenían mejores rendimientos que los más
pequeños (M=1.320 vs. M=0.480) y las comparaciones por pares en el factor Tarea
mostraron que existían diferencias entre ellas. Independientemente del nivel académico,
la Tarea de Conmutatividad Estándar fue la más sencilla (M= 1.320), a continuación la
Tarea de Conmutatividad con Engaño en el Continente (M= 0.860) y, finalmente, la
Tarea de Conmutatividad con Engaño en el Contenido (M= 0.520). En suma, estos
datos apuntan que el conocimiento de los niños de E.I. sobre la conmutatividad resulta
poco elaborado y está influido por factores perceptivos.
353
POSTER 2
Exploring Kindergarten Children’s Number Skills
Meike Gruessing, University of Oldenburg
[email protected]
Summary
Research in children’s development of number concept (e.g. Clements 1984) suggests
that the development of number concept is based on the integration of various abilities
and skills such as seriation, one-to-one correspondence, subitizing and counting. In
addition, results of longitudinal studies (e.g. Krajewski, 2003) show that knowledge
about quantities and numbers can be seen as an important pre-competency for
mathematical learning. The findings suggest that it is possible to predict and minimize
potential mathematical learning difficulties of children at risk prior to them starting
school.
In this context, the poster presents a study that seeks to investigate young children's
mathematical understanding in the final year at kindergarten. The data collection is
based on two different instruments:
The OTZ (van Luit, van de Rijt & Hasemann, 2001) is a standardized test aiming to
measure childen’s development of number concept. The individual level of early number
concept development is determined by comparing the performance of the child with that of
peers in a norm group.
In addition to the OTZ, the data collection involves a task-based one-on-one interview
which allows children to articulate their developing mathematical understanding
through the use of specific materials provided for each task. This interview was
developed by the research team of the Australian Early Numeracy Research Project (e.g.
see Clarke, 2001) in order to provide teachers with a picture of the mathematical
knowledge and understandings that children bring to school. The tasks of the interview
are linked to a framework of „growth points“ in children’s understanding of
mathematics. An additional “First Year Detour“ was developed for all five year-old
children and for any children in grades 1 or 2 who are unable to count a collection of
just over 20 small plastic teddy bears. It covers concepts such as “more” and “less”, the
language of location, conservation, subitizing, numeral recognition, seriation and oneto-one correspondence.
Based on interviews with 850 kindergarten children (five-year-olds) a range of number
skills that most pre-schoolers demonstrated especially in the material based interviews
were identified. However, around 10 % of the children clearly struggled with certain
areas relevant to the development of number concept such as seriation, part-wholerelationships, ordering numbers and counting small collections. They were identified as
“children at risk” with respect to their later school mathematics learning.
In the poster the question how young children can be supported effectively in terms of
their number concept development in early childhood education in the transition from
kindergarten to primary school will be explored.
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355
POSTER 3
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VERBALES QUE REQUIEREN
DISTINTAS CONSIDERACIONES DEL CONTEXTO DE LA VIDA REAL
Laura Jiménez Márquez, Mª Oliva Lago Marcos y Mª Lourdes Hernández Rincón.
Desde que Estrella Baruk publicara en 1985 su libro Le age du capitaine se ha
desarrollado una gran cantidad de investigación centrada en estudiar la supuesta falta de
sentido común observada en los procedimientos de resolución que emplean los niños
cuando resuelven problemas sencillos, pero carentes de sentido, en el contexto del
mundo real (p.e., “Hay 25 cabras y 10 ovejas en un barco. ¿Cuántos años tiene el
capitán?” responden sumamos las 25 cabras más las 10 ovejas que hay en el barco y
averiguamos la edad del capitán). Para intentar comprobar el alcance de esta conducta
se han llevado a cabo múltiples estudios empleando distintos tipos de problemas
verbales (p.e., Cooper & Harries, 2002; Gravemeijer, 1997; Greer, 1997; Hatano, 1997;
Inoue, 2005; Reusser & Stebler, 1997; Verschaffel, Greer y De Corte, 2000; Wyndhamn
& Säljö, 1997; Yoshida, Verschaffel & De Corte, 1997). En general, los resultados han
revelado que son muy pocos los niños que tienen en cuenta las consideraciones del
contexto del problema a la hora de resolverlos (en torno al el 30%). La mayoría de los
autores convergen en que esta tasa de fracaso no es debida a un déficit cognitivo, sino a
un proceso mecánico de resolución de los problemas escolares y a que desconocen el
grado de realismo permitido en sus respuestas (p.e., Cooper, 1992; Cooper & Harries,
2002; Gravemeijer, 1997). Sin embargo, una posible carencia de estos trabajos es que
bajo la nomenclatura de problemas realistas han analizado conjuntamente problemas
que requieren consideraciones muy distintas por parte de los niños, bien porque no
tienen sentido, omiten información relevante, son ambiguos o porque es necesario tener
en cuenta factores tan inusuales como el cansancio de un corredor durante una carrera.
Teniendo en cuenta esto, en la presente investigación hemos evaluado a 22 niños de 2º
de E.P. empleando 4 tipos de problemas realistas: irresolubles, soluciones múltiples,
datos irrelevantes y solución en el enunciado. Nuestro objetivo era estudiar las
respuestas realistas de los niños en función de las demandas del problema e intentar
establecer un orden de dificultad entre ellos. Los resultados indicaron que los más
complicados eran los de soluciones múltiples (13,6%) y los que omitían información
relevante (15,9%), a los que seguían los problemas que incluían datos irrelevantes
(40,9%) en el enunciado y, finalmente, los que ofrecían la solución en el propio
enunciado (45,5%). Además, el 85% de los niños se enfrentaron a estos problemas
siguiendo una misma estrategia de solución consistente en operar sobre las cantidades
con independencia de las demandas de la situación.
356
POSTER 4
MATHEMATICS EDUCATION AND NEUROSCIENCES (MENS)
Fenna van Nes (MSc) of the Freudenthal Institute, The Netherlands Email:
[email protected]
Co-authored by Titia Gebuis (MSc) of the Helmholtz Institute, Department of
Psychonomics, The Netherlands
Abstract
The Mathematics Education and Neurosciences (MENS) project is a unique
project that focuses on the interdisciplinary cooperation of researchers in mathematics
education and neuropsychology in the context of a study on how young children (four to
seven years of age) solve mathematical problems. As the project has only started in
September 2005, this article will describe the ongoing search process that the authors
are experiencing in trying to develop a clear experimental set-up with effective tasks
that allow for the research questions to be answered.
Introduction
How do young children solve mathematics problems? What can the method that a child
applies tell us about the child’s mathematical abilities and about the development of
these abilities? What can be observed in the brains of these children as they struggle
with mathematics problems?
In order for these questions to be answered, Fenna van Nes, supervised by Prof. Dr. J.
de Lange of the Freudenthal Institute and Titia Gebuis, supervised by Prof. Dr. E. de
Haan of the Helmholtz Institute, work in close collaboration to integrate their respective
mathematics educational and neuropsychological research. The necessity for such
integration has been propagated at many recent scientific debates. One such debate
occurred during an invitational conference at the ‘Week of the Brain & Learning’
(‘Week van de Hersenen & Leren’) that was held in the Netherlands in 2004 and was
357
organized by the Dutch organization for scientific research (see the NWO conference
report Jolles et al., 2004). During this conference, forty neuroscientists, cognitive and
educational scientists debated in workshops about how current education in the
Netherlands does not make enough use of the developmental potential of young
children. It was therefore agreed that it is necessary to research the mathematical and
scientific potentials from a greater developmental perspective and to not only study this
at either a cognitive level or a neural level of the brain, but especially at the relationship
between these two levels.
During this conference, a new method of performing research on cognitive processes
that are fundamental to language, mathematics and abstract thinking was suggested.
This method emphasizes the implementation of studies in a multidisciplinary setting. It
is in such a setting that neuropsychologists and cognitive psychologists can and should
work together with professionals in the field of mathematics education. The significance
of this collaboration lies in the correlation between theory and practical situations; such
a cooperative method of performing research provides the research with a strong
theoretical basis from which testable predictions can be made. The result is theoretical
research that may be applied to practical situations in a more direct and convincing way.
The objectives of the MENS project originate from relevant recent discussions such as
those described above. The search itself towards an integration of mathematics
educational research and neuropsychological research should already guide new
approaches for future research on how children learn and develop basic cognitive
abilities. Furthermore, results of the studies should contribute to knowledge on the
development of mathematical abilities in young children. These results are highly
significant in a practical setting in that they can help strengthen the link between the
358
intuitive interests in mathematical problems that children have at a very young age (i.e.
comparing, sharing and grasping space) and the more formal instruction that children
are introduced to in school. In addition to these theoretical and practical outcomes, the
authors hope to find longitudinal results that shed light on the development of
mathematical abilities, so that pointers to possible complications in this development
can be identified and redressed as soon as possible.
Theoretical backgrounds
Young explorers
Children are naturally extremely keen to explore the world around them, as they
constantly ask questions and want to know more. Every day is filled with astonishing
discoveries and great leaps in understanding. Much research has shown that children are
able to compare quantities at surprisingly young ages. Lipton and Spelke (2003), for
example, studied whether infants compare quantities based on the numerical qualities or
on the relative spatial areas of two sets. Earlier research has shown that infants as young
as six months can compare the quantities of two visually presented sets (Xu & Spelke,
2000). Lipton and Spelke contributed to these outcomes by studying how six-month old
and nine-month old infants compare two quantities that are presented orally. The sixmonth old babies did respond to the difference between 16 tones and 8 tones, but not to
the difference between 12 tones and 8 tones. In contrast, the nine-month old babies
responded to differences in both conditions. Apparently, then, the ability to distinguish
between quantities of two sets is present early in a child’s development, even before the
development of language and symbolic counting. Furthermore, this ability seems to
improve as children grow older.
359
The development of spatial abilities also occurs at a very young age. Huttenlocher et al.
(1994) demonstrated in a study that 16 and 24-month old infants are able to use distance
as a measure to locate hidden objects in a sandbox. Hence, the ability to estimate
distances can already be observed at such early ages and, according to this study, this
ability occurs independent of markers in the child’s environment and of the position of
the child with respect to the hidden object. These results are important indicators of the
early development of spatial insights in young children.
Studies such as these highlight the prominent roles that number sense and spatial
thinking play in de development of mathematical abilities in young children. This is
why number sense and spatial reasoning have become two central themes of the MENS
project.
Number sense
Number sense can broadly be defined as the ease and flexibility with which children
proceed with numbers. In addition, number sense concerns an understanding of
quantities and of the different meanings that numbers have and the ability to relate these
different meanings in various situations (Van den Heuvel-Panhuizen, 2001). Most
children begin to develop number sense before they start school thanks to (instructive)
experiences that they may have with parents and siblings (Beningo & Ellis, 2004;
Tudge & Doucet, 2004).
As children improve their counting skills, they discover easier ways to work with
numbers and they begin to understand how numbers can be represented in various ways
and how they can be used as various points of reference. This is where counting rhymes
and verses play an important instructional role (Van den Heuvel-Panhuizen, 2001). A
360
crucial characteristic of number sense is also the ability to compare two sets of
quantities. Children quickly develop a sense for the size of a set and for the composition
of numbers so that they increasingly gain insight into relationships between quantities
and numbers (Gersten & Chard, 1999; Griffin, 2005).
The development of number sense not only involves the learning of numbers and of
their qualities, but also the understanding of numbers and quantities in relation to daily
life situations. Two important concepts in this context are ordinality and cardinality.
Ordinality concerns the order that numbers are presented in; a concept that is important
for mastering measurement skills for example. As discussed earlier, cardinality concerns
an understanding of numbers that begins to develop at a young age. Most children
master cardinality by their fifth year. This allows them to count a number of objects in a
set and to tell how many objects are in the set, since by this stage they have come to
understand that the act of counting objects leads to a number which at the same time
indicates the total number of counted objects (Van den Heuvel-Panhuizen, 2001).
Spatial thinking
Typically, spatial thinking is not usually as explicitly instructed in schools as number
sense is. This is intriguing considering that spatial thinking is so necessary for the
successful development of number sense (Rubinsten et al., 2002). Young children’s
spatial thinking mainly concerns the grasping and understanding of the world around
them. Spatial thinking involves shapes, figures, proportions and relationships between
objects, as well as orientation, location and the ability to describe a trajectory (see for
example Van den Heuvel-Panhuizen & Buys, 2005). In one study, Sophian (2000)
demonstrated that four and five-year olds already are able to perceive differences in
proportions. The children in this study were successful at determining which of the two
361
smaller figures on the bottom of a page were the same as the larger figure portrayed on
the top of a page. They performed this task by comparing the relative sizes of the
figures without being distracted by conditions in which the shapes of figures were
proportionally different from each other. Sophian concluded from this study that
children from a very young age portray an insight into proportionality with respect to
the specific shapes of two figures.
Searching for a multidisciplinary approach
Theoretical considerations
At the very beginning of the MENS project, the authors saw many topics, theories and
hypotheses go by in their search for intelligible and elegant research questions about the
development of early mathematical thinking. Which social factors are to be considered,
which methods of teaching and learning environments may stimulate the learning of
mathematics, and what about children who experience difficulties in the development of
basic mathematical concepts?
This search process is gradually crystallizing into more focused research topics that
have boosted the beginning of the project. At this point, the research is dedicated to
comparing the methods that children use to solve tasks that are related either to number
sense or to spatial thinking. The authors assume that strategy usage of children is a
useful indicator of how they approach a problem. Hence, it is expected that strategy
usage of children who perform relatively weak in mathematics will differ from strategy
usage of children who perform relatively stronger in mathematics. Such differences
should be perceivable at a behavioral as well as a neurological level. As such, the study
will compare strategy usage on number sense tasks and on spatial tasks to cognitive
processes in reaction time tasks and, at a later stage in the project, to neurological
362
processes that are to be observed during the EEG study. This will shed light on the
developmental process of mathematical abilities and highlight possible complications
that can occur in this development. Ultimately, the goal is to apply the knowledge from
this study to practical situations in schools and homes so that all children can
appropriately be supported in the emergence of their mathematical abilities.
Methodological challenges
Already from the start of the project it became clear how the cutting-edge aspect of the
project at the same time can be considered to be the most challenging aspect of the
project; although the integration of the two domains is greatly innovative at a theoretical
level, in practice this implies that the two domains must also be unitable at a
methodological level which should lead to one cooperative study.
One great methodological difference between the two domains is that mathematics
educational research typically makes use of qualitative methods with quantitative
components in a mixed methods design. In contrast, EEG studies in neuropsychological
research rely on entirely quantitative methods. In the mathematics educational research
domain, the authors will perform thorough, individually administered interviews about
the strategy usage of a select number of children. This differs from the methodology of
EEG studies in which no distinction can be made between individual differences and in
which only groups are examined that are of a substantial and stable size. This contrast in
methodology has important implications for the number of children that will be tested in
the combined study. Since groups in an EEG study can not be differentiated in
retrospect, it will also be necessary to identify in advance the groups that are to be
compared in the experiment and analyses.
363
The EEG technique is very sensitive to interference from brainwaves that arise
independently of the brainwaves that occur in response to the experimental condition. It
is therefore crucial that the children can and do keep their attention focused on the tasks,
and that the tasks are kept as simple and minimalistic as possible so that the resulting
effects can only be attributed to one single cause. These stipulations have great effects
on the design of the combined study. It is because of these conditions, for example, that
the authors decided to focus on five-year old children in the second year of elementary
school. This is because five-year olds will typically participate more easily in an EEG
study than four-year olds will. If time permits, the combined study will elaborate to
testing six-year olds. In any case, the strategy study alone will test four to six-year olds
and possibly be extended to a longitudinal research.
Overcoming differences between the two domains
As described above, the integration of mathematics educational research and
neuropsychological research will be manifested as the combination of a strategy study
and an EEG study. The study on strategy usage is designed to discover, in an interactive
way, the variation of types of strategies that young children apply in order to solve the
different tasks. These tasks relate either to number sense or spatial thinking. The study
on strategy usage is highly interactive in that, for each task, the authors stimulate the
child into thinking aloud as much as possible and into having the child explain how the
problem was solved. This method makes it possible to examine how different types of
strategy usage, types of tasks and performance on the tasks are related.
The EEG study will be performed subsequently to the strategy study. The same children
that take part in the strategy study will be tested in the EEG study. Aside from the
experimental questions that will be dealt with in the strategy study, the EEG study will
364
additionally examine the reaction times and relevant brainwaves that occur as children
perform tasks that are presented on a computer screen.
The EEG technique is based on the measurement of electric signals that relay
information in our brains. These signals can be detected by electrodes that are fit into a
type of bathing cap (see Figure 1). The children in the present research will wear such a
bathing cap while performing a computer task that is very similar to what they will have
performed in the strategy study.
Figure 1. The bathing cap for measuring brainwaves
As such, the results of the strategy study and the EEG study will be compared in order
to draw thorough and correlating conclusions about the development of mathematical
abilities in young children. In order to keep track of this development, the strategy study
and the EEG study will be repeated in one and two years. Only then can statements be
made about the stability and consistency of development and about how complications
in the development of mathematical abilities can be identified and readily be
intercepted.
Starting with a strategy study
365
After four months of deliberations about the abovementioned theoretical considerations
and methodological challenges, it became high time to put theory into practice. Hence,
the first practical phase involved the development and implementation of the strategy
study. During this study, the authors gained important experiences from interacting with
children of the three age levels. The main purpose of the strategy study, however, was to
develop a list of appropriate tasks and to create an inventory of the types of strategies
that children of different ages and levels of thinking apply to these tasks. It is in the next
phase of the research, that this inventory will guide the interpretation of the results and
the comparison of these results with the data that will be gathered from the reaction time
study and the EEG study.
During the strategy study, one of the authors spent December 2005 and January 2006 in
the first three grades of two local elementary schools. The children in these schools
have parents with middle to high educational backgrounds. Fifteen children of each of
the three age levels were taken in pairs out of the classroom for two sessions of half an
hour each on two consecutive days. An important intent of these sessions was for the
author to become accustomed to the three age levels with regard to their different uses
of language and levels of thinking, for example. After all, one crucially influential
component of behavioral research is the role that the researcher plays in the interaction
with children; this role must be played as insightfully, as objectively and as consistently
as possible. The experiences from these sessions have educated the researchers into
conducting more controlled interviews, into better understanding the children’s
responses, and into creating more effective tasks for answering the research questions.
Developing the tasks
366
The strategy study evolved from a list of number sense and spatial thinking tasks that
were mainly inspired by tasks from the TAL-brochures (Van den Heuvel-Panhuizen,
2001; Van den Heuvel-Panhuizen & Buys, 2005) and from the SamenRekenen and
computer based Rekenweb projects of the Freudenthal Institute. Tasks from
publications by Buys (2003), Bruce and Threlfall (2003) and Fuson (1982) have also
been influential.
The SamenRekenen project of the Freudenthal Institute has developed mathematical
activities for young children that are centered around five broad themes: quantities,
localizing, proportions, constructions and measuring and geometry (Nelissen, 2001). In
the present research, these themes have been used to construct a list of tasks that relate
to number sense and spatial thinking. The first useable list consisted of five number
sense and five spatial thinking tasks. The number sense tasks covered abilities such as
comparing quantities, counting, sharing, arranging and adding, and the five spatial tasks
covered recognizing patterns, mental rotation, proportions, orientating, shapes and
figures.
An important condition that the tasks in the study must conform to is that each task has
to intrigue the child. The child had to be able to understand the purpose of the task
while finding the task interesting enough to be fully motivated to participate
(Gravemeijer, 2003). Indeed, by controlling for the meaning that a task has for a child,
researchers can ensure that not the motivation but the mathematical abilities of a child
are tapped. Hence, the tasks are embedded in a context that is meaningful and attractive
for the children (i.e. comparing a number of ducks in a pond, see Figure 2). This type of
tasks contrasts with the more sober nature of reaction time tasks in which, for example,
367
children are repeatedly asked to determine which of two sets of dots on a computer
screen is greater.
Figure 2. Which pond has the most number of ducks swimming in it?
None of the tasks in the strategy study are presented in a traditional, paper and pencil,
manner. The ducks in Figure 2 are made of soft foam and they are placed on two pieces
of blue cardboard. Consequently, the children are free to touch and move the ducks as
they perform the tasks. For every task, materials are used that are exciting to the child.
These materials range from Noddy the dwarf and his house made of blocks to butterflies
that are to be caught and miniature houses in a street. Each task is accompanied by an
introduction of the context that the task is set in. The pilot study with these different
types of task presentations has already shown that children enthusiastically imagine the
contexts, that their attention is sufficiently attracted, and that they find much enjoyment
in the variation of tasks.
Developing an overview of different strategies
The development of a list of tasks took place simultaneously to the development of an
inventory of the types of strategies that children apply to perform the tasks. The original
368
list of strategies was assembled from observations and knowledge from previous studies
(see for example Bruce & Threlfall, 2004; Buys, 2003; Nunes & Bryant, 1996; Siegler
& Araya, 2005). This list was modified and lengthened with the many observations that
were made during the pilot study.
Each experience with performing the tasks resulted in an inventory of strategies that
became increasingly more complete. This made it possible to better specify and arrange
the strategies. Each task is linked to a series of strategies that vary from random
guessing to more developed strategies such as adding in the context of a counting task
(“12 altogether because 5 blocks and 7 blocks makes 12 blocks”) and applying spatial
configurations in tasks with a large number of objects (arranging a large number of stars
that are to be counted in rows of equal lengths). Each of these strategies can again be
subdivided into various levels of thinking. Within resultant counting, for example, three
levels of thinking can be distinguished: counting the objects by pointing to each of them
and subsequently moving them aside, counting the objects by only pointing to each of
them, and perceptual counting whereby a child only looks at the objects that are being
counted. In addition, a distinction can be made between counting out loud and counting
in silence.
Another example of a strategy with different levels of thinking occurs in a task where
twelve miniature houses are arranged in line on the table. The children may be asked to
point out which of the houses will be number 4. This practices their ability to determine
the position of a number in a number line. Typically, children approach this task in a
geometric or a numerical manner. The geometric manner involves estimating the
distance between the start of the row and the houses and proceeding to translate this to
knowledge about numbers and the number line. The numerical manner implies
369
‘counting all’ or ‘counting on’, depending on the level of thinking of a child (see for
example Bruce & Threlfall, 2004; Nunes & Bryant, 1996). Children who are less
comfortable with the number line from 1 to 10 will begin to count from the first house
up until the specified house (‘counting all’). In contrast, children who are more
developed in their counting techniques will tend to begin to count from a higher number
up until the appointed house (‘counting on’). When asked for house number 7, these
children will most likely recognize house number 3 or 4, for example, and count on
from there to house number 7.
At this point, the authors are categorizing and arranging the different strategies and
levels of thinking. The list of strategies will soon be evaluated in terms of its inter-rater
reliability. This will help the researchers to come to a consensus about which strategies
per task must be distinguished so that the research questions can effectively be
answered and so that a developmental path can be determined. Ultimately, it should be
possible to score a child’s performance (the given answer is right or wrong) as well as
to evaluate the level of thinking of the child in relation to that of other children of the
same age. Subsequently, these qualitative and quantitative results will be compared to
the quantitative data that is to be gathered in the reaction time and EEG study.
The plan for a combined pilot study
The resulting list of number sense and spatial thinking tasks and the inventory of related
strategies has provided the authors with tools to move to the second phase of the
project: the actual integration of mathematics educational and neuropsychological
research into a combined pilot study. Yet, before an EEG study can be performed,
significant outcomes must be found in a comparable reaction time study. This is
because as long as the reaction times between two different conditions do not differ
370
significantly, it can be expected that the brainwaves that occur during a similar EEG
study will not significantly be distinguishable either.
The main goal of this second phase in the research, then, is to work out how the
theoretical overlap of the two domains can in practice be manifested in one shared task
that will allow for a comparison to be made between behavioral and reaction time data.
Importantly, this task is bounded by a number of conditions. For the mathematics
educational research, for example, the task must provide enough leeway for children to
be able to apply their own methods of approaching a task. For the neuropsychological
study, the variables in the task must sufficiently be controlled so that possible
significant differences in reaction times can be perceived.
In considering the abovementioned conditions, the authors devised a combined pilot
study with one comparable task in which children will be asked to judge the numerical
sizes of numbers less than 10. This combined study will be divided into a strategy
section and a reaction time section and will be performed in half-hour sessions with at
least ten five-year olds at a local primary school.
In the strategy section, each child will be presented with two numbers on a series of
cards. The child will be asked to point out the number that is numerically greatest (or
smallest) and to think aloud and explain his reasoning as much as possible. The
underlying assumption is that children who have relatively poor number skills will be
distinguishable from children who have relatively stronger number skills according to
how they decide on which number is greater (or smaller). This is where the ‘counting
all’ and ‘counting on’ strategies that were mentioned earlier in this article will be
explored.
371
In the reaction time section, each child will respond as quickly as possible to a series of
two numbers that are sequentially presented on a computer screen. The numbers can
physically be of the same size (the neutral condition), but the numerically larger number
can also physically be smaller (the incongruent condition) or larger (the congruent
condition) than the other number. These variations are meant to explore the extent to
which spatial development of children plays a role in determining the relative numerical
sizes of numbers (see also Rubinsten et al., 2002). In this context, it is expected that
children who have mastered cardinality will take significantly longer to perform the
incongruent conditions because their spatial knowledge will tend to interfere with their
emerging numerical knowledge. Children with less number sense will successfully keep
their spatial knowledge separated from their numerical knowledge and hence show less
interference on the incongruent conditions.
This planned set-up of the combined pilot study is a first step towards bringing the
integrated theory into practice. It is meant to highlight whether the strategies that were
collected in the inventory from the first strategy study are sufficiently distinguishable in
a comparable reaction time experiment. In addition, the results should provide insight
into what role spatial thinking plays in the development of cardinality.
It is important to note that, for effective overall conclusions to be drawn, the authors
must also gain a sense of the general cognitive abilities of the children. Therefore, once
the results of the combined pilot study are satisfactory enough, the authors will develop
a full-scale combined study in which each child will perform the Utrechtse Getalbegrip
Toets (Van Luit, Van de Rijt & Pennings, 2004) and a series of tasks that tap the
372
language abilities, spatial reasoning, attention and working memory. The specific tasks
that tap these general cognitive abilities are still to be determined.
In conclusion
Looking back, the authors characterize the first few months of the MENS project as a
search towards integrating mathematics educational and neuropsychological research
into one cooperative study. As described above, this search has been challenging in that
the cooperative study must answer to the theoretical and methodological constraints of
the two research domains.
A significant outcome of this first combined study will open doors to an EEG study in
which neurological differences between the various strategies for solving this task will
be examined. The conclusions that are to be drawn from results of the first shared task
will allow the authors to devise more shared tasks that cover more numerical and spatial
abilities and that effectively answer the research questions, while, at the same time,
conforming to the constraints of the methodologies of the two domains. It is in this way
that the traditional gap between mathematics educational and neuropsychological
research about how young children solve mathematical problems can gradually be
bridged.
This research has been made possible thanks to a grant of the Dutch Organization for
Scientific Research (NWO), project number 051.04.050.
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door NWO op 5 februari 2004 [Get to know the brain. About a ‘New Learning
Science’ at the crossroads of neuroscience, cognitive science and educational
science: the result of an invitational conference organized by NWO on February
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377
POSTER 5
Acquisition of concrete operational skills in first and second grade pupils
Alicja Maurer PhD, Krakow Pedagogical Academy, Poland, [email protected] ;
Danuta Kmita MA, Primary School No 107 in Krakow, Poland
Abstract of poster
Conservation of quantity (the realization that quantity attributes of on object
remain invariant despite perceptual transformation) is an important achievement in
cognitive development, marking the acquisition of concrete operational level. Piaget
(1983, Piaget, Inhelder 1974) discussed three phases in development of the ability to
conserve:
- the non conserver (considers only one dimension, e.g. length),
- the beginner in grasping the concept of conservation and reversibility (oscillating
between perception of both dimensions and perception of only one dimension);
- the conserver (consistently considers both relevant dimensions, understanding that
transformation can be reserved).
Developmental patterns in conversation skills were examined in two samples of
children (N = 104) 7 to 9 of age. Judgment of conversation and explanations were
elicited for five conversation tasks assessing conversation of discontinuous quantity,
operational arrangement, matter, length and volume.
The final phase in operational arrangement acquired 2/3 the first graders, in
matter and volume – a half of them, in length – some less than a half, but in
discontinuous quantity – only 1/5 (most of subjects were still on the second phase in
that task).About ¼ of that group was non conservers yet in length, matter, operational
arrangement, discontinuous quantity or volume. The final phase in discontinuous
quantity acquired more than 2/3 of the second graders, and the rest – the second phase.
More than half of the second graders were at the final phase in each of the tasks but
about 1/7 were still non conservers. In the whole group of the subjects more than 2/3
acquired the final phase in operational arrangement, but less than 1/5 were still non
conservers in volume and length.
These findings confirm that the acquisition of conservation skills is not discrete,
but that the gradual and individualized process of acquisition reflects a specifiable,
orderly sequence, various in different subjects. The subjects acquired different phases of
the ability to conserve – from non conserver to conserver. Most of the subjects acquired
the concrete operational level. The second graders were slight superior to the first
graders. The second graders were the best in the conversation of discontinuous quantity,
the first graders – in operational arrangement. The most difficulties they had with matter
and volume. The ability to verbalize have lag in some children behind their conceptual
development, especially in the first graders. The findings amplify previous studies of
these issues and contribute to our understanding of the nature of the development of
concrete operational thought. These findings are consistent with a view of development
as a progressive coordination of asynchronous development within a domain is a joint
product of knowledge and environmental factors.
378
POSTER 6
VALIDACIÓN DE UNA PRUEBA DE EVALUACIÓN CRITERIAL DE LOS
CONTENIDOS
MATEMÁTICOS
EN
EDUCACIÓN
INFANTIL:
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS DE CORTE, FIABILIDAD Y VALIDEZ.
Mª DOLORES GIL LLARIO*. Profesora titular del Departamento de Psicología
Evolutiva y de la Educación. Universitat de València. Estudi General. E-mail:
[email protected]
CONSUELO VICENT CATALÀ**. Maestra de E. Infantil y psicóloga. Colegio Ramón
Martí Soriano
ADELA DESCALS TOMAS*** Profesora titular del Departamento de Psicología
Evolutiva y de la Educación. Universitat de València. Estudi General.
Resumen
A diferencia de la evaluación normativa donde lo que se pretende medir son los
conocimientos que posee un estudiante determinado respecto a los demás, en las
pruebas de Evaluación Referidas a un Criterio lo que se pretende medir son los
conocimientos de un alumno respecto a lo que se considera que debe saber para ser
considerado máster (Betoret, 2004). Para ello se han de determinar los puntos de corte
entre los sujetos que dominan y los que no dominan la tarea. Los pasos a seguir según
Rivas (1997) son, partir de un universo de medida definido operacionalmente y a partir
de los objetivos generar ítemes de aprendizaje y evaluación. Seguidamente categorizar
los objetivos según su relevancia (principales y secundarios). Esto constituye las dos
primeras fases a seguir en la elaboración de una prueba criterial, aspectos que hemos
desarrollado en la comunicación “Elaboración de una prueba de evaluación criterial de
los contenidos matemáticos en E. Infantil”, también presentada en este symposium. Una
vez elaborada se procede a su validación (Fase III). Para ello en primer lugar se
administra a una muestra representativa de cara a determinar el punto de corte entre los
sujetos que dominan y los que no. Los criterios de superación que son públicos se
expresan en porcentajes de dominio y proporcionan información acerca de lo que el
estudiante domina o no en términos de objetivos. La toma de decisión tiene en cuenta el
error de medida que puede ser de tipo I (cuando se considera máster a quien realmente
es non máster); y de tipo II (cuando se considera non máster a quien es máster). Para
realizar estos análisis se ha aplicado la prueba de Evaluación Criterial a un total de 100
sujetos en dos momentos, en septiembre, al inicio del curso escolar, y en mayo, al
acabar el curso; Con estos datos se ha determinado el punto de corte y se han realizado
una serie de análisis estadísticos dirigidos a explorar su fiabilidad y validez. La
fiabilidad ha sido analizada a través del grado de consistencia mediante la prueba Alpha
de Cronbach y ésta se muestra elevada tanto por bloques, (.63 para la escala de
Atributos y Relaciones (AR); .86 para Cuantificadores y Números (CN); .y 63 para
Tiempo, Espacio y Medida (TEM)); como para la puntuación global (.80). Por lo que se
refiere a la validez se han llevado a cabo análisis de regresión para ver si los resultados
obtenidos en la prueba criterial pueden explicar los obtenidos por estos mismos
estudiantes en una prueba ya estandarizada como la escala matemática del BADyG. La
ecuación de regresión obtenida explica el 55% de la varianza e incluye como variables
predictoras los tres bloques o subescalas de la prueba criterial. También se han obtenido
las correlaciones entre cada una de estas subescalas y el BADyG siendo en todos los
casos significativas estadísticamente. La correlación entre el BADyG y AR es de .66**;
379
con CN es de .69**, con TEM es de .46**. La correlación global de la escala con el
BADyG es de .72.
INTRODUCCIÓN:
A diferencia de la evaluación normativa donde lo que se pretende medir son los
conocimientos que posee un estudiante determinado respecto a los demás, en las
pruebas de Evaluación Referidas a un Criterio lo que se pretende medir son los
conocimientos de un alumno respecto a lo que se considera que debe saber para ser
considerado máster (Domenech, 2004). Para ello se han de determinar los puntos de
corte entre los sujetos que dominan y los que no dominan la tarea. Los pasos a seguir
según Rivas (2003) son, partir de un universo de medida definido operacionalmente y a
partir de los objetivos generar ítemes de aprendizaje y evaluación. Seguidamente
categorizar los objetivos según su relevancia (principales y secundarios). Esto
constituye las dos primeras fases a seguir en la elaboración de una prueba criterial,
aspectos que hemos desarrollado en la comunicación “Elaboración de una prueba de
evaluación criterial de los contenidos matemáticos en E. Infantil”, también presentada
en este symposium. Una vez elaborada se procede a su validación (Fase III). Para ello
en primer lugar se administra a una muestra representativa de cara a determinar el punto
de corte entre los sujetos que dominan y los que no. Los criterios de superación que son
públicos se expresan en porcentajes de dominio y proporcionan información acerca de
lo que el estudiante domina o no en términos de objetivos. La toma de decisión tiene en
cuenta el error de medida que puede ser de tipo I (cuando se considera máster a quien
realmente es non máster); y de tipo II (cuando se considera non máster a quien es
máster).
OBJETIVO:
El objetivo de este estudio es analizar la fiabilidad y validez del instrumento así
como determinar el punto de corte y el error de medida asociado a cada objetivo de la
Prueba de Evaluación Criterial.
MUESTRA
La prueba se ha administrado a un total de 104 sujetos, 56 niños y 48 niñas. La
distribución por edades en el primer pase (septiembre) fue la siguiente: 26 niños de
edades comprendidas entre los 4a:6m (4 años y seis meses) y 5a; 47 entre 5a y 5a:6m, y
27 sujetos de edades entre 5a:6m y 6a. En mayo (8 meses después) esta misma muestra
380
se distribuía del siguiente modo: 20 sujetos entre 5a y 5a:6m; 49 sujetos entre 5a:6m y
6a y 31 sujetos de entre 6a y 6a:6m.
Los niños pertenecían a 4 colegios de tres tipos de la comarca de la Costera y de la
ciudad de Valencia. Los tres primeros eran públicos y el cuarto privado. Los públicos se
diferenciaban entre sí por el tipo de metodología de trabajo utilizada, fundamentándose
el primero y segundo en el trabajo mediante fichas, mientras que el tercer colegio
empleaba una metodología que incluía el juego, la narración y sobre todo la
manipulación como estrategias metodológicas.
Distribución de la muestra
en función del género
Distribución de la muestra en
función del tipo de centro
Distribución de la muestra
en función de la edad
5a 6m-6a
4a 6m-5a
27 %
26 %
5a -5a6 m
47 %
Tipo centro
Público-fichas
Público-programa
Privado-bits
HOMBRES
54%
septiembre
6a-6 a6m
5a -5a6 m
31 %
2 0%
MUJERES
46%
INSTRUMENTO:
5a 6m-6a
mayo
4 9%
Se trata de una Prueba de Evaluación Criterial dirigida a cubrir los objetivos del
segundo ciclo de Educación Infantil. Se compone de tres bloques (Atributos y
Relaciones; Cuantificadores y el Número; y Tiempo, Espacio y Medida) que tienen
como punto de partida el Diseño Curricular Base y que han sido seleccionados y
ponderados, así como los objetivos que los componen, por un grupo de seis expertos de
la Comunidad Valenciana (maestros en ejercicio con varios años de experiencia en E.
Infantil). Todo el proceso de elaboración ha sido ampliamente descrito en la
comunicación “Elaboración de una prueba de Evaluación Criterial de los contenidos
matemáticos en E. Infantil” presentada en este symposium.
RESULTADOS:
A partir de los datos de la aplicación de la prueba antes y después del proceso E/A
se ha calculado el punto de corte que indicará la superación o dominio de los contenidos
381
del curso. En primer lugar hemos seleccionado los objetivos para los que PGB (el
promedio de puntuaciones grupales en el post) es mayor que el PGA (el promedio de
puntuaciones en el pre) y hemos establecido como criterio que el PGB sea mayor o
igual a .50. De este modo calculamos el punto de corte estimado como promedio de las
OBJETIVOS
puntuaciones de dichos objetivos.
PRE
POST
GA
GB
SELECCIÓN: k objetivos
PGB > PGA; PGB>.50
ARc
55,54
<
73,59
*
73,59
ARao
41,59
<
61,37
*
61,37
ARaj
24,36
<
63,26
*
63,26
ARo
49,04
<
74,51
*
74,51
ARrs
34,13
<
53,94
*
53,94
CNsn
63,34
<
89,50
*
89,50
CNvc
64,71
<
89,37
*
89,37
CNrp
45,60
<
75,04
*
75,04
TEMso
78,84
<
87,79
*
87,79
TEMuc
54,66
<
75,67
*
75,67
TEMpt
65,19
<
87.69
*
87,69
TEMtc
41,44
<
72,98
*
72,98
PGB= ΣPB/k = 904,71/12 = 75
Nota: ARc: Atributos y relaciones: conocimiento; ARao: Atributos y relaciones:
agrupación de objetos; ARaj: Atributos y relaciones: agrupación jerárquica;
ARo:Atributos y relaciones: ordenación; ARrs: Atributos y relaciones: relaciones dos
series; CNsn: Cuantificadores y número: serie numérica; CNvc: Cuantificadores y
número: valor cardinal; CNrp: Cuantificadores y número: resolver problemas; TEMso:
Tiempo, espacio y medida: situación objetos; TEMuc: Tiempo, espacio y medida: usar
y conocer para medir; TEMpt: Tiempo, espacio y medida: relaciones parte-todo;
TEMtc: Tiempo, espacio y medida: tempo-causales
382
Después de determinar el punto de corte hemos de tener en cuenta el error de medida
que hemos calculado con la fórmula de Lord:
PGB(100 − PGB)
= ± 4,35
100 - 1
Después hemos calculado el punto de corte considerando el error de medida. Para ello
∑ PGB =
utilizamos la siguiente fórmula:
PC = PGB - ΣPGB . zα/2 = 75 – (± 4,35) (± 1,96) = 75 – (± 8,52)
Resultados para un nivel de confianza α = 0,05: 66 < PC < 84
66 < 75 < 84
PC = PGB - ΣPGB . zα/2 = 75 – (± 4,35) (± 2,57) = 75 – (± 11,17)
Resultados para un nivel de confianza α = 0,01: 64 < PC < 86
64 < 75 < 86
COMPROBACIÓN DE SI EL PUNTO DE CORTE DISCRIMINA O NO ENTRE
SUJETOS MASTER Y NON MASTER
A continuación se presentan una serie de tablas de contingencias y pruebas jicuadrado que muestran el porcentaje de sujetos bien clasificados antes y después del
proceso E/A (casillas sombreadas en gris). Las casillas resaltadas en rojo muestran el
error tipo I (cuando se considera máster a quien realmente es non máster); y las casillas
moradas el error de tipo II (cuando se considera non máster a quien es máster).
ARc: Atributos y relaciones:
p
grupo
o
b
conocimiento
categoria
Total
master
g
grupo
r
a
u
137
master
97
7
93,3%
6,7%
64
38,5% 61,5%
Total
no
40
71
65,9% 34,1%
104
100,0
%
104
100,0
%
208
100,0
%
Valor G.l. p
χ2
69,47 1 .000
383
p grupo
ARao: Atributos y relaciones:
agrupación
de objetos; tempo-causales
categoría
Total
G grupo
r
u
a
32
69,2%
30,8%
171
37
82,2%
17,8%
Total
no
master
72
o b
master
99
5
95,2%
4,8%
104
100,0
104
100,0
%
208
100,0
%
Valor G.l. p
χ2
23,96
1
.000
%
384
ARaj: Atributos y relaciones:
agrupación
ARo:Atributos y relaciones: ordenación
Jerárquica
categoría
categoría
Total
no
no
master
r
91
a
u
13
87,5%
p
master
master
G grupo
G grupo
12,5%
104
r
100,0
48
b
56
46,2%
53,8%
139
69
Total
66,8%
33,2%
40,09
44
57,7%
42,3%
32
72
30,8%
69,2%
92
116
44,2%
55,8%
104
100,0
%
%
104
b
100,0
104
100,0
%
%
208
Total
100,0
208
100,0
%
%
Valor G.l. p
Valor G.l. p
χ2
master
60
a
grupo
o grupo
Total
1
χ2
.000
23,96
1
.000
o b
ARrs: Atributos y relaciones: relaciones
dos series;
46,2% 53,8% 100,0%
Total
categoría
Total
117
91
208
56,3% 43,8% 100,0%
no
master
G Grupo
r
a
69
master
35
Valor G.l. p
104
66,3% 33,7% 100,0%
Grupo
48
56
104
χ2
8,61 1 .003
CNsn: Cuantificadores y número: serie
numérica;
385
categoría
Total
14,4%
85,6%
86
121
41,5%
58,5%
no
master
G grupo
r
71
32
68,9%
31,1%
a
u
p
o grupo
15
b
Total
master
89
103
100,0
%
207
100,0
%
100,0
Valor G.l. p
%
104
χ2
63,31
1 .000
CNrp: Cuantificadores y número:
CNvc: Cuantificadores y número: valor
resolver problemas;
cardinal
categoría
categoría
Total
no
no
master
master
g grupo
r
71
a
u
master
33
68,3% 31,7%
p
o grupo
16
b
88
15,4% 84,6%
Total
87
121
41,8% 58,2%
G Grupo
104
100,0
%
r
76
a
u
master
28
73,1% 26,9%
p
o grupo b
104
100,0
Total
35
69
33,7% 66,3%
Total
%
111
97
53,4% 46,6%
208
104
100,0
%
104
100,0
%
208
100,0
%
100,0
%
Valor G.l. p
χ2
32,47
1 .000
Valor G.l. p
χ2
59,77 1 .000
386
TEMso: Tiempo, espacio y medida:
TEMuc: Tiempo, espacio y medida:
situación objetos;
usar y
categoría
Total
conocer para medir;
categoría
no
master
g grupo
r
31
a
u
master
o grupo
19
b
104
100,0
50
104
100,0
g grupo
r
100,0
31
70,2%
29,8%
36
68
34,6%
65,4%
109
99
52,4%
47,6%
grupo
b
208
Total
%
master
73
a
%
158
24,0% 76,0%
master
%
85
18,3% 81,7%
Total
no
73
29,8% 70,2%
p
Total
104
100,0
%
104
100,0
%
208
100,0
%
Valor G.l. p
χ2 3,79
1 .074
Valor G.l. p
χ2 26,38
1 .000
p grupo
TEMpt: Tiempo, espacio y medida:
relaciones parte-todo;
categoría
g grupo
Total
r
u
a
44
52
master
60
42,3% 57,7%
96
7,7% 92,3%
Total
no
master
8
o b
156
25,0% 75,0%
104
100,0
%
104
100,0
%
208
100,0
%
Valor G.l. p
χ2 33,23
1 .000
387
TEMtc: Tiempo, espacio y medida:
tempo-causales
categoría
Total
no
master
g grupo
r
61
a
u
master
43
58,7% 41,3%
p
o grupo
28
b
76
26,9% 73,1%
Total
89
119
42,8% 57,2%
104
100,0
%
104
100,0
%
208
100,0
%
Valor G.l. p
χ2
21,38 1 .000
388
International Symposium on Early Mathematics, Cadiz (Spain) 5-6 May 2006
En la tablas de contingencia se observa como prácticamente en todos los
objetivos más del 66% de los sujetos del grupo A (no master) quedan bien clasificados
con el punto de corte estimado (75), por tanto, el error tipo I es muy pequeño, siendo en
algunos casos el grado de acierto incluso del 95,2% (ARao). Otros objetivos como el
TEMso o el TEMpt clasifican peor a los sujetos del grupo A (29,8% y 42,3%
respectivamente) generando un mayor error tipo I. Se trata en estos casos de objetivos
excesivamente sencillos en los que tal vez sería aconsejable subir el punto de corte
siempre dentro del margen de incertidumbre estadística.
En el grupo B se clasifican correctamente un porcentaje muy elevado de sujetos en
prácticamente todos los objetivos, siendo únicamente el objetivo ARao el que muestra
un bajo porcentaje de aciertos (30,8). Los porcentajes de error tipo II cuando son
elevados (ARao, ARaj y ARas) indican que se trata de objetivos muy difíciles y/o que el
período instruccional no ha sido suficiente para conseguir que un elevado número de
sujetos logre superarlos, por lo que sería aconsejable, en estos casos bajar el punto de
corte pero siempre dentro de la zona de incertidumbre estadística que marca el error de
medida, es decir podríamos bajarlo hasta 66 si tomamos α=0,05 o hasta 64 si tomamos
α=0,01 (es importante recordar que con esto también aumentaríamos el riesgo de
cometer error tipo I).
Las pruebas χ2 muestran una significación menor que .01 y que .05 en todos los
objetivos excepto en TEMso (.07) por tanto, indiferentemente del nivel de confianza
establecido de antemano existen diferencias estadísticamente significativas entre las dos
distribuciones correspondientes a los grupos A y B. Podemos, pues, afirmar que el
punto de corte estimado discrimina, con excepción del objetivo TEMso, entre sujetos
máster y non máster.
FIABILIDAD Y VALIDEZ
También se han realizado una serie de análisis estadísticos dirigidos a explorar la
fiabilidad y validez del instrumento. La fiabilidad ha sido analizada a través del grado
de consistencia mediante la prueba Alpha de Cronbach y ésta se muestra elevada tanto
por bloques, (.63 para la escala de Atributos y Relaciones (AR); .86 para
Cuantificadores y Números (CN); y .63 para Tiempo, Espacio y Medida (TEM)); como
para la puntuación global (.80).
389
Por lo que se refiere a la validez se han llevado a cabo análisis de regresión para ver
si los resultados obtenidos en la prueba criterial pueden explicar los obtenidos por estos
mismos estudiantes en una prueba ya estandarizada como es la escala numérica del
BADyG. La ecuación de regresión obtenida explica el 55% de la varianza e incluye
como variables predictoras los tres bloques o subescalas de la prueba criterial. También
se han obtenido las correlaciones entre cada una de estas subescalas y el BADyG,
siendo en todos los casos significativas estadísticamente. La correlación entre el
BADyG y el bloque de Atributos y Relaciones es de .66**; con Cuantificadores y el
Número es de .69**, con el Tiempo, el Espacio y la Medida es de .46**. La correlación
global de la escala con el BADyG es de .72.
CONCLUSIONES:
La prueba de Evaluación Criterial de los contenidos matemáticos de segundo
ciclo de Educación Infantil muestra unos elevados índices tanto de fiabilidad, en cada
uno de los bloques que la componen y en su conjunto, como de validez al ser
comparada con otro instrumento ya validado que evalúa un universo de medida
parecido, y decimos parecido porque el BADyG en su subescala numérica es un
instrumento con un fuerte componente numérico que hace que la correlación más
elevada se produzca con el bloque de Cuantificadores y el Número, y que ésta sea más
baja con el bloque de Tiempo, Espacio y Medida, ya que el área evaluada es claramente
diferente.
Por lo que se refiere al punto de corte hemos podido comprobar el grado de
acierto con que este instrumento identifica a los sujetos master y non master,
corroborando el bajo nivel de error tipo I (clasificar como master a quien no lo es) y tipo
II (clasificar como non master a quien es master) en la mayor parte de los objetivos. El
punto de corte estimado es del 75% ofreciendo un error de medida de 4,35 lo que hace
que para un nivel de confianza de α = 0,05 el rango vaya de 66 a 83; y para un nivel de
confianza de α = 0,01 el rango vaya de 64 a 86. Entre estos niveles podemos movernos
para subir o bajar el punto de corte en función de que el objetivo haya obtenido un
elevado nivel de error tipo I o tipo II respectivamente.
BIBLIOGRAFÍA
Domenech, F. (2004). Psicología de la Educación e Instrucción: su aplicación al
contexto del aula. Publicacions de la Universitat Jaume I: Castellón de la Plana
390
Rivas, F. (2003)(2ª Edición). El proceso de Enseñanza/Aprendizaje en la situación
educativa. Ed. Ariel: Barcelona.
391
POSTER 7
CAN RHYTHM HELP CHILDREN IN MATHEMATICS DIFFICULTIES?
Piccinini, P. 1
Primary school teacher, VI Circolo Didattico, Lucca, 55100, ITALY,
e-mail:[email protected] Tel. +39-0583-369021 Mobile +39-328-4192979
School: +39-0583-91308 School fax: +39-0583-490371
1
My work is founded on the concept that our knowledge is essentially based on our
understanding of space and time, in fact people without a good intuition of these
categories have learning difficulties.
My work’s aimed to show that we can prevent some common didactic difficulties
and we can also increase people’s learning abilities by improving one’s intuition of
space and time:
♦ space – i.e. measure and orientation;
♦ time – i.e. pulsation, rhythm and length, pause, order;
♦ space-time – i.e. space of temporal events in which the individual tunes into the
collective good.
Therefore, it’s obvious that the teacher should work in three directions, at least:
¾ 1 - to exercise and to refine the auditory perception;
¾ 2 - to encourage the language development;
¾ 3 - to improve the rhythmic-motor, temporal and vocal co-ordination in order to
consolidate the ideo-motor thought.
In this work I want to show a part of this third point, particularly I intend to
suggest some game-exercises to improve the rhythmic ideo-motor thought that is a
fundamental part of mathematics abilities
Therefore, starting from the auditory perception of the isochronous rhythm (i.e.
O O O…), we can use:
1 - the music, particularly with the kids attending the kindergarten and the
primary school in order to improve, to co-ordinate and to fluidify their movements;
2 – the metronome, to improve the fluency, the speed and the correctness of
subjects in counting, reading or writing difficulties
In fact, music and metronome use the fundamental elements of the rhythm:
the accent, which discrete the time by defining the beginning and the end of the
action;
the length of the sound or of the pause, in which the action happens or not happens,
respectively.
We can propose these kinds of exercises individually or collectively in our classes
to the normally intelligent children or in a mild mental retard, but we can adapt them to
serious mental retarded children, in order:
¾ to prevent or to ease the scholastic difficulties in all of these subjects;
¾ to consolidate their bottom skills;
¾ to aid them in their learning, particularly when they start writing, reading and
counting.
A FEW REMARKS ABOUT THIS METHOD
We don’t forget that RHYTHM is a Greek word that Latin peoples translated also
using the word NUMERUS, from which the English words NUMBER and
NUMEROUS, that means “huge quantity” but also “rhythmic and fluid”.
SUMMARY OF THE RESULTS
392
This is a summary of the results I obtained (2000 – 2004)
1) 50 children, 6 years old, attending the first year of the primary school: at the
beginning of the year 35 of them were normal (70%); 14 had difficulties in counting
reading and writing syllables (28%); 1 had big difficulties in counting, reading and
writing (2%). Nine months later all of them were able to read, write and count from 0
to 20. They were also able to perform the four operation in the 0 – 20 range; 70% of
them was able to perform the same operations in the range 0 – 100 and more (the
aim of the second year).
2) 45 children of the primary school (6 – 10 age range); 30 children in the 11 – 13 age
range with big reading difficulties: all them improved their fluency and correctness
from the beginning of the method, like other 10 certified dyslexic children (6 – 13
age range).
CONCLUSION
Rhythm, movement and voice are the basic supports to improve reading, writing and
counting.
393
POSTER 8
Developing confidence and competence in early mathematics in England
Chris Kyriacou, PhD, University of York
Co-author
Maria Goulding, BSc, University of York
contact:
Dr Chris Kyriacou
Email: [email protected]
Summary
In 1999, the UK government introduced a national numeracy strategy in primary
schools in England. This paper explores the impact that the strategy has had on the
development of confidence and competence in early mathematics in pupils aged 5-6
years based on a systematic review of the literature approach. This review approach
involved following procedures laid down by the government-funded Evidence for
Policy and Practice Information Centre (see http://eppi.ioe.ac.uk). A key feature of the
national numeracy strategy is a daily three-part lesson in mathematics, which places an
emphasis on the use of ‘interactive’ whole class teaching.
This review found that: (i) the key features of the daily mathematics lesson have been
well received by teachers and widely implemented; (ii) there is some evidence that this
has enhanced pupil confidence and competence in early mathematics; (iii) closer
examination of the situation as evidenced by the studies included in this systematic
review have highlighted a number of problematic issues; (iv) the intention that whole
class teaching needs to be ‘interactive’ and promote higher quality dialogue, discussion
and strategic thinking, has not been realised; and (v) there is some evidence to indicate
that the increased use of ‘traditional’ whole class teaching with ‘pace’ is undermining
the development of a more reflective and strategic approach to thinking about
mathematics, and may be creating problems for lower attaining pupils.
The review concluded that: (i) the apparent success of the national numeracy strategy
may in large measure be a reflection of a closer match between what is being taught and
what is being tested, rather than greater pupil gains in their understanding of
mathematics; (ii) the use of whole class teaching with pace may be inculcating bad
learning habits; and (iii) there is a need for the training of primary teachers to highlight
the purpose and nature of ‘interactive’ teaching in fostering higher quality dialogue,
discussion and strategic thinking in order to ensure that teachers better understand the
notion of ‘interactive’ in interactive whole class teaching, and to ensure that teachers
adopt the type of classroom practice that can effectively aid the development of pupils’
understanding of the mathematics of the topics they are covering; this training needs to
strengthen teachers’ subject knowledge in mathematics so that they can take better
advantage of the opportunities which occur in the classroom to enhance pupils’
understanding of the mathematics they are engaged in.
INTRODUCTION
394
A Systematic Review Group for Mathematics Education was established in October
2003 with funds from the Department for Education and Skills (DfES) to be coordinated
by Maria Goulding and Chris Kyriacou at the University of York Department of
Educational Studies. The purpose of such review groups is to carry out a systematic
review of the literature on questions of importance for policy and practice. The review
group, includes teachers, teacher educators, researchers and policy makers. The first
review question undertaken by the group was “Has the Daily Mathematics Lesson, in
the context of the National Numeracy Strategy (NNS) for primary schools in England,
helped pupils to develop confidence and competence in early mathematics?”.
WHY THE NEED FOR A SYSTEMATIC REVIEW?
One of the problems facing researchers is how best to draw to the attention of
practitioners and policy makers the research evidence that can inform their decision
making and practice. Reviews of the literature on key areas of interest to practitioners
and policy makers is one such method. However, reviews of the literature are often
carried out by academic researchers acting alone who tend to focus on those aspects of
the topic which is of most interest and relevance to them personally. In addition, the
review of the literature that they produce is heavily influenced by the search strategies
they adopt for finding relevant literature, which can be biassed towards what is available
in those libraries and publications that they are aware of and have easy access to. As
such, it is not unusual to find that when two researchers working independently on a
review of the literature on the same topic provide a list of references at the end of their
review, these two lists may contain few publications in common.
In order to address the problems involved in conventional reviews of the literature, the
systematic review approach has been developed with the primary intention of enabling
such reviews to better inform practitioners and policy makers (as well as other ‘user
groups’, which in the case of educational research might include pupils, teachers,
parents, governors, teacher educators, and research students).
In the U.K. an Evidence Informed Policy and Practice Initiative (EPPI) in Education
has been funded by the DfES and an Evidence for Policy and Practice Information and
Coordinating Centre (EPPI-Centre) was established in 2000, based at the University of
395
London Institute of Education, to undertake a five year programme of work to guide,
oversee and moderate the work of ‘review groups’ commission by government agencies
to undertake a systematic review of the literature in areas of importance for policy and
practice in Education.
The systematic review approach involves a number of key characteristics and stages.
1. A review group is established comprising members from the different user groups for
the review, and in addition, if appropriate, an advisory group may also be established to
provide the review group with helpful advice and comments as and when needed.
2. The work of the review group is guided, overseen and moderated by staff at the
EPPI-Centre; this includes regular meetings and training sessions at the EPPI-Centre
where different review groups come together.
3. The review group formulates a ‘review question’ to address; this stage will involve
consultation with various users and user groups.
4. The review group formulates a search strategy to trace relevant publications, and the
publications identified in this way are then filtered down by using an explicitly stated
set of criteria for the inclusion/exclusion of these publications, which eventually leads to
the identification of a set of relevant publications that are to be analysed in-depth for the
purpose of addressing the review question.
5. The stages involved in carrying out a systematic review involve the use of a standard
format and procedure for recording and reporting the work of the review group based on
software maintained by the EPPI-Centre and their work at various stages is made
publically available on the EPPI-Centre website (http://eppi.ioe.ac.uk).
WHY THIS REVIEW QUESTION?
Ensuring that pupils make early progress in mathematics and develop self-confidence in
themselves as learners of mathematics is one of the key challenges facing mathematics
education. As such any approach that can enhance pupils’ early progress can help to
provide a solid foundation for later success. One of the principal claims made for the
introduction in September 1999 of the NNS was that it would help raise standards in
primary school mathematics. One of the key features of the NNS was the introduction
of a daily mathematics lessons in primary schools lasting between 45 and 60 minutes,
based on a three-part lesson structure (an oral/mental starter; the main teaching and
pupil activities; and a plenary) with an emphasis on the use of interactive whole class
396
teaching. The review question sought to examine the research evidence bearing upon
the success or otherwise of this approach in developing pupil confidence and
competence in key stage 1 (i.e. in years 1 and 2).
METHODS USED IN THE REVIEW
Identifying relevant studies involved carrying out an electronic search using keywords
with bibliographic data bases, handsearching through key journals and conference
proceedings, citations, and publications recommended by contacts. This resulted in 18
papers being identified for the in-depth analysis (Aubrey et al., 2003; Baker and Street,
2003; Basit, 2003, Bibby et al., 2003; Bills, 2003; Brown et al., 2001; Brown et al.,
2003; Denvir and Askew, 2001; Earl et al., 2002; Evans, 2001; Hardman et al., 2003;
Hopkins and Pope, 2000; Huckstep et al., 2002; Jones, 2003; McSherry and Ollerton,
2002; Myhill, 2002; Pinel, 2002; Raiker, 2002).
FINDINGS
An analysis of these 18 studies identified a number of key themes and issues.
Importantly, it is clear from these studies that the impact of the pedagogy espoused by
the NNS differs for different groups of pupils and that variables such as gender and
ability add to the difficulty of producing simple answers to the review question.
Moreover, all but one of these studies include explicit evidence of certain classroom
practices which differ from those recommended in the NNS, so any conclusions on
impact have to take into account what is commonly happening in classrooms rather than
what is intended in the policy.
Most teachers welcomed the three-part lesson format (oral/mental starter, main
teaching and pupil activities, and plenary), and felt this structure gave them greater
clarity and confidence in their planning and teaching. The three-part lesson forces
teachers to think about the lesson as a whole. Surveys and interviews with headteachers,
teachers and student-teachers all indicated that the daily mathematics lesson appears to
have helped to raise general standards in mathematics and to have raised pupil
motivation (Basit, 2003; Earl et al., 2002; Huckstep et al., 2002; Jones, 2003).
However, this is not enough to conclude that the impact on confidence and competence
has been positive, since the data comprise the perceptions of people who have some
397
investment in the implementation and who may or may not have conducted any
systematic investigation to support their perceptions. We simply do not know on what
evidence, if any, these perceptions are based, although school assessment data are likely
to have made a contribution.
Although the three-part lesson has been widely adopted, not all experienced teachers
follow the three-part lesson ‘to the letter’ (Basit, 2003), and there is a tendency towards
long mental/oral starters, with brief (or omitted) plenaries (Bibby et al., 2003). Indeed,
there is some evidence that an over rigid compliance with key features of the three-part
lesson can lead to ineffective teaching (Earl et al., 2002). Given that the guidance on
pedagogy is not being followed to the letter, it is difficult to conclude that any impact on
confidence and competence is a direct result of the implementation of the three-part
lesson as intended by policy makers.
One drawback of the approach as advocated, however, is that topics are rarely
developed and extended over several lessons. The NNS framework seems to be over
ambitious regarding what can be covered in the time allocated for each topic (Basit,
2003). This can have the disadvantage for low attaining pupils in that they have to move
on to another topic before they adequately grasp the topic in hand. However, an
advantage of this is that it helps teachers maintain better time management, and avoids
“doing a topic to death”. Another concern is that the NNS assumes pupils have reached
a certain level at the end of the year and have to be taken on from there at the beginning
on the next year, when in fact many pupils have considerable gaps in their
understanding (Basit, 2003).
There is an important distinction to be made between traditional whole class teaching
and the notion of interactive whole class teaching. The former relies heavily on a
teacher-centred didactic approach, making heavy use of explaining and demonstrating;
teacher questions and pupil answers are based on the teacher asking a high proportion of
closed questions or questions requiring a simple recall of facts or procedures, and pupil
answers are often short. The latter (interactive whole class teaching), which is what is
advocated in the NNS, is an approach that is intended to actively involve pupils in the
lesson through the use of more searching higher-order questions which seek to
challenge and extend pupils’ thinking, in which pupils’ answers are probed, built upon
and elaborated, and which encourage pupils to ask questions and to interact with peers.
Many teachers were not familiar with this distinction, and those who were, often
claimed to be using a greater degree of interactive teaching in their classrooms than is
398
borne out by lesson observation data (Bibby et al., 2003; Hardman et al., 2003; Pinel,
2002).
Looking at these last two issues together (the coverage of each topic within the time
frame available for it, and the use of interactive whole class teaching), the evidence of
strict adherence to some aspects of the policy on the one hand and weak implementation
of other aspects of the policy on the other hand further reinforces the earlier points
about the difficulty in measuring impact. What can be said is that the fragmentation
produced by the objectives led approach may be negatively affecting the confidence and
competence of lower attaining pupils, and that the current classroom practice evidenced
here is not helping pupils to develop competence and confidence in higher order
thinking since it is so rarely being encouraged.
The use of whole class teaching used in the mental/oral starter phase of the lesson was
regarded by many teachers as stimulating pupils and getting the lesson off with a buzz,
and such activities were generally regarded by pupils as fun and enjoyable.
Nevertheless, there was some concern that this phase of the lesson publicly exposes low
attaining pupils, and can generate levels of anxiety amongst some pupils that can
undermine their confidence, and there is some evidence that boys in years 1 and 2 may
more vulnerable to such exposure than girls (Myhill, 2002). Here the problems of
treating pupils as an undifferentiated group in claims about impact surface again. What
we have from the observational data here is further evidence of differential impact,
particularly on the confidence of low attaining pupils, with a gender factor coming into
play in this particular study.
In addition, a concern has also been expressed that the style of whole class teaching
typically observed in fact generates bad habits regarding the way pupils are expected to
perform. A substantial element of the three-part lesson involving the public answering
of questions which stress speed and correctness, such that pupils are participating in the
activities rather than engaging in the mathematical thinking (Denvir and Askew, 2001).
This can undermine the development of a more reflective approach and the ability of
pupils to think strategically. Strategic thinking refers to developing a repertoire of
mental and written calculation strategies and informed decision making about the use of
these. When the NNS was introduced, the development of strategic thinking was
flagged up as a major change from previous teaching, but there is little evidence that
pupils are better able to think strategically (Bibby et al., 2003). This links with the
earlier point about higher order thinking. Pupils may appear to be displaying confidence
399
and competence, but this may be more about being able to play by the classroom rules
and expectations of performance rather than genuine engagement with the mathematics.
Hard evidence of greater confidence and competence of pupils in years 1 and 2 is
equivocal. Test data on pupils’ performance in numeracy tests collected over year 1
and/or year 2 and compared with comparative data, such as the performance of pupils in
other countries, or with the performance in year 1 and 2 pupils just prior to the
introduction of the NNS in September 1999 with that immediately after, do not provide
clear evidence that performance has improved. One problem is that in the period
immediately before the introduction of the NNS, test data indicate that performance in
mathematics had improved, in part because teachers were addressing more of their
teaching towards meeting the pupil performance targets that were being set, and in part
because the content being covered was matching more closely the content of what was
being assessed and the amount of time being devoted to this content was also increasing
(Brown et al., 2001, 2003). As such, by the time the NNS was introduced in September
1999, much of the gain that the NNS was expected to have promoted had already been
achieved. Nevertheless, there is some evidence that pupils are now more confident and
competent in their mental mathematics, and in numerical tasks (tasks requiring the
counting and manipulation of number), perhaps at the expense of relational tasks (tasks
requiring the understanding of relations in space, size, quantity and order (Aubrey et al.,
2003). In terms of the review question, which relates to the impact of the NNS
specifically, we have to be very guarded. Conclusions about competence gains may
only refer to some aspects of mathematical understanding; the NNS curriculum and
earlier curricular reform may be the reasons for these gains rather than the NNS
pedagogy. In this respect, we are cautious about what would have been the case if the
NNS had not been implemented, although it seems plausible that gains made before
September 1999 would have been consolidated.
Some of the evidence for impact on pupil confidence points to the role played by
teachers’ expertise, particularly in the area of language. The in-depth analysis indicated
that whole class teaching was placing greater demands on the teachers’ use of
mathematical vocabulary, and that some teachers were not taking enough care to
explain the meaning of the terms they were introducing, and this is likely to undermine
the development of pupil confidence, particularly amongst low attaining pupils (Raiker,
2002). In addition, teachers need to make use of the type of language used by pupils to
indicate the extent to which this reflects their mathematical understanding. Such
400
language can be elicited by the use of appropriate teacher questions for this purpose,
which can usefully indicate whether pupils have internalised and are trying to follow a
rule in order to generate the answer to a problem that has been set (Bills, 2003).
In addition, whole class teaching also makes great demands on teachers’ mathematical
subject matter knowledge, and where this is insecure, the quality of teaching and
learning that occurs can be less effective (Huckstep et al., 2002; Earl et al., 2002). This
is particularly evident in the extent to which teachers are able to use their subject matter
knowledge in connecting, responding and exemplifying in order to aid the development
of pupil confidence and competence.
Another study also indicated that there was still a gap between the nature of how
mathematics was being used at home in real life contexts and how it was being used in
school. Whilst much of school mathematics is embedded in real life contexts, it is still
taught and used in an way that emphasises this context as a means of developing and
sustaining the use and understanding of mathematical operations (e.g. subtraction)
rather than how the mathematics was used in the real life context to solve meaningful
and purposeful problems. This difference inhibits transfer of learning, so that pupils
often do not see the connection between what they are doing in a mathematical
operation or how that relates to what in happens in the real life context (Baker and
Street, 2003). In this case study, there was convincing evidence that the case study
child, for whom there was a big difference in home and school numeracy practices, was
disengaged and lacking in confidence in the school classroom. This may be associated
with the NNS curriculum and classroom practice which stresses conceptual
understanding and number skills, rather than problem solving and application. This is
not a problem confined to the NNS, however, but emerging research on the social
practices of home numeracies is still very recent and did not inform the NNS policy
despite the stated good intentions of involving parents and communities.
The way the three-part lesson is organised in terms of an increased use of ability
groupings (both in terms of setting across classes and in terms of within-class ability
groups) has been noted in a number of studies in this review. Many teachers have
attributed this increase to the introduction of the three-part lesson and the use of more
whole class teaching. Some concern has been expressed that this will result in some low
attaining pupils spending several years in a low set or ability-group, which is likely to
lead to disaffection with mathematics (McSherry and Ollerton, 2002). This inference is
401
of course not based on primary evidence and thus needs to be treated with some caution.
A concern has also been expressed that the style and approach of teaching adopted may
have a different effect on different levels of ability; for example, there is evidence that a
more relaxed and supportive approach to teaching helps low attaining pupils to recover
in terms of confidence and competence, but this may be at the expense of rest of the
class who will not be challenged enough by such an approach, leading to less progress
being made overall by the class as a whole (Brown et al., 2003). Organising the threepart lessons with mixed age classes, which commonly occurs in small rural schools,
poses a number of problems for teachers, who have largely had to adapt the format, by
either shortening or omitting plenaries, or by making use of classroom assistants to run
lessons in parallel for the different age or ability groups within the class (Evans, 2001).
In this situation, able older pupils’ needs may not be met but able younger pupils may
be stimulated. In all these studies, a differential impact in terms of ability and age of
pupils in mixed age classes can be inferred and the observational evidence strengthens
the case for the concern already raised about the confidence of low attainers. The latter
two studies (Brown et al., 2003b; Evans, 2001) are the only studies in our review which
also begin to raise concerns for pupils at the other (high) end of the ability continuum.
These do however suggest the possibility that pupils of average ability may be
experiencing the most positive impact.
The three-part lesson has also led to a number of classroom teaching initiatives, such
as an evaluation of whether educational television programmes can usefully contribute
to whole class teaching in stimulating dialogue and discussion, and there is some
evidence that pupils do display an enthusiasm for the television programmes and are
active watchers, but the evidence that they enhance gains in numeracy is equivocal
(Hopkins and Pope, 2000). The range of opportunities offered by the programmes and
the scope of resulting numeracy gains points to the teacher as a potentially weak link
between the strategy and its implementation. This links with some of the issues already
raised about the salience of the teacher’s use of language, subject matter knowledge and
expertise in conducting interactive whole class teaching, all of which may have a
potential effect on pupils’ confidence and competence.
CONCLUSION
402
In conclusion, it is difficult to give a clear cut answer to our review question. There is
some evidence of positive impact, but it seems to depend particularly on the ability of
pupils and on the teacher’s expertise. There is strong evidence suggesting that the
pedagogy associated with the NNS is disadvantaging some pupils in terms of
confidence and competence, that some important aspects of mathematics are being
neglected, and that weaknesses in implementation coupled with a lack of ownership cast
doubt on the sustainability of the policy.
The data considered in this systematic review have three major implications for the
NNS:
(i) there is a need for in-service training for primary teachers to highlight the purpose
and nature of ‘interactive’ teaching in fostering higher quality dialogue, discussion and
strategic thinking;
(ii) there is a need for in-service training to strengthen teachers’ subject matter
knowledge of mathematics, so that in the classroom context that can take better
advantages of opportunities to enhance pupils’ understanding of the mathematics they
are engaged in;
(iii) there is a need to consider how the national assessment of pupil progress in
mathematics can occur without constraining time and pedagogy in ways that
undermining the development of pupils’ mathematical understanding.
MEMBERSHIP OF THE REVIEW GROUP
Patti Barber (Department of Primary Education, Institute of Education, University of
London); Peter Bland (Huntington Secondary School, York); Robert Coe (Curriculum
Evaluation and Management Centre, University of Durham); Ann Dowker (Department
of Experimental Psychology, University of Oxford); Ann Gannon (Department of
Educational Studies, University of York); Maria Goulding (Department of Educational
Studies, University of York); Gill Hatch (Institute of Education, Manchester
Metropolitan University); Charles Hulme (Department of Psychology, University of
York); Qaimah Ismail (Department of Educational Studies, University of York);
Barbara Jaworski (Department of Mathematics, Agder University College, Norway);
Chris Kyriacou (Department of Educational Studies, University of York); Paul Lazenby
(Department of Physics, University of York); Ann MacNamara (National Numeracy
Strategy, London); Alison Robinson (Department of Educational Studies, University of
403
York); Tim Rowland (Department of Education, University of Cambridge); Sue Sanders
(Department of Education, University of Swansea); Sally Sutton (St. Lawrence Primary
School, York); Peter Tymms (Curriculum Evaluation and Management Centre,
University of Durham).
ACKNOWLEDGEMENT
The Mathematics Education Review Group and this review are part of the initiative on
evidence-informed policy and practice at the EPPI-Centre, Social Science Research
Unit, Institute of Education, University of London, funded by the Department for
Education and Skills (DfES). The review group acknowledges the financial support
from the DfES via the EPPI-Centre.
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406
POSTER 9
CONOCIMIENTO, USO Y CONTROL DE LAS ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN ESTUDIANTES DE 5º DE EDUCACIÓN
PRIMARIA
Mª Dolores Gil Llario. Profesora Titular del Dpto. de Psicología Evolutiva y de la
Educación. Universitat de València. Estudi General. Correo electrónico:
[email protected]
Francesca Marí Sabater. Psicóloga. Master en Dificultades de Aprendizaje
Resumen
El objetivo del presente trabajo consiste en explorar el conocimiento, uso y control
de las estrategias de resolución de problemas de los estudiantes de quinto curso de
Primaria. Para ello hemos realizado una adaptación del famoso instrumento de
evaluación de procesos diseñado por M. Montague (1996). Este instrumento de
evaluación se asocia al programa elaborado por esta misma autora dirigido a instruir en
el uso y control de las estrategias que se muestran deficientes. Dado que este
instrumento de evaluación supone la puesta en marcha de procesos metacognitivos se
plantea como una entrevista donde las habilidades del evaluador para facilitar la
reflexión y expresión del estudiante adquieren una notable relevancia. El MPSA
(Mathematics Problem Solving Assessment) consta de dos partes diferenciadas, la
primera mide la percepción por parte del alumno de la importancia de la resolución de
problemas y su actitud hacia éstos. La segunda parte se centra en el uso, conocimiento y
control que tiene el estudiante sobre las estrategias cognitivas y metacognitivas
implicadas en la resolución de problemas. Este instrumento se aplicó de forma
individualizada a un total de 16 sujetos de quinto de Primaria que mostraban
dificultades de aprendizaje en las matemáticas. Los resultados son bastante homogéneos
en cada uno de los apartados evaluados lo que permite extraer conclusiones generales
que constituyen una guía a la hora de diseñar la intervención. Las estrategias utilizadas
se limitan a una lectura repetida seguida del cálculo que se considera que resuelve el
problema. Aunque en la mayoría de casos son capaces de parafrasear correctamente, en
general no aplican esta estrategia de forma sistemática. Ningún sujeto realiza
habitualmente representaciones gráficas que les ayuden a resolver problemas y cuando
se les insta a hacerlo la representación se limita a un dibujo donde se representa la
situación de la que habla el problema pero sin utilidad para guiar la planificación. El
control sobre la planificación de las operaciones que resuelven el problema se basa en
criterios no válidos como palabras relacionadas (más, menos) que aparecen en el
enunciado. El cálculo es una estratègia que todos utilizan aunque los mecanismos de
control dependen generalmente de agentes externos (corrección de padres, maestro/a,
etc.). Aunque todos los estudiantes saben lo que significa comprobar sólo dos aplican
esta estrategia siempre que resuelven problemas. Estas conclusiones permiten establecer
unas directrices mínimas a tener en cuenta en el diseño de programas de intervención
dirigidos a estudiantes con dificultades de aprendizaje en la resolución de problemas.
INTRODUCCIÓN
La evaluación se ha definido como un “proceso sistemático de reunir información
relevante educativamente de cara a tomar decisiones legales e instruccionales relativas a
407
la provisión de servicios de educación especial” (McLoughlin y Lewis, 1990). Se trata
de obtener respuesta a cuestiones específicas como, por ejemplo, cuáles son los puntos
académicos fuertes y débiles del estudiante o qué estrategias utiliza para resolver
problemas.
Desde la teoría de la absorción, puesto que la matemática escolar consiste en el
dominio de un conjunto de conocimientos y técnicas, la evaluación se dirige a
comprobar si dicho objetivo se ha conseguido o no. Esta evaluación se centra en lo que
el niño produce, en su rendimiento externo basándose en parámetros tales como la
exactitud o la rapidez (eficacia). Los errores desde esta perspectiva no son más que una
prueba de la ausencia de eficacia. Desde la teoría cognitiva, en cambio, los errores no
indican una simple deficiencia del conocimiento, sino que nos indican cómo ha
intentado abordar el problema constituyendo auténticas ventanas a los procesos
interiores del pensamiento del niño, que son los que realmente interesan desde esta
perspectiva. La evaluación de procesos presenta muchas ventajas (Baroody, 1988). En
primer lugar, nos proporciona inormación sobre lo que el sujeto es capaz de hacer, lo
que nos da directrices para la planificación educativa. Por otra parte, nos da información
mucho más fiable porque en ocasiones los niños pueden darnos una respuesta acertada
por casualidad habiendo empleado un procedimiento incorrecto, y al revés, por
cansancio o falta de motivación pueden fallar teniendo aptitudes para resolver un
problema.
Existen pocos instrumentos de evaluación que recojan información relativa a los
procesos implicados en la resolución de problemas. Uno de los más utilizados es el
MPSA-SF (Montague, 1996). Se trata de un instrumento de evaluación de procesos que
se asocia al programa elaborado por esta misma autora dirigido a instruir en el
conocimiento, uso y control de las estrategias que se muestran deficientes en la
resolución de problemas de matemáticas.
OBJETIVO:
El objetivo del presente trabajo consiste en explorar el conocimiento, uso y control
de las estrategias de resolución de problemas de los estudiantes de quinto curso de
Primaria a través de una adaptación del MPSA-SF (Mathematical Problem Solving
Asessment-Short Form) de Margorie Montague (1996), así como explorar la eficiencia
de este instrumento para el objetivo planteado.
INSTRUMENTO:
408
El MPSA es una entrevista diseñada por Marjorie Montague (Montague,1996) que
consta de dos partes:
1.
La primera consta de 20 ítems, de los cuales los 15 primeros se avalúan a partir de
una escala de 5 puntos y miden la percepción que tiene el alumno/a de la
importancia de la resolución de problemas matemáticos y su actitud hacia este área.
Los 5 ítems restantes son preguntas abiertas sobre el conocimiento de estrategias de
resolución de problemas matemáticos.
2.
La segunda parte está formada por 56 ítems sobre las estrategias cognitivas. Las
preguntas están formuladas para medir el conocimiento, uso y control que tiene el
estudiante sobre estas estrategias. Los 9 ítems finales informan sobre las estrategias
generales de ejecución.
Nosotros hemos adaptado esta prueba eliminando aquellas preguntas que
considerabamos que reiteraban en un aspecto ya valorado.
Dado que este instrumento de evaluación supone la puesta en marcha de procesos
metacognitivos se plantea como una entrevista donde las habilidades del evaluador para
facilitar la reflexión y expresión del estudiante adquieren una notable relevancia.
MUESTRA:
Este instrumento se aplicó de forma individualizada a un total de 16 sujetos de
quinto de Primaria que mostraban dificultades de aprendizaje en las matemáticas. Estos
16 sujetos fueron seleccionados a partir de una muestra mayor de 42 alumnos de quinto
curso de un colegio público de Benifaio en la comarca de la Ribera Alta de la provincia
de Valencia. Los criterios de selección fueron presentar un bajo nivel de rendimiento en
matemáticas, una deficiente ejecución en problemas de matemáticas presentados en
formato de texto y tener un CI (cociente de inteligencia) dentro de los márgenes de la
normalidad.
Para cumplir el primer criterio se desarrolló y aplicó una prueba de Evaluación
Criterial de los objetivos curriculares de cuarto curso de E. Primaria, ya que estábamos
en el inicio del quinto curso. Se eliminaron los objetivos que no discriminaban porque
eran superados por más del 85% de los sujetos (muy sencillos) o por menos del 15%
(muy difíciles). Tras esta depuración se estableció un punto de corte del 50% quedando
19 sujetos por debajo de dicho porcentaje..
409
Seguidamente se adminitró una prueba de solución de problemas para seleccionar a
los estudiantes que tenían dificultades específicamente en este área. De este modo se
excluyeron 3 sujetos al obtener una buena puntuación en esta prueba.
Todos los niños que participaron en la investigación tenían 10 años, a excepción de
uno que tenía 11, siendo el 50% niños y el 50% niñas.
PROCESO DE SELECCIÓN DE
LA MUESTRA
42 sujetos de
5º Primaria
CI<80
3
CRITERIO 1:
CI>80
39
PC>50%
20
INTELIGENCIA (CI)
CRITERIO 2:
PC<50%
19
PSP<85%
16
PRUEBA CRITERIAL
CRITERIO 3:
PSP>85%
3
PRUEBA SOL. PROBLEMAS
RESULTADOS:
A continuación se presenta en tablas la transcripción de las entrevistas
individualizadas llevadas a cabo con los estudiantes:
CONOCIMIENTO GENERAL DE ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
¿Que sueles pensar cuando resuelves problemas de matemáticas?
A1
Quizá lo haga bien y quizá no.
B3
En lo que dice y en qué he de hacer.
A3
He de leerlo y comprender, pensar en la B7
operación que he de hacer.
En hacerlo.
A5
En el problema.
B8
Me hago un “lio”.
A10 Como son los números, qué he de hacer…
B9
En lo que dice el problema.
A11 En qué operación será.
B15
En las matemáticas y las operaciones.
A12 Que son muy difíciles.
B17
En hacerlo.
A16 En la operación que he de hacer.
B18
En lo que dice el problema.
A20 En la operación.
B19
Que estan muy fáciles.
¿Qué haces para resolver problemas de matemáticas com los ejemplos que te he enseñado?
410
A1
Leerlo muchas veces
B3
Lo leo 2 o 3 veces y cuando sé qué es hago
el cálculo.
A3
Leerlo muchas veces y pensar.
B7
Leer, pensar y hacerlo.
A5
Mirar la pregunta que hace y hacerlo.
B8
Pensar intentando adivinar.
A10 Pensar y contar en el ninguna.
B9
Pensar.
A11 Pensar y hacer la operación.
B15
Pensar.
A12 Leerlos una o dos veces, entenderlos y B17
hacerlos.
Leerlo y si no lo entiendo la leo hasta
entenderlo después si lo entiendo lo hago.
A16 Leerlo y si no lo sé volverlo a leer hasta que B18
lo pueda resolver.
Pensar.
A20 Pensar.
Leer y resolverlo.
B19
Una estrategia es un plan general o una actividad específia que la gente utiliza para resolver
problemas. Háblame de alguna estrategia que utilices cuando resuelves problemas de matemáticas.
A1
Leerlo mucho.
B3
Leerme la pregunta hasta que la entienda.
A3
Leer y pensar.
B7
Leerlo.
A5
Si dice ¿cuántas faltan? Tendré que restar. B8
Si me pregunta ¿cuál es el total? tendré que
sumar.
A veces pone alguna cosa que dice que se
ha de sumar, y tu sumas.
A10 Contar con los dedos. Hacerlo en un folio B9
suelto.
No lo sé.
A11 Leer muchas veces.
B15
Pedir ayuda a mi padre y a mi madre.
A12 Leerlos bien y aprender cómo se hacen.
B17
Hago la primera operación que es hasta el
primer punto y después sigo haciendo las
otras.
A16 Leerlo y hacer la operación que toca.
B18
Sumar, multiplicar o lo que sea.
A20 Leer bien y hacer la operación.
B19
Leerlos 4 o 5 veces e ir pillándolos.
Por lo que se refiere a sus pensamientos durante la ejecución vemos en algunos
casos cómo los pensamientos negativos e incapacitantes son lo primero que acude a sus
mentes (A12, B8), la ausencia de control (A1) o incluso la falta de aceptación de la
realidad ( B19). Otros, en cambio, intentan centrarse en el problema.
En cuanto al conocimiento general de las estrategias de resolución de problemas
podemos apreciar cómo las respuestas indican que las únicas estrategias utilizadas de
forma generalizada por todos los estudiantes son la lectura más o menos repetida y la
aplicación de la operación de cálculo que creen conveniente. En algunos casos, como en
411
los sujetos A5 o A8 se utilizan estrategias inadecuadas como la de palabra-señal que
llevan a errores.
Tras esta apreciación general vamos a analizar el conocimiento, uso y control
que presentan estos estudiantes con dificultades de aprendizaje de cada una de las siete
estrategias implicadas en la resolución de problemas: leer, parafrasear, visualizar,
planificar, estimar, calcular y comprobar.
LA LECTURA COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Conocimiento
¿Cuando lees los problemas de matemáticas, los comprendes?
A1
A veces.
B3
Algunos.
A3
Los tengo que leer muchas veces hasta que B7
los entienda.
Sí.
A5
A veces.
B8
A veces los entiendo.
A10 Sí que los comprendo.
B9
Depende de si son difíciles.
A11 A veces sí y a veces no.
B15
Algunos.
A12 Sí, si los leo muchas veces.
B17
Algunos.
A16 Normalmente sí.
B18
Si son muy largos no los entiendo bien.
A20 A veces.
B19
Sí, los comprendo y sé como se resuelven.
¿Cómo te ayudas a ti mismo para comprender los problemas?
A1
No lo sé.
B3
Hacer lo que creo.
A3
Pensando en lo que leo.
B7
Pensando en lo que dice el problema..
A5
No lo sé.
B8
Pensando en cómo los puedo hacer.
A10 Mirando los números y pensando.
B9
No hago nada.
A11 Pensando.
B15
Pensando.
A12 Leerlos muchas veces te da la ayuda para B17
saberlos pensar.
Leyéndolos muchas veces.
A16 Leyendo el texto y lo más importante.
B18
Pienso.
A20 Leyéndolos y fijándome.
B19
Leerlos 3 veces e ir pillándolos.
Uso
¿Cuántas veces lees un problema de matemáticas?
A1
Si no los comprendo, 3 o 4.
B3
3.
A3
Hasta que lo entiendo.
B7
Las que hagan falta.
A5
2.
B8
Si no los entiendo, 3 o 4.
412
A10 Muchas hasta que lo entiendo.
B9
1.
A11 Muchas. 4 o 5.
B15
2, 3 o 4.
A12 3.
B17
5 o 6.
A16 2 o 3.
B18
Las que sean necesarias hasta entenderlo.
A20 Muchas, 4 o 5
B19
3.
¿Si no entiendes alguna cosa del problema, que haces?
A1
Leerlo más.
B3
Preguntar.
A3
Preguntarlo al maestro o leerlo más.
B7
Dejarlo para hacerlo lo último.
A5
Volverlo a leer.
B8
Leerlo otra vez.
A10 Volverlo a leer.
B9
Hacer alguna operación per si lo adivino
A11 Leerlo más.
B15
Preguntarlo a mi madre o a mi padre, leerlo
A12 Me dejo los que no sé.
B17
Lo que entiendo lo hago y después vuelvo a
lo que no entiendo y lo leo hasta entenderlo
A16 Se lo pregunto al maestro o lo vuelvo a leer. B18
A20 Preguntar.
B19
Leerlo más.
Lo dejo o lo copio en otra hoja y lo hago.
Control
¿Qué preguntas te haces a ti mismo mientras lees un problema de matemáticas?
A1
Si he de restar, a cuánto cabe…
B3
No hago preguntas.
A3
¿Qué operación será?
B7
¿Cómo se hará?
A5
¿Qué operación haré?
B8
¿Qué será?
A10 No me hago preguntas.
B9
No hago preguntas.
A11 La del problema.
B15
¿Será división?
A12 ¿Cómo lo puedo hacer? ¿Qué haré primero? B17
Las que pone en el problema.
A16 ¿Cómo se hace? ¿Cómo será el resultado?
B18
¿Cómo lo podré hacer?
A20 No me hago preguntas.
B19
No hago preguntas.
La LECTURA es una estrategia que está claro que conocen bien y que utilizan
de forma sistemática y reiterada. Algunos hablan incluso de 5 o 6 veces. Cuando no
entienden vuelven a leer una y otra vez el texto del problema pero no ejercen control
sobre dicha estrategia ya que no se hacen preguntas mientras leen que les ayuden a
interpretar y entender el texto o bien las preguntas van directamente dirigidas a la
búsqueda de la operación sin más.
EL PARAFRASEO COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
413
Conocimiento
¿Que haces para ayudarte a recordar lo que dice el problema? Después de responder esta pregunta, se
explica al estudiante que parafrasear significa decir el problema con palabras propias. A continuación
se le pide que diga con sus palabras el problema nº 1 de los incluidos en la entrevista.
A1
Repasarlo, volviéndolo a leer. Parafraseo B3
correcto.
Volver a leer. Parafraseo incorrecto.
A3
Anotarlo. Parafraseo correcto.
Volviendolo a leer. Parafraseo incorrecto.
A5
Señalando los datos
Parafraseo correcto.
B7
subrayándolos. B8
Leerlo otra vez. Parafraseo correcto.
A10 Leerlo otra vez. Parafraseo correcto.
B9
Volver a leer. Parafraseo incorrecto.
A11 No lo sé, lo mire. Parafraseo incorrecto.
B15
Volverlo a leer. Parafraseo correcto.
A12 Leerlo muchas veces. Parafraseo correcto.
B17
Leerlo y volverlo a leer. Parafraseo
correcto.
A16 Volverlo a leer. Parafraseo correcto.
B18
Leerlo otra vez. Parafraseo correcto.
A20 Mirar el problema. Parafraseo correcto.
B19
Escribirlo en
incorrecto.
una
hoja.
Parafraseo
Uso
¿Te dices lo que lees en tus propias palabras?
A1
Sí.
B3
No.
A3
A veces.
B7
A veces.
A5
A veces.
B8
Sí, a veces.
A10 Sí, a veces.
B9
No.
A11 No.
B15
A veces.
A12 A veces.
B17
A veces.
A16 Sí, a veces.
B18
Sí, siempre.
A20 No.
B19
A veces.
Control
Cuando te dices un problema con tus propias palabras, ¿cómo sabes que estás haciéndolo bien?
A1
No lo sé.
B3
No lo hago.
A3
Porque la he leido muchas veces.
B7
No lo sé.
A5
Lo resumo.
B8
Lo miro en el problema.
A10 No lo sé.
B9
No lo hago.
A11 No lo hago.
B15
No lo sé.
A12 No lo sé.
B17
Porque lo he leido y lo comprendo.
A16 Me lo he leido y sé cómo es.
B18
No lo sé.
A20 No lo hago.
B19
Porque lo digo yo mismo.
414
Si bien la mayoría de estudiantes son capaces de PARAFRASEAR
correctamente el texto del problema no es ésta una estrategia que utilicen de manera
sistemática en las tareas de resolución de problemas. De hecho antes de explicar en qué
consiste esta estrategia cuando se les pregunta sobre qué hacen para recordar los datos
del problema la mayor parte de los entrevistados afirman que el recurso que utilizan es
volver a leer el problema (sólo dos contestan de forma diferente: uno afirma que anota
el texto en otra hoja y otro que subraya lo que considera más importante). Por otro lado
algunos de los que dicen no utilizar esta estrategia cuando se les pide lo hacen
correctamente, mientras que otros que dicen utilizarla lo hacen incorrectamente. Sólo
uno ejerce algún tipo de control sobre la estrategia afirmando que “mira el problema”
como comprobación.
LA VISUALIZACIÓN COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Uso
Alguna vez has hecho un dibujo del problema o lo has imaginado?
A1
A veces me los imagino.
A3
Lo imagino
complicados.
A5
No.
a
veces
B3
en
los
más B7
No.
Me los imagino.
B8
Si la maestra me lo dice.
A10 Me lo imagino a veces cuando salen B9
animales.
A veces me los imagino.
A11 No.
B15
A veces lo he imaginat.
A12 Sí, cuando lo dice el maestro.
B17
No.
A16 Me imagino los más difíciles.
B18
Me lo imagino y a veces hago un dibujo.
A20 No.
B19
Imagínate, por ejemplo en el segundo
problema me los imagino en el cine con una
pantalla enorme y comiendo palomitas.
Conocimiento
¿Cómo representas graficamente los problemas? A continuación pedimos al estudiante que represente
con un dibujo el problema número 1.
A1
No lo hago. Representación no útil.
B3
No
los
representa
Representación no útil.
gráficamente.
A3
No representa gráficamente. Representación B7
no útil.
No
los
representa
gráficamente.
415
A5
No
hace
representaciones
gráficas. B8
Dibujando las cosas
del
problema.
A10 No representa. Representación no útil.
B9
No los dibujo. Representación no útil.
A11 No representa. Representación no útil.
B15
No
los
representa
gráficamente.
A12 Dibujando lo que dice el problema. B17
No
los
representa
gráficamente.
A16 No representa gráficamente. Representación B18
no útil.
Hago palitos que representen les coses.
A20 No representa gráficamente. Representación B19
no útil.
No
los
representa
gráficamente.
Control
¿Compruebas que el dibujo represente el problema?
A1
No hago dibujo.
B3
No los representa gráficamente.
A3
No hago dibujo.
B7
No els representa gráficamente.
A5
No hago dibujo.
B8
Si dibujo las cosas del problema está bien.
A10 No representa gráficamente.
B9
No hace representaciones gráficas.
A11 No representa.
B15
A12 A veces, volviendo a mirar el problema.
B17
B18
No.
B19
Sí si están las personas del problema.
Ningún alumno entrevistado realiza REPRESENTACIONES GRÁFICAS de
manera habitual. Sólo dos dicen haber hecho en alguna ocasión un dibujo representativo
y ha sido a instancias de la maestra. Algunos afirman qe se imaginan las situaciones
representadas en los problemas pero si se les pregunta sobre el contenido de dichas
visualizaciones comprobamos que no tienen ninguna utilidad a la hora de planificar la
resolución sino que se quedan en datos anecdóticos referentes al contexto en el que se
da la situación problemática (personajes, lugar, etc.)
LA PLANIFICACIÓN COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Conocimiento
¿Cómo planificas para resolver un problema de matemáticas? ¿Qué pasos sigues?
416
A1
Miro los números, pienso en la operación, B3
la hago en sucio, el maestro la corrige y la
paso a la libreta.
Leerlo, apuntar los datos para que no se
olviden y hacerlo.
A3
Según los puntos: leo cada frase y la B7
entiendo. Después lo leo entero hasta que lo
comprendo. Pongo los datos y hago las
operaciones.
Leyéndolo, pensándolo y haciéndolo.
A5
Leerlo, pensarlo, hacer las operaciones y B8
corregirlo.
Leyéndolo, pensando y resolviéndolo.
A10 Leerlo, mirar los datos, imaginármelo y B9
hacerlo.
Leyéndolo,
operación.
pensando
y
haciendo
la
A11 Leerlo, pensar y hacerlo.
B15
Leyendo, escribiendo los datos, hago las
operaciones y anoto el resultado.
A12 Leerlo muchas veces, lo hago y lo B17
compruebo, si está mal lo vuelvo a hacer
Primero leer, después las operaciones: hago
primero las que entiendo y lo que no
entiendo lo dejo para el final.
A16 Leerlo, pongo en el papel los datos, pienso B18
lo que he de hacer, lo hago y pienso en el
resultado.
Leerlo, mirar los números y hacerlo.
A20 Lo leo, pienso en las operaciones y lo hago. B19
Leerlo y lo hago.
Uso
Cuando llevas a la práctica tu plan,¿sigues los pasos que previamente te habías planificado?
A1
Sí.
B3
Sí, casi siempre.
A3
Sí.
B7
Sí.
A5
Casi siempre.
B8
Sí.
A10 A veces.
B9
No siempre.
A11 Sí.
B15
La mayoría de veces no porque me olvido.
A12 Sí, muchas veces.
B17
Sí, a veces.
A16 No siempre.
B18
Casi siempre.
A20 Sí.
B19
Sí.
Control
¿Cómo sabes qué operaciones has de utilizar?
A1
Si es una suma pregunta por el total, si es B3
resta pregunta por cuántas le faltan.
Pensando un poquito.
A3
Si he de repartir, división; si faltan 5 B7
caramelos, por ejemplo, suma y si se comen
resta.
Si quitas, haces una resta, si repartes, haces
una división.
A5
Porque lo dice el problema.
El problema casi que te lo dice.
B8
A10 Mirando los números: si es mayor el de B9
arriba se multiplica.
Por lo que dice el problema.
A11 Leyendo el problema.
Pensando en el texto.
B15
417
A12 Si lo lees lo sabes.
B17
Leyendo el problema.
A16 Leyendo el texto.
B18
Leyéndolo y si no lo entiendo muy bien y
son dos cifras se nota que es sumar o restar.
A20 Porque está escrito.
B19
Si pone más, hago una suma y si pone
menos hago una resta.
Los pasos (PLANIFICACIÓN) que siguen generalmente los estudiantes para
resolver los problemas consisten en la secuencia “leer-pensar-hacer” consistiendo este
último paso en la realización del cálculo. La planificación de los cálculos se realiza a
menudo en base a la lectura de “palabras-clave” que lleva a planteamientos engañosos.
LA ESTIMACIÓN O PREDICCIÓN COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Conocimiento
¿Qué es estimar o predecir?
A1
No lo sé.
B3
No lo sé.
A3
No lo sé.
B7
No lo sé.
A5
No lo sé.
B8
No lo sé.
A10 No lo sé.
B9
No lo sé.
A11 No lo sé.
B15
No lo sé.
A12 No lo sé.
B17
No lo sé.
A16 No lo sé.
B18
No lo sé.
A20 No lo sé.
B19
No lo sé.
Estimar es hacer una predicción sobre la respuesta utilizando la información que hay en el problema.
¿Crees que puede ayudar la predicción a resolver el problema? ¿Haces predicciones?
A1
Sí. Yo lo hago a veces.
B3
No lo sé.
A3
Sí.
B7
Sí.
A5
No lo sé.
B8
Sí. Lo hago a veces.
A10 Sí, yo lo hago a veces.
B9
Sí que lo hago dependiendo de cómo sea el
problema porque pienso que sí que puede
ayudar.
A11 No lo sé.
B15
No pienso que ayude mucho, yo no lo hago.
A12 Sí, lo hago a veces.
B17
Si que puede ayudar. Lo hago a veces.
A16 Eso lo hago a veces y pienso que sí que B18
puede ayudar.
Sí que puede ayudar. Yo no lo hago.
418
A20 Sí que lo hago a veces y creo que sí que B19
ayuda.
Sí. Lo hago a veces.
Uso
¿Cómo estimas, imaginas o predices la respuesta antes de calcular?
A1
Mirando el problema.
B3
No estima.
A3
No estimo.
B7
No estimo.
A5
No estimo.
B8
Cuento con los dedos.
A10 Pensando.
B9
Pensando en lo que dice.
A11 No estimo.
B15
No lo hago.
A12 Hago la operación de cabeza.
B17
Pensando.
A16 Aproximando las operaciones.
B18
No lo hago.
A20 Mirando los números y pensando más o B19
menos que dará.
Pensándolo de cabeza.
Control
¿Comparas tu estimación con lo que te pide el problema?
A1
Sí, a veces.
B3
No estima.
A3
No.
B7
No estimo.
A5
No estimo.
B8
No.
A10 Sí, a veces.
B9
A veces.
A11 No estimo.
B15
No lo hago.
A12 Sí, a veces.
B17
No.
A16 A veces.
B18
No estimo.
A20 A veces.
B19
A veces.
De entrada ninguno de los estudiantes entrevistados conoce el significado de la
palabra ESTIMACIÓN o predicción. Una vez se les explica el significado de esta
palabra muchos de ellos (11) afirman que sí que utilizan a veces esta estrategia. Pero
cuando se les pregunta sobre cómo realizan la estimación la mayor parte de las
respuestas de los alumnos que han afirmado utilizarla son ambiguas como por ejemplo,
“pensando”, “mirando el problema” o respuestas que denotan un uso incorrecto de la
estrategia (“contando con los dedos”, o “pensándolo de cabeza”). El control que
posteriormente aplican sobre esta estrategia es numo o poco generalizado.
EL CALCULO COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
419
Conocimiento
¿Que piensas cuando realizas los cálculos?
A1
En hacerlos bien.
B3
Si los tendré bien o mal.
A3
En los números y en fijarme.
B7
En hacerlos bien.
A5
En fijarme en los números y no “liarme”.
B8
Me preocupo por si están bien o mal.
A10 Pienso en no fallar, si no entiendo, vuelvo a B9
leer.
En los números y las operaciones.
A11 En hacer bien las operaciones.
B15
Pienso en hacer bien la operación.
A12 Si me saldrá bien o no.
B17
En hacer bien los cálculos.
A16 En si estarán bien las operaciones.
B18
En contar bien.
A20 En fijarme.
B19
Que los tengo que hacer bien y fijarme.
Uso
¿Utilizas el cálculo en los problemas de matemáticas?
A1
Sí.
B3
Sí.
A3
Sí.
B7
Sí.
A5
Sí.
B8
Sí.
A10 Sí.
B9
Sí.
A11 Sí.
B15
Sí.
A12 Sí.
B17
Sí.
A16 Sí.
B18
Sí.
A20 Sí.
B19
Sí.
Control
¿Cómo sabes que tus cálculos son correctos?
A1
Preguntándole al profesor o volviéndolos a B3
hacer.
No lo sé, si no lo corrige el maestro.
A3
A veces hago la prueba.
B7
Si lees el problema , te lo dice.
A5
Los hago 2 o 3 veces.
B8
A veces están “chupaos” porque los he
hecho muchas veces.
A10 Lo cuento muchas veces.
B9
Porque vuelvo a leer y pensar en la
operación.
A11 Cuando el maestro los corrige.
B15
Cuando los corrige el maestro.
A12 Los repaso.
B17
Porque los pienso otra vez.
A16 Haciendo la prueba.
B18
No lo sé.
A20 Repasando.
B19
Al mismo tiempo que hago una suma
divido. Así si me equivoco, después hago la
división.
420
El CÁLCULO es la estrategia de uso más generalizado entre los estudiantes:
todos afirman utilizarla. El control sobre esta estrategia se basa a menudo en la
corrección que hace el maestro o en una repetición del cálculo, si bien en algún caso se
afirma que se “hace la prueba” o se “repasa” aunque no se explica cómo.
LA COMPROBACIÓN COMO ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Conocimiento
¿Qué es comprobar?
A1
Mirar si está bien.
B3
Ver si está bien o mal.
A3
Hacer la prueba.
B7
A5
Ver si está bien.
B8
Ver si está bien.
A10 No lo sé.
B9
Ver si está bien o mal.
A11 Ver si está bien.
B15
Pegar una miradita para ver si está mal.
A12 Ver si lo tengo mal.
B17
Volver a hacerlo.
A16 Saber si está bien.
B18
A20 Mirar si está bien.
B19
Ver una cosa y explorarla.
Uso
¿Sueles comprobar los problemas? (Si no saben que significa la palabra comprobar, se le explica antes
de formular esta pregunta)
A1
A veces.
B3
A veces.
A3
A veces lo hago en una hoja aparte.
B7
A veces.
A5
Sí, a veces.
B8
Sí, si tengo temps.
A10 Sí, a veces.
B9
No, sólo en controles.
A11 A veces.
B15
No.
A12 Sí, cuando tengo tiempo.
B17
Sí, a veces.
A16 Sí.
B18
Sí.
A20 A veces.
B19
Sí, a veces.
Control
¿Cómo compruebas que has realizado correctamente un problema de matemáticas?
A1
Lo repaso o se lo pregunto al maestro.
B3
Repasando les operaciones.
A3
Haciendo la prueba.
B7
Haciendo la prueba de las operaciones.
A5
Volviéndolo a leer y volviéndolo a hacer.
B8
Lo vuelvo a hacer y si está mi hermana me
ayuda.
A10 Mirando los números y leyéndolo otra vez.
B9
Haciéndolo otra vez.
A11 Repasando la operación.
B15
Los corrige mi madre.
421
A12 De ninguna, si lo tengo mal lo borro.
B17
Volviendo a hacerlo.
A16 Volviéndolo a hacer en una hoja aparte.
B18
Volviendo a hacerlos.
A20 Volviéndolos a pensar.
B19
Pensándolos y haciéndolos.
Aunque los estudiantes saben en qué consiste COMPROBAR, no suelen aplicar
esta estrategia de manera sistemática cuando resuelven un problema. En ocasiones
recurren a ayudas externas para que les indiquen si el problema es correcto o no. En el
caso de efectuar ellos mismos la comprobación se limitan a repasar los cálculos
realizados, haciéndolos de nuevo o aplicando la prueba correspondiente.
CONCLUSIONES:
Los resultados son bastante homogéneos en cada uno de los apartados evaluados lo
que permite extraer conclusiones generales que constituyen una guía a la hora de
diseñar la intervención. Las estrategias utilizadas se limitan a una lectura repetida
seguida del cálculo que se considera que resuelve el problema. Aunque en la mayoría de
casos son capaces de parafrasear correctamentee, en general no aplican esta estrategia
de forma sistemática. Ningún sujeto realiza habitualmentee representaciones gráficas
que les ayuden a resolver problemas y cuando se les insta a hacerlo la representación se
limita a un dibujo donde se representa la situación de la que habla el problema pero sin
utilidad para guiar la planificación. El control sobre la planificación de las operaciones
que resuelven el problema se basa en criterios no válidos como palabras relacionadas
(más, menos) que aparecen en el enunciado. El cálculo es una estrategia que todos
utilizan aunque los mecanismos de control dependen generalmentee de agentes externos
(corrección de padres, maestro/a, etc.). Aunque todos los estudiantes saben lo que
significa comprobar sólo dos aplican esta estrategia siempre que resuelven problemas.
BIBLIOGRAFÍA
422
Baroody, A.J. (1994)(2ª Ed). El pensamiento matemático de los niños. Madrid:
Aprendizaje-Visor.
McLoughlin, J.A y Lewis, R.B. (1990). Assessing special students. New York.
McMillan
Montague, M. (1996). Assessing mathematical problem solving. Learning Disabilities
Practice.
423
POSTER 10
LOS FORROS DE LOS CUERPOS: UNA ACTIVIDAD PARA APOYAR EL
DESARROLLO DE LA PERCEPCIÓN GEOMÉTRICA EN PREESCOLAR
Bertha Vivanco Ocampo
Departamento de Investigaciones Educativas, Cinvestav, México
[email protected]
Este trabajo se desarrolló en el marco de un taller de actualización para las educadoras
encargadas de los Centros de Desarrollo Infantil (CENDI’s) de la Ciudad de México,
sobre los contenidos que favorecen el Desarrollo del Pensamiento Matemático9. La
petición de las autoridades contempló el hecho de que las educadoras participaran en el
diseño de las actividades que podrían llevar a sus aulas como resultado del taller.
El proceso se desarrolló en dos fases discontinuas de 40 horas cada una, para la primera
se les propuso un conjunto de actividades que las educadoras debían aplicar
previamente en su salón de clases y las reseñas de estas aplicaciones se analizaron
durante la primera fase del taller con la retroalimentación por parte del grupo y del
coordinador en turno.
En la segunda fase, las educadoras formaron equipos de acuerdo a las edades de los
alumnos con quienes estaban trabajando, se les plantearon situaciones problemáticas
similares a las que se esperaba propusieran a sus alumnos haciendo énfasis en la
ganancia didáctica que les retribuye el sustituir prácticas de uso tradicional en donde la
generación de aprendizajes matemáticos es reducida y se ve desplazada por actividades
cuya orientación apunta hacia el desarrollo de la psicomotricidad fina y la memoria.
Cada equipo de educadoras eligió una temática y diseñó una actividad que aplicaron en
el aula del taller con niños de 5 años de edad que eran alumnos de la escuela que
funcionó como sede.
Para este Simposio, interesa comentar particularmente, el caso de los forros de los
regalos de navidad, pues las educadoras de este equipo, aplicaron una actividad en
donde los alumnos se encargaron de forrar adornos para sus árboles de navidad en
forma de regalos cúbicos; los alumnos seleccionaron entre varias opciones (no todas
correctas) el desarrollo geométrico de un cubo de manera que todas las caras del regalo
quedaran cubiertas pero una sola vez. Por lo tanto se cumplió con la demanda
institucional de las autoridades, pues las educadoras tomaron parte activa en el diseño
de una actividad y también con el interés de los coordinadores preocupados por el
desarrollo de la percepción geométrica en los alumnos del preescolar.
Las actividades del taller fueron sido diseñadas en el Laboratorio de Picomatemática del
Departamento de Investigaciones Educativas, para favorecer el proceso de actualización
docente que están enfrentando las educadoras en México, a raíz de la reforma curricular
publicada en el Programa de Educación Preescolar 2004 (PEP 2004).
Bibliografía Consultada:
Panizza, Mabel (comp.) (2003). Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer
ciclo de la EGB. Buenos Aires: Paidós
SEP (2004). Programa de Educación Preescolar 2004. México: Comisión Nacional de
Libros de Texto Gratuitos.
9
Fuenlabrada, I. (2004). ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los niños de preescolar? La
importancia de la presentación de una actividad. En Módulo IV. Pensamiento matemático infantil e
intervención docente (pp. 65-82). México: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos
424
POSTER 11
Enhancing mathematical skills in pre-schoolers – development and evaluation of a
programme for the kindergarten
Prof. Dr. C. Quaiser-Pohl, University of Siegen, Germany
[email protected]
Co-Authors: PD Dr. W. Lehmann, Dr. Jeanne Rademacher, Dipl. Psych. A. Guenther,
& Dipl.-Psych. N. Trautewig all Otto-von-Guericke-University Magdeburg, Germany
What has been often discussed in cognitive developmental theories are the supposed
limitations of pre-schoolers’ quantitative abilities. In order to study the possibilities of
enhancing mathematical abilities in pre-schoolers in play-like situations we developed a
training programme for mathematical skills in the kindergarten.
The programme focuses on eight topics: visual differentiation, spatial abilities, the
concept of quantities and numbers, simple arithmetic operations, symbol function,
reasoning and the understanding of cause-and-effect. It consists of 16 units of about 45
minutes, two for each topic, and was conducted over eight weeks with two lessons per
week. Participants were 113 pre-school children (mean age: 5.89 years) from eight
German kindergartens.
The training was evaluated by a pre-post design with control group. For the assessment
of children’s cognitive, i.e. mathematical abilities, several psychometric tests were used.
Training group (n=56) and control group (n=57) were parallelized according to the pretest results.
A comparison of the post-test results revealed that the training group improved
statistically significantly in three content areas: the concept of quantities, simple
arithmetic operations and spatial abilities. Results further revealed that children with
higher mathematical abilities and those with lower ones profit from the programme
equally. Conditions and aspects of further development and implementation of the
programme are discussed.
425
426
427

1 APRENDER MATEMÁTICAS EN LA INFANCIA

Transcripción

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Primary Sources in Every Classroom: an interactive introduction This