APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto.

Transcripción

APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL.
Prof. Jaime A Pinto.
Departamento De Ciencias Básicas,
Unidades Tecnológicas de Santander.
uts
Departamento de Ciencias Básicas
2013
Contenido
Introducción ................................................................................................................................................................. 1
1
Capítulo 1
"Desigualdades" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1
Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1
Propiedades de las Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2
Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1
Clases de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3
Inecuaciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4
Clasificación de las Inecuaciones de una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1
Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2
inecuaciones simultáneas de primer grado
1.4.3
cuadráticas o de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4
Inecuaciones de Grado Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5
Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.6
Inecuaciones de Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.7
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Capítulo 2
"Funciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1
Definición de Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2
Representación Gráfica de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1
Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
Criterio de la Recta Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.3
Elementos de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1
Dominio de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2
Recorrido o rango de algunas funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4
Intersección con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5
Simetrías de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6
Funciones par e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7
Álgebra de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8
Funciones a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Cálculo Diferencial
uts
CONTENIDO
3
2.9
Movimientos en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.1
Translación Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9.2
Translación Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10
Gráfica de Funciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11
Composición de Funciones o Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12
Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.12.1
Propiedades de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.13
Aplicaciones de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.1
Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.2
Modelos Demanda y Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
Límites y Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1
Definición Informal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2
Límites Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3
Definición Formal de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4
Propiedades de los Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1
Cálculo de Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5
3.5.3
Resumen del cálculo de límites indeterminados
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indeterminación
0
±∞
Indeterminación
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
±∞
indeterminación ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4
indeterminación 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.5
indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6
Límites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7
Límites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.8
Límites al Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.1
Asintotas Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.9
Teorema del Emparedado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10
Continuidad de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11
Clases de Discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.1
Discontinuidad Evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11.2
Discontinuidad no evitable o esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11.3
Resumen de las Definiciones de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4
Derivadas y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.0.4
Diferentes formas de representar la derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.0.5
La Derivada como Razón de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1
Propiedades o reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1
3.5.2
uts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
CONTENIDO
1
4.2
Análisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1
Costo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2
Ingreso Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3
Utilidad marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.4
Consumo y Ahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.5
Elasticidad de la Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3
Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.1
Regla de la cadena para potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4
Derivada de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1
Derivada de la función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.2
Derivada de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3
Derivada de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.4
Derivadas de otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.5
Derivadas de funciones trigonométricas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5
Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6
Derivada de una Función elevada a otra Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7
Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8
Teorema del Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9
Razones de cambio relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.10
Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.10.1
El problema de recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.11
Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11.1
La primera derivada y la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.11.2
Extremos locales de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.11.3
Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado
4.11.4
Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.11.5
Concavidad de una función
4.11.6
Punto de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.11.7
Representación Gráfica de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.11.8
Tabla de resumen "Definiciones" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
. . . . . . . . . . . . 117
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.12
Aplicación de la derivada al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.12.1
Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞ − ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.13
Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Bibliografía .................................................................................................................................................................... 134
uts
Introducción
El Cálculo Diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII
cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega
Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica que es el problema de
la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo
práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí.
Con el paso del tiempo las aplicaciones del Cálculo Diferencial se han ampliado a la cotidianidad, a las ciencias socieconómicas e ingeniería, entre otros.
1
1.1
Capítulo 1
"Desigualdades"
Desigualdades
En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor
que otra, para ello utilizamos los símbolos:
Mayor que >
menor que <
Mayor o igual que ≥
menor o igual que ≤.
Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad:
a es mayor que b → a > b
a es menor que b → a < b
a es mayor o igual que b → a ≥ b
a es menor o igual que b → a ≤ b.
1.1.1
Propiedades de las Desigualdades
Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:
1. (Propiedad transitiva).
Si a > b y b > c, entonces a > c.
Si a < b y b < c, entonces a < c.
2. Si a > b, entonces a ± c > b ± c.
Si a < b, entonces a ± c < b ± c.
3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
uts
3
a b
> .
c
c
a b
Si a > b y c < 0, entonces < .
c
c
4. Si a > b y c > 0, entonces
5. (Propiedad aditiva)
Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d
6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd
7. Si a > b y a > 0 y b > 0, entonces an > bn
8. Si a > b, entonces
9. a.b > 0 =

 a>0

a<0
1
a
<
1
b
∧ b>0
∨
∧ b<0
a.b < 0 =

 a>0

a<0
∧ b<0
∨
∧ b>0
10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.
Por ejemplo 3 < 6 ⇐⇒ 6 > 3
Definición 1.1
1. Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además son
satisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostración
analítica (utilizando propiedades de las desigualdades).
Por ejemplo: la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b
√
2ab
< ab
a+b
2. Desigualdades condicionales: Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos
números Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades que
poseen variables.
Por ejemplo:
2x + 6 < 0
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
4
1.2
Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre
conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que
existen y luego algunos ejemplos.
1.2.1
Clases de Intervalos
A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos
Ejemplo 1.1
Sean los intervalos A = [−5, 5], B(−∞, 8] y C = (2, ∞); hallar en las diferentes notaciones:
1. A ∪C
2. B ∩C
3.(A ∩C) ∪ B
Solución:
1. A ∪C = [−5, ∞) Notación de intervalo → A ∪C = {x/x ≥ −5} Notación de conjunto
2. B ∩C = (2, 8] Notación de intervalo → B ∩C = {x/2 < x ≤ 8} Notación de conjunto
3. (A ∩C) ∪ B = (2, 5] ∪ (−∞, 8] = (−∞, 8] Notación de intervalo
→ (A ∩C) ∪ B = {x/x ≤ 8} Notación de conjunto
uts
5
1.3
Inecuaciones de una variable
Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que
sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se
conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.
Ejemplo 1.2
La desigualdad 2x − 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para
cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una
desigualdad de signo contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante
un intervalo).
Solución de inecuaciones
Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para
hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el
nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en
notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos")
1.4
Clasificación de las Inecuaciones de una Variable
Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que
aparece en ellas.
Inecuación
2x − 3 > x − 5
x−3 ≤ y
x2 − 5x ≥ 4
xy − 3 > 0
1.4.1
tipo
1° grado; 1 incógnita
1° grado; 2 incógnitas
Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita:
son las que responden a las siguientes formas básicas:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
6
Paso 1: Quitar los paréntesis, si los hay.
Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por
el m.c.m. de los denominadores.
Paso 3: Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro.
Paso 4: Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica.
Paso 5: Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la
desigualdad.
Paso 6: Despejar la x (la incógnita).
Paso 7: Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.
Ejemplo 1.3
x − 2 5(x − 7) 7 − x
−
>
3
4
2
4(x − 2) − 3(5x − 35) 6(7 − x)
>
12
12
Resolver
4x − 8 − 15x + 105 > 42 − 6x ⇒ −5x > −55
5x < 55 ⇒ x < 11
Solución: x ∈ (−∞, 11)
Ejemplo 1.4
Resolver 2x − 3 > x + 5
Pasando x al primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene: 2x − x > 3 + 5
Reduciendo término: x > 8
Solución: S = (8, ∞) = {x ∈ R|x > 8}
uts
7
Ejemplo 1.5
Dada la siguiente inecuación 7 −
x 5x
>
− 6. Halle el conjunto solución y grafíquelo
2
3
Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene: 42 − 3x > 10x − 36
Trasponiendo términos: −3x − 10x > −36 − 36
−13x > −78
Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:
13x < 78
Dividiendo por 13: x <
78
o sea laSolución: es x < 6
13
Ejemplo 1.6
Resolver (x + 3)(x − 1) < (x − 1)2 + 3x
Efectuando las operaciones algebraicas: x2 + 2x − 3 < x2 − 2x + 1 + 3x
Suprimiendo x2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x − 3x < 1 + 3 x < 4
Solución: S=(−∞, 4) = {x ∈ R|x < 4}
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
8
Ejemplo 1.7
Dada la siguiente inecuación
x − 2 2x2 − 1 1
−
≤ − x2 Halle el conjunto solución y grafíquelo.
3
2
4
Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para
obtener:
4(x − 2) − 6(2x2 − 1) ≤ 3 − 12x2
4x − 8 − 12x2 + 6 ≤ 3 − 12x2
Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:
4x + 6 ≤ 3 + 8
5
5
Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: Solución S=(−∞, ]={x ∈ R|x ≤ }
4
4
1.4.2
inecuaciones simultáneas de primer grado
Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x > a x < b, es
decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:
S = {x/x > a} ∩ {x/x < b}
Ejemplo 1.8
Hallar el conjunto solución de 6 ≤ 4x − 2 < 7
Separando en dos desigualdades:
4x − 2 ≥ 6 ∧ 4x − 2 < 7
4x ≥ 6 + 2 ∧ 4x < 7 + 2
8
4
∧
x≥2
∩
x≥
9
Solución: x ∈ [2, )
4
9
4
9
x<
4
x<
uts
9
1.4.3
cuadráticas o de segundo grado
Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes
formas básicas:
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Procedimiento
Paso 1: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.
Paso 2: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.
Paso 3: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.
Paso 4: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
10
Ejemplo 1.9
Dada la siguiente inecuación x2 + 5x + 6 > 0. Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2), quedando una inecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0
Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:
Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: (x + 3) > 0 y (x + 2) > 0
Caso II: Cuando ambos binomios son negativos es decir: (x + 3) < 0 y (x + 2) < 0
Solución Caso I: Sea SA el conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y SB al conjunto
solución de la inecuación (x + 2) > 0, la solución del Caso I viene dada por: SI =SA ∩ SB
Solución para SA x + 3 > 0 x > −3 SA = (−3, ∞) = {x ∈ R|x > −3}
Solución para SB x + 2 > 0 x > −2 SA = (−2, ∞) = {x ∈ R|x > −2}
Solución para SI es: SI =SA ∩ SB = (−3, ∞) ∩ (−2, ∞) = (−2, ∞)
SI = (−2, ∞) = {x ∈ R|x > −2}
Solución Caso II: Si llamamos SC al conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y SD al conjunto
solución de la inecuación (x + 2) < 0, la solución del Caso II viene dada por: SII =SC ∩ SD
Solución para SC (x + 3) < 0 SC = (−∞, −3) = {x ∈ R|x < −3}
Solución para SD (x + 2) < 0 SD = (−in f ty, −2) = {x ∈ R|x < −2}
Entonces la solución para es: SII = SC ∩ SD = (−∞, −3) ∩ (−∞, −2) = (−∞, −3)
SII = (−∞, −3) = {x ∈ R|x < −3}
Solución general: La solución general será la unión de SI y SII , es decir: SG = SI ∪ SII =
(−∞, −3) ∪ (−2, ∞)
El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico.
Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio
o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método
consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la
recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando
cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario
que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los
intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.
uts
11
Ejemplo 1.10
Dada la siguiente inecuación x2 + 5x + 6 > 0, halle el conjunto solución y grafique.
Se factoriza el polinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
quedando la inecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0
Las raíces que anulan (x + 3)(x + 2) son x = −3 y x = −2. (valores de separación)
Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1).
Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.
x+3
x+2
(x + 3)(x + 2)
(−∞, −3)
−
−
+
(−3, −2)
+
−
−
(−2, ∞)
+
+
+
Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el
producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene
dada por:
Solución: SG = SI ∪ SII = (−∞, −3) ∪ (−2, ∞)
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
12
Ejemplo 1.11
Dada la siguiente inecuación
(x − 1)2 (x − 1)2
8
−
< , halle el conjunto solución y grafique.
2
3
3
Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y
se reducen términos semejantes, obteniendo: x2 − 2x − 15 < 0
Factorizando el polinomio resultante, se tiene x2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3), resultando una
inecuación de la forma: (x − 5)(x + 3) < 0
Las raíces de (x − 5)(x + 3) son x = 5 y x = −3 (valores de separación) las cuales se ubican
sobre la recta real.
Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad.
x+3
x−5
(x + 3)(x − 5)
(−∞, −3)
−
−
+
(−3, 5)
−
+
−
(5, ∞)
+
+
+
Solución: SG = (−3, 5) = {x ∈ R| − 3 < x < 5}
Graficamente:
Casos especial 1
Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:
(ax + b)2 ≤ 0 → la solución es x = −b/a
(ax + b)2 < 0 → No tiene solución
(ax + b)2 ≥ 0 → La solución son los R
(ax + b)2 > 0 → La solución son los R − {−b/a}
Ejemplo 1.12
Resolver: x2 + 2x + 1 ≥ 0
Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tanto x2 + 2x + 1 = 0
√
√
−b ± b2 − 4ac −2 ± 22 − 4 −2 ± 0
Por lo tanto usando la fórmula cuadrática x =
=
=
= −1
2a
2
2
(x − 1)2 ≤ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R
Casos especial 2
uts
13
Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con el
de la desigualdad, no tiene solución (vacío).
1.4.4
Inecuaciones de Grado Superior
Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuaciones
Paso 1 Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
Paso 2 Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
Paso 3 Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
Paso 4 En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Paso 5 Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.
Ejemplo 1.13
Resolver la inecuación: x3 − 4x < 0
Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo por el sentido de la desigualdad.
El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar
factor común x)
x(x2 − 4) < 0, o lo que es lo mismo x(x − 2)(x + 2) < 0
Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes
valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio
es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el
producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de
la operación. Observa la gráfica:
x+2
x
x−2
x(x − 2)(x + 2)
(−∞, −2)
−
−
−
−
(−2, 0)
+
−
−
+
(0, 2)
+
+
−
−
(2, ∞)
+
+
+
+
Solución=(−∞, −2) ∪ (0, 2)
1.4.5
Inecuaciones Racionales
Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones
ax+b
ax+b
polinómicas. Expresión general: son del tipo ax+b
cx+d ≤ 0, o todas sus equivalentes cx+d ≥ 0, o cx+d < 0, etc y de
grados mayores que uno.
Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador
no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método
gráfico.
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
14
Procedimiento a tener en cuenta:
Paso 1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
Paso 2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,
independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Paso 3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo.
Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la
fracción polinómica.
Ejemplo 1.14
Dada la siguiente inecuación:
x2 + 3x − 10
< 0 halle el conjunto solución y grafique.
x2 + x − 2
Factorizando los polinomios dados x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2) y x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1)
(x + 5)(x − 2)
<0
(x + 2)(x − 1)
Las raíces que anulan el numerador son y , y las que anulan el denominador son y , las cuales se
ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan
los signos de la desigualdad.
Resultando una inecuación de la forma
x+5
x+2
x−1
x−2
2
x + 3x − 10
<0
x2 + x − 2
(−∞, −5)
−
−
−
+
(−5, −2)
+
−
−
−
(−2, 1)
+
+
−
+
(1, 2)
+
+
−
−
(2, ∞)
+
+
+
+
−
+
−
+
+
Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde
el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la
solución viene dada por:
Solución:SG = (−5, −2) ∪ (1, 2)
uts
15
Ejemplo 1.15
x+1
<1
x−1
x+1+x−1
x+1
−1 < 0 →
<0
x−1
x−1
2
< 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es
x−1
Resolver:
negativo y lo es en (−∞, 1).
Solución: (−∞, 1)
1.4.6
Inecuaciones de Valor Absoluto
Definición 1.2
El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo.
|a| =
para a ≤ 0
para a < 0
a
−a
∀a ∈R
significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.
Ejemplo:
|−5| = |5| = 5
1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos.
A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.
Sean a, b ∈ R.
1 |a| ≥ 0
2
√
a2 = |a|
3 |a| = | −a |
4 | a | 2 = a2
5 |a · b| = |a| · |b|
6
a
b
=
|a|
|b| ,
si b 6= 0
7 |a + b| ≤ |a| + |b| Desigualdad triangular
8 |a| = b ⇒ b ≥ 0 ∧ {a = b ∨ a = −b}
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
16
Definición 1.3
Desigualdades con valor absoluto
Sea x, y, a ∈ R. Se tiene entonces:
1 |x| ≤ a sii a ≥ 0 ∧ x ≤ a ∧ x ≥ −a ó − a ≤ x ≤ a
2 |x| ≥ a sii x ≥ a ∨ x ≤ −a
3 |x| ≥ |y| sii x2 ≥ y2
Definición 1.4
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto
de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de
resolución de inecuaciones.
Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:
Sean x, a, b, c ∈ R.

 ax + b ≤ c
1 |ax + b| ≤ c ⇒
∧

ax + b ≥ c

 ax + b ≥ c
2 |ax + b| ≥ c ⇒
∨

ax + b ≤ −c
∨
−c ≤ ax + b ≤ c
∨
ax + b ≤ c ∨
ax + b ≥ −c
uts
17
Ejemplo 1.16
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface |5x + 10| ≤ 15 y grafique.
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −15 ≤ 5x + 10 ≤ 15
−15 − 10 ≤ 5x ≤ 15 − 10
−25 5x 5
≤
≤
5
5
5
−5 ≤ x ≤ 1
Solución: S = [−5, 1] = {x ∈ R| − 5 ≤ x ≤ 1}
Graficamente:
Ejemplo 1.17
x
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: | + 2| < 1 y grafique.
3
Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: −1 <
x
+2 < 1
3
x
< −1
3
x
−3 ∗ 3 < < −1 ∗ 3
3
−3 <
−9 < x < −3
Solución: S = (−9, −3) = {x ∈ R| − 9 < x < −3
Graficamente:
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
18
Ejemplo 1.18
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |3x + 8| ≥ 2 y grafique.
3x + 8 ≥ 2
3x ≥ 2 − 8
3x ≥ −6
∨
∨
∨
−6
3
3x + 8 ≤ −2
3x ≤ −2 − 8
3x ≤ −10
−10
3
−10
x ≥ −2
∨
x≤
3
10
Solución: S = (−∞, − ] ∪ [−2, ∞)
3
x≥
∨
x≤
Graficamente:
Ejemplo 1.19
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |5x − 3| ≤ 7 y grafique.
5x − 3 ≥ 7
5x ≥ 7 + 3
5x ≥ 10
∨
∨
∨
5x − 3 ≤ −7
5x ≤ −7 + 3
5x ≤ −4
−4
5
−4
x≥2
∨
x≤
5
4
Solución: S = (−∞, − ] ∪ [(2, ∞)
5
x≥
10
5
∨
x≤
Graficamente:
uts
19
Ejemplo 1.20
Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: |
2x − 1
| ≥ 3 y grafique.
x+3
|2x − 1|
≥3
|x + 3|
|2x − 1| ≥ 3|x + 3|
(2x − 1)2 ≥ (3x + 9)2
(2x − 1)2 − (3x + 9)2 ≥ 0
(2x − 1)2 − (3x + 9)2 ≥ 0
[(2x − 1) − (3x + 9)][(2x − 1) + (3x + 9)] ≥ 0
(−x − 10)(5x + 8) ≥ 0
8
Solución: S = [−10, − ]
5
uts
Capítulo 1
"Desigualdades"
20
1.4.7
Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones
Las inecuaciones permiten resolver problemas.
Ejemplo 1.21
Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga
que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede
pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella?
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de
cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg
875 − 4x ≤ 415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:
Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad −4x ≤ 415 − 875
Hacemos el cálculo en el segundo miembro −4x ≤ −460
1
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por − (Cuidado: como multiplicamos
4
1
por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad), x ≥ (− )(−460)
4
hacemos el cálculo x ≥ 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se
trata de un peso, x > 0.
Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo
(0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:
uts
2
Capítulo 2
"Funciones"
En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperatura
de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones;
aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, sí
existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones pueden
ser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones se
conocen como funciones.
El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac
Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro».
2.1
Definición de Función
Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado
dominio un valor único f (x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a los
que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se
llama imagen.
Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función.
uts
Capítulo 2
"Funciones"
22
Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f (x), por ejemplo:
y = f (x) = x2 ;
y = j(x) =
√
x + 6;
y = g(x) = 3x2 + x;
y = t(x) =
√
x−2
x+4
y = h(x) =
x+1
x−3
y = k(x) = sen(x)
Por otra parte en las funciones del tipo y = f (x), la relación entre ambas variables x e y está claramente
determinada. Por ese motivo la expresión y = f (x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin
embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma
tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:
3x − 2y + 5 = 0
x − 3y3 + 4yx = 5
√
x + sen(xy) + y = 3 2x,
π = xy + x2 + y2
Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la función. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable
dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión
implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es? ¿Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones
anteriores puede servirnos de ayuda.
2.2
Representación Gráfica de una Función
La gráfica de una función f (x) es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano xy (ejes de coordenadas),
tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f (x).
2.2.1
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números x e y,
llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(x, y).
uts
23
1. La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal, OX. Se denomina abscisa del
punto P.
2. La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY . Se denomina ordenada
del punto P.
3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas, O.
El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:
2.2.2
Criterio de la Recta Vertical
¿Todas las gráficas son funciones? Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical que
se ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguiente
gráfica.
Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos (a, b) y (a, c) entonces dicha gráfica
no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en la
siguiente gráfica mostramos tal situación.
Observe el dibujo:
uts
Capítulo 2
"Funciones"
24
2.3
Elementos de una Función
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables
(dependiente e independiente).
1. Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente
x de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función
del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D( f ), Dom( f ).
2. Se llama Recorrido, Rango, Imagen o codominio de una función al conjunto de valores que puede
tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función.
El recorrido de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones:
R( f ), Rango( f ), Im( f ).
2.3.1
Dominio de Funciones
Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas
Una función polinómica es de la forma:
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + .... + a1 x + a0 ,
donde
n ∈ Z+
El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Dom f (x) = R
Ejemplo 2.1
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
f (x) = 2x2 − 3x + 2;
g(x) = x3 + 2x2 − x + 2;
h(x) = 2x − 5
Solución: Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemos Dom f (x) = R
Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios) .
f (x) =
p(x)
Q(x)
Recuerde que una expresión de números reales de la forma AB no existe si B = 0; de manera que
para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero Q(x) = 0
y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de
los valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador): Dom f (x) = R-(valores
críticos)
Algunos ejemplos de funciones racionales son:
f (x) =
2x + 3
;
x2 − 1
g(x) =
x−4
;
2x2 − x + 4
h(x) =
x
;
x4 − x
y=
1
x+1
uts
25
Ejemplo 2.2
Hallar el dominio de la función
f (x) =
2x + 3
x2 + 3x + 2
Igualamos el denominador a cero: x2 + 3x + 2 = 0
Factorizamos: (x + 2)(x + 1) = 0 este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:
x + 2 = 0 , entonces: x = −2
x + 1 = 0 , entonces: x = −1
De lo anterior, deducimos que los números −2 y −1 no pertenecen al dominio y por lo
tanto:
Dom f (x) = R − (−2, −1)
Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales
p
Las funciones racionales son de la forma: f (x) = n p(x), el dominio depende del índice de la raíz.
1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio es Dom f (x) = R
2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen que p(x) ≥ 0
Ejemplo 2.3
Hallar el dominio de la función:
f (x) =
p
x2 − 1
La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando es
mayor o igual que cero, es decir si:
x2 − 1 ≥ 0
al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio.
x2 − 1 ≥ 0
→ (x + 1)(x − 1) ≥ 0
Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satisfacen la ecuación son:
(−∞, −1] ∪ [1, ∞)
entonces:
Dom f (x) = (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
uts
Capítulo 2
"Funciones"
26
Ejemplo 2.4
Encuentre el dominio de la función:
x
g(x) = √
x+4
En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que
x + 4 6= 0,
→
x 6= −4,
y además que el radicando sea mayor que cero
x + 4 > 0,
de tal manera que debemos resolver la ecuación:
x+4 > 0
x > −4
Por lo tanto el dominios es Domg(x) = (−4, ∞)
Ejemplo 2.5
Determine el dominio de h(x),
√
x−2
h(x) =
x−4
En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el
denominador, es decir:
1. El radicando debe ser positivo o cero.
x − 2 ≥ 0,
x≥2
2. El denominador debe ser distinto de cero.
x − 4 6= 0
x 6= 4
Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2:
De manera que la solución es: Dom f (x) = [2, 4) ∪ (4, ∞)
uts
27
Definición 2.4 Dominio de la función exponencial
Una función exponencial es de la forma
f (x) = ax
La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio se
representa como:
Dom( f ) = ℜ
Ejemplo 2.6
Encuentre el dominio de la siguiente función f (x) = 2 ex+2
Solución: Dom f (x) = ℜ
Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica
Una función logaritmo es de la forma
f (x) = Loga [g(x)]
Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que los
logaritmos de números negativos y el cero no existen.
Entonces Dom( f ) ⇒ son los valores que satisfacen la siguiente inecuación g(x) > 0
Ejemplo 2.7
Hallar el dominio de f definida como
f (x) = Ln(1 − x2 )
La función logaritmo natura f (x) está definida si 1 − x2 > 0
Resolviendo la inecuación tenemos:
Dom f (x) = (−1, 1)
uts
Capítulo 2
"Funciones"
28
2.3.2
Recorrido o rango de algunas funciones
Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.
Ejemplo 2.8
Hallar el recorrido de la función f (x) =
Para lograrlo despejamos a x:
yx − 5y = 2x + 1
2x + 1
x−5
y(x − 5) = 2x + 1
xy − 2x = 5y + 1
x(y − 2) = 5y + 1
x=
5y + 1
y−2
Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden
tomar las imágenes, por lo tanto la solución es: Rango = ℜ − {2}
2.4
Intersección con los ejes
Un punto (a, 0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si f (a) = 0 , es decir, si este punto es una
solución de la ecuación que define a f . Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x
debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene.
Un punto (0, b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f (0) = b es decir, si este punto es
una solución de la ecuación que define a f .
Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación
que se obtiene.
Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos
para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:
uts
29
Ejemplo 2.9
Halle los interceptos de la función f (x) =
Solución:
2x + 2
x−7
Intersección con el eje y
Hacemos x = 0, entonces: y = −
Intersección con el eje x
Hacemos y = 0, entonces: 0 =
2.5
2
7
2x + 2
por lo tanto 2x + 2 = 0 y obtenemos que: x = - 1
x−7
Simetrías de una Función
Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función
presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona
sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar
diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden
presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro
estudio.
Una función f (x) es:
1. Simétrica respecto al eje y si f (x) = f (−x) ; se dice que f (x) presenta simetría par.
2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f (x) = − f (−x); se dice que f (x) presenta simetría
impar.
Veamos los siguientes ejemplos
uts
Capítulo 2
"Funciones"
30
2.6
Funciones par e impar
Sea f una función, entonces:
1. f es par si satisface f (−x) = f (x)
2. f es impar si satisface f (−x) = − f (x)
Ejemplo 2.10
La función f (x) = x2 es par, veamos: f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x) por lo tanto es par.
La función f (x) = x3 es impar, veamos: f (−x) = (−x)3 = −x3 = − f (x) por lo tanto es impar.
2.7
Álgebra de Funciones
Definimos las operaciones básicas entre funciones así:
SUMA:
( f + g)(x) = f (x) + g(x)
DIFERENCIA:
( f − g)(x) = f (x) − g(x)
uts
31
PRODUCTO:
( f .g)(x) = f (x).g(x)
COCIENTE:
f (x)
g(x)
g(x) 6= 0
Donde
En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios
de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el
denominador g.
Ejemplo 2.11
Dadas f (x) = x3 + 2x,
g(x) = 1x .
Determinar: 1) f + g,
2)
f − g,
3) f × g
y sus dominios.
En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:
El dominio de f (x) es: Dom f = ℜ (Porque es un polinomio);
El dominio de g(x) es Dom g = ℜ − {0} (Porque no se puede dividir entre cero).
Realicemos las operaciones:
1. f (x) + g(x) = x3 + 2x +
1
x
=
x4 +2x2 +1
x
2
=
(x2 +1)
x
Dom( f + g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ − {0}
2. f (x) − g(x) = x3 + 2x −
1
x
=
x4 +2x2 −1
x
Dom( f − g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ − {0}
3. f (x) × g(x) = x3 + 2x ×
1
x
=
x3 +2x
x
= x2 + 2
Dom( f × g) = Dom f ∩ Dom g = ℜ − {0}
2.8
Funciones a trozos
Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo
y = f (x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información)
que la expresión f (x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como
por ejemplo:
2
y = − x3 + 2x + 3
√
y = 3 25 − x2
uts
y=
3+2x
x−4
y = x2 − 3x + 2
Capítulo 2
"Funciones"
32
Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no
admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones
se dice que están definidas a trozos.
Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función,
por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:
1. |x| =



2. |x| =



−x
0
x
−x
x2
1
si x < 0
si x = 0
si x > 0
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si x > 0
uts
33


x
3. |x| =
1

2x − 5
2.9
2.9.1
si x ≤ 0
si 0 < x < 3
si x ≥ 3
Movimientos en el Plano
Translación Vertical
La ecuación y = f (x) + k, k una constante real describe una traslación vertical de y = f (x) de |k| unidades.
1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba.
2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo.
Ejemplo 2.12
y=
uts
√
x+1
Capítulo 2
"Funciones"
34
2.9.2
Translación Horizontal
y = f (x + h) de |h| unidades.
1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.
2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.
Ejemplo 2.13
y=
√
x−1
uts
35
2.10
Gráfica de Funciones Básicas
Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas tenemos:
1. Función Lineal:
f (x) = ax + b
2. Función Cuadrática:
f (x) = ax2 + bx + c
3. Función Cúbica:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
4. Función Raíz Cuadrada:
f (x) =
√
x
5. Función Valor Absoluto:
f (x) = |x|
6. Función Racional:
f (x) =
1
x
7. Función logarítmica
f (x) = Log a (x)
8. Función exponencial
f (x) = ax
9. Función logística
f (x) =
a
b + e −c x
10. Función seno
f (x) = senx
11. Función coseno
f (x) = cos x
A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones:
1. Función lineal: f (x) = x (Función identidad)
uts
36
Capítulo 2
"Funciones"
Ejemplo: f (x) = 2x + 1
2. Función cuadrática f (x) = x2
Ejemplo: f (x) = −x2 + 1
3. Función cúbica f (x) = x3
uts
37
Ejemplo: f (x) = −2x3 + 1
4. Función raíz cuadrada f (x) =
Ejemplo: f (x) =
uts
√
x
√
x+2
Capítulo 2
"Funciones"
38
Función valor absoluto f (x) = |x|
Función Racional f (x) =
1
x
uts
39
Función logarítmica f (x) = Log a (x)
Función exponencial f (x) = ex
uts
Capítulo 2
"Funciones"
40
2.11
Composición de Funciones o Función compuesta
En general, dadas dos funciones
La función g ◦ f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[ f (x)]
Se debe tener cuidado con los dominios de g ◦ f y de f ◦ g. El dominio de g ◦ f es la parte del dominio
de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. También, el dominio de f ◦ g es la parte del dominio
de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
uts
41
Ejemplo 2.14
Si f y g son las funciones definidas por:
f (x) =
x−3
2
y g(x) =
√
x
Encuentre g ◦ f y f ◦ g con sus respectivos dominios:
r
x−3
2
√
g(x) − 3
x −3
=
( f ◦ g) (x) = f [g (x)] =
2
2
Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g ◦ f ) (x) = g [ f (x)] =
p
f (x) =
(g ◦ f ) (x) 6= ( f ◦ g) (x)
Se debe tener también cuidado con los dominios de g ◦ f y de f ◦ g . El dominio de g ◦ f es la parte
del dominio de f , para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. Esto es, D( f ) = ℜ
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales:
f (x) ≥ 0 ⇔
x−3
≥0 ⇔ x≥3
2
Se concluye entonces que: D(g ◦ f ) = [3, ∞)
Nótese que (g ◦ f ) (1) = g [ f (1)] = g (−1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g ◦ f ) (2) = g [ f (2)] = g
−1 /
2
NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f ◦ g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como
pre-imagen. Es decir, D(g) = [0, ∞). Es decir D(g) = [0, ∞)
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, ∞). De esta forma: D( f ◦ g) = [0, ∞).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto
puede hacerse de varias maneras.
uts
Capítulo 2
"Funciones"
42
Ejemplo 2.15
√
la función: p(x) = 3x2 + 5x + 2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto de
composición de funciones, estas son unas alternativas:
1. P(x) = (g ◦ f ) (x) siendo f (x) = 3x2 + 5x + 2 y g(x) =
√
x
√
En efecto, (g ◦ f ) (x) = g [ f (x)] = g 3x2 + 5x + 2 = 3x2 + 5x + 2
√
2. P(x) = (g ◦ f ) (x) siendo f (x) = 3x2 + 5x y g(x) = x + 2
√
En efecto (g ◦ f ) (x) = g [ f (x)] = g 3x2 + 5x = 3x2 + 5x + 2
2.12
en el segundo caso.
Función Inversa
Dada una función f (x), su inversa es otra función, designada por f −1 (x) de forma que se verifica: Si f (a) = b
entonces f −1 (b) = a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de ser
una función inyectiva.
Definición 2.6 Función Inyectiva
Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 . ∀x1 , x2 ∈ Dom f (x)
o equivalentemente
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ). ∀x1 , x2 ∈ Dom f (x).
En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f , existe exactamente una y en el rango,
y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.
Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal.
Definición 2.7 Criterio de la recta horizontal
Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningún
punto, entonces f es una función 1-1
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x2 + 1 y al trazar una recta horizontal
por ejemplo la recta y = 2 corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la recta
horizontal f (x) no corresponde a una función 1-1.
uts
43
Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x3 + 1 la cual, de acuerdo al criterio
de la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda recta
horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.
2.12.1
Propiedades de la función inversa
1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f (x) = x.
2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad
f ◦ f −1 (x) =
f −1 ◦ f (x) = x
3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función
inversa es igual dominio de la función directa
Dom f −1 (x) = Rango f (x)
Rango f −1 (x) = Dom f (x)
4. Siempre se cumple que: f −1 (x) 6=
1
f (x)
Pasos para hallar la inversa de una función:
1. En la función y = f (x) se intercambian la variable x por la variable y y de manera viceversa en la
expresión inicial: y = f (x) de tal manera que función se transforma en x = f (y)
2. En la nueva expresión x = f (y) se despeja la y, para así obtener y = f −1 (x), esta corresponde a la
función inversa de f .
uts
Capítulo 2
"Funciones"
44
Ejemplo 2.16
Hallar la inversa de y = 2x.
1) Cambiamos la x por la y y de forma viceversa nos queda entonces x = 2y
2) Despejamos la y, nos queda entonces y =
x
2
Por tanto la función inversa de y = 2x es y = 2x ;
es decir f −1 (x) =
2.13
x
2
Aplicaciones de las funciones
Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situación
matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa
se llama un modelo matemático de la situación.
2.13.1
Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad
1. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, es el costo de x artículos y tiene la forma:
Costo=Costo variable+Costo Fijo
en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la
forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La
pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.
2. Una Función Ingreso especifíca el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículo. El ingreso que
resulta es:
I = px (Precio por número de unidades)
3. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos.
Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula
U(x) = I(x) −C(x)
El equilibrio ocurre cuando U(x) = 0 es decir, cuando I(x) = C(x)
uts
45
Ejemplo 2.17
Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo , y si se vende los artículos a $60 cada
uno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio.
Solución:
C(x) = 40x + 400
I(x) = 60x
U(x) = R(x) −C(x), para el equilibrio, U(x) = 0
60x − (40x + 400) = 0
20x − 400 = 0
Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.
2.13.2
Modelos Demanda y Oferta
Una Función de Demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)como una función del
precio unidad p (el precio por artículo).
Una Función de Oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a
llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso
que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.
una Función Lineal de Demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (números de artículos
vendidos) y p es el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos.
La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q
se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el
precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica o
analítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.
uts
Capítulo 2
"Funciones"
46
Ejemplo 2.18
Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja el
precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es:
Solución:
q = −50p + 600 Ecuación de la recta que pasa por (10, 100) y (8, 200)
Entonces, la función de ingreso relacionada es R = qp = p(−50p + 600)
R = −50p2 + 600p
uts
47
Ejemplo 2.19
A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y
16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un
instante dado:
a. En función de la altura h.
b. En función del radio de la base x.
Solución:
En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el
instante determinado.
El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:
1 2
1
V = πr h
Vc = (area base)(altura)
(1)
3
3
Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:
h
16
=
⇒ h = 4x (2)
4
x
a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo en (1). Así,
2
h
1
h
x =
⇒V = π
h
4
3
4
Luego,
1 3
πh
48
Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).
V =
b.
Así:
V =
uts
1 2
4
πx (4x) = πx3
3
3
Capítulo 2
"Funciones"
48
Ejemplo 2.20
Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando
cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de la
caja en función del lado del cuadrado recortado.
V (x) = (a − 2x)2 . x
V (x) = 4x3 − 4ax2 + a2 x
0≤x≤
a
2
uts
49
Ejemplo 2.21
Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en
un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua
para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo.
a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función
de su profundidad x en el extremo profundo.
b. Calcular V (1) y V (2)
Solución
a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el
menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo
cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:
L
20
20
=
⇒ L =
x , con 0 ≤ x ≤ 3
x
3
3
Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por:
V = (Área de la sección transversal). (Ancho)
V =
L.x
.10 =
2
20
3 x.x
V (x) =
b.
2
. 10 =
100 2
x
3
100 2
x
3
100
100
(1)2 =
≈ 33.3 m3
3
3
100
400
V (2) =
(2)2 =
≈ 133.3 m3
3
3
V (1) =
uts
3
Límites y Continuidad de
Funciones
Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo
matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.
Consideremos la función:
x−1
f (x) = √
x−1
cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x = 1, es
decir:
D = {x ∈ ℜ|x ≥ 0, x 6= 1}
Si realizamos su representación gráfica:
Para x = 1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede
verse a continuación:
uts
51
Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora
nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?.
Es claro que en x = 1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea
capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende
a 1 ¿a cuánto tiende la función?
A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:
lim f (x) = L
x→ 1
3.1
Definición Informal de Límite
Sea f (x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x
se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a b es igual a L y
escribimos:
lim f (x) = L
x→ b
Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x = 1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda,
es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites
laterales.
3.2
Límites Unilaterales
Definición 3.1
1. lim f (x) , se llama límite lateral por la derecha.
x→b+
2. lim f (x) , se llama límite lateral por la izquierda
x→b−
Teorema 3.1
Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales,
de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:
lim f (x) = L , si y solamente si: lim f (x) = lim f (x)
x→ b
uts
x→ b+
x→ b−
52
Límites y Continuidad de Funciones
Ejemplo 3.1
Sea f (x) =
4−x
4x − x2
si x < 1
si x ≥ 1
Hallar lim f (x)
x→1
Solución:
lim f (x) = lim= (4 − x) = 4 − 1 = 3 (Acercamiento por la izquierda)
x→1=
x→1
lim f (x) = lim (4x − x2 ) = 4 − 1 = 3 (Acercamiento por la derecha).
x→1+
x→1+
Entonces:
lim f (x) = 3
x→1
uts
53
Ejemplo 3.2
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:
x−1
f (x) = √
x−1
Solución:
Calculemos: lim f (x)
x→2
Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:
f (2) =
1
√
−1 + 2
y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:
lim f (x) = lim f (x) =
x→2−
x→2+
1
√
−1 + 2
con lo cual tenemos que:
lim f (x) =
x→2
Para el segundo punto, calculemos:
1
√
−1 + 2
lim f (x)
x→0
En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda
de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero).
El límite lateral por la derecha si existe y vale: lim f (x) = 1, por lo tanto el límite pedido
x→0+
no existe.
En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su
izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por qué
existir en dicho punto.
uts
54
Ejemplo 3.3
Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Con
x2
si x ≤ 0
sideremos, por ejemplo, la función: f (x) =
logx si x > 0
Representémosla gráficamente:
En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x = 0, que es punto interior,
en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero,
ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el
valor −∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales
utilizamos x2 cuando determinamos el límite por la izquierda y log(x) cuando calculamos el límite
por la derecha.
Nota: Sabemos que "el infinito" no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de
tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él.
Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número
real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe.
En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos
distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo
los laterales no coinciden.
lim
x→ 0
1
1
1
= lim 2 = lim 2 = ∞
x2
x→ 0 + x
x→ 0 − x
lim
x→ 0 −
1
= −∞
x
lim
x→ 0 +
1
= ∞
x
Nota: Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos:
f (x) = 1/x2
f (x) = 1/x
uts
55
3.3
Definición Formal de Límite
Se dice que la función f (x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número real
positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de
x distintos de c que cumplen la condición |x − c| < δ, se cumple que | f (x) − L| < ε.
lim f (x) = L ⇔ ∀ε > 0
x→ a
∃δ > 0
0 < |x − c| < δ
⇒ | f (x) − L| < ε
Ejemplo 3.4
Utilicemos la definición para demostrar que lim (4x − 5) = 3
x→ 2
Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0
existe una δ > 0 tal que:
Si 0 < |x − 2| < δ entonces |(4x − 5) − 3| < ε (A)
Si 0 < |x − 2| < δ entonces |4x − 8| < ε
Si 0 < |x − 2| < δ entonces 4 |x − 2| < ε
Si 0 < |x − 2| < δ entonces |x − 2| <
Entonces, si tomamos δ =
ε
4
ε
4
se cumple la proposición (A).
Esto demuestra que lim (4x − 5) = 3
x→ 2
uts
56
Ejemplo 3.5
Demuestre que lim (x2 + x − 5) = 7 utilizando la definición de límite.
x→ 3
Para hacer la demostración basta con encontrar un δ tal que:
0 < |x − 3| < δ ⇒ (x2 + x − 5) − 7 < ε
|x2 + x − 5 − 7| = |x2 + x − 12| = |x + 4||x − 3| < ε (1)
Ya que por definición, el lim f (x) = L existe siempre que
x→b
0 < |x − c| < δ ⇒ | f (x) − L| < ε
Para efectos de simplificación, asumimos un valor de δ = 1 y obtenemos:
|x − 3| < 1
⇒
2<x<4
Sustituyendo en (1) se obtiene que
3.4
⇒
2+4 < x+4 < 4+4
8δ < ε y que
⇒
|x + 4| < 8
ε
δ < ; ya que|x − 3| < δ por definición.
8
Propiedades de los Límites
Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:lim f (x) = A , lim g(x) = B Entonces:
x→c
x→c
1. lim b = b
x→ c
2. lim x = c
x→ c
3. lim b. f (x) = b. lim f (x) = bA
x→ c
x→ c
4. lim [ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) = A + B
x→ c
x→ c
x→ c
5. lim [ f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x) = A.B
x→ c
x→ c
f (x)
x→ c g(x)
6. lim
lim f (x)
=
x→ c
lim g(x)
x→ c
= AB , B 6= 0
x→ c
7. lim
p
x→ c
f (x) =
lim f (x)
x→c
x
x→ 0 k
=0
k
x→ 0 x
= no existe (±∞)
8. lim
9. lim
k
n
x→ ± ∞ x
10. . lim
11.
q
lim x
x→ ± ∞ k
= 0,
n 6= 0
= no existe (±∞)
uts
57
3.4.1
Cálculo de Límites
1. Límites de funciones polinómicas
Sea f (x) = 3x3 −2x2 +x−2 La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo,
por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene
que lim f (x) = f (c) , es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente
x→c
calculando su imagen.
Ejemplo 3.6
Para la función anterior lim f (x) = 3(−1)3 − 2(−1)2 + (−1) − 2 = −3 − 2 − 1 − 2 = −8 = f (−1)
x→−1
2. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
k
expresión de la forma , k 6= 0 convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función
0
tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o
funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales.
3. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una
expresión de la forma
0
, ∞ − ∞ , 0.∞ , 00 , ∞0 , 1∞
0
(indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación.
Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay
que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.
3.5
3.5.1
Resumen del cálculo de límites indeterminados
Indeterminación
0
0
Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.
uts
58
Ejemplo 3.7
x3 −1
2
x→ 1 x −1
Resolver lim
x3 −1
2
x→ 1 x −1
Solución: lim
=
0
0
Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y
resolvemos el límite obtenido, así:
(x − 1) x2 + x + 1
x2 + x + 1
x3 − 1
lim
= lim
= lim
x→ 1 x2 − 1
x→ 1
x→ 1
(x − 1) (x + 1)
(x + 1)
Por lo tanto
lim
x→ 1
x3 − 1
3
=
2
x −1
2
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.
Ejemplo 3.8
Encuentre la solución del siguiente límite lim
x→ 1
√
x−1
2x−2
Solución:
lim
x→ 1
√
x−1
2x−2
=
1−1 0
=
2−2 0
√
√
√
( x − 1)( x + 1)
x−1
x−1
√
√
lim
= lim
= lim
x→ 1 2x − 2
x→ 1 (2x − 2)( x + 1)
x→ 1 2.(x − 1)( x + 1
lim
x→ 1
1
√
2. ( x + 1)
=
1
4
uts
59
Ejemplo 3.9
√
x+1−1
x
x→ 0
Evalúe el valor de lim
Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 00 por lo cual debemos realizar algún procedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por
√
x + 1 + 1,
es decir, se racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable:
(a + b)(a − b) = a2 − b2 ,
y así eliminar la indeterminación
√
√
√
x+1−1
( x + 1 − 1)( x + 1 + 1)
(x + 1) − 1
√
= lim
= lim √
lim
x→ 0
x→ 0 x( x + 1 + 1)
x→ 0
x
x( x + 1 + 1)
= lim
x→ 0
3.5.2
Indeterminación
x
1
1
√
= lim √
=
x→ 0 x + 1 + 1
2
x( x + 1 + 1)
±∞
±∞
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de la
variable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como:
Definición 3.2
Sea f(x) una función racional definida por:
f (x) =
an xn + an−1 xn−1 + ...... + a1 x + ao
bm xm + bm−1 xm−1 + ...... + b1 x + bo
a) Si n < m entonces: lim f (x) = 0
x→ ∞
b) Si n = m entonces: lim f (x) =
x→ ∞
an
bm
c) Si n > m entonces: lim f (x) = ± ∞
x→ ∞
uts
60
Ejemplo 3.10
Resuelva lim
x→ ∞
Solución: lim
x→ ∞
4x2 +x−1
x2 +1
4x2 +x−1
x2 +1
=
∞
∞
Dividimos por la variable de mayor grado del denominador,x2 .
lim
Entonces, lim
x→ ∞
4x2
x2
+ xx2 − x12
x→ ∞
x2
x2
4x2 +x−1
x2 +1
= 4
+
1
x2
= lim
x→ ∞
4 + 1x − x12
1 + x12
= lim
x→ ∞
4
4+0−0
=
= 4
1+0
1
Ejemplo 3.11
√
Encuentre el resultado del límite lim
x→ ∞
x2 +x + 3
x
Solución:
√
∞
x2 +x + 3
lim
=
Dividimos el numerador y el denominador entre el término con mayor
x
x→ ∞
∞
exponente, o sea x.
q
q
√
x2
x
3
1 + 1x + 3x
+
+
1 +0
1
x
x2
x2
lim
= lim
= lim
=
= 1
x
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
1
1
1
x
√
Entonces, lim
x→ ∞
3.5.3
x2 +x + 3
x
= 1
indeterminación ∞ − ∞
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
uts
61
Ejemplo 3.12
Halle lim
x→2
x
x2 −4
1
− x−2
Solución:
lim
x→2
x
x2 −4
1
= ∞ − ∞ Indeterminación.
− x−2
Realizamos la diferencia:
x
1
x − (x + 2)
−2
−2
lim
−
=
lim
=
lim
=
x→2
x→2
x→2 x2 − 4
x2 − 4 x − 2
x2 − 4
±0
Hay que hacer límites laterales:

 lim x2−2
=
x→2− −4 −2
 lim
=
x2 −4
x→2+
⇒ lim
x→2
−2
−0
= +∞
−2
+0
= −∞
x
1
−
2
x −4 x−2
+ ∞ 6= −∞
= No existe
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir por
la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).
uts
62
Ejemplo 3.13
Encuentre: lim
x→ ∞
√
x − x2 + x
Solución:
lim
x→ ∞
√
x − x2 + x = ∞ − ∞
p
lim x − x2 + x = lim
x→ ∞
x→ ∞
lim
x→ ∞
√
2
√
√
x − x2 + x x + x2 + x
x2 −
x2 + x
√
= lim
√
x→ ∞
x + x2 + x
x + x2 + x
x2 − x2 − x
−x
−∞
√
√
= lim
=
2
2
x→
∞
+∞
x+ x +x
x+ x +x
Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma
el numerador y el denominador entre x, así:
lim
x→ ∞
−x
√
= lim
x→ ∞
x + x2 + x
−x
x
x
+
qx
x2
x2
Por lo tanto,
lim
x→ ∞
3.5.4
+
que se resuelve dividiendo
−1
−1
1
q
√
=
= −
2
1
1
+
1
+
0
1+ 1+ x
= lim
x→ ∞
x
x2
−∞
+∞
p
1
x − x2 + x = −
2
indeterminación 0.∞
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo 3.14
Halle lim (x − 3).( x21−9 )
x→3
Solución:
lim
x→3
(x − 3) .
1
x2 − 9
= 0.(±∞)
Indeterminación; Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo :
x−3
0
lim
=
x→3
x2 − 9
0
lim
x→3
x−3
(x − 3) (x + 3)
= lim
x→3
1
x+3
=
1
6
uts
63
3.5.5
indeterminación ∞0 , 00 , 1 ∞
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
g(x)
f (x)
= e
h
i
Ln f (x)g(x)
= e g(x)Ln( f (x)) ,
de donde resulta que:
lim [g(x)Ln( f (x))]
lim f (x)g(x) = e x→ a
x→ a
Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos
que aprenderemos en temas posteriores. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación
del tipo 1 ∞ debemos tener en cuenta que:
lim
x→ ∞
1 x
1+
= lim (1 + x)
x→ 0
x
1
x
= e = 20 71828...
También para la indeterminación
1∞
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
lim f (x)g(x) = e k ,
x→ a
donde k = lim [ f (x) − 1] g(x)
x→a
uts
64
Ejemplo 3.15
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
lim
x→ 0
1 + x2
1 − x2
1+3x2 2
x
Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma
1 ∞,
aplicando la formula, tenemos:
lim
x→ 0
1 + x2
1 − x2
1+3x2 2
x
= 1∞ = ek
k = lim [ f (x) − 1] g(x) ⇒ k = lim
x→a
x→ 0
⇒ k = lim
x→ 0
1 + x2 − 1 + x2
1 − x2
⇒ k = lim
x→ 0
2
1 − x2
1 + 3x 2
2x2
1 + 3x 2
=
lim
x→ 0
x2
1 − x2
x2
1 + 3x 2
2 + 6x2
2
= lim
=
= 2
x→ 0
1
1 − x2
1
Entonces,
lim
x→ 0
3.6
1 + x2
1 + 3x 2
−1 1 − x2
x2
1 + x2
1 − x2
1+3x2 2
x
= ek = e2
Límites Trigonométricos
Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:
lim
x→0
sen(x)
=1
x
A partir de este resultado podemos resolver límites como:
1. lim 1−cos(x)
=0
x
x→0
x
2. lim sen(x)
=1
x→0
3. lim sen(kx)
=k
kx
x→0
No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades
trigonométricas.
uts
65
Ejemplo 3.16
Calcular lim
t→ 0
Solución:lim
t→ 0
t+tant
sent
t+tant
sent
=
0
0
Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de seno
y coseno, tenemos:
sent
t + cost
t + tant
lim
= lim
t→ 0
t→ 0
sent
sent
lim
t→ 0
t cost+sent
cost
sent
= lim
t→ 0
lim
t→ 0
t cost + sent
t cost
sent
= lim
+ lim
t→ 0 cost sent
t→ 0 cost sent
cost sent
t
1
+ lim
= 1+1 = 2
t→ 0 cost
sent
Entonces obtenemos que
lim
t→ 0
t + tant
= 2
sent
Nota: En este ejemplo se utilizó
lim
t→ 0
3.7
t
= 1
sent
Límites Infinitos
Definición 3.3 Asintotas verticales
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:
lim f (x) = ∞,
x→a
significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica
presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica).
uts
66
Definición 3.4
Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:
lim f (x) = −∞,
x→a
significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan grandes como
deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica
presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)
Definición 3.5 Asintota vertical
La recta x = a se llama asíntota vertical de la función si se cumple una de las siguientes proposiciones:
lim f (x) = ∞
lim f (x) = −∞
lim f (x) = ∞
x→a
x→a
lim f (x) = ∞
x→a−
3.8
lim f (x) = −∞
x→a−
x→a+
lim f (x) = −∞
x→a+
Límites al Infinito
uts
67
Sea f una función definida en un intervalo (a, ∞), entonces lim f (x) = L significa que los valores de f (x) se
x→∞
pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande.
Definición 3.6 Asíntotas horizontales
La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f (x) si se satisface una de las dos
expresiones:
lim f (x) = L o
lim f (x) = L
x→∞
x→−∞
De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado del
numerador es menor o igual que el grado del denominador.
Ejemplo 3.17
Encuentre la asíntota horizontal que posee la siguiente función y =
Si calculamos:
x2 −1
x2 +1
x2 − 1
x→∞ x2 + 1
lim
obtenemos como resultado 1, lo cual significa que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1,
veamos esta situación en el siguiente dibujo:
uts
68
3.8.1
Asintotas Oblicuas
Sea una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador,
entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la
función.
uts
69
Ejemplo 3.18
2
x −3
Encuentre la asíntota oblicua en la siguiente f (x) = 2x−4
Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:
Asíntota oblicua:
1
y = x+1
2
Veamos la gráfica:
Nótese que
x2 − 3
=∞
x→∞ 2x − 4
lim
y además
x2 − 3
= −∞
x→ − ∞ 2x − 4
lim
3.9
uts
Teorema del Emparedado
70
Definición 3.7
Sean f , g, h funciones tales que:
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para todo
x 6= c
en un intervalo que contiene a c, supongamos que
lim f (x) = lim h(x) = L,
x→c
x→c
entonces:
lim g(x) = L
x→c
uts
71
Ejemplo 3.19
Demuestre que
1
2
lim x sen( ) = 0
x→0
x
Obsérvese que no podemos aplicar lo siguiente lim x2 sen( 1x ) = lim x2 .lim sen( 1x ) puesto que el
x→0
x→0
x→0
segundo límite no existe.
Como
1
−1 ≤ sen( ) ≤ 1 donde x 6= 0
x
entonces:
1
−x2 ≤ x2 sen( ) ≤ x2
x
(véase la figura de arriba)
Además:
lim x2 = lim (−x2 ) = 0
x→0
x→0
por lo tanto
1
lim x2 sen( ) = 0
x→0
x
3.10
Continuidad de una Función
Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en forma
gráfica como de manera analítica. Intuitivamente, una función es continua en un punto si a a pequeños
cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y.
Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz
uts
72
del papel.
Definición 3.8
Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades:
1. f está definida en c, es decir, f (c) existe, o, f (c) ∈ dom f (x)
2. lim f (x)
x→c
existe M
3. lim f (x) = f (c)
x→c
El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es continua en un intervalo abierto abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además,
es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la
izquierda en b.
Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva al cálculo de límites, cuestión
que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando una
función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, a continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad.
3.11
Clases de Discontinuidad
Si cualquiera de las tres condiciones de continuidad falla decimos que la función es discontinua.
3.11.1
Discontinuidad Evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe el límite en él y no coincide con
el valor de la función en el mismo. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función posee un
hueco o un quiebre.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero
valor de la función en el punto.
En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se puede reparar.
Toda función discontinua evitable es reparable. Para evitar la discontinuidad de la función definimos una
nueva a partir de la que tenemos, de la siguiente manera:
g(x) =
f (x) si x 6= a
L
si x = a
es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay
problema y en el punto donde se presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.
uts
73
Ejemplo 3.20
Hallar el verdadero valor de la función f (x) =
x2 − 5x + 6
en el punto x = 3
x−3
Solución:
Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el
x2 − 5x + 6 0
límite de la función en ese punto, obtenemos: lim f (x) = lim
=
x→c
x→3
x−3
0
x2 − 5x + 6
(x − 3)(x − 2)
= lim
= lim (x − 2) = 3 − 2 = 1
x→c
x→c
x→c
x−3
x−3
lim
que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función es:

 x2 − 5x + 6
si x 6= 3
g(x) =
x−3

1
si x = 3
Esta es una función continua en el punto x = 3
3.11.2
Discontinuidad no evitable o esencial
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto. En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad es
irreparable. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función presenta un salto o separación.
Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial importancia
el cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar (evitable); en cambio
si no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial).
Mostremos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1, 2 y 3.
Ejemplo 3.21
x−1
La función: f (x) = √
no es continua en el punto x = 1 ya que la función no existe en dicho
x−1
punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2 (compruébelo).
La función es discontinua evitable en x = 1 por existir el límite, sin embargo la función si
es continua en cualquier otro punto de su dominio.
uts
74
Ejemplo 3.22
Analice la continuidad de f(x), si:
f (x) =
x2
Logx
si x ≤ 0
si x > 0
Solución:
1. f (0) = 02 = 0
2. lim f (x) = lim log(x) = −∞
x→0+
x→0+
lim f (x) = lim x2 = 0
x→0−
x→0−
⇒ lim f (x) = No existe.
x→0
3. f (0) 6= lim f (x)
x→0
La función no es continua en el punto x = 0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no
existe el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La función
es discontinua inevitable en x = 0 porque no existe el límite.
Ejemplo 3.23
f (x) =
2
x2
si x = 2
si x =
6 2
Solución:
1. f (2) = 2
2. lim f (x) = 4
x→2
3. f (2) 6= lim f (x)
x→2
La función no es continua en el punto x = 2, ya que si bien existe la función en el punto y existe el
límite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x = 2.
uts
75
Ejemplo 3.24
f (x) =



3x + 5
2
3+x
si x < −1
si x = −1
si x > −1
Solución:
1. f (−1) = −2
2.
lim f (x) = lim (3 + x) = 3 − 1 = 2
x→−1+
x→−1+
lim f (x) = lim (3x + 5) = −3 + 5 = 2
x→−1−
x→−1−
⇒ lim f (x) = 2.
x→−1
3. f (0) 6= lim f (x)
x→0
Luego la función es discontinua evitable en el punto x = −1 porque existe el límite y
la imagen en x = −1 pero no son iguales.
3.11.3
Resumen de las Definiciones de Continuidad
Para que una función sea continua, discontinua evitable o discontinuidad inevitable, tenemos:
1. f (x) es continua.
2. f (x) es discontinua evitable.
3. f (x) es discontinua inevitable.
uts
4
Derivadas y sus aplicaciones
Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la
derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como
del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable
independiente, con énfasis en las aplicaciones económicas.
Definición 4.1 Incrementos y razón (tasa) de cambio
Sea y = f (x) una función definida en el intervalo [x1 , x2 ] , si x cambia de x1 a x2 entonces el cambio
o variación en x se llama incremento de x:
∆x = x2 − x1
El correspondiente incremento de y es
∆y = f (x2 ) − f (x1 )
Dicha variación puede ser positiva o negativa.
El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variación
media de y con respecto a x.
Razón de cambio promedio =
f (x2 ) − f (x1 )
∆y
=
∆x
x2 − x1
Definición 4.2 Razón de Cambio Instantáneo
Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variación
instantánea o razón de cambio instantánea de con respecto a x en el punto (x1 , f (x1 )).
Razón de cambio instantáneo = lim
∆x→0
∆y
f (x2 ) − f (x1 )
= lim
∆x→0
∆x
x2 − x1
uts
77
Ejemplo 4.1
Para la función y = 4−2x +x2 , calcular el incremento de x y el incremento de y para x1 = −1, x2 = 2
Solución
→ ∆x = x2 − x1 = 2 − (−1) = 3
y1 = 4 − 2(−1) + (−1)2 = 4 + 2 + 1 = 7
y2 = 4 − 2(2) + (2)2 = 4 − 4 + 4 = 4
→ ∆y = y2 − y1 = 4 − 7 = −3
El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir
que al aumentar la x tres unidades, la función f (x) disminuye en tres unidades.
Ejemplo 4.2
El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es q = 1, 000 (200 − p), en donde
p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina
que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incremento
en el precio?
Solución
→ ∆p = p2 − p1 = 160 − 150 = 10 Centavos/litro.
q1 = 1, 000(200 − 150) = 50, 000 litros/día
q2 = 1, 000(200 − 160) = 40, 000 litros/día
→ ∆q = q2 − q1 = 40, 000 − 50, 000 = −10, 000, litros/día,
Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios.
uts
78
Ejemplo 4.3
Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico,
expresado en dólares está dado por: C(x) = 50, 000 + 60x y el ingreso correspondiente por la venta
de x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado por
I(x) = 300x − 0.03x2 . La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por semana, pero desea
incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular:
a) El incremento semanal en los costos de producción.
b) El incremento semanal en los ingresos.
c) El incremento semanal en las utilidades.
d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.
Solución
a. ∆C = C(4, 200) − C(4, 000) = [50, 000 + 60(4, 200)] − [50, 000 + 60(4, 000)] = 302, 000 − 290, 000
∆C = $12, 000
b. ∆I = I(4, 200) − I(4, 000) =
∆I = 730, 800 − 720, 000 = $10, 800
h
i
h
i
300(4, 200) − 0.03(4, 200)2 − 300(4, 000) − 0.03(4, 000)2
c. ∆U = ∆I − ∆C = 10, 800 − 12, 000 = $ − 1, 200
d.
∆U
∆x
=
−1,200
200
= −6.
Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y vendida por
semana, la utilidad disminuye en 6.
Definición 4.3 Incremento de una función en forma general
∆x = x2 − x1 → x2 = x1 + ∆x , como se puede ver en la gráfica. ∆y = y2 − y1 = f (x2 ) − f (x1 ) .
Por lo tanto sustituyendo x2 se tiene que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) para cualquier incremento
de x, a partir de un valor conocido de x.
En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x, se tiene que:
∆y = f (x + ∆x) − f (x).
uts
79
Ejemplo 4.4
f (x) = x2 − 4
a) Calcular el incremento de y si x = 3, ∆x = 0.8
b) Calcular el incremento de y si x = 3, para cualquier incremento de x.
c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x.
Solución:
h
i h
i
a) ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = f (3 + 0.8) − f (3) = f (3.8) − f (3) = (3.8)2 − 4 − (3)2 − 4 = 10.44 − 5 =
5.44
h
i h
i h
i
b) ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = f (3 + ∆x) − f (3) = (3 + ∆x)2 − 4 − (3)2 − 4 = 9 + 6∆x + (∆x)2 − 4 −
[9 − 4]
∆y = 5 + 6∆x + (∆x)2 − 5 = 6∆x + (∆x)2 .
h
i i h
c) ∆y = f (x+∆x)− f (x) = (x + ∆x)2 − 4 − x2 − 4 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 − 4 − x2 − 4 = 2x∆x+(∆x)2
Definición 4.4 Línea secante
Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo).
Definición 4.5 Línea tangente a una curva en un punto P de la misma
Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes PQ, siendo Q un punto de la
curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Ver figura abajo).
Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la
línea tangente a la curva en el punto P.
m = lim
h→0
uts
f (x + h) − f (x)
h
80
Definición 4.6
La pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es:
m = lim
x→a
f (x) − f (a)
x−a
Derivada de una función y = f (x) → Es la función denotada por f 0 (x) o por y0 , definida por:
f 0 (x) = y0 = l ím
∆x→0
∆y
∆x
Siempre que el límite exista.
Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.
4.0.4
Diferentes formas de representar la derivada de una función
Sea la función y = f (x) tenemos que la derivada de la función se puede representar de la siguientes formas:
dy
d f (x)
;
; Dx y ; Dx [ f (x)]
dx
dx
La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f (x) es derivable en un punto a,
entonces es continua en dicho punto. Esto es equivalente a: "Si f(x) no es continua en un punto a entonces
no puede ser derivable en dicho punto"
y0 ;
f 0 (x) ;
Derivadas laterales Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunas
ocasiones los límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones:
Se llama derivada lateral de f (x) a la izquierda de ”a”, al límite, cuando existe y es finito: .
f 0 (a − ) = lim
x→ a−
f (x) − f (a)
x−a
Se llama derivada lateral de f (x) a la derecha de ”a”, al límite, cuando existe y es finito:
f 0 (a + ) = lim
x→ a+
f (x) − f (a)
x−a
Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden.
uts
81
4.0.5
La Derivada como Razón de Cambio
(
y = f (x) =
∆y
∆x
∆y
∆x→0 ∆x
l ím
=
dy
dx
es la razón de cambio promedio de y con respecto a x
es la razón de cambio instántanea de y con respecto a x.
La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio
f 0 (x) = y0 =
dy
,
dx
y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.
Ejemplo 4.5
Halle la derivada de y = x2 en x = 2
Solución:
y0 =
d (x2 )
dx
(x+h)2 −x2
h
h→0
= lim
x2 +2xh+h2 −x2
h
h→0
= lim
2xh+h2
h
h→0
= lim
= lim
h→0
h(2x+h)
h
En x = 2 la derivada es: 2(2) = 4.
Entonces:
d (x2 )
dx
= 2x
Ejemplo 4.6
La derivada de y = x3 es
Solución:
d x3
(x + h)3 − x3
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3
y =
= lim
= lim
= 3x2
h→0
h→0
dx
h
h
d x3
= 3x2
Entonces:
dx
0
uts
82
Ejemplo 4.7
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) =
√
x en el punto (4,2)
Solución:
En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:
√
√
x+h− x
m = lim
h→0
h
√
√ √
√
( x + h − x)( x + h + x)
√
= lim
√
h→0
h( x + h + x)
= lim
h→0
(x + h) − x
h
√
√ = lim √
√
h( x + h + x) h→0 h( x + h + x)
1
1
1
1
= lim √
√ = √ = √ =
h→0 ( x + h + x)
2 x 2 4 4
Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión:
y = m(x − x0 ) + y0
1
1
1
y = (x − 4) + 2 = x − 1 + 2 = x + 1
4
4
4
Solución:
4.1
1
y = x+1
4
Propiedades o reglas de derivación
uts
83
Sea u = f (x) v = g(x) son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o constantes.
1. Si y = c → y0 = 0
2. Si y = x → y0 = 1
3. Si y = cx → y0 = c
4. Si y = xn → y0 = n xn−1
5. y = c u → y0 = c u0
6. Si y = u ± v → y0 = u0 ± v0
7. Si y = u.v → y0 = v.u0 + u.v0
8. Si y =
u
v
→ y0 =
vu0 −uv0
v2
9. Si y = ln u → y0 =
u0
u
Si y = Loga u → y0 =
10. Si y = eu → y0 = u0 eu
11. Si y = |u| → y0 =
u
|u|
u0
u
Lna
Si y = au → y0 = au Lna u0
u0
Ejemplo 4.8
Encuentre la derivada de y = 2x3 − 5x2 + 7
Solución
y0 = 2(3x2 ) − 5(2x) + 0 = 6x2 − 10x
Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1.
Ejemplo 4.9
√
Determine la derivada de y = 3 + 3 x
Solución
√
y = 3 + 3 x = 3 + x1/3 →
dy
dx
= 0 + 13 x−2/3 =
1
3x2/3
=
1
√
3
3 x2
Se aplicaron las reglas 6, 1, 4.
uts
84
Ejemplo 4.10
√
Halle la derivada de g(x) = 5 x − √3x +
Solución
4
√
3 2
x
√
4
3
3
4
g(x) = 5 x − √ + √
= 5x1/2 − 1/2 + 2/3 = 5x1/2 − 3x−1/2 + 4x−2/3
3 2
x
x
x
x
1 −1/2
3
2
1 −3/2
2 −5/3
5
0
g (x) = 5
x
−3 − x
+4 − x
= 1/2 + 3/2 − 5/3
2
2
3
2x
2x
3x
3
2
5
.
g0 (x) = √ + √ − √
2 x 2 x3 3 3 x5
Se aplicaron las reglas 6, 5, 4.
Ejemplo 4.11
Halar la derivada de f (x) =
Solución:
3x2 +5
2x−7
(2x − 7) Dx 3x2 + 5 − 3x2 + 5 Dx (2x − 7)
3x2 + 5
0
f (x) =
→ f (x) =
2
2x − 7
(2x − 7)
(2x − 7) (6x) − 3x2 + 5 (2) 12x2 − 42x − 6x2 − 10 6x2 − 42x − 10
0
f (x) =
=
=
(2x − 7)2
(2x − 7)2
(2x − 7)2
Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1
Ejemplo 4.12
Obtenga la derivada de y =
Solución:
ln x
x2 +3
(x2 + 3) 1x − ln x(2x) x + 3x − 2x ln x
ln x
0
y= 2
→ y =
=
.
x +3
(x2 + 3)2
(x2 + 3)2
Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1.
uts
85
Ejemplo 4.13
Determine la derivada de la siguiente función f (x) = xex
Solución
f (x) = xex → f 0 (x) = (x)0 ex + x(ex )0 = ex + xex
Se aplicaron las reglas 7, 10, y 2.
4.2
Análisis marginal
Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la
demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero
necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.
4.2.1
Costo marginal
Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. También se
define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).
Si C(x) es la función del costo total de producción de x artículos →
marginal.
El costo total
C=
C
x
dC
dx
= C0 (x) es la función del costo
→ C = Cx
Ejemplo 4.14
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 1000e−0.003x . Evalúa la razón
de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500.
Solución
dp
= 1000(−0.003e−0.003x ) = −3e−0.003x
dx
dp
→
|x=500 = −3e−0.003(500) = −3e−1.5 = −0.6694
dx
Es decir, el precio disminuye a razón de $0.6694 por cada unidad demandada
uts
86
Ejemplo 4.15
El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por
C = 45 + 5x2 . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.
Solución
dC
dC 0
C =
= 30,
= 10 x → C =
dx
dx x = 3
0
es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa 30 dólares.
Ejemplo 4.16
El costo medio unitario en la producción de x unidades es C = 0.002x2 − 0.4x + 50 +
Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.
100,000
.
x
Solución
C = Cx = 0.002x3 − 0.4x2 + 50x + 100, 000 → C0 =
dC
= 0.006x2 − 0.8x + 50
dx
dC = 9.6 − 32 + 50 = , $27.60/ unidad adicional producida
dx x = 40
4.2.2
Ingreso Marginal
Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el
ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida).
dI
Si I(x) es la función del ingreso total por la venta de x unidades → dx
= I 0 (x) es la función del ingreso
marginal. La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario).(No. de unidades vendidas), es
decir: I = px
Ejemplo 4.17
Un fabricante vende un producto a 3x + 50 pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso
marginal y el ingreso marginal para x = 100.
Solución
dI dI
2
I = px = (3x + 50) x = 3x + 50x →
= 6x + 5 0 →
= $650/ unidad adicional vendida
dx
dx x = 100
4.2.3
Utilidad marginal
Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas
y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional).
uts
87
Si U(x) es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades →
función de la utilidad marginal.
dU
dx
= U 0 (x) es la
La utilidad se calcula restando: (Ingresos)-(Costos), es decir: U = I −C.
Ejemplo 4.18
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10p + x + 0.01x2 = 700 y la
función de costo es C(x) = 1, 000 + 0.01x2 . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar
la utilidad marginal para a) x = 100 unidades b) p = $10/unidad.
Solución
Sabemos que la utilidad está dada por U(x) = I(x) − C(x) y que el ingreso es I = px. Por lo
tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la
función ingreso:
10p = 700 − x − 0.01x2 → p = 70 − 0.1x − 0.001x2 → I(x) = px = 70x − 0.1x2 − 0.001x3
U(x) = 70x − 0.1x2 − 0.001x3 − 1, 000 + 0.01x2 = −0.001x3 − 0.11x2 + 70x − 1, 000
U 0 (x) = −0.003x2 − 0.22x + 70. Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100
simplemente sustituimos este valor de x en dicha función.
Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en
la ecuación de la demanda:10(10)+x +0.01x2 = 700. Ordenando la ecuación cuadrática nos queda:
−0.01x2 − x + 600 = 0.
√
Resolviendo la ecuación: x =
−1±
1−4(0.01)(−600)
2(0.01)
=
√
−1± 1+24
0.02
=
√
−1± 25
0.02
=
−1±5
0.02
=
4
0.02
= 200
a) U 0 (100) = −0.003(100)2 − 0.22(100) + 70 = −30 − 22 + 70 = $18 /unidad adicional.
b) U 0 (200) = −0.003(200)2 − 0.22(200) + 70 = −120 − 44 + 70 = $94/unidad extra.
4.2.4
Consumo y Ahorro
Función de consumo (C): muestra la relación entre el nivel de gasto de consumo y el nivel de renta personal
disponible. El consumo es C = Co + bY , donde Co es el consumo independiente del nivel de renta y b es el
incremento que tiene esta función por cada peso adicional de renta, que además en la pendiente de la recta
que representa a la función de consumo.
Propensión marginal a consumir (PMC):
es la cantidad adicional que consumen los individuos cuando reciben un peso adicional de renta.
0
0
PMC = C = (Co + bY ) = b
Función de ahorro (S):
uts
88
muestra la relación entre el nivel de ahorro y la renta. Del supuesto de que la renta es igual al consumo más
al ahorro, se obtiene que S = (Co) + (1 − b)Y.
Propensión marginal a ahorrar (PMA):
es la cantidad adicional que ahorran los individuos por cada dólar de renta adicional de renta que reciben.
0
0
PMA = S = [(Co) + (1 − b)Y ] = 1 − b = a
Relación entre PMC y PMA:
Cada dólar adicional de renta pasa a incrementar el consumo o el ahorro. Combinando estos hechos, se
calcula laPMC y la PMA: a+b = 1
Ejemplo 4.19
En una economía con solo dos sectores: empresas y domésticos, la función de consumo se
comporta según la expresión C = 40 + 0.6Y .
a) Determine la PMC. Explique su significado.
b) Si la función de ahorro está dada por la expresión S = 40 + 0.4Y . Determine la PMA.
Solución:
a PMC=(40+0.6 Y)’=0.6
PMC = C’
PMC = (40+0.6Y)’= 0.6
Los sectores de la economía dedican 0.4 por cada peso adicional de renta.
4.2.5
Elasticidad de la Demanda
Es el medio por el cual los economistas miden cómo un cambio en el precio de un producto afecta la
cantidad demandada. Se define como:
Elasticidad de la demanda =
cambio porcentual en la cantidad demandada cpd
=
cambio porcentual en el precio
cpp
Ejemplo 4.20
Suponiendo que el precio por artículo se incrementa en un 6 % y la cantidad demandada decrece
2
en un 4 %, entonces la elasticidad de la demanda es −4
6 = − 3 = −0.6667.
De acuerdo con la definición se tiene que:
Elasticidad =
4.2.5.1
Elasticidad puntual de la demanda (η)
η = l ím
∆p→0
p∆x
p
= l ím
x∆p ∆p→0 x
∆x
x 100
∆p
p 100
=
p∆x
x∆p
Se define como:
∆x
p
∆x
p dx
px0
= l ím
=
=
.
∆p
x ∆p→0 ∆p
x dp
x
uts
89
En general ddxp < 0, por lo tanto η < 0. Es decir, como por regla general esta derivada es negativa, ya que
al aumentar el precio de un artículo la demanda baja y viceversa, y como el precio y la demanda son
cantidades positivas, la elasticidad puntual es negativa. Por otra parte de la misma definición de elasticidad
se observa que:
η∼
=
Además tenemos que
dx
dp
=
1
dp
dx
,
cpd
→ cpd ∼
= η (cpp) .
cpp
entonces η =
p x ddxp
=
p
xp0
En resumen:
η=
p
px0
o también η = 0
x
xp
y además
cpd ∼
= η (cpp) o también cpp ∼
=
cpd
η
Ejemplo 4.21
Si la ecuación de la demanda es x = 300 + 2p − p2 , evaluar para p = 15:
a) La elasticidad puntual de la demanda.
b) El cambio porcentual de la demanda si el precio se incrementa en 6%.
c) El cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%.
d) El cambio porcentual en el precio si la demanda disminuye 10%.
Solución:
dx
dx
= 2 − 2p. Si p = 15 → x = 300 + 2(15) − (15)2 = 105 y
= 2 − 2(15) = −28
dp
dp
a) η =
px0
x
=
15(−28)
105
= −4
b) cpd ∼
= η(cpp) = (−4) (6) = −24, es decir la demanda disminuye en 24%.
c) cpd ∼
= η(cpp) = (−4) (−4) = 16, es decir la demanda aumenta en 16%.
d) cpp ∼
=
4.2.5.2
cpd
η
=
−10
−4
= 2.5, es decir el precio aumentó 2.5%
Tipos o categorías de elasticidad
1. Si η < −1, es decir |η| > 1 → la demanda es elástica.
2. Si −1 < η < 0, es decir |η| < 1. la demanda es inelástica.
3. Si η = −1, es decir |η| = 1 → la demanda tiene elasticidad unitaria.
uts
90
Ejemplo 4.22
p = 1, 875 − x2 →
dp
p
p
p
= −2x ⇒ η = 0 =
=
dx
xp
x (−2x) −2x2
Si x = 20 → p = 1, 875 − (20)2 = 1, 475 ⇒ η =
1,475
−2(20)2
= −1.84. Por lo tanto es elástica.
Si x = 25 → p = 1, 875 − (25)2 = 1, 250 ⇒ η =
1,250
−2(25)2
= −1. Por lo tanto es unitaria.
Si x = 30 → p = 1, 875 − (30)2 = 975 ⇒ η =
975
−2(30)2
= −0.54. Por lo tanto es inelástica.
En general:
→ Cuando la demanda es elástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual mayor
en la cantidad demanda.
→ Cuando la demanda tiene elasticidad unitaria, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio
porcentual igual en la cantidad demandada.
→ Cuando la demanda es inelástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual
menor en la cantidad demandada.
Ejemplo 4.23
600
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 3x+2
. Evaluar la elasticidad
puntual de la demanda y su tipo cuando la producción y venta es de 50 unidades.
Solución:
d p (3x + 2) (0) − 600(3)
−1, 800
=
=
.
dx
(3x + 2)2
(3x + 2)2
600
η=
p
600(3x + 2)2
3x + 2
3x+2
i
h
=
=
=
.
−1,800
xp0
−1,
800x
(3x
+
2)
−3x
x
2
(3x+2)
Si x = 50 → η =
Otra forma:
Si x = 50 → p =
dp
dx
=
η=
−1800
[3(50)+2]2
=
600
3(50)+2
−1,800
23,104
3.947368421
50(−0.077908587)
=
3(50) + 2
152
76
=
=
−3(50)
−150 −75
600
152
= 3.947368421;
= −0.077908587
= −1.0133.
uts
91
Ejemplo 4.24
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = p2 − 30p + 300, x > 0 Evaluar
la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $10.
Evaluar también el cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%.
Solución:
dx
dx
= 2p − 30. Sip = 10 → x = (10)2 − 30(10) + 300 = 100 y
= 2(10) − 30 = −10
dp
dp
η=
px0
10(−10) −100
=
=
= −1. Por lo tanto tiene elasticidad unitaria.
x
100
100
cpd ∼
= η(cpp) = (−1)(−4) = 4%, es decir, si el precio disminuye 4%, la demanda aumenta 4%.
Ejemplo 4.25
x
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 200e− 100 . Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando la producción y venta es de 100 unidades.
x
x
dp
1
= 200e− 100 −
= −2e− 100 ;
dx
100
x
p
200e− 100
200
100
=
η= 0 = =
.
x
−
xp
x(−2)
−x
x −2e 100
Si x = 100 → η =
100
−100
= −1. Luego tiene elasticidad unitaria.
Otra forma:
Si x = 100 → p = 200e−1 → p0 = −2e−1
η=
uts
200e−1
100(−2e−1 )
=
200
−200
= −1
92
Ejemplo 4.26
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = 600 − 100 ln p. Evaluar la
elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $54.59.
Evaluar también el cambio porcentual en el precio si la demanda disminuyó 5.5 %.
Solución:
dx
dp
= −100
1
p
=
−100
p .
Si p = 54.59 → x = 600 − 100 ln 54.59 = 200
100
x0 = − 54.59
= −1.8318 → η =
cpp ∼
=
cpd
η
=
−5.5
−0.5
px0
x
=
54.59(−1.8318)
200
= −0.49998981. Por lo tanto es inelástica.
= 11, es decir el precio aumentó aproximadamente 11 %.
Ejemplo 4.27
La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por U(x) = 50 ln(x + 1) − 90
donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la utilidad
con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y se venden 10 unidades
Solución
1
50
)=
x+1
x+1
50
= 4.54
U 0 (10) =
10 + 1
U 0 (x) = 50(
Es decir, la utilidad aumenta $4,545 por cada unidad más que se fabrique y venda.
Relación entre la elasticidad y el ingreso → Si la demanda es elástica, al disminuir el precio del
producto, la demanda de éste aumenta en un porcentaje mayor, por lo que el ingreso es mayor. Es decir,
un menor precio hace crecer la demanda en forma suficiente para que el ingreso aumento, a pesar de haber
bajado el precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda
baja en un porcentaje mayor, por lo cual el ingreso disminuye.
4.2.5.3
→ Si la demanda es inelástica, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en un porcentaje
menor, por lo que a pesar de que se venden más unidades el ingreso es menor. Es decir, al disminuir el
precio la demanda aumenta, pero no lo suficiente para compensar la disminución del ingreso, por la baja
del precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja en
una proporción menor, de tal forma que el ingreso aumenta.
→ Si la demanda tiene elasticidad unitaria, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en
el mismo porcentaje, de tal manera que el ingreso permanece sin cambio. También un mayor precio hace
decrecer la demanda en forma tal que el ingreso no cambia.
uts
93
Ejemplo 4.28
La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p =
siguientes preguntas para una demanda de 10 unidades:
3500
. Contestar las
400 + 3x2
a) ¿Cuál es el precio unitario del artículo?
b) ¿Cuál es la elasticidad puntual de la demanda y su tipo?
c) ¿Cuál es el número aproximado de unidades en las que se incrementa la demanda al
disminuir el precio un 12 %?
d) ¿El ingreso para el fabricante: aumentará, disminuirá o permanecerá constante, al disminuir el precio del artículo en un 12%? ¿por qué?
Solución:
a) p =
b)
3500
3500
=
= $5 por unidad
2
400 + 3(10)
400 + 300
d p (400 + 3x2 )(0) − 3500(6x)
−21000x
=
=
dx
(400 + 3x2 )2
(400 + 3x2 )2
dx
(400 + 3x2 )2
(400 + 3(10)2 )2
49
7
=
=
=
=
dp
−21000x
−21000(10)
−21 −3
px0
5 7
7
= (
)=
x
10 −3
−6
∆x
x(cpd) 14
7
((−12) = 14% y como cpd =
(100) → ∆x =
=
= 1.4
c) cpd ∼
= η(cpp) = −6
x
100
10
η|x=10 =
Es decir, la demanda se incrementa 1.4 unidades.
d) El ingreso aumentará, porque la demanda es elástica, de tal manera que al bajar el precio 12%, la demanda aumenta en un porcentaje mayor (14%).
Comprobación:
I1 = p1 x1 = (5)(10) = $50
I2 = p2 x2 = (4.4)(11.4) = $50.16
4.3
Regla de la cadena
Si f (u) es derivable en u = g(x) y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ( f ◦ g)(x) = f (g(x)) es derivable
en x. Además:
( f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)).g0 (x)
uts
94
Usando la notación de Leibniz, si y = f (u) u = g(x) entonces:
dy du
dy
=
·
dx
du dx
4.3.1
Regla de la cadena para potencias
Si u(x) es una función derivable entonces:
d( un )
du
= n u n−1
dx
dx
Ejemplo 4.29
4
Sea y = (3x2 − x + 1) halle su derivada.
Solución:
3
y0 = 4(3x2 − x + 1) (3x − 1)
Ejemplo 4.30
Sea y =
√
x3 + x
y=
4.4
4.4.1
calcule
p
dy
dx .
1
x3 + x = (x3 + x) 2
⇒
dy
1
3x2 + 1
−1
= (x3 + x) 2 (3x2 + 1) = √
dx
2
2 x3 + x
Derivada de funciones trigonométricas
Derivada de la función seno
Demuestre que es cierto que:
d
dx sen(x) =
cos(x)
Solución:
d
sen(x + h) − sen(x)
sen(x) cos(h) + sen(h) cos(x) − sen(x)
[sen(x)] = lim
= lim
h→0
h→0
dx
h
h
sen(x)(cos(h) − 1) + sen(h) cos(x)
sen(x)(cos(h) − 1
sen(h) cos(x)
= lim
+ lim
h→0
h→0
h→0
h
h
h
lim
sen(x)lim
h→0
cos(h) − 1
sen(h)
+ cos(x)lim
= sen(x)(0) + cos(x)(1) = cos(x)
h→0
h
h
uts
95
4.4.2
Derivada de la función coseno
Demuestre que es cierto que:
d
dx cos(x) =
−sen(x)
Solución:
d
cos(x + h) − cos(x)
cos(x) cos(h) − sen(h)sen(x) − cos(x)
[cos(x)] = lim
= lim
h→0
h→0
dx
h
h
= lim
h→0
cos(x)(cos(h) − 1) − sen(h)sen(x)
cos(x)(cos(h) − 1
sen(h)sen(x)
= lim
− lim
h→0
h→0
h
h
h
= cos(x)lim
h→0
sen(h)
cos(h) − 1
− sen(x)lim
= cos(x)(0) − sen(x)(1) = −sen(x)
h→0
h
h
d
cos(x) = −sen(x)
dx
Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno.
4.4.3
Derivada de tangente
d
d sen(x)
cos(x) cos(x) − (−sen(x))sen(x) cos2 (x) + sen2 (x)
1
tan(x) =
=
=
=
= sec2 (x)
dx
dx cos(x)
cos2 (x)
(cos(x))2
(cos(x))2
⇒
4.4.4
d
tan(x) = sec2 (x)
dx
Derivadas de otras funciones trigonométricas
Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas:
d
cot(x) = −csc2 (x)
dx
4.4.5
d
sec(x) = sec(x) tan(x)
dx
d
csc(x) = − csc(x) cot(x)
dx
Derivadas de funciones trigonométricas compuestas
Derivadas de funciones trigonométricas compuestas
1.
d
du
dx sen(u) = cos(u) dx
2.
d
dx
cos(u) = −sen(u) du
dx
3.
d
dx
tan(u) = sec2 (u) du
dx
4.
d
dx
cot(u) = −csc2 (u) du
dx
5.
d
dx
sec(u) = sec(u) tan(u) du
dx
6.
d
dx
csc(u) = − csc(u) cot(u) du
dx
uts
96
Ejemplo 4.31
y = sen(x2 )
Derive
Solución:
y0 = cos(x2 )2x = 2x cos(x2 )
Ejemplo 4.32
y = sen( 1x − 12 )
Derive
Solución:
4.5
1 1
1
1
1 1
y0 = cos( − )(− 2 ) = − 2 cos( − )
x 2
x
x
x 2
Derivación Implícita
Una función f (x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f (x) se llega a
una identidad.
Ejemplo 4.33
La ecuación y2 = x define dos funciones implícitamente, ellas son:
y = f (x) =
√
√
x , y = f (x) = − x
Para hallar
f 0 (x) =
dy
dx
debemos derivar implícitamente la ecuación
y2 = x,
en primer lugar vamos a sustituir y por f (x) en la ecuación, así:
[ f (x)]2 = x,
ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena en el miembro izquierdo
1
1
2 f (x) f 0 (x) = 1 f 0 (x) =
=
2 f (x) 2y
uts
97
Ejemplo 4.34
Suponga que y3 + 7y = x3 define a y como una función implícita de x, halle
dy
dx .
Solución:
Derivando en ambos miembros:
dy
dy
+ 7 = 3x2
dx
dx
dy 2
(3y + 7) = 3x2
dx
3y2 .
⇒
⇒
4.6
dy
3x2
= 2
dx 3y + 7
Derivada de una Función elevada a otra Función
Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar de la
forma:
y = UV
Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula:
y0 = y(
V
+V 0 lnU)
U
Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la expresión
logaritmo natural ln para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del exponente y posteriormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar y0 .
Ejemplo 4.35
Derivar y = x x
Solución:
y = x x → Ln y = Ln x x
→
4.7
uts
1 0
y = Lnx + 1
y
→
Ln y = x Lnx
→ y 0 = y (Lnx + 1)
→
1 0
1
y = 1. Lnx + x
y
x
→ y 0 = xx (Lnx + 1)
Derivadas de orden superior
98
Sea y = f (x) una función entonces: y0 = f 0 (x) =
00
y 0 0 = f (x) =
d2
dx2
y 000 = f 0 0 0 (x) =
f (x) , es la primera derivada o derivada de primer orden
f (x) , es la segunda derivada o derivada de segundo orden
d3
dx3
y (n) = f (n) (x) =
d
dx
f (x) , es la tercera derivada o derivada de tercer orden
dn
dx n
f (x) , es la enésima derivada o derivada de orden n.
Ejemplo 4.36
Halle todas las derivadas de orden superior para
y = 3x4 + 2x3 + x2 − 2
Solución:
→ y, = 3(4x3 ) + 2(3x2 ) + 2x − 0 = 12x3 + 6x2 + 2x
→ y,, = 12(3x2 ) + 6(2x) + 2 = 36x2 + 12x + 2
→ y,,, = 36(2x) + 12 + 0 = 72x + 12
→ yIV = 72
→ yV = 0
Ejemplo 4.37
Halle la tercera derivada de
y=
1
= x−1
x
Solución:
y 0 = −x−2
4.8
→
y 0 0 = 2x−3
→
y 0 0 0 = −6x−4
Teorema del Valor medio
Si f es una función en la que se cumple que:
1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
uts
99
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:
f ´(c) =
f (b) − f (a)
b−a
La ilustración muestra la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio.
Teorema 4.1
El teorema afirma que si la función es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto c
en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,
∃ c ∈ (a, b) , tal que f ´(c) =
uts
f (b) − f (a)
b−a
100
Ejemplo 4.38
Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del
valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado ”c” que satisfaga la conclusión
de este teorema:
f (x) = x3 + x2 − x ; [−2, 1]
Solución:
Como f es una función polinomial, es derivable para toda x ∈ ℜ
por lo que debe existir por lo menos un número c ∈ (−2, 1), que cumpla que:
f ´(c) =
Por lo tanto: f ´(c) =
f (1)− f (−2)
1−(−2)
=
1−(−2)
3
f (b) − f (a)
b−a
= 1
(1)
Además
f ´(x) = 3x2 + 2x − 1
por lo que
f ´(c) = 3c2 + 2c − 1
(2)
entonces igualando 1 y 2
3c2 + 2c − 1 = 1
por lo que
Luego en
√
√
−1 + 7
−1 − 7
c =
o c =
3
3
√
√ !
−1 + 7 11 − 5 7
,
3
27
y en
√
√ !
−1 − 7 11 + 5 7
,
3
27
la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos
(−2, −2) y (1, 1)
4.9
Razones de cambio relacionadas
¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto a la variable independiente
es la respuesta a esta pregunta. La derivada
dy
dx
de una función y = f (x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x.
Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad. Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia
uts
101
con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están
relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.
Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:
1. Hacer una ilustración de la situación planteada.
2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.
3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.
4. Escribir una ecuación que relacione las variables.
5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.
uts
102
Ejemplo 4.39
Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de
hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la
razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros.
Solución: Sea el volumen V y el radio r de la superficie variable en el instante t.
Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea
dV
dt
= 3 m3 /min
Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros;
es decir, dh
dt h=2 m
La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: V =
π 2
3r h
(1)
Ahora bien, como el volumen consta de dos variables (h y r), conviene, expresarlo únicamente en términos de la altura h, por lo tanto por semejanza de triángulos:
r
h
3
=
→ r = h.
1.5
3.5
7
Sustituyendo en (1) se tiene que:
π
V =
3
3
h
7
2
h
⇒
V =
3π 3
h
49
La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente, respecto del tiempo, a
2
ambos lados de la ecuación V = π3 73 h h lo cual nos conduce a:
dV
9π 2 dh
=
h
(2)
dt
49 dt
Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante en
que h = 2 y dado que dV
dt = 3, sustituimos estos valores en (2) para obtener:
3 =
9π
dh
(2)2
49
dt
⇒
dh
3 49
49
=
=
dt
4 9π
12π
⇒
dh ∼
= 1.2998
dt
Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de 1.3 m/min .
uts
103
Ejemplo 4.40
Una empresa tiene la función de costo
C(x) = 30 + 4x −
1 2
x ,
20
en donde x es el nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasa
de 0.5 por año. Calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando.
Solución:
Sabemos que
por,
dx
dt
= 0.5 (cuando el tiempo se mide en años) El costo marginal está dado
1
dC
= 4− x
dx
10
Por consiguiente,
dC
dC dx
x dx
=
= 4−
dt
dx dt
10 dt
Sustituyendo x=5, el nivel de producción actual, obtenemos
5
dC
= 4−
(0.5) = 1.75
dt
10
Asi que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.75 por año.
4.10
Aplicaciones de la Derivada
Las aplicaciones fundamentales de las derivadas son:
1. El problema de la recta tangente.
2. Representación gráfica de funciones.
3. Para cálculo de límites indeterminados.
4. Para optimización.
4.10.1
El problema de recta tangente
Dada una función f (x), se trata de definir la tangente a la curva en un punto P. Como ya se vio en la interpretación geométrica de la derivada, la derivada de una función f 0 (x) en un punto (x1 , y1 ) expresa la
pendiente de la recta tangente a la función en ese punto m = f 0 (x1 ) = y0 (x1 ).
Por tanto, la ecuación (punto-pendiente) de la recta tangente a la curva en el punto P (a, f (a)) es:
y − y 1 = m (x − x 1 ) ⇒
uts
y − f (a) = f 0 (a) (x − a)
104
Ejemplo 4.41
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x2 + x + 1 en el punto de abscisa x=2
Solución:
La pendiente es el valor de la derivada: f 0 (x) = 2x + 1
Pendiente: m = f 0 (2) = 2.2 + 1 = 5
Ecuación de la recta: y − y0 = m(x − x0 )
Necesitamos las coordenadas del punto: Para x =2 ⇒ f (2) = 22 + 2 + 1 = 7; por lo tanto
pasa por el punto P(2, 7)
La ecuación de la recta es, por tanto,
y − 7 = 5(x − 2) ⇒ y = 5x − 3
4.11
4.11.1
Representación gráfica de funciones
La primera derivada y la gráfica de una función
Utilizaremos el criterio de la primera derivada para analizar dónde una función es creciente o decreciente,
calcular sus valores críticos, localizar sus valores máximos y mínimos relativos y esbozar su gráfica.
Definición 4.7 Funciones creciente o decreciente
Sean x1 y x2 dos números reales cualesquiera de un intervalo I, siendo x1 < x2 . Se dice que:
1. f (x) es creciente en el intervalo I si y sólo si f (x1 ) < f (x2 )
2. f (x) es decreciente en el intevalo I si y sólo si f (x1 ) > f (x2 )
Definición 4.8 Criterios para determinar si una función es creciente o decreciente:
Si f (x) es derivable en el intervalo I = (a, b)
1. f , (x) > 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es creciente en dicho intervalo.
2. f , (x) < 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es decreciente en dicho intervalo.
uts
105
En la gráfica 1 se puede ver que la función es creciente en (−∞, 2) y (4, ∞), y es decreciente en (2, 4).
Ejemplo 4.42
Determinar para qué valores de x la función y = x2 − 4x + 3 es creciente o decreciente.
f (x) = x2 − 4x + 3.
Solución:
Derivando la función se obtiene: f 0 (x) = 2x − 4 = 2(x − 2). Analizando la derivada, se tiene
que:
Si x < 2, entonces f 0 (x) < 0, por lo tanto f (x) es decreciente.
Si x > 2, entonces f 0 (x) > 0, por lo tanto f (x) es creciente.
En la gráfica 2 se pueden comprobar estos resultados.
Valores críticos Son los valores de x, dentro del dominio de la función, en donde la derivada es
cero o en donde la derivada no existe (es decir, no está definida).
Haciendo referencia a la gráfica 1, x = 2, x = 4, x = 6 son valores críticos, porque en el
primero y en el tercero la derivada es cero, ya que la tangente es horizontal, y en el segundo la
derivada no existe, ya que existen dos tangentes para un mismo punto.
Haciendo referencia a la gráfica 2, existe un solo valor crítico: x = 2 (ahí la derivada es
cero).
El punto correspondiente a un valor crítico, en la gráfica de una función, se llama punto
crítico. En la gráfica 2 el punto P(2, −1) es un punto crítico.
uts
106
Extremos de una función Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase la
figura 3).
Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo. En la figura 4, c y d no son máximo y
mínimo, respectivamente, en [a, b], pero sí en una vecindad.
4.11.2
Extremos locales de una función
Son los valores máximos o mínimos locales de una función dentro de su dominio.
Definición 4.9
Si I es un intervalo abierto (generalmente muy pequeño)que contine al valor x0 . Se dice que:
1. f (x0 ) es un máximo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x0 ) ≥ f (x) oara toda x del intervalo.
2. f (x0 ) es un mínimo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x0 ) ≤ f (x) oara toda x del intervalo.
Haciendo referencia a la gráfica 1, f (2) = 3 es máximo relativo, f (4) = 1 es mínimo relativo y f (6) = 3 no es
ni máximo, ni mínimo relativo.
uts
107
Definición 4.10 Criterio de la primera derivada
Sea f (x) es continua en un intervalo abierto que contenga al valor crítico xo .
1. Si la función tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores críticos. Haciendo referencia a la gráfica 1, existen extremos relativos en x = 2 y en x = 4, que son valores
críticos de la función.
2. Si la derivada de la función cambia de signo al pasar por un valor crítico, necesariamente
ahí existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crítico.
Haciendo referencia a la gráfica 1, no existe extremo relativo en x = 6. Por tanto, no necesariamente en todos los valores críticos de la función existen extremos relativos.
3. Si por la izquierda de un valor crítico xo , la derivada es positiva (es decir, la función es
creciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente),
entonces f (xo ) es un máximo relativo de la función.
Si por la izquierda de un valor crítico xo , la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la función es
creciente), entonces f (xo ) es un mínimo relativo de la función. Haciendo referencia a la
gráfica 1, esto se puede constatar. Con esta información que nos proporciona la primera
derivada de una función, se puede hacer un esbozo de la gráfica de la función.
uts
108
Ejemplo 4.43
Hacer un análisis mediante la primera derivada, para bosquejar las gráficas de las siguientes
funciones: y = 2x3 − 3x2 − 36x + 5.
Solución:
Primero calculamos los valores críticos de la función, por lo cual la derivamos y la factorizamos: y0 = 6x2 − 6x − 36 = 6(x2 − x − 6) = 6(x − 3)(x + 2)
Se observa que la derivada es cero en x = −2 y en x = 3, por lo tanto son valores críticos.
Ahora los analizaremos por la izquierda y por la derecha, para ver si la derivada es positiva o negativa y así concluir si la función es creciente o decreciente:
Si x < −2, entonces f 0 (x) = 6(−)(−) > 0, por lo tanto la función f (x) es creciente.
Si − 2 < x < 3, entonces f 0 (x) = 6(−)(+) < 0, por lo tanto la función f (x) es decreciente.
Si x > 3, entonces f 0 (x) = 6(+)(+) > 0, por lo tanto la función f (x) es nuevamente creciente.
Esto se puede visualizar mejor si construimos la siguiente tabla:
Si sustituimos estos valores de x en la función original obtenemos respectivamente los valores
máximo y mínimo relativos de la función, que son: y = 49 y y = −76. Por lo tanto podemos
expresar ahora los puntos máximo y mínimo relativos o locales de la función:
Punto máximo P(−2, 49).
Punto mínimo P(3, −76)
Situando estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, se puede
construir la gráfica de la función. Esta se muestra en la (gráfica No. 3), donde se comprueban los
resultados del análisis de la función a través de su primera derivada.
uts
109
Ejemplo 4.44
Aplique el criterio de la primera derivada para analizar el comportamiento de f (x) =
− 23 x3 − 6x2 + 54x + 120
Solución:
Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:
f 0 (x) = −2x2 − 12x + 54 = −2(x2 + 6x − 27) = −2(x + 9)(x − 3) La derivada es cero en x = −9 y en
x = 3, por lo tanto son valores críticos.
Ahora construiremos una tabla similar a la anterior:
−2(−)(−) = −
− 2(−)(+) = +
− 2(+)(+) = −
Los valores mínimo y máximo relativos de la función, que son: y = −366 y y = 210. Por lo tanto
los puntos mínimo y máximo relativos o locales de la función son:
Punto mínimo Pm (−9, −366).
Punto máximo PM (3, 210)
La gráfica de la función se muestra en la (gráfica No. 4), donde se comprueban los resultados de este análisis
uts
110
Ejemplo 4.45
Aplique el criterio de la primera derivada para analizar f (x) = (x + 2)3 − 3.
Solución:
f 0 (x) = 3(x + 2)2 .
Existe un solo valor crítico: x = −2.
3(−)2 = +
Intervalo (−∞, −2)
3(+)2 = +
(2, ∞)
La gráfica 5 muestra estos resultados.
uts
111
Ejemplo 4.46
Para el producto de un fabricante la función ingreso en pesos, está dada por I(x) = 240x+57x2 −x3 ,
para 0 ≤ x ≤ 60, donde x son las unidades que se venden. Calcular el nivel de ventas para obtener
un ingreso máximo.
Solución:
I 0 (x) = 240 + 114x − 3x2 = −3(x2 − 38x − 80) = −3 (x − 40) (x + 2) .
Valores críticos x = −2 y x = 40.
El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la función es 0 ≤ x ≤ 60.
−3(−)(+) = +
−3(+)(+) = −
Por lo tanto para que el ingreso sea máximo, el nivel de producción debe ser de 40 unidades. El
ingreso máximo es de 36,800, que está representado en la gráfica 6, a continuación, por el punto
PM (40 unidades, $36800).
uts
112
Definición 4.11 Criterio de la segunda derivada
Si f (x) es una función que tiene un valor crítico en x = a , tal que f 0 (a) = 0 y f 00 (a) existe ,
Entonces: Si
f 00 (a) < 0 → f (x) tiene un máximo local o relativo en x = a
f 00 (a) > 0 → f (x) tiene un mínimo local o relativo en x = a
f 00 (a) = 0 → no se puede concluir si f (x) tiene máximo o mínimo local en x = a
uts
113
Ejemplo 4.47
Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x + 7
tiene valores máximos o mínimos relativos.
Solución Primero localizamos sus valores críticos, es decir los valores de x donde la derivada es
cero o donde la derivada no existe:
f 0 (x) = 6x2 − 6x − 36 = 6(x2 − x − 6) = 6 (x − 3) (x + 2) .
Vemos que la derivada existe para todo valor de x, y que existen dos valores de x donde la
derivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos son: x = −2 y x = 3
Como f 0 (−2) = 0 y f 0 (3) = 0, probamos ahora el signo de la segunda derivada para estos
valores:
f 00 (x) = 12x − 6
f 00 (−2) = 12(−2) − 6 = −30.Como es negativa existe un máximo relativo o local enx = −2
f 00 (3) = 12(3) − 6 = 30.Como es positiva existe un mínimo relativo o local enx = 3
El valor máximo local de la función es f (−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 − 36(−2) + 7 = 51
El valor mínimo local de la función es f (3) = 2(3)3 − 3(3)2 − 36(3) + 7 = −74
Los puntos máximo y mínimo relativos son: Pmáx (−2, 51);
Pmín (3, −74)
Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página:
uts
114
Ejemplo 4.48
Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f (x) = x4 − 4 tiene valores
máximos o mínimos relativos.
Solución:
f 0 (x) = 4x3 .
Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valor
de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico x = 0.
Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico. f 00 (x) = 12x2 .
Como f 00 (0) = 12(0)2 = 0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo
relativo en x = 0 Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar
el criterio de la primera derivada:
El punto mínimo es P(0, −4). Su representación gráfica se puede ver en la siguiente gráfica:
uts
115
Ejemplo 4.49
Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función
f (x) = 2 − x3
tiene valores máximos o mínimos relativos.
Solución
f 0 (x) = −3x2
Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x toma el valor
de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico en x = 0.
Veamos ahora cómo es el signo de la segunda derivada en este valor crítico.
f 00 (x) = −6x.
Como f 00 (0) = −6(0) = 0, entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo relativo
en x = 0. Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio
de la primera derivada:
Su representación gráfica se puede ver a continuación.
Extremos absolutos: Son los valores más grande y más pequeño de una función en un intervalo dado, si es
que existen.
uts
116
Definición 4.12 Extremos absolutos de una función
Sea I un intervalo cualesquiera que contenga a x0 . Se dice que:
1. f (x0 ) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo I si y sólo si f (x0 ) ≥ f (x) para toda x del
intervalo.
2. f (x0 ) es mínimo absoluto de f (x) en el intervalo I si y sólo si f (x0 ) ≤ f (x) para toda x del
intervalo.
1. En la gráfica 1, f (a) es mínimo absoluto de f (x) en el intervalo (−∞, ∞). No tiene máximo absoluto
porque la función viene del infinito y se va al infinito.
2. En la gráfica 2, f (b) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo (a, c). No tiene mínimo absoluto porque
no está definida la función en a y en c. Es decir cada vez que x está más cerca de a por su derecha, la
función está más cerca de f (a), pero nunca llega a tomar ese valor. Lo mismo sucede cuando x está
cada vez más cerca c por su izquierda.
3. En la gráfica 3, f (b) es mínimo absoluto y f (c) es máximo absoluto de f (x) en [a, c].
4. En la gráfica 4, la función no tiene ni máximo ni mínimo absolutos porque viene del menos infinito,
se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.
Teorema 4.2 Teorema del Valor Extremo
Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene necesariamente un
valor máximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.
uts
117
1. En la gráfica 1 f (c) es mínimo absoluto y f (d) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a, d].
2. En la gráfica 2 f (b) es mínimo absoluto y f (c) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a, d].
3. En la gráfica 3 f (a) es mínimo absoluto y f (d) es máximo absoluto de f (x) en el intervalo [a, d].
Se puede observar que los extremos absolutos en un intervalo cerrado ocurren o en los valores críticos de
la función en ese intervalo o en los extremos de dicho intervalo.
4.11.3
Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado
Sea f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b].
1. Se obtienen los valores críticos de la función.
2. Se evalúa la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo cerrado y también en los extremos del intervalo.
3. Se seleccionan, de entre estos valores, el valor más grande y el valor más pequeño de la función, los
cuales serán respectivamente el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta en el intervalo cerrado
dado.
Ejemplo 4.50
Determinar los extremos absolutos de la función en los intervalos dados: f (x) = x2 −2x+3 ; [−1, 3]
f 0 (x) = 2x − 2 = 0
2(x − 1) = 0. Valor crítico x = 1, el cual pertenece al intervalo dado.
f (−1) = (−1)2 − 2(−1) + 3 = 6 ;
f (1) = (1)2 − 2(1) + 3 = 2 ;
f (3) = (3)2 − 2(3) + 3 = 6.
Por lo tanto el valor máximo absoluto de la función en el intervalo dado es 6 y el valor
mínimo absoluto de la función en ese intervalo es 2.
uts
118
Ejemplo 4.51
√
3
f (x) = 2 x2 ; [1, 8] , [−1, 8].
Solución:
La función se puede representar como f (x) = 2x2/3 , la cual existe y es continua para toda x
real.
f 0 (x) = 43 x−1/3 =
4
√
.
3 3x
Valor crítico x = 0.
Este valor crítico no se encuentra en el intervalo [1, 8], pero sí en el intervalo [−1, 8]. Por
lo tanto:qpara el intervalo [1,q8], evaluamos la función sólo en los extremos del intervalo:
f (1) = 2
3
(1)2 = 2 ;
f (8) = 2
3
(8)2 = 8
Así que 2 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función en ese intervalo.
q
q
√
3
3
Para el intervalo [−1, 8], f (−1) = 2 (−1)2 = 2 ; f (0) = 2 3 0 = 0; f (8) = 2 (8)2 = 8
Así que 0 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función para este intervalo.
Ejemplo 4.52
f (x) =
5x
x2 +4
; [−3, 4].
Solución:
0
f (x) =
x2 + 4 (5) − 5x(2x)
(x2 + 4)2
=
5x2 + 20 − 10x2
(x2 + 4)2
=
20 − 5x2
(x2 + 4)2
=
5 4 − x2
(x2 + 4)2
=
5 (2 − x) (2 + x)
(x2 + 4)2
.
Valores críticos x = −2 ; x = 2, ambos pertenecen al intervalo dado.
Por lo tanto evaluamos: f (−3) =
−15
13
;
f (−2) =
−10
8
= − 52 ;
f (2) =
10
8
= 52 ;
f (4) =
20
20
=1
Así que -5/2 es el mínimo absoluto y 5/2 es el máximo absoluto de la función ese intervalo.
4.11.4
Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función
Si una función tiene sólo un extremo relativo en un intervalo dado, entonces también es extremo absoluto
en ese intervalo. Es decir, si f (a) es un mínimo relativo de la función en un intervalo, y es único (no hay
máximo relativo), entonces f (a) es mínimo absoluto en el intervalo. Si f (a) es un máximo relativo de la
función en un intervalo, y es único (no hay mínimo relativo), entonces f (a) es máximo absoluto.
uts
119
Ejemplo 4.53
Cierta compañía ofrece un seminario sobre técnicas de administración. Si la cuota es de 600
dólares por persona, asisten al seminario 1,000 personas. Pero por cada disminución de 20 dólares
en la cuota, asisten 100 personas más. Sin embargo, debido a recursos limitados, es posible recibir
a lo más 2,500 personas. Calcular cuál es el número de personas que proporcionarían un ingreso
máximo a la compañía, cuál sería el ingreso máximo y cuál sería la cuota que se cobraría a las
personas por asistir al seminario.
Solución: Sea n el número de disminuciones de $20 en la cuota de asistencia al seminario.
Entonces la cuota por persona y el número de personas que asistirán serán:
Cuota por persona: p = 600 − 20n, Número de personas: x = 1, 000 + 100n El máximo número de
personas es 2,500.
Por lo tanto 1, 000 + 100n ≤ 2500 → n ≤ 15.
Es decir, el número de disminuciones de $20 en la cuota, no debe de exceder de 15.
Ingreso=(cuota por persona)(número de personas). Es decir I = px.
I(n) = (600 − 20n)(1, 000 + 100n) = 600, 000 + 60, 000n − 20, 000n − 2, 000n2 .
Por tanto la función ingreso es I(n) = 600, 000 + 40, 000n − 2, 000n2 ; para 0 ≤ n ≤ 15, es decir
en el intervalo [0, 15].
I 0 (n) = 40, 000 − 4, 000n = 4, 000(10 − n). Existe un sólo valor crítico n = 10
Como el extremo relativo es único, es también máximo absoluto. Por lo tanto para ingreso
máximo se debe disminuir en $20 la cuota por persona 10 veces, es decir (10)(20)= $200.
El número de personas que asistirían al seminario es 1, 000 + 100(10) = 2, 000 personas.
El ingreso máximo sería I(10) = 600, 000 + 40, 000(10) − 2, 000(10)2 = $800, 000.
La cuota por persona sería de 600 − 20(10) = $400.
4.11.5
Concavidad de una función
En las figuras 1 y 2, observe que cada curva curva y = f (x) se "flexiona" (o abre) hacia arriba.
uts
120
Si se trazan tangentes a las curvas, las curvas quedarán "por arriba" de estas. Además, las pendientes de
las líneas tangentes crecen en valor al crecer x. Luego, f 0 es una función creciente. Se dice entonces que la
función es cóncava hacia arriba(o convexa).
Si la curvas se encuentran "por debajo" de las tangentes, se flexionan hacia abajo. (Véanse los gráficos de
las figuras 3 y 4).
Cuando x crece, las pendientes decrecen, luego, f 0 es una función decreciente. Decimos que f es cóncava
hacia abajo.
Definición 4.13 Criterio de concavidad
Sea f 0 derivable en (a, b).
1. Si f 0 0 (x) > 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b).
2. Si f 0 0 (x) < 0 para toda x ∈ (a, b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a, b).
uts
121
Ejemplo 4.54
Analizar la concavidad de la función f (x) = x3 .
Solución:
f (x) = x3 ⇒ f 0 (x) = 3x2 ⇒ f 0 0 (x) = 6x
f 0 0 (x) < 0 para x < 0 y f 0 0 (x) > 0 para x > 0.
Luego, si x < 0, f es cóncava hacia abajo; si x > 0, f es cóncava hacia arriba.
Compruebe este resultado en la gráfica de la figura.
4.11.6
Punto de inflexión
Definición 4.14
Una función tiene un punto de inflexión en x = x0 si y solo si, f es continua en x0 y f cambia de
concavidad en x0 . Entonces, x0 es un posible punto de inflexión si:
1. f 0 0 (x0 ) = 0; o no existe f 0 0 (x0 ), pero sí f (x0 ).
2. f debe ser continua en ese punto.
uts
122
Ejemplo 4.55
Analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de f (x) = 6x4 − 8x3 + 1.
Solución:
f 0 (x) = 24x3 − 24x2 = 24(x3 − x2 )
0
f 0 (x) = 24(3x2 − 2x) = 24x(3x − 2)
Luego, f 0 0 (x) = 0 en x = 0, y en x = 32 , que son posibles puntos de inflexión.
Se procede de forma análoga a la solución de una inecuación, como lo hemos visto anteriormente. Ubiquemos los signos en un rayo numérico para observar los cambios de signo de la
segunda derivada. (Figura 1).
En (−∞, 0) f es cóncava hacia arriba, al igual que en ( 23 , ∞), pues en estos intervalos f 0 0 es positiva.
En (0; 23 ) f es cóncava hacia abajo, pues f 0 0 es negativa. Luego, x = 0 y x = 32 son puntos
de inflexión, pues hay cambio de signo de la segunda derivada alrededor de estos puntos.
Recuerda que son puntos de inflexión, si f es continua en esos puntos y existe cambio de signo de
la segunda derivada alrededor de estos ellos. Verifique este resultado con la gráfica de la función.
4.11.7
Representación Gráfica de Funciones
Los puntos de análisis previos a la representación gráfica de una función son:
Dominio
Continuidad
Puntos de corte con los ejes coordenados
Simetrías
uts
123
Asíntotas
Crecimiento y decrecimiento
Extremos (máximos y mínimos)
Curvatura y puntos de inflexión
4.11.8
Tabla de resumen "Definiciones"
Dominio, Dom(f)
Discontinuidad
Asíntotas verticales ; x = a
Conjunto de valores x para los que existe la función.
Valores del Dom(f) para los que la función es discontinua
Valores del Dom( f ) donde lim f (x) = ±∞
x→a
Asíntotas horizontales ; y = a
Donde a se calcula a =
Asíntotas oblicuas; dada por la recta: y = m x +b
Puntos de corte con el eje X
Puntos de corte con el eje Y
Máximos y mínimos relativos
Representación gráfica
4.12
m =
f (x)
x→ + ∞ x
lim
lim f (x) lim f (x) = ±∞
x→ ± ∞
b =
x→a
lim [ f (x) − mx]
x→ + ∞
Son las soluciones de la ecuación : f (x) = 0
Valores que toma la función cuando x = 0
Soluciones de la ecuación: f 0 (x) = 0.
Se utiliza toda la información que proporciona la tabla
Aplicación de la derivada al cálculo de límites
Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la factorización, generalmente
se resuelven en matemática por la conocida Regla de L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto
de derivada.
Teorema 4.3 Teorema de L´Hôpital
Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a.
Si
lim f (x) = lim g(x) = 0 donde g(x) 6= 0
x→a
x→a
Si
y se cumple que:
f 0 (x)
x→a g0 (x)
lim
en cierto entorno de a, entonces
(finito o infinito), existe también
lim
x→a
f (x)
,
g(x)
f (x)
f 0 (x)
= lim 0 .
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
uts
124
Definición 4.15
La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas en
a, pero lim f (x) = 0 y lim g(x) = 0.
x→a
x→a
Si f 0 (a) = g0 (a) = 0, y f 0 (x) y g0 (x) satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones f y
f 0 (c)
g0 (c) ,
g, podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a
f 0 (x)
0
x→a g (x)
y obtenemos: lim
f 0 0 (x)
;
0
x→a g0 (x)
= lim
aplicar sucesivamente la derivada hasta que la indeterminación desaparézcala.
Ejemplo 4.56
Calcular: lim
x→ 1
x2 −1+ln x
ex −e
Solución:
lim
x→ 1
pues lim (x2 − 1 + ln x) = 12 − 1 + 0 = 0
x→ 1
x2 − 1 + ln x 0
= ,
ex − e
0
lim (ex − e) = e1 − e = 0
y
x→ 1
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
lim
x→ 1
2x + 1x
(x2 − 1 + ln x)0
3
x2 − 1 + ln x
=
lim
= lim
=
0
x
x→ 1
x→ 1
e −e
ex
e
(ex − e)
Ejemplo 4.57
Encuentre lim
x→ 0
x−sen x
.
x3
Solución:
lim
x→ 0
lim
x − sen x
1 − cos x 0
= lim
=
x→ 0
x3
3x2
0
lim
−(−sen x)
1
sen x 1
=
lim
=
6x
6 x→ 0 x
6
x→ 0
x→ 0
x − sen x 0
=
x3
0
uts
125
Ejemplo 4.58
x3 −3x2 +2
3 −4x2 +3
x
x→ 1
Halle lim
Solución:
lim
x→ 1
lim
x→ 1
x3 − 3x2 + 2 0
=
x3 − 4x2 + 3 0
x3 − 3x2 + 2
3x2 − 6x 3 − 6 3
= lim
=
=
3
2
x − 4x + 3 x→ 1 3x2 − 8x 3 − 8 5
Ejemplo 4.59
Hallar: lim
sen 4x
1
x
x→ ∞
Solución:
sen 4x
lim
x→ ∞
sen 4x
lim
1
x
x→ ∞
= lim
x→ ∞
− x42 cos 4x
− x12
=
1
x
0
0
4
4
= 4 lim cos
= (4)(1) = 4
4 cos
x→ ∞
x
x
= lim
x→ ∞
El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
por
lim f (x) = lim g(x) = ∞,
x→a
x→ a
y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.
Ejemplo 4.60
Hallar: lim
x→ 0+
ln x
1
x
Solución:
En este caso estamos ante la indeterminación lim
x→ 0+
ln x
1
x
=∞
∞ , pues lim ln x = +∞, y lim
x→ 0+
x→ 0+
1
x
= +∞.
Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:
lim
x→ 0+
uts
ln x
1
x
= lim
1
x
x→ 0+ − 12
x
= lim −
x→ 0+
x2
=0
x
126
4.12.1
Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞ − ∞
Existen otras formas indeterminadas, 0.∞ e ∞−∞ que pueden transformarse en las formas
la Regla de L´Hôpital.
0
0
ó∞
∞ , y aplicar
Si queremos calcular lim f (x).g(x) y lim f (x) = 0 y lim g(x) = ∞
x→ a
entonces, f (x).g(x) =
f (x)
Además, f (x).g(x) =
g(x)
1
g(x)
1
f (x)
x→ a
x→ a
f (x)
1 ,
x→ a g(x)
, y por tanto, lim f (x).g(x) = lim
x→ a
, y es un límite de la forma
y ahora es de la forma 00 .
∞
∞.
En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones anteriores,
siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital simplifique el proceso de determinación del
límite.
Ejemplo 4.61
Determine lim x2 ln x2
x→ 0
Solución:
Observemos que lim x2 = 0 y que lim ln x2 = −∞ Luego, estamos ante una indeterminación del
x→ 0
x→ 0
tipo 0.∞.
Transformando, lim x2 ln x2 = lim
x→ 0
x→ 0
1
x2
x2
1
x→ 0 ln x2
Observe que lim x2 ln x2 = lim
x→ 0
ln x2
= lim
x→ 0
= lim − x2 = 0
x→ 0
, pero esta transformación es menos recomendable en
este caso en particular, pues la derivada de
derivada de ln x2 .
2x
x2
− 2x4
x
1
ln x2
es mucho más compleja que, simplemente, la
uts
127
Ejemplo 4.62
Determine: lim
x→ 1
1
x−1
− ln1x
Solución:
lim
x→ 1
1
x−1
− ln1x
No existe una forma única de proceder para resolver indeterminaciones del
tipo ∞ − ∞.
En este caso, se debe efectuar la resta:
ln x − (x − 1)
ln x − x + 1)
1
1
= lim
= lim
lim
−
x→ 1
x→ 1
x→ 1
x − 1 ln x
(x − 1) ln x
(x − 1) ln x
Aquí podemos observar que: lim (ln x − x + 1) = 0 y lim (x − 1)Lnx = 0 Luego, la indeterminación
x→ 1
x→ 1
∞ − ∞ se ha transformado en una del tipo 00 .
Basta entonces resolver lim
x→ 1
lim
x→ 1
ln x − x + 1
(x − 1) ln x
ln x−x+1
(x−1) ln x
= lim
x→ 1
1
x
1. ln x + (x − 1). 1x
lim
x→ 1
4.13
−1
!
= lim
x→ 1
− x12
1
x
+ x−(x−1)
x2
!
= lim
x→ 1
− x12
!
x+1
x2
1
1
= −
−
x+1
2
Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización
Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u
otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas de
optimización. Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas geométricos, económicos
entre otros.
En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o
encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones
dadas.
La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y
el valor de la función sea mínimo o máximo. La función que representa el problema de optimización se le
llama función objetivo.
Fases en la solución de un problema de Optimización
1. Planteamiento del problema
uts
128
2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente)
3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica)
4. Obtención de las soluciones
Ejemplo 4.63
Para el producto de un monopolista la función de demanda es x = 10, 000e−0.02p . Calcular el valor
de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.
Solución:
I = px = 10, 000pe−0.02p ; p > 0
→ I 0 (x) = 10, 000 pe−0.02p (0.02) + e−0.02p = 10, 000e−0.02p (−0.02p + 1)
I 0 (x) = 10,000(1−0.02p)
= 0 → 1 − 0.02p = 0 → p =
e0.02p
Único valor crítico en (0, ∞)
1
0.02
=
100
2
= 50.
Como es el único extremo local en (0, ∞) es también máximo absoluto en ese intervalo. Por tanto,
se obtiene el máximo ingreso con p = $ 50/unidad.
Ejemplo 4.64
Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dado
por C(x) = 10 + 75x − 5x2 + 13 x3 Evaluar el nivel de producción x donde el costo marginal alcanza
su mínimo.
Solución:
Costo marginal C0 (x) = 75 − 10x + x 2 . Esta es la función para la cual queremos obtener un
máximo: C00 (x) = −10 + 2x = 0 → 2x = 10 → x = 5. Único valor crítico en (0, ∞).
C000 , (x) = 2 > 0, luego entonces existe un mínimo local y también absoluto en x = 5. Por lo
tanto para que el ingreso marginal sea mínimo el nivel de producción debe ser de 5 unidades.
uts
129
Ejemplo 4.65
Para el producto de un monopolista, la función demanda es p =
promedio es C̄ = 0.50 +
50
√
x
, y la función de costo
100
x .
a) Evaluar el precio y la producción que maximizan la utilidad.
b) A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
Solución:
a) U = I −C;
I = px =
50
√
x
√
x = 50 x;
C = C̄x = 0.5 + 100
x x = 0.5x + 100.
√
√
U(x) = 50 x − (0.5x + 100) = 50 x − 0.5x − 100
→ U 0 (x) = 25x−1/2 − 0.5 =
√
x=
25
0.5
25
√
x
− 0.5 = 0 →
25
√
x
= 0.5.
= 50 → x = 2, 500.
Único valor crítico en (0, ∞).
−3/2 =
U 00 (x) = − 25
2 x
luto en 2,500.
−25
√
2 x3
→ U 00 (2, 500) < 0, luego existe un máximo local y también abso-
Entonces, para obtener la máxima utilidad posible se deben fabricar y vender 2,500 unidades a
50
50
= 50
un precio de p = √2,500
= $1/unidad.
25
25
1
→ I 0 (2, 500) = √2,500
= 25
C0 (x) = 0.5 → C0 (2, 500) = 0.5.
b) I 0 (x) = 25x−1/2 = √
50 = 2 = 0.5;
x
Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de producción es
de 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es máxima.
uts
130
Ejemplo 4.66
Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dado
por C̄ = 2x2 − 36x + 210 − 200
x , para 2 ≤ x ≤ 10, en donde x está en miles de unidades y C en dólares.
a Calcular a qué nivel dentro del intervalo [2, 10] debe fijarse la producción para minimizar el
costo total y cuál es el costo total mínimo.
b) Si la producción se encontrara dentro del intervalo [5, 10], calcular qué valor de x minimizaría el costo total.
Solución:
C(x) = C̄x = 2x3 − 36x2 + 210x − 200 → C0 (x) = 6x2 − 72x + 210 = 6(x2 − 12x + 35) = 6(x − 7)(x − 5).
Valores críticos x = 5,
x = 7.
C00 (x) = 12x − 72 = 12(x − 6) → C00 (5) < 0; C00 (7) > 0. Por lo tanto existe un máximo local
en x = 5 y un mínimo local en x = 7.
a) En el intervalo [2, 10], como los dos valores críticos pertenecen al intervalo, no se puede
asegurar que el mínimo absoluto ocurra en x = 7, luego se requiere evaluar la función en esos
valores críticos y en los extremos del intervalo:
C(2) = 2(2)3 − 36(2)2 + 210(2) − 200 = 92; C(5) = 200; C(7) = 192; C(10) = 300.
Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 2,000 unidades. Costo mínimo: 92 dólares.
b) En el intervalo [5, 10] C(5) = 200;
C(7) = 192;
C(10) = 300. El 2 no pertenece al intervalo.
Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 7,000 unidades. Costo mínimo: 192
dólares.
uts
131
Ejemplo 4.67
Se quiere inscribir un rectángulo dentro de un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área más grande
que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?
Según se muestra en la figura tenemos:
Largo del rectángulo: 2x
Altura:
√
4 − x2
√
La función a maximizar es el área del rectángulo, es decir, A(x) = 2x 4 − x2
Hallemos los puntos críticos, derivando e igualando a cero: A(x) = 2x(4 − x2 )1/2
p
−2x2
A0 (x) = √
+ 2 4 − x2 = 0
4 − x2
−2x2 + 8 − 2x2 = 0
⇒
⇒
−2x2 + 2(4 − x2 )
√
=0
4 − x2
−4x2 = −8 ⇒ x2 = 2
⇒
√
x=± 2
√
√ √
√ 2
A( 2) = 2 2 4 − 2 = 2( 2) = 4
√
√ √
√ 2
A(− 2) = 2(− 2) 4 − 2 = −2( 2) = −4 (Area negativa)
Los valores extremos se presentan en: x = 2 y x = −2
p
A(2) = 2(2) 4 − 22 = 0 = A(−2) (Area cero)
√
La mayor área del rectángulo se produce cuando x = 2 y el área es de 4 unidades cuadradas.
Respuesta: De lo anterior concluimos que las dimensiones del rectángulo de mayor área
son:
√
Largo: 2 2
uts
Alto:
√
2
132
Ejemplo 4.68
Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas
cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?
Solución:
Volumen de la caja: V = x2 h (Función a maximizar). Como esta función tiene dos variables x y h
debemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas.
El material usado se obtiene sumando el área de la base y el área de las cuatro caras laterales, así: Área de la base: x2
Área de cada cara lateral: xh
Área total de la superficie: S = x2 + 4xh = 108
Hallando h en esta ecuación tenemos:
4xh = 108 − x2
⇒
h=
√
108 − x2
, 0 < x < 108
4x
Sustituyendo h en la ecuación de volumen tenemos:
V (x) = x2 (
x3
108 − x2
) = 27x −
4x
4
Derivando e igualando a cero:
V 0 (x) = 27 −
3x2
=0
4
,
3x2 = 108
, x2 = 36 , x = ±6
Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud Valor crítico: x = 6, para este
valor crítico, hallemos h:
h=
108 − 36 72
108 − x2
=
=
=3
4x
24
24
Respuesta: las dimensiones de la caja son: Longitud de la base: x = 6 pulgadas; Altura de la caja:
h = 3 pulgadas.
Volumen de la caja: V = x2 h = 36(3) = 108 pulgadas cúbicas (Obsérvese la gráfica)
A continuación se muestra la gráfica del volumen respecto a la altura de la caja.
uts
133
Nota: Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar en el ejemplo anterior que, en efecto, los
valores de x y h corresponden al máximo volumen.
uts
Bibliografía
[1] Larson/Hostetler , 1999. Algebra, Mc Graw Hill.
[2] Dennis G Zill, 1996. Algebra y Trigonometría, Mc Graw Hill, 2da Edición.
[3] James Stewart, 2008. Algebra y Trigonometría, Thomson, 6ta Edición.
[4] Edwin J Purcell, 2007. Cálculo con Geometría Analítica, Pearson-Prentice Hall, 9na Edición.
[5] James Stewart, 2001. Precálculo, Thomson, 3ra Edición.
uts

APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto.

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