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Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. CAPÍTULO XI CÍRCULO DE MOHR EN DOS DIMENSIONES 11.1. Deducción del círculo de Mohr en dos dimensiones El círculo de Mohr es un método gráfico propuesto para representar el estado de tensión en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por ese punto. y xy n ds n xy dy x dx Figura 11.1. Estado de esfuerzos en un sólido. ¿ Cuánto valen los esfuerzos en un plano cualquiera? n f ( x , y , xy , ) , n g ( x , y , xy , ) además en la dirección de n Fi 0 Considerando espesor igual a 1 se tiene n ds(1) x dysen (1) y dx cos (1) xy dy cos (1) xy dxsen (1) 0 al dividir por ds resulta n x dy dx dy dx sen y cos xy cos xy sen ds ds ds ds pero para un triángulo de catetos dx, dy e hipotenusa ds dx cos ds , dy sen ds n x sen 2 y cos 2 2 xy sen cos En términos del ángulo doble se puede escribir: Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-1 Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. n x y 2 ( y x ) cos 2 2 xy sen 2 (1) El esfuerzo máximo y mínimo se obtiene de la condición d n 0 d ( y x ) 2 xy d n 2 sen 2 2 xy cos 2 0 tg 2 d 2 y x Esta es la condición de planos principales. Evaluando se tienen los siguientes valores para el esfuerzo principal n máx/ mín x y 2 ( y x ) 2 4 xy Los esfuerzos principales son 1 máx 2 son los valores máximos y mínimos , 2 mín Esfuerzo Cortante n En la dirección n Fi 0 i n ds x dy cos y dx sen xy dy sen xy dx cos 0 dividiendo por ds n La condición ( y x ) 2 sen 2 xy cos 2 (2) d n 0 entrega el esfuerzo cortante óptimo d Al igual que para el esfuerzo normal en éste caso se obtiene Los valores máximos y mínimos son máx/ mín Observación: ( y x ) 2 4 tg( 2 ) ' xy y x 2 xy 2 tg 2 t g2( ) ' 1 ángulo 2 es perpendicular a (2 ) ' luego y ' están a 45º. Esto se obtiene multiplicando las expresiones para ambas tangentes Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (1) y (2) queda Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-2 Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. x y n 2 2 x n2 y 2 2 xy 2 La que corresponde a la ecuación de un círculo en el espacio centrado en x y 2 y de radio R, con R ( y x ) 2 4 xy cuya representación geométrica se 2 muestra en la figura 11.2. . 2 R . x y . 1 2 Figura 11.2. Representación geométrica del círculo de Mohr. 11.2. Metodología para trazar el círculo de Mohr Sean x , y y xy las componentes del esfuerzo dado. Sobre el eje horizontal se ubican los esfuerzos x y y y sobre el eje vertical se ubica xy . Se ubican los puntos ( x , xy ) y ( y , xy ) teniendo presente las siguientes reglas: a) Los esfuerzos tractivos se toman positivos b) Los esfuerzos cortantes se toman positivos si tienden a producir una rotación en el sólido en el sentido de las agujas del reloj c) Al unir los puntos ( x , xy ) y ( y , xy ) mediante un trazo, el intercepto con el eje horizontal define el centro del círculo. 11.3. Ejemplos Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-3 Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. 0 . . a) Tensión uniaxial . b) Tensión biaxial equilibrada Figura 11.3. Casos de estados de esfuerzos. (a) Tensión Uniaxial. (b) Tensión Biaxial equilibrada. 9 MPa =6 MPa 14 MPa Figura 11.4. Sólido sometido a cargas. Problema 11.1 Hallar: a) Planos principales b) Esfuerzos principales c) Direcciones de esfuerzo cortante máximo y mínimo Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-4 Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. d) máx y mín e) Los esfuerzos normales en los planos de máx / mín Solución: a) tg 2 xy 6 0.522 y x 9 14 27,6º 2 207,6º 2 2 = 13,8º ; 103,8º b) máx/ mín x y 2 y x 2 2 xy2 14 9 9 14 2 6 2 2 2 Para = 13,8º = -10,5 MPa = 103,8º = 15,5 MPa 9 MPa 6 MPa 14 MPa 103.8° 15,5 M Pa 13.8° 10,5 M Pa = -13 M Pa 148.8° = 13 M Pa 58.8° Figura 11.5. Esfuerzos normales y cortantes c) máximos. Los planos de máx/mín se encuentran: a 45º de los planos máx/mín. Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-5 Resistencia de Materiales. Capítulo XI. Círculo de Mohr en dos dimensiones. = 13,8º + 45º = 58,8º = 103,8º + 45º = 148,8º d) x máx/mín = y 2 2 xy2 máx 13 MPa mín 13 MPa Para = 58,8º = -13 MPa e) El esfuerzo para = 58,8º y = 148,8º vale = 2,5 MPa . max= 13 MPa . 2= -10.5 MPa . . 1= 15.5 MPa min= -13 MPa Figura 11.6. Círculo de Mohr correspondiente al problema 11.1. Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 11-6