Notas adicionales sobre el álgebra en el modelo de Overshooting

Notas adicionales sobre el álgebra en el modelo de Overshooting

Universidad de Montevideo
Economı́a Internacional
Master en Finanzas
Danilo R. Trupkin
Álgebra para Modelo de Overshooting
•
Pasos para obtener la ecuación (9) de las notas de clase, es decir:
s̄ = p̄ + Ψ(i∗ , y) = m + Ψ̃(i∗ , y).
Recordemos la ecuación (7) en las mismas notas:
d = η(s − p) + γy − σi.
Recordemos también la ecuación (5):
p̄ = m − φy + λi∗ .
Si d = y, y además consideramos el largo plazo, es decir p = p̄ y s = s̄, entonces tenemos
la siguiente nueva expresión para la ecuación (7):
y = η(s̄ − p̄) + γy − σi∗ ,
(1)
lo que implica, operando solo algebraicamente, que
s̄ = p̄ + y
(1 − γ) σ ∗
+ i .
η
η
(2)
Sustituyendo la expresión de p̄, dada por la ecuación (5) de las notas, en la ecuación
(2) de arriba, tenemos precisamente que
s̄ = m − φy + λi∗ + y
(1 − γ) σ ∗
+ i = m + Ψ̃(i∗ , y),
η
η
(3)
exactamente la misma expresión (9) de las notas de clase.
•
Pasos para obtener la ecuación (10) de las notas, es decir:
.
p = −v(p − p̄).
Recordemos la expresión para la inflación:
.
p = π(d − y);
1
π>0
(4)
Si remplazamos la ecuación (7) de las notas (la de equilibrio en el mercado de bienes),
en la ecuación de arriba, tenemos
.
p = π(d − y)
= π[η(s − p) + γy − σi − y]
= π[η(s − p) + (γ − 1)y − σi]
(5)
Dado que, para todo t, se cumple la condición de paridad de intereses, y sabemos que
e
δ = θ(s̄ − s) por ecuación (2) de las notas de clase, entonces
i = i∗ + δ e = i∗ + θ(s̄ − s).
(6)
Luego, la expresión (5) de arriba queda de la siguiente manera:
.
p = π[η(s − p) + (γ − 1)y − σi∗ − σθ(s̄ − s)].
(7)
Recordemos la ecuación (6) de las notas de clase (ya falta menos!):
s = s̄ −
1
(p − p̄).
λθ
(8)
Si utilizamos esta última expresión para remplazar la variable s en la ecuacı́ón (7) de
aquı́ arriba, obtendremos la siguiente expresión:
1
1
∗
p = π η s̄ −
(p − p̄) − p + (γ − 1)y − σi − σθ (p − p̄) .
λθ
λθ
.
Ahora, utilizando la expresión (2) de arriba, de modo de remplazar ahora la variable s̄,
obtendremos la expresión siguiente de la inflación (ya falta bien poco!):
(1 − γ) σ ∗
1
1
∗
+ i −
(p − p̄) − p + (γ − 1)y − σi − σθ (p − p̄) .
p = π η p̄ + y
η
η
λθ
λθ
.
(9)
Noten que, en la ecuación de arriba, se pueden cancelar las variables y e i∗ . Luego,
ordenando algebraicamente esta última ecuación tenemos finalmente que
η + σθ
p = −π η +
(p − p̄) = −v(p − p̄),
λθ
.
donde v ≡ π η +
η+σθ
λθ
. Esta expresión es exactamente la misma que la ecuación (10) en
sus notas de clase.
.
También se puede probar que s = −v(s − s̄). Pero eso lo dejo para ustedes...
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