Sustitución trigonométrica

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Calculo II Integrales Indefinidas
Sustitución Trigonométrica
2012
Matías Cabrera Cancino
Sustitución trigonométrica
Introducción
Como ya sabemos varias técnicas de integración como, por sustitución, integración por
parte, y potencias de las funciones trigonométricas . Ahora conoceremos otra nueva
técnica, las “sustituciones trigonométricas” que sirve para resolver integrales “mas
entretenidas”, cuyo integrando contenga radicales. El propósito de estas sustituciones, es
eliminar los radicales y eso se consigue con Pitágoras.
Tener en mente “siempre” estas identidades trigonométricas:
Profesor: Claudio del Pino
1
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Aplicación del triangulo rectángulo
Si vemos el formulario oficial de integrales indefinidas encontraremos esto en el punto 7:
Si observamos, nos damos cuenta que todas estas integrales tienen un radical (
),
el cual complica la integral. La pregunta es. ¿Cómo se resuelven estas integrales?, ¿Cómo
puedo eliminar el radical?
1.0 Ejemplo:
Si a > 0, hacemos u=a*sin(α), donde (-π/2 ≤ α ≤ π/2). Entonces:
2
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Sustitución trigonométrica:
1.- En integrales que contienen
, hacer la sustitución:
x=a*sin(α)
Así
= a*cos(α), donde
a
x
(-π/2 ≤ α ≤ π/2)
α
Notar que:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.-En integrales que contienen
x=a*tan(α)
Así
= a*sec(α), donde
(-π/2 < α < π/2)
x
α
Notar que:
a
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.- En integrales que contienen
x=a*sec(α)
Así
=a*tan(α), donde
x
(0 ≤ α < π/2) o (π/2 < α ≤ π)
α
Notar que:
a
Nota: las restricciones sobre α, asegura que la función sustituida es inyectiva.
3
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1.2 Ejercicio:
Resolver esta integral:
Entonces tenemos:
3x
2
α
La integral queda:
=
Luego, recordamos el cambio de variable
->
y también
Recordar la identidad: sin (2α)=2sin (α) cos (α)
Podemos concluir :
4
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1.3 Ejercicio:
Resolver:
Sea
2x
θ
1
La integral queda:
->
Recordando que:
También:
Por lo tanto no queda:
1.4 Ejercicio:
Resolver:
x
Nota: la integral se ve difícil, pero la
clave es saber que tipo de sustitución
es, en este caso
θ
con a=
Sea:
5
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La integral queda:
Recordemos que:
-->
También:
Por lo tanto queda :
O bien
=
6
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Ejercicios propuestos
1.
2.
3.
4.
5.
Respuestas:
1.
2.
3.
4.
+C
5.
Desafío
1.-
2.-
7

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