vectores - SILADIN Oriente

Transcripción

VECTORES
AGRADECIMIENTOS
Patiño◄► Nepomuceno
1
VECTORES
2
Deseamos agradecer ampliamente a todos lo que han contribuido para la realización
del presente material.
En primer lugar agradecemos al Colegio de Ciencias y Humanidades y al programa
Iniciativa para Fortalecer la Carrera Académica del Bachillerato de la UNAM
(INFOCAB), por crear las condiciones necesarias para que los profesores puedan
aportar toda su experiencia y creatividad en la elaboración de materiales que beneficien
a los estudiantes en su proceso de aprendizaje.
En segundo lugar, al ingeniero Miguel Ángel Rodríguez Chávez, director del Plantel
Oriente del Colegio de Ciencias y Humanidades, por el apoyo proporcionado en los
trámites de los recursos asignados por INFOCAB, para la realización del proyecto:
“ELABORACIÓN DE MATERIAL DE APOYO PARA LOS CURSOS DE FÍSICA DE I A
IV “.
Nos sentimos en deuda con el licenciado en comunicación Urbano Mateos Cruz por sus
aportes en la revisión y correcciones en relación al contenido del material escrito.
Así mismo, hacemos patente nuestro agradecimiento al ingeniero químico metalúrgico
Ignacio Piña Millán por las sugerencias en el terreno de la didáctica y la pedagogía, así
como en la orientación del contenido del material elaborado.
ATENTAMENTE
Tomás Nepomuceno Serrano
Felipe de J. Patiño Santander
2005
VECTORES
3
Índice
Presentación
1
Las cantidades físicas
1
Definición de magnitud vectorial
2
Definición de magnitud escalar
2
Concepto de magnitud
2
Concepto de dirección
2
Representación de vectores
3
Ejemplos de vectores y escalares
4
Magnitudes vectoriales
4
Magnitudes escalares
5
Algunas propiedades del álgebra de vectores
5
Igualdad de vectores
6
La adición de vectores
6
Método del triángulo
6
Método del paralelogramo
7
Método del polígono
8
El vector negativo
8
Sustracción de vectores
9
El vector cero
9
VECTORES
Multiplicación de un escalar por un vector
4
9
Leyes del álgebra de vectores
10
El vector unitario
11
Los vectores unitarios ortogonales i j k
12
Componentes de un vector
13
Componentes de un vector en dos dimensiones
13
Ejercicios de aplicación
16
Método del triángulo
16
Método del paralelogramo
20
Método de composición y descomposición de vectores
24
Actividades de aprendizaje
33
Problemas propuestos
35
Bibliografía
39
VECTORES
5
VECTORES Y SUS APLICACIONES
PRESENTACIÓN
La finalidad de la lectura es presentar los conceptos elementales sobre el tema de
vectores y sus aplicaciones; la forma de abordar el tema es pensando que el
contenido del material debe enfocarse para estudiantes que cursan la materia de
Física a nivel bachillerato, el material se inicia definiendo qué es un vector y qué
es un escalar.
Una vez definido el concepto de vector, se discuten los conceptos de magnitud,
dirección y sentido, con la intención de que la definición vector quede clara. Desde
un principio se deja establecido cómo se representa analítica y gráficamente los
vectores, lo que resulta útil para el desarrollo del tema.
Sin ninguna profundidad excesiva, se plantea algo sobre el álgebra de vectores, y
se muestra como se crea una estructura axiomática con los mismos, de una
manera similar como se procede con el conjunto de los números reales, lo que
indudablemente, conocen y manejan los estudiantes.
Se recurre al concepto de vector unitario, para darle cierta formalidad al desarrollo
del tema y pensando que los estudiantes continuaran carreras de Ingeniería o
Física, en las que se requiere tener como antecedentes este concepto.
Por lo anterior, se define el concepto de vector unitario, se discute su
representación y se toma como base para introducir los vectores unitarios
ortogonales i, j, k.
Para concluir se plantean ejercicios resueltos, que tienen como propósito mostrar
como se aplica lo desarrollado en el material, además, para ampliar o profundizar
lo expuesto se formulan preguntas y problemas; finalmente se sugiere la
bibliografía relacionada con el tema.
LAS CANTIDADES FÍSICAS
Las cantidades o magnitudes físicas son los elementos de construcción de la física
y por medio de éstas se expresan las leyes de la misma. Las cantidades físicas,
además de otras clasificaciones se pueden dividir en magnitudes físicas
vectoriales y en magnitudes físicas escalares.
VECTORES
6
DEFINICIÓN DE MAGNITUD VECTORIAL
Toda cantidad física que tenga magnitud (o módulo), dirección y sentido, se llama
magnitud vectorial o simplemente VECTOR.
DEFINICIÓN DE MAGNITUD ESCALAR
Toda cantidad física que tenga solamente magnitud (o módulo), se llama magnitud
escalar o simplemente ESCALAR.
CONCEPTO DE MAGNITUD
La magnitud, desde el punto de vista físico, se considera como tamaño, por
ejemplo, es común decir: el tamaño o magnitud de un cuerpo. Desde el punto de
vista matemático, la magnitud es considerada como cantidad o número, razón por
la cual es frecuente usar indistintamente los términos magnitud o cantidad.
En física, los términos magnitud, cantidad, módulo o intensidad se utilizan
indistintamente.
CONCEPTO DE DIRECCIÓN
Usualmente en el lenguaje común y corriente, los términos dirección y sentido se
toman como sinónimos, pero desde el punto de vista físico existe una diferencia.
Para aclarar la situación, tómese por ejemplo, un caso sencillo; una de las
avenidas más conocidas de la zona oriente de la Ciudad de México, es la calzada
Ignacio Zaragoza. La calzada tiene o define una dirección y ésta tiene dos
sentidos uno hacia el centro de la Ciudad (Zócalo) y el otro hacia Puebla.
De acuerdo al ejemplo anterior, se puede implicar que dada cualquier dirección,
ésta tiene dos sentidos.
Es habitual que los alumnos en sus cursos de matemáticas recurran
frecuentemente al uso de sistemas de coordenadas, si el sistema es
unidimensional, elige una línea recta horizontal, sobre ésta fijan un punto arbitrario
como origen y le asignan el cero. Apartir del origen o cero se tiene la posibilidad
de moverse en dos sentidos sobre la recta, uno hacia la derecha y el otro hacia la
izquierda, en otras palabras, en sentido positivo (+) o en sentido negativo ( - ), esta
idea está ilustrada en la figura 1.
VECTORES
7
SENTIDO ( - )
IZQUIERDA
SENTIDO(+)
(+)
(-)
DERECHA (+)
Figura 1. Cualquier línea recta define una dirección, en este
caso se tiene la dirección horizontal y ésta tiene dos sentidos
En el caso de un sistema de dos dimensiones, por ejemplo, el sistema coordenado
rectangular, la dirección de una línea recta cualquiera está dada por el ángulo que
forma dicha línea con el sentido positivo del eje X, es decir, el ángulo se mide de
la dirección de referencia, el eje X, a la línea dada, como se muestra en la figura 2.
Figura 2. En un sistema de
coordenadas rectangulares,
el ángulo θ da la dirección
de la línea recta L.
Se puede observar, en la figura 2, que el ángulo θ da la dirección de la línea recta
L. La línea tiene dos sentidos, lo que se puede enunciar: uno "hacia arriba" y el
otro "hacia abajo".
REPRESENTACIÓN DE VECTORES
Los vectores se representan analítica y
gráficamente; usualmente en la primera se
emplean letras mayúsculas o minúsculas del tipo
negritas, tal como A o a, también se emplea
letras con una fecha colocada en la parte
superior, de la siguiente manera:
La representación gráfica de un vector consiste
en emplear un segmento de recta dirigido, en
VECTORES
8
donde la longitud del segmento es la longitud del vector, la dirección es el ángulo
que forma el segmento con una dirección de referencia (por ejemplo, con la
horizontal), el sentido del vector se indica por medio de una cabeza de flecha,
además, todo vector tiene un punto inicial y punto final, como se ilustra en la figura
3.
Figura 3. Representación gráfica y analítica de un vector.
EJEMPLOS DE VECTORES Y ESCALARES
MAGNITUDES VECTORIALES
DESPLAZAMIENTO. Una persona partiendo
de su casa se desplaza una distancia de
10 km en la dirección NORTE-SUR, con
sentido hacia el NORTE., el desplazamiento
no es igual a la distancia, puesto que ésta
sólo tiene magnitud. El desplazamiento es un
vector, puesto que tiene magnitud, dirección
y sentido, el desplazamiento es una distancia
orientada, es decir, con dirección y sentido.
b) VELOCIDAD. Un automóvil se mueve con una
velocidad cuya magnitud (rapidez) es de 90 km/h,
con una dirección que corresponde a la línea recta
que une al D. F. con Puebla y con un sentido que
va del D. F. a la ciudad de Puebla.
VECTORES
9
c) FUERZA. Suponer que sobre un cuerpo actúa la fuerza F, que tiene una
magnitud de 10 N y cuya dirección es el ángulo de
45° que forma con la horizontal, su sentido está
indicado por la cabeza de flecha, como se muestra
en la figura 4.
Figura 4. La fuerza es un vector, puesto que
posee magnitud, dirección y sentido.
MAGNITUDES ESCALARES
a) MASA. La masa de un cuerpo es un escalar, puesto que
para especificarla completamente sólo se proporciona su
magnitud, la masa no requiere asociarle dirección y sentido.
b) VOLUMEN. El volumen de un cuerpo es un escalar, puesto
que para especificarlo completamente sólo se requiere dar su
magnitud.
c) DENSIDAD. La densidad de un cuerpo es un escalar,
puesto que para su completa especificación sólamente se
requiere dar su magnitud.
ALGUNAS PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE VECTORES
En esta parte se trabaja con vectores deslizantes, en los cuales se toma y
respetan sus magnitudes, direcciones y sentidos, pero no sus puntos iniciales y
finales.
VECTORES
10
LA IGUALDAD DE VECTORES
Dados los vectores A y B, representados gráficamente en la figura 5, se dice que
los vectores son iguales,
A = B, si tiene la misma magnitud, la misma dirección
y el mismo sentido.
Figura 5. Los vectores A y B, son
iguales, A = B, si tienen la misma
magnitud, dirección y sentido.
LA ADICIÓN DE VECTORES
Dados los vectores A y B, la suma A + B se define como el vector C, tal que
A + B = C, donde A y B son los sumandos, el vector C es la suma o resultante
y la operación A + B = C, es la adición.
Para obtener la suma o resultante de dos vectores se emplean usualmente los
métodos del triángulo y del paralelogramo, en los casos que se tengan más de dos
vectores, la suma se determina por medio del método del polígono.
MÉTODO DEL TRIÁNGULO
El método del triángulo, para la suma de vectores consiste en una regla muy
sencilla, la cual se puede resumir de la siguiente manera: Dadas los vectores A y
B, como se muestran en la figura 6, la suma o resultante se consigue trazando el
vector A y en su punto final se coloca el punto inicial de B y se traza, después se
une el punto inicial de A con el punto final de B, obteniéndose el triángulo, tal que
A + B = C.
A
B
=C
+B
B
A
A
Figura 6. El método del triángulo para obtener la suma de vectores.
VECTORES
11
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
El método del paralelogramo para la suma de vectores consiste también en una
regla sencilla en la que, si se tiene los vectores A y B, como los que se muestran
en la figura 7, la suma o resultante se obtiene: trazando los vectores dados,
haciéndolos coincidir en sus puntos iniciales y de los puntos finales se trazan
líneas paralelas a los mismos, lo que permite obtener el punto P, para finalizar se
unen los puntos iniciales con el punto P (punto que resulta del cruce de las
paralelas), de esta manera se determina la suma o resultante C, que es igual la
diágonal del paralelogramo, así que A + B = C.
Es fácil demostrar que los métodos del triángulo y del paralelogramo son
equivalentes, para esto simplemente se tomarán los vectores arbitrarios A y B, y
se suman empleando ambos métodos, como se muestra en la figura 8.
B
B
C
B =
+
A
A
A
Figura 7. El método del paralelogramo para obtener la suma o resultante de dos vectores.
B
A
A
+
B
=
C
B
A
B
A
+
B
=
C
A
Figura 8. Los métodos del triángulo y del paralelogramo son equivalentes.
VECTORES
12
MÉTODO DEL POLIGONO
Para obtener la suma o resultante de dos o más vectores se emplea el método del
polígono, el cual consiste en trazar el primer vector y en su punto final se coloca el
punto inicial del segundo vector y se traza; en seguida se hace lo mismo con el
tercer vector y luego se hace lo mismo con el que sigue, hasta el último. Para
finalizar se une el punto inicial del primer vector con el punto final del último,
obteniendose de esta manera la suma o resultante. En la figura 9, se dan los
vectores A, B, C y D, y se muestra la suma o resultante de los vectores.
A
B
B
C
D
C
A
D
Figura 9. El método del polígono para la suma o resultante de más de dos vectores.
EL VECTOR NEGATIVO
Dado cualquier vector A, se tiene que siempre existe su negativo, el cual se
denota por -A y se define como aquel vector que tiene la misma magnitud, la
misma dirección, pero sentido contrario, en la figura 10, se muestra el vector A y
su vector negativo - A.
A
-A
Figura 10. El vector A y su vector negativo - A.
VECTORES
13
SUSTRACCIÓN DE VECTORES
La diferencia de los vectores A y B se representa analíticamente por A - B y es
igual al vector D, tal que sumado con el vector B, se obtiene el vector A. Para que
la operación sustracción de vectores resulte clara se recurre a la suma de
vectores, la que permite formular la sustracción de la siguiente manera: para restar
el vector B del vector A es decir, para obtener A - B, se suma al vector A el vector
negativo del vector B, o sea - B, obteniéndose A + ( - B ) = A - B = D
A
A
B
+
(- B
-B
)=
-B
A
-B
A
Figura 11. Sustracción de vectores.
En la figura 11 se muestran los vectores A y B, para obtener la diferencia A - B, se
determina el vector negativo de B y se suma al vector A, esto se muestra en la
figura. Se debe señalar que diferencia es un caso particular de la suma
EL VECTOR CERO
Se tiene que dado cualquier vector A, siempre es posible
obtener su negativo - A. Si al vector A se le resta su
negativo resulta el vector 0, es decir, A + ( - A ) = A - A =
0, el vector 0 se llama vector nulo o cero. El vector cero 0,
es un vector que tiene magnitud cero y su dirección no
está especificada.
MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
La multiplicación de un escalar m por un vector A, es otro vector, m A = B, que
tiene la misma dirección que A, pero una magnitud “m” veces la de A y un sentido
igual u opuesto al de A, según sea el escalar m positivo o negativo. Si el escalar m
es igual a cero, m = 0, entonces, 0 A = 0, es decir, se obtiene el vector cero.
VECTORES
14
Para ilustrar el producto de un escalar por un vector, se toma A, el cual se muestra
en la figura 12, si se multiplica el vector A por el escalar 2, se obtiene el vector 2
A = B, donde B es un vector que tiene la misma dirección que A, el mismo
sentido, pero una magnitud igual al doble de A. Si ahora se multiplica el vector A
por el escalar - 2, se obtiene - 2 A = C, donde C es un vector que tiene la misma
dirección que A, una magnitud que es el doble, pero de sentido opuesto al de A. Si
se multiplica el vector A por 1/2, se obtiene 1/2 A = D, el vector D tiene la misma
dirección, su magnitud se reduce a la mitad y su sentido es el mismo. Si el vector
A se multiplica por - 1/4 se obtiene - 1/4 A = E, siendo E un vector con la misma
dirección que A, su magnitud se reduce a la cuarta parte y su sentido es opuesto
al vector A. Finalmente, si se multiplica el vector A por el número 0 se obtiene 0 A
= 0, en otras palabras, el producto del número cero por el vector A resulta el
vector cero 0.
A
2A= B
-2A = C
1
2
-
A = D
1 A =E
4
0A = 0
Figura 12. El producto de un escalar m por un vector A, resulta siempre un
vector.
LEYES DEL ALGEBRA DE VECTORES
Suponer que se tienen los vectores A, B y
C, y los escalares m y n, entonces, se
puede demostrar que se verifican las
siguientes propiedades.
1. Propiedad conmutativa de la adición
2. Propiedad asociativa de la adición
VECTORES
15
3. Propiedad conmutativa del producto por un escalar
4. Propiedad asociativa del producto por un
escalar
5. Propiedad distributiva del producto por un
escalar respecto de la suma de vectores.
6. Propiedad distributiva del producto por un
escalar respecto a la suma de vectores.
EL VECTOR UNITARIO
El vector unitario se define como aquel que tiene magnitud igual a la unidad, es
decir, si â es un vector unitario, entonces, magnitud de â = │â │= 1
Si A es un vector que tiene una magnitud diferente de
cero,
A ≠ 0 (o también │ A │≠ Ä 0 ), resulta que:
A
A
--- = ậ, también se puede expresar ---A
│A│
Despejando el vector A y expresandolo en función de â a se obtiene que:
A = ậ A, lo que también se puede expresar , A = ậ│ A │
VECTORES
16
c
b
B
A
a
A
C
B
C
Figura 13. El vector unitario
Resumiendo, cualquier vector A se puede expresar como el producto del vector
unitario ậ por la magnitud de A, es decir, A = ậ A. Se observa que el vector
unitario ậ le da dirección y sentido a la magnitud A, generando el vector A. En la
figura 13 se dan algunos ejemplos para ilustrar el concepto de vector unitario.
LOS VECTORES UNITARIOS ORTOGONALES i j k
Existe un sistema de vectores unitarios muy importantes, que son mutuamente
ortogonales o perpendiculares y que son denotados por i, j y k.
El vector unitario i está asociado con el eje X y siempre apunta en la dirección
positiva de dicho eje. El vector unitario j está asociado con el eje Y y vector
unitario k con el eje Z y apuntan siempre en las direcciones positivas de los ejes Y
y Z respectivamente.
Figura 14. Sistema coordenado
rectangular en tres dimensiones.
En la figura 14 se muestran los vectores i, j y k colocados sobre un sistema de
coordenadas rectangulares, llamado sitema dextrorsum o a derechas, la
VECTORES
17
denominación se deriva del hecho de que si se coloca en el origen del sistema un
tornillo con rosca a derechas y se gira de OX a OY, el tornillo avanza en el sentido
positivo de OZ.
COMPONENTES DE UN VECTOR
De acuerdo con lo expuesto, se tiene que cualquier vector A en tres dimensiones
se puede representar en un sistema de coordenadas rectangulares, colocando el
punto inicial del mismo coincidiendo con el origen del sistema, como se muestra
en la figura 15. El punto final del vector A, es el punto cuyas coordenadas son
(Ax, Ay, Az). Los escalares o números Ax, Ay y Az se llaman compomentes
rectangulares o simplemente componentes del vector A.
Z
(A
A
X
,A
Y
,A
Z )
Y
Figura 15. Componentes rectangulares de un vector
X
COMPONENTES DE UN VECTOR EN DOS DIMENSIONES
Como la mayoría de las situaciones que se abordan en un curso de Física a nivel
bachillerato, se tratan haciendo uso de un sistema en dos dimensiones, entonces,
se descartará el eje Z y el vector unitario k. En la figura 16, se ilustra un sistema
coordenado rectangular en dos dimensiones señalando los ejes X y Y y sus
vectores unitarios i y j asociados.
VECTORES
18
Y
j
X
i
Figura 16. Sistema coordenado rectangular en dos dimensiones.
Dado un sistema de coordenadas es posible localizar cualquier vector, así como
determinar sus componentes rectangulares. Suponer que se tiene el vector A,
cuyo punto inicial coincide con el origen del sistema, como se muestra en la figura
17. Para encontrar las componentes del vector A se trazan a partir del punto final
del vector líneas perpendiculares a cada uno de los ejes. Se puede observar, la
proyección del vector A sobre el eje X es vector Ax, que resulta igual a i Ax, Ax =
i Ax. La proyección del vector A sobre el eje Y es Ay, y es igual a j Ay, es decir,
Ay = j Ay.
Y
A
A
Figura 17. Las compo
nentes rectangulares
escalares del
vector A son Ax y Ay
Y
A
j
X
i
AX
Resumiendo, dado cualquier vector A en un sistema de coordenadas
rectangulares, se puede descomponer en sus componentes vectoriales Ax y Ay,
los cuales se pueden expresar en términos de sus componentes escalares y los
vectores unitarios i y j, es decir, Ax = i Ax y Ay = j Ay, de tal manera que el vector
A se expresa como: A = Ax + Ay = i Ax + j Ay.
Para ilustrar lo anterior se plantea el siguiente ejercicio: localizar en un sistema de
coordenadas rectangulares los siguientes vectores A = 3i + 4j , B = 7i + 2j y
determinar la suma analítica y gráficamente.
VECTORES
19
Y
C
6 j
A
4 j
B
2 j
X
3i
7 i
10 i
Fig. 18 Representación de la suma de los vectores
Solución:
En este caso si se tiene que A = 3i + 4j y B = 7i + 2j, la suma se obtiene de la
siguiente manera:
A + B = 3i + 4j + 7i + 2j = 10i + 8j
C = A + B = 10i + 8j
Para obtener la suma de A y B, se hace uso de un sistema de coordenadas como
se muestra en la figura 18.
A = 3i + 4j y B = 7i + 2j
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Con el propósito de ilustrar la aplicación de lo desarrollado en la lectura sobre el
tema de vectores, a continuación se presentan las siguientes ejercicios, primero se
plantearán ejemplos para mostrar el empleo del método del triángulo, después se
proponen problemas en donde se emplea el método del paralelogramo y
finalmente ejemplos en donde se usa la composición y descomposición de
vectores.
VECTORES
20
MÉTODO DEL TRIÁNGULO
Ejercicio1. Suponer que una
persona sale de su casa y se
dirige
hacia
el
Este,
desplazandose una distancia
de 3 km, después se dirige al
Norte, recorriendo 4 km.
Determinar el desplazamiento
resultante D.
Solución:
En la figura 19 se muestra el
desplazamiento d1 = 3 km
hacia el Este, dibujado a partir
del origen del sistema de
coordenadas
(casa
del
caminante), en el punto final
del desplazamiento d1, se
coloca el punto inicial del
desplazamiento d2, en el que
d2 = 4 km hacia el Norte. Para
obtener el desplazamiento
resultante se emplea el método del triángulo, por lo que se une el punto inicial de
d1 con el punto final de d2.
N
D
D
d
Θ
E
O
d
Figura 19. El desplazamiento
resultante D es igual a la suma
de d1 y d2, D = d1 + d2.
S
De la figura, se observa que se forma un triángulo rectángulo, por esta razón, para
determinar la magnitud del desplazamiento se aplica el teorema de Pitágoras,
obteniéndose:
________
D2 = d12 + d22, entonces, D = √ d12 + d22, sustituyendo:
______________ ____________
______
D = √(3 km)² + (4 km)² = √9 km2 + 16 km² = √25 km².
Por lo tanto D = 5 km.
VECTORES
21
Para obtener la dirección θ del desplazamiento resultante D, se puede emplear la
función tangente, así que aplicandola al triángulo de la figura 19 resulta:
4 km
4
tan θ = -------- = --- = 1.3333
3 km
3
despejando el ángulo θ se obtiene:
θ = arc tan(1.3333) = tan-1 (1.3333) = 53° 10'
Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento resultante es D = 5 km y su dirección
es θ = 53° 10'
Ejercicio 2. Suponer ahora, que las misma persona del ejemplo 1, partiendo de su
casa se desplaza 5 km hacia el Este, después se dirige a Noreste recorriendo 6
km. Determinar la magnitud y dirección del desplazamiento resultante D.
Solución:
Como en el ejercicio anterior,
una vez trazado el sistema de
coordenadas, se dibujan los
desplazamientos d1 y d2 y
empleando el método del
triángulo se determina el
desplazamiento resultante D,
como se ilustra en la figura 20,
en este caso se tiene que el
triángulo es oblicuángulo.
Aquí no se puede emplear el
teorema de Pitágoras, porque
el triángulo no es rectángulo, así que en este caso se recurre a la ley o teorema de
los cosenos para calcular la magnitud del desplazamiento resultante:
N
Figura 20. La suma de los
desplazamientos d1 y d2
es igual a D, en donde se
tiene que D = d1 + d2
D
D
α
d
S
d
θ
1
45
2
E
VECTORES
22
D² = d1² + d2² - 2d1d2 cos θ, se tiene que d1 = 5 km, d2 = 6 km y θ = 135°,
sustituyendo estos valores se obtiene que:
D² = (5 km)² + (6 km)² - 2(5 km)(6 km) cos 135°
D2 = 25 km2 + 36 km2 - 60 km2 (- 0.7071)
D2 = 61 km2 + 42.42 km2 = 103.42 km2
__________
D = √ 103.42 km2 = 10.16 km.
Para determinar α, la dirección del desplazamiento resultante se emplea la ley de
los senos, obteniéndose:
sen α sen θ
-------- = --------- , despejando a sen α
d2
D
y sustituyendo se obtiene:
sen θ
sen 135°
0.7071
sen α = --------- d2 = -------------- (6 km) = ----------- 6
D
10.16 km
10.16
sen α = 0.4175, así que despajando el ángulo α resulta que: α = arc sen(0.4175) =
sen-1 (0.4175) = 24° 40'
Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento resultante es
D = 10.16 km y su dirección es θ = 24° 40'
Ejercicio 3. Suponer que el mismo
caminante de los ejercicios 1 y 2,
partiendo una vez más de su casa,
primero se desplaza hacia el Este
una distancia d1 = 6 km y luego se
dirige hacia Noroeste una distancia
de d2 = 4 km. Determinar el
desplazamiento resultante D en
magnitud y dirección.
Solución:
VECTORES
23
En la figura 21 se muestran los vectores d1 y d2, así como el desplazamiento
resultante D.
En este caso se tiene que d1 = 6 km, d2 = 4 km, α= 45°, así que para determinar
la magnitud del desplazamiento resultante se emplea el teorema de los cosenos,
sustituyendo los datos se tiene que:
N
D2 = d12+ d22- 2d1d2 cos α
D
D2 = (6km)2+(4km)2 - 2(6km)(4km)cos 45°
2
2
2
2
2
D
β
d2
2
D = 36 km + 16 km - 48 km (0.7017)
2
D = 52 km - 33.88 km = 18.05 Km
2
α
θ
O
D = 4.24 km.
E
S
d1
Figura 21. Empleando el método del triángulo se tiene que D = d1 + d2.
Para determinar la dirección del vector desplazamiento resultante se calcula el
ángulo θ, para lo que se emplea la ley de los senos, la cual establece:
sen θ
sen α
-------- = --------- , despejando a sen θ
d2
D
y sustituyendo se tiene:
sen 45°
0.7071
senθ = ------------- (4km) = ----------- (4) = 0.6670
4.24 km
4.24
entonces θ = arcsen(0.6670) = sen-1(0.6670) = 41° 50'
Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento es 4.24 km y su dirección es θ = 41°
50'
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Ejercicio 4. Una fuerza horizontal de 600 N y una vertical de 400 N, actúan
simultáneamente sobre el mismo cuerpo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
resultante y su dirección con la horizontal?
VECTORES
24
Solución:
Haciendo uso de un sistema de coordenadas se dibujan los vectores como se
ilustra en la figura 22, en la que se han colocado las fuerzas coincidiendo en sus
puntos iniciales y luego se trazan líneas paralelas a los mismas a partir de los
puntos finales, para terminar se unen los puntos iniciales con el punto que obtuvo
con el cruce de las líneas paralelas.
Y
R
400 N
R
Θ
X
600 N
Figura 22. La suma o resultante se obtiene empleando el método del
paralelogramo.
La figura que se forma es un triángulo rectángulo, así que aplicando el teorema de
Pitágoras y sustituyendo se tiene que:
R2 = (600 N)2 + (400 N)2 = 360 000 N2 + 160 000 N2
R2 = 520 000 N2, entonces, calculando la raíz se tiene:
_________
R = √ 520 000 N2 = 721.11 N.
Para obtener la dirección de la fuerza resultante se pueden emplear las funciones,
seno, coseno y tangente, si se usa la tangente se obtiene:
400 N
4
tan θ = ---------- = ---- = 0.6666
600 N
6
despejando el ángulo θ
θ = arctan(0.6666)= tan-1(0.6666)= 33° 40'
VECTORES
25
Por lo tanto, en este caso la magnitud de la fuerza resultante es 721.11 N y su
dirección es 33° 40'
Ejercicio 5. Un bote es remolcado a lo largo
de un canal por medio de dos cables, uno
en cada orilla, como se muestra en la figura
23. Si las fuerzas aplicadas son de 1000 N y
2000 N, respectivamente y el ángulo entre
los cables es de 60°, determinar la magnitud
de la fuerza resultante y el ángulo que
forma ésta con la fuerza de 2000 N.
Solución:
En este problema se emplea el método del paralelogramo porque la disposición de
los vectores sugiere que es lo más apropiado. En la figura 23 se muestra la
situación con toda claridad, puesto que se dan las magnitudes de las fuerzas y el
ángulo que se forma entre ellas.
Para obtener la suma o resultante de las fuerzas que actúan sobre el bote se
emplea el método del paralelogramo.
Se tiene que F1 = 1000 N y F2 = 2000 N, α = 60°, además α + β = 180°, así que β
= 120°, empleando la ley de los cosenos se obtiene:
CANAL
F
1
60°
bote
R
θ
R
β
60°
F2
Figura 23. Para obtener la suma o resultante de las fuerzas que actúan sobre el bote
se emplea el método del paralelogramo.
VECTORES
26
R2 = F12 + F22 - 2F1F2cosβ
R2 = (103 N)2 + (2 x 103)2 - 2(103 N)(2 x 103 N)cos 120°
R2 = 106 N + 4 x 106 N¨ - 4 x 106 N(- 0.5)
R = 5 x 106 N2 + 2 x 106 N2 = 7 x 106 N2
_________
R = √ 7 x 106 N2 = 2 645. 75 N
Para determinar el ángulo θ, es decir, la dirección, se emplea la ley de los senos y
se recurre a la figura 23, de lo que se obtiene:
sen θ
sen β
-------- = --------, despejando al sen θ
F1
R
Sustituyendo se obtiene:
sen β
sen 120°
sen θ = --------- F1 = --------------- (1000 N)
R
2 645.75 N
0.8660
sen θ = -------------- ( 1000 )
2 645.75
sen θ = 0.3273, entonces despejando al ángulo θ se tiene
que: θ =arc sen (0.3273) = sen-1 (0.3273) =
19° 10'
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza
resultante es 2 645.77 N y su dirección es
19° 10'.
Ejercicio 6. Dos fuerzas de 500 N y 800 N
actúan sobre el mismo cuerpo. Si el ángulo
entre ellas es de 120°, calcular la magnitud
de la resultante y su dirección con respecto a
la fuerza de 500 N.
Solución:
VECTORES
27
En este tipo de problemas se puede omitir el sistema de coordenadas y dibujar
simplemente los vectores dados con sus magnitudes correspondientes y
señalando el ángulo que forman entre sí, como semuestra en la figura 24.
Se tiene que F1 = 500 N, F2 = 800 N y α = 120°, de la figura se obtiene que
α
+ β = 180°, así que β = 60°, sustituyendo está información en la ley de los cosenos
resulta:
R
F
2
R
θ
120°
β
F
1
Figura 24. Aplicación del método del paralelogramo, para determinar la resultante
de las fuerzas F1 y F2.
R2 = F21 + F22 - 2F1 F2 cos β
R2= (5 x 102 N)2+(8 x 102 N)2 - 2(5 x 102 N) (8 x 102 N) cos60°
R2 = 25x104N2+64x104N2-80x104N2 (0.5)
R2 = 89 x104N2 - 40x104N2 = 49 x 104 N2
__________
R = √ 49 x 104 N2 = 7 x 102 N = 700 N.
Para determinar la dirección , se calcula el ángulo , el cual se indica en la figura 24
y se obtiene empleando la ley de los senos:
sen θ
sen β
-------- = ---------, despejando sen θ
R
F2
Sustituyendo se obtiene:
0.8660
sen β
sen 60°
------------( 800 )
sen θ = ---------- F2 = ------------ (800 N ) =
700
R
700 N
VECTORES
28
sen θ = 0.9897, entonces, despejando al ángulo θ se tiene θ = arc sen (0.9897) =
sen-1 (0.9897) = 81° 40', por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es
700 N y su dirección es de 81° 40'.
MÉTODO DE COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
Ejercicio 7. Suponer que dos fuerzas actúan sobre un
cuerpo que se encuentra en el origen de un sistema de
coordenadas, las magnitudes de las fuerzas son
F1 = 100 N y F2 = 400 N, las direcciones de cada una de
ellas están indicadas en la figura 25. Determinar la
magnitud y la dirección de la fuerza resultante
Solución:
Para emplear este método es imprescindible el uso de un
sistema de coordenadas, así que el primer paso es trazar
un sistema de coordenadas y luego dibujar los vectores
dados con sus puntos iniciales coincidiendo en el origen
del sistema, señalando las magnitudes y las direcciones de
los vectores como se muestran en la figura 25.
Y
F 2 = 400 N
F 2 SEN 30°
Figura 25. Dados los
vectores F1 Y F2, se
descomponen en sus
componentes
con
respecto al eje X y Y.
1
F = 100 N
1
SEN 60°
60
°
30°
X
F
1
COS 60°
F 2 COS 30°
Se puede observar de la figura, que para la descomposición de los vectores se
procede de la siguiente manera: Del punto final de cada uno de los vectores dados
se trazan líneas perpendiculares a cada un de los ejes de coordenadas. En la
figura se advierte que sobre el eje X se encuentran colocadas las componentes
F1cos60° y F2cos30°; sobre el eje Y se encuentran las componentes F1sen60° y
F2sen30°.
Después de descomponer cada uno de los vectores con respecto a cada uno de
los ejes de coordenadas, se suman las componentes con respecto a cada
VECTORES
29
dirección, es decir, se determina la suma de las componentes en la dirección
horizontal (en la dirección del eje X), la cual usualmente se denota por ΣFx; en
seguida se determina la suma de las componentes en la dirección vertical (en la
dirección del eje Y), la se denota por ΣFy, para obtener las sumas tanto en una
dirección como en la otra se establece que, como las componentes de las fuerzas
se encuentran en la parte positiva de los ejes, son positivas, así que de acuerdo
con la figura 25 resulta:
ΣFx = F1cos60° + F2cos30°
( X.1 )
ΣFy= F1sen60° + F2sen30°
( X.2 )
Es conveniente interpretar cada una de las ecuaciones anteriores, por ejemplo,
para obtener a ΣFx, se suman los términos F1cos60° y F2cos30°, la representación
se hace eligiendo un sistema de coordenadas en el cual colocamos primero en la
dirección horizontal a F1cos60° en el origen del sistema apuntando hacia la
derecha, en seguida, en el punto final de F1cos60° se coloca el punto inicial de
F2cos30° horizontalmente y apuntando también hacia la derecha, para terminar se
une el punto inicial de F1cos60° con el final de F2cos30°, lo que permite determinar
a ΣFx.
Y
R
ΣF
F
2
y
SEN 30°
R
F
1 SEN 60°
θ
F
1
COS 60°
F
2 COS 30°
Σ F
X
x
Para la suma de componentes en la
dirección Y, es decir, para ΣFy, la
situación es similar, puesto que
primero se coloca en el origen del
sistema de coordenadas a F1sen60°
verticalmente y apuntando hacia arriba
(dirección positiva del eje Y), después
se coloca en su punto final el punto
inicial de F2sen30° y se une el punto
inicial de F1sen60° con el punto final de
F2sen30°, obteniéndose a ΣFy, como
se ilustra en la figura 26.
Figura 26. La suma de las componentes en
la dirección X es ΣFx y la suma de las
componentes en la dirección Y es ΣFy
Recurriendo a la figura 26, se puede obtener la suma o resultante, para lo cual se
trazan desde los puntos finales de ΣFx y ΣFy líneas paralelas a los ejes de
coordenadas (método del paralelogramo), consiguiendo un punto en en cruce de
las paralelas.
VECTORES
30
Para determinar la resultantese unen los puntos iniciales de ΣFx y ΣFy con el punto
determinado anteriormente (cruce de las líneas paralelas), de esta manera se
obtiene la suma o resultante. Como el triángulo que se formó es un triángulo
rectángulo, se puede aplicar el teorema de Pitágoras:
R2 = ( ΣFx )2 + ( ΣFy )2, despejando a R resulta que:
_______________
R = √ ( ΣFx ) 2 + ( ΣFy ) 2
( X.3 )
esta expresión permite calcular la magnitud de la resultante
Para obtener la dirección de la resultante, se pueden emplear las funciones seno,
coseno y tangente, de éstas la más usual es la función tangente, así que:
 ΣFy 
tan θ = ---------- , despejando al ángulo θ
 ΣFx 
se obtiene que:
ΣFy
ΣFy
θ = arc tan ( ------- ) = tan-1 ( ------- )
ΣFx
ΣFx
En la expresióm anterior se emplea el valor absoluto.
Regresando al problema, la información que se tiene es F1 = 100 N, θ1 = 60° y F2
= 400 N, θ2 = 30°, así que primero se calculará a ΣFx y a ΣFy empleando las
ecuaciones ( X.1 ) y ( X.2 )
ΣFx = 100 N cos 60° + 400 N cos 30°
ΣFx = 100 N (0.5) + 400 N (0.8660) = 50 N + 346.41 N
ΣFx = 396.41 N.
ΣFy = 100 N sen60° + 400 N sen30°
ΣFy = 100 N (0.8660) + 400 N (0.5) = 86.60 N + 200 N
VECTORES
31
ΣFy = 286.60 N
Para determinar la magnitud de la resultante se emplea la ecuación ( X.3 ), así que
sustituyendo se tiene:
______________________
R = √ (396.41 N)2 + (286.60 N)2
__________________________
R = √ 15 7140.89 N2 + 82 139.56 N2 =
_____________
R = √ 239 280.45 N2
R = 489.16 N
El ángulo θ se determina empleando la ecuación ( X.4 ):
286.60 N
286.60
θ = arc tan ( ---------------) = arc tan ( ------------)
396.41 N
396.41
θ = arctan(0.7229) = tan-1(0.7229)= 35° 50'
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es:
R = 489.16 N y su dirección es θ = 35° 50'.
Ejercicio 8. Suponer que tres fuerzas actúan sobre un cuerpo que
está colocado en el origen de un sistema de coordenadas, las
magnitudes y las direcciones se indican en la figura 27 y son:
F1
= 400 N, θ1 = 30°; F2 = 300 N, θ2 = 60°; F3 = 500 N, θ3 = 45°.
Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.
Solución:
El primer paso es realizar la descomposición de cadaY una de las fuerzas dadas
con respecto a X y Y. En la figura 27, se muestra con toda claridad la situación.
F3
Figura 27. Descomposición
de las fuerzas F1, F2 y F3
con respecto a los ejes de
coordenadas X y Y
F 3 SEN Θ 3
2
F1
F SEN Θ
1
1
Θ2
Θ
X ( -)
F COS Θ
3
3
F
F SENΘ 2
2
3
Θ1
F 2 COS Θ 2
X ( +)
F 1 COS Θ 1
VECTORES
32
En seguida se suman las componentes de las fuerzsa colocadas en la dirección X,
estableciendo la convención de que los vectores que apuntan hacia la derecha
son positivos y los que apuntan hacia la izquierda son negativos, por lo que
resulta:
ΣFx = F1cosθ1 + F2cosθ2 + F3cosθ3, sustituyendo se tiene
ΣFx = 400 N cos30° + 300 N cos60° - 500 N cos45°
ΣFx = 400 N(0.8660) + 300 N(0.5) - 500 N(0.7071)
ΣFx = 346.4 N + 150 N - 353.55 N = 142.85 N.
Para obtener la suma con respecto Y, en está dirección la convención que se
establece es que los vectores que apuntan hacia arriba son positivos y aquellos
que apuntan hacia abajo son negativos, de acuerdo con ésto se tiene que:
ΣFY = F1senθ1 + F2senθ2 + F3senθ3, sustituyendo se tiene
ΣFy = 400 N sen30° + 300 N sen60° + 500 N sen45°
ΣFy = 400 N (0.5) + 300 N (0.8660) + 500 N (0.7071)
ΣFy = 200 N + 259.8 N + 353.55 N = 813.35 N
Una vez calculadas ΣFx = 142.85 N y ΣFy = 813.35 N, se determina la magnitud de
la fuerza resultante empleando el teorema de Pitágoras, así que:
____________
_____________________
R = √ (ΣFx)2 + (ΣFy)2= √ (142.85 N)2 + (813.35 N)2
_____________________
R = √ (142.85 N)2 + (813.35 N)2
_________________________
R = √ 20 406.12 N2¨ + 661 538.22 N2 =
____________
R = √ 681 944.34 N2
R = 825.79 N.
La dirección se determina empleando la función
tangente, así que:
ΣFx 813.35 N
813.35
tan θ = -------- = --------------- = ------------ = 5.6937
ΣFy 142.85 N
142.85
VECTORES
33
Despejando el ángulo θ se tiene que:
θ = arc tan (5.6937) = tan-1(5.6937) = 80°
Por lo tanto, el valor de la magnitud de la fuerza resultante es R = 825.79 N y la
dirección es θ = 80°.
Ejercicio 9. En este problema suponer que los vectores dados se encuentran
colocados sobre los ejes de coordenadas como se muestra en la figura 28.
Determinar las magnitudes de las compomentes de los vectores en las direcciones
X y Y.
Solución:
Se tiene que las componentes de cualquier vector F en las direcciones X y Y son
respectivamente Fx = Fcosθ y Fy = Fsenθ, supónga que la magnitud del vector F
es F y su dirección se indica en la figura 28.
a) Como Fx = F cosθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 0, se obtiene:
Fx = F cos0° = F(1) = F, así que: Fx = F.
Como Fy = F senθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 0°, se obtiene:
Fy = F sen 0° = F(0) = 0, así que Fy = 0.
Por lo tanto, un vector F paralelo o colocado sobre el eje X, tiene una componente
horizontal Fx igual en magnitud al vector F y una componente vertical Fy igual a
cero, es decir: Fx = F y Fy = 0.
Y
Y
F
F
Θ = 0°
F
a)
Θ = 90°
F
X
X
b)
Figura 28. a) El vector F tiene una magnitud igual a F y su dirección es θ = 0°.
b) El vector F tiene magnitud igual a F y su dirección es igual a θ = 90°.
VECTORES
34
b) Como Fx = F cosθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 90°, se obtiene:
Fx = F cos90° = F(0) = 0, así que: Fx = 0.
Como Fy = F senθ, sustituyendo el valor del ángulo θ = 90°, se obtiene:
Fy = F sen90° = F(1) = F, así que: Fy = F.
Por lo tanto, para el caso de un vector paralelo o colocado sobre el eje Y, es
decir, cuya dirección es θ = 90°, resulta que: Fx = 0 y Fy = F.
Ejercicio10. Suponer ahora que se tienen cuatro fuerzas actúando sobre un
cuerpo que se encuentra colocado en el origen de un sistema de coordenadas, las
magnitudes y direcciones de las fuerzas son: F1 = 200 N, θ1 = 30°; F2 = 300 N,
θ2 = 45°; F3 = 400 N, θ3 = 30° y F4 = 500 N, θ4 = 60°, las cuales están
representadas en la figura 29. Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza
resultante.
Solución:
Como ya fue señalado en los ejercicios anteriores, en este tipo de problemas el
primer paso es descomponer cada uno de los vectores dados con respecto a los
ejes X y Y. En la figura 29, se muestran los vectores y sus componentes en las
direcciones del los ejes X y Y.
Una vez realizada la descomposición de los vectores dados, en seguida se
obtiene la suma de las componentes con respecto a X y Y.
ΣFx = F1 cosθ1 + F4 cosθ4 – F2 cosθ2 – F3 cosθ3,
sustituyendo los datos se obtiene:
ΣFx=200Ncos30° + 500Ncos60° - 300Ncos45° - 400Ncos30°
ΣFx= {200(0.8660)+500(0.5)+300(0.7071)+400(0.8660)} N
ΣFx = ( 173.20 + 250 - 212.13 - 346.41) N
ΣFx = - 135.34 N.
VECTORES
35
ΣFy = F1 senθ1 + F2 senθ2 – F3 senθ3 – F4 senθ4,
sustituyendo los datos se obtiene:
ΣFy=200 N sen30°+ 300 N sen45° - 400 N sen30° - 500 N sen60°
Y( +)
Figura 29. Descomposición
de los vectores F1, F2, F3 y
F4 con respecto a los ejes
de coordenadas.
F2
F 2 SENΘ 2
F 1 SE N Θ 1
F 2 COS Θ 2
Θ 2
Θ 1
X( - )
Θ 4
Θ3
F 3 COS Θ 3
F1
F 1 CO S Θ 1
X ( + )
F 4 COSΘ 4
F 3 SENΘ 3
F3
F
4 SEN
Θ
4
Y(-)
ΣFy =200N(0.5) + 300N(0.7071) - 400N(0.5) - 500N (0.8660)
ΣFy = 100 N + 212.13 N - 200 N - 433 N ; ΣFy = - 320.87 N.
Para determinar la magnitud de la resultante se tiene:
____________
R = √ (ΣFx)2 + (ΣFy)2
_______________________
R= √ (- 135.34 N)2 + (- 320.87 N)2
__________________________
R = √ 18 316.91 N2 + 102 957.56 N2
____________
R = √ 121 274.48 N2 ; R = 348.24 N.
Para obtener la dirección se emplea la función tangente:
ΣFy - 320.87 N
320.87
tan θ = -------- = ------------------ = ------------ =
ΣFx - 135.34 N
135.34
F 4
VECTORES
tan θ = 2.3708
36
Despejando el ángulo θ se tiene:
θ = arctan(2.3708) = tan-12.3708) = 67° 5'
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante es R = 348.24 N y la dirección es
θ = 67° 5'.
PREGUNTAS
1. ¿Qué es magnitud desde el punto de vista físico?_______________________
_________________________________________________________________
2. ¿Qué es una magnitud vectorial?_____________________________________
_________________________________________________________________
2. ¿Qué es una magnitud escalar?_____________________________________
_________________________________________________________________
3. Dar tres ejemplos de cantidades vectoriales.___________________________
_________________________________________________________________
5. Dar tres ejemplos de cantidades escalares._____________________________
_________________________________________________________________
6. Expresar las diferencias entre la suma de desplazamientos y la suma de
distancias._________________________________________________________
_________________________________________________________________
VECTORES
37
7. Enunciar de una manera breve en qué consiste el método del
triángulo.__________________________________________________________
_________________________________________________________________
8. Enunciar de una manera breve en qué consiste el método del
paralelogramo.______________________________________________________
________________________________________________________________
9. Cuando se suman tres o más vectores, ¿qué método gráfico de adición de
vectores escogería usted?. Muestrar cómo se prodría usar el método del
paralelogramo para sumar tres o más vectores.____________________________
_________________________________________________________________
10. ¿Cómo se procede para descomponer un vector en un sistema de
coordenadas?______________________________________________________
_________________________________________________________________
11. ¿Cómo deben estar orientados dos vectores para que el módulo del vector
suma sea el mayor posible? ¿Y para que sea el menor posible?_______________
_________________________________________________________________
12. ¿Puede un vector resultante ser menor que sus componentes X y Y?
Expliacar__________________________________________________________
_________________________________________________________________
.
13. ¿Pueden dos vectores desiguales dar un vector resultante cero?___________
_________________________________________________________________
14. ¿Es posible que la suma de dos vectores de módulos 6 y 4 respectivamente
sea un vector de módulo?____________________________________________
_________________________________________________________________
15. ¿Es posible que la suma de dos vectores de módulos 4 y 3 respectivamente
sea un vector de módulo 8?___________________________________________
_________________________________________________________________
VECTORES
38
1. a) Localicar en un sistema de coordenadas los siguientes vectores: A = 2i - 3j ;
B = - 2i + 3j ; C = 5i + 3j, D = 7i + 4j. b) Determinar gráfica y analíticamente:
A + B y C - D.
2. Dos fuerzas de 200 N y 300 N, actúan sobre el mismo cuerpo formando un
ángulo recto una con la otra. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza
resultante.
3. Un bote en un canal es remolcado
por dos autos, mediante dos cables
que forman entre sí un ángulo de 45°.
Si las magnitudes de las fuerzas son
500 N y 800 N, respectivamente,
¿cuál es la magnitud y dirección (con
respecto a la fuerza de 800 N) de la
fuerza resultante?
4 Un aeroplano vuela al Suroeste 200 km,
luego vira hacia el Este 300 km, cuando es
forzado a aterrizar. ¿A qué distancia y en
qué dirección está el avión de su base?
VECTORES
39
5. Toño, paseando en su bicicleta a 8 km/h, va hacia el
Sur durante 2 h, luego da vuelta y se dirige al Este
durante 1.5 h. Determinar la magnitud y dirección de
su desplazamiento resultante.
6. Determinar en un diagrama la resultante de un desplazamiento A de 3 km hacia
el Norte, seguido de un desplazamiento B de 5 km hacia el Este. Repetir el
procedimiento, suponiendo que el primer desplazamiento fue B, seguido del
desplazamiento A. Comparar las magnitudes, las direcciones y los sentidos de los
dos resultados, y obtener una conclusión.
7. Si una fuerza que tiene una magnitud de 150 N forma un ángulo de 35° con la
horizontal, ¿cuánto valen sus componentes en la dirección horizontal y vertical
respectivamente.
F
35°
8. Un cable arrastra un carro de mina
con una fuerza de 120 N en una
dirección de 37° sobre la horizontal.
Encontrar las componentes horizontal y
vertical de esta fuerza.
VECTORES
40
9. Las componentes rectangulares, Vx y Vy, de un vector V, valen Vx = 6 cm y
Vy = 8 cm. a) ¿Cuál es la magnitud del vector V. b) ¿Cuál es el ángulo que V forma
con eje X?.
10. Un avión a una cierta altura, partiendo de un punto A, se desplaza a 4 km,
hasta el punto B, manteniendose en la misma altitud. En seguida, todavía
manteniéndose a la misma altura, se desplaza 3 km, en ángulo recto con la
dirección AB, hasta el punto C. A partir de C sube verticalmente, recorriendo una
distancia de 5 km, llegando al punto D. a) Esbozar el dibujo de los
desplazamientos del avión. b) ¿Cuál es la magnitud del vector desplazamiento
resultante AD del avión?.
11. Para cada uno de los casos de la figura de este problema, calcular la magnitud
de las componentes del vector D en las direcciones de X y Y. Suponer que la
magnitud de D es │D│ = D = 100 km.
Y
Y
Y
D
D
D
D
Θ = 0°
D
D
Θ = 90°
Θ = 45°
X
X
X
Calcular mediante el método de descomposicion rectangular la resultante
(magnitud y direccion) de los siguientes sistemas de fuerzas.
Y(+)
12. Si F1 = 300 N,
θ1 = 45°
F2 = 500 N,
θ2 = 60°
F2
F1
Θ 2
Θ 1
X( - )
Y(-)
X(+)
VECTORES
41
Y(+)
F1
13. Si F1 = 400 N, θ1 = 60°
F2 = 200 N, θ2 = 45°
F3 = 500 N, θ3 = 30°
F2
Θ 2
Θ 1
X( - )
Θ
X(+)
3
Y(-)
F 3
14. Si F1 = 200 N, θ1 = 45°
F2 = 300 N, θ2
F3 = 500 N, θ3 = 30°
F4 = 200 N, θ4
Y(+)
F 1
F2
Θ 1
X( - )
Θ
X(+)
3
F4
F3
Y(-)
15. Dos hombres y un muchacho desean arrastrar un cajón en la dirección
señalada con X en la figura. Los dos hombres jalan con fuerzas F1 y F2, cuyas
direcciones y magnitudes están indicadas en la misma figura. Determinar la
dirección y la magnitud de la fuerza mínima que debe ejercer el muchacho.
F1 = 500 N, θ1 = 60°
F2 = 400 N, θ2 = 30°
F1
60°
X
30°
F2
VECTORES
42
BIBLIOGRAFíA BÁSICA.
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2. Louis Brand. “Análisis Vectorial”. Compañía Editorial Continental, S.A.
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3. Harry Lass. “Análisis Vectorial y Tensorial”. Compañía Editorial Continental,
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6. Lea S., “Física: La naturaleza de las cosas” International Thompson
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7. Alvarenga G., Beatriz y Ribeiro Da Luz A., Máximo. Física General con
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8. Tippens E. Paul.; Física Conceptos y Aplicaciones. Mc Graw-Hill., México,
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9. Cetto Ana María, Dominguez Héctor, Lozano Juan Manuel, Tambutti Romilio y
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11. Alonso Marcelo y Rojo Onofre. Física Mecánica y Termodinámica. Fondo
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