Homotecia I - Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Homotecia I - Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Guía de Trabajo
Geometría I
Presentación: Esta guía de trabajo pretende desarrollar el concepto de
homotecia y algunas de sus propiedades.
Actividades de Aprendizaje
Introducción.
Haz clic en la siguiente imagen y responde las siguientes preguntas:
Con respecto al polígono ABCDE:
¿Qué sucede con el polígono
A’B’C’D’E’ cuando mueves el punto O?
¿Qué sucede con el mismo polígono
cuando mueves el punto E’?
Para la situación anterior, diremos que el polígono A’B’C’D’E’ es una HOMOTECIA
del polígono ABCDE. En principio, definiremos una homotecia de una figura F como
una figura F’, semejante con la primera y que tiene “la misma orientación”.
Veamos ahora algunos ejemplos. Haz clic en las siguientes imágenes y sigue las
instrucciones:
Definición.
Volvamos a la primera figura, esta vez
un poco modificada. Como habrás
notado, para que el polígono A’B’C’D’E’
conserve la forma y orientación del
polígono ABCDE, necesita que los lados
correspondientes de ambos polígonos se
mantengan paralelos. Pero, tal como
puedes observar en esta figura, al
mover el punto O obtienes distintas
homotecias en distintas ubicaciones del
plano, y al mover el punto E’, obtienes
homotecias de distintos tamaños.
Haz clic en esta imagen.
Esto quiere decir que una homotecia F’ depende del punto O y del tamaño que
queremos que tenga la figura F’.
Formalmente, se define una homotecia de centro O y razón k a la
transformación que hace corresponder a un punto A otro A’, alineado con A y O,
tal que: OA’ = k * OA.
La definición anterior (que ya estudiaremos en una figura con Cabri) significa que
una homotecia es una transformación que conserva tanto la forma (no modifica
sus ángulos) como la orientación (los lados correspondientes resultan paralelos) de
la figura, más no necesariamente su tamaño.
Ejercicio
Construye una homotecia de centro O y talque A’ sea el vértice correspondiente
del punto A para el siguiente triángulo:
El punto A’ de la figura anterior es móvil, y permite que tu construcción genere
todas las homotecias de centro O. Observa ahora la siguiente figura y responde las
siguientes preguntas:
¿Qué tiene que suceder para que la
razón k varíe su valor?
¿Qué sucede si A’ coincide con A?
¿Qué sucede cuando A’ coincide con O?
¿Qué sucede con el orden de los puntos
del segmento A’D’ cuando A’ pasa más
allá de O?
Haz clic en la imagen
Cuando A’ se ubica en la prolongación de OA, más allá de O, se dirá que la
homotecia es inversa (observa lo que sucede en esta figura cuando la homotecia
se ubica detrás de O). Algunos autores indican esto diciendo que la razón k es
negativa, pero en geometría euclidiana esta interpretación es errónea, pues las
cantidades negativas no existen en el plano.
¿Homotecia de una circunferencia?
Así es. Pero uno podrá preguntarse qué gracia tiene, pues ya todas las
circunferencias son semejantes y conservan una misma orientación. Pues bien, es
probable que haya sido justamente éste el problema que dio origen a la
homotecia, por lo que merece una pequeña mirada.
Dado que una circunferencia no es un polígono, la homotecia de una
circunferencia debe ser definida de manera algo distinta.
Ejercicio
¿Cómo construirías la homotecia de centro O y razón k de una circunferencia
dada?
En función de tu respuesta, intenta dar una definición de una homotecia para
circunferencias.
Si te sirve de ayuda, observa el siguiente ejemplo, que consiste en encontrar el
centro de homotecia para dos circunferencias dadas.
Une A y B mediante una recta.
Traza un radio cualquiera en alguna de
las dos circunferencias.
Traza el diámetro paralelo a este radio
en la otra circunferencia.
Une mediante segmentos a P con los
extremos de este diámetro.
Las intersecciones de este segmento con
la recta inicial son los centros de
homotecia (directo e inverso) buscados.
Haz clic en la figura.
Formalmente, la homotecia de centro O y razón k de una circunferencia de centro
A y radio R se define como la circunferencia cuyo centro A’ está en el segmento
OA y tal que su radio R’ = k * R.
Para finalizar, define la homotecia inversa para circunferencias. Dado que todas las
circunferencias son semejantes, ¿tiene sentido práctico una definición de
homotecia inversa? Justifica con ejemplos.
Ejercicios
- La homotecia es un concepto desarrollado por los antiguos geómetras, y
tiene su origen en problemas de la vida diaria. ¿Puedes plantear algunas
situaciones en los que haya alguna homotecia?
- Si F’ es una homotecia de razón k de un polígono F, ¿cuál es el perímetro de
F’? ¿Y cuál es su área?
- Ya sabemos que la semejanza de figuras define una relación de
equivalencia. ¿Sucede lo mismo con las homotecias de razón k cualquiera?
- Prueba que la relación “A<B ssi A es homotecia de B, con centro O fijo y
razón k cualquiera, no menor que 1” define una relación de orden.
- Si F’ es una homotecia de centro O y razón k de un polígono F, ¿existe una
homotecia que transforme F’ en F? Justifica tu respuesta.
- Inscribe en el triángulo ABC dado un triángulos P’Q’R’, semejante a uno
PQR dado: