Ecuaciones homogéneas y ecuaciones lineales. Aplicaciones a las

Ecuaciones homogéneas y ecuaciones lineales. Aplicaciones a las

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 19
(17 abr. 2012)
Ecuaciones homogéneas y ecuaciones lineales.
Aplicaciones a las familias de curvas ortogonales
1.– Ecuaciones homogéneas. 2.– Reducción de una ecuación homogénea a una separable. 3.– Ecuaciones diferenciales
lineales de primer orden. 4.– La ecuación diferencial de una familia de curvas. 5.– Familias de curvas ortogonales.
1 Ecuaciones homogéneas.
Se llama función homogénea de dos variables a toda función f (x, y) tal que para cualquier constante k se
cumple
f (kx, ky) = k n f (x, y),
es decir, f (x, y) es homogénea si al multiplicar x e y por una misma constante “la constante sale fuera”
elevada a algún exponente. El exponente n con el que sale la constante k se llama el grado de la función
homogénea.
Los principales ejemplos de funciones homogéneas son los polinomios homogéneos, por ejemplo:
x 2 + y2,
x 2 y,
3x + 2y,
e incluso una función de una variable:
f (x, y) = x 3 .
Pero aparte de los polinomios homogéneos hay muchas otras funciones homogéneas, como por ejemplo los
cocientes de polinomios homogéneos (funciones racionales homogéneas) y sus raı́ces de distintos ı́ndices.
Ejercicio 1
Demostrar que el cociente de una función homogénea de grado m entre una función homogénea de grado
n es otra función homogénea de grado m n.
Se llama ecuación diferencial homogéna a toda ecuación diferencial de la forma
M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0,
(1)
donde las funciones M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Toda ecuación diferencial homogénea se puede escribir en la forma
dy
= f (x, y),
dx
(2)
donde f (x, y) es una función homogénea de grado cero. Concretamente:
M(x, y)
.
N (x, y)
f (x, y) =
Recı́procamente, toda ecuación de la forma (2) es una ecuación diferencial homogénea, de forma que
la definición de ecuaciones homogéneas mediante (1) es equivalente a la definición mediante (2).
2 Reducción de una ecuación homogénea a una separable.
La clave para reducir una ecuación homogénea como la (2) a una separable consiste en la siguiente propiedad de las funciones homogéneas de grado cero:
f (x, y) = f (x · 1, x · xy ) = x 0 f (1, xy ) = f (1, xy ).
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Esto nos permite reducir la ecuación (2) a una separable mediante el sencillo cambio de variable
y
.
x
z=
Para realizar el cambio ponemos,
zx = y,
z 0 x + z = y 0 = f (x, y) = f (1, xy ) = f (1, z)
con lo cual nuestra ecuación queda
z 0 x + z = f (1, z),
Ejemplo 1
Comprobar que la ecuación (x + y)dx
a una ecuación separable.
dz
f (1, z)
o bien
z
=
dx
x
y)dy = 0 es homogénea y resolverla mediante su reducción
(x
Claramente x + y y x
y son funciones homogéneas del mismo grado ya que ambas son polinomios de grado 1. Por tanto sabemos que el cambio z = y/x transformará la ecuación en una separable.
Primeramente introducimos ese cambio para obtener
(1 + z)dx
Ahora diferenciando zx = y,
(1
z)dy = 0.
x dz + z dx = dy
con lo que la ecuación se transforma en
0 = (1 + z)dx
= dx + z dx
= dx + z dx
= (1 + z 2 )dx
de donde
(1
(1
z)(x dz + z dx)
z)x dz (1 z)z dx
(1
z)x dz
z)x dz
(1
z dx + z 2 dx
dx
1 z
=
dz
x
1 + z2
e integrando,
ln x =
Z
z
z1
1 t
dt = arctan z
1 + t2
p
ln 1 + z 2 + c
donde hemos tomado el valor de z para x = 1, z 1 = z(1) = y1 y la constante c es
q
c = ln 1 + y12 arctan y1
deshaciendo el cambio z = y/x encontramos la solución en términos de y:
q
p
y
arctan + c = ln x + ln 1 + z 2 = ln x 2 + y 2
x
q
q
y
arctan xy +c
2
2
;
x +y =e
x 2 + y 2 = kearctan x ; o en polares: r = ke✓ .
3 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que consiste en una combinación lineal de
la función incógnita y su derivada igualada a una función conocida de la variable independiente. Los
coeficientes en dicha combinación lineal también son funciones conocidas de la variable independiente, ası́
que la forma general de dicha ecuación es:
A(x)y 0 + B(x)y = C(x).
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Hay que observar que toda ecuación diferencial lineal de primer orden es equivalente a otra en el que el
coeficiente y 0 es igual a 1. Esto se consigue dividiendo toda la ecuación por A(x) para escribir la ecuación
en la forma:
y 0 + p(x)y = q(x)
(3)
donde
B(x)
C(x)
, q(x) =
.
A(x)
A(x)
La resolución de la ecuación (3) se hace en tres pasos:
p(x) =
1. Hallamos una primitiva cualquiera de la función p(x). Sea f (x) =
f 0 (x) = p(x).
R
p(x)dx, lo cual es decir:
2. Observamos que si y es una solución de nuestra ecuación (3) la derivada de la función y(x) · e f (x) es
una función conocida:
⌘
d ⇣
y · e f (x) = y 0 e f (x) + y · e f (x) f 0 (x) = y 0 e f (x) + y · e f (x) p(x) = y 0 + p(x)y e f (x) = q(x)e f (x)
dx
3. La observación anterior nos permite calcular el producto y(x) · e f (x) mediante una integración y de ahı́
despejar la solución:
Z x
f (x)
y(x) = e
q(t)e f (t) dt
x0
Una observación interesante es el hecho de que en el cálculo de la primitiva f (x) no hay porqué
preocuparse por incluir una constante de integración ya que de todos modos se canceları́a al multiplicar por
e f (x) .
Ejemplo 2
y
Resolver la ecuación diferencial lineal y 0 + = 3x
x
(observa que esta es equivalente a x y 0 + y = 3x 2 y esta a (x y)0 = 3x 2 cuya solución es x y = x 3 + k).
En este caso p(x) = 1/x, f (x) = ln x, e f (x) = x y la solución es:
Z
x 3 x03
1 x 2
c
y=
3t dt =
,
y = x2
o también
x x0
x
x
x3
x y = c.
4 La ecuación diferencial de una familia de curvas.
La forma más frecuente de definir una familia de curvas es como la familia de curvas de nivel de una
función de dos variables, es decir, la familia de las intersecciones de la gráfica:
z = f (x, y)
con los planos z = cte.
Por ejemplo, la familia de las circunferencias con centro en el origen es la familia de las curvas de nivel
de la función f (x, y) = x 2 + y 2 .
Un método un poco más general de definir una familia de curvas es a partir de la ecuación de una
superficie g(x, y, z) = 0 y definir la familia como las curvas obtenidas al intersecar esta superficie con los
planos z = cte.
Toda familia de curvas obtenida de esta forma es también la familia de soluciones de una ecuación
diferencial que se puede hallar derivando la ecuación
g(x, y, k) = 0
(4)
respecto a x o respecto a y (la z se mantiene constante e igual a k para no cambiar de una curva a otra de la
familia).
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Si al derivar desaparece la constante k, el resultado es la ecuación diferencial buscada. Esto es lo que
ocurre con la familia de circunferencias centradas en el origen: Derivando
x 2 + y2 = k
respecto a x obtenemos
2x + 2yy 0 = 0 ,
y0 =
o bien:
x
.
y
Hemos obtenido la ecuación diferencial de las circunferencias con centro en el origen.
Pero puede ocurrir que al derivar la ecuación de la familia de curvas no desaparezca la constante k. En
ese caso tenemos que eliminarla despejándola de la ecuación (4) y sustituyendo su valor en la ecuación
obtenida al derivar. Veamos un ejemplo de ésto.
La familia de las circunferencias tangentes al eje y en el origen es la familia definida por
a)2 + y 2 = a 2
(x
donde a es la abscisa del centro y por tanto el radio es |a|.
Derivando respecto a x,
2(x
a) + 2yy 0 = 0 o bien
x + yy 0 = a.
Vemos que la constante no ha desaparecido, por lo tanto tenemos que despejarla de la ecuación de la
familia, que se puede escribir: x 2 + y 2 = 2ax, de donde
a=
x 2 + y2
2x
y la ecuación diferencial de la familia queda
x + yy 0 =
x 2 + y2
2x
o bien
y0 =
x 2 + y2
.
2x y
5 Familias de curvas ortogonales.
El interés que tiene para nosotros el poder hallar la ecuación diferencial de una familia de curvas radica en
el hecho de que a partir de ella es muy sencillo escribir la ecuación diferencial de la familia de las curvas
ortogonales a las de la primera familia.
En el ejemplo de las circunferencias centradas en el origen la familia ortogonal es la de las rectas que
pasan por el origen y en el caso de las circunferencias tangentes al eje y en el origen, la familia ortogonal
es la de las circunferencias tangentes al eje x en el origen.
Si sabemos que la ecuación diferencial de una familia de curvas es
y 0 = f (x, y),
la ecuación diferencial de la familia ortogonal es simplemente
y0 =
1
.
f (x, y)
La razón de ello es que si m es la pendiente de una recta, la pendiente de una recta cualquiera perpendicular
a ella es 1/m. Ahora bien, f (x, y) es la pendiente en el punto (x, y) de la curva de la primera familia que
pasa por ese punto (ya que es igual a y 0 y sabemos que y 0 es la pendiente de la recta tangente). Por tanto,
la pendiente en (x, y) de la curva de la familia ortogonal que pasa por ese punto es la inversa y opuesta, o
sea, 1/ f (x, y).
En el caso de las circunferencias con centro en el origen, cuya ecuación diferencial hemos visto que es
y 0 = x/y, la familia ortogonal tiene ecuación y 0 = y/x o
dy
dx
=
.
y
x
La solución de esta ecuación es ln y = ln x + c y poniendo m = ec esta solución se convierte en y = mx
que es la ecuación de la familia de rectas que pasan por el origen.
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