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Transcripción

MATEMÁTICA
Unidad 3
Resolvamos ecuaciones
de segundo grado y
apliquemos técnicas
de conteo
Objetivos de la Unidad:
Interpretarás y resolverás con seguridad, situaciones problemáticas
escolares y sociales, utilizando ecuaciones de segundo grado.
Resolverás con seguridad y confianza problemas de conteo,
además los que involucran combinaciones y permutaciones.
55
deducción de
Ecuaciones cuadráticas
clasificación en
Formula cuadratica
Completas
Incompletas
resueltas por
del tipo
Completación de
cuadrados
Factorización
Puras
resueltas por
Mixtas
resueltas por
Propiedad de
raíces cuadradas
Factoreo
Técnicas de conteo
utiliza
Principio fundamental de conteo
o de la multiplicación
para
encontrar
Permutaciones
para
encontrar
Combinaciones
Descripción del proyecto
Al final de esta unidad ayudarás a repartir un terreno entre cinco familias que se
quedaron sin vivienda por las lluvias; para lo cual utilizarás ecuaciones cuadráticas y
técnicas de conteo.
56 Matemática - Noveno Grado
Tercera Unidad
Lección 1
Ecuaciones cuadráticas
Motivación
El salón de clases de Luisa es rectangular tiene de largo
2 metros más que el ancho si ambas dimensiones se
aumentaran en 4 metros, el área aumentará en 144 m 2
encuentra las nuevas dimensiones del salón.
Indicadores de logro:
Determinarás con interés los elementos y características que
tiene una ecuación de segundo grado.
Diferenciarás las ecuaciones completas e incompletas, puras
y mixtas a partir del número de sus términos mostrando
confianza.
Retomando la situación anterior, puedes plantearla de la
siguiente manera:
Sea: x el ancho
Sea: x + 2 el largo.
El área de un rectángulo es igual al producto del largo
por el ancho tienes entonces que (A = b × h)
A1 ( x ) = x ( x + 2 )
= x 2 + 2x
Aumentando en 4 metros cada dimensión, tienes:
Nuevo ancho: x + 4
Nuevo largo: x + 2 +4 = x + 6
La nueva área será:
A2 ( x ) = ( x + 4 )( x + 6 )
= x 2 + 10 x + 24
Resolverás ecuaciones cuadráticas incompletas puras y
mixtas, trabajando con orden y limpieza.
Resolviendo
la ecuación:
x 2 + 10 x + 24 − x 2 − 2 x = 144
ya que A2 ( x ) − A1 ( x ) = 144
10 x − 2 x = 144 − 24
8 x = 120
120
x=
8
x = 15 metros (ancho)
Área inicial: 15 ancho; y 17 largo
Largo = x + 2
= 15 + 2
= 17
Entonces: 15(17) = 255 m2
Área final con el aumento: 19 ancho y 21 de largo
entonces tienes 19(21) = 399 m2
Comprobación: 399 − 255= 144 m2
2
A este tipo de función A2 ( x ) = x + 10 x + 24 se le
llama función cuadrática o de segundo grado, la cual
igualándola a cero, produce una ecuación cuadrática.
Noveno Grado - Matemática 57
UNIDAD 3
Una ecuación cuadrática en la variable x es una
ecuación que puede escribirse en la forma:
ax 2 + bx + c = 0
En donde a, b, c son números reales y a ≠0
Ejemplo 1
Encuentra el valor de a, b y c para las siguientes
ecuaciones cuadráticas completas:
a)
6 x 2 + 6 x − 1= 0
2
En la expresión planteada x + 10 x + 24 = 0
a = 6
Tienes que: a = 1, b = 10 y c = 24
b)
a = 1
b = 10 coeficiente de x
c)
c = 24 término independiente
a = 1,
d)
Una ecuación cuadrática es completa, si los coeficientes
a, b, y c. Son todos diferentes de cero.
Son ecuaciones cuadráticas completas:
a)
2x + 3x + 1= 0
2
b) 10 x 2 − 15 x + 18
c)
3
1
−5 x − x + = 0
2
4
2
1
5
x2 + x −
3
8
Escribe en tu cuaderno tres ecuaciones cuadráticas
completas.
d)
y
c= 1
2 x 2 − 13 x + 15 = 0
a = 2
coeficiente de x2
b = 1,
b = 13 y
c= 15
x 2 − 8x − 5 = 0
b = 8
y
c= − 5
−10 y 2 + 20 y − 15 = 0
a = −10
b = 20 y
c= − 15
Ejemplo 2
Escribe cada ecuación en la forma x2 + bx + c = 0
a)
x 2 − 5 x + 18 = 6 x − 6
Igualas a cero.
x 2 − 5 x + 18 − 6 x + 6 = 0
Sumas términos semejantes.
x 2 − 11x + 24 = 0
b)
3 x 2 + 8 x = 12 x + 15
Igualas a cero.
3 x 2 + 8 x − 12 x − 15 = 0
3 x 2 − 4 x − 15 = 0
c) 10 y 2 − 2 = 9 y 2 + 2 − 5 y
10 y 2 − 2 − 9 y 2 − 2 + 5 y = 0
Igualas a cero.
y2 +5 y − 4=0
UNIDAD 3
Ejemplo 3
Escribe cada ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0
a)
x ( 3 x + 1) = 2
3 x 2 + x = 2 3 x 2 + x − 2 = 0 b) 16 ( z − 1) = z
Eliminas paréntesis.
Igualas a cero.
( z + 8)
16 z − 16 = z 2 + 8 z 16 z − 16 − z 2 − 8 z = 0 Distribuyes para eliminar paréntesis.
Igualas a cero.
− z 2 + 8 z − 16 = 0 Sumas términos semejantes.
z 2 − 8 z + 16 = 0 Multiplicas por (− 1) ambos lados de la ecuación.
(3 y − 1)( 2 y + 1) = 3( 2 y + 1)
(3 y − 1)( 2 y ) + (3 y − 1)(1) = 3( 2 y + 1) Distribuyes el primer paréntesis sobre (2y + 1)
(3 y )( 2 y ) − 2 y + 3 y − 1= 3( 2 y + 1) Distribuyes.
c)
6 y 2 − 2 y + 3 y − 1= 6 y + 3
6 y − 2 y + 3 y − 1− 6 y − 3 = 0 2
Igualas a cero.
6 y2 −5 y − 4=0 Sumas términos semejantes.
1
Actividad
1. Para las siguientes ecuaciones cuadráticas, encuentra el valor de a, b y c.
y 2 − 2π y − 3π 2 = 0
1 2 1
b) 0.3 x 2 − x − 0.8 = 0 d) y + y − 1 = 0
2
2
2. Escribe las siguientes ecuaciones en la forma ax2 + bx + c = 0
a)
−2 x 2 + 3 x + 5 = 0 a) 18 x + 2 x = x 2 − 5 x
b)
y ( 9 + y ) = 4 ( 2 y + 5) c)
c)
( x + 1)( x − 4 ) + 2x = x ( 2x + 3)
d)
( y + 2 )( 2 y + 3 ) = ( y + 2 )
2
Ecuaciones cuadráticas incompletas
Observa la ecuación 2 x 2 − 8 = 0 ¿Es una ecuación cuadrática completa?
2
¿Qué le hace falta para ser completa? Ahora, observa esta otra ecuación 4 x + 6 x = 0 ,
¿Qué le hace falta para ser completa?
Una ecuación cuadrática incompleta es de la forma ax + c = 0 , que carece del
término en x, o de la forma ax 2 + bx = 0 que carece del término independiente.
2
UNIDAD 3
Ecuación cuadrática incompleta pura
2
Es de la forma ax + c = 0 donde los valores de a y de c son distintos de cero
Ejemplo 4
2
Escribe las ecuaciones cuadráticas en la forma ax + c = 0 y encuentra el valor de a y c.
a)
x 2 − 20 ; x 2 − 20 = 0 ; a = 1 y c = −20
b)
−16 x 2 = −48 ; −16 x 2 + 48 = 0 ; a = 16 y c = −48
c)
2
5 x 2 − 20 = 3 x 2 + 30 ; 5 x 2 − 20 − 3 x 2 − 30 = 0 ; 2 x − 50 = 0 a = 2 y c = −50
d)
4 y 2 − 80 = 20 ; 4 y 2 − 80 − 20 = 0 ; 4 y 2 − 100 = 0 ; a = 4 y c = −100
Ecuación cuadrática incompleta mixta
Es de la forma ax 2 + bx = 0 donde los valores de a y de b son distintos de cero.
Ejemplo 5
Escribe cada ecuación en la forma ax 2 + bx = 0 y encuentra el valor de a y de b.
2 y 2 = −4 y
2 y2 + 4 y =0
a = 2, b = 4
a)
b) 5x2 – 4x = 5x – 2x2
5x2 – 4x – 5x + 2x2 = 0
7x2 – 9x = 0
a = 7, b = − 9
c) 10x (2x – 3) = (3x – 8)5x
20x2 – 30x = 15x2 – 40x Eliminas paréntesis
Igualas a cero
20x2 – 30x − 15x2 + 40x = 0
2
Sumas términos semejantes
5x + 10x = 0 a = 5, b = 10
d) (x – 3)2 = 5x2 – 2x +9
x2 – 6x +9 = 5x2 – 2x +9
2
x – 6x +9 − 5x2 + 2x – 9 = 0
− 4x2 – 4x = 0
4x2 + 4x = 0
a = 4, b = 4
Elevas al cuadrado el binomio.
Igualas a cero.
Multiplicas por (− 1).
Si no multiplicas por (− 1) puedes concluir que: a = − 4 y b = − 4.
UNIDAD 3
2
Actividad
Determina qué tipo de ecuación cuadrática son las siguientes, y luego, escríbelas igualando a cero.
Haz la actividad en tu cuaderno.
Ecuación
Cuadrática
completa
Cuadrática
incompleta pura
4x = x2
5y + 2 = y2
x (x + 8) = 0
3x2 + 7 = x2 + 13
1 – 9x2 = x (x + 1)
5x2 = 9 – x2
y – y2 = 11y2 + 3y
Cuadrática
incompleta mixta
x2 – 4x = 0
¿Qué es resolver una ecuación cuadrática?
Es encontrar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. A esos valores se les
llama raíces de la ecuación.
Así, para x2 = 25, los valores que satisfacen la ecuación son:
x = 5 y x = − 5, ya que (5)2 = 25 y (−5)2 = 25. Y para la ecuación (x – 1)2 = 0
¿Puedes decir que valores de x satisfacen (es raíz) esa ecuación? Muy bien x = 1
satisface ya que (1 – 1)2 = 0; se cumple.
Observa
Observa la ecuación x2 = − 9.
¿Tiene raíces la ecuación?
Las raíces de una ecuación cuadrática
son los valores de la incógnita que
satisfacen la ecuación.
No tiene porque cualquier valor de x elevado al cuadrado (potencia par) es un número
no negativo.
Incompletas puras:
Considera la ecuación x2 = 25.
x 2 = 25
x = 5. Luego x = ± 5 ; las raíces son x = 5, x = − 5.
Considera ahora la ecuación 3 x 2 − 12 = 0
12
3 x 2 = 12
Es decir
x2 = =4 3
( x − 2 )( x + 2 ) = 0
x2 − 4=0 , Recuerda:
Punto de apoyo
x2 = x
Para x ∈R
x es siempre positivo −3 = 3
Observa que x = 2 ó x = −2 cumplen la ecuación por lo que son raíces de ellas.
UNIDAD 3
En general tienes que:
a) Puedes obtener las raíces aplicando la raíz cuadrada para:
x 2 = d x 2 = d x = d Luego x = − d ó x = d Ecuación dada.
Extraes raíz cuadrada.
Aplicas propiedad
Siempre que d > 0.
b) Luego obtienes raíces aplicando factorización.
Para x 2 = d con d > 0
x − d x + d = 0 Igualas a cero.
Factorizas diferencia de cuadrados.
x − d =0 ó x + d =0 x = d ó x = − d Propiedad del factor cero.
Despejas x .
(
)(
)
Punto de apoyo
Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen la misma solución
Ejemplo 6
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas puras aplicando raíz cuadrada.
a)
2 x 2 = 72 b)
−3 x 2 + 5 = 0
Solución:
72
2
; x = 36
2
x 2 = 36 Aplicas raíz cuadrada y resuelves
x
=
6
x
=
−6
x
=
6
−5
despejas x 2
b) −3 x 2 + 5 = 0 ;
−3 x 2 = −5 ;
x2 = −3
5
5
2
2
x = ; x =
Aplicas raíz cuadrada
3
3
53
x = . Aplicas propiedad
33
a)
2 x 2 = 72 ; x 2 =
15
3
15
=
3
=
Luego x =
15
− 15
y x=
Son las raíces de la ecuación.
3
3
UNIDAD 3
Incompletas mixtas.
Considera la ecuación 2 x 2 − x = 0 , la cual es equivalente a x ( 2 x − 1) = 0
1
¿Puedes encontrar una solución o raíz? ¿Prueba con x = 0 y con x = . Habrás comprobado que los valores que
2
probaste son raíces de la ecuación dada. Este tipo de ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la propiedad del
factor cero, que dice así:
El producto de dos números reales a y b es cero, si y sólo si al menos uno de los
factores es cero. En símbolos: a.b = 0 si y sólo si a=0 ó b=0
Ejemplo 7
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas
aplicando la propiedad del factor cero.
de aquí tienes:
x ( 2 x − 1) = 0 x = 0 ó 2 x − 1 = 0 aplicas propiedad del factor cero
1
x = 0 ó 2 x = 1 , x = Despejas “x“
2
1
Luego son raíces x = 0 y x=
2
2
b) 15 x − 20 x = 0
a)
5 x ( 3 x − 4 ) = 0 Obtienes factor común.
5 x = 0 ó 3 x − 4 = 0 Aplicas propiedad del factor cero
0
4
x = ; 3 x = 4 x = Despejas x
5
3
x=0
4
x = son las raíces de la ecuación.
Luego x = 0 y
3
Verifica en tu cuaderno que estos valores cumplen la ecuación.
Actividad
3
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando raíz
cuadrada o factorización.
a)
5 x 2 = 9 c)
3 x 2 = 18
b)
2 x 2 = 3 d)
7 m 2 − 210 = 0
2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la
propiedad del factor cero.
a)
4 x 2 + 8x = 0 b) 10 y
2
− 50 y = 0 c) 17 x
2
d) 14 y
Resumen
En esta lección estudiaste la ecuación general de una
ecuación cuadrática completa, ax 2 + bx + c = 0 . Así
mismo estudiaste la ecuación general incompleta pura
(ax 2 + c = 0 ) y también la ecuación incompleta mixta:
(ax 2 + bx = 0 )
Resolviste ecuaciones cuadráticas incompletas puras
y mixtas utilizando la aplicación de la raíz cuadrada, la
factorización y la propiedad del factor cero.
Ecuación incompleta
Raíces o solución
− 8x = 0
2
−3 y =0
ax 2 + c = 0
x =−
c
c
ó x
a
a
UNIDAD 3
Autocomprobación
a)
3
¿Cuáles son las raíces para la ecuación 3 x 2 = 21 ?
a) x = 7 y x = −7
b) x = 7 y x = − 7
5 x = 45
2
3x 2 − 2x = 0
c) x ( x − 7 ) = 9
d) 16 x 2 = 4 − 10 x 2
b)
En las siguientes ecuaciones, ¿cuál es una
ecuación cuadrática incompleta pura?
18 − x 2 = 2 x 2 − 3
b) 2 x 2 − 9 x = 0
a)
2x 2 − 9x = 1
x ( x − 3) = 0
3. b.
c)
d)
4
Los valores de “x” que satisfacen la
ecuación 3 x 2 − 7 x = 0
3
7
7
b) 0 y − 3
a)
0 y
2. a.
2
x = ±49
d) x = 63 y x = −63
c)
7
3
c) 0
y
d) 0
y −
1. c.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones cuadráticas
es completa?
3
7
Soluciones
1
4. c.
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y SU ORIGEN
La ecuación de segundo grado y su solución
tienen origen antiguo. Se conocieron algoritmos
para resolverla en Babilonia y Egipto.
TM07P110
Biblioteca de Alejandría
En Babilonia, la tablilla cuneiforme contiene
abundante material relativo a la resolución de
ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
En Grecia fue desarrollada por el matemático
Diofanto de Alejandría.
La solución de las ecuaciones de segundo grado
fue introducida en Europa por el matemático
judeo español Abraham bar Hiyya, en su
Liber embadorum.
Lección 2
Tercera Unidad
Métodos de Solución de una ecuación cuadrática
Motivación
A
María y Juan les regalaron una pequeña porción de
tierra para sembrar hortalizas. Les dieron estos datos: es
un cuadrado y el valor de su perímetro es igual al valor del
área. Las unidades están en metros. Ellos quieren saber
las dimensiones del terrenito. ¿Puedes tú ayudarles a
encontrar las dimensiones?
Resolverás con perseverancia problemas utilizando
ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y mixtas.
Aplicarás correctamente el método completando trinomios
para encontrar raíces en ecuaciones cuadráticas.
Resolverás ecuaciones cuadráticas aplicando el método
cuadrado perfecto.
Ahora, encuentra las dimensiones del territorio. Le llamas “x” a un lado del cuadrado,
luego, ¿cuál es su perímetro? Muy bien, es 4x ¿cuál es su área? es x2 .
Como el valor del perímetro es igual al del área entonces planteas la siguiente ecuación:
x 2 − 4x , x 2 − 4x = 0 x 2 − 4 x = 0 x ( x − 4 ) = 0 x =0 ó x − 4=0 x = 0 ó x = 4 Observa que es una ecuación incompleta mixta.
La ecuación formada.
Descompones en factores.
Aplicas propiedad del factor cero.
Despejas x.
En este caso x = 0 no es la solución buscada ya que no habría terreno, pero x = 4 es una
solución lógica. Así las dimensiones del terreno son de 4 metros por lado.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas
2
Recuerda una ecuación cuadrática completa es de la forma ax + bx + c = 0
Método por factorización o descomposición en factores.
Siempre que puedas factorizar, una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 también
puedes aplicar la propiedad del factor cero.
UNIDAD 3
Ejemplo 1
2
Resuelve por factorización la ecuación x + 2 x = 15
Solución:
x 2 + 2 x = 15 x 2 + 2 x − 15 = 0 ( x − 3 )( x + 5 ) = 0 x −3=0 ó x + 5=0 x = 3 ó x = −5 Escribes la ecuación.
Igualas a cero la ecuación.
Utilizas la propiedad del factor cero.
Resuelves cada ecuación lineal.
Luego el conjunto solución es {−5 , 3}
Comprueba en tu cuaderno, las soluciones, sustituyendo cada valor en la
ecuación original.
Ejemplo 2
Encuentra el conjunto solución para la ecuación y 2 − 4 y + 18 = 6 y + 2
y 2 − 4 y + 18 = 6 y + 2 y 2 − 4 y + 18 − 6 y − 2 = 0 y 2 − 10 y + 16 = 0 ( y − 8 )( y − 2 ) = 0 y − 8 = 0 ó y − 2 = 0 y = 8 ó y = 2 Escribes la ecuación.
Igualas a cero la ecuación.
Utilizas la propiedad del factor cero.
Resuelves cada ecuación lineal.
Ejemplo 3
Encuentra la resolución de la ecuación cuadrática 9 x 2 + 16 = 24 x , justifica cada paso.
Solución:
9 x 2 + 16 = 24 x
9 x 2 + 16 − 24 x = 0
(3 x − 4 )(3 x − 4 ) = 0
− 12x
3x − 4 = 0 ó 3x − 4 = 0
3x = 4 ó 3x = 4
4
4
ó x=
3
3
Observa que la solución es repetida, cuando esto ocurra diremos que la ecuación
4
cuadrática tiene solución doble. Así, el conjunto solución es
3
x=
Ejemplo 4
{}
Se ha modificado una ventana cuadrada para convertirla en rectangular. La nueva base
es 4 pulgadas más que la base original, y la altura es el doble disminuido en 18 pulgada.
UNIDAD 3
Así el área de la ventana actual supera en 24 pulgadas cuadradas al área de la ventana
original. Encuentra:
a) La medida del lado de la ventana original.
b) Las dimensiones de la nueva ventana.
Solución:
Ventana original (cuadrado)
Ventana actual (rectangular)
x
2x - 18
x
x+4
Área del cuadrado: x2
Área del rectángulo: (x + 4) (2x − 18)
Como el área del rectángulo supera en 24 pulg2 al área del cuadrado inicial. Entonces:
( x + 4 )( 2 x − 18 ) = x 2 + 24 2 x 2 − 10 x − 72 = x 2 + 24 2 x 2 − 10 x − 72 − x 2 − 24 = 0 x 2 − 10 x − 96 = 0 ( x − 16 )( x + 6 ) = 0 x − 16 = 0 ó x + 6 = 0 x = 16 ó x = −6 Escribes la ecuación.
Multiplicas los binomios.
Igualas a cero.
Descompones en factores y verifica en tu cuaderno.
¿Qué propiedad utilizas aquí?
¿Cuál de estas dos soluciones te parece lógica?
Muy bien, se descarta x = − 6 porque las dimensiones de un cuadrado son siempre
positivas. La solución x = 16 satisface las condiciones del problema. Verifícala en
tu cuaderno.
La respuesta es:
a) la longitud del lado de la ventana original es de 16 pulgadas.
b) Las dimensiones de la nueva ventana son 20 pulgadas por 14 pulgadas.
(Verifícalas sustituyendo x = 16 en x + 4 y 2x – 18)
Actividad
1
1. Resuelve por el método de factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas.
a)
x 2 + 5 x = −6 b) y 2 = 12 − y c)
3x 2 − 7 x + 2 = 0
d) 10 x 2 + 13 x − 3 = 0
2. Si las ganancias de una pequeña empresa son de − x 2 + 160 x − 4800 , donde x representa el
número de unidades x que producirán ganancias de 1200. (Este ejercicio tiene dos soluciones posibles)
UNIDAD 3
Método por completación del cuadrado.
Para x 2 = 4 Se tiene que x = 2 ó x = − 2
Para x 2 = 25 , ¿cuáles valores de x cumple la ecuación?
2
En general para x = d con d > 0 tienes:
x 2 − d = 0 ( x − d )( x + d ) = 0 Igualas a cero.
x − d =0 ó x + d =0 x = d ó x = − d Aplicas propiedad del factor cero.
Resuelves las ecuaciones lineales.
De lo anterior se enuncia la propiedad de raíces cuadradas:
2
Si x = d donde d >0 , entonces x = ± d
Una ecuación de la forma ( x + h ) = k , donde el primer miembro es el cuadrado de
un binomio que contiene la incógnita y el segundo miembro es constante positiva,
puedes resolverla aplicando la propiedad de raíces cuadradas.
2
Ejemplo 5
2
Resuelve la ecuación ( x − 2 ) = 9
Solución:
Utilizas la propiedad de raíces cuadradas y obtienes que:
x −2= 9 ó x −2= − 9
x − 2 = 3 ó x − 2 = −3
x = 5 ó x − 2 = −5
Comprueba estas soluciones
sustituyéndolas en la ecuación dada.
Para resolver una ecuación cuadrática
como se hizo en el ejemplo 12, primero
tienes que tener el cuadrado de un
binomio igualado a un número positivo
y para ello debes completar el cuadrado.
Observa el siguiente ejemplo.
UNIDAD 3
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Resuelve x 2 + 8 x − 9 = 0 completando cuadrados.
Justifica cada paso en la solución de la ecuación
2
cuadrática 2 x = 10 x + 12 resuelta por el método de
completación de cuadrados.
Solución:
x 2 + 8x − 9 = 0
Solución:
Escribes la ecuación.
x 2 + 8x = 9
2 x 2 = 10 x + 12
2 x 2 − 10 x = 12
2
Dejas los términos de x y x a un solo lado.
x 2 − 5x = 6
8
8
x + 8 x +   = 9 +   Sumas el cuadrado del
 2
 2
coeficiente de x dividido entre 2.
Divides entre 2 para obtener 1 de coeficiente de x 2
x 2 + 8 x + 16 = 9 + 16
25
25
x 2 − 5 x +   = 6 +  
 4
 4
2
2
2
Efectúas la operación:
2
5
5
x − 5x +   = 6 +  
 2
 2
2
2
2
( x + 4 ) = 25
2
Factorizas el trinomio cuadrado perfecto.
x + 4 = 25 ó x + 4 = − 25
Utilizas la propiedad de raíces cuadradas.
x + 4 = 5 ó x + 4 = −5
x = 1 ó x = −9
Resuelves la ecuación lineal.
Comprueba en tu cuaderno que las soluciones cumplen
con la ecuación dada.
5  49

 x −  =
2
4
49
5
49
5
x− =
ó x − =−
2
4
2
4
5
7
5 7
x − = ó x − =−
2 2
2
2
7 5
12
ó x =− +
2
2 2
x = 6
x=−1
Luego el conjunto solución es {−1 , 6 } . Comprueba
estas soluciones en la ecuación dada.
x=
UNIDAD 3
Ejemplo 8
La figura que se muestra, corresponde a un triángulo rectángulo.
x
Encuentra el valor de x. (Justifica cada paso en la solución)
Solución:
x−7
Utilizas el teorema de Pitágoras y obtienes.
x 2 + ( x − 7 )2 = (13 )2
x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 169
2 x 2 − 14 x = 169 − 49
2 x 2 − 14 x = 120
x 2 − 7 x = 60
2
2
 7
 7
2
x − 7 x +   = 60 +  
 2
 2
49
49
x 2 − 7 x + = 60 +
4
4
2
7  289

 x −  =
2
4
13
Punto de apoyo
Teorema de pitagoras:
c 2 = b 2 + a2
7
289
7
289
x− =
ó x − =−
2
4
2
4
7 17
7 17
x− =
ó x − =−
2 2
2
2
17 7 24
17 7
x= + =
ó x =− +
2 2 2 2 2
x = 12 ó x = −5
El valor de x = −5 no es solución ya que las dimensiones del
triángulo son valores positivos. Por lo tanto x = 12 es una
solución lógica a este ejercicio.
Ejemplo 9
La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36
al producto de los números. Encontrar ambos números.
Solución:
Primer número: x
Segundo número: (48 – x)
x 2 − ( 48 − x )2 = x ( 48 − x ) + 36 Escribes la ecuación.
2
2
2
x − 2304 + 96 x − x − 36 = 48 x − x ¿Qué propiedad utilizaste aquí?
2
Igualas a cero.
x + 48 x − 2304 = 0 ¿Qué se ha hecho aquí?
( x + 78 )( x − 30 ) = 0 ¿Qué propiedad utilizas aquí?
x + 78 = 0 ó x − 30 = 0 Resuelves las ecuaciones lineales.
x = −78 ó x = 30 Los números son 30 y 48 −30 = 18. Se elimina − 78 porque no es número natural.
UNIDAD 3
Ejemplo 10
La base de un pequeño terreno rectangular donde se siembra algodón mide 4
metros más que el doble de su altura. El área del terreno es de 448 metros cuadrados.
Encontrar las dimensiones del terreno.
Solución:
Altura: x pies.
Base: (2x + 4) pies.
x ( 2 x + 4 ) = 448 Escribes la ecuación.
2
2 x + 4 x − 448 = 0 Igualas a cero.
2
x + 2 x − 224 = 0 Divides entre dos.
( x + 16 )( x − 14 ) = 0 Factorizas.
x + 16 = 0 ó x − 14 = 0 ¿Qué utilizaste?
x = −16 ó x = 14 Resuelves.
La altura del rectángulo es 14 metros y su base es 2(14) + 4 = 32 metros
2
Actividad
1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completación de cuadrados.
a)
x 2 + 7 x + 6 = 0 c)
3x 2 = 7 x − 2
b)
x 2 − 7 x − 30 = 0 d)
3 x 2 = 32 + 20 x
2. Encuentra el valor de x en el triángulo rectángulo que
se muestra a continuación.
x+2
5
x+1
Resumen
En esta lección resolviste ecuaciones cuadráticas por el método de factorización para el cual
utilizaste la propiedad del factor cero.
Por otra parte resolviste ecuaciones cuadráticas por el método de completación de cuadrados
en la cuál aplicaste la propiedad de raíces cuadradas.
UNIDAD 3
Autocomprobación
¿Cuál es el conjunto solución para la ecuación
cuadrática x 2 + x − 6 = 0 ?
c)
d)
b)
c)
d)
¿Para cuál ecuación cuadrática es x = 4 una
solución?
a)
x 2 − 16 x = 0
b)
(x − 4 )2 = 0
c)
b y d son correctas
d)
x 2 − 6x + 8 = 0
4
{−3 ,13}
{5 ,8}
{7 , 5}
{8 ,13}
¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene una solución doble?
2
2
1

 x +  = 4 c) ( x − 3 ) = 16
3
2
1

b)  x +  = 0 d) x 2 − 3 x − 18 = 0

3
a)
3. a.
2
a)
2. c.
b)
{2 ,3}
{−3 , 2}
{−2 ,3}
{−2 , −3}
Para la ecuación cuadrática (x – 5)2 = 64 el conjunto
solución es:
1. b.
a)
3
Soluciones
1
4. b.
TRIPLETAS PITAGÓRICAS
TM7P118
tarea de un alumno en
1700 a.C
Problemas numéricos tales como el de las
tripletas pitagóricas (a, b, c) con a2 + b2 = c2
fueron estudiados desde al menos
el 1700 a. C. Los sistemas de ecuaciones
lineales fueron estudiados en el contexto de
resolver problemas numéricos. Las ecuaciones
cuadráticas también fueron estudiadas y estos
ejemplos llevaron a una especie de
álgebra numérica.
Por ejemplo, al calcular la hipotenusa de un
triángulo rectángulo cuyos catetos se conocen y
son iguales, llegamos a una ecuación cuadrática
de la forma x2 = 2a2 cuya solución es x = a 2
Tercera Unidad
Lección 3
Fórmula general de una ecuación cuadrática
Motivación
Una empresa pequeña desea construir un edificio
en un terreno rectangular que tiene un perímetro
de 300 m y un área de 5,400 m 2 . Le preguntan al
administrador cuáles son las dimensiones del terreno.
¿Puedes tú ayudarle a encontrar las dimensiones
del terreno?
Deducirás y explicarás con interés la fórmula general que
desarrolla ecuaciones de segundo grado a partir de una
ecuación cuadrática.
Calcularás las soluciones para ecuaciones cuadráticas,
aplicando la fórmula general con orden y seguridad.
Resolverás problemas utilizando la fórmula general.
Fórmula general de una ecuación cuadrática
Considera el terreno y rotula con “x” el largo y “y”
el ancho.
Con la información dada en el dibujo de la derecha
puedes escribir:
Perímetro: 2 x + 2 y = 300
Área: xy = 5 , 400
Considera la ecuación del perímetro y despeja “y”.
2 x + 2 y = 300
x + y =150
y = 150 − x
UNIDAD 3
Ahora, sustituyes el valor de y en la ecuación del área y obtienes:
x (150 − x ) = 5 , 400 Ecuación en función de “x”.
2
150
x
−
x
=
5
,
400
2
Igualas a cero.
150 x − x − 5 , 400 = 0 2
Multiplicas por (−1) y ordenas.
x −150 x + 5 , 400 = 0 2
x −150 x = −5 , 400 2
2
150 
150 


2
Completas trinomio cuadrado perfecto.
x −150 x +
= −5 , 400 +
 2 
 2 
2
 150 
 x −
 = 225
2 
Efectúas la operación. Compruébala.
Ejemplo 1
( x − 75 )2 = 225 x − 75 = − 225 ó x − 75 = 225
Justifica cada paso en la deducción de la fórmula general
para resolver una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0
con a ≠ 0
Aplicas propiedad de raíces cuadradas.
x − 75 = −15 ó x − 75 = 15
Solución:
x = 60 ó x = 90
Comprueba esta solución.
Para x = 60, y = 150 – 60 = 90
Para x = 90, y = 150 – 90 = 60
Observa que para cualquiera de los dos valores las
dimensiones del terreno son
de 60 × 90.
Así, como resolviste el ejercicio anterior puedes deducir
la fórmula general para encontrar las raíces de una
ecuación cuadrática completa.
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + bx = −c
b
c
x2 + x =−
a
a
c
b 2
b
b 2
x 2 + x +   = − +  
 2a 
a
a  2a 
2
c b2
b 

 x +  = − + 2
2a
a 4a
b  −4 ac + b 2

 x +  =
2a
4a 2
2
b 2 − 4 ac
b
−4 ac + b 2
b
x + =−
ó x+ =
2a
4a 2
2a
4a 2
x+
b 2 − 4 ac
b 2 − 4 ac
b
b
=−
ó x+ =
2a
2a
2a
2a
b 2 − 4 ac
b 2 − 4 ac
b
b
−
ó x =− +
2a
2a
2a
2a
2
2
−b − b − 4 ac
−b + b − 4 ac
x =−
ó x=
2a
2a
x =−
Luego el conjunto solución de la ecuación cuadrática es:
 −b − b 2 − 4 ac −b + b 2 − 4 ac
,

2a
2a




UNIDAD 3
El ejemplo anterior nos permite escribir la fórmula cuadrática
La ecuación cuadrática ax + bx + c = 0 dónde a ≠ 0 , tiene como raíces o solución:
−b + b 2 − 4 ac
−b − b 2 − 4 ac
x=
y x=
2a
2a
2
La expresión b2 − 4ac que aparece dentro del radical se llama: “discriminante”.
Ejemplo 2
Resuelve 4 x 2 = 8 x + 5 utilizando la fórmula.
Solución:
4 x 2 = 8 x + 5 4 x 2 − 8 x − 5 = 0 a = 4 , b = −8 , c = −5 −( −8 ) ± ( −8 )2 − 4( 4 )( −5 ) x=
2( 4 )
8 ± 64 + 80
8
8 ± 144
=
8
x=
Escribes la ecuación.
Igualas a cero.
Identificas los coeficientes a, b y c.
Sustituyes a, b y c en la fórmula cuadrática.
Efectúas las operaciones.
8 ± 12
De aquí obtienes dos valores.
8
8 − 12
4
1
8 + 12 20 5
x=
= = y x=
=− =−
8
8 2
8
8
2
Observa, ¿qué signo tiene el valor del discriminante? ¿Y cuántas soluciones existen?
Muy bien continuemos.
x=
Ejemplo 3
2
Resuelve la ecuación 9 x + 12 x + 4 = 0
Solución:
a = 9 , b = 12 y c = 4 Sustituyes en la ecuación cuadrática:
−(12 ) ± (12 )2 − 4( 9 )( 4 ) −12 ± 144 − 144
x=
=
2( 9 )
18
12
2
−12 ± 0
x=
=− =−
18
18
3
Observa el discriminante, es igual a cero. En este caso solo hay
una solución real que se llama doble solución.
UNIDAD 3
Ejemplo 4
Encuentra la solución para: 2 x 2 − 3 x + 5 = 0
Solución:
Para la ecuación tienes que a = 2, b = −3 y c = 5. Sustituyes en la fórmula y obtienes:
x=
−( −3 ) ± ( −3 )2 − 4( 2 )( 5 ) 3 ± 9 − 40
=
2( 2 )
4
=
3 ± −31
4
Observa el discriminante, ¿Qué signo tiene?
Pues bien, las raíces cuadradas de números negativos no están definidas en el conjunto
de los números reales. Por lo que concluyes que esta ecuación cuadrática no tiene
solución en los números reales.
En general tienes lo siguiente:
Valor del discriminante
Naturaleza de las raíces de
Valor positivo (>0)
Cero (=0)
Valor negativo (<0)
Dos raíces reales y distintas
Una sola raíz doble
No tiene raíces reales
2
b - 4ac
ax 2 + bx + c = 0
Ejemplo 5
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 ?
Solución:
Encuentras los coeficientes a = 4, b = −4 y c = 1 y luego sustituyes en el discriminante
así: b 2 − 4 ac = ( −4 )2 − 4( 4 )(1) = 16 − 16 = 0 , como el discriminante es cero sólo hay
una solución doble que es:
b −( −4 ) 1
=
=
2a 2( 4 ) 2
1
Actividad
1. Utiliza el discriminante y determina cuántas soluciones reales tiene la ecuación cuadrática dada.
a)
9 x 2 − 30 x + 25 = 0 c)
4x 2 + x − 3 = 0
b)
25 = 10 x − x 2 d)
2x 2 − 3x − 2 = 0
2. Encuentra la solución de las ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática para las
ecuaciones del ejercicio anterior.
UNIDAD 3
Situaciones que involucran resolver una ecuación cuadrática
Ejemplo 6
Ejemplo 7
La suma de dos números naturales es 14. La diferencia
de sus cuadrados supera en 11 al producto de los
números. Encuentra dichos números.
El número de diagonales de un polígono de “n” lados
n( n − 3 )
está dado por D =
.
2
¿Cuántos lados tiene un polígono que posee 54
diagonales?
Solución:
Sea, x : un número.
14 − x : el otro número.
(14 − x )2 − x 2 : es la diferencia de sus cuadrados.
x (14 − x ) : el producto de los números.
Como la diferencia de los cuadrados supera en 11 al
producto de los números puedes plantear la siguiente
ecuación:
(14 − x )2 = x (14 − x ) + 11 . (Para que se cumpla la
igualdad le sumas 11 al que tiene menos o le puedes
restar 11 al que tiene más)
Resuelves la ecuación:
(14 )2 − 28 x + x 2 − x 2 = 14 x − x 2 + 11
196 − 28 x + x 2 − x 2 − 14 x + x 2 − 11 = 0
x 2 − 42 x + 185 = 0 ; a = 1 , b = −42 y c = 185
Luego:
−( −42 ) ± ( −42 )2 − 4(1)(185 )
x=
2
42 ± 1764 − 740
=
2
42 ± 1024 42 ± 32
x=
=
2
2
De aquí tienes dos valores para x:
42 + 32
42 − 32 10
x=
= 37 y x =
= =5
2
2
2
Pero 37 no satisface las condiciones de este ejercicio ya
que 14 – 37 = − 23 que sería el otro número no es un
número natural.
Solución:
Sustituyes D por 54 y obtienes:
n( n − 3 )
, 2( 54 ) = n ( n − 3 )
54 =
2
Observa que se trata de resolver una ecuación
cuadrática. Al quitar los paréntesis de la última ecuación
tienes:
108 = n 2 − 3n , n 2 − 3n − 108 = 0
Utilizas la fórmula de la cuadrática para:
a = 1 , b = −3 y c = −108
n=
=
n=
−( −3 ) ± ( −3 )2 − 4(1)( −108 )
2(1)
3 ± 9 + 432 3 ± 441
=
2
2
3 ± 21
2
de aquí:
3 + 21
3 − 21
= 12 ó n =
= −9
2
2
Pero – 9 no es solución para este ejercicio ya que no hay
número de lados negativos. Por lo tanto la única solución
es n = 12.
n=
El número de lados del polígono regular es 12.
Para x = 5, se tiene que 14 – 5 = 9.
Los números son 5 y 9.
UNIDAD 3
Ejemplo 8
Solución:
Determina la longitud x del lado de un triángulo
isósceles rectángulo que tiene una hipotenusa de 7.5
unidades.
Cada lado del triángulo mide lo mismo ya que es
isósceles, luego le llamas “x” al lado y aplicas Pitágoras:
x
h=
7.5
x
x 2 + x 2 =( 7.5 )2
2 x 2 = 56.25
x 2 = 28.125 , x = 28.125 = 5.3033...
Aproximadamente el lado es de 5.3 unidades.
Ejemplo 9
En la casa de Mario hay un jardín rectangular que tiene 96 m 2 de área. Alrededor del jardín se hace una cerca de 3 m
de ancho, en este caso, el área total es de 252 m2 . Encuentra las dimensiones del jardín.
Si despejas y de la primera ecuación:
96
y = , y luego sustituyes en la segunda tienes:
x
96
( x + 6 ) + 6  = 252 con x ≠ 0
 x

96
( x + 6 ) + ( x + 6 )6 = 252 ,
x
576
576
+ 6 x + 36 = 252 ,
+ 6 x = 252 − 96 − 36
x
x
576 + 6 x 2
= 120
x
96 +
Solución:
Observa la figura. Puedes plantear lo siguiente:
Sea x : el largo y y : el ancho.
Área del jardín: xy = 96
Área total: ( x + 6 )( y + 6 ) = 252
576 + 6 x 2 = 120 x
6 x 2 − 120 x + 576 = 0
x 2 − 20 x + 96 = 0
( x − 12 )( x − 8 ) = 0
De aquí x = 12 ó x = 8.
Sí x = 12, y = 96 = 8
12
96
= 12
8
¿Cuáles son las dimensiones del jardín? Comprueba
estos resultados.
Sí x = 8, y =
UNIDAD 3
Ejemplo 10
Solución:
Si la velocidad de un objeto que cae está dada por
v = 5t − 16 t 2 pies/segundos, donde t es el tiempo
transcurrido en segundos, ¿Cuánto tardará el objeto en
alcanzar una velocidad de −100 pies/s?
Considera que si el cuerpo se mueve hacia abajo la
velocidad es negativa. Se trata de que encuentres el valor
de t para – 100 pies/s.
Como v = 5t − 16 t 2 , sustituyes v = −100 y obtienes:
−100 = 5t − 16 t 2 .
Resuelves la ecuación 16 t 2 − 5t − 100 = 0
Utilizas la fórmula cuadrática para:
a = 16, b = −5 y c = −100.
−( −5 ) ± ( −5 )2 − 4(16 )( −100 ) 5 ± 25 + 6400
t=
=
2(16 )
32
85.15
5 ± 6425 5 ± 80.15
=
, t=
= 2.66
32
32
32
Luego, el tiempo que tardará es aproximadamente de
2.66 segundos. ¿Por qué el valor negativo de t
se descarta?
t=
2
Actividad
a) Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo si su área
mide 84cm , y uno de los catetos tiene 3 unidades más que el
triple del otro cateto.
2
b) La longitud de un salón de clases excede su ancho en 4 metros.
Si cada dimensión se aumenta en 4 metros, el área será el doble.
Determina las dimensiones del salón.
c) Una pintura con marco tiene dimensiones de 20 cm por 12 cm.
Si están a la vista 84 cm2 de la pintura.
¿Cuál es el ancho del marco?
n ( n + 1)
2
¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el
número 1 suman 1,275?
d) La suma de los primeros números naturales es
s=
Resumen
En esta lección hiciste la deducción de la fórmula cuadrática:
−b ± b 2 − 4 ac
x=
2a
Además verificaste
que el número de raíces de la ecuación cuadrática depende del valor del
discriminante b 2 − 4 ac . Si éste es positivo tiene dos raíces reales, si es negativo no tiene
raíces reales y si es cero tiene una sola raíz real llamada doble.
UNIDAD 3
Autocomprobación
3
¿Cuántos lados tiene un polígono que posee 20
diagonales? Recuerda: D =
{−8 , −3}
b) {8 , 3}
c) {−8 , 3}
d) {−3 , 8}
a)
b) 8
12
d) 6
c)
2
x 2 + 11x + 24 = 0
Utiliza el discriminante y determina cuántas raíces reales
tiene la ecuación cuadrática 10 x 2 − 5 x + 17 = 0
4
Determina cuál de las siguientes ecuaciones
cuadráticas tiene solo una raíz real.
x 2 − 2x − 4 = 0
2
b) 2 x + 3 x + 1 = 0
c) 5 x 2 − 7 x − 4 = 0
d) x 2 − 12 x + 36 = 0
a)
dos
b) una
c) ninguna
d) tres
a)
1. b.
a) 10
n( n − 3 )
2
Utiliza la fórmula de la cuadrática y
encuentra el conjunto solución de la ecuación
Soluciones
1
2. c.
3. a.
4. d.
RAÍCES EN UNA PARÁBOLA
La parábola dibujada a la izquierda, presenta
dos cortes con el eje de las X. Estos
cortes representan las soluciones reales
geométricamente de la ecuación cuadrática
cuando b 2 − 4 ac > 0 .
¿Cómo corta la parábola al eje de las X en los
casos: b 2 − 4 ac < 0 y b 2 − 4 ac = 0 ?
x
En el caso b2 − 4ac < 0 se tiene que al dibujar la
parábola no existen cortes con el eje x, es decir
la ecuación cuadrática no tiene solución.
Si: b2 − 4ac = 0, entonces la parábola solo
corta el eje x en un punto, es decir la ecuación
cuadrática tiene una solución diferente.
Lección 4
Tercera Unidad
Apliquemos técnicas de conteo
Motivación
K
arina es una alumna de 9º grado que guarda siempre sus 3
libros más utilizados en un estante, un libro es de Matemática,
otro es de Lenguaje y el otro es de Inglés.
¿De cuántas formas distintas puede Karina ordenar en el estante
sus 3 libros?
¿Puedes ayudarle a Karina?
Determinarás, construirás y explicarás con seguridad el
principio de la multiplicación.
Aplicarás con seguridad el principio de la multiplicación en la
resolución de ejercicios y problemas de conteo.
Determinarás, interpretarás y explicarás el factorial de un
número con seguridad.
Resolverás con perseverancia problemas de conteo
aplicando el factorial de un número.
Principio fundamental de conteo
Matemáticas
Inglés
Lenguaje
Lenguaje
Inglés
Matemáticas
Inglés
Lenguaje
Matemáticas
Considera la situación anterior. Unas formas de ordenarlos pueden ser:
¿Crees que las anteriores son todas las posibilidades? Determina en tu cuaderno
formas diferentes a las anteriores.
Había 3 formas más.
Luego hay 6 formas distintas de ordenarlos. El número de posibles resultados de un
experimento pequeño, es fácil listar y contar todos los posibles resultados.
UNIDAD 3
Una forma para encontrar cuáles son los ordenamientos posibles es usar un diagrama
como el siguiente. Asignas M al libro de Matemática, L al de Lenguaje e I al de Inglés
L
I
M
I
M
L
M
L
I
I
En tu cuaderno completa las
letras que faltan
L
Ejemplo 1
Juan resuelve un examen de falso-verdadero. Para 3 preguntas
¿Cuántas formas de contestar tiene Juan?
Solución:
1a
2a
V
V
F
V
F
F
3a
V
F
V
F
V
F
V
F
Primero haces un diagrama de árbol. Observa que son 8 formas:
{ VVV , VVF , VFV , VFF , FVV , FVF , FFV , FFF}
Si se agrega una pregunta, ¿cuántas formas son posibles? Hazlo en tu cuaderno.
Al diagrama anterior se le llama diagrama de árbol.
UNIDAD 3
¿Qué es un diagrama de árbol?
Un diagrama de árbol es una ordenación empleada para enumerar todas las
posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en
un número finito. Proporciona un método sistemático de enumeración objetiva
de resultados.
C
El diagrama de árbol a la derecha
representa el lanzamiento de monedas al
aire y sus posibles resultados que como
observas son cuatro.
C
X
C
X
Ejemplo 2
X
Benjamín el mejor alumno del salón de clases obtuvo un premio al final del año. El
premio consistía en un viaje a uno de tres lugares: Conchalío, Hotel de Montaña ó
Perquín; podía ir en bus o en coaster y además acompañado de una persona que debía
escoger entre su madre, hermana o su padre. ¿Cuántas posibilidades diferentes se le
presentaron a Benjamín, y cuáles son?
Solución:
h
b
m
p
C
h
c
m
p
h
b
m
Con C: Conchalío.
HM: Hotel de Montaña.
P: Perquín.
b: bus.
c: coaster.
h: hermana.
m: madre.
p: padre.
p
H.M.
h
c
m
p
h
b
m
p
P
h
c
Cada rama del diagrama
de árbol es una posibilidad,
si las cuentas te darán 18
posibilidades. Ahora imagina
que hubiera más posibilidades
de lugares y más personas
para elegir de acompañante.
¿Cómo sería el diagrama de
árbol?
m
p
UNIDAD 3
Muy bien, a medida que aumentan el número de elementos dicha ordenación se
complica por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para obtener el
número de resultados.
Puedes dibujar tres casillas.
3
Posibilidad de lugares
2
Posibilidad de Transporte
3
Posibilidad de acompañante
Luego multiplicas los tres números: 3 × 2 × 3 = 18 posibilidades diferentes.
En general, se puede enunciar el principio fundamental del conteo.
Si un evento A, puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro
evento A 2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes y así sucesivamente, el evento
A k puede ocurrir de nk maneras; entonces el número total de formas diferentes
en que todos los eventos pueden ocurrir es igual a: n1 x n2 x ... nk
A este principio se le llama principio de la multiplicación.
Ejemplo 3
¿De cuántas maneras se puede repartir tres premios a un conjunto de 10 personas,
suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
Solución:
Copia en tu cuaderno las siguientes casillas:
Primer premio
Segundo premio
Tercer premio
El primer premio lo puede obtener cualquiera de las 10 personas, por lo que debes
anotar 10.
El segundo premio sólo lo pueden obtener 9 personas ya que una de ellas ya obtuvo el
primer premio y no vuelve a participar por lo que anotas 9.
¿Cuántas personas pueden obtener el tercer premio?
Después de llenar las 3 casillas aplicas el principio de la multiplicación.
10 × 9 × 8 = 720.
Imagina 720 maneras de repartir los 3 premios.
Ejemplo 4
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres
dígitos? No se admiten repeticiones.
UNIDAD 3
Solución:
Llena las casillas en tu cuaderno y compara con éstas:
26
25
10
9
8
Considera el alfabeto con 26 letras. Además los dígitos son del 0 al 9. ¿Por qué se pone
25 en la segunda casilla? ¿Y por qué 9 en la cuarta casilla? ¿Cuántas son las placas?
Verifica que son 468,000 placas.
Ejemplo 5
Entre dos ciudades A y B hay dos caminos, entre B y C hay 4. Además, de C a D hay 5
caminos. ¿De cuántas maneras pueden ir desde A hasta D pasando por B y C?
Observa el dibujo.
A
B
C
D
Solución:
Puedes considerar el viaje en 3 etapas, primero ir de A a B, luego de B a C y por último
de C a D.
2
Posibilidad de A a B
4
¿Qué significa?
5
= 40 maneras diferentes
¿Qué significa?
Ejemplo 6
¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes
condiciones?
a) El examen consiste de tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones
cada una.
Solución:
1º
4
Número de posibilidades para
responder la primera pregunta
2º
3º
4
4
¿Qué significa? ¿Qué significa el 4?
Luego aplicas el principio de la multiplicación y obtienes: 4 × 4 × 4 = 64
b) Si el examen además de las tres preguntas de opción múltiple con cuatro
opciones cada una; consta de cinco preguntas de falso y verdadero.
UNIDAD 3
Solución:
Las respuestas de las cinco preguntas de falso y verdadero se comportan así
2
2
2
2
2
25 = 32
Hay 32 maneras de responder las cinco preguntas de falso y verdadero. Como se tienen
además las primeras preguntas, consideras todo el examen y construyes 8 casillas así:
4
4
64
4
2
2
2
32
2
2
Utilizas el principio de la multiplicación y obtienes: 64 × 32 = 2,048
Hay 2,048 maneras de responde el examen.
1
Actividad
a) ¿De cuántas formas diferentes puede terminar una competencia de 5 corredores?
b) ¿Cuántas maneras diferentes de vestirse tiene Carlos, si está en condiciones de ponerse cualquiera de
cuatro pantalones, cinco camisas y dos pares de zapatos?
c) ¿Cuántas placas de automóviles pueden hacerse utilizando 3 letras seguidas de 3 dígitos, si se
permiten repeticiones?
d) De un grupo de 25 jóvenes, de cuántas formas se puede elegir una directiva que conste de
presidente(a), vicepresidente(a), secretario(a) y tesorero(a).
e) ¿Cuántos números impares se pueden formar de tres cifras con los dígitos 2, 3, 4, 5, 6 y 7; si no se
admite repetición?
Ejemplo 7
¿De cuántas formas puedes escribir un número usando todos los dígitos de 1 al 9 sin
repetir ningún número?
9
8
7
6
5
4
3
2
1
¿Puedes decir porqué las casillas se llenaron de la forma anterior?
El resultado es 9 × 8 × 7 × 6 ×… × 1 = 362,880
La forma anterior se puede abreviar escribiéndola así: n ( n – 1)…. (1) = n !
Factorial de un número natural n
Para un número natural n , se llama factorial de n , y se denota por n!, al producto de
todos los números naturales menores o iguales a n . Así:
n ! = n ( n − 1)( n − 2 )...( 2 )(1)
UNIDAD 3
Ejemplo 8
Encuentra el factorial de los primeros 6 números naturales.
Solución:
1! = 1; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3(2x1) = 6
4! = 4(3x2x1) = 24 , 5! = 5( 4 x3x2x1) = 120 , 6! = 6(5x 4 x3x2x1) = 720
Observa que la expresión encerrada en el paréntesis corresponde al factorial
anterior. Así:
6 ! = 6( 5 )! = 6(120 ) = 720
En general se tiene que:
n!
n ! = n ( n −1)! de aquí: = ( n −1)!
n
Está última igualdad se cumple para cualquier número natural. En particular si n = 1
obtienes:
1!
= (1 − 1)! ; 1! = 0 ! Aunque cero no es un número natural, se define 0! = 1!
1
Ejemplo 9
Encuentra el resultado de:
9! 6 !
a)
8! 5!
b)
6(7! ) + 2(7! )
8!
Solución:
a)
9! 6! 9(8! ) 6(5! )
=
= 9(6 )
8! 5!
8! 5!
= 54
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
5!
8!
a)
c)
0!
2! 6 !
0!
15!
d)
1!
12!
2. Encuentra el resultado de las siguientes expresiones:
b)
10(8! ) − 5(8! ) 7!
b)
6(7! ) + 2(7! ) 8(7! ) 8!
=
=
8!
8!
8!
=1
2
Actividad
a)
b)
5( 4! )
13(2! ) − 2!
Resumen
En esta lección se estudió el principio fundamental de
conteo o de la multiplicación el cuál consiste en multiplicar
las formas en que cada evento se puede realizar. Así para los
eventos A1, A 2… A k que puedan realizarse de n1 , n2 ,...nk
formas, el número total de maneras de llevar a cabo estos
eventos juntos es:
n1
n2
.........
nk
= (n1)(n2)… (n k)
Además se definió el factorial de un número natural,
n ! = n ( n − 1)( n − 2 )...( 2 )(1)
UNIDAD 3
Autocomprobación
3
¿De cuántas formas puede vestirse Vilma si
tiene 4 blusas, 3 faldas y 3 pares de zapatos?
a)
12
b) 36
c) 9
d) 4
12
b) 432
c) 40
d) 24
a)
4
¿Cuál es el factorial de 7?
a)
42
b) 700
c) 5040
d) 1
¿Cuántas formas hay de elegir un presidente y un
tesorero de un grupo de 30 caballeros?
870
b) 30
c) 900
d) 15
a)
1. b.
2. c.
3. d.
2
¿Cuántos números pares se pueden formar
de 3 cifras con los dígitos 3, 4, 5, 6 y 7; si no se
permite que se repitan?
Soluciones
1
4. a.
FACTORIALES
Los factoriales se usan mucho en la rama de la
matemática llamada combinatoria, a través del
binomio de Newton, que da los coeficientes de
n
la forma desarrollada de ( a + b ) Por medio
de la combinatoria interviene en el cálculo de
las probabilidades, de eventos que implican
permutaciones y combinaciones.
TM7P134
El factorial de un número es el ejemplo más
clásico de la matemática. El factorial es útil
en la programación y algoritmos para realizar
multiplicación de números enteros en forma
recursiva, es decir por ejemplo: 5! = 5 × 4!
En general: n! = n(n − 1)!
Isaac Newton
Lección 5
Tercera Unidad
Técnicas de ordenamiento
Motivación
C
uatro personas entran al banco a la misma hora.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar en la fila para que los atiendan?
¿Puedes encontrar el número de formas?
Interpretarás, aplicarás y explicarás las permutaciones al
resolver ejercicios.
Resolverás con seguridad permutaciones tomando todos los
elementos de un conjunto.
Resolverás problemas con confianza, utilizando
permutaciones.
Determinarás con seguridad el número de combinaciones de
un conjunto de elementos.
Resolverás con seguridad problemas que involucran
combinaciones.
Permutación
Para encontrar en la situación anterior los distintos ordenamientos puedes utilizar el
principio de la multiplicación visto en la lección anterior.
Llenas las casillas:
4
3
2
1
(4)(3)(2)(1) = 24
Observa que corresponde a 4!
Cada ordenamiento es una permutación de los cuatro elementos tomándolos todos.
Número de permutaciones tomando todos los elementos de un conjunto.
En general el número de permutaciones de un conjunto de n objetos diferentes,
tomándolos todos a la vez, es igual al factorial de n. Se denota nPn
Así:
nPn = n !
UNIDAD 3
Ejemplo 1
Solución:
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden
formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
Se dispone de 10 jugadores que pueden ocupar 10
posiciones diferentes por lo que se tiene 10P10 = 10!
Solución:
El onceavo jugador sólo utiliza una posición, por lo tanto
el número total de ordenamientos es de:
1 × 10! = 3 628,800. Compruébalo.
Observa: se tomarán todos los dígitos.
Es importante por lo que utilizas la fórmula anterior así:
5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Número de permutaciones tomando parte de los
elementos de un conjunto.
Hay 120 números de 5 cifras.
Considera lo siguiente: De 6 libros
Ejemplo 2
¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar 9
libros en una repisa?
Solución:
¿Colocarás todos los libros?
¿Es importante el orden?
¿Se pueden repetir los libros al colocarlos?
Si respondiste: sí, sí y no; entonces utilizas la fórmula
nPn con n = 9.
9P9 = 9! = 362,880. Compruébalo en tu cuaderno.
Ejemplo 3
¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores
de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el
portero no puede ocupar otra posición diferente que
la portería?
a) Ordenas 3 en un espacio para 3.
b) Ordenas 4 en un espacio para 4.
c) Ordenas 5 en un espacio para 5.
Solución:
Lo anterior se puede resolver por el principio de la
multiplicación así:
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 6!
a) 6 × 5 × 4 =
=
3 × 2 ×1
3!
6!
=
( 6 − 3)!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 6!
b) 6 × 5 × 4 × 3 =
=
2 ×1
2!
=
6!
( 6 − 4 )!
6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1 6!
c) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 =
=
1!
1
6!
( 6 − 5)!
Observa en cada situación, la última expresión en el
numerador se encuentra el factorial del total de libros.
¿Cómo puedes interpretar el denominador con respecto
a cada situación?
En general se tiene que:
=
El número total de permutaciones de r elementos
tomados de un conjunto de n elementos se denota
por nPr.
n!
Se obtiene así: n Pr =
( n − r )!
UNIDAD 3
Ejemplo 4
Se van a retratar 9 personas y se dispone sólo de 5
asientos ¿De cuántas formas se pueden acomodar las
personas para el retrato?
Solución:
En este caso tomas 5 de 9 por lo que utilizas la fórmula:
n!
n Pr =
( n − r )!
Tienes n = 9 y r = 5. Luego sustituyes:
9!
9!
9P5 =
= = 15 ,120 formas.
( 9 − 5 )! 4 !
Actividad
1
a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 8 personas
en una fila de asientos?
b) ¿Cuántas formas de seleccionar 3 libros de un total de 7
existen?
c) En un comité participan 9 personas, ¿De cuántas formas
diferentes se pueden sentar, si el presidente y el secretario
siempre van juntos?
Ejemplo 3
Se sacan sucesivamente tres cartas de una baraja
ordinaria de 52 naipes. ¿Cuántos resultados diferentes se
pueden conseguir?
Solución:
Utilizas la fórmula nPr para n = 52 y r = 3 y obtienes:
52!
52! 52 × 51 × 50 × 49!
52P3 =
=
=
49!
( 52 − 3)! 49!
d) ¿Cuántas permutaciones pueden hacerse con las letras de la
palabra camote?
e) Con las letras de la palabra libro ¿Cuántos ordenamientos
diferentes se pueden hacer que empiecen por vocal?
Así, 52P3 = 52 × 51 × 50 = 132 , 600
Combinaciones
Considera que te dan a escoger dos regalos
promocionales de tres posibles que son: un bolígrafo,
una agenda o un llavero. ¿Cuántas formas de seleccionar
los obsequios hay?
Si el orden en la elección fuera importante las
selecciones posibles serían:
bolígrafo – llavero agenda – llavero
llavero – bolígrafo
llavero – agenda
bolígrafo – agenda
agenda – bolígrafo
Las cuales se hubieran encontrado con la fórmula:
3!
3P 2 =
=6
( 3 − 2 )!
UNIDAD 3
Te das cuenta que en esta situación no es importante el orden ya que:
Bolígrafo – llavero y llavero – bolígrafo da el mismo resultado en la selección. En este
caso sólo hay 3 posibilidades diferentes de elección:
Bolígrafo – llavero, Agenda – llavero y bolígrafo – agenda.
Cada una de ellas es llamada combinación y de cada una de ellas se forman
2 permutaciones ( 2! ) .
Si fueran 3 objetos seleccionados de 4 los de la combinación obtendrías 3!
Permutaciones de cada una.
Así si le llamas nCr a la combinación en donde se toman r elementos de los n en
total, tienes:
3P2
3!
a) 3C2 . (2!) = 3P2 , 3C2 =
=
2! 2! ( 3 − 2 )!
4!
4P3
b) 4C3 . (3!) = 4P3 , 4C3 =
=
3 ! 3 ! ( 4 − 3 )!
n!
Observa puedes generalizar y escribir:
nCr =
r ! ( n − r )!
Combinación es cualquier arreglo que se haga de una parte de los elementos de
un conjunto, sin tomar en cuenta el orden. Se denota nCr y se calcula así:
n!
nCr =
r ! ( n − r )!
Verifica la selección de objetos para 3C2 .
3!
3 × 2 ×1
3C2 =
=
= 3 que son las combinaciones obtenidas.
2! ( 3 − 2 )! ( 2 × 1) .1!
Ejemplo 4
Solución:
Una caja de dulces contiene 10 piezas, cada una de
diferente sabor. Si se pueden escoger 2 piezas, ¿de
cuántas formas es posible elegirlas?
Primero debes preguntarte, ¿Es importante el
orden en esta situación? Como no lo es se trata de
una combinación y de encontrar todas las posibles
combinaciones.
Utiliza la fórmula anterior: n = 10 y r = 2.
Sustituyes en la fórmula y obtienes:
n!
10 !
;
10C2 =
nCr =
r ! ( n − r )!
2! (10 − 2 )!
10 !
10 × 9 × 8! 90
=
= = 45
2! (10 − 2 )!
2! 8!
2
Por lo que existen 45 formas de seleccionar las dos
piezas de dulces.
Así, 92 Matemática - Noveno Grado
10 C2
=
UNIDAD 3
Ejemplo 5
En una oficina trabajan 6 hombres y 4 mujeres. De
entre éstos se van a escoger 3 para formar una comisión
especial. Cuántas formas diferentes de seleccionar a la
comisión existen si:
a) No hay restricciones
b) Debe estar formado por 2 hombres y 1 mujer.
Solución:
a) Como no hay restricciones, consideras que son 10
personas de las cuales se van a seleccionar 3. Además
el orden no es importante por lo que encuentras el
resultado así:
10!
10!
10 C3 =
=
3! (10 − 3 )! 3! 7!
10 × 9 × 8 × 7!
=
3 × 2 × 1× ( 7! )
Luego 10C3 = 120, por lo que existen 120 formas de
seleccionar la comisión.
Ejemplo 6
Se dispone de 18 jugadores para integrar los titulares
de un equipo de futbol. ¿Cuántos equipos diferentes de
futbol pueden formarse?
Solución:
Como sabes cada equipo está formado por 11 titulares
por lo que encuentras 18C11
b) Encuentras primero la selección de los hombres. Esto
es seleccionar 2 de un total de 6. Lo haces así: 6C2 .
Además seleccionas una de cuatro mujeres. Lo haces
así: 4C1.
Como es una sola comisión aplicas el principio de la
multiplicación y efectúas:
H
H
M
6C2
4C1
18C11 =
=
18!
11! (18 − 11)!
18!
31.824. Verifícalo.
11! 7 !
Luego: 6C2 . 4C1 = 60
6!
6 ! 6 x 5 x 4 ! 30
6C2 =
=
=
=
2! ( 6 − 2 )! 2! 4 !
2! 4 !
2
=15
4C1 =
4!
4 ! ( 4 )3!
= =
1! ( 4 − 1)! 3!
3!
=4
En este caso existen 60 formas de elegir la comisión.
UNIDAD 3
Ejemplo 7
Se desea elegir un comité de 3 hombres y 2 mujeres
entre un grupo de 12 hombres y 8 mujeres. Encuentra el
número de maneras distintas de formar el comité.
Solución:
Eliges primero las posibilidades para los hombres:
12!
12C3 =
3! (12 − 3 )!
12!
220
=
3! 9!
Luego la posibilidad de las mujeres:
8C2 =
En el caso que solo se seleccione números pares; entre 1
y 49 hay 24 números pares.
Por lo que debes encontrar 24C6 así:
24C 6 =
24 !
24 !
=
6 ! ( 24 − 6 )! 6 ! (18 )!
=134 , 596
Ejemplo 9
Don Pedro tiene 8 bienes inmuebles los cuales piensa
regalar a sus hijos de la siguiente manera: a su hijo
mayor, 3; a su segundo hijo, 3; y al menor, 2.
¿En cuántas formas puede repartir dichos bienes?
8!
8!
=
2! ( 8 − 2 )! 2! 6 !
= 28
Finalmente utilizas el principio de la multiplicación:
H
H
12C3
M
8C2
Solución:
Luego 12C3 . 8C2 = ( 220 )( 28 )
= 6160
Existen 6160 manera diferentes de formar el comité.
Una manera sería tomar las escrituras, alineándolas, y
dar los primeros tres a su hijo mayor, los siguientes tres al
segundo y los dos últimos al menor.
Ejemplo 8
Como existen 8! Formas de alinearlos en el escritorio,
también son 8! las formas en que pueden ser
distribuidos. Sin embargo, no todas estas formas son
diferentes.
Para ganar en una lotería local, un participante debe
escoger correctamente 6 números entre el 1 y el 49
inclusive.
a) Encuentra el número total de elecciones posibles.
b) Si el participante sólo selecciona números pares, cuál
es el total de elecciones posibles.
Solución:
En el primer caso se trata de seleccionar 6 de 49
posibilidades. Lo encuentras así:
49 C 6 =
49!
49!
=
6 ! ( 49 − 6 )! 6 ! ( 43 )!
=13983816
Hay 3! maneras de arreglar el orden de las escrituras
para su primer hijo; y 2! para los del tercero. Por lo tanto,
las escrituras se pueden repartir así:
8!
= 560 formas
3! 3! 2!
El argumento anterior puede extenderse a “n” escrituras
y a “r” hijos, tal que el primer hijo reciba n1, escrituras, el
segundo n2 escrituras y el r-ésimo nr (n1+n2+…..nr = n). El
número de divisiones sería:
n!
n1 ! n2 ......nk !
Se utiliza para formar grupos de n1,n2 …nr que hacen un
total de n elementos.
UNIDAD 3
Actividad
2
a) Un cajón contiene 15 juguetes diferentes. Si seleccionas 4 juguetes, ¿de cuántas formas es posible
elegirlos?
b) ¿De cuántas formas pueden repartirse 5 cartas de una baraja de 52 naipes?
c) Se desea formar una comisión de 3 personas, seleccionadas de un grupo de 7 mujeres y 5 hombres. Si
la comisión debe estar formada por 2 mujeres y 1 hombre, ¿cuántas formas diferentes de seleccionar
la comisión existen?
d) De un conjunto de 9 personas se quieren
formar 3 grupos de 2,3 y 4 personas.
¿De cuántas maneras se pueden formar
dichos grupos?
Resumen
En esta lección estudiaste las permutaciones las cuales son arreglos en donde es importante el
orden. Además estudiaste las combinaciones, las cuales son arreglos en donde no interesa el
orden. Para permutaciones utilizaste:
n!
nPn= n!;
n Pr =
( n − r )!
n!
n!
Para combinaciones utilizaste:
nCr =
;
r ! ( n − r )! n1 ! n2 ......nk !
UNIDAD 3
Autocomprobación
3
¿De cuántas maneras diferentes se pueden
colocar 5 libros en una repisa?
a)
20
b) 40
c) 120
d) 125
2
Se sacan sucesivamente 2 cartas de una baraja
ordinaria de 52 naipes. ¿Cuántos resultados
diferentes se pueden conseguir?
a)
2,652
b) 132,600
c) 50
d) 1,326
4
Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántos
ordenamientos se pueden hacer que empiecen
con la letra M?
a)
24
b) 6
c) 12
d) 2
De un conjunto de 8 personas se forman 2 grupos
uno de 5 y otro de 3 personas, ¿De cuántas maneras
se pueden formar los grupos?
a)
112
b) 56
c) 336
d) 231,326
1. c.
Soluciones
1
2. b.
3. a.
4. b.
PERMUTACIONES EN LA HISTORIA
El primero que estudió las permutaciones fue
Lagrange en 1770, en su trabajo sobre teoría
de ecuaciones algebraicas. El objetivo de
Lagrange era encontrar los motivos por los que
las ecuaciones de tercer y cuarto grado son
resolubles por radicales.
Otro gran matemático en la historia de las
permutaciones fue Cauchy. En 1815, estudia
las permutaciones de las raíces de ecuaciones.
Introduce la notación de potencias positivas o
negativas (incluida la potencia 0 definiéndola
como la permutación identidad), define el orden
de una permutación.
Augustin Louis Cauchy
Solucionario
lección 1
Actividad 1
1. a) a = −2 , b = 3 , c = 5 b)
a = 0.3 , b = −1 , c = −0.8 2
2. a) x − 25 x = 0 b)
a = 1 , b = −2π , c = −3
1
1
d) a = , b = , c = −1
2
2
2
c) x + 4 x + 4 = 0
c)
y 2 + y − 20 = 0 d)
y2 +3 y + 2=0
Actividad 3
3
3
5,
5
5
5
2. a) −2 , 0 1. a) −
Lección 2
6 6
c) − 6 , 6 ,
2 2
8
b) 0 , 5 c) 0 ,
17
b)
−
b)
−4 , 3 − 30 , 30
3
d) 0 ,
14
d)
Actividad 1
1. a) −2 , − 3 c)
2. 60 unidades ó 100 unidades.
1
, 2 3
d)
3 1
− ,
2 5
Actividad 2
1
, 2 3
2. x = 2 , utilizando el teorema de Pitágoras.
1. a) −1 , − 6 b)
−3 , 10 4
− ,8
3
c)
d)
c) Dos
d) Dos
Lección 3
Actividad 1
1. a) Una
5
2. a)
3
{}
b) Una
b) 5
c)
{ }
−1 ,
3
4
d)
{ }
1
− ,2
2
Actividad 2
a) Un cateto mide 24 cm, el otro 7 cm y la hipotenusa 25 cm.
b) 12 m y 8 m
c) 3 cm
d) 50 números naturales.
Solucionario
Lección 4
Actividad 1
a) 120
c)
17 , 576 , 000 placas
b) 40 formas
d)
303 , 600 formas.
e) 60
Actividad 2
1. a) 120
b) 1
2. a) 40
b) 5
c) 28
d) 2730
Lección 5
Actividad 1
a)
40 , 320 b) 210
c) 10 ,080 e) 48
d) 720
Actividad 2
a) 1365
b) 2598960
c) 105
d) 1260
Proyecto
Cinco familias se quedaron sin vivienda por motivo de las lluvias. Un señor
regaló un terreno para que a las familias: López, Flores, Martínez, Rodríguez y
Ramírez se les entregará una parcela a cada una en donde ellas pudieran hacer su
vivienda. El terreno es rectangular, un lado está a la orilla de un río y el otro lado
paralelo a la orilla de la calle. (Ver figura).
El área del terreno es de 1,562 m2 y el largo es igual a tres veces el ancho
aumentado en 5 metros. Se pregunta:
a) ¿Cuál es el ancho del terreno que se va a repartir?
b) ¿Cuáles son las dimensiones de cada terreno que se les dará a las familias?
c) Se decide darle a las familias López y Flores un lote a la orilla del río o a la orilla
de la calle; ya que estas familias tienen más hijos, llegaron primero y así lo
solicitaron. ¿De cuántas maneras se pueden repartir los terrenos, si las otras
tres familias pueden tener cualquiera de los otros tres?
Recursos
Earl W. Swokowski, Algebra y Trigonometría, Grupo Editorial
Iberoamérica, México 1996.
Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta
reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p.
William Mendoza y Gloria Galo de Navarro, Matemática básica PreUniversitaria 8ª reimpresión; UCA editores, El Salvador 2007.
http://www.ugr.es/~eaznar/concepto_grupo.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

x - biblioteca virtual de matematicas unicaes

Transcripción

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