Tema 3. Números Índice

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Tema 3. Números Índice
Tema 3. Números Índice
3.0. Introducción.
Aplicación
Existe un gran número de fenómenos económicos cuyo significado y estudio alcanza distintos
niveles de complejidad (son los que se conocen como coyuntura económica, nivel de inflación,
nivel de desarrollo, etc.).
Los números índice constituyen el instrumental más adecuado para estudiar la evolución de una
serie de magnitudes económicas que nos den respuesta a cuestiones tales como:
¿Es la coyuntura económica positiva o negativa? ¿Es el nivel de inflación el adecuado o no? etc.
Definición: Un número índice es una medida estadística que sirve para caracterizar la evolución
de una variable (fenómeno económico) entre dos momentos de tiempo diferentes. Se define
como el cociente del valor de la magnitud en una situación (o instante) cualquiera y el valor de
la magnitud en una situación de referencia. Por tanto, un número índice es siempre una cantidad
adimensional.
Al instante de tiempo de la variable que tomamos como referencia se le llama período base (0)
y el instante con el que se compara se denomina período actual (t).
Clasificación de los números índices
Vamos a clasificar los números índices según el número de magnitudes que mida el índice y,
además, según se tenga o no en cuenta la importancia de estas magnitudes que intervienen en el
número índice. Así tenemos:
•
•
Índices simples: Cuando sólo interviene un concepto o magnitud.
Índices compuestos: Cuando intervienen varias magnitudes. Dentro de este grupo
tenemos los índices ponderados (las magnitudes tienen distinta importancia) y sin
ponderar (todas las magnitudes presentan igual importancia)
Simples / Elementales
Sin _ ponderar
Números Índice
Sauerbeck
Bradstreet _ Dudot
Laspeyres
Compuestos
Ponderados
Paasche
Edgeworth
Fisher
Esquema 1: Clasificación y tipos de números índice
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3.1. Tasas de variación.
Supongamos una serie de observaciones ordenadas en el tiempo, obtenidas en periodos
temporales de la misma duración, de una variable X:
t
xt
0
x0
1
x1
t
xt
• Variación absoluta entre el periodo 0 y el periodo t.
• Tasa de variación relativa entre el periodo 0 y el periodo t.
• Tasa de variación anual media entre el periodo 0 y el
periodo t.
EJEMPLO 3.1: Las siguientes tablas recogen los beneficios de dos empresas distintas en el
periodo 2006-2010. Obtenga las distintas tasas de variación y comente los resultados.
Año Beneficios Empresa A Beneficios Empresa B
2006
19.16
204.47
2007
20.14
205.21
2008
21.94
207.72
23.64
209.13
2009
2010
25.05
210.36
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PRACTICA 3.1: Consultar el IPC en el INE y en IECA.
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3.2. Índice elemental. Índice sintético.
• Índices elementales o simples
Estudian la evolución en el tiempo de una magnitud que sólo tiene un componente (sin
desagregación). Se emplean con gran difusión en el mundo de la empresa a la hora de estudiar
las producciones y ventas de los distintos artículos que fabrican y lanzan al mercado.
Los índices simples están referidos a una única magnitud. Nos proporcionan la variación de una
magnitud entre dos periodos que desean compararse (por lo general se refiere al tiempo).
Sea una magnitud X, que toma los valores: x0, x1, …xt, en los instantes sucesivos 0, 1,…t
Definición: Se define el índice elemental de la magnitud simple X en el instante t, respecto al
período 0 como el cociente
Verifican la siguiente Propiedad circular (válida para índices expresados en tantos por uno):
It/0(X) =It/t’(X)It’/0(X)
EJEMPLO 3.2: El año pasado el precio de la gasolina ha experimentado entre los meses de
enero y junio una subida, según el índice elemental, de 1,185 y entre los meses de enero y
diciembre una subida, según el mismo índice, de 1,225. ¿Qué subida ha experimentado el precio
de la gasolina entre los meses de junio y diciembre?
Solución:
Etiquetamos por comodidad como 0, 1 y 2 a los tres meses de enero, junio y diciembre
respectivamente.
I 2 /1 ( X ) =
I 2 / 0 ( X ) 1,225
=
= 1,0338
I 1 / 0 ( X ) 1,185
De junio a diciembre ha aumentado un 3,38%.
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• Índices compuestos
En este caso consideremos una magnitud X compleja constituida por n magnitudes simples, es
decir, X1, X2; Xi , …, Xn (por ejemplo, los precios de un conjunto de productos alimenticios).
Los índices elementales o simples de las componentes Xi están definidos por:
siendo xit el valor de la magnitud Xi en el instante t.
Por simplicidad, notaremos mediante Ii t/0, en lugar de It/0(Xi), el índice simple de la magnitud Xi.
Se utilizarán promedios ponderados cuando la importancia de las magnitudes simples Xi no sea
la misma, dando lugar a los índices compuestos ponderados. En caso contrario, utilizaremos
promedios sin ponderar, con lo que tendremos los índices compuestos sin ponderar.
Para explicar los índices compuestos utilizaremos como magnitudes precios y cantidades, las
cuales denominaremos P y Q, respectivamente.
3.3. Índices de precios, de cantidades y de valor.
• Índices de precios
Índices simples de precios
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EJEMPLO 3.3: Los precios, expresados en unidades monetarias corrientes, de los autobuses
urbanos de una determinada ciudad en el periodo 2005-2010 han sido: 85, 87, 95, 99, 107,112.
Obtener la serie de números índices simples tomando como periodo base el año 2005.
t
Año
Precios( p t )
0 2005
85
1 2006
87
2 2007
95
3 2008
99
4 2009
107
5 2010
112
Pt / 0
Para los índices compuestos, suponemos que disponemos de n componentes de precios,
P1 , , Pi , Pn cuyos índices simples vendrán dados por:
Índices compuestos sin ponderar
-
Índice de Sauerbeck. Es la media aritmética de los índices elementales
-
Índice de Bradstreet-Dudot. Se define como la media agregativa
EJEMPLO 3.4: Los precios, en unidades monetarias corrientes, de la leche, queso y
mantequilla que ha pagado una familia en el periodo 2008-2010 han sido los siguientes:
Años Leche Queso Mantequilla
2008
85
2100
900
2009
89
2300
1200
2010
97
2400
1400
Tomando como periodo base 2008, obtener la serie de números índice complejos sin ponderar
de Sauerbeck y Bradstreet-Dudot.
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En el caso en que NO todas las magnitudes X1, …, Xn que intervienen en un índice, tengan la
misma importancia se consideran índices compuestos ponderados.
Índices compuestos ponderados
Los índices compuestos ponderados también se determinan promediando los índices
elementales de cada una de las variables que intervienen en la magnitud compleja, pero
utilizando promedios ponderados. De este modo, se tiene en cuenta la importancia de cada una
de las magnitudes, mediante la asignación de un peso que denotaremos por wi.
Ejemplo de ponderación:
Para ponderar se utiliza la expresión:
En función del tipo de media y de la ponderación utilizada, tenemos los siguientes tipos de
índices compuestos ponderados:
a) Laspeyres. Considera las ponderaciones: wi = pi 0 qi 0
b) Paasche. Considera las ponderaciones: wi = pi 0 qit
c) Edgeworth. Considera como ponderaciones la suma de las ponderaciones
anteriores, es decir:
d) Fisher. Es la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche.
La ventaja práctica del índice de Laspeyres es la de exigir para su cálculo una información
menos actualizada (porque utiliza coeficientes de ponderación en el período base), mientras que
el de Paasche necesita actualizar las ponderaciones en cada nuevo período t. Por este motivo se
utiliza más el de Laspeyres. NOTA: Ninguno de los índices compuestos ponderados verifica la
propiedad circular.
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• Índices de cantidades
En esta sección se consideran los índices estudiados en los apartados anteriores aplicados a
cantidades (compradas, vendidas, exportadas,…).
-
Índices simples de cantidades (para la componente i en el periodo t, tomando
como base el periodo 0) :
qit
qi 0
Qt / 0 (i ) =
- Índices complejos de cantidades
a) Sin ponderar
-
Índice de Sauerbeck
QtS/ 0 =
-
1
n
1
n
n
Qt / 0 (i ) =
i =1
n
i =1
qit
qi 0
Índice de Bradstreet-Dudot
n
qit
BD
t/0
Q
i =1
n
=
qi 0
i =1
b) Ponderados
-
Índice cuántico de Laspeyres ( wi = qi 0 pi 0 )
n
qit p i 0
L
t/0
Q
i =1
n
=
qi 0 p i 0
i =1
-
Índice cuántico de Paasche ( wi = qi 0 p it )
n
q it p it
P
t/0
Q
=
i =1
n
q i 0 p it
i =1
-
Índice cuántico de Edgeworth ( wi = qi 0 p i 0 + q i 0 p it )
n
n
q it pi 0 +
E
t/0
Q
=
i =1
n
q it pit
i =1
n
q i 0 pi 0 +
i =1
-
q i 0 pit
i =1
Índice cuántico de Fisher: QtF/ 0 = QtL/ 0 QtP/ 0
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EJEMPLO 3.5.
Dados los siguientes datos, calcular los índices compuestos ponderados de precios y cantidades
con base en el 2006.
Artículo 1
Artículo 2
Artículo 3
Año
Precio
Cantidad
Precio
Cantidad
Precio
Cantidad
2006
2
6
8
4
1
7
2007
3
7
8
9
2
8
2008
4
8
10
5
2
10
2009
4
10
11
4
2
10
2010
5
9
10
5
1
8
-
Tablas para realizar los cálculos
i
pi 0
qi 0
pi1
q i1
pi 2
qi 2
pi 3
qi3
pi 4
qi 4
1
2
3
SUMAS
i
pi 0 q i 0
1
2
3
SUMAS
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-
Año
Tabla con las soluciones
Pt L/ 0
Pt P/ 0
Pt E/ 0
Pt F/ 0
PtV/ 0
2006
2007
2008
2009
2010
• Índices de valor
Supongamos un fenómeno caracterizado por un conjunto de cantidades y precios que varían a lo
largo del tiempo (p.e. la producción). Nos planteamos estudiar la variación en el valor agregado
de dicho fenómeno.
n
En el año base V0 =
n
pi 0 qi 0 , y en el año actual Vt =
i =1
pit qit .
i =1
Denominamos índice de valor agregado al cociente
n
Vt / 0
V
= t =
V0
pit qit
i =1
n
pi 0 qi 0
i =1
Se puede demostrar que el índice anterior puede obtenerse como el producto de un índice de
precios por un índice de cantidades, según: Vt / 0 = Pt L/ 0 QtP/ 0 = QtL/ 0 Pt P/ 0 .
EJEMPLO 3.6. Para los datos del EJEMPLO 3.5, obtener la serie de índices de valor con base
en el año 2006.
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3.4. Enlace de series de números índices con distinta base.
La elaboración de un índice conlleva una serie de decisiones como son:
- Selección de artículos que deben ser elegidos como los más representativos, así como sus
ponderaciones.
- Seleccionar el período base.
- Seleccionar la fórmula más adecuada.
Además necesitaremos las siguientes técnicas:
-
Cambio de base:
Se utilizará cuando queramos expresar los números índices, calculados con base a un período
determinado, en otra base. El cambio de base se obtiene directamente de la propiedad circular,
teniendo en cuenta que no todos los índices la verifican, por lo que los resultados que
obtendremos serán aproximados.
-
Renovación
La renovación de un índice puede venir exigida por un cambio de las ponderaciones, o bien
porque haya que elegir otros artículos, etc. Esto implica empezar desde el principio: selección
de artículos, del período base, de las ponderaciones. Dando lugar, a partir del período de
renovación a una nueva serie de índices referidos a una nueva base.
-
Enlace
Al tener que modificar el período base en el proceso de renovación, nos encontramos con dos
series de índices referidos al mismo fenómeno, pero con distintos períodos base.
Desde el punto de vista económico interesa enlazar ambas series para obtener una única serie en
la que todos los números índices estén construidos con el mismo período base, para facilitar
posibles comparaciones. Este procedimiento se llama enlace o empalme.
El problema es, nuevamente, que los índices compuestos más usuales no verifican la propiedad
circular. A pesar de ello, el procedimiento práctico para enlazar dos series de índices consiste en
actuar como si se verificase dicha propiedad.
EJEMPLO 3.7.
Dadas las siguientes series de números índices de precios al consumo obtenga:
a) Una sola serie para todo el periodo con base 2001 (Enlace de series).
b) Otra serie con base en 2003 (Cambio de base).
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I t / 1990
Año
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
IPC (base 1990)
115
123
129
132
135
IPC (base 2001)
100
103
107
113
IPC (base2004)
100
110
120
123
Solución:
Año
1997
1998
a) IPC (base 2001)
1,15
× 100 = 85,18
1,35
1,23
× 100 = 91,11
1,35
b) IPC (base 2003)
0,8518
× 100 = 79,61
1,07
0,9111
× 100 = 85,15
1,07
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
1,10 × 1,13 × 100 = 124,3
2006
2007
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 12
3.5. Deflación de series económicas.
Un problema frecuente consiste en el análisis del crecimiento o decrecimiento de una sucesión
de valores expresados en unidades monetarias corrientes de cada año. Para poder comparar tales
cantidades, es necesario homogeneizarlas, es decir, expresar todos los valores en unidades
monetarias de un mismo año.
El procedimiento utilizado para conseguir esta homogeneización se denomina deflación y
consiste en dividir los valores de la serie económica entre un índice de precios adecuado,
denominado deflactor.
Definición: Se llama serie a precios corrientes de cada año o serie de valores nominales a una
serie de valores de una variable a lo largo del tiempo V0, V1, …, Vt.
El valor viene dado en las mismas unidades monetarias que el precio, pero debido a la inflación
y deflación de estos no podemos comparar los valores de un año a otro, sino que habrá que
realizar una traducción del valor nominal, al valor que se obtendría si los precios fueran los del
año que se toma como base.
Definición: A la serie ajustada, según las variaciones de la unidad monetaria se le denomina
serie a precios constantes del año tomado como base o serie de valores reales.
Por tanto, deflactar una serie consiste en pasar de unidades monetarias corrientes a unidades
monetarias constantes. Como ya hemos indicado, lo que se hace es dividir la serie de valores
nominales por un índice de precios adecuado(llamado deflactor) con el fin de obtener una
valoración de las cantidades a los precios (constantes) del año base.
Los índices de Laspeyres y Paasche son los que más se utilizan como deflactores de series. El
procedimiento más correcto para deflactar una serie de valores nominales, sería tomar como
deflactor el índice de precios de Paasche referido al año base. En la práctica, si no se dispone del
índice de Paasche (recordemos que requería una información más actualizada que el de
Laspeyres), se utilizará como deflactor el índice de Laspeyres.
Según sea la serie económica que se desea deflactar, así habrá que elegir el índice de precios
más adecuado:
• Para deflactar la renta disponible de una familia en euros constantes de un determinado año, el
deflactor adecuado será el IPC (Indice de Precios de Consumo)
• Para deflactar una serie del valor de un conjunto de productos industriales, su deflactor
adecuado será el IPI (Indice de Precios Industriales)
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 13
EJEMPLO 3.8.
En los últimos siete años el gasto en enseñanza, en millones de euros corrientes, y los índices de
precios al consumo han sido
Año
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Gastos en millones €
150
230
240
290
300
330
400
IPC (base 2001)
100
115
135
180
IPC (base 2004)
100
105
120
150
Calcúlese el porcentaje, en términos reales, en que ha variado el gasto en enseñanza durante los
siete años considerados.
Solución:
Para obtener los gastos en enseñanza en términos reales hemos de deflactar los valores
corrientes, transformando los euros corrientes de cada año en euros constantes del año base.
En este ejemplo los IPC son tales que si procedemos a deflactar directamente tendríamos hasta
el 2004 los gastos expresados en euros de 2001 y a partir de 2004 en euros de este año por lo
que las cantidades no serían comparables. Por ello en primer lugar vamos a expresar todos lo
índices en la misma base, usando I t / 2001 = I t / 2004 I 2004 / 2001 (índices expresados en tanto por uno)
IPC (base 2001)
100
115
135
180
189=1,05x1,80x100
216=1,20x1,80x100
270=1,50x1,80x100
O bien, usando I t / 2004 =
I t / 2001
I 2004 / 2001
(índices expresados en tanto por uno)
IPC (base 2004)
1
100
1,80
1,15
63,89 =
100
1,80
1, 35
75 =
100
1,80
55,55 =
100
105
120
150
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 14
Si expresamos los gastos en términos reales, en euros de 2001, tenemos:
Gastos en euros de 2001
150/1 = 150,00
230/1,15 = 200,00
240/1,35 = 177,78
290/1,80 = 161,11
300/1,89 = 158,73
330/2,16 = 152,77
400/2,70 = 148,15
148,15 − 150 = −1,85
Ha habido una disminución absoluta en términos reales de 1,85 millones de euros de 2001 lo
que supone una disminución relativa (porcentual) de
−1,85
100 = −1, 23%
150
Si deflactamos tomando como referencia los euros de 2004, se tiene
Gastos en euros de 2004
150/0,5555 = 270,00
230/0,6389 = 359,94
240/0,75 = 320,00
290/1 = 290,00
300/1,05 = 285,71
330/1,20 = 275,00
400/1,50 = 266,67
266, 67 − 270 = −3, 33
Ha habido una disminución absoluta del gasto en enseñanza durante el período 2001-2007 de
3,33 millones de euros de 2004, por tanto una disminución relativa de
− 3,33
100 = −1,23%
270
Obsérvese que se llega al mismo incremento porcentual en términos reales tanto si se toma un
año base como otro.
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EJEMPLO 3.9.
El salario medio en los últimos cinco años en una empresa siderometalúrgica y los índices de
precio al consumo han sido
Años
Salarios
IPC
2003
1760
107
2004
1830
113
2005
1950
124,3
2006
2100
135,6
2007
2200
139
Estudie el valor real de los salarios en euros constantes del 2007. Calcule la tasa de crecimiento
medio anual de los salarios en términos reales.
Solución:
Años
2003
2004
2005
2006
2007
4
Salarios
corrientes
1760
1830
1950
2100
2200
IPC
(base 2007)
107/1,39=76,98
113/1,39=81,29
124,3/1,39=89,42
135,6/1,39=97,55
139/1,39=100
Salarios constantes
(euros 2007)
1760/0,7698=2286,3
1830/0,8129=2251,2
1950/0,8942=2180,7
2100/0,9755=2152,7
2200/1=2200
S4
2200
−1 = 4
− 1 = 0,99 − 1 = −0, 01
S0
2286,3
Hay una disminución media anual del 1% ( −0, 01× 100 = −1% ).
EJEMPLO 3.10.
El propietario de una vivienda alquiló esta en 500€ mensuales a cuatro estudiantes de la
Facultad de CC. Económicas y Empresariales en Octubre de 2006. Este había pactado revisar el
precio del alquiler en Enero de cada año de acuerdo al incremento de precios al consumo (se
recogen en la siguiente tabla)
Años
IPC
2005
113
2006
124,3
2007
135,6
2008
139
¿A cuánto ascenderá el precio del alquiler a partir de Enero de 2009?
Solución:
Años
IPC
2005
2006
2007
2008
2008
113
124,3
135,6
139
IPC
(base 2005)
113/1,13=100
124,3/1,13=110
135,6/1,13=120
139/1,13=123
Alquiler
500
500 × 1,10=550
500 × 1,20=600
500 × 1,23=615
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 16
O bien
Años
IPC
Alquiler
∆ IPC
2005
113
2006
124,3
124,3/1,13=110
500
2007
135,6
135,6/1,243=109,09 500 × 1,10=550
2008
139
139/1,356=102,51
550 × 1,0909=599,99
2009
600 × 1,0251=615,06
(las diferencias entre ambos procedimientos son debidas a errores de redondeo)
3.6. Dependencia de un índice general de un grupo de productos.
Vamos a analizar cómo afecta a un índice general la variación en uno de los productos
(artículos) o grupo de productos considerados en su construcción.
Muchos índices, entre ellos el IPC español, están basados en el índice de Laspeyres.
Los índices de Laspeyres y Paasche poseen la propiedad de agregación: El índice de
Laspeyres sobre un conjunto de productos es igual al índice de Laspeyres calculado
sobre los índices de Laspeyres de cada subconjunto de productos. Lo mismo ocurre con
el índice de Paasche.
Escribiremos la propiedad de agregación con la siguiente notación general (donde el
índice I t / 0 representa a Lt / 0 en el caso del IPC)
n
It / 0 ( X ) =
I t / 0 ( X i ) ui 0
i =1
La variación absoluta del índice entre dos períodos t y t’ será
n
∆I ( X ) = I t '/ 0 ( X ) − I t / 0 ( X ) =
n
( It '/ 0 ( X i ) − It / 0 ( X i ) ) ui 0 =
i =1
∆I ( X i ) u i 0
i =1
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 17
EJEMPLO 3.11.
Las ponderaciones de los siguientes grupos en el IPC para el año base son
Grupo
Alimentos
Vestido
Vivienda
Menaje y hogar
Salud
Transporte
Ocio
Enseñanza
Otros
Total
Ponderación en %
35
9
17
7
3
12
5
8
4
100
Si el IPC de este año ha sido 115,96, calcule el IPC para el próximo año en los
siguientes casos:
A. El índice de la vivienda se incrementa un 15% permaneciendo igual el resto de
los índices.
B. Los índices de vivienda y transporte se incrementan en un 10% y 5%
respectivamente, los índices de vestido y enseñanza disminuyen un 2% y 1%
respectivamente, no variando el resto de los índices.
Solución:
n
A. ∆I ( X ) =
∆I ( X i ) ui = 0,15 × 0,17 = 0, 0255
i =1
IPC(próx. año)=IPC(año actual)+ IPC=115,96+2,55=118,51
n
B. ∆I ( X ) =
∆I ( X i ) ui = ( 0,10 × 0,17 ) + ( 0, 05 × 0,12 ) + ( −0, 02 × 0, 09 ) + ( −0, 01× 0, 08 ) = 0, 0204
i =1
IPC(próx. año)=IPC(año actual)+ IPC=115,96+2,04=118,00
Preguntas de teoría del Tema 3
TÉCNICAS CUANTITATIVAS 1.ADE+DERECHO (A y B).TEMA 3.Curso 14/15 18

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