MÉTODOS AVANZADOS DE INTEGRACIÓN

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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
MÉTODOS AVANZADOS DE
INTEGRACIÓN
Cuando se es estudiante, ya sea nivel bachillerato o universitario, se nos enseña una
herramienta matemática formidable: las integrales. Y se nos brindan algunos
métodos de integración que debemos de dominar, por ejemplo el método de
sustitución, por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Pero
desafortunadamente no se nos enseñan más métodos.
El alumno queda a veces frustrado por la falta de material que existe en el campo de
las integrales. Es mi intención, a través de este curso, transmitirles a todos ustedes
algunos métodos de integración novedosos que he descubierto a lo largo de los años
y que difícilmente podrán encontrar en un libro de texto. Pero para poder
adentrarnos en este maravilloso mundo de las integrales, se requieren de ciertos
conceptos de matemáticas que necesitan dominar. A saber son los siguientes:
-Método de Heaviside
-Función Gamma
-Función Beta
-Series Hipergeométricas
Estos temas serán el punto de partida de este curso y que nos servirán de base para
conocer otros métodos de integración avanzados. El mayor peso que le daré al curso
serán las llamadas integrales elípticas, que son muy utilizadas hoy en día en distintas
disciplinas de la ciencia y la tecnología, por lo que se requiere un estudio profundo
sobre estas integrales tan enigmáticas. Debido a la poca información disponible
sobre estas integrales, me he dado a la tarea de reunir información, técnicas
especiales, aprendizaje y experiencia propia sobre las integrales elípticas y se
requiere que el amable lector tenga bases sólidas en materias como Algebra,
Trigonometría, Cálculo Diferencial e Integral, Números Complejos, Funciones
Hiperbólicas, entre otras cosas.
Así que sean todos bienvenidos a este curso sobre integrales.
Atte:
C.I. Gabriel Chié.
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
CAPÍTULO 1
1.1 FRACCIONES PARCIALES
Muchos de ustedes han de conocer la técnica de fracciones parciales, pero pocos
saben que existe una técnica avanzada para calcular los coeficientes de manera
rápida y sencilla. Esa técnica es el método de Heaviside.
Método de Heaviside
Si , , , … ,
son raíces de la ecuación ( ) = 0 y si
correspondientes multiplicidades, de manera que
( ) = ( − ) ( − ) ( − ) ⋯( −
Entonces
( )
( )
, , ,…,
son sus
)
se puede descomponer en la siguiente expansión de fracciones
parciales:
( )
=
+
( ) ( − )
( − )
+
( −
)
+
+ ⋯+
( −
+
−
+⋯+
)
+
( − )
+ ⋯+
( − )
−
+⋯
−
donde los numeradores de las fracciones individuales están determinados por las
siguientes fórmulas:
(
=
( )=
)
( )
(
)!
( )(
)
( )
(
,
=
,
( )=
Hay que darse cuenta que si , , , … ,
)
(
( )
)!
( )(
(
,
)
( )
=
…,
, …,
( )=
)
(
( )
)!
( )(
)
( )
son raíces simples, entonces:
= = =… =
=1
En el caso en que , , , … , sean imaginarios, se agrupan con sus pares conjugados,
de manera que se pueda representar en forma real de la forma:
+
+2
+
+
+
(
+2
+ )
+⋯+
+
(
+2
+ )
Veamos unos ejemplos para que el lector visualice lo práctico que es éste método.
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Ejemplo 1
Expandir en fracciones parciales la siguiente fracción:
+1
( + 2)( + 3)( + 4)
Se observa que todas sus raíces del denominador son simples, por lo que:
+1
=
( + 2)( + 3)( + 4)
Para calcular
+
+3
+
+4
, de acuerdo a lo anterior:
( + 1)( + 2)
1
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
= lim
→
El cálculo de
+2
y
es algo similar:
= lim
→
= lim
→
( + 1)( + 3)
=2
( + 2)( + 3)( + 4)
( + 1)( + 4)
3
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
De modo que:
−1 2
+1
=
+
( + 2)( + 3)( + 4)
+2
3
2
2
−
+3
+4
De esta manera, la expansión en fracciones parciales es muy simple.
Ejemplo 2
Expandir en fracciones parciales la siguiente fracción:
+1
( + 2)
En este ejemplo se nota que una raíz del denominador es simple y las otras dos son
repetidas, de modo que:
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
+1
=
( + 2)
Para calcular
+
+
( + 2)
, se tiene que:
= lim
→
Para obtener
+2
y
( + 1)
1
=
( + 2)
4
, es de acuerdo a lo siguiente:
= lim
→
( )
= lim
→
1
+1
=
1
2
( )
1
1
= lim −
=−
→
1
4
= lim
→
De manera que:
1
1
1
+1
4
2 −
= 4+
( + 2)
+ 2 ( + 2)
Ejemplo 3
Expandir en fracciones parciales la siguiente fracción:
(
+ 4)(
+ 9)
En este ejemplo, se da uno cuenta que las raíces del denominador son imaginarias.
De forma que:
(
+ 4)(
+ 9)
=
+2
+
Ahora se procede a calcular los valores de
= lim
→
= lim
→
−2
,
( − 2 )(
( + 2 )(
+
,
+3
y
+ 9)
+ 9)
:
=
1
10
=
1
10
+
−3
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
= lim
( − 3 )(
→
= lim
→
( + 3 )(
+ 4)
+ 4)
=−
=−
1
10
1
10
Por lo tanto:
1
(
+ 4)(
(
+ 9)
1
1
1
10 + 10 − 10 − 10 +2
−2
+3
−3
=
=
1
10
2
−
+4
=
1
5
+4
+ 4)(
+ 9)
=
−
1
5
2
+9
+9
+4
−
+9
De esta manera, el método de Heaviside es una técnica muy efectiva para calcular los
coeficientes de una expansión en fracciones parciales y el amable lector deberá tener
presente este método a fin de simplificar cálculos engorrosos e innecesarios si uno
aplicara el método tradicional. Esto indica que si el lector desea dominar este
método, tendrá que practicar y practicar hasta que lo perfeccione, que en realidad
no es difícil, solo es cuestión de sustituir valores de acuerdo a las fórmulas aquí
presentadas, tratando de no equivocarnos en los cálculos.
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
TAREA:
Resolver las siguientes integrales:
1. ∫
2. ∫
3. ∫
4. ∫
5. ∫
6. ∫ (
)(
)
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1.2 FUNCIÓN GAMMA
La función gamma fue introducida por primera vez por el matemático suizo
Leonhard Euler (1707-1783), con el objetivo de generalizar la función factorial a
valores no enteros. Más tarde, por su gran importancia, esta fue estudiada por
matemáticos eminentes tales como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), Christoph Gudermann (1798-1852), Joseph Liouville
(1809-1882), Karl Weierstrass (1815-1897), Charles Hermite (1822-1901), al igual que
muchos otros.
La función gamma pertenece a una categoría de funciones transcendentes
especiales, y esta función ocurre en algunas constantes matemáticas especiales. Esta
aparece en varias áreas de estudio, como en las series asintóticas, integrales
definidas, series hipergeométricas, la función Zeta de Riemann, teoría de números,
entre otras.
Definición:
La función gamma, que se denota ( ), es definida como una extensión de la función
factorial de argumentos de números complejos y reales. Se define por
( )=∫
… (1)
> 0.
que es convergente para
Nos podemos dar cuenta de la definición (1), que al aplicar integración por partes,
se obtiene que:
( + 1) =
= lim
→
= lim −
+ ∫
→
= ( ), si
Por lo que se concluye que:
( + 1) = ( ), si
De acuerdo con (1), para
> 0 … (2)
= 1:
(1) =
= lim (1 −
→
)=1
>0
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Ahora si se utiliza (2), con
= 1, 2, 3, … se obtienen los siguientes resultados:
(2) = 1 (1) = 1 = 1!
(3) = 2 (2) = 2 ∙ 1 = 2!
(4) = 3 (3) = 3 ∙ 2 = 3!
⋮
( + 1) = ! … (3)
Es por esto mismo que la función Gamma, para valores enteros positivos, puede ser
vista como una extensión de la función factorial de números reales positivos no
nulos.
La relación recurrente (2) es una ecuación de diferencias que tiene por solución (1).
Tomando (1) como definición de ( ) para > 0, se puede generalizar la función
gamma para < 0 aplicando (2) en la forma:
( )=
(
)
… (4)
A éste proceso se le llama prolongación analítica.
Existe una definición alternativa de la función Gamma, debida a Euler, que es la
siguiente:
( ) = lim
→
válidas para todo número
!
(
)(
)⋯(
)
… (5)
que no sea un entero negativo.
Es sencillo demostrar que partiendo de la definición (5) se puede llegar a la relación
recurrente (2), de modo que:
!
→ ( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + 1 + )
!
= lim →
( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) ( + 1 + )
( + 1) = lim
= ( ) lim
→
+1+
= ( )(1) = ( )
Entonces se concluye que:
( + 1) = ( )
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Otras ecuaciones funcionales de la función Gamma son la fórmula de reflexión de
Euler:
(1 − ) ( ) =
( )
… (6)
Y el teorema de multiplicación:
( )
+
+
⋯
+
( 2 )
=
(
) … (7)
En base a la definición (1), se puede demostrar que:
1
=√
2
Varios tipos de fórmulas pueden ser derivadas usando la relación (2). Las más
utilizadas son las que se muestran a continuación, siempre que sea un entero:
1
1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ⋯ (2 − 1)
=
2
2
1
2
+
1
1 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 10 ⋯ (3 − 2)
=
3
3
1
3
+
2
2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 11 ⋯ (3 − 1)
=
3
3
2
3
+
1
1 ∙ 5 ∙ 9 ∙ 13 ⋯ (4 − 3)
=
4
4
1
4
3
3 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 15 ⋯ (4 − 1)
=
4
4
3
2
+
+
Ninguna expresión básica es conocida para
y
pero se ha probado que esos
números son trascendentales, demostrados por Le Lionnais en 1983 y por
Chudnovsky en 1984.
La teoría de funciones gamma, despierta una nueva rama matemática, similar al
cálculo; esto implica que esta teoría es un cálculo moderno, y a través de la misma,
se pueden construir muchas nuevas teorías de funciones las cuales se pueden
medir con un nuevo enfoque.
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
TAREA:
1. Demuestra utilizando la definición de la función gamma que:
1
=√
2
2. Evalúa:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
−
g)
−
3. Demostrar que:
+
1
1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ⋯ (2 − 1)
=
2
2
1
2
4. Calcular las siguientes integrales:
a) ∫
b) ∫
c) ∫
d) ∫
√
e) ∫ (ln ) 5. Demuestra que:
cos(
)
1
= 2