Fatiga en metales

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Fatiga en metales
Capı́tulo 10
Fatiga en metales
Cuando un metal está sometido a cargas cı́clicas es posible que, aunque el
estado tensional en todo instante sea relativamente inocuo, el material acabe por romperse. Este tipo de fallo, que no está contemplado por ninguno
de los modelos estudiados hasta ahora es, además, especialmente peligroso:
los criterios de fallo no lo predicen, no se manifiesta exteriormente hasta la
rotura y, cuando ésta ocurre, es similar a la de los materiales frágiles, donde
aparecen fisuras que se propagan rápidamente hasta el fallo. Este fenómeno
se conoce como fatiga y es necesario considerarlo sobre todo cuando se diseñan máquinas o estructuras que bajo servicio estarán sometidas a ciclos
de carga (vehı́culos, máquinas rotatorias, estructuras sometidas a viento. . . )
o térmicos.
El estudio de la fatiga en los metales se suele dividir en tres categorı́as:
a) Fatiga de gran número de ciclos. Este tipo de fatiga aparece cuando las tensiones nominales responsables de la fatiga son muy pequeñas
(en relación al lı́mite elástico del material).
b) Fatiga de bajo número de ciclos. Esta fatiga ocurre cuando la
deformación plástica en cada ciclo es visible.
c) Fatiga térmica. Debido a las tensiones que aparecen en los ciclos
térmicos.
Aunque el fallo por fatiga no está restringido a los materiales metálicos
nos limitamos en esta primera exposición al estudio de este tipo de materiales. Descripciones más completas de la fatiga en metales se pueden encontrar,
por ejemplo, en [2].
10.1.
Historia
El desarrollo de la teorı́a de la fatiga de metales está ligado al de catástrofes que han ocurrido en la sociedad industrializada y que, en su momento,
199
200
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Figura 10.1: Fatiga en un eje (J. Glynn, 1843)
sorprendieron a la comunidad cientı́fica pues parecı́an contradecir al conocimiento del momento.
El accidente ferroviario en Meudon, Francia (1842) se debió al descarrilamiento de la locomotora de un tren en el trayecto Versalles-Parı́s, debido
a la rotura de uno de sus ejes. Este accidente motivó el primer estudio sistemático de la fatiga en materiales metálicos, cuando Rankine estudió el
efecto de la concentración de tensiones en el crecimiento de grietas en ejes
de ferrocarril. Anteriormente, W. Albert y J.-V. Poncelet ya habı́an presentado algunos trabajos sobre el tema y fue este último el que describió el
cansancio (fatigue) de los metales que estudiaba.
Sin duda, el caso más famoso en el campo de la aeronáutica es el de los
accidentes de los aviones tipo de Havilland Comet en la década de 1950. Este
modelo británico fue el primer avión a reacción para uso civil. Los accidentes
referidos tuvieron lugar en el aire con consecuencias desastrosas. El análisis
forénsico de las causas determinó que durante el vuelo aparecieron grietas
debidas a la fatiga del fuselaje en la zona de las esquinas de las ventanillas.
Las tensiones en esa zona habı́an sido estudiadas en el diseño y estaban por
debajo del lı́mite elástico, pero no se habı́a tenido en cuenta la fatiga del
material, que además se acentuaba debido a la concentración de tensiones
en dichos puntos. Este no es el único avión con defectos de diseño ligados a
la fatiga de los materiales (ver wikipedia)
Finalmente, por citar un ejemplo no relacionado con el transporte, la
plataforma petrolı́fera Alexander L. Kielland de Noruega volcó en 1980 causando la muerte a 123 personas y también se debió al crecimiento de una
grieta por fisura.
10.2.
Descripción micromecánica de la rotura por
fatiga
Para comprender la razón por la que los metales sufren rotura por fatiga
es necesario examinar los procesos micromecánicos que la acompañan.
El proceso de rotura por fatiga, de forma general y como ya se ha co-
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
201
Figura 10.2: Detalles de las estructuras superficiales causadas por las bandas
de deslizamiento persistente en la superficie de un cristal.
mentado, consiste en la aparición de microgrietas, su crecimiento lento (por
cada ciclo de carga) hasta que se alcanza un tamaño crı́tico de grieta en
el que se propagan rápidamente. Aunque no es fácil describir qué ocurre
a nivel microscópico en todos los casos de fatiga, existe consenso en que
la razón fundamental por la cual aparecen grietas en metales sometidos a
cargas cı́clicas es la nucleación y acumulación de dislocaciones, y vacancias
atómicas, hasta que éstas forman estructuras estables. En particular, en las
llamadas bandas de deslizamiento persistente se concentra la mayor parte
de la cizalla plástica. Cuando estas bandas alcanzan la superficie libre de
los cristales aparecen picos y valles, en donde las tensiones se concentran y
donde es más posible que las grietas aparezcan (ver Figura 10.2). Debido
a la aplicación repetitiva de cargas, la fisura va creciendo de forma lenta.
202
Mecánica de sólidos,
I. Romero
Llega un momento que la fisura es tan grande que la pieza no puede resistir
la carga y se produce una rotura súbita. Este proceso se puede identificar
en las secciones de la piezas que fallan debidas a fatiga (ver Figura 10.2)
Como los detalles superficiales tienen una importancia crı́tica en la iniciación de grietas, se sigue que los tratamientos superficiales y los efectos
quı́micos (corrosión) afectan de forma crı́tica a la resistencia a la fatigua de
las piezas mecánicas.
10.3.
Cálculo de la resistencia a fatiga bajo carga
uniaxial
Las causas de la rotura por fatiga son complejas, y por ello existen numerosos modelos simplificados que la predicen de forma aproximada. Estos
modelos hacen uso de fórmulas sencillas y tablas que recogen el resultado
de experimentos en los que se calcula la resistencia a la fatiga de materiales
bajo cargas repetitivas. De hecho, la complejidad del proceso es tal que en
la mayorı́a de las ocasiones sólo se estudia la fatiga en procesos de carga
uniaxial, como a continuación se presenta.
Tres son los métodos más habituales para el cálculo de la resistencia a
fatiga
Cálculo de vida a tensión (diagramas S-N),
Cálculo de vida a deformación (diagramas ✏-N),
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
203
Figura 10.3: Curvas S-N para aceros (año 1924).
Fatiga por crecimiento de grieta,
que estudiamos en detalle a continuación.
10.3.1.
Cálculo de resistencia a fatiga a partir del estado
tensional
Este tipo de cálculo se aplica para el estudio de la fatiga bajo un número
alto de ciclos (> 104 ). En estas situaciones la tensión es baja y no se aprecia
deformación plástica. Se observa además, que los resultados de este tipo de
fracturas por fatiga apenas dependen de la velocidad de aplicación de las
cargas.
Descripción de las cargas cı́clicas. Consideramos únicamente cargas
cı́clicas de la forma
(t) = m + a sin(wt) .
(10.1)
El sı́mbolo m denota la tensión media, que puede ser tanto positiva como
negativa. Por contra, la amplitud a es siempre positiva (ver figura 10.4).
Este es el método más clásico y elemental para el estudio de la fatiga
y tiene su origen el los trabajos de Wöhler de 1850. El cálculo de la vida
de una pieza se basa en la comparación del valor nominal de la tensión (S)
frente al número de ciclos (N ).
Diagramas S-N. La herramienta fundamental en este tipo de análisis
son los llamados diagramas de Wöhler , o diagramas S-N , diagramas
cartesianos semilogarı́tmicos en los que se representa en el eje de ordenadas la
tensión nominal S y en el de abcisas el número de ciclos N en el que se llega al
204
Mecánica de sólidos,
I. Romero
fallo. En muchos materiales, la función S(N ) muestra dos comportamientos
diferenciados: en un primer intervalo es decreciente y en un segundo intervalo
es constante. La función de fallo a veces se representa con la función de
Basquin
S = f0 (2N )b
(10.2)
siendo f0 y b dos constantes del material conocidas, respectivamente, como
el coeficiente y el exponente de resistencia a fatiga. Estas constantes
se puede hallar experimentalmente o imponer suponiendo, por ejemplo, que
para N = 103 , S = 0,9 r y que para N = 106 , S = f .
El lı́mite de fatiga es por tanto la tensión uniaxial por debajo de la
cual un material nunca fallará a fatiga. Una primera aproximación, que se
verifica aproximadamente, es f = e /2. Otra aproximación que a veces se
emplea es f = BHN/4, siendo BHN la dureza de Brinell. A veces también
se usa la aproximación que S(1000) = 0,9 u .
Algunos aceros de alta resistencia, el aluminio, y otros materiales no
férreos no poseen un umbral de tensión por debajo del cual no se produce
fallo por fatiga ası́ que se suele definir el lı́mite de fatiga como la tensión que
produce un fallo después de 108 ciclos, aunque esta definición es subjetiva y
a veces se escoge otro número de ciclos distinto.
Las curvas de Wöhler se construyen a partir de numerosos ensayos en laboratorio, sometiendo especı́menes bien a cargas cı́clicas de tensión/tracción
o bien a flexión. En realidad, la resistencia a la fatiga de los materiales debiera estudiarse estadı́sticamente pues es una propiedad con una dispersión
significativa. Sin embargo, como primera aproximación, supondremos que
los diagramas S-N proporcionan suficiente información.
Se observa experimentalmente que la resistencia a fatiga de un componente mecánico depende de forma significativa del tratamiento superficial del
mismo. Ası́, el lı́mite de fatiga en una probeta pulida o en una simplemente
estampada no es igual. Como las grietas, causantes de la rotura por fatiga,
inician en la superficie, cuanto ésta sea más pulida mayor será la resistencia
a fatiga. De hecho, existen diagramas que indican, de forma aproximada, un
coeficiente de acabado de superficie que condensa estos efectos, minorando
la resistencia a fatiga de la probetas, que siempre son pulidas.
Efectos de la concentración de tensiones. Para una misma tensión
nominal, la concentración de tensiones reduce la resistencia a la fatiga.
Efectos de la tensión media. Los diagramas S-N habitualmente representan la resistencia a fatiga de materiales sometidos a ciclos de tensión
con media nula. Cuando la tensión media es positiva (tracción) la vida del
material se acorta y cuando ésta es negativa (compresión), se alarga.
Experimentalmente se observa que para un mismo número de ciclos de
vida útil un incremento de la tensión media repercute en una menor am-
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
205
a
m
t
Figura 10.4: Tensión con valor medio y amplitud no nulas.
a
N
a0
e
r
m
Figura 10.5: Iso-curvas de número de ciclos hasta el fallo de Sodeberg (trazo
continuo) y de Goodman (trazo discontinuo). Abcisas m : tensión media;
N : amplitud
ordenadas a : amplitud de la tensión. Valores del material: a0
de la tensión que, cuando el valor medio es nulo, tiene una vida a fatiga de
N ciclos; e : lı́mite elástico; r : tensión de rotura.
plitud. Existen varios modelos matemáticos que sirven para cuantificar esta
observación. Por ejemplo, el diagrama de Goodman (ver figura 10.5) representa estados en el plano ( m , a ) con el mismo número de ciclos de vida
N a la amplitud de una tensión armónica con
hasta el fallo. Llamando a0
media nula tal que su vida útil a fatiga sea N ciclos, la recta de GoodN ) y ( , 0), siendo
man interpola linealmente entre los puntos (0, a0
u
a0 y su
ecuación es, por tanto,
✓
◆
m
N
.
(10.3)
a = a0 1
r
Esta recta por tanto representa de forma aproximada aquellas combinaciones
( m , a ) cuya resistencia a la fatiga es de N ciclos.
La relación de iso-vida caracterizada por la ecuación de Goodman es
aproximada, y existen otros modelos semejantes. Por ejemplo, la ecuación
206
Mecánica de sólidos,
I. Romero
a2
a1
m2
m1
t
Figura 10.6: Carga cı́clica con dos tramos diferenciados de amplitud y valor
medio.
de Soderberg interpola la resistencia entre el lı́mite de fatiga y el lı́mite
elástico:
✓
◆
m
N
=
1
.
(10.4)
a
a0
e
Finalmente, la ecuación de Gerber también proporciona una aproximación a esta región de iso-resistencia
a
=
N
a0
1
✓
m
u
◆2 !
.
(10.5)
Fatiga bajo cargas cı́clicas en tramos de amplitud variable. Lo
descrito anteriormente sólo es válido para historias de carga en las que el
valor de la tensión cambia cı́clicamente. Sin embargo, existen muchos casos
de interés en los que la amplitud de las cargas cı́clicas cambian con el tiempo. En estos casos, la historia de cargas se puede dividir en varios bloques
sucesivos, cada uno de ellos caracterizado por cargas cı́clicas de amplitud
constante.
Para combinar el efecto sobre la fatiga en el material se puede utilizar
la regla de Palmgren-Miner , que considera el daño acumulado en cada
uno de los periodos de carga y que, aunque tan sólo sea una aproximación,
al menos da una estimación de la vida hasta el fallo. Este método considera
que cada periodo de carga con amplitud de fuerzas constantes provoca un
daño sobre el material, independiente de en qué orden se sucedan los distintos
periodos; más aún, cada uno de estos periodos provoca un daño que es igual,
en porcentaje, al que provocarı́a si la amplitud de la fuerzas fuera constante.
Finalmente, el fallo final por fatiga ocurre cuando el daño acumulado alcanza
el 100 %.
. Ejemplo 10.3.1. La resistencia a la fatiga de un material se representa
de forma simplificada en un diagrama (semilogarı́tmico) S-N que consiste en
una recta que pasa por (1 ciclo, 100 MPa) y (107 ciclos, 50 MPa).
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
207
100
90
S (MPa)
80
70
60
50
40
1
10
100
1000
10000 100000 1e+06
1e+07
1e+08
N (cycles)
80
70
50
40
a
(MPa)
60
30
20
10
0
0
20
40
60
m
80
100
(MPa)
Figura 10.7: Diagrama S-N (arriba) y diagrama de Goodman (abajo) del
ejemplo 10.3.1.
a) Si se quiere diseñar una pieza sometida a esfuerzo axial de forma que
resista 105 ciclos de carga, ¿cuál es la máxima amplitud de la tensión
admisible?
En el diagrama semilogarı́tmico S-N (véase la figura 10.7), la recta de
resistencia a la fatiga tiene la expresión S = 100 50
7 log N . Con lo
5
cual, para que resista 10 ciclos, la tensión admisible es
S = 100
50
log 105 = 64,29 MPa
7
b) Admitiendo como válido el diagrama de Goodman, calcular la amplitud de una tensión armónica de media m = 20 MPa, de forma que la
vida útil de la pieza sea también de 105 ciclos.
La recta del diagrama de Goodman es, para una vida útil de 105 ciclos,
1/100 m ) por lo que la amplitud de la tensión en una
a = 64,29(1
carga armónica de valor medio 20 MPa será
a
= 64,29(1
20/100) = 51,43 MPa
c) Ahora la misma pieza se somete a una tensión de la forma (t) =
20 + 51,43 sin(!t) durante 3 · 104 ciclos de carga. Después, se somete
208
Mecánica de sólidos,
I. Romero
a otra carga armónica de tensión con valor medio m = 40 MPa y
amplitud 20 MPa. ¿cuántos ciclos de carga resistirá antes de la rotura
por fatiga?
El estado tensional del primer ciclo de carga, como antes se calculaba,
permite una vida útil de 105 . Puesto que la pieza sólo se ha sometido a
N1 = 3 · 104 ciclos, ésta ha agotado el 30 % de su vida, según el criterio
de Palmgren-Miner.
40
35
25
20
a
(MPa)
30
15
10
5
0
0
20
40
60
m
80
100
(MPa)
Figura 10.8: Diagrama de Goodman de el estado (
m,
a)
= (40, 20) MPa.
Para encontrar el número de ciclos que la pieza resistirá en su segundo
estado de carga, calculamos primero la vida útil de una pieza sometida
a un único ciclo de carga con ( m , a ) = (40, 20) MPa. En el diagrama
de Goodman de la figura 10.8 se puede apreciar que el estado de carga
estudiado tiene un vida útil igual que un tensión armónica de amplitud
a = 33,33 MPa y valor medio nulo. Empleando una vez más la curva
S-N, se puede calcular que la vida útil de una pieza con esta tensión
armónica es de N = 2,15 · 109 .
Como, según la regla de Palmgren-Miner, a la pieza sólo le resta un
70 % de vida útil para esta segunda fase de carga, concluimos que esto
equivale a un número de ciclos
N2 = 0,70 ⇥ 2,15 · 109 = 1,5 · 109 ciclos
El número total de ciclos de vida de esta pieza será N1 + N2 .
/
10.3.2.
Cálculo de resistencia a fatiga a partir de las deformaciones
Este análisis se hace para la rotura en un número bajo de ciclos (⇡ 103 ),
donde las deformaciones plásticas son patentes. Su desarrollo es de los años
1960s, muy posterior al del análisis por tensiones. La hipótesis fundamental
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
209
"
"
Figura 10.9: Ciclo de control de deformación en un material elastoplástico.
Una fase transitoria (gris) da lugar a un régime estacionario con histéresis.
de este tipo de análisis es que la rotura en una situación de fatiga en bajo
número de ciclos se debe a la acumulación de deformación plástica. Este
criterio se acerca más a la interpretación micromecánica de la fatiga que el
de la tensión.
Para estudiar la fatiga en ciclos de este estilo se realizan ensayos con control de desplazamiento como el mostrado en la figura 10.9. Si sobre una probeta sometida a tracción se imponen desplazamientos de rango ", después
de una fase transitoria en la que la deformación plástica crece, se alcanza
un régimen permanente en el que se aprecia claramente una respuesta con
histéresis, donde la tensión abarca un rango
. Experimentalmente se ha
observado que en estos ciclos de deformación, la amplitud de la deformación
plástica "p /2 está relacionada con el número de ciclos hasta el fallo N
mediante una ecuación de la forma
"p
= "0f (2N )c ,
2
(10.6)
siendo "0f el coeficiente de ductilidad a fatiga y c el exponente de
ductilidad a fatiga. La primera de estas constantes mide la deformación
plástica que llevarı́a al fallo en medio ciclo de carga (un cambio de signo en
la deformación). La segunda de estas constantes tiene un valor entre -0.5 y
-0.7 para metales.
Como se estudió en la teorı́a de la plasticidad, la amplitud de la deformación plástica se puede escribir como "p /2 = "/2
"e /2, es decir, que es
el resultado de sustraer la amplitud de la deformación recuperable de la am-
210
Mecánica de sólidos,
I. Romero
plitud total de la deformación. Si escribimos la ecuación de Basquin (10.2)
como
/2 = f0 (2N )b
(10.7)
entonces la ecuación (10.6) se puede expresar como
0
"
f
=
(2N )b + "0f (2N )c .
2
E
(10.8)
El primer sumando del término de la derecha representa la contribución
elástica al fallo por fatiga; a su vez, el segundo término mide la contribución
de la deformación plástica al fallo. Para tener en cuenta el efecto de tensiones
medias no nulas el coeficiente de resistencia a la fatiga f0 se sustituye por
0
m.
f
Las propiedades de la superficie, la concentración de tensiones y el valor
de la tensión media modifican, como en el caso de las curvas S-N, la vida de
los materiales sometidos a fatiga de bajos ciclos.
. Ejemplo 10.3.2. Un acero tiene propiedades mecánicas e = 230 MPa,
0
0
0,110 y c = 0,64. Si se somete a una
f = 830 MPa, "f = 0,95, b =
deformación armónica de media nula y amplitud " = 0,03, determinar el
número de ciclos hasta el fallo.
Sustituyendo los datos en la ecuación (10.8) encontramos que el número
de ciclos de deformación hasta el fallo es N = 404.
/
10.3.3.
Calculo de resistencia a partir de la teorı́a de la fractura
Cuando una pieza o estructura está sometida a cargas cı́clicas y además
tiene un grieta, puede ocurrir que ésta crezca hasta alcanzar un tamaño
tan grande que la pieza se parta. La mecánica de la fractura, tal y como
se estudió en el capı́tulo 9, se encarga de determinar el tamaño crı́tico de
la grieta y estudiamos a continuación la velocidad de crecimiento de grietas
(subcrı́ticas) debido a solicitaciones cı́clicas.
Habitualmente se considera, en primer lugar, la amplitud de la tensión
que hace crecer la grieta, es decir:
(
máx
mı́n , si mı́n > 0
=
(10.9)
si mı́n  0
máx ,
puesto que las cargas compresivas no abren las grietas. En segundo lugar,
considerando que el factor de intensidad de tensiones es de la forma
K=
p
⇡a f (a, . . . ) ,
(10.10)
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
211
siendo a el parámetro de longitud de grieta y f una función que depende
de a y posiblemente otros factores geométricos, se define su amplitud como
p
K=
⇡af (a, . . . ) ,
(10.11)
usándose ésta magnitud como la responsable del crecimiento de las grietas
y escribiendo
da
= F( K)
(10.12)
dN
10
1
0.1
0.01
0.001
da
dN
0.0001
1e-05
1e-06
1e-07
1e-08
1e-09
10
K
Figura 10.10: Velocidad de crecimiento de grieta en función del rango del
coeficiente de intensificación de tensiones.
En este tipo de curvas se observa que, por debajo de un cierto nivel
de K, las grietas no se abren nunca, independientemente del número de
ciclos que se apliquen. Por encima de este umbral, existe un amplio rango
de valores de K para los que se cumple la ley de Paris
F( K) = C K m
(10.13)
siendo C y m parámetros del material. Este rango se aprecia en un diagrama
logarı́tmico como una recta (véase la figura 10.10). Existe también un valor
crı́tico de K por encima del cual la grieta crece muy rápidamente, llevando
a la fractura.
Cálculo de la vida útil
Dada una grieta de longitud ai , el número de ciclos que hacen que
ésta crezca hasta alcanzar una longitud af se obtiene integrando la relación (10.12) que resulta:
Z af
da
N=
(10.14)
F(
K(a))
ai
212
Mecánica de sólidos,
I. Romero
donde hemos relacionado el valor del factor de intensidad de tensiones con el
tamaño de grieta. Para un cálculo de vida útil se debe emplear un valor de
la longitud inicial de la grieta (que debe de obtenerse a partir de los procesos
de fabricación) y el tamaño crı́tico de grieta, que se puede obtener usando
la teorı́a de la mecánica de la fractura.
p
. Ejemplo 10.3.3. Una chapa delgada de acero (KI = 50 MPa m) como la
de la figura 9.5 tiene dimensiones 600 ⇥ 900 mm2 y una grieta transversal de
longitud 2a = 30 mm. Suponiendo que la chapa está sometida a tracciones
de la forma (t) = 160 cos(!t) MPa y tomando como válida una ley de Paris
p
con constante C = 10 11 m·Hz/(M P a m)3 y exponente m = 3, determinar
el número de ciclos hasta el fallo.
Para una chapa delgada con una grieta transversal sometida a tensiones
cı́clicas con valor medio nulo, el rango del factor de amplificación de tensiones
es
p
K = 0 ⇡a.
p
Si la tenacidad a fractura del acero es KI = 50 MPa m, es valor crı́tico de
la dimensión a es ac = (50/16)2 · 1/⇡ = 0,0316 m. Concluimos que el número
de ciclos de carga necesarios para llevar la chapa hasta el fallo es:
N=
Z
31,6·10
15·10
3
3
10
da
p
11 (16
⇡a)3
= 2,22 · 107 ciclos
/
10.4.
Fatiga en cargas multiaxiales
El cálculo de la resistencia a la fatiga en piezas y estructuras sometidas a cargas no uniaxiales es bastante más complejo que el descrito en la
Sección 10.3. En este caso, además el número de modelos aproximados se
multiplica pues aparecen explicaciones para la fatiga de ejes sometidos a
torsión, a flexión, a torso-flexión, etc, que únicamente se pueden aplicar en
casos particulares. En general, toda esta variedad de modelos apunta hacia
la complejidad del fenómeno de la fatiga, y muestra la falta de un modelo
básico que pueda emplearse para predecir todos los casos de fatiga.
Un sencillo modelo que puede emplearse, teniendo en cuenta que no es
muy exacto, en el caso de fatiga de muchos ciclos consiste en utilizar la
teorı́a unidimensional ya estudiada para alguna tensión equivalente, como
la de von Mises o Tresca. Este tipo de análisis sólo tiene sentido cuando
las solicitaciones exteriores varı́an únicamente en módulo, y éstos de forma
sincronizada. Es decir, las tensiones y deformaciones en el sólido cambian,
pero este cambio es tal que lo que produce es un tensor de tensiones en
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
213
cada punto cuya norma oscila en el tiempo, es decir, que en todo punto x e
instante t el tensor de tensiones se puede escribir como:
(x, t) = f (t) ¯ (x) ,
(10.15)
Para este tipo de cargas, la tensiones principales en cada punto también
satisfacen
I (x, t)
= f (t) ¯I (x) ,
II (x, t)
= f (t) ¯II (x) ,
III (x, t)
= f (t) ¯III (x) ,
(10.16)
y por tanto la tensión de von Mises y de Tresca son
vM (x, t)
= f (t)¯vM (x) ,
vM (x, t)
= f (t)¯T r (x) .
(10.17)
En el caso más sencillo, podemos utilizar la ecuación de Basquin (10.2) obtenida para la fatiga unidimensional y utilizando las constantes determinadas
para dicha situación, extrapolar su uso al caso tridimensional reemplazando
el valor de la amplitud de la tensión por la de la amplitud de la tensión
equivalente (de von Mises, por ejemplo).
Cuando el estado tensional no sólo no es unidimensional sino que además
tiene un valor medio no nulo se puede continuar extendiendo la analogı́a
unidimensional definiendo una tensión media equivalente, calculando el valor
medio de la tensión equivalente. En este caso además, se pueden utilizar las
aproximaciones de Goodman o de Soderberg para encontrar el número de
ciclos de carga hasta el fallo.
Los métodos más avanzados y precisos para el cálculo de vida de fatiga
en situaciones de carga bi- o tri-axial son los conocidos como métodos de
plano crı́tico. Todos ellos reconocen, para empezar, que la fatiga en los
sólidos es un fenómeno direccional, y que no tiene sentido hablar de una
única tensión representativa (la de von Mises, Tresca, o cualquier otra) como
variable de control para la aparición y crecimiento de grietas. Los métodos
de plano crı́tico, en cambio, estudian la aparición de la fatiga de entre todos
los planos que pasan por cada punto y escogiendo como crı́tico aquel plano
en el que el fallo por fatiga aparezca antes. Para utilizar este tipo de métodos
se necesita, en primer lugar, identificar el plano crı́tico y en segundo lugar
aplicar sobre dicho plano las fórmulas de estimación de vida en situaciones
unidimensionales.
Dentro de los métodos de plano crı́tico, el más sencillo es el que estudia la
aparición de grietas en cada plano estudiando únicamente la componente de
la deformación en la dirección perpendicular a éste y estudiando el problema
uniaxial con las técnicas, por ejemplo, descritas en la sección 10.3.2.
Para aquellas situaciones en las que las cargas exteriores son función
del tiempo, y todas ellas tienen la misma función de proporcionalidad, los
métodos más precisos son el de Brown-Miller y sus variantes [1]. Este tipo
de métodos se basa en la idea de que la máxima deformación angular máx =
214
Mecánica de sólidos,
I. Romero
| |/2
"I
"III
2
"III
"II
"I +"III
2
"I
"
Figura 10.11: Máxima deformación angular máx = "I "III y su corresponIII
diente deformación longitudinal "m = "I +"
para un estado de deformación
2
arbitrario.
"I "III es la responsable de la aparición de micro-grietas y que la deformación
longitudinal, en dirección perpendicular a los planos donde ocurre máx , es
la responsable de su crecimiento. Como esta última es "m = ("I + "III )/2 (ver
figura 10.11), se concluye que cada número de ciclos de vida serán función
únicamente de "I "III y "I + "III .
En los métodos de plano crı́tico se busca una deformación equivalente
cuyo rango "eq , que será función de todo el estado tridimensional, se pueda
utilizar en las fórmulas de estimación de vida a fatiga de corto ciclo. Como
esta deformación equivalente es función de
máx y "m el criterio de BrownMiller supone simplemente
"eq =
máx
2
+↵
"m ,
(10.18)
siendo ↵ un parámetro que depende del material. El valor de los rangos
"m dependen, por supuesto, del estado de deformación. Para
máx y
simplificar aún más el criterio de fatiga se considera únicamente un estado
de tracción uniaxial de tensión , entonces "I = /E, "II = "III = ⌫ /E y
por tanto
"eq =
+⌫
2E
+↵
⌫
2E
=
2E
(1 + ⌫ + ↵(1
⌫)) .
(10.19)
Indicando como " el rango de deformación en la dirección de aplicación de
la tensión durante el ensayo de tracción,
"eq =
"
(1 + ⌫ + ↵(1
2
⌫)) .
(10.20)
Capı́tulo 10. Fatiga en metales
215
Para poder emplear las fórmulas de estimación de vida por fatiga de bajo
número de ciclos descomponemos al deformación equivalente en sus partes
elástica y plástica:
"eq = "eeq + "peq .
(10.21)
La primera contribución se puede aproximar de la ecuación (10.20) usando
⌫ = 0,3, un valor que se ajusta al de muchos metales. La segunda contribución también se puede aproximar usando en la ecuación (10.20) un valor
⌫ = 0,5. Finalmente tenemos pues
"eeq =
"e
(1,3 + 0,7↵) ,
2
"peq =
"p
(1,5 + 0,5↵) .
2
(10.22)
Tomando el valor ↵ = 0,5, que es del mismo orden de magnitud que el valor
estadı́sticamente ajustado de muchos materiales, se sigue que
"eeq = 1,65
"e
,
2
"peq = 1,75
"p
.
2
(10.23)
Finalmente, siguiendo el procedimiento para la estimación de vida a fatiga
detallado en la Sección 10.3.2 se obtiene
"eq = 1,65
0
f
E
(2N )b + 1,75 "0f (2N )c .
(10.24)
y expresando el rango de deformación equivalente en función de los parámetros
"m se concluye
máx y
máx
2
+
"m = 1,65
0
f
E
(2N )b + 1,75 "0f (2N )c .
(10.25)
Esta expresión final resulta de varias simplificaciones pero tiene el valor de
basarse en las dos cantidades que se consideran más crı́ticas para determinar
la vida a fatiga, a saber,
"m . Aunque el ajuste de la contribución
máx y
de cada uno de estas cantidades está hecho para el ensayo de tracción, es la
fórmula más comúnmente empleada para el análisis de estados complejos de
fatiga.
Problemas
10.1. Un material es tal que resiste 107 ciclos cuando está sometido a una
carga armónica de valor máximo = 75 MPa. Determinar, sabiendo que la
tensión de rotura de dicho material es de 180 MPa, la amplitud admisible de
una carga armónica con valor medio igual a 60 MPa si se desea que también
en este régimen el material resista 107 ciclos.
10.2. Un depósito cilı́ndrico de radio R = 800 mm y espesor t = 5 mm
tiene una grieta longitudinal de tamaño 2c = 2 mm. El depósito forma parte
216
Mecánica de sólidos,
I. Romero
de una circuito hidráulico y almacena aceite en un rango de presiones de
p 2 (0,1, 0,5) MPa.
Un estudio del material indica que su vida a fatiga se puede modelar con
p
una ley de Paris de constante C = 10 9 m·ciclo/(MPa m)4 y exponente 4,
p
y que su tenacidad a fractura es KIc = 40 MPa m. Determinar el número
máximo de ciclos de carga/descarga que el depósito puede resistir.
10.3. El análisis por elementos finitos de un punto de la biela de un vehı́culo
ha permitido calcular que el tensor de deformación en dicho punto durante
un ciclo de funcionamiento es
2
3
1 2
3
1 0 5 sin(!t) · 10 2 ,
"=4 2
3 0
2
siendo ! la frecuencia de giro de la máquina y t el tiempo. El departamento
de materiales ha caracterizado la respuesta a fatiga del material con un coeficiente de resistencia a la fatiga f0 = 500 MPa, un exponente de resistencia
a la fatiga b = 0,1, un coeficiente de ductilidad a fatiga "0f = 0,5 y un
exponente de ductilidad a fatiga c = 0,6. Sabiendo, además que el módulo
de Young del material es E = 180 GPa, determinar el número de ciclos que
podrá resistir a fatiga este punto usando un modelo de Brown-Miller.
ro
ri
P (t)
Figura 10.12: Problema 10.4
10.4. Una unión como la de la figura está sometida a una carga armónica
P (t) = P̄ sin(!t) y tiene dimensiones ri = 15 mm, ro = 30 mm, espesor
t = 20 mm. Si P̄ = 5 · 104 N y la pieza tiene una grieta perpendicular a la
dirección de aplicación de la carga y de longitud c0 = 3 mm, ¿Cuántos ciclos
Bibliografı́a
217
de carga resistirá hasta el fallo? El material tiene una tenacidad KIc = 40
p
MPa· m y el crecimiento de la grieta sigue una ley de Paris de constante
p
C = 10 12 m ·ciclo/(MPa m)4 y exponente 4.
Bibliografı́a
[1] M W Brown and K J Miller. A theory for fatigue failure under multiaxial
stress–strain conditions. Proceedings of the Institution of Mechanical
Engineers, 187(1973):745–755, 1973.
[2] S Suresh. Fatigue of Materials. Cambridge University Press, 1998.

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