ejemplos

TEMA 2
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Y CÁLCULO DE PROBABILIDADES
EXPERIMENTOS: EJEMPLOS
Deterministas
Aleatorios
•Calentar agua a
100ºC
vapor
•Lanzar un dado
•Soltar objeto
cae
•Resultado fútbol
puntos
quiniela
•Llegada del bus
a la parada
líneas
EXPERIMENTO ALEATORIO
Definición 1.- Decimos que un experimento es
aleatorio si no podemos predecir su resultado.
Nota: A veces el no conocer en profundidad las
leyes del fenómeno, lo hacen aleatorio.
ESPACIO MUESTRAL.
SUCESOS
EJEMPLOS:
Ω = {1, 2,3, 4,5, 6}
•Quiniela Ω = {1, X , 2}
•Dado
•Línea del bus Ω = {6 , 34 }
SUCESO ALEATORIO.
EJEMPLOS
EJEMPLOS:
Dado:
Quiniela:
A=“Obtener puntuación par” A=“Empatar”
B=“No ganar en
B=“Obtener múltiplo de 3”
casa”
C=“Obtener múltiplo de 5”
C=“Ningún equipo
obtenga puntos”
SUCESOS ELEMENTALES.
SUCESOS COMPUESTOS (I)
Definición 3.-Un suceso es elemental cuando
consta de un sólo elemento del espacio
muestral. En caso contrario se llama suceso
compuesto.
SUCESOS ELEMENTALES
Y COMPUESTOS (II)
EJEMPLOS:
Dado:
A=“Obtener puntuación par”
B=“Obtener múltiplo de 3”
C=“Obtener múltiplo de 5”
Elemental
C
Compuesto
A,B
Quiniela:
A=“Empatar”
B=“No ganar en
casa”
C=“Ningún equipo
obtenga puntos”
Elemental
Compuesto
A
B
SUCESOS COMPATIBLES E
INCOMPATIBLES
Definición 4.- Dados dos sucesos de un
experimento aleatorio, diremos que son
compatibles si se pueden dar los dos al mismo
tiempo, y diremos que son incompatibles en
caso contrario.
Dado:
A=“Obtener puntuación par”
B=“Obtener múltiplo de 3”
C=“Obtener múltiplo de 5”
A y C son incompatibles
A y B son compatibles
SUCESOS SEGURO E
IMPOSIBLE (I)
Definición 5.- El suceso seguro es aquel
suceso aleatorio de un experimento que
se da siempre. Se denota por Ω
Definición 6.- Decimos que un suceso es
imposible cuando no puede darse en el
experimento. Se denota por ∅
SUCESOS SEGURO E
IMPOSIBLE (II)
Dado:
A=“Obtener puntuación menor que 7
B=“Obtener múltiplo de 7”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
Quiniela:
A=“Algún equipo obtenga puntos”
B=“Ningún equipo obtenga puntos”
A es suceso seguro, B es suceso imposible
SUCESO COMPLEMENTARIO
Definición 7.- Dos sucesos son
complementarios si siempre que ocurra
uno, no se da el otro y al revés. Si
denotamos por A a un suceso, su
c
complementario será denotado por A o A
Quiniela:
A=“Algún equipo obtenga puntos”
B=“Ningún equipo obtenga puntos”
A y B son sucesos complementarios
OPERACIONES CON
SUCESOS: DEFINICIONES
OPERACIONES CON
SUCESOS: PROPIEDADES
SISTEMA COMPLETO DE
SUCESOS
Definición 11.- Si tenemos un conjunto
A1, A2,... An de sucesos incompatibles dos a
∀i ≠ j ) cumpliendo que
dos ( Ai ∩ A j = ∅
A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Ω le llamamos
sistema completo de sucesos (partición
de Ω )
Encuesta:
A=“ningún hermano”
B=“un hermano”
C=“dos hermanos”
D=“más de dos hermanos”
Los sucesos A, B, C y D
forman un sistema
completo de sucesos
(s.c.s.)
CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
INTRODUCCIÓN
La idea de probabilidad surge por la necesidad
de medir la incertidumbre o verosimilitud que
posee cada suceso asociado a un experimento
aleatorio.
DEFINICIÓN EMPÍRICA (I)
EJEMPLO:Anotamos el número de caras en N lanzamientos
de una moneda y calculamos su frecuencia relativa
Interpretación frecuentista de la
probabilidad
N
91
81
71
61
51
41
31
21
0
11
0,5
1
frecuencia
relativa
1
DEFINICIÓN EMPÍRICA (II)
Definición.- Cuando se repite un experimento n veces
y se observa el número de ocurrencias, k, de un
determinado suceso A ; llamaremos probabilidad de
éste a su frecuencia relativa
P ( A) = k / n
Ley de los grandes números (Bernouilli)
PROPIEDADES DE LA
DEFINICIÓN EMPÍRICA.
•La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
•La frecuencia relativa de cualquier suceso es
no negativa
•La frecuencia relativa de la unión de dos
sucesos incompatibles es la suma de las
frecuencias de ambos.
REGLA DE LAPLACE
Dado: A=“par”, B=“múltiplo de 5”, entonces
P ( A) =
3
6
y
P( B) =
1
6
Nota: Es la primera definición formal que se
dio, pero tiene muchas limitaciones.
TÉCNICAS PARA CONTAR.
Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.
A veces son útiles los diagramas de árbol.
No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la
característica que cumplen. A veces es muy útil la
Combinatoria: permutaciones, variaciones,...
TÉCNICAS PARA CONTAR.
EJEMPLOS.
Exhaustivo: Suma de los puntos obtenidos al
lanzar dos dados. En particular, 10 puntos.
No exhaustivo:
•Parte numérica de la matrícula de un coche. En
particular, las que empiezan y terminan en 2
•Posibles fechas de cumpleaños en una clase de
n personas.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA
DE PROBABILIDAD (I).
Esta definición fue dada por Kolmogorov en el
siglo XX.
Enuncia tres axiomas que se basan en propiedades
de la probabilidad empírica (frecuencia relativa).
Axioma 1.- Para cada suceso A, su
probabilidad es un número entre 0 y 1
0 ≤ P( A) ≤ 1
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA
DE PROBABILIDAD (II).
Axioma 2.- La probabilidad del suceso
seguro es 1
P (Ω ) = 1
Axioma 3.- Si A y B son dos sucesos
incompatibles, la probabilidad de la unión
P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
PROPIEDADES DE LA
PROBABILIDAD.
A partir de la definición axiomática de probabilidad
se pueden demostrar propiedades de sucesos, como:
•Probabilidad del suceso complementario.
•Probabilidad de la unión finita de incompatibles.
•Justificación de la regla de Laplace.
•Probabilidad de la unión de dos sucesos.
•Probabilidad de la diferencia de sucesos
PROBABILIDAD DEL
SUCESO COMPLEMENTARIO
Ejemplo: Probabilidad de que en una clase de n
personas haya al menos 2 con la misma fecha de
cumpleaños.
n
10
20
30
40
50
p
.117 .411 .706 .891 .970 .994
Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507
60
PROBABILIDAD
CONDICIONADA (I)
Probabilidad de un suceso, sabiendo que otro
ha ocurrido.
Ejemplo: Dado
Calcular la probabilidad de que haya salido el 3, si
nos dicen que el número obtenido es múltiplo de 3.
¿Qué ocurre si repetimos el experimento n
veces y usamos la definición frecuentista de
probabilidad?
PROBABILIDAD
CONDICIONADA (II)
Definición 12.- La probabilidad de que
ocurra un suceso A condicionado a que otro
suceso B con probabilidad no nula haya
ocurrido es
P( A ∩ B)
P( A / B) =
P( B)
La probabilidad de la intersección de sucesos es:
P( A ∩ B) = P( A / B) ⋅ P( B)
PROBABILIDAD
CONDICIONADA. EJEMPLO
Sorteo no equitativo: En una clase de 27
alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiesta
de fin de curso. Cada alumno tiene un número
asignado.
•Se coge una bolsa con 27 bolas y se extrae
una al azar.
•Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se
realiza una extracción en dos pasos. En el
primero se extraen una de las bolas 0, 1 y
2. En el segundo se extrae una de entre
todas las bolas.
INDEPENDENCIA DE
SUCESOS
Definición 13.- Dados dos sucesos A y B
con probabilidades no nulas, decimos que
son independientes si
P ( A / B ) = P( A) y P ( B / A) = P( B )
En estos sucesos se puede calcular cómodamente
la probabilidad de la intersección.
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B)
INDEPENDENCIA DE
SUCESOS. EJEMPLOS
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al
sumar la puntuación obtenida en el lanzamiento
de dos dados, obtengamos un 10.
INTERSECCIÓN DE MÁS DE
DOS SUCESOS
•Sucesos no independientes:
P( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) =
= P( An / A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An −1 ) ⋅… ⋅ P( A2 / A1 ) ⋅ P( A1 )
Regla de la multiplicación.
•Sucesos independientes:
P( A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = P ( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅… ⋅ P( An )
PROBABILIDAD TOTAL (I)
Teorema 1.- Dado un sistema completo de
sucesos A1, A2,...,An la probabilidad de un
suceso S es
P( S ) = P( A1 ) ⋅ P( S / A1 ) + P( A2 ) ⋅ P( S / A2 ) + … + P( An ) ⋅ P( S / An )
PROBABILIDAD TOTAL (II)
Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo la
altura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnas
es superior a 1.80 metros. Además el 60% de
estudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad de
coger a un estudiante de altura superior a 1.80
metros.
S=“altura superior a 1.80”
M=“ser mujer”
H=“ser hombre”
P(S/M)=0.01
P(S/H)=0.04
P(M)=0.6
P(S)=P(S/M)P(M)+P(S/H)P(H)=0.022
TEOREMA DE BAYES (I)
Teorema 2.- Dado un sistema completo de
sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera S
con probabilidad no nula
P ( Ai ∩ S )
P ( Ai / S ) =
=
P( S )
P ( S / Ai ) ⋅ P( Ai )
n
∑ P( S / A ) ⋅ P( A )
j =1
j
j
con P(Ai) la probabilidad a priori de Ai y
P(Ai/S) la probabilidad a posteriori de Ai.
TEOREMA DE BAYES (II)
Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, calcular la
probabilidad de que el estudiante escogido fuera
mujer sabiendo que medía más de 1.80.
P( S / M ) ⋅ P( M ) 3
P( M / S ) =
= = 0.27
P( S )
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TEOREMA DE BAYES (III)
„ Ejemplo 2:
„ Se administra una prueba para detectar usuarios
„
„
„
„
de drogas.
Prevalencia en la población: 3%
Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad)
Cuando se administra a alguien que no la usa,
da negativa en el 98% de los casos
(especificidad).
La prueba dió positiva, ¿cuál es la probabilidad
de que la persona use drogas?
TEOREMA DE BAYES (IV)
„ P( Usa) = .03
„ P( Prueba + / Usa) = .95
„ P( Prueba - /No usa) = .98
„ Queremos saber P( Usa | Prueba +)
TEOREMA DE BAYES (V)
Diagrama de árbol
Selecciono una persona
.03
.97
Usa
.95
Prueba
+
No Usa
.05
Prueba
-
¿cuál es la probabilidad de
haber pasado por aquí?
.02
Prueba
+
.98
Prueba
-
Si estoy aquí o aquí,
TEOREMA DE BAYES (VI)
P(Usa y Pr ueba+)
=
P(Pr ueba+)
P(Pr ueba + / Usa)iP(Usa)
=
P(Pr ueba + / Usa)iP(Usa) + P(Pr ueba + / No Usa)iP(No Usa)
0.03 ⋅ 0.95
=
0.03 ⋅ 0.95 + 0.97 ⋅ 0.02
P(Usa / Pr ueba+) =