Certamen 2 - Alberto Mercado

UTFSM
Departamento de Matemática.
Prof.: Alberto Mercado Saucedo.
Ayud.: Fernando Roldán.
MAT-125 INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA AVANZADA.
CERTAMEN 1.
VIERNES 20 DE NOVIEMBRE
Problema 1. (40 pts.) Sea X un conjunto no vacı́o, y f : X −→ X una función inyectiva. Considere
la siguiente proposición:
x ∈ X \ f (X) =⇒ o(x) := {f n (x) : n ∈ N} ⊂ X es infinito.
(1)
a)
b)
c)
d)
Demuestre la Proposición ?? (notación: f n = f ◦f n−1 , de manera que o(x) = {x, f (x), f 2 (x), . . .}).
Exhiba un ejemplo explı́cito que ilustre la Proposición ??.
Demuestre que el recı́proco de la Proposición ?? no es cierto.
Si f no es inyectiva, ¿la Proposición ?? es cierta?. Demuéstrelo.
Problema 2. (40 pts.) Se define en Z × N∗ la relación de equivalencia dada por
(2)
(m, n) ∼ (p, q) si mq = pn,
para todo par (m, n), (p, q) ∈ Z × N∗ .
m
n.
Denotaremos (m, n) por
a) Demuestre que la relación es de equivalencia.
Se define el conjunto de los números racionales como el conjunto de clases de equivalencia
nh m i
o
: m ∈ Z, n ∈ N∗ .
Q :=
n
Definimos la suma y la multiplicación en Q por
h m i p mq + pn h m i p mp +
·
(3)
=
,
=
.
n
q
nq
n
q
nq
b) Demuestre que las operaciones dadas en (??) están bien definidas.
c) Demuestre que todo elemento de Q posee inverso aditivo, y que todo elemento de Q \ {0}
posee unverso multiplicativo.
d) Demuestre que Q es numerable.
Problema 3. (20 pts.) Principio de inducción transfinita.
Sea I un conjunto bien ordenado (esto es, todo subconjunto A ⊂ I posee un elemento µ ∈ A tal
que µ ≤ λ para todo λ ∈ A). Pruebe que I es totalmente ordenado.
Ahora, sea P (λ) una proposición formulada para cada elemento λ ∈ I. Suponga que
i) P (λ) es cierta para el menor elemento de I.
ii) Si P (λ) es cierta para todo λ < λ∗ entonces P (λ∗ ) es cierta.
Demuestre que P (λ) es cierta para todo λ ∈ I.
Sugerencia: Proceda por contradicción.
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