optica geométrica

OPTICA GEOMÉTRICA
Física de 2º de Bachillerato
La luz se propaga en el vacío a la velocidad
de la luz, que es constante, nunca se
detiene. Da igual a qué velocidad persigamos
un rayo de luz; siempre se alejará de
nosotros a la velocidad de la luz.
La óptica geométrica explica los fenómenos
luminosos a partir del concepto de rayo.
El rayo es la trayectoria que sigue la luz en
su propagación.
Optica geométrica
2
INDICE
1.Introducción.
2.Reflexión y refracción de la luz.
3.Conceptos previos y criterio de signos.
4.Dioptrio esférico y plano.
5.Espejos.
6.Lentes delgadas.
7.El ojo humano y sus defectos.
8.Instrumentos ópticos.
Optica geométrica
3
1. INTRODUCCIÓN
La luz se propaga en línea recta en un medio homegéneo e
isótropo.
Rayo es una línea imaginaria en la dirección de propagación
de la luz.
La óptica geométrica explica el comportamiento macroscópico
de la luz a partir del concepto de rayo.
La medida de la velocidad de la luz: Galileo, O. Roemer,
Bradley, Fizeau, Foucaul y Michelson.
Actualmente se acepta
c 2,99792456 108 m / s
Optica geométrica
4
Indice de refracción de un medio transparente es la relación
entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en dicho
c
medio v.
n
v
El índice de refracción siempre es mayor que 1.
En el vacío la velocidad de la luz es la misma para cualquier
longitud de onda.
En cualquier otro medio la velocidad depende de la longitud de
onda.
Cuando la luz se propaga en un medio material la frecuencia
no varía. La frecuencia depende de la fuente y no del medio, y
si cambia la velocidad es que cambia la longitud de onda.
c
v
0
f
c
fOptica geométrica
v
n
0
5
2. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ
REFLEXIÓN DE LA LUZ
• El rayo indicente, el reflejado y la normal están en el mismo
plano.
• El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
N
B
A
r
i
O
Optica geométrica
6
REFRACCIÓN DE LA LUZ
• El rayo indicente, el refractado y la normal están en el mismo
plano.
• El producto del índice de refracción del primer medio por el
seno del ángulo de incidencia es igual al índice de refracción
del segundo medio por el seno del ángulo de refracción.
A
n1 sen iˆ n2 sen rˆ
N
i
n1
n2
- Invariante de refracción.
O
r
B
- Cuando un rayo pasa a un medio
más refringente se acerca a la normal.
Optica geométrica
7
REFLEXIÓN TOTAL
Cuando un rayo pasa a un medio menos refringente se aleja
de la normal. Existirá un ángulo, ángulo límite, a partir del cual
no se produce refracción y solo se produce reflexión total.
n1 sen Lˆ
N
Lˆ
i
n2
O
90º
n2 sen 90º
n2
arcsen
n1
n1
L
A
B
Optica geométrica
8
E1. Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un
cubo de vidrio de índice de refracción n’ = 1,5. El cubo está
sumergido en agua (n = 4/3) ¿Con qué ángulo debe incidir
para que en la cara superior del cubo haya reflexión total?
R: 31,33º
E2. Los índices de refracción para el agua y
para el vidrio Crown con luz de 589 nm son
nagua = 1,333 y nvidrio = 1,52 respectivamente.
Calcular:
a) La velocidad de la luz en estos dos materiales.
b) El índice de refracción relativo de este vidrio respecto al
agua.
c) La longitud de onda de esa luz en ambos materiales
R: 2,25·108 m/s y 1,97·108Optica
m/s;
1,14; 449 nm; 387,5 nm
geométrica
9
LAMINAS PLANO PARALELAS
Se trata de dos refracciones sucesivas en láminas paralelas.
- El ángulo de emergencia es igual al ángulo de incidencia.
- Queda por determinar la desviación del rayo
n1 sen iˆ
rˆ rˆ '
n2 sen rˆ
N
n2 sen rˆ
n1sen iˆ '
A
AB sen ˆ
ˆ iˆ rˆ
iˆ iˆ '
i
n1
n2
r r’
e
AB
n1
B
e
cos rˆ
e
sen (iˆ rˆ)
cos rˆ
i’
N’
Optica geométrica
10
PRISMA OPTICO
Son dos refracciones sucesivas en láminas no paralelas.
- Cálculo del ángulo de emergencia i’, desviación mínima
min
- Determinación de n a partir de la desviación mínima.
1
i
1 sen iˆ n sen rˆ
ˆ rˆ rˆ '
n sen rˆ ' 1 sen iˆ '
ˆ
ˆ
ˆ
iˆ rˆ iˆ ' rˆ '
ˆ iˆ iˆ ' ˆ
Desviación
mínima
i’
r’
r
ˆ
min
iˆ
1
n
2iˆ
ˆ
rˆ rˆ '
ˆ
min
Optica geométrica
ˆ
2 rˆ
ˆ
2
n sen rˆ
1 sen iˆ
ˆ
ˆ
sen min
2
iˆ iˆ '
n sen
sen
ˆ
2
n
ˆ
min
ˆ
2
ˆ
sen
2
11
E3. Sobre una lámina de vidrio de caras planoparalelas, de
espesor 2 cm y de índice de refracción n=3/2 situada en el aire,
incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30º con
respecto a la normal. Determina la distancia recorrida por el
rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral del rayo
emergente.
R: 2.12 cm; 0,387 cm
E4. Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral
de un prisma de vidrio, de índice de refracción n = √2 . El
ángulo del prisma es a = 60º. Determina:
a) El ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral
si el ángulo de incidencia es de 30º. (Efectuar un esquema
grafico de la marcha del rayo)
b) El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia
del rayo sea 90º.
Optica geométrica
12
R: 63,6º; 21,47º
3. CONCEPTOS PREVIOS Y CRITERIO DE SIGNOS
DIOPTRIO son dos medios transparentes, homogéneos e
isótropos, con índices de refracción distintos separados por
una superficie plana o esférica.
El centro de la superficie esférica se llama centro de curvatura
del dioptrio, C.
El conjunto de varios dioptrios es un sistema óptico.
El eje común de todos los dióptrios se denomina eje óptico.
El vértice o centro óptico del dioptrio es la intersección del
dioptrio esférico con el eje óptico, O.
Imágenes reales y virtuales.
Optica geométrica
13
Las imágenes se nombran igual que los objetos pero con el
signo «prima».
Los puntos se señalan con mayúscula, las distancias con
minúscula (excepción el radio R).
Los ángulos con letras griegas o en cursiva.
La luz se propaga de izquierda a derecha.
Para determinar el signo de las distancias se utiliza un
sistema cartesiano con el eje óptico de abscisas y origen en
el centro óptico.
El signo de los ángulos será positivo si es antihorario. Los
ángulos de incidencia, reflexión y refracción al contrario.
Optica geométrica
14
4. DIOPTRIO ESFÉRICO Y PLANO
DIOPTRIO ESFÉRICO
Rayos paraxiales
n sen iˆ
iˆ
ˆ
ˆ
iˆ '
n ' sen iˆ '
sen
n iˆ n ' iˆ ' n
ˆ
iˆ ˆ ˆ
n
ˆ'
iˆ ' ˆ ˆ '
tg
ˆ
ˆ
h
R
h
s
Optica geométrica
n'
n'
ˆ
ˆ'
h
R
h
s'
n'
s'
n
s
n' n
R
15
Optica geométrica
16
DIOPTRIO ESFÉRICO
4. DIOPTRIO ESFÉRICO Y PLANO
DISTANCIAS FOCALES
Foco imagen F’ es el punto donde se juntan los rayos que
proceden del infinito. Si s=- entonces s’=f’
n'
f'
n
n' n
R
f' R
n'
n' n
Foco objeto F es el punto donde donde deben pasar los rayos
para que salgan paralelos. Si s=f entonces s’=
n'
Dividiendo y sumando ambas expresiones
n
f
n' n
R
f'
f
f
n'
n
R
n
n' n
f' f
R
Si en la ecuación del dioptrio se dividen los dos miembros por
f' f
el segundo se obtiene la ecuación de Gauss
1
s'
Optica geométrica
s
17
TAMAÑO DE LAS IMÁGENES
Aumento lateral, ML, es la relación entre el
tamaño de la imagen, y’, y el del objeto, y.
iˆ
y
; rˆ
s
sen rˆ tg rˆ
y'
s'
y
s
y'
s'
y'
y
sen iˆ tg iˆ
n iˆ n ' rˆ
n
n'
ML
ML
y'
y
n s'
n's
Aumento angular, M , es la relación entre el ángulo ' que
forma el rayo emergente con el eje óptico y el ángulo que
forma el correspondiente rayo incidente con el eje óptico.
M
'
Invariante de Helmohltz
h
;
s
'
h
s'
y' n'
Optica geométrica
'
M
'
y n
s
s'
18
DIOPTRIO PLANO
Si en la ecuación del dioptrio
esférico hacemos el radio igual a
infinito se tiene la ecuación del
dioptrio plano
n' n
s' s
n' n
R
y ML
y'
y
n'
s'
n s'
1
n's
n
s
N
y
y'
n‘
n
s’
O’
s
O
Optica geométrica
19
E5. En el centro de una esfera de ámbar de 2,5 cm de radio
hay un insecto fosilizado, si su tamaño aparente es de 5 mm y
el índice de refracción del ámbar es n=1,53 ¿Cuál es el tamaño
real del insecto? Calcula la distancia focal imagen y la distancia
focal objeto.
R: -2,5 cm; 3,27 mm: 4,72 cm; -7,22 cm
E6. Un pescador situado en su barca se encuentra a 2,5 m de
altura sobre la superficie del agua, mientras un pez nada 1 m
por debajo de ella.
a) ¿A qué distancia sobre la superficie del agua ve el pez al
pescador?
b) ¿Y el pescador al pez?
Índice de refracción del agua 1,33
R: 3,325 m; 0,75 m;
Optica geométrica
20
Datos:
R = -2,5 cm; n = 1,53; n' = 1; s = -2,5 cm
n' n n' n
s' s
R
5 1,53 ( 2,53)
y
1 ( 2,53)
Ecuación del dioptrío:
y' n s'
y n's
Distancias focales:
y ML
1 1,53
f'
1 1,53
2,5
f ' 4, 72 cm
y
1
s'
1,53
2,5
y
1
Optica geométrica
1 1,53
2,5
s'
2,5 cm
3, 27 cm
1,53
f'
1 1,53
2,5
f
7, 22 cm
21
Datos: nagua = 1,33; s
2,5 cm; s = 1 cm
Ecuación del dioptrío plano:
n'
s'
n
s
El pez al pescador:
n ' n 1,33
1
s' s
s'
2,5
El pescador al pez:
n' n
1 1,33
s' s
s'
1
Optica geométrica
s ' 3,325 m
s ' 0, 755 m
22
5. ESPEJOS
ESPEJOS PLANOS
En los espejos el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.
n iˆ n ' iˆ '
n
n'
A partir de la ecuación del dioptrio plano.
n'
s'
ML
n
s
s'
y'
y
s
ns'
1
n's
y'
y
Optica geométrica
23
ESPEJOS ESFÉRICOS
A partir de la ecuación del dioptrio sustituyendo n’=-n.
n' n
s' s
n' n
R
n
s'
n
s
n n
R
1 1
s' s
Distancias focales. Si s=- , s’=f’ y si s=f, s’=+ .
1 1
s' s
ML
2
R
f
f'
R
2
1
f
y'
y
n s'
n's
ML
s'
s
Optica geométrica
24
Construcción de imágenes con espejos esféricos
Optica geométrica
25
E7. Delante de un espejo cóncavo de 50 cm de distancia focal,
y a 25 cm de él, se encuentra un objeto de 1 cm de altura
dispuesto perpendicularmente al eje de espejo. Hacer la
construcción gráfica y calcular la posición y el tamaño de la
imagen.
R: 50 cm; 2; virtual/derecha/mayor
E8. A 20 cm. delante de un espejo convexo de 0.5 m de
distancia focal se coloca un objeto de 1 cm. Calcula la
posición, tamaño y el tipo de imagen formada por reflexión en
el espejo.
R: 14,28 cm; 0,7 cm; virtual/derecha/menor
Optica geométrica
26
6. LENTES DELGADAS
Sistema óptico formado por dos dioptrios y al menos uno es
esférico.
Pueden ser convergentes, de bordes finos o divergentes, de
bordes gruesos.
Se aplica la ley del dioptrio dos veces.
1 1
s' s
A
1
(n 1)
R1
1
R2
A’
C1
R2
s
C2
A1
n
s '1
1
s
n 1
R1
1
s'
n
s '1
1 n
R2
R1
s’
1 1
s' s
s’1
Optica geométrica
1
(n 1)
R1
1
R2
27
Distancias focales, aumento y potencia de una lente
Las distancias focales. Si s=1
f'
ML
(n 1)
y'
y
1
R1
ns'
n's
1
R2
y
ML
Potencia de una lente
1
f
s’=f’ y si s=f
(n 1)
1
R1
1
R2
s’=+
1 1
s' s
1
f'
s'
s
P
Optica geométrica
1
f '(m)
28
Construcción de imágenes con lentes delgadas
- Rayo que incide paralelo al eje óptico sale por el
foco imagen F’.
- Rayo que incide pasando por el foco objeto sale
paralelo al eje.
- Rayo que incide pasando por el centro óptico no se
desvía.
Optica geométrica
- Las imágenes reales no se ven,
se pueden proyectar en una
pantalla. Se forman cuando los
rayos convergen y se juntan.
- Las imágenes virtuales se ven
pero no pueden recogerse en una
pantalla. Se forman cuando los
rayos
divergen
y
son
sus
prolongaciones las que se juntan.
29
E9. Situamos un objeto de 2,0 cm de altura a 15 cm de una
lente de 5 dioptrías.
a) Dibujar un esquema con la posición del objeto la lente y la
imagen.
b) Calcular la posición de la imagen
c) ¿Cuál es el aumento? ¿Qué tipo de imagen se forma?
R: -60 cm; 4; virtual/mayor/derecha
E10. Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de
-20 y +40 cm. Su índice de refracción es de 1,8 y se coloca un
objeto de 4 mm a 50 cm de la lente. Calcula:
a) La potencia óptica de la lente.
b) Dónde se forma la imagen.
c) El tamaño de la imagen.
Optica geométrica
30
R: -12,5 cm y 1 mm
Aberraciones ópticas
Geométricas:
- Esférica: no coincide el foco marginal y el foco paraxial.
- Coma: análogo a la aberración esférica para puntos que no están en el eje.
- Astigmatismo: cuando pierde la simetría la onda esférica.
- Curvatura de campo: es el efecto total o integral del astigmatismo.
- Distorsión: cuando el aumento lateral no es el mismo en todas las direcciones.
Cromática: igual que la esférica pero debida a las diferentes longitudes de onda.
Optica geométrica
31
7. EL OJO HUMANO Y SUS DEFECTOS
Miopía
El cristalino enfoca delante de la retina. El cristalino tiene
demasiada curvatura o el ojo es mayor de lo normal. Un
miope ve los objetos lejanos borrosos.
Se usan lentes divergentes para corregirla.
Hipermetropía
El cristalino enfoca detrás de la retina. El cristalino tiene poca
curvatura o el ojo es menor de lo normal. Un hipermetrope ve
los objetos próximos borrosos.
Se corrige con lentes convergentes.
Optica geométrica
32
Astigmatismo
La cornea no es perfectamente esférica y el ojo no enfoca simultáneamente las líneas
horizontales y verticales, también puede ser debido a la falta de esfericidad del cristalino.
Se corrige con lentes cilíndricas.
Presbicia
Es vista cansada. Pierde acomodación el cristalino. Los músculos ciliares se debilitan y
disminuye la flexibilidad del cristalino. Los objetos próximos se ven con dificultad. Se corrige
con lentes convergentes
Cataratas
Es una patología. El cristalino pierde transparencia debido a la edad.
Se corrige sustituyendo el cristalino por una lente artificial mediante intervención quirúrgica.
Optica geométrica
33
E11. El ojo normal puede acomodar desde el infinito hasta 25
cm de él. Calcula el poder de acomodación, es decir la
convergencia de una lente que, colocada delante del ojo,
permita ver el punto próximo sin necesidad de acomodación.
R: 4 D
E12. Un ojo miope tiene un punto remoto en 0,5 m y un punto
próximo en 15 cm. Calcula las dioptrías de una lente
divergente que se debe coloca delante del ojo para corregir su
miopía, es decir, para que vea los objetos situados en el infinito
sin necesidad de acomodación.
R: -2 D
Optica geométrica
34
8. INSTRUMENTOS ÓPTICOS
Lupa o microscopio simple
- Formada por una lente convergente. El objeto debe colocarse entre el foco y la
lente.
- La imagen se forma a 25 cm delante de la lente y es virtual, derecha y mayor.
- El aumento lateral es:
ML
s'
s
ML
0, 25
f'
P
4
y’
y
F
Optica geométrica
F’
35
Microscopio
- El objeto se coloca delante del foco del objetivo y forma una imagen real después de la
distancia focal del ocular, que a su vez forma una imagen virtual, invertida y mayor a 25 cm.
f1 '
f 2 ' y las dos distancia focales son mucho menores que d, la distancia entre lentes.
- El aumento del microscopio es:
M
M1 M 2
M
25 d
f1 f 2
d
25
f1 ' f 2 '
y
F1
F2’
F1’
F2
y’
y’’
Optica geométrica
36
Anteojo astronómico
- El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes
f1 '
f2 '
- El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular.
- Produce una imagen: virtual, invertida y mayor.
- El aumento angular
M
tg
tg
f1 '
f2 '
F1’=F2
Optica geométrica
37
Catalejo
- El objetivo y el ocular son dos lentes convergentes, pero se intercalan dos lentes
acromática, una en la distancia focal de la otra, que invierten la imagen
- Produce una imagen: virtual, derecha y mayor.
- El aumento angular es el mismo, que en el anteojo astronómico, pero positivo.
F1’
F2
38
Optica geométrica
Prismáticos
- Acorta la longitud del catalejo don dos prismas en reflexión total.
Optica geométrica
39
Anteojo de Galileo
- El objetivo es una lente convergente y el ocular es divergente, para invertir la imagen
- El foco imagen del objetivo coincide con el foco objeto del ocular.
- Produce una imagen: virtual, derecha y mayor.
F1’=F2
Optica geométrica
40
E13. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes
delgadas convergentes de igual distancia focal (f = 10 cm)
separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca
delante de la primera lente a una distancia de 15 cm.
Determine:
a) La posición, el tamaño y la naturaleza de la imagen formada
por la primera lente.
b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su
construcción geométrica.
R: 30 cm; -2 cm; real/invertida/mayor; infinito
Optica geométrica
41