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Ejercicios Resueltos KASSIMALI – Grupo 23
DINÁMICA INGENIERÍA CIVIL IC - 244 UNVIERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DAS / KASSIMALI / SAMI SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS RESPONSABLES GÓMEZ CHUCHÓN, ESTEBAN CORONADO SAAVEDRA, JUAN CARLOS AYACUCHO - PERÚ PRÁCTICA DOMICILIARIA DE DINÁMICA (IC-244) Escuela de Formación Profesional de Ingenierı́a Civil DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 1. Si se mueve la banda transportadora del problema 1.71 a una velocidad de 20 pies/s, determine el intervalo de la altura h de la banda transportadora con la cual can los bloques en la abertura. Ver Figura 1. Figura 1 Página 2 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH SOLUCIÓN a) Determinaremos el intervalo de altura para la abertura. b) Por caı́da libre encontraremos 2 ecuaciones para h y ho . 1 y = Vo to + gt2o 2 c) Datos: Vo = 0 pies/s g = 32.18 pies/s t =? d ) Para h 1 h = V1 t1 + gt21 2 1 h = gt21 2 Entonces despejando t1 : s 2h g (1) 2ho g (2) x1 = Vox t1 (3) t1 = e) Para ho 1 ho = Vo t2 + gt22 2 1 2 ho = gt2 2 Entonces despejando t2 s t2 = f ) Por M RU , para los dos casos. g) Reemplazando 1 en 3 para despejar h. r x1 = Vox 2h g Página 3 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH 2h g x1 2 g h=[ 2 ] Vox 2 2 x21 = Vox h = 4.87 pies h) También tenemos: x2 = Vox t2 (4) i ) Reemplazamos 2 en 4 para despejarho . r x2 = Vox 2ho g 2ho g g x2 2 ] ho = [ 2 Vox 2 x22 = Vox ho = 2.57 pies ∆H = h − ho ∆H = 4.87 − 2.57 ∆H = 2.37 pies 2. Determine la altitud h y la velocidad vo de un avión que vuela hacia el oeste si un proyectil dirigido que suelta desde el aire choca contra un barco que navega hacia el norte a velocidad constante de 125 km/h, al llegar al punto B. Se muestra en la figura la posición del barco en el instante en que el avión suelta el proyectil. Ver Figura 2. SOLUCIÓN a) Vc t = R b) t = 1 hora c) Vc t = 1.5 =⇒ t = 0.012 h d ) Por Pitágoras p r = 2.52 + h2 e) Velocidad cartesiana del punto A (velocidadinicial) Vxo = Vo cos α Vyo = Vo sin α Página 4 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH Figura 2 Vo cos αt = 2.5 (5) Vy = Vo sin α − gt (6) 1 Vo sin αt + gt2 = h 2 (7) f ) Recordando 1 Vyo t + gt2 = h 2 h = r sin ϕ 2.5 = r cos ϕ g) Dividiendo los anteriores h = 2.5 sin ϕ cos ϕ Página 5 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH h) Derivando cos2 ϕ + sin2 ϕ ) cos ϕ 2.5 Vy = ḣ = cos2 ϕ ḣ = 2.5( Vy = 2.5(2.52 + h2 ) 2.52 Vy = 2.52 +h2 2.5 i ) Reemplazando 2.52 +h2 2.5 Vo = = Vo sin α − gt 2.52 +h2 2.5 + gt j ) Reemplazando 2.52 +h2 2.5 1 + gt + gt2 = h 2 0.0048h2 − h + 0.321 = 0 h = 208.3 [km] k ) Reemplazando ahora el valor de h Vo sin αt + gt2 = 208.3 Vo cos αt = 2.5 l ) Para t = 0.012h y g = 9.81 Vo sin α = 208.3 Vo cos α = 208.3 m) Dividiendo tan α = 1 α = 45o n) Reemplazando Vo sin 45o = 208.3 Página 6 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH Vo = 294.58 [ INGENIERÍA CIVIL UNSCH km ] h 3. Se está siguiendo el movimiento de un avión por medio de un radar, como se ilustra. Si ¨ rad/s2 , r = 21000 pies, ṙ = 1000 pies/s, r̈ = −40 en un instante, θ̇ = 0.04 rad/s, 0.002 2 pies/s , determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del avión en ese instante. Ver Figura 3. Figura 3 SOLUCIÓN a) En coordenadas polares - velocidad Página 7 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH → − v = ṙêr + rθ̇êθ → − v = 1000êr + 21000(0.004)êθ → − v = 1000êr + 840êθ v= p (1000êr ) + (840êθ )2 v = 1305.99 [ pies ] s b) En coordenadas polares - aceleración → − a = (r̈ − rθ̇2 )êr + (2ṙθ̇ + rθ̈)êθ → − a = (40 − 2100(0.04)2 )êr + (2(1000)(0.04) + 21000(0.002))êθ → − a = −40.034êr + 122êθ a= √ −40.0342 + 1222 a = 128.4 [ pies ] s2 4. El colları́n A se mueve a lo largo de una guı́a circular de radio e al girar el brazo OB en torno a O. Deduzca las expresiones de las magnitudes de la velocidad y aceleración del colları́n A en función de θ, θ̇, θ̈, e. Ver Figura 4. SOLUCIÓN a) Ubicamos el radio vector por Pitágoras en el triángulo 4 OC 0 A r2 = (e + e cos θ)2 + (e sin 2θ)2 r2 = e2 + 2e2 cos 2θ + e2 cos2 2θ + e2 sin2 2θ r2 = e2 + 2e2 cos 2θ + e2 (sin2 2θ + cos2 2θ) r2 = e2 + 2e2 cos 2θ, factorizando e2 : r2 = 2e2 (1 + cos 2θ), por intenditdad trigonométrica: r2 = 2e2 (2 cos2 2θ) Página 8 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH Figura 4 r= p 2e2 (2 cos2 θ) r = 2e cos θ [m] b) Derivamos r ṙ = −2eθ̇ sin θ r̈ = −2eθ̈ sin θ − 2e cos θθ̇2 c) Calculando la velocidad y aceleración (en coordenadas polares) Página 9 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH → − v = ρ̇êe + ρθ̇êθ → − v = −2eθ̇ sin θêe + 2e cos θθ̇êθ v= p 4e2 θ̇2 sin2 θ + 4e2 θ̇2 cos2 θ v= q 4e2 θ̇2 (sin2 θ + cos2 θ) v = 2eθ̇ [ m s ] d ) La aceleración es → − a = (ρ̈ − ρϕ̇2 )êr + (ρϕ̈ + 2ρ̇ϕ̇)êϕ Página 10 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH → − a = [(−2e cos θθ̇2 − 2e sin θθ̈) − 2e cos θθ̇2 ]êe + [2e cos θθ̈ + 2(−2e sin θθ̇θ̇)]êθ → − a = −(4e cos θθ̇2 + 2e sin θθ̈)êe + (2e cos θθ̈ − 4e sin θθ̇2 )êθ a= a= a= a= a= q p [4e cos θθ̇2 + 2e sin θθ̈]2 + [2e cos θθ̈ − 4e sin θθ̇2 ]2 16e2 cos2 θθ̇4 + 4e2 sin2 θθ̈2 + 16e cos θ sin θθ̇2 θ̈ + 4e2 cos2 θθ̈2 + 16e sin2 θθ̇4 − 16e sin θ cos θθ̇2 θ̈ q 16e2 θ̇4 (cos2 θ + sin2 θ) + 4e2 θ̈2 (cos2 θ + sin2 θ) p 16e2 θ̇4 + 4e2 θ̈2 q 4e2 (4θ̇4 + θ̈2 ) p m a = 2e 4θ̇4 + θ̈2 [ 2 ] s Página 11 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS 5. El brazo AC gira en sentido de las manecillas del reloj a una velocidad de 200 rpm. Usando el método del centro instantáneo de velocidad cero, determine la velocidad angular del brazo ranurado BD para la posición que se muestra. Ver Figura 5. Figura 5 Página 12 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH SOLUCIÓN a) Como el sistema está interrelacionado, las velocidades van a ser iguales, es decir: VAC = VBD b) Por el método del centro instantáneo de rotación (C.I.R.) VAC = ρ1 ωAC ; ρ1 = 0 VAC = 0ωAC c) Ahora calculamos las velocidad angular (ωBD ) VBD = ρ2 ωBD d ) Despejamos ωBD VBD ρ2 e) Como: VAC = VBD = 0 ωBD = ωBD 0 =0 ρ ωBD = 0 [ rad s ] Página 13 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH Figura 6 6. El colları́n A se mueve hacia la derecha a velocidad constante de 10 m/s en la forma en que se ilustra. En la posición dada (θ4 5o ). Determine a) la velocidad angular de la barra AB y b) la velocidad del punto B. Ver Figura 6. SOLUCIÓN a) La velocidad VyA es igual a VxB VxA = 10 m/s VyA = VxB = 10 m/s b) Por C.I.R. VxA = ωA (d) VxA ωA = = d 10 3.5 = 2.86 ωA = 2.86 [ rad ] s 7. La barra AB de la articulación que se muestra en la figura tiene una velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad/s cuando θ = 60o . Determine las velocidades angulares del elemento BC y la rueda en este instante. Ver Figura 7. Página 14 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH Figura 7 SOLUCIÓN a) Analizando vectorialmente Por inspección, las velocidades de los puntos B y C están definidas por la rotación del eslabón AB y la rueda alrededor de sus ejes fijos. Para llegar a la solución, escribiremos la ecuación cinemática apropiada para cada elemento. b) Eslabón AB vB = ωAB × rB vB = (−30k̂) × (0.2 cos 60o î + 0.2 sin 60o ĵ) vB = (5.2î − 3.0ĵ) [ m s ] c) Eslabón BC VC = VB + ωBC × rC/B VC î = 5.2î − 3.0ĵ + ωBC k̂ × (0.21î) VC î = 5.20î + (0.2ωBC − 3.0)ĵ Página 15 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH VC = 5.20 =⇒ 0 = 0.2ωBC − 3.0 ωBC = 15 [ rad ] s d ) Rueda VC = ωD × rC 5.2î = (ωD k̂) × (−0.1ĵ) 5.20 = 0.1ωD ωD = 52.00 [ rad ] s 8. Se obliga a girar el brazo ranurado AOB alrededeor del punto O cuando se mueve el perno A a lo largo del carril horizontal. Para la posición que se muestra , establezca la relación entre la velocidad vB del perno B y la velocidad vA del perno A. Ver Figura 8. SOLUCIÓN a) Se sabe por definición vA = ω × R a vB = ω × Rb b) Radio de A - C.I.R. Ra = (a + y) =⇒ Ra = (y + a) c) Radio de B - C.I.R. Rb = (x − b) =⇒ Rb = (x − b) d ) Por teorı́a sabemos → − → − − vA=→ ω × Ra → − − vA=→ ω × (y + a) e) La velocidad angular es la misma para ambos → − → − − vB =→ ω × Rb → − − vB =→ ω × (x − b) f ) Haciendo relación de velocidades − − |→ vA| |→ ω | ×(y + a) = → − → − | vB | | ω | ×(x − b) Página 16 de 17 DINÁMICA IC - 24 DINÁMICA IC - 241 INGENIERÍA CIVIL UNSCH INGENIERÍA CIVIL UNSCH Figura 8 VA = VB y+a x−b Página 17 de 17
