Correcciones - Instituto de Matemáticas | UNAM

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Calificación: 10
Errores de redacción/matemáticos
prácticamente ausentes en mi opinión.
F
E/F
↵
E
F
f 2 F [x] \ F
i) f (↵) = 0
ii) f
iii) gr(f ) 6 gr(g)
0 6= g 2 F [x]
iii)0 f |F [x] g
g 2 F [x]
g(↵) = 0
g(↵) = 0
i) ii)
h 2 F [x] \ F
gr(r) 6 gr(f )
q, r 2 F [x]
h = fq + r
0 = h(↵) = f (↵)q(↵) + r(↵) = r(↵)
r = 0
h|F [x] f
f h
f =h ⌅
E/F
f 2 F [x] \ F
↵
F
iii)
i) ii)
iii)
F [x]
↵
f |F [x] h
↵
i) ii) iii)
minF (↵)
E
F
Te recomiendo usar $\operatorname{min}_F(\alpha)$
E/F
minF (↵)F [x] = ker(ev ↵ : F [x] ! F [↵]) ⌅
↵
E
F
E
F
E
F
Te recomiendo usar \operatorname{ker}
minF (↵)
E/F
F [x] ⌅
E/F
F [↵] = F (↵)
↵
↵
F [x]
minF (↵)F [x]
⇠
= F [↵]
F [x]
minF (↵)F [x]
⌅
F [↵]
E/F
[F (↵) : F ] = gr(minF (↵)) ⌅
↵
p
d2Z
p
Q( 2)
d=2
(↵ +
p
p
2) + ( +
i)
(1,
p
d2C
E
F
d
p
minQ ( d) = x2
d
2)
p
2) = (↵ + ) + ( + ) 2
E/F
p
d2C
(↵ +
p
2)( +
p
2
d
p
) 2
2) = (↵ + 2 ) + (↵ +
p
E ⇠
= Q( d)
d2Z
p
p
ii) Q( 2) = Q( 3)
Habría sido más elegante si hubieras dado un argumento un poco más completo en el que llegaras a que 2 divide a 3 op
algo similar.
↵2 + 2 2 + 2↵
↵=0
=0
↵
2
2↵ = 0
↵ +2
2
=3
2 = 3
↵
iii)
a
p
Q( a)
b
E/F
i) ↵
↵
p
Q( b)
E
F
ii) [F (↵) : F ] < @0
iii) F [↵] = F (↵)
i) ) iii)
i) ) ii)
5
6
¿Por qué omites la primera potencia $\alpha=\alpha^1$?
ii) ) i)
[F (↵) : F ] = n
1, ↵2 , . . . , ↵n
(1, ↵2 , . . . , ↵n
F
1
)
No es cierto que el conjunto \{1,\alpha,\ldots,\alpha^n\} es linealmente independiente en general, pero
siempre es cierto que la lista ordenada (1,\alpha,\ldots,\alpha^n) es linealmente independiente sobre $F$.
iii) ) i)
F
ai
1
↵
F [↵] = F (↵)
= a0 + a1 ↵ + · · · + an ↵ n
↵
E/F
E
↵ 2 L
a0 + a1 ( ↵)
↵, 2 L
F (↵)
n > 0
0 = 1 + a0 ↵ + a1 ↵2 + · · · + an ↵n+1
F ⌅
L= ↵2E | ↵
F
a 0 , a1 , . . . , a n
F
L
E
02L
a 0 , a1 , . . . , a n
F
a0 + a1 ↵ + · · · + an ↵ n = 0
3
2
2
n
2
a2 ↵ + a3 ( ↵) · · · an ↵ = 0
↵ = ( ↵)
↵ 2 L
[F (↵, ) : F ] = [F (↵, ) : F (↵)] [F (↵) : F ] = [F (↵)( ) : F (↵)] [F (↵) : F ] < @0
En principio, hay que
tener cuidado con la
paridad de $n$.
F
[F (↵ + ) : F ] < @0
↵ 2 L \ {0}
F (↵ ) ✓ F (↵, )
E ⌅
F (↵)
↵+
2L
F (↵) = F ( ↵1 )
[F (↵ ) : F ] < @0
L
1
↵
2 L
↵ 2L
F (↵ + ) ✓ F (↵, )
E
↵,
2 L
L