Angulo formado por dos rectas El ángulo formado por dos rectas

Angulo formado por dos rectas El ángulo formado por dos rectas

Angulo formado por dos rectas
Y
L’’
l
L
l’’
δ
α
α’
X
El ángulo formado por dos rectas, sólo puede definirse de modo preciso cuando las
rectas son dirigidas y se ha fijado previamente el orden en que deben considerarse.
Sí L y L ‘ son dos rectas dirigidas, l y l’ dos rectas paralelas a las anteriores y
trazadas por el origen y α y α’ sus ángulos de dirección, el ángulo δ = l’Ol queda
definido por la relación:
δ = α’ - α
Cuando las rectas no son dirigidas y no se ha fijado su orden de precedencia determinan dos
ángulos absolutos cuya suma es igual a 180°. Uno de estos ángulos es igual al ángulo formado
por las normales positivas de las rectas y es aquel en cuyo interior no se encuentra el origen (δ
en la figura). Suponiendo que el sistema es ortogonal y denotando por α1 y α1’ los ángulos de
dirección de las normales positivas de las dos rectas, el ángulo de las normales
δ’ = α1’ - α1
es igual a uno de los ángulos formados por las rectas. Sean dadas las ecuaciones de las rectas
en la forma normal:
L : xcosα1 + ysinα1 – p1 = 0
L’: xcosα1’ + ysinα1’ – p1’ = 0
Entonces uno de los ángulos se puede calcular inmediatamente por una de las fórmulas:
cosδ’ = cosα1’cosα1 + sinα1’sinα1
sinδ’ = sinα1’ cosα1 - cosα1’sinα1
Ejemplo:
Sean las dos rectas :
1
1
L:3x + y − 3 = 0
2
2
1
1
L' : −
2x +
2 y −1 = 0
2
2
En este caso tenemos :
1
cosδ ' = 6− 2
4
1
sinδ ' = −
6+ 2
4
δ ' es pues un ángulo negativo del segundo cuadrante, y efectivame nte el ángulo de dirección
de la normal positiva de L es igual a 150°, el de la normal positiva de L' es igual a 45 °, de modo
que :
δ ' =α1 '−α1 =105°
Por consiguien te, el ángulo formado por las dos rectas y en cuyo interior no se encuentra el
origen, es igual a 105°.
Si la forma normal de las ecuaciones de las rectas es la general :
L : Ax + By + C =0
L' :A' x + B' y + C' = 0
las ecuaciones pueden tra nsformarse en la forma normal y calcularse enseguida el ángulo α '
según las fórmulas, obteniéndo se el resultado siguiente :
AA'+BB'
cosδ ' =
( A² + B ² )( A'² + B'²)
(
(
sinδ ' =
)
)
AB'− A' B
( A² + B ²)( A'² + B'²)
el signo del radical es el del producto CC'
Sí L//L' , δ ' = 0, y por consiguien te sin δ ' = 0, lo que exige que :
AB' - A' B =0
si L es perpendicu lar a L' , δ ' =90°, y por lo tanto cosδ ' = 0, lo que exige que
AA' + BB' = 0
Las fórmulas anteriores representan las condiciones de paralelismo
perpendicularidad respectivamente de las ecuaciones generales de dos rectas.
y