Criptografía www.math.com.mx

Criptografía
Ejercicios de cifrado usando matrices
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José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2011
MathCon Contenido
1. Criptografía
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Sistema Criptográfico usando Matrices
1.2.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . .
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
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2
2
2
3
4
Capítulo 1
Criptografía
1.1. Introducción
La criptografía es la ciencia que se encarga de diseñar métodos para mantener confidencial a la
información que es enviada por un medio inseguro.
Casi todos los medios de comunicación son inseguros, es decir, un espía siempre puede intervenir
una comunicación, y en tal caso conocer su contenido, alterar el contenido, borrar el contenido, etc.
La criptografía entonces usa un algoritmo de cifrado con una clave. Para que el emisor de un
mensaje pueda estar seguro que éste sea confidencial, y solo el receptor autorizado pueda saber en
contenido aplicando un método de descifrado con su respectiva clave.
La criptografía tiene una amplia historia, ha existido desde los inicios de la civilización.
1.2. Sistema Criptográfico usando Matrices
Sea A una matriz invertible n×n, y M un mensaje con forma de matrix n×m. Entonces, C = AM
es el mensaje cifrado. Para poder descifrar el mensaje solo multiplicamos por la matriz inversa A−1 a
C para obtener el mensaje original.
A−1 C = A−1 AM = IM = M
1.2. Sistema Criptográfico usando Matrices
1.2.1.
3
Ejemplo 1
Proceso de preparación.
Para cifrar un mensaje se hace lo siguiente: si el mensaje original es
“HOY ES EL PRIMER DIA”
el primer paso es codificar el mensaje con números de acuerdo a la siguiente tabla:
1
A
2
B
3
C
4
D
5
E
6
F
7
G
8
H
9
I
10
J
11
K
12
L
13
M
14
N
15
O
16
P
17
Q
18
R
19
S
20
T
21
U
22
V
23
W
24
X
De tal forma que el mensaje queda codificado como:
H
8
O
15
Y
25
_
27
E
5
S
19
_
27
E
5
L
12
_
27
P
16
R
18
I
9
M
13
E
5
R
18
_
27
D
4
I
9
A
1
Dada la clave:


−1
1
1
1 
A =  −2 −3
3
1 −2
Proceso de cifrado.
Como la clave tiene tamaño 3 × 3, entonces el primer paso para cifrar el mensaje es separar este de
3 letras en tres, completando el mensaje a un múltiplo de 3 con blancos.
H
8
O
15
Y
25
_
27
E
5
S
19
_
27
E
5
L
12
_
27
P
16
R
18
I
9
M
13
E
5
R
18
_
27
D
4
I
9
A
1
El segundo paso es construir la matriz M del mensaje, colocando como columnas cada grupo de 3
letras.


8 27 27 27
9 18
9
5
5 16 13 27
1 
M =  15
25 19 12 18
5
4 27
Finalmente para obtener el mensaje cifrado, realizamos el producto AM .
AM
=

=

−1
 −2
3
32
 −36
−11
 
1
1
8 27
−3
1  ·  15
5
1 −2
25 19
−3 −10
−50 −57
48
62
7
−84
61
9
−52
30
27
5
12
27
16
18
13
−113
73
9
13
5
18
27
4

19
6 
−26

9
1 
27
27
25
Y
26
Z
27
1.3. Ejercicios
4
Proceso de descifrado.
Para descifrar el mensaje simplemente se realiza el producto A−1 C = A−1 AM = M .
A−1 C
=

 
3
4
32
−1 −1  ·  −36
4
5
−11
=

27
16
18
5
 −1
7
8 27 27
 15
5 5
25 19 12
9
13
5
18
27
4
−3
−50
48
−10
−57
62
7
−84
61
9
13
−52 −113
30
73

19
6 
−26

9
1 
27
1.3. Ejercicios
1. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
−1 2 −1
A =  −3 0 −2 
−3 1 −2


7
4
−8
C =  −78 −30 −81 
−60 −21 −67
2. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

2
3 −1
1
0 
A= 1
−2 −2 −1


9
48
64
32
18
29
20 
C =  14
−48 −37 −61 −67
3. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
1 1 1
A= 1 2 3 
−1 0 2


44 45
32 32
49 90 
C =  76 86
−3 14 −11 53
4. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
3 3
2
2 
A= 3 2
−1 1 −1


116 111 79
69 138
92 61
66 111 
C =  98
−3 −1
8 −20 −1
1.3. Ejercicios
5
5. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
−5 0 6
A =  −1 3 8 
1 1 1

24
C =  149
42

−89
49 
40
−50
87
42
6. El mensaje
M fue cifrado

con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
1
2
2
7 −6 
A =  −1
3 13
3

69
34
C =  −6 −1
258 128
45
36
199

82
−23 
294
7. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

5
5 −3
A =  16 10 −7 
−7 −2
2

89
C =  288
−128
101
195
−35
118
257
−65

9
9 
3
8. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

−1 −3
0
3 
A =  1 −2
−1 −1 −1

−48
C =  15
−32
−79
6
−48

−83 −54
−13
21 
−44 −38
9. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
−6
8 9
A =  −5 11 2 
−8 13 9

−97
C =  −93
−136
99
46
112
67
89
107

345
256 
442
10. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

2
3 −1
1
1 
A= 1
−1 −1 −2

53
C =  40
−52
40
46
−65
89
102
43
79
−48 −106
44
40
−55

37
35 
−49
1.3. Ejercicios
6
11. El mensaje
M fue cifrado

 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.
1
0 1
A =  −1 −1 2 
−1 −1 1

32
C =  24
5
36
−21
−30
17
32
10 −20
−5 −33
28
34
7
14
−17
−19

37
15 
−4
12. El mensaje
M fue cifrado
 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

−2 1 −2
A =  −1 1 −2 
−1 0 −1

−17
C =  −14
−16
−55 −37
−37 −36
−38 −28
5
10
−11
−67
−42
−47
0
5
−9
−26
−5
−22

−65
−46 
−46
13. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

−2 −2 −1
1 −2 
A =  −1
−2 −1 −2

−80
C =  −28
−77
−103
−26
−95
−81
−12
−71
−79
−70
−101
−85
−53
−97
−75
−68
−97
−34
−21
−37

−83
−28 
−83
14. El mensaje
M fue cifrado
 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

−1 1 0
A= 1 2 1 
0 1 0

7
C =  56
12
−14
32
5
−13 12
48 74
5 27
8 26
85 63
27 27
−8
56
13

−8 23
21 85 
4 27
15. El mensaje
M fue cifradocon la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

0
2 −1
1 
A =  −2 −1
1
2 −1

−3
35
C =  5 −29
2
41
−17
12
−14
49
−52
64
42
−53
61
41
−16
42
−10
12
−9
50 −3
−33
5
55
2
39
−25
44

3
−28 
23
16. El mensaje
M fue cifrado
 con la clave A, y se obtuvo el mensaje cifrado C. Encontrar M.

9
5 10
2 −8 
A= 1
13 10 −3

375
C =  −187
104
347
−100
236
295
−75
220
368
−67
325
313
−5
376
217
417
4 −178
275
173
109
−19
98
471
−172
251
410
−173
174
383
−202
85

409
−190 
140