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Mis fórmulas de poliedros - Escuela de Pensamiento Matemático
Hernán Domínguez Monreal Mis fórmulas de poliedros Con tres fórmulas para poliedros Dos de las fórmulas son axiomas y acompañan al teorema de Euler, y la otra es inédita 1 ÍNDICE PRÓLOGO ............................................................................................................................................. 3 INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS ...................................................................................................... 4 1ª FÓRMULA ........................................................................................................................................ 6 SÓLIDOS PLATÓNICOS ...................................................................................................................... 7 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS .............................................................................................................. 9 SÓLIDOS DE CATALÁN .................................................................................................................... 16 SÓLIDOS DE JOHNSON.................................................................................................................... 21 PRISMAS ......................................................................................................................................... 67 ANTIPRISMAS ................................................................................................................................. 69 SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT ........................................................................................................ 71 2ª FÓRMULA ...................................................................................................................................... 73 SÓLIDOS PLATÓNICOS .................................................................................................................... 74 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS ............................................................................................................ 76 SÓLIDOS DE JOHNSON.................................................................................................................... 83 PRISMAS ......................................................................................................................................... 96 ANTIPRISMAS ................................................................................................................................. 99 3ª FÓRMULA .................................................................................................................................... 102 SÓLIDOS PLATÓNICOS .................................................................................................................. 103 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS .......................................................................................................... 105 SÓLIDOS DE JOHNSON.................................................................................................................. 112 PRISMAS ....................................................................................................................................... 116 ANTIPRISMAS ............................................................................................................................... 118 2 PRÓLOGO La primera fórmula se me ocurrió la noche del 12 de diciembre de 2012, cuando estaba pensando en los poliedros regulares. El poliedro con el que la pensé fue el tetraedro regular. Más tarde la comprobé para otros poliedros que fui aprendiendo. Esta fórmula acompaña al teorema de Euler (C + V = A + 2) y es axioma, es decir que no necesita demostración. La segunda fórmula se me ocurrió el día 21 de diciembre por la tarde. El poliedro con el que se la pensé fue el tetraedro regular. Comprobé que para algunos grupos de poliedros no valía. Como la primera fórmula, acompaña al teorema de Euler y también es axioma. La tercera fórmula la descubrí el 10 de enero de 2013. Estaba investigando en mis poliedros favoritos: los sólidos arquimedianos. El poliedro con el que la pensé fue el tetraedro truncado. Con dos de los sólidos arquimedianos tiene una variación. Esta fórmula es inédita. 3 INTRODUCCIÓN A LOS POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas. Hay dos tipos de poliedros, convexos y cóncavos: Un poliedro es convexo cuando está contenido en uno de los semiespacios que delimitan los planos de sus caras, considerando la totalidad de las caras; en estos poliedros el segmento que une dos puntos suyos cualesquiera está contenido en el poliedro. Un poliedro es no convexo cuando, considerando los planos de todas sus caras, parte de él se encuentra en uno de los semiespacios y la otra parte de él se encuentra en el otro semiespacio; en estos poliedros alguno de los segmentos que unen dos puntos suyos cualesquiera sale del poliedro. Entre los poliedros convexos están las siguientes familias: Sólidos platónicos: Son los únicos poliedros regulares convexos. Existen 5 sólidos platónicos. Sólidos arquimedianos: Sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y tienen sus vértices uniformes. La mayoría se ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Existen 13 sólidos arquimedianos. Sólidos de Catalan: Sus caras son polígonos irregulares iguales. Son poliedros duales de los arquimedianos. Existen 13 sólidos de Catalan. Sólidos de Johnson: Sus caras son polígonos regulares. No hace falta que todas sus caras sean iguales o que sus aristas o vértices sean uniformes. Existen 92 sólidos de Johnson. Prismas: Tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y caras laterales que son paralelogramos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos prismas. Antiprismas: Tienen dos bases, pero estas están giradas y las caras laterales son triángulos. Tienen sus vértices uniformes. Existen infinitos antiprismas. Entre los poliedros no convexos están los sólidos de Kepler-Poinsot. Sólidos de Kepler-Poinsot: Son los únicos poliedros regulares no convexos. Existen 4 sólidos de Kepler-Poinsot. 4 Estos son los elementos que aparecen en un polígono: Lados: Son las segmentos que forman la línea poligonal. Su abreviatura es l. Vértices: Son los puntos donde se unen los lados. Su abreviatura es v. Ángulos: Son los ángulos que forman los lados. Su abreviatura es a. Estos son los elementos que aparecen en los poliedros: Caras: Son los polígonos que limitan un poliedro. Su abreviatura es C. Aristas: Son las uniones de dos caras por uno de sus lados. Su abreviatura es A. Vértices: Son las uniones de tres o más caras por uno de sus vértices. Su abreviatura es V. Caras concurrentes en un vértice: Son las caras que tienen un vértice en común. Yo uso la abreviatura CV. Configuración de los vértices: Es el número de lados de cada una de las caras concurrentes en un vértice. Yo utilizo la abreviatura Vl. 5 1ª FÓRMULA Esta fórmula vale para cualquier poliedro convexo o no convexo sin excepción. En el libro la compruebo con los sólidos platónicos, con los sólidos arquimedianos, con los sólidos de Catalan, con los sólidos de Johnson, con los prismas, con los antiprismas y con los sólidos de Kepler-Poinsot. Vale para todos los poliedros porque siempre concurren dos caras en cada arista. Cuando se multiplican el número de caras por el de lados de cada cara, el producto es el doble del número de aristas porque cada lado aparece dos veces. 6 SÓLIDOS PLATÓNICOS 1. Tetraedro regular Características Comprobación de la fórmula 4 caras de 3 lados 6 aristas 4 vértices 2. Cubo Características Comprobación de la fórmula 6 caras de 4 lados 12 aristas 8 vértices 3. Octaedro regular Características Comprobación de la fórmula 8 caras de 3 lados 12 aristas 6 vértices 7 4. Dodecaedro regular Características Comprobación de la fórmula 2 caras de 5 lados 30 aristas 20 vértices 5. Icosaedro regular Características Comprobación de la fórmula 20 caras de 3 lados 30 aristas 12 vértices 8 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS 1. Tetraedro truncado Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 4 de 6 lados 4 de 3 lados 18 aristas 12 vértices 2. Cuboctaedro Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 8 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 9 3. Cubo truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 8 lados 8 de 3 lados 36 aristas 24 vértices 4. Octaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 8 de 6 lados 6 de 4 lados 36 aristas 24 vértices 10 5. Rombicuboctaedro Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 8 de 3 lados 48 aristas 24 vértices 6. Cuboctaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 6 de 8 lados 8 de 6 lados 12 de 4 lados 72 aristas 48 vértices 11 7. Cubo romo Características Comprobación de la fórmula 38 caras: 6 de 4 lados 32 de 3 lados 60 aristas 24 vértices 8. Icosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 20 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 12 9. Dodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 10 lados 20 de 3 lados 90 aristas 60 vértices 10. Icosaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 20 de 6 lados 12 de 5 lados 90 aristas 60 vértices 13 11. Rombicosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 12. Icosidodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 10 lados 20 de 6 lados 30 de 4 lados 180 aristas 120 vértices 14 13. Dodecaedro romo Características Comprobación de la fórmula 92 caras: 12 de 5 lados 80 de 3 lados 150 aristas 60 vértices 15 SÓLIDOS DE CATALÁN 1. Triaquistetraedro Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 3 lados 18 aristas 8 vértices 2. Rombododecaedro Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 4 lados 24 aristas 14 vértices 3. Triaquisoctaedro Características Comprobación de la fórmula 24 caras de 3 lados 36 aristas 14 vértices 16 4. Tetraquishexaedro Características Comprobación de la fórmula 24 caras de 3 lados 36 aristas 14 vértices 5. Icositetraedro deltoidal Características Comprobación de la fórmula 24 caras de 4 lados 48 aristas 26 vértices 6. Hexaquisoctaedro Características Comprobación de la fórmula 48 caras de 3 lados 72 aristas 26 vértices 17 7. Triacontaedro rómbico Características Comprobación de la fórmula 30 caras de 4 lados 60 aristas 32 vértices 8. Triaquisicosaedro Características Comprobación de la fórmula 60 caras de 3 lados 90 aristas 32 vértices 9. Pentaquisdodecaedro Características Comprobación de la fórmula 60 caras de 3 lados 90 aristas 32 vértices 18 10. Hexecontaedro deltoidal Características Comprobación de la fórmula 60 caras de 4 lados 120 aristas 62 vértices 11. Hexaquisicosaedro Características Comprobación de la fórmula 120 caras de 3 lados 180 aristas 62 vértices 12. Icositetraedro pentagonal Características Comprobación de la fórmula 24 caras de 5 lados 60 aristas 38 vértices 19 13. Hexecontaedro pentagonal Características Comprobación de la fórmula 60 caras de 5 lados 150 aristas 92 vértices 20 SÓLIDOS DE JOHNSON 1. Pirámide cuadrada Características Comprobación de la fórmula 5 caras: 1 de 4 lados 4 de 3 lados 8 aristas 5 vértices 2. Pirámide pentagonal Características Comprobación de la fórmula 6 caras: 1 de 5 lados 5 de 3 lados 10 aristas 6 vértices 21 3. Cúpula triangular Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 1 de 6 lados 3 de 4 lados 4 de 3 lados 15 aristas 9 vértices 4. Cúpula cuadrada Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 1 de 8 lados 5 de 4 lados 4 de 3 lados 20 aristas 12 vértices 22 5. Cúpula pentagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 1 de 10 lados 1 de 5 lados 5 de 4 lados 5 de 3 lados 25 aristas 15 vértices 6. Rotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 17 caras: 1 de 10 lados 6 de 5 lados 10 de 3 lados 35 aristas 20 vértices 23 7. Pirámide triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 7 caras: 3 de 4 lados 4 de 3 lados 12 aristas 7 vértices 8. Pirámide cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 9 caras: 5 de 4 lados 4 de 3 lados 16 aristas 9 vértices 24 9. Pirámide pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 11 caras: 1 de 5 lados 5 de 4 lados 5 de 3 lados 20 aristas 11 vértices 10. Pirámide cuadrada giroelongada Características Comprobación de la fórmula 13 caras: 1 de 4 lados 12 de 3 lados 20 aristas 9 vértices 11. Pirámide pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 16 caras: 1 de 5 lados 15 de 3 lados 25 aristas 11 vértices 25 12. Bipirámide triangular Características Comprobación de la fórmula 6 caras de 3 lados 9 aristas 5 vértices 13. Bipirámide pentagonal Características Comprobación de la fórmula 10 caras de 3 lados 15 aristas 7 vértices 14. Bipirámide triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 9 caras: 3 de 4 lados 6 de 3 lados 15 aristas 8 vértices 26 15. Bipirámide cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 4 de 4 lados 8 de 3 lados 20 aristas 10 vértices 16. Bipirámide pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 15 caras: 5 de 4 lados 10 de 3 lados 25 aristas 12 vértices 17. Bipirámide cuadrada giroelongada Características Comprobación de la fórmula 16 caras de 3 lados 24 aristas 10 vértices 27 18. Cúpula triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 1 de 6 lados 9 de 4 lados 4 de 3 lados 27 aristas 15 vértices 19. Cúpula cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 1 de 8 lados 13 de 4 lados 4 de 3 lados 36 aristas 20 vértices 28 20. Cúpula pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 1 de 10 lados 1 de 5 lados 15 de 4 lados 5 de 3 lados 45 aristas 25 vértices 21. Rotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 27 caras: 1 de 10 lados 6 de 5 lados 10 de 4 lados 55 aristas 30 vértices 29 22. Cúpula triangular giroelongada Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 1 de 6 lados 3 de 4 lados 16 de 3 lados 33 aristas 15 vértices 23. Cúpula cuadrada giroelongada Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 1 de 8 lados 5 de 4 lados 20 de 3 lados 44 aristas 20 vértices 30 24. Cúpula pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 1 de 10 lados 1 de 5 lados 5 de 4 lados 25 de 3 lados 55 aristas 25 vértices 25. Rotonda pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 37 caras: 1 de 10 lados 6 de 5 lados 30 de 3 lados 65 aristas 30 vértices 31 26. Girobifastigium Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 4 de 4 lados 4 de 3 lados 14 aristas 8 vértices 27. Ortobicúpula triangular Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 8 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 28. Ortobicúpula cuadrada Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 10 de 4 lados 8 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 32 29. Girobicúpula cuadrada Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 10 de 4 lados 8 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 30. Ortobicúpula pentagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 5 lados 10 de 4 lados 10 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 33 31. Girobicúpula pentagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 5 lados 10 de 4 lados 10 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 32. Ortocupularrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 27 caras: 7 de 5 lados 5 de 4 lados 15 de 3 lados 50 aristas 25 vértices 34 33. Girocupularrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 27 caras: 7 de 5 lados 5 de 4 lados 15 de 3 lados 50 aristas 25 vértices 34. Ortobirrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 20 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 35 35. Ortobicúpula triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 12 de 4 lados 8 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 36. Girobicúpula triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 12 de 4 lados 8 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 37. Girobicúpula cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 8 de 3 lados 48 aristas 24 vértices 36 38. Ortobicúpula pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 2 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 39. Girobicúpula pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 2 de 5 lado 20 de 4 lados 10 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 37 40. Ortocupularrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 37 caras: 7 de 5 lados 15 de 4 lados 15 de 3 lados 70 aristas 35 vértices 41. Girocupularrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 37 caras: 7 de 5 lados 15 de 4 lados 15 de 3 lados 70 aristas 35 vértices 38 42. Ortobirrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 12 de 5 lados 10 de 4 lados 20 de 3 lados 80 aristas 40 vértices 43. Girobirrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 12 de 5 lados 10 de 4 lados 20 de 3 lados 80 aristas 40 vértices 39 44. Bicúpula triangular giroelongada Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 6 de 4 lados 20 de 3 lados 42 aristas 18 vértices 45. Bicúpula cuadrada giroelongada Características Comprobación de la fórmula 34 caras: 10 de 4 lados 24 de 3 lados 56 aristas 24 vértices 40 46. Bicúpula pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 2 de 5 lados 10 de 4 lados 30 de 3 lados 70 aristas 30 vértices 47. Cupularrotonda pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 47 caras: 7 de 5 lados 5 de 4 lados 35 de 3 lados 80 aristas 35 vértices 41 48. Birrotonda pentagonal giroelongada Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 12 de 5 lados 40 de 3 lados 90 aristas 40 vértices 49. Prisma triangular aumentado Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 2 de 4 lados 6 de 3 lados 13 aristas 7 vértices 50. Prisma triangular biaumentado Características Comprobación de la fórmula 11 caras: 1 de 4 lados 10 de 3 lados 17 aristas 8 vértices 42 51. Prisma triangular triaumentado Características Comprobación de la fórmula 14 caras de 3 lados 21 aristas 9 vértices 52. Prisma pentagonal aumentado Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 5 lados 4 de 4 lados 4 de 3 lados 19 aristas 11 vértices 53. Prisma pentagonal biaumentado Características Comprobación de la fórmula 13 caras: 2 de 5 lados 3 de 4 lados 8 de 3 lados 23 aristas 12 aristas 43 54. Prisma hexagonal aumentado Características Comprobación de la fórmula 11 caras: 2 de 6 lados 5 de 4 lados 4 de 3 lados 22 aristas 13 aristas 55. Prisma hexagonal parabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 6 lados 4 de 4 lados 8 de 3 lados 26 aristas 14 vértices 44 56. Prisma hexagonal metabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 6 lado 4 de 4 lados 8 de 3 lados 26 aristas 14 vértices 57. Prisma hexagonal triaumentado Características Comprobación de la fórmula 17 caras: 2 de 6 lado 3 de 4 lados 12 de 3 lados 30 aristas 15 vértices 45 58. Dodecaedro aumentado Características Comprobación de la fórmula 16 caras: 11 de 5 lados 5 de 3 lados 35 aristas 21 vértices 59. Dodecaedro parabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 10 de 5 lados 10 de 3 lados 40 aristas 22 vértices 60. Dodecaedro metabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 10 de 5 lados 10 de 3 lados 40 aristas 22 vértices 46 61. Dodecaedro triaumentado Características Comprobación de la fórmula 24 caras: 9 de 5 lados 15 de 3 lados 45 aristas 23 vértices 62. Icosaedro metabidisminuido Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 5 lados 10 de 3 lados 20 aristas 10 vértices 63. Icosaedro tridisminuido Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 3 de 5 lados 5 de 3 lados 15 aristas 9 vértices 47 64. Icosaedro tridisminuido aumentado Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 3 de 5 lados 7 de 3 lados 18 aristas 10 vértices 65. Tetraedro truncado aumentado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 3 de 6 lados 3 de 4 lados 8 de 3 lados 27 aristas 15 vértices 48 66. Cubo truncado aumentado Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 5 de 8 lados 5 de 4 lados 12 de 3 lados 48 aristas 28 vértices 67. Cubo truncado biaumentado Características Comprobación de la fórmula 30 caras: 4 de 8 lados 10 de 4 lados 16 de 3 lados 60 aristas 32 vértices 49 68. Dodecaedro truncado aumentado Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 11 de 10 lados 1 de 5 lados 5 de 4 lados 25 de 3 lados 105 aristas 65 vértices 50 69. Dodecaedro truncado parabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 10 de 10 lados 2 de 5 lados 10 de 4 lados 30 de 3 lados 120 aristas 70 vértices 51 70. Dodecaedro truncado metabiaumentado Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 10 de 10 lados 2 de 5 lados 10 de 4 lados 30 de 3 lados 120 aristas 70 vértices 52 71. Dodecaedro truncado triaumentado Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 9 de 10 lados 3 de 5 lados 15 de 4 lados 35 de 3 lados 135 aristas 75 vértices 72. Rombicosidodecaedro giroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 53 73. Rombicosidodecaedro parabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 74. Rombicosidodecaedro metabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 54 75. Rombicosidodecaedro trigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 76. Rombicosidodecaedro disminuido Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 1 de 10 caras 11 de 5 lados 25 de 4 lados 15 de 3 lados 105 aristas 55 vértices 55 77. Rombicosidodecaedro paragiroide disminuido Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 1 de 10 lados 11 de 5 lados 25 de 4 lados 15 de 3 lados 105 aristas 55 vértices 56 78. Rombicosidodecaedro metagiroide disminuido Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 1 de 10 lado 11 de 5 lados 25 de 4 lados 15 de 3 lados 105 aristas 55 vértices 57 79. Rombicosidodecaedro bigiroide disminuido Características Comprobación de la fórmula 52 caras: 1 de 10 lados 11 de 5 lados 25 de 4 lados 15 de 3 lados 105 aristas 55 vértices 58 80. Rombicosidodecaedro parabidisminuido Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 2 de 10 lados 10 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 90 aristas 50 vértices 59 81. Rombicosidodecaedro metabidisminuido Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 2 de 10 lados 10 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 90 aristas 50 vértices 60 82. Rombicosidodecaedro giroide bidisminuido Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 2 de 10 lados 10 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 90 aristas 45 vértices 61 83. Rombicosidodecaedro tridisminuido Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 3 de 10 lados 9 de 5 lados 15 de 4 lados 5 de 3 lados 75 aristas 45 vértices 84. Biesfenoide romo Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 3 lados 18 aristas 8 vértices 62 85. Antiprisma cuadrado romo Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 2 de 4 lados 24 de 3 lados 40 aristas 18 vértices 86. Esfenocorona Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 4 lados 12 de 3 lados 22 aristas 10 vértices 63 87. Esfenocorona aumentada Características Comprobación de la fórmula 17 caras: 1 de 4 lados 16 de 3 lados 26 aristas 11 vértices 88. Esfenomegacorona Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 2 de 4 lados 16 de 3 lados 28 aristas 12 vértices 64 89. Hebesfenomegacorona Características Comprobación de la fórmula 21 caras: 3 de 4 lados 18 de 3 lados 33 aristas 14 vértices 90. Biesfenocíngulo Características Comprobación de la fórmula 24 caras: 4 de 4 lados 20 de 3 lados 38 aristas 16 vértices 65 91. Bilunabirrotonda Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 4 de 5 lados 2 de 4 lados 8 de 3 lados 26 aristas 14 vértices 92. Hebesfenorrotonda triangular Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 1 de 6 lados 3 de 5 lados 3 de 4 lados 13 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 66 PRISMAS 1. Prisma triangular Características Comprobación de la fórmula 5 caras: 3 de 4 lados 2 de 3 lados 9 aristas 6 vértices 2. Prisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 7 caras: 2 de 5 lados 5 de 4 lados 15 aristas 10 vértices 3. Prisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 2 de 6 lados 6 de 4 lados 18 aristas 12 vértices 67 4. Prisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 8 lados 8 de 4 lados 24 aristas 16 vértices 5. Prisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 10 lados 10 de 4 lados 30 aristas 20 vértices 68 ANTIPRISMAS 1. Antiprisma cuadrado Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 4 lados 8 de 3 lados 16 aristas 8 vértices 2. Antiprisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 5 lados 10 de 3 lados 20 aristas 10 vértices 3. Antiprisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 6 lados 12 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 69 4. Antiprisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 2 de 8 lados 16 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 5. Antiprisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 10 lados 20 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 70 SÓLIDOS DE KEPLER-POINSOT 1. Pequeño dodecaedro estrellado Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 5 lados 30 aristas 12 vértices 2. Gran dodecaedro estrellado Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 5 lados 30 aristas 12 vértices 71 3. Gran icosaedro Características Comprobación de la fórmula 20 caras de 3 lados 30 aristas 12 vértices 4. Gran dodecaedro Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 5 lados 30 aristas 12 vértices 72 2ª FÓRMULA Esta fórmula vale para todos los poliedros que cumplan que el número de caras concurrentes en los vértices sea siempre el mismo, por que si no, no se podría calcular la fórmula. Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los prismas, los antiprismas y los 25 siguientes sólidos de Johnson: 15, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 57, 72, 73, 74, 75, 85 y 92. Vale para estos poliedros porque cuando se multiplica el número de caras por el de lados siempre sale el número de vértices multiplicado por el de las caras concurrentes en un vértice. 73 SÓLIDOS PLATÓNICOS 1. Tetraedro regular Características Comprobación de la fórmula 4 caras de 3 lados 6 aristas 4 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 2. Cubo Características Comprobación de la fórmula 6 caras de 4 lados 12 aristas 8 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 74 3. Octaedro regular Características Comprobación de la fórmula 8 caras de 3 lados 12 aristas 6 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 4. Dodecaedro regular Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 5 lados 30 aristas 20 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 5. Icosaedro regular Características Comprobación de la fórmula 20 caras de 3 lados 30 aristas 12 vértices 5 caras concurrentes en cada vértice 75 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS 1. Tetraedro truncado Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 4 de 6 lados 4 de 3 lados 18 aristas 12 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 2. Cuboctaedro Características Comprobación de lan fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 8 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 76 3. Cubo truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 8 lados 8 de 3 lados 36 aristas 24 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 4. Octaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 8 de 6 lados 6 de 4 lados 36 aristas 24 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 77 5. Rombicuboctaedro Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 8 de 3 lados 48 aristas 24 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 6. Cuboctaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 6 de 8 lados 8 de 6 lados 12 de 4 lados 72 aristas 48 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 78 7. Cubo romo Características Comprobación de la fórmula 38 caras: 6 de 4 lados 32 de 3 lados 60 aristas 24 vértices 5 caras concurrentes en cada vértice 8. Icosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 20 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 79 9. Dodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 10 lados 20 de 3 lados 90 aristas 60 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 10. Icosaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 20 de 6 lados 12 de 5 lados 90 aristas 60 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 80 11. Rombicosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 4 caras concurremtes en cada vértice 12. Icosidodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 10 lados 20 de 6 lados 30 de 4 lados 180 aristas 120 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 81 13. Dodecaedro romo Características Comprobación de la fórmula 92 caras: 12 de 5 lados 80 de 3 lados 150 aristas 60 vértices 5 caras concurrentes en cada vértice 82 SÓLIDOS DE JOHNSON 15. Bipirámide cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 4 de 4 lados 8 de 3 lados 20 aristas 10 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 27. Ortobicúpula triangular Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 8 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 83 28. Ortobicúpula cuadrada Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 10 de 4 lados 8 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 4 caras concurrentes en un vértice 29. Girobicúpula cuadrada Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 10 de 4 lados 8 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 84 30. Ortobicúpula pentagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 5 lados 10 de 4 lados 10 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 31. Girobicúpula pentagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 5 lados 10 de 4 lados 10 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 85 32. Ortocupularrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 27 caras: 7 de 5 lados 5 de 4 lados 15 de 3 lados 50 aristas 25 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 33. Girocupularrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 27 caras: 7 de 5 lados 5 de 4 lados 15 de 3 lados 50 aristas 25 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 86 34. Ortobirrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 20 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 35. Ortobicúpula triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 12 de 4 lados 8 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 87 36. Girobicúpula triangular elongada Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 12 de 4 lados 8 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 4 caras concurrentes en un vértice 37. Girobicúpula cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 8 de 3 lados 48 aristas 24 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 88 38. Ortobicúpula pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 2 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 39. Girobicúpula pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 2 de 5 lados 20 de 4 lados 10 de 3 lados 60 aristas 30 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 89 40. Ortocupularrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 37 caras: 7 de 5 lados 15 de 4 lados 15 de 3 lados 70 aristas 35 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 41. Girocupularrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 37 caras: 7 de 5 lados 15 de 4 lados 15 de 3 lados 70 aristas 35 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 90 42. Ortobirrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 12 de 5 lados 10 de 4 lados 20 de 3 lados 80 aristas 40 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 43. Girobirrotonda pentagonal elongada Características Comprobación de la fórmula 42 caras: 12 de 5 lados 10 de 4 lados 20 de 3 lados 80 aristas 40 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 91 57. Prisma hexagonal triaumentado Características Comprobación de la fórmula 17 caras: 2 de 6 lados 3 de 4 lados 12 de 3 lados 30 aristas 15 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 72. Rombicosidodecaedro giroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 caras 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 92 73. Rombicosidodecaedro parabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 74. Rombicosidodecaedro metabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 93 75. Rombicosidodecaedro trigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 30 de 4 lados 20 de 3 lados 120 aristas 60 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 85. Antiprisma cuadrado romo Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 2 de 4 lados 24 de 3 lados 40 aristas 16 vértices 5 caras concurrentes en cada vértice 94 92. Hebesfenorrotonda triangular Características Comprobación de la fórmula 20 caras: 1 de 6 lados 3 de 5 lados 3 de 4 lados 13 de 3 lados 36 aristas 18 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 95 PRISMAS 1. Prisma triangular Características Comprobación de la fórmula 5 caras: 3 de 4 caras 2 de 3 caras 9 aristas 6 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 2. Prisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 7 caras: 2 de 5 caras 5 de 4 caras 15 aristas 10 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 96 3. Prisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 2 de 6 caras 6 de 4 caras 18 aristas 12 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 4. Prisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 8 lados 8 de 4 lados 24 aristas 16 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 97 5. Prisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 10 caras 10 de 4 caras 30 aristas 20 vértices 3 caras concurrentes en cada vértice 98 ANTIPRISMAS 1. Antiprisma cuadrado Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 4 lados 8 de 3 lados 16 aristas 8 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 2. Antiprisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 5 lados 10 de 3 lados 20 aristas 10 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 99 3. Antiprisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 6 lados 12 de 3 lados 24 aristas 12 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 4. Antiprisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 2 de 8 lados 16 de 3 lados 32 aristas 16 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 100 5. Antiprisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 10 lados 20 de 3 lados 40 aristas 20 vértices 4 caras concurrentes en cada vértice 101 3ª FÓRMULA Esta fórmula vale para los poliedros que cumplan que la configuración de los vértices sea la misma en todos ellos, porque si no, no se podría calcular la fórmula. Son los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los prismas, los antiprismas y los 7 siguientes sólidos de Johnson: 27, 34, 37, 72, 73, 74 y 75. Cuando en la configuración de los vértices todos los números están al menos dos veces, el m. c. d. hay que dividirlo entre 2; cuando están al menos tres veces hay que dividir el m. c. d. entre 3, y así sucesivamente. Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 2: Los sólidos arquimedianos 2 y 8; y los sólidos de Johnson 27 y 34. Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 3: Los sólidos platónicos 1, 2 y 4. Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 4: El sólido platónico 3. Casos en que hay que dividir el m. c. d. entre 5: El sólido platónico 5. 102 SÓLIDOS PLATÓNICOS 1. Tetraedro regular Características Comprobación de la fórmula 4 caras de 3 lados 4 x 3 = 12 6 aristas m. c. d. de 12 = 12 4 vértices 12 : 4 = 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3 12 : 3 = 4 2. Cubo Características Comprobación de la fórmula 6 caras de 4 lados 6 x 4 = 24 12 aristas m. c. d. de 24 = 24 8 vértices 24 : 8 = 3 Configuración de los vértices: 4, 4, 4 Configuración de los vértices: 4, 4, 4 24 : 3 = 8 103 3. Octaedro regular Características Comprobación de la fórmula 8 caras de 3 lados 8 x 3 = 24 12 aristas m. c. d. de 24 = 24 6 vértices 24 : 6 = 4 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3 24 : 4 = 6 4. Dodecaedro regular Características Comprobación de la fórmula 12 caras de 5 lados 12 x 5 = 60 30 aristas m. c. d. de 60 = 60 20 vértices 60 : 20 = 3 Configuración de los vértices: 5, 5, 5 Configuración de los vértices: 5, 5, 5 60 : 3 = 20 5. Icosaedro regular Características Comprobación de la fórmula 20 caras de 3 lados 20 x 3 = 60 30 aristas m. c. d. de 60 = 60 12 vértices 60 : 12 = 5 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 3 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 3 60 : 5 = 12 104 SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS 1. Tetraedro truncado Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 4 de 6 lados 4 x 6 = 24 4 de 3 lados 4 x 3 = 12 m. c. d. de 24 y 12 = 12 18 arista 24 : 12 = 2 12 : 12 = 1 12 vértices Configuración de los vértices: 3, 6, 6 Configuración de los vértices: 3, 6, 6 2. Cuboctaedro Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 4 x 6 = 24 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12 24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2 12 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4 Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4 105 3. Cubo truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 48 y 24 = 24 36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1 24 vértices Configuración de los vértices: 3, 8, 8 Configuración de los vértices: 3, 8, 8 4. Octaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 8 de 6 lados 8 x 6 = 48 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 m. c. d. de 48 y 24 = 24 36 aristas 48 : 24 = 2 24 : 24 = 1 24 vértice Configuración de los vértices: 4, 6, 6 Configuración de los vértices: 4, 6, 6 106 5. Rombicuboctaedro Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 72 y 24 = 24 48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1 24 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 4, 4 Configuración de los vértices: 3, 4, 4, 4 6. Cuboctaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 6 de 8 lados 6 x 8 = 48 8 x 6 = 48 12 x 4 = 48 8 de 6 lados m. c. d. de 48, 48 y 48 = 48 12 de 4 lados 48 : 48 = 1 72 aristas 48 : 48 = 1 48 : 48 = 1 Configuración de los vértices: 4, 6, 8 48 vértices Configuración de los vértices: 4, 6, 8 107 7. Cubo romo Características Comprobación de la fórmula 38 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 32 de 3 lados 32 x 3 = 96 m. c. d. de 24 y 96 = 24 60 aristas 24 : 24 = 1 96 : 24 = 4 24 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 4 8. Icosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 de 3 lados 20 x 3 = 60 m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30 60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2 30 vértices Configuración de los vértices: 3, 5, 3, 5 Configuración de los vértices: 3, 5, 3, 5 108 9. Dodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 10 lados 12 x 10 = 120 20 de 3 lados 20 x 3 = 60 m. c. d. de 120 y 60 = 60 90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 10, 10 Configuración de los vértices: 3, 10, 10 10. Icosaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 20 de 6 lados 20 x 6 = 120 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 m. c. d. de 120 y 60 = 60 90 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 60 vértices Configuración de los vértices: 5, 6, 6 Configuración de la fórmula: 5, 6, 6 109 11. Rombicosidodecaedro Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 30 x 4 = 120 20 x 3 = 60 30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60 20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 12. Icosidodecaedro truncado Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 10 lados 12 x 10 = 120 20 x 6 = 120 30 x 4 = 120 20 de 6 lados m. c. d. de 120, 120 y 120 = 120 30 de 4 lados 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1 120 : 120 = 1 180 aristas Configuración de los vértices: 4, 6, 10 120 vértices Configuración de los vértices: 4, 6, 10 110 13. Dodecaedro romo Características Comprobación de la fórmula 92 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 80 de 3 lados 80 x 3 = 240 m. c. d. de 60 y 240 = 60 150 aristas 60 : 60 = 1 240 : 60 = 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 5 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 3, 5 111 SÓLIDOS DE JOHNSON 27. Ortobicúpula triangular Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 24 y 24 = 24 24 : 2 = 12 24 aristas 24 : 12 = 2 24 : 12 = 2 12 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4 Configuración de los vértices: 3, 4, 3, 4 34. Ortobirrotonda pentagonal Características Comprobación de la fórmula 32 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 20 de 3 lados 20 x 3 = 60 m. c. d. de 60 y 60 = 60 60 : 2 = 30 60 aristas 60 : 30 = 2 60 : 30 = 2 30 vértices Configuración de los vértices: 3, 5, 3, 5 Configuración de los vértices: 3, 5, 3, 5 112 37. Girobicúpula cuadrada elongada Características Comprobación de la fórmula 26 caras: 18 de 4 lados 18 x 4 = 72 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 72 y 24 = 24 48 aristas 72 : 24 = 3 24 : 24 = 1 24 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 4, 4 Configuración de los vértices: 3, 4, 4, 4 72. Rombicosidodecaedro giroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 30 x 4 = 120 20 x 3 = 60 30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60 20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 113 73. Rombicosidodecaedro parabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 30 x 4 = 120 20 x 3 = 60 30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60 20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 74. Rombicosidodecaedro metabigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 30 x 4 = 120 20 x 3 = 60 30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60 20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 114 75. Rombicosidodecaedro trigiroide Características Comprobación de la fórmula 62 caras: 12 de 5 lados 12 x 5 = 60 30 x 4 = 120 20 x 3 = 60 30 de 4 lados m. c. d. de 60, 120 y 60 = 60 20 de 3 lados 60 : 60 = 1 120 aristas 120 : 60 = 2 60 : 60 = 1 Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 60 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 5, 4 115 PRISMAS 1. Prisma triangular Características Comprobación de la fórmula 5 caras: 3 de 4 lados 3 x 4 = 12 2 de 3 lados 2x3=6 m. c. d. de 12 y 6 = 6 9 aristas 12 : 6 = 2 6:6=1 6 vértices Configuración de los vértices: 3, 4, 4 Configuración de los vértices: 3, 4, 4 2. Prisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 7 caras: 2 de 5 lados 2 x 5 = 10 5 de 4 lados 5 x 4 = 20 m. c. d. de 10 y 20 = 10 15 aristas 10 : 10 = 1 20 : 10 = 2 10 vértices Configuración de los vértices: 4, 4, 5 Configuración de los vértices: 4, 4, 5 116 3. Prisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 8 caras: 2 de 6 lados 2 x 6 = 12 6 de 4 lados 6 x 4 = 24 m. c. d. de 12 y 24 = 12 18 aristas 12 : 12 = 1 24 : 12 = 2 12 vértices Configuración de los vértices: 4, 4, 6 Configuración de los vértices: 4, 4, 6 4. Prisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 8 lados 2 x 8 = 16 8 de 4 lados 8 x 4 = 32 m. c. d. de 16 y 32 = 16 24 aristas 16 : 16 = 1 32 : 16 = 2 16 vértices Configuración de los vértices: 4, 4, 8 Configuración de los vértices: 4, 4, 8 5. Prisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 10 lados 2 x 10 = 20 10 de 4 lados 10 x 4 = 40 m. c. d. de 20 y 40 = 20 30 aristas 20 : 20 = 1 40 : 20 = 2 20 vértices Configuración de los vértices: 4, 4, 10 Configuración de los vértices: 4, 4, 10 117 ANTIPRISMAS 1. Antiprisma cuadrado Características Comprobación de la fórmula 10 caras: 2 de 4 lados 2x4=8 8 de 3 lados 8 x 3 = 24 m. c. d. de 8 y 24 = 8 16 aristas 8:8=1 24 : 8 = 3 8 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 4 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 4 2. Antiprisma pentagonal Características Comprobación de la fórmula 12 caras: 2 de 5 lados 2 x 5 = 10 10 de 3 lados 10 x 3 = 30 m. c. d. de 10 y 30 = 10 20 aristas 10 : 10 = 1 30 : 10 = 3 10 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 5 Configuración de loss vértices: 3, 3, 3, 5 118 3. Antiprisma hexagonal Características Comprobación de la fórmula 14 caras: 2 de 6 lados 2 x 6 = 12 12 de 3 lados 12 x 3 = 36 m. c. d. de 12 y 36 = 12 24 aristas 12 : 12 = 1 36 : 12 = 3 12 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 6 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 6 4. Antiprisma octogonal Características Comprobación de la fórmula 18 caras: 2 de 8 lados 2 x 8 = 16 16 de 3 lados 16 x 3 = 48 m. c. d. de 16 y 48 = 16 32 aristas 16 : 16 = 1 48 : 16 = 3 16 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 8 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 8 5. Antiprisma decagonal Características Comprobación de la fórmula 22 caras: 2 de 10 lados 2 x 10 = 20 20 de 3 lados 20 x 3 = 60 m. c. d. de 20 y 60 = 20 40 aristas 20 : 20 =1 60 : 20 = 3 20 vértices Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 10 Configuración de los vértices: 3, 3, 3, 10 119
