METODO SIMPLIFICADO PARA EL CALCULO DE

METODO SIMPLIFICADO PARA EL CALCULO DE

CIENCIA Y SOCIEDAD
VolumenXIX, Número3, Julio-Septiembre,
1994
VolumenXIX, Número4, Octubre-Diciembre.
1994
METODO SIMPLIFICADOPARA EL CALCULO DE
DEFORMACIONESEN LOSASARMADAS
EN DOSDIRECCIONES
Ing. FernandoA. Perdomo*
Resumen:
Seproponeun métodoaltemativoparacalculardeformaciones
en
losasarmadas
endosdirecciones.
El métodocumpleconlascondicionesdeservicibilidad
y rcsistencia
queexigecl Reglamento
ACI 318-89.
Sepresentan
lasecuacioncs
parael cálculodelos factores
dedistribución clecargay se considerala secciónagrietada,
ilustrandoen un
ejemplo.Un listadodelprogramapara
Lotus123completa
el trabajo.
PalabrasClaves:
Losasamradas.
defomraciones,
teoíadeMarkus.factores
dedistribuciónde carga.esfuerzo
rotura.
de
* ProlesorArea IngenieríaCivil, INTEC.
20r
ACI 318-89,Pán"¿fo
9.5,lasdeformacionesde
Segrinel Reglamento
sometidosa flexión debenestardentrode
los elementosestructurales
bajocargas
ciertoslfmitesparaasegurarsuservicibilidady resistencia
permitidos
para
las deformaciones
de servicio.Los valoresmáximos
calculadasestándadosen la tabla9.5(b)del Reglamento.
presenta
lasecuaciones
conociEn el pánafo9.5.3.1el Reglamento
mfnimosdelosasarmadas
daspor todosparael cálculodelosespesores
por
quenospermitencontrolarlas deformaciones
en dosdirecciones,
mediodel controlde la rigidezdel elementoestructural.Sin embargo,
menores
nospermiteusarespesores
enel pánafo9.5.3.4el Reglamento
quelos obtenidospor mediode dichasfórmulas,siemprey cuandose
condiciones:
cumplanlas siguientes
losvaloresde
nodebensobrepasar
calculadas
a)Lasdeformaciones
la tabla9.5(b)
tomandoen cuentael
debensercalculadas
b) Las deformaciones
de apoyoy la naturaleza
tÍrmañoy la formadela losa,lascondiciones
enlos bordes.
de los empotramientos
en
delhormigónEc seráel especificado
c) El módulodeelasticidad
la Sec.8.5.1(Ec=15000!T-c).
enlaEc.(9-7).
deinerciaefectivoseráelespecificado
d) El momento
de acuerdocon
calcularse
a largoplazodeberán
e) Lasdeflexiones
la sección
9.5.2.5.
un procedimientoaproximadoque
En este trabajo presentamos
cumplecondichascondiciones.
por Markuspara
sebasaen la teoríadesanollada
El procedimiento
conla que
enlosasarmadas
endosdirecciones,
el cálculodemomentos
loscoeficientes
delastablasparadiseñodelosasdel
fueroncalculados
libro de B. Lóser.Presuponeque las losasse apoyansobreapoyos
queesel casonormaldelosasapoyadas
sobremurosde
indeformables,
bloques.
202
,1Ñ
l,4l \
tAt\
tAl
-1'.. .
\
.-. \
I \i\
v\fr
I
v)t
I
0t/
,.t
uv
qy
lq,
X
La teorfadeMarkusparael cálculodemomentos
enlosassebasaen
el análisisdedosfranjasdelosa,unaencadadirección,
lascualestienen
la mismaflechaen su puntode intersección.
Igualando
las flechasde
ambasfranjassedetermina
la cargaquedebetenercadafranja.
l. Cálculode losfactoresde distribucióndecarga:
Igualandolasflechasen ambasfraniastendremos:
6.=6,
W^ . q^ . l^4
W, . gr. lro
3 9 4. E . I
3 8 4 .E . I
H a c i e n d oe = l r l l ^ y W = W ' A V , :
W.€a
'Q=kr'Q
Q^=
l +W.ea
9r=(l-k.)'q
= kr.Q
203
Dondeq es la cargasobrela losaparala cual se deseacalcularla
flecha,y q, y qv sonlas cargasque'actúansobrelas franjassegúnx y
segúny, respectivamente.
serán
Al no considerarlarigidezala torsióndela losa,losresultados
del ladode la seguridad.
conservadores,
parael cálculode las
En la figurasiguientesedanlos coeficientes
(.1.")
y los momentos
de
(W,
los
trarnos
los
momentos
en
flechas
"), perfecto(ms*." paralos tres ca5osde apoyode cada
empotramidírto
)
franja(x,y).
1
24
l2
2.08
14.22
I
5
8
w xy
mfry
MS
Ref.2, pag.8.7):
2. SecciónAgrietada(Seg¡rn
b. h3
B_
l =
I
n . As
t2
B
b'ko'
Icr =
rmf{
nlr-l
lo
l l o , l' - - - L
v-'
2 . d .8+1-1
ko=
*-----1
b
3
3. MomentodeInerciaefectivo:
Mc r ,
I"= (-).I_+[-(
M
M
) 3 1 .q 1< IE
"
Donde:M- =
fr . I 8
"
f.= 2 '^F2U
( E c . 9 . 7A C I )
A
(Ec.9-8 ACD.
Momento
deagrietamiento
t
Esfuerzo
deroturapornaccióndelhormigón.
M" = Máximomomento
enla zonadondesecalculala deformación
y, = distanciadesdeel centrodegravedadde la secciónal extremo
traccionado.
Enel casodevigasconextremos
continuos,
el reglamento
ACI 319_
89 recomienda
el usodel valorpromediode los momentos
de inercia
efectivosen el tramoy en los extremos
continuos.
Vigasconun extremocontfnuo:
I" prom.= 0.50I"m+ 0.50I"1
Vigasconambosextremos
contínuos:
I"prom.= 0.50I.m+ 0.25(I.l + I"2)
DondeI"m serefierealazonademomentopositivo,y I"l, I"2 a las
zonassobrelos apoyos.
En el casode las losas,tendremos
dos franjas,cadauna con su
momentode inerciaefectivopromedio.
como el cálculodela distribución de las cargasse basóen que ambasfranjastendrlanel mismo
momentode inercia,sedebecalcularun momentode inerciaefectivo
común a ambasfranjas,que llamaremosI"p: Momentode Inercia
EfectivoPonderado.
En el casode unalosaconunarelacióndeluceslmax/lminmucho
mayorquedos(2),laluz cortaresistirá
el IOOVo
dela carga,porlo que
la rigidezde la losadeberáserla rigidezdela luz corta.En general,la
rigidezde la losadeberáserproporcional
a los factores
dedistribución
decargas,
o seamultiplicando
losvaloresIe prom.decadafranjaporlos
respectivos
factores
de distribución
decarga\ y k".
IB = k, . I", prom.* k, . I", prom.+ k, . I., prom
205
ConestevalorI-, y conlosfactoresdedistribucióndecargas\ y k ,
podremoscalcularlas flechasen ambasfranjas,las cualesdeberánser
de la losa.
iguales,y seránla flechaaproximada
6los. = 6r =
4.
Wr.kr.q.lro
- 6r=
3 8 4. E . I ?
Wr.kr.q.ly4
384.8 . I.e
Ejemplodecálculo: ¿c_
-
x
Y
s
i
T
l
l
l
l
l l
h l
*-
ffi
Verificar si el espesorde la losa apoyadasobremurosde bloques
de flechasdel ACI:
cumpleconlos requisitos
Solicitaciones:
Cargaviva:
Cargamuertaadicional:
L=200 kg/mt
Dl= 120kglm'
ll cm
Espesorlosa:
Materiales:
f'c = Zl}kglcm2 Ec = 217371kglcm2
fr = 29 kglcm2
fy = 2800kg/cm2 Es = 2E+O6kglcm2 n = 9.66
Sección:
hllcm d=9cm d'=2cm
Ig= llWZ cma/m yt= 5.5cm
As= 2.20 cmz/m = Asmin= 2.20cm2lm
206
Solicitaciones:
m=z&küm,
Dl= 120kgtmz tFZWkg/m,
Sistema:
lx= 4.00m
ly= 5.00m e= l.2S
- articulada
Franjasegúnx: empotrada
Franjasegúny: simplementeapoyada
Distribucióndecargas:
mfx= 14.22
mfy= 8
msx=-8
msy= 0
Wx= 2.08 Kx= 0.8544
Wy= 5
Ky= 0.1456
SecciónAgrietada:
B= 4.705
Icp 1297cma/m
kd=
Mcp
1.755cm
584kg.m/m
Momentode inerciaEfecüvo:
N= 264küm2 Dl= 120kg/m, L= Zffi kgmt
Tramo: Max= 5ól kg.m/m lex= 11092cmalm
May= 266kg.mlm ley- ll}92cmalm
Enrp.:
Max= -998kg.m/m lex= 3265cmalm
May= 0 kg.m/n ley= - cma/m
honedios: Iex=7178cma/m ley= 11092cma/m
Pronredioponderado:Iep= 7748cma/m
207
Flechamáximainmediatapor cargaviva:
DG= 0 kdmt Dl= 0 kg/m, L= 2ú kglmt
fx= 0.1407cm fy= 0.1407cm
I 360= l'l I I cm
-=::::
l===1t=lti===t1n
Flechafinal máximapor cargatotal:
Factorparadeformaciónretardada:2.W
(Ec.9-10,t>5años)
Dl= l2Ok9m' L=2}0kdm'
N=z6/kglm'
fx= 0.6810cm fy= 0.ó810cm
= 0'833
cm:i:=
I 480
l===i=u=19===tln
5.
Conclusiones:
Con ayudade un sencilloprograma(ver listado anexodel
programaparaLotus123)sepuedetenera disposiciónunaherramienta
endosdireccioenlosasarmadas
prácticaparacalculardeformaciones
podrfanjustificar
que
se
conla
la seccionagrietada,
nes,considerando
delosasmenoresquelos requeridospor las
en algunoscasosespesores
(9-10)y (9-l l) del reglamento.
ecuaciones
6.
Bibliografía:
for
1. AmericanConcreteInstitute:Building Code Requirements
(ACI 3 I 8-89)Eevised1992)andCommentary,
ReinforcedConcrete
1994.
Noteson ACI 318-89BuildingCode
2. PortlandCementAssociation:
for ReinforcedConcrete,Fifth edition,1990.
Requirements
3. HormigónArmado
B. Lóser.8vaEdicion.l97l.El Ateneo.
208
LISTADO DEL PROGRAMA PARA LOTUS 123
A I: . LOSASARMADASEN DOSDIRECCIONES
Gl:'(Alpham>2)
A2: ' CALCULODE DEFORMACIONES
CONSIDERANDO
LA SECCIONAGRIETADA
83: '(Reglamenro
ACI3lg-99,$
9 . 5 . 2 . 3I )
A5:'PROYECTO:
C5: 'Ejemplo
A7: 'Materiales:
88: "f'c=
C 8 :2 1 0
D8: 'kg/cn¡z
E8:"Ec=
Ftt: 15000*@SQRT(C8)
Gll: 'kg/cm2
89: "li=
C9:2*@SQRT(C8)
D9: 'kg/cm2
B l0: "fy=
Cl0: 2800
Dl0: 'kg/cm2
El0:"Es=
FlO:21000ü)
Gl0: 'kg/cm'?
Hl0:"n=
Il0:+Fl0/F8
Al2:'Seccion:
Bl3:"h=
C l 3 :l I
Dl3:'cm
El3:"d=
F l 3 :+ C l 3 - I l 3
G l 3 :' c m
H l 3 :" d ' =
ll3:2
209
J 1 3: ' c m
B14:"Ig=
C14:100*C13^3112
Dl4:'cma/m
El4:."y1=
Fl4: +Cl3l2
G14:'cm
B15:"As=
C 1 5 :+ F l 5
D15:'cmz/m
815:"Asmin
Fl5:
+C13* 100*@MAX(@IF(CI 0<42m,0.W2,7
.5
6/Cl0),0.0014)
Gl5: 'cm2/m
A17: 'Solicitaciones:
B18:"tn=
Cl8: +C13*24mllm
Dl8: 'kg/m'
El8:"Dl=
Fl8:120
Gl8: 'kg/m2
Hl8:"L=
I 1 8 :2 0 0
Jl8: 'kg/m2
A20: 'Sistema:
B21:"Lx=
C2l:4
D21:'m
EZI:"Ly=
F21:5
G21:'m
H21:"Eps=
I2l: +FZLlC2l
G22:' ( 1 = Simplemente
apoyado)
823'."1x=
C23:2
2r0
E23.."Ty=
F23:1
G23'.' ( 2 = Empotrado/articulado)
G24:' ( 3 = Dobleempotrado
)
A25: 'Distribucionde cargas:
826:"Mx=
c26:
=2,14.22,24))
@IF(C23=l, 8,@IF(C23
D26:"Sx=
E26: @lF(C23=1,0,@
IF(C23=2,-8,t2))
G26:"Wx=
H2ó: @IF(C23=1,5,@
IF(C23=2,2.08,1))
12ó:"Kx=
J26:1-127
827:"MyC27:
4.22,24))
@IF(F23=1,8,@IF(F23=2,1
D27:"Sy=
E27: @IF(F23=1,0,@
IF(F23=2,-8,l2))
G27:"Wy=
H27: @IF(F23=1,5,@
IF(F23=2,2.08,1))
127:"Ky=
J21: I I ((H27/H26)*l2l ¡4+l)
A29:'InerciaSeccion
Agrietada:
(PCI:Noteson ACI, pag.8-7)
830:"B=
C30:@IF(Cl5=0,0,100/(ll0*Cl 5))
830: 'kd=
F30:
SQRT(2*F
I 3*C30+I )-I )/C
@IF(C30=0,0,(@
30)
G30:'cm
B3l:"Icp
c3l:
I 00*F30^3/3+I
I 0*CI 5*(Fl 3-F30)^2+(I
I0
- I )*Fl5*(F30-I
l3)^2
D3l:'cma/m
2tl
831:'Mcr
F3l:+C9*CU/FW|W
G3l:'kg.m/m
A33: 'Momentode inerciaEfectivo
ACI)
F33: '@c.9-7 Reglamento
B34: "D0=
C34:+Cl8
D34: 'kg/m2
834:"D1=
F34:+F18
G34:'kg/m2
H34:"L=
I 3 4 :+ I 1 8
J34:'kg/m2
B35:"Tramo:
C35:"Max=
^21C26
D35: +J26*(C34+F34+I34)*C2l
'kg.m/m
E35:
F35:"Iex=
G35:
I 4+(I -(F3I ^31D35
@MIN((F3I ^3/D35^3)"'.C
^3))*C31,C14)
H35:'cma/m
C36:"May=
D36: +127* (C34+F34+19¡*r21I ¡92,
E36:'kg.m/m
F36:"Iey=
G36:
14+(I -(F3l^31D36
@MIN((F31^3/D36^3)"'.C
^3))*C31,C14)
H36:'cma/m
B37:"Emp.:
C37:"Max=
D37:
@IF(826=0,0,+J26* (C34+F34+134)*CZ| ^2
tEz6)
837:'kg.m/m
212
F37:"Iex=
G37:@IF(D37=0,"
-",@MIN((F3 I ^3/(-D37)^3)*
Ct4+(I -(F3
^3/(-D37)^3))*C3
l
1,C14))
H37:'cma/m
C38:"May=
D38:
^2
127* (C34+F34+134)*F21
@IF(E27=0,0,+
/827)
838: 'kg.m/m
F38:"Iey=
G38:@IF(D38=0,"
-",@MIN((F3 I ^3/(-D38)^3)*C
l4+(I -(F3
^3/(-D38)^3))*C3
l
l,C l4))
H38:'cma/m
839:"Promedios:
D39:"Iex=
839: @IF(C23=I,G35,(+G35+G37
)12)
F39:'cma/m
G39:"ley=
H39:@lF(F23=
1,G36,(+G36+G38)/2)
I39:'cma/m
B40:"Promedioponderado:
840: 'Iep=
F40:+839*J26+H39*J27
G40:'cma/m
A42: 'Flechamaximainmediata
por
cargaviva:
B43:"D0=
C43:0
Dz13:'kg/m2
843:"Dl=
F43:0
G43:'kg/m2
H43:"L=
143:+134
J43:'kg/mz
2t3
B44:"fx=
c44:
+l 26*( C43+F43+I43) * C2 | 4 | ((384M26)*
F8*F40)f1000000
D¿[4:'cm
F44:"fy=
F44:
+I 27* (C43+F43+I43) *F2l ^4I (Q84M27)*
F8*F40)*1000000
'cm
G44:
8 4 6 : ' f=
C46:@MAX(C4,F44)
Dló:'cm
E46:'Lmin 1360=
I 00
G46: @MIN(Czr'F2r)1360*
H46:'cm
146:@IF(C4ó<G46,"O.K."," ERR")
B47:E
C47:E
f)4Jz'==
I47:\;
A49: 'Flechafinal maximaPorcarga
total:
B50: 'FactorParadeformacion
retardada:
G50:2
H50:' (Ec.9-10,t > 5 años)
851:"D0=
C51:+C34
D51:'kg/m2
E51:"D1=
F5l: +F34
G5l:'kg/m2
H51:"L=
151:+I34
J5l:'kg/m2
B52:"fx=
214
c52:
aJl$*(QJ| *G50+F5I *G50+I51)*C2l4{,l((3
84[H26)*F8*F40)* I 000000
D52:'cm
E52:"fy=
F52:
+127* (C5l*G50+F5I *G50+I5I )*F2l^4I (3
84N27 )*F8*F40)* I 000000
G52:'cm
B 5 4 :' f =
C54:@MAX(C52,F52)
D54:'cm
854:'Lmin 1480=
G54:@MIN(Czl,F2l)1480*
100
H54:'cm
I54:@IF(C54<G54,"
O.K."," ERR")
8 5 5 :E
C55:\=
D55:'==
I55:\=
215