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El Teorema de
Oscar Vega
... la verdad, Jennifer Elder
California State University, Fresno
Coloquio de Matemáticas
Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias. Universidad de Chile
23 de Marzo de 2016
La máquina que intercambia cerebros
• El problema apareció originalmente en un episodio de Futurama,
llamado el Prisionero de Benda, que salió al aire en 2010.
• El Profesor Farnsworth inventó una máquina que intercambia los
cerebros de las dos personas que la usan. Pero la máquina no
deshace los intercambios que ya ha realizado.
Amy ←→ Professor
La máquina que intercambia cerebros
Después de esto demasiada gente usó la máquina indiscriminadamente:
Los resultados del uso de la máquina
←→
Fry
→
Professor
→
→
Bender
→
Amy
Zoidberg
→
Emperor
→
Hermes
Bucket
→
Leela
Professor
El Método de Keeler
El método que usó Keeler para resolver este problema fué el usar dos
nuevas personas para deshacer el enredo que la máquina habı́a creado.
Ethan ‘Bubblegum’ Tate
Sweet Clyde
Qué pasó y cómo se arregló?
La demostración
Keeler nunca publicó su demostración, pero ésta si aparece en el
episodio.
Permutaciones
• Claramente este problema puede ser visto como un problema en el
grupo Sn , donde cada intercambio de cerebros es nada mas que
una transposición.
• El problema ahora se trata de escribir el inverso de una
permutación en Sn usando sólo elementos en Sn+2 \ Sn .
• En el año 2014, Evans, Huang, y Nguyen demostraron que el
método usado por Keeler es optimal en el sentido de usar el
mı́nimo de gente ‘extra’ y en usar el mı́nimo número de
transposiciones.
Una nueva demostración
Primero probamos que es suficiente el probar que el resultado es cierto
para ciclos en Sn ...
...y para ciclos cortos tenemos:
(1 2)−1 = (3 4)(2 3)(1 4)(2 4)(1 3),
(1 2 3)−1 = (4 5)(3 4)(2 5)(3 5)(1 4)(2 4),
(1 2 3 4)−1 = (5 6)(3 5)(4 5)(2 6)(3 6)(1 5)(2 5),
(1 2 3 4 5)−1 = (6 7)(3 6)(4 6)(5 6)(2 7)(3 7)(1 6)(2 6).
Una nueva demostración
Después de mirar ejemplos como aquellos en la página anterior:
Definición
Para x, y >> n. Definimos
δm =
m
Y
(i + 1 y)(i + 2 y)(i x)(i + 1 x).
i=1
i odd
Notemos que las transposiciones en δm nunca se repiten.
Lema
Sea k ≥ 3 e impar, y σ un k-ciclo:
(a) Si k ≡ 1 (mód 3) entonces σ −1 = δk−2 .
(b) Si k ≡ 0 (mód 3) entonces σ −1 = (x y)(k x)δk−2 .
(c) Si k ≡ 2 (mód 3) entonces σ −1 = (x y)(k − 2 x)(k − 1 x)(k x)δk−4 .
Tenemos un resultado similar para k par.
Generalización a p-ciclos
Queremos generalizar el Teorema de Keeler a p-ciclos, para p primo
impar:
Teorema (Elder, 2016)
Sea p un primo impar y σ ∈ An . Entonces, el inverso de σ puede ser
escrito como un producto de p-ciclos en An+k \ An . Además,
(a) los p-ciclos usados en este producto generan subgrupos que se
intersectan trivialmente en pares,
(b) si p = 3 entonces k = 1,
(c) si p > 3 entonces k = p − 3
Y los ciclos pares?
• Originalmente pensabamos que la generalización del Teorema de
Keeler no podrı́a ser extendido a ciclos pares.
• Por un tiempo, buscamos contraejemplos para el caso de los
4-ciclos... infructuosamente.
Teorema (Elder, 2016)
Sea σ ∈ Sn . Then, el inverso de σ puede ser escrito como un producto
de 2j-ciclos en Sn+k \ Sn . Además,
(a) los 2j-ciclos usados en este producto generan subgrupos que se
intersectan trivialmente en pares,
(b) si j = 1 entonces k = 2,
(c) si j ≥ 2 entonces k = 3(j − 1)
Preguntas
• Se pueden extender nuestras generalizaciones a todos los ciclos
impares?
• Son nuestras generalizaciones optimales?
• Hay una demostración que puede ser aplicada a todas las
generalizaciones posibles?
• Por qué? Qué significa todo esto?
Gracias!
Futurama people, please do not sue me; all images were used only for educational purposes.