Diseño de reguladores digitales por respuesta en frecuencia

Transcripción

CAPITULO
Diseño
analógico
digitales.
de
4
controladores
Aquel que no ha fracasado
es porque nunca ha intentado
algo nuevo
Albert Einstein.
Contenido:
Tema 4.1: Controladores PID digitales
Tema 4.2: Rediseño utilizando la retroalimentación de estado.
Tema 4.3: Métodos de diseño utilizando la respuesta en
frecuencia.
Instituto Tecnológico de Puebla
Control Digital.
Tema 4.1 Controladores PID digitales.
Introducción
El controlador PID es por mucho el algoritmo de control más común. La mayoría de los
lazos de retroalimentación son controlados por este algoritmo o por algunas variaciones
menores de él. Es implementado de muchas formas diferentes, como un controlador
autosuficiente o como parte de un sistema de Control Digital Directo (DDC) o de un sistema de
control de procesos distribuido jerárquicamente.
Algoritmo Básico
La mayor parte de los reguladores industriales contienen dispositivos llamados
controladores que, en el caso de los sistemas de una entrada y una salida pueden ser
esquematizados como se muestra en la figura 4.1.
P(s)
R(s)
+
E(s)
C(s)
U(s)
+
G1(s)
G2(s)
Y(s)
H(s)
Figura 4. 1 Inserción de un controlador dentro de un regulador industrial
En estos casos dichos controladores poseen dos entradas: la referencia R(s) y la
retroalimentación de la salida Y(s).
Su función es doble a saber:
a) Calcular la señal de error E.
b) Corregir el comportamiento del sistema por medio de una adecuada modificación de la
transmitancia H(s)G(s).
En el caso de los controladores disponibles comercialmente, dentro de la transmitancia
C(s) se tienen parámetros fácilmente ajustables. El usuario está en posibilidad de corregir su
sistema optimizando los valores de los parámetros del controlador tanto teórica como
empíricamente, si bien una combinación de ambos procedimientos, como veremos más
adelante, es lo más usual. De esta manera se puede lograr que los errores sean pequeños tanto
en régimen estacionario como transitorio y con el mínimo de oscilaciones.
De una manera general la transmitancia de un controlador PID se escribe:
76
Control Digital.
C ( s) = K +
α
+ βs
s
4. 1
Así se tiene un términos de proporcionalidad (K) un término de integración (α/s) y un
término de derivación (βs), de donde este controlador toma su nombre.
Si buscamos una definición más técnica, la versión básica del algoritmo PID, tiene la
siguiente forma:


1
C ( s ) = K p 1 +
+ Td s 
 Ti s

4. 2
donde:
Kp = Ganancia proporcional.
Ti = Tiempo integral.
Td = Tiempo derivativo.
Si la entrada al controlador es e(t) , la salida u(t) del controlador está dada por:

1
u (t ) = K p e(t ) + 1
Ti

∫ e(t )dt + T
d
de(t ) 

dt 
4. 3
donde u(t) es la variable de control (salida del controlador) y e(t) es el error de control, el cual es
la diferencia entre el punto de referencia r(t) y la salida del sistema (valor medido) y(t) . La
variable de control es entonces la suma de tres términos: el término P (el cual es proporcional
al error), el término I (el cual es proporcional a la integral del error) y el término D (el cual es
proporcional a la derivada del error). Las constantes Kp, el tiempo integral Ti y el tiempo
derivativo Td son los parámetros del controlador.
La ecuación 4.2 también podemos escribirla como
C ( s) = K p +
donde:
Ki
+ Kd s
s
Kp = Ganancia proporcional.
Ki = Ganancia integral.
Kd = Ganancia derivativa.
4. 4
En este caso Kp, Kd y Ki son los parámetros del controlador.
77
Control Digital.
Acción proporcional
En el caso de control proporcional puro, la ecuación 4.2 se reduce a:
C ( s) =
y de aquí:
U ( s)
= Kp
E ( s)
u (t ) = K p e(t )
4. 5
La acción de control es simplemente proporcional al error de control. Esta es la forma
más simple de retroalimentación. Varias propiedades del control proporcional pueden ser
comprendidas por los siguientes argumentos, los cuales están basados en consideraciones
puramente estáticas. Considerando el lazo simple de retroalimentación, mostrado en la figura
4.2, compuesta de una planta y un controlador. Asumimos que el controlador tiene acción
proporcional y que la planta está modelada por el modelo estático
x = Ku
4. 6
l
r
ε
Regulador
u
n
Planta
x
y
-1
Figura 4. 2 Diagrama a bloques de un lazo simple de retroalimentación.
Las siguientes ecuaciones se obtuvieron del diagrama de bloques de la figura 4.2.
y=x+n
x = K (u + l )
u = K p (r − y )
Al eliminar las variables intermedias, obtenemos la siguiente relación entre la variable
de la planta x, punto de referencia r, ruido de carga l y ruido de medición n:
x = K (K p (r − y ) + l )
x = K (K p (r − ( x + n )) + l )
x = KK p r − KK p x − KK p n + Kl
x + KK p x = KK p r − KK p n + Kl
x(1 + KK p ) = KK p (r − n ) + Kl
78
Control Digital.
x=
KK p
1 + KK p
( r − n) +
K
l
1 + KK p
4. 7
El producto KKp es un número adimensional llamado ganancia de lazo. Algunas
propiedades interesantes del sistema de lazo cerrado pueden observarse en la ecuación 4.7.
La ganancia de lazo debe ser alta para asegurar que la salida de la planta x sea cercana
al punto de referencia r. Un alto valor de la ganancia de lazo hará también insensible el
sistema al ruido de carga l. Como podemos ver en la ecuación 4.7 el ruido de medición n influye
en la salida de la planta de la misma manera que el punto de referencia r. Una alta ganancia
de lazo hace entonces sensible el sistema al ruido de medición.
También podemos ver en la ecuación 4.7 que siempre existirá un error de estado
estacionario con el control proporcional. Esto puede ser deducido intuitivamente desde la
observación de la ecuación 4.5 en la que el error de control es necesario para no tener una
señal de control de orden cero. Los controladores proporcionales por consiguiente son provistos
algunas veces de un término de “offset” I para obtener una salida correcta en estado
estacionario. La ecuación 4.5 queda entonces:
u (t ) = Ke(t ) + I
4. 8
donde I es el término de “offset”. Los argumentos anteriores, los cuales están basados en la
asunción de que la planta puede ser descrita por un modelo estático, nos muestran algunas
propiedades importantes de la dinámica de los sistemas de lazo cerrado. La más importante es
que un sistema de lazo cerrado sería normalmente inestable para altas ganancias de lazo si se
considerara la dinámica de la planta. En la práctica la máxima ganancia de lazo es
determinada por la dinámica de la planta. Una manera de incluir la dinámica de la planta en
la ecuación 4.7, sería hacer la ganancia de la planta dependiente de la frecuencia.
Pero sin importar el mecanismo en sí y la potencia que lo alimenta, el controlador proporcional
es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable.
Acción integral.
La principal función de la acción integral es hacer estable la salida del proceso de
acuerdo al punto de referencia en estado estable. Como vimos anteriormente con el controlador
proporcional es necesario que exista un error para tener una señal de control no nula. Con la
acción integral, un pequeño error positivo siempre conduciría a un incremento en la señal de
control y un error negativo daría un decremento en la señal de control no importando qué tan
pequeño sea el error.
En este caso la ecuación 4.2 se reduce de tal forma que la acción de un controlador
integral está definida por la ecuación 4.9 ó 4.10.
C ( s) =
79
Ki
s
4. 9
Control Digital.
ó
t
u (t ) = K i ∫ e(t )dt
0
4. 10
Si se duplica el valor de e(t) el valor de u(t) varía a doble velocidad. Ante un error igual
a cero , el valor de u(t) permanece estacionario. En ocasiones la acción de control integral recibe
el nombre de control de reposición o reestablecimiento.
De acuerdo a la ecuación 4.2, la acción de un controlador proporcional – integral queda
definida por la ecuación 4.11.

1 

C ( s ) = K p 1 +
 Ti s 
4. 11
Donde Kp es la ganancia proporcional y Ti es el tiempo integral. Ambos valores Kp y Ti
son ajustables. El tiempo integral regula la acción de control integral, mientras que una
modificación en Kp afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de
control. El recíproco del tiempo integral Ti recibe el nombre de frecuencia de reposición. La
frecuencia de reposición es la cantidad de veces por minuto que se repite la acción proporcional
y se mide en términos de repeticiones por minuto.
Los siguientes argumentos nos muestran que el error en estado estacionario deberá ser
siempre cero.
Si asumimos que el sistema en estado estacionario tiene una señal de control u(t) y un
error constante e(t). Partiendo de la ecuación 4.11, tenemos
C ( s) =

U ( s)
1 

= K p 1 +
E ( s)
 Ti s 

1
u (t ) = K p  e(t ) +
Ti

t

∫ e(t )dt 
0
4. 12
Si resolvemos la ecuación 4.12 la señal de control está dada por

e(t ) 
u (t ) = K e(t ) +
t
Ti 

4. 13
tal que e(t) ≠ 0; esto claramente contradice la asunción de que u(t) es constante. Un controlador
con acción integral deberá entonces dar un error igual a cero en estado estacionario.
La acción integral puede ser utilizada entonces como un dispositivo que reestablece
automáticamente al controlador proporcional. Esto se ilustra en el diagrama de bloques de la
figura 4.3, el cual nos muestra un controlador proporcional con restablecimiento que es
80
Control Digital.
ajustado automáticamente. El ajuste es hecho por retroalimentación de la señal, la cual es
filtrada de la salida, hacia el punto de suma del controlador. Esto es una de las primeras
aplicaciones de la acción integral o control de reestablecimiento automático como también es
llamada.
La implementación mostrada en la figura 4.3 es todavía usada por muchas compañías
manufactureras. Ya que un simple cálculo nos proporciona los resultados deseados. Si
definimos p = d dt como el operador diferencial. Podemos obtener las siguientes ecuaciones del
diagrama de bloques.
u = Ke + I
4. 14
I=
1
u
1 + pTi
4. 15
la ecuación 4.15 implica que
u = Ti
dI
+I
dt
4. 16
Si igualamos con la ecuación 4.13, tenemos
u = Ti
dI
+ I = Ke + I
dt
4. 17
y de ésta última
Ti
dI
= Ke
dt
4. 18
la cual podríamos escribir igual a la ecuación 4.9, lo cual nos muestra que el controlador que se
muestra en la figura 4.2 es, en efecto, un controlador PI.
1
1 + pTi
I
e
u
K
Figura 4. 3 Interpretación de la acción integral como restablecedor automático
81
Control Digital.
Acción derivativa.
El propósito de la acción derivativa es proveer al lazo cerrado de estabilidad. El
mecanismo de estabilidad, hablando ligeramente, puede ser descrito como sigue. Dado
que la dinámica de la planta conducirá a un cambio en la variable de control que es
notable en la salida de la planta. La acción de un controlador con acción proporcional y
derivativa puede ser interpretada como si la salida del control predijera la salida de la
planta donde la predicción es hecha por la extrapolación del error mediante la tangente
de la curva del error, (ver figura 4.4)
El tiempo de predicción es Td.
Error de salida
Error actual
Error predicho e + Td
t
t+Td
de
dt
Tiempo
Figura 4. 4 Predicción de la acción derivativa como una predicción de control.
Modificación de los términos derivativos.
El algoritmo del término derivativo es:
C (t ) = K p Td
de(t )
 dr (t ) dy (t ) 
= KTd 
−
dt
dt 
 dt
4. 19
donde el punto de referencia r es normalmente constante con algunos cambios abruptos. Esto
normalmente no contribuye con el término derivativo. Sin embargo, el término de
dr (t )
cambiará drásticamente cuando el punto de referencia cambie. Por esta razón es común
dt
en la práctica aplicar la acción derivativa únicamente a la salida del proceso. El término
derivativo es entonces implementado como
82
Control Digital.
c(t ) = − K p Td
dy (t )
dt
4. 20
Limitantes de la ganancia derivativa.
La acción derivativa puede provocar dificultades si están a altas frecuencias las
mediciones de ruido. Una señal sinusoidal de ruido
n(t ) = a sin wt
tendrá la siguiente contribución en la señal de control:
u (t ) = KTd
dn(t )
= aKTd w cos wt
dt
4. 21
La amplitud de la señal de control puede ser arbitrariamente grande si el ruido tiene
frecuencia suficientemente alta (w). La ganancia de frecuencia alta del término derivativo es
por eso empleada para evitar esta dificultad. Esto puede ser llevado a cabo implementando el
término derivativo como
Td dD
dy
+ D = − KTd
N dt
dt
4. 22
Continuando, la ecuación 4.22 que se modificó con el término derivativo puede ser
representada por la ecuación 4.23:
D=−
pKTd
y
1 + pTd / N
4. 23
La modificación puede así ser interpretada como un filtro ideal derivativo para un
sistema de primer orden con una constante de tiempo Td/N. La aproximación actuará como un
derivador para componentes de señales a bajas frecuencias. La ganancia es, algunas veces,
limitada a N. Esto indica que en las mediciones a altas frecuencias el ruido es amplificado más
por un factor N.
Criterios de selección del PID
¿Cuándo puede ser utilizado un controlador PID?
Los requerimientos de un sistema de control puede incluir muchos factores como
respuesta a señales de mando, insensibilidad al ruido y variaciones del proceso y rechazo a
83
Control Digital.
disturbios en la carga. El diseño de un sistema de control envuelve también procesos
dinámicos, saturación de actuadores y disturbios característicos. Se puede, por consiguiente,
sorprenderse ante el buen trabajo que puede realizar un controlador PID. La observación
empírica general es que la mayoría de los procesos industriales pueden ser controlados
razonablemente bien con un controlador PID cuando las demandas en el desempeño del control
no son muy altas. Los siguientes párrafos ahondan más allá dentro de este problema primero
considerando los casos cuando un controlador PID es suficiente y después discutiendo algunos
problemas genéricos donde controladores más sofisticados son aconsejables.
¿Cuándo es suficiente un controlador PI?
Frecuentemente la acción derivativa no es usada. Esta es una observación interesante
ya que muchos controladores industriales únicamente tienen acciones PI y en otros la acción
derivativa puede ser ( y frecuentemente es) cancelada de los lazos de control. Se puede observar
que los controladores PI son adecuados para los procesos donde las dinámicas son
esencialmente de primer orden (controladores de nivel en tanques, agitadores en tanques de
reacción para un perfecto mezclado, etc.), es bastante fácil encontrar en este caso por medición,
la respuesta al escalón o la respuesta en frecuencia de estos procesos.
Si en la respuesta se observa que el sistema es de primer orden o, si la gráfica de
Nyquist está en el primer y cuarto cuadrante únicamente entonces, el controlador PI es
suficiente.
Otra razón es que el proceso haya sido diseñado para no requerir un nivel de control
fino. En este caso el proceso puede tener una dinámica de alto orden, en la que es necesaria la
acción integral para proporcionar un error de estado estacionario nulo, y una adecuada
respuesta transitoria debida a la acción proporcional.
¿Cuándo es suficiente un controlador PID?
Similarmente, un controlador PID es suficiente para procesos donde las dinámicas
dominantes son de segundo orden, lo cual implica más dificultad para estabilizarlos. Una
medida a su respuesta en frecuencia es una posibilidad. Si la respuesta en frecuencia es
monótona con un retraso de fase menor a 180° , entonces el sistema es de segundo orden.
Un caso típico en que la acción derivativa mejora la respuesta es cuando la dinámica
está caracterizada por constantes de tiempo de diferente magnitud. La acción derivativa puede
entonces ser aprovechada para mejorar la velocidad de respuesta. Un controlador de
temperatura es el caso típico. El control derivativo es también benéfico cuando se requiere un
control alto para un sistema de orden alto. El alto orden de la dinámica limita el valor de la
ganancia para un buen control. Con la acción derivativa se mejora el amortiguamiento y puede
ser usado un alto valor en la ganancia proporcional para elevar la velocidad de la respuesta
transitoria.
¿Cuándo es necesario un controlador más complejo?
Los sistemas de control con un tiempo de retardo dominante son notoriamente
dificultosos. Este es un tema en el cual hay muchas y diferentes opiniones acerca del mérito del
controlador PID. Estamos generalmente de acuerdo en que la acción derivativa no ayuda
mucho en procesos con retardos de tiempo dominantes. Para procesos estables en lazo abierto,
84
Control Digital.
la respuesta a señales de control pueden mejorarse sustancialmente introduciendo tiempos
muertos de compensación. El rechazo a los disturbios en la carga puede ser mejorado con
algunos grados debido a que el compensador de tiempo muerto permite una ganancia de lazo
más alta que el controlador PID. Los sistemas con retardos dominantes de tiempo son entonces
candidatos para controladores más sofisticados.
Para algunos sistemas con variaciones de parámetros grandes es posible diseñar
controladores lineales que permiten la operación sobre un ancho de banda del rango de los
parámetros . Estos controladores, sin embargo, son de un orden muy alto. El control de las
variables del proceso esta estrechamente relacionado a la cuestión económica Por lo que en los
lazos de control es frecuentemente necesario seleccionar el controlador con respecto a las
características de los disturbios. Esto nos lleva a estrategias de control que no son del tipo PID.
Estos problemas con frecuencia están asociados con retardos de tiempo. Un controlador general
debe proteger al modelo de disturbios originados dentro del sistema. Como un controlador PID
tiene una complejidad limitada, no puede proteger de disturbios complejos en particular de los
disturbios periódicos.
Digitalización de un PID
Introducción
Algunos aspectos importantes de la implementación de controladores PID en
computadoras digitales, serán mostrados en esta sección, problemas tales como: el prefiltrado,
aliasing, aproximaciones digitales, diferentes ruidos de filtrado y códigos de computadoras para
buenas implementaciones. Algunos aspectos en el uso y desuso de los controladores PID, son
presentados en ejemplos de sistemas donde el controlador PID puede trabajar bien o no, debido
a que los esquemas de discretización de estos controladores son aproximaciones.
Aliasing
Como sabemos las acciones del controlador están basadas en los valores de la salida del
proceso únicamente en tiempos discretos. Este procedimiento es llamado muestreo , en el caso
normal se muestrea periódicamente con un periodo h, pero el mecanismo de muestreo introduce
un fenómeno inesperado, el cual debe ser tomado en cuenta para obtener una buena
implementación digital de un controlador PID.
Para explicar esto consideremos las siguientes ecuaciones
s (t ) = cos(nω s t ± ωt )
s a (t ) = cos(ωt )
Donde
ω s = 2π h [rad / s ]
4. 24
4. 25
es la frecuencia de muestreo. Según las fórmulas de la
función coseno podemos deducir que los valores de las señales representadas por las ecuaciones
anteriores en los instantes kh, k = 0,1,2, L tienen la propiedad
[
]
85
Control Digital.
s (kh) = cos(nkhω s ± ωkh) = cos(ωkh) = s a (ωkh)
4. 26
Por lo que las señales s y sa tienen el mismo valor en ese instante de muestreo. Y si
únicamente conocemos los valores en estos instantes de muestreo no hay manera de separar
ambas señales. La señal sa es entonces llamada “alias” de la señal s. Este efecto lo vemos
ilustrado en la figura 4.5.
Figura 4. 5 Ejemplo de "Aliasing" en el dominio del tiempo.
Una consecuencia del efecto “aliasing” es que puede aparecer una frecuencia de ruido
después de muestrear como una componente de baja frecuencia. Por ejemplo, si el periodo de
muestreo de una señal es 18mS. Para una señal sinusoidal de frecuencia de 50Hz, después de
muestrear aparecerá como una señal sinusoidal con frecuencia
f a = 50 −
1
= 5.6 Hz
.018
El efecto “aliasing” puede crear serias dificultades si no se toman las precauciones
debidas. Para altas frecuencias es efectivamente eliminado con un filtro pasabajas
(prefiltrado).3
Transformación Bilineal
Antes de aplicar con ventaja los métodos de diseño ya desarrollados, a los controladores
de tiempo discreto, son necesarias ciertas modificaciones. Supongamos que se dispone de un
controlador en tiempo continuo Kc(s), y deseamos convertirlo para propósitos de
implementación en un controlador digital, donde el periodo de muestreo es T segundos por lo
que la frecuencia de muestreo es
fs =
1
T
4. 27
2π
ws =
T
3
4. 28
Sistemas de Control en Tiempo Discreto; Ogata, Katsuhiko; Ed. Prentice Hall. P.p.
86
Control Digital.
Una manera común de convertir una función de transferencia continua a una discreta
es la Transformación Bilineal (BLT) o Aproximación de Tustin. Como nosotros sabemos, la
relación entre la transformada de Laplace (variable s) y la transformada z (variable z) está
dada por z = e
sT
(Oppenheim y Schafer 1975). De aquí, por expansión de series podemos ver
z=e
≈
sT
1+ sT
1− sT
2
2
4. 29
Nosotros podemos invertir esta transformación y definir
s' =
2 z −1
T z +1
4. 30
La transformación bilineal corresponde a una integral aproximada usando la regla
trapezoidal, donde si
Y ( z ) 2 z − 1 2 1 − z −1
=
=
U ( z ) T z + 1 T 1 + z −1
4. 31
Entonces (recordemos que z-1 es un retardo unitario en el dominio del tiempo tal que
z −1u k = u k −1 )
u k = u k −1 +
T
( y k + y k −1 )
2
4. 32
Método MPZ (Matched Pole-Zero)
Una segunda técnica de aproximación para convertir una función de transferencia continua
a discreta es el método MPZ (Matched Pole – Zero). En este método, los polos y ceros de la
función de transferencia son mapeados a el plano Z usando la transformación e
muestra a continuación:
sT
, como se
1. Si K c (s ) tiene un polo (o un cero finito) en s = s i , entonces K(z) tendrá un polo (o cero
finito) en
z i = e si T
2. Si el grado relativo de K c (s ) es r, tal que tiene r ceros en el infinito, entonces r ceros de
K(z) se encuentran en z = -1 multiplicados por el factor (1 + z ) .
r
3. La ganancia de K(z) es seleccionada tal que la ganancia DC de K c (s ) y K(z) sean la
misma:
Tal que
K (1) = K c (0)
Una alternativa al paso 2 es mapear únicamente r − 1 de los ceros infinitos en el plano s
dentro de z = −1 . Esto permite que el grado relativo de K(z) sea igual a uno, el cual permite un
87
Control Digital.
periodo de muestreo para el tiempo de control computacional, llamaremos a esta variación
método modificado MPZ.4
Algoritmo de control para el PID discreto
La ley de control para el controlador PID, en el caso continuo, se puede escribir como:

1
u (t ) = K e(t ) +
Ti

t
∫ e(t )dt + T
0
d
de(t ) 

dt 
4. 33
donde e(t ) = r (t ) − y (t ) es el error entre la variable de referencia r(t) y la variable controlada
y(t). u(t) es la variable de control. En términos de datos muestreados para un periodo de
muestreo T se tiene:
e k = e(kT ); u k = u (kT ); rk = r (kT )
y
y k = y (kT )
donde k es un entero k = 1,2,3,...
La ecuación 4.33 en el dominio del tiempo discreto es:

e + ek 
e − e k −1 
1  e + e1
+ L + k −1
u k = k e k +  0
T + Td k

Ti  2
2
T



4. 34
En la ecuación 4.34 la integración del error fue reemplazada por una operación de suma
del área de trapecios y la diferenciación mediante una aproximación por diferencias.
El algoritmo de Control Digital Directo normalmente aceptado en la práctica tiene la
diferencia ∆U k = u k − u k −1 como la salida del controlador (algoritmo de velocidad). De modo
que la ecuación 4.34 en el algoritmo de velocidad se transforma como sigue:

e − 2e k −1 + e k − 2 
1 e k +1 + e k
T + Td k
∆U k = K (e k − e k −1 ) +

Ti
2
T


4. 35
Si se sustituye e k = rk − y k en la ecuación 4.35 y suponiendo que rk = rk −1 = rk − 2 , se
tiene


y + y k  T Td

(2 y k −1 − y k −2 − y k )
∆U k = K ( y k −1 − y k ) +  rk − k −1
 +
2

 Ti T


4. 36
Si reemplazamos los parámetros de control K , Ti y Td por:
4
Applied Optimal Control & Estimation; Lewis, Frank L.; Ed. Prentice Hall. p.p. 255,257
88
Control Digital.
1
ki
2
kp = K −
ki =
K
T
Ti
kd =
KTd
T
4. 37
Y se obtiene entonces la expresión.5
∆U k = k p ( y k −1 − y k ) + k i (rk − y k ) + k d (2 y k −1 − y k − 2 − y k )
4. 38
Función de transferencia pulso de un controlador PID discreto
Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID discreto, se utiliza
la ecuación discretizada. Al aproximar el término integral mediante la sumatoria trapezoidal y
el término derivativo mediante la diferencia de dos puntos, se obtiene la ecuación 4.39 que
ahora expresaremos de la siguiente manera

T
u (kT ) = K e(kT ) +
Ti


e((h − 1)T ) + e(hT ) Td
+ [e(kT ) − e((k − 1)T )]
2
T
h =1

k
∑
4. 39
se define
e((h − 1)T ) + e(hT )
= f (hT ),
2
f (0) = 0
4. 40
entonces
e((h − 1)T ) + e(hT ) k
= ∑ f (hT )
∑
2
h =1
h =1
k
4. 41
al tomar la transformada Z de esta última ecuación, se obtiene
1
 k e((h − 1)T ) + e(hT ) 
k

Z ∑
=
z
f (hT ) =
[F ( z ) − f (0)] = 1 −1 F ( z )
∑


−1
2
1− z
 h =1

 h =1
 1− z
Nótese que
1 + z −1
F ( z ) = Z [ f (hT )] =
E( z)
2
Por lo tanto,
5
Control Digital; Álvarez Gallegos, Joaquín; Álvarez Gallegos, Jaime; Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del IPN; Departamento de Ingeniería Eléctrica. P.p. 168, 169
89
Control Digital.
1 + z −1
 k e((h − 1)T ) + e(hT ) 
=
Z ∑
 2(1 − z −1 ) E ( z )
2

 h =1
4. 42
Entonces la transformada Z de la ecuación da como resultado

T 1 + z −1 Td
U ( z ) = K 1 +
1 − z −1
+
−1
T
 2Ti 1 − z
(
) E ( z )

4. 43
Esta última ecuación se puede rescribir como sigue:

T
T
T
1
+
+ d 1 − z −1
U ( z ) = K 1 −
−1
T
 2Ti Ti 1 − z
Ki


+ k d 1 − z −1  E ( z )
U ( z ) = k p +
−1
1− z


(
(
) E ( z )

)
4. 44
donde
K
KT
= K − i = Ganancia proporcional
2Ti
2
KTd
= Ganancia Derivativa
kd =
T
KT
k1 =
= Ganancia Integral
Ti
kp = K −
Nótese que la ganancia proporcional kp para el controlador PID digital es más pequeña
que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de ki / 2.
La función de transferencia pulso para el controlador PID digital se convierte en
GD ( z) =
(
ki
M ( z)
= kp +
+ k d 1 − z −1
−1
E( z)
−
1 z
)
4. 45
La función de transferencia pulso del controlador PID digital dada por la ecuación
anterior se conoce como forma posicional del esquema de control PID.3
Métodos de sintonización para controladores discretos
Takahashi, Chan y Auslander propusieron en 1970, un conjunto de reglas, que utilizan
los dos métodos propuestos por Ziegler y Nichols para el controlador PID en continuo, a fin de
determinar valores aceptables para k p , k i y k d . Las siguientes tablas muestran los valores
propuestos por Takahashi y otros para el ajuste de los parámetros del controlador PID discreto.
3
Op. Cit. 3. p.p.
90
Control Digital.
Tipo de controlador
P
PI
PID
Kp
Ki
1 R (L + T )
0.9
1
− ki
R (L + T 2 ) 2
Kd
0.27T
R (L + T 2 )
0.6T
1.2
1
− Ki
R (L + T ) 2
R (L + T 2 )
2
2
0.6
RT
*
Tabla 4. 1 Reglas de sintonización para el ajuste de controladores P, PI y PID discretos por el
método de la respuesta transitoria.
Tipo de controlador
P
Ki
Kp
Kd
ku 2
PI
1
0.5k u − k i
2
PID
1
0.6k u − k i
2
0.54
Ku
T
Tu
1.2 K u
T
Tu
3 k u Tu
40 T
Tabla 4. 2 Reglas de sintonización para el ajuste de controladores P, PI y PID discretos por el
método de la Ganancia Límite
Para el método de la respuesta transitoria los valores de Kp y Ki para el controlador PI
son sumamente elevados cuando L/T → 0, por lo que no se recomienda su uso.
Takahashi y otros muestran que el valor de Ki para el método de la ganancia límite
dado en la tabla anterior es bastante alto cuando L = T/4 y por lo tanto, recomiendan una
reducción en Ki cuando tal condición se presenta. Por otra parte, el método de la ganancia
límite proporciona mejores resultados que el de la respuesta transitoria cuando L/T → 0. En el
rango 0.5 ≤ L/T los dos métodos proporcionan resultados similares.
Para el controlador PID, en el caso del método de la respuesta transitoria, el valor de Kd
que se recomienda utilizar es de 0.5/RT, cuando el valor de L/T este cercano a un número
entero. En el caso del método de ajuste de la ganancia límite las reglas propuestas son
aceptables para el rango L/T ≥ 0.5. Aún cuando las reglas proporcionan resultados más o
menos aceptables para el límite L/T → 0, no son nunca recomendables cuando L/T ≈ ¼.5
Ejemplo
Planteamiento
Si consideramos el sistema de control con el controlador PID digital . El controlador
PID está en la forma posicional; Se supone que la función de transferencia de la planta es
*
5
Si L T ≈ 0 , se usa 0.5 RT
Op. Cit. 5. p.p. 169-171
91
Control Digital.
G p ( s) =
1
s ( s + 1)
Y el periodo de muestreo T se supone de 1 segundo.
Obténgase la respuesta al escalón y a la entrada rampa unitaria de este sistema,
cuando el controlador digital es un controlador PID con Kp = 1, Ki = 0.2 y Kd = 0.2.
Diagramas
r(t)
e(t)
Controlador PID u(kT) Retenedor de
digital
orden cero
T=1
c(s)
Planta
Gh(s)
Gp(s)
Figura 4.6 Diagrama a bloques de un sistema de control
r(t)
(
ki
kp +
+ k d 1 − z −1
−1
1− z
)
0.3679 z −1 + 0.2642 z −2
1 − 0.3679 z −1 1 − z −1
(
)(
)
c(s)
Figura 4.7Diagrama equivalente
Procedimiento
El circuito del retenedor de orden cero suaviza la señal muestreada , la cual es
constante desde el último valor muestreado hasta que se puede disponer de la siguiente
muestra.
La función de transferencia del retenedor de orden cero es:
Gh ( s ) =
1 − e− s
s
Y puesto que
1 − e − s
1  0.3679 z −1 + 0.2642 z −2
G( z) = Z 
=
−1
−1
s
s
(
s
+
1
)

 1 − 0.3679 z 1 − z
(
)(
)
Se puede redibujar el diagrama de bloques de la figura 4.6 como se muestra en la figura
4.7.3
3
Op. Cit. 3. p.p. 117-120
92
Control Digital.
Su sustituimos los parámetros del controlador en la función de transferencia pulso,
obtenemos la función de transferencia del controlador digital GD:
GD ( z) = 1 +
(
0.2
+ 0.2 1 − z −1
−1
1− z
(1 − z ) + 0.2 + 0.2(1 − z )
( z) =
−1 2
−1
GD
)
1 − z −1
1 − z −1 + 0.2 + 0.2 1 − 2 z −1 + z − 2
GD ( z) =
1 − z −1
1 − z −1 + 0.2 + 0.2 − 0.4 z −1 + 0.2 z − 2
GD ( z) =
1 − z −1
1.4 − 1.4 z −1 + 0.2 z − 2
GD ( z) =
1 − z −1
(
)
Entonces la función de transferencia pulso en lazo cerrado se convierte en:
G D ( z )G ( z )
C ( z)
=
R( z ) 1 + G D ( z )G ( z )
C ( z)
0.515 z −1 − 0.1452 z − 2 − 0.2963 z −3 + 0.0528 z − 4
=
R( z ) 1 − 1.8528 z −1 + 1.5906 z − 2 − 0.6642 z −3 + 0.0528 z − 4
Para obtener la respuesta al escalón unitario y la rampa unitaria, utilizaremos
MATLAB.
Simulación en MATLAB
Se realizó la simulación con el siguiente programa, para obtener la respuesta al
escalón:
% Respuesta al escalón unitario
num=[0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];
den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];
r=ones(1,41);
v=[0 40 0 2];
axis(v);
k=0:40;
c=filter(num,den,r);
plot(k,c,'o',k,c,'-')
grid
title('Respuesta al escalón unitario')
xlabel('k')
ylabel('c(k)')
93
Control Digital.
El resultado a la respuesta al escalón, se puede ver en la figura 4.8
Respuesta al esc alón unitario
1.8
1.6
1.4
1.2
c (k )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
k
25
30
35
40
Figura 4.8 Respuesta al escalón unitario.
Se realizó el siguiente programa para obtener la respuesta a la entrada rampa unitaria:
% Respuesta a la entrada rampa unitaria
num=[0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];
den=[1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];
v=[0 40 0 2];
axis(v);
k=0:20;
r=[k];
c=filter(num,den,r);
plot(k,c,'o',k,c,'-')
grid
title('Respuesta a la entrada rampa unitaria')
xlabel('k')
ylabel('c(k)')
La salida de este programa la podemos apreciar en la figura 4.9.
94
Control Digital.
Respuesta a la entrada ram pa unitaria
25
20
c (k )
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
k
12
14
16
18
20
Figura 4.9 Respuesta a la entrada rampa unitaria
Implementación de un PID utilizando un microcontrolador PIC.
/**************************************************************
Description: programa que ejecuta un controlador PID digital
esta relacionado con otros 2 programas uno para
obtener la velocidad actual Yk y otro para obtener
la referencia.
*************************************************************/
#include <p18F458.h>
#include <adc.h>
#include <pwm.h>
// Global variables declaration
#define rkx
PORTD
//de referencia
#define Ukx PORTB
//al convertidor D/A
#define control PORTEbits.RE0
//INICIA PROGRAMA PRINCIPAL
void main(void)
{int Yk_1, Yk_2, Yk, Uk, Uk_1, rk;
int Kp,Ki,Kd;
95
Control Digital.
// configure A/D convertor
OpenADC( ADC_FOSC_8 & ADC_RIGHT_JUST & ADC_3ANA_0REF,
ADC_CH0 & ADC_INT_OFF );
//configura PWM
TMR2 = 0x07; //prescaler 16 para TMR2
TRISC = 0;
OpenPWM1(255);
//1875 Hz
//CONFIGURA PUERTOS E/S
TRISE = 0xff;
TRISD = 0xff;
TRISB = 0;
//inicializa variables
Yk_2 = 0;
Yk_1 = 0;
Yk = 0;
rk = 0;
Uk_1 = 0;
Kp = 9.6;
Kd = 0.0125;
Ki = 15;
do
{
//do-while principal
if(control == 0) //rk por RA0 analogica
{
SetChanADC( ADC_CH0 );
ConvertADC(); // Start conversion
while( BusyADC() ); // Wait for completion
rk = ReadADC(); //lee referencia
//asigna variables
//ejecuta algoritmo PID
//asigna salida a PWM y portb
Yk = ReadADC(); //lee retro
Yk = Yk*2;
Yk_2 = Yk_1;
Yk_1 = Yk;
Uk_1 = Uk;
Uk = Kp*(rk - Yk);
//parte proporcional
Uk = Uk + Ki*(rk - Yk);
//perte integrativa
Uk = Uk + Kd*(2*Yk_1 - Yk_2 - Yk); //parte derivativa
Uk = Uk - Uk_1;
//de delta de k
if(Uk < 0)
Uk = (-1)*Uk;
Ukx = Uk;
SetDCPWM1(Uk);
96
Control Digital.
else
{
//asigna variables
}
//rk por puerto d
Yk = ReadADC(); //lee retro
Yk = Yk*2;
//ejecuta algoritmo PID
//asigna salida a PWM y portb
}
}
while(1);
}// fin main
Yk_2 = Yk_1;
Yk_1 = Yk;
Uk_1 = Uk;
rk = rkx;
//lee de puerto d
rk = rk*3.2736;
Uk = Kp*(Yk_1 - Yk); //parte proporcional
Uk = Uk + Ki*(rk - Yk);
//perte integrativa
Uk = Uk + Kd*(2*Yk_1 - Yk_2 - Yk); //parte derivativa
Uk = Uk - Uk_1;
//de delta de k
if(Uk < 0)
Uk = (-1)*Uk;
Ukx = Uk;
SetDCPWM1(Uk);
// fin do-while global
El circuito utilizado es:
97
Control Digital.
Figura 4.10 Implementación del PID utilizando un microcontrolador PIC.
Tema 4.2 Rediseño utilizando la retroalimentación de estado.
Regulación por retroalimentación de estado.
Si asumimos que el sistema esta descrito por:
dx
= Ax + Bu
dt
inicialmente también podemos asumir que el periodo de muestreo es tal que el sistema se
puede representar como:
x(k + 1) = Φx(k ) + Γu (k )
Los disturbios son considerados como perturbaciones en el estado inicial del sistema. El
propósito es encontrar una ley de retroalimentación lineal de la forma:
u (k ) = − Lx(k )
98
Control Digital.
de tal manera que el sistema en lazo cerrado tenga una ecuación característica especificada., lo
cual garantiza que las perturbaciones decaigan de una manera especificada.
Por ejemplo:
Sea el siguiente sistema:
 h2 / 2
1 h
u (k )
 x(k ) + 
x(k + 1) = 

0
1
h




Una retroalimentación lineal a podemos definir como:
u = −l1 x1 − l 2 x2
Con esta retroalimentación, el sistema en lazo cerrado es:
1 − l1h 2 / 2 h − l 2 h 2 / 2 
 x(k )
x(k + 1) = 

−
l
h
1
−
l
h
1
2


La ecuación característica del sistema en lazo cerrado es:
 l h2
  l h2

z 2 +  1 + l 2 h − 2  z +  1 − l 2 h + 1 = 0
 2
  2

Asumiendo que la ecuación característica deseada es:
z 2 + p1 z + p 2 = 0
Esto conduce a las siguientes ecuaciones lineales para l1 y l2 :
l1h 2
+ l 2 h − 2 = p1
2
l1h 2
− l2 h + 1 = p2
2
Estas ecuaciones tienen la solución:
1
(1 + p1 + p 2 )
h2
1
l2 =
(3 + p1 − p 2 )
2h
l1 =
En este ejemplo siempre es posible encontrar los parámetros del controlador, para la ecuación
característica arbitraria dada del sistema de lazo cerrado.
El sistema de ecuaciones lineales para l1 y l2 tienen solución para todos los valores de p1 y p2 .
99
Control Digital.
El caso general
La solución del problema del lugar de los polos para sistemas con una señal de entrada será
tratado como; Sea el sistema descrito por variables de estado en tiempo discreto y el polinomio
característico de la matriz Φ sea:
z n + a1 z n −1 + ... + a n
Asumiendo que el sistema es alcanzable, entonces podemos transformarlo a la forma canónica
alcanzable, cambiando las variables de estado a través de la transformación z=Tx , quedando
de la siguiente forma:
~ z (k ) + Γ
~ u (k )
z (k + 1) = Φ
donde:
− a1
 1

~ = 0
Φ

 .
 0
− a2
0
1
0
... − a n −1
...
0
...
0
.
...
1
− an 
0 
0 

. 
0 
1 
0 
 
~ = 0 
Γ
 
.
0
Los coeficientes del polinomio característico que determinan los polos de lazo cerrado aparecen
explícitamente en esta representación.
Siguiendo con la ley de retroalimentación:
u = − L~z = −( p1 − a1
p2 − a2
p n − a n )z
...
da un sistema de lazo cerrado con el polinomio característico:
P( z ) = z n + p1 z n−1 + ... + pn
Para encontrar la solución al problema original simplificaremos la transformación a las
coordenadas originales. Dando:
u = − L~z = − L~Tx = − Lx
Solo falta determinar la matriz de transformación T . Una manera simple de determinarla es
basándose en la propiedad de alcanzabilidad de las matrices
Sea:
(
Wc = Γ ΦΓ ... Φ n −1Γ
)
~
Las matrices son relacionadas a través de Wc = TWc
La matriz de alcanzabilidad se transforma en coordenadas, es decir:
100
Control Digital.
T = W~cWc−1
realizando los cálculos llegamos a :
W~c−1
L = ( p1 − a1
1 a1 ... a n −1 
0 1 ... a 
n−2 
=
. .
. 


0 0 ... 1 
p2 − a2
...
p n − a n )W~cWc−1
Teorema: Considerar el sistema anterior , y asumiendo que solo existe una señal de entrada. El
sistema es alcanzable si existe una retroalimentación lineal que no da un sistema en lazo
cerrado con el polinomio característico P(z). La retroalimentación viene dada por:
u (k ) = − Lx(k )
con
L = ( p1 − a1
p2 − a2
...
= (0 ... 0 1)Wc−1 P(Φ )
~
donde Wc y Wc son las matrices de controlabilidad de ambos sistemas.
Prueba.
Para probar el resultado debemos observar que:
~) = Φ
~n + p Φ
~ n −1 + ... + p I = ( p − a )Φ n−1 + ... + ( p − a ) I
P (Φ
n
n
n
1
1
1
La segunda igualdad se obtiene del Teorema de Cayley – Hamilton. Introduciendo ei como un
vector renglón con todos su elementos igual a cero excepto el i-esimo elemento que es 1;
Tenemos:
~ = e i −1
ei Φ
~
t
~
entonces L = e P (Φ ) y obtenemos L = L T = e P(TΦT
n
n
n
−1
)T = e nTP (Φ ) = e nW~cWc−1 P(Φ )
~ −1 = e n de aquí obtenemos:
como e Wc
101
Control Digital.
L = ( p1 − a1
p2 − a2
...
= (0 ... 0 1)Wc−1 P(Φ )
que es la formula de Ackermann.
Cabe notar que el problema del lugar de los polos puede formularse como el siguiente problema
abstracto. Dadas la matrices Φ y Γ , encontrar la matriz L tal que la matriz Φ − ΓL tenga los
eigenvalores prescritos.
También se observa que:
(
T −1 = Γ ΦΓ + a1Γ ... Φ n −1Γ + a1Φ n−2 + ... + an −1Γ
)
Es fácil resolver el diseño de un problema del lugar de los polos, cabe ahacer notar que la
alcanzabilidad es una condición necesaria y suficiente para resolver el problema, para aplicar
este método es necesario entender las propiedades de los sistemas de lazo cerrado y como esta
su influencia con respecto a los parámetros.
Tema 4.3 Métodos de diseño utilizando la respuesta en frecuencia.
Diseño de reguladores digitales por respuesta en frecuencia
En el capitulo anterior se han descrito diferentes técnicas de discretización para obtener una
función de transferencia en tiempo discreto que simule aproximadamente el comportamiento de
otra en tiempo continuo. Además de otras aplicaciones, estas técnicas pueden usarse para
obtener un regulador en tiempo discreto a partir del diseñado para un sistema en tiempo
continuo. Este procedimiento es aplicable cuando el periodo de muestreo es pequeño.
Cuando el periodo de muestreo es mayor, el enfoque anterior puede conducir a serios errores,
debidos a dos causas:
1) el modelo de la planta no tiene en cuenta los efectos del muestreo;
2) la discretización del control no es exacta. Se discutirá la primera causa, la mas importante,
introduciendo una aproximación del efecto del muestreo que permite también obtener
ciertos criterios para la selección del periodo de muestreo Ts o, mas precisamente, para
evaluar las implicaciones de distintas selecciones de Ts.
Si el modelo de la planta tiene en cuenta los efectos del muestreo, de forma exacta o
suficientemente aproximada, puede diseñarse el control por procedimientos de respuesta en
frecuencia idénticos a los de los sistemas en tiempo continuo. Una discretización particular
(transformación bilineal con prewarping) garantiza la misma respuesta a la frecuencia de
diseño.
Esquema básico y modelos de un sistema de control digital
Los sistemas de control digitales son frecuentemente sistemas mixtos en tiempo continuo (la
planta, o sistema a controlar) y en tiempo discreto (el procesador digital, con un algoritmo de
control). La interfaz entre ambos es bidireccional: las medidas de la planta se adquieren
mediante muestreo (con periodo Ts ) y conversión A/D; la señal de mando del regulador digital
se aplica a través de una conversión D/A y un retenedor de orden cero. En la Figura 4.11 se
102
Control Digital.
eliminan los convertidores, ya que no se tiene de momento en cuenta la cuantización (en otras
palabras, se supone que tienen toda la resolución necesaria, o son de infinito numero de bits).
Figura 4.11 Esquema básico de un sistema de control digital
Se describen a continuación tres modelos que pueden emplearse, respectivamente, para
periodos de muestreo pequeños, medianos y grandes. Se parte del modelo de la Figura 4.11, con
control proporcional: C[z] = Kp.
Modelo analógico (puro)
Consiste simplemente en despreciar el efecto del muestreo y la retención, modelando la planta
mediante su modelo en tiempo continuo, y diseñando el sistema de control también por
procedimientos de tiempo continuo, para posteriormente discretizar el regulador, obteniendo
un algoritmo mas o menos equivalente que se programa en el procesador de control. Este
modelo solamente puede emplearse para periodos de muestreo pequeños.
Figura 4.12 Modelo analógico
Modelo (analógico) modificado
Una aproximación del efecto del muestreo y la retención es suponer que son equivalentes a un
retardo de la mitad del periodo de muestreo, que se multiplica por la función de transferencia
de la planta en tiempo continuo. Esta aproximación no será valida para periodos de muestreo
grandes, pero tiene varias ventajas: a) es sencilla; b) es fácil ver el efecto de variar el periodo de
muestreo; c) encierra en si misma una cierta medida de su validez: si el retraso de fase no es
muy grande (hasta unos 30°), será frecuentemente valida para esas frecuencias; si el retraso de
fase es pequeño (menor de 5°), la modificación es pequeña y podría usarse el modelo anterior.
103
Control Digital.
Figura 4.13 Modelo modificado
Modelo digital (exacto)
Se ha explicado que existe un modelo en tiempo discreto equivalente de manera exacta a un
modelo de tiempo continuo, seguido de un muestreador y precedido de un retenedor. A partir de
ahí, se realiza el diseño en tiempo discreto, obteniendo un regulador sin necesidad de
discretizar. Aunque este modelo es exacto para cualquier periodo de muestreo, solamente es
imprescindible cuando Ts es grande y fracasan los modelos anteriores. En efecto, el modelo
equivalente es relativamente laborioso de obtener (aunque pueden emplearse programas de
computadora) y, sobre todo, no ofrece una medida clara y sencilla del efecto de variar Ts : hay
que repetir el proceso de obtención para cada valor de Ts.
Figura 4.14 Modelo digital
Ejemplo 4.1
Planta analógica con integración y constante de tiempo.
Modelo analógico
Modelo modificado
104
Control Digital.
Modelo digital
Figura 4.15 Gráficos de Black de los modelos
La Figura 4.15 recoge gráficos de Black de estos modelos, añadiendo una ganancia de control
proporcional KP =1.41. Se representan para valores del periodo de muestreo desde Ts =0 hasta
Ts = 2. El modelo modificado se indica con línea de trazos. Pueden identificarse las pulsaciones
correspondientes en la Figura 4.16.
o El modelo analógico (línea de puntos) corresponde a Ts=0. Con el valor de KP = l.4l elegido, el
margen de fase es Φm =45° y la pulsación de cruce es ωo = 1. Nótese que en este ejemplo ωo Ts
=Ts.
o El modelo digital es exacto, y sirve como referencia. Para valores de Ts = 0.1 o incluso Ts =0.2
el margen de fase se reduce muy poco, y por tanto un diseño basado en el modelo analógico
(respetando el valor de KP) seria razonable. Sin embargo, para valores mayores hay una
perdida considerable de margen de fase, llegando hasta un sistema casi inestable para Ts = 2.
Para mantener el margen de fase, debería disminuirse el valor de KP, dando un sistema con
menos precisión y rapidez; o bien usarse un adelanto de fase (PD).
o En el modelo digital, para Ts =2, puede observarse que se ha sobrepasado la frecuencia de
Nyquist ωs /2 = π/Ts = 1,57, y la respuesta en frecuencia repite la amplitud y cambia de signo la
fase, produciendo un lazo en el grafico de Black.
o El modelo modificado da una aproximación buena hasta Ts =0,5 o incluso Ts = 1; la
aproximación empeora al crecer ω o Ts. Para Ts =0,2 o menor la modificación no es grande para
la pulsación de cruce; pero es critica para obtener la pulsación de oscilación, que no existe en el
105
Control Digital.
modelo analógico. Para Ts =2 este modelo indicaría un sistema inestable; es mas pesimista que
el modelo digital (esto no es una regla general).
o El modelo modificado da las mismas conclusiones que el modelo digital: es necesario reducir
KP o introducir un control PD para mantener un amortiguamiento razonable. Nótese que, para
un Ts determinado, el modelo modificado es mas valido para la pulsación de cruce y el margen
de fase que para la pulsación de oscilación y el margen de ganancia, que se obtienen a
frecuencias algo mas altas. Igualmente, si se plantean compensaciones de tipo diferencial, las
frecuencias significativas serán mas altas y el modelo menos preciso.
Nótese en la Figura 4.16 que la amplitud es la misma, para una frecuencia determinada, en el
modelo analógico y los modelos modificados, ya que solamente hay un retardo puro de
diferencia; el efecto exacto del muestreo y la retención, en este caso, no incluye solamente un
retardo, sino también una disminución de amplitud (para ω<ωs/2).
Figura 4.16 Relación entre pulsación amplitud
Ideas sobre la selección del periodo de muestreo Ts
La selección del periodo de muestreo implica considerar temas muy variados:
especificaciones del sistema de control (incluyendo las tareas o funciones adicionales del
sistema, como las comunicaciones con operador y con otros sistemas, mantenimiento de
estadísticas de funcionamiento, etc.), hardware disponible, precio del mismo, coste del
desarrollo del software, posibilidad de reutilizar equipos o programas diseñados para otras
aplicaciones, etc. Por ello, no se pueden dar indicaciones precisas; pero pueden
estudiarse las consecuencias de seleccionar uno u otro periodo de muestreo, en términos
de las especificaciones del sistema de control y de las posibilidades de modelado y de
diseño. Para ello se comenzara por relacionar el periodo de muestreo con la rapidez del
sistema, de manera que, dentro de lo posible, quede claro a que se llama Ts grande o Ts
pequeño.
Relación de Ts, con la rapidez del sistema
El modelo modificado, aunque es una aproximación, permite relacionar fácilmente el periodo de
muestreo con las frecuencias significativas en el diseño por respuesta en frecuencia (por
ejemplo la pulsación de cruce que se obtenga finalmente), que a su vez son especificaciones de
106
Control Digital.
la rapidez del sistema en lazo cerrado. En este modelo, el muestreo y la retención introducen
un retardo de la mitad del periodo de muestreo (Ts/2), que no produce cambio en la amplitud
pero significa un retraso de fase ϕs proporcional a la frecuencia. Expresado en grados:
Tabla 4.3 Relaciones basadas en el modelo analógico modificado
Periodo de
grande
mediano
pequeño
muestreo:
ωs
2
1
0,5
0,2
0,1
ϕ os
57,3
28,6
14,3
5,7
2,9
ωs /ω
3,14
6,28
12,6
31,4
62,8
o Desfases de unos 5° tienen escasa incidencia, en general, en el diseño por respuesta en
frecuencia. Por tanto, el periodo de muestreo es pequeño si ωTs es inferior a 0,2, o
extremadamente pequeño si ωTs es inferior a 0,1. El modelo analógico puede dar resultados
muy aceptables para estas frecuencias.
o Si ωTs esta entre 0,2 y 1, el periodo de muestreo es mediano. El retraso de fase pasa de casi
despreciable a muy importante, y es conveniente usar al menos el modelo analógico modificado.
Por otra parte, también decrece la fiabilidad de este modelo al crecer ωTs.
o ωSi Ts es mayor que 1, el periodo de muestreo es grande, y el modelo analógico modificado es
menos fiable: debería usarse el modelo digital.
o Nótese que, si ω es una frecuencia significativa, ωTs no puede ser mucho mayor que 2, porque
la frecuencia significativa ya esta muy cerca de la mitad de la de muestreo: ωTs =π
Frecuencias significativas
Son, esencialmente, aquellas en las que se basa la especificación de rapidez o el diseño. La
pulsación de cruce ωo es una elección muy recomendable, salvo para plantas con retardos
significativos o gráficos de Black relativamente horizontales, donde el diseño por margen de
fase es poco seguro, siendo preferible el margen de ganancia y la pulsación de oscilación ωu
asociada.
Frecuentemente no se conocen previamente las especificaciones de rapidez; además, para una
planta dada, las posibilidades vienen bastante determinadas, si se han de usar controles
convencionales PID. Por ello, a partir de la planta puede determinarse aproximadamente:
107
Control Digital.
Control P: ajustar un amortiguamiento razonable, y obtener la pulsación asociada. Se
observara que en el ejemplo anterior se ha ajustado un margen de fase de 45°, introduciendo
KP =1.41 y obteniendo ωo=1.
Nótese bien que la pulsación de cruce obtenida para amortiguamientos no adecuados (la
equivocación típica es obtenerla para KP =1, es decir, a partir de la respuesta en frecuencia de
la planta sin mas) puede ser muy diferente, y no orientar en absoluto acerca de la rapidez del
sistema. Aunque algunas veces, casualmente, KP =1 da un amortiguamiento adecuado (y
entonces no se nota el error de concepto), la expresión "pulsación de cruce de la planta" es
incorrecta, y es muy peligroso tomarla como valor significativo.
Control PI: la rapidez es algo menor que con P, pero no mucho; puede estimarse la misma
pulsación.
Control PD: el adelanto de fase introducido no suele pasar de unos 50°: búsquese una pulsación
mayor que la anterior, que requiera ese adelanto. Como un margen de fase razonable es
también unos 50°, ωo con PD suele ser parecida a la ωu obtenida con control P.
Control PID: una pulsación algo menor que con PD, o la misma aproximadamente.
A su vez, estas frecuencias dependen del periodo Ts. Puede comenzarse con el modelo
analógico, y retocar si el efecto de Ts es apreciable según el modelo analógico modificado:
resultaran típicamente frecuencias mas bajas.
Recomendaciones
En términos generales, un periodo Ts mediano o grande degrada el diseño de control. Como se
ha ilustrado en el ejemplo anterior, el muestreo y la retención producen un desplazamiento
hacia la izquierda del grafico de Black, que obliga a rebajar la ganancia de control proporcional,
y por tanto la precisión y la rapidez. Relacionado con todo ello esta la dificultad de seguir
referencias rápidas (la pulsación de corte siempre estará por debajo de ωs/2), y que quizá se
detecten demasiado tarde los efectos de las perturbaciones. Sin embargo, podrían darse ahorros
apreciables en precio del hardware y el software, razón por la cual no cabe descartar los
periodos Ts medianos y grandes.
Un periodo Ts razonablemente pequeño permite unas prestaciones similares a las del control
analógico. Sin embargo, en sistemas rápidos este periodo puede originar grandes gastos, al ser
necesarios procesadores muy rápidos.
Un periodo Ts excesivamente pequeño normalmente no esta justificado, incluso si no
incrementa los costes de equipo (típicamente, en sistemas lentos). El ejemplo anterior
demuestra que poco puede ganarse con Ts inferior a 0.1. Por una parte, puede ser preferible
liberar tiempo de calculo para otras funciones del sistema; pero también es importante señalar
que cuanto mas pequeño sea el periodo de muestreo, mas sensible es el sistema a los errores
introducidos por la aritmética de la computadora, por lo que es necesario prever mas precisión
en los cálculos, como se ilustra en el Ejemplo siguiente. Por todo ello, no es recomendable
adoptar la actitud de "muestrear tan rápido como permita el hardware seleccionado".
Ejemplo
Longitud de palabra para almacenar una integración
108
Control Digital.
Considérese el siguiente algoritmo para obtener una integral aproximada del error e[k], que
podrá usarse en controles con acción integral:
i[k] = i[k -1] + Ts e[k]
Se supone que tanto el error e[k] como el valor i[k] se obtienen y almacenan como números
entre +0,99 y -0,99, con una resolución de 0,01. Esto corresponde aproximadamente a usar
coma fija en 8 bits (256 valores diferentes). O también a números entre +99% y -99%, con
resolución del 1%.
Ts =0.1 : errores e[k] <0,l =10% no producen cambio en la integral, ya que las milésimas
resultantes no se pueden almacenar en i[k]. La acción integral no será capaz de dar error nulo,
y tampoco el menor error detectable del 1%.
Para que la integral pueda acumular el menor error detectable, i[k] debe almacenar las
milésimas: usar tres cifras decimales, o unos 11 bits.
Ts, =0.001 : ningún posible error produce cambio en la integral, ya que resulta como máximo Ts
e[k] =0.001, que no se puede almacenar en i[k]. El control integral ha desaparecido.
Para que la integral pueda acumular el menor error detectable, i[k] debe almacenar Ts e[k] =
0.00001: usar cinco cifras decimales, o unos 18 bits.
Análisis y critica de algunas otras recomendaciones
No es aconsejable la selección del periodo de muestreo en función de las constantes de tiempo
del lazo abierto; reglas como "la décima parte de la constante de tiempo menor" suponen sin
necesidad cierta filosofía de que el muestreo sea despreciable (o aplicable el modelo analógico),
y llevan a situaciones absurdas si se han modelado constantes de tiempo pequeñas. Es
preferible fijarse en la rapidez de lazo cerrado del sistema de control que se desea diseñar.
Ejemplo
Regla a discutir: elegir para Ts la décima parte de la constante de tiempo menor
Esta regla daría Ts =0.1; puede ser correcto, pero ya impone la selección de un periodo pequeño.
Son posibles también otros periodos mayores.
Esta regla daría Ts =0.01. Como la pulsación de cruce es muy parecida a la anterior, este
periodo es innecesariamente pequeño.
En general, las recomendaciones que pueden espigarse en la literatura relacionan
correctamente el periodo Ts con alguna especificación de rapidez de lazo cerrado: la pulsación
de cruce ωo, la pulsación de corte ωc, el tiempo de alcance ta, el periodo td correspondiente a la
pulsación propia ωd.
Sin embargo, estas recomendaciones no son coincidentes, y suelen implicar cierta preferencia
por periodos grandes, medianos o pequeños, como queda de manifiesto en la Tabla 6.2, que
muestra algunas de estas recomendaciones, y correspondencias entre las distintas relaciones
usadas. Para estas correspondencias se supone, cuando sea necesario, un sistema de segundo
orden con £=0,5.
109
Control Digital.
Tabla 4.4 Algunas recomendaciones de la literatura
Recomendación
grande
mediano
pequeño
ω oTs
0,5 a 0,1
2
1
0,5
0,2
0,1
ωs /ωo
3 a 10
3,14
6,28
12,6
31,4
62,8
ϕs
5 a 15°
57,3°
28,6°
14,3°
5,7°
2,9°
ωs /ωc
6 a 10
1,94
3,88
7,77
19,4
38,8
t a / Ts
2a4
0,95
1,90
3,80
9,51
19,0
t d / Ts
10 a 20
2,85
5,70
11,4
28,5
57,0
La primera columna, TS =2 señala aproximadamente el muestreo mas lento posible. Implica un
efecto muy apreciable del muestreo y la retención: el retardo aproximado supondría una
disminución de 60° del margen de fase. La pulsación de corte es la mitad de la de muestreo; el
tiempo de alcance es un solo periodo de muestreo. Será necesario el modelo digital.
La ultima columna, ωoTs =0,1 señala aproximadamente el muestreo mas rápido razonable. Las
pulsaciones de cruce y de corte son unas 50 veces menores que la de muestreo. El tiempo de
alcance son unas 20 muestras, y una oscilación de la respuesta, unas 60. La degradación del
control ya es muy escasa, y podrá trasladarse el diseño analógico sin mucho error.
Para las columnas intermedias suele ser valido el modelo modificado.
Todas las recomendaciones incluyen la columna central, lo cual indica que no son demasiado
malas; pero se advierte que cada autor muestra preferencias por periodos de muestreo
determinados.
En control de procesos (caudal, presión, temperatura, etc.) es típico en reguladores comerciales
Ts =100 a 200ms; pero normalmente serian suficientes periodos de algunos segundos.
Efecto del filtro antialiasing
Las señales que llegan al muestreador no deben tener un contenido apreciable de frecuencias
por encima de ωs/2, ya que serán confundidas con frecuencias mas bajas por el sistema digital
(aliasing). Por ello es necesario introducir un filtro analógico pasa baja antes de muestrear
(prefiltro). Su frecuencia de corte ωf deberá estar suficientemente por debajo de ωs/2 para
obtener una buena atenuación a esas frecuencias.
El prefiltro produce un retraso de fase adicional, que a las frecuencias de interés puede ser
superior al producido por el muestreo y la retención (también produce una disminución de
amplitud). Por tanto, el efecto del prefiltro debe tenerse en cuenta en el diseño del sistema de
control, a no ser que se tomen valores muy pequeños de Ts.
110
Control Digital.
Ejemplo
Filtro de primer orden para una atenuación de 5 veces a la frecuencia de Nyquist.
A la pulsación ω se introduce una fase -ϕs y una disminución de amplitud (negativa en dB):
Tabla 4.5 Retraso de fase y amplitud del filtro antialiasing
2
1
0,5
ωTs
0,2
0,1
ϕs
57,3°
28,6°
14,3°
5,7°
2,9°
ϕf
71,6°
57,9°
38,5°
13,7°
9,0°
Af dB
-10,5
-5,5
-2,1
-0,4
-0,1
Nótese que, aunque se ha elegido una atenuación relativamente pequeña, la constante de
tiempo del prefiltro es el triple del retardo equivalente Ts/2. El retraso introducido por el
prefiltro es superior al del modelo modificado.
Procedimiento de diseño
Figura 4.17 Sistema de control
Modelo exacto:
111
Control Digital.
Modelo aproximado:
1. Sustituir P(jw)
por
Pd[ejwt] o por Pm(jw) si se usa el modelo aproximado; comprobar si se
parecen Ac y ϕc
2. Sustituir s por w. Diseñar un control
3. Transformación bilineal con prewarping: Conservara la respuesta a esa frecuencia, y por
tanto el margen de estabilidad y la pulsación característica usados en el diseño. También
pueden dar buen resultado otras discretizaciones que no los conserven exactamente.
Demuéstrese que c debe ser similar (algo menor) a 2/Ts, para Ts pequeño o mediano.
Transformación de polos y ceros , sin olvidar los factores constantes:
Obviamente, hay que eliminar las partes correspondientes si no hay control I o D.
Ejemplo
Como no se especifica, se tomara Ts=1. Esto equivale a que el periodo de muestreo es la unidad
de tiempo (UT) y las pulsaciones serán rad/UT; o bien se interpretan como o)Ts.
En primer lugar se presenta una tabla de la respuesta en frecuencia de la planta Pd[z] (grafico
de Black).
ω
A dB
ϕ°
0,10
21,93
-100,02
0,15
18,39
-105,03
0,20
15,88
-110,02
0,25
13,92
-115,00
0,30
12,31
-119,96
112
Control Digital.
0,35
10,94
-124,91
0,40
9,75
-129,83
0,50
7,73
-139,61
0,60
6,06
-149,27
0,70
4,62
-158,81
0,80
3,36
-168,22
1,0
1,21
-186,63
1,1
0,28
-195,63
1,3
-1,36
-213,24
1,5
-2,74
-230,36
Para los controles P y PI se especifica un margen de fase φm =60°.
Control P
Control PI
Se elige un retraso de fase de unos 10°
Para los controles PD y PID se especifica un margen de ganancia Am =6 dB. (Se ha comprobado
que el diseño por margen de fase daba fácilmente escaso margen de ganancia).
Control PD
Se elige un adelanto de fase moderado.
113
Control Digital.
Se elige un filtrado cercano al máximo: f = 0.25.
Control PID
Se elige el mismo punto de diseño que para el PD.
Se elige el retraso de fase del PI: ϕPI = -10°
Se elige un filtrado típico: f = 0.1.
En el ejemplo anterior solamente se ha pretendido ilustrar el mecanismo de diseño; las
elecciones pueden no ser las mejores. Deben comprobarse los diseños obteniendo respuestas en
114
Control Digital.
frecuencia del lazo abierto, lazo cerrado y sensibilidad, y respuestas temporales a referencias y
perturbaciones. Con acción diferencial, debe vigilarse la presencia de oscilaciones alternadas en
el mando.
Oscilaciones alternadas en el mando
La constante de tiempo de filtro del control PD, a través de la transformación bilineal, puede
producir en el regulador un polo negativo (entre 0 y -1). El ejemplo mas sencillo es el PD ideal (f
= 0), que produce un termino (z + 1); en el Ejemplo 6.5 se da también el caso, tanto en PD como
en PID. Este es un polo del lazo abierto, que en lazo cerrado puede o no hacer sentir su
influencia. Cuando ello ocurre, son visibles en el mando oscilaciones alternadas (a la mitad de
frecuencia de muestreo) que, aunque amortiguadas, pueden ser peligrosas para el actuador, e
incluso transmitirse a la salida.
Referencias bibliográficas
[ 1 ] Computer controlled system
Karl J. Astrom, Bjorm Wittenmark
Prentice Hall.
[ 2 ] Digital control of dynamic system
Gene F. Franklin, J. David Powell
Addison-Wesley
[ 3 ] Automating tuning of PID controllers
Karl J. Astrom, Tore Hagglund
Instrument Society of America
[ 4 ] Digital computer control System
G. S. Virk
Mc Graw Hill, 1991
115

Diseño de reguladores digitales por respuesta en frecuencia

Transcripción

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