Valuación de opciones Europeas con el Modelo de

Valuación de opciones Europeas con el Modelo de

I NSTITUTO P OLITÉCNICO N ACIONAL
E SCUELA S UPERIOR DE E CONOMÍA
S ECCIÓN DE E STUDIOS DE P OSGRADO E
I NVESTIGACIÓN
VALUACIÓN DE O PCIONES
E UROPEAS CON EL M ODELO DE
V OLATILIDAD DE H ESTON
T ESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
M AESTRO EN C IENCIAS E CONÓMICAS
(E CONOMÍA F INANCIERA )
PRESENTA:
M ARIO D URÁN B USTAMANTE
M ÉXICO , D. F.
MAYO DE
2013
Agradecimientos
En primera instancia quiero agradecer a mi familia:
A mi padre que me alentó a estudiar Economía.
A mi madre que en paz descansé† y cuya profesión de ambos herede de algún
modo.
A mis dos hermanos Alejandro y Marco Tulio y a mi primo Gerardo que lo considero igual, por tenerme toda la paciencia del mundo. Que mi esfuerzo sirva de
ejemplo para que alcancen sus propias metas.
Quiero agradecerle a la Escuela Superior de Física y Matemáticas por brindarme
las bases necesarias para tratar de entender el fascinante mundo de las matemáticas. En particular al profesor Dr. Govindan Trivellores Eachambadi por su
excelente catedra.
De igual forma quiero agradecer a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Economía por darme la oportunidad de perfeccionar mis habilidades en todos los sentidos posibles.
Quiero agradecer al Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez por permitirme trabajar un tema de tesis, que para él representa un esfuerzo de muchos años, que ha venido
desarrollando y trabajando hasta el día de hoy, por todo su apoyo como profesor
y como amigo, Gracias!!
A todos mis maestros que me han guiado en mi formación académica en especial
a mis directores de tesis Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez y Dr. Francisco Venegas
Martínez y a los profesores Dr. Salvador Cruz Ake , Dr. Adrián Hernández del
Valle y al Dr. Humberto Ríos Bolívar por compartir su conocimiento conmigo a
través de sus magníficas cátedras.
A mis compañeros y amigos Alejandro, Cynthia, Cesar, Fanny, Jessica, Adriana y
Jorge Luis por haber compartido este periodo de la vida conmigo y aquellos que
por mi olvido haya faltado mencionar. Gracias!!!
Índice general
Pág.
Agradecimientos
I
Índice de cuadros
VII
Índice de gráficas
IX
Glosario
XI
Resumen
XVII
Abstract
XIX
Introducción
XXI
C APÍTULO 1. Opciones Financieras
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Historia y desarrollo de los mercados de opciones
1.4 Opciones financieras . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Opciones de compra . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Opciones de venta . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Posiciones en un contrato de opción . . . . . . . .
1.5.1 Posición larga sobre opciones call . . . . . .
1.5.2 Posición corta sobre opciones call . . . . . .
1.5.3 Posición larga sobre opciones put . . . . . .
1.5.4 Posición corta sobre opciones put . . . . . .
1.6 Opciones americanas y europeas . . . . . . . . . .
1.7 Opciones dentro, fuera y en el dinero . . . . . . . .
1.8 Liquidación en efectivo y en especie . . . . . . . .
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1
1
2
4
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7
7
8
9
10
11
12
13
IV
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones . . . . .
Factores para la determinación de los precios de las opciones
Opciones sobre acciones que pagan dividendos . . . . . . . .
Opciones sobre divisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opciones sobre futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opciones exóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C APÍTULO 2. Introducción al movimiento browniano y al cálculo estocástico
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Caminata aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Filtración e información actual relevante . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Procesos estocásticos adaptados a una filtración . . . . . . .
2.4 Movimiento browniano aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Movimiento browniano aritmético como el límite de una caminata aleatoria simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Momentos de un movimiento browniano aritmético . . . . .
2.5 Movimiento browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Las trayectorias no son diferenciables . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Las trayectorias son continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Movimiento geométrico browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Momentos de un movimiento geométrico browniano . . . .
2.7 Cálculo de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Integrales de: Riemann-Stieljes, Stratonovitch e Itô . . . . . .
2.7.2 Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Lema de Itô multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Martingalas y movimiento browniano . . . . . . . . . . . . .
2.10 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
28
29
30
31
32
32
35
37
37
42
51
54
54
56
57
C APÍTULO 3. Modelo de Black y Scholes: Marco probabilista y “griegas”
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Distribución del rendimiento logarítmico del activo subyacente . .
3.3 Valuación neutral al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
60
61
19
19
19
22
22
24
24
V
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Función de densidad del precio del subyacente neutral al riesgo . .
3.4.1 Media y varianza del precio del subyacente en un mundo
neutral al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valuación neutral al riesgo de una opción europea de compra . . .
Valuación neutral al riesgo de una opción europea de venta . . . . .
3.6.1 Condición de paridad de opciones de venta y compra . . . .
Griegas del modelo de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y
Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Griegas de una opción europea de compra . . . . . . . . . . . . . . .
Griegas de una opción europea de venta . . . . . . . . . . . . . . . .
C APÍTULO 4. Modelo de volatilidad estocástica de Heston
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 El modelo de volatilidad estocástica de Heston . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Griegas del modelo de Heston . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cálculo del precio de la opción por medio de la transformación de
Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Análisis de sensibilidad a precios de opciones a diferentes valores
de los parámetros ρ y σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
63
65
68
69
69
69
71
78
83
83
83
91
93
97
C APÍTULO 5. Calibración de parámetros con funciones de pérdida
107
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Estimación de parámetros con funciones de pérdida . . . . . . . . . 107
5.3 Aplicación y análisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Conclusiones
117
Bibliografía
119
Índice de cuadros
Pág.
Cuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre St y K. .
13
Cuadro 2.1: Reglas básicas de diferenciación estocástica. . . . . . . . . .
42
Cuadro 3.1: Griegas del modelo de Black y Scholes. . . . . . . . . . . . .
81
Cuadro 4.1: Impacto de la correlación en los precios de opciones de
compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadro 4.2: Comparación de precios de opciones de compra con ρ variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadro 4.3: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de
opciones de compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadro 4.4: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de
opciones de compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuadro 4.5: Comparación de precios de opciones de compra con σ variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
100
102
103
105
Cuadro 5.1: Datos relevantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Cuadro 5.2: Resumen de las funciones de pérdida con los correspondientes valores de los parámetros estimados del modelo de
Heston. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Cuadro 5.3: Precios estimados con el modelo de Heston con las funciones de pérdida y volatilidades implícitas. . . . . . . . . . . . 112
Índice de gráficas
Pág.
Gráfica
Gráfica
Gráfica
Gráfica
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8
9
10
11
Gráfica 2.1: Caminata aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Función de densidad de ST |St . . . . . . . . . . .
∆c es la pendiente de la recta tangente a c en St .
∆c como función de St . . . . . . . . . . . . . . .
Γc como función de St . . . . . . . . . . . . . . . .
vc como función de St . . . . . . . . . . . . . . . .
∆ p como función de St . . . . . . . . . . . . . . .
66
72
72
74
75
79
Gráfica
Gráfica
Gráfica
Gráfica
Gráfica
Gráfica
1.1:
1.2:
1.3:
1.4:
3.1:
3.2:
3.3:
3.4:
3.5:
3.6:
Pérdidas y ganancias de una opción call larga.
Pérdidas y ganancias de una opción call corta.
Pérdidas y ganancias de una opción put larga.
Pérdidas y ganancias de una opción put corta.
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Gráfica 4.1: Función de densidad marginal del modelo de Heston para
diferentes valores de ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Gráfica 4.2: Función de densidad marginal del modelo de Heston para
diferentes valores de σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Gráfica 4.3: Superficie de precios opciones de compra con el modelo de
Heston. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Gráfica 4.4: Superficie de precios opciones de venta con el modelo de
Heston. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Gráfica 4.5: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston
relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad
al vencimiento y correlación variable. . . . . . . . . . . . . . 100
Gráfica 4.6: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston
relativas a precios con Black y Scholes con igual volatilidad
al vencimiento y volatilidad de la varianza variable. . . . . 104
X
Gráfica 5.1: σ implícitas de calls obtenidas de las funciones de pérdida.
Gráfica 5.2: σ implícitas de puts obtenidas de las funciones de pérdida.
Gráfica 5.3: Comparación entre σ implícitas de calls y σ implícitas de
mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfica 5.4: Comparación entre σ implícitas de puts y σ implícitas de
mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
114
114
115
Glosario
Activo subyacente: Bien o indice de, objeto de un contrato futuro o de un contrato de opción, concertado en la bolsa de derivados. Los precios de los productos
derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden
ser: acciones, un indice o una caminata aleatoria.
At the money: Cuando el valor del subyacente coincide con el precio de ejercicio,
se dice que la opción se encuentra “en el dinero” (At The Money).
Contrato de opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante
el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de
comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura,
y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se
haya acordado en el contrato respectivo. Si el contrato de opción se pacta el pago
por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente.
Bolsa: Con este nombre se designa al mercado financiero en donde se compran
y venden acciones, obligaciones, bonos y otros activos financieros. En la Bolsa
las transacciones se realizan a través de intermediarios financieros que reciben
el nombre de brokers. También se la conoce como Bolsa de Valores o Bolsa de
Comercio.
Bolsa Mexicana de Valores: Institución sede del mercado mexicano de valores.
Institución responsable de proporcionar la infraestructura, la supervisión y los
servicios necesarios para la realización de los procesos de emisión, colocación
e intercambio de valores y títulos inscritos en el Registro Nacional de Valores
(RNV), y de otros instrumentos financieros. Así mismo, hace pública la información bursátil, realiza el manejo administrativo de las operaciones y transmite la
información respectiva a SD Indeval, supervisa las actividades de las empresas
emisoras y casas de bolsa, en cuanto al estricto apego a las disposiciones aplicable, y fomenta la expansión y competitividad del mercado de valores mexicanos.
XII
Bursátil: Relativo a la actividad en Bolsa.
Cámara de Compensación: Organismo que en los mercados financieros ejerce
la función de garante de todas las transacciones. La cámara se sitúa de eje de la
transacción convirtiéndose en comprador frente al vendedor y en vendedor frente
al comprador.
Chicago Board of trade: Es el mayor mercado de opciones y de futuros del mundo
y tiene su sede en Chicago.
Cierre: Término de una sesión bursátil, de acuerdo con los horarios oficiales. Registro de las operaciones realizadas y del nivel alcanzado por las cotizaciones de
los títulos operados durante una sesión.
Cobertura de Riesgos (Hedging): La cobertura de los riesgos financieros a través
de los productos derivados es similar a la adquisición de un seguro; proporciona
protección contra los efectos adversos de las variables sobre las cuales no tienen
control los agentes participantes en la actividad económica.
Contrato de Opción: Contrato estandarizado, en el cual el comprador, mediante
el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación de
comprar o vender un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura,
y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el activo subyacente al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se
haya acordado en el contrato respectivo. Si en el contrato de opción se pacta el
pago por diferencias, no se realizará la entrega del activo subyacente.
Contrato de Opción Call: Opción de compra que da a su comprador –tenedor de
la opción- el derecho, pero no la obligación, de comprar algún activo subyacente,
en una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido.
Contrato de Opción Put: Opción de venta que da a su comprador –tenedor de la
opción- el derecho, pero no la obligación, de vender algún activo subyacente, en
una fecha predeterminada, y a un cierto precio preestablecido.
Correlación: Debido a la dificultad para interpretar la magnitud de la covarianza,
suele utilizarse la correlación para medir el grado de movimiento conjunto entre
dos variables o la relación lineal entre ambas. La correlación se encuentra entre -1
y 1.
XIII
Covarianza: Es una medida de relación lineal entre dos variables aleatorias describiendo el movimiento conjunto entre éstas.
Delta: La delta es el índice que mide la variación del valor de la prima de la
opción ante variaciones en el precio del activo subyacente. Matemáticamente es
la primera derivada de la prima con respecto al subyacente.
Derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, implementados a partir de 1972, cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de referencia (títulos representativos de capital o de deuda, índices, tasas,
y otros instrumentos financieros). Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en condiciones de elevada volatilidad. Los principales derivados
financieros son: futuros, opciones sobre futuros, warrants y swaps.
Derivados Plain Vanilla: Instrumentos financieros derivados más simples o denominados de primera generación (“plain vanilla”). Por ejemplo: Forwards, Futuros, Swaps, Opciones.
Desviación standard o Desviación típica: Medida estadística de la variabilidad
de una magnitud. Es igual a la raíz cuadrada de la varianza.
Gamma: Debido a que la delta de la opción cambia continuamente como consecuencia de los cambios en el valor del subyacente, es importante medir estos
cambios. La gamma se define como la medida de cambio de la delta ante cambios
en el subyacente. También se conoce como la segunda derivada del valor de la
opción con respecto al valor del subyacente.
In the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es positivo, se dice que
la opción se encuentra “dentro del dinero” (In the Money).
Índice de Precios y Cotizaciones (IPC): Indicador de la evolución del mercado
accionario en su conjunto. Se calcula en función de las variaciones de precios de
una selección de acciones, llamada muestra, balanceada, ponderada y representativa de todas las acciones cotizadas en la BMV.
MexDer: Sociedad Anónima denominada MexDer, mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V., que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios
necesarios para la cotización y negociación los contratos de futuros y contratos de
opciones.
XIV
Modelo de Black-Scholes: Asume que el comportamiento de los precios sigue
una distribución lognormal. Basados en los modelos estocásticos de Wiener y el
conocido lema de Itô, así como mediante argumentos de arbitraje, Fisher Black y
Myron Scholes determinaron una ecuación diferencial parcial de segundo orden
cuya solución representa el precio de la opción. Este modelo es aplicable solamente para opciones europeas.
Opción: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar (si se trata de una opción de compra) o vender
(opción de venta) una cantidad de activos, a un precio establecido, en una feche determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha
(opción americana). Por este derecho generalmente el comprador paga un precio
o prima. Existen muchos mercados de opciones en el mundo.
Opción de Compra: Es un contrato que proporciona a su poseedor (el comprador) el derecho (no la obligación) a comprar una cantidad de activos, a un precio
establecido, en una fecha determinada (opción europea) o en cualquier momento anterior a dicha fecha (opción americana). Opción europea: El tenedor de la
opción las puede ejercer hasta la fecha de vencimiento.
Out of the Money: Cuando el valor intrínseco de una opción es negativo, se dice
que la opción se encuentra “fuera del dinero” (Out of The Money).
Paridad Put –Call: La paridad call-put describe la relación entre el precio de una
opción tipo Call Europea y el precio de una opción tipo Put Europea, cuando
ambas tienen el mismo precio de ejercicio y misma fecha de vencimiento.
Rho: La “rho” es la variación del precio de la opción ante cambios en la tasa de
interés libre de riesgo.
Subyacente: Bien o índice de referencia, objeto de un Contrato de Futuro o de
un Contrato de Opción, concertado en la Bolsa de Derivados. Los precios de los
productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: títulos representativos de capital o deuda, índices, tasas y otros
instrumentos financieros. También se denomina valor de referencia.
Theta: La “theta” es la sensibilidad del precio de la opción ante el paso del tiempo,
es decir, es el cambio esperado en el valor teórico de la opción ante una variación
de un día en el tiempo pendiente hasta el vencimiento.
XV
Valor Intrínseco de una opción: El valor intrínseco de una opción es el máximo
entre el monto por el cual la opción está en el dinero y cero.
Vega: La “vega” es la variación del precio de la opción ante cambios en la volatilidad del subyacente.
Volatilidad: Grado de fluctuación que manifiesta el precio del subyacente a través
del tiempo.
Volatilidad Implícita: Esta volatilidad no se basa en considerar observaciones
históricas sino en observar la volatilidad existente en el mercado de opciones. La
manera de calcularla es observando el precio de la prima de las opciones en el
mercado y sustituyendo este valor en la fórmula de Black-Scholes. Una vez hecha
la sustitución se despeja el valor de la volatilidad de dicha fórmula. La volatilidad
implícita es muy confiable cuando el mercado de opciones del subyacente tiene
suficiente liquidez. Sin embargo en la práctica se enfrenta el problema de que no
todos los subyacentes tienen contratos de opciones, por tanto solo para algunos
casos se puede calcular la volatilidad implícita.
Resumen
Los derivados plain vainilla son uno de los principales productos negociados
en las bolsas de derivados; las opciones se clasifican en este grupo. En México se
negocian dentro del Mercado Mexicano de Derivados (MexDer) y también en el
mercado Over The Counter.
La fórmula de Black y Scholes es la más utilizada para valuar opciones; sin
embargo, algunos de sus supuestos no son consistentes con lo que se observa en
el mercado. Por ejemplo, la volatilidad no se mantiene constante en el tiempo y
cambia en el transcurso de vida de la opción, lo que se conoce como: smile y smirk.
El modelo de Heston de volatilidad estocástica (la volatilidad varía en el tiempo y se comporta de manera aleatoria), el activo subyacente es conducido por
un movimiento browniano, y la volatilidad de la varianza es conducida por un
segundo movimiento browniano. Este modelo es utilizado para valuar opciones
europeas de compra y de venta. La transformada fundamental de Lewis, nos ayuda a resolver una integral con términos imaginarios, cuya solución conduce al
precio de la opción en el modelo de Heston, esto se logra a través de algoritmos
numéricos de integración.
Una de las características notables de este modelo y que se verificaron empíricamente, es que el parámetro de correlación controla el sesgo de la función de la
densidad de Heston, además de que el parámetro de la volatilidad de la varianza
controla la curtosis. Asimismo existe una relación negativa entre el precio de la
acción y la varianza, que se puede expresar textualmente como: bajas en el precio
de la acción implican un aumento en la varianza, el mismo argumento opuesto es
cierto cuando la varianza es positiva.
Una metodología para estimar parámetros del modelo de Heston es por medio de una función de pérdida, que consiste minimizar una medida del error dado
por la diferencia entre precios de mercado y precios del modelo teórico. En este
trabajo de tesis se proponen tres funciones de pérdida, de las cuales dos corresponden a precios y una asociada con las volatilidades implícitas de mercado. Con
XVIII
datos de opciones sobre futuros del I. P. y C. negociadas en MexDer se calibraron
los parámetros del modelo de Heston. Un resultado relevante es que la función
de pérdida de volatilidad implícita del error cuadrático medio es la que mejor se
ajusta en todos los niveles de moneyness (K/S) y que se muestra en la gráfica de
volatilidades implícitas del último capítulo de esta tesis.
Abstract
The plain vanilla derivatives are mostly negotiated on a Derivatives Exchange; the options are classified into this group. In Mexico, they are traded in the
Mexican Derivates Exchange (MexDer) and of course in the Over the Counter
market.
The Black and Scholes formula is widely used to valuate options; however
some of its assumptions are not very consistent with the market. For example,
the volatility is not constant over the time and it changes over the duration of the
option, this phenomenon is known as “smile” and “smirk”.
In the Stochastic Volatility Heston model (the volatility changer over the time
and its behavior is random), the underlying asset is conducted by a brownian
motion, and the volatility of variance is driven by a second brownian motion. This
model is used to price european call and put options. The fundamental transform
of Lewis help us to solve an integral with imaginary terms, whose solution leads
to the price of the option in the Heston model, it is done by numerical integration
algorithms.
One of the most outstanding characteristics of this model is that the correlation
parameter controls the skewness of the Heston’s density function; furthermore,
the variance parameter controls kurtosis. In fact, there is a negative correlation
between the stock price and the variance, which can be expressed textually as: if
stock price downs imply an increase in the variance, the same opposite argument
is true when variance is positive.
A methodology to estimate Heston model parameters is through a loss function, which minimize a measure of error given by the difference between market
prices and theoretical model prices. In this thesis three different loss functions are
proposed, two correspond to prices and other is associated with implied volatilities observed in the market. With data from futures options on I. P. y C. (Indice
de Precios y Cotizaciones) traded on MexDer, Heston model parameters were
calibrated. An important result is that the implied volatility root mean squared
XX
error loss function best fit at all levels of moneyness (K/S) which is shown in the
implied volatilities figure in the last chapter of this thesis.
Introducción
El objetivo general de este trabajo es valuar opciones financieras europeas mediante el modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993). La justificación de
este hecho radica en el supuesto de volatilidad constante el modelo tradicional
para valuar opciones de Black- Scholes (1973) y Merton (1973). No obstante desde el punto de vista del mercado, este supuesto no es consistente al comparar los
resultados obtenidos con los precios observados de las opciones. Un ejemplo de
ello son las volatilidades implícitas obtenidas con el modelo de Black Scholes para diferentes plazos y precios de ejercicio, estas volatilidades no se comportan de
manera constante en el tiempo y tienden a ser en forma de sonrisa(smiles). Se han
tratado de corregir y explicar tales inconsistencias observadas en el modelo de
Black y Scholes. Se han propuesto varias extensiones a dicho modelo ente las que
podemos mencionar: Merton(1973) propone que la volatilidad sea una función
determinista del tiempo, logra explicar los diferentes niveles que se alcanzan en
la volatilidad implícita, para diferentes periodos en el tiempo, pero no alcanza a
explicar la forma de sonrisa para diferentes precios ejercicio.
Dupire (1994), Derman y Kani (1994) y Rubinstein (1994), sugieren que no solo
se indexe el tiempo en la volatilidad, proponen la dependencia con un coeficiente
de volatilidad, de igual modo dichos autores no logran explicar la forma de la
sonrisa para diferentes periodos en el tiempo.
Posteriormente se desarrollaron los modelos de volatilidad estocástica, en estos se consideran dos factores estocásticos: un factor conduce la dinámica estocástica del subyacente y el segundo factor modela la dinámica estocástica de la
volatilidad y que es la causante del efecto sonrisa. Se han propuesto modelos diferentes para saber que proceso sigue la volatilidad, entre los cuales destacan ,
el movimiento geométrico browniano y modelos con reversión a la media (procesos del tipo Ornstein-Uhlenbeck). De entre los modelos propuestos destaca el
modelo de Heston (1993) porque presenta una fórmula cerrada para el precio de
una opción con el supuesto de correlación entre el precio del activo y su volatili-
XXII
dad, el parámetro de correlación modela el sesgo de la densidad del subyacente,
mientras que el parámetro de volatilidad de la varianza modela la curtosis de
la densidad del subyacente, con estas características fue uno de los primeros en
explicar la sonrisa.
Los objetivos particulares de la tesis son:
• Realizar un análisis de sensibilidad del modelo de volatilidad estocástica de
Heston, para diferentes valores de los parámetros de correlación y volatilidad de la varianza del activo subyacente en estudio;
• Estimar los parámetros del modelo de Heston por medio de funciones de
pérdida con los precios de mercado de opciones que se negocian en MexDer.
La hipótesis del presente trabajo es la siguiente: bajo el supuesto que existe
una correlación arbitraria entre las ecuaciones diferenciales estocásticas del precio
del subyacente y de la volatilidad entonces el modelo de Heston arroja precios
consistentes con el mercado de opciones al compararlos con el modelo de Black y
Scholes.
Este trabajo esta organizado como sigue, en el primer capítulo se presenta una
introducción a los derivados, con énfasis en las opciones financieras, la historia
de las mismas, sus características generales y los factores que son necesarios para
determinar el precio de dichas opciones.
En el segundo capítulo se aborda la teoría de los procesos estocásticos la cual
se requiere para modelar adecuadamente la dinámica de las variables financieras,
revisamos algunos conceptos básicos de probabilidad y procesos estocásticos, algunas de las propiedades del movimiento browniano aritmético y geométrico, el
lema de Itô y algunas aplicaciones de este en la modelado de diversos fenómenos
en finanzas cuantitativas.
En el tercer capítulo se desarrolla el modelo de Black-Scholes-Merton, desde
un marco probabilista, se obtienen las fórmulas para valuar opciones europeas de
compra y venta así como también las llamadas “griegas”.
En el cuarto capítulo se presenta el modelo de Heston y sus características
teóricas y calculamos precios de opciones con la transformación de Lewis (2000).
Asimismo se examina la sensibilidad del precio de la opción con respecto del
coeficiente de correlación entre los dos movimientos brownianos que conducen
XXIII
al activo subyacente y a la varianza del activo subyacente y la sensibilidad del
precio de la opción con respecto del coeficiente de volatilidad de la varianza del
activo subyacente.
Dado que en la práctica generalmente las volatilidades implícitas de las opciones negociadas en los mercados de derivados varían, ya sea con respecto al
precio de ejercicio o con el vencimiento de la opción. La variación con respecto al
precio de ejercicio se le denomina sonrisa de volatilidad (volatility smile), o sesgo
de volatilidad (volatility skew). De esta manera en el quinto capítulo se aplica la
metodología propuesta por Bakshi, Cao y Chen (1997) a un conjunto de precios
de opciones negociadas en el MexDer. El algoritmo de calibración minimiza un
error dado un conjunto de parámetros iniciales. Para un determinado conjunto de
parámetros se calculan precios de opciones con el modelo de Heston y se calcula
una medida del error.
Por último en las conclusiones se comentan las ventajas y limitaciones de utilizar el modelo de Heston, junto con sus posibles extensiones.
Capítulo 1
Opciones Financieras
1.1
Introducción
En este capítulo se presenta una introducción a los productos derivados con
énfasis en las opciones financieras, su historia, sus características generales, los
factores que intervienen en la determinación de su precio. Algunos de los conceptos de este capitulo fueron tomados de Gutiérrez (2001) y de Ortiz (2008).
1.2
Derivados
Un producto derivado se puede definir como un contrato privado cuyo valor
depende de algún activo subyacente como una tasa, una acción, un bono, una
divisa o un commodity.
Los derivados abarcan desde componentes estructurales simples, como los
contratos lineales: contratos adelantados (forward), futuros; opciones y swaps, hasta productos más complejos como son las opciones exóticas o las notas estructuradas.
Los derivados son activos financieros que tienen una gran importancia en las
decisiones financieras actuales, se han convertido en una herramienta indispensable para la administración del riesgo debido a que proveen un método de bajo
costo y efectivo para administrar la exposición de las fluctuaciones de las tasas de
interés, precios de commodities, tipos de cambio e inclusive sobre el clima.
Los dos principales mercados donde se llevan a cabo operaciones con instrumentos derivados son:
2
(i) Bolsas;
(ii) Fuera del mostrador (Over-the-Counter)1 .
Los derivados negociados en mercados organizados difieren en dos aspectos de
los derivados negociados Over The Counter (OTC). La primera diferencia es que
los contratos negociados en un mercado organizado son casi siempre estandarizados, es decir, tienen características bien definidas y todos los contratos de un
mismo tipo son exactamente iguales. Esto se hace con el objetivo de dar liquidez,
los contratos son más baratos. Para algunos participantes del mercado, esta liquidez representa ciertas desventajas porque puede pasar que el activo subyacente
no tenga las características deseadas por los participantes del mercado, pero en
general la estandarización ha probado ser una característica deseable entre los
participantes del mercado.
La segunda diferencia de los contratos negociados en un mercado organizado
es que los contratos son realizados con una entidad regulatoria llamada cámara
de compensación2 , y no con un banco. Para garantizar que el contrato se cumpla
por las partes, el mercado organizado elimina el riesgo de crédito mediante la
figura y los lineamientos de la cámara de compensación, en caso de que alguna
de las partes no cumpla con un pago, la cámara interviene y cubre el pago.
1.3
Historia y desarrollo de los mercados de opciones
El inicio de las opciones se dio en los países Bajos. Un judío español Joseph de
la Vega, en su descripción de la Bolsa de Amsterdam, escrito en 1688, describe un
firme mercado de opciones en las acciones de la Compañia de Indias Holandesa.
Fué hasta fines del siglo pasado que se atacó desde el punto de vista matemático
el problema de fijar el precio de una opción. Hacia 1900 en Francia, el matemático Louis Bachelier presenta la primera fórmula para calcular el precio de la opción. En 1968 cuando ya se conocía el Chicago Board of Trade por sus contratos
1
El mercado Over The Counter, OTC, es un sistema de cotización de valores donde los participantes negocian directamente entre ellos, sin la intermediación de una bolsa o de un piso de
remate. Las operaciones se realizan a través de redes de cómputo o telefónicas que vinculan entre
sí a los agentes de todo el mundo.
2 Institución en un mercado de derivados que es la contraparte de cualquier transacción y que
asegura el cumplimiento de los contratos. En el MexDer es ASIGNA.
3
de futuros, comenzó un estudio sobre la posibilidad de introducir contratos de
futuros sobre acciones de bolsa, pero dicho estudio terminó recomendando opciones sobre acciones. De esta manera surgió en 1972 el Chicago Board Options
Exchange (CBOE) que comercializaba opciones sobre acciones en bolsa, teniendo
un éxito espectacular. Cinco años después se comenzaron a negociar opciones tipo put en nuevas bolsa de valores como AMEX, Philadelphia, Pacific y MidWest.
La creación de este mercado permitió que hubiera flexibilidad en estrategias de
especulación y cobertura una de las características principales de las opciones.
A pesar del gran desarrollo de las opciones que existió en la década de los
70’s, los mercados internacionales se enfrentaron al gran problema de las fluctuaciones en tipos de cambio y tasas de interés. Los mercados vieron la necesidad de
introducir instrumentos para especular y cubrirse de dichos movimientos. Esto
dio origen al mercado de contratos a futuros y a medida del éxito que tuvieron
las bolsas comenzaron a ver la posibilidad de ofrecer opciones sobre contratos de
futuros.
En octubre de 1982 el Chicago Board of Trade comenzó a negociar opciones
sobre contratos de futuros sobre T-Bonds3 Tres años después se introdujeron las
opciones sobre un contrato a futuro cuyo subyacente era el eurodólar.
A partir del 15 de diciembre de 1998, con base en diversos estudios de la BMV
y el marco regulatorio establecido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público (SHCP), el Banco de México y la Comisión Nacional Bancaria y de Valores
(CNBV), inicia operaciones el Mercado Mexicano de Derivados (MexDer), luego
de dos años de negociaciones para su aplicación, con el propósito de incorporar
a los participantes nacionales en la creciente industria global de derivados, especialmente los vinculados con valores subyacentes mexicanos. La inversión total
para la puesta en marcha del mercado fue inferior a los 14 millones de dólares.
El contrato del dólar de Estados Unidos de América fue el primero en cotizar con
un tamaño adecuado para permitir que tesorerías de empresas medianas y pequeñas, así como personas físicas, pudieran beneficiarse de una mayor certidumbre
sobre el tipo de cambio. Las operaciones se realizaron a viva voz4 .
3
4
Los T-Bonds son instrumentos que reflejan las tasas de interés de largo plazo en E.U.
Véase por ejemplo Palacios (2002) .
4
1.4
Opciones financieras
La formación de portafolios con un equilibrio adecuado entre riesgo y rendimiento es un objetivo básico de la ingeniería financiera. Uno de los instrumentos
que actúan como seguros contra contingencias financieras son las opciones. En
un ambiente de extrema volatilidad, estos instrumentos proporcionan al inversionista un mecanismo para inmunizar un portafolio contra cambios adversos en
los mercados financieros con bajos costos de transacción.
Una opción es un producto derivado que por el pago de una prima da a su tenedor (comprador) el derecho, más no la obligación, de comprar o vender el activo subyacente (bienes, acciones, índices bursátiles, divisas, futuros, tasas de interés, etc.) a un precio determinado, llamado precio de ejercicio. La contraparte,–el
emisor–, de estos títulos tiene la obligación de vender o comprar el activo subyacente.
En un contrato de opción se especifican cinco elementos:
(i) Tipo de opción: opción de compra o de venta (americana o europea),
(ii) Activo subyacente: es el activo (acciones, divisas, tasas de interés, petróleo,
oro, etc.),
(iii) Cantidad del activo negociado: es la cantidad, en unidades, del activo subyacente que está estipulado que se puede comprar o vender por cada contrato de opción,
(iv) Fecha de vencimiento: es la fecha en que se vence el contrato,
(v) Precio de ejercicio: es el precio al que se podrá ejercer el contrato, es decir,
el precio al que se podrá comprar o vender el activo subyacente, según la
opción sea de compra o de venta.
Hay otro elemento determinado por el mercado que no figura estipulado en el
contrato, que es el precio a pagar por la opción, precio que se fija en el mercado
organizado de opciones, siguiendo la ley de la oferta y la demanda. Este precio
recibe el nombre de prima.
Un punto importante en un contrato de opción es que sólo se obliga al vendedor, mientras que el comprador tiene el derecho (opción) de ejercer el contrato,
5
pero no está obligado a ello. Esto permite al poseedor de una opción, no sólo a
cubrirse ante posibles pérdidas sino también la posibilidad de obtener un beneficio en caso de que la evolución del precio del activo asociado a la opción sea
favorable.
Por otra parte, las opciones, al igual que los contratos futuros son contratos estandarizados, lo cual permite que las transacciones se efectúen en mercados abiertos, organizados y con garantías de su cumplimiento. Esta característica genera
liquidez para llevar a cabo distintas combinaciones y estrategias para ampliar y
diversificar las carteras de inversión. A diferencia de los mercados de futuros, en
las opciones, el comprador del contrato sólo está obligado al pago de una prima
(precio de la opción) que recibirá el vendedor, quién aportará el margen inicial y
de mantenimiento según la evolución del mercado.
La inversión en opciones también es una alternativa para especular (obtener
ganancias extraordinarias asumiendo riesgos sobre tendencias inesperadas). Es
también posible realizar operaciones de arbitraje aprovechando desequilibrios
temporales en la prima de las opciones.
Las opciones financieras más comunes son las que tienen como subyacente
a los títulos de capital (acciones), los índices de mercados accionarios, las divisas extranjeras, títulos de deuda gubernamental y futuros. Se distinguen entre sí
con base en tres criterios: tipo, clase y serie. El tipo nos indica si la opción es de
compra (call) o de venta (put). Todas las opciones que sean del mismo tipo y que
tengan una fecha de vencimiento común determinan una clase. Las opciones que
pertenezcan a una clase y que tengan el mismo precio formarán una serie.
En las opciones se presentan dos posiciones, las cuales nos indican la postura
que presenta cada una con respecto al contrato:
Posición larga: es la postura que presenta el comprador (quien paga la prima) de una opción, sin importar si ésta es un opción de compra o de venta.
Posición corta: es la postura que presenta el emisor o vendedor de la opción
(recibe la prima) de compra o de venta.
Una vez firmado un contrato de opciones, existen tres formas de cerrarlo:
(i) El comprador ejerce su derecho;
6
(ii) El comprador permite que pase la fecha de vencimiento sin ejercer su derecho, dándose por terminado el contrato;
(iii) El comprador puede vender la opción a un tercero, o el emisor puede recomprar la opción al comprador, es decir, la opción se liquida.
1.4.1.
Opciones de compra
Una opción de compra otorga al comprador el derecho, más no la obligación,
de comprar al emisor el activo subyacente a un precio predeterminado en una
fecha predeterminada o antes. El comprador tiene que pagar una prima al emisor
en el momento de la realización del contrato. El contrato debe especificar entre
otros elementos:
(i ) Concepto a negociar (activo subyacente);
(ii ) La cantidad a negociar;
(iii ) El precio de compra;
(iv) La fecha de vencimiento.
Este tipo de opciones presentan para el comprador ganancias ilimitadas al
mismo tiempo que sus pérdidas se ven reducidas al valor de la prima que paga al
firmar el contrato. En cambio el emisor presenta como ganancia máxima el valor
de la prima y sus pérdidas son ilimitadas.
1.4.2.
Opciones de venta
Una opción de venta otorga al comprador el derecho, más no la obligación,
de vender el activo subyacente a un precio predeterminado en una fecha preestablecida o antes. El contrato especifica los mismos puntos que el de opciones de
compra. En estos contratos al igual que en los de compra el emisor tiene una ganancia reducida a la prima y pérdidas ilimitadas, la situación del comprador es la
contraria, es decir, presenta pérdidas reducidas a la prima y ganancias ilimitadas.
7
1.5
Posiciones en un contrato de opción
Existen cuatro tipos diferentes de posiciones en el mercado de opciones, la
cuales las que se pueden clasificar como sigue:
(i) Posición larga sobre opciones call;
(ii) Posición corta sobre opciones call;
(iii) Posición larga sobre opciones put;
(iv) Posición corta sobre opciones put.
En las siguientes subsecciones mencionaremos sus características, así como el perfil de pagos de cada una de ellas.
1.5.1.
Posición larga sobre opciones call
En esta posición los participantes son aquellas agentes que compran opciones
call. Observemos el perfil de ganancias de este tipo de participante en la Gráfica
1.1. Definamos al eje Y como las utilidades o pérdidas derivadas de un cierto
movimiento en el precio del bien subyacente una vez comprada la opción, el eje
X indica el precio del bien subyacente y denotemos al precio de ejercicio como K.
En esta posición el comprador paga una prima por el derecho de comprar, la
cual de entrada es una posible pérdida que denotaremos por c. Si el precio del bien
subyacente permanece por debajo del precio de ejercicio entonces el comprador
tiene el derecho de no ejercer dicha opción, por lo tanto la opción expira sin tener
ningún valor y el comprador solamente pierde la prima pagada por obtener el
derecho de comprar. Sin embargo si se considera que el precio del bien subyacente
permanece igual o por arriba del precio de ejercicio entonces el comprador tiene
el derecho de ejercerla y comprar el bien subyacente.
8
Gráfica 1.1: Pérdidas y ganancias de una opción call larga.
1 Call
5
4
Función de PyG
3
2
1
K
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
St
15
‐1
‐2
1 Call
Fuente: elaboración propia.
A partir de la gráfica anterior se observa una pendiente positiva, esto se debe
que mientras más alto sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio,
entonces mayor será la utilidad neta. Lo anterior nos indica que el comprador de
una opción call tiene un riesgo conocido y limitado, y una ganancia desconocida
e ilimitada.
1.5.2.
Posición corta sobre opciones call
En esta posición están los participantes que venden opciones call. Esta posición corta es la imagen inversa de la posición larga sobre opciones call, como se
aprecia en la Gráfica 1.2 En este caso el vendedor recibe una prima c. A medida
de que el precio del bien subyacente permanece por debajo del precio del ejercicio
(K) la opción no se ejerce (por conveniencia del comprador) y el vendedor obtiene
la ganancia de la prima.
9
Gráfica 1.2: Pérdidas y ganancias de una opción call corta.
‐1 Call
2
1
K
0
Función dee PyG
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
St
15
‐1
‐2
‐3
‐4
‐5
‐1 Call
Fuente: elaboración propia.
Otro escenario para este participante es el caso en que el precio del bien subyacente permanece igual o rebasa el precio del ejercicio, entonces si se ejerce y el
vendedor esta obligado a vender el bien subyacente al precio de ejercicio y esto
ocasiona que sean mayores las pérdidas del vendedor. Por consiguiente, el vendedor de la opción call tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una
ganancia conocida y limitada.
1.5.3.
Posición larga sobre opciones put
El participante que se encuentra en esta posición se dedica a la compra de opciones put. En el perfil de ganancias en la Gráfica 1.3 se observa que el comprador
de opciones put paga una prima p. Si el precio del bien subyacente se mantiene
por encima del precio de ejercicio, entonces la opción expira sin ningún valor. Por
consiguiente el comprador tiene una pérdida que es el pago de la prima p para
obtener el derecho a vender. En cambio si el precio del bien subyacente cae hasta
o por debajo del precio de ejercicio, el tenedor de la opción put tiene el derecho
de ejercerla y vender el bien subyacente al precio de ejercicio.
10
Gráfica 1.3: Pérdidas y ganancias de una opción put larga.
1 Put
5
4
Función de PyG
3
2
1
K
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
St
15
‐1
‐2
1 Put
Fuente: elaboración propia.
Observe que mientras más bajo sea el precio del mercado con relación al precio de ejercicio, mayores serán las ganancias, esto se puede ver en la recta con
pendiente negativa. Por consiguiente, el comprador de la opción put tiene una
pérdida conocida y limitada pero tiene una ganancia desconocida e ilimitada.
1.5.4.
Posición corta sobre opciones put
La función de los participantes que se encuentran en esta posición es la de vender opciones put. Este participante es la imagen inversa del perfil del comprador
de la opción put. El vendedor recibe la prima p por parte del comprador. Si el
precio del bien subyacente permanece por arriba del precio de ejercicio, entonces
la opción no se ejerce y el vendedor obtiene la ganancia de la prima p que fue
pagada. Si el precio del bien subyacente permanece hasta o por debajo del precio
de ejercicio, entonces la opción se ejerce, el vendedor de la misma esta obligado a
comprar el bien subyacente.
11
Gráfica 1.4: Pérdidas y ganancias de una opción put corta.
‐1 Put
2
1
K
0
Función de PyG
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
St
15
‐1
‐2
‐3
‐4
‐5
‐1 Put
Fuente: elaboración propia.
En la Gráfica 1.4 se observa una recta con pendiente positiva; mientras menor
sea el precio de mercado respecto al precio de ejercicio, mayores serán las pérdidas netas del vendedor de la opción put. De esta manera se puede afirmar que el
vendedor de la opción put tiene una pérdida desconocida e ilimitada y tiene una
ganancia desconocida y limitada.
1.6
Opciones americanas y europeas
Las opciones también se pueden clasificar de acuerdo al tiempo en que se
puede ejercer el derecho que ellas otorgan, siendo éstas:
i. Opciones americanas: son aquellas en las que se puede ejercer el derecho a
comprar o vender en cualquier fecha hasta el día a de vencimiento, es decir,
durante la vida de la opción.
ii. Opciones europeas: son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha
de vencimiento.
12
La mayoría de los contratos negociados en todo el mundo se realizan mediante opciones americanas. Pero estas presentan una mayor dificultad para su valuación que las europeas, y por lo mismo las propiedades de las americanas se
derivan y explican a través de las propiedades de las europeas5 .
Ejemplos de las combinaciones de las clasificaciones anteriores son:
(i) Opción call europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender
el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el
derecho de comprar el subyacente en la fecha de vencimiento.
(ii) Opción put europea: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar
el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el
derecho de vender el subyacente en la fecha de vencimiento.
(iii) Opción call americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el
derecho de comprar el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento.
(iv) Opción put americana: este contrato obliga al vendedor de la opción a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la opción ejerza el
derecho de vender el subyacente en o antes de la fecha de vencimiento.
1.7
Opciones dentro, fuera y en el dinero
Las opciones pueden clasificarse, dependiendo de la relación que exista entre
el precio pactado de ejercicio K y el precio de mercado St de la siguiente manera:
(i) Dentro del dinero (in-the-money): cuando el precio de mercado excede el precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es
menor al precio de ejercicio para una de venta.
(ii) Fuera del dinero (out-of-the-money): cuando sucede lo contrario, es decir,
cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio en una opción
de compra; y cuando el precio de mercado es mayor al precio de ejercicio en
una de venta.
5
Para una descripción más detallada de los productos derivados, consultar Hull, John (2011) .
13
(iii) En el dinero (at-the-money): esto se da cuando el precio de mercado y el precio de ejercicio son el mismo, se cumple tanto para opciones de compra,
como para las de venta.
El Cuadro 1.1 muestra las condiciones para que una opción se encuentre in-themoney, at-the-money y out-of-the-money. Esta clasificación determina el precio a paCuadro 1.1: Clasificación de una opción según la relación entre St y K.
St
St
St
St
vs K
>K
=K
<K
Opción call
Opción put
in-the-money
out-of-the-money
at-the-money
at-the-money
out-of-the-money
in-the-money
gar por comprar la opción, ya que las opciones que se encuentran dentro del dinero van a implicar necesariamente primas más altas, puesto que con estos contratos
es muy probable que se logren ganancias si se ejercen al vencimiento, en cambio
las opciones que se encuentran fuera del dinero implican primas muy bajas, ya
que seguramente terminan sin ser ejercidas.
1.8
Liquidación en efectivo y en especie
Las opciones también pueden clasificarse según su forma de liquidación, es
decir, la forma de cumplimiento del contrato por parte de los vendedores de opciones:
(i) En especie.
(ii) En efectivo.
1.9
Valor intrínseco y valor en el tiempo de las opciones
La determinación del precio de las opciones se realiza en los mercados de
acuerdo a su oferta y demanda. Varios factores intervienen en dicho proceso. Su
14
dinámica depende del tiempo y de las variaciones del precio del subyacente en
el mercado. De ahí que las opciones tienen un valor intrínseco y un valor en el
tiempo. El valor intrínseco es el valor que tendría la opción si expirara inmediatamente tomando en cuenta el precio del activo subyacente en el mercado en efectivo. Específicamente, es la cantidad por la cual la opción se encuentra dentro del
dinero. Para las opciones de compra es la diferencia entre el precio de mercado
del subyacente y el precio de ejercicio, si la diferencia es positiva, o de lo contrario
es simplemente cero (pues al no estar dentro del dinero la opción no tiene ningún
valor para el comprador). Por lo tanto, su valor es c = max(ST − K,0). Para las
opciones de venta es la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de mercado del subyacente, si la diferencia es positiva, o simplemente cero en cualquier
otro caso (la opción no tiene valor para el comprador porque no se ejerce). Por lo
tanto, su valor es p = max(K − ST ,0).
El valor en el tiempo es la cantidad por la cual la prima o valor total de la
acción excede el valor intrínseco. Este valor existe porque el precio del subyacente
puede cambiar entre el presente y el vencimiento de la opción, existiendo por
tanto el potencial de posibles beneficios. Esto es, el valor en el tiempo es la prima
que los inversionistas están dispuestos a pagar por dicho potencial. De ahí que el
valor en el tiempo sea igual a cero al vencimiento de la opción y el valor máximo
de la opción que es ejercida es igual al valor intrínseco. En general, el valor en el
tiempo se encuentra en su máximo valor cuando el precio del subyacente es igual
al precio de ejercicio.
1.10
Factores para la determinación de los precios de
las opciones
En esta sección se explican los factores de los cuales depende el valor de una
opción:
(i) Precio actual del bien subyacente. Es el determinante más importante. Cuanto mayor es el precio del activo subyacente, mayor es el precio de la opción
de compra (mayor probabilidad de encontrarse dentro del dinero) y menor
el de la opción de venta (menor posibilidad de encontrarse dentro del dinero).
(ii) Precio de ejercicio de la opción. Cuánto más alto, más barata debe ser la
15
opción de compra y más cara debe ser la opción de venta. Sin embargo, cabe recordar que el precio de una opción de compra no puede ser negativo
aún si el precio de ejercicio es muy alto. Mientras la opción tenga aún cierta vigencia, existe la posibilidad de que el precio del subyacente exceda al
precio de ejercicio antes de su vencimiento y la posición tiene algún valor
en el tiempo. Análogamente, en el caso de una opción de venta, su valor
intrínseco no puede ser negativo, aún si el precio de ejercicio es muy bajo.
Y mientras la opción de venta tenga vigencia, existe la posibilidad de que el
precio del subyacente descienda más allá del precio de ejercicio y por tanto
la opción tiene al menos cierto valor en el tiempo.
(iii) Tasa de interés libre de riesgo. Es el costo de oportunidad de la inversión en
una opción, a medida que la tasa de interés libre de riesgo se incrementa,
el precio de las opciones de compra aumenta y el precio de las opciones
de venta disminuye. Este impacto no es tan evidente. Mientras más altas
sean las tasas de interés, más bajo es el precio de ejercicio de una opción
de compra. Así , las tasas de interés producen el mismo efecto que bajar el
precio de ejercicio de la opción de compra.
(iv) Dividendos. Los pagos de dividendos en efectivo también alteran el precio
de las opciones. En relación a las opciones sobre acciones, si se espera que
la acción reparta altos dividendos, el valor de la opción de compra disminuye y el valor de la opción de venta aumenta. Esto debido a que el precio
del subyacente desciende en el mercado en una cantidad similar al pago de
dividendos.
(v) Plazo al vencimiento. Mientras mayor es el plazo que aún tiene de vigencia la opción, mayor es la posibilidad de ejercer, por lo tanto mayor será el
precio de las opciones, tanto de compra como de venta.
(vi) Volatilidad del activo subyacente. La volatilidad se refiere al posible rango
de variaciones de los precios del subyacente. Los incrementos en la volatilidad del precio del bien subyacente siempre tienen el efecto de que aumenta
el precio de las opciones, sean estas de compra o venta, americanas o europeas, porque aumentan la posibilidad de que el precio del bien subyacente
rebase el precio de ejercicio provocando que la opción sea ejercida.
Los cuatro primeros factores están relacionados con el valor intrínseco de la opción, en tanto que los dos últimos con el valor en el tiempo de la opción. Estas
16
variables interactúan entre sí para determinar el valor de las opciones.
En resumen se puede decir que el valor de una opción de compra generalmente aumenta cuando el precio actual de las acciones, el vencimiento, la volatilidad
y el tipo de interés libre de riesgo aumentan. El valor de una opción de compra
disminuye cuando aumentan el precio de ejercicio y los dividendos esperados. El
valor de una opción de venta generalmente aumenta cuando el precio de ejercicio,
el tiempo de expiración, la volatilidad, y los dividendos esperados aumentan. El
valor de una opción de venta disminuye cuando el precio actual de las acciones y
la tasa de interés libre de riesgo aumentan.
1.11
Opciones sobre acciones que pagan dividendos
Considere una acción que paga continuamente una tasa de dividendo (constante). Entonces el precio de una acción que paga este tipo de dividendo es el
precio de la acción sin pago de dividendo descontado a dicha tasa de dividendos.
1.12
Opciones sobre divisas
Las opciones sobre divisas pueden ser tratadas de manera análoga a las opciones sobre acciones, la única diferencia es que el activo subyacente es una divisa. Este instrumento tiene la propiedad de transferir el riesgo cambiario entre
los participantes del mercado ofreciéndoles una amplia gama de posibilidades
de rendimiento además de permitirles crear una cobertura contra el riesgo. Una
opción sobre divisas proporciona una especie de seguro cambiario mientras que
una cobertura (o un forward) cierra la operación futura a un tipo de cambio fijado
el día de la adquisición del contrato. Por supuesto, el seguro no es gratuito y se
tiene que pagar una prima por la opción, mientras que en el forward no existe tal
prima.
1.13
Opciones sobre futuros
Una opción sobre un futuro es una opción donde el subyacente es un futuro.
Como en las otras opciones el comprador de la opción tiene el derecho, mas no
17
la obligación, de ejercer la opción. Así , con una opción de compra puede ejercer
la opción comprando un contrato de futuros al precio de ejercicio (es decir, tomar
una posición larga en los futuros al precio de ejercicio), mientras que el comprador
de la opción de venta puede ejercer vendiendo el contrato de futuros al precio de
ejercicio. Todos los conceptos típicos de las opciones son válidos, por ejemplo, el
tenedor de la opción de compra ejercerá el derecho de comprar un contrato de
futuros sólo si eso le representa una ganancia o le reduce una pérdida.
Las opciones sobre los futuros tienen los siguientes beneficios sobre los contratos de futuros:
(i) Las opciones le ponen un límite a la pérdida mientras que los futuros no lo
hacen.
(ii) Las opciones sobre futuros le permiten a los productores de mercancías cubrir tanto el riesgo precio como el riesgo de cantidad mientras que los futuros permiten solo la cobertura del riesgo precio.
1.14
Opciones exóticas
Los derivados como las opciones call y put del tipo europeo o americano se denominan productos plain vanilla. Tienen propiedades usuales bien definidas y se
negocian activamente. Sus precios o volatilidades implícitas están dados por las
bolsas o por corredores sobre una base regular. Uno de los aspectos excitantes del
mercado de derivados Over-The-Counter es el número de productos no estándares
que han sido creados por ingenieros financieros. Estos productos se denominan
opciones exóticas. Aunque son generalmente una parte relativamente pequeña
de sus portafolios, estos productos exóticos son importantes para una institución
porque son en general mucho más rentables que los productos plain vainilla.
Capítulo 2
Introducción al movimiento
browniano y al cálculo estocástico
2.1
Introducción
Para modelar adecuadamente la dinámica de las variables financieras se requiere, sin duda alguna, de la teoría de procesos estocásticos. En este capítulo se
revisan varios conceptos de probabilidad y de procesos estocásticos que se emplean en finanzas modernas en tiempo continuo con el objetivo de presentar en
forma accesible e intuitiva el cálculo estocástico, sus conceptos básicos y técnicas
de análisis. Se presentan algunas de las propiedades del movimiento browniano
aritmético, el movimiento geométrico browniano, Lema de Itô, así como sus aplicaciones en el modelado de diversos fenómenos financieros y económicos con
varios ejemplos ilustrativos. Los conceptos expuestos en este capítulo se tomaron
de Baz, J. y Chacko, G. (2004) y de Venegas, M., F. (2006) .
2.2
Caminata aleatoria
Una metáfora interesante de los rendimientos de un activo en los mercados
financieros es la de caminata aleatoria. Un objeto aleatorio no identificado (se
puede pensar en un borracho, una partícula, o el rendimiento de un activo) comienza en el punto cero y tiempo cero, y se desplaza a lo largo de una línea. En
cada paso, el objeto se mueve hacia adelante una distancia (positiva) pequeña ∆x
con probabilidad p, o hacia atrás una distancia (negativa) pequeña; −∆x con probabilidad q = 1 − p. Formalmente, en cada paso i de la caminata aleatoria donde
20
i = 1,2 . . ., existe una variable aleatoria Zi que puede tomar los valores +1 ó -1
con probabilidades p y q, respectivamente. Las variables Z son independientes
e idénticamente distribuidas. El objeto se mueve con regularidad: un paso por
unidad de tiempo ∆t.
Al tiempo t = n∆t es decir, n pasos en el proceso, X (t), la posición del objeto
a partir del origen, es la suma de las realizaciones de n pasos, Z1 , Z2 , . . . ,Zn
X (t) = Z1 + Z2 + . . . + Zn .
(2.1)
Ahora surgen las preguntas: ¿Dónde se espera que el objeto esté después de n pasos? ¿Que tan lejos se alejará del origen?. Estas preguntas pueden ser reexpresadas matemáticamente como: ¿Cuál es la esperanza matemática de X (t), IE[ X (t)]?
¿Cuál es su varianza, Var[ X (t)]? Antes de contestarlas, es útil calcular la esperanza y la varianza si la posición cambia en un paso i como
IE( Zi ) = ( p − q)∆x
(2.2)
Var( Zi ) = IE( Zi2 ) − [IE( Zi )]2
i
h
= (∆x )2 1 − ( p − q)2
(2.3)
y
= 4pq
ya que el operador esperanza es aditivo, la distancia total esperada es n veces la
esperanza de Zi
IE[ X (t)] = n( p − q)∆x,
(2.4)
cuando p = q = 1/2, se espera que el objeto permanezca en el punto cero. Este
resultado tiene sentido intuitivo porque el objeto puede moverse en cualquier
dirección.
Sin embargo, la esperanza tiene que ser entendida como un promedio sobre
una gran cantidad de experimentos. Por supuesto un valor esperado puede nunca
resultar. Por ejemplo, cuando p = q = 1/2, X (∆t), la posición después del primer
paso puede ser ∆x ó −∆x, pero nunca será igual a cero, su valor esperado. Una
intuición mas profunda sugiere que la variable aleatoria tenderá a moverse lejos
del origen mientras el tiempo transcurra. Una medida pertinente de verificar esta
intuición es Var[ X (t)]. Porque X (t) es la suma de n variables independientes con
varianza 4pq(∆x )2 la varianza de la suma es la suma de las varianzas
Var[ X (t)] = 4npq(∆x )2 .
(2.5)
21
Por lo tanto, la varianza de la distancia a partir del origen es proporcional al número de pasos, pero es importante recordar que cada paso corresponde exactamente a una unidad de tiempo, entonces la varianza de la posición es proporcional al
tiempo.
En el caso especial donde p = q = 1/2, tenemos 4pq = 1. Si se piensa en n
como el número de unidades de tiempo, (2.5) puede ser reescrita como:
Var[ X (t)] = número de unidades de tiempo × (∆x )2
(2.6)
y entonces (∆x )2 se puede interpretar como la varianza de X (t) por unidad de
tiempo, o como la varianza instantánea cuando la unidad de tiempo es muy pequeña. Entonces ∆x es la desviación estándar instantánea de X (t).
En la Gráfica 2.1 se muestra la realización de una caminata aleatoria con p =
q = 1/2 y n = 100.
Gráfica 2.1: Caminata aleatoria.
Zn
6
5
4
3
2
1
0
‐1
‐2
‐3
‐4
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
i
Fuente: elaboración propia.
71
76
81
86
91
96
22
2.3
Procesos estocásticos
Un proceso estocástico es un modelo matemático del comportamiento en el
tiempo de un fenómeno aleatorio. La aleatoriedad del fenómeno se captura a través de un espacio medible (Ω,F ), es decir, un espacio muestral, o conjunto de
posibles resultados, y una σ-álgebra del espacio muestral, o conjunto de eventos
o sucesos relevantes. En este contexto, un proceso estocástico es un conjunto de
variables aleatorias { Xt }t∈T , donde T es un conjunto, finito o infinito, de tiempos.
Cada una de estas variables aleatorias Xt está definida sobre un espacio medible
(Ω,F ) y toma valores en otro espacio medible (IR,B(IR)), en donde B(IR) es la
σ-álgebra de Borel sobre IR. En este caso, el subíndice t se refiere al tiempo. La σálgebra de Borel es la mínima σ-álgebra que contiene a todos los intervalos de la
forma (−∞,x ] con x ∈ IR, es decir, B(IR) es la intersección de todas las σ-álgebras
que contienen a los intervalos de la forma (−∞,x ] con x ∈ IR.
El concepto de proceso estocástico es fundamental para el desarrollo de la
teoría financiera en tiempo continuo y en ambientes de riesgo e incertidumbre.
Los procesos estocásticos son útiles para describir el comportamiento aleatorio
de las variables financieras en el tiempo: los precios de los activos, las tasas de
interés, los tipos de cambio, los índices bursátiles, etc. A continuación se presenta
la definición formal de proceso estocástico en tiempo continuo.
Sea (Ω,F ,IP) un espacio de probabilidad, es decir, Ω es un espacio muestral,
F es una σ-álgebra sobre Ω y IP : F → [0,1] es una medida de probabilidad. Sea
T un intervalo de tiempo, específicamente se supone que T = [0,∞). Un proceso
estocástico (de dimensión 1) es un mapeo X : Ω × T → IR, tal que para cada
t ∈ T la función
Xt : ω → X (ω,t) ≡ Xt (ω ) : Ω → IR
satisface Xt−1 ((−∞,x ]) ∈ F para toda x ∈ IR, es decir, Xt es una función F medible. Si Xt es un proceso estocástico, entonces para cada ω ∈ Ω la función
t 7→ X (ω, t) : T → IR, es llamada una trayectoria del proceso. Por último, se dice
que un proceso es continuo si cada trayectoria es continua en cada punto de T .
2.3.1.
Filtración e información actual relevante
Muy frecuentemente, cuando se trabaja con procesos estocásticos, es necesario
especificar el tipo de información que está disponible en cada punto en el tiem-
23
po. Por ejemplo, si se quiere calcular la esperanza, condicional a la información
disponible, de valores futuros de un proceso, entonces es necesario especificar de
manera precisa la información que se utiliza en los cálculos. Usualmente, en los
modelos financieros se requiere que los precios, presentes y pasados, de los activos sean conocidos para producir un pronóstico, así como los posibles filtros que
expliquen sus precios (v.g. estructuras de series de tiempo, correlaciones, etc.,)
Esta idea es formalizada con el concepto de filtración.
Una filtración es una familia IF = (Ft )t∈T de σ-álgebras tales que Ft ⊂ F
para toda t ∈ T . La familia IF es creciente en el sentido de que Fs ⊂ Ft cuando
s,t ∈ T y s ≤ t. Una filtración puede ser pensada como una estructura de información dinámica. La interpretación es que Ft representa la información disponible
al tiempo t. El hecho de que la filtración esté aumentando significa que hay más
y más información conocida conforme el tiempo transcurre y que la información
pasada no se olvida.
A continuación se estudia el concepto de filtración de un proceso estocástico.
Para t ≥ 0 fijo, considere la siguiente familia de subconjuntos de Ω:
A x,t
At = { A x,t | x ∈ IR} ,
= ω ∈ Ω ω (s) ≤ x, 0 ≤ s ≤ t .
La σ-álgebra generada por At , es decir, la mínima σ-álgebra que hace que las
funciones Ws , con 0 ≤ s ≤ t, sean variables aleatorias, se denota mediante
W
Ft = σ (At ) = σ(Ws , 0 ≤ s ≤ t).
W
En este caso F0 contiene sólo conjuntos de probabilidad cero o uno. Claramente,
W
W
W
si t ≤ u, entonces Ft ⊆ Fu . La familia creciente de σ-álgebras {Ft }t≥0 es
llamada la filtración natural generada por {Wt }t≥0 . Si N es el conjunto de eventos
W
B ∈ F tales que IP(B)=0, se define la filtración aumentada de {Ft }t≥0 mediante
la familia de σ-álgebras
W
Ft = σ Ft ∪ N .
De hecho, basta que este procedimiento se efectúe únicamente para t = 0, ya que
W
si F0 = σ(F0 ∪ N ), entonces N ⊂ F0 ⊆ Ft para toda t ≥ 0. Por último, observe
que la filtración {Ft }t≥0 es continua por la derecha, esto es,
\
Ft =
Fu
u≥t
24
y continua por la izquierda en el sentido de que
!
Ft = σ
[
Fs .
0≤ s ≤ t
W
Sin embargo, {Ft }t≥0 es continua por la izquierda, pero no por la derecha.
Los agentes requieren de la información disponible en cada punto en el tiempo
para hacer pronósticos. En este caso, Ft representa la información relevante disponible hasta el tiempo t, ya que si al tiempo t ocurre ω ∈ Ω, entonces los agentes
saben si ω está o no en A ∈ Ft , para algún A dado, a fin de efectuar pronósticos.
Por último, es importante mencionar que si s ≤ t, Wt − Ws es independiente de la
σ-álgebra Fs .
2.3.2.
Procesos estocásticos adaptados a una filtración
Un proceso estocástico { Xt }t≥0 se dice que es adaptado a la filtración {Ft }t≥0
si para cada t ≥ 0, Xt es Ft -medible, es decir, si para cada t ≥ 0,
{ Xt ≤ x } ≡ {ω | Xt (ω ) ≤ x } ∈ Ft para toda x ∈ IR.
Esto significa que el valor que tome Xt en t depende solamente de la información
disponible al tiempo t. Como puede observarse, la adaptabilidad es una propiedad muy importante y afortunadamente la mayoría de los procesos que se utilizan en finanzas la tienen. Claramente, todo proceso { Xt }t≥0 es adaptado a la
X
filtración {Ft }t≥0 .
2.4
2.4.1.
Movimiento browniano aritmético
Movimiento browniano aritmético como el límite de una
caminata aleatoria simple
Regresando a la descripción de la caminata aleatoria simple, donde se había
calculado la esperanza y la varianza de la posición del objeto al tiempo t = n∆t
después de n pasos:
IE[ Xn ] = n( p − q)∆x
(2.7)
25
y
t
pq(∆x )2 .
(2.8)
∆t
Ahora considere las características de una caminata aleatoria en tiempo continuo.
Así, para un t dado, la longitud de un intervalo de tiempo ∆t y el tamaño del
paso ∆x serán hechos arbitrariamente pequeños (tienden a cero). Por lo tanto, el
número de n pasos correspondientes llega a ser muy grande (tiende a infinito).
Entonces ¿Cómo se pueden “calibrar” los parámetros de la caminata aleatoria,
p, q y ∆x para obtener una distribución en tiempo continuo de X (t) con media
constante instantánea µ, y varianza σ2 ? Puesto en ecuaciones, esto es equivalente
a
t
IE[ X (t)] =
pq∆x −→ µt
(2.9)
∆t
y
t
Var[ X (t)] = 4 pq(∆x )2 −→ σ2 t.
(2.10)
∆t
Se puede comprobar que la solución de (2.9) y (2.10) está dada por
√
1 µ ∆t
p =
+
(2.11)
2
2σ
√
1 µ ∆t
q =
−
(2.12)
2√ 2σ
∆x = σ ∆t
(2.13)
Var[ Xn ] = 4npq(∆x )2 = 4
Observe que todo está expresado en términos del paso de tiempo. En la derivación anterior, se eligen los tamaños de paso y las probabilidades consistentes
con el límite en tiempo continuo. El proceso límite para X se llama movimiento
browniano aritmético con tendencia (drift) µ y volatilidad σ. Es similar al proceso
de caminata aleatoria en tiempo discreto discutido anteriormente. El movimiento
browniano aritmético tiene las siguientes propiedades:
(i) X (0) = 0;
(ii) Los incrementos son independientes: hasta donde la caminata ha llegado no
tiene relación con su trayectoria en el futuro. Equivalentemente: X (t) − X (0)
y X (t + h) − X (t) son independientes para todo h > 0;
(iii) X (t) tiene media µt y varianza σ2 t por la construcción anterior. Más aún, se
puede demostrar usando el teorema del límite central1 que X (t) ∼ N (µt, σ2 t).
1
En forma más precisa, la versión del teorema del límite central de Moivre-Laplace.
26
Se prueba este resultado calculando la función generadora de momentos de
X (t). La función generadora de momentos de Zi es:
IE eλZi = peλ∆x + qe−λ∆x .
(2.14)
La función generadora de momentos de Xn , es la n-ésima potencia de la expresión
anterior. Formalmente
h
i
h
i
IE eλZn = IE eλ(Z1 +Z2 +···+Zn )
(2.15)
= IE eλZ1 eλZ2 · · · eλZn
n
= peλ∆x + qe−λ∆x
"
#n
√ !
√ !
1 µ ∆t λσ√∆t
1 µ ∆t −λσ√∆t
=
+
e
−
e
+
,
2
2σ
2
2σ
de donde la primera igualdad viene de (2.1), la segunda de la independencia de
los pasos, la tercera de (2.14) y la cuarta de la solución a la distribución limite
en tiempo continuo dada por (2.11), (2.12) y (2.13). Porque ∆t puede ser hecha
tan pequeña como se quiera (es la unidad más pequeña de tiempo de interés).
Cualquier cantidad de orden (∆t)n , con n > 1, se considera despreciable y se
llama o (∆t), lo cual significa
(∆t)n
= 0, cuando ∆t −→ 0.
∆t
√
Por ejemplo, (∆t)2 = o (∆t), (∆t)3/2 = o (∆t), pero ∆t 6= o (∆t) porque
lim
(2.16)
√
lim
∆t
= ∞, cuando ∆t −→ 0.
∆t
Hecha esta observación, se puede escribir la expansión de Taylor de los exponentes en (2.15) como
√
eλσ
∆t
√
λ2 σ2 ∆t
= 1 + λσ ∆t +
+ o (∆t)
2
(2.17)
√
λ2 σ2 ∆t
= 1 − λσ ∆t +
+ o (∆t),
2
(2.18)
y
e−λσ
√
∆t
27
sustituyendo (2.17) y (2.18) en (2.15), se obtiene
h
IE e
λX (t)
i
n
λ2 σ 2
= 1 + λµ +
∆t + o (∆t) ,
2
(2.19)
pero ∆t = t/n. Debido a que el número de n pasos tiende al infinito cuando el
incremento de tiempo ∆t tiende a cero, la función generadora de momentos se
transforma en el limite en tiempo continuo expresado de la siguiente manera2

h
i
lim IE eλX (t) = 1 +
λµ +
n→∞
=e
n
2 2
λµ+ λ 2σ
t
λ2 σ 2
2
n

(2.20)
.
La ecuación (2.20) es precisamente la función generadora de momentos de una
distribución normal con media µt y varianza σ2 t. Según lo afirmado, X (t) se distribuye normalmente y se puede estandarizar restando su media y dividiendo
por su desviación estándar
X (t) − µt
√
=φ
σ t
(2.21)
donde φ ∼ N (0,1).
Se puede reescribir el movimiento browniano aritmético en (2.21) como
X (t) = µt + σW (t)
(2.22)
con X (0) = 0, como en la caminata aleatoria en tiempo discreto. W (t) se denomina movimiento browniano estándar -un caso especial del movimiento browniano
aritmético con µ = 0 y σ = 1 - o un proceso de Wiener3 . Por lo tanto, W (t) es el
límite en√tiempo continuo de una caminata aleatoria discreta donde p = q = 1/2
y ∆x = ∆t.
2
3
Recuerde que lim 1 +
n→∞
x n
n
= ex .
Norbert Wiener del MIT formalizó la teoría del movimiento browniano en 1923.
28
2.4.2.
Momentos de un movimiento browniano aritmético
Como se mostró antes, W (t) se distribuye normalmente con
IE[W (t)] = 0
(2.23)
Var[W (t)] = t
Cov [W (t),W (t + h)] = Cov [W (t),W (t + h) − W (t) + W (t)]
(2.24)
= Cov [W (t),W (t + h) − W (t)] + Var [W (t)]
= 0 (por incrementos independientes) + t
=t
Var [W (t) − W (t + h)] = Var[W (t)] + Var[W (t + h)]
(2.25)
− 2Cov[W (t),W (t + h)]
= t + (t + h) − 2t
=h
observe también que de (2.21) con µ = 0 y σ = 1 que W (t) puede ser escrito como
√
(2.26)
W (t) = φ t
Para calcular momentos de W (t) considere los momentos de orden mayor de una
distribución normal estándar y el siguiente resultado
(
0,
si n es impar
IE(φn ) =
(n − 1)!! = (n − 1)(n − 3) · · · 1, si n es par
Por lo tanto, los momentos de W (t) son
(
0,
si n es impar
IE[W n (t)] =
n/2
n/2
(n − 1)!!t
= t (n − 1)(n − 3) · · · 1, si n es par
(2.27)
Ejemplo 2.4.1. Suponga que los rendimientos R(t) de una acción siguen un movimiento browniano
R(t) = 0.1t + 0.3W (t), R(0) = 0
29
El rendimiento esperado es
IE[ R(t)] = IE(0.1t) + IE[0.3W (t)] = 0.1t
La varianza del rendimiento es
Var[ R(t)] = Var(0.1t) + Var[0.3W (t)] = 0.09t
√
con una desviación estándar σ = 0.3 t. Los momentos de orden mayor se pueden calcular expandiendo el polinomio R(t) y usando la ecuación (2.27). Por ejemplo
IE[ R3 (t)] = IE[0.001t3 + 3(0.01)t2 (0.03)W (t)
+ 3(0.1)t2 0.09W 2 (t) + 0.0027W 3 (t)]
= 0.001t3 + 0.00272
El proceso para R(t) se puede reescribir como
√
R(t) = 0.1t + 0.3φ t
donde φ ∼ N (0,1). ¿Cómo inferir las características, por ejemplo, de un rendimiento anual? Se sabe que
R(1) = 0.1 + 0.3φ
es la suma de un componente determinista (10 %) y de un componente aleatorio φ
escalado por la desviación estándar por unidad de tiempo (30 %). φ puede tomar
cualquier valor real. Un resultado útil en este caso es que φ está en el intervalo
[-1.96, +1.96] con una confianza del 95 %; en el intervalo [-1.645, +1.645] con una
confianza del 90 %; y en el intervalo [- 1, +1] con una confianza del 68 %.
La afirmación correspondiente sobre el rendimiento de un año R(1) es: la realización de R(1) estará en el intervalo [-48.8 %, +68.8 %] con una confianza del
95 %; en el intervalo [-39.35 %, +59.35 %] con una confianza del 90 %, y en intervalo [-20 %, +40 %] con una confianza del 68 %. Por último, observe que en sentido
estricto, el rendimiento de una acción no se puede describir por el proceso anterior porque hay una probabilidad positiva de que éste sea menor de -100 %.
2.5
Movimiento browniano
En esta sección es establece la definición formal del movimiento browniano
y del proceso de Wiener. Sea (Ω,F ,IP) un espacio de probabilidad fijo, el movi-
30
miento browniano (estándar y unidimensional) es una función
W : [0, ∞) × Ω → IR,
tal que para cada t ≥ 0, la función
W (t,·) : Ω → IR
es una variable aleatoria definida en (Ω, F ). Mientras que para cada ω ∈ Ω la
función
W (·,ω ) : [0,∞) → IR
es continua en [0,∞). La familia de variables aleatorias W (t,·) es denotada, cuando no exista confusión, en forma breve como {Wt }t≥0 . Las funciones W (·,ω ) son
llamadas trayectorias y se denotan por ω (t). La familia {Wt }t≥0 satisface adicionalmente las siguientes condiciones:
(i) W0 = 0 casi dondequiera (o casi en todas partes), es decir,
IP{ω ∈ Ω | W0 (ω ) = 0} = 1.
Es decir, el proceso empieza en t = 0 con probabilidad uno;
(ii) Para cualquier conjunto de tiempos 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn , los incrementos
Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 ,...,Wtn − Wtn−1
son estocásticamente independientes;
(iii) Para cualquier par de tiempos t y s con 0 ≤ s < t, Wt − Ws ∼ N (0,t − s).
2.5.1.
Proceso de Wiener
Sea IF = (Ft )t≥0 una filtración. Un proceso estocástico {Wt }t≥0 es un proceso
de Wiener relativo a IF si cumple las siguientes condiciones:
(i) W0 = 0 con probabilidad uno, es decir, IP{ω ∈ Ω | W0 (ω ) = 0} = 1;
(ii) Wt es continuo en t;
(iii) Wt es adaptado a la filtración IF;
31
(iv) Si 0 ≤ s < t, el incremento Wt − Ws es independiente de Fs y normalmente
distribuido con media cero y varianza t − s.
Una primera diferencia entre el proceso de Wiener y el movimiento browniano es
que el primero considera una filtración IF y el segundo no. Es decir, el movimiento
browniano es independiente del concepto de filtración. La segunda diferencia que
se observa es la ausencia del requerimiento de incrementos independientes en el
proceso de Wiener.
2.5.2.
Las trayectorias no son diferenciables
La ecuación (2.22) escrita de otra forma es
X (t) = X (0) + µ + σW (t)
(2.28)
dX (t) = µdt + σdW (t)
(2.29)
ó, en su forma diferencial4
donde el dX (t) y dW (t) se definen como5
y
dX (t) ≡ X (t + dt) − X (t)
(2.30)
√
dW (t) ≡ W (t + dt) − W (t) = φ dt
(2.31)
La ecuación (2.29) es una ecuación diferencial estocástica6 . Surge una pregunta
básica: ¿Es la variable X (t) diferenciable con respecto a t? Es decir, ¿dX (t)/dt
converge?. Un cálculo sencillo revela que éste no es el caso:
∆X (t)
σφ
= µ + √ −→ ±∞
∆t→0 ∆t
∆t
lim
(2.32)
La expresión anterior tiende a más o menos infinito dependiendo del signo de
φ. El movimiento browniano es fundamentalmente imprevisible en intervalos de
tiempo cortos. Esto significa que una trayectoria típica –es decir una realización
de X como función del tiempo– no es diferenciable. Por lo tanto, la expresión
dX (t)/dt no es aceptable.
4
La sección de cálculo de Itô en este capítulo explicará la relación entre las versiones integral
y diferencial de un proceso.
5 Se escribirá alternativamente dX y dX(t); dW y dW(t).
6 Consultar Øksendal, B. (2000) para una descripción más detallada del concepto de ecuación
diferencial estocástica.
32
2.5.3.
Las trayectorias son continuas
Deseamos probar la continuidad de la trayectoria de un proceso de Wiener. La
trayectoria es continua en probabilidad si, y solo si, para cada δ > 0 y t
n
o
lim IP W (t + ∆t) − W (t) > δ = 0
∆t→0
(2.33)
Recordando que, al tiempo t
IEt [W (t + ∆t)] = W (t)
(2.34)
Por la desigualdad de Chebyshev7
)
(
Vart [W (t + ∆t)]
IP W (t + ∆t) − IEt W (t + ∆t) > δ ≤
δ2
=
(2.35)
∆t
−→ 0 cuando ∆t −→ 0
δ2
Esto establece la continuidad del proceso de Wiener.
2.6
Movimiento geométrico browniano
Aún cuando el movimiento browniano es una de las bases en la construcción
de modelos financieros, éste no puede por sí mismo representar el comportamiento de todas las variables financieras que encontramos. Los precios de los activos,
por ejemplo, no son descritos apropiadamente por el movimiento browniano estándar, ya que los precios no parten de cero. Sus incrementos (y rendimientos)
podrían tener media positiva, o bien podrían tener varianzas que no necesariamente son por unidad de tiempo. En conclusión, los precios de los activos, en
general, comienzan en valores diferentes de cero, tienen incrementos con medias
diferentes de cero, varianzas diferentes por unidad de tiempo y covarianzas diferentes de cero.
7
La desigualdad de Chebyshev afirma que para una variable aleatoria X y δ > 0:
n
o
Var( X )
IP X − IE( X ) ≥ δ ≤
δ2
33
Una variable X (t) sigue un movimiento geométrico browniano si obedece una
ecuación diferencial estocástica de la forma
dX (t) = µX (t)dt + σX (t)dW (t)
Con X (0) = x0 , la solución de (2.36) es8
√
1 2
X (t) = x0 exp
µ − σ t + σφ t .
2
(2.36)
(2.37)
X (t) es siempre positivo. Una vez que tome cero, el valor de X (t) será siempre
cero9 .
Ejemplo 2.6.1. El precio de una acción X (t) sigue un movimiento geométrico
browniano de la forma
dX (t) = 0.12X (t)dt + 0.4X (t)dW (t)
La acción vale 100 hoy. ¿Cuál es el intervalo al 95 % de confianza para el precio de
la acción dentro de tres meses? Se sabe que el precio satisface (2.37). Por lo tanto
n
√o
X (t) = 100 exp 0.04t + 0.4φ t
La variable normal estándar φ está en el intervalo [-1.96,+1.96] con una confianza
del 95 %. Con t = 0.25, el precio estará entre 73.20 y 160.32 con una confianza del
95 %.
Observe que de (2.37) que el logaritmo de X (t) está distribuido normalmente
(condicional a X (0) = x0 ) como sigue
√
1 2
ln [ X (t)] = ln x0 + µ − σ t + σφ t
(2.38)
2
La esperanza y la varianza de ln[ X (t)] son
1 2
IE {ln [ X (t)]} = ln x0 + µ − σ t
2
8
(2.39)
Se proporciona una prueba en la sección de cálculo de Itô.
La razón intuitiva por la que cero es un estado absorbente es: si el precio de un activo hoy
fuera cero con la expectativa más leve de que tome un valor positivo más adelante, un arbitrageur
podría comprar el activo a discreción y sin ningún costo, creando una máquina de dinero.
9
34
Var {ln [ X (t)]} = σ2 t
(2.40)
X (t), es obviamente la exponencial de la variable normal definida en (2.38). Por lo
tanto, se sigue que una distribución lognormal (una variable lognormal -al grado
de ser un nombre poco apropiado- puede ser definida como la exponencial de una
variable aleatoria normal). Específicamente, la función de distribución lognormal
es
IP { X (t) ≤ x } = √
1
2πtσX

h
i2 


Z x
 1 ln X − ln x0 + µ − 21 σ2 t

exp −
dX
×


σ2 t
−∞
 2

(2.41)
Como una X (t) lognormal también significa una normal ln X (t), la expresión
(2.41) puede redefinirse con una función de densidad de una normal como integrando. De hecho un cambio de variables
h
i
ln X − ln x0 + µ − 12 σ2 t
√
(2.42)
u≡
σ t
da como resultado
1 2
Z ln X−[ln x0 +√(µ− 2 σ )t]
1 2
1
σ t
IP { X (t) ≤ x } = √
e− 2 u du
2π −∞
h
i

 ln X − ln x0 + µ − 12 σ2 t 
√
=Φ
.


σ t
(2.43)
La función de densidad lognormal se puede obtener como sigue10 , sean f ( X ) y
g(Y ), con Y = h( X ), entonces
dY f ( X ) = g (Y ) = g [h( X )] h0 ( x )
dX
En este caso Y = ln X y

h
i2 


1 2


1
1 ln X − ln x0 + µ − 2 σ t
exp −
g (Y ) = √


σ2 t
σ 2πt
 2

10
Utilizando el teorema de cambio de variable, consultar Mood, A. M. et al.
35
con
0 h ( x ) = 1 X
se obtiene

h
i2 


1
2
 1 ln X − ln x0 + µ − 2 σ t

1
√
f (X) =
exp −


σ2 t
σX 2πt
 2

para X > 0 y f ( X ) = 0, en otro caso.
2.6.1.
Momentos de un movimiento geométrico browniano
La función generadora de momentos de una variable Y ∼ N (m,υ2 ) es
1 2 2
λY
IE[e ] = exp mλ + υ λ
(2.44)
2
si se define
Y = ln X (t)
entonces, la función generadora de momentos de una normal es una expresión
directa de los momentos de una distribución lognormal
1 2 2
λ
IE[ X (t)] = exp mλ + υ λ
(2.45)
2
con
1 2
m = ln x0 + µ − σ t
2
(2.46)
υ2 = σ2 t.
De estas ecuaciones se obtiene el momento de orden λ en t
1 2
1 2 2
λ
λ
IE[ X (t)] = x0 exp λ µ − σ t + λ σ t
2
2
(2.47)
La esperanza de X (t), condicional a X (0) = x0
IE[ X (t)] = x0 exp(µt)
(2.48)
36
el segundo momento
h
i
IE[ X (t)2 ] = x02 exp 2µt + σ2 t
(2.49)
h
i
Var [ X (t)] = IE X (t)2 − [IEX (t)]2
h
i
= x02 exp(2µt) exp(σ2 t) − 1
(2.50)
y la varianza
La mediana, es decir, el valor de X (t) en el que la probabilidad acumulada definida en (2.41) es 50 %, es
1 2
(2.51)
mediana [ X (t)] = x0 exp µ − σ t
2
ésta es la ecuación (2.37) con φ = 0 (el punto mediano de una distribución normal
estándar). En general, el cuantil de una distribución lognormal es
1 2
Cuantilk [ X (t)] = x0 exp µ − σ + zk σ t
(2.52)
2
donde zk se define como
k ≡ Φ(zk )
En k = 50 %, zk = 0, (2.52) se reduce a (2.51). La moda –el punto máximo de la
función de densidad– se obtiene al igualar a cero la derivada respecto a X de la
función de densidad (es decir, del integrando en (2.41))
3 2
moda [ X (t)] = x0 exp µ − σ t
(2.53)
2
Por lo tanto
moda < mediana < media
La desigualdad mediana < media es solo una expresión del sesgo a la izquierda
de la distribución lognormal. Lo que significa que es probable que una realización
de X (t) será más pequeña que su esperanza x0 eµt .
Reescribiendo la ecuación (2.36) como
dX (t)
= µdt + σdW (t)
X (t)
(2.54)
37
y observando la dinámica de dX/X la media aumentará con el tiempo para una
µ positiva. La varianza seguirá aumentando con el tiempo. Cuando el horizonte
de tiempo va al infinito, la distribución normal degenera hacia una línea recta,
resultando una distribución con varianza infinita.
Observe también que de (2.54) el rendimiento dX/X se distribuye normalmente con media µ dt y varianza σ2 dt. La comparación de (2.54) y (2.38) muestra
que la tendencia dX/X y d ln X difieren por 1/2σ2 dt. A diferencia del cálculo ordinario donde d ln X = dX/X se necesitan nuevas reglas de cálculo para abordar
el movimiento browniano. La siguiente sección tratará sobre este tema.
2.7
2.7.1.
Cálculo de Itô
Integrales de: Riemann-Stieljes, Stratonovitch e Itô
En las secciones (2.4) y (2.6) se presentó el movimiento aritmético browniano
y el movimiento geométrico browniano ambos en sus formas diferencial e integral, sin explicar la relación entre ambas. Con este objetivo, es necesario dar el
significado a la expresión
Z t
f (s)dW (s)
(2.55)
0
donde, para dar ejemplos, f (s) es σ en el modelo del movimiento browniano
aritmético y σS en el modelo del movimiento geométrico browniano. Tal vez el
lector tenga conocimiento del cálculo y puede ser tentado a utilizar la definición
convencional de la integral de Riemann-Stieljes para evaluar (2.55). Intente eso.
Primero, particione el intervalo de tiempo (0,t) en subintervalos, 0 = s0 < s1 <
· · · < sn−1 < sn = t. En este contexto la integral se puede definir como
Z
t
f (s)dW (s) =
0
lim
maxi |si+1 −si |→0
n −1
X
f (b
si ) [W (si+1 ) − W (si )]
(2.56)
i =0
donde si ≤ b
si ≤ si+1 , para i = 0,1, . . . ,n − 1. Es un resultado bien conocido que en
un contexto determinista, no importa donde esté si en el subintervalo (si , si+1 ), la
integral de Riemann-Stieljes converge hacia el mismo valor11 . Se puede ser probar
que, mientras f no sea estocástica en (2.56), la posición de b
si es irrelevante y la
11
cuando las condiciones de convergencia se cumplen.
38
integral de Riemann-Stieljes existe. Por ejemplo, considere la forma diferencial de
un movimiento aritmético browniano
dX (t) = µdt + σdW (t)
(2.57)
Porque σ no es estocástica, utilizando la integral de Riemann-Stieljes
t
Z
Z
t
Z
0
0
t
dW (s)
ds + σ
dX (s) = µ
(2.58)
0
y la forma integral de un movimiento browniano aritmético es
X (t) = X (0) + µt + σW (t)
(2.59)
Sin embargo, cuando f (s) es estocástica, por ejemplo, en un movimiento geométrico browniano donde f (s) = σS(s), el uso de la integral de Riemann-Stieljes
puede ser problemático como se muestra en el siguiente ejemplo
Ejemplo 2.7.1. Se desea evaluar
t
Z
W (s)dW (s)
0
Para que la integral de Riemann-Stieljes converja, es necesario verificar que la
posición de b
si en el subintervalo (si , si+1 ) no afecte el valor de la integral según lo definido en (2.56). Para hacer esto, calcule la diferencia entre la integral
–denotada por J– en b
si = si+1 , y la integral –denotada por I– en b
si = si . También,
por simplicidad, suponga n subintervalos de igual longitud ∆s cada uno, es decir,
∆s = si+1 − si , para i = 0,1 . . . , n − 1, y n∆s = t
I ≡ lim
n −1
X
∆ s →0
J ≡ lim
∆ s →0
W (si ) [W (si+1 ) − W (si )]
(2.60)
W (si+1 ) [W (si+1 ) − W (si )]
(2.61)
i =0
n −1
X
i =0
entonces
IE ( J − I ) =
n −1
X
i =0
(si+1 − si ) = n∆s = t
(2.62)
39
n −1 n
X
[W (si+1 ) − W (si )]2
o2
(2.63)
i =0
h
i2
= φ12 (s1 − s0 ) + φ22 (s2 − s1 ) + · · · + φn2 (sn − sn−1 )
= (∆s)
2
n −1
X
φi4 +
XX
φi2 φ2j (si − si−1 )(s j − s j−1 )
i6= j
i =0
donde las φ0 s son variables independientes normales estándares. Se sigue que
"
2
IE ( J − I ) = lim
∆s→0
+ IE
(
(∆s)
2
)
φi4
i =0

X X

IE
n −1
X
φi2 φ2j (si − si−1 )(s j − s j−1 )
#


i6= j
i
h
= lim 3n(∆s)2 + n(n − 1)(∆s)2
∆s→0
h
i
2
= lim 2t∆s + t
∆s→0
2
=t .
Entonces la varianza de la diferencia entre las integrales es
Var( J − I ) = IE( J − I )2 − [IE( J − I )]2 = t2 − t2 = 0
(2.64)
La diferencia ( J − I ) tiene media t y varianza cero. Se dice que converge a t en
media cuadrática. Formalmente, se puede definir la convergencia en media cuadrática en este contexto como
lim IE
n→∞
n −1 n
X
2
[W (si+1 ) − W (si )] − t
o2
=0
(2.65)
i =0
A partir de las definiciones de I y J en (2.64) y (2.65) se concluye que éstas son
afirmaciones equivalentes. Los resultados anteriores de convergencia se obtienen
aún si los subintervalos de tiempo son desiguales.
Dado que el límite cambia con la posición del b
si , la integral de Riemann–
Stieljes no converge. Por lo tanto se debe definir una nueva integral (para pagar
el costo). Tal integral –a diferencia de la integral de Riemann-Stieljes– incluye en
40
su definición la posición de b
si . Obviamente, hay un número infinito de posiciones
que si podría tomar en el subintervalo (si , si+1 ) ; así pues, técnicamente se podría
definir un número infinito de integrales. De hecho, dos de éstas que satisfacen la
condicioń pedida son
(i) La integral de Stratonovitch, donde b
si = 21 (si + si+1 ):
S−
t
Z
0
n −1 X
s i + s i +1
f
f (s)dW (s) = lim
[W (si+1 ) − W (si )]
2
∆s→0
(2.66)
i =0
(ii) y la integral de Itô, donde b
si = si :
I−
Z
t
f (s)dW (s) = lim
∆s→0
0
n −1
X
f (si ) [W (si+1 ) − W (si )]
(2.67)
i =0
Nota: Por conveniencia, se omitirá la “I −” al tratar integrales de Itô en lo que
sigue. Todas las integrales estocásticas se supondrá son integrales de Itô a menos
que se indique lo contrario.
La integral I en la ecuación (2.60) es un ejemplo de una integral de Itô. La
función f (si ) entonces se dice es no anticipativa, porque se evalúa al inicio del
subintervalo del tiempo (si , si+1 ). También algo importante de mencionar es la
trascendencia del símbolo “=” en (2.66) y (2.67).
A diferencia de la definición de la integral Riemann–Stieljes en un contexto
determinista (donde la integral es igual a un número), las integrales de Stratonovitch y de Itô pueden ser aleatorias, y son “iguales” a una cantidad en el sentido
que convergen hacia esa cantidad en media cuadrática. Ahora se discuten las integrales de Stratonovitch y de Itô en referencia al ejemplo previo.
Z
t
W (s)dW (s) = lim
0
∆s→0
n −1
X
Rt
0
W (s)dW (s)
W (si ) [W (si+1 ) − W (si )] = I
(2.68)
Ejemplo 2.7.2. ¿Cómo se puede calcular explícitamente el valor de
en el sentido de Itô?. Por la definición de integral de Itô
i =0
como en la ecuación (2.60). Se sabe ya del ejemplo previo que J − I es igual a t (en
41
el sentido de media cuadrática). Ahora evalúe I + J
I + J = lim
∆s→0
= lim
∆s→0
n −1
X
[W (si+1 ) + W (si )] [W (si+1 ) − W (si )]
i =0
n
−1 h
X
i
W ( s i +1 )2 + W ( s i )2 = W ( t )2
(2.69)
i =0
A partir de los valores de ( J − I ) y de ( J + I ), se infiere I y J:
I=
W ( t )2 − t
2
(2.70)
J=
W ( t )2 + t
2
(2.71)
y
Se puede comprobar que la integral de Stratonovitch, evaluada en b
si =
si+1 ], es
S−
Z
t
W (s)dW (s) = lim
0
∆s→0
n −1
X
i =0
W
s i + s i +1
2
1
2 [ si
+
[W (si+1 ) − W (si )]
1
= W ( t )2
(2.72)
2
Rt
el cuál es el valor de la integral 0 W (s)dW (s) de cálculo estándar, siendo W (·)
una función determinista.
Esta característica de la integral de Stratonovitch –es decir, que preserva las reglas del cálculo estándar– se han visto a menudo como una ventaja. La integral de
Itô, sin embargo, suele adecuarse mejor con la intuición económica. Por ejemplo,
la media y la varianza condicional de un proceso son calculadas por los agentes
económicos al tiempo t con base al conjunto de información disponible para ellos
al tiempo t. Por el contrario, hay un elemento de previsión perfecta en la definición de la integral de Stratonovitch que es difícil de justificar intuitivamente en
economía y finanzas. Además, la propiedad de martingala de la integral de Itô –
discutida más adelante– muestran tener características deseables para su cálculo.
Según lo mencionado antes, se utilizará exclusivamente la formulación de Itô al
discutir integrales y diferenciales estocásticas.
42
2.7.2.
Lema de Itô
El lema de Itô será la herramienta a utilizar en un número de desarrollos subsecuentes y, como tal, merece una atención especial. En su formulación heurística12 , es solo una expansión de Taylor cum una tabla de reglas de diferenciación
estocástica. Se discute ahora esta tabla y el lema, para después dar ejemplos y
aplicaciones.
La tabla de multiplicación consiste en los resultados del Cuadro 2.1.
Cuadro 2.1: Reglas básicas de diferenciación estocástica.
dt dW
dt 0
0
dW 0 dt
Recordando de la sección movimiento browniano aritmético que cualquier
cantidad más pequeña que dt (denominada o (dt)) es despreciable. Con este antecedente, se prueban las reglas de multiplicación:
• Regla 1: (dt)2 = 0
(dt)2 = o (dt)
(∆t)2
∆t→0 ∆t
ya que lim
(2.73)
= 0, la regla se cumple.
• Regla 2: dW × dt = dt × dW = 0 : dW × dt es una variable aleatoria con
IE(dWdt) = dtIE(dW ) = 0
(2.74)
y
Var(dWdt) = (dt)2 Var(dW )
√ = (dt)2 Var φ dt
= (dt)3
= o (dt)
12
es decir, es matemáticamente incorrecto. Como contrapunto, se dice también que un poco de
imprecisión ahorra toneladas de explicación.
43
Una variable aleatoria con varianza infinitesimalmente pequeña “igual a”
su esperanza, en este caso cero. Se utilizan comillas por que una variable
aleatoria, no puede en sentido estricto, ser igual a una cantidad conocida.
En este contexto “igual a cero” significa que “converge a cero en media cuadrática.”13
• Regla 3: (dW )2 = dt : la esperanza de (dW )2
√
IE(dW )2 = IE(φ dt)2 = dt
(2.75)
y varianza
h
i
h
i2
Var (dW )2 = IE(dW )4 − IE(dW )2
= (dt)2 IE(φ4 ) − (dt)2
= 2(dt)2
= o (dt)
(2.76)
Por lo tanto, la variable aleatoria (dW )2 converge a dt en media cuadrática
(“igual a” dt).
A continuación se establece el lema de Itô. Considere un proceso estocástico general, denominado proceso de Itô de la forma
dX (t) = µ [ X (t), t] dt + σ [ X (t), t] dW (t)
(2.77)
Considere una función f [ X (t), t]. f es dos veces diferenciable con respecto a X (t)
y t. Debido a la regla (dW )2 = dt es conveniente calcular la diferencial total de
f [ X (t), t] considerando los términos de segundo orden en una expansión en serie
de Taylor de la siguiente manera
∂f
∂f
1 ∂2 f
(dX )2
dX + dt +
∂X
∂t
2 ∂X 2
∂2 f
1 ∂2 f
+
dXdt +
(dt)2 + · · ·
2
∂X∂t
2 ∂t
d f [ X (t),t] =
13
Véase el ejemplo (2.7.1) para una discusión de la convergencia en media cuadrática.
(2.78)
44
De acuerdo con las reglas de diferenciación, se tiene
2
1 ∂2 f
1 ∂2 f 2
(
dX
)
=
µ
X
(
t
)
,t
dt
+
σ
X
(
t
)
,t
dW
(
t
)
[
]
[
]
2 ∂X 2
2 ∂X 2
1 ∂2 f =
µ [ X (t),t] (dt)2
2 ∂X 2
2
+ 2µ [ X (t),t] σ [ X (t),t] (dt)(dW ) + σ [ X (t),t] dt
=
(2.79)
1 ∂2 f 2
σ [ X (t),t] dt
2 ∂X 2
∂2 f
dXdt = 0
∂X∂t
1 ∂2 f
(dt)2 = 0
2 ∂t2
(2.80)
(2.81)
Al sustituir (2.77), (2.79), (2.80), y (2.81) en (2.78), se obtiene el lema de Itô:
∂f
∂f
1 ∂2 f 2
d f [ X (t),t] =
µ [ X (t),t] +
+
σ [ X (t),t] dt
∂X
∂t
2 ∂X 2
∂f
σ [ X (t),t] dW (t)
+
∂X
(2.82)
El lema expresado en su forma integral es
f [ X (t),t] = f [ X (0),0]
Z t
∂f
∂f
1 ∂2 f 2
+
µ [ X (s),s] +
+
σ [ X (s),s] ds
∂X
∂s
2 ∂X 2
0
Z t
∂f
+
σ [ X (s),s] dW (s)
0 ∂X
(2.83)
Cuando f no es una función explícita de t, se tiene una versión más simple de
(2.82):
∂f
1 ∂2 f 2
d f [ X (t)] =
µ [ X (t),t] +
σ [ X (t),t] dt
∂X
2 ∂X 2
∂f
+
σ [ X (t),t] dW (t)
(2.84)
∂X
45
Las expresiones anteriores aplican a procesos de Itô en general y serán utilizados
en el contexto de procesos estocásticos en particular. Por ejemplo, para el movimiento browniano geométrico, µ[ X (t), t] = µX y σ[ X (t), t] = σX. Las ecuaciones
(2.82) y (2.84) se transforman en:
∂f
∂f
1 ∂2 f 2 2
∂f
d f [ X (t),t] =
µX +
+
σ X dt +
σXdW (t)
(2.85)
2
∂X
∂t
2 ∂X
∂X
y
d f [ X (t)] =
1 ∂2 f 2 2
∂f
∂f
µX +
σ X dt +
σXdW (t)
2
∂X
2 ∂X
∂X
(2.86)
Ejemplo 2.7.3. Forma integral del movimiento geométrico browniano. Se desea
obtener la forma integral correspondiente a la ecuación diferencial estocástica
dX (t) = µX (t)dt + X (t)dW (t).
Sea f [ X (t)] = ln X (t). Entonces
∂f
1
= ,
∂X
X
y
∂2 f
1
=− 2
2
∂X
X
Al sustituir los valores de las derivadas en (2.86) se obtiene
1 d ln X (t) = µ − σ2 dt + σdW (t)
2
(2.87)
Observe que
1 d ln X (t) = µ − σ2 dt + σdW (t)
2
1
= µdt + σdW (t) − σ2 dt
2
dX (t) 1 2
=
− σ dt
X (t)
2
(2.88)
Observe también que si X es una variable real, la derivada d ln X = dX . Sin
X
embargo, si X (t) es conducida por un movimiento geométrico browniano, esta
regla no se cumple, porque se tiene un término adicional: 12 σ2 dt, como en (2.88).
Integrando (2.87) de 0 a t
Z t
Z
d ln X (s) =
0
0
t
1 µ − σ2 ds +
2
Z
t
σdW (s)
0
46
se obtiene
1 ln X (t) = ln X (0) + µ − σ2 t + σW (t)
2
aplicando la exponencial de ambos lados se obtiene
X (t) = X (0) exp
1 2
µ − σ t + σW (t) .
2
Ejemplo 2.7.4. Paradoja de Siegel. El tipo de cambio US dólar/Euro X sigue un
movimiento geométrico browniano
dX
= µdt + σdW
X
Denote por Y el tipo de cambio Euro/US dólar. Entonces Y ≡ 1/X, y
∂Y
1
= − 2,
∂X
X
y
∂2 Y
2
= 3
2
∂X
X
si se sustituyen las derivadas en (2.86) se obtiene la dinámica del tipo de cambio Euro/dólar
1 2 2 2
1
1
σ X dt − 2 σXdW
dY = − 2 µX +
3
2X
X
X
h
i
1
dY =
σ2 − µ dt − σdW
X
dY
= σ2 − µ dt − σdW
(2.89)
Y
Una comparación de las ecuaciones diferenciales estocásticas para X e Y puede revelar una paradoja de dimensiones interesantes:
1. Si σ2 > µ > 0, entonces IE(dY/Y ) y IE(dX/X ) son positivas, y X e Y van a
infinito cuando el tiempo va al infinito, aunque Y = 1/X.
2. Si σ2 = 2µ, entonces IE(dY/Y ) = IE(dX/X ). Es decir, uno debería esperar
que el tipo de cambio Euro/dólar y el tipo de cambio dólar/Euro crezcan a
la misma tasa. Por ejemplo, si σ2 = 2µ = 0.1 %, y X0 = Y0 = 1 en el año
cero, entonces uno debe esperar que tanto X como Y sean 1.0005 (ó eµ ) un
año después.
47
3. El resultado “intuitivo”: IE(dY/Y ) = −IE(dX/X ) (o sea, IE(Y ) = 1/IE( X )
para toda t) se obtiene solamente cuando σ = 0, es decir, en un mundo
determinista.
La paradoja se llama la paradoja de Siegel y es la expresión de la desigualdad de
Jensen14 .
Ejemplo 2.7.5. Funciones potencia. Una variable X sigue un movimiento geométrico browniano
dX
= µdt + σdW
X
Encuentre el proceso seguido por la variable Y = X n . Las derivadas son
∂Y
= nX n−1
∂X
y
∂2 Y
= n ( n − 1 ) X n −2
∂X 2
En virtud de (2.86), el proceso seguido por Y es
dY
1
2
= nµ + n(n − 1)σ dt + nσdW
Y
2
(2.90)
Por lo tanto, una variable aleatoria lognormal elevada a la potencia n es también
una variable aleatoria lognormal. Observe dos aplicaciones de (2.90)
1. La esperanza de Y = X n se sigue directamente:
1
n
2
n
IE [ X (t)] = X (0) exp nµ − n(n − 1)σ t.
2
(2.91)
Ésta es la fórmula para los momentos de una caminata aleatoria lognormal.
Por lo tanto se ha recuperado con el lema de Itô a (2.47), la cual se había
obtenido en la sección anterior usando la función generadora de momentos
de una variable aleatoria normal. Resulta que el lema de Itô proporciona
una manera de calcular los momentos de procesos más generales. Se tratará
sobre este punto en la siguiente sección.
14
La desigualdad de Jensen consiste en que para una función convexa f y una variable aleatoria
X:
IE[ f ( X )] ≥ f [IE( X )].
48
2. La esperanza del valor presente P
Z
∞
−rt
n
e X dt
P = IE
0
Z ∞
e−rt IE( X n )dt
=
0
también se puede calcular. De la ecuación (2.91), la esperanza del valor presente es
Z ∞
1
n
2
X (0) exp nµ − n(n − 1)σ tdt
P=
2
0
n
X (0)
=
r − nµ − 12 n(n − 1)σ2
Siempre que el denominador sea positivo y n > 1, la esperanza del valor
presente aumenta con µ y σ.
Ejemplo 2.7.6. Contratos a plazo. Se sabe que el precio forward F al tiempo t de
un activo que no paga dividendos con precio X a ser entregado al tiempo T ≥ t
es
F = Xer(T −t) .
Suponga que X sigue un movimiento geométrico browniano
dX
= µdt + σdW
X
y
∂F
= e −r ( T − t )
∂X
∂F
= −rXe−r(T −t)
∂t
∂2 F
=0
∂X 2
En virtud de (2.85), la dinámica para F es
dF
= (µ − r )dt + σdW.
F
49
Rt
Ejemplo 2.7.7. La integral 0 W (s)dW (s). Recordando el cálculo directo de la inRt
tegral 0 W (s)dW (s), que se había calculado con algo de trabajo y principios básicos en la subsección anterior. Con este objetivo, se utilizará la forma integral del
lema de Itô. Sea
X (t) ≡ W (t) y f [ X (t)] ≡ W (t)2
Entonces
∂f
= 2W
∂X
∂f
=0
∂t
∂2 f
=2
∂X 2
De la ecuación (2.83), con µ = 0 y σ = 1, se tiene que
2
Z
2
t
W ( t ) = W (0) +
t
Z
ds +
2W (s)dW (s)
o
0
Por lo tanto, el resultado es
t
Z
W (s)dW (s) =
o
Ejemplo 2.7.8. La integral
Rt
0
W 2 (t) − t
2
sdW (s). Sean
X ( t ) ≡ W ( t ),
y
f [ X (t)] ≡ tW (t)
y calculando las derivadas
∂f
=t
∂X
∂f
= W (t)
∂t
∂2 f
=0
∂X 2
Entonces la integral bajo estudio se obtiene directamente de (2.83):
Z
0
t
sdW (s) = tW (t) −
Z
t
W (s)ds.
0
50
Ejemplo 2.7.9. La expresión
Z t IE exp
0
1
− λ2 ds + λdW (s)
2
Sea X una variable conducida por un movimiento browniano aritmético
1
dX = − λ2 dt + λdW
2
con X (0) = 0. Según lo mostrado anteriormente, la forma integral para X (t) es
Z t
X (t) =
0
1
− λ2 ds + λdW (s)
2
Con Y (t) ≡ exp[ X (t)], se tiene
∂Y
∂2 Y
=
= exp [ X (t)]
∂X
∂X 2
Por la ecuación (2.86)
dY
= λdW
Y
De esta manera la esperanza al tiempo cero es
IE[Y (t)] = Y (0) = 1
Por sustitución, esto implica la siguiente igualdad al tiempo cero
Z t 1 2
IE exp
− λ ds + λdW (s)
=1
2
0
(2.92)
Como se discutirá más adelante, se dice que Y (t) es una martingala puesto que
su valor esperado es siempre 1 en este caso. La ecuación (2.92) es particularmente
relevante en el Teorema de Girsanov15 y temas relacionados. También observe
que la ecuación (2.92) habría podido ser deducida directamente de la expresión
de la función generadora de momentos del movimiento browniano aritmético.
A continuación se discutirá la versión multidimensional del lema de ltô y se
proporcionan algunos ejemplos ilustrativos.
15
Consultar capítulo 7 de Venegas, M., F. (2006).
51
2.8
Lema de Itô multidimensional
Considere las variables X1 , X2 , . . . , Xn conducidas por procesos de Itô de la
forma
e (t), t]dt + σi [ X
e (t), t]dWi (t)
dXi (t) = µi [ X
e (t) es un vector renglón de dimensión n definido como
para toda i = 1,2, . . . ,n. X
X1 , X2 , . . . , Xn . Cada variable Xi es caracterizada por su propia tendencia (drift)
µi , varianza σi y procesos de Wiener dWi . Mientras que estos procesos dWi siguen distribuciones normales con media cero y varianza dt según lo explicado
antes, no son iguales en el sentido de que cada uno se muestrea de diferente distribución normal estándar. Suponga coeficientes de correlación constantes entre
los procesos de Wiener, para toda i,j = 1, 2, . . . , n
dWi dWj = ρij dt
(2.93)
donde −1 ≤ ρij ≤ 1, y ρij = 1 cuando i = j. Se puede inferir el lema de Itô para
una función de la forma f ( X1 ,X2 ,t). Recuerde que:
dWi dt = 0
(2.94)
La expansión de Taylor para la función f es:
d f ( X1 , . . . ,Xn ,t) =
∂f
∂f
dXn
dX1 + · · · +
∂X1
∂Xn
n
∂f
1 X ∂2 f
+ dt +
dXi dX j ,
∂t
2
∂Xi ∂X j
i,j=1
al simplicar términos se sigue que:


n
n
2
2
X
X
X
∂ f
∂f
∂f
1
∂ f 
df =
µi
+
+
σi2 2 +
ρij σi σj
dt
∂Xi
∂t
2
∂Xi ∂X j
∂Xi
i =1
n
X
+
i =1
i =1
σi
∂f
dWi
∂Xi
i6= j
(2.95)
52
En el caso particular de un movimiento geométrico browniano de dos variables:
h
i
h
i
e (t),t = µ2 X2 ;
e (t),t = µ1 X1 ; µ2 X
µ1 X
h
i
h
i
e (t),t = σ1 X1 ; σ2 X
e (t),t = σ2 X2 ;
σ1 X
e (t) es ( X1 , X2 ). Por lo tanto
donde X
"
∂f
∂f
∂f
∂2 f
d f ( X1 ,X2 ,t) =
µ 1 X1 +
µ 2 X2 +
+
σ1 σ2 ρ12 X1 X2
∂X1
∂X2
∂t
∂X1 ∂X2
#
1 ∂2 f 2 2 1 ∂2 f 2 2
∂f
∂f
+
σ2 X2 dt +
σ2 X2 dW2 .
σ1 X1 +
σ1 X1 dW1 +
2
2
2 ∂X1
2 ∂X2
∂X1
∂X2
(2.96)
Ejemplo 2.8.1. El precio en moneda extranjera de un activo. Se desea identificar,
por ejemplo, el proceso estocástico seguido por el precio en dólares de E.U. de un
activo británico. Si X1 y X2 , definidos respectivamente como el precio del activo
en libras esterlinas y el tipo de cambio (medido como el número de dólares de
E.U. por libra esterlina), obedecen los siguientes procesos:
dX1
= µ1 dt + σ1 dW1
X1
y
dX2
= µ2 dt + σ2 dW2
X2
con
dW1 dW2 = ρ12 dt
Sea Y ≡ f ( X1 , X2 ) = X1 X2 el precio en dólares de E.U. del activo británico. Entonces se puede utilizar la ecuación (2.96) con
∂f
∂f
∂f
= X2 ;
= X1 ;
=0
∂X1
∂X2
∂t
∂2 f
∂2 f
∂2 f
= 1;
=
=0
∂X1 ∂X2
∂X12
∂X22
para obtener el proceso seguido por Y
dY
= (µ1 + µ2 + σ1 σ2 ρ12 ) dt + σ1 dW1 + σ2 dW2
Y
53
El proceso para Y se puede expresar también en función de un solo proceso de
Wiener W:
q
dY
= (µ1 + µ2 + σ1 σ2 ρ12 ) dt + σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12 dW
(2.97)
Y
con dW definido como
dW = q
σ1 dW1 + σ2 dW2
σ12
+ σ22
.
(2.98)
+ 2σ1 σ2 ρ12
Se puede verificar fácilmente que los momentos de dW definido en (2.98), son
los momentos de un proceso de Wiener estándar (IE(dW ) = 0; IE[(dW )2 ] = dt)
como sigue


σ dW1 + σ2 dW2 
IE (dW ) = IE  q 1
σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12
=
σ1 IE (dW1 ) + σ2 IE (dW2 )
q
= 0.
σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12
2

IE (dW )2 = IE  q
σ1 dW1 + σ2 dW2
σ12
+ σ22

+ 2σ1 σ2 ρ12
"
σ2 (dW1 )2 + +σ22 (dW2 )2 + 2σ1 σ2 (dW1 )(dW2 )
= IE 1
σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12
σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12 dt
=
σ12 + σ22 + 2σ1 σ2 ρ12
#
= dt.
Ejemplo 2.8.2. Regla del cociente de dos movimientos geométricos brownianos.
Suponga que se tiene el siguiente sistema
(
dX1 = µ1 X1 dt + σ1 dW1 ,
dX2 = µ2 X2 dt + σ2 dW2 ,
con
Cov(dW1 ,dW2 ) = ρ12 dt,
54
y
σ12
.
σ1 σ2
Encuentre el proceso seguido por Y = f ( X1 , X2 ) = X1 /X2 . En este caso se tiene
que
∂f
1
∂f
X
∂f
=
,
= − 12 ,
=0
∂X1
X2
∂X2
∂t
X2
ρ12 =
∂2 f
1
= − 2,
∂X1 ∂X2
X2
∂2 f
= 0,
∂X12
∂2 f
2X
= 31 ,
2
∂X2
X2
La aplicación de (2.96) conduce a
dY
2
= µ1 − µ2 + σ2 − σ12 dt + σ1 dW1 − σ2 dW2
Y
ó
X2 dX1 − X1 dX2
2
−
σ
+
Y
σ
dY =
12
2
X22
(2.99)
(2.100)
Observe que la regla de diferenciación estocástica para el cociente es diferente
de la regla de la diferencial de un cociente en el caso de variables reales X1 y X2
en el término (σ22 − σ12 ).
2.9
Martingalas
El concepto de martingala desempeña un papel esencial en el modelado de
los mercados financieros y en la valuación teórica de muchos instrumentos financieros. En este sección se estudia la relación entre martingalas y el movimiento
browniano.
2.9.1.
Definiciones y ejemplos
Un proceso estocástico { Mn }n≥1 es una martingala si IE [ Mn ] es finita para
toda n y si
IE Mn+t M0 ,M1 , . . . ,Mn = Mn
(2.101)
Es decir, la observación de hoy del proceso es un estimador insesgado de los valores futuros de M. Si
IE Mn+t M0 ,M1 , . . . ,Mn ≥ Mn
(2.102)
55
entonces { Mn }n≥1 es una submartingala. Es una supermartingala si
IE Mn+t M0 ,M1 , . . . ,Mn ≤ Mn .
(2.103)
Las definiciones anteriores se cumplen para procesos discretos M. Análogamente,
se puede definir un martingala en tiempo continuo M como un proceso donde
IE( Mt ) es finita para toda t y
IEt [ MT ] = IE MT Ft = Mt
(2.104)
donde Ft es el conjunto de información acumulada hasta el tiempo t.
Ejemplo 2.9.1. Considere una caminata aleatoria donde
Mn = Z1 + Z2 + . . . + Zn
M(t) es la suma de variables aleatorias Zi que toman los valores ∆X > 0 y −∆X >
0 con probabilidad p y q, respectivamente. De esta manera, IE( Zi ) = ( p − q)∆X.
La esperanza condicional de Mn+1 , es
IE [ Mn+1 | M0 ,M1 , . . . ,Mn ] = IE [ Mn | M0 ,M1 , . . . ,Mn ]
+ IE [ Zn+1 | M0 ,M1 , . . . ,Mn ]
= Mn + ( p − q)∆X
La sucesión [ Mn − n( p − q)∆X ] es una martingala porque
IE Mn+1 − (n + 1)( p − q)∆X M0 ,M1 , . . . ,Mn = Mn − n( p − q)∆X
(2.105)
(2.106)
Esto resulta directamente de (2.105). Claramente, si p = q = 1/2, entonces Mn
es una submartingala. Si p > q, Mn es una submartingala. Si p < q, Mn es una
supermartingala.
Ejemplo 2.9.2. Considere la sucesión Mn definida por
Mn = Z1 Z2 . . . Zn
donde
IE [ Zi ] = 1
entonces
IEn [ Mn+1 ] = IEn [ Mn Zn+1 ]
= Mn IEn [ Zn+1 ]
= Mn
por lo que Mn es una martingala.
56
Ejemplo 2.9.3. El precio de un activo S es conducido por un movimiento geométrico browniano
dS
= µdt + σdW
S
Bajo estas condiciones
IEt [ST ] = St eµ(T −t)
Se concluye que St e−µ(T −t) es una martingala ya que
h
IEt ST e
µ( T −t)
i
= St .
El resultado anterior se debe a que los incrementos son conducidos por un movimiento browniano, que es una martingala. Si el movimiento browniano no tiene
tendencia (µ = 0), entonces el precio del activo St es una martingala.
2.9.2.
Martingalas y movimiento browniano
En esta sección se muestra que algunas expresiones del movimiento browniano son martingalas. Considere las expresiones
M1 (t) = W (t)
2
M2 (t) = W (t) − t
1 2
M3 (t) = exp λW (t) − λ t
2
(2.107)
(2.108)
(2.109)
Se afirma que las expresiones anteriores son martingalas. Considere a (2.107)
IE Wt Fs = IE Wt − Ws + Ws Fs
= IE (Wt − Ws ) + Ws Fs
= IE Wt − Ws Ft + Ws
= 0 + Ws .
57
Para (2.108)
h
h
i
i
2
2
2
2
2
2
IE Wt − Ws Fs = IE Wt − 2Wt Ws + Ws − Ws − Ws + 2Wt Ws Fs
h
i
= IE (Wt − Ws )2 + 2Wt Ws − 2Ws2 Fs
h
i
= IE (Wt − Ws )2 + 2Ws (Wt − Ws )Fs
h
i
= IE (Wt − Ws )2 Fs + 2Ws IE (Wt − Ws )Fs
h
i
= IE Wt2−s Fs + 2Ws IE Wt−s Fs
= t − s.
Por lo tanto,
h
i
2
2
IE Wt − Ws Fs = t − s.
Para (2.109)
1 2 1
2
IE exp λW (t) − λ t Fs = IE exp(λW (t))Fs + exp − λ (t − s)
2
2
Se sabe la función generadora de momentos de un proceso de Wiener por (2.15)
con µ = 0 y σ = 1, entonces
1 2
IE exp (λW (t)) Fs = exp − λ (t − s)
2
lo que resulta en
IE M3 (t)Fs = 1
pero M3 (s) = 1. Por lo tanto, M3 (t) es una martingala.
2.10
Notas
Los tecnicismos detrás de las integrales de Itô y del cálculo estocástico pueden
ser complicados. Øksendahl (2000) es una rigurosa pero accesible introducción
a los aspectos matemáticos de los procesos de Itô y el movimiento browniano.
Shreve, S. E., (2004) es particularmente amigable para estudiantes y tiene varias
aplicaciones en finanzas matemáticas.
Capítulo 3
Modelo de Black y Scholes: Marco
probabilista y “griegas”
3.1
Introducción
Con teoría de probabilidad como herramienta principal se obtiene la fórmula
que es solución al modelo de Black-Scholes (1973) , con la que se calcula el precio
de una opción europea de compra. Bajo las hipótesis de que el activo subyacente
es una acción que no paga dividendos durante la vida del contrato, que el comportamiento de los precios del activo subyacente es descrito por el movimiento
geométrico browniano y por neutralidad al riesgo, es posible calcular la función
de densidad del activo subyacente y entonces calcular el valor presente del valor
esperado del intrínseco, descontado al tipo de interés libre de riesgo; obteniendo
así por integración el valor presente de la prima de la opción europea de compra.
Y la opción europea de venta con características similares, se obtiene mediante la
condición de paridad para opciones europeas de compra y de venta. Asimismo, se
obtienen las sensibilidades del precio de una opción europea respecto a cambios
en las diferentes variables y parámetros que intervienen en el modelo de Black y
Scholes, las denominadas griegas. Algunos de los conceptos desarrollados en el
capitulo han sido tomados de Venegas (2006) .
60
3.2
Distribución del rendimiento logarítmico del activo subyacente
Considere un proceso de Wiener (Wt )t∈[0,T ] definido sobre un espacio fijo de
probabilidad con una filtración, (Ω, F , (Ft )t∈[0,T ] , IP). Se supone que el precio de
una acción al tiempo t, St , es conducido por el movimiento geométrico browniano
dSt = µSt dt + σSt dWt
(3.1)
En este caso, el parámetro de tendencia, µ ∈ IR, es el rendimiento medio esperado del activo subyacente y σ > 0 es su volatilidad instantánea, por unidad
de tiempo. El proceso dWt modela las fluctuaciones propias del mercado del subyacente y, como se sabe, satisface: dWt ∼ N (0,dt), IE[dWt ] = 0 y Var[dWt ] =
IE[(dWt )2 ] = dt.
El proceso {St }t≥0 es adaptado a la filtración {Ft }t≥0 . En efecto, una simple
aplicación del lema de Itô conduce a
1 (3.2)
d(lnSt ) = µ − σ2 dt + σdWt ,
2
lo que, a su vez, implica
1 2
S = S eσWt +(µ− 2 σ )t .
t
0
La expresión anterior es invertible, en el sentido que se puede despejar Wt . Por lo
tanto,
W
S
Ft = σ(Wt |s ≤ t) = σ(St |s ≤ t) = Ft .
Por último, es importante recordar que (3.1) es una notación simplificada para la
expresión
Z t
Z t
S t = S0 + µ
Su du + σ
Su dWu , t ∈ [0,T ].
0
0
Si se discretiza la ecuación (3.2) con ∆t = T − t, entonces
√
ln ST − ln St = µ − 12 σ2 ( T − t) + σ T − tE ,
donde E ∼ N (0,1). Por lo tanto,
ST
1 2
2
ln
∼N
µ − σ ( T − t),σ ( T − t) .
(3.3)
St
2
En otras palabras, el rendimiento logarítmico también tiene distribución normal
con la misma varianza del cambio porcentual de St , pero con parámetro de tendencia, µ − 12 σ2 menor al rendimiento medio esperado, µ.
61
3.3
Valuación neutral al riesgo
Cuenta bancaria:
Suponga que existe un sistema bancario en el que los agentes pueden prestar o pedir prestado a una tasa constante a todos los plazos, r, libre de riesgo
de incumplimiento, la cual se aplica en forma continuamente capitalizable.
Si un agente deposita M0 unidades monetarias, entonces su cuenta bancaria es Mt = M0 ert . Equivalentemente, el rendimiento en su cuenta bancaria,
durante un instante dt, satisface dMt = rt dt, con la condición inicial M0 .
Debido a la presencia de µ, la ecuación (3.1) no es independiente de las preferencias al riesgo de los agentes que participan en el mercado del subyacente. En
efecto, entre mayor sea la aversión al riesgo de un agente, mayor tiene que ser el
rendimiento medio esperado, µ, a fin de que el premio ν = µ − r le sea atractivo
al agente. Si se supone que todos los agentes son neutrales al riesgo, es decir,
no requieren de un premio para inducirlos a participar en el mercado, entonces
ν = 0, así, µ = r y de esta manera el rendimiento medio esperado de cualquier
activo es la tasa de interés libre de riesgo, r. Otra forma de medir el premio al
riesgo, de uso más frecuente, consiste en estandarizar ν por unidad de varianza,
es decir, λ = ν/σ. Como antes, si los agentes no requieren de un premio para
inducirlos a participar en el mercado, entonces λ = 0, lo cual implica, a su vez,
que µ = r. Si se escribe
dSt = rSt dt + σSt
µ−r
dt + dWt
σ
= rSt dt + σSt (λdt + dWt ) ,
bajo el supuesto de neutralidad al riesgo, es decir, λ = 0, se tiene que la ecuación
(3.1) se transforma en
dSt = rSt dt + σSt dWt ,
(3.4)
en cuyo caso, se dice que el movimiento browniano está definido sobre una medida de probabilidad neutral al riesgo. El concepto de valuación neutral al riesgo
es, sin duda, uno de los más importantes en el estudio de productos derivados.
62
3.4
Función de densidad del precio del subyacente
neutral al riesgo
En esta sección se obtiene la función de densidad del precio del activo subyacente bajo el supuesto de neutralidad al riesgo.
En vista del resultado (3.3) y en un mundo neutral al riesgo donde se cumple (3.4), se tiene que ST /St tiene una distribución log-normal con media (r −
1 2
2
2 σ )( T − t ) y varianza σ ( T − t ). Considere E ∼ N (0,1) y su función de densidad
1 2
1
φ(e) = √ e− 2 e ,
e ∈ IR.
2π
Si se define ahora
n
o
√
g(E ) := ST = St exp (r − 12 σ2 )( T − t) + σ T − t E ,
(3.5)
ln ST − (r − 12 σ2 )( T − t)
St
√
.
g −1 ( S T ) =
σ T−t
(3.6)
se tiene que
De esta manera, la función de densidad de ST dado St está dada por la expresión
fS
T | St
( s | St ) = φ ( g
−1
−1 dg (s) .
(s)) ds (3.7)
Observe, primero, que el Jacobiano de la transformación satisface
−1 dg (s) 1
ds = sσ√ T − t .
En consecuencia,
fS



T | St

1
( s | St ) = p
exp − 12 

2π ( T − t)σs

ln
 
s − (r − 1 σ2 )( T − t) 2 

St
2

√
. (3.8)

σ T−t

Esta función de densidad se utilizará para calcular el valor esperado del valor
intrínseco de una opción europea.
63
3.4.1.
Media y varianza del precio del subyacente en un mundo
neutral al riesgo
El valor esperado del precio del subyacente es una cantidad que sirve como
referencia para calcular el precio de ejercicio de la opción. A continuación se determina la media y varianza de la variable aleatoria ST . Observe primero que de
(3.6) se tiene que
ln s − (r − 12 σ2 )( T − t)
St
√
e=
,
σ T−t
lo cual implica que
√
1 2
s = St eeσ T −t+(r− 2 σ )(T −t) .
(3.9)
Por lo tanto, la diferencial satisface:
√
1 2
)( T −t)
ds = St eeσ T −t+(r− 2 σ
√
= sσ T − t de.
√
σ T − t de
(3.10)
Dado el cambio de variable anterior se procede ahora a calcular el valor medio de
ST , dado el valor actual St . De esta forma:
Z ∞
IE [ST |St ] =
s f S |S (s|St )ds
T t
0

 
 
s − (r − 1 σ2 )( T − t) 2 
Z ∞


ln
St
2
1
1

p
√
ds
exp − 2
=


σ T−t
2π ( T − t)σ
0


Z ∞
√
√
1 2
1 2
1
p
=
e− 2 e St eeσ T −t+(r− 2 σ )(T −t) σ T − t de
2π ( T − t)σ
−∞
Z ∞
√
1 2
1 2
1
√ e− 2 e eσ T −te+(r− 2 σ )(T −t) de
(3.11)
= St
2π
−∞
Z ∞
√
1 2
2
1
√ e− 2 (e −2σ T −te+σ (T −t)) er(T −t) de
= St
2π
−∞
Z ∞
√
1
2
1
√ e− 2 (e−σ T −t) de
= St er ( T − t )
2π
Z−∞∞
1 2
1
√ e− 2 u du
= St er ( T − t )
2π
−∞
r ( T −t)
= St e
,
√
donde u es tal que: u = e − σ T − t.
64
Como puede observarse, el valor esperado de ST |St es simplemente el valor
futuro del subyacente. El segundo momento de ST se calcula como sigue:
h
i Z ∞
2
s2 f S |S (s|St ) ds
IE ST |St =
T t
0

  

s − (r − 1 σ2 )( T − t) 2 
Z ∞


ln
St
2
s
1

p
√
=
exp − 2
ds


σ T−t
2π ( T − t)σ
0


Z ∞
√
1 2
1 2
1
2
√ e− 2 e e2[σ T −te+(r− 2 σ )(T −t)] de
= St
2π
Z−∞∞
√
1 2
1 2
1
√ e− 2 e +2σ T −te e2(r− 2 σ )(T −t) de
= St2
(3.12)
2π
−∞
Z ∞
√
1 2
1 2
2
2
1
2
√ e− 2 (e −4σ T −te+4σ (T −t)) e2[σ (T −t)+(r− 2 σ )(T −t)] de
= St
2π
Z−∞∞
√
1
2
2
1
√ e− 2 (e−2σ T −t) eσ (T −t)+2r(T −t) de
= St2
2π
−∞
Z ∞
1 2
1
2 σ2 ( T −t)+2r ( T −t)
√ e− 2 w dw
= St e
2π
−∞
= St2 eσ
2 ( T − t )+2r ( T − t )
= St2 e(σ
2 +2r )( T − t )
,
donde
√
w = e − 2σ T − t.
En consecuencia,
Var[ST |St ] = IE[S2T |St ] − (IE[ST |St ])2
= St2 e(σ
2 +2r )( T − t )
= St2 e2r(T −t) (e
− St2 e2r(T −t)
σ2 ( T − t )
− 1).
Si se define ζ (t,T ) de tal forma que
2
ln 1 + ζ (t,T ) = σ2 ( T − t),
entonces se puede escribir que
p
Var[ST |St ]
ζ (t,T ) =
.
IE[ST |St ]
(3.13)
65
Por último, se determina la moda, m, de la distribución de ST |St , es decir, se desea
encontrar m tal que
d
= 0.
(3.14)
f S |S (s|St )
ds T t
s=m
Para ello, primero, la notación se simplifica considerablemente al escribir

1
A(s) = − 
2
ln

s − (r − 1 σ2 )( T − t) 2
St
2

√
σ T−t
y
1
a=p
.
2π ( T − t)σ
Se sigue de (3.8) y (3.14) que
−
a
a A(m)
e
+ 2 e A(m) ( A0 (m)m) = 0,
2
m
m
lo cual implica que
A0 (m)m = 1,
equivalentemente
1 2
ln m
St − (r − 2 σ )( T − t )
1
√
√
= −1.
σ T−t
σ T−t
Por lo tanto,
3 2
( T −t)
m = St er(T −t)− 2 σ
.
En la Gráfica 3.1 se puede apreciar la gráfica de la función de densidad de ST ,
dado St , se observa que es positivamente sesgada.
3.5
Valuación neutral al riesgo de una opción europea
de compra
El precio de una opción de compra europea en t con precio de ejercicio K y
vencimiento en T, c = c(St ,t; T,K,r,σ) está dado por el esperado del valor intrínseco:
o
n
c = IE e−r(T −t) max(ST − K,0) Ft .
66
Gráfica 3.1: Función de densidad de ST |St .
Fuente: elaboración propia.
De esta manera,
c=e
−r ( T − t )
= e −r ( T − t )
−r ( T − t )
Z
∞
Z−∞∞
ZK
max(s − K,0) f S
(s − K ) f S
T | St
T | St
(s|St )ds
(s|St )ds
−r ( T − t )
Z
(s|St )ds − Ke
f S |S (s|St )ds
(3.15)
s>K T t

 2 

s
1
2
Z


ln St − (r − 2 σ )( T − t) 
1
−r ( T − t )
1

 ds
p
√
exp − 2
=e


σ T−t
2π ( T − t)σ
s>K



 2 

s
1 2
Z


ln St − (r − 2 σ )( T − t) 
1
−r ( T − t )
1


p
√
− Ke
exp − 2
ds


σ T−t
2π ( T − t)σs
s>K


=e
s>K
s fS
T | St
En lo que sigue, las dos integrales de (3.15) se denotarán, respectivamente, mediante I1 y I2 . Si ahora se utiliza el cambio de variable definido por (3.10), la
67
primera integral se calcula como
Z
1 − 1 e2 σ√T −t e+(r− 1 σ2 )(T −t)
−r ( T − t )
2
√
I1 : = e
St e 2 e
de
ln(K/St )−(r − 12 σ2 )( T −t) √
2π
e>
σ T −t
Z
1 − 1 ( e − σ √ T − t )2
√
de
(3.16)
= St √
e 2
1 2
ln(K/St )−(r + 2 σ )( T −t)
√
2π
e−σ T −t >
σ T −t
Z
1 2
1
√ e− 2 u du,
= St ln(St /K )+(r + 12 σ2 )( T −t) √
2π
−∞ < u <
σ T −t
donde se ha utilizado el hecho de que −E ∼ N (0,1) y el cambio de variable
√
u = e − σ T − t. Asimismo, a partir del cambio de variable de (3.10), la segunda
integral satisface
Z
1 − 1 e2
−r ( T − t )
√
I2 := − Ke
(3.17)
e 2 de
1 2
ln(K/St )−(r − 2 σ )( T −t)
√
2π
e>
σ T −t
Z
1 2
1
√ e− 2 e de.
= −Ke−r(T −t) ln(St /K )+(r − 12 σ2 )( T −t) √
2π
−∞ < e <
σ T −t
Escribiendo (3.16) y (3.17) se tiene que
Z
1 2
1
√ e− 2 u du
I1 + I2 : = St ln(St /K )+(r + 12 σ2 )( T −t) √
2π
−∞ < u <
σ T −t
Z
1 2
1
−r ( T − t )
√ e− 2 e de.
− Ke
ln(St /K )+(r − 12 σ2 )( T −t) √
2π
−∞ < e <
σ T −t
(3.18)
Por lo tanto, el precio de la opción está dado por:
c = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ),
(3.19)
donde la función Φ(d) es la función de distribución acumulada de E ∼ N (0,1),
es decir,
Z d
1 2
1
√ e− 2 e de
Φ(d) = IPE {E ≤ d} =
2π
−∞
= 1 − Φ(−d),
68
donde
ln St + (r + 21 σ2 )( T − t)
K
√
d1 = d1 (St ,t; T,K,r,σ) =
σ T−t
(3.20)
ln St + (r − 21 σ2 )( T − t)
K
√
d2 = d2 (St ,t; T,K,r,σ) =
σ T−t
√
= d1 − σ T − t.
(3.21)
y
3.6
Valuación neutral al riesgo de una opción europea
de venta
El precio de una opción de venta europea en t con precio de ejercicio K y
vencimiento en T, p = p(St ,t; T,K,r,σ ) está dado por:
n
p = IE e
−r ( T − t )
o
max(K − ST ,0) Ft .
A través de un análisis similar al de la sección anterior se puede mostrar que el
precio de una opción de venta del tipo europeo, p = p(St ,t; T,K,r,σ ), está dado
por
p = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St Φ(−d1 ).
(3.22)
Es importante notar que el precio de una opción europea de venta también se
puede obtener a través de la condición de paridad “put-call”
p + St = c + Ke−r(T −t) .
69
3.6.1.
Condición de paridad de opciones de venta y compra
A partir de (3.19) y (3.22) se puede establecer la condición de paridad de opciones de venta y compra (put-call):
p + St = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St Φ(−d1 ) + St
(3.23)
= Ke−r(T −t) (1 − Φ(d2 )) − St (1 − Φ(d1 )) + St
= Ke−r(T −t) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ) − St + St Φ(d1 ) + St
= c + Ke−r(T −t) .
La utilidad de la relación (3.23) radica en que una vez que se ha calculado el
precio de opción de compra c(St ,t), el precio de una opción de venta, p(St ,t),
con características similares se calcula mediante p = c − (St − Ke−r(T −t) ) o bien
p = c − V, donde V = V (St ,t) es el precio de un contrato forward.
3.7
Griegas del modelo de Black y Scholes
En esta sección se estudia la sensibilidad del precio de una opción europea ante cambios en las diferentes variables y parámetros que intervienen en el modelo
de Black y Scholes. Las razones de cambio del precio de una opción, ya sea de
compra o de venta, con respecto a las variables relevantes del modelo, ceteris paribus, reciben el nombre de letras griegas porque cada una de estas sensibilidades
esta asociada con una letra del alfabeto griego. Estas razones de cambio juegan
un papel importante en la administración del riesgo de mercado: coberturas delta,
gama y vega.
3.7.1.
Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y
Scholes
Lema 3.7.1. Lema fundamental de las griegas del modelo de Black y Scholes. Si
c = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ),
(3.24)
St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) = 0
(3.25)
entonces
70
donde
1 2
1
Φ0 (d) = √ e− 2 d .
2π
(3.26)
Demostración. En efecto, en virtud de (3.21), se sigue que
2
√
d22 = d1 − σ T − t
√
= d21 − 2σ T − td1 + σ2 ( T − t)
St
1 2
2
= d1 − 2 ln
+ r + σ ( T − t ) + σ2 ( T − t )
K
2
St
− 2r ( T − t)
= d21 − 2 ln
K
St
2
− 2 ln er(T −t)
= d1 − 2 ln
K
!
St er ( T − t )
2
= d1 − 2 ln
.
K
Por lo tanto,
1
1
− d22 = − d21 + ln
2
2
St er ( T − t )
K
!
,
aplicando la exponencial de ambos lados
e
− 21 d22
=e
− 12 d21
St er ( T − t )
K
!
.
(3.27)
Si se sustituye (3.26) y (3.27) en (3.25)
1 2
1 2
1
1
St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) = St √ e− 2 d1 − Ke−r(T −t) √ e− 2 d2
2π
2π
1 2
1 2
1
1
= St √ e− 2 d1 − Ke−r(T −t) √ e− 2 d1
2π
2π
1 2
1 2
St
St
= √ e − 2 d1 − √ e − 2 d1 = 0
2π
2π
se verifica el resultado en (3.25).
St er ( T − t )
K
!
71
3.8
Griegas de una opción europea de compra
Delta, ∆c
El cambio del precio de una opción de compra europea con respecto a un
cambio en el precio del subyacente, ceteris paribus, juega un papel muy importante
en la elaboración de estrategias de cobertura con opciones, la llamada cobertura
Delta. Esta razón de cambio entre el precio de la opción y el precio del subyacente
se denota por ∆c ≡ ∂c/∂St y se calcula como
∆c ≡
∂c
∂d
∂d
= Φ(d1 ) + St Φ0 (d1 ) 1 − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) 2 .
∂St
∂St
∂St
dado que
S
t
ln
+ (r − 12 σ2 )( T − t)
√
K
√
d2 =
= d1 − σ T − t,
σ T−t
entonces
∂d2
∂d
1
√
= 1 =
.
∂St
∂St
σSt T − t
Por lo tanto
h
i ∂d
1
∆c = Φ(d1 ) + St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 )
.
∂St
En virtud del lema fundamental de las griegas y de (3.25), se concluye un primer
resultado relevante,
0 ≤ ∆ c = Φ ( d1 ) ≤ 1
Es decir, existe una relación directa entre el precio de la opción y el precio del
activo subyacente. Un valor grande de ∆c significa que el precio de la opción es
muy sensible a cambios en el precio del subyacente. Recíprocamente, si la ∆c es
pequeña, entonces un cambio en el precio del activo subyacente afecta poco al
precio de la opción. Claramente, la pendiente de la recta tangente a c en St está
dada por ∆c , como se muestra en la Gráfica 3.2. Observe también que ∆c indica la
probabilidad de que la opción sea ejercida.
72
Gráfica 3.2: ∆c es la pendiente de la recta tangente a c en St .
Fuente: elaboración propia.
Gráfica 3.3: ∆c como función de St .
Fuente: elaboración propia.
La Gráfica 3.3 muestra a ∆c como función de St . Observe que si St → 0, entonces d1 → −∞, en cuyo caso ∆c = Φ(d1 ) → 0, y que si St → ∞, entonces d1 → ∞,
73
así ∆c = Φ(d1 ) → 1. En particular, si St = K, entonces

r + 12 σ2 ( T − t)
.
√
δ ≡ ∆c (K ) = Φ 
σ T−t

Observemos también que la elasticidad de c con respecto a St , es decir la razón de
cambios porcentuales entre c y St , está dada por
ηc,S =
∂c
∂ ln(c)
St
= c = Φ ( d1 ) .
∂St
∂ ln(St )
c
St
Análogamente, la razón de cambios porcentuales entre p y St , está dada por
η p,S
∂p
∂ ln( p)
St
p
=
=
= ( Φ ( d1 ) − 1) .
∂St
∂ ln(St )
p
St
Gama, Γc
La sensibilidad de la cobertura ∆c con respecto a un cambio en el precio del
subyacente, se define por Γc ≡ ∂2 c/∂St2 . Claramente, si Γc es pequeña, ∆c cambia lentamente cuando cambia el precio del activo subyacente, en cuyo caso el
rebalanceo (cambio en el número de unidades del subyacente y la opción) en el
portafolio no tiene que ser frecuente. Si, por el contrario, Γc es grande, entonces
∆c es muy sensible a cambios en el precio del subyacente y el rebalanceo tiene que
hacerse frecuentemente. En este caso, existe una exposición importante al riesgo
mercado cuando la cobertura ∆c se mantiene sin cambios durante períodos prolongados de tiempo. Γc se calcula como sigue
∂
∂St
∂c
∂St
=
∂∆c
∂Φ(d1 )
∂d
Φ 0 ( d1 )
√
=
= Φ 0 ( d1 ) 1 =
.
∂St
∂St
∂St
σSt T − t
Es decir,
Γc ≡
∂2 c
Φ 0 ( d1 )
√
=
> 0.
∂St2
σSt T − t
(3.28)
74
Observe que
√
√
σSt T − tΦ00 (d1 ) ∂d1 − Φ0 (d1 )σ T − t
∂Γc
∂St
=
2
2
∂St
σ2 St ( T − t)
St Φ00 (d1 ) ∂d1 − Φ0 (d1 )
∂St
√
=
.
2
σSt T − t
La Gráfica 3.4 muestra Γc como función de St .
Gráfica 3.4: Γc como función de St .
Fuente: elaboración propia.
Vega, υc
Uno de los supuestos del modelo de Black y Scholes es que la volatilidad se
mantiene constante en el tiempo. Sin embargo, en la práctica la volatilidad casi
nunca es constante. La razón de cambio del precio de una opción europea con
respecto a la volatilidad del subyacente, se denota por vc , se lee la “vega” de la
opción, y se calcula como
υc ≡
∂c
∂d
∂d
= St Φ0 (d1 ) 1 − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) 2
∂σ
∂σ
∂σ
(3.29)
75
y
√
∂d
∂d2
= 1 − T − t.
∂σ
∂σ
En consecuencia,
υc ≡
∂d
∂c
1
= St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 )
∂σ
∂σ
√
−r ( T − t ) 0
+ Ke
Φ (d2 ) T − t.
Con base en (3.25), se tiene que
√
vc = Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) T − t.
Equivalentemente,
√
vc = St Φ0 (d1 ) T − t > 0.
Es decir, existe una relación directa entre el precio de la opción y la volatilidad
del subyacente. Observe que si vc es grande, entonces un cambio en la volatilidad
impacta significativamente al precio de la opción. La Gráfica 3.5 muestra vc como
función de St .
Gráfica 3.5: vc como función de St .
Fuente: elaboración propia.
76
Theta, Θc
La razón de cambio del precio de la opción y la fecha de vencimiento, manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por θc y se calcula mediante
∂c
∂d
∂d
= St Φ0 (d1 ) 1 − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) 2 + rKe−r(T −t) Φ(d2 ).
∂T
∂T
∂T
√
Ahora bien, como d2 = d1 − σ T − t, entonces
∂d
σ
∂d2
,
= 1− √
∂T
∂T
2 T−t
por lo que
∂d
∂c
1
= St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 )
+ rKe−r(T −t) Φ(d2 )
∂T
∂T
Ke−r(T −t) σΦ0 (d2 )
√
+
.
2 T−t
Con base en (3.25) se sigue que:
θc ≡
∂c
Ke−r(T −t) σΦ0 (d2 )
√
= rKe−r(T −t) Φ(d2 ) +
∂T
2 T−t
σΦ0 (d2 )
−r ( T − t )
= Ke
rΦ(d2 ) + √
2 T−t
(3.30)
La variación de c al transcurrir el tiempo, denotada por Θc , está dada por
∂c
σΦ0 (d2 )
−r ( T − t )
Θc ≡
= −Ke
rΦ(d2 ) + √
.
(3.31)
∂t
2 T−t
En otras palabras, Θc es el cambio en el precio de la opción con respecto a una
reducción en la vida del contrato. Claramente, se cumple la siguiente igualdad:
Θc = −θc .
(3.32)
El signo de Θc es ambiguo, es decir, no se puede determinar de antemano si una
disminución en la fecha de vencimiento va a incrementar o disminuir el precio de
la opción.
77
Por último, note que la ecuación diferencial parcial de segundo orden y parabólica para el precio de una opción de compra, determinada con la metodología
de Black y Scholes
∂c 1 ∂2 c 2 2
∂c
σ St +
+
rSt − rc = 0,
2
∂t 2 ∂St
∂St
se puede reescribir en términos de las griegas ∆c , Γc y Θc como sigue
1
Θc + Γc σ2 St2 + ∆c rSt − rc = 0,
2
con la condición c(ST ,T ) = max(ST − K,0).
Kappa, κc
La razón de cambio del precio de la opción respecto al precio de ejercicio,
manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por κc y esta dada por
κc ≡
∂c
∂d
∂d
= St Φ p (d1 ) 1 − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) 2 − e−r(T −t) Φ(d2 )
∂K
∂K
∂K
∂d
1
= St Φ0 (d1 ) − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 )
− e −r ( T − t ) Φ ( d2 )
∂K
−r ( T − t )
= −e
Φ(d2 ) < 0.
(3.33)
Por lo tanto, existe una relación inversa entre el precio de ejercicio y el precio de
la opción.
Rho, ρc
La razón de cambio del precio de la opción respecto a la tasa de interés, manteniendo todas las otras variables fijas, se denota por ρc y se calcula como
ρc ≡
∂c
∂d
∂d
= St Φ0 (d1 ) 1 − Ke−r(T −t) Φ0 (d2 ) 2 + Ke−r(T −t) Φ(d2 )( T − t).
∂r
∂r
∂r
Dado que
∂d1
∂d
= 2
∂r
∂r
y junto con (3.25), se tiene que
∂c
= Ke−r(T −t) Φ(d2 )( T − t) > 0,
∂r
Es decir, existe una relación directa entre la tasa de interés y el precio de la opción:
si r crece, c aumenta, y si r decrece, c disminuye.
ρc =
78
3.9
Griegas de una opción europea de venta
En esta sección se calculan las griegas para una opción europea de venta
(“put"). En este caso, el precio teórico de una opción de venta obtenido mediante
la metodología de Black y Scholes p = p(St ,t; T,K,r,σ) satisface
p = Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St Φ(−d1 ).
(3.34)
Con base en (3.19) y (3.34), se sigue que
c − p = St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 ) − Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) + St Φ(−d1 )
= St (Φ(d1 ) + Φ(−d1 )) − Ke−r(T −t) (Φ(d2 ) + Φ(−d2 ))
= St − Ke−r(T −t) ,
es decir
p + St = c + Ke−r(T −t) .
(3.35)
La condición de paridad “put-call". Esta condición permite calcular las griegas de
una opción de venta cuando se conocen las griegas de una opción de compra. En
efecto, a partir de (3.35), se sigue que
∆ p = ∆c − 1.
(3.36)
Por lo tanto,
∂p
= Φ(d1 ) − 1 < 0.
∂St
La Gráfica 3.6 muestra a ∆ p como función de St .
−1 < ∆ p ≡
A continuación se calcula la “gama” de una opción de venta europea denotada
por Γ p . De la condición (3.36), se tiene que
∂
∂p
∂
∂c
=
.
∂St ∂St
∂St ∂St
Es decir,
Φ 0 ( d1 )
√
> 0.
(3.37)
σSt T − t
Ahora, se calcula la “vega"; υ p , de una opción de venta. A partir de (3.35), se
obtiene
∂p
∂c
Φ 0 ( d1 )
√
=
=
> 0.
∂σ
∂σ
σSt T − t
Γ p = Γc =
79
Gráfica 3.6: ∆ p como función de St .
Fuente: elaboración propia.
Por lo tanto,
√
υ p = υc = St Φ0 (d1 ) T − t > 0.
(3.38)
La razón de cambio de p con respecto de T, denotada por θ p , se calcula como
θp ≡
∂p
∂c
=
− rKe−r(T −t)
∂T
∂T
=
=
=
=
σΦ0 (d2 )
Ke
− rKe−r(T −t)
rΦ(d2 ) + √
2 T−t
σΦ0 (d2 )
−r ( T − t )
Ke
r (1 − Φ(−d2 )) + √
− rKe−r(T −t)
2 T−t
−
r
(
T
−
t) σΦ p ( d )
Ke
2
√
−Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) +
2 T−t
0 (d ) σΦ
2
−r ( T − t )
−Ke
rΦ(−d2 ) − √
.
2 T−t
−r ( T − t )
(3.39)
En consecuencia,
Θ p = −θ p = Ke
−r ( T − t )
σΦ0 (d )
−rΦ(−d2 ) + √ 2
2 T−t
.
Con base en (3.35), la variación de p con respecto a variaciones en K, denotada
80
por κ p , está dada por
κ p = κ c + e −r ( T − t )
= − e −r ( T − t ) Φ ( d2 ) + e −r ( T − t )
(3.40)
= (1 − Φ(d2 )) e−r(T −t)
= Φ(−d2 )e−r(T −t) > 0.
La variación de p con respecto a un cambio en r, denotada por ρ p , está dada por
ρp ≡
∂p
∂c
=
− ( T − t)Ke−r(T −t)
∂r
∂r
= Ke−r(T −t) Φ(d2 )( T − t) − ( T − t)Ke−r(T −t)
= (Φ(d2 ) − 1) Ke−r(T −t) ( T − t)
= −Φ(−d2 )Ke−r(T −t) ( T − t) < 0.
El Cuadro 3.1 muestra las griegas de una opción de compra y de venta.
(3.41)
81
Cuadro 3.1: Griegas del modelo de Black y Scholes.
Opción de compra
Opción de venta
Valor V
Valor B&S
St Φ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d2 )
Ke−r(T −t) Φ(−d2 ) − St Φ(−d1 )
Delta ∂V
∂St
Φ ( d1 )
Φ ( d1 ) − 1
0
Φ√
( d1 )
σSt T − t
0
Φ√
( d1 )
σSt T − t
√
St Φ 0 ( d1 ) T − t
√
St Φ 0 ( d1 ) T − t
Theta ∂V
∂t
n
−Ke−r(T −t) rΦ(d2 )
o
σΦ0 (d )
+ √ 2
2 T−t
n
Ke−r(T −t) − rΦ(−d2 )
o
σΦ0 (d )
+ √ 2
2 T−t
Kappa ∂V
∂K
− e −r ( T − t ) Φ ( d2 )
Φ(−d2 )e−r(T −t)
Ke−r(T −t) Φ(d2 )( T − t)
−Φ(−d2 )Ke−r(T −t) ( T − t)
2
Gamma ∂ V2
∂St
Vega ∂V
∂σ
Rho ∂V
∂r
Capítulo 4
Modelo de volatilidad estocástica de
Heston
4.1
Introducción
En este capítulo se discuten las características del modelo de Heston y obtiene
la variación del precio de la opción ante cambios en sus parámetros (las denominadas griegas). Se presenta la transformada fundamental de Lewis (2000) y la
fórmula general para calcular el precio de una opción bajo una clase general de
modelos de volatilidad estocástica. Se calculan precios de opciones plain vanilla
con la transformación de Lewis y se realiza un análisis de sensibilidad de precios
de opciones de compra con diferentes valores de los coeficientes de correlación
y volatilidad de la varianza y se comparan con precios obtenidos con modelo de
Black y Scholes (1973) con volatilidad promedio durante la vida de la opción para
ambos modelos.
4.2
El modelo de volatilidad estocástica de Heston
En 1993 Steve L. Heston en su artículo “A Closed-Form Solution for Options
with Stochastic Volatility” publicado en el Review of Financial Studies valúa una
opción sobre una acción con volatilidad estocástica. Una característica relevante
en el artículo de Heston es que obtiene las funciones características de las probabilidades neutrales al riesgo como soluciones de una ecuación diferencial parcial
de segundo orden. Por medio de estas probabilidades neutrales al riesgo se obtiene una fórmula similar a la de Black y Scholes para valuar una opción europea de
84
compra, el precio de la opción de venta se puede obtener con la paridad put-call1 .
Una característica notable en el modelo de Heston (1993) es que presenta una
fórmula cerrada para el precio de una opción con el supuesto de correlación entre
el precio del activo y su volatilidad. El precio de la opción se obtiene al calcular
la probabilidad de que una opción de compra expire dentro-del-dinero, aunque
dicha probabilidad no se puede calcular directamente, ésta se puede obtener a
través de la inversión de la función característica del logaritmo del precio del subyacente. La dinámica estocástica que conduce la volatilidad en el modelo Heston
se define a continuación. Suponga que el precio actual St de una acción es conducido por:
√
dSt
= µdt + vt dW1,t ,
St
donde µ es el parámetro de tendencia, y W1,t es un proceso de Wiener. La volati√
lidad vt es conducida por el proceso:
√
√
d vt = − β vt dt + δdW2,t
donde W2,t es un proceso de Wiener correlacionado con W1,t , i.e., Cov(dW1,t ,dW2,t ) =
ρdt. Para simplificar el modelo, aplicamos el lema de Itô para obtener el proceso
para la varianza vt , el cual se expresa como un proceso del tipo Cox, Ingersoll y
Ross (1985):
√
dvt = κ (θ − vt ) dt + σ vt dW2,t ,
(4.1)
En el contexto de los modelos de volatilidad estocástica, los parámetros θ, κ y σ, se
interpretan como la varianza de largo plazo, la tasa de reversión hacia la varianza
de largo plazo y la volatilidad de la varianza (a menudo denominada como la
volatilidad de la volatilidad), respectivamente.
Heston muestra que el precio al tiempo t de una opción de compra con tiempo
al vencimiento ( T − t), denotado por c(S,v,t), está dada por:
c(S,v,t) = St P1 − KP(t,T ) P2 ,
(4.2)
donde St es el precio spot del activo, K el precio de ejercicio de la opción y P(t,T )
es un factor de descuento del tiempo t a T. Por ejemplo, sea una tasa de interés
constante, r, entonces P(t,T ) = e−r(T −t) . El precio de una opción de venta europea
al tiempo t, se obtiene con la paridad put-call como sigue:
p(S,v,t) = c(S,v,t) + KP(t,T ) − St .
1 El
(4.3)
lector interesado en el desarrollo del modelo con el enfoque de ecuaciones diferenciales
parciales puede consultar Ortiz-Ramírez (2013).
85
Las cantidades P1 y P2 son las probabilidades de que la opción expire dentro-deldinero, condicionales a que el logaritmo del precio del subyacente, xt = ln(St ) =
x, y a la volatilidad vt = v, ambas al tiempo t. Para valuar opciones es necesaria
la dinámica neutral al riesgo, que en este caso esta expresada en términos de los
parámetros neutrales al riesgo κ y θ como sigue:
√
1
∗
dxt = r − vt dt + vt dW1,t
2
(4.4)
√
∗
dvt = κ (θ − vt ) dt + σ vt dW2,t .
A continuación se obtiene el proceso neutral al riesgo para el precio del subyacente y la varianza expresados en la ecuación anterior. Suponga que el precio de
la acción es conducido por:
√
dS
= µdt + vdW1 ,
S
donde S = St ,v = vt , dW1 = dW1,t . De la aplicación del lema de Itô, el proceso
para x = ln S es:
√
1
dx = µ − v dt + σ vdW1 .
(4.5)
2
√
Por su parte el proceso para la raíz cuadrada de la varianza v es:
√
√
d v = − β vdt + δdW2 ,
(4.6)
donde β y δ son parámetros, y dW2 = dW2,t . Aplicando el lema de Itô, el proceso
para la varianza v es el proceso de Cox, Ingersoll y Ross (1985):
√
dv = κ (θ − v) dt + σ vdW2 ,
(4.7)
donde κ = 2β, θ = δ2 /2β, y σ = 2δ. Al escribir (4.5) como el proceso neutral al
riesgo:
√
1
d ln S = r − v dt + (µ − r )dt + σ vdW1
2
√
1
= r − v dt + σ vdW1∗
2
donde r es la tasa de interés libre de riesgo, y:
µ−r
∗
W1 = W1 − √ t ,
v
(4.8)
86
entonces la versión neutral al riesgo del proceso en (4.7) para v es:
dv = κ (θ − v) dt − λdt + σdW2∗ ,
donde λ = λ(t,St ,vt ) es el premio al riesgo por volatilidad, y
λ
∗
W2 = W2 − t .
σ
(4.9)
(4.10)
Por lo tanto, los procesos para el precio de la acción y para la varianza son respectivamente:
√
1
(4.11)
d ln S = r − v dt + σ vdW1∗
2
y
dv = κ (θ − v) dt − λdt + σdW2∗
(4.12)
donde:
W1∗
W2∗

µ−r
W1 + √ t
v .
=
λ
W2 + σ t

(4.13)
Bajo la medida de probabilidad P: W1 ∼ N (0, T ) y W2 ∼ N (0,T ). Es necesaria
una nueva medida Q de tal manera que W1∗ ∼ N (0,T ) y W2∗ ∼ N (0,T ) bajo
√
Q. Por el Teorema de Girsanov, la medida Q existe si λ(t,St ,vt ) y (µ − r )t/ v
satisfacen la condición de Novikov. Como se explica en Heston (1993), el modelo
de consumo de Breeden (1979) aplicado al proceso CIR, produce un premio al
riesgo por volatilidad de la forma λ(t,St ,vt ) = λv. El proceso para la varianza en
(4.12) se transforma en:
dv = κ (θ − v) dt − λvdt + σdW2∗
κθ
= (κ + λ )
− v dt + σdW2∗
κ+λ
(4.14)
= κ ∗ (θ ∗ − v) dt + σdW2∗ ,
donde κ ∗ = κ + λ y θ ∗ = κθ/ (κ + λ) son los parámetros neutrales al riesgo. Si se
omite el asterisco de κ ∗ y θ ∗ , los procesos para el precio de la acción y la varianza
son:
√
1
∗
dxt = r − vt dt + vt dW1,t
2
(4.15)
√
∗
dvt = κ (θ − vt ) dt + σ vt dW2,t .
87
Las cuales son las ecuaciones en (4.4).
De acuerdo con la dinámica anterior, las probabilidades P1 y P2 se interpretan
como las probabilidades ajustadas al riesgo o neutrales al riesgo. Por lo tanto:
Pj = IP x T ≥ ln(K )xt = x,vt = v
(4.16)
para j = 1,2. Las probabilidades Pj se obtienen al invertir las funciones características definidas f j en:
1
1
Pj = +
2 π
Z
0
∞
"
#
e−iφ ln(K ) f j
Re
dφ
iφ
(4.17)
donde:
f j = exp Cj + D j v + iφx , con v = vt
(
#)
"
1 − g j ed j τ
κθ
Cj = rφiτ + 2
b j − ρσφi + d j τ − 2 ln
1 − gj
σ
#
"
b j − ρσφi + d j 1 − ed j τ
Dj =
σ2
1 − g j ed j τ
b j − ρσφi + d j
b j − ρσφi − d j
q
2
dj =
ρσφi − b j − σ2 (2u j φi − φ2 ).
gj =
√
En las ecuaciones anteriores τ = T − t es el tiempo al vencimiento, i = −1 es
la unidad imaginaria, u1 = 1/2,u2 = −1/2,b1 = κ + λ − ρσ y b2 = κ + λ. El parámetro λ representa el premio al riesgo por volatilidad como función del precio
del activo, el tiempo, la volatilidad. No obstante que (4.2) y (4.3) se consideran soluciones en forma cerrada, cada una requiere calcular dos integrales complejas en
(4.17), por lo que es necesario recurrir a algún método numérico para aproximar
las integrales y obtener el precio de la opción.
Por otro lado, sea xt = ln(St /S0 ) − µt, es posible expresar el modelo de Heston
en términos de (log–) rendimiento centrado xt y vt (Čížek et al. (2011) ). El proceso
es caracterizado por la transición Pt ( x,v|v0 ) para tener el (log-) rendimiento x y la
varianza v al tiempo t dado un rendimiento inicial x = 0 y varianza v0 al tiempo
t = 0. La dinámica temporal de Pt ( x,v|v0 ) es conducida por la siguiente ecuación
88
de Fokker-Planck (o forward Kolmogorov):
∂
∂2
∂
1 ∂
P = κ {(v − θ ) P} +
(vP) + ρσ
(vP)
∂t
∂v
2 ∂x
∂x∂v
1 ∂2
σ 2 ∂2
+
(
vP
)
+
(vP).
2 ∂x2
2 ∂v2
Al resolver esta ecuación se obtiene la siguiente fórmula semi-analítica para la
densidad de los rendimientos centrados de x, dado cambio en el precio en un
intervalo de tiempo t, de acuerdo con Dragulescu y Yakovenko (2002) :
1
Pt ( x ) =
2π
Z
+∞
−∞
eiξx+ Ft (ξ ) dξ,
(4.18)
donde:
Ωt
κθ
2κθ
Ωt Ω2 − γ2 + 2κγ
+
sinh
Ft (ξ ) = 2 γt − 2 ln cosh
,
2
2κΩ
2
σ
σ
q
γ = κ + iρσξ, y Ω = γ2 + σ2 (ξ 2 − iξ ).
A continuación se muestra la densidad marginal del modelo de Heston dada por
(4.18) para diferentes valores de ρ, con parámetros:
κ
2
θ
0.025
σ
ρ
x
0.225 -0.5,0,+0.5 (-0.5,0.5)
La Gráfica 4.1 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston
para diferentes valores de ρ y se compara con la densidad de una distribución
normal N ∼ (0,0.15). Se observa que el parámetro de correlación efectivamente
controla el sesgo de la densidad. Si ρ = −0.5 la densidad muestra sesgo negativo,
mientras que si ρ = +0.5, la densidad muestra sesgo positivo, en el caso de ρ = 0,
la densidad es simétrica.
89
Gráfica 4.1: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes
valores de ρ.
ρ = −0.5
−0 5
ρ=0
N
ρ = +0.5
+0 5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
‐0.5
‐0.4
‐0.3
‐0.2
‐0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fuente: elaboración propia.
De la misma manera muestra la densidad del modelo de Heston para diferentes valores de la volatilidad de la volatilidad σ con parámetros dados por:
κ
2
θ
σ
0.025 0.15,0.3,0.5
ρ
0
x
(-0.5,0.5)
90
Gráfica 4.2: Función de densidad marginal del modelo de Heston para diferentes
valores de σ.
σ = 0.15
σ = 0.3
N
σ = 0.5
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
00
0.0
‐0.5
‐0.4
‐0.3
‐0.2
‐0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fuente: elaboración propia.
La Gráfica 4.2 muestra la función de densidad marginal del modelo de Heston
para diferentes valores de σ y se comparacon la densidad de una distribución
normal N ∼ (0,0.15). Se observa que el parámetro de volatilidad de la volatilidad
controla la curtosis de la densidad, por lo tanto, si σ es relativamente alta entonces
la densidad presenta exceso de curtosis con su correspondiente efecto en las colas.
91
4.2.1.
Griegas del modelo de Heston
En esta sección se obtienen las sensibilidades del precio de una opción europea
ante cambios en las diferentes variables y parámetros de la fórmula dada por el
modelo de Heston2 . Es importante mencionar que las griegas de un modelo con
saltos y que incluyen el modelo de Heston como un caso particular se encuentran
en el artículo de Bakshi, Cao, y Chen (1997). De la sección anterior el precio de
la opción de compra y la de venta están dadas por las ecuaciones (4.2) y (4.3)
respectivamente, donde las probabilidades neutrales al riesgo en (4.17), las cuales
se obtienen de las funciones características dadas por:
(4.19)
f j = exp Cj + D j v + iφx
con x = ln St , por lo que a partir de (4.2) la delta de la opción de compra es:
∆c =
∂c
= P1 .
∂St
(4.20)
Por medio de la paridad put-call en (4.3), la delta de la opción de venta es:
∆p =
∂p
= P1 − 1.
∂St
(4.21)
Para obtener la gamma se deriva la expresión para la delta con respecto a St :
#
"
Z ∞
e−iφ ln(K ) f j
∂P1
1 ∂
∂∆c
=
=
dφ
(4.22)
Re
Γc =
∂St
∂St
π ∂St 0
iφ
"
#
Z
1 ∞
e−iφ ln(K ) ∂ f 1 /∂St
=
Re
dφ
π 0
iφ
Z ∞
h
i
1
=
Re e−iφ ln(K ) f 1 dφ,
πSt 0
donde:
∂ f1
∂x
1
= exp (C1 + D1 v + iφx ) iφ
= f 1 iφ.
∂St
∂St
St
La rho para la opción de compra es:
ρc =
2 El
∂c
= Ke−r(T −t) ( T − t) P2 .
∂r
(4.23)
(4.24)
lector interesado en una análisis comparativo entre las “griegas” del modelo de Black y
Scholes y las de Heston puede consultar Ortiz-Ramírez (2012)
92
La rho para la opción de venta se obtiene de (4.3) como sigue:
ρ p = ρc − Ke−r(T −t) ( T − t)
(4.25)
= Ke−r(T −t) ( T − t)( P2 − 1).
Para la vega de la opción de compra, se elige la varianza actual del precio spot y
se deriva con respecto a v:
νc =
∂c
∂P
∂P
= St 1 − Ke−r(T −t) 2 ,
∂v
∂v
∂v
donde:
∂Pj
1
=
∂v
π
Z
0
∞
#
e−iφ ln(K ) f j D j
dφ.
Re
iφ
(4.26)
"
(4.27)
la ecuación anterior utiliza el hecho que:
∂ fj
∂
=
exp Cj + D j v + iφx = f j D j .
∂v
∂v
(4.28)
La vega de la opción de venta es igual a la de compra. Para la theta observe que
el plazo al vencimiento τ = T − t aparece en las funciones Cj y D j en (4.19), por
lo que la theta para la opción de compra es:
∂c
∂P1
−rτ ∂P2
= − St
+ Ke
− rP2 ,
(4.29)
Θc = −
∂τ
∂τ
∂τ
también son necesarias las siguientes derivadas:
#
"
Z ∞
∂Pj
e−iφ ln(K ) f j
1 ∂
=
dφ
Re
∂τ
π ∂τ 0
iφ
"
#
Z
e−iφ ln(K ) ∂ f j /∂τ
1 ∞
=
Re
dφ.
π 0
iφ
∂ fj
= exp Cj + D j v + iφx
∂τ
∂Cj ∂D j
+
v + iφx .
∂τ
∂τ
"
(
"
#)#
∂Cj
1 − g j ed j τ
∂
κθ
=
rφiτ + 2
b j − ρσφi + d j τ + 2 ln
∂τ
∂τ
1 − gj
σ
(
"
#)
g j d j ed j τ
κθ
= rφi + 2
b j − ρσφi + d j + 2
.
σ
1 − g j ed j τ
(4.30)
(4.31)
(4.32)
93
"
#!
b j − ρσφi + d j 1 − ed j τ
(4.33)
σ2
1 − g j ed j τ


dj τ
dj τ
dj τ
dj τ
b j − ρσφi + d j  d j e ( g j e − 1) + (1 − e ) g j d j e 
=

.
2
σ2
dj τ
1 − gj e
∂D j
∂
=
∂τ
∂τ
Al sustituir (4.30)-(4.33) en (4.29) se obtiene Θc . La theta de la opción de venta se
obtiene de la paridad put-call:
Θp = −
4.3
∂p
= Θc + Kre−rτ .
∂τ
(4.34)
Cálculo del precio de la opción por medio de la
transformación de Lewis
El cálculo del precio de la opción con el modelo de Heston tiene algunos detalles técnicos, ya que es necesario evaluar las integrales complejas en (4.17). La
fórmula requiere los siguientes parámetros: precio spot del activo St , precio de
ejercicio K, plazo al vencimiento τ = T − t , y la tasa de interés libre de riesgo
(constante) r, además de estimaciones de los parámetros que conducen el proceso de tendencia, como son: la varianza de largo plazo θ, la varianza actual vt , el
premio al riesgo por volatilidad λ, el parámetro de reversión a la media κ, la volatilidad de la varianza σ, y la correlación entre los procesos que conducen el precio
del activo y la volatilidad, ρ.
Lewis (2000) muestra que el precio de la opción c(S,V,τ ) en el modelo de
Heston (1993) se puede expresar en términos de la transformada fundamental
Ĥ (k,V,τ ) donde k = kr − ik i es un número complejo, V la volatilidad y τ = T − t
el plazo al vencimiento. Con esta transformación se obtienen precios de opciones
de manera eficiente ya que sólo se necesita evaluar una integral. La fórmula general para el precio de una opción de compra bajo una clase general de modelos
de volatilidad estocástica está dada por:
c(S,V,τ ) = Se
−δτ
− Ke
−rτ
1
2π
Z
ik i +∞
ik i −∞
e−ikX
Ĥ (k,V,τ )
dk,
k2 − ik
(4.35)
donde X = ln S/K + (r − δ)τ,k i = 1/2 y δ la tasa de dividendos. Para el modelo
94
de Heston, la transformada fundamental es de la forma:
Ĥ (k,V,τ ) = exp [ f 1 (t) + f 2 (t)Vt ] ,
(4.36)
donde:
f 1 (t) = ω̃ tg − ln
1 − h exp(td)
1−h
,
f 2 (t) = g
1 − exp(td)
1 − h exp(td)
1
θ̂ + d
d = θ̂ + 4c̃
, g = g(θ̂ + d), h =
2
θ̂ −
d
q
2
θ̂ = 2 (1 − γ − ik )ρσ + k2 − γ(1 − γ)σ2 para γ < 1,
σ
2
1/2
,
(4.37)
(4.38)
(4.39)
y además: t = σ2 τ/2,ω̃ = 2kθ/σ2 ,c̃ = 2c(k )/σ2 , y c(k ) = k2 − ik/2. En este caso, γ
es un parámetro de aversión al riesgo de un agente representativo, y se restringe
a γ ≤ 1. Esta es otra manera de representar la prima al riesgo por volatilidad,
la cual supone neutralidad al riesgo y proporciona una expresión de la prima al
riesgo ajustada por volatilidad dada por λ, con λ proporcional a la varianza, i.e.
λ (t,St ,vt ) = λv.
v
0.01
κ
2
θ
0.01
λ
0
σ
K
0.1 100
r
0
δ
0
ki
0.5
γ
1
En la Gráfica 4.3 se muestra una superficie de precios de opciones de compra y
en la Gráfica 4.4 una superficie de precios de opciones de venta, los precios de
las opciones se calculan con la transformada fundamental de Lewis y parámetros
dados por la tabla anterior. El plazo al vencimiento es desde T − t = τ = 0.1, . . . ,1
y el precio del subyacente varía dentro del rango: St = 80, . . . ,150.
Fuente: elaboración propia.
Gráfica 4.3: Superficie de precios opciones de compra con el modelo de Heston.
95
Fuente: elaboración propia.
Gráfica 4.4: Superficie de precios opciones de venta con el modelo de Heston.
96
97
4.4
Análisis de sensibilidad a precios de opciones a
diferentes valores de los parámetros ρ y σ
Como se mencionó anteriormente, en el modelo de Heston (1993) el precio de
la acción es conducido por un proceso de difusión análogo al del modelo de Black
y Scholes, excepto que Heston supone que la volatilidad depende del tiempo y es
conducida por un proceso de difusión independiente. A continuación se investiga
cómo la inclusión de volatilidad estocástica impacta en el precio de la opción.
Hay dos parámetros de los precios de las opciones de compra obtenidas con
el modelo de Heston (1993) que merecen especial atención: la correlación entre
los brownianos que conducen el precio de la acción y la varianza denotada por: ρ
i.e., Cov(dW1,t ,dW2,t ) = ρdt y la volatilidad de la varianza σ. Respecto a la correlación, un valor negativo de ρ inducirá un sesgo negativo en la distribución del
subyacente, por lo que shocks negativos al precio de la acción darán lugar a choques positivos a la varianza. Esta relación negativa entre el precio de la acción y la
varianza implica que bajas en el precio de la acción son seguidas por un aumento
en la varianza, lo que lleva a la posibilidad de caídas aún mayores en el precio
de la acción. Lo opuesto es cierto cuando ρ es positiva ¿Cómo es que un sesgo
positivo o negativo afecta los precios de las opciones? Cuando la distribución del
precio de la acción tiene un sesgo negativo, la probabilidad de grandes pérdidas
es mayor de lo que predice el modelo Black y Scholes. En otras palabras, cuando
ρ es negativo, la cola derecha de la distribución del precio de la acción se estrecha,
y la cola izquierda es más pesada. Cuando ρ es positivo, la cola derecha es más
pesada y la cola izquierda se estrecha.
Para mostrar empíricamente lo anterior calculamos precios de opciones de
compra con el modelo de Heston y con el modelo Black y Scholes. Por cada precio calculamos la diferencia entre los precios de Heston y de Black y Scholes; esta
diferencia la graficamos contra el precio de la acción. Los valores de los parámetros3 que consideramos son:
St
100
K
100
r
0
τ
v
0.5 0.01
κ
2
θ
0.01
λ
0
σ δ
0.1 0
ki
0.5
γ
1
Se realiza el experimento con ρ = −0.5 y con ρ = +0.5, ambos con precio spot
3 Véase
Heston (1993).
98
que fluctúa entre 75 hasta 125 con incrementos de 2.50.
En lo que sigue, el parámetro de volatilidad en el modelo Black y Scholes coincide con la raíz cuadrada de la varianza en el modelo de Heston, de tal modo que
la volatilidad promedio durante la vida de la opción sea igual para ambos modelos. Esto se realiza con las funciones características f j definidas en el modelo y que
se muestran en (4.17), además de que los momentos siempre se pueden obtener
de la función característica. Cuando ρ es igual a cero4 , el parámetro de volatilidad
para Black y Scholes es: σBS = 0.099985, si ρ = −0.5, σBS = 0.099561 y si ρ = +0.5,
σBS = 0.100409. Los precios de las opciones de compra y las diferencias obtenidas con Heston se presentan en el Cuadro 4.1. Los precios de Heston se obtienen
mediante la transformada fundamental descrita en la sección anterior.
4 Véase
Heston (1993).
99
Cuadro 4.1: Impacto de la correlación en los precios de opciones de compra.
St
75.0
77.5
80.0
82.5
85.0
87.5
90.0
92.5
95.0
97.5
100.0
102.5
105.0
107.5
110.0
112.5
115.0
117.5
120.0
122.5
125.0
127.5
130.0
132.5
135.0
ρ=
Heston
0.0001
0.0001
0.0003
0.0017
0.0087
0.0371
0.1277
0.3565
0.8239
1.6188
2.7842
4.3062
6.1306
8.1866
10.4067
12.7360
15.1348
17.5760
20.0425
22.5236
25.0130
27.5072
30.0040
32.5022
35.0013
−0.5
B. y S.
0.0000
0.0002
0.0013
0.0061
0.0232
0.0734
0.1972
0.4577
0.9335
1.7002
2.8080
4.2661
6.0425
8.0770
10.2993
12.6457
15.0666
17.5287
20.0117
22.5045
25.0016
27.5006
30.0002
32.5001
35.0000
Dif.
0.0001
-0.0001
-0.0010
-0.0044
-0.0145
-0.0363
-0.0695
-0.1011
-0.1096
-0.0814
-0.0238
0.0401
0.0880
0.1096
0.1073
0.0903
0.0681
0.0473
0.0308
0.0191
0.0114
0.0066
0.0038
0.0022
0.0013
ρ = +0.5
Heston B. y S.
0.0014
0.0000
0.0040
0.0003
0.0108
0.0015
0.0272
0.0066
0.0641
0.0247
0.1415
0.0771
0.2929
0.2046
0.5675
0.4702
1.0303
0.9514
1.7526
1.7223
2.7969
2.8319
4.1959
4.2889
5.9386
6.0619
7.9707
8.0917
10.2133 10.3095
12.5876 12.6520
15.0328 15.0703
17.5114 17.5306
20.0037 20.0126
22.5012 22.5049
25.0004 25.0018
27.5002 27.5006
30.0001 30.0002
32.5001 32.5001
35.0001 35.0000
Dif.
0.0014
0.0038
0.0094
0.0205
0.0393
0.0644
0.0882
0.0974
0.0789
0.0303
-0.0350
-0.0929
-0.1233
-0.1210
-0.0961
-0.0645
-0.0375
-0.0193
-0.0089
-0.0037
-0.0014
-0.0004
-0.0001
0.0000
0.0001
Fuente: elaboración propia.
De acuerdo con el Cuadro 4.1 una correlación negativa induce un sesgo negativo en la distribución de precios de acciones, los precios de opciones OTM
obtenidos con Heston son menores en relación con opciones de compra OTM obtenidos con Black y Scholes. El modelo de Black y Scholes no detecta el sesgo
100
o asimetría en la distribución del subyacente. Los precios de opciones de compra ITM con Heston son mayores que bajo el modelo Black y Scholes. Cuando el
parámetro de correlación es positivo sucede lo contrario, es decir, el modelo de
Heston arroja precios de opciones de compra ITM menores en relación con los obtenidos con Black y Scholes, pero mayores precios de opciones de compra OTM.
El Cuadro 4.2 resume lo anterior.
Cuadro 4.2: Comparación de precios de opciones de compra con ρ variable.
Opciones de compra
ρ>0
ρ<0
OTM
Heston>B.S. Heston>B.S.
ITM
Heston<B.S. Heston<B.S.
Gráfica 4.5: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas
a precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y correlación
variable.
ρ = − 0.5
ρ= + 0.0
ρ = + 0.5
0.15
0.10
Diferrencia
0.05
S
0.00
75
80
85
90
95
100
105
110
115
‐0.05
‐0.10
‐0.15
Fuente: elaboración propia.
120
125
130
135
101
En la Gráfica 4.5 para precios mayores a $100 corresponden a opciones de
compra in-the-money (ITM), mientras que a valores menores de $100 corresponde
a opciones de compra out-of-the-money (OTM). Se debe recordar que las formas
en la gráfica son de precios de opciones en los que el subyacente tiene la misma
volatilidad promedio durante la vida de la opción en ambos modelos, por lo que
las diferencias obtenidas en la gráfica no se deben a diferencias en volatilidad
sino a diferencias en precios. Con correlación negativa (línea discontinua) la diferencia para opciones ITM es positiva. Con correlación positiva (linea continua)la
diferencia para opciones ITM es negativa.
Se ejecuta un segundo experimento con el propósito de examinar el efecto de
una variación del parámetro de volatilidad de la varianza σ en precios de opciones de compra. En el caso más sencillo, una volatilidad de la varianza igual a
cero (σ = 0 ), corresponde a una varianza determinista en el proceso que conduce la dinámica de la volatilidad en (4.1). La volatilidad de la varianza controla la
curtosis de la distribución de rendimientos. Una mayor volatilidad de la varianza aumenta la curtosis de la distribución, mientras que una menor volatilidad la
disminuye. Este experimento consiste en comparar los precios de las opciones de
compra obtenidas con Heston y los precios con Black y Scholes contra el precio
spot del subyacente. Se utilizan los mismos parámetros del experimento anterior,
pero con ρ = 0. Se consideran los valores: σ = 0.1, σ = 0.15 y σ = 0.2. Las diferencias obtenidas se muestran en los Cuadros 4.3 y 4.4. En este caso, los precios
de Heston se obtienen mediante la transformada fundamental.
102
Cuadro 4.3: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de
compra.
St
75.0
76.0
77.0
78.0
79.0
80.0
81.0
82.0
83.0
84.0
85.0
86.0
87.0
88.0
89.0
90.0
91.0
92.0
93.0
94.0
95.0
96.0
97.0
98.0
99.0
100.0
101.0
102.0
103.0
104.0
σ = 0.1
Heston B. y S.
0.0003 0.0000
0.0004 0.0001
0.0007 0.0002
0.0012 0.0003
0.0020 0.0007
0.0032 0.0014
0.0053 0.0026
0.0084 0.0048
0.0134 0.0084
0.0208 0.0144
0.0319 0.0239
0.0482 0.0386
0.0715 0.0607
0.1044 0.0927
0.1500 0.1381
0.2119 0.2009
0.2944 0.2854
0.4025 0.3967
0.5413 0.5398
0.7163 0.7200
0.9329 0.9424
1.1962 1.2116
1.5107 1.5314
1.8800 1.9049
2.3065 2.3341
2.7913 2.8199
3.3341 3.3620
3.9336 3.9591
4.5870 4.6087
5.2908 5.3077
Dif.
0.0003
0.0004
0.0006
0.0009
0.0013
0.0019
0.0027
0.0037
0.0049
0.0064
0.0080
0.0095
0.0108
0.0117
0.0118
0.0110
0.0090
0.0058
0.0015
-0.0038
-0.0095
-0.0153
-0.0206
-0.0249
-0.0276
-0.0287
-0.0279
-0.0255
-0.0217
-0.0168
σ = 0.2
Heston B. y S.
0.0015 0.0000
0.0022 0.0001
0.0032 0.0002
0.0046 0.0003
0.0066 0.0007
0.0095 0.0014
0.0134 0.0026
0.0190 0.0048
0.0267 0.0084
0.0373 0.0144
0.0517 0.0239
0.0711 0.0386
0.0973 0.0607
0.1321 0.0927
0.1781 0.1381
0.2384 0.2009
0.3167 0.2854
0.4174 0.3967
0.5457 0.5398
0.7073 0.7200
0.9084 0.9424
1.1554 1.2116
1.4545 1.5314
1.8109 1.9049
2.2288 2.3341
2.7103 2.8199
3.2556 3.3620
3.8627 3.9591
4.5277 4.6087
5.2458 5.3077
Fuente: elaboración propia.
Dif.
0.0015
0.0021
0.0030
0.0042
0.0059
0.0081
0.0108
0.0142
0.0183
0.0229
0.0277
0.0325
0.0366
0.0394
0.0400
0.0375
0.0313
0.0207
0.0059
-0.0128
-0.0340
-0.0562
-0.0769
-0.0940
-0.1053
-0.1096
-0.1064
-0.0964
-0.0809
-0.0619
103
Cuadro 4.4: Impacto de la volatilidad de la varianza en los precios de opciones de
compra.
St
105.0
106.0
107.0
108.0
109.0
110.0
111.0
112.0
113.0
114.0
115.0
116.0
117.0
118.0
119.0
120.0
121.0
122.0
123.0
124.0
125.0
126.0
127.0
128.0
129.0
130.0
131.0
132.0
133.0
134.0
135.0
σ = 0.1
Heston B. y S.
Dif.
6.0407
6.0522 -0.0115
6.8320
6.8380 -0.0060
7.6597
7.6606 -0.0009
8.5191
8.5155 0.0037
9.4055
9.3981 0.0074
10.3146 10.3044 0.0102
11.2424 11.2304 0.0121
12.1857 12.1726 0.0131
13.1415 13.1281 0.0134
14.1072 14.0941 0.0131
15.0809 15.0684 0.0124
16.0607 16.0493 0.0114
17.0454 17.0352 0.0102
18.0338 18.0249 0.0089
19.0251 19.0175 0.0077
20.0186 20.0121 0.0065
21.0138 21.0083 0.0054
22.0101 22.0057 0.0045
23.0075 23.0039 0.0036
24.0055 24.0026 0.0029
25.0040 25.0017 0.0023
26.0030 26.0011 0.0018
27.0022 27.0007 0.0015
28.0016 28.0005 0.0011
29.0012 29.0003 0.0009
30.0009 30.0002 0.0007
31.0007 31.0001 0.0006
32.0005 32.0001 0.0004
33.0004 33.0001 0.0004
34.0003 34.0000 0.0003
35.0003 35.0000 0.0002
Heston
6.0109
6.8171
7.6582
8.5289
9.4241
10.3396
11.2716
12.2170
13.1733
14.1383
15.1104
16.0881
17.0703
18.0561
19.0448
20.0358
21.0287
22.0229
23.0184
24.0147
25.0118
26.0095
27.0076
28.0062
29.0050
30.0040
31.0033
32.0026
33.0022
34.0018
35.0014
Fuente: elaboración propia.
σ = 0.2
B. y S.
Dif.
6.0522 -0.0413
6.8380 -0.0210
7.6606 -0.0024
8.5155 0.0134
9.3981 0.0260
10.3044 0.0352
11.2304 0.0412
12.1726 0.0444
13.1281 0.0452
14.0941 0.0442
15.0684 0.0419
16.0493 0.0388
17.0352 0.0351
18.0249 0.0312
19.0175 0.0274
20.0121 0.0237
21.0083 0.0203
22.0057 0.0172
23.0039 0.0145
24.0026 0.0121
25.0017 0.0101
26.0011 0.0084
27.0007 0.0069
28.0005 0.0057
29.0003 0.0047
30.0002 0.0038
31.0001 0.0031
32.0001 0.0026
33.0001 0.0021
34.0000 0.0017
35.0000 0.0014
104
Gráfica 4.6: Diferencias de precios de opciones del modelo de Heston relativas a
precios con Black y Scholes con igual volatilidad al vencimiento y volatilidad de
la varianza variable.
σ = 0.1
σ = 0.15
σ = 0.2
0.06
0.04
Diferen
ncia
0.02
S
0.00
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
‐0.02
‐0.04
‐0.06
0.08
‐0.08
‐0.10
‐0.12
Fuente: elaboración propia.
En los Cuadros 4.3 y 4.4, y en la Gráfica 4.6 se observa que las diferencias entre
los precios de opciones de compra con Heston y Black y Scholes son casi simétricos para opciones ITM y OTM. Para opciones at-the-money (ATM), el modelo de
Heston arroja precios menores para opciones de compra que el modelo de Black
y Scholes, pero mayores precios para opciones ITM y OTM hasta un cierto valor.
Esto indica que la volatilidad de la varianza afecta la curtosis de la distribución,
con poco o nulo efecto sobre la asimetría, por lo que una mayor curtosis induce
una cola más ancha en ambos extremos de la distribución de rendimientos del
subyacente. De lo anterior se deduce que una mayor volatilidad de la varianza
induce mayor curtosis y la diferencia de precios entre Heston y Black y Scholes
es mayor para σ = 0.2 que para σ = 0.1. El Cuadro 4.5 resume los resultados
anteriores.
105
Cuadro 4.5: Comparación de precios de opciones de compra con σ variable.
Opciones de compra
σ
OTM
Heston>B.S.
ATM
Heston<B.S.
ITM
Heston>B.S.
Capítulo 5
Calibración de parámetros con
funciones de pérdida
5.1
Introducción
En este capítulo se plantea el uso de tres clases de funciones de pérdida para la
calibración de los parámetros del modelo de volatilidad estocástica de Heston. La
aplicación de la metodología propuesta consiste en primer lugar de la obtención
de un conjunto de precios de algún derivado con cierta liquidez, en este caso se
consideran opciones sobre futuros sobre el índice de precios y cotizaciones de la
Bolsa Mexicana de Valores. Posteriormente se calibran los parámetros con tres
funciones de pérdida y se generan volatilidades implícitas.
5.2
Estimación de parámetros con funciones de pérdida
Si se estiman los parámetros de un modelo de volatilidad estocástica mediante series históricas de rendimientos de los activos, no todos los parámetros serían
útiles para efectos de valuación de derivados, ya que los parámetros estimados
estarían bajo una medida de probabilidad verdadera, mientras que los negociadores de derivados ajustan tales parámetros para la determinación de precios de
derivados. En particular, para los modelos de volatilidad estocástica el coeficiente
de la varianza será una modificación del verdadero, la cual se hace realiza al fijar
la prima de riesgo de volatilidad. Para recuperar tal prima de riesgo, es necesario
consultar precios de algunos derivados que se negocien en el mercado.
108
Por esa razón en la industria y en la investigación (Bakshi et al (1997) ) cada vez
hay más preferencia por utilizar únicamente precios de derivados, y calibrar un
modelo en base a un conjunto de opciones líquidas. Un procedimiento estándar
es el siguiente; que una mesa de derivados planea vender una opción exótica y a
la vez cubrir su exposición, además se supone que se emplea un modelo de volatilidad estocástica. La primera fase consiste en obtener un conjunto de precios de
mercado opciones europeas liquidas, para después calibrar el modelo. Los parámetros calibrados son los neutrales al riesgo, y por lo tanto se pueden utilizar sin
modificaciones para valuar y cubrir la opción exótica. En cierto sentido, son una
generalización de la metodología para obtener las volatilidades implícitas bajo el
modelo de Black y Scholes, el propósito de la calibración es valuar la opción exótica de tal manera que sea consistente con los precios de mercado de las europeas.
Si el modelo calibrado genera precios consistentes con el mercado, entonces
los parámetros estimados deberían ser estacionarios a través del tiempo, y su variabilidad se debe sólo a errores de medición. En la práctica, por supuesto, esto
no sucede así, y se tiene que recalibrar los parámetros diariamente o con mayor
frecuencia si es necesario.
Para ejecutar la calibración se debe minimizar una cierta medida de distancia entre los precios de mercado y los precios teóricos dados por el modelo. Es
decir, se determinan parámetros tales que el error entre los precios de mercado
y los precios del modelo teórico sea el mínimo posible, tal error es medido por
una función de pérdida. Supongamos que hay N precios de mercado de opciones
denotados por Ci (i = 1,2, . . . ,N ) y que los precios del modelo dependen de un
conjunto de parámetros Θ. De acuerdo con Bakshi, Cao y Chen (1997) se pueden
construir tres funciones de pérdida:
(i) Raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio: $RFEM;
(ii) Raíz de la función de pérdida relativa del error cuadrático medio: %RFEM;
(iii) Raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio de volatilidad implícita: RFEMVI.
La raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio es la raíz cuadrada de
la media muestral de los cuadrados de los errores estimados y está dada por:
109
v
u
N
u1 X
t
ei ( Θ )2 ,
$RFEM (Θ) =
N
(5.1)
i =1
donde e(Θ)i = Ci − Ci (Θ) son los errores de estimación para i = 1, . . . ,N. Los
parámetros de $RFEM son aquellos que minimizan la función de pérdida en (5.1).
La raíz de la función de pérdida relativa del error cuadrático medio está definida por:
v
u
N u1 X
ei ( Θ ) 2
t
%RFEM (Θ) =
(5.2)
N
Ci
i =1
A diferencia de la función de pérdida de $RFEM que minimiza la diferencia
entre precios de mercado y precios del modelo, la función de pérdida %RFEM en
(5.2), minimiza el porcentaje o diferencia relativa entre tales precios.
Las funciones de pérdida $RFEM y %RFEM arrojan parámetros que minimizan la distancia entre precios de mercado y precios del modelo teórico. En este
contexto también es posible determinar parámetros que minimicen la distancia
entre volatilidades implícitas obtenidas a partir de precios de mercado y las volatilidades implícitas obtenidas a partir de precios del modelo teórico, por medio
de la raíz de la función de pérdida de volatilidad implícita del error cuadrático
medio definida por:
v
u
N
u1 X
RFEMIV (Θ) = t
(σi − σi (Θ))2 .
N
(5.3)
i =1
En la expresión anterior σi es la volatilidad implícita de Black y Scholes que se
obtiene al invertir la fórmula de Black Scholes e igualarla a precios de mercado, y
σi (Θ) es la volatilidad implícita de Black y Scholes obtenida al invertir la fórmula
de Black y Scholes e igualarla a precios obtenidos con el modelo teórico.
Los parámetros estimados obtenidos de la función de pérdida en (5.3) pueden
utilizarse para modelar algunas propiedades de la distribución de los rendimientos del activo subyacente, ya que la forma de la curva de volatilidad implícita
representa la distribución de rendimientos del activo subyacente en estudio. Una
mueca de volatilidad (volatility smirk) implica un sesgo o asimetría en la distribución, mientras que una sonrisa de volatilidad (volatility smile) implica curtosis.
110
Cada una de las funciones de pérdida descritas asigna una ponderación diferente a las opciones. La raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio
$RFEM asigna más peso a opciones dentro-del-dinero, lo cual se debe a que dichas opciones son más caras. Cualquier error en la estimación dado por una diferencia entre los precios de mercado y los precios ajustados es causado por estas
opciones, la función de pérdida del error cuadrático medio $RFEM tenderá a producir parámetros que conducen a errores pequeños de valuación para opciones
dentro-del-dinero. Por su parte, la raíz de la función de pérdida relativa del error
cuadrático medio %RMSE asigna más peso a opciones muy fuera del dinero, debido a que estas opciones tienen poco valor. Por último la raíz de la función de
pérdida del error cuadrático medio de volatilidad implícita REFEMVI asigna una
ponderación similar a todas las opciones.
5.3
Aplicación y análisis de resultados
Para la aplicación de la metodología descrita en la sección anterior se tomaron
los datos del Boletín del Resumen del mercado de opciones del día 21/08/2012
de MexDer, este resumen contiene las opciones que tienen contratos abiertos, es
decir que tienen operación y cierta liquidez. En particular se consideran Opciones
sobre futuros del índice de precios y cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores
con un plazo al vencimiento de 31 días, asimismo se obtuvieron del proveedor de
precios la curva TIIE28-IRS para la tasa libre de riesgo, las volatilidades implícitas
y la “delta‘” de todas las opciones negociadas en ese día, las cuales están expresadas a seis decimales a diferencia de las del resumen de MexDer expresadas a dos
decimales. El siguiente cuadro muestra datos relevantes para la estimación de los
parámetros:
Cuadro 5.1: Datos relevantes.
Fecha
Fecha de
Plazo al
Tasa libre
Precio
Actual
vencimiento vencimiento de riesgo Spot I.P.y C.
21/08/2012 21/09/2012
0.08493
0.04793951
40096.64
El cuadro 5.2 muestra un resumen de los valores de las funciones de pérdida y
los valores estimados de los parámetros del modelo de Heston para cada función
111
de pérdida, en la calibración utilizamos la transformada fundamental de Lewis.
Cuadro 5.2: Resumen de las funciones de pérdida con los correspondientes valores de los parámetros estimados del modelo de Heston.
$RFEM
Valor de la función de pérdida 6.0276
Rho (ρ) -0.7152
Kappa (κ) 1.0391
Theta (θ) 0.3707
Volatilidad de la Varianza (σ) 0.9410
Varianza actual (V0 ) 0.0023
Parte Imaginaria de k (k i ) 0.4594
Gamma (γ) 0.0055
%RFEM RFEMVI
0.1882
0.0032
-0.4266
-0.7073
1.1367
1.0480
0.3293
0.3736
1.0804
0.9221
0.0036
0.0023
0.2982
0.4669
0.0611
0.0056
La interpretación de los valores de las funciones de pérdida es la siguiente. El
valor de la raíz de la función de pérdida del error cuadrático medio $RFEM es de
6.0276, lo que corresponde a un error de aproximadamente $6 en promedio entre
los precios de mercado y los precios producidos por el modelo de Heston. Por
su parte el valor de la raíz de la función de pérdida relativa del error cuadrático
medio %RFEM es de 0.1882 lo que corresponde a un error de aproximadamente 19 % en promedio entre los precios de mercado y los precios producidos por
el modelo de Heston. Por último, el valor de la raíz de la función de pérdida de
volatilidad implícita del error cuadrático medio RFEMIV es de 0.0032, que corresponde a una diferencia de 0.32 por ciento entre las volatilidades implícitas obtenidas de los precios de mercado y las volatilidades implícitas obtenidas del modelo
de Heston. El cuadro 5.3 muestra las opciones de compra y venta, la volatilidad
implícita del boletín, y los correspondientes precios estimados con el modelo de
Heston junto con las volatilidades implícitas de cada función de pérdida.
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
Call
37000
38000
38500
39000
39500
40000
40500
41000
41500
42000
43000
0.923
0.948
0.960
0.973
0.985
0.998
1.010
1.023
1.035
1.047
1.072
3308.00
2365.00
1914.00
1482.00
1084.00
732.00
441.00
228.00
98.00
36.00
5.00
0.1915
0.1691
0.1587
0.1476
0.1375
0.1277
0.1181
0.1094
0.1024
0.0981
0.1001
3295.12
2361.85
1921.19
1491.99
1086.29
729.18
442.59
234.62
101.02
30.47
5.94
0.1819
0.1677
0.1612
0.1505
0.1381
0.1271
0.1185
0.1111
0.1034
0.0945
0.1024
3267.29
2335.00
1885.26
1450.22
1049.46
706.15
435.11
239.73
114.56
46.91
5.06
0.1544
0.1551
0.1483
0.1384
0.1291
0.1221
0.1168
0.1123
0.1081
0.1045
0.1002
3295.46
2362.25
1921.85
1494.33
1091.14
736.06
450.25
241.92
107.16
34.78
6.19
0.1822
0.1679
0.1614
0.1511
0.1392
0.1286
0.1201
0.1129
0.1056
0.0974
0.1030
Tipo de Precio de Moneyness Precio de Vol. Imp.
$RFEM-V.I.
%RFEM-V.I
RFEMVI-V.I.
opción ejercicio
K/S
cierre
B.S.
Precios
σi
Precios
σi
Precios
σi
Put
37000
0.923
58.00
0.1894
51.54 0.1846
23.71 0.1586 51.88 0.1848
Put
37500
0.935
82.00
0.1798
72.58 0.1744
48.44 0.1588 73.27 0.1748
Put
38000
0.948
116.00
0.1700
114.21 0.1692
87.36 0.1568 114.61 0.1694
Put
38500
0.960
165.00
0.1601
171.52 0.1624 135.59 0.1496 172.17 0.1626
Put
39000
0.973
234.00
0.1497
240.29 0.1514 198.51 0.1394 242.63 0.1521
Put
39500
0.985
336.00
0.1397
332.55 0.1389 295.73 0.1299 337.41 0.1401
Put
40000
0.998
483.00
0.1299
473.41 0.1278 450.38 0.1228 480.29 0.1293
Put
40500
1.010
690.00
0.1203
684.79 0.1192 677.31 0.1176 692.45 0.1209
Put
41000
1.023
972.00
0.1112
974.79 0.1119 979.90 0.1132 982.09 0.1137
Put
41500
1.035
1335.00
0.1032
1339.16 0.1046 1352.70 0.1092 1345.30 0.1067
Put
42000
1.047
1767.00
0.0971
1766.57 0.0968 1783.02 0.1064 1770.89 0.0995
Cuadro 5.3: Precios estimados con el modelo de Heston con las funciones de pérdida y volatilidades implícitas.
112
113
En la Gráfica 5.1 y en la Gráfica 5.2 se muestran los resultados obtenidos en
el cuadro anterior. Observamos que los valores estimados por la función $RFEM
producen volatilidades implícitas que son cercanas a las volatilidades implícitas
del mercado para opciones que están en-el-dinero o cerca del dinero, mientras
que los valores estimados por la función %RFEM producen volatilidades implícitas que en su mayoría están alejadas a las volatilidades implícitas del mercado.
Asimismo, los valores estimados de la función RFEMIV producen volatilidades
implícitas que están razonablemente cerca de las volatilidades implícitas del mercado en todos los niveles de moneyness.
Por último en la Gráfica 5.3 y en las Gráfica 5.4 se muestran las volatilidades
implícitas del mercado en comparación con las obtenidas con el método de bisección y de la función RFEMIV, los valores estimados por esta última son muy
cercanos a los publicados por el Boletín de MexDer.
Gráfica 5.1: σ implícitas de calls obtenidas de las funciones de pérdida.
Vol. Imp. B.S.
$RFEM‐V.I.
%RFEM‐V.I.
RFEMVI‐V.I.
Volatilid
dad implícita Calls
0.19
0.14
0.09
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Moneyness (K/S)
Fuente: elaboración propia.
1.02
1.04
1.06
114
Gráfica 5.2: σ implícitas de puts obtenidas de las funciones de pérdida.
Vol. Imp. B.S.
$RFEM‐V.I.
%RFEM‐V.I.
RFEMVI‐V.I.
Volatilid
dad implícita Puts
0.19
0.14
0.09
0.920
0.940
0.960
0.980
1.000
1.020
1.040
1.060
Moneyness (K/S)
Fuente: elaboración propia.
Gráfica 5.3: Comparación entre σ implícitas de calls y σ implícitas de mercado.
V.I.M.
Vol. Imp. B.S.
RFEMVI‐V.I.
Volatilid
dad implícita Calls
0.19
0.14
0.09
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Moneyness (K/S)
Fuente: elaboración propia.
1.02
1.04
1.06
115
Gráfica 5.4: Comparación entre σ implícitas de puts y σ implícitas de mercado
V.I.M.
Vol. Imp. B.S.
RFEMVI‐V.I.
Volatilid
dad implícita Puts
0.19
0.14
0.09
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
Moneyness (K/S)
Fuente: elaboración propia.
1.02
1.04
1.06
Conclusiones
En los últimos años la ingeniería financiera ha experimentado profundas transformaciones, sustentadas en la tecnología de la información y en el desarrollo de
modelos en tiempo real, facilitando así la toma de decisiones en el sector financiero. El proceso de estas transformaciones causan cambios extremos en la toma de
decisiones de los participantes del mercado, razón por la cual resulta necesario
contar con metodologías acordes con el entorno económico y sustentadas en una
base teórica robusta para obtener los precios de los diferentes productos que se
negocian en los mercados financieros.
En este trabajo se discutieron las características teóricas del modelo de Heston
(1993) y se derivaron las sensibilidades del precio de una opción ante cambios
en las diferentes variables y parámetros del modelo. Este modelo extiende el modelo Black y Scholes al suponer que la volatilidad del precio del subyacente es
conducida por un proceso de difusión, además de incluir una correlación arbitraria entre la volatilidad y los rendimientos del subyacente. Por medio del método
de la transformada fundamental de Lewis (2000) se obtuvieron soluciones de forma cerrada para el precio de la opción al evaluar una integral con integrandos
complejos, el método consiste en la combinación de dos integrales para el precio
de la opción y sólo se evalúa una integral, lo cual resulta en una aproximación
eficiente a la integral y la suavidad del integrando permite que se pueda aproximar la integral independientemente del método de integración numérica que se
utilice.
Se investigó empíricamente la sensibilidad del precio de la opción ante diferentes valores de los parámetros de correlación ρ y la volatilidad de la varianza
σ, y se compararon con precios obtenidos con el modelo de Black y Scholes obtenidos con igual volatilidad promedio durante la vida de la opción para ambos
modelos. Los resultados muestran que el parámetro de correlación y el de volatilidad de la varianza impactan en la asimetría y curtosis de la distribución de
los rendimientos del subyacente respectivamente, y por lo tanto en el precio de la
118
opción. En particular un parámetro de correlación negativo induce un sesgo negativo en la distribución de precios de acciones, los precios de opciones de compra
OTM obtenidos con Heston son menores en relación con los obtenidos con Black
y Scholes. Cuando el parámetro de correlación es positivo el modelo de Heston
arroja precios de opciones de compra ITM menores en relación con los obtenidos
con Black y Scholes, pero mayores para opciones de compra OTM. Con respecto
al parámetro de volatilidad de la varianza, se encontró que para opciones ATM
el modelo de Heston arroja precios menores para opciones de compra que el modelo de Black y Scholes, pero mayores precios para opciones ITM y OTM hasta
un cierto valor, por lo que se concluye que una mayor volatilidad de la varianza
induce mayor curtosis en la distribución de los rendimientos y la diferencia de
precios entre Heston y Black y Scholes es mayor para valores grandes de σ.
Por medio de tres funciones de pérdida se calibraron los parámetros del modelo de Heston a un conjunto de opciones sobre futuros del índice de precios y cotizaciones. Se determinaron las volatilidades implícitas para cada función de pérdida, los resultados indican que raíz de la función de pérdida del error cuadrático
medio de volatilidad implícita genera volatilidades implícitas que son consistentes con las observadas en el mercado, es decir, los dos conjuntos de volatilidades
son de magnitud similar en todos los niveles de moneyness.
Ventajas y limitaciones
Una de las ventajas del modelo de Heston es que mediante la calibración
de parámetros con funciones de pérdida se reproducen volatilidades implícitas
que son consistentes con el mercado, no obstante es importante subrayar que de
acuerdo con la literatura al calibrar “smiles” a corto plazo, la volatilidad de la
volatilidad a menudo parece estar a punto de explotar, junto con la velocidad de
reversión a la media. Esto es un fuerte indicio de que el proceso “quiere” saltar,
lo cual no está contemplado en el modelo, por lo cual una de las extensiones del
modelo es suponer que el parámetro de reversión a la varianza de largo plazo
sea dependiente del tiempo, como se plantea en Mikhailov, S. y Nögel, U. (2003) .
Asimismo, también se puede suponer que la tasa de interés sea conducida por un
proceso estocástico tipo Vasicek o C.I.R., y por último la calibración de parámetros
incluyendo saltos en el subyacente es una futura línea de investigación.
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