Series de Fourier-b

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
4.5. SERIES DE FOURIER DE SENOS Y DE COSENOS.
Es claro que si f ∈SC[-π,π] es una función par, entonces
(19)
f ( x) =
a0
2
∞
+
∑a
n=1
n
cos nx, (CM)
SERIE DE FOURIER DE COSENOS (SFC)
con
an =
(20)
∫ f ( x) cos nxdx , n=0,1,2,3,...
π
2
π
0
Si f ∈SC[-π,π] es una función impar, entonces
∞
(21)
f ( x) =
∑b
n =1
n
sen nx , (CM)
SERIE DE FOURIER DE SENOS (SFS)
con
(22)
bn =
∫ f ( x) sen nxdx , n=1,2,3,...
π
2
π
0
Si f ∈SC[0,π], entonces podemos construir una SFC, si hacemos la extensión par de f a [-π,π]; y
podemos construir una SFS, para la misma f, si hacemos la extensión impar de f a [-π,π].
Ejemplo 27.
Dada la función f(x)=x2, 0<x<π, hallar las SFS y SFC de f(x).
SOL:
a)
SFC: Hacemos la extensión par de f sobre [-π,π], que denotamos por fp. La extensión 2πperiódica de fp sobre todo 3, la denotamos por Fp , como lo muestra la Fig.15
Figura 15. Extensión par de una función definida en [0,π].
fp par ⇒ bn=0 ∀n;
∴
fp ( x) =
a0 =
∫
π
2
π
0
x2 dx =
2π 2
3
;
an =
∫x
π
2
π
2
0
cos nxdx = ( −1)n
⎛
⎞
cos 2x cos 3 x cos 4 x
− 4⎜ cos x −
+
−
+ −....⎟ (CM).
2
2
2
⎝
⎠
3
2
3
4
π2
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4
n2
,
n≠0
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b) SFS: Hacemos la extensión impar de f sobre [-π,π], que denotamos por fi. Por Fi denotamos la
extensión 2π- periódica a todo 3 de fi. Ver Fig. 16
Figura 16. Extensión impar de un función definida en [0,π].
⎧ 2π
8
−
, ,5,..
n = 13
⎪
3 ,
2 π 2
π
n
n
fi impar ⇒ an=0 ∀n; bn =
x sen nxdx = ⎨
π 0
⎪ − 2π ,
n = 2,4,6,..
⎩
n
∫
∴
⎛
⎞ 8⎛
⎞
sen 2 x sen 3 x
sen 3 x sen 5 x
fi ( x) = 2π⎜ sen x −
+
− +...⎟ − ⎜ sen x +
+
+...⎟ (CM).
3
3
⎝
⎠ π⎝
⎠
2
3
3
5
EJERCICIOS 6.
1.
Hallar el desarrollo en SFC de la función f(x)=senx, 0<x<π
2.
Hallar el desarrollo en SFC de la función f(x)=ex , 0<x<π
3.
Hallar el desarrollo en SFS de la función f(x)=ex , 0<x<π
4.
Hallar el desarrollo en SFS de la función f(x)=cosx , 0<x<π y usar este resultado
2π
1
3
5
7
demostrar que
− 2
+...
= 2
− 2
+ 2
16
2 − 1 6 − 1 10 − 1 14 − 1
4.6. SF DE FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO.
En la Introducción vimos la necesidad de poder expresar una función f:[0,L]→ 3 en la forma
∞
nπx
f ( x) =
c n sen
,
L
n=1
∑
75
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para
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donde los coeficientes cn deben elegirse cuidadosamente.
No somos audaces, si nos planteamos el mismo problema para f en la forma:
∞
∑c
f ( x) =
n= 0
n
cos
nπx
L
.
Sin embargo, el problema más importante es: Qué funciones a valores reales pueden escribirse en la
forma
f ( x) =
(23)
a0
2
∞
+
∑a
n=1
n
cos
nπx
L
+ bn sen
nπx
?
L
Consideremos el espacio de las funciones SC[-L,L], L>0. Sabemos (por ejercicio dado) que
πx
πx
2π x
2 πx
(24)
1,cos ,sen ,cos
,sen
,....
L
L
L
L
forman un conjunto OG. Más aún, tal como en el caso L=π, estas funciones son una base para SC[L,L]. Por lo tanto, las series asociadas CM en dicho espacio. Luego, por simple cambio de escala
sustituyendo πx/L por x, tenemos las SF en SC[-L,L] de la forma (23) con coeficientes dados por:
an =
(25)
∫
L
1
L
−L
f ( x) cos
nπx
L
∫
L
1
dx; n = 0,12
, ,.. bn =
L
−L
f ( x) sen
nπx
L
dx n = 12
, ,..,
Con los mismos argumentos anteriores, tenemos SF en el espacio SC[a,b]:
f ( x) =
(26)
a0
2
∞
+
∑a
n=1
n
cos
2nπx
b−a
+ bn sen
2nπx
b−a
con
an =
(27)
2nπx
∫ f ( x) cos b − a dx;
b−a
2
b
bn =
a
∫
b−a
2
b
a
f ( x) sen
2nπx
b−a
dx
(para an, la fórmula vale para n=0,1,2,..;para bn, la fórmula vale para n=1,2,3,..)
En muchas aplicaciones del área de la ingeniería aparecen funciones τ- periódicas. Definiendo
ω=
2π
τ
, obtenemos
f ( x) =
(28)
a0
2
+
∑a
n
cos nωx + bn sen nωx
con
(29)
an =
∫ f ( x) cos ωnxdx;
τ
2
τ
0
bn =
∫ f ( x) sen ωnxdx .
τ
2
τ
0
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⎧ x − 2, 2 ≤ x < 3
Ejemplo 28. Hallar la SF de la función f ( x) = ⎨
⎩ 4 − x, 3 ≤ x ≤ 4
SOL: Aplicando las fórmulas directamente, obtenemos
an =
∫ f ( x) cos nπxdx;
4
2
bn =
∫ f ( x) sen nπxdx .
4
2
Pero, del gráfico de F= extensión 2-periódica de f, resulta:
an =
∫
1
−1
F( x) cos nπxdx;
bn =
∫
1
−1
F( x) sen nπxdx
⎧⎪bn ≡ 0,
∀n = 12
, ,3,..................
1
Pero, en [-1,1], F(x)≡|x| ⇒ ⎨
n = 0,12
, ,..
⎪⎩ an = 2 0x cos nπxdx,
1
2
Luego,
a 0 = 2 xdx = 1,
an = 2 2 (( −1)n − 1) , n=1,2,..
0
n π
∫
∫
f ( x) =
∴
1
2
+
2
π
∑n
1
2
2
((−1)n − 1) sen nπx .
EJERCICOS 7.
⎧0,−2 < x < −1
⎪
1.
Hallar el desarrollo en SF de la función f(x)= ⎨ x ,−1 < x < 1 y trazar la gráfica a la
⎪
⎩ 0,1 < x < 2
SF converge en [-8,8].
2.
cuál la
Hallar una SF que sólo contenga términos seno y que CP a la función x-1 para 1<x<2.
4.7. DESIGUALDAD DE BESSEL e IDENTIDAD DE PARSEVAL.
DEFINICION 25. Si g(x) es una aproximación de f(x) en [a,b], entonces el error cuadrático medio
(ecm) de esta aproximación, está dado por
∫ [ g( x) − f ( x)] dx.
b−a
1
(30)
b
2
a
Supongamos que g(x) es un polinomio trigonométrico de la forma:
g( x) =
p0
2
+ p1 cos x + q1 sen x+....+ pn cos nx + qn sen nx
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Mostraremos que para cada n, eligiendo los coeficientes de Fourier de f a0 , a1,...., an , b1, b2 ,..., bn ,
obtenemos el ecm mínimo (En), al aproximar f∈SC[-π,π] por g(x).
En efecto, consideremos el error cuadrático total :
⎡p
⎤
g( x) − f ( x)] dx = ⎢ 0 + p1 cos x+...+ qn cos nx − f ( x) ⎥ dx
[
−π
−π ⎣ 2
⎦
∫
∫
2
π
2
π
⎧ p2
⎫
2
= ⎨ 0 + p12 cos 2 x+...−p0 f ( x) − 2p1f ( x) cos x+...+[ f ( x)] ⎬dx .
−π
⎩4
⎭
∫
π
Omitimos los términos de la forma pm cos mxqs sen sx pues su integral sobre [-π,π] es nula. Integrando
los términos p 20 , p12 ,...y agrupando,
⎡ πp 2
= [ f ( x)] dx + ⎢ 0 − p0
[ g( x) − f ( x)] dx =
−π
−π
⎣ 2
π
⎡
⎤
.... + ⎣ πqn2 − 2qn f ( x) sen nxdx⎦.
−π
∫
∫
2
π
π
2
⎤ ⎡
f ( x)dx⎥ + ⎣ πp12 − 2p1
−π
⎦
∫
π
∫
π
−π
⎤
f ( x) cos xdx⎦+....
∫
Minimicemos esta expresión: El término en p0 es una función cuadrática en p0 (parábola convexa).
Por lo tanto, el mínimo se alcanza donde la derivada (con respecto a p0), se anula. Es decir,
πp 0 −
∫
π
−π
f ( x)dx = 0
⇒
p0 =
∫
π
1
π
−π
f ( x)dx ≡ a 0
Análogamente para p1:
2πp1 − 2
∫
π
−π
f ( x) cos xdx = 0 ⇒ p1 =
∫
π
1
π
−π
f ( x) cos xdx ≡ a1
y así sucesivamente... p2 ≡ a2 ,..., pn ≡ an ;.... qn ≡ bn .
Por lo tanto, los coeficientes de Fourier de f dan el En. Luego,
En =
∫ [ s ( x) − f ( x)] dx ,
2
π
−π
n
donde sN (x) es la n-ésima suma parcial de la SF de f. Luego, tomando p0=a0, p1=a1,...etc.
En =
∫ [ f ( x)]
π
−π
2
⎛ a2
⎞
− π⎜ 0 + a12 + b12 +...+ an2 + bn2 ⎟ .
⎝2
⎠
Como el error cuadrático total es positivo, entonces En ≥ 0, y así obtenemos la expresión:
(31)
a20
2
+ a12 + b12 +....+ an2 + bn2 ≤
∫ [ f ( x)]
π
1
π
−π
2
dx ,
conocida como DESIGUALDAD DE BESSEL.
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Esta desigualdad implica que
a20
∞
∑
an2 + bn2
2 n =1
converge (se trata de una serie de términos positivos cuyas sumas parciales forman una sucesión
acotada).
De hecho, límn→∞En = 0 , lo que equivale a afirmar que:
∀f ∈ SC[− π, π ],
(32)
+
∫ [ f ( x)]
π
1
π
−π
2
dx =
a 20
2
∞
+
∑a
n =1
2
n
+ bn2
expresión conocida como IDENTIDAD DE PARSEVAL.
EJERCICIOS 8
1.
Sea f(x)=π-x , 0<x<π , 2π- periódica.
a) Hallar el error cuadrático total al aproximar f por Sn= 2 sen x+...+
2 sen nx
n
y evalúe
para
n=1,2,3.
b) Gráficamente, muestre que y=senx
e y=3senx
mayores que y=sen2x, al aproximar f en [0,2π].
dan errores cuadráticos totales
c) Gráficamente, muestre que y=senx+2sen2x e y=2senx+1/2sen2x dan errores cuadráticos
totales mayores que y=2senx+sen2x, al aproximar f en [0,2π].
d) Usando la identidad de Parseval muestre que
π2
6
=
1
2
1
+
1
2
2
....+
1
n2
+...
4.8. CONVERGENCIAS EN DE LAS SERIES DE FOURIER
1 Convergencia Puntual.
Teorema 14. " Sea f∈SC( ), 2π- periódica y tal que f(x)=½[f(x +)+f(x -)] en todo x∈ 3.
Entonces la SF de f(x) CP a f(x0) en cada x0 donde f(x) tenga derivada por la izquierda y por
la derecha".
NOTA: En particular y f ' ∈SC( ) entonces SF converge a f(x) en cada x∈ .
2 Convergencia Uniforme.
Teorema 15. " Sea f∈C( ), 2π- periódica y tal que f ' ∈SC( ). Entonces la SF CU (y
también converge absolutamente) a f(x) en cada intervalo cerrado de .
NOTA: Observar que para que exista CU se exige que f(x) sea continua (pues todos los
términos de la SF son continuos), con sólo f ' ∈SC( ). Esto significa que f ' podría no existir
en algunos puntos y sin embargo la SF converge uniformemente.
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NOTA: Con una pequeña restricción podemos extender este resultado para incluir funciones
discontinuas. En efecto, " Si f∈SC( ), f '∈SC( ), 2π- periódica, entonces la SF CU en
cualquier intervalo cerrado de que no contenga puntos de discontinuidad de f(x)".
3 Convergencia en Media.
Teorema 16. " Si f∈SC( ) y es 2π- periódica, entonces la SF CM a f(x)".
NOTA: En cada uno de los resultados anteriores, podemos cambiar 2π- periódica por τperiódica, τ>0 arbitrario.
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