Razón de cambio. E: Un derrame de petróleo adopta una forma

Razón de cambio. E: Un derrame de petróleo adopta una forma

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Razón de cambio.
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pie. Si el petróleo se
50
está escapando a razón de 40 pies3 /min, ¿a qué razón está aumentando el radio de la mancha de
petróleo cuando el radio es de 50 pies?
E: Un derrame de petróleo adopta una forma circular y tiene un espesor de
D: H Sea la figura:
r
•
h=
1
50
pie
Notamos que el derrame tiene la forma de un cilindro recto circular, con una altura o espesor
1
pie y un radio variable r en función del tiempo t ≥ 0.
constante h =
50
Considerando que r = r(t) está en pies, el volumen del derrame V , medido en pies3 , es
π
1
2
2
V = πr h = πr
= r2 ,
50
50
es decir,
π
V (t) = [r(t)]2 .
50
La razón de cambio del volumen al paso del tiempo es
d
d hπ 2 i
d
π
V (t) =
r (t) =
× 2 × r(t) r(t),
dt
dt 50
50
dt
esto es,
dV
π
dr
= r
.
dt
25
dt
dV
= 40.
Como el petróleo se está escapando a razón de 40 pies3 /min, entonces,
dt
Por lo tanto
dr
π
r
= 40.
25
dt
dr
π
(50) = 40, de donde
En el instante en que el radio es r = 50 pies, sucede que
25
dt
dr
(40)25
20
=
=
,
dt
50π
π
que es la rapidez de cambio del radio.
dr
20
Esto es, el radio está aumentando a razón de
=
pies/min.
dt
π
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canek.azc.uam.mx: 6/ 3/ 2007
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