corrección

IES LILA
Curso 10/11
1ºBACH. MÁT.APLICADAS I
SOLUCIÓN EXAMEN ANÁLISIS
1.-
a) El número de metros cuadrados que un pintor puede pintar en un día nos vienen dado por la
5070 x
1 x
función f(x) =
, donde x representa el número de años de experiencia como pintor. Determina
los metros cuadrados que pintará:
 un empleado recién contratado.
f (0)  501700 0  50
 50 Un empleado recién contratado pintará 50 m .
1
2

un pintor con cuatro años de experiencia.
f (4)  501704 4  330
 66 Un empleado con cuatro años de experiencia pintará 66 m .
5
2

si suponemos que crece indefinidamente la experiencia. Para averiguar la respuesta a esta pregunta
debemos calcular el límite cuando x tiende a infinito:
lim  50170x x       70 Por mucha experiencia que tenga un pintor, el número de metros
x 
cuadrados que pintará en un día será de 70.
b) Asocia cada una de las gráficas que tienes a continuación con su expresión algebraica
correspondiente:
f(x) = -5x2 +8
f(x)
f(x) = 6
f(x)
f(x) = -6/x
f(x)
f(x)=-5x^2+8
8
8
6
6
4
4
f(x)=-6/x
f(x)=4
8
6
4
2
2
2
x
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
-2
-4
-6
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-8
f(x) = 2x+5
f(x)
f(x) = 2x2 – 3x
f(x)
f(x)=2x+5
8
f(x) = 5. 0,25
f(x)
f(x)=5*0.25^x
6
x
f(x)=2x^2-3x
8
8
6
4
6
2
4
x
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
-2
x
-9
2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4
-2
x
-6
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-8
-4
-2
-6
-4
-8
-6
2.- A partir de la gráfica de la función que tienes a
continuación, calcula:
f(x)
-8
8

Dominio y Recorrido.
Dom f = R – {-2, 0,2} Img f = R

Ecuación de las asíntotas horizontales y
verticales.
x = 0; x = 2; y = 0
Continuidad.
La función es discontinua en x = 0 y x = 2.
En ambos puntos presenta una

6
4
2
x
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
1
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
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discontinuidad de salto infinito. También es discontinua en x=-2. En este punto presenta una
discontinuidad evitable.
Monotonía y extremos relativos.
Intervalos de crecimiento (-2, 0) (0,2) (2, ∞)
Intervalos de decrecimiento (-∞, -2) .La función no presenta extremos relativos.
limx f(x)= 0
limx - f(x)= 0
limx -2+ f(x)= -1
limx -2- f(x)= - 1
limx -2 f(x)= - 1
limx0+ f(x)=
-∞
3.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones, así como las asíntotas verticales y
horizontales de las funciones de los apartados a), b) y c).
a) f(x) = 12x5+2x3+10x
c)
f ( x) 
x
x  5 x 1
2
b)
g ( x) 
d) h(x) =
5 x3 7 x2 3
8 x2 4
1 3x
a) Puesto que se trata de una función polinómica Dom f = R, y no tiene ni asíntotas verticales ni
horizontales.
b) Puesto que se trata de una función racional, el dominio son todos los números reales menos los que
anulen al denominador (y no al numerador simultáneamente). Para encontrar esos valores resolvemos la
siguiente ecuación: 8x2+4 = 0; 8x2 = -4; x=
La

función
no
2
Esta ecuación no tiene solución real. Por tanto Dom f= R y
verticales. Para encontrar asíntotas horizontales calculamos
    
tiene
5 x 7 x 3
8 x2 4
x
lim
3
asíntotas


4
8
: la función no tiene asíntotas horizontales.
c) Puesto que se trata de una función racional, el dominio son todos los números reales menos los que
anulen al denominador (y no al numerador simultáneamente). Para encontrar esos valores resolvemos la
siguiente ecuación: x2+ 5x + 1= 0, Al hacerlo obtenemos dos soluciones: x1=
Dom f = R – {

    0
. Por tanto
}. La función tiene dos asíntotas verticales, x1=
lim
x
encontrar asíntotas horizontales calculamos x x 2 5 x 1
asíntota horizontal y = 0, por la derecha e izquierda.


. Para
: la función tiene una
d) Para encontrar el dominio debemos resolver la siguiente inecuación: 1- 3x ≥ 0; -3x ≥ -1; 3x ≤ 1: x ≤ 1/3.
Por tanto Dom f = x ϵ (-∞, 1/3]
4.- La siguiente tabla muestra la tasa de paro de EEUU registrada en dos momentos de la década de los
años sesenta en los que había tasas de inflación diferentes.
Inflación (%)
Paro (%)
1,9
4,4
3,6
3,7
Halla el valor de la tasa de paro en un momento en el que la tasa
de inflación fuese del 3% mediante interpolación lineal.
Debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,9; 4,4) y ( 3,6; 3,7). Para ello
resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:
4,4 = 1,9 a + b
3,7 = 3,6 a + b
Obtenemos a≈ -0,41 y b≈ 5,18 Por tanto la ecuación de la recta será f(x) = -0,41x + 5,18.
Para una tasa de inflación del 3%, es decir x = 3, cabe esperar una tasa de paro f(3) = -0,41·3 + 5,18 =
3,95% ≈4%
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5.- Representa gráficamente la siguiente función e indica su dominio y recorrido. Estudia la continuidad.
f(x)=
x - 1 si x  0
x2 - 1 si 0 ≤ x < 6
5
si x  6
Puesto que los intervalos
no estaban correctamente
planteados en el examen,
el
estudio
de
la
continuidad no será tenido
en cuenta. En esta
corrección del examen los
límites si son correctos.
En este caso la función
presenta un único punto
de discontinuidad en x =
6. Es una discontinuidad
evitable de salto finito.
Nº de hormigas (millones)
6.- El número de hormigas con alas H(x), en millones, en una región, depende de la lluvia caída x, en
milímetros. Si la función que relaciona una y otra variable es H(x) = 70x – 5x2, determina, representándola
previamente:
a) ¿Cuántas hormigas habrá si caen 200 mm de agua? Interpreta el resultado.
b) La cantidad de lluvia que hace máxima la población de hormigas.
c) Halla los puntos de corte de H(x) con los ejes e interpreta su significado.
Lluvia (mm)
a) f(200) = 70·200 - 5·2002= -186.000 El valor negativo obtenido nos indica que con ese nivel de lluvia
no pueden existir hormigas con alas. Además, como podemos observar en la gráfica, a partir de los
14 mm de lluvia no existen las hormigas con alas.
b) Para responder a esta pregunta necesitamos calcular el vértice de la parábola: (7, 245). Por tanto, la
cantidad de lluvia que hace máxima la población de hormigas (7 millones) es de 245 mm.
c) Para encontrar los puntos de corte con el eje OX tenemos que resolver la ecuación 70x – 5x2 = 0.
Obtenemos dos puntos de corte (0,0) y (14,0). El primero indica que si no llueve no hay hormigas
con alas y el segundo que, a partir de los 14mm dejan de existir las hormigas con alas, es decir la
cantidad máxima de lluvia que toleran las hormigas con alas es 14mm. El punto de corte con el eje
OY es también (0,0).
3