La proporcion aurea o razon aurea: Aplicaciones y su

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La proporcion aurea o razon aurea: Aplicaciones y su
Revista Digital:
Reflexiones y Experiencias Innovadoras en el Aula.
ISSN 1989-2152
DEP. LEGAL: GR 2327/2008 Nº-19 – ABRIL DE 2010
“LA PROPORCIÓN ÁUREA O RAZÓN ÁUREA:
APLICACIONES Y SU DIDÁCTICA EN LA ESO.”
AUTORIA
FERNANDO VALLEJO LÓPEZ
TEMÁTICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
ETAPA
ESO
Resumen
EN ÉSTE ARTÍCULO VAMOS A VER LA PROPORCIÓN ÁUREA O RAZÓN ÁUREA; QUE ES LA
PROPORCIÓN QUE MÁS APARECE EN LA NATURALEZA Y EN EL ARTE, Y LA QUE MÁS HA
SIDO UTILIZADA Y ESTUDIADA POR EL HOMBRE. VAMOS A VER SU HISTORIA Y ALGUNAS
PROPIEDADES IMPORTANTES. TAMBIEN VAMOS A VER LAS DISTINTAS APLICACIONES DE LA
PROPORCIÓN ÁUREA; Y SU DIDÁCTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
(ESO).
Palabras clave
•
•
•
•
Proporción áurea, razón áurea, o divina proporción.
Propiedades e historia.
Aplicaciones.
Didáctica en la ESO.
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1. Introducción.
La proporción áurea o razón áurea, también conocida como número áureo, número de oro, media y extrema razón o divina
proporción; se representa por la letra griega Φ (fi) en honor al escultor griego Fidias. Es el siguiente número irracional:
Φ=
1+ 5
=1,6180339………………………………………
2
Es un número algebraico; es decir es solución de una ecuación algebraica. La proporción áurea posee muchas propiedades
interesantes, y fue descubierta en la antigüedad, no como una unidad sino como una proporción entre segmentos de rectas.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos como caracolas,
el grosor de las ramas de un árbol etc.
Asimismo, también se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la proporción áurea; así como una
importancia mística. A lo largo de la historia se le ha atribuido gran importancia en diversas obras de arquitectura y de otras
artes.
Media y extrema razón o sección áurea:
Se dice que el segmento ab, está dividido en media y extrema razón; si está dividido en dos partes tales que el segmento
dado a +b es a la parte mayor a, como está parte mayor es a la parte menor b. Esto se llama también, una sección áurea
del segmento ab.
a+b a
=
=Φ; a la parte mayor a se le llama razón áurea del segmento dado ab. Si dividimos a entre el segmento más
a
b
corto b se obtiene la razón áurea Φ.
Para obtener el valor de Φ, a partir de ésta proporción, se multiplica en cruz:
2
2
2
, o lo que es lo mismo a -ab-b =0. Resolviéndola por la fórmula general de una ecuación de 2º grado en la
(a+b).b=a
incógnita a se obtiene:
a=
b + −b 5 b.(1 + − 5)
=
2
2
. Con lo cuál
a
nos da la razón áurea Φ y su inversa Φ − 1
b
tomando estos valores en
valor absoluto; puesto que son segmentos.
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2. Historia de la proporción áurea o número áureo.
Existen varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirías de
alrededor de 2000 a.C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado
constantemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide
una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se
pueda considerar que el número áureo está presente; las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto
y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones, Mario
Livio y Álvaro Valarezo concluyen que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a.c.), quien lo definió de la siguiente
manera:
“Se dice que una línea recta esta dividida en el extremo y su proporcional, cuando la línea
entera es al segmento mayor como el mayor es al menor”.
Euclides en los elementos.
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir es
irracional.
Platón (c. 428-347 a.c.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo; embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de
teorema relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:
“Eudoxo… multiplico el numero de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio
Origen.”
Proclo en un comentario sobre el primer libro de los elementos de Euclides.
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha
sido motivo de gran controversia, y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada
que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran
de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y
matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
A pesar de los discutibles de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura
del cosmos, cosa que intento usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó
la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para
Platón cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón,
la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el universo como un
todo, estaba asociado con el dodecaedro.
En 1509 el matemático y teólogo, Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (la Divina proporción), en el que plantea
cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al número áureo:
1. La unidad: Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que este definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo, y la inconmensurabilidad de Dios son
equivalentes.
4. La autosimilaridad asociada al número áureo: Pacioli la compara con la omnipresencia e invariablididad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al universo a través de la quinta esencia, representaba por el
dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.
En 1525 Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, dónde describe
como trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos
platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos.
“La geometría tiene dos grandes tesoros: Uno es el teorema de Pitágoras; el otro la
división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos
Comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”.
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Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (el Misterio cósmico).
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán
Martín Ohm, hermano del célebre físico Georg Simón Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar
Matematik (las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
“Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes
Como éstas la sección dorada.”
Martín Ohm en Die Reine Elementar Matematik (las matemáticas puras elementales).
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo
incluyeran en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego
que significa corte o sección. Sin embargo la moderna denominación Φ la efectuó en 1990 el matemático Mark Barr en
honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego. Este honor se le concedió a Fidias por el
máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuia también al número áureo.
Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore
Cook.
3. Algunas propiedades importantes de la proporción áurea.
La proporción áurea Φ, es el único número real positivo que verifica:
2
n
n −1
n−2
Φ =Φ +Φ
para cualquier valor de ≥n2. Este resultado se prueba fácilmente por
Φ =Φ+1 ; y en general:
inducción sobre n.
La fama que tiene la razón áurea de estético, le viene dada por el rectángulo áureo, cuya anchura y altura están en una
proporción igual a la proporción áurea Φ. Es decir; siendo su anchura b, y su altura a se cumple que
b
=Φ.
a
Rectángulo áureo.
La mayoría de los rectángulos, que nos encontramos en la vida cotidiana son áureos. Por ejemplo si se mide el carnet de
identidad, DNI. Se observa que si se divide la medida más larga entre la más corta se comprueba que nos da
aproximadamente la proporción áurea o razón áurea Φ.
La proporción áurea también podemos encontrarla en otras figuras geométricas, por ejemplo en el pentágono regular, en el
que la razón entre la diagonal y el lado es igual a la proporción áurea,Φ.
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d
=Φ
l
La proporción áurea también podemos encontrarla en la naturaleza, por ejemplo, en la espiral de los nautilus (un tipo de
caracola) y las espirales de los girasoles.
También en la mayoría de los cuerpos humanos, comparando, la altura total de una persona con la que hay hasta su
ombligo, están en una proporción igual a la proporción áurea Φ.
4. Pitágoras y la proporción áurea.
Pitágoras (c.582-500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los
primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a
exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en trotona, una colonia griega al
sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filósofos, conocido como pitagorismo. La
filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Los Pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la
obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del
autoanálisis. Los Pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras
proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su
vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los Pitagóricos se encuentran sus estudios de los números
pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de
vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llego a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y
armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el
gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece
que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Una revuelta provocada en Trotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la
sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Trotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos
provocó el éxodo a la Grecia continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.
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El pentágono estrellado o estrella pentagonal, era según la tradición el símbolo de los seguidores de Pitágoras .Los
pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenían cabida los números
fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: El número áureo o de oro; es
decir la proporción áurea Φ.
5. Aplicaciones de la proporción áurea.
5.1. La proporción áurea en la geometría.
La razón áurea, está presente en todos los objetos geométricos regulares o semirregulares en los que haya simetría
pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de 5.
• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado o estrella pentagonal y el pentagrama.
• Relación entre las partes del decágono.
• Relación entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.
5.2. La proporción áurea en la naturaleza.
En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la proporción áurea: Por ejemplo podemos establecer una
relación con Φ:
• En la distancia de los diferentes planetas del sistema solar al sol.
• En las semillas de los girasoles.
• En la relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panel.
• En las proporciones morfológicas de una abeja.
• En la temperatura corporal de los animales.
• En la disposición de los pétalos de las flores.
• En la distribución de las hojas en un tallo.
• En la relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles.
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En la relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias.
En la distancia entre las espirales de una piña.
En la relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como
el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones áureas. La primera
de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo. Las conchas del Fusas antiquus, del Murex,
de scalaria pretiosa, y de solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral.
En los copos de nieve, todos guardan la proporción áurea en su forma.
En la forma espiral de las galaxias, hasta la División Cassini de los anillos de Saturno están en una proporción igual
a la proporción áurea Φ.
5.3. La proporción áurea en el ser humano.
La anatomía de los humanos se basa en una relación
Φ estadística y aproximada a la razón áurea; así vemos que la
proporción áurea aparece en:
• La relación entre la altura de un ser humano, y la altura de su ombligo.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos, y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda,
o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
• La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
• Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se
obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales.
• Es Φ, la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar.
5.4. La proporción áurea en la arquitectura.
Es incontable la cantidad de obras arquitectónicas de todos los tiempos, en los que se hace presente la razón áurea. Hay
un precedente a la cultura griega donde también apareció la razón áurea .En La Gran pirámide de Keops, el cociente
entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2 Φ .La pirámide de Keops mide 230 metros
de lado y la base de la pirámide es cuadrada.
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono, es la razón áurea. En un
pentágono regular está basada la construcción de La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
El creador del Partenón de Atenas fue Fidias. En realidad, la proporción áurea Φ (fi), se representa así en honor a Fidias.
Y corresponde a la inicial de Fidias en griego.
La fachada del Partenón es un perfecto rectángulo áureo; pero además hay una serie de medidas en el edificio que también
poseen proporciones áureas.
5.5. La proporción áurea en el arte.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó Leonardo Da Vinci.
Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli
propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas
.Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del
cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos, cuando los
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brazos están extendidos y formando un ángulo recto con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado
del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia), es la razón áurea.
El cuadro de Dalí Leda, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente Pitagórica. Se
trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En
el boceto de 1847 se advierte el meticuloso análisis geométrico realizado por Dalí; basado en el pentagrama místico
Pitagórico.
La espiral logarítmica ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas Se le
llama también espiral equiangular o espiral Geométrica.
J. Bernouilli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su
Tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos, gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales
(flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más
representativo es la concha del nautilus (concha de un caracol).
La relación de la forma de La Gran Pirámide de Gizeh, Heródoto afirmaba que el cuadrado de la altura es igual a la
superficie de una cara, pero esto solo es posible si la semi-sección meridiana es proporcional al triángulo rectángulo. La raíz
cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triangulo a la apotema
de La Gran Pirámide, (aunque esta afirmación es perfectamente posible, existen desacuerdos ya que se cree que debido a
la antigüedad de la misma, dicha precisión debía tener pequeños fallos). La relación en las partes, el techo y las columnas
del Partenón en Atenas. O la relación en la altura y la división en sus partes de la Torre Eiffel, también aparece la
proporción áurea.
5.6. La proporción áurea en la música.
En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana
posible a la razón áurea.
Características de la sonata Nº 1 para piano de Mozart:
o El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero
o Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 62/ 38= 1,6316.
o Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46/28 = 1,6429.
Aunque no sabemos con precisión que Beethoven estuviera al tanto de esto, pero en su quinta sinfonía, distribuye el tema
siguiendo la sección áurea Φ. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella.
Los músicos de Jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de escalas, armonía y formas que usan
habitualmente, pero igual producen obras armoniosas.
El piano: El piano esta constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas.
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Así, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8
teclas blancas y 5 teclas negras (en grupos de 2 y 3).
5.7. La proporción áurea en la vida cotidiana.
El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones y representaciones
artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su
elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un
rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para las
ventanas, camas, etc.
5.8. La proporción áurea en el misticismo.
En la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre plano vertical y el horizontal es el número áureo Φ. Así mismo, el
palo horizontal divide al vertical en secciones áureas.
6. Aplicación didáctica de la proporción áurea en la ESO.
La razón áurea Φ, es un número irracional, al ser decimal infinito no periódico; y por tanto no se puede expresar en forma
de fracción. Se aplica en 3º y 4º de ESO, cuando se estudian los números racionales. También cuando se estudian en estos
dos cursos el tipo de ecuaciones, se ve que el número áureo o de oro es un número algebraico; es decir el número:
Φ=
1+ 5
=1,618…………………………………Es solución de una ecuación algebraica (polinómica).
2
Este número, es muy utilizado en la vida cotidiana, en la naturaleza, en la arquitectura y en el arte, y en la música, en el ser
humano, y en la Geometría; como hemos visto anteriormente.
Éste es el número más utilizado en las relaciones humanas, y el que más abunda en la naturaleza, y el que más han
utilizado arquitectos, escultores y pintores en sus obras artísticas.
En el renacimiento, Luca Pacioli la llamo la Divina proporción, conociéndose así desde entonces.
7. Conclusión:
La proporción áurea o razón áurea Φ, es el número más utilizado en la naturaleza, en el arte, en la música, en arquitectura,
en el ser humano y en la Geometría. Se le llama también número áureo o de oro. Es el número más estudiado por el
hombre, y el que más aparece y abunda en las relaciones humanas. Es una proporción muy importante utilizada en todos
los tiempos por arquitectos, escultores y pintores.
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8. Referencias Bibliográficas.
Pacioli, L. (1991) L a Divina proporción. Madrid: Ediciones Akal.
Ghyka, M. (2006). El número de oro. I Los ritmos. II Los ritos. Madrid: Ediciones Apóstrofe.
Ghyka, M. (1992). El numero de oro. Barcelona: Ediciones Poseidón.
http:// www.ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.
http:// www.portalplanetasedna.com.ar/divina_proporcion.htm.
http:// www.wikipedia.org/wiki/Número_aureo.
http:// www.centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.../Rc-25htm.
http:// www.artesaniasymanualidades.com/...laseccion_aurea_aplicada_al_arte.php.
Autoría
· Fernando vallejo López
· IES Luís bueno crespo, Armilla, Granada
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