TERMODIN ´AMICA DE HORIZONTES DE KILLING Killing horizons

TERMODIN ´AMICA DE HORIZONTES DE KILLING Killing horizons

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TERMODINÁMICA DE HORIZONTES DE KILLING
Killing horizons thermodynamics
HUGO RODRIGUEZ CASTILLO
Universidad Nacional de Colombia
OAN
[email protected]
Abstract
Se muestra que existe un baño térmico de partı́culas
fuertementente localizado cerca del horizonte. Se calculan cantidades termodinámicas tales como temperatura,
energı́a y entropı́a de entanglement para un horizonte de
Killing.
We show the existence of thermal ambient of particles
strongly concentrated near the horizon. Temperature, energy and entanglement entropy for Killing horizons are calculated
1. Introducción
Bekenstein encontró que un agujero negro de
Schwarzschild tiene una entropı́a que es proporcional
al área del horizonte de eventos[1]. Como una consecuencia de esto, los agujeros negros emiten radiación térmica
con un espectro que corresponde al de un cuerpo negro.
Con el transcurso del tiempo, para comprender las
caracterı́sticas de la entropı́a de los agujeros negros se
han seguido varios caminos; uno de estos es mediante
la entropı́a de entanglement[2], que es una de las de las
propuestas más aceptadas para la explicación del origen
cuántico de la entropı́a de los agujeros negros.
Igualmente, después que Bekenstein formulara que
los agujeros negros deben estar dotados de entropı́a y
que Hawking mostrara que estos emiten radiación (efecto
Hawking), fue pronto descubierto por Unruh [3] que efectos térmicos similares al efecto Hawking, son asociados
a los llamados horizontes de Rindler para un observador
acelerado en el espacio-tiempo plano. En términos de
Padmanabhan[4], la termodinámica de los agujeros negros
se puede extender además a otros horizontes asociados
JOSÉ ROBEL ARENAS S
Universidad Nacional de Colombia
OAN
[email protected]
tales como: Rindler, de Sitter y cosmológicos, ya que estos
presentan propiedades termodinámicas asociadas a los
horizontes.
Por otra parte, la aplicación de la dinámica de campos
térmicos de Umezawa y Takahashi a los agujeros negros,
estableció que observadores cuya observación de modos
de campo esté limitada por un horizonte, perciben efectos
térmicos de vacı́o[5]. Este es un resultado muy importante
que permitió unificar y generalizar los resultados térmicos
de Fulling, Hawking y Unruh[6,7,3].
Otros autores han intentado extender el concepto de
entropı́a de los agujeros negros a principios más generales.
En particular, Ted Jacobson[8], ha defendido la idea de que
la relación entre entropı́a y área de un agujero negro puede
ser extendida a otros horizontes de eventos como es el caso
de observadores acelerados en el espacio-tiempo plano.
Hoy dı́a se piensa que las leyes de la termodinámica de
los agujeros negros serı́an un resultado particular de los
efectos térmicos de horizontes causales. Para establecer la
validez de una entropı́a de horizontes sin agujeros negros,
Jacobson argumenta que existen leyes generales de la
termodinámica de horizontes estrictamente análogas a las
leyes para agujeros negros para horizontes de Killing[8,9].
En el sentido de la propuesta de Jacobson, en este
artı́culo se muestra que existe un baño térmico de partı́culas
cerca del horizonte y se calculan cantidades termodinámicas
tales como temperatura, energı́a y entropı́a de entanglement
para un horizonte de Rindler.
2. Termodinámica de un horizonte de Rindler
Para tener una descripción térmica del sistema es necesario determinar la distribucción de densidad energı́a y
presión para los estados de vacı́o de Rindler y Minkowski,
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como también localizar la entropı́a. Para esto se considerará el tensor momentum-energı́a para un campo escalar Φ
definido sobre la geometrı́a con métrica
ds2 = −f (r)dτ 2 +
dr2
+ dz 2 + dy 2 ,
f (r)
(1)
donde α representa la altura propia de la pared por encima
del horizonte y diverge cuando α → 0. Además, esta entropı́a es proporcional al área de la pared. El resultado
obtenido en (7) está de acuerdo con la entropı́a encontrada
por ’t Hooft[11].
con f (r) = r.
3. Conclusiones
Al realizar el cálculo de la densidad de energı́a para un
campo escalar se obtiene
La Principal contribución de este artı́culo es mostrar
que existe un baño térmico de partı́culas cercano a los
horizontes de Killing, el cual se considera como el sistema
termodinámico asociado a los horizontes de Killing. Para
estos sistemas termodinámicos asociados a los horizontes
g
a partir de
de Killing, se introduce la temperatura T = 2π
1
2π
(4) con β = g = T .
lim! < T00 (x, x" ) >M −R = −
x→x
!
∞
e
0
4πp2 dp
, (2)
− 1 (2π)3
E
E
T
lo cual corresponde a un ambiente térmico fuertemente
localizado cerca del horizonte, de acuerdo con [10].
El resultado térmico dado por (2) satisface las leyes
usuales de la termodinámica con la entropı́a y la temperatura expresadas de la forma siguiente:
Para calcular la entropı́a se recurre a la expresión
S = −β
∂lnZ
+ lnZ,
∂β
(3)
donde Z es la función de partición y puede ser escrita
como
Z=
"
1
,
1 − e−βEk
k
(4)
= , siendo g la aceleración propia de un
con β =
observador asociado con la presencia de un horizonte de
eventos.
Finalmente, la entropı́a puede ser escrita de la forma
2π
g
1
T
S=
!
R
4πr2
ro +#
dr
1
f2
s(r),
donde s(r) es la densidad de entropı́a y esta dada por
! ∞
p2 eβE 4πp2 dp
1
.
s(r) =
3T 2 0 (eβE − 1)2 h3
(5)
[1] J.D Bekenstein, Black holes and entropy,Phys. Rev. D7
(1973) 2333-2346
[2] L Bombelli, R.K Koul, J. Lee and R.D Sorkin, Phys.
Rev. D34, 373(1986)
[3] W.G Unruh, Phys. Rev. D14, (1976)
[4] Padmanabhan, Gen. Rel. Grav 34, 2029 (2002)
[5] W.Israel, Phys. Lett. 57A,106 (1976)
[7] S.W. Hawking, Comm.Math. Phys.43 (1975) 199.
(6)
Al realizar el cálculo de la entropı́a siguiendo el modelo
de la pared (Brick Wall)[12] se encuentra que la entropı́a
resultante, evaluada para la temperatura de Rindler es:
A
,
360πα2
References
[6] S.A Fulling, Phys. Rev. D7, 2850(1973)
Los cálculos realizados anteriormente permiten conseguir que la entropı́a sea finita, esto se logró recurriendo
al modelo de la pared[11,12]. Este modelo describe cerca
del horizonte la misma fı́sica que describe el modelo de
entanglement.
S=
Por otra parte, se obtuvo una expresión para la entropı́a
de entanglement (SE ) asociada al espacio tiempo de Rindler
dada por la expresión (7). Para que esta expresión fuera
finita se realizó un corte siguiendo el modelo de la pared
(Brick Wall)[11,12]. Se encontró que la entropı́a es proporcional al área, donde α se puede fijar de tal manera que SE
sea igual a la entropı́a Bekenstein- Hawking(SBH ).
(7)
[8] T. Jacobson, R. Parentani, gr-qc/0302099
[9] T. Jacobson, gr-qc/9908031
[10] J.R Arenas, J.M Tejeiro. Black Hole Entanglement
Entropy, XXVIII Spanish Relativity Meeting. AIP
Conf. Proc. 385. ERE(2005).
[11] G.’tHooft,Nucl.Phys.B256,727(1985)
[12] S. Mukohyama,
104005(1998)
W.
Israel,
Phys.rev.
D58,