Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están

Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están

Liceo N°1 “Javiera Carrera”
8° años 2011
GUIA DE ESTUDIO : “ Cuerpos geométricos”
Prof. Juan Schuchhardt E.
DEFINICIÓN: Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están limitados
por superficies planas y de contorno poligonal.
Un poliedro cualquiera tiene: caras, aristas, vértices, ángulos.
Caras: Son los polígonos planos que limitan el poliedro. Hay caras básales y
caras laterales.
Las caras laterales son regiones rectangulares y las caras basales son regiones
poligonales cualesquiera, es decir, pueden ser un cuadrado, un rectángulo, un
triángulo, un pentágono, etc.
Caras basales Caras laterales
rectángulo
ABCD
rectángulo ABFE
rectángulo
EFGH
rectángulo DCGH
a
rectángulo ADHE
a
rectángulo BCGF
Aristas: Son las intersecciones de dos
caras. Se puede decir también que son los lados de los polígonos que forman las
caras del poliedro.
El poliedro tiene aristas laterales y aristas basales.
Aristas laterales: AE, BF, CG, DH;
Aristas basales: AB, BC, CD, DA y EF, FG, GH, HE
Vértices: Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como
los puntos en que se cortan las aristas.
Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H
Ángulos diedros: Es la abertura comprendida entre dos caras que se cortan
1.
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Ángulos poliedros: Es la abertura que se forma en la intersección dos a dos
de varias caras.
A es el vértice del ángulo poliedro
Los cuerpos geometricos corresponde a una figura geométrica tridimensional,
es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta
característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias
superficies.
Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo
es un poliedro.
Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares.
Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas
polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y
cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5
poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro,
Dodecaedro , Icosaedro.
Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy
importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos
sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al
propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del
universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo
al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por
Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una
famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de
caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se
resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este
resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de
únicamente cinco poliedros regulares.
Tetraedro
Hexaedro
(cubo)
Octaedro
Dodecaedro Icosaedro
4 caras
8 caras
20 caras
6 caras
12 caras
(triángulos
(triángulos
(triángulos
(cuadrados
(pentágono
equiláteros
equiláteros
equiláteros
)
s regulares)
)
)
)
N° de caras
4
6
8
12
20
N° de
vértices
4
8
6
20
12
N° de aristas
6
12
12
30
30
N° de lados
de cada cara
3
4
3
5
3
N° aristas
concurrente
s en un
vértice
3
3
4
3
5
2.
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Tetraedro regular:
está formado por 4 caras triangulares
Hexaedro regular: (cubo):
está formado por 6 cuadrados.
Octaedro regular:
está formado por 8 triángulos equiláteros.
Dodecaedro regular:
lo forman 12 caras pentagonales.
Icosaedro regular:
está constituida por 20 triángulos equiláteros.
Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos
y dos polígonos iguales llamados bases,
cuyos planos son paralelos
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3.
Pirámide:
Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera
al que se llama base y las caras laterales son triángulos
que tienen un punto en común llamado vértice.
Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono que no están
limitados por polígonos, sino por superficies curvas; se llaman cuerpos redondos,
que también han recibido desde antiguo una atención especial y cuyas superficies
y volúmenes estaban ya estudiados en la obra de Euclides.
Cuerpos redondos: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por
superficies curvas.
Cono
Cilindro
Esfera
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4.
Área total y volumen de cuerpos goometricos
Figura
Esquema
Área
Volumen
V = π r2 · h
Cilindro
Atotal = 2π r ( h + r )
Esfera
Atotal = 4π r2
Cono
Atotal = π r2 + π r g
Cubo
A = 6 a2
V = a3
Prisma
A = (perim.base ∙ h) + 2 ·
area base
V = área base ∙
h
Pirámid
e
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5.
Poliedros regulares
Figura
Esquema
Área
Volumen
Tetraedro
4 caras, triángulos
equiláteros
Octaedro
8 caras, triángulos
equiláteros
Cubo
6 caras, cuadrados
Dodecaedro
12 caras, pentágonos
A = 30 · a · ap.
regulares
Icosaedro
20 caras, triángulos
equiláteros
A = 6 a2
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha
escrito el Universo.
Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
6.