D - Canek

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Un termómetro que indica 70 ı F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la
temperatura marcada por el termómetro es de 110 ı F después de medio minuto y de 145 ı F
después de 1 min. ¿A qué temperatura está el horno?
D: H La temperatura T .t/, en ı F, que marca el termómetro al cabo de t minutos está dada por la
solución del PVI:
1
0
D 110 & T .1/ D 145:
T .t/ D kŒT .t/ Ta ; con T .0/ D 70 y además T
2
Donde Ta es la temperatura del horno. Resolvamos primero la ED.
Z
Z
dT
dT
dT
D k.T Ta / )
D k dt )
Dk
dt )
dt
T Ta
T Ta
) ln j T Ta j ) k t C C1 ) j T Ta j D e ktCC1 D e kt e C1 D e kt C )
[Observe que T < Ta , entonces j T
)
.T
Ta j D .T
Ta / D C e kt )
Ta /].
T C Ta D C e kt ) T .t/ D Ta
C e kt :
La expresión anterior es la solución general de la ED. Mediante las condiciones, encontraremos
la solución particular.
T .0/ D 70 ) Ta C e 0 D 70 ) C D Ta 70 ) T .t/ D Ta .Ta 70/e kt I
1
k
1
D 110 ) Ta .Ta 70/e 2 k D 110 ) Ta C .70 Ta /e 2 D 110I
T
2
T .1/ D 145 ) Ta .Ta 70/e k D 145 ) Ta C .70 Ta /e k D 145:
Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .Ta & k/ que resolvemos así:
k
k
110 Ta 2
110 Ta
k
Ta C .70 Ta /e 2 D 110 ) e 2 D
) e D
I
70 Ta
70 Ta
145 Ta
Ta C .70 Ta /e k D 145 ) e k D
:
70 Ta
Igualando las expresiones para e k se tiene que:
2
110 Ta
145 Ta
D
) .110 Ta /2 D .145 Ta /.70 Ta / )
70 Ta
70 Ta
) 12 100 220Ta C Ta2 D 10 150 215Ta C Ta2 )
) 5Ta D 1 950 ) Ta D 390:
La temperatura a la que está el horno es: Ta D 390 ı F.
14. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010