Sección 5.5 Más sobre gráficas trigonométricas

Sección 5.5 Más sobre gráficas trigonométricas

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Las Funciones Trigonométricas
Sección 5.5
Más sobre gráficas
trigonométricas
Introduction
• Las gráficas trigonométricas siguen las
mismas reglas de transformación en el
plano que las gráficas de otras funciones.
• Por ejemplo, para graficar
f(x) = a sin x ó g(x) = a cos x,
podemos tomar las coordenadas de
y = sin x ó y = cos x y multiplicarlos por
a.
Gráfica de y = 2 sin (x)
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟐𝝅
Podemos observar que en ambos casos el largo de
un ciclo (o sea el periodo de la función) es 𝟐𝝅.
1
2
Gráfica de y = sin (x)
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟐𝝅
Podemos observar que en ambos casos el largo de
un ciclo (o sea el periodo de la función) es 𝟐𝝅.
Amplitud
• Para cualquier a ≠ 0, la gráfica de
y = a sin x
tiene la misma forma y los mismos ceros (int-x)
que la gráfica del y = sin x.
• El signo y el valor absoluto de a determinan si se
refleja la gráfica de y = sin x y la cantidad de
estiramiento (o encogimiento) que ésta sufre,
respectivamente.
Amplitud (cont.)
• La amplitud de la
gráfica o, de manera
equivalente, la
amplitud de la función
f (x) = a sin (x) está
dada por |a|.
• Gráficamente, es
𝑦𝑚𝑎𝑥 −𝑦𝑚𝑖𝑛
2
Ejemplo
• Construya la gráfica de y = 3cos x y determine su
amplitud.
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟐𝝅
Podemos observar que en ambos casos el largo de
un ciclo (o sea el periodo de la función) es 𝟐𝝅.
Desplazamiento vertical
Ahora consideramos
y = sin x + d
y = cos x + d
Nota que la amplitud de ambas gráficas es
• Amplitud = |a|= 1
• Partimos de las tablas básicas que hemos
usado anteriormente, ya que según las
expresiones, debemos buscar el valor de sin
x (o cos x) y luego sumarle d.
Gráfica de y = cos (x) + 3
𝑷𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐 = 𝟐𝝅
Podemos observar que en ambos casos el largo de
un ciclo (o sea el periodo de la función) es 𝟐𝝅.
Identifique la gráfica de
g(x) = sin (x) - 2
¿Cuál es la amplitud de la gráfica D ?
Amplitud y Periodo
Ahora consideramos
y = a sin bx y
y = a cos bx
Para a y b real, diferente de cero
• Amplitud = |a|
• Si b > 0 , podemos identificar el periodo de
𝟐𝝅
la gráfica como P = .
|𝒃|
Ejemplo
Determinar el periodo y la amplitud de
y = 3 sin 2x.
Luego, construya su gráfica.
Solución:
Usando a = 3 y b = 2 tenemos que
Amplitud = 3
2π
Periodo =
|b|
2π
=
|2|
=π
Solución (cont)
x
0
𝜋
8
𝜋
4
3𝜋
8
𝜋
2
5𝜋
8
3𝜋
4
7𝜋
8
𝜋
3sin2x
0
2.1213
3
2.1213
0
- 2.1213
-3
- 2.1213
0
Ejemplo
Determinar la amplitud y el period y trace la
gráfica de y = 𝟐 cos
1
𝑥
2
Solución:
• amplitud
• periodo
• Entonces, hay un ciclo completo de
amplitud 2 en el intervalo [0, 4π].
Solución (cont)
x
0
𝜋
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
2cos(0.5x)
2
1.4142
0
-1.4142
-2
5𝜋
2
-1.4142
3𝜋
0
7𝜋
2
4𝜋
1.4142
2
Ejemplo
Hallar la amplitud y el periodo de y = 2 sin (–3x),
luego trace su gráfica.
Solución: Primeramente debemos notar que como sin
(–3x) , –sin(3x), una expresión equivalente para la
función es
y = –2 sin (3x)
amplitud =
Periodo = Como b = 3, el periodo es
,
Hay un ciclo completo de la gráfica que tiene amplitud
igual a 2 en el intervalo
.
El hecho de que a<0 implica que la gráfica es una
reflexión sobre el eje de x.
Solución (cont)
Hay un ciclo completo de la gráfica en el intervalo
x
0
𝜋
6
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
-2sin(3x)
0
-2
0
2
0
0,
2𝜋
3
,
Ejemplo
• Trazar la gráfica de y = 2 sin (x) + 3.
• Es importante notar que esto es diferente a
y = 2 sin x + 3
Es una traslación
vertical de
y = 2 sin x, 3
unidades
Obtener la ecuación de la forma
f(x) = a cos(bx)
para a < 0, b > 0
Amplitud:
Los máximos y mínimos de y son 4 y –
4, respectivamente .
Por lo tanto, la amplitud = 4.
Pero como a<0, trataremos la gráfica
como una reflexión y usaremos
a=-4
Periodo:
Como un ciclo de la gráfica del coseno
ocurre en el intervalo [0,2],
el periodo es 2 . Por lo tanto,
2𝜋 = 2𝑏
𝒃=𝝅
Por lo tanto una ecuación podría ser:
y = - 4 cos (𝜋 x)
Cambio de fase
• Consideraremos la gráfica de
y = a sin(bx + c).
Igual que antes,
amplitud es |a|
2π
periodo es
|b|
–c (Esto es el desplazamiento
Además, cambio de fase
horizontal.)
b
• Un intervalo que contiene un ciclo de la
gráfica es
Ejemplo
Para 𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙 +
Hallar
o
o
o
o
o
𝝅
𝟐
la amplitud
el periodo
el cambio de fase
un intervalo que contiene un ciclo de la gráfica
trace un ciclo completo de la gráfica. Incluya una
tabla de valores que muestre los interceptos, el
mínimo y el máximo de la función en ese
intervalo.
Solución (cont)
𝜋
2
Para 𝒚 = 𝟑sin 2𝑥 +
• la amplitud es 3
• el periodo es 𝟐𝝅 = π
𝟐
𝒄
• el cambio de fase − =
𝒃
• Un intervalo que
contiene un ciclo de
la gráfica se puede
encontrar en:
𝝅
−𝟐
𝟐
𝝅
𝝅 𝟏
=
−
=− ∙
𝟒
𝟐 𝟐
Solución (cont)
Una tabla de valores que muestre
los interceptos, el mínimo y el
máximo de la función en este
intervalo es:
x
y
𝜋
𝜋
−
4
0
0
3
𝜋
4
0
𝜋
2
-3
3𝜋
4
0
3𝜋
𝜋
− −
4
4 =𝜋
4
4
Solución (cont. sin
calculadora grafica)
𝜋
𝑦 = 3sin 2𝑥 +
𝜋
Si x = 0
entonces
Si x = − 4
entonces
𝜋
2
𝜋
𝜋
𝑦 = 3sin 2 − +
4
2
2𝜋 𝜋
+
4
2
𝜋 𝜋
𝑦 = 3 sin − +
2 2
𝑦 = 3sin −
𝑦 = 3sin 0 = 0
Si x = 4
entonces
𝜋
𝑦 = 3sin 2(0) +
2
𝜋
2
𝑦 = 3sin 2
𝜋
𝜋
+
4
2
𝜋
𝑦 = 3 sin
2
2𝜋 𝜋
𝑦 = 3sin
+
4
2
𝜋 𝜋
𝑦 = 3 sin +
2 2
𝑦=3
𝑦 = 3sin 2𝜋 = 0
𝑦 = 3 sin 0 +
x
𝜋
−
4
0
𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
y
0
3
0
-3
0
Solución (cont)
Un ciclo de la gráfica
Solución (cont)
𝒚 = 𝟑 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙)
Obtener una ecuación de
la forma y = a sin (bx + c)
Obtendremos la ecuación para a > 0, b > 0, y el valor real positivo
menor para c.
Amplitud:
Los máximos y mínimos de y son
5 y –5, respectivamente por lo
tanto
a= 5
Periodo:
Como un ciclo de la gráfica
ocurre en el intervalo [–1, 3], el
periodo es 3 – (–1) = 4
Por lo tanto, podemos hallar b:
Note que la escala NO es trigonométrico.
Obtener la ecuación de la
forma y = a sin (bx + c)
La gráfica dada se ha obtenido desplazando la
𝜋𝑥
gráfica 𝑦 = 5sin
hacia la izquierda una unidad.
2
Por lo tanto,
−
𝑐
= −1
𝑏
𝐿𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠
y  5sin
 2 2 .

x

Cambio
de fase
Obtener una
ecuación de la
forma
y = a sin (bx + c)+d
Ejemplo
Obtendremos la ecuación para
a > 0, b > 0, el valor real positivo
más pequeño para c, y d igual
al desplazamiento vertical
Amplitud: la gráfica muestra
desplazamienlto vertical. Por lo
tanto, la amplitud está dada por
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 3 − (−1)
=
2
2
=
4
=2
2
a= 𝟐
Ejemplo (cont)
Obtener la ecuación
de la forma
y = a sin (bx + c)+d
Periodo: Un ciclo de la
gráfica ocurre en el
𝜋
intervalo [ , 𝜋]. Entonces
2
el periodo es
𝝅
𝝅
𝝅− =
𝟐
𝟐
Por lo tanto,
2𝜋
𝜋
=
𝑏
2
4𝜋 = 𝜋𝑏
𝒃=𝟒
Cambio de fase:
No hay cambio de fase
Desplazamiento vertical :
es de 1 unidad
Ejemplo (cont)
Obtener la
ecuación de la
forma
y = a sin (bx + c)+d
En resumen:
a= 2
b= 4
c= 0
d= 1
Por lo tanto la
ecuación podría ser:
y = 2 sin (4x) + 1
Hallar una ecuación de la
forma y = a cos(bx + c)
Hallar la ecuación de la forma
y = a cos(bx + c)
Amplitud =
𝒂=
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
(solución)
𝟑
𝟑
−−
÷𝟐
𝟒
𝟒
𝒂=
2𝜋
=𝜋
𝑏
2𝜋 = 𝜋𝑏
𝟑
𝟒
cambio de fase e𝑠
𝜋
hacia la izquierda
3
𝑐
𝜋
− =−
𝑏
3
𝑐
𝜋
− =−
2
3
𝟐𝝅
𝒄=
𝟑
periodo=
2𝜋
3
𝜋
− −3 = 𝜋
Hallar la ecuación de la forma
y = a cos(bx + c)
(solución continuada)
En resumen:
𝟑
a=
𝟒
b=2
2𝜋
c=
3
𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔:
𝟑
𝟐𝝅
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 +
𝟒
𝟑