rubato composer - Georgia State University

Transcripción




Orígenes en PRESTO, una aplicación para
computadoras desarrollada por Guerino Mazzola.
RUBATO es un entorno universal de software para la
música, desarrollado desde 1992 bajo la dirección de
Guerino Mazzola.
El sistema de RUBATO COMPOSER fue desarrollado
en la tesis docotral de Gérard Milmeister (2006),
donde implementó la Arquitectura Funtorial de
Conceptos basada en el formato de datos de Formas y
Denotadores. http://www.rubato.org/


Este software trabaja con componentes llamados
rubettes. ( ejectuan tareas básicas para la
representación musical y cuya interfaz con otros
rubettes se basa en el formato universal de datos
de los denotadores).
El formato de datos de denotadores usa
pregavillas evaluadas en conjuntos, de la categoría
de módulos con morfismos diafines.
http://www.rubato.org/


Aunado a lo que RUBATO COMPOSER es
para el compositor y teórico de la música,
también es una herramienta excelente para
aprender conceptos matemáticos sofisticados.
Las matemáticas involucradas son
sofisticadas y podrían ser accesibles, de
manera formal, al estudiante promedio de
matemáticas en su último año, después de
tener alguna experiencia con cursos tales
como Álgebra Lineal, Álgebra Moderna,
Análisis o Topología, pero se enseñarían,
por lo general, a nivel de posgrado.



Las possibilidades de la expansion del
conocimiento y nuevas aplicaciones;
El peligro de la superficialidad, contaminación
y el rendimiento ante la moda;
Las posibilidades que ofrecen la Teoría
Matemática de la Música y sus aplicaciones a la
base de conocimientos de los estudiantes de las
Matemáticas, la Música, y la Ciencia de la
Computación, sin excluir los de otras áreas.



Se reconoce, en términos generales, que hay una
laguna entre la formalidad de las matemáticas
modernas como son concebidas y enseñadas por
matemáticos entrenados y las matemáticas que se
consideran relevantes por los no-matemáticos.
Cuando las matemáticas se insertan en distintos
contextos prácticos, frecuentemente es más fácil
lograr que los estudiantes piensen
matemáticamente de manera natural.
Aun los estudiantes de matemáticas suelen tener
dificultades en hallarle sentido a la presentación
formal de su materia. (MacLane, 2005).

La creación de materiales didácticos y
cursos interdisciplinarios, con el uso de
RUBATO COMPOSER como terreno
común, abre un abanico de
posibilidades para la Teoría Matemática
de la Música y para el desarrollo de
investigadores en el campo. También se
puede justificar por sí sólo, donde se
concibe RUBATO COMPOSER como
una herramienta de aprendizaje.


la Revista Internacional de Computadoras
para el Aprendizaje de las Matemáticas “…
publica contribuciones que exploran la
potencialidad única de las nuevas tecnologías
para profundizar nuestra comprensión del
campo del aprendizaje y la enseñanza de las
matemáticas.”
Una revisión de artículos de 2006-8, ilustra que
la noción de utilizar software específicos para
realzar el aprendizaje de las matemáticas tiene
una historia reciente respetable y ha sido
analizada empleando paradigmas de
investigación bien documentados.


El uso del formalismo para construir
significado es un método que presenta mucha
dificultad para los estudiantes , pero es la
única forma de aprender una gran parte de las
matemáticas.
El escribir programas de computación para
expresar conceptos matemáticos puede ser una
manera efectiva de alcanzar esta meta de
aprendizaje de las matemáticas avanzadas.
(Dubinsky, 2000)


El software RUBATO COMPOSER abre la
posibilidad de crear significado para los
formalismos de ciertas áreas de las
matemáticas y de acelerar los procesos de
aprendizaje y comprensión.
Estas áreas matemáticas (Álgebra Abstracta
más allá de la Teoría de Grupos, Teoría de
Categorías y Topos) no son consideradas en la
literatura sobre aprendizaje basado en la
computadora, o en el aprendizaje de las
matemáticas universitarias en general.




El aprendizaje basado en la computadora en la
Música usualmente se relaciona con el
entrenamiento en las habilidades auditivas, la
lectura y otras áreas esenciales al estudiante de la
Música.
Lenguajes de respresentación Musical , como
Common Music, OpenMusic, y Humdrum, para la
composición y el análisis, que sí requieren
conocimiento de la programación.
RUBATO COMPOSER ofrece a los estudiantes
de la Música la oportunidad de introducirse a las
matemáticas de alto nivel, involucradas in la
Teoría Matemática de la Müsica moderna.
Esto puede realizarse de una manera relativamente
(no completamente) “sin dolor”, en comparación
con lo que significa aprender este material de
forma tradicional.



RUBATO COMPOSER se basa en el formato
de datos de Formas y Denotadores.
Las Formas son espacios matemáticos con una
estructura precisa y los Denotadores son
objetos en los espacios de Formas.
La Teoría de Categorías es el fundamento
matemático sobre el cual esta base conceptual
particlar de la Teoría Matemática de la Música
se construye.



En la arquitectura de RUBATO COMPOSER los
módulos son un elemento básico, similar a los tipos
primitivos en los lenguajes de programación.
La estructura recursiva de una Forma, si no es
circular, “parará” eventualemente en una Forma
Simple que, en efecto, es un módulo.
Los morfismos entre módulos (cambios de
dirección), son parte del software.

En el desarrollo de los sistemas de manejo de las bases de
datos, los objetos deben nombrarse y definirse de
manera recursiva y deben admitir tipos, que en este
contexto, son tales como límite, colímite, y potencia.

Es necesario trabajar con las estructura algebráica de
módulos, y a la vez formar construcciones cuyos
prototipos se encuentran en la categoría de conjuntos.

Esta es la razón por la cual que, en el contexto de
RUBATO COMPOSER, el enfoque es trabajar en la
categoría de pregavillas sobre módulos (cuyos objectos
son funtores ).


Por medio de la creación de denotadores, y las
estructuras recursivas de tipos cuando
trabajando con Formas,el estudiante de
matemáticas acostumbrado al formalismo de
las matemáticas abstractas, tiene la
oportunidad de participar en la
implementación concreta de estos conceptos.
El estudiante de matemáticas que todavía
batalla para encontrar significado en el
formalismo abstracto, puede encontrar un
vehículo por medio del cual este proceso se
acelere.




La mayoría de los rubettes disponibles en este
momento son de “nivel bajo”.
Uno de los objectivos de los diseñadores de
RUBATO COMPOSER es crear más rubettes de
alto nivel que presenten interfaces más
“amigables” y un lenguaje para el usuario no
matemático, en particular el compositor o
musicólogo.
Sin embargo, los músicos interesados en usar la
tecnología de manera inovadora no pueden
aislarse de las matemáticas usadas para crear sus
herramientas.
El análisis musical en sí y mucho de la
ontología musical están relacionados de
manera intrincada con el marco matemático.


El estudiante de Música no tiene que tratar los
objectos matemáticos de la misma forma como
el estudiante de matemáticas (tampoco el
estudiante de ciencias de la computación). Sin
embargo, si quiere seguir el desarrollo de la
investigación en la Teoría Matemática de la
Música, necesita una comprensión del lenguaje
y los conceptos detrás de las herramientas.
Esto es especialmente cierto en el caso de
RUBATO COMPOSER, el cual ha sido
diseñado como el resultado de un enfoque
definido con precisión y, tal vez, revolucionario
hacia el análsis musical.


Aun con los rubettes de alto nivel que están y
estarán disponibles, es posible trazar los pasos y
descubrir las matemáticas detrás de su
construcción.
Cuando la terminología cambia de
‘transposición’ a ‘traslación’ y, en general, de la
‘inversión’, ‘retrógrada’, ‘aumentación’
musicales al lenguaje de las transformaciones
matemáticas, o morfismso, se le presenta al
estudiante de Música la oportunidad de
desarrollar una comprensión del significado
detrás del formalismo.


En RUBATO COMPOSER no sólo traslaciones,
sino morfismos afines en general, pueden ser
empleados para generar la ornamentación
musical.
El “Wallpaper” rubette, desarrollado por
Florian Thalmann, también abre la posibilidad
de generar morfismos en cualquier espacio ndimensional (por ejemplo, empleando las cinco
Formas Simples del denotador Nota - Onset,
Pitch, Duration, Loudness, Voice- una
transformación en 5D puede ser definida).


Cuando se trabaja con transformaciones afines
en 2D, se puede dar una orden por medio de
‘arrastrar’ el ratón, en vez de definir los
morfismos.
Una unidad donde se introducen los
conceptos básicos del Álgebra Lineal, Teoría
de Grupos y Geometría que se necesitan para
estudiar la Teoría Matemática de la Música,
como se ha desarrollado durante los últimos 40
años, podría ser creada.




El ejemplo más ‘extremo’, hasta ahora, el BigBang
rubette, también desarrollado por Florian
Thalmann, en el contexto de La Teoría Matemática
de Gestos y la Semiótica Computacional.
Basado en un marco general para técnicas de
composición geométricas.
Dado un conjunto de notas, su imagen se calcula
por medio de transformaciones invertibles en
espacio n-dimensional.
Hay un teorema que enuncia que una
transformación afín invertible en n dimensiones
puede ser escrita como una composición de
transformaciones, cada una actuando sobre sólo
una o dos de las n dimensiones.






Las funciones componentes (actúan sobre sólo
una o dos de las n dimensiones) representadas
geométricamente como cinco operaciones
matemáticas estándares que tienen su
representación musical:
Traslación (transposición en la Música)
Reflección (inversion, retrógrada en la Música)
Rotación (inversión-retrógrada en la Música)
Dilataciones (aumentaciones en la Música )
Shear (arpeggios).


Una Muestra de una Unidad y su
Enfoque en las Diferentes Disciplinas
Una unidad de muestra se crea para ilustrar cómo el
análisis y creación de un objeto musical pueden
darles a los esutdiantes de diferentes disciplinas,
en particular Matemáticas, Ciencias de la
Computación y Música, una comprensión más
profunda de las matemáticas abstractas, mientras
satisface los intereses estéticos.

Descripción del Módulo: El desarrollo de una frase
melódica, transformada recursivamente por
transformaciones en el plano como ornamentación,
empleando el Wallpaper rubette en RUBATO
COMPOSER
Objectivos y Actividades:
Todos los estudiantes podrán:
 Identificar las transformaciones rígidas en el plano y
darle un significado musical. Por ejemplo:

Traslaciones matemáticas – transposiciones musicales;
 Reflexiones matemáticas – inversión, retrógada
musicales;
 Rotación matemática– inversion-retrógrada musicales;
 Dilatación matemática – aumentación en tiempo musical ;
 Shearing matemática – arpeggios musicales en tiempo.




Todos los estudiantes podrán:
Usar el software RUBATO COMPOSER y, en
particular, el Wallpaper rubette, para generar
ornamentación musical por medio de diagramas
de morfismos (funciones).
Crear e interpretar transformaciones, y
composiciones de transformaciones, como la
siguiente, en la cual f1 es una rotación de 180
seguida por una traslación, y f 2 es una translación.



Seleccionar cualesquiera de las coordenadas de el
denotador Note (que es de dimension 5) y
combinarlas.
Cuando se escogen dos coordenadas, digamos,
Onset y Pitch, los estudiantes las relacionarán con
las transformaciones rígidas del plano euclidiano.
Los estudiantes de Matemáticas (y los de las
Ciencias de la Computación) construirán los
morfismos fomralmente; los estudiantes de
Música pueden utilizar la sucesión de
transformaciones primitivas, arrastrando el ratón.
Los estudiantes de Matemáticas podrán:
 Construir los morfismos de módulos de la Forma Nota a la
Forma Nota. Por ejemplo, utilizando las coordenadas Onset y
Pitch, pueden construir las siguiente composición de
inclusiones, proyeciones y transformaciones afines.

La creación de una frase melódica donde i1 e i2 son las inyeciones


2
y e2 es la inclusión
. La transformación (una

ornamentación musical, como se vio en la transparencia previa) se aplica ,
y para que las coordenadas regresen a los morfismos de módulos.
on y
pn
las proyecciones p1 y p2 se aplican, donde c representa
cuantizada a


on
=
p1 ○ f ○ (( i1 ○ o) + ( i2○ e2○ p)): A →
pn =c ○p2○ f ○ ((i1 ○ o) + ( i2 ○e2 ○ p)): A →
Tópicos Generales
Temas
Sobresalientes Temas
(Matemáticas)
(Música)
Sobresalientes
Teoría Transformacional
Teoría de Grupos, Teoría de
Conjuntos,
Teoría
de
Funciones,
Geometría,
Topología.
Análisis de obras musicales
de todos los géneros. En el
caso de la música Clásica, el
análisis de la música moderna
atonal que no se puede
analizar con las herramientas
tradicionales de la teoría
musical.
Subdivisión de la Octava; Teoría de Grupos, Teoría de
Conjuntos
Máximamente Números,
Ecuaciones
Pares.
Diferenciales,
Fracciones
Contínuas.
Exploración
de
escalas
diferentes
y
exóticas;
Composición con el empleo
de escalas poco usuales.
Formas y Denotadores; El Teoría de Categorías y
Software
RUBATO Funtores, Teoría de Topos,
COMPOSER
Conjuntos
y
Módulos,
Transformaciones Lineales,
Afines y Diafines, Algebra
Lineal, Geometría, Teoría
Matemática de los Gestos.
Composición
Musical,
Ornamentación de la música
existente; Algoritmos para la
Composición; Teoría de
Contrapunto.






MacLane, Saunders. Despite Physicists, Proof is Essential in
Mathematics. Synthese 111, 2, 147-154 (May, 1997).
Mazzola, G, Milmeister, G, Morsy, K., Thalmann, F. Functors for Music:
The Rubato Composer System. In Adams, R., Gibson, S., Müller Arisona,
S. (eds.), Transdisciplinary Digital Art. Sound, Vision and the New Screen,
Springer (2008).
Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software ComponentBased Implmentation of a Functorial Concept Architecture. Springer-Verlag
(2009).
Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural
Music Composition with Rubato Composer ICMC 2008
http://classes.berklee.edu/mbierylo/ICMC08/defevent/papers/cr1316.p
df
Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of
Transformations, Masters Thesis, Bern (2007)
International Journal of Computers for Mathematical Learning,
http://www.springer.com/education/mathematics+education/journal/1
0758
Creating and Implementing a Form
Space and Denotator for Bass Using
the Category-Theoretic Concept
Framework
The Dilemma
•
The dilemma resides in how to
maintain the algebraic structure
of the category of modules(over
any ring, with diaffine
morphisms) and, at the same
time, construct such objects as
limits, colimits, and power, and
classify truth.
The Dilemma
•
The functorial approach leads to the
resolution of this dilemma by working in the
category of presheaves over modules (whose
objects are the functors F: Mod → Sets, and
whose morphisms are natural
transformations of functors) and which will be
denoted as Mod@.
• This category is a topos, which means that it
allows all limits, colimits, and subobject
classifiers Ω, while retaining the algebraic
structure that is needed from the category
Mod.
My Research
• My research consists of creating a
form broad enough for the majority
of simple electric bass scores, and a
denotator which represents the jazz
song “All of Me”. The recursivity of
the mathematical definitions of
form and denotator are made
evident in this application
Bass Score Form
Name Form Bass Score
GeneralNotes
SimpleNote
Denotator “SimpleNote”
•
For an example of how to
build a denotator I will take a
small part of my denotator
named “SimpleNote”
Creating the Denotator of “All of
Me”
•
A single denotator N1 of the form:
SimpleNote is created from the coordinates
of the denotator which themselves are forms
of type simple: Onset, Pitch, Duration,
Loudness, and Voice.
Creating the Denotator of “All of
Me”
•
•
As we don't have time to see
how all of the module
morphisms are constructed we
will build the pitch module
morphism “mp”.
All the others are built
analogously.
Bassline for “All of Me”
Creating the Denotator in Rubato
Composer
•
To create the denotator for the Jazz song “All
of Me” we must first create the Module
Morphisms
Composer
•
•
Once we've opened our module
morphism builder in Rubato
Composer we will start creating a
module morphism for pitch.
First we must create “mp2” and “mp1”
and then they will be used to make
“mp”, which is a composition of the
two.
Composer
•
•
•
For mp2 the domain is determined from
the number of musical notes in the bass
line.
For instance, the bass line I wrote for “All
of Me” contains 64 notes.
We establish the first note as the anchor
note, so for our domain we use Z63.
Composer
•
mp2 is an embedding of the canonical vectors plus the
zero vector, that goes from Z63 → Q63.
mp1
•
•
mp1 will take us from Q63→ Q.
We will set up the module
morphism in the same way as
mp2, except we will select
affine instead of canonical.
mp1
mp
•
•
To create mp, we bring up the
module morphism builder,
and create a module
morphism with the domain
of mp2 and a codomain of
mp1.
Which results in mp1○mp2 =
mp.
mp
mp
•
mp: Z63 → Q63 → Q: x → (4, 7, 9, 7, 4,
0, 2, 4, 8, 11, 8, 4, 2, -1, -4, -3, -1, 1, 4,
7, 6, 5, 4, 2, 5, 9, 12, 11, 9, 5, 2, 4, -8, 3,
4, 8, 4, 0, -1, -3, -1, 0, 4, 9, 7, 5, 4, 2, 6,
12, 11, 9, 6, 0, 2, 5, 9, 2, 6, 7, -5, -1,
2)●x + 48
•
Example, when x=(0,...,0)
(4,..., 2)●(0,...0) + 48 → 0+48 → 48
Which is the first note in our bassline.
Module Morphisms
•
•
All of the Module Morphisms
are made in the same way.
Once all of the Module
Morphisms are built we can
arrange them using the
denotator builder.
Denotator Builder
Creating Denotator
Using Rubettes in Rubato
Composer
•
•
To play our bass line in Rubato
Composer, we must create a network
using rubettes.
We will need to set up three rubettes;
the Source rubette, the @AddressEval
rubette, and the Scoreplay rubette.
Source
Source
Source
@AddressEval Rubette
•
•
Next open the @AddressEval
Rubette.
This rubette will be directly
connected to the Source
rubette.
Scoreplay Rubette
•
•
To play our bassline we need
to open the scoreplay rubette
and connect it to the
@AddressEval rubette.
This is done the same way as
the Source and @AddressEval
rubettes.
Finished Network
Pianola
Rubato Composer and its
Functorial Approach:
From Morphisms to Gestures through
Rubettes
Jonathan Cantrell
Junior Mathematics
Georgia State University
Diaffine Transformations
Working in the category Mod of modules over
any ring whose morphisms are diaffine
transformations which gives us the ability to
perform operations from one module to another
Diaffine transformations are module morphisms
plus a translation
 A dilinear homomorphism from an R-module M to an
S-module N plus a translation in N
Why Topoi?
Rigidly defined categories which are a
generalization of the category of Sets
Allows the composer to perform set-valued
operations where the elements in the sets are
module morphisms over any ring
Sets are required within the framework of the
Form and Denotator concept as the evaluation
of the colimit of Score:Note
Geometric Representation
Module morphisms in n-dimensional space
embedded into a Form of type Simple
Any diaffine transformation h in n-dimensional
space can be written as a composition of
transformations hi which involve only one or two
dimensions of the n dimensions and leave the
others unchanged
In our particular example, we are in ℝ5 we want
to operate exclusively on pitch and onset,
therefore we apply this construct to work in ℝ2
The Functorial Approach
Our work focuses on the category of
presheaves over modules
 The objects of this category are the functors that
take us from Mod to Sets
 The morphisms in this category are called Natural
Transformations
The functorial approach respects the
composition of the modules themselves while
affording us the versatility of sets
My Research
I have developed an example of a 12-note
melodic phrase recursively transformed using
the Wallpaper rubette. I further generalize this
series of transformations using the high-level
tool of the BigBang rubette available in Rubato
Composer
Compound Transformations
An example of two translations applied
recursively.
For a specific Note denotator, we operate
exclusively on the module morphisms Onset
and Pitch
Compositions
As stated, the module morphisms contained in
the Simple forms Onset, o: A → ℝ and Pitch,
p: A → ℚ are extracted from the Note denotator
We now need to compose these module
morphisms as follows
Compostitions
This is described by the following compositions:
 i₁ ○ o : A → ℝ2,
 i₂ ○ e₂ ○ p : A → ℝ2,
Where i₁ and i₂ are the injections ℝ → ℝ2, and e₂ is the
embedding ℚ → ℝ.
In order to combine these two morphisms into a
single instance of ℝ2 we must sum them such
that onset and pitch become respective axes in
ℝ2
Compositions
The transformation f is then applied, and finally,
to return the coordinates to the module
morphisms on and pn, we apply the projections
p1 and p2 as follows where c represents ℝ
quantized to ℚ
 on = p1 ○ f ○ ((i1 ○ o) + (i2 ○ e2 ○ p)): A → ℝ
 pn = c ○ p2 ○ f ○ ((i1 ○ o) + (i2 ○ e2 ○ p)): A → ℚ
Tracing the modules on which these
compositions take place we have
 onset: ℤ11 → ℝ11 → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ
 pitch: ℤ11 → ℚ11 → ℚ → ℝ → ℝ2 → ℝ2 → ℝ → ℚ
Morphisms to Gestures
The Wallpaper rubette is an example of a lowlevel process
 We are working in a very mathematical context
For the composer, this will not always be
appropriate, as mathematics may be a means
rather than an end
For this reason Gesture Theory is being
developed by Dr. Guerino Mazzola and Florian
Thalmann as implemented in the BigBang
rubette
 Gestures as curves in topological space
Future Applications
The Rubato Framework gives the composer an
alternate view of composition, working from a
functorial perspective
Also the musician can gain insight into a branch
of mathematics using intuition as a guide
opening up exciting educational avenues
The highly characterizable nature of the
category theoretic framework opens up the
opportunity for any system to modeled
effectively
Bibliography
– Milmeister, Gérard. The Rubato Composer Music Software: Component-Based
Implementation of a Functorial Concpet Architecture Zürich: 2006
– Thalmann, Florian and Mazzola, Guerino. The BigBang Rubette: Gestural
Music Composition with Rubato Composer
– Thalmann, Florian. Musical Composition with Grid Diagrams of
Transformations Bern: 2007
– “Pro Tools.” http://www.digidesign.com/
– “Logic.” http://www.apple.com/logicstudio/
– “Cubase.” http://www.steinberg.net

rubato composer - Georgia State University

Transcripción

Documentos relacionados

Program