tesis completa . - Universidad Autónoma de Guerrero

Transcripción

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS
DIFICULTADES QUE PRESENTAN LOS ESTUDIANTES
DE TERCER GRADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
AL TRABAJAR CON LOS DIFERENTES REGISTROS
DE REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS, ÁREA:
MATEMÁTICA EDUCATIVA.
PRESENTA:
RAQUEL GUZMÁN DAMIÁN
DIRECTOR DE TESIS:
M. C. HERMES NOLASCO HESIQUIO
ACAPULCO, GRO. DICIEMBRE DEL 2006.
AGRADECIMIENTOS
Doy gracias a Dios por guiar mi camino y por permitirme llegar a una de mis
metas que siempre había deseado y a mis padres por darme la vida.
A mis hermanos Macedonio, Leovi y Adela por el apoyo brindado.
De manera muy especial agradezco a mi hermana Edith y a su esposo
Domingo Eugenio por su apoyo incondicional para llevar a cabo este trabajo.
Agradezco enormemente al M. en C. Hermes Nolasco Hesiquio
Por su paciencia, su valioso tiempo, su gran apoyo y su sabia dirección para el
desarrollo de este trabajo.
Al Dr. Santiago Ramiro Velásquez Bustamante y al Lic. Mario Rodríguez Valdés
por la revisión y sus acertados comentarios para el enriquecimiento de este
trabajo.
DEDICO:
A mis padres:
Marcelino Guzmán y Catalina Damián
por brindarme su cariño y su confianza.
A mi maestro:
Thomas Abraham Mayoral Olmedo por su confianza
y gran apoyo para la continuación de mis estudios,
y su mejor deseo por verme superada cada día.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN......................................................................................................6
CAPÍTULO 1. ASPECTOS ESENCIALES DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 Planteamiento del problema……………………………………………………….9
1.2 Objetivo de la investigación……………………………………………………….9
1.3 Preguntas de investigación……………………………………………………….10
1.4 Metodología utilizada en la investigación………………………………………..10
CAPÍTULO 2. ELEMENTOS TEÓRICOS
2.1 Un aprendizaje basado en las representaciones…………………………………...12
CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN LINEAL
3.1 Aplicación de la función lineal...…………………………………………………18
3.2 La solución de problemas en educación secundaria……………………………...20
3.3 La función como objeto de enseñanza……………………………………………21
3.3.1 Plan y programas…………..……….…...………………………………...23
3.3.2 Secuencia y organización de contenidos…………………………………24
3.3.3 El libro para el maestro……………………………………………………25
3.3.4 El fichero de actividades…………………………………………………..27
3.3.5 Texto que utiliza el alumno……………………………………………….29
3.4 Tipos de representaciones……………………………………….………………..31
CAPÍTULO 4. ANÁLISIS DE LA EXPERIMENTACIÓN
4.1 Análisis de la actividad 1…………………………………………………………36
CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS..................................…...….....58
CONCLUSIONES…………….................................................................................61
RECOMENDACIONES….………….…………………………………………...62
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA..…..………………………………………63
ANEXOS
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo es una investigación que tiene como objetivo primordial identificar
las dificultades que presentan los estudiantes de tercer grado de educación secundaria, al
trabajar con los diferentes registros de representación de las funciones, particularmente
la función lineal.
El concepto de función relaciona una gran variedad de representaciones (como son la
representación gráfica, la expresión algebraica, la tabular, figuras, lengua natural), éstas
son muy mencionadas tanto en los materiales de apoyo para el profesor y en los textos
utilizados por el estudiante al abordar el tema. La comprensión de esta noción involucra
la articulación coherente de estos registros de representación que juegan un papel
primordial en la resolución de un problema, como lo menciona Duval (1998) sobre
registros de representación semiótica, la conversión o transformación de una
representación en otra perteneciente a otro registro, juega un papel fundamental en la
actividad matemática. Se ha demostrado en estudios experimentales, Hitt (1996), tanto
con alumnos como con profesores de matemáticas que algunos sistemas son más
difíciles de articular que otros, en el estudio realizado por Ismenia (1998), afirma que los
estudiantes sometidos a dicha investigación mostraron deficiencias conceptuales y falta
de coordinación entre la representación gráfica y el lenguaje natural. Con fundamento en
los resultados de estos estudios preliminares y atendiendo al objetivo principal, se diseñó
un cuestionario que consta de seis actividades, la tarea solicitada en estas actividades
eran precisamente el paso de un registro de representación a otro, con la finalidad de
conocer con mayor precisión las dificultades que presentan los alumnos al trabajar con la
función lineal, estos resultados muestran que de acuerdo con la tarea solicitada los
estudiantes muestran deficiencias conceptuales y por supuesto la falta de coordinación
de los diferentes registros de representación.
Para tal motivo este trabajo se organiza en cuatro capítulos.
En el primer capítulo, se plantea el problema de investigación, el objetivo principal, las
preguntas que orientan a dicha investigación y la metodología utilizada. En el segundo
capítulo, se habla acerca de algunas investigaciones realizadas en torno a las dificultades
para articular los registros de representación como elementos teóricos que son la base
del soporte de este trabajo. En el tercer capítulo se presenta un análisis didáctico del
concepto de función lineal, atendiendo a los documentos oficiales y al libro de texto para
el alumno de educación secundaria, con la finalidad de conocer el objetivo general que
recomiendan estos materiales. En el cuarto capítulo se describen las actividades
aplicadas y los resultados obtenidos comentando acerca de algunas dificultades que
presentan los estudiantes y realizando una explicación de los resultados.
En la sección de Anexos se muestran las actividades aplicadas a los estudiantes.
CAPÍTULO 1
ASPECTOS ESENCIALES DE LA INVESTIGACIÓN
Una de las características más importantes de las matemáticas en la actualidad, es su uso
en casi todas las áreas del quehacer humano, desde las actividades cotidianas hasta la
investigación científica.
La matemática educativa estudia los procesos de transmisión, adquisición y construcción
de los diferentes contenidos matemáticos en situación escolar, se propone describir y
explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre enseñanza y aprendizaje del saber
matemático. Donde a partir de los estudios realizados desde esta disciplina, se han
identificado problemas en el proceso enseñanza-aprendizaje de la matemática y se ha
contribuido además, con propuestas para mejorar este proceso.
Los modelos lineales son muy importantes en matemáticas porque permiten resolver
aquellos problemas de la ciencia que se comportan linealmente y aproximar otros cuya
modelación es no lineal. Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (aún
cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en
correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números
reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida
diaria. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un
conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para
así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta
correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de
producto como "y".
Las funciones reales de variable real, que tienen la forma f ( x) = ax + b , son uno de los
modelos lineales más simples y representan para estudiantes de educación secundaria el
primer contacto formal con el concepto de función, en muchas de las aplicaciones
importantes de las funciones subyace la idea de variación; la idea de una cantidad que
varía al cambiar los valores de otra. De aquí el interés mostrado por algunos
investigadores, en explicar las dificultades de aprendizaje enfrentadas por los estudiantes
para entender aquellas nociones relacionadas con las funciones lineales.
Leinhardt (1990), reconoce que una tarea de mayor dificultad es la traducción entre las
representaciones gráfica y algebraica.
Eisenberg (1992) señala que la función es un concepto trascendental en la comprensión
de la matemática y que desarrollar en los estudiantes una sensibilidad para las funciones
debe ser uno de los objetivos primordiales del currículum.
1.1 Planteamiento del problema de investigación
Diversas investigaciones constatan que los estudiantes presentan diferentes dificultades
al trabajar con la función lineal. (Janvier, 1978 y 1987; Duval, 1998; Ismenia, 1998;
Hitt, 1996).
El problema que motiva esta investigación tiene que ver con la inquietud de saber cuáles
son las dificultades que presentan los estudiantes y las concepciones que tienen acerca
del tema de función lineal y las formas de representación que conocen y utilizan.
El problema de investigación consiste en conocer ¿cuáles son las dificultades que
presentan los alumnos de tercer grado de educación secundaria al trabajar con las
diferentes formas de representación semiótica de la función lineal?
1.2 Objetivo de la investigación
Para tal motivo, se ha planteado como objetivo fundamental realizar un análisis
exploratorio para identificar las dificultades que presentan los estudiantes de educación
secundaria al trabajar con las diferentes formas de representación de la función lineal.
1.3 Preguntas de investigación
Para orientar esta investigación se plantean las siguientes preguntas:
1. ¿Cuáles son los argumentos que el alumno utiliza al trabajar con funciones
lineales de la forma f(x) = mx+b, desde las diferentes formas de representación?
2. ¿Qué dificultades enfrentan los estudiantes de secundaria al trabajar con las
diferentes formas de representación de la función lineal?
3. ¿Cuáles son las formas de representación de la función lineal más usadas por los
estudiantes?
1.4 Metodología utilizada en la investigación
La presente investigación se aborda desde el enfoque esencialmente exploratorio y
cualitativo.
Por lo que se sustentó en el análisis de las producciones de los estudiantes para indagar
los efectos que producían las secuencias con fines de detectar algunas dificultades en la
conversión de un registro a otro, para lo cual se desarrolla de la siguiente manera:
1.
Estudio documental.
a) Se realizó un breve análisis de algunas investigaciones (Janvier, 1978 y 1987;
Duval, 1998; Hitt, 1996; Hitt, 2003) realizadas en torno a las dificultades
que presentan los estudiantes al trabajar con los diferentes registros de
representación de la función lineal.
b) Un análisis bibliográfico de los materiales de apoyo para el profesor de
educación secundaria, plan y programas, organización y secuencia de
contenidos, el fichero de actividades y el libro para el maestro, así mismo dos
libros de texto utilizado por el estudiante; con la finalidad de conocer cuáles
son los registros de representación que sugieren estos materiales cuando se
aborda el tema de función lineal, así mismo, las actividades recomendadas y
las habilidades que se deben desarrollar con dicho tema, para así realizar el
diseño de las actividades a aplicar.
2.
La experimentación. Las actividades fueron aplicadas a estudiantes que estaban
culminando el tercer grado de educación secundaria. El cuestionario se aplicó de
manera grupal, el cual constaba de dos actividades, se les dio las indicaciones
necesarias, se les aclaró algunas dudas para que procedieran a contestar las
actividades, y se les pidió que dieran explicación de sus respectivas respuestas.
3.
Finalmente se realizó el análisis de los resultados de la experimentación con las
producciones de los estudiantes con el objetivo de conocer con mayor precisión las
dificultades que presentan.
La experimentación se realizó de manera grupal a estudiantes de tercer grado de
educación secundaria, de la Secundaria Técnica No. 9 de Cd. Renacimiento. Para tal
propósito, se aplicó un cuestionario con seis actividades, de las cuales fueron
contestadas por 73 estudiantes de tres grupos: en el primer grupo participaron veinte
alumnos respondiendo la actividad uno y dos; veinticinco en la actividad tres y cuatro, y
veintiocho alumnos en la actividad cinco y seis.
CAPÍTULO 2
ELEMENTOS TEÓRICOS
2.1 Un aprendizaje basado en las representaciones
Como ya se ha mencionado, el objetivo de este trabajo es conocer las dificultades que
presentan los estudiantes al trabajar con las diferentes formas de representación de la
función lineal, para tal efecto, en este capítulo, se realiza un breve análisis de la
investigación de R. Duval (1998), la cual trata sobre los registros de representación
como se detallará enseguida, y otras investigaciones que de alguna manera consideran
estos aportes para la realización de sus investigaciones.
La enseñanza de la función lineal puede ser abordada mediante el uso de algunas de sus
representaciones: la algebraica, la tabular o la gráfica. A través de la manipulación de
estas tres formas de representación el estudiante realiza traducciones entre ellas, por
ejemplo, de la algebraica a la tabular, de la tabular a la gráfica, o de la gráfica a la
algebraica. La interacción con estas representaciones y la exitosa traducción entre ellas,
permite al estudiante explorar algunas nociones acerca del concepto de función, por lo
que resulta de gran interés prestar atención a lo que el estudiante realiza de ir de una
forma de representación a otra, ya que por ejemplo algunas traducciones no son directas,
sino que requieren de alguna otra forma de representación de intermedio para poder
efectuarse, como es el caso del proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, en que el
estudiante en ocasiones acude, como paso intermedio, a la tabulación de la expresión
algebraica, en donde obtiene una serie de valores que le permiten ubicar puntos en el
plano cartesiano y así construye la gráfica que corresponde a la función dada. Al
trabajar con la función lineal es de gran importancia trabajar con las diferentes formas de
representación.
Los elementos relevantes a considerar acerca de los aportes de R. Duval, son la
importancia de trabajar con los diferentes registros de representación semiótica1, y la
coordinación entre estos, ya que juegan un papel fundamental en la actividad
matemática, afirma que “los objetos matemáticos2 no son directamente accesibles a la
percepción humana o de una experiencia intuitiva, es necesario entonces poder
proporcionar representantes”.
Podríamos decir que la adquisición de los conceptos matemáticos es una aprehensión
conceptual y la actividad con los conceptos matemáticos sólo se da a través de las
representaciones semióticas. Es decir, un concepto matemático visto en sus diferentes
representaciones proporcionará información específica, dando solidez al concepto. Al
respecto, Duval señala:
La comprensión (integradora) de un contenido conceptual, reposa en la coordinación
de al menos dos registros de representación, y esta coordinación se manifiesta por la
rapidez y la espontaneidad de la actividad cognitiva de conversión.
Cabe destacar dos ideas importantes del párrafo anterior: coordinación y conversión. En
otras palabras, la aprehensión conceptual de un objeto matemático sólo se logrará si
existe actividad (cognitiva) con registros de representación, la cual deberá realizarse con
la coordinación de al menos dos de ellos.
Se entiende por conversión a la trasformación de una forma de representación en otro
registro de representación, conservando la totalidad o solamente una parte del contenido
inicial. Por ejemplo, realizamos una conversión cuando al resolver un problema
1
Representaciones semióticas: son producciones constituidas por el empleo de signos, que representan a
un sistema de representación, el cual tiene sus propios constreñimientos de significancia y de
funcionamiento. Éstas pueden ser representadas por medio de un enunciado en lengua natural, una fórmula
algebraica, una gráfica, una figura geométrica.
2
Duval (1998) menciona que los objetos matemáticos no es otra cosa que lo conceptual, (aprehensión
conceptual), ejemplos de objetos matemáticos: una escritura, una notación, un número, una función, un
vector, lo mismo lo son los trazos y las figuras geométricas.
matemático usamos un gráfico cartesiano para representar una función y en el siguiente
paso de la resolución, expresamos con una ecuación algebraica la misma función (o
viceversa), o cuando transformamos una ecuación en un enunciado en lengua natural (o
viceversa).
En el diseño y el análisis de las actividades de esta investigación entran en juego las
diferentes representaciones semióticas y se considera de gran importancia la conversión
que se realiza entre ellas.
Señala que una forma de medir la aptitud del alumno para realizar la conversión,
particularmente del registro gráfico al algebraico, es la capacidad de visualización.
Es necesario tener en cuenta que las representaciones semióticas no son un simple medio
de exteriorización de las representaciones mentales para fines de comunicación, sino que
también son esenciales para la actividad cognitiva del pensamiento, como lo afirma
Duval.
Garbin (2005) hace una explicación de los aportes de Duval de la siguiente manera:
En matemáticas se habilitan diferentes lenguajes matemáticos, como: el algebraico,
analítico, el geométrico, el gráfico y el verbal, y cada lenguaje utiliza ciertos registros de
representación semiótica que pueden ser del tipo lingüístico (lenguaje natural, escritura
algebraica, lenguaje formal) o de otro tipo (figuras geométricas, gráficos cartesianos,
esquema, etc.), esta información la muestra como se puede ver en el siguiente cuadro:
Contexto
algebraico
En
matemáticas
se habilitan
Contexto
analítico
Contexto
geométrico
Lenguajes matemáticos
Algebraico, analítico,
geométrico,
gráfico,
verbal.
Contexto
gráfico
Registros lingüísticos
(lenguaje
natural,
escritura algebraica,
lenguaje formal)
Otros registros (figuras
geométricas, gráficos
cartesianos, tablas…)
Contexto
físico
En un estudio realizada por Ismenia (1998) con estudiantes de primer año de ingeniería,
considerando como referencia el enfoque cognitivo basado en los registros de
representación semiótica Duval (1998), y su incidencia en el aprendizaje de nociones
matemáticas, en particular algunas propiedades de funciones y tomando en cuenta los
registros gráfico, algebraico (o formal) y lengua natural, afirma que los estudiantes
muestran deficiencias conceptuales y falta de coordinación entre los registros algebraico,
gráfico y lenguaje natural. Tienen dificultad para relacionar; ya que los estudiantes están
poco familiarizados en las funciones de coordinar la lectura de un hecho expresado en
un registro determinado y en la expresión o formulación en lenguaje natural y, a la
inversa, expresar un enunciado dado en lenguaje natural en términos de otro registro, y
por supuesto los traslados del registro gráfico al algebraico. Menciona que la
preparación de los estudiantes es insuficiente en este tipo de tareas; estas traducciones y
traslados requieren aprendizaje.
El trabajo de Janvier (1978), citado por Cruz (1998), lo enfoca a los diferentes medios de
representación, reporta que algunas traducciones no son directas, sino que requieren de
alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del proceso
de ir de lo algebraico a lo gráfico, en el que el estudiante acude, como caso intermedio, a
la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le
permiten ubicar estos puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica
correspondiente.
Janvier (1987, citado por González, M.) indica las habilidades que necesitan los alumnos
para realizar la exitosa traducción entre varias representaciones como se muestra en la
siguiente tabla:
Hasta
Desde
Descripciones
verbales
Tablas de datos
Gráficos
cartesianos
Expresiones
algebraicas
Descripciones
verbales
Tablas de datos
Medir
Leer
Interpretar
Reconocer una
fórmula
Gráficos
cartesianos
Esbozar
Expresiones
algebraicas
Modelizar
Dibujar
Ajustar
Ajustar
Leer
Calcular
Dibujar
En una investigación hecha por Hitt (1996), con 30 profesores de enseñanza media, en la
aplicación de 14 cuestionarios, con la finalidad de detectar con mayor precisión las
dificultades que presentan en la articulación de los diferentes registros de representación,
menciona que unos registros de representación fueron más difíciles de articular que
otros, por ejemplo, en el sistema semiótico de representación gráfica, los profesores no
identifican con facilidad las representaciones relativas a los subconceptos, dominio y
conjunto imagen, además, observa que los profesores tienen diferentes tipos de
dificultades de las que tienen sus alumnos, no realizan una articulación coherente entre
los diferentes sistemas semióticos asociados al concepto de función y poseen varias
ideas intuitivas como son la utilización del argumento geométrico (línea vertical) para
decidir si una curva es una función o no.
En cuestiones en donde se solicitaba la interpretación de una gráfica en un contexto
físico, y viceversa, el paso de un contexto físico a la representación gráfica, las
dificultades detectadas por Hitt (1996), estuvieron asociadas a:
La forma de la gráfica y no el estudio analítico de la información proporcionada
por la gráfica, determinó, en algunos profesores, el tipo de recipiente.
La forma del recipiente y no el estudio del fenómeno en un contexto analítico,
determinó los errores de la mayoría de los profesores.
CAPÍTULO 3
ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN LINEAL
De acuerdo al objetivo de esta investigación, en éste capítulo se realiza un breve análisis
de la importancia que tiene la resolución de problemas en la enseñanza - aprendizaje de
la matemática. Así como los propósitos específicos que se recomiendan para el
tratamiento del concepto de función en el sistema de enseñanza; para esto, se realiza una
revisión de los programas oficiales: plan y programas de estudio de secundaria,
organización y secuencia de contenidos, libro para el maestro y el fichero de actividades,
así como dos libros de texto utilizado por el estudiante.
3.1 Aplicación de la función lineal.
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o
correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado en 1637 por
el matemático francés René Descartes para designar una potencia x n de la variable x. En
1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. LejeuneDirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un
número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma
que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna
automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable
X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que
la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.
Generalmente se hace uso de las funciones lineales, (aún cuando el ser humano no se
da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que
se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y
utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía,
de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de
geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un
conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para
así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta
correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de
producto como "y".
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la
demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta
y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico.
Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del
precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un
artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles
de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo
P = mx + b , donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
En el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales
para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento
psicológico
de
Stenberg,
sobre
recuperación
de
información.
Esta dada por la formula y = mx + b donde m y b son números reales llamados
pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
3.2 La solución de problemas en educación secundaria
El programa de matemáticas vigente
para la educación secundaria en la parte
correspondiente al enfoque plantea en su propósito central: que el alumno fortalezca sus
conocimientos y habilidades (operatorias, de comunicación y de descubrimiento)
adquiridos en educación primaria, y
aprenda a utilizarlas en la “solución de
problemas”, no solamente las que se resuelven con los procedimientos y técnicas
aprendidas en la escuela, sino también aquellos cuyo descubrimiento y solución
requieren de la curiosidad y la imaginación creativa. (Plan y Programa. Secundaria,
1993).
Santos Trigo (1997) afirma que: aprender matemáticas significa identificar los artefactos
de la disciplina, esto es, sus conceptos y procedimientos. Otra idea de aprender
matemáticas se relaciona con que el estudiante desarrolle o construya ideas matemáticas;
y un aspecto esencial en el desarrollo de estas ideas es el proceso de “formular y
resolver problemas” ya que desempeña un papel muy importante cuando se discuten las
estrategias y el significado de las soluciones.
Para la enseñanza, el proceso que se realiza se vuelve más importante que el resultado,
ya que las matemáticas son una actividad cuyo fin último es resolver problemas. Los
problemas interesantes no son aquellos para los que hay disponible un procedimiento de
aplicación sino aquellos en los que hay que experimentar, conjeturar, intentar y
descubrir.
Trigo retoma algunas ideas de Schoenfeld (1983) y define a un problema en términos
generales de la siguiente manera:
Es una tarea o situación en la cual aparecen las siguientes componentes.
a) La existencia de un interés; es decir una persona o un grupo de individuos quiere
o necesita encontrar una solución.
b) La no existencia de una solución inmediata; es decir, no hay un procedimiento o
regla que garantice la solución completa de la tarea. Por ejemplo, la aplicación
directa de algún algoritmo o conjunto de reglas no es suficiente para determinar
la solución.
c) La presencia de diversos caminos o métodos de solución (algebraico,
geométrico, numérico, gráfico).
d) La atención por parte de una persona o grupo de individuos para llevar a cabo un
conjunto de acciones tendientes a resolver esa tarea.
Para apreciar las matemáticas no basta con contemplar sus resultados, sino hay que
involucrarse en ellas, hacerse preguntas e intentar responderlas. Así, un aprendizaje
significativo de las mismas no puede reducirse a la memorización de hechos,
definiciones y teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas técnicas y
procedimientos. Por lo cual es necesario que los alumnos aprendan a plantearse y
resolver problemas en situaciones que tengan sentido para ellos y les permitan generar y
comunicar nuevos conocimientos.
Como se puede ver la resolución de problemas juega un papel fundamental en la
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas, por tal motivo, los problemas presentados
deben dar a los estudiantes la oportunidad de explorar las relaciones entre nociones
conocidas y utilizarlas para descubrir y asimilar nuevos conocimientos y que los puedan
comunicar. Esta es, esencialmente, la naturaleza de la actividad matemática.
3.3 La función como objeto de aprendizaje
El álgebra es un tema central del currículo escolar, es muy importante para todos los
alumnos y no sólo para aquellos que van a continuar sus estudios. En nuestros días a
quedado atrás la vieja idea de que aprender a leer y escribir, y un mínimo de
conocimientos aritméticos y geométricos, permite desempeñar un trabajo o ejercer un
oficio. La mayoría de empleos que se crean actualmente requieren de individuos con
mayor preparación, capaces de asimilar nueva información y utilizarla para resolver
problemas, así como acceder al uso de nuevos instrumentos o técnicas. Aun actividades
que se han vuelto tan cotidianas y necesarias para el trabajo, como llenar un formulario o
leer un instructivo o manual de operación, necesitan que las personas conozcan y estén
familiarizadas con los modos de expresión simbólica y pensamiento abstracto que se
desarrollan por medio del estudio del álgebra, como son poder extraer información de
cuadros, tablas y gráficas.
En educación secundaria; en primer grado el álgebra se inicia con algunos contenidos de
preálgebra como es el uso de las expresiones con términos literales, primeras reglas
sencillas de escritura algebraica, (el libro para el maestro recomienda que las actividades
que se presenten, deben enfatizar el uso de situaciones concretas y su representación por
medio de tablas de valores y gráficas, para que el alumno explore regularidades y
patrones y aprenda a expresarlos simbólicamente). En el segundo grado se aborda el
estudio de las ecuaciones lineales, trabajando con las regiones y subconjunto en el plano
cartesiano y la iniciación al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y a su
solución, se contemplan algunos temas de operaciones con monomios y polinomios.
En el tercer grado se profundiza y completa el estudio de los temas anteriores y se
introducen además los temas de productos notables, factorización y ecuaciones
cuadráticas, poniendo énfasis en la factorización de polinomios de segundo grado y la
solución de ecuaciones cuadráticas por diversos métodos. Se trabajan las funciones en
sus representaciones algebraicas, tabulares y gráficas, familias de gráficas de la forma
y = mx y y = mx + b , se cubren funciones lineales y cuadráticas. Para el caso de la
función lineal se estudia su comportamiento a través de estas representaciones.
3.3.1 PLAN Y PROGRAMAS
El plan y programas de estudio (SEP) son un medio para mejorar la educación,
atendiendo las necesidades básicas de aprendizaje de los estudiantes, garantizando que la
mayor permanencia en el sistema educativo se realice en la adquisición y consolidación
de los conocimientos, las capacidades y los valores que son necesarios para aprender
permanentemente dicho conocimiento.
Las prioridades de este material son: ampliar y consolidar los conocimientos y
habilidades matemáticas y las capacidades para aplicar la aritmética, el álgebra y la
geometría en el planteamiento y resolución de problemas de la actividad cotidiana y
para entender y organizar información cuantitativa.
El plan y programa puntualiza que la enseñanza de las matemáticas en la escuela
secundaria tiene como propósito general que el alumno desarrolle las habilidades
operatorias, comunicativas y de descubrimiento. Para ello, deben desarrollar sus
capacidades para:
o Adquirir seguridad y destreza en el empleo de técnicas y procedimientos básicos
a través de la solución de problemas.
o Reconocer y analizar los distintos aspectos que componen un problema.
o Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.
o Escoger y adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un problema.
o Comunicar sus estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y
concisa.
o Predecir y generalizar sus resultados.
3.3.2 ORGANIZACIÓN Y SECUENCIA DE CONTENIDOS
El propósito central de La secuencia y organización de contenidos es ofrecer a los
maestros de matemáticas, una herramienta para la planeación de sus cursos, a través de
sugerencias para establecer la adecuada progresión y organización de los contenidos de
esa asignatura.
El propósito fundamental que presenta este material para el tratamiento del tema de
función es:
Que el alumno se familiarice con los diversos medios de expresión matemática: la
escritura simbólica, tablas, gráficas y fórmulas para explorar y presentar la relación
entre dos cantidades variables, así como el uso y significado de expresiones donde
interviene el término función.
Esto deberá hacerse a través de:
o Ejemplos de variación proporcional y lineal, usando tablas y gráficas para
explorar si dos cantidades varían proporcional o linealmente.
o Ejemplos que permitan comparar el crecimiento lineal o aritmético con otros
modos de crecimiento.
o Paso, en casos sencillos, de una tabla o una gráfica a la expresión algebraica de
una función o viceversa (casos de funciones de las formas y = mx; y = mx + b).
o Ejercicios de graficación de funciones lineales, estudio de familias de la forma
y = mx, y = mx + b y dibujarlo en un mismo sistema de ejes coordenados.
3.3.3 LIBRO PARA EL MAESTRO
El propósito general de este material de apoyo en la enseñanza de las matemáticas es
enriquecer los recursos de que dispone el profesor para ayudar a los alumnos a estudiar
matemáticas, para así: desarrollar sus habilidades (calcular, inferir, comunicar, medir,
estimar, generalizar, deducir), promover actitudes positivas (colaboración, investigación,
respeto, perseverancia, autonomía) y adquirir conocimientos matemáticos.
El propósito que se menciona para trabajar con el tema de función lineal es:
»
Utilizar constantemente los diversos medios de expresión matemática: lenguaje
algebraico, tablas y gráficas en el planteo y la solución de problemas muy diversos
y, en casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otros.
Sugiere que las actividades en clase deben escogerse de tal manera que los alumnos
puedan darse cuenta del poder y la utilidad de las funciones para describir y modelar
fenómenos del mundo real, de la física, la geometría, la economía y otros contextos, que
se planteen actividades y problemas que conduzcan a los alumnos a elaborar tablas y
gráficas a partir de la expresión algebraica de una función, y en casos sencillos, a buscar
la expresión algebraica que corresponde a una tabla o a una gráfica de tal manera que
ellos puedan comprender la utilidad de trabajar con las diversas formas de
representación de la función lineal (con funciones de la forma y = mx , y y = mx + b ).
Ejercicios de graficación de función y familias de gráficas de la forma y = mx + b , por
ejemplo graficar en un mismo sistema de ejes coordenados la función
y = mx + 1 ,
donde m puede tomar diferentes valores.
Se menciona en seguida algunos de los ejemplos que el libro para el maestro recomienda
al abordar este tema.
1. En los países de habla inglesa la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F) y
no en grados Celsius o centígrados (°C) como lo hacemos nosotros. En la
siguiente tabla están dadas, para algunos valores de la temperatura, las
equivalencias entre los grados Celsius y Fahrenheit.
°C
°F
-30
-22
-20
-4
-10
14
0
32
10
50
20
68
30
86
a) Representa gráficamente los valores de la tabla y utiliza la gráfica que obtienes
para convertir las siguientes temperaturas de una escala a otra.
-15°C, 5°C, 100°C, -50°F, 0°F, 100°F
b) Encuentra una fórmula para pasar de grados Centígrados a Fahrenheit y otra para
pasar de Fahrenheit a Centígrados. ¿Para qué temperatura la escala en grados
centígrados y Fahrenheit marcan lo mismo?
2. Un agente de ventas recibe dos ofertas de empleo de una misma compañía: un
salario base mensual de $500 más un 8% de comisión sobre las ventas, o bien un
15% de comisión sobre las ventas, sin salario base. Escribe en cada caso una
fórmula para indicar cómo dependen los ingresos del agente de las ventas que
realiza. Construye una tabla para comparar los ingresos posibles en cada caso,
por ejemplo, ¿cuánto recibe en cada caso si vende 1000, 2000, 3000,… pesos?
¿En qué casos le conviene aceptar una u otra oferta?
El objetivo de estas actividades es que los alumnos al resolver los problemas se vayan
familiarizando con el traslado de un registro de representación a otro.
3.3.4 FICHERO DE ACTIVIDADES
El fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Es un material de apoyo, dirigido a
los maestros, en el que sugieren actividades de estudio para realizarlas con los alumnos.
El propósito que enmarca este material referido al tema de función es:
»
Que los alumnos se familiaricen con los diversos medios de expresión matemática
(la escritura simbólica, lenguaje algebraico, tablas y gráficas) y utilizarlos
constantemente en el planteamiento y solución de problemas muy diversos y, en
casos sencillos, desarrollar criterios para pasar de unos a otro.
Los contenidos son:
1. El uso de tablas y gráficas para explorar si dos cantidades varían en forma
proporcional y linealmente.
2. Paso de una tabla o gráfica a la expresión algebraica de una función.
Las actividades que se sugieren en este fichero son para trabajarse por equipo, aquí se
muestra un ejemplo:
COMO PRIMERA PARTE:
En equipos de 4 alumnos, formar en un geoplano polígonos que cumplan con las
siguientes condiciones:
a) El polígono debe tener en su interior un clavo.
b) La liga no debe cruzarse consigo misma.
Ejemplo
Esta actividad se propone con el propósito de calcular el área de cada polígono obtenido
y cuenten cuantos clavos hay en el perímetro, anotando los datos en el pizarrón para
destacar lo siguiente: Todos los polígonos tienen un clavo en su interior, no todos tienen
el mismo número de clavos en el perímetro, y no todos tienen igual área.
SEGUNDA PARTE:
Ahora con las mismas condiciones a)
y b), formen en el geoplano polígonos
con el número de clavos indicado por
X en la tabla.
x
3
4
5
6
7
8
9
10
y
Donde x = número de clavos en el
perímetro.
y = área del polígono resultante.
Una vez que hayan completado la tabla, deben
responder lo siguiente:
◊
y
¿Se reconoce algún patrón en la forma de
variación de y cuando varía x?
◊
Localicen en el plano cartesiano los
puntos de la tabla anterior.
◊
¿Son colineales esos puntos?
◊
Construyan una expresión algebraica que
x
relacione y con x.
Los alumnos, al haberlo explorado en un geoplano se darán cuenta de que a un
determinado número de clavos en el perímetro le corresponde una cierta área, en el cual
si los alumnos tabularon y graficaron favorablemente observarán que los puntos son
colineales, se recomienda aprovechar este momento para mencionarles que la relación
entre x y y en este problema es una relación lineal.
Se sugiere promover el análisis de la tabla y de la gráfica para que sean los alumnos
quienes encuentren la expresión que relaciona ambas variables, y que la relación
encontrada sea válida para todas las parejas.
3.3.5 LIBRO DE TEXTO PARA EL ALUMNO
Se analizaron dos textos de tercer grado el de Bosch y Gómez, C. (2002) y el de Valiente
y Gómez, S. (1999) en los cuales se encontró que el tratamiento de los contenidos de
este material de apoyo tienen el propósito general de desarrollar las habilidades de
comunicación, operativas y de descubrimiento, para que el alumno pueda construir su
propio conocimiento.
»
En ambos textos, el propósito fundamental en el desarrollo del tema de función
lineal se orienta en la familiarización con los diversos medios de representación y
con más profundidad en la representación gráfica.
En este material, para abordar el tema de función lineal, se sugieren ejemplos de:
estiramiento de un resorte (ley de Hooke), pérdida del valor de un automóvil con el
tiempo (devaluación), relación entre altura y peso, la velocidad de un automóvil, costo
de la luz según el consumo; así como también en muchos fenómenos ocurre que una
magnitud depende de otra.
•
El perímetro de un cuadrado depende del valor del lado.
•
El dinero que habrá de pagarse por la compra de lápices depende de la
cantidad que se compre.
•
La longitud de una circunferencia depende de la medida del radio de la
misma.
•
Cuando un objeto se va sumergiendo en un depósito con agua, la presión
ejercida en él aumenta uniformemente.
Se menciona que uno de los ejemplos más claros e importante de una función es el caso
de un vehículo que se traslada, donde las posiciones del coche minuto a minuto se
pueden representar en una gráfica, y en el caso más simple de que el automóvil recorra
distancias iguales en tiempos iguales, los puntos de la gráfica quedan alineados, que es
la representación que tiene una función lineal.
Se señala que las funciones se pueden expresar mediante fórmulas, expresiones
algebraicas, tablas de valores o en forma gráfica; además, la gráfica de una función es la
serie de puntos en el plano cartesiano, en la que la primera componente es la variable
independiente, y la segunda componente es la variable dependiente. La función con la
cual se trabaja es de la forma y = mx + b .
En este material se sugiere el trabajo con familias de rectas donde m y b toman
diferentes valores ya sean positivos o negativos, como se muestra en el siguiente
ejemplo, en este caso b toma el valor de 2 y m toma diferentes valores:
m<0
m>0
En conclusión: el objetivo general tanto en los documentos oficiales como en el texto
que utiliza el estudiante referidos al tema de función, en particular de la función lineal
es:
»
Que el alumno se familiarice con los diversos medios de expresión algebraica, como
tablas de valores, gráficas y fórmulas, en casos sencillos realizar la conversión
entre ellos, es decir que de la fórmula o expresión algebraica pasar a una tabla de
datos o a una gráfica, o viceversa, desarrollando sus habilidades (calcular, inferir,
visualizar, comunicar). Es decir, que se presenten problemas interesantes que
conduzcan a los alumnos a elaborar tablas y gráficas ya sea a partir de una expresión
algebraica de una función, o viceversa, de tal manera que ellos comprendan la
importancia de trabajar con las diversas formas de representación de la función
lineal.
Señala la importancia de la utilización en el planteamiento y la solución de problemas
muy diversos, no sólo de la matemática, sino de problemas extraídos de la física, la
biología, entre otros.
3.4 Tipos de representaciones
Para tratar de comprender el mundo y sus experiencias, las personas construyen
representaciones. Las representaciones, se basan en una función central del sistema
cognitivo: simbolizar. Es decir, en la capacidad para concebir que algo tome el lugar de
otra cosa. Una escritura, una notación, un símbolo, representan un objeto matemático: un
número, una función, un vector,… Lo mismo los trazos y las figuras.
Por su parte Paper (1993) señala que las representaciones mentales difícilmente pueden
ser comunicadas o desarrolladas sin un soporte externo, por ejemplo el lenguaje, o
cualquier otra forma de representación sobre el papel. Es decir, se necesita el soporte
semiótico que suministran las representaciones externas para que el proceso
comunicativo, tenga lugar, ha escrito un apoyo de esta posición:
Uno de mis axiomas matemáticos es que la construcción que toma lugar “en la cabeza”
con frecuencia es más exitosa si está apoyada por una construcción de naturaleza
pública, “que está en el mundo” –un castillo de arena, una casa de lago, una
corporación, un programa computacional, un poema, o una teoría del universo. Parte
de lo que llamo “en el mundo”, es que el producto pueda ser mostrado, discutido,
examinado, dirigido, y admirado. Está “ahí afuera”.
En la investigación más reciente realizado por Hitt (2003) con estudiantes y profesores
en formación para la escuela preuniversitaria, hace un análisis de la construcción de
conceptos desde una teoría de las representaciones por parte de los estudiantes.
Menciona sobre la importancia que juegan las diferentes representaciones de un
concepto matemático en su construcción; y dice: “Sabemos que las representaciones de
un concepto matemático, solo representan una parte del mismo, por lo tanto, el
tratamiento de las diferentes representaciones del concepto es lo que nos permitirá su
construcción”. Es decir, las tareas de conversión entre representaciones y la
manipulación coherente de tales representaciones permitirán una sólida construcción
del concepto en cuestión.
Desde una perspectiva teórica, donde la tecnología no queda excluida pero tampoco es
central, Duval (1998) citado por Hitt señala:
“. . . estamos entonces en presencia de lo que se podría llamar la paradoja cognitiva del
pensamiento matemático: por un lado, la aprehensión de los objetos matemáticos no
puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por
medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos
matemáticos”.
¿Qué es Representación?

(Del lat. representatĭo, -ōnis). Acción y efecto de representar. Figura, imagen o
idea que sustituye a la realidad. Cosa que representa otra. Imagen o concepto en
que se hace presente a la conciencia un objeto exterior o interior. Figura con que
se expresa la relación entre diversas magnitudes.

Término con el que se designa, en general, la reproducción mental de un objeto
por parte de la conciencia, ya sea un objeto externo (una cosa) o interno (un
estado del sujeto).
De acuerdo a las consideraciones teóricas de Duval (1998), para la construcción de
conceptos matemáticos el afirma que no basta trabajar las actividades dentro de un solo
sistema de representación, sino que hay que realizar las tareas de conversión de una
representación a otra, y viceversa. Son éstas las que favorecerán la construcción de los
conceptos matemáticos.
En cada representación se manifiesta una forma de mirar un mismo objeto desde
distintas ópticas, en cada caso se atiende una perspectiva distinta que puede iluminar
diferentes aspectos del mismo.
Se menciona a continuación la forma de representación de la función lineal atendiendo
a los documentos oficiales y el texto utilizado por el estudiante:
Gráficos cartesianos: Es la presentación el plano cartesiano, incluyendo los convenios
implícitos en la lectura de gráficos. Por ejemplo, interpretación de ejes coordenados, de
unidades, etc.
Permiten representar las funciones en forma muy clara y ayudan a sacar conclusiones
respecto de las mismas. Cuando representamos movimientos en un gráfico cartesiano, a
simple vista podremos darnos cuenta de lo sucedido con el vehículo en movimiento en el
transcurso del tiempo. Cada punto del gráfico nos permite saber dónde se encuentra el
vehículo en cada instante de tiempo. (Ver figura 1).
D
i
s
t
a
c
i
a
Tiempo
Figura 1.
Tabla de valores: se compone de pareja de valores para las cuales a la primera de éstas
se le conoce como abscisa, o variable independiente, y, a la segunda, como ordenada o
variable dependiente. (Ver Figura 2). A partir de estas tablas, los alumnos encontrarán la
regla que relaciona los números de la primera columna con los de la segunda y la
expresarán simbólicamente, la cual son un antecedente importante en el tratamiento de la
función lineal.
T
d
1
16
4
64
.
9
.
.
Figura 2.
Expresión algebraica: expresado por medio de una ecuación o una fórmula.
y = ax + m
ó
y = 2x + 3
Expresión verbal: En este caso, el lenguaje común es el utilizado para representar
situaciones llamadas del mundo real. Estas pueden ser modeladas en cualquiera de los
otros registros, ejemplo de expresión verbal:
El precio de venta de un producto es igual al costo de éste, incrementado en un 35%
debido a gastos administrativos y de publicidad.
CAPÍTULO 4
ANÁLISIS DE LAS SECUENCIAS
En este capítulo se presentan los resultados obtenidos en la aplicación de un instrumento
de experimentación, la cual se aplicó a estudiantes de tercer grado de educación
secundaria, como se especifica en la metodología utilizada en esta investigación.
El análisis se realizó considerando las producciones de los estudiantes, tomando en
cuenta las argumentaciones y el análisis de las gráficas con el propósito de detectar las
dificultades de la conversión de un registro de representación a otra.
Análisis de la secuencia 1
La primera actividad trata sobre la articulación entre el registro de representación gráfica
y un contexto real3. A los alumnos se les presentó cuatro recipientes de diferentes formas
pero con la misma capacidad y cuatro representaciones gráficas cuya variable
independiente representaba la cantidad de líquido y la variable dependiente la altura del
líquido durante el llenado del recipiente, se les solicitó que relacionaran ambas
representaciones y que dieran su justificación el porqué lo relacionan de esa manera.
Con el propósito de conocer si a partir de una figura ellos reconocen sus
representaciones gráficas y cuáles son las argumentaciones que dan con respecto a la
relación que realizan, se muestra enseguida la actividad.
Actividad No. 1. Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad,
les viertes lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de
graficar la forma de llenado de cada envase, ¿cuál crees que correspondería a cada
gráfica?
3
Actividad tomada y adaptada del libro de texto para el alumno de educación secundaria.
a
b
c
Gráfica 1
Gráfica 2
Gráfica 3
d
Gráfica 4
Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera:
¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, porqué?
Dos estudiantes relacionan correctamente la figura b con la gráfica 2, uno justifica su
respuesta y lo hace al visualizar la forma que toma cada figura y la gráfica, por ejemplo,
en su justificación menciona que ambos contienen partes rectas, con lo que se puede
contrastar que lo relacionan tomando en cuenta la forma del recipiente y no el estudio en
términos del llenado del recipiente.
Cuatro estudiantes relacionan correctamente las figuras a y b con sus respectivas
gráficas, sólo un estudiante justifica, y lo hace en relación al tiempo de llenado del
envase, su explicación lo da de la siguiente manera “la figura 1 la relaciono con la
gráfica 3, porque creo que el agua entraría lentamente y es la forma que va tomando”.
Dos estudiantes relacionan las figuras b y c correctamente, de ellos justifica uno, su
explicación lo realiza al igual que en casos anteriores por la forma; dice que el envase c
lo relaciona con la gráfica 3 porque tiene forma de curva y que la circunferencia también
lo tiene, la figura b con la gráfica 2 porque tiene más partes rectas, menciona que los
envases a y d “son de forma casi igual porque tienen la misma forma pero tienen la tapa
en distintos lados”.
Los cuatro estudiantes que relacionan correctamente todas las figuras con sus gráficas
sólo un estudiante no justifica, de los tres que dan alguna explicación, dos lo relacionan
por la forma que va tomando el recipiente y la forma de la gráfica, por ejemplo la gráfica
3 lo relacionan con el recipiente c porque ellos dicen que se parecen ya que ambos
tienen forma ovalada, otro lo relaciona por el tiempo de llenado, menciona que del
espacio del envase depende el tiempo, entre más espacio más tiempo necesita para
llenarse, y por lo tanto es la forma que va tomando la gráfica.
Siete estudiantes no realizaron ninguna relación correcta y un estudiante definitivamente
no relaciona ni da justificación alguna.
Hubo una mayor dificultad al relacionar los recipientes c y d, ya que en las
argumentaciones que dieron se pudo contrastar que la relación lo hacen tomando en
cuenta la forma del recipiente y la gráfica y no el estudio en un contexto analítico, la
mayoría relacionó el recipiente c con la gráfica 3 por la forma ovalada del recipiente y
de la gráfica; hubo mayor acierto con respecto a la gráfica 2 dado que en su
argumentación mencionan que el recipiente con el que lo relacionan tiene más lados
rectos. Estas dificultades y las argumentaciones que dan coinciden con las detectadas por
Hitt (1996); en su investigación realizada con profesores de enseñanza media, donde les
presenta las funciones representadas gráficamente y les solicita que lo representen en su
contexto físico, y viceversa, la articulación de un contexto físico a una representación
gráfica.
Del total de estudiantes que participaron sólo dos identifican la gráfica que representa
una función lineal y lo justifican de la siguiente manera: “porque es una línea
perpendicular y recta”. Como se puede observar, no identifican con facilidad la gráfica
que representa a dicha función, ya que los estudiantes no tienen una idea clara de la
forma que toma la gráfica cuando se refiere a la representación gráfica de una función
lineal, porque no se trata de una línea perpendicular como lo mencionan en su
justificación.
Se muestra la gráfica del porcentaje y la tabla del total de respuestas correctas,
incorrectas y no contestadas por los estudiantes (ver Gráfica 1 y tabla 2).
No contestó
Incorrectas
80%
60%
50%
70%
55
%
70%
65
%
75
%
Correctas
40%
30%
25
%
40%
30%
20%
5%
10%
5%
5%
5%
20%
0%
1
2
3
4
Gráfica 1.
FIGURA
GRÁFICAS
Tabla 2.
CORREC-
INCO-
NO CON-
TAS
RRECTAS
TESTÓ
8
11
1
14
5
1
6
13
1
4
15
1
Análisis de la secuencia 2
Esta actividad se aplicó con la finalidad de conocer que tipo de representaciones
conocen y utilizan.
Actividad No. 2. Los pesos de objetos que se cuelgan de un resorte y los
alargamientos que éste experimenta son directamente proporcionales. Completa la
siguiente tabla y represéntala.
(Modelo gráfico, algebraico, otros.)
Peso
Alargamiento
(gramos)
(cm.)
10
2
15
4
5
30
En esta actividad se observaron dos tipos de modelos.
Modelo de representación que utilizan
A
B
Utilizan modelo gráfico
Representan por medio de gráficas de
barras (histogramas).
Tabla 3.
No.
Estudiantes
12
8
o De los doce estudiantes involucrados en el inciso A que utilizan modelo gráfico,
seis utilizan el caso 1 y los otros seis el caso dos:
Caso 1
Caso 2
En este caso el estudiante no considera el hecho para cuando hay ausencia de peso,
además existe dificultad al identificar las variables dependiente e independiente, y se
observa al momento en que ubican los valores en la gráfica, además, en ningún
momento mencionan cuál es la cantidad que depende de la otra y de qué otra manera
pueden representar dicha información.
o De los ocho estudiantes que utilizan gráficas de barras, siete lo representaron
como el caso 1 y un alumno lo representó como el caso 2.
Caso 1
Caso 2
Al igual que en el modelo anterior existe la dificultad de identificar las variables. Se
considera que es un tema ya conocido por ellos, han tomado al menos un curso
específico a este tema, por lo que no se espera que el estudiante utilice este tipo de
respuesta, y como lo menciona Hitt (1996); la dificultad de una tarea provoca que al no
tener alternativas que ayuden a resolver el problema propuesto durante el proceso de
resolución emergen ideas intuitivas (alguna de ellas erróneas) sin que el estudiante tenga
conciencia de ello; en este caso se puede observar cuando el estudiante utiliza
histogramas al querer representar la función lineal.
Análisis de la secuencia 3.
Esta actividad se presentó con el objetivo de ver si los estudiantes tienen alguna noción
de función y cuáles son las argumentaciones que dan, además conocer que otro tipo de
representación conocen, se esperaba que generalizaran sus respuestas dando a conocer la
expresión algebraica y que además lo representaran por medio de una gráfica.
Actividad No. 3. Un automóvil recorre 9 km. por cada litro de gasolina.
¿Ésta relación es una función?
Si es así, explica porqué y represéntala.
Número de litros
Distancia recorrida
1
9
2
3
4
¿De qué otra manera puedes representar esta relación?
A pesar de la poca complejidad para completar la tabla se pudo observar una respuesta
como la que sigue.
En este caso, el estudiante no analiza el problema antes de darle solución, ya que su
respuesta no tiene relación alguna con lo que se le pide.
Se encontraron 5 tipos de representaciones como se muestran a continuación:
o Tres estudiantes lo representaron por medio de un modelo pictórico4, aunque a
estas alturas no se puede esperar que el estudiante utilice este tipo de
representación, lo que indica que no tienen una noción clara del tema tratado, es
necesario prestar más atención en este tipo de tareas.
o Nueve estudiantes que tienen la noción de representar por medio de gráficas,
cuatro de ellos representaron únicamente el plano, y no localizan ningún punto o
algo relacionado con la actividad, cuatro de ellos trataron de representar su
información, de la siguiente manera:
4
Trigo (1997) señala que cuando un estudiante resuelve un problema, es posible que pueda utilizar un
modelo pictórico, y define que este modelo puede incluir figuras, dibujos o diagramas como un medio
para representar el problema.
o Dos estudiantes utilizan otro tipo de representación diferente como la que sigue:
o Diez estudiantes mencionaron que otra manera de cómo podían representarlo es
por medio de una simple multiplicación, pero no lo representaron de manera
escrita, tienen dificultad al momento en que quieren comunicar de manera escrita
su respuesta.
En esta actividad se les presentó una lista de cinco expresiones algebraicas de funciones
lineales y se solicitó que lo graficaran, con el propósito de identificar algunas
dificultades del paso de lo algebraico a lo gráfico, y ver si utilizan alguna otra forma de
representación de intermedio para poder llegar a lo gráfico, se esperaba que los alumnos
utilizaran como caso intermedio una tabla en donde ubicaran algunos valores dados para
x y los obtenidos para y en cada expresión. (Se les da intencionalmente el plano
cartesiano sin la numeración correspondiente en los ejes coordenados, para que ellos
colocaran los valores y graficaran, ver anexo, Actividad No. 4).
Actividad No. 4. Grafica las siguientes funciones:
y = -2x
y = 2x + 1
y = -3x + 2
y = -x – ½
y = 5x – 5
Participaron 25 estudiantes, nueve estudiantes definitivamente no dieron respuesta, de
los restantes que contestaron, no hubo un solo estudiante que respondiera correctamente,
lo que se pudo observar es, que para graficar localizan dos puntos en el plano cartesiano
y trazan la recta correspondiente, y lo realizan de la siguiente manera:
o Siete alumnos ubican el valor de m en el eje x y el valor de b en el eje y,
dependiendo de que el valor sea positivo o negativo como se puede observar a
continuación en las gráficas (ver gráfica 2).
y = 5x – 5
y = -3x + 2
y = 2x
Gráfica 2.
En la justificación que dan tres estudiantes a sus respuestas, “los valores los coloqué de
manera que se vieran representados en la gráfica”, “los puntos los tomé de acuerdo a
los datos y los acomodé dependiendo en qué línea vayan y así uní los puntos” se puede
observar claramente que toman directamente los valores que se le da en la función y los
ubica en el plano cartesiano y no realizan ninguna transformación, como darle valores a
x o utilizar alguna tabla para colocar los valores y enseguida graficar. Para el caso de la
tercera gráfica se puede observar que localizaron únicamente un punto ya que la función
carece de la constante b y no encontraron otro valor para graficarlo; sorprendentemente
cometen el error de creer que los valores se pueden ubicar directamente en el plano
cartesiano.
o Los restantes (nueve estudiantes) colocan los valores de manera contraria al
anterior, es decir, el valor de m lo ubican en el eje y y el valor de b lo ubican en
el eje x, como se muestra en los ejemplos para las siguientes funciones (ver
gráfica 3).
y = 2x + 1
y = 5x - 5
Gráfica 3.
La dificultad se concentra en la idea intuitiva que tienen, al considerar que es una
manera correcta de poder graficar funciones, ubicando directamente los valores de los
parámetros m y b en el plano cartesiano, además tienen una mala interpretación de la
ubicación de los valores en los ejes coordenados.
Janvier (1978) menciona que: algunas traducciones no son directas, sino que requieren
de alguna otra forma de representación para poder efectuarse, como es el caso del
proceso de ir de lo algebraico a lo gráfico, el estudiante acude, como caso intermedio, a
la tabulación de la expresión algebraica, con lo que se obtiene una serie de valores que le
permiten ubicar puntos en el plano cartesiano para así construir su gráfica
correspondiente, a diferencia de estos resultados, los estudiantes sometidos a esta
investigación no consideran importante este hecho, ya que no utilizan ningún medio de
representación de intermedio, para obtener su gráfica, sino proceden de manera directa y
erróneamente ubicando los valores de la función en el plano cartesiano.
Como lo realiza el estudiante, la función y = 3 x + 1 el valor de m (3) no puede ubicarse
directamente en el plano, ya que no indica la intersección con alguno de los ejes, sino
que expresa la inclinación de la recta al eje x, y el parámetro b indica el desplazamiento
de la recta sobre el eje y.
Es la recta cuando
el valor de m se
ubica en el eje x y
el de b en el eje y.
Recta
correcta para
función
y = 3x + 1
Esta es la recta
cuando el valor de
m se ubica en y y b
en x.
Para cuando se realiza el caso en que los valores de m y b se ubican en x y y
respectivamente sufre un cambio con respecto a la pendiente, coincide únicamente en la
intersección en el eje y, pero cuando los valores se ubican m en y y b en x no coincide
con ningún punto.
Esta actividad se les presentó un conjunto de seis expresiones algebraicas y seis
representaciones gráficas de funciones lineales, se pide al estudiante que identifique cual
de las gráficas se corresponde con cada una de las expresiones algebraicas dadas, se trata
de ver si el estudiante puede identificar directamente las variables visuales con los
parámetros de la expresión algebraica, y si no es así, de qué herramientas se vale para
convertir la expresión algebraica a la gráfica. (Ver las gráficas en anexo).
Actividad No. 5. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica,
colocando en el paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta.
a) y = 1/5x + 1
b) y = x
c) y = 2x – 4
d) y = 5x + 2
e) y = -x
f) y = x + 2
En esta actividad se pudieron observar 11 tipos de respuestas de los cuales se describen
en la siguiente tabla.
A
Relacionaron correctamente el inciso a
1
B
Relacionaron correctamente el inciso c
1
C
Relacionaron correctamente los incisos a y f
1
D
Relacionaron correctamente los incisos a y d
1
E
Relacionaron correctamente los incisos a y c
7
F
Relacionaron correctamente los incisos b y e
1
G
Relacionaron correctamente los incisos f y c
1
H
Relacionaron correctamente los incisos f, b y e
1
I
Relacionaron correctamente los incisos a, b, c y d
4
J
Relacionaron correctamente los incisos a, c, d y f
3
K
Relacionaron correctamente todos los inciso
7
Tabla 4.
Con lo que se puede concluir que:
Función
Gráfica
Correctas
Incorrectas
a) y = 1/5x + 1
24
4
b) y = x
13
15
c) y = 2x – 4
23
5
d) y = 5x + 2
11
17
e) y = -x
13
15
f) y = x + 2
13
15
Tabla 5.
En esta actividad la gráfica de la función del inciso a) fue más fácil de identificar,
posiblemente porque algunos valores de los parámetros m y b hacen intersección con los
ejes, y los alumnos tienen la idea de considerar que las cantidades variables se pueden
ubicar directamente en el plano, y para el caso de la expresión algebraica del inciso d) no
se visualizan directamente estos valores en alguna de las gráficas para que se diera la
relación.
Se muestra en la siguiente gráfica el porcentaje total de alumnos que relacionó
correctamente cada inciso (Ver Gráfica 4):
Correcto
100%
86%
Incorrecto
82%
80%
61%
54%
54%
60%
46%
39%
46%
54%
46%
40%
18%
14%
20%
0%
1
2
3
4
5
6
Gráfica 4.
Esta actividad se propuso con el fin de identificar si representan diferentes gráficas en
las que muestren que la recta, pasa por el origen y en los cuadrantes II y IV cuando
m < 0, o que la pendiente en este caso es negativa, para el caso cuando se trata de la
función de la forma y = mx; o en los cuadrantes I y III cuando m es positiva; y se va
aproximando al eje y cuando m toma valores muy grandes y al eje x cuando m es muy
pequeño, es decir valores menores que 1 y mayor que 0.
Actividad No. 6. Bosqueja la gráfica de las representaciones de la forma:
y = mx
Explica qué es lo que sucede cuando el parámetro m es: (Grafica).
Caso 1: m > 0
y
caso II: m < 0.
Esta actividad se analizó con las producciones gráficas que realizaron los estudiantes, ya
que la mayoría de ellos no justificó sus respuestas.
Contestaron 18 estudiantes de los cuales se pudo observar que no tienen noción clara de
los conceptos relacionados con el tema de función, en ningún momento mencionan que
la recta tiene que pasar por el origen y no se detienen a pensar en qué sentidos se tiene
que dar la inclinación cuando el parámetro m cambia de valores positivos o negativos,
sus dificultades están asociadas a:
No distinguen cuando se trata de valores positivos y negativos.
Tres de ellos consideran la siguiente manera de representar:
Dibujan una recta para cada caso
pero para ellos no hay diferencia
alguna para cuando m > 0 y m < 0.
Mala interpretación de los ejes coordenados.
Un estudiante solamente ubica un punto para cada caso y lo representa en el plano, y
como obtiene un solo punto no traza ninguna recta.
Ubica
los
puntos;
sobre el eje y, en los
positivos cuando m >
0 y en los negativos
cuando m < 0.
Dos estudiantes igual que en el anterior localizan un punto para cada caso, pero lo
representan en un mismo plano y lo grafican de la siguiente manera.
Localizan un punto, sobre el
eje y, en los positivos cuando
m > 0 y sobre el eje x en los
negativos cuando m < 0, de
esa
manera
obtiene
puntos y traza su recta.
dos
Cinco estudiantes contestan de la siguiente manera:
Cuando m > 0 ubican una recta de tal manera que ésta pasa
por los cuadrantes II y IV, y cuando m < 0 la recta pasa por
los cuadrantes I y III.
Tres estudiantes lo resuelven de la siguiente manera.
La recta pasa por los
cuadrantes II y IV cuando
m < 0 y en los cuadrantes
I y III cuando m > 0,
aunque no consideran el
hecho de que la recta deba
pasar por el origen.
Dan valores a m y b y los ubican directamente en el plano cartesiano y trazan su
gráfica.
Cuatro estudiantes lo representan en una sola gráfica y lo que hacen es darle algún valor
a m dependiendo si es positivo o negativo y lo localizan directamente en el plano
cartesiano; de la misma manera como lo realizan los estudiantes en la actividad 4.
Cuando m > 0, ubican un
punto en el eje x y en el
eje y, ambos positivos, y
cuando m < 0 los ubican
en ambos ejes negativos y
trazan su recta.
¾ Para el caso cuando se refiere a la función de la forma y = mx + b.
Cuando y = mx + b, se desplaza sobre el eje y cuando el parámetro b toma diferentes
valores. Se esperaba que los estudiantes realizaran al menos dos gráficas para cada caso
en la cual mencionaran que la recta sube o se desplaza en y > 0 cuando b > 0 y se
encuentra en y < 0 cuando b < 0.
Caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
m>0
b <0
m>0
b >0
m<0
b>0
m<0
b <0
o Diez estudiantes les dan diferentes valores a m y b dependiendo si son positivos
o negativos, el valor de m lo ubica en el eje x y el valor de b en el eje y, lo hacen
de manera directamente en el plano y enseguida trazan la recta correspondiente.
Al igual que en los casos anteriores no se tiene alguna noción clara con el tema
que se está tratando.
o
Cinco de ellos representan cada caso por una recta, pero únicamente da valores
positivos a m y a b le da valores negativos, no toma en cuenta los valores que se
consideran para cada caso.
o Dos estudiantes grafican de tal manera que cuando ambos valores son positivos
considera que la recta se encuentra en los cuadrantes I y II, da una breve
explicación de sus respuestas como se muestra a continuación.
A diferencia de los casos anteriores, este estudiante primero representa cada caso por
medio de una ecuación, le da valores a x y obtiene la solución, después ubica los
valores en el plano y traza su gráfica, se observa que tiene alguna idea en relación a
este tema, pero no lo utiliza de manera adecuada, además realiza una mala
interpretación de las variables, le da diferentes valores a x en la ecuación y al
momento de ubicar los resultados en la tabla cambia los valores, considera que al
momento de pasar de una representación a otra también tienen que cambiar los
datos, además se detectan errores aritméticos.
Caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS
Se presenta en esta sección un resumen de los resultados arrojados por cada actividad.
Actividad No. 1
En esta actividad hubo un mayor porcentaje de aciertos favorables en relación al
segundo recipiente, ya que la mayoría de los estudiantes que argumentan sus respuestas
mencionan que la figura dos tiene más lados rectos, por lo que le corresponde la gráfica
que contiene la línea recta.
Hubo un mayor porcentaje de errores en relación de la tercera y la cuarta figura, se pudo
observar que las argumentaciones de los estudiantes están asociadas más por la forma de
la gráfica y la figura.
La forma del recipiente y no el estudio del fenómeno en un contexto analítico, fue lo
que determinó que se les dificultara a la mayoría de los estudiantes no llegar a responder
favorablemente.
Actividad No. 2
En esta actividad se pudo observar que hubo una mayor inclinación en la utilización de
la representación gráfica ya que el 60% lo representó de esta manera, el problema que se
pudo detectar en estos alumnos fue la interpretación errónea de las variables, en ningún
momento mencionan cual es la variable independiente y cual la dependiente, solamente
el 20% colocó correctamente los valores y respondió al problema favorablemente lo que
indica que no tienen idea clara de este tema.
Actividad No. 3
En esta actividad el alumno interpreta el problema y se pudo observar en la tabla que
completaron (sólo hubo un error), pero se les dificulta cuando tienen que expresar la
información de otra manera y al momento en que tienen que generalizar su resultado, ya
que el 32% menciona que otra manera de representarlo es por medio de una
multiplicación pero no lo representan de manera escrita y además, aún tienen la idea de
representar por medio de dibujos.
Actividad No. 4
En la actividad No. 4 en donde, teniendo un modelo algebraico se les pide pasar a la
representación gráfica, el 100% de los estudiantes no respondió favorablemente, su
mayor dificultad se pudo detectar a partir de la numeración que colocaron en los ejes, no
tienen noción clara de lo que es el plano cartesiano, ya que solamente siete estudiantes
colocaron correctamente los valores, lo que indica que el 72% tiene problemas de cómo
ubicar los valores en el plano, no les dan importancia del orden en que van estos valores
o definitivamente no lo saben (ver figura 3), este tema es primordial que se viene
tratando desde el primer grado de secundaria, además cometen el error de creer que los
valores de los parámetros m y b se pueden ubicar directamente en el plano cartesiano, no
tienen una noción clara de función lineal ni del plano cartesiano, de esta manera, no se
puede esperar que el alumno pueda graficar correctamente las funciones lineales, los
valores en los ejes los ubican de la siguiente manera.
Dos alumnos
tres alumnos
dos alumnos
Dos alumnos
nueve alumnos
Figura 3.
Actividad No. 5
En esta actividad se observó que no utilizan ningún otro tipo de representación de
intermedio cuando se trata de pasar de un modelo algebraico a un gráfico, hubo más
aciertos en relación a las funciones de los incisos a) y c), menos del 50% contestó
correctamente los incisos restantes (b), d), e) y f)), ya que la mayoría tiene la idea de
ubicar directamente los valores numéricos que observan en la función, por lo que la
relación lo realizaron de esa manera.
Actividad No. 6
En esta actividad, analizando las gráficas que elaboraron los estudiantes se pudo
observar que confrontan las mismas dificultades que se han observado en las actividades
anteriores, por ejemplo, la mala interpretación los ejes coordenados, en ocasiones
realizan solamente una gráfica donde ubican dos puntos, a m > 0 lo colocan sobre el eje
x y a m < 0 lo ubican en el eje y, y trazan su gráfica, en ningún momento hacen
mención a la pendiente, cuando es positivo o negativo, que expresa la inclinación de la
recta al eje x, o que valores deben tomar los parámetros m y b para que la recta pase por
el origen o se pueda desplazar sobre los ejes. Se considera que este tema debe ser
conocido por ellos, ya que en los documentos oficiales revisados y los textos para el
alumno, se orientan al trabajo con familias de rectas de la forma y = mx y y = mx + b,
donde m y b se le asignan diferentes valores.
CONCLUSIONES
Nuestro estudio revela que los estudiantes muestran deficiencias conceptuales, de
interpretación y falta de coordinación entre los registros algebraico, gráfico y tabular,
tienen diferentes dificultades al pasar de la expresión algebraica a la gráfica, por
ejemplo, creen que los valores de los parámetros m y b de las funciones pueden ubicarse
directamente en el plano cartesiano, realizan una representación incorrecta de estos
valores y muy pocos estudiantes justifican sus respuestas, lo que indica que no están
acostumbrados a comunicar sus resultados. Además, ningún tipo de representación es
favorecida por ellos, ya sea porque no tienen una idea clara relacionada con el concepto
de función. Esto puede ser posiblemente a consecuencia de la enseñanza recibida por
estos estudiantes, porque como lo señala Trigo “cuando se comete un gran número de
errores en procedimientos simples, se puede pensar que es el resultado de un mal
aprendizaje o que el estudiante es una copia fiel el cual sólo aprenderá eficientemente
lo que el profesor le enseñe”.
Las dificultades registradas no solo revelan un descuido notorio de las actividades de
conversión por parte de la enseñanza, sino además una confianza excesiva de los
estudiantes en los procedimientos que han logrado mecanizar y de los que no
manifiestan tener una significación clara.
Las dificultades para convertir una representación en otra pueden interpretarse como
resultado de una conceptualización deficiente del objeto bajo estudio, la preparación es
insuficiente en este tipo de tareas; en estas condiciones es muy difícil que los estudiantes
puedan utilizar con éxito la función lineal como herramienta para resolver problemas.
En este trabajo de investigación no estoy interesada en investigar al profesor; pero sería
interesante que en una investigación posterior se realizara una investigación en este
sentido para ver si las actividades con las cuáles trabajan los profesores en este nivel
están apegadas a las sugeridas por los documentos oficiales, y si cumplen con las
expectativas de desarrollar las habilidades que en estos documentos se puntualizan.
RECOMENDACIONES
Para favorecer el aprendizaje de la función lineal y el desarrollo del pensamiento
conceptual, es fundamental que los alumnos puedan articular y realizar la conversión de
las diferentes representaciones semióticas (por ejemplo: de una expresión algebraica
pasar a la gráfica, de un enunciado en lenguaje natural a una expresión algebraica, o
viceversa); para lo cual es necesario, enfrentarlos a suficientes problemas de articulación
entre las distintas representaciones.
El uso adecuado de los materiales de apoyo recomendados por la SEP (Plan y
Programas, fichero de actividades, libro para el maestro) y los textos utilizados por el
alumno, orientadas por el profesor, favorecerá el aprendizaje de la función lineal.
El docente debe tener en claro las recomendaciones didácticas relacionadas con el
concepto de función, sus características y representaciones, para orientar adecuadamente
a los estudiantes durante su aprendizaje, además, se deben plantear problemas
interesantes que tengan relación con los que se enfrentan en la vida cotidiana, de tal
manera que motiven al estudiante a la búsqueda de soluciones, relacionando los
conocimientos adquiridos y generando así nuevos conocimientos.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
Bosch, C. y Gómez, C. (2002). Matemáticas 3. Educación Secundaria. Plano cartesiano
y funciones, 32- 52. Ed. Nuevo México. 2° Ed.
Cruz, V. (1998) Familia de funciones: expresiones algebraicas y sus gráficas 2, págs. 111. La calculadora en el salón de clase. Ed. Iberoamérica.
Diccionario de la real academia.
Duval, R. (1998). Investigaciones en matemática educativa II. Registro de
representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento, págs. 173-201,
Ed. Hitt, F., Grupo Editorial Iberoamérica.
Fichero de actividades didácticas (1999). Matemáticas. Educación secundaria (SEP).
Garbin, S. (2005, julio). ¿Cómo piensan los alumnos entre 16 y 20 años el infinito? La
influencia de los modelos, las representaciones y los lenguajes matemáticos, págs. 169193. Revista RELIME Vol. 8, Núm. 2.
González, M. Dificultades y concepciones de los alumnos de educación secundaria sobre
la representación gráfica de funciones lineales. Extraído el 6 de julio del 2006.
Disponible en
http://www.iberomat.uji.es/carpeta/comunicaciones/77_teresa_gonzalez_2.doc [en
línea].
Hitt, F., (1996) Investigaciones en Matemática Educativa, Sistemas semióticos de
representación del concepto de función y su relación con problemas epistemológicos y
didácticos, págs. 245-246. Ed Iberoamérica.
Libro para el maestro (1997). Matemáticas. Secundaria (SEP).
Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. Reservados todos los
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Plan y Programas de estudio (1993). Educación Básica. Secundaria.
Trigo, L., (1997) Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje
de las matemáticas. Pág. 30. Ed Iberoamérica.
Ruiz, L., (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Tesis
doctoral.
Valiente, S. y Gómez, S., (1999) Matemáticas 3. Educación Secundaria. El plano
cartesiano y funciones, págs. 16-41. Ed. Castillo.
ALUMNO (A) __________________________________________________________
Analiza detenidamente cada cuestión y soluciónalo:
1. Si a varios envases de distinta forma, pero de la misma capacidad, les viertes
lentamente la misma cantidad de líquido, hasta llenarlos, y tratas de graficar la forma
de llenado de cada envase, ¿cuál crees que correspondería a cada gráfica?
Explica con tus palabras lo que aprecias y porqué lo relacionas de esa manera:
¿Alguna de éstas gráficas representa una función lineal, porqué?
a
b
Gráfica 1
Gráfica 3
c
d
Gráfica 2
Gráfica 4
ALUMNO (A) __________________________________________________________
2.
Los pesos de objetos que se cuelgan de un resorte y los alargamientos que éste
experimenta son directamente proporcionales. Completa la siguiente tabla y
represéntala.
(Modelo gráfico, algebraico, otros.)
Peso
Alargamiento
(gramos)
(cm.)
10
2
15
4
5
30
ALUMNO (A) __________________________________________________________
3. Un automóvil recorre 9 km. Por cada litro de gasolina.
¿Ésta relación es una función?
Si es así explica porqué y represéntala.
Número de litros
Distancia recorrida
1
9
2
3
4
¿De qué otra manera puedes representar esta relación?
ALUMNO (A) __________________________________________________________
4. Grafica las siguientes funciones:
y = -2x
y = 2x + 1
y = -3x + 2
y = -x – ½
y = 5x – 5
ALUMNO (A) __________________________________________________________
5. Relaciona las siguientes expresiones algebraicas con su gráfica, colocando en el
paréntesis la letra que corresponda a la ecuación correcta.
( )
( )
( )
a) y = 1/5x + 1
b) y = x
c) y = 2x – 4
d) y = 5x + 2
e) y = -x
f) y = x + 2
( )
( )
( )
ALUMNO (A) __________________________________________________________
6. Bosqueja la gráfica de las representaciones de la forma:
y = mx
Explica qué es lo que sucede cuando el parámetro m es: (Graficá)
m>0
m<0
y = mx + b
Cuando los parámetros m y b son:
Caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
m>0
b <0
m>0
b >0
m<0
b>0
m<0
b <0

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